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ESTADÍSTICA
ESTADÍSTICA
Cuarta edición
Murray R. Spiegel
Rensselaer Polytechnic Institute
Hartford Graduate Center
Larry J. Stephens
University of Nebraska at Omaha
Revisión técnica
Raúl Gómez Castillo
Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey,
Campus Estado de México
MÉXICO • BOGOTÁ • BUENOS AIRES • CARACAS • GUATEMALA
LISBOA • MADRID • NUEVA YORK • SAN JUAN • SANTIAGO
AUCKLAND • LONDRES • MILÁN • MONTREAL • NUEVA DELHI
SAN FRANCISCO • SINGAPUR • SAN LUIS • SIDNEY • TORONTO
Director Higher Education: Miguel Ángel Toledo Castellanos
Director editorial: Ricardo A. del Bosque Alayón
Coordinadora editorial: Marcela I. Rocha Martínez
Editor sponsor: Pablo E. Roig Vázquez
Editora de desarrollo: Ana L. Delgado Rodríguez
Supervisor de producción: Zeferino García García
Traducción: María del Carmen Enriqueta Hano Roa
ESTADÍSTICA
Cuarta edición
Prohibida la reproducción total o parcial de esta obra,
por cualquier medio, sin la autorización escrita del editor.
DERECHOS RESERVADOS © 2009, respecto a la cuarta edición en español por
McGRAW-HILL/INTERAMERICANA EDITORES, S.A. de C.V.
A Subsidiary of The McGraw-Hill Companies, Inc.
Edificio Punta Santa Fe
Prolongación Paseo de la Reforma 1015, Torre A
Piso 17, Colonia Desarrollo Santa Fe
Delegación Álvaro Obregón
C.P. 01376, México, D. F.
Miembro de la Cámara Nacional de la Industria Editorial Mexicana, Reg. Núm. 736
ISBN-13: 978-970-10-6887-8
ISBN-10: 970-10-6887-8
(ISBN 970-10-3271-3 anterior)
Traducido de la cuarta edición de: Theory and Problems of Statistics.
Copyright © MMVIII by The McGraw-Hill Companies, Inc.
All rights reserved
ISBN: 978-0-07-148584-5
1234567890 0876543219
Impreso en México
Printed in Mexico
A la memoria de mi madre y de mi padre, Rosie y Johnie Stephens
L. J. S.
ACERCA DE LOS AUTORES
MURRAY R. SPIEGEL† obtuvo su maestría en física y su doctorado en matemáticas, ambos en Cornell University.
Trabajó en Harvard University, Columbia University, Oak Ridge and Rensselaer Polytecnic Institute; además fue
asesor en matemáticas para diversas compañías. Su último cargo fue como profesor y presidente de matemáticas en el
Hartford Graduate Center del Rensselaer Polytecnic Institute. Su interés por las matemáticas lo acompañó durante toda
su trayectoria, en especial en la rama que comprende la aplicación de la física y los problemas de ingeniería. Fue autor
de numerosos artículos periodísticos y de más de una docena de libros sobre temas matemáticos.
LARRY J. STEPHENS es profesor de matemáticas en University of Nebraska at Omaha, donde imparte cátedras
desde 1974. Su labor como docente la ha desarrollado también en instituciones como University of Arizona, Gonzaga
University y Oklahoma State University. En su experiencia laboral destacan sus trabajos para la NASA, el Livermore
Radiation Laboratory y el Los Alamos Laboratory. Desde 1989, el doctor Stephens es consultor e instructor en seminarios
de estadística para grupos de ingeniería en 3M, en la planta de Nebraska. Ha colaborado en más de cuarenta
publicaciones a nivel profesional. Es autor de numerosos bancos de pruebas computarizados, además de textos elementales
de estadística.
VII
PREFACIO A LA
CUARTA EDICIÓN
Esta nueva edición contiene ejemplos nuevos, 130 figuras nuevas y resultados obtenidos empleando cinco paquetes de
software representativos de los cientos o quizá miles de paquetes de software usados en estadística. Todas las figuras
de la tercera edición han sido sustituidas por figuras nuevas, un poco diferentes, creadas empleando estos cinco paquetes
de software: EXCEL, MINITAB, SAS, SPSS y STATISTIX. Los ejemplos tienen una gran influencia de USA Today,
pues este periódico es una gran fuente de temas y ejemplos actuales de la estadística.
Otros de los cambios que se encontrarán en esta edición son: el capítulo 18 sobre análisis de serie de tiempos fue
eliminado y el capítulo 19 sobre control estadístico de procesos y capacidad de procesos se convirtieron en el capítulo
18. Las respuestas a los ejercicios complementarios, al final de cada capítulo, se presentan ahora con más detalle. En
todo el libro se analizan y emplean más los valores p.
RECONOCIMIENTOS
Dado que el software para estadística es muy importante en este libro, quiero agradecer a las personas y empresas
siguientes por permitirme usar su software.
MINITAB: Laura Brown, coordinadora del Programa de Ayuda a los Autores, Minitab, Inc., 1829 Pine Hall Road,
State College, PA 16801. Yo soy miembro del programa de ayuda a los autores que practica Minitab, Inc. “Partes de
los datos y de los resultados que se encuentran en esta publicación/libro han sido impresas con la autorización de
Minitab, Inc. Todo este material, así como los derechos de autor, son propiedad exclusiva de Minitab, Inc.” La dirección
de Minitab en la red es www.minitab.com.
SAS: Sandy Varner, directora de operaciones de mercadotecnia, SAS Publishing, Cary, NC. “Creado con el software
SAS. Copyright 2006. SAS Institute Inc., Cary, NC.” Se cita de su sitio en la red: “SAS es el líder en servicios y software
inteligente para negocios. A lo largo de sus 30 años, SAS ha crecido —de siete empleados a casi 10 000 en todo
el mundo, de unos cuantos clientes a más de 40 000— y todos estos años ha sido rentable”. La dirección en la red de
SAS es www.sas.com.
SPSS: Jill Rietema, gerente de cuenta, Publicaciones, SPSS. Se cita de su sitio en la red: “SPSS Inc. es líder como
proveedor mundial de soluciones y software para análisis predictivo. Fundada en 1968, actualmente SPSS tiene más
de 250 000 clientes en todo el mundo, atendidos por más de 1 200 empleados en 60 países.” La dirección en la Red de
SPSS es www.spss.com.
STATISTIX: Dr. Gerard Nimis, presidente, Analytical Software, P.O. Box (apartado postal) 12185, Tallahassee, FL
32317. Se toma de su sitio en la red: “Si se tiene que analizar datos y se es un investigador, pero no un especialista en
estadística, STATISTIX está diseñado para ello. No necesitará programar ni usar un manual. Este software fácil de
aprender y de usar ahorrará valioso tiempo y dinero. STATISTIX combina, en un solo y económico paquete, la esta-
IX
X PREFACIO A LA CUARTA EDICIÓN
dística, tanto básica como avanzada, con las poderosas herramientas para la manipulación de datos que se necesitan.”
La dirección en la Red de Statistix es www.statistix.com.
EXCEL: Se cuenta con Excel, de Microsoft, desde 1985. Cuentan con él casi todos los estudiantes universitarios. En
este libro se emplea ampliamente.
Deseo dar las gracias a Stanley Wileman por la asesoría informática desinteresada que me proporcionó en la creación
de este libro. Quiero agradecer a mi esposa, Lana, por su comprensión durante los días que dediqué a pensar en
la mejor manera de presentar algunos conceptos. Mi agradecimiento a Chuck Wall, Senior Adquisitions Editor, y a su
equipo de McGraw-Hill. Por último, quiero dar las gracias a Jeremy Toynbee, director de proyecto en Keyword
Publishing Services Ltd., Londres, Inglaterra, y a John Omiston, copy editor independiente, por su excelente trabajo
de producción.
LARRY J. STEPHENS
PREFACIO A LA
TERCERA EDICIÓN
Al preparar esta tercera edición de Estadística, Serie Schaum, he reemplazado problemas antiguos por problemas que
reflejan los cambios tecnológicos y sociológicos ocurridos desde que se publicó la primera edición en 1961. Por ejemplo,
uno de los problemas en la segunda edición trata del tiempo de vida de los bulbos de radio. Como la mayoría de
las personas menores de treinta años probablemente no sepan lo que es un bulbo de radio, este problema, lo mismo
que muchos otros, fue sustituido por ejercicios que se refieren a temas actuales como el cuidado de la salud, el sida,
Intenet, los teléfonos celulares, entre otros. Los asuntos matemáticos y estadísticos no han cambiado, sólo lo hicieron
las áreas de aplicación y los aspectos de cálculo en estadística.
Otra mejora es la introducción en el texto de software para estadística. El desarrollo de software para estadística,
como SAS, SPSS y Minitab, ha variado drásticamente las aplicaciones de la estadística a problemas de la vida real. El
software para estadística más utilizado, tanto en el medio académico como en el industrial, es el Minitab. Quiero agradecer
a Minitab Inc., por haberme otorgado el permiso para incluir, a lo largo de todo el libro, los resultados de Minitab.
Muchos de los textos modernos de estadística traen, como parte del libro, resultados de algún paquete de software para
estadística. En esta obra decidí emplear Minitab, ya que es muy utilizado y porque es muy amigable.
Una vez que el estudiante aprende las diversas estructuras de archivos de datos necesarios para utilizar Minitab, así
como la estructura de comandos y subcomandos, puede transferir con facilidad ese conocimiento a otros paquetes de
software para estadística. Gracias a la introducción de menús como las cajas de diálogo, el software resulta muy amigable.
La obra adiciona tanto los menús como las cajas de diálogo que presenta Minitab. En muchos de los problemas
nuevos se discute el importante concepto de pruebas estadísticas. Cuando se publicó la primera edición, en 1961, el
valor p no se utilizaba tan ampliamente como ahora, debido a que con frecuencia resulta difícil determinarlo sin la
ayuda de un software. En la actualidad, el software para estadística da el valor p de manera rutinaria, puesto que, con
este apoyo, su cálculo es a menudo un asunto trivial.
Un nuevo capítulo titulado “Control estadístico de procesos y capacidad de procesos” reemplazó al capítulo 19,
“Números índices”. Estos temas tienen gran aplicación industrial, por lo que se agregaron al libro. La inclusión, en
los paquetes de software modernos, de técnicas de control estadístico de procesos y capacidad de procesos ha facilitado
su utilización en nuevos campos industriales. El software lleva a cabo todos los cálculos, que son bastante
laboriosos.
Quiero agradecer a mi esposa Lana por su comprensión durante la preparación de este libro; a mi amigo Stanley
Wileman, por la ayuda computacional que me brindó; y a Alan Hunt y su equipo de Keyword Publishing Service, en
Londres, por su minusioso trabajo de producción. Por último quiero agradecer al equipo de McGraw-Hill por su cooperación
y ayuda.
LARRY J. STEPHENS
XI
PREFACIO A LA
SEGUNDA EDIBCIÓN
La estadística, o los métodos estadísticos, como se llaman algunas veces, desempeñan un papel cada vez más importante
en casi todas las áreas del quehacer humano. Aunque en un principio tenía que ver solamente con asuntos de
Estado, a lo que debe su nombre, en la actualidad la influencia de la estadística se ha extendido a la agricultura, la
biología, el comercio, la química, la comunicación, la economía, la educación, la electrónica, la medicina, la física, las
ciencias políticas, la psicología, la sociología y a muchos otros campos de la ciencia y la ingeniería.
El propósito de esta obra es presentar una introducción a los principios generales de la estadística, que será útil a
todos los individuos sin importar su campo de especialización. Se diseñó para usarse ya sea como consulta para todos
los textos estándar modernos o como un libro para un curso formal de estadística. Será también de gran valor como
referencia para todos aquellos que estén aplicando la estadística en su campo de investigación particular.
Cada capítulo empieza con una presentación clara de las definiciones correspondientes, los teoremas y principios,
junto con algunos materiales ilustrativos y descriptivos. A esto le sigue un conjunto de problemas resueltos y complementarios,
que en muchos casos usan datos de situaciones estadísticas reales. Los problemas resueltos sirven para
ilustrar y ampliar la teoría, hacen énfasis en aquellos pequeños puntos importantes sin los cuales el estudiante se sentiría
continuamente inseguro; además, proporciona una repetición de los principios básicos, aspecto que es vital para
una enseñanza eficiente. En los problemas resueltos se incluyen numerosas deducciones de fórmulas. La cantidad de
problemas complementarios con respuestas constituyen una revisión completa del material de cada capítulo.
Los únicos conocimientos matemáticos necesarios para la comprensión de todo el libro son la aritmética y el álgebra
elemental. En el capítulo 1 viene una revisión de los conceptos matemáticos importantes, que se pueden leer al
principio del curso o después, cuando la necesidad se presente.
Los primeros capítulos se ocupan del análisis de las distribuciones de frecuencia y de las correspondientes medidas
de tendencia central, dispersión, sesgo y curtosis. Lo anterior lleva, de manera natural, a una discusión de la teoría de
probabilidad elemental y sus aplicaciones, lo que prepara el camino para el estudio de la teoría del muestreo. De entrada,
se abordan las técnicas de las muestras grandes, que comprenden la distribución normal, así como las aplicaciones
a la estimación estadística y las pruebas de hipótesis y de significancia. La teoría de las muestras pequeñas, que comprende
la distribución t de Student, la distribución ji cuadrada y la distribución F, junto con sus aplicaciones, aparecen
en un capítulo posterior. Otro capítulo sobre ajuste de curvas y el método de mínimos cuadrados lleva, de manera
lógica, a los temas de correlación y regresión que involucran dos variables. La correlación múltiple y la parcial, que
involucran más de dos variables, son tratadas en un capítulo aparte. A este tema le siguen capítulos sobre el análisis de
varianza y métodos no paramétricos, que son nuevos en esta segunda edición. Dos capítulos finales tratan de series de
tiempo y número índice, en ese orden. Además, se ha incluido más material del que se alcanza a cubrir en un primer
curso. El objetivo es hacer el libro más flexible para proporcionar una obra de referencia más útil y estimular un posterior
interés en estos temas. La obra permite cambiar el orden de muchos de los últimos capítulos u omitir algunos sin
dificultad. Por ejemplo, los capítulos 13 a 15 y 18 y 19 pueden ser introducidos, en su mayor parte, inmediatamente
después del capítulo 5, si se desea tratar correlación, regresión, series de tiempo y números índice antes de la teoría del
muestreo. De igual manera, dejar de lado la mayor parte del capítulo 6, si no se desea dedicar mucho tiempo a probabilidad.
En un primer curso, en ocasiones el capítulo 15 se ignora en su totalidad. El orden se plantea debido a que en
XIII
XIV PREFACIO A LA SEGUNDA EDICIÓN
los cursos modernos hay una tendencia creciente a introducir teoría del muestreo y la inferencia estadística tan pronto
como sea posible.
Quiero agradecer a varias instituciones, tanto públicas como privadas, su cooperación al proporcionar datos para
tablas. A lo largo del libro se dan las referencias apropiadas para esas fuentes. En particular, agradezco al profesor sir
Roland A. Fisher, F.R.S., Cambrige; al doctor Frank Yates, F.R.S., Rothamster; y a Messrs. Oliver and Bond Ltd.,
Ediburgh, por haber otorgado el permiso para utilizar los datos de la tabla III de su libro Statistical Tables for Biological,
Agricultural, and Medical Research. También quiero agradecer a Esther y a Meyer Scher, su apoyo, y al equipo de
McGraw-Hill, su cooperación.
CONTENIDO
CAPÍTULO 1 Variables y gráficas 1
Estadística 1
Población y muestra; estadística inductiva (o inferencial) y estadística
descriptiva 1
Variables: discretas y continuas 1
Redondeo de cantidades numéricas 2
Notación científica 2
Cifras significativas 3
Cálculos 3
Funciones 4
Coordenadas rectangulares 4
Gráficas 4
Ecuaciones 5
Desigualdades 5
Logaritmos 6
Propiedades de los logaritmos 7
Ecuaciones logarítmicas 7
CAPÍTULO 2 Distribuciones de frecuencia 37
Datos en bruto 37
Ordenaciones 37
Distribuciones de frecuencia 37
Intervalos de clase y límites de clase 38
Fronteras de clase 38
Tamaño o amplitud de un intervalo de clase 38
La marca de clase 38
Reglas generales para formar una distribución de frecuencia 38
Histogramas y polígonos de frecuencia 39
Distribuciones de frecuencia relativa 39
Distribuciones de frecuencia acumulada y ojivas 40
Distribuciones de frecuencia acumulada relativa y ojivas porcentuales 40
Curvas de frecuencia y ojivas suavizadas 41
Tipos de curvas de frecuencia 41
XV
XVI CONTENIDO
CAPÍTULO 3
Media, mediana y moda, y otras medidas
de tendencia central 61
Índices o subíndices 61
Sumatoria 61
Promedios o medidas de tendencia central 62
La media aritmética 62
Media aritmética ponderada 62
Propiedades de la media aritmética 63
Cálculo de la media aritmética para datos agrupados 63
La mediana 64
La moda 64
Relación empírica entre la media, la mediana y la moda 64
La media geométrica G 65
La media armónica H 65
Relación entre las medias aritmética, geométrica y armónica 66
La raíz cuadrada media 66
Cuartiles, deciles y percentiles 66
Software y medidas de tendencia central 67
CAPÍTULO 4 Desviación estándar y otras medidas de dispersión 95
Dispersión o variación 95
Rango 95
Desviación media 95
Rango semiintercuartílico 96
Rango percentil 10-90 96
Desviación estándar 96
Varianza 97
Método abreviado para el cálculo de la desviación estándar 97
Propiedades de la desviación estándar 98
Comprobación de Charlier 99
Corrección de Sheppard para la varianza 100
Relaciones empíricas entre las medidas de dispersión 100
Dispersión absoluta y relativa; coeficiente de variación 100
Variable estandarizada; puntuaciones estándar 101
Software y medidas de dispersión 101
CAPÍTULO 5 Momentos, sesgo y curtosis 123
Momentos 123
Momentos para datos agrupados 123
Relaciones entre momentos 124
Cálculo de momentos con datos agrupados 124
Comprobación de Charlier y corrección de Sheppard 124
Momentos en forma adimensional 124
Sesgo 125
Curtosis 125
CONTENIDO XVII
Momentos, sesgo y curtosis poblacionales 126
Cálculo del sesgo (o asimetría) y de la curtosis empleando software 126
CAPÍTULO 6 Teoría elemental de la probabilidad 139
Definiciones de probabilidad 139
Probabilidad condicional; eventos independientes y dependientes 140
Eventos mutuamente excluyentes 141
Distribuciones de probabilidad 142
Esperanza matemática 144
Relación entre media y varianza poblacionales y muestrales 144
Análisis combinatorio 145
Combinaciones 146
Aproximación de Stirling para n! 146
Relación entre la probabilidad y la teoría de conjuntos 146
Diagramas de Euler o de Venn y probabilidad 146
CAPÍTULO 7 Las distribuciones binomial, normal y de Poisson 172
La distribución binomial 172
La distribución normal 173
Relación entre las distribuciones binomial y normal 174
La distribución de Poisson 175
Relación entre las distribuciones binomial y de Poisson 176
La distribución multinomial 177
Ajuste de distribuciones teóricas a distribuciones muestrales de frecuencia 177
CAPÍTULO 8 Teoría elemental del muestreo 203
Teoría del muestreo 203
Muestras aleatorias y números aleatorios 203
Muestreo con reposición y sin ella 204
Distribuciones muestrales 204
Distribuciones muestrales de medias 204
Distribuciones muestrales de proporciones 205
Distribuciones muestrales de diferencias y sumas 205
Errores estándar 207
Demostración de la teoría elemental del muestreo empleando software 207
CAPÍTULO 9 Teoría de la estimación estadística 227
Estimación de parámetros 227
Estimaciones insesgadas 227
Estimaciones eficientes 228
Estimaciones puntuales y estimaciones por intervalo; su confiabilidad 228
Estimación de parámetros poblacionales mediante un intervalo de
confianza 228
Error probable 230
XVIII CONTENIDO
CAPÍTULO 10 Teoría estadística de la decisión 245
Decisiones estadísticas 245
Hipótesis estadísticas 245
Pruebas de hipótesis y de significancia o reglas de decisión 246
Errores Tipo I y Tipo II 246
Nivel de significancia 246
Pruebas empleando distribuciones normales 246
Pruebas de una y de dos colas 247
Pruebas especiales 248
Curva característica de operación; potencia de una prueba 248
Valor p en pruebas de hipótesis 248
Gráficas de control 249
Pruebas para diferencias muestrales 249
Pruebas empleando distribuciones binomiales 250
CAPÍTULO 11 Teoría de las muestras pequeñas 275
Distribución t de Student 275
Intervalos de confianza 276
Pruebas de hipótesis y de significancia 277
Distribución ji cuadrada 277
Intervalos de confianza para σ 278
Grados de libertad 278
La distribución F 279
CAPÍTULO 12 La prueba ji cuadrada 294
Frecuencias observadas y frecuencias teóricas 294
Definición de χ 2 294
Pruebas de significancia 295
La prueba ji cuadrada de bondad de ajuste 295
Tablas de contingencia 296
Corrección de Yates por continuidad 297
Fórmulas sencillas para calcular χ 2 297
Coeficiente de contingencia 298
Correlación de atributos 298
Propiedad aditiva de χ 2 299
CAPÍTULO 13 Ajuste de curva y método de mínimos cuadrados 316
Relación entre variables 316
Ajuste de curvas 316
Ecuaciones de curvas de aproximación 317
Método de ajuste de curvas a mano 318
La línea recta 318
El método de mínimos cuadrados 319
La recta de mínimos cuadrados 319
CONTENIDO XIX
Relaciones no lineales 320
La parábola de mínimos cuadrados 320
Regresión 321
Aplicaciones a series de tiempo 321
Problemas en los que intervienen más de dos variables 321
CAPÍTULO 14 Teoría de la correlación 345
Correlación y regresión 345
Correlación lineal 345
Medidas de la correlación 346
Las rectas de regresión de mínimos cuadrados 346
El error estándar de estimación 347
Variación explicada y no explicada 348
Coeficiente de correlación 348
Observaciones acerca del coeficiente de correlación 349
Fórmula producto-momento para el coeficiente de correlación lineal 350
Fórmulas simplificadas para el cálculo 350
Rectas de regresión y el coeficiente de correlación lineal 351
Correlación de series de tiempo 351
Correlación de atributos 351
Teoría muestral de la correlación 351
Teoría muestral de la regresión 352
CAPÍTULO 15 Correlación múltiple y correlación parcial 382
Correlación múltiple 382
Notación empleando subíndice 382
Ecuaciones de regresión y planos de regresión 382
Ecuaciones normales para los planos de regresión de mínimos cuadrados 383
Planos de regresión y coeficientes de correlación 383
Error estándar de estimación 384
Coeficiente de correlación múltiple 384
Cambio de la variable dependiente 384
Generalizaciones a más de tres variables 385
Correlación parcial 385
Relaciones entre coeficientes de correlación múltiple y coeficientes de
correlación parcial 386
Regresión múltiple no lineal 386
CAPÍTULO 16 Análisis de varianza 403
Objetivo del análisis de varianza 403
Clasificación en un sentido o experimentos con un factor 403
Variación total, variación dentro de tratamientos y variación entre
tratamientos 404
Métodos abreviados para obtener las variaciones 404
XX CONTENIDO
Modelo matemático para el análisis de varianza 405
Valores esperados de las variaciones 405
Distribuciones de las variaciones 406
Prueba F para la hipótesis nula de medias iguales 406
Tablas para el análisis de varianza 406
Modificaciones para cantidades desiguales de observaciones 407
Clasificación en dos sentidos o experimentos con dos factores 407
Notación para experimentos con dos factores 408
Variaciones en los experimentos con dos factores 408
Análisis de varianza para experimentos con dos factores 409
Experimentos con dos factores con replicación 410
Diseño experimental 412
CAPÍTULO 17 Pruebas no paramétricas 446
Introducción 446
La prueba de los signos 446
La prueba U de Mann-Whitney 447
La prueba H de Kruskal-Wallis 448
Prueba H corregida para empates 448
Prueba de las rachas para aleatoriedad 449
Otras aplicaciones de la prueba de las rachas 450
Correlación de rangos de Spearman 450
CAPÍTULO 18 Control estadístico de procesos y capacidad de procesos 480
Análisis general de las gráficas de control 480
Gráficas de control de variables y gráficas de control de atributos 481
Gráficas X-barra y gráficas R 481
Pruebas para causas especiales 484
Capacidad de procesos 484
Gráficas P y NP 487
Otras gráficas de control 489
Respuestas a los problemas suplementarios 505
Apéndices 559
I Ordenadas (Y ) en z, en la curva normal estándar 561
II Áreas bajo la curva normal estándar, desde 0 hasta z 562
III Valores percentiles (t p ) correspondientes a la distribución t de Student con ν grados
de libertad (área sombreada = p) 563
IV Valores percentiles (χ 2 p) correspondientes a la distribución Ji cuadrada con ν grados
de libertad (área sombreada = p) 564
CONTENIDO XXI
V Valores del percentil 95 correspondientes a la distribución F (ν 1
grados de libertad
en el numerador) (ν 2
grados de libertad en el denominador) 565
VI Valores del percentil 99 correspondientes a la distribución F (ν 1
grados de libertad
en el numerador) (ν 2
grados de libertad en el denominador) 566
VII Logaritmos comunes con cuatro cifras decimales 567
VIII Valores de e −λ 569
IX Números aleatorios 570
Índice 571
VARIABLES
Y GRÁFICAS
1
ESTADÍSTICA
La estadística se ocupa de los métodos científicos que se utilizan para recolectar, organizar, resumir, presentar y analizar
datos así como para obtener conclusiones válidas y tomar decisiones razonables con base en este análisis.
El término estadística también se usa para denotar los datos o los números que se obtienen de esos datos; por
ejemplo, los promedios. Así, se habla de estadísticas de empleo, estadísticas de accidentes, etcétera.
POBLACIÓN Y MUESTRA; ESTADÍSTICA INDUCTIVA
(O INFERENCIAL) Y ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA
Cuando se recolectan datos sobre las características de un grupo de individuos o de objetos, por ejemplo, estatura y
peso de los estudiantes de una universidad o cantidad de pernos defectuosos y no defectuosos producidos en determinado
día en una fábrica, suele ser imposible o poco práctico observar todo el grupo, en especial si se trata de un grupo
grande. En vez de examinar todo el grupo, al que se le conoce como población o universo, se examina sólo una pequeña
parte del grupo, al que se le llama muestra.
Las poblaciones pueden ser finitas o infinitas. Por ejemplo, la población que consta de todos los pernos producidos
determinado día en una fábrica es finita, en tanto que la población que consta de todos los resultados (cara o cruz) que
se pueden obtener lanzando una y otra vez una moneda es infinita.
Si la muestra es representativa de la población, el análisis de la muestra permite inferir conclusiones válidas acerca
de la población. A la parte de la estadística que se ocupa de las condiciones bajo la cuales tales inferencias son válidas
se le llama estadística inductiva o inferencial. Como estas inferencias no pueden ser absolutamente ciertas, para presentar
estas conclusiones se emplea el lenguaje de la probabilidad.
A la parte de la estadística que únicamente trata de describir y analizar un grupo dado, sin sacar ninguna conclusión
ni hacer inferencia alguna acerca de un grupo más grande, se le conoce como estadística descriptiva o deductiva.
Antes de proceder al estudio de la estadística, se analizarán algunos conceptos matemáticos importantes.
VARIABLES: DISCRETAS Y CONTINUAS
Una variable es un símbolo; por ejemplo, X, Y, H, x o B, que puede tomar cualquiera de los valores de determinado conjunto
al que se le conoce como dominio de la variable. A una variable que sólo puede tomar un valor se le llama constante.
Una variable que puede tomar cualquiera de los valores entre dos números dados es una variable continua; de lo
contrario es una variable discreta.
EJEMPLO 1 La cantidad N de hijos que tiene una familia puede tomar los valores 0, 1, 2, 3, . . . , pero no puede tomar valores
como 2.5 o 3.842; ésta es una variable discreta.
1
2 CAPÍTULO 1 VARIABLES Y GRÁFICAS
EJEMPLO 2 La estatura H de una persona que puede ser 62 pulgadas (in), 63.8 in o 65.8341 in, dependiendo de la exactitud con
que se mida, es una variable continua.
Los datos descritos mediante una variable discreta son datos discretos y los datos descritos mediante una variable
continua son datos continuos. Un ejemplo de datos discretos es la cantidad de hijos que tiene cada una de 1 000 familias,
en tanto que un ejemplo de datos continuos son las estaturas de 100 estudiantes universitarios. En general, una
medición proporciona datos continuos; en cambio, una enumeración o un conteo proporciona datos discretos.
Es útil ampliar el concepto de variable a entidades no numéricas; por ejemplo, en el arco iris, color C es una variable
que puede tomar los “valores” rojo, anaranjado, amarillo, verde, azul, índigo o violeta. Estas variables se pueden
reemplazar por números; por ejemplo, se puede denotar rojo con 1, anaranjado con 2, etcétera.
REDONDEO DE CANTIDADES NUMÉRICAS
El resultado de redondear un número por ejemplo 72.8 a la unidad más cercana es 73 debido a que 72.8 está más cerca
de 73 que de 72. De igual manera, 72.8146 redondeado a la centésima más cercana (o a dos lugares decimales) es 72.81,
ya que 72.8146 está más cerca de 72.81 que de 72.82.
Sin embargo, para redondear 72.465 a la centésima más cercana, ocurre un dilema debido a que 72.465 se encuentra
precisamente a la mitad entre 72.46 y 72.47. En estos casos, lo que se acostumbra hacer es redondear al entero par
antes del 5. Así, 72.465 se redondea a 72.46, 183.575 se redondea a 183.58 y 116 500 000, redondeado al millón más
cercano, es 116 000 000. Hacer esto es especialmente útil cuando se realiza una gran cantidad de operaciones para
minimizar, así, el error de redondeo acumulado (ver problema 1.4).
NOTACIÓN CIENTÍFICA
Al escribir números, en especial aquellos en los que hay muchos ceros antes o después del punto decimal, es conveniente
usar la notación científica empleando potencias de 10.
EJEMPLO 3 10 1 = 10, 10 2 = 10 × 10 = 100, 10 5 = 10 × 10 × 10 × 10 × 10 = 100 000 y 10 8 = 100 000 000.
EJEMPLO 4 10 0 = 1, 10 −1 = .1 o 0.1; 10 −2 = .01 o 0.01; y 10 −5 = .00001 o 0.00001.
EJEMPLO 5 864 000 000 = 8.64 × 10 8 y 0.00003416 = 3.416 × 10 −5 .
Obsérvese que el efecto de multiplicar un número, por ejemplo, por 10 8 , es recorrer el punto decimal del número
ocho lugares a la derecha. El efecto de multiplicar un número por 10 −6 es recorrer el punto decimal del número seis
lugares a la izquierda.
Con frecuencia, para hacer énfasis en que no se ha omitido un número distinto de cero antes del punto decimal, se
escribe 0.1253 en lugar de .1253. Sin embargo, en casos en los que no pueda haber lugar a confusión, como en tablas,
el cero antes del punto decimal puede omitirse.
Para indicar la multiplicación de dos o más números se acostumbra usar paréntesis o puntos. Así (5)(3) = 5 · 3 =
5 × 3 = 15, y (10)(10)(10) = 10 · 10 · 10 = 10 × 10 × 10 = 1 000. Cuando se utilizan letras para representar números
suelen omitirse los paréntesis y los puntos; por ejemplo, ab = (a)(b) = a · b = a × b.
La notación científica es útil al hacer cálculos, en especial para localizar el punto decimal. Entonces se hace uso de
las reglas siguientes:
(10 p )(10 q ) = 10 p+q 10 p
10 q = 10p q
donde p y q son números cualesquiera.
En 10 p , p es el exponente y 10 es la base.
CÁLCULOS 3
EJEMPLO 6 (10 3 )(10 2 )=1 000 100 = 100 000 = 10 5 es decir, 10 3+2
10 6 1 000 000
=
104 10 000 = 100 = 102 es decir, 10 6 4
EJEMPLO 7 (4 000 000)(0.0000000002) =(4 10 6 )(2 10 10 )=(4)(2)(10 6 )(10 10 )=8 10 6 10
= 8 10 4 = 0.0008
EJEMPLO 8
(0.006)(80 000)
= (6 10 3 )(8 10 4 )
0.04
4 10 2 =
= 12 10 3 = 12 000
48 101
4 10 2 = 48 4
10 1 2)
CIFRAS SIGNIFICATIVAS
Si se anota la estatura de una persona como 65.4 in, esto significa que la estatura verdadera estará entre 65.35 y 65.45
in. Los dígitos exactos, fuera de los ceros necesarios para localizar el punto decimal, son los dígitos significativos o
cifras significativas del número.
EJEMPLO 9 65.4 tiene tres cifras significativas.
EJEMPLO 10 4.5300 tiene cinco cifras significativas.
EJEMPLO 11 .0018 = 0.0018 = 1.8 × 10 −3 tiene dos cifras significativas.
EJEMPLO 12 .001800 = 0.001800 = 1.800 × 10 −3 tiene cuatro cifras significativas.
Los números obtenidos de enumeraciones (o conteos), a diferencia de los obtenidos de mediciones, por supuesto
son exactos y por lo tanto tienen un número ilimitado de cifras significativas. Sin embargo, en algunos de estos casos
puede ser difícil decidir, sin más información, cuáles cifras son significativas. Por ejemplo, el número 186 000 000
puede tener 3, 4, . . . , 9 cifras significativas. Si se sabe que tiene cinco cifras significativas puede ser más adecuado
escribirlo como 186.00 millones o como 1.8600 × 10 8 .
CÁLCULOS
Al realizar cálculos en los que intervienen multiplicaciones, divisiones o raíces de números, el resultado final no puede
tener más cifras significativas que el número con menos cifras significativas (ver problema 1.9).
EJEMPLO 13 73.24 × 4.53 = (73.24)(4.52) = 331
EJEMPLO 14 1.648/0.023 = 72
EJEMPLO 15 ÷ 38.7 = 6.22
EJEMPLO 16 (8.416)(50) = 420.8 (si 50 es exacto)
Cuando se suman o restan números, el resultado final no puede tener más cifras significativas después del punto
decimal que los números con menos cifras significativas después del punto decimal (ver problema 1.10).
EJEMPLO 17 3.16 + 2.7 = 5.9
4 CAPÍTULO 1 VARIABLES Y GRÁFICAS
EJEMPLO 18 83.42 − 72 = 11
EJEMPLO 19 47.816 − 25 = 22.816 (si 25 es exacto)
La regla anterior para la suma y la resta puede extenderse (ver problema 1.11).
FUNCIONES
Si a cada valor que puede tomar la variable X le corresponde un valor de una variable Y, se dice que Y es función de X
y se escribe Y = F(X ) (se lee “Y es igual a F de X ”) para indicar esta dependencia funcional. En lugar de F también
pueden usarse otras letras (G, φ, etcétera).
La variable X es la variable independiente y la variable Y es la variable dependiente.
Si a cada valor de X le corresponde únicamente un valor de Y, se dice que Y es una función univaluada de X; de lo
contrario, se dice que es una función multivaluada de X.
EJEMPLO 20 La población P de Estados Unidos es función del tiempo t, lo que se escribe P = F(t).
EJEMPLO 21 El estiramiento S de un resorte vertical es función del peso W que hay en el extremo del resorte, es decir,
S = G(W).
La dependencia (o correspondencia) funcional entre variables puede describirse mediante una tabla. Pero también
puede indicarse mediante una ecuación que relaciona las variables, por ejemplo, Y = 2X − 3, a partir de la cual puede
determinarse el valor de Y que corresponde a los diversos valores de X.
Si Y = F(X), F(3) denota “el valor de Y cuando X = 3”, F(10) denota “el valor de Y cuando X = 10”, etc. Así, si
Y = F(X) = X 2 , entonces, F(3) = 3 2 = 9 es el valor de Y cuando X = 3.
El concepto de función puede ampliarse a dos o más variables (ver problema 1.17).
COORDENADAS RECTANGULARES
En la figura 1-1 se muestra un diagrama de dispersión de EXCEL con cuatro puntos. Este diagrama de dispersión está
formado por dos rectas mutuamente perpendiculares llamadas ejes X y Y. El eje X es horizontal y el eje Y es vertical.
Estos dos ejes se cortan en un punto llamado origen. Estas dos rectas dividen al plano XY en cuatro regiones que se
denotan I, II, II y IV, a las que se les conoce como primero, segundo, tercero y cuarto cuadrantes. En la figura 1-1 se
muestran cuatro puntos. El punto (2, 3) está en el primer cuadrante y se grafica avanzando, desde el origen, 2 unidades
a la derecha sobre el eje X y desde ahí, 3 unidades hacia arriba. El punto (−2.3, 4.5) está en el segundo cuadrante y se
grafica avanzando, desde el origen, 2.3 unidades a la izquierda sobre el eje X y desde ahí, 4.5 unidades hacia arriba. El
punto (−4, −3) está en el tercer cuadrante y se grafica avanzando, desde el origen, 4 unidades a la izquierda sobre el
eje X, y desde ahí 3 unidades hacia abajo. El punto (3.5, −4) está en el cuarto cuadrante y se grafica avanzando 3.5
unidades a la derecha sobre el eje X, y desde ahí 4 unidades hacia abajo. El primer número de cada uno de estos pares
es la abscisa del punto y el segundo número es la ordenada del punto. La abscisa y la ordenada, juntas, son las coordenadas
del punto.
Las ideas anteriores pueden ampliarse construyendo un eje Z a través del origen y perpendicular al plano XY. En
este caso las coordenadas de cada punto se denotan (X, Y, Z).
GRÁFICAS
Una gráfica es una representación visual de la relación entre las variables. En estadística, dependiendo de la naturaleza
de los datos y del propósito que se persiga, se emplean distintos tipos de gráficas: gráficas de barras, de pastel,
pictogramas, etc. A las gráficas también se les suele llamar cartas o diagramas. Así, se habla de cartas de barras,
diagramas de pastel, etc. (ver los problemas 1.23, 1.24, 1.25, 1.26 y 1.27).
DESIGUALDADES 5
−2.3, 4.5
5
4
3
2, 3
2
1
0
−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5
−1
−2
−4, −3
−3
−4
3.5, −4
−5
Figura 1-1 EXCEL, gráfica de puntos en los cuatro cuadrantes.
ECUACIONES
Las ecuaciones son expresiones de la forma A = B, donde A es el miembro (o lado) izquierdo de la ecuación y B es el
miembro (o lado) derecho. Si se aplican las mismas operaciones a ambos lados de una ecuación se obtienen ecuaciones
equivalentes. Así, si a ambos miembros de una ecuación se suma o resta un mismo número se obtiene una ecuación
equivalente; también, si ambos lados se multiplican por un mismo número o se dividen entre un mismo número, con
excepción de la división entre cero que no es válida, se obtiene una ecuación equivalente.
EJEMPLO 22 Dada la ecuación 2X + 3 = 9, se resta 3 a ambos miembros: 2X + 3 − 3 = 9 − 3 o 2X = 6. Se dividen ambos
miembros entre 2: 2X/2 = 6/2 o X = 3. Este valor de X es una solución de la ecuación dada, como se puede ver sustituyendo X por
3, con lo que se obtiene 2(3) + 3 = 9, o 9 = 9, que es una identidad. Al proceso de obtener las soluciones de una ecuación se le
conoce como resolver la ecuación.
Las ideas anteriores pueden extenderse a hallar soluciones de dos ecuaciones en dos incógnitas, de tres ecuaciones
en tres incógnitas, etc. A tales ecuaciones se les conoce como ecuaciones simultáneas (ver problema 1.30).
DESIGUALDADES
Los símbolos < y > significan “menor que” y “mayor que”, respectivamente. Los símbolos ≤ y ≥ significan “menor
o igual a” y “mayor o igual a”, respectivamente. Todos estos símbolos se conocen como signos de desigualdad.
EJEMPLO 23 3 < 5 se lee “3 es menor que 5”.
EJEMPLO 24 5 > 3 se lee “5 es mayor que 3”.
EJEMPLO 25 X < 8 se lee “X es menor que 8”.
6 CAPÍTULO 1 VARIABLES Y GRÁFICAS
EJEMPLO 26 X ≥ 10 se lee “X es mayor o igual a 10”.
EJEMPLO 27 4 < Y ≤ 6 se lee “4 es menor que Y y Y es menor o igual a 6” o “Y está entre 4 y 6, excluyendo al 4 e incluyendo
al 6” o “Y es mayor que 4 y menor o igual a 6”.
A las relaciones en las que intervienen signos de desigualdad se les llana desigualdades. Así como se habla de
miembros de una ecuación, también se habla de miembros de una desigualdad. Por lo tanto, en la desigualdad 4 < Y
≤ 6, los miembros son 4, Y y 6.
Una desigualdad válida sigue siendo válida si:
1. A cada miembro de la desigualdad se le suma o se le resta un mismo número.
EJEMPLO 28 Como 15 > 12, 15 + 3 > 12 + 3 (es decir, 18 > 15) y 15 − 3 > 12 − 3 (es decir, 12 > 9).
2. Cada miembro de la desigualdad se multiplica por un mismo número positivo o se divide entre un mismo número
positivo.
EJEMPLO 29 Como 15 > 12, (15)(3) > (12)(3) (es decir, 45 > 36) y 15/3 > 12/3 (es decir, 5 > 4).
3. Cada miembro se multiplica o se divide por un mismo número negativo, lo que indica que los símbolos de la desigualdad
son invertidos.
EJEMPLO 30 Como 15 > 12, (15)(−3) < (12)(−3) (es decir, −45 < −36) y 15/(−3) < 12/(−3) (es decir, −5 < −4).
LOGARITMOS
Si x > 0, b > 0 y b 1, y = log b x si y sólo si log b y = x. Un logaritmo es un exponente. Es la potencia a la que hay
que elevar la base b para obtener el número del que se busca el logaritmo. Las dos bases más utilizadas son el 10 y la
e, que es igual a 2.71828182. . . A los logaritmos base 10 se les llama logaritmos comunes y se escriben log 10 x o simplemente
log(x). A los logaritmos base e se les llama logaritmos naturales y se escriben ln(x).
EJEMPLO 31 Encuentre los siguientes logaritmos y después encuéntrelos usando EXCEL: log 2 8, log 5 25 y log 10 1 000. La
potencia a la que hay que elevar al 2 para obtener 8 es tres, así log 2 8 = 3. La potencia a la que hay que elevar al 5 para obtener 25
es dos, así log 5 25 = 2. La potencia a la que hay que elevar al 10 para obtener 1 000 es tres, así log 10 1 000 = 3. EXCEL tiene tres
funciones para calcular logaritmos. La función LN calcula logaritmos naturales, la función LOG10 calcula logaritmos comunes y
la función LOG(x,b) calcula el logaritmo de x base b. =LOG(8,2) da 3, =LOG(25,5) da 2, =LOG10(1 000) da 3.
EJEMPLO 32 Calcule los logaritmos naturales de los números del 1 al 5 usando EXCEL. Los números 1 a 5 se ingresan en las
celdas B1:F1 y en la celda B2 se ingresa la expresión =LN(B1), se hace clic y se arrastra desde B2 hasta F2. EXCEL proporciona
el siguiente resultado.
X 1 2 3 4 5
LN(x) 0 0.693147 1.098612 1.386294 1.609438
EJEMPLO 33 Muestre que las respuestas del ejemplo 32 son correctas mostrando que e ln(x) da el valor x. Los logaritmos se
ingresan en B1:F1 y la expresión e ln(x) , que está representada por =EXP(B1) se ingresa en B2, se hace clic y se arrastra de B2 a F2.
EXCEL da los resultados siguientes. Los números en D2 y E2 difieren de 3 y 4 debido a error de redondeo.
LN(x) 0 0.693147 1.098612 1.386294 1.609438
xEXP(LN(x)) 1 2 2.999999 3.999999 5
El ejemplo 33 ilustra que si se tiene el logaritmo de un número (log b (x)) se puede volver a obtener el número x usando la relación
b log b(x)
= x.
ECUACIONES LOGARÍTMICAS 7
EJEMPLO 34 El número e puede definirse como un límite. La cantidad (1 + (1/x)) x se va acercando a e a medida que x va
creciendo. Obsérvense las evaluaciones de EXCEL de (1 + (1/x)) x para x = 1, 10, 100, 1 000, 10 000, 100 000 y 1 000 000.
x 1 10 100 1 000 10 000 100 000 1 000 000
(11/x)^x 2 2.593742 2.704814 2.716924 2.718146 2.718268 2.71828
Los números 1, 10, 100, 1 000, 10 000, 100 000 y 1 000 000 se ingresan en B1:H1 y la expresión = (1 + 1/B1)ˆB1
se ingresa en B2, se hace clic y se arrastra de B2 a H2. Esto se expresa matemáticamente mediante la expresión
lím x→∞ (1 + (1/x)) x = e.
EJEMPLO 35 El saldo de una cuenta que gana interés compuesto n veces por año está dado por A(t) = P(1 + (r/n)) nt donde P
es el capital, r es la tasa de interés, t es el tiempo en años y n es el número de periodos compuestos por año. El saldo de una cuenta
que gana interés continuo está dado por A(t) = Pe rt . Para comparar el crecimiento de $1 000 a interés continuo con el de $1 000 a
interés compuesto trimestralmente, después de 1, 2, 3, 4 y 5 años, ambos a una tasa de interés de 5%, se usa EXCEL. Los resultados
son:
Años 1 2 3 4 5
Trimestralmente 1 050.95 1 104.49 1 160.75 1 219.89 1 282.04
Continuamente 1 051.27 1 105.17 1 161.83 1 221.4 1 284.03
Se ingresan los tiempos 1, 2, 3, 4 y 5 en B1:F1; en B2 se ingresa la expresión de EXCEL =1 000*(1.0125)ˆ(4*B1),
se hace clic y se arrastra desde B2 hasta F2. En B3 se ingresa la expresión =1 000*EXP(0.05*B1), se hace clic y se
arrastra desde B3 hasta F3. El interés continuo compuesto da resultados ligeramente mejores.
PROPIEDADES DE LOS LOGARITMOS
Las propiedades más importantes de los logaritmos son las siguientes:
1. log b MN = log b M + log b N
2. log b M/N = log b M − log b N
3. log b M P = p log b M
EJEMPLO 36 Escriba log b (xy 4 /z 3 ) como suma o diferencia de logaritmos de x, y y z.
xy 4
log b
z 3 = log b xy 4 log b z 3 propiedad 2
xy 4
log b
z 3 = log b x + log b y 4 log b z 3 propiedad 1
xy 4
log b
z 3 = log b x + 4 log b y 3log b z propiedad 3
ECUACIONES LOGARÍTMICAS
Para resolver ecuaciones logarítmicas:
1. Todos los logaritmos se aíslan en un lado de la ecuación.
2. Las sumas o diferencias de logaritmos se expresan como un solo logaritmo.
3. La ecuación obtenida en el paso 2 se expresa en forma exponencial.
4. Se resuelve la ecuación obtenida en el paso 3.
5. Se verifican las soluciones.
8 CAPÍTULO 1 VARIABLES Y GRÁFICAS
EJEMPLO 37 Solucione la siguiente ecuación logarítmica: log 4 (x + 5) = 3. Primero, se expresa esta ecuación en forma exponencial
como x + 5 = 4 3 = 64. A continuación se despeja x como sigue, x = 64 − 5 = 59. Por último se verifica la solución. log 4 (59
+ 5) = log 4 (64) = 3 ya que 4 3 = 64.
EJEMPLO 38 Resuelva la ecuación logarítmica siguiente: log(6y − 7) + logy = log(5). La suma de logaritmos se reemplaza
como el logaritmo del producto, log(6y − 7)y = log(5). Se igualan (6y − 7)y y 5. El resultado es 6y 2 − 7y = 5 o 6y 2 − 7y − 5 = 0.
Se factoriza esta ecuación cuadrática como (3y − 5)(2y + 1) = 0. Las soluciones son y = 5/3 y y = −1/2. El −1/2 se descarta
como solución, ya que los logaritmos de números negativos no están definidos. y = 5/3 demuestra ser una solución cuando se
sustituye en la ecuación original. Por lo tanto, la única solución es y = 5/3.
EJEMPLO 39 Resuelva la ecuación logarítmica siguiente:
ln(5x) − ln(4x + 2) = 4
La diferencia de logaritmos se convierte en el logaritmo del cociente, ln(5x/(4x + 2)) = 4. Aplicando la definición
de logaritmo: 5x/(4x + 2) = e 4 = 54.59815. Despejando x de la ecuación 5x = 218.39260x + 109.19630 se obtiene
x = −0.5117. Sin embargo, esta respuesta no satisface la ecuación ln(5x) − ln(4x + 2) = 4, ya que la función log no
está definida para números negativos. La ecuación ln(5x) − ln(4x + 2) = 4 no tiene solución.
PROBLEMAS RESUELTOS 9
PROBLEMAS RESUELTOS
VARIABLES
1.1 En cada uno de los casos siguientes indíquese si se trata de datos continuos o de datos discretos:
a) Cantidad de acciones que se venden diariamente en la bolsa de valores.
b) Temperatura registrada cada media hora en un observatorio.
c) Vida media de los cinescopios producidos por una empresa.
d ) Ingreso anual de los profesores universitarios.
e) Longitud de 100 pernos producidos en una fábrica
SOLUCIÓN
a) Discreta; b) continua; c) continua; d ) discreta; e) continua.
1.2 Dar el dominio de cada una de las variables siguiente e indicar si es una variable continua o discreta.
a) Cantidad G de galones (gal) de agua en una lavadora.
b) Cantidad B de libros en un anaquel.
c) Suma S de la cantidad de puntos que se obtienen al lanzar un par de dados.
d ) Diámetro D de una esfera.
e) País C en Europa.
SOLUCIÓN
a) Dominio: Cualquier valor desde 0 gal hasta la capacidad de la máquina. Variable: continua.
b) Dominio: 0, 1, 2, 3, ... hasta la mayor cantidad de libros que se quepan en el anaquel. Variable: discreta.
c) Dominio: Con un solo dado se pueden obtener 1, 2, 3, 4, 5 o 6 puntos. Por lo tanto, la suma de puntos en un par de
dados puede ser 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 y 12, los cuales constituyen el dominio de S. Variable: discreta.
d ) Dominio: Si se considera un punto como una esfera de diámetro cero, el dominio de D son todos los valores desde
cero en adelante. Variable: continua.
e) Dominio: Inglaterra, Francia, Alemania, etc., que pueden representarse por medio de los números 1, 2, 3, etc. Variable:
discreta.
REDONDEO DE CANTIDADES NUMÉRICAS
1.3 Redondear cada uno de los números siguientes como se indica:
a) 48.6 a la unidad más cercana f ) 143.95 a la décima más cercana
b) 136.5 a la unidad más cercana g) 368 a la centena más cercana
c) 2.484 a la centésima más cercana h) 24 448 al millar más cercano
d ) 0.0435 a la milésima más cercana i) 5.56500 a la centésima más cercana
e) 4.50001 a la unidad más cercana j) 5.56501 a la centésima más cercana
SOLUCIÓN
a) 49; b) 136; c) 2.48; d ) 0.044; e) 5; f ) 144.0; g) 400; h) 24 000; i) 5.56; j ) 5.57
10 CAPÍTULO 1 VARIABLES Y GRÁFICAS
1.4 Sumar los números 4.35, 8.65, 2.95, 12.45, 6.65, 7.55 y 9.75: a) directamente, b) redondeando a la décima más
cercana de acuerdo con la convención del “entero par” y c) redondeando de manera que se incremente el dígito
antes del 5.
SOLUCIÓN
a) 4.35 b)
4.4 c) 4.4
8.65 8.6 8.7
2.95 3.0 3.0
12.45 12.4 12.5
6.65 6.6 6.7
7.55 7.6 7.6
9.75 9.8 9.8
Total 52.35 Total 52.4 Total 52.7
Obsérvese que el procedimiento b) es mejor que el procedimiento c) debido a que en el procedimiento b) se minimiza
la acumulación de errores de redondeo.
NOTACIÓN CIENTÍFICA Y CIFRAS SIGNIFICATIVAS
1.5 Expresar cada uno de los números siguiente sin utilizar potencias de 10.
a) 4.823 × 10 7 c) 3.8 × 10 −7 e) 300 × 10 8
b) 8.4 × 10 −6 d ) 1.86 × 10 5 f ) 70 000 × 10 −10
SOLUCIÓN
a) Se recorre el punto decimal siete lugares a la derecha y se obtiene 48 230 000; b) se recorre el punto decimal seis
lugares a la izquierda y se obtiene 0.0000084; c) 0.000380; d ) 186 000; e) 30 000 000 000; f ) 0.0000070000.
1.6 En cada inciso diga cuántas cifras significativas hay, entendiéndose que los números se han dado exactamente.
a) 149.8 in d ) 0.00280 m g) 9 casas
b) 149.80 in e) 1.00280 m h) 4.0 × 10 3 libras (lb)
c) 0.0028 metros (m) f ) 9 gramos (g) i) 7.58400 × 10 −5 dinas
SOLUCIÓN
a) Cuatro; b) cinco; c) dos; d ) tres; e) seis; f ) una; g) ilimitadas; h) dos; i) seis.
1.7 ¿Cuál es el error máximo en cada una de las mediciones siguientes, entendiéndose que se han registrado exactamente?
a) 73.854 in b) 0.09800 pies cúbicos (ft 3 ) c) 3.867 × 10 8 kilómetros (km)
SOLUCIÓN
a) Esta medida puede variar desde 73.8535 hasta 73.8545 in; por lo tanto, el error máximo es 0.0005 in. Hay cinco cifras
significativas.
b) La cantidad de pies cúbicos puede variar desde 0.097995 hasta 0.098005 pies cúbicos; por lo tanto, el error máximo
es 0.0005 ft 3 . Hay cuatro cifras significativas.
c) El verdadero número de kilómetros es mayor que 3.8665 × 10 8 , pero menor que 3.8675 × 10 8 ; por lo tanto, el error
máximo es 0.0005 × 10 8 , o 50 000 km. Hay cuatro cifras significativas.
PROBLEMAS RESUELTOS 11
1.8 Escribir cada número empleando la notación científica. A menos que se indique otra cosa, supóngase que todas
las cifras son significativas.
a) 24 380 000 (cuatro cifras significativas) c) 7 300 000 000 (cinco cifras significativas)
b) 0.000009851 d ) 0.00018400
SOLUCIÓN
a) 2.438 × 10 7 ; b) 9.851 × 10 −6 ; c) 7.30000 × 10 9 ; d ) 1.8400 × 10 −4
CÁLCULOS
1.9 Mostrar que el producto de los números 5.74 y 3.8, entendiéndose que tienen tres y dos cifras significativas,
respectivamente, no puede ser exacto a más de dos cifras significativas.
SOLUCIÓN
Primer método
5.74 × 3.8 = 21.812, pero en este producto no todas las cifras son significativas. Para determinar cuántas cifras son significativas,
obsérvese que 5.74 representa algún número entre 5.735 y 5.745, y 3.8 representa algún número entre 3.75 y 3.85.
Por lo tanto, el menor valor que puede tener este producto es 5.735 × 3.75 = 21.50625 y el mayor valor que puede tener
es 5.745 × 3.85 = 22.11825.
Dado que este intervalo de valores es 21.50625 a 22.11825, es claro que sólo los dos primeros dígitos del producto
son significativos y el resultado se escribe como 22. Nótese que el número 22 se determina para cualquier número entre
21.5 y 22.5.
Segundo método
Imprimiendo en cursivas las cifras dudosas, este producto se puede calcular como sigue:
5.7 4
3 8
4592
1722
2 1.812
En el resultado no se debe conservar más de una cifra dudosa, por lo que el resultado es 22 a dos cifras significativas.
Obsérvese que no es necesario trabajar con más cifras significativas que las presentes en el factor menos exacto; por lo
tanto, si 5.74 se redondea a 5.7, el producto será 5.7 × 3.8 = 21.66 = 22, a dos cifras significativas, lo cual coincide con
el resultado obtenido antes.
Cuando los cálculos se hacen sin calculadora, se puede ahorrar trabajo si no se conserva más de una o dos cifras más
de las que tiene el factor menos exacto y se redondea el resultado al número adecuado de cifras significativas. Cuando se
usa una computadora, que puede dar muchos dígitos, hay que tener cuidado de no creer que todos los dígitos son significativos.
1.10 Sume los números 4.19355, 15.28, 5.9561, 12.3 y 8.472, entendiéndose que todas las cifras son significativas.
SOLUCIÓN
En el cálculo a), que se presenta en la página siguiente, las cifras dudosas están en cursivas. El resultado final con no más
de una cifra dudosa es 46.2
12 CAPÍTULO 1 VARIABLES Y GRÁFICAS
a) 4.19355 b) 4.19
15.28 15.28
5.9561 5.96
12.3 12.3
8.472 8.47
46.20165 46.20
Se puede ahorrar un poco de trabajo si se hacen los cálculos como en el inciso b), donde únicamente se ha conservado un
lugar decimal más de los que tiene el número menos exacto. El resultado final se redondea a 46.2, que coincide con el
resultado en el inciso a).
1.11 Calcular 475 000 000 + 12 684 000 − 1 372 410 si estos números tienen tres, cinco y siete cifras significativas,
respectivamente.
SOLUCIÓN
En el cálculo a) que se muestra abajo, se conservan todas las cifras y se redondea el resultado final. En el cálculo se usa un
método similar al del problema 1.10 b). En ambos casos las cifras dudosas aparecen en cursivas.
a) 475 000 000
+ 12 684 000
487 684 000
487 684 000
1 372 410
486 311 590
b) 475 000 000
+ 12 700 000
487 700 000
487 700 000
1 400 000
486 300 000
El resultado final se redondea a 486 000 000; o mejor aún, para indicar que hay tres cifras significativas, se escribe
486 millones o 4.86 × 108.
1.12. Realizar las operaciones siguientes
a) 48.0 943 e)
(1.47562 1.47322)(4 895.36)
0.000159180
b) 8.35/98 f ) Si los denominadores 5 y 6 son exactos,
c) (28)(4 193)(182)
d)
(526.7)(0.001280)
0.000034921
g) 3.1416 ÷ 71.35
h) ÷128.5 89.24
(4.38) 2
5
+ (5.482)2
6
SOLUCIÓN
a) 48.0 × 943 = (48.0)(943) = 45 300
b) 8.35/98 = 0.085
c) (28)(4 193)(182) = (2.8 × 10 1 )(4.193 × 10 3 )(1.82 × 10 2 )
= (2.8)(4.193)(1.82) × 10 1+3+2 = 21 × 10 6 = 2.1 = 10 7
Lo que también puede escribirse como 21 millones, para indicar que hay dos cifras significativas.
d )
(526.7)(0.001280)
= (5.267 102 )(1.280 10 3 )
0.000034921
3.4921 10 5 = (5.267)(1.280)
3.4921
10 2 3
= 1.931
10 5 = 1.931 10 1
10 5
= 1.931 10 1+5 = 1.931 10 4
(10 2 )(10 3 )
10 5
Lo que también se puede escribir como 19.31 miles, para indicar que hay cuatro cifras significativas.
PROBLEMAS RESUELTOS 13
e)
(1.47562 1.47322)(4 895.36)
=
0.000159180
(0.00240)(4 895.36)
= (2.40 10 3 )(4.89536 10 3 )
0.000159180
1.59180 10 4
= (2.40)(4.89536)
1.59180
(10 3 )(10 3 )
10 4 = 7.38
10 0
= 7.38 104
10
4
Lo que también se puede escribir como 73.8 miles para indicar que hay tres cifras significativas. Obsérvese que aunque
originalmente en todos los números había seis cifras significativas, al sustraer 1.47322 de 1.47562 algunas de estas
cifras significativas se perdieron.
f ) Si los denominadores 5 y 6 son exactos, (4.38)2
5
g) 3.1416 ÷ 71.35 =(3.1416)(8.447) =26.54
h) ÷
128.5 89.24 = ÷ 39.3 = 6.27
= (5.482)2
6
= 3.84 + 5.009 = 8.85
1.13 Evaluar cada una de las expresiones siguientes, con X = 3, Y = −5, A = 4 y B = −7, donde todos los números
se supone que son exactos:
a) 2X 3Y f)
X 2 Y 2
A 2 B 2 + 1
b) 4Y 8X + 28 g) ÷
2X 2 Y 2 3A 2 + 4B 2 + 3
AX + BY
c)
BX AY
d) X 2 3XY 2Y 2
e) 2(X + 3Y 4(3X 2Y )
h)
6A 2
X
+ 2B2
Y
SOLUCIÓN
a) 2X 3Y = 2 3 3 5) =6 + 15 = 21
b) 4Y 8X + 28 = 4 5 8(3)+28 20 24 + 28 16
c)
AX + BY
BX AY
(4)(3 7 5) 12 + 35
= =
7)(3 4 5) 21 + 20 = 47 1
d ) X 2 3XY 2Y 2 =(3) 2 3(3 5 2 5) 2 = 9 + 45 50 = 4
e) 2(X + 3Y 4(3X 2Y )=2[(3)+3 5 4[3(3 2 5
= 2(3 15 4(9 + 10) = 2 12 4(19 24 76 100
Otro método
47
f )
g)
h)
2(X + 3Y 4(3X 2Y )=2X + 6Y 12X + 8Y 10X + 14Y 10(3)=14 5)
30 70 100
X 2 Y 2
A 2 B 2 + 1 = (3)2 5) 2
(4) 2 7) 2 + 1 = 9 25
16 49 + 1 = 16
32 + 1 2 = 0.5
pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
2X 2 Y 2 3A 2 þ 4B 2 þ 3 ¼ 2ð3Þ 2 ð 5Þ 2 3ð4Þ 2 þ 4ð 7Þ 2 þ 3
p
¼
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi p
18 25 48 þ 196 þ 3 ¼
ffiffiffiffiffiffiffi
144 ¼ 12
rffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
sffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
6A 2
X þ 2B2 6ð4Þ 2
¼ þ 2ð
rffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
7Þ2 96
¼
Y 3 5 3 þ 98 p
¼
ffiffiffiffiffiffiffiffiffi
12:4 ¼ 3:52 aproximadamente
5
FUNCIONES Y GRÁFICAS
1.14 En la tabla 1.1 se presentan las cantidades de bushels (bu) de trigo y de maíz producidas en una granja en los
años 2002, 2003, 2004, 2005 y 2006. De acuerdo con esta tabla, determinar el año o los años en los que: a) se
produjeron menos bushels de trigo, b) se produjo la mayor cantidad de bushels de maíz, c) hubo la mayor dis-
14 CAPÍTULO 1 VARIABLES Y GRÁFICAS
Tabla 1.1 Producción de trigo y maíz desde 2002 hasta 2006
Año Bushels de trigo Bushels de maíz
2002
2003
2004
2005
2006
205
215
190
205
225
80
105
110
115
120
minución en la producción de trigo, d ) se produjo una misma cantidad de trigo, e) la suma de las producción
de trigo y maíz fue máxima.
SOLUCIÓN
a) 2004; b) 2006; c) 2004; d ) 2002 y 2005; e) 2006
1.15 Sean W y C, respectivamente, las cantidades de bushels de trigo y maíz producidas en el año t en la granja del
problema 1.14. Es claro que W y C son funciones de t; esto se indica como W = F(t) y C = G(t).
a) Encontrar W para t = 2004. g) ¿Cuál es el dominio de la variable t?
b) Encontrar C para t = 2002. h) ¿Es W una función univaluada de t?
c) Encontrar t para W = 205. i) ¿Es t función de W?
d ) Encontrar F(2005). j) ¿Es C función de W?
e) Encontrar G(2005). k) ¿Cuál es una variable independiente, t o W?
f ) Encontrar C para W = 190.
SOLUCIÓN
a) 190
b) 80
c) 2002 y 2005
d ) 205
e) 115
f ) 110
g) Todos los años, desde el 2002 hasta el 2006.
h) Sí, ya que a cada uno de los valores que puede tomar t le corresponde uno y sólo un valor de W.
i) Sí, para indicar que t es función de W se puede escribir t = H(W ).
j) Sí.
k) Físicamente, suele considerarse que W está determinada por t y no que t está determinada por W. Por lo tanto, t es la
variable dependiente y W es la variable independiente. Sin embargo, matemáticamente, en algunos casos, cualquiera
de las dos variables puede considerarse como la variable independiente y la otra variable como la variable dependiente.
La variable independiente es a la que se le pueden asignar diversos valores, y la otra variable cuyos valores dependen
de los valores asignados es la variable dependiente.
1.16 Una variable Y está determinada por otra variable X de acuerdo con la ecuación Y = 2X – 3, donde el 2 y el 3
son exactos.
a) Encontrar Y para X = 3, –2 y 1.5.
b) Construir una tabla en la que se den los valores de Y para X = −2, −1, 0, 1, 2, 3 y 4.
c) Si Y = F(X) denota que Y depende de X, determinar F(2.4) y F(0.8).
d ) ¿Cuál es el valor de X que corresponde a Y = 15?
e) ¿Puede expresarse X como función de Y?
PROBLEMAS RESUELTOS 15
f ) ¿Es Y una función univaluada de X?
g) ¿Es X una función univaluada de Y?
SOLUCIÓN
a) Para X = 3, Y = 2X − 3 = 2(3) − 3 = 6 − 3 = 3. Para X = −2, Y = 2X − 3 = 2(−2) − 3 = −4 − 3 = −7.
Para X = 1.5, Y = 2X − 3 = 2(1.5) − 3 = 3 − 3 = 0.
b) En la tabla 1.2 se presentan los valores de Y obtenidos en el inciso a). Obsérvese que se pueden construir muchas tablas
usando otros valores de X. La relación expresada por Y = 2X – 3 es equivalente a la colección de todas esas tablas.
Tabla 1.2
X −2 −1 0 1 2 3 4
Y −7 −5 −3 −1 1 3 5
c) F(2.4) = 2(2.4) − 3 = 4.8 − 3 = 1.8 y F(0.8) = 2(0.8) − 3 = 1.6 − 3 = −1.4.
d ) En Y = 2X – 3 se sustituye Y = 15. Esto da 15 = 2X – 3, 2X = 18 y X = 9.
e) Sí. Ya que Y = 2X – 3, Y + 3 = 2X y X = 1 2 (Y + 3). Así, X queda expresada explícitamente como función de Y.
f ) Sí. Ya que para cada uno de los valores que puede tomar X (que es una cantidad infinita) hay uno y sólo un valor
de Y.
g) Sí. Ya que de acuerdo con el inciso e) X = 1 2 (Y + 3), de manera que para cada uno de los valores que puede tomar Y
hay uno y sólo un valor de X.
1.17 Si Z = 16 + 4X – 3Y, hallar el valor de Z que corresponda a: a) X = 2, Y = 5; b) X = −3, Y = −7; c) X = −4,
Y = 2.
SOLUCIÓN
a) Z = 16 + 4(2 3(5) =16 + 8 15 = 9
b) Z = 16 + 4 3 3 7) =16 12 + 21 = 25
c) Z = 16 + 4 4 3(2) = 16 16 6 6
A valores dados de X y Y, les corresponde un valor de Z. Para denotar que Z depende de X y de Y se escribe Z = F(X,
Y) (que se lee “Z es función de X y Y ”). F(2, 5) denota el valor de Z para X = 2 y Y = 5 que, de acuerdo con el inciso a),
es 9. De igual manera, F(−3, −7) = 25 y F(−4, 2)= −6, de acuerdo con los incisos b) y c), respectivamente.
Las variables X y Y son las variables independientes y la variable Z es la variable dependiente.
1.18 Los gastos fijos de una empresa son de $1 000 por día y los costos de producción de cada artículo son de
$25.
a) Escribir una ecuación que exprese el costo total de producción de x unidades por día.
b) Usando EXCEL, elaborar una tabla en la que se den los costos de producción de 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35,
40, 45 y 50 unidades por día.
c) Evaluar e interpretar f (100).
SOLUCIÓN
a) f (x) = 1 000 + 25x.
b) Los números 5, 10, . . . , 50 se ingresan en B1:K1, la expresión = 1 000 + 25*B1 se ingresa en B2, se da clic y se
arrastra desde B2 hasta K2 para obtener el resultado siguiente:
x 5 10 15 20 25 30 35 40 45
f(x) 1 025 1 050 1 075 1 100 1 125 1 150 1 175 1 200 1 225
c) f (100) = 1 000 + 25(100) = 1 000 + 2 500 = 3 500. Fabricar x = 100 unidades en un día cuesta 3 500.
16 CAPÍTULO 1 VARIABLES Y GRÁFICAS
1.19 El ancho de un rectángulo es x y el largo es x + 10.
a) Escribir una función, A(x), que exprese el área en función de x.
b) Usar EXCEL para elaborar una tabla que dé el valor de A(x) para x = 0, 1, . . . , 5.
c) Escribir una función, P(x), que exprese el perímetro en función de x.
d ) Usar EXCEL para elaborar una tabla que dé el valor de P(x) para x = 0, 1, . . . , 5.
SOLUCIÓN
a) A(x) = x(x + 10) = x 2 + 10x
b) En las celdas B1:G1 se ingresan los números 0, 1, 2, 3, 4 y 5; en la celda B2 se ingresa la expresión =B1^2+10*B1,
se da clic y se arrastra desde B2 hasta G2 con lo que se obtiene:
X 0 1 2 3 4 5
A(x) 0 11 24 39 56 75
c) P(x) = x + (x + 10) + x + (x + 10) = 4x + 20.
d ) En las celdas B1:G1 se ingresan los números 0, 1, 2, 3, 4 y 5; en la celda B2 se ingresa la expresión =4*B1+20, se
da clic y se arrastra desde B2 hasta G2 con lo que se obtiene:
X 0 1 2 3 4 5
P(x) 20 24 28 32 36 40
1.20 En un sistema de coordenadas rectangulares localizar los puntos que tienen como coordenadas: a) (5, 2), b) (2,
5), c) (−5, 1), d ) (1, −3), e) (3, −4), f ) (−2.5, −4.8), g) (0, −2.5) y h) (4, 0). Usar MAPLE para graficar estos
puntos.
SOLUCIÓN
Véase la figura 1-2. A continuación se da el comando de MAPLE para graficar estos ocho puntos. Cada punto está representado
por un círculo.
L : = [[5, 2], [2, 5], [−5, 1], [1, −3], [3, −4], [−2.5, −4.8], [0, −2.5], [4, 0]];
pointplot (L, font = [TIMES, BOLD, 14], symbol = circle);
5.0
2.5
0.0
−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5
−2.5
Figura 1-2 Gráfica MAPLE de puntos.
PROBLEMAS RESUELTOS 17
1.21 Graficar la ecuación Y = 4X – 4 usando MINITAB.
SOLUCIÓN
Obsérvese que la gráfica se extiende indefinidamente tanto en dirección positiva como en dirección negativa del eje X. Aquí
se decidió, arbitrariamente, graficar sólo desde −5 hasta 5. En la figura 1-3 se muestra el diagrama de la recta Y = 4X − 4
obtenida con MINITAB. De la barra de herramientas se selecciona la secuencia “Graph ⇒ Scatterplots” para activar scatter
plots (gráfica de dispersión). Los puntos sobre la recta se obtienen ingresando los enteros desde −5 hasta 5 y usando la
calculadora de MINITAB para calcular los valores correspondientes de Y. Los valores de X y Y son los siguientes:
X 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5
Y 24 20 16 12 8 4 0 4 8 12 16
Los puntos se han unido para dar una idea de cómo se ve la gráfica de la ecuación Y = 4X – 4.
20
Y
10
0
Origen
X
−10
−20
−30
−5.0
−2.5
0.0
2.5
Figura 1-3 Gráfica MINITAB de una función lineal.
5.0
1.22 Grafique la ecuación Y = 2X 2 – 3X – 9 usando EXCEL.
SOLUCIÓN
Tabla 1.3 Valores de una función cuadrática generados con EXCEL
X −5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5
Y 56 35 18 5 −4 −9 −10 −7 0 11 26
Se usó EXCEL para elaborar esta tabla que da los valores de Y para los valores de X igual a –5, −4, . . . , 5. Se ingresa la
expresión =2*B1^2-3*B1-9 en la celda B2, se da clic y se arrastra desde B2 hasta L2. Para obtener la gráfica que se
muestra en la figura 1-4 se usa el asistente para gráficos de EXCEL. Ésta es una función cuadrática. Las raíces (puntos en
los que la gráfica cruza el eje x) de esta función cuadrática están una en X = 3 y la otra entre –2 y –1. Haciendo clic sobre
el asistente para gráficos de EXCEL, se muestran las diversas gráficas que es posible hacer. Obsérvese que a medida que
X toma valores cada vez más grandes, tanto positivos como negativos, la gráfica de esta función cuadrática va hacia el
infinito positivo. Obsérvese también que la gráfica toma su valor más bajo cuando X está entre 0 y 1.
1.23 La tabla 1.4 muestra el aumento de la cantidad de diabéticos desde 1997 hasta 2005. Grafique estos datos.
Tabla 1.4 Cantidad de nuevos diabéticos
Año
Millones
1977
0.88
1998
0.90
1999
1.01
2000
1.10
2001
1.20
2002
1.25
2003
1.28
2004
1.36
2005
1.41
18 CAPÍTULO 1 VARIABLES Y GRÁFICAS
eje y
60
50
40
30
20
10
0
eje x
−6 −5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5 6
−10
−20
Figura 1-4 Diagrama EXCEL de una curva llamada parábola.
SOLUCIÓN
Primer método
La primer gráfica que se muestra en la figura 1-5 es la gráfica de una serie de tiempos. En este diagrama se presentan los
nuevos casos de diabetes desde 1997 hasta 2005. Se muestra que durante este periodo la cantidad de nuevos casos ha ido
aumentando.
Segundo método
A la figura 1-6 se le conoce como gráfica de barras, carta de barras o diagrama de barras. El ancho de las barras, que en
todas es el mismo, no tiene ningún significado en este caso y pueden ser de cualquier tamaño en tanto no se traslapen.
1.4
1.3
Millones
1.2
1.1
1.0
0.9
1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005
Año
Figura 1-5 MINITAB, serie de tiempos de nuevos casos de diabetes por año.
PROBLEMAS RESUELTOS 19
1.4
1.2
1.0
Millones
0.8
0.6
0.4
0.2
0.0
1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005
Año
Figura 1-6 MINITAB, gráfica de barras de los nuevos casos de diabetes por año.
Tercer método
En la figura 1-7 se muestra una gráfica de barras en la que las barras son horizontales en vez de verticales.
1997
1998
1999
2000
Año
2001
2002
2003
2004
2005
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4
Millones
Figura 1-7 MINITAB, gráfica de barras horizontales de nuevos casos de diabetes por año.
1.24 Grafique los datos del problema 1.14 usando una gráfica de MINITAB para serie de tiempos, una gráfica de
barras agrupadas con efecto tridimensional (3-D) de EXCEL y una gráfica de barras apiladas con efecto 3-D
de EXCEL.
SOLUCIÓN
Las soluciones se dan en las figuras 1-8, 1-9 y 1-10.
20 CAPÍTULO 1 VARIABLES Y GRÁFICAS
240
220
Variable
Bushels de trigo
Bushels de maíz
200
180
Datos
160
140
120
100
80
2002
2003
2004
2005
2006
Año
Figura 1-8 MINITAB, serie de tiempos de la producción (2002 a 2006) de trigo y maíz.
250
200
150
Bushels
100
Bushels de trigo
Bushels de maíz
50
0
2002 2003 2004 2005 2006
Año
Figura 1-9 EXCEL, barras agrupadas con efecto 3-D.
1.25 a) Expresar las cantidades anuales de bushels de trigo y de maíz, presentadas en la tabla 1.1 del problema 1.4,
como porcentajes de la producción anual total.
b) Graficar los porcentajes obtenidos en el inciso a).
SOLUCIÓN
a) El porcentaje de trigo correspondiente al 2002 es = 205/(205 + 80) = 71.9% y porcentaje de maíz = 100% − 71.9%
= 28.1%, etc. Estos porcentajes se muestran en la tabla 1.5.
b) Las columnas apiladas 100% comparan los porcentajes con la contribución de cada valor al total de cada categoría
(figura 1-11).
PROBLEMAS RESUELTOS 21
350
300
250
Bushels
200
150
Bushels de maíz
Bushels de trigo
100
50
0
2002 2003 2004 2005 2006
Año
Figura 1-10 EXCEL, barras apiladas con efecto 3-D.
Tabla 1.5 Producción de trigo y maíz desde 2002 hasta 2006
Año Trigo (%) Maíz (%)
2002 71.9 28.1
2003 67.2 32.8
2004 63.3 36.7
2005 64.1 35.9
2006 65.2 34.8
100
90
80
70
Porcentaje
60
50
40
Maíz (%)
Trigo (%)
30
20
10
0
2002 2003 2004 2005 2006
Año
Figura 1-11 EXCEL, columnas 100% apiladas.
22 CAPÍTULO 1 VARIABLES Y GRÁFICAS
1.26 En un número reciente de USA Today, una nota titulada “Peligro en línea”, informa de un estudio realizado en
1 500 niños entre 10 y 17 años de edad. Presentar la información de la tabla 1.6 en una gráfica de barras agrupadas
y en una gráfica de barras apiladas.
Tabla 1.6
Prostitución Contacto con la pornografía Acoso
2000
19%
25%
6%
2005
13%
34%
9%
SOLUCIÓN
En la figura 1-12 se muestra la gráfica de barras con columnas agrupadas y en la figura 1-13 la gráfica de barras con columnas
apiladas obtenida con esta información.
40
35
30
25
Porcentaje
20
15
2000
2005
10
5
0
Prostitución
Contacto con
la pornografía
Acoso
Figura 1-12 EXCEL, gráfica de barras con columnas agrupadas.
70
60
50
Porcentaje
40
30
2005
2000
20
10
0
Prostitución
Contacto con
la pornografía
Acoso
Figura 1-13 EXCEL, gráfica de barras con columnas apiladas.
PROBLEMAS RESUELTOS 23
1.27 En una nota reciente de USA Today titulada “¿Dónde están los estudiantes universitarios?”, se informó que en
Estados Unidos hay más de 17.5 millones de universitarios que estudian en más de 6 400 escuelas. En la tabla
1.7 se da la matrícula de acuerdo al tipo de escuela.
Tabla 1.7 ¿Dónde están los estudiantes universitarios?
Tipo de escuela
Pública de 2 años
Pública de 4 años
Privada no lucrativa de 4 años
Privada de 2 y 4 años
Privada de menos de 4 años
Otras
Porcentaje
43
32
15
6
3
1
Con la información de la tabla 1.7 construya una gráfica de barras 3-D usando EXCEL y una gráfica de barras usando
MINITAB.
SOLUCIÓN
Las figuras 1-14 y 1-15 dan las gráficas pedidas.
Porcentaje
45
40
35
30
25
20
15
10
5
0
Pública de
2 años
Pública de
4 años
Privada
no lucrativa
de 4 años
Privada
de 2
y 4 años
Privada
de menos
de 4 años
Otras
Figura 1-14 EXCEL, gráfica de barras 3-D con los datos de la tabla 1.7.
40
Porcentaje
30
20
10
0
Pública de 2 años
Pública de 4 años
Privada no lucrativa
de 4 años
Privada de 2 y 4 años
Privada de menos
de 4 años
Otras
Tipo de escuela
Figura 1-15 MINITAB, gráfica de barras con los datos de la tabla 1.7.
24 CAPÍTULO 1 VARIABLES Y GRÁFICAS
1.28 Los estadounidenses tienen en promedio 2.8 televisores por hogar. Con los datos de la tabla 1.8 elabore una
gráfica de pastel usando EXCEL.
Tabla 1.8 Televisores por hogar
Televisores
Ninguno
Uno
Dos
Tres
Cuatro
Más de cinco
Porcentaje
2
15
29
26
16
12
SOLUCIÓN
En la figura 1-16 se presenta la gráfica de pastel obtenida con EXCEL para los datos de la tabla 1.8.
Cuatro
16%
Más de cinco
12%
Ninguna
2%
Una
15%
Tres
26%
Dos
29%
Figura 1-16 EXCEL, gráfica de pastel con la información de la tabla 1.8.
ECUACIONES
1.29 Resuelva las siguientes ecuaciones:
a) 4a 20 = 8 c) 18 5b = 3(b + 8)+10
Y + 2
b) 3X + 4 = 24 2X d) + 1 = Y 3 2
SOLUCIÓN
a) Sumar 20 a ambos miembros: 4a − 20 + 20 = 8 + 20 o bien 4a = 28.
Dividir ambos lados entre 4: 4a/4 = 28/4 y a = 7.
Verificación: 4(7) − 20 = 8, 28 − 20 = 8 y 8 = 8.
b) Restar 4 de ambos miembros: 3X + 4 − 4 = 24 − 2X − 4 o bien 3X = 20 − 2X.
Sumar 2X a ambos lados: 3X + 2X = 20 − 2X + 2X o bien 5X = 20.
Dividir ambos lados entre 5: 5X/5 = 20/5 y X = 4.
Verificación: 3(4) + 4 = 24 − 2(4), 12 + 4 = 24 − 8 y 16 = 16.
Este resultado se puede obtener mucho más rápidamente si se observa que todos los términos se pueden pasar
o trasponer de un miembro a otro de la ecuación cambiándoles simplemente el signo. Así, se puede escribir
3X + 4 = 24 − 2X 3X + 2X = 24 − 4 5X = 20 X = 4
PROBLEMAS RESUELTOS 25
c) 18 − 5b = 3b + 24 + 10 y 18 − 5b = 34.
Transponiendo, −5b − 3b = 34 − 18 o bien −8b = 16.
Dividiendo entre −8, −8b/(−8) = 16/(−8) y b = − 2.
Verificación: 18 − 5(−2) = 3(−2 + 8) + 10, 18 + 10 = 3(6) + 10 y 28 = 28.
d ) Primero se multiplican ambos miembros por 6, que es el mínimo común denominador.
6 Y + 2 + 1 = 6 Y 3
2
6 Y + 2
3
+ 6(1) = 6Y 2
2(Y + 2)+6 = 3Y
2Y + 4 + 6 = 3Y 2Y + 10 = 3Y 10 = 3Y 2Y Y = 10
Verificación: 10 + 2 + 1 = 10 3 2 , 12 3 + 1 = 10 ,4+ 1 = 5y5= 5.
2
1.30 Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones simultáneas:
a) 3a 2b = 11 b) 5X + 14Y = 78 c) 3a + 2b + 5c = 15
5a + 7b = 39 7X + 3Y 7 7a 3b + 2c = 52
5a + b 4c = 2
SOLUCIÓN
a) Multiplicando la primera ecuación por 7: 21a 14b = 77
(1)
Multiplicando la segunda ecuación por 2: 10a + 14b = 78
(2)
Sumando:
Dividiendo entre 31:
31a = 155
a = 5
Obsérvese que multiplicando cada una de las ecuaciones dadas por un número adecuado, se obtienen las ecuaciones
equivalentes (1) y (2), en las que los coeficientes de la variable b son numéricamente iguales. Después, sumando
las dos ecuaciones se elimina la incógnita b y se encuentra a.
Sustituyendo a = 5 en la primera ecuación: 3(5) − 2b = 11, −2b = −4 y b = 2. Por lo tanto, a = 5 y b = 2.
Verificación: 3(5) − 2(2) = 11, 15 − 4 = 11 y 11 = 11; 5(5) + 7(2) = 39, 25 + 14 = 39 y 39 = 39.
b) Multiplicando la primera ecuación por 3: 15X + 42Y = 234
(3)
Multiplicando la segunda ecuación por −14: 98X 42Y = 98
(4)
Sumando:
83X = 332
Dividiendo entre −83:
X 4
Sustituyendo X = −4 en la primera ecuación: 5(−4) + 14Y = 78, 14Y = 98, y Y = 7.
Por lo tanto, X = −4 y Y = 7.
Verificación: 5(−4) + 14(7) = 78, −20 + 98 = 78 y 78 = 78; 7(−4) + 3(7) = −7, −28 + 21 = −7 y −7 = −7.
c) Multiplicando la primera ecuación por 2:
6a + 4b + 10c = 30
Multiplicando la segunda ecuación por −5: 35a + 15b 10c 260
Sumando: 29a + 19b 230
(5)
Multiplicando la segunda ecuación por 2: 14a 6b + 4c = 104
Repitiendo la tercera ecuación:
Sumando:
5a +
19a
b
5b
4c =
=
2
106
(6)
De esta manera se ha eliminado c y quedan dos ecuaciones (5) y (6), que deben resolverse simultáneamente para
encontrar a y b.
Multiplicando la ecuación (5) por 5:
Multiplicando la ecuación (6) por 19:
Sumando:
Dividiendo entre 216:
145a + 95b 1150
361a 95b = 2014
216 a = 864
a = 4
Sustituyendo a = 4 en la ecuación (5) o bien (6), se encuentra que b = −6.
Sustituyendo a = 4 y b = −6 en cualquiera de las ecuaciones dadas, se obtiene c = 3.
26 CAPÍTULO 1 VARIABLES Y GRÁFICAS
Por lo tanto, a = 4, b = −6 y c = 3.
Verificación: 3(4) + 2(−6) + 5(3) = 15 y 15 = 15; 7(4) − 3(−6) + 2(3) = 52 y 52 = 52; 5(4) + (−6) − 4(3) = 2 y
2 = 2.
DESIGUALDADES
1.31 Expresar con palabras el significado de:
a) N > 30 b) X ≤ 12 c) 0 < p ≤ 1 d ) µ − 2t < X < µ + 2t
SOLUCIÓN
a) N es mayor que 30.
b) X es menor o igual a 12.
c) p es mayor que cero y menor o igual a 1.
d ) X es mayor que µ − 2t pero menor que µ + 2t.
1.32 Traducir a símbolos lo siguiente:
a) La variable X toma valores entre 2 y 5 inclusive.
b) La media aritmética X es mayor que 28.42 y menor que 31.56.
c) m es un número positivo menor o igual a 10.
d ) P es un número no negativo.
SOLUCIÓN
a) 2 X 5; b) 28.42< X < 31.56; c) 0< m 10; d ) P 0.
1.33 Empleando los signos de desigualdad, ordenar los números 3.42, –0.6, –2.1, 1.45 y –3 en a) en orden creciente
de magnitud y en b) en orden decreciente de magnitud.
SOLUCIÓN
a) 3 < 2.1 < 0.6 < 1.45 < 3.42
b) 3.42 > 1.45 > 0.6 > 2.1 > 3
Obsérvese que cuando estos puntos se grafican como puntos en la línea (ver problema 1.18), aumentan de izquierda a
derecha.
1.34 Resolver cada una de las desigualdades siguientes (es decir, despejar X):
a) 2X < 6 c) 6 4X < 2 e) 1
b) 3X 8 4 d) 3 < X 5 < 3
2
3 2X
5
7
SOLUCIÓN
a) Dividiendo ambos lados entre 2 se obtiene X < 3.
b) Sumando 8 a ambos lados, 3X ≥ 12; dividiendo ambos lados entre 3, X ≥ 4.
c) Sumando −6 a ambos lados, −4X < −8; dividiendo ambos lados entre −4, X > 2. Obsérvese que como ocurre en las
ecuaciones, también en una desigualdad se puede transponer un término de un lado a otro de la desigualdad cambiando
simplemente el signo del término; por ejemplo, en el inciso b), 3X ≥ 8 + 4.
d ) Multiplicando por 2, −6 < X − 5 < 6; sumando 5, −1 < X < 11.
e) Multiplicando por 5, − 5 ≤ 3 – 2X ≤ 35; sumando −3, −8 ≤ −2X ≤ 32; dividiendo entre −2, 4 ≥ X ≥ −16, o bien
−16 ≤ X ≤ 4.
PROBLEMAS RESUELTOS 27
LOGARITMOS Y PROPIEDADES DE LOS LOGARITMOS
1.35 Utilizar la definición y = log b x para hallar los logaritmos siguientes y después usar EXCEL para verificar la
respuesta. (Obsérvese que y = log b x significa que b y = x.
a) Encontrar el log de base 2 de 32.
b) Encontrar el log de base 4 de 64.
c) Encontrar el log de base 6 de 216.
d ) Encontrar el log de base 8 de 4 096.
e) Encontrar el log de base 10 de 10 000.
SOLUCIÓN
a) 5; b) 3; c) 3; d ) 4; e) 4.
La expresión de EXCEL =LOG(32,2) da 5, =LOG(64,4) da 3, =LOG(216,6) da 3, =LOG(4 096,8) da 4 y =LOG(10 000,
10) da 4.
1.36 Empleando las propiedades de los logaritmos, volver a escribir los logaritmos siguientes como sumas y diferencias
de logaritmos.
a) ln x 2 y 3 z
ab
b) log a2 b 3 c
yz
Empleando las propiedades de los logaritmos, reescribir los logaritmos siguientes como un solo logaritmo.
c) ln(5) + ln(10) − 2 ln(5) d ) 2 log(5) − 3 log(5) + 5 log(5)
SOLUCIÓN
a) 2ln(x)+3ln(y)+ln(z ln(a ln(b)
b) 2log(a)+3log(b)+log(c log(y log(z)
c) ln(2)
d) log(625)
1.37 Usando SAS y SPSS, graficar y = ln(x).
SOLUCIÓN
Las soluciones se muestran en las figuras 1-17 y 1-18.
3.00
2.00
1.00
I n x
0.00
−1.00
−2.00
−3.00
0.00 2.00 4.00 6.00 8.00 10.00 12.00 14.00
x
Figura 1-17 Gráfica SPSS de y = ln(x).
28 CAPÍTULO 1 VARIABLES Y GRÁFICAS
3
2
1
I n ( x)
0
−1
−2
−3
0
2 4 6 8 10 12 14
x
Figura 1-18 Gráfica SAS de y = ln(x).
Las figuras 1-17 y 1-18 muestran una gráfica de la curva y = ln(x). A medida que x se aproxima a 0, los valores
de ln(x) se aproximan cada vez más a −∞. A medida que x crece, los valores de ln(x) se aproximan
a +∞.
ECUACIONES LOGARÍTMICAS
1.38 Resolver la ecuación logarítmica ln(x) = 10.
SOLUCIÓN
Empleando la definición de logaritmo, x = e 10 = 22026.47. Como verificación se saca el logaritmo natural de 22026.47 y
se obtiene 10.00000019.
1.39 Resolver la ecuación logarítmica log(x + 2) + log(x − 2) = log(5).
SOLUCIÓN
El lado izquierdo se puede escribir como log[(x + 2)(x − 2)]. Se obtiene la ecuación log(x + 2)(x − 2) = log(5), de la cual
(x + 2)(x − 2) = (5). A partir de la cual sigue la ecuación x 2 − 4 = 5 o bien x 2 = 9 o bien x = −3 o bien 3. Cuando estos
valores se verifican en la ecuación original, x = −3 debe descartarse como solución porque el logaritmo de números negativos
no está definido. Si en la ecuación original se sustituye x = 3, se tiene log(5) + log(1) = log(5), ya que log(1) = 0.
1.40 Resuelva la ecuación logarítmica log(a + 4) − log(a − 2) = 1.
SOLUCIÓN
Esta ecuación se puede escribir como log((a + 4)/(a − 2)) = 1. Aplicando la definición de logaritmo, se tiene
(a + 4)/(a − 2) = 10 1 o bien a + 4 = 10a − 20. Despejando a, a = 24/9 = 2.6 (siendo el 6 periódico). Sustituyendo en
la ecuación original a por 2.6667, se tiene 0.8239 − (−0.1761) = 1. La única solución es 2.6667.
PROBLEMAS RESUELTOS 29
1.41 Resolver la ecuación logarítmica ln(x) 2 − 1 = 0.
SOLUCIÓN
Esta ecuación se puede factorizar como [ln(x) + 1][ln(x) − 1] = 0. Haciendo el factor ln(x) + 1 = 0, se obtiene ln(x) = −1
o bien x = e −1 = 0.3678. Haciendo el segundo factor ln(x) − 1 = 0, se tiene ln(x) = 1 o bien x = e 1 = 2.7183. Ambos
valores son solución de la ecuación.
1.42 En la ecuación logarítmica siguiente, despejar x: 2log(x + 1) − 3log(x + 1) = 2.
SOLUCIÓN
Esta ecuación se puede escribir como log[(x + 1) 2 /(x + 1) 3 ] = 2 o bien log[1/(x + 1)] = 2 o bien log(1) − log(x + 1)] = 2
o bien 0 − log(x + 1) = 2 o bien log(x + 1) = −2 o bien x + 1 = 10 −2 o bien x = −0.99. Sustituyendo en la ecuación
original, se encuentra 2 log(0.01) − 3 log(0.01) = 2. Por lo tanto, la solución satisface la ecuación.
1.43 Para resolver ecuaciones logarítmicas que no son fáciles de resolver a mano, se puede usar el paquete de software
MAPLE. Resolver la ecuación siguiente usando MAPLE.
log(x + 2) − ln(x 2 ) = 4
SOLUCIÓN
El comando de MAPLE para resolver la ecuación es “solve(log10(x + 2) − ln(xˆ2) = 4);” la solución dada es −0.154594.
Obsérvese que MAPLE usa log10 para el logaritmo común.
Para comprobar que la solución es correcta, sustituyendo en la ecuación original se tiene log(1.845406) − ln(0.023899)
que es igual a 4.00001059.
1.44 EXCEL también se puede usar para resolver ecuaciones logarítmicas. Resolver la siguiente ecuación logarítmica
usando EXCEL: log(x + 4) + ln(x + 5) = 1.
SOLUCIÓN
En la figura 1-19 se da la hoja de cálculo de EXCEL.
−3
−2
−1
0
1
2
3
4
5
−0.30685
0.399642
0.863416
1.211498
1.490729
1.724061
1.92454
2.100315
2.256828
LOG10(A1+4)+LN(A1+5) −1
−3
−2.9
−2.8
−2.7
−2.6
−2.5
−2.4
−2.3
−2.2
−2.1
−2
−0.30685
−0.21667
−0.13236
−0.05315
0.021597
0.092382
0.159631
0.223701
0.284892
0.343464
0.399642
LOG10(A11+4)+LN(A11+5) −1
Figura 1-19 EXCEL, hoja de trabajo para el problema 1.44
30 CAPÍTULO 1 VARIABLES Y GRÁFICAS
Se puede usar la técnica iterativa que se muestra antes. La mitad superior encuentra que la raíz de log(x + 4) + ln(x + 5)
− 1 está entre −3 y −2. La mitad inferior encuentra que la raíz está entre −2.7 y –2.6. Para dar la raíz con la exactitud que
se desee, sólo hace falta continuar con este proceso. Al usar esta técnica se emplea la de clic y arrastre.
1.45 Encuentre la solución al problema 1.44 usando MAPLE.
SOLUCIÓN
El comando de MAPLE “> solve(log 10(x 4) ln(x 5) 1);” da como solución −2.62947285. Compare este resultado
con el obtenido en el problema 1.44.
VARIABLES
PROBLEMAS SUPLEMENTARIOS
1.46 Cuáles de los datos siguientes son datos discretos y cuáles son datos continuos.
a) Precipitación pluvial, en pulgadas, en una ciudad, en diversos meses del año.
b) Velocidad de un automóvil, en millas por hora.
c) Cantidad de billetes de $20 que circulan en Estados Unidos en determinado momento.
d ) Valor total diario de las acciones vendidas en la bolsa.
e) Cantidad de estudiantes inscritos anualmente en una universidad.
1.47 Dar el dominio de cada una de las variables siguientes e indicar si es una variable discreta o continua.
a) Cantidad anual W de bushels de trigo por acre que se producen en una granja.
b) Cantidad N de individuos en una familia.
c) Estado civil de un individuo.
d ) Tiempo T de vuelo de un misil.
e) Número P de pétalos que tiene una flor.
REDONDEO DE CANTIDADES NUMÉRICAS, NOTACIÓN CIENTÍFICA Y CIFRAS SIGNIFICATIVAS
1.48 Redondear cada uno de los números siguientes como se indica.
a) 3 256 a la centena más cercana
b) 5.781 a la décima más cercana
c) 0.0045 a la milésima más cercana
d ) 46.7385 a la centésima más cercana
e) 125.9995 a dos lugares decimales
f ) 3 502 378 al millón más cercano
g) 148.475 a la unidad más cercana
h) 0.000098501 a la millonésima más cercana
i) 2 184.73 a la decena más cercana
j) 43.87500 a la centésima más cercana
1.49 Expresar cada número sin usar potencias de 10.
a) 132.5 × 10 4 d ) 7 300 × 10 6
b) 418.72 × 10 −5 e) 3.487 × 10 −4
c) 280 × 10 −7 f ) 0.0001850 × 10 5
PROBLEMAS SUPLEMENTARIOS 31
1.50 ¿Cuántas cifras significativas hay en cada una de las cantidades siguientes entendiendo que se han registrado exactamente?
a) 2.54 cm g) 378 oz
b) 0.004500 yd h) 4.50 × 10 −3 km
c) 3 510 000 bu i) 500.8 × 10 5 kg
d ) 3.51 millones de bu j) 100.00 mi
e) 10.000100 ft
f ) 378 personas
1.51 ¿Cuál es el error máximo en cada una de las mediciones siguientes, entendiéndose que han sido registradas exactamente?
En cada caso dar el número de cifras significativas.
a) 7.20 millones bu c) 5 280 ft e) 186 000 mi/s
b) 0.00004835 cm d ) 3.5 × 10 8 m f ) 186 mil mi/s
1.52 Escribir cada uno de los números siguientes en notación científica. Supóngase que todas las cifras son significativas a menos
que se indique otra cosa.
a) 0.000317 d ) 0.000009810
b) 428 000 000 (cuatro cifras significativas) e) 732 mil
c) 21 600.00 f ) 18.0 diezmilésimas
CÁLCULOS
1.53 Mostrar que: a) el producto y b) el cociente de los números 72.48 y 5.16, considerando que tienen cuatro y tres cifras significativas,
respectivamente, no puede ser exacto a más de tres cifras significativas. Escribir el producto y el cociente
exactos.
1.54 Realizar cada una de las operaciones indicadas. A menos que se indique otra cosa, supóngase que los números se han registrado
exactamente.
a) 0.36 781.4 g) 14.8641 + 4.48 8.168 + 0.36125
b)
873.00
4.881
c) 5.78 2 700 16.00
d )
0.00480 2 300
0.2084
e) 120
0.5386 0.4614 (120 exactos) j) 4.120
f )
÷
(416 000)(0.000187)
÷ 73.84
h) 4 173 000 170 264 + 1 820 470 78 320
(estos números son exactos a cuatro, seis, seis y cinco
cifras significativas, respectivamente)
i)
7(4.386) 2 3(6.47) 2
6
3.1416[(9.483) 2 5.075) 2
0.0001980
(el 3, el 6 y el 7 son exactos)
1.55 Evaluar cada una de las expresiones siguientes, si U 2, V = 1 2 , W = 3, X 4, Y = 9yZ = 1 6
, donde se entiende
que todos los números son exactos.
a) 4U + 6V 2W
d ) 3(U X ) 2 + Y
b)
c)
XYZ
UVW
2X 3Y
UW + XV
e) ÷ U
2 2UV + W
f ) 3X (4Y + 3Z 2Y (6X 5Z 25
32 CAPÍTULO 1 VARIABLES Y GRÁFICAS
g)
h)
(W 2) 2 (Y 5)2
+ i) X 3 + 5X 2 6X 8
V Z
X 3
U V
j)
U 2 + V [U 2 V (W + X
(Y 4) 2 +(U + 5) 2 ÷
2
FUNCIONES, TABLAS Y GRÁFICAS
1.56 Una variable Y está determinada por una variable X de acuerdo con la ecuación Y = 10 – 4X.
a) Encontrar el valor de Y para X = −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4 y 5 y presentar los resultados en una tabla.
b) Encontrar el valor de Y para X = −2.4, −1.6, −0.8, 1.8, 2.7, 3.5 y 4.6.
p ffiffi
c) Si Y = F(X) denota que Y depende de X, hallar F(2.8), F(−5), F( 2 ) y F(−π).
d ) Dar el valor de X que corresponde a Y = −2, 6, −10, 1.6, 16, 0 y 10.
e) Expresar X explícitamente como función de Y.
1.57 Si Z = X 2 – Y 2 , encontrar el valor de Z para: a) X = −2, Y = 3 y b) X = 1, Y = 5. c) Si se usa la notación funcional
Z = F(X, Y), encontrar F(−3, −1).
1.58 Si W = 3XZ – 4Y 2 + 2XY, encontrar el valor de W para: a) X = 1, Y = −2, Z = 4 y b) X = −5, Y = −2, Z = 0. c) Si se usa
la notación funcional W = F(X, Y, Z), encontrar F(3, 1, −2).
1.59 En un sistema de coordenadas rectangulares, localizar los puntos cuyas coordenadas son: a) (3, 2), b) (2, 3), c) (−4, 4),
d ) (4, −4), e) (−3, −2), f ) (−2, −3), g) (−4.5, 3), h) (−1.2, −2.4), i) (0, −3) y j) (1.8, 0).
1.60 Grafique las ecuaciones: a) Y = 10 − 4X (ver problema 1.56), b) Y = 2X + 5, c) Y ¼ 1 3
(X 6), d ) 2X + 3Y = 12 y
e) 3X − 2Y = 6.
1.61 Graficar las ecuaciones: a) Y = 2X 2 + X − 10 y b) Y = 6 − 3X – X 2 .
1.62 Graficar Y = X 3 − 4X 2 + 12X − 6.
1.63 En la tabla 1.9 se presenta la cantidad de gimnasios y la cantidad de sus miembros en millones para los años desde 2000
hasta 2005. Emplear un paquete de software para trazar una gráfica de serie de tiempos para los gimnasios y otra para sus
miembros.
Tabla 1.9
Año 2000 2001 2002 2003 2004 2005
Gimnasios
Miembros
13 000
32.5
13 225
35.0
15 000
36.5
20 000
39.0
25 500
41.0
28 500
41.3
1.64 Emplear un paquete de software para trazar, con los datos de la tabla 1.9, una gráfica de barras de los gimnasios y de los
miembros.
1.65 Emplear EXCEL para trazar, con los datos de la tabla 1.9, un diagrama de dispersión de los gimnasios y de los miembros.
1.66 En la tabla 1.10 se da la mortalidad infantil por 1 000 nacidos vivos, para blancos y para no blancos, desde el año 2000
hasta el 2005. Usar una gráfica adecuada para representar estos datos.
PROBLEMAS SUPLEMENTARIOS 33
Tabla 1.10
Año 2000 2001 2002 2003 2004 2005
Blancos
No blancos
6.6
7.6
6.3
7.5
6.1
7.3
6.0
7.2
5.9
7.1
5.7
6.8
1.67 En la tabla 1.11 se dan las velocidades orbitales de los planetas de nuestro sistema solar. Graficar estos datos.
Tabla 1.11
Planeta Mercurio Venus Tierra Marte Júpiter Saturno Urano Neptuno Plutón
Velocidad
(mi/s)
29.7 21.8 18.5 15.0 8.1 6.0 4.2 3.4 3.0
1.68 En la tabla 1.12 se da la matrícula (en miles) de las escuelas públicas en los niveles kínder a grado 8, grado 9 a grado 12, y
universidad, de 2000 a 2006. Graficar estos datos usando gráficas de línea, de barras y de columna apilada.
1.69 Graficar los datos de la tabla 1.12 en una gráfica de columnas 100% apiladas.
Tabla 1.12
Año 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006
Kinder a grado 8
Grados 9 a 12
Universidad
33 852
13 804
12 091
34 029
13 862
12 225
34 098
14 004
12 319
34 065
14 169
12 420
33 882
14 483
12 531
33 680
14 818
12 646
33 507
15 021
12 768
Fuente: U.S. National Center for Educational Statistics and Projections of Education Statistic, annual.
1.70 En la tabla 1.13 se muestra el estado civil de varones y mujeres (18 años o mayores) en Estados Unidos en 1995. Graficar
estos datos en: a) gráficas de pastel de un mismo diámetro y b) una gráfica a elegir.
Tabla 1.13
Estado civil
Solteros
Casados
Viudos
Divorciados
Varones
(porcentaje del total)
26.8
62.7
2.5
8.0
Mujeres
(porcentaje del total)
19.4
59.2
11.1
10.3
Fuente: U.S. Bureau of Census–Current Population Reports.
1.71 En la tabla 1.14 se da la cantidad de reclusos menores de 18 años en las prisiones estatales de Estados Unidos, de 2001 a
2005. Graficar estos datos en el tipo adecuado de gráficas.
Tabla 1.14
Año 2001 2002 2003 2004 2005
Cantidad 3 147 3 038 2 741 2 485 2 266
34 CAPÍTULO 1 VARIABLES Y GRÁFICAS
1.72 En la tabla 1.15 se da la cantidad (en millones) de visitas al Insituto Smithsoniano, del 2001 al 2005. Con estos datos,
construir una gráfica de barras.
Tabla 1.15
Año 2001 2002 2003 2004 2005
Cantidad 32 26 24 20 24
1.73 En la tabla 1.16 se presentan las poblaciones de los siete países más poblados del mundo en 1997. Con estos datos, elaborar
una gráfica de pastel.
Tabla 1.16
País China India
Estados
Unidos Indonesia Brasil Rusia Pakistán
Población
(millones)
1 222 968 268 210 165 148 132
Fuente: U.S. Bureau of the Census, International database.
1.74 Un diagrama de Pareto es una gráfica de barras ordenadas de mayor a menor, de izquierda a derecha. Con los datos de la
tabla 1.16, construir un diagrama de Pareto.
1.75 En la tabla 1.17 se dan las áreas, en millones de millas cuadradas, de los océanos del mundo. Graficar estos datos en una
gráfica: a) de barras, b) de pastel.
Tabla 1.17
Océano Pacífico Atlántico Índico Antártico Ártico
Área (millones de
millas cuadradas)
63.8 31.5 28.4 7.6 4.8
Fuente: Naciones Unidas.
ECUACIONES
1.76 Resolver las ecuaciones siguientes:
a) 16 5c = 36 c) 4(X 3 11 = 15 2(X + 4) e) 3[2(X + 1 4 10 5(4 2X )
2
b) 2Y 6 = 4 3Y d) 3(2U + 1) =5(3 U)+3(U 2) f )
5 (12 + Y )=6 1
4 (9 Y )
1.77 Resolver las siguientes ecuaciones simultáneas:
a) 2a + b = 10 e) 2a + b c = 2
7a 3b = 9 3a 4b + 2c = 4
4a + 3b 5c 8
b) 3a + 5b = 24
2a + 3b = 14 f ) 5X + 2Y + 3Z 5
c) 8X 3Y = 2
3X + 7Y 9
2X 3Y 6Z = 1
X + 5Y 4Z = 22
d ) 5A 9B 10 g) 3U 5V + 6W = 7
3A 4B = 16 5U + 3V 2W 1
4U 8V + 10W = 11
PROBLEMAS SUPLEMENTARIOS 35
1.78 a) Graficar las ecuaciones 5X + 2Y = 4 y 7X − 3Y = 23 en el mismo conjunto de ejes coordenados.
b) A partir de la gráfica, determinar la solución de estas dos ecuaciones simultáneas.
c) Usar los procedimientos de los incisos a) y b) para obtener las soluciones de las ecuaciones simultáneas a) a d ) del
problema 1.77.
1.79 a) Usar la gráfica del problema 1.61a) para resolver la ecuación 2X 2 + X − 10 = 0. (Sugerencia: Encontrar los valores
de X en los que la parábola cruza el eje X: es decir, en los que Y vale 0.)
b) Emplear el método del inciso a) para resolver 3X 2 − 4X − 5 = 0.
1.80 Las soluciones de una ecuación cuadrática aX 2 + bX + c = 0 se obtienen mediante la fórmula cuadrática:
X b √ b2 4ac
2a
Empleando esta fórmula, encontrar las soluciones de: a) 3X 2 − 4X − 5 = 0, b) 2X 2 − X − 10 = 0, c) 5X 2 + 10X = 7 y
d ) X 2 + 8X + 25 = 0.
DESIGUALDADES
1.81 Utilizando los símbolos de desigualdad, ordenar los números −4.3, −6.15, 2.37, 1.52 y −1.5 en: a) en orden creciente, b)
en orden decreciente de magnitud.
1.82 Usar los símbolos de desigualdad para expresar cada una de las afirmaciones siguientes.
a) El número N de niños está entre 30 y 50 inclusive.
b) El número S de puntos en un par de dados no es menor a 7.
c) X es mayor o igual a −4 y menor que 3.
d ) P vale a lo mucho 5.
e) X es mayor que Y aumentada en 2.
1.83 Resolver cada una de las desigualdades siguientes:
a) 3X 12 d ) 3+ 5(Y 2 7 3(4 Y ) g) 2 3 + 1 2
(a 12) < 8
1
b) 4X < 5X 3 e) 3
5 (2X + 1 3
c) 2N + 15 > 10 + 3N f) 0 < 1 2
(15 5N 12
LOGARITMOS Y PROPIEDADES DE LOS LOGARITMOS
1.84 Encontrar los logaritmos comunes:
a) log(10) b) log(100) c) log(1 000) d ) log(0.1) e) log(0.01)
1.85 Encontrar los logaritmos naturales de los siguientes números a cuatro lugares decimales:
a) ln(e) b) ln(10) c) ln(100) d ) ln(1 000) e) ln(0.1)
1.86 Encontrar los logaritmos:
a) log 4 4 b) log 5 25 c) log 6 216 d ) log 7 2 401 e) log 8 32 768
36 CAPÍTULO 1 VARIABLES Y GRÁFICAS
1.87 Usar EXCEL para hallar los logaritmos siguientes. Dar la respuesta y los comandos.
a) log 4 5 b) log 5 24 c) log 6 215 d ) log 7 8 e) log 8 9
1.88 Repetir el problema 1.87 usando MAPLE. Dar la respuesta y los comandos de MAPLE.
1.89 Emplear las propiedades de los logaritmos para escribir la expresión siguiente en forma de sumas y diferencias de logaritmos:
ln((a 3 b 4 )/c 5 )
1.90 Emplear las propiedades de los logaritmos para escribir la expresión siguiente en forma de sumas y diferencias de logaritmos:
log((xyz)/w 3 )
1.91 Transformar la siguiente expresión en una expresión que contenga un solo logaritmo: 5 ln(a) − 4 ln(b) + ln(c) + ln(d )
1.92 Transformar la siguiente expresión en una expresión que contenga un solo logaritmo: log(u) + log(v) + log(w) − 2 log(x)
− 3 log(y) − 4 log(z).
ECUACIONES LOGARÍTMICAS
1.93 Encontrar la solución de log(3x − 4) = 2
1.94 Encontrar la solución de ln(3x 2 − x) = ln(10)
1.95 Encontrar la solución de log(w − 2) − log(2w + 7) = log(w + 2)
1.96 Encontrar la solución de ln(3x + 5) + ln(2x − 5) = 12
1.97 Usar MAPLE o EXCEL para encontrar la solución de ln(2x) + log(3x − 1) = 10
1.98 Usar MAPLE o EXCEL para encontrar la solución de log(2x) + ln(3x − 1) = 10
1.99 Usar MAPLE o EXCEL para encontrar la solución de ln(3x) − log(x) = log 2 3
1.100 Usar MAPLE o EXCEL para encontrar la solución de log 2 (3x) − log(x) = ln(3)
DISTRIBUCIONES
DE FRECUENCIAS
2
DATOS EN BRUTO
Los datos en bruto son los datos recolectados que aún no se han organizado. Por ejemplo, las estaturas de 100 estudiantes
tomados de la lista alfabética de una universidad.
ORDENACIONES
Ordenación se le llama a los datos numéricos en bruto dispuestos en orden creciente o decreciente de magnitud. A la
diferencia entre el número mayor y el número menor se le conoce como el rango de los datos. Por ejemplo, si la estatura
mayor en los 100 estudiantes es 74 pulgadas (in) y la menor es 60 in, el rango es 74 − 60 = 14 pulgadas (in).
DISTRIBUCIONES DE FRECUENCIA
Al organizar una gran cantidad de datos en bruto, suele resultar útil distribuirlos en clases o categorías y determinar
la cantidad de datos que pertenece a cada clase; esta cantidad se conoce como la frecuencia de clase. A la disposición
tabular de los datos en clases con sus respectivas frecuencias de clase se le conoce como distribución de frecuencias
o tabla de frecuencias. La tabla 2.1 es una distribución de frecuencias de las estaturas (registradas a la pulgada más
cercana) de 100 estudiantes de la universidad XYZ.
Tabla 2.1 Estaturas de 100 estudiantes
de la universidad XYZ
Estatura
(in)
60-62
63-65
66-68
69-71
72-74
Cantidad de
estudiantes
5
18
42
27
8
Total 100
La primera clase (o categoría), por ejemplo, consta de las estaturas que van desde 60 hasta 62 pulgadas y queda
identificada por el símbolo 60-62. Como hay cinco estudiantes cuyas estaturas pertenecen a esta clase, la frecuencia
de clase correspondiente es 5.
37
38 CAPÍTULO 2 DISTRIBUCIONES DE FRECUENCIAS
A los datos organizados y resumidos como en la distribución de frecuencias anterior se les llama datos agrupados.
Aunque al agrupar los datos se pierden muchos de los detalles originales de los datos, esto tiene la ventaja de que se
obtiene una visión general clara y se hacen evidentes las relaciones.
INTERVALOS DE CLASE Y LÍMITES DE CLASE
Al símbolo que representa una clase, como 60-62 en la tabla 2.1, se le conoce como intervalo de clase. A los números
de los extremos, 60 y 62, se les conoce como límites de clase; el número menor (60) es el límite inferior de clase, y el
número mayor (62) es el límite superior de clase. Los términos clase e intervalo de clase se suelen usar indistintamente,
aunque el intervalo de clase en realidad es un símbolo para la clase.
Un intervalo de clase que, por lo menos teóricamente, no tenga indicado el límite de clase superior o el límite de
clase inferior, se conoce como intervalo de clase abierto. Por ejemplo, al considerar grupos de edades de personas, un
intervalo que sea “65 años o mayores” es un intervalo de clase abierto.
FRONTERAS DE CLASE
Si las estaturas se registran a la pulgada más cercana, el intervalo de clase 60-62 comprende teóricamente todas las
mediciones desde 59.5000 hasta 62.5000 in. Estos números que se indican brevemente mediante los números exactos
59.5 y 62.5 son las fronteras de clase o los límites de clase reales; el menor de los números (59.5) es la frontera inferior
de clase y el número mayor (62.5) es la frontera superior de clase.
En la práctica, las fronteras de clase se obtienen sumando el límite superior de un intervalo de clase al límite inferior
del intervalo de clase inmediato superior y dividiendo entre 2.
Algunas veces, las fronteras de clase se usan para representar a las clases. Por ejemplo, las clases de la tabla 2.1
pueden indicarse como 59.5-62.5, 62.5-65.5, etc. Para evitar ambigüedades cuando se usa esta notación, las fronteras
de clase no deben coincidir con las observaciones. Por lo tanto, si una observación es 62.5, no es posible decidir si
pertenece al intervalo 59.5-62.5 o al intervalo 62.5-65.5
TAMAÑO O AMPLITUD DE UN INTERVALO DE CLASE
El tamaño, o la amplitud, de un intervalo de clase es la diferencia entre sus fronteras superior e inferior y se le conoce
también como amplitud de clase, tamaño de clase o longitud de clase. Si en una distribución de frecuencia todos los
intervalos de clase tienen la misma amplitud, esta amplitud común se denota c. En este caso, c es igual a la diferencia
entre dos límites inferiores de clases sucesivas o entre dos límites superiores de clases sucesivas. Por ejemplo, en los
datos de la tabla 2.1, el intervalo de clase es c = 62.5 − 59.5 = 65.5 − 62.5 = 3.
LA MARCA DE CLASE
La marca de clase es el punto medio del intervalo de clase y se obtiene sumando los límites de clase inferior y superior
y dividiendo entre 2. Así, la marca de clase del intervalo 60-62 es (60 + 62)/2 = 61. A la marca de clase también se
le conoce como punto medio de clase.
Para los análisis matemáticos posteriores, se supone que todas las observaciones que pertenecen a un intervalo de
clase dado coinciden con la marca de clase. Así, se considera que todas las estaturas en el intervalo de clase 60-62 in
son de 61 in.
REGLAS GENERALES PARA FORMAR UNA
DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIAS
1. En el conjunto de los datos en bruto, se determina el número mayor y el número menor y se halla, así, el rango (la
diferencia entre los números mayor y menor).
DISTRIBUCIONES DE FRECUENCIAS RELATIVAS 39
2. Se divide el rango en una cantidad adecuada de intervalos de clase de una misma amplitud. Si esto no es posible,
se usan intervalos de clase de diferentes amplitudes o intervalos de clase abiertos (ver problema 2.12). La cantidad
de intervalos suele ser de 5 a 20, dependiendo de los datos. Los intervalos de clase también suelen elegirse de
manera que las marcas de clase (o puntos medios de clase) coincidan con datos observados. Esto tiende a disminuir
el llamado error de agrupamiento en los análisis matemáticos subsiguientes. En cambio, las fronteras de clase no
deben coincidir con datos observados.
3. Se determina la cantidad de observaciones que caen dentro de cada intervalo de clase; es decir, se encuentran las
frecuencias de clase. La mejor manera de hacer esto es utilizando una hoja de conteo (ver problema 2.8).
HISTOGRAMAS Y POLÍGONOS DE FRECUENCIAS
Los histogramas y los polígonos de frecuencias son dos representaciones gráficas de las distribuciones de frecuencias.
1. Un histograma o histograma de frecuencias consiste en un conjunto de rectángulos que tienen: a) sus bases sobre
un eje horizontal (el eje X ), con sus centros coincidiendo con las marcas de clase de longitudes iguales a la amplitud
del intervalo de clase, y b) áreas proporcionales a las frecuencias de clase.
2. Un polígono de frecuencias es una gráfica de línea que presenta las frecuencias de clase graficadas contra las marcas
de clase. Se puede obtener conectando los puntos medios de las partes superiores de los rectángulos de un
histograma.
En las figuras 2.1 y 2.2 se muestran el histograma y el polígono de frecuencias correspondientes a la distribución
de frecuencias de las estaturas presentada en la tabla 2.1.
40
Frecuencias
30
20
10
0
61 64 67 70 73
Estatura (in)
Figura 2-1 MINITAB, histograma que muestra los puntos medios y las frecuencias de clase.
Obsérvese en la figura 2.2 cómo el polígono de frecuencias se ha anclado por sus extremos, es decir, en 58 y 76.
DISTRIBUCIONES DE FRECUENCIAS RELATIVAS
La frecuencia relativa de una clase es la frecuencia de la clase dividida entre la suma de las frecuencias de todas las
clases y generalmente se expresa como porcentaje. Por ejemplo, en la tabla 2.1, la frecuencia relativa de la clase 66-68
es 42/100 = 42%. Por supuesto, la suma de las frecuencias relativas de todas las clases es 1, o 100%.
Si en la tabla 2.1 las frecuencias se sustituyen por frecuencias relativas, la tabla que se obtiene es una distribución
de frecuencias relativas, distribución porcentual o tabla de frecuencias relativas.
Las representaciones gráficas de las distribuciones de frecuencias relativas se obtienen a partir de los histogramas
o polígonos de frecuencias, cambiando únicamente, en la escala vertical, las frecuencias por las frecuencias relativas y
conservando la gráfica exactamente igual. A las gráficas que se obtienen se les llama histogramas de frecuencias relativas
(o histogramas porcentuales) y polígonos de frecuencias relativas (o polígonos porcentuales), respectivamente.
40 CAPÍTULO 2 DISTRIBUCIONES DE FRECUENCIAS
DISTRIBUCIONES DE FRECUENCIAS ACUMULADAS Y OJIVAS
A la suma de todas las frecuencias menores que la frontera superior de un intervalo de clase dado se le llama frecuencia
acumulada hasta ese intervalo de clase inclusive. Por ejemplo, en la tabla 2.1, la frecuencia acumulada hasta el
intervalo de clase 66-68 inclusive es 5 + 18 + 42 = 65, lo que significa que 65 estudiantes tienen una estatura menor
a 68.5 in.
40
30
Frecuencias
20
10
0
58
61
64
67 70
Estatura (in)
Figura 2-2 MINITAB, polígono de frecuencias de las estaturas de los estudiantes.
A una tabla en la que se presentan las frecuencias acumuladas se le llama distribución de frecuencias acumuladas,
tabla de frecuencias acumuladas o simplemente distribución acumulada, y se presenta en la tabla 2.2 para la distribución
de las estaturas de los estudiantes de la tabla 2.1.
Tabla 2.2
73
76
Estatura (in)
Menos de 59.5
Menos de 62.5
Menos de 65.5
Menos de 68.5
Menos de 71.5
Menos de 74.5
Cantidad de estudiantes
0
5
23
65
92
100
Una gráfica que muestra las frecuencias acumuladas menores de cada frontera superior de clase respecto a cada
frontera superior de clase se le conoce como gráfica de frecuencias acumuladas u ojiva. En algunas ocasiones se desea
considerar distribuciones de frecuencias mayores o iguales que la frontera inferior de cada intervalo de clase. Como
en ese caso se consideran las estaturas de 59.5 in o más, de 62.5 in o más, etc., a estas distribuciones se les suele llamar
distribuciones acumuladas “o más que”, en tanto que las distribuciones consideradas antes son distribuciones acumuladas
“o menos que”. Una puede obtenerse fácilmente de la otra. A las ojivas correspondientes se les llama ojivas “más
que” y ojivas “menos que”. Aquí, siempre que se hable de distribuciones acumuladas o de ojivas, sin más, se tratará
del tipo “menos que”.
DISTRIBUCIONES DE FRECUENCIAS ACUMULADAS
RELATIVAS Y OJIVAS PORCENTUALES
La frecuencia acumulada relativa o frecuencia acumulada porcentual es la frecuencia acumulada dividida entre la
suma de todas las frecuencias (frecuencia total). Por ejemplo, la frecuencia acumulada relativa de las estaturas menores
que 68.5 in es 65/100 = 0.65 o 65%, lo que significa que 65% de los estudiantes tienen estaturas menores a
TIPOS DE CURVAS DE FRECUENCIAS 41
68.5 in. Si en la tabla 2.2 se emplean las frecuencias acumuladas relativas en lugar de las frecuencias acumuladas, se
obtiene una distribución de frecuencias acumuladas relativas (o distribución acumulada porcentual) y una gráfica de
frecuencias acumuladas relativas (u ojiva porcentual), respectivamente.
CURVAS DE FRECUENCIAS Y OJIVAS SUAVIZADAS
Suele considerarse que los datos recolectados pertenecen a una muestra obtenida de una población grande. Como de
esta población se pueden obtener muchas observaciones, teóricamente es posible (si son datos continuos) elegir intervalos
de clase muy pequeños y, a pesar de eso, tener un número adecuado de observaciones que caigan en cada clase.
De esta manera, cuando se tienen poblaciones grandes puede esperarse que los polígonos de frecuencias, o los polígonos
de frecuencias relativas, correspondientes a estas poblaciones estén formados por una gran cantidad de pequeños
segmentos de recta de manera que sus formas se aproximen a las de unas curvas, a las cuales se les llama curvas de
frecuencias o curvas de frecuencias relativas, respectivamente.
Es razonable esperar que estas curvas teóricas puedan ser aproximadas suavizando los polígonos de frecuencias o
los polígonos de frecuencias relativas de la muestra; esta aproximación mejorará a medida que aumenta el tamaño de
la muestra. Ésta es la razón por la que a las curvas de frecuencias se les suele llamar polígonos de frecuencias suavizados.
De igual manera, suavizando las gráficas de frecuencias acumuladas u ojivas, se obtienen ojivas suavizadas. Por
lo general, es más fácil suavizar una ojiva que un polígono de frecuencias.
TIPOS DE CURVAS DE FRECUENCIAS
Las curvas de frecuencias que surgen en la práctica toman ciertas formas características, como las que se muestran en
la figura 2-3.
Simétrica o en forma de campana
Sesgada a la derecha
Sesgada a la izquierda
Uniforme
Figura 2-3 Cuatro distribuciones que se encuentran con por lo común.
1. Las curvas simétricas o en forma de campana se caracterizan porque las observaciones equidistantes del máximo
central tienen la misma frecuencia. Las estaturas tanto de hombres como de mujeres adultos tienen distribuciones
en forma de campana.
2. Las curvas que tienen colas hacia la izquierda se dice que son sesgadas a la izquierda. Las curvas de la cantidad
de años que viven hombres y mujeres son sesgadas a la izquierda. Pocos mueren jóvenes y la mayoría muere entre
los 60 y los 80 años. En general, las mujeres viven en promedio diez años más que los hombres.
3. Las curvas que tienen colas hacia la derecha se dice que son sesgadas a la derecha. Las curvas de las edades a las
que se casan tanto hombres como mujeres son sesgadas a la derecha. La mayoría se casa entre los veinte y treinta
años y pocos se casan alrededor de cuarenta, cincuenta, sesenta o setenta años.
4. Las curvas que tienen aproximadamente las mismas frecuencias para todos sus valores se dice que son curvas
distribuidas uniformemente. Por ejemplo, las máquinas dispensadoras de refresco lo hacen de manera uniforme
entre 15.9 y 16.1 onzas.
5. Las curvas de frecuencias en forma de J o en forma de J inversa son curvas en las que el máximo se presenta en
uno de sus extremos.
6. Las curvas de frecuencias en forma de U son curvas que tienen un máximo en cada extremo y un mínimo en medio.
7. Las curvas bimodales son curvas que tienen dos máximos.
8. Las curvas multimodales tienen más de dos máximos.
42 CAPÍTULO 2 DISTRIBUCIONES DE FRECUENCIAS
PROBLEMAS RESUELTOS
ORDENACIONES
2.1 a) Disponer los números 17, 45, 38, 27, 6, 48, 11, 57, 34 y 22 en una ordenación.
b) Determinar el rango de estos números.
SOLUCIÓN
a) En orden ascendente de magnitud, la ordenación es: 6, 11, 17, 22, 27, 34, 38, 45, 48, 57. En orden descendente de
magnitud, la ordenación es: 57, 48, 45, 38, 34, 27, 22, 17, 11, 6.
b) Como el número mayor es 57 y el número menor es 6, el rango es 57 − 6 = 51.
2.2 En la tabla siguiente se presentan las calificaciones finales que obtuvieron en matemática 80 alumnos de una
universidad.
68 84 75 82 68 90 62 88 76 93
73 79 88 73 60 93 71 59 85 75
61 65 75 87 74 62 95 78 63 72
66 78 82 75 94 77 69 74 68 60
96 78 89 61 75 95 60 79 83 71
79 62 67 97 78 85 76 65 71 75
65 80 73 57 88 78 62 76 53 74
86 67 73 81 72 63 76 75 85 77
De acuerdo con esta tabla, encontrar:
a) La calificación más alta.
b) La calificación más baja.
c) El rango.
d ) Las calificaciones de los cinco mejores estudiantes.
e) Las calificaciones de los cinco peores estudiantes.
f ) La calificación del alumno que tiene el décimo lugar entre las mejores calificaciones.
g) El número de estudiantes que obtuvieron 75 o más.
h) El número de estudiantes que obtuvieron 85 o menos.
i) El porcentaje de los estudiantes que obtuvieron calificaciones mayores a 65 pero no mayores a 85.
j) Las calificaciones que no aparecen en esta tabla.
SOLUCIÓN
Como algunas de estas preguntas son tan minuciosas, es mejor construir primero una ordenación. Esto se hace dividiendo
los datos, de manera adecuada, en clases y colocando cada número de la tabla en su clase correspondiente, como se ve en
la tabla 2.3, llamada tabla de entradas. Después, los números de cada clase se disponen en una ordenación, como se muestra
en la tabla 2.4, con lo que se obtiene la ordenación deseada. Consultando la tabla 2.4 es relativamente fácil responder a
las preguntas anteriores.
a) La calificación más alta es 97.
b) La calificación más baja es 53.
c) El rango es 97 − 53 = 44
d ) Las calificaciones de los cinco mejores estudiantes son 97, 96, 95, 95 y 94.
PROBLEMAS RESUELTOS 43
Tabla 2.3
50-54 53
55-59 59, 57
60-64 62, 60, 61, 62, 63, 60, 61, 60, 62, 62, 63
65-69 68, 68, 65, 66, 69, 68, 67, 65, 65, 67
70-74 73, 73, 71, 74, 72, 74, 71, 71, 73, 74, 73, 72
75-79 75, 76, 79, 75, 75, 78, 78, 75, 77, 78, 75, 79, 79, 78, 76, 75, 78, 76, 76, 75, 77
80-84 84, 82, 82, 83, 80, 81
85-89 88, 88, 85, 87, 89, 85, 88, 86, 85
90-94 90, 93, 93, 94
95-99 95, 96, 95, 97
Tabla 2.4
50-54 53
55-59 57, 59
60-64 60, 60, 60, 61, 61, 62, 62, 62, 62, 63, 63
65-69 65, 65, 65, 66, 67, 67, 68, 68, 68, 69
70-74 71, 71, 71, 72, 72, 73, 73, 73, 73, 74, 74, 74
75-79 75, 75, 75, 75, 75, 75, 75, 76, 76, 76, 76, 77, 77, 78, 78, 78, 78, 78, 79, 79, 79
80-84 80, 81, 82, 82, 83, 84
85-89 85, 85, 85, 86, 87, 88, 88, 88, 89
90-94 90, 93, 93, 94
95-99 95, 95, 96, 97
e) Las calificaciones de los cinco peores estudiantes son 53, 57, 59, 60 y 60.
f ) La calificación del alumno que tiene el décimo lugar entre las mejores calificaciones es 88.
g) La cantidad de estudiantes que obtuvieron 75 o más es 44.
h) La cantidad de estudiantes que obtuvieron menos de 85 es 63.
i) El porcentaje de estudiantes que obtuvieron calificaciones mayores a 65 pero no mayores a 85 es 49/80 = 61.2%.
j) Las calificaciones que no aparecen en esta tabla son desde 0 hasta 52, 54, 55, 56, 58, 64, 70, 91, 92, 98, 99 y 100.
DISTRIBUCIONES DE FRECUENCIAS, HISTOGRAMAS
Y POLÍGONOS DE FRECUENCIAS
2.3 La tabla 2.5 muestra una distribución de frecuencias de los salarios semanales de 65 empleados de la empresa
P&R. Con los datos de esta tabla, determinar:
a) El límite inferior de la sexta clase.
b) El límite superior de la cuarta clase.
c) La marca de clase (o punto medio de clase) de la tercera clase.
d ) Las fronteras de clase de la quinta clase.
e) La amplitud del intervalo de la quinta clase.
f ) La frecuencia de la tercera clase.
g) La frecuencia relativa de la tercera clase.
h) El intervalo de clase de mayor frecuencia. A este intervalo se le suele llamar intervalo de clase modal y a
su frecuencia se le conoce como frecuencia de la clase modal.
44 CAPÍTULO 2 DISTRIBUCIONES DE FRECUENCIAS
Tabla 2.5
Salarios
$250.00-$259.99
$260.00-$269.99
$270.00-$279.99
$280.00-$289.99
$290.00-$299.99
$300.00-$309.99
$310.00-$319.99
Número de
empleados
8
10
16
14
10
5
2
Total 65
i) El porcentaje de empleados que gana menos de $280.00 por semana.
j) El porcentaje de empleados que gana menos de $300.00 por semana, pero por lo menos $260.00 por
semana.
SOLUCIÓN
a) $300.00.
b) $289.99.
c) La marca de clase (o punto medio de clase) de la tercera clase = 1 2
($270.00 + $279.99) = $274.995. Para propósitos
prácticos, esta cantidad se redondea a $275.00.
d ) La frontera inferior de la quinta clase = 1 2
($290.00 + $289.99) = $289.995. La frontera superior de la quinta clase
= 1 2
($299.99 + $300.00) = $299.995.
e) La amplitud del intervalo de la quinta clase = frontera superior de la quinta clase – frontera inferior de la quinta clase
= $299.995 − $289.985 = $10.00. En este caso, todos los intervalos de clase son del mismo tamaño: $10.00.
f ) 16.
g) 16/65 = 0.246 = 24.6%.
h) $270.00 − $279.99.
i) El número total de empleados que gana menos de $280 por semana = 16 + 10 + 8 = 34. El porcentaje de empleados
que gana menos de $280 por semana = 34/65 = 52.3%.
j) El número de empleados que gana menos de $300 por semana pero más de $260 por semana = 10 + 14 + 16 + 10
= 50. El porcentaje de empleados que gana menos de $300 por semana, pero por lo menos $260 por semana = 50/65
= 76.9%.
2.4 Si las marcas de clase en una distribución de frecuencias de pesos de estudiantes son 128, 137, 146, 155, 164,
173 y 182 libras, encuentre: a) la amplitud del intervalo de clase, b) las fronteras de clase y c) los límites de
clase, suponiendo que los pesos se hayan redondeado a la libra más cercana.
SOLUCIÓN
a) La amplitud del intervalo de clase = diferencia entre marcas sucesivas de clase = 137 − 128 = 146 − 137 = etc. =
9 lb.
b) Como todos los intervalos de clase tienen la misma amplitud, las fronteras de clase están a medio camino entre dos
marcas de clase y por lo tanto se tienen los valores
1
2 (128 + 137), 1 2 (137 + 146),...,1 2
(173 + 182) o bien 132.5, 141.5, 150.5, . . . , 177,5 lb
PROBLEMAS RESUELTOS 45
La frontera de la primera clase es 132.5 − 9 = 123.5 y la frontera de la última clase es 177.5 + 9 = 186.5, ya
que la amplitud común de los intervalos de clase es 9 lb. Por lo tanto, todas las fronteras de clase son:
123.5, 132.5, 141.5, 150.5, 159.5, 168.5, 177.5, 186.5 lb
c) Como los límites de clase son enteros, se eligen éstos como los enteros más cercanos a las fronteras de clase, es decir,
123, 124, 132, 133, 141, 142. . . Así, los límites de la primera clase son 124-132, de la siguiente, 133-141, etcétera.
2.5 Se toma una muestra de la cantidad de tiempo, en horas por semana, que los estudiantes universitarios usan su
celular. Usando SPSS, la secuencia “Analyze ⇒ Descripive Statistics ⇒ Frequencies” da el resultado mostrado
en la figura 2-4.
Tiempo
Frecuencias Porcentajes Porcentajes válidos
Porcentajes
acumulados
Válido 3.00
4.00
5.00
6.00
7.00
8.00
9.00
10.00
11.00
12.00
13.00
14.00
15.00
16.00
17.00
18.00
19.00
20.00
Total
3
3
5
3
4
4
3
4
2
2
3
1
2
5
2
1
2
1
50
6.0
6.0
10.0
6.0
8.0
8.0
6.0
8.0
4.0
4.0
6.0
2.0
4.0
10.0
4.0
2.0
4.0
2.0
100.0
6.0
6.0
10.0
6.0
8.0
8.0
6.0
8.0
4.0
4.0
6.0
2.0
4.0
10.0
4.0
2.0
4.0
2.0
100.0
6.0
12.0
22.0
28.0
36.0
44.0
50.0
58.0
62.0
66.0
72.0
74.0
78.0
88.0
92.0
94.0
98.0
100.0
Figura 2-4 SPSS, resultados para el problema 2.5.
a) ¿Qué porcentaje usa su celular 15 o menos horas por semana?
b) ¿Qué porcentaje usa su celular 10 o más horas por semana?
SOLUCIÓN
a) El porcentaje acumulado correspondiente a 15 horas es 78%. Es decir, 78% usa su celular 15 horas o menos por
semana.
b) El porcentaje acumulado correspondiente a 10 horas es 58%. Es decir, 58% usa su celular 10 horas o menos por semana.
Por lo tanto, 42% usa su celular más de 10 horas por semana.
2.6 De 150 mediciones, la menor es 5.18 in y la mayor es 7.44 in. Determinar un conjunto adecuado: a) de intervalos
de clase, b) de fronteras de clase y c) de marcas de clase que se pueda usar para elaborar una distribución
de frecuencias con estas mediciones.
SOLUCIÓN
El rango es 7.44 − 5.18 = 226 in. Para un mínimo de cinco intervalos de clases, la amplitud del intervalo de clase es
2.26/5 = 0.45, aproximadamente, y para un máximo de 20 intervalos de clase, la amplitud del intervalo de clase es 2.26/20
= 0.11, aproximadamente. Las amplitudes adecuadas para el intervalo de clase, entre 0.11 y 0.45, podrían ser 0.20,
0.30 o 0.40.
46 CAPÍTULO 2 DISTRIBUCIONES DE FRECUENCIAS
a) En las columnas I, II y III de la tabla siguiente se presentan intervalos de clase de amplitud 0.20, 0.30 y 0.40, respectivamente.
I II III
5.10-5.29 5.10-5.39 5.10-5.49
5.30-5.49 5.40-5.69 5.50-5.89
5.50-5.69 5.70-5.99 5.90-6.29
5.70-5.89 6.00-6.29 6.30-6.69
5.90-6.09 6.30-6.59 6.70-7.09
6.10-6.29 6.60-6.89 7.10-7.49
6.30-6.49 6.90-7.19
6.50-6.69 7.20-7.49
6.70-6.89
6.90-7.09
7.10-7.29
7.30-7.49
Obsérvese que el límite inferior de cada una de las primeras clases puede ser también distinto a 5.10. Por ejemplo, si
en la columna I se empieza con 5.15 como límite inferior, el primer intervalo de clase será 5.15-5.34.
b) Las fronteras de clase correspondientes a las columnas I, II y III del inciso a) son:
I 5.095-5.295, 5.295-5.495, 5.495-5.695, . . . , 7.295-7.495
II 5.095-5.395, 5.395-5.695, 5.695-5.995, . . . , 7.195-7.495
III 5.095-5.495, 5.495-5.895, 5.895-6.295, . . . , 7.095-7.495
Obsérvese que estas fronteras de clase son adecuadas, ya que no coinciden con las mediciones observadas.
c) A continuación se dan las marcas de clase correspondientes a las columnas I, II y III del inciso a).
I 5.195, 5.395, . . . , 7.395 II 5.245, 5.545, . . . , 7.345 III 5.295, 5.695, . . . , 7.295
Estas marcas de clase tienen la desventaja de no coincidir con mediciones observadas
2.7 Al resolver el problema 2.6a), un estudiante elige como intervalos de clase 5.10-5.40, 5.40-5.70, . . . , 6.90-7.20
y 7.20-7.50. ¿Hay algún problema con esta elección?
SOLUCIÓN
Estos intervalos de clase se traslapan en 5.40, 5.70, . . . , 7.20. De esta manera, una medición que se registre, por ejemplo
como 5.40, podrá colocarse en cualquiera de los dos primeros intervalos de clases. Algunos justifican esto acordando colocar
la mitad de los casos ambiguos en una de las clases y la otra mitad en la otra.
Esta ambigüedad se elimina escribiendo los intervalos de clase como de 5.10 hasta menos de 5.40, de 5.40 hasta
menos de 5.70, etc. En este caso, los límites de clase coinciden con las fronteras de clase y las marcas de clase pueden
coincidir con datos observados.
En general, siempre que sea posible, se desea evitar que los intervalos de clase se superpongan y escogerlos de
manera que las fronteras de clase sean valores que no coincidan con datos observados. Por ejemplo, los intervalos de clase
del problema 2.6 pueden ser 5.095-5.395, 5.395-5.695, etc., sin que haya ambigüedad. La desventaja de este caso particular
es que las marcas de clase no coincidirán con datos observados.
PROBLEMAS RESUELTOS 47
2.8 En la tabla siguiente se presentan los pesos, dados a la libra más cercana, de 40 estudiantes de una universidad.
Elaborar una distribución de frecuencias.
138 164 150 132 144 125 149 157
146 158 140 147 136 148 152 144
168 126 138 176 163 119 154 165
146 173 142 147 135 153 140 135
161 145 135 142 150 156 145 128
SOLUCIÓN
El peso mayor es 176 lb y el peso menor es 119 lb, de manera que el rango es 176 − 119 = 57 lb. Si se emplean cinco
intervalos de clase, la amplitud del intervalo de clase será 57/5 = 11, aproximadamente; si se usan 20 intervalos de clase,
la amplitud de cada intervalo de clase será 57/20 = 3, aproximadamente.
Una amplitud adecuada para los intervalos de clase es 5 lb. También es conveniente que las marcas de clase sean
120, 125, 130, 135, . . . , lb. Por lo tanto, los intervalos de clase serán 118-122, 123-127, 128-132, . . . Y entonces las fronteras
de clase serán 117.5, 122.5, 127.5, . . . , las cuales no coinciden con datos observados.
La distribución de frecuencias buscada se muestra en la tabla 2.6. La columna central, llamada hoja de conteo, se
usa para tabular las frecuencias de clase a partir de los datos en bruto y suele omitirse en la presentación final de una distribución
de frecuencias. No es necesario hacer una ordenación, pero si se cuenta con ella, se puede usar para tabular las
frecuencias.
Otro método
Por supuesto, hay otras posibles distribuciones de frecuencias. En la tabla 7.2, por ejemplo, se muestra una distribución de
frecuencias que tiene sólo siete clases y en la que el intervalo de clase es de 9 lb.
Tabla 2.6 Tabla 2.7
Peso (lb) Conteo Frecuencias
Peso (lb) Conteo Frecuencias
118-122 / 1
118-126 /// 3
123-127 /
2
127-135 //// 5
128-132 //
2
136-144 //// //// 9
133-137 //// 4
145-153 //// //// // 12
138-142 ///// 6
154-162 //// 5
143-147 /////// 8
163-171 //// 4
148-152 //// 5
172-180 // 2
153-157 //// 4
158-162 // 2
Total 40
163-167 /// 3
168-172 / 1
173-177 // 2
Total 40
2.9 Se toman las estaturas de 45 estudiantes del sexo femenino de una universidad; a continuación se presentan
estas estaturas registradas a la pulgada más cercana. Para elaborar un histograma, usar el paquete STATISTIX
para estadística.
67 67 64 64 74 61 68 71 69 61 65 64 62 63 59
70 66 66 63 59 64 67 70 65 66 66 56 65 67 69
64 67 68 67 67 65 74 64 62 68 65 65 65 66 67
48 CAPÍTULO 2 DISTRIBUCIONES DE FRECUENCIAS
SOLUCIÓN
Después de ingresar los datos en la hoja de cálculo de STATISTIX, la secuencia “Statistics ⇒ Summary Statistics ⇒
Histogram” produce el histograma que se muestra en la figura 2-5.
27
Frecuencias
18
9
0
55
59 63 67 71 75
Estatura (in)
Figura 2-5 STATISTIX, histograma de las estaturas de 45 estudiantes universitarias.
2.10 En la tabla 2.8 se dan las distancias, en millas, que recorren 50 estudiantes del Metropolitan College de su casa
a la universidad.
Tabla 2.8 Distancias al Metropolitan College (millas)
4.3
6.5
7.2
7.7
5.0
7.0
8.7
8.8
2.4
10.3
8.0
0.9
7.8
8.0
12.3
3.9
0.9
4.9
8.0
3.8
3.7
12.6
2.0
4.6
3.8
8.4
4.0
3.0
1.4
6.6
2.6
10.3
4.2
2.2
2.0
1.0
10.0
3.3
1.9
1.6
15.7
6.2
4.8
3.2
4.4
3.9
1.1
4.4
4.8
4.3
En la figura 2.6 se muestra el histograma obtenido con SPSS con las distancias de la tabla 2.8. Obsérvese que
las clases son 0 a 2, 2 a 4, 4 a 6, 6 a 8, 8 a 10, 10 a 12, 12 a 14 y 14 a 16. Las frecuencias 7, 13, 11, 7, 6, 3, 2 y
1. Un número que cae en el límite inferior de clase se cuenta dentro de esa clase, pero los que caen en el límite
superior, se cuentan dentro de la clase siguiente.
a) ¿Cuáles son los valores que pertenecen a la primera clase?
b) ¿Cuáles son los valores que pertenecen a la segunda clase?
c) ¿Cuáles son los valores que pertenecen a la tercera clase?
d ) ¿Cuáles son los valores que pertenecen a la cuarta clase?
e) ¿Cuáles son los valores que pertenecen a la quinta clase?
f ) ¿Cuáles son los valores que pertenecen a la sexta clase?
g) ¿Cuáles son los valores que pertenecen a la séptima clase?
h) ¿Cuáles son los valores que pertenecen a la octava clase?
PROBLEMAS RESUELTOS 49
12.5
10.0
Frecuencias
7.5
5.0
2.5
Media = 5.368
Desv. est. = 3.36515
N = 50
0.0
0.00
5.00 10.00 15.00 20.00
Distancia (millas)
Figura 2-6 SPSS, histograma de las distancias al Metropolitan College.
SOLUCIÓN
a) 0.9, 0.9, 1.0, 1.1, 1.4, 1.6, 1.9
b) 2.0, 2.0, 2.2, 2.4, 2.6, 3.0, 3.2, 3.3, 3.7, 3.8, 3.8, 3.9, 3.9
c) 4.0, 4.2, 4.3, 4.3, 4.4, 4.4, 4.6, 4.8, 4.8, 4.9, 5.0
d) 6.2, 6.5, 6.6, 7.0, 7.2, 7.7, 7.8
e) 8.0, 8.0, 8.0, 8.4, 8.7, 8.8
f ) 10.0, 10.3, 10.3
g) 12.3, 12.6
h) 15.7
2.11 En la figura 2-7 se muestra un histograma obtenido con SAS, con las distancias de la tabla 2.8. Se muestran los
puntos medios (marcas de clase) de los intervalos de clase. Las clases son 0 a 2.5, 2.5 a 5.0, 5.0 a 7.5, 7.5 a
10.0, 10 a 12.5, 12.5 a 15.0, 15.0 a 17.5, 17.5 a 20.0. Los números que caen en el límite inferior de clase se
cuentan dentro de esa clase, pero si caen en el límite superior se cuentan dentro de la clase siguiente.
a) ¿Cuáles son los valores (de la tabla 2.8) que pertenecen a la primera clase?
b) ¿Cuáles son los valores que pertenecen a la segunda clase?
c) ¿Cuáles son los valores que pertenecen a la tercera clase?
d ) ¿Cuáles son los valores que pertenecen a la cuarta clase?
e) ¿Cuáles son los valores que pertenecen a la quinta clase?
f ) ¿Cuáles son los valores que pertenecen a la sexta clase?
g) ¿Cuáles son los valores que pertenecen a la séptima clase?
SOLUCIÓN
a) 0.9, 0.9, 1.0, 1.1, 1.4, 1.6, 1.9, 2.0, 2.0, 2.2, 2.4
b) 2.6, 3.0, 3.2, 3.3, 3.7, 3.8, 3.8, 3.9, 3.9, 4.0, 4.2, 4.3, 4.3, 4.4, 4.4, 4.6, 4.8, 4.8, 4.9
c) 5.0, 6.2, 6.5, 6.6, 7.0, 7.2
d) 7.7, 7.8, 8.0, 8.0, 8.0, 8.4, 8.7, 8.8
50 CAPÍTULO 2 DISTRIBUCIONES DE FRECUENCIAS
20.0
17.5
15.0
12.5
Conteo
10.0
7.5
5.0
2.5
0
1.25 3.75 6.25 8.75 11.25 13.75 16.25
Distancia (millas)
Figura 2-7 SAS, histograma con las distancias al Metropolitan College.
e) 10.0, 10.3, 10.3, 12.3
f ) 12.6
g) 15.7
2.12 La empresa P&R (problema 2.3) contrata cinco empleados nuevos, cuyos salarios semanales son $285.34,
$316.83, $335.78, $356.21 y $374.50. Construir una distribución de frecuencias con los salarios de los 70
empleados.
SOLUCIÓN
En las tablas 2.9, a) y b), se presentan varias distribuciones de frecuencias posibles.
Tabla 2.9a)
Tabla 2.9b)
Salarios
Frecuencias
Salarios
Frecuencias
$250.00-$259.99
260.00-269.99
270.00-279.99
280.00-289.99
290.00-299.99
300.00-309.99
310.00-319.99
320.00-329.99
330.00-339.99
340.00-349.99
350.00-359.99
360.00-369.99
370.00-379.99
8
10
16
15
10
5
3
0
1
0
1
0
1
$250.00-$259.99
260.00-269.99
270.00-279.99
280.00-289.99
290.00-299.99
300.00-309.99
310.00-319.99
320.00 y más
8
10
16
15
10
5
3
3
Total 70
Total 70
PROBLEMAS RESUELTOS 51
Tabla 2.9c)
Tabla 2.9d )
Salarios
Frecuencias
Salarios
Frecuencias
$250.00-$269.99
270.00-289.99
290.00-309.99
310.00-329.99
330.00-349.99
350.00-369.99
370.00-389.99
18
31
15
3
1
1
1
Total 70
$250.00-$259.99
260.00-269.99
270.00-279.99
280.00-289.99
290.00-299.99
300.00-319.99
320.00-379.99
8
10
16
15
10
8
3
Total 70
En la tabla 2.9a) se conserva una misma amplitud de intervalo de clase, $10.00. Esto da por resultado que haya
demasiadas clases vacías y que sea demasiado detallada en la parte superior de la escala de los salarios.
En la tabla 2.9b) se han evitado las clases vacías y el excesivo detalle empleando el intervalo abierto “$320 y más”.
La desventaja es que esta tabla no es útil para realizar ciertos cálculos matemáticos. Por ejemplo, no se puede determinar
cuál es la cantidad total pagada como salarios semanalmente, ya que en “más de $320.00” puede haber individuos que ganen
hasta $1 400.00 por semana.
En la tabla 2.9c) se emplea $20.00 como amplitud del intervalo de clase. La desventaja es que en el extremo inferior
de la escala de salarios se pierde mucha información, en tanto que en el extremo superior de la escala, la tabla sigue siendo
demasiado detallada.
En la tabla 2.9d) se emplean amplitudes desiguales de intervalos de clase. La desventaja es que se complican ciertos
cálculos que puede desearse hacer después, lo que no ocurre cuando los intervalos de clase son de la misma amplitud.
También, cuanto mayor sea la amplitud del intervalo de clase, mayor será el error de agrupamiento.
2.13 En la figura 2-8 se muestra un histograma, obtenido con EXCEL, con las distancias de la tabla 2.8. Las clases
son 0 a 3, 3 a 6, 6 a 9, 9 a 12, 12 a 15 y 15 a 18. Los números que caigan en el límite superior de clase se cuentan
dentro de esa clase, pero si caen en el límite inferior se cuentan dentro de la clase anterior.
a) ¿Cuáles son los valores (de la tabla 2.8) que pertenecen a la primera clase?
b) ¿Cuáles son los valores que pertenecen a la segunda clase?
c) ¿Cuáles son los valores que pertenecen a la tercera clase?
Frecuencias
20
18
18
16
14 13
13
12
10
8
6
4
3
2
2
1
0
Distancia (millas)
Figura 2-8 EXCEL, histograma con las distancias al Metropolitan College.
52 CAPÍTULO 2 DISTRIBUCIONES DE FRECUENCIAS
d ) ¿Cuáles son los valores que pertenecen a la cuarta clase?
e) ¿Cuáles son los valores que pertenecen a la quinta clase?
f ) ¿Cuáles son los valores que pertenecen a la sexta clase?
SOLUCIÓN
a) 0.9, 0.9, 1.0, 1.1, 1.4, 1.6, 1.9, 2.0, 2.0, 2.2, 2.4, 2.6, 3.0
b) 3.2, 3.3, 3.7, 3.8, 3.8, 3.9, 3.9, 4.0, 4.2, 4.3, 4.3, 4.4, 4.4, 4.6, 4.8, 4.8, 4.9, 5.0
c) 6.2, 6.5, 6.6, 7.0, 7.2, 7.7, 7.8, 8.0, 8.0, 8.0, 8.4, 8.7, 8.8
d ) 10.0, 10.3, 10.3
e) 12.3, 12.6
f ) 15.7
DISTRIBUCIONES DE FRECUENCIAS ACUMULADAS Y OJIVAS
2.14 A partir de la distribución de frecuencias dada en la tabla 2.5 del problema 2.3, construir: a) una distribución
de frecuencias acumuladas, b) una distribución acumulada porcentual, c) una ojiva y d ) una ojiva porcentual.
Tabla 2.10
Salarios
Menos de $250.00
Menos de $260.00
Menos de $270.00
Menos de $280.00
Menos de $290.00
Menos de $300.00
Menos de $310.00
Menos de $320.00
Frecuencias
acumuladas
0
8
18
34
48
58
63
65
Distribución
acumulada
porcentual
0.0
12.3
27.7
52.3
73.8
89.2
96.9
100.0
SOLUCIÓN
a) y b) En la tabla 2.10 se muestran la distribución de frecuencias acumuladas y la distribución de frecuencia porcentual (o
distribución de frecuencias acumuladas relativas).
Obsérvese que las entradas de la columna 2 se obtienen sumando las entradas sucesivas de la columna 2 de la tabla
2.5, así, 18 = 8 + 10, 34 = 8 + 10 + 16, etcétera.
Las entradas de la columna 3 se obtienen dividiendo cada una de las entradas de la columna anterior entre 65, la suma
de todas las frecuencias, y expresando el resultado como porcentaje. Así, 34/65 = 0.523, o 52.3%. Las entradas en esta
columna también pueden obtenerse añadiendo entradas sucesivas de la columna 2 de la tabla 2.8. Así, 27.7 = 12.3 + 15.4,
52.3 = 12.3 + 15.4 + 24.6, etcétera.
c) y d ) En la figura 2-9a) se muestra la ojiva (gráfica de frecuencias acumuladas porcentuales), y en la figura 2-9b)
se presenta la ojiva porcentual (gráfica de frecuencias acumuladas relativas). Ambas son gráficas generadas con Minitab.
PROBLEMAS RESUELTOS 53
b) Salarios
250
260
270
280
290
300
310
320
70
Salarios, frecuencias acumuladas*
100
Salarios, frecuencias acumuladas porcentuales*
60
50
80
40
60
30
40
20
10
20
0
0
250
260
270 280 290
a) Salarios
300
310
320
Figura 2-9 MINITAB, a) gráfica de frecuencias acumuladas y b) gráfica de frecuencias acumuladas porcentuales.
2.15 A partir de la distribución de frecuencias dada en la tabla 2.5 del problema 2.3, construir: a) una distribución
de frecuencias “o más” y b) una ojiva “o más”.
SOLUCIÓN
a) En la tabla 2.11, obsérvese que cada entrada de la columna 2 se obtiene sumando las entradas sucesivas de la columna
2 de la tabla 2.5, empezando en la parte inferior de la tabla 2.5; así, 7 = 2 + 5, 17 = 2 + 5 + 10, etc. Estas entradas
también pueden obtenerse restando las entradas en la columna 2 de la tabla 2.10 del total de las frecuencias, 65; así,
57 = 65 – 8, 47 = 65 − 18, etcétera.
b) En la figura 2.10 se muestra la ojiva “o más”.
Tabla 2.11
Salarios
$250.00 o más
$260.00 o más
$270.00 o más
$280.00 o más
$290.00 o más
$300.00 o más
$310.00 o más
$320.00 o más
Frecuencias acumuladas
“o más”
65
57
47
31
17
7
2
0
2.16 A partir de las ojivas de las figuras 2-9 y 2-10 (problemas 2.14 y 2.15, respectivamente), estimar la cantidad de
empleados que ganan: a) menos de $288.00 por semana, b) $296.00 o más por semana, c) por lo menos $263.00
por semana, pero menos de $275.00 por semana.
SOLUCIÓN
a) En la ojiva “menos de” de la figura 2-9 se traza una recta vertical que cruce la recta de los salarios en $288.00. Este
punto cruza la ojiva en un punto cuyas coordenadas son (288, 45); por lo tanto, la cantidad de empleados que gana
menos de $288.00 por semana es 45.
b) En la ojiva “o más” de la figura 2-10 se traza una recta vertical en $296.00. Esta recta cruza la ojiva en el punto (296,
11); por lo tanto, la cantidad de empleados que gana $296.00 o más por semana es 11 empleados.
54 CAPÍTULO 2 DISTRIBUCIONES DE FRECUENCIAS
70
60
Frecuencias acumuladas “o más”
50
40
30
20
10
0
250 260 270 280 290 300 310 320 330 340 350
Salarios
Figura 2-10 EXCEL, gráfica de frecuencias acumuladas “o más”
Esto también puede obtenerse a partir de la ojiva “menos de” de la figura 2-9. Trazando una recta en $296.00,
se encuentra que 54 empleados ganan menos de $296.00 por semana; por lo tanto, 65 − 54 = 11 empleados ganan
$296.00 o más por semana.
c) Utilizando la ojiva “menos de” de la figura 2-9, se tiene: cantidad de empleados buscada = cantidad de empleados que
gana menos de $275.00 por semana – cantidad de empleados que gana menos de $263.00 por semana = 26 − 11
= 15.
Obsérvese que los resultados anteriores también pueden obtenerse mediante interpolación en la tabla de frecuencias
acumuladas. Para el inciso a), por ejemplo, ya que $288.00 está a 8/10 o 4/5 entre $280.00 y $290.00, la
cantidad de empleados buscada debe estar a 4/5 entre 34 y 48 (ver tabla 2.10). Y 4/5 entre 34 y 48 es 4/5(48 − 34)
= 11. Por lo tanto, el número de empleados buscado es 3 + 11 = 45.
2.17 Se lanzan cinco monedas 1 000 veces y en cada lanzamiento se anota el número de caras que se obtiene. En la
tabla 2.12 se muestran la cantidades 0, 1, 2, 3, 4 y 5 de caras que se obtuvieron.
a) Graficar los datos de la tabla 2.12.
b) Elaborar una tabla en la que se dé el porcentaje de los lanzamientos en los que se obtuvo menos de 0, 1, 2,
3, 4, 5 y 6 caras.
c) Graficar los datos de la tabla del inciso b).
Tabla 2.12
Cantidad de caras
0
1
2
3
4
5
Cantidad de lanzamientos
(frecuencias)
38
144
342
287
164
25
Total 1 000
PROBLEMAS RESUELTOS 55
SOLUCIÓN
a) Estos datos se pueden mostrar gráficamente, ya sea como en la figura 2-11 o como en la figura 2-12.
Al parecer es más natural usar la figura 2-11, ya que la cantidad de caras no puede ser, por ejemplo, 1.5 o 3.2.
A esta gráfica se le llama gráfica de puntos y se usa cuando los datos son discretos.
0 1 2 3 4 5
Caras
Cada símbolo (punto) representa hasta 9 observaciones.
Figura 2-11 MINITAB, gráfica de puntos con la cantidad de caras.
350
300
250
Frecuencias
200
150
100
50
0
0 1 2 3 4 5
Caras
Figura 2-12 MINITAB, histograma de la cantidad de caras.
En la figura 2-12 se presenta un histograma de los datos. Obsérvese que toda el área del histograma corresponde
a la frecuencia total, 1 000, como debe ser. Cuando se usa un histograma o el correspondiente polígono de frecuencias,
se está tratando a los datos como si fueran continuos. Esto, como se verá más tarde, resulta útil. Obsérvese que
ya en el problema 2.10 se usó un histograma y un polígono de frecuencias para datos discretos.
b) La tabla 2.13 es la requerida. Obsérvese que en esta tabla simplemente se da una distribución de las frecuencias acumuladas
y una distribución de las frecuencias acumuladas porcentuales de la cantidad de caras. Hay que notar que las
entradas “Menor de 1”, “Menor de 2”, etc., también podrían haber sido “Menor o igual a 0”, “Menor o igual a 1”,
etcétera.
c) La gráfica pedida se puede representar como en la figura 2-13 o la figura 2-14.
La figura 2-13 es más natural para representar datos discretos, ya que el porcentaje de lanzamientos en el que
se obtienen dos caras es igual al porcentaje en el que habrá menos de 1.75, 1.56 o 1.23 caras, es decir, es un mismo
porcentaje (18.2%) el que corresponde a todos estos valores (lo que se indica por la línea horizontal).
56 CAPÍTULO 2 DISTRIBUCIONES DE FRECUENCIAS
Número de caras
Menos de 0
Menos de 1
Menos de 2
Menos de 3
Menos de 4
Menos de 5
Menos de 6
Tabla 2.13
Número de lanzamientos
(frecuencias acumuladas)
0
38
182
524
811
975
1 000
Cantidades porcentuales
de lanzamientos
(frecuencias acumuladas
porcentuales)
0.0
3.8
18.2
52.4
81.1
97.5
100.0
En la figura 2-14 se presenta la gráfica de frecuencias acumuladas, u ojiva; los datos se tratan como si fueran
continuos.
Obsérvese que las figuras 2-13 y 2-14 corresponden, respectivamente, a las figuras 2-11 y 2-12 del inciso a).
100
Porcentajes acumulados
80
60
40
20
0
0
1
2
3
4
Caras
5
6
7
Figura 2-13 MINITAB, función escalonada.
100
Porcentajes acumulados
80
60
40
20
0
0 1 2 3 4 5
Caras
Figura 2-14 MINITAB, gráfica de frecuencias acumuladas.
6
PROBLEMAS RESUELTOS 57
CURVAS DE FRECUENCIAS Y OJIVAS SUAVIZADAS
2.18 Las muestras de poblaciones tienen histogramas y polígonos de frecuencias con ciertas formas. Si las muestras
son muy grandes, los histogramas y los polígonos de frecuencias se aproximan a la distribución de la población.
Considérense dos distribuciones de frecuencias poblacionales. a) Considérese una máquina que llena uniformemente
envases de refresco con una cantidad entre 15.9 y 16.1 onzas. Trazar la curva de frecuencias y determinar
qué porcentaje de los envases tiene más de 15.95 onzas. b) Considérense estaturas de mujeres. Estas
estaturas tienen una distribución de frecuencias poblacional que es simétrica o en forma de campana, en la que
el promedio es igual a 65 in y la desviación estándar es igual a 3 in. (La desviación estándar se estudia en un
capítulo posterior.) ¿Qué porcentaje de las estaturas se encuentran entre 62 y 68 in, es decir, están a no más de
una desviación estándar de la media? ¿Qué porcentaje se encuentra a no más de dos desviaciones estándar de
la media? ¿Qué porcentaje se encuentra a no más de tres desviaciones estándar de la media?
SOLUCIÓN
En la figura 2-15 se muestra una curva de frecuencias uniforme. La región sombreada corresponde a los envases con más
de 15.95 onzas. Obsérvese que la región abarcada por la curva de frecuencias tiene forma de rectángulo. El área bajo la
curva de frecuencias está dada por largo × ancho, es decir (16.10 − 15.90) × 5 = 1. El área de la región sombreada es
(16.10 − 15.95) × 5 = 0.75. Esto se interpreta como que 75% de los envases llenados tiene más de 15.95 onzas.
En la figura 2-16 se muestra una curva de frecuencias en forma de campana o simétrica. En esta figura se muestran
en una región sombreada las estaturas a no más de una desviación estándar. Para calcular esta área es necesario hacer uso
Frecuencias
5
0
15.90 15.95 16.00 16.05 16.10
Lleno (onzas)
Figura 2-15 MINITAB, curva de frecuencias uniforme que muestra llenado a más de 15.95 onzas.
0.14
0.12
0.10
Frecuencias
0.08
0.06
0.04
0.02
0.00
56
59
62
Altura (in)
Figura 2-16 MINITAB, curva de frecuencias en forma de campana que muestra la altura
entre 62 y 68 in y sus frecuencias.
65
68
71
74
58 CAPÍTULO 2 DISTRIBUCIONES DE FRECUENCIAS
del cálculo. El área comprendida a no más de una desviación estándar es aproximadamente 68% de toda el área bajo la
curva. El área a no más de dos desviaciones estándar es aproximadamente 95% de toda el área bajo la curva. El área a no
más de tres desviaciones estándar es aproximadamente 99.7% de toda el área bajo la curva.
En capítulos posteriores se verá más acerca de cómo encontrar áreas bajo estas curvas.
PROBLEMAS SUPLEMENTARIOS
2.19 a) Disponga los números 12, 56, 42, 21, 5, 18, 10, 3, 61, 34, 65 y 24 en una ordenación, y b) determine el rango.
2.20 En la tabla 2.14 se presenta una distribución de frecuencias de la cantidad de minutos por semana que ven televisión 400
estudiantes. De acuerdo con esta tabla, determinar:
a) El límite superior de la quinta clase.
b) El límite inferior de la octava clase.
c) La marca de clase de la séptima clase.
d ) Las fronteras de clase de la última clase.
e) El tamaño del intervalo de clase.
f ) La frecuencia de la cuarta clase.
g) La frecuencia relativa de la sexta clase.
h) El porcentaje de estudiantes que no ven televisión más de 600 minutos por semana.
i) El porcentaje de estudiantes que ven televisión 900 o más minutos por semana.
j) El porcentaje de estudiantes que ven televisión por lo menos 500 minutos por semana, pero menos de 1 000 minutos
por semana.
Tabla 2.14
Tiempo
(minutos)
300-399
400-499
500-599
600-699
700-799
800-899
900-999
1 000-1 099
1 100-1 199
Número de
estudiantes
14
46
58
76
68
62
48
22
6
2.21 Elaborar: a) un histograma y b) un polígono de frecuencias para la distribución de frecuencias de la tabla 2.14.
2.22 Con los datos de la tabla 2.14 del problema 2.20, construir: a) una distribución de frecuencias relativas, b) un histograma
de frecuencias relativas y c) un polígono de frecuencias relativas.
PROBLEMAS SUPLEMENTARIOS 59
2.23 Con los datos de la tabla 2.14, construir: a) una distribución de frecuencias acumuladas, b) una distribución acumulada
porcentual, c) una ojiva y d ) una ojiva porcentual. (Obsérvese que a menos que se especifique otra cosa, una distribución
acumulada es del tipo “menos que”.)
2.24 Repetir el problema 2.23, pero para el caso en que las frecuencias acumuladas sean del tipo “o mayor”.
2.25 Con los datos de la tabla 2.14, estimar el porcentaje de estudiantes que ven la televisión: a) menos de 560 minutos por
semana, b) 970 o más minutos por semana y c) entre 620 y 890 minutos por semana.
2.26 El diámetro interno de las lavadoras producidas por una empresa se mide con una exactitud de milésimas de pulgada. Si las
marcas de clase de la distribución de estos diámetros dados en pulgadas son 0.321, 0.324, 0.327, 0.330, 0.333 y 0.336,
encontrar: a) la amplitud del intervalo de clase, b) las fronteras de clase y c) los límites de clase.
2.27 En la tabla siguiente se dan los diámetros en centímetros de una muestra de 60 balines fabricados en una empresa. Elaborar
una distribución de frecuencias de los diámetros empleando los intervalos de clase adecuados.
1.738 1.729 1.743 1.740 1.736 1.741 1.735 1.731 1.726 1.737
1.728 1.737 1.736 1.735 1.724 1.733 1.742 1.736 1.739 1.735
1.745 1.736 1.742 1.740 1.728 1.738 1.725 1.733 1.734 1.732
1.733 1.730 1.732 1.730 1.739 1.734 1.738 1.739 1.727 1.735
1.735 1.732 1.735 1.727 1.734 1.732 1.736 1.741 1.736 1.744
1.732 1.737 1.731 1.746 1.735 1.735 1.729 1.734 1.730 1.740
2.28 Con los datos del problema 2.27, construir: a) un histograma, b) un polígono de frecuencias, c) una distribución de frecuencias
relativas, d ) un histograma de frecuencias relativas, e) un polígono de frecuencias relativas, f ) una distribución de
frecuencias acumuladas, g) una distribución acumulada porcentual, h) una ojiva, i) una ojiva porcentual.
2.29 Empleando los resultados del problema 2.28, determinar el porcentaje de balines cuyo diámetro: a) es mayor que 1.732 cm,
b) no es mayor que 1.736 cm y c) está entre 1.730 y 1.738 cm. Comparar los resultados con los obtenidos directamente a
partir de los datos en bruto del problema 2.27.
2.30 Repetir el problema 2.28 con los datos del problema 2.20.
2.31 De acuerdo con la Oficina de los Censos de Estados Unidos, en 1996 la población de este país era de 265 284 000. La tabla
2.15 da la distribución porcentual en los diversos grupos de edad.
a) ¿Cuál es la amplitud o el tamaño del segundo intervalo de clase? ¿Y la del cuarto intervalo de clase?
b) ¿Cuántos tamaños distintos de intervalos de clase hay?
c) ¿Cuántos intervalos de clase abiertos hay?
d ) ¿Cómo se deberá escribir el último intervalo de clase de manera que su amplitud sea igual a la del penúltimo intervalo
de clase?
e) ¿Cuál es la marca de clase del segundo intervalo de clase? ¿Y la del cuarto intervalo de clase?
f ) ¿Cuáles son las fronteras de clase del cuarto intervalo de clase?
g) ¿Qué porcentaje de la población tiene 35 años o más? ¿Qué porcentaje de la población tiene 64 años o menos?
h) ¿Qué porcentaje de la población tiene entre 20 y 49 inclusive?
i) ¿Qué porcentaje de la población tiene más de 70 años?
2.32 a) ¿Por qué es imposible construir un histograma porcentual o un polígono de frecuencias con la distribución de la tabla
2.15?
b) ¿Cómo hay que modificar esta distribución para que se pueda construir un histograma porcentual o un polígono de
frecuencias?
c) Usando la modificación del inciso b), construir estas gráficas.
60 CAPÍTULO 2 DISTRIBUCIONES DE FRECUENCIAS
Tabla 2.15
Grupo de edad en años
Menos de 5
5-9
10-14
15-19
20-24
25-29
30-34
35-39
40-44
45-49
50-54
55-59
60-64
65-74
75-84
85 o más
% de Estados Unidos
7.3
7.3
7.2
7.0
6.6
7.2
8.1
8.5
7.8
6.9
5.3
4.3
3.8
7.0
4.3
1.4
Fuente: U.S. Bureau of the Census, Current Population Reports.
2.33 Con relación a la tabla 2.15, supóngase que la población total es 265 millones y que la clase “menos de 5” comprende a
niños menores de 1 año. Dar el número de individuos que hay en cada grupo, en millones, con una exactitud de una décima
de millón.
2.34 a) Trazar un polígono de frecuencias porcentuales suavizado y una ojiva porcentual suavizada que correspondan a los
datos de la tabla 2.14.
b) Empleando los resultados del inciso a), estimar la probabilidad de que un estudiante vea menos de 10 horas de televisión
por semana.
c) Empleando los resultados del inciso a), estimar la probabilidad de que un estudiante vea 15 horas o más de televisión
por semana.
d ) Empleando los resultados del inciso a), estimar la probabilidad de que un estudiante vea menos de 5 horas de televisión
por semana.
2.35 a) Lanzar 50 veces cuatro monedas y tabular la cantidad de caras que obtiene en cada lanzamiento.
b) Elaborar una distribución de frecuencias en la que se muestre la cantidad de lanzamientos en los que se obtuvo 0, 1,
2, 3 y 4 caras.
c) Elaborar la distribución porcentual correspondiente al inciso b).
d ) Comparar los porcentajes obtenidos con los teóricos, 6.25%, 25%, 37.5%, 25% y 6.25% (proporcionales a 1, 4, 6, 4,
y 1), que se obtienen por las reglas de la probabilidad.
e) Graficar las distribuciones de los incisos b) y c)
f ) Trazar la ojiva porcentual correspondiente a los datos.
2.36 Repetir el problema 2.35 con 50 lanzamientos más de las cuatro monedas y ver si hay mayor coincidencia con lo que se
espera teóricamente. Si no es así, dar los razonamientos que puedan explicar esas diferencias.
MEDIA, MEDIANA,
MODA, Y OTRAS
3
MEDIDAS DE
TENDENCIA
CENTRAL
ÍNDICES O SUBÍNDICES
El símbolo, X j (que se lee “X subíndice j”) representa cualquiera de los N valores X 1 , X 2 , X 3 , . . . , X N que puede tomar
la variable X. A la letra j que aparece en X j representando a cualquiera de los números 1, 2, 3, . . . , N se le llama subíndice
o índice. En lugar de j se puede usar, por supuesto, cualquier otra letra, i, k, p, q o s.
SUMATORIA
El símbolo P N
j¼1 X j se emplea para denotar la suma de todas las X j desde j = 1 hasta j = N; por definición,
X N
j¼1
X j ¼ X 1 þ X 2 þ X 3 þþX N
Cuando no puede haber confusión, esta suma se denota simplemente como P X, P X j o P j X j. El símbolo P es la
letra griega mayúscula sigma y denota suma.
EJEMPLO 1
X N
j¼1
X j Y j ¼ X 1 Y 1 þ X 2 Y 2 þ X 3 Y 3 þþX N Y N
EJEMPLO 2
X N
j¼1
aX j ¼ aX 1 þ aX 2 þþaX N ¼ aðX 1 þ X 2 þþX N Þ¼a XN
donde a es una constante. O bien simplemente P aX ¼ a P X.
X j
j¼1
EJEMPLO 3 Si a, b y c son cualesquiera constantes, entonces P ðaX þ bY cZÞ ¼a P X þ b P Y c P Z. Ver problema
3.3.
61
62 CAPÍTULO 3 MEDIA, MEDIANA, MODA, Y OTRAS MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL
PROMEDIOS O MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL
Un promedio es un valor típico o representativo de un conjunto de datos. Como estos valores típicos tienden a encontrarse
en el centro de los conjuntos de datos, ordenados de acuerdo con su magnitud, a los promedios se les conoce
también como medidas de tendencia central.
Se pueden definir varios tipos de promedios; los más usados son la media aritmética, la mediana, la moda, la media
geométrica y la media armónica. Cada una de ellas tiene ventajas y desventajas de acuerdo con el tipo de datos y el
propósito de su uso.
LA MEDIA ARITMÉTICA
La media aritmética, o brevemente la media, de un conjunto de N números X 1 , X 2 , X 3 , . . . , X N se denota así: X (que se
lee “X barra”) y está definida como
X ¼ X 1 þ X 2 þ X 3 þþX N
N
¼
X N
X j
j¼1
N
¼ P X
N
(1)
EJEMPLO 4 La media aritmética de los números 8, 3, 5, 12 y 10 es
X ¼
8 þ 3 þ 5 þ 12 þ 10
¼ 38
5
5 ¼ 7:6
Si los números X 1 , X 2 , . . . , X K se presentan f 1 , f 2 , . . . , f K veces, respectivamente (es decir, se presentan con frecuencias
f 1 , f 2 , . . . , f K ), su media aritmética es
X = f 1X 1 + f 2 X 2 f K X K
=
f 1 + f 2 f K
∑ K
j=1
∑ K
j=1
f j X j ∑ ∑ fX fX
= ∑ = f N
f j
donde N ¼ P f es la suma de las frecuencias (es decir, la cantidad total de casos).
EJEMPLO 5 Si 5, 8, 6 y 2 se presentan con frecuencias 3, 2, 4 y 1, respectivamente, su media aritmética es
X ¼ ð3Þð5Þþð2Þð8Þþð4Þð6Þþð1Þð2Þ
3 þ 2 þ 4 þ 1
¼
15 þ 16 þ 24 þ 2
¼ 5:7
10
(2)
MEDIA ARITMÉTICA PONDERADA
Algunas veces, a los números X 1 , X 2 ,..., X K se les asignan ciertos factores de ponderación (o pesos) w 1 , w 2 ,..., w K ,
que dependen del significado o importancia que se les asigne a estos números. En este caso, a
X ¼ w P
1X 1 þ w 2 X 2 þþw K X k wX
¼ P (3)
w 1 þ w 2 þþw K w
se le llama media aritmética ponderada. Obsérvese la semejanza con la ecuación (2), la cual se puede considerar como
una media aritmética ponderada con pesos f 1 , f 2 ,..., f K .
EJEMPLO 6 Si en una clase, al examen final se le da el triple de valor que a los exámenes parciales y un estudiante obtiene 85
en el examen final, y 70 y 90 en los dos exámenes parciales, su puntuación media es
X ¼ ð1Þð70Þþð1Þð90Þþð3Þð85Þ
1 þ 1 þ 3
¼ 415
5 ¼ 83
CÁLCULO DE LA MEDIA ARITMÉTICA PARA DATOS AGRUPADOS 63
PROPIEDADES DE LA MEDIA ARITMÉTICA
1. En un conjunto de números, la suma algebraica de las desviaciones de estos números respecto a su media aritmética
es cero.
EJEMPLO 7 Las desviaciones de los números 8, 3, 5, 12 y 10 de su media aritmética, 7.6, son 8 − 7.6, 3 − 7.6, 5 − 7.6,
12 − 7.6 y 10 −7.6 o bien 0.4, −4.6, −2.6, 4.4 y 2.4, cuya suma algebraica es 0.4 − 4.6 − 2.6 + 4.4 + 2.4 = 0.
2. En un conjunto de números X j , la suma de los cuadrados de sus desviaciones respecto a un número a es un mínimo
si y sólo si a = X (ver el problema 4.27).
3. Si la media de f 1 números es m 1 , la media de f 2 números es m 2 , . . . , la media de f k números es m k , entonces la media
de todos estos números es
X ¼ f 1m 1 þ f 2 m 2 þþf K m K
f 1 þ f 2 þþf K
(4)
es decir, una media aritmética ponderada de todas las medias (véase el problemas 3.12).
4. Si se cree o se supone que un número A (que puede ser cualquier número) es la media aritmética y si d j = X j − A
son las desviaciones de X j de A, entonces las ecuaciones (1) y (2) se convierten, respectivamente, en
X ¼ A þ
X ¼ A þ
X K
X N
d j
j¼1
j¼1
X K
j¼1
N
f j d j
f j
¼ A þ P d
N
P fd
¼ A þ
N
(5)
(6)
donde N = ∑N j=1 f j = ∑ f . Obsérvese que las fórmulas (5) y (6) se resumen en la ecuación X ¼ A þ d (ver
problema 3.18).
CÁLCULO DE LA MEDIA ARITMÉTICA PARA DATOS AGRUPADOS
Cuando se presentan los datos en una distribución de frecuencias, se considera que todos los datos que caen en un
intervalo de clase dado coinciden con la marca o punto medio del intervalo. Para datos agrupados, interpretando a las
X j como las marcas de clase, a las f j como las correspondientes frecuencias de clase, a A como cualquier marca de clase
supuesta y d j = X j − A como la desviación de X j respecto de A, las fórmulas (2) y (6) son válidas.
A los cálculos empleando las fórmulas (2) y (6) se les suele conocer como método largo y método abreviado, respectivamente
(ver los problemas 3.15 y 3.20).
Si todos los intervalos de clase son de una misma amplitud c, las desviaciones d j = X j − A se pueden expresar como
cu j , donde u j puede tener valores enteros positivos o negativos o cero (es decir, 0, ±1, ±2, ±3, . . .) con lo que la
fórmula (6) se convierte en
0
B
@
X ¼ A þ
X K
j¼1
1
f j u j C
A
P fu
¼ A þ c
N
N
lo que es equivalente a la ecuación X ¼ A þ cu (ver problema 3.21). A esta ecuación se le conoce como método codificado
para calcular la media. Es un método muy breve recomendado para datos agrupados cuando los intervalos de
clase tienen todos la misma amplitud (ver problemas 3.22 y 3.23). Obsérvese que en el método codificado los valores
de la variable X se transforman en valores de la variable u de acuerdo con X = A + cu.
(7)
64 CAPÍTULO 3 MEDIA, MEDIANA, MODA, Y OTRAS MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL
LA MEDIANA
La mediana de un conjunto de números acomodados en orden de magnitud (es decir, en una ordenación) es el valor
central o la media de los dos valores centrales.
EJEMPLO 8 La mediana del conjunto de números 3, 4, 5, 6, 8, 8, 8 y 10 es 6.
EJEMPLO 9 La mediana del conjunto de números 5, 5, 7, 9, 11, 12, 15 y 18 es 1 2 (9 + 11) = 10.
En datos agrupados, la mediana se obtiene por interpolación, como se expresa por la fórmula
0
N
ð P 1
f Þ
B
Mediana ¼ L 1 þ 2
1 C
@
Ac (8)
f mediana
donde
L 1 = frontera inferior de la clase mediana (es decir, de la clase que contiene la mediana)
N = número de datos (es decir, la frecuencia total)
ð P f Þ 1 = suma de las frecuencias de todas las clases anteriores a la clase mediana
f mediana = frecuencia de la clase mediana
c = amplitud del intervalo de la clase mediana
Geométricamente, la mediana es el valor de X (abscisa) que corresponde a una recta vertical que divide al histograma
en dos partes que tienen la misma área. A este valor de X se le suele denotar ~X.
LA MODA
La moda de un conjunto de números es el valor que se presenta con más frecuencia; es decir, es el valor más frecuente.
Puede no haber moda y cuando la hay, puede no ser única.
EJEMPLO 10 La moda del conjunto 2, 2, 5, 7, 9, 9, 9, 10, 10, 11, 12 y 18 es 9.
EJEMPLO 11 El conjunto 3, 5, 8, 10, 12, 15 y 16 no tiene moda.
EJEMPLO 12 El conjunto 2, 3, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 7, 7 y 9 tiene dos modas, 4 y 7, por lo que se le llama bimodal.
A una distribución que sólo tiene una moda se le llama unimodal.
En el caso de datos agrupados, para los que se ha construido una curva de frecuencia que se ajuste a los datos, la
moda es el valor (o los valores) de X que corresponden al punto (o puntos) máximos de la curva. A este valor de X se
le suele denotar ^X.
En una distribución de frecuencia o en un histograma la moda se puede obtener mediante la fórmula siguiente:
Moda = L 1 þ 1
c (9)
1 þ 2
donde L 1 = frontera inferior de la clase modal (es decir, de la clase que contiene la moda)
1 = exceso de frecuencia modal sobre la frecuencia en la clase inferior inmediata
2 = exceso de frecuencia modal sobre la frecuencia en la clase superior inmediata
c = amplitud del intervalo de la clase modal
RELACIÓN EMPÍRICA ENTRE LA MEDIA, LA MEDIANA Y LA MODA
En las curvas de frecuencias unimodales que son ligeramente sesgadas (asimétricas), se tiene la relación empírica
siguiente:
Media − moda = 3(media − mediana) (10)
LA MEDIA ARMÓNICA H 65
En las figuras 3-1 y 3-2 se muestran las posiciones relativas de la media, la mediana y la moda en curvas de frecuencias
sesgadas a la derecha o a la izquierda, respectivamente. En las curvas simétricas, la media, la mediana y la
moda coinciden.
0
* * *
0 Moda Mediana Media
Figura 3-1 Posiciones relativas de la media, la mediana y la moda en curvas de frecuencias sesgadas a la derecha.
Figura. 3-2
0
* * *
0
Media Mediana Moda
Posiciones relativas de la media, la mediana y la moda en curvas de frecuencias sesgadas a la izquierda.
LA MEDIA GEOMÉTRICA G
La media geométrica G de N números positivos X 1 , X 2 , X 3 ,..., X N es la raíz n-ésima del producto de los números:
p
G ¼ ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
N X 1 X 2 X 3 X N
(11)
p
EJEMPLO 13 La media geométrica de los números 2, 4 y 8 es G ¼ ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
3 ð2Þð4Þð8Þ
p
¼ 3 ffiffiffiffiffi
64 ¼ 4.
G se puede calcular empleando logaritmos (ver problema 3.35) o usando una calculadora. Para la media geométrica
de datos agrupados, ver los problemas 3.36 y 3.91.
LA MEDIA ARMÓNICA H
La media armónica H de un conjunto de N números X 1 , X 2 , X 3 , . . . , X N es el recíproco de la media aritmética de los
recíprocos de los números:
H ¼
1
1 X N
N
j¼1
¼
1
X j
N
P 1
X
(12)
66 CAPÍTULO 3 MEDIA, MEDIANA, MODA, Y OTRAS MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL
En la práctica es más fácil recordar que
P 1
1
H ¼ X
N
¼ 1 P 1
N X
(13)
EJEMPLO 14 La media armónica de los números 2, 4 y 8 es
H ¼
3
1
2 þ 1 4 þ 1 8
¼ 3 ¼ 3:43
7
8
Para la media armónica de datos agrupados ver los problemas 3.99 y 3.100.
RELACIÓN ENTRE LAS MEDIAS ARITMÉTICA, GEOMÉTRICA Y ARMÓNICA
La media geométrica de un conjunto de números positivos X 1 , X 2 ,..., X N es menor o igual que su media aritmética,
pero mayor o igual que su media armónica. En símbolos,
H G X (14)
La igualdad es válida sólo cuando todos los números X 1 , X 2 , . . . , X N son idénticos.
EJEMPLO 15 La media aritmética de los números 2, 4 y 8 es 4.67, su media geométrica es 4 y su media armónica es 3.43.
LA RAÍZ CUADRADA MEDIA
pffiffiffiffiffi
La raíz cuadrada media (RCM) o media cuadrática de un conjunto de números X 1 , X 2 ,..., X N suele denotarse X 2 y
se define
RCM = ¼
pffiffiffiffiffiffi
X 2 ¼
sffi
X N
Xj
2
j¼1
rffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
P X
2
N ¼ N
(15)
Este tipo de promedio suele usarse en aplicaciones físicas.
EJEMPLO 16 La raíz cuadrada media del conjunto 1, 3, 4, 5, y 7 es
rffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
1 2 þ 3 2 þ 4 2 þ 5 2 þ 7 2 p
¼
ffiffiffiffiffi
20 ¼ 4:47
5
CUARTILES, DECILES Y PERCENTILES
En un conjunto de datos en el que éstos se hallan ordenados de acuerdo con su magnitud, el valor de en medio (o la
media aritmética de los dos valores de en medio), que divide al conjunto en dos partes iguales, es la mediana. Continuando
con esta idea se puede pensar en aquellos valores que dividen al conjunto de datos en cuatro partes iguales. Estos
valores, denotados Q 1 , Q 2 y Q 3 son el primero, segundo y tercer cuartiles, respectivamente; el valor Q 2 coincide con
la mediana.
De igual manera, los valores que dividen al conjunto en diez partes iguales son los deciles y se denotan D 1 ,
D 2 , . . . , D 9 , y los valores que dividen al conjunto en 100 partes iguales son los percentiles y se les denota P 1 , P 2 , . . . ,
P 99 . El quinto decil y el percentil 50 coinciden con la mediana. Los percentiles 25 y 75 coinciden con el primero y
tercer cuartiles, respectivamente.
A los cuartiles, deciles, percentiles y otros valores obtenidos dividiendo al conjunto de datos en partes iguales se
les llama en conjunto cuantiles. Para el cálculo de estos valores cuando se tienen datos agrupados ver los problemas
3.44 a 3.46.
SOFTWARE Y MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL 67
EJEMPLO 17 Utilizar EXCEL para hallar Q 1 , Q 2 , Q 3 , D 9 y P 95 , en la muestra siguiente de puntuaciones.
88 45 53 86 33 86 85 30 89 53 41 96 56 38 62
71 51 86 68 29 28 47 33 37 25 36 33 94 73 46
42 34 79 72 88 99 82 62 57 42 28 55 67 62 60
96 61 57 75 93 34 75 53 32 28 73 51 69 91 35
Para encontrar el primer cuartil, ingrese los datos en los primeros 60 renglones de la columna A de la hoja de
cálculo de EXCEL. Después, dé el comando =PERCENTILE(A1:A60,0.25). EXCEL da el valor 37.75. Se encuentra
que 15 de los 60 valores, o el 25%, son menores que 37.75. De igual manera =PERCENTILE(A1:A60,0.5) da 57,
=PERCENTILE(A1:A60,0.75) da 76, =PERCENTILE(A1:A60,0.9) da 89.2, =PERCENTILE(A1:A60,0.95) da 94.1.
EXCEL da los cuartiles, deciles y percentiles expresados como percentiles.
A continuación se describe un algoritmo que suele emplearse para hallar cuartiles, deciles y percentiles. Primero
se ordenan los datos del ejemplo 17 de acuerdo con su magnitud; el resultado es:
Puntuaciones de examen
25 28 28 28 29 30 32 33 33 33 34 34 35 36 37
38 41 42 42 45 46 47 51 51 53 53 53 55 56 57
57 60 61 62 62 62 67 68 69 71 72 73 73 75 75
79 82 85 86 86 86 88 88 89 91 93 94 96 96 99
Supóngase que se quiere encontrar el primer cuartil (que es el percentil 25). Se calcula i = np/100 = 60(25)/100
= 15. Como 15 es un número entero, se saca el promedio de los datos en las posiciones 15 y 16 de los datos ordenados
de menor a mayor. Es decir, se promedian 37 y 38 y se obtiene 37.5 como primer cuartil (Q 1 = 37.5). Para hallar el
percentil 93, se calcula np/100 = 60(93)/100 y se obtiene 55.8. Como este número no es un entero, se redondea hacia
arriba y se obtiene 56. El número que ocupa la posición 56 en los datos ordenados es 93 y P 93 = 93. El comando de
EXCEL =PERCENTILE(A1:A60,0.93) da 92.74. Obsérvese que con EXCEL no se obtienen los mismos valores para
los percentiles, pero sí valores cercanos. A medida que los conjuntos de datos son mayores, tienden a obtenerse los
mismos valores.
SOFTWARE Y MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL
Todos los paquetes de software utilizados en este libro dan las estadísticas descriptivas vistas en esta sección. A continuación
se presentan los resultados que se obtienen con estos cinco paquetes empleando las puntuaciones de examen
del ejemplo 17.
EXCEL
Seleccionando la secuencia “Tools ⇒ Data Analysis ⇒ Descriptive Statistics”, se obtienen las medidas de tendencia
central mediana, media y moda, así como varias medidas de dispersión.
Media 59.16667
Error típico 2.867425
Mediana 57
Moda 28
Desviación estándar 22.21098
Varianza de la muestra 493.3277
Curtosis −1.24413
Coeficiente de asimetría 0.167175
Rango 74
Mínimo 25
Máximo 99
Suma 3 550
Cuenta 60
68 CAPÍTULO 3 MEDIA, MEDIANA, MODA, Y OTRAS MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL
MINITAB
Si se selecciona la secuencia “Stat ⇒ Basic Statistics ⇒ Display Descriptive Statistics”, como resultado se obtiene:
Estadística descriptiva: calificación de examen
Variable N N* Media SE media Desv est Mínimo Q1 Mediana Q3 Máxima
Punt examen 60 0 59.17 2.87 22.21 25.00 37.25 57.00 78.00 99.00
SPSS
Si se selecciona la secuencia “Analyze ⇒ Descriptive Statistics ⇒ Descriptives”, como resultado se obtiene:
Estadística descriptiva
Puntuación de examen
N válida
N Mínimo Máximo Media
Desviación
estándar
60 25.00 99.00 59.1667 22.21098
60
SAS
Si se selecciona la secuencia “Solutions ⇒ Análisis ⇒ Analyst” y los datos se leen como un archivo, seleccionando
la secuencia “Statistics ⇒ Descriptive ⇒ Summary Statistics”, se obtiene como resultado:
The MEANS Procedure
Analysis Variable : Testscr
Mean Std Dev N Minimum Maximum
ffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffff
59.1666667 22.2109811 60 25.0000000 99.0000000
ffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffff
STATISTIX
Si se selecciona la secuencia “Statistics ⇒ Summary Statistics ⇒ Descriptive Statistics” del paquete STATISTIX,
como resultado se obtiene:
Statistix 8.0
Descriptive Staistics
Testscore
N 60
Mean 59.167
SD 22.211
Minimum 25.000
1st Quarti 37.250
3rd Quarti 78.000
Maximum 99.000
PROBLEMAS RESUELTOS 69
PROBLEMAS RESUELTOS
SUMATORIA
3.1 Escribir los términos de cada una de las sumas siguientes:
a)
X 6
j¼1
X j c)
X N
j¼1
a e)
X 3
j¼1
ðX j
aÞ
b)
X 4
j¼1
ðY j 3Þ 2 d )
X 5
k¼1
f k X k
SOLUCIÓN
a)
b)
c)
d )
e)
X 1 þ X 2 þ X 3 þ X 4 þ X 5 þ X 6
ðY 1 3Þ 2 þðY 2 3Þ 2 þðY 3 3Þ 2 þðY 4 3Þ 2
a þ a þ a þþa ¼ Na
f 1 X 1 þ f 2 X 2 þ f 3 X 3 þ f 4 X 4 þ f 5 X 5
ðX 1 aÞþðX 2 aÞþðX 3 aÞ¼X 1 þ X 2 þ X 3 3a
3.2 Expresar cada una de las sumas siguientes empleado el símbolo de sumatoria.
a)
b)
c)
d )
e)
X1 2 þ X2 2 þ X3 2 þþX10
2
ðX 1 þ Y 1 ÞþðX 2 þ Y 2 ÞþþðX 8 þ Y 8 Þ
f 1 X1 3 þ f 2 X2 3 þþf 20 X20
3
a 1 b 1 þ a 2 b 2 þ a 3 b 3 þþa N b N
f 1 X 1 Y 1 þ f 2 X 2 Y 2 þ f 3 X 3 Y 3 þ f 4 X 4 Y 4
SOLUCIÓN
a)
X 10
j¼1
X 2 j c)
X 20
j¼1
f j X 3 j e)
X 4
j¼1
f j X j Y j
b)
X 8
j¼1
ðX j þ Y j Þ d )
X N
j¼1
a j b j
3.3 Probar que P N
j¼1 ðaX j þ bY j
SOLUCIÓN
cZ j Þ¼a P N
j¼1 X j þ b P N
j¼1 Y j
c P N
j¼1 Z j, donde a, b y c son constantes.
X N
j¼1
ðaX j þ bY j cZ j Þ¼ðaX 1 þ bY 1 cZ 1 ÞþðaX 2 þ bY 2 cZ 2 ÞþþðaX N þ bY N cZ N Þ
¼ðaX 1 þ aX 2 þþaX N ÞþðbY 1 þ bY 2 þþbY N Þ ðcZ 1 þ cZ 2 þþcZ N Þ
¼ aðX 1 þ X 2 þþX N ÞþbðY 1 þ Y 2 þþY N Þ cðZ 1 þ Z 2 þþZ N Þ
¼ a XN
X j þ b XN
Y j
j¼1 j¼1
c XN
Z j
j¼1
o brevemente, P ðaX þ bY cZÞ ¼a P X þ b P Y c P Z.
70 CAPÍTULO 3 MEDIA, MEDIANA, MODA, Y OTRAS MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL
3.4 Dos variables, X y Y toman los valores X 1 = 2, X 2 = −5, X 3 = 4, X 4 = −8 y Y 1 = −3, Y 2 = −8, Y 3 = 10,
Y 4 = 6, respectivamente. Calcular a) P X, b) P Y, c) P XY, d ) P X 2 , e) P Y 2 , f ) ( P X)( P Y), g) P XY 2 y
h) P (X + Y )(X − Y ).
SOLUCIÓN
Obsérvese que en todos los casos se ha omitido en X y Y el subíndice j y que la P se entiende como P 4
j¼1. Por lo tanto, por
ejemplo P X es abreviación de P 4
j¼1 X j.
P
a) X ¼ð2Þþð 5Þþð4Þþð 8Þ ¼2 5 þ 4 8 ¼ 7
P
b) Y ¼ð 3Þþð 8Þþð10Þþð6Þ ¼ 3 8 þ 10 þ 6 ¼ 5
P
c) XY ¼ð2Þð 3Þþð 5Þð 8Þþð4Þð10Þþð 8Þð6Þ ¼ 6 þ 40 þ 40 48 ¼ 26
P
d ) X 2 ¼ð2Þ 2 þð 5Þ 2 þð4Þ 2 þð 8Þ 2 ¼ 4 þ 25 þ 16 þ 64 ¼ 109
P
e) Y 2 ¼ð 3Þ 2 þð 8Þ 2 þð10Þ 2 þð6Þ 2 ¼ 9 þ 64 þ 100 þ 36 ¼ 209
f ) ð P XÞð P YÞ¼ð 7Þð5Þ ¼ 35, de acuerdo con los incisos a) y b). Obsérvese que ðP XÞð P YÞ 6¼ P XY
P .
g) XY 2 ¼ð2Þð 3Þ 2 þð 5Þð 8Þ 2 þð4Þð10Þ 2 þð 8Þð6Þ 2 ¼ 190
P P
h) ðX þ YÞðX YÞ ¼ ðX
2
Y 2 Þ¼ P X 2 P Y 2 ¼ 109 209 ¼ 100, de acuerdo con los incisos d ) y e).
3.5 En una nota de USA Today se informa que el promedio de impuestos, per cápita, recolectados en 2005, en todo
Estados Unidos, fue de $2 189.84. Esta cantidad se desglosa así: ventas e ingresos, $1051.42; ingreso, $875.23;
licencias, $144.33; otros, $80.49, y propiedades, $38.36. Usando EXCEL, demostrar que la suma es igual a $2
189.84.
SOLUCIÓN
Obsérvese que la expresión =sum(A1:A5) es equivalente a X5
1 051.42 ventas e ingresos
875.23 ingreso
144.33 licencias
80.49 otros
38.36 propiedades
2 189.83 =sum(A1:A5)
j¼1
X j .
LA MEDIA ARITMÉTICA
3.6 Las calificaciones de un estudiante en seis exámenes fueron 84, 91, 72, 68, 87 y 78. Hallar la media aritmética
de estas calificaciones.
SOLUCIÓN
P X
X ¼
N
84 þ 91 þ 72 þ 68 þ 87 þ 78
¼ ¼ 480
6
6 ¼ 80
El término promedio suele emplearse como sinónimo de media aritmética. Sin embargo, estrictamente hablando, esto no
es correcto, ya que además de la media hay otros promedios.
3.7 Un científico mide diez veces el diámetro de un cilindro y obtiene los valores 3.88, 4.09, 3.92, 3.97, 4.02, 3.95,
4.03, 3.92, 3.98 y 4.06 centrímetros (cm). Hallar la media aritmética de estas mediciones.
PROBLEMAS RESUELTOS 71
SOLUCIÓN
P X
X ¼
N
¼
3:88 þ 4:09 þ 3:92 þ 3:97 þ 4:02 þ 3:95 þ 4:03 þ 3:92 þ 3:98 þ 4:06
10
¼ 39:82 ¼ 3:98 cm
10
3.8 En el siguiente resultado obtenido con MINITAB se muestra la cantidad de tiempo por semana que 30 personas
estuvieron empleando en Internet, así como la media de estas cantidades. ¿Podría decirse que este promedio es
típico de las 30 cantidades?
MTB > print cl
Muestra de datos
tiempo
3 4 4 5 5 5 5 5 5 6
6 6 6 7 7 7 7 7 8 8
9 10 10 10 10 10 10 12 55 60
MTB > mean cl
Media de la columna
Mean of time = 10.400
SOLUCIÓN
Esta media de 10.4 horas no es típica de estas cantidades. Obsérvese que 21 de estas cantidades son de un solo dígito y que
la media es 10.4 horas. Una gran desventaja de la media es que es fuertemente afectada por valores atípicos (o valores
extremos.)
3.9 Encontrar la media aritmética de los números 5, 3, 6, 5, 4, 5, 2, 8, 6, 5, 4, 8, 3, 4, 5, 4, 8, 2, 5 y 4.
SOLUCIÓN
Primer método
P X
X ¼
N ¼ 5 þ 3 þ 6 þ 5 þ 4 þ 5 þ 2 þ 8 þ 6 þ 5 þ 4 þ 8 þ 3 þ 4 þ 5 þ 4 þ 8 þ 2 þ 5 þ 4 ¼ 96
20
20 ¼ 4:8
Segundo método
Hay las siguientes cantidades: seis 5, dos 3, dos 6, cinco 4, dos 2 y tres 8. Por lo tanto
P P fX fX
X ¼ P ¼ f N
¼ ð6Þð5Þþð2Þð3Þþð2Þð6Þþð5Þð4Þþð2Þð2Þþð3Þð8Þ
6 þ 2 þ 2 þ 5 þ 2 þ 3
¼ 96
20 ¼ 4:8
3.10 De 100 números, 20 fueron 4, 40 fueron 5, 30 fueron 6 y los restantes fueron 7. Encuéntrese la media aritmética
de estos números.
SOLUCIÓN
X ¼
P fX
P f
P fX
¼
N
¼ ð20Þð4Þþð40Þð5Þþð30Þð6Þþð10Þð7Þ ¼ 530
100
100 ¼ 5:30
3.11 Las calificaciones finales de un estudiante en matemáticas, física, inglés e higiene son, respectivamente, 82,
86, 90 y 70. Si los créditos en cada uno de estos cursos son 3, 5, 3 y 1, determinar la correspondiente calificación
promedio.
72 CAPÍTULO 3 MEDIA, MEDIANA, MODA, Y OTRAS MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL
SOLUCIÓN
Se emplea la media aritmética ponderada, en donde los pesos que corresponden a cada puntuación son los créditos que les
corresponden. Así,
P wX
X ¼ P ¼ ð3Þð82Þþð5Þð86Þþð3Þð90Þþð1Þð70Þ ¼ 85
w 3 þ 5 þ 3 þ 1
3.12 En una empresa en la que hay 80 empleados, 60 ganan $10.00 por hora y 20 ganan $13.00 por hora.
a) Determinar el sueldo medio por hora.
b) En el inciso a), ¿se obtiene la misma respuesta si los 60 empleados tienen un salario promedio de $10.00
por hora? Probar la respuesta.
c) ¿Se considera que este salario medio por hora es representativo?
SOLUCIÓN
a)
P fX
X ¼
N
¼ ð60Þð$10:00Þþð20Þð$13:00Þ ¼ $10:75
60 þ 20
b) Sí, el resultado es el mismo. Para probar esto supóngase que la media de f 1 números es m 1 y que la media de f 2 números
es m 2 . Hay que demostrar que la media de todos estos números es
X ¼ f 1m 1 þ f 2 m 2
f 1 þ f 2
Sea M 1 la suma de los f 1 números y M 2 la suma de los f 2 números. Entonces, por definición de media aritmética,
m 1 ¼ M 1
y m
f 2 ¼ M 2
1 f 2
o M 1 = f 1 m 1 y M 2 = f 2 m 2 . Como todos los (f 1 + f 2 ) números suman (M 1 + M 2 ), la media aritmética de todos estos
números es
X ¼ M 1 þ M 2
¼ f 1m 1 þ f 2 m 2
f 1 þ f 2 f 1 þ f 2
como se deseaba. Este resultado se puede ampliar fácilmente.
c) Se puede decir que $10.75 es un salario “representativo” por hora en el sentido de que la mayor parte de los empleados
gana $10.00 por hora, lo que no se aleja mucho de $10.75 por hora. Se debe recordar que siempre que se resuman
datos numéricos en un solo dato (como en un promedio) es posible que se cometa algún error. Sin embargo, el resultado
desorienta tanto como en el problema 3.8
En realidad, para tener una mejor idea se debe dar una estimación de la “dispersión” o “variación” de los datos
con respecto a la media. A esto se le llama dispersión de los datos. En el capítulo 4 se dan varias medidas de dispersión.
3.13 Los pesos medio de cuatro grupos de estudiantes que constan de 15, 20, 10 y 18 individuos son 162, 148, 153
y 140 libras, respectivamente. Encuentre el peso medio de todos los estudiantes.
SOLUCIÓN
X ¼
P fX
P f
¼ ð15Þð162Þþð20Þð148Þþð10Þð153Þþð18Þð140Þ
15 þ 20 þ 10 þ 18
¼ 150 lb
3.14 El ingreso medio anual de trabajadores agrícolas y no agrícolas es $25 000 y $35 000, respectivamente; ¿el
ingreso medio anual de los dos grupos será $30 000?
PROBLEMAS RESUELTOS 73
SOLUCIÓN
Sería $30 000 únicamente si la cantidad de trabajadores agrícolas y no agrícolas fuese la misma. Para determinar el verdadero
ingreso medio anual se necesita saber cuál es la cantidad relativa de trabajadores en cada grupo. Supóngase que 10%
de los trabajadores son trabajadores agrícolas. En ese caso la media será (0.10)(25 000) + (0.90)(35 000) = $34 000. Si la
cantidad de trabajadores de ambos tipos es la misma, la media será (0.50)(25 000) + (0.50)(35 000) = $30 000.
3.15 Usando la distribución de frecuencias de las estaturas que se presenta en la tabla 2.1, hallar la estatura media
de los 100 estudiantes de la universidad XYZ.
SOLUCIÓN
En la tabla 3.1 se presentan los datos organizados para hacer los cálculos. Obsérvese que como estatura de los estudiantes
que miden de 60 a 62 pulgadas (in), de 63 a 65 in, etc., se toman 61 in, 64 in, etc., respectivamente. Entonces, el problema
se reduce a encontrar la estatura media de 100 estudiantes si 5 tienen una estatura de 61 in, 18 tienen una estatura de 64 in,
etcétera.
Estos cálculos pueden resultar tediosos, en especial en los casos en que los números son grandes y se tienen muchas
clases. Existen técnicas abreviadas para reducir el trabajo; ver los problemas 3.20 y 3.22.
Tabla 3.1
Estatura (in) Marcas de clase (X ) Frecuencias ( f ) f X
60-62
63-65
66-68
69-71
72-74
61
64
67
70
73
5
18
42
27
8
305
1 152
2 814
1 890
584
P f X = 6 745
N = P f = 100
X ¼
P fX
P f
P fX
¼
N = 6 745 = 67.45 in
100
PROPIEDADES DE LA MEDIA ARITMÉTICA
3.16 Probar que la suma de las desviaciones de X 1 , X 2 , . . . , X N respecto a su media X es igual a cero.
SOLUCIÓN
Sean d 1 ¼ X 1
X, d 2 ¼ X 2
X, ..., d N ¼ X N
X las desviaciones de X 1 , X 2 , . . . , X N de su media, X. Entonces
La suma de las desviaciones ¼ P d j ¼ P ðX j
XÞ ¼ P X j N X
¼ P P
Xj
X j N ¼ P P
X
N
j Xj ¼ 0
donde se usa P en vez de P N
j¼1 . Si se desea, también se puede omitir el subíndice j de X j siempre que éste se sobreentienda.
3.17 Si Z 1 ¼ X 1 þ Y 1 , Z 2 ¼ X 2 þ Y 2 ; ...; Z N ¼ X N þ Y N , probar que Z ¼ X þ Y.
SOLUCIÓN
Por definición
P X
X ¼
N
P Y
Y ¼
N
P Z
Z ¼
N
74 CAPÍTULO 3 MEDIA, MEDIANA, MODA, Y OTRAS MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL
P Z
Por lo tanto Z ¼
N
P P P P P ðX þ YÞ X þ Y X Y
¼ ¼
¼
N
N N
þ N
¼ X þ Y
en donde los subíndices de X, Y y Z se han omitido y donde P significa P N
j¼1.
3.18 a) Si las desviaciones de N números X 1 , X 2 , . . . , X N de un número cualquiera A están dadas por d 1 = X 1 − A,
d 2 = X 2 − A, . . . , d N = X N − A, respectivamente, probar que
X ¼ A þ
X N
j¼1
N
d j
¼ A þ P d
N
b) En caso de que X 1 , X 2 , . . . , X K tengas frecuencias respectivas f 1 , f 2 , . . . , f K y que d 1 = X 1 − A, . . . ,
d K = X K − A demostrar que en lugar del resultado del inciso a) se tiene
X K
X ¼ A þ
j¼1
X K
j¼1
f j d j
f j
P fd
¼ A þ
N
donde
X K
j¼1
f j ¼ P f ¼ N
SOLUCIÓN
a) Primer método
Ya que d j = X j − A y que X j = A + d j , se tiene
X ¼
P
Xj
N
P ðA þ ¼ dj Þ
¼
N
donde se usa P en lugar de P N
j¼1 para abreviar.
Segundo método
P P A þ dj
N
¼ NA þ P d j
N
¼ A þ
Se tiene d = X − A o bien X = A + d, omitiendo los subíndices de d y X. Por lo tanto, de acuerdo con el problema
3.17,
P
X ¼ A þ d d
¼ A þ
N
ya que la media de cualquier cantidad de constantes todas iguales a A es A.
b) X ¼
X K
j¼1
X K
j¼1
f j X j P
fj X j
¼
N
f j
¼ AN þ P f j d j
N
P
dj
P P ¼
fj ðA þ d j Þ Afj þ P f j d j
¼
¼ A P f j þ P f j d j
N
N
N
P
fj d j
¼ A þ
N
¼ A þ P fd
N
Obsérvese que formalmente este resultado se obtiene del inciso a) sustituyendo j d j por f j d j y sumando desde j = 1 hasta
K en lugar de desde j = 1 hasta N. El resultado es equivalente a X ¼ A þ d , donde d ¼ð P fdÞ=N.
N
CÁLCULO DE LA MEDIA ARITMÉTICA A PARTIR DE DATOS AGRUPADOS
3.19 Emplee el método del problema 3.18a) para hallar la media aritmética de los números 5, 8, 11, 9, 12, 6, 14 y
10, eligiendo como “media supuesta” A los valores a) 9 y b) 20.
PROBLEMAS RESUELTOS 75
SOLUCIÓN
a) Las ∑ desviaciones de los números dados respecto al 9 son −4, −1, 2, 0, 3, −3, 5 y 1, y la suma de las desviaciones es
d = −4 − 1 + 2 + 0 + 3 − 3 + 5 + 1 = 3. Por lo tanto
P d
X ¼ A þ
N ¼ 9 þ 3 8 ¼ 9:375
b) Las desviaciones de los números dados, respecto al 20, son −15, −12, −9, −11, −8, −14, −6 y −10 y P d ¼ 85.
Por lo tanto,
P d ð 85Þ
X ¼ A þ ¼ 20 þ ¼ 9:375
N 8
3.20 Emplee el método del problema 3.18b) para hallar la media aritmética de las estaturas de 100 estudiantes de la
universidad XYZ (ver problema 3.15).
SOLUCIÓN
Para facilitar los cálculos pueden organizarse los datos como en la tabla 3.2. Como media supuesta A se toma la marca de
clase 67 (que corresponde a la clase con mayor frecuencia), aunque para A se puede tomar cualquier marca de clase.
Obsérvese que de esta manera los cálculos son más sencillos que en el problema 3.15. Para simplificar aún más el trabajo,
se puede proceder como en el problema 3.22, donde se hace uso de que todas las desviaciones (columna 2 de la tabla 3.2)
son múltiplos enteros de la amplitud del intervalo de clase.
Tabla 3.2
Marcas de clase (X)
Desviación
d = X − A Frecuencias ( f ) fd
61
64
A→ 67
70
73
−6
−3
0
3
6
5
18
42
27
8
−30
−54
0
81
48
N = P f = 100 P fd = 45
P fd 45
X ¼ A þ ¼ 67 þ ¼ 67:45 in
N 100
3.21 Con d j = X j − A se denotan las desviaciones de las marcas de clase X j , de una distribución de frecuencias,
respecto a una marca de clase dada A. Mostrar que si todos los intervalos de clase son de una misma amplitud
c, entonces: a) todas las desviaciones son múltiplos de c (es decir, d j = cu j donde u j = 0, ±1, ±2, ...) y b) que
la media aritmética se puede calcular empleando la fórmula
P fu
X ¼ A þ c
N
SOLUCIÓN
a) Lo pedido queda ilustrado en la tabla 3.2 del problema 3.20, donde en la columna 2 se observa que todas las desviaciones
son múltiplos de la amplitud del intervalo de clase c = 3 in.
Para ver que esto es válido en general, obsérvese que si X 1 , X 2 , X 3 , . . . son marcas de clase sucesivas, la diferencia
entre ellas será igual a c, de manera que X 2 = X 1 + c, X 3 = X 1 + 2c, y en general, X j = X 1 + ( j − 1)c. Entonces,
la diferencia entre cualesquiera dos marcas de clase, por ejemplo, X p y X q , será
que es un múltiplo de c.
X p X q ¼½X 1 þðp 1ÞcŠ ½X 1 þðq 1ÞcŠ ¼ðp qÞc
76 CAPÍTULO 3 MEDIA, MEDIANA, MODA, Y OTRAS MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL
b) De acuerdo con el inciso a), las desviaciones de todas las marcas de clase respecto a una marca de clase dada son
múltiplos de c (es decir, d j = cu j ). Entonces, usando el problema 3.18b), se tiene
P P P P
fj d j
X ¼ A þ
N
¼ A þ fj ðcu j Þ
fj u j
fu
¼ A þ c
N
N ¼ A þ c
N
Obsérvese que esto es equivalente a X ¼ A þ cu, lo que se obtiene de X ¼ A þ d sustituyendo d = cu y observando
que d ¼ cu (ver problema 3.18).
3.22 Emplee los resultados del problema 3.21b) para hallar la estatura media de los 100 estudiantes de la universidad
XYZ (ver problema 3.20).
SOLUCIÓN
Para facilitar los cálculos pueden organizarse los datos como en la tabla 3.3. A este método de le llama método de compilación
y se recomienda usarlo siempre que sea posible.
Tabla 3.3
X u f fu
61
64
67
A ⎯→
70
73
−2
−2
0
1
2
5
18
42
27
8
−10
−18
0
27
16
N = 100
P fu = 15
P
fu
X ¼ A þ c ¼ 67 þ 15
ð3Þ ¼67:45 in
N
100
3.23 Calcule el salario medio semanal de los 65 empleados de la empresa P&R a partir de la distribución de frecuencias
de la tabla 2.5, empleando: a) el método largo y b) el método codificado.
SOLUCIÓN
En las tablas 3.4 y 3.5 se dan las soluciones de a) y b), respectivamente.
Tabla 3.5
Tabla 3.4
N = 65
P f X = $18 185.00 N = 65
P fu = 31
X f f X
X u f f X
$255.00
265.00
275.00
285.00
295.00
305.00
315.00
8
10
16
14
10
5
2
$2 040.00
2 650.00
4 400.00
3 990.00
2 950.00
1 525.00
630.00
$255.00
265.00
A ⎯→ 275.00
285.00
295.00
305.00
315.00
−2
−1
0
1
2
3
4
8
10
16
14
10
5
2
−16
−10
0
14
20
15
8
PROBLEMAS RESUELTOS 77
Puede suponerse que estas tablas introducen un error, ya que en realidad las marcas de clase son $254.995, $264.995,
etc., y no $255.00, $265.00, etc. Sin embargo, con las marcas de clase de la tabla 3.4, X resulta ser $279.76 en lugar de
$279.77, lo que es una diferencia despreciable.
X ¼
P fX
N ¼ $18,185:00 ¼ $279:77
65
P fu
X ¼ A þ
N
c ¼ $275:00 þ 31 ð$10:00Þ ¼$279:77
65
3.24 Empleando la tabla 2.9d ), hallar el salario medio de los 70 empleados de la empresa P&R.
SOLUCIÓN
En este caso, los intervalos de clase no son todos de la misma amplitud, por lo que se tiene que usar el método largo, como
se muestra en la tabla 3.6
Tabla 3.6
X u f X
$255.00
265.00
275.00
285.00
295.00
310.00
350.00
8
10
16
15
10
8
3
N = 70
$2 040.00
2 650.00
4 400.00
4 275.00
2 950.00
2 480.00
1 050.00
P f X = $19 845.00
P fX
X ¼
N ¼ $19,845:00 ¼ $283:50
70
LA MEDIANA
3.25 En los resultados de MINITAB, a continuación, se presenta el tiempo, por semana, que 30 usuarios de Internet
pasaron haciendo búsquedas, así como la mediana de estos 30 tiempos. Verificar la mediana. ¿Se considera que
este promedio es típico (representativo) de estos 30 tiempos? Compárense los resultados con los hallados en el
problema 3.8.
MTB > print cl
Muestra de datos
tiempo
3 4 4 5 5 5 5 5 5 6
6 6 6 7 7 7 7 7 8 8
9 10 10 10 10 10 10 12 55 60
MTB > median cl
Mediana de columna
Median of time = 7.0000
SOLUCIÓN
Obsérvese que los dos valores de en medio son 7 y que la media de estos dos valores de en medio es 7. En el problema 3.8
se encontró que la media es 10.4 horas. La mediana es más típica (representativa) de estos tiempos que la media.
78 CAPÍTULO 3 MEDIA, MEDIANA, MODA, Y OTRAS MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL
3.26 En los cajeros automáticos de cinco lugares de una ciudad grande, se registró la cantidad de transacciones por
día. Los datos fueron 35, 49, 225, 50, 30, 65, 40, 55, 52, 76, 48, 325, 47, 32 y 60. Encontrar: a) la cantidad
mediana de transacciones y b) la cantidad media de transacciones.
SOLUCIÓN
a) Los datos ordenados de menor a mayor son 30, 32, 35, 40, 47, 48, 49, 50, 52, 55, 60, 65, 76, 225 y 325. Como la
cantidad de datos es un número non, sólo hay un valor de enmedio, 50, que es la mediana buscada.
b) La suma de los 15 valores es 1 189. La media es 1 189/15 = 79.257.
Obsérvese que a la mediana no le afectan los dos valores extremos 225 y 325, en tanto que a la media sí.
En este caso, la mediana es un mejor indicador de la cantidad promedio de transacciones diarias en los cajeros automáticos.
3.27 Si en una ordenación se tienen: a) 85 y b) 150 números, ¿cómo se encuentra la mediana de estos números?
SOLUCIÓN
a) Como 85 es un número non, sólo hay un valor de en medio, habiendo 42 números mayores que él y 42 números
menores que él. Por lo tanto, la mediana es el número que ocupa la posición 43 de la ordenación.
b) Como 150 es un número par, hay dos valores de en medio con 74 números menores que ellos y 74 números mayores
que ellos. Los dos números de en medio son los números en las posiciones 75 y 76 de la ordenación; su media aritmética
es la mediana buscada.
3.28 A partir de los datos del problema 2.8, encontrar el peso mediano de los 40 estudiantes de la universidad estatal
empleando: a) la distribución de frecuencias dada en la tabla 2.7 (reproducida aquí como tabla 3.7) y b) los
datos originales.
SOLUCIÓN
a) Primer método (empleando la interpolación)
Se supone que los pesos de la tabla 3.7 están distribuidos de manera continua. En ese caso, la mediana es un peso
tal que la mitad del total de las frecuencias (40/2 = 20) quede por encima de él y la mitad del total de las frecuencias
quede por debajo de él.
Tabla 3.7
Peso (lb)
118-126
127-135
136-144
145-153
154-162
163-171
172-180
Frecuencias
3
5
9
12
5
4
2
Total 40
La suma de las tres primeras frecuencias de clase es 3 + 5 + 9 = 17. Por lo tanto, para dar la frecuencia 20, que es la buscada,
se necesitan tres más de los 12 casos que pertenecen a la cuarta clase. Como el cuarto intervalo de clase, 145-153,
PROBLEMAS RESUELTOS 79
en realidad corresponde a los pesos desde 144.5 hasta 153.5, la mediana debe encontrarse a 3/12 entre 144.5 y 153.5, es
decir, la mediana es
144:5 þ 3
12 ð153:5 144:5Þ ¼144:5 þ 3 ð9Þ ¼146:8 lb
12
Segundo método (empleando la fórmula)
Como las sumas de las primeras tres clases y de las primeras cuatro clases son, respectivamente, 3 + 5 + 9 = 17 y
3 + 5 + 9 + 12 = 29, la mediana se encuentra en la cuarta clase, que es, por lo tanto, la clase mediana. Entonces.
y por lo tanto
L 1 = frontera inferior de clase de la clase mediana = 144.5
N = número de datos = 40
ð P f Þ 1 = suma de las frecuencias de todas las clases anteriores a la clase mediana = 3 + 5 + 9 = 17
f mediana = frecuencia de la clase mediana = 12
c = amplitud del intervalo de la clase mediana = 9
Mediana = L 1 + N /2 ∑ f )1
f mediana
c = 144.5 +
40/2 17
12
(9) =146.8 lb
b) Dispuestos en una ordenación, los pesos originales son
119, 125, 126, 128, 132, 135, 135, 135, 136, 138, 138, 140, 140, 142, 142, 144, 144, 145, 145, 146
146, 147, 147, 148, 149, 150, 150, 152, 153, 154, 156, 157, 158, 161, 163, 164, 165, 168, 173, 176
La mediana es la media aritmética de los pesos en las posiciones 20 y 21 de esta ordenación y es igual a 146 lb.
3.29 En la figura 3-3 se muestra una representación de tallo y hoja que proporciona el número de muertes en accidentes
de tránsito en 2005 relacionados con el alcohol en los 50 estados y Washington, D.C.
Representación de tallo y hoja: Muertes
Representación de tallo y hoja: Muertes N = 51
Leaf Unit = 10
14
23
(7)
21
15
10
4
3
3
3
3
3
3
3
3
2
1
1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
22334556667889
122255778
0334689
124679
22669
012448
3
7
6
1
Figura 3-3 MINITAB, representación de tallo y hoja de las muertes en accidentes
de tránsito relacionados con el alcohol.
Encontrar la media, la mediana y la moda de las muertes relacionadas con el alcohol dadas en la figura 3-3.
80 CAPÍTULO 3 MEDIA, MEDIANA, MODA, Y OTRAS MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL
SOLUCIÓN
La cantidad de muertes va de 20 a 1 710. La distribución es bimodal. Las dos modas son 60 y 120. Ambas se presentan tres
veces.
La clase (7) 2 0334689 es la clase mediana. Es decir, la mediana se encuentra en esta clase. La mediana es
el dato de en medio o el dato que ocupa la posición 26 en la ordenación. El dato en la posición 24 es 200, el dato en la
posición 25 es 230 y el dato en la posición 26 es 230. Por lo tanto, la mediana es 230.
La suma de estos 51 datos es 16 660 y la media es 16 660/51 = 326.67.
3.30 Encontrar el salario mediano de los 65 empleados de la empresa P&R (ver el problema 2.3).
SOLUCIÓN
En este caso, N = 65 y N/2 = 32.5. Como la suma de las primeras dos y de las primeras tres frecuencias de clase son 8 +
10 = 18 y 8 + 10 + 16 = 34, respectivamente, la clase mediana es la tercera clase. Usando la fórmula,
Medianan ¼ L 1 þ N=2 ðP
f Þ 1
32:5 18
c ¼ $269:995 þ ð$10:00Þ ¼$279:06
16
f mediana
LA MODA
3.31 Encontrar la media, la mediana y la moda de los conjuntos: a) 3, 5, 2, 6, 5, 9, 5, 2, 8, 6 y b) 51.6, 48.7, 50.3,
49.5, 48.9.
SOLUCIÓN
a) En una ordenación, los números son 2, 2, 3, 5, 5, 5, 6, 6, 8 y 9.
Media ¼ 1 10
ð2 þ 2 þ 3 þ 5 þ 5 þ 5 þ 6 þ 6 þ 8 þ 9Þ ¼5:1
Mediana = media aritmética de los dos valores de en medio ¼ 1 2
ð5 þ 5Þ ¼5
Moda = número que se presenta con mayor frecuencia = 5
b) En una ordenación, los números son 48.7, 48.9, 49.5 50.3 y 51.6.
Media ¼ 1 5
ð48:7 þ 48:9 þ 49:5 þ 50:3 þ 51:6Þ ¼49:8
Mediana = número de en medio = 49.5
Moda = número que se presenta con mayor frecuencia (no existe uno aquí)
3.32 Supóngase que se desea hallar la moda de los datos de la figura 3-29. Se puede usar el procedimiento “frequencies”
de SAS para obtener el resultado siguiente. Observando el resultado dado por el procedimiento FREQ
(figura 3-4), ¿cuáles son las modas de la cantidad de muertes relacionadas con el alcohol?
PROBLEMAS RESUELTOS 81
Procedimiento FREQ
Muertes
Muertes Frecuencias Porcentaje
Frecuencias
acumuladas
Porcentajes
acumulados
ƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒ
20
30
40
50
60
70
80
90
110
120
150
170
180
200
230
240
260
280
290
310
320
340
360
370
390
420
460
490
500
510
520
540
580
630
1470
1560
1710
2
2
1
2
3
1
2
1
1
3
2
2
1
1
2
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
2
2
1
1
1
1
2
1
1
1
1
1
3.92
3.92
1.96
3.92
5.88
1.96
3.92
1.96
1.96
5.88
3.92
3.92
1.96
1.96
3.92
1.96
1.96
1.96
1.96
1.96
1.96
1.96
1.96
1.96
1.96
3.92
3.92
1.96
1.96
1.96
1.96
3.92
1.96
1.96
1.96
1.96
1.96
2
4
5
7
10
11
13
14
15
18
20
22
23
24
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
38
40
41
42
43
44
46
47
48
49
50
51
3.92
7.84
9.80
13.73
19.61
21.57
25.49
27.45
29.41
35.29
39.22
43.14
45.10
47.06
50.98
52.94
54.90
56.86
58.82
60.78
62.75
64.71
66.67
68.63
70.59
74.51
78.43
80.39
82.35
84.31
86.27
90.20
92.16
94.12
96.08
98.04
100.00
Figura 3-4 SAS, resultados del procedimiento FREQ para la cantidad de decesos relacionados con el alcohol.
SOLUCIÓN
Estos datos son bimodales y las modas son 60 y 120. Esto se encuentra al observar los resultados de SAS, donde se nota
que la frecuencia, tanto de 60 como de 120, es 3, que es mayor que todas las demás frecuencias.
3.33 Algunos paquetes de software para estadística tienen rutinas para encontrar la moda, pero en los casos en los
que los datos son multimodales, no dan todas las modas. En la figura 3-5 considerar el resultado que se obtiene
con SPSS.
¿Qué hace SPSS cuando se le pide que encuentre las modas?
82 CAPÍTULO 3 MEDIA, MEDIANA, MODA, Y OTRAS MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL
Válido 20.00
30.00
40.00
50.00
60.00
70.00
80.00
90.00
110.00
120.00
150.00
170.00
180.00
200.00
230.00
240.00
260.00
280.00
290.00
310.00
320.00
340.00
360.00
370.00
390.00
420.00
460.00
490.00
500.00
510.00
520.00
540.00
580.00
630.00
1 470.00
1 560.00
1 710.00
Total
Muertes
Frecuencias Porcentaje Porcentajes válidos
2
2
1
2
3
1
2
1
1
3
2
2
1
1
2
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
2
2
1
1
1
1
2
1
1
1
1
1
51
3.9
3.9
2.0
3.9
5.9
2.0
3.9
2.0
2.0
5.9
3.9
3.9
2.0
2.0
3.9
2.0
2.0
2.0
2.0
2.0
2.0
2.0
2.0
2.0
2.0
3.9
3.9
2.0
2.0
2.0
2.0
3.9
2.0
2.0
2.0
2.0
2.0
100.0
3.9
3.9
2.0
3.9
5.9
2.0
3.9
2.0
2.0
5.9
3.9
3.9
2.0
2.0
3.9
2.0
2.0
2.0
2.0
2.0
2.0
2.0
2.0
2.0
2.0
3.9
3.9
2.0
2.0
2.0
2.0
3.9
2.0
2.0
2.0
2.0
2.0
100.0
Porcentajes
acumulados
3.9
7.8
9.8
13.7
19.6
21.6
25.5
27.5
29.4
35.3
39.2
43.1
45.1
47.1
51.0
52.9
54.9
56.9
58.8
60.8
62.7
64.7
66.7
68.6
70.6
74.5
78.4
80.4
82.4
84.3
86.3
90.2
92.2
94.1
96.1
98.0
100.0
Muertes
N
Moda
Estadística
Válido
Equivocado
51
0
60.00 a
a Hay múltiples modas. Se muestra el valor más pequeño.
Figura 3-5 SPSS, resultado para las muertes relacionadas con el alcohol.
PROBLEMAS RESUELTOS 83
SOLUCIÓN
SPSS da la moda más pequeña. Pero se puede inspeccionar la distribución de frecuencias y hallar las modas de la misma
manera que con SAS (ver el resultado dado antes).
RELACIÓN EMPÍRICA ENTRE LA MEDIA, LA MEDIANA Y LA MODA
3.34 a) Emplear la fórmula empírica media − moda = 3(media − mediana) para hallar el salario modal de los 65
empleados de la empresa P&R.
b) Comparar el resultado con la moda obtenida en el problema 3.33.
SOLUCIÓN
a) De acuerdo con los problemas 3.23 y 3.30 se tiene media = $279.77 y mediana = $279.06. Por lo tanto,
Moda = media – 3(media – mediana) = $279.77 − 3($279.77 − $279.06) = $277.64
b) De acuerdo con el problema 3.33, el salario modal es $277.50, de manera que en este caso coincide con el resultado
empírico.
LA MEDIA GEOMÉTRICA
3.35 Encontrar: a) la media geométrica y b) la media aritmética de los números 3, 5, 6, 6, 7, 10 y 12. Se supone que
los números son exactos.
SOLUCIÓN
p
a) Media geométrica ¼ G ¼ ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
7 p
ð3Þð5Þð6Þð6Þð7Þð10Þð12Þ ¼ 7 ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 453,600. Empleando logaritmos comunes, log G =
1
7 log 453 600 = 1 7(5.6567) = 0.8081 y G = 6.43 (a la centésima más cercana). Otra posibilidad es usar una calculadora.
Otro método
log G ¼ 1 7
ðlog 3 þ log 5 þ log 6 þ log 6 þ log 7 þ log 10 þ log 12Þ
¼ 1 7
ð0:4771 þ 0:6990 þ 0:7782 þ 0:7782 þ 0:8451 þ 1:0000 þ 1:0792Þ
¼ 0:8081
y
G ¼ 6:43
b) Media aritmética ¼ ^X ¼ 1 7
ð3 þ 5 þ 6 þ 6 þ 7 þ 10 þ 12Þ ¼7. Esto ilustra que la media geométrica de un conjunto
de números positivos, no todos iguales, es menor que su media aritmética.
3.36 Los números X 1 , X 2 , . . . , X K se presentan con frecuencias f 1 , f 2 , . . . , f K donde f 1 + f 2 + . . . , + f K = N es la frecuencia
total.
a) Encontrar la media geométrica G de estos números.
b) Deducir una expresión para log G.
c) ¿Cómo se pueden emplear los resultados para hallar la media geométrica de datos agrupados en una distribución
de frecuencias?
SOLUCIÓN
qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
a) G ¼ N X 1 X 1 X |fflfflfflfflfflfflffl{zfflfflfflfflfflfflffl} 1 X 2 X 2 X X |fflfflfflfflfflfflffl{zfflfflfflfflfflfflffl} 2 KX K X |fflfflfflfflfflfflfflfflffl{zfflfflfflfflfflfflfflfflffl} K ¼ N X f 1
1
X f 2
2
X f K
K
f 1 veces f 2 veces f K veces
donde N = P f. A esta media suele llamársele media geométrica ponderada.
84 CAPÍTULO 3 MEDIA, MEDIANA, MODA, Y OTRAS MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL
b) log G ¼ 1 N log ðX f 1
1 X f 2
2 X f K
K Þ¼ 1 N ð f 1 log X 1 þ f 2 log X 2 þþ f K log X K Þ
¼ 1 N
X K
j¼1
P f log X
f j log X j ¼
N
donde se supone que todos los números son positivos; de otra manera, los logaritmos no están definidos.
Obsérvese que el logaritmo de una media geométrica de un conjunto de números positivos es la media aritmética
de los logaritmos de los números.
c) Al hallar la media geométrica de datos agrupados, este resultado puede emplearse tomando X 1 , X 2 , . . . , X K como las
marcas de clase y f 1 , f 2 , . . . , f K como sus frecuencias correspondientes.
3.37 Durante un año la relación entre precios de un cuarto de galón de leche respecto a precios de una barra de pan
fue 3.00, en tanto que al año siguiente la relación fue 2.00.
a) Encontrar la media aritmética de esta relación en estos dos años.
b) Encontrar la media aritmética de las relaciones ahora entre los precios de una barra de pan respecto a los
precios de un cuarto de galón de leche en este periodo de 2 años.
c) Analizar la conveniencia de emplear la media aritmética para promediar relaciones.
d ) Analizar la idoneidad de la media geométrica para promediar relaciones.
SOLUCIÓN
a) Media de las relaciones (cocientes) precio de leche respecto a precios de pan = 1 2
(3.00 + 2.00) = 2.50.
b) Como el primer año la relación entre precios de leche respecto a precios de pan es 3.00, la relación entre precios de
pan respecto a precios de leche es 1/3 = 0.333. De igual manera, la relación entre precios de pan y precios de leche
el segundo año es 1/2.00 = 0.500.
Por lo tanto,
Media de las relaciones (cocientes) precio de pan respecto a precios de leche = 1 2
(0.333 + 0.500) = 0.417
c) Si la media fuera un promedio adecuado, se esperaría que la media de las relaciones de precios de leche respecto a
precios de pan fuera el recíproco de la media de las relaciones precios de pan respecto a precios de leche. Sin embargo,
1/0.417 = 2.40 2.50. Esto demuestra que la media no es un promedio adecuado para (cocientes) relaciones.
p
d ) La media geométrica de las relaciones entre precios de leche respecto a precios de pan ¼ ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi p
ð3:00Þð2:00Þ ¼
ffiffiffiffiffiffiffiffiffi
6:00
p
La media geométrica de las relaciones entres precios de pan respecto a precios de leche ¼
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
p
ð0:333Þð0:500Þ ¼
0:0167 ¼ 1=
ffiffiffiffiffiffiffiffiffi
6:00
Dado que estos promedios son recíprocos, se concluye que la media geométrica es más adecuada que la media aritmética
para promediar relaciones (cocientes).
3.38 La cuenta bacteriana en cierto medio de cultivo aumentó de 1 000 a 4 000 en 3 días. ¿Cuál es el incremento
porcentual promedio por día?
SOLUCIÓN
Como un incremento de 1 000 a 4 000 es un incremento de 300%, uno está inclinado a concluir que el aumento porcentual
promedio por día es 300%/3 = 100%. Sin embargo, esto significaría que el primer día la cuenta aumentó de 1 000 a 2 000,
el segundo día de 2 000 a 4 000 y el tercer día de 4 000 a 8 000, lo cual no es así.
Para determinar este incremento porcentual promedio se denotará r a este incremento porcentual promedio.
Entonces
Cuenta bacteriana total un día después = 1 000 + 1 000r = 1 000(1 + r)
Cuenta bacteriana total dos días después = 1 000(1 + r) + 1 000(1 + r)r = 1 000(1 + r) 2
Cuenta bacteriana total tres días después = 1 000(1 + r) 2 + 1 000(1 + r) 2 r = 1 000(1 + r) 3
p
Esta última expresión debe ser igual a 4 000. De manera que 1 000(1 + r) 3 = 4 000, (1 + r) 3 = 4, 1 + r = 3 ffiffi
p 4 , y
r = 3 ffiffi
4 − 1 = 1.587 − 1 = 0.587, y así, r = 58.7%.
PROBLEMAS RESUELTOS 85
En general, si se parte de una cantidad P y se incrementa esta cantidad a una tasa constante r por unidad de tiempo,
la cantidad que se tendrá después de n unidades de tiempo será
A ¼ Pð1 þ rÞ n
A esta fórmula se le llama fórmula del interés compuesto (ver problemas 3.94 y 3.95).
LA MEDIA ARMÓNICA
3.39 Encontrar la media armónica H de los números 3, 5, 6, 6, 7, 10 y 12.
SOLUCIÓN
y
1
H ¼ 1 X 1
N X ¼ 1
1
7 3 þ 1 5 þ 1 6 þ 1 6 þ 1 7 þ 1 10 þ 1
12
= 501
2 940
H = 2 940
501 = 5.87
¼ 1 7
Suele ser mejor expresar primero las fracciones en forma decimal. Así
140 þ 84 þ 70 þ 70 þ 60 þ 42 þ 35
420
y
1
H ¼ 1 7
ð0:3333 þ 0:2000 þ 0:1667 þ 0:1667 þ 0:1429 þ 0:1000 þ 0:0833Þ
¼ 1:1929
7
H ¼ 7
1:1929 ¼ 5:87
Comparando con los resultados del problema 3.35 se ilustra el hecho de que la media armónica de números positivos,
no todos iguales, es menor que su media geométrica, la que a su vez es menor que su media aritmética.
3.40 Durante cuatro años consecutivos los precios del fuel para la calefacción son $0.80, $0.90, $1.05 y $1.25 por
galón (gal). ¿Cuál es el precio promedio del fuel en estos cuatro años?
SOLUCIÓN
Caso 1
Supóngase que todos los años se compra la misma cantidad de fuel, digamos 1 000 gal. Entonces
Precio promedio =
precio total
cantidad total comprada
$800 + $900 + $1 050 + $1 250
= = $1.00/gal
4 000 gal
Esto es lo mismo que la media aritmética del costo por galón; es decir 1 4 ($0.80 + $0.90 + $1.05 + $1.25) = 1.00/gal. Este
resultado sería el mismo aun cuando se usaran x galones por año.
Caso 2
Supóngase que en el fuel se gasta la misma cantidad de dinero todos los años, o sea $1 000. Entonces
precio total
Precio promedio =
cantidad total comprada = $4 000
(1 250 + 1 111 + 952 + 800)gal = $0.975/gal
86 CAPÍTULO 3 MEDIA, MEDIANA, MODA, Y OTRAS MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL
Esto es lo mismo que la media armónica de los precios por galón:
4
1
0:80 þ 1
0:90 þ 1
1:05 þ 1 ¼ 0:975
1:25
El resultado será el mismo si se gastan y dólares por año.
Ambos promedios son correctos, pero se calculan para condiciones diferentes.
Debe notarse que si la cantidad de galones empleados varía de un año a otro, en vez de ser siempre la misma, en
lugar de la media aritmética ordinaria usada en el caso 1, hay que usar la media aritmética ponderada. De manera similar,
si la cantidad gastada varía de un año a otro, en lugar de la media armónica empleada en el caso 2 se debe usar la media
armónica ponderada.
3.41 Un automóvil recorre 25 millas a 25 millas por hora (mph), 25 millas a 50 mph y 25 millas a 75 mph. Encontrar
la media aritmética de las tres velocidades y la media armónica de las tres velocidades. ¿Cuál es correcta?
SOLUCIÓN
La velocidad promedio es igual a la distancia recorrida dividida entre el total del tiempo y es igual a lo siguiente:
75
¼ 40:9 mi=h
1 þ 1 2 þ 1 3
La media aritmética de las tres velocidades es:
25 þ 50 þ 75
¼ 50 mi=h
3
La media armónica se encuentra como sigue:
1
H ¼ 1 P 1
N X ¼ 1 3
1
25 þ 1
50 þ 1
75
¼ 11
450
y H ¼ 450
11 ¼ 40:9
La media armónica es la medida correcta de la velocidad promedio.
LA RAÍZ CUADRADA MEDIA O MEDIA CUADRÁTICA
3.42 Encontrar la media cuadrática de los números 3, 5, 6, 6, 7, 10 y 12.
SOLUCIÓN
rffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
3 2 þ 5 2 þ 6 2 þ 6 2 þ 7 2 þ 10 2 þ 12 2 p
Media cuadrática = RCM =
¼
ffiffiffiffiffi
57 ¼ 7:55
7
3.43 Demostrar que la media cuadrática de dos números positivos distintos a y b es mayor que su media geométrica.
SOLUCIÓN
qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
p
1
Se pide que se demuestre que
2 ða2 þ b 2 Þ > ffiffiffiffiffi
ab. Si esto es verdad, entonces elevando al cuadrado ambos miembros
1
2
b
b þ b 2 0
2(a 2 + b 2 ) > ab, de manera que a 2 + b 2 > 2ab, a 2 − 2ab 2 + b 2 > 0 o bien (a − b) 2 > 0. Pero esta igualdad es cierta, ya
que el cuadrado de cualquier número real distinto de cero es positivo.
PROBLEMAS RESUELTOS 87
La prueba consiste en demostrar el proceso inverso. Entonces, partiendo
qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
de (a − b) 2 > 0, que se sabe que es verdadero,
se puede mostrar que a 2 + b 2 > 2ab, 1 2 (a2 + b 2 1
p
) > ab y finalmente
2 ða2 þ b 2 Þ > ffiffiffiffiffi
ab , que es lo pedido.
qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
p
1
Obsérvese que
2 ða2 þ b 2 Þ ¼
ffiffiffiffiffi
ab si y sólo si a = b.
CUARTILES, DECILES Y PERCENTILES
3.44 Para los salarios de los 65 empleados de la empresa P&R (ver problema 2.9), encontrar: a) los cuartiles Q 1 , Q 2
y Q 3 y b) los deciles D 1 , D 2 , . . . , D 9 .
SOLUCIÓN
a) El primer cuartil Q 1 es el salario que se encuentra contando N/4 = 65/4 = 16.25 de los casos, comenzando con la
primera clase (la más baja). Como la primera clase contiene 8 casos, hay que tomar 8.5 (16.25 − 8) casos de los 10 de
la segunda clase. Usando el método de interpolación lineal, se tiene
Q 1 ¼ $259:995 þ 8:25 ð$10:00Þ ¼$268:25
10
El segundo cuartil Q 2 se encuentra contando los primeros 2N/4 = N/2 = 65/2 = 32.5 de los casos. Como las
primeras dos clases comprenden 18 casos, se deben tomar 32.5 – 18 = 14.5 casos de los 16 de la tercera clase, por lo
tanto
Q 2 ¼ $269:995 þ 14:5 ð$10:00Þ ¼$279:06
16
Obsérvese que Q 2 es la mediana.
El tercer cuartil Q 3 se encuentra contando los primeros 3N/4 = 3 4 (65) = 48.75 de los casos. Como las primeras
cuatro clases comprenden 48 casos, se deben tomar 48.75 – 48 = 0.75 casos de los 10 de la quinta clase; por lo tanto
Q 3 ¼ $289:995 þ 0:75 ð$10:00Þ ¼$290:75
10
Así, 25% de los empleados ganan $268.25 o menos, 50% gana $279.06 o menos y 75% gana $290.75 o
menos.
b) Los deciles primero, segundo, . . . , y noveno se obtienen contando N/10, 2N/10, . . . , 9N/10 de los casos empezando
por la primer clase (inferior). Por lo tanto
D 1 ¼ $249:995 þ 6:5
8 ð$10:00Þ ¼$258:12 D 6 ¼ $279:995 þ 5 ð$10:00Þ ¼$283:57
14
D 2 ¼ $259:995 þ 5
10 ð$10:00Þ ¼$265:00 D 7 ¼ $279:995 þ 11:5 ð$10:00Þ ¼$288:21
14
D 3 ¼ $269:995 þ 1:5
16 ð$10:00Þ ¼$270:94 D 8 ¼ $289:995 þ 4 ð$10:00Þ ¼$294:00
10
D 4 ¼ $269:995 þ 8
16 ð$10:00Þ ¼$275:00 D 9 ¼ $299:995 þ 0:5 ð$10:00Þ ¼$301:00
5
D 5 ¼ $269:995 þ 14:5 ð$10:00Þ ¼$279:06
16
De manera que 10% de los empleados gana $258.12 o menos, 20% gana $265.00 o menos, . . . , 90% gana $301.00
o menos.
Obsérvese que el quinto decil es la mediana. Los deciles segundo, cuarto, sexto y octavo, que dividen la distribución
en cinco partes iguales y a los que se les llama quintiles, también suelen usarse en la práctica.
88 CAPÍTULO 3 MEDIA, MEDIANA, MODA, Y OTRAS MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL
3.45 En la distribución del problema 3.44, determinar a) el percentil 35o. y b) el percentil 60o.
SOLUCIÓN
a) El percentil 35o., que se denota P 35 , se obtiene contando los primeros 35N/100 = 35(65)/100 = 22.75 casos, empezando
en la primera clase (la clase más baja). Entonces, como en el problema 3.44,
P 35 ¼ $269:995 þ 4:75 ð$10:00Þ ¼$272:97
16
Esto significa que 35% de los empleados gana $272.97 o menos.
b) El percentil 60o. es P 60 = $279.995 + 5 14
($10.00) = $283.57. Obsérvese que éste coincide con el sexto decil o tercer
quintil.
3.46 La siguiente hoja de cálculo de EXCEL está contenida en A1:D26. Esta hoja de cálculo contiene el ingreso per
cápita en cada uno de los 50 estados de Estados Unidos. Dar los comandos de EXCEL para hallar Q 1 , Q 2 , Q 3
y P 95 . Dar también los estados que están a ambos lados de estos cuartiles o percentiles.
SOLUCIÓN
Estado Ingreso per cápita Estado Ingreso per cápita
Wyoming 36 778 Pennsylvania 34 897
Montana 29 387 Wisconsin 33 565
North Dakota 31 395 Massachusetts 44 289
New Mexico 27 664 Missouri 31 899
West Virginia 27 215 Idaho 28 158
Rhode Island 36 153 Kentucky 28 513
Virginia 38 390 Minnesota 37 373
South Dakota 31 614 Florida 33 219
Alabama 29 136 South Carolina 28 352
Arkansas 26 874 New York 40 507
Maryland 41 760 Indiana 31 276
Iowa 32 315 Connecticut 47 819
Nebraska 33 616 Ohio 32 478
Hawaii 34 539 New Hampshire 38 408
Mississippi 25 318 Texas 32 462
Vermont 33 327 Oregon 32 103
Maine 31 252 New Jersey 43 771
Oklahoma 29 330 California 37 036
Delaware 37 065 Colorado 37 946
Alaska 35 612 North Carolina 30 553
Tennessee 31 107 Illinois 36 120
Kansas 32 836 Michigan 33 116
Arizona 30 267 Washington 35 409
Nevada 35 883 Georgia 31 121
Utah 28 061 Louisiana 24 820
Estados más cercanos
=PERCENTILE(A2:D26,0.25) $30 338.5 Arizona y NorthCarolina
=PERCENTILE(A2:D26,0.50) $32 657 Ohio y Kansas
=PERCENTILE(A2:D26,0.75) $36 144.75 Illinois y RhodeIsland
=PERCENTILE(A2:D26,0.95) $42 866.05 Maryland y NewJersey
PROBLEMAS SUPLEMENTARIOS 89
PROBLEMAS SUPLEMENTARIOS
SUMATORIA
3.47 Escribir los términos de cada una de las sumas siguientes:
a)
X 4
j¼1
ðX j þ 2Þ c)
X 3
j¼1
U j ðU j þ 6Þ e)
X 4
j¼1
4X j Y j
b)
X 5
j¼1
f j X 2 j d )
X N
ðYk
2
k¼1
4Þ
3.48 Escribir cada una de las sumas siguientes usando el signo de sumatoria:
a)
b)
c)
d )
e)
ðX 1 þ 3Þ 3 þðX 2 þ 3Þ 3 þðX 3 þ 3Þ 3
f 1 ðY 1 aÞ 2 þ f 2 ðY 2 aÞ 2 þþ f 15 ðY 15 aÞ 2
ð2X 1 3Y 1 Þþð2X 2 3Y 2 Þþþð2X N 3Y N Þ
ðX 1 =Y 1 1Þ 2 þðX 2 =Y 2 1Þ 2 þþðX 8 =Y 8 1Þ 2
f 1 a 2 1 þ f 2 a 2 2 þþ f 12 a 2 12
f 1 þ f 2 þþ f 12
3.49 Demostrar que P N
j¼1 ðX j 1Þ 2 ¼ P N
j¼1 X 2 j 2 P N
j¼1 X j þ N
3.50 Demostrar que P ðX þ aÞðY þ bÞ ¼ P XY þ a P Y þ b P X þ Nab, donde a y b son constantes. ¿Cuáles son los
subíndices implícitos?
3.51 Las variables U y V toman los valores U 1 = 3, U 2 = −2, U 3 = 5 y V 1 = −4, V 2 = −1, V 3 = 6, respectivamente. Calcular
a) P UV, b) P (U + 3)(V − 4), c) P V 2 , d ) ( P U)( P V ) 2 , e) P UV 2 , f ) P (U 2 − 2V 2 + 2) y g) P (U/V).
3.52 Dado que P 4
j¼1 X j = 7, P 4
j¼1 Y j = −3 y P 4
j¼1 X j Y j = 5, encontrar a) P 4
j¼1 (2X j + 5Y j ) y b) P 4
j¼1(X j − 3)(2Y j + 1).
LA MEDIA ARITMÉTICA
3.53 En cinco materias, un estudiante obtuvo las calificaciones siguientes: 85, 76, 93, 82 y 96. Determinar la media aritmética
de estas calificaciones.
3.54 Un psicólogo mide los tiempos de reacción de un individuo a ciertos estímulos; éstos fueron 0.53, 0.46, 0.50, 0.49,0.52,
0.53, 0.44 y 0.55 segundos, respectivamente. Estimar el tiempo medio de reacción del individuo a estos estímulos.
3.55 Un conjunto de números consta de 6 seises, 7 sietes, 8 ochos, 9 nueves y 10 dieces. ¿Cuál es la media aritmética de estos
números?
3.56 Un estudiante obtuvo las calificaciones siguientes en tres aspectos de un curso: 71, 78 y 89, respectivamente.
a) Si los pesos que se acuerda dar a estas calificaciones son 2, 4 y 5, respectivamente, ¿cuál es una calificación promedio
apropiada?
b) ¿Cuál es la calificación promedio si se usan pesos iguales?
3.57 Los promedios de calificación en los cursos de tres maestros de economía son 79, 74 y 82, y sus grupos constan de 32, 25
y 17 alumnos, respectivamente. Determinar la calificación media de los tres cursos.
90 CAPÍTULO 3 MEDIA, MEDIANA, MODA, Y OTRAS MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL
3.58 El salario anual medio pagado a los empleados de una empresa es $36 000. Los salarios anuales medios pagados a hombres
y mujeres de la empresa son $34 000 y $40 000, respectivamente. Determinar el porcentaje de hombres y mujeres empleados
por la empresa.
3.59 En la tabla 3.8 se presenta la distribución de las cargas máximas, en toneladas cortas (1 tonelada corta = 2 000 lb) que
soportan ciertos cables producidos por una empresa. Determinar la carga máxima media usando: a) el método largo y b) el
método de compilación.
Tabla 3.8
Carga máxima
(toneladas cortas)
9.3-9.7
9.8-10.2
10.3-10.7
10.8-11.2
11.3-11.7
11.8-12.2
12.3-12.7
12.8-13.2
Cantidad de
cables
2
5
12
17
14
6
3
1
Total 60
3.60 Encontrar X para los datos de la tabla 3.9 usando: a) el método largo y b) el método de compilación.
Tabla 3.9
X 462 480 498 516 534 552 570 588 606 624
f 98 75 56 42 30 21 15 11 6 2
3.61 En la tabla 3.10 se presenta la distribución de los diámetros de las cabezas de remaches producidos por una empresa. Calcular
el diámetro medio.
3.62 Calcular la media de los datos de la tabla 3.11.
Tabla 3.10
Tabla 3.11
Diámetro (cm)
Frecuencias
Clase
Frecuencias
0.7247-0.7249
0.7250-0.7252
0.7253-0.7255
0.7256-0.7258
0.7259-0.7261
0.7262-0.7264
0.7265-0.7267
0.7268-0.7270
0.7271-0.7273
0.7274-0.7276
0.7277-0.7279
0.7280-0.7282
2
6
8
15
42
68
49
25
18
12
4
1
10 hasta menos de 15
15 hasta menos de 20
20 hasta menos de 25
25 hasta menos de 30
30 hasta menos de 35
35 hasta menos de 40
40 hasta menos de 45
3
7
16
12
9
5
2
Total 54
Total 250
PROBLEMAS SUPLEMENTARIOS 91
3.63 Calcular la media de la cantidad de tiempo que ven televisión los 400 estudiantes del problema 2.20.
3.64 a) Emplear la distribución de frecuencias del problema 2.27 para calcular el diámetro medio de los balines.
b) Calcular la media directamente de los datos en bruto y compararla con el inciso a); explicar cualquier discrepancia.
LA MEDIANA
3.65 Encontrar la media y la mediana de estos conjuntos de números: a) 5, 4, 8, 3, 7, 2, 9 y b) 18.3, 20.6, 19.3, 22.4, 20.2, 18.8,
19.7, 20.0.
3.66 Encontrar la calificación mediana del problema 3.53.
3.67 Encontrar el tiempo mediano de reacción del problema 3.54.
3.68 Encontrar la mediana del conjunto de números del problema 3.55.
3.69 Encontrar la mediana de la carga máxima de los cables de la tabla 3.8 del problema 3.59.
3.70 Encontrar la mediana ~X de la distribución presentada en la tabla 3.9 del problema 3.60.
3.71 Encontrar el diámetro mediano de las cabezas de los remaches de la tabla 3.10 del problema 3.61.
3.72 Encontrar la mediana de la distribución presentada en la tabla 3.11 del problema 3.62.
3.73 En la tabla 3.12 se da la cantidad, en miles, de muertes en Estados Unidos ocurridas en 1993 a causa de enfermedades
cardiacas. Encontrar la edad mediana.
Tabla 3.12
Grupo de edad
Total
Menos de 1
1 a 4
5 a 14
15 a 24
25 a 34
35 a 34
45 a 54
55 a 64
65 a 74
75 a 84
85 y más
Miles de muertes
743.3
0.7
0.3
0.3
1.0
3.5
13.1
32.7
72.0
158.1
234.0
227.6
Fuente: U.S. National Center for Health Statistics, Vital
Statistics of the U.S., annual.
3.74 Con los datos de la tabla del problema 2.31 encontrar la edad mediana.
3.75 Encontrar la mediana de la cantidad de tiempo que ven la televisión los 400 estudiantes del problema 2.20.
92 CAPÍTULO 3 MEDIA, MEDIANA, MODA, Y OTRAS MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL
LA MODA
3.76 Encontrar la media, la mediana y la moda de cada uno de los conjuntos de números siguientes: a) 7, 4, 10, 9, 15, 12, 7, 9,
7 y b) 8, 11, 4, 3, 2, 5, 10, 6, 4, 1, 10, 8, 12, 6, 5, 7.
3.77 En el problema 3.53 encontrar la calificación modal.
3.78 En el problema 3.54 encontrar el tiempo de reacción modal.
3.79 En el problema 3.55 encontrar la moda del conjunto de números.
3.80 En el problema 3.59 encontrar la moda de la carga máxima de los cables.
3.81 En el problema 3.60 encontrar la moda ^X de la distribución dada en la tabla 3.9.
3.82 En el problema 3.61 encontrar el diámetro modal de las cabezas de los remaches de la tabla 3.10.
3.83 En el problema 3.62 encontrar la moda de la distribución dada.
3.84 En el problema 2.20 encontrar la moda de la cantidad de tiempo que ven televisión los 400 estudiantes.
3.85 a) ¿Cuál es el grupo de edad modal en la tabla 2.15?
b) ¿Cuál es el grupo de edad modal en la tabla 3.12?
3.86 Empleando las fórmulas (9) y (10) de este capítulo, hallar la moda de las distribuciones dadas en los problemas siguientes.
Comparar las respuestas obtenidas con cada una de las dos fórmulas.
a) Problema 3.59 b) Problema 3.61 c) Problema 3.62 d ) Problema 2.20.
3.87 La probabilidad de una variable aleatoria continua está descrita por la siguiente función de densidad de probabilidad.
f (x) = −0.75x 2 + 1.5x para 0 < x < 2 y para todos los demás valores de x, f (x) = 0. La moda se presenta en el punto en el
que la función alcanza su máximo. Empleando los conocimientos sobre funciones cuadráticas, mostrar que la moda se
presenta en x = 1.
LA MEDIA GEOMÉTRICA
3.88 Hallar la media geométrica de los números: a) 4.2 y 16.8 y b) 3.00 y 6.00.
3.89 Hallar: a) la media geométrica G y b) la media aritmética X del conjunto 2, 4, 8, 16, 32.
3.90 Hallar la media geométrica de los conjuntos: a) 3, 5, 8, 3, 7, 2 y b) 28.5, 73.6, 47.2, 31.5, 64.8.
3.91 Hallar la media geométrica de las distribuciones de: a) el problema 3.59 y b) el problema 3.60. Verificar que en estos casos
la media geométrica es menor o igual a la media aritmética.
3.92 Si en un periodo de 4 años se duplican los precios de un artículo, ¿cuál es el incremento porcentual anual promedio?
PROBLEMAS SUPLEMENTARIOS 93
3.93 En 1980 y 1996 la población de Estados Unidos era de 226.5 millones y 266.0 millones, respectivamente. Empleando la
fórmula dada en el problema 3.38, contestar lo siguiente.
a) ¿Cuál es el incremento porcentual anual promedio?
b) Estimar la población en 1985.
c) Si el incremento porcentual anual promedio de 1996 a 2000 es el mismo que en el inciso a), ¿a cuánto ascenderá la
población en 2000?
3.94 Se invierten $1 000 a una tasa de interés anual de 8%. ¿A cuánto ascenderá la cantidad total después de 6 años si no se
retira el capital inicial?
3.95 Si en el problema 3.94 el interés es compuesto trimestralmente (es decir, el dinero gana 2% de interés cada 3 meses), ¿cuál
será la cantidad total después de 6 años?
3.96 Encontrar dos números cuya media aritmética sea 9.00 y cuya media geométrica sea 7.2.
LA MEDIA ARMÓNICA
3.97 Encontrar la media armónica de los números: a) 2, 3 y 6 y b) 3.2, 5.2, 4.8, 6.1 y 4.2.
3.98 Encontrar: a) la media aritmética, b) la media geométrica y c) la media armónica de los números 0, 2, 4 y 6.
3.99 Si X 1 , X 2 , X 3 , . . . , son las marcas de clase de una distribución de frecuencias y f 1 , f 2 , f 3 , . . . , son sus frecuencias correspondientes,
demostrar que su media armónica está dada por
donde N ¼ f 1 þ f 2 þ¼ P f
1
H ¼ 1 N
f 1
þ f 2
þ f
3
þ
X 1 X 2 X 3
¼ 1 P f
N X
3.100 Emplear el problema 3.99 para hallar la media armónica de la distribución: a) del problema 3.59 y b) del problema 3.60.
Comparar con el problema 3.91.
3.101 Las ciudades A, B y C están equidistantes una de otra. Un conductor viaja de la ciudad A a la ciudad B a 30 mi/h, de la
ciudad B a la ciudad C a 40 mi/h y de la ciudad C a la ciudad A a 50 mi/h. Determinar su velocidad promedio en este
viaje.
3.102 a) Un aeroplano recorre las distancias d 1 , d 2 y d 3 a las velocidades v 1 , v 2 y v 3 mi/h, respectivamente. Mostrar que la
velocidad promedio está dada por V, donde
d 1 þ d 2 þ d 3
V
¼ d 1
v 1
þ d 2
v 2
þ d 3
v 3
Ésta es una media armónica ponderada.
b) Encontrar: V si d 1 = 2 500, d 2 = 1 200, d 3 = 500, v 1 = 500, v 2 = 400 y v 3 = 250.
3.103 Demostrar que la media geométrica de dos números a y b es: a) menor o igual que su media aritmética y b) mayor o igual
que su media armónica. ¿Puede generalizar la prueba a más de dos números?
94 CAPÍTULO 3 MEDIA, MEDIANA, MODA, Y OTRAS MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL
LA RAÍZ CUADRADA MEDIA O LA MEDIA CUADRÁTICA
3.104 Encontrar la RCM (o media cuadrática) de los números: a) 11, 23 y 35, y b) 2.7, 3.8, 3.2 y 4.3.
3.105 Probar que la RCM de dos números positivos, a y b, es: a) mayor o igual que la media aritmética y b) mayor o igual que la
media armónica. Se puede extender la prueba a más de dos números.
3.106 Deducir una fórmula que pueda usarse para hallar la RCM de datos agrupados y aplicarla a una de las distribuciones de
frecuencias ya consideradas.
CUARTILES, DECILES Y PERCENTILES
3.107 En la tabla 3.13 se presenta una distribución de frecuencias de las calificaciones en un examen final de álgebra. a) Encontrar
los cuartiles de esta distribución y b) interpretar claramente cada uno de ellos.
Tabla 3.13
Calificación
90-100
80-89
70-79
60-69
50-59
40-49
30-39
Cantidad de
estudiantes
9
32
43
21
11
3
1
Total 120
3.108 Encontrar los cuartiles Q 1 , Q 2 y Q 3 de las distribuciones: a) del problema 3.59 y b) del problema 3.60. Interpretar claramente
cada uno de ellos.
3.109 Proporcionar seis términos estadísticos diferentes para el punto de equilibrio o valor central en una curva de frecuencias en
forma de campana.
3.110 Encontrar: a) P 10 , b) P 90 , c) P 25 y d ) P 75 en los datos del problema 3.59. Interpretar claramente cada uno de ellos.
3.111 a) ¿Se pueden expresar todos los deciles y cuartiles como percentiles? Explicar.
b) ¿Se pueden expresar los cuantiles como percentiles? Explicar.
3.112 Para los datos del problema 3.107, determinar: a) la calificación más baja obtenida por el 25% superior de los alumnos y
b) la puntuación más alta alcanzada por el 20% inferior de los alumnos. Interpretar las respuestas en términos de percentiles.
3.113 Interpretar gráficamente los resultados del problema 3.107 empleando: a) un histograma porcentual, b) un polígono de
frecuencia porcentual y c) una ojiva porcentual.
3.114 Repetir el problema 3.113 para los resultados del problema 3.108.
3.115 a) Desarrollar una fórmula similar a la de la ecuación (8) de este capítulo que permita calcular cualquier percentil de una
distribución de frecuencias.
b) Ilustrar el uso de la fórmula empleándola para obtener los resultados del problema 3.110.
DESVIACIÓN ESTÁNDAR
Y OTRAS MEDIDAS
DE DISPERSIÓN
4
DISPERSIÓN O VARIACIÓN
El grado de dispersión de los datos numéricos respecto a un valor promedio se llama dispersión o variación de los
datos. Existen varias medidas de dispersión (o variación); las más usadas son el rango, la desviación media, el rango
semiintercuartil, el rango percentil 10-90 y la desviación estándar.
RANGO
El rango de un conjunto de números es la diferencia entre el número mayor y el número menor del conjunto.
EJEMPLO 1 El rango del conjunto 2, 3, 3, 5, 5, 5, 8, 10, 12 es 12 − 2 = 10. Algunas veces el rango se da mediante el número
menor y el número mayor; así, por ejemplo, en el caso del conjunto anterior, simplemente se indica de 2 a 12 o 2-12.
DESVIACIÓN MEDIA
La desviación media, o desviación promedio, de un conjunto de N números X 1 , X 2 ,..., X N se abrevia DM y está definida
así:
Desviación media (DM) ¼
X N
j¼1
jX j
Xj P jX Xj
¼
¼jX Xj (1)
N
N
donde X es la media aritmética de los números y jX j
Xj es el valor absoluto de la desviación de X j respecto de X.
(El valor absoluto de un número es el número sin signo; el valor absoluto de un número se indica por medio de dos
barras verticales colocadas a los lados del número, así j 4j ¼4, jþ3j ¼3, j6j ¼6 y j 0:84j ¼0:84|.)
95
96 CAPÍTULO 4 DESVIACIÓN ESTÁNDAR Y OTRAS MEDIDAS DE DISPERSIÓN
EJEMPLO 2 Encuentre la desviación media del conjunto 2, 3, 6, 8, 11.
DM ¼
Media aritmética ð XÞ ¼ 2 þ 3 þ 6 þ 8 þ 11 ¼ 6
5
j2 6jþj3 6jþj6 6jþj8 6jþj11 6j j 4jþj 3jþj0jþj2jþj5j
¼
5
5
¼ 4 þ 3 þ 0 þ 2 þ 5 ¼ 2:8
5
Si X 1 , X 2 , . . . , X K se presentan con frecuencias f 1 , f 2 , . . . , f K , respectivamente, la desviación media puede expresarse
como
DM ¼
X K
j¼1
f j jX j
N
Xj P f jX
¼
N
Xj
¼jX Xj (2)
donde N ¼ P K
j¼1 f j ¼ P f . Esta fórmula es útil para datos agrupados, donde las X j representan las marcas de clase y
las f j las correspondientes frecuencias de clase.
En ocasiones, la desviación media se define en términos de las desviaciones absolutas respecto de la mediana o de
aj es que es mínima cuando
a es la mediana (es decir, la desviación media absoluta con respecto de la mediana es un mínimo).
Obsérvese que sería más apropiado emplear el término desviación media absoluta en vez de desviación media.
otro promedio, y no respecto de la media. Una propiedad interesante de la suma P N
j¼1 jX j
RANGO SEMIINTERCUARTIL
El rango semiintercuartil, o desviación cuartil, de un conjunto de datos se denota Q y está definido por
Q ¼ Q 3 Q 1
2
(3)
donde Q 1 y Q 3 son el primero y tercer cuartiles en los datos (ver problemas 4.6 y 4.7). Algunas veces se usa el rango
intercuartil Q 3 − Q 1; sin embargo, el rango semiintercuartil es más usado como medida de dispersión.
RANGO PERCENTIL 10-90
El rango percentil 10-90 de un conjunto de datos está definido por
Rango percentil 10-90 = P 90 − P 10 (4)
donde P 10 y P 90 son los percentiles 10o. y 90o. en los datos (ver problema 4.8). El rango semipercentil 10-90,
1
2 (P 90 − P 10 ), también puede usarse, pero no es muy común.
DESVIACIÓN ESTÁNDAR
La desviación estándar de un conjunto de N números X 1 , X 2 , . . . , X N se denota como s y está definida por
s ¼
sffi
X N
j¼1
ðX j
XÞ 2 sffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
P rffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
ðX XÞ 2 P qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
x
2
¼
¼ ¼ ðX XÞ 2
N
N
N
(5)
donde x representa la desviación de cada uno de los números X j respecto a la media X. Por lo tanto, s es la raíz cuadrada
de la media (RCM) de las desviaciones respecto de la media, o, como suele llamársele algunas veces, la desviación
raíz-media-cuadrado.
MÉTODO ABREVIADO PARA EL CÁLCULO DE LA DESVIACIÓN ESTÁNDAR 97
Si X 1 , X 2 , . . . , X N se presentan con frecuencias f 1 , f 2 , . . . , f K , respectivamente, la desviación estándar se puede expresar
como
s ¼
sffi
X K
j¼1
f j ðX j
XÞ 2 rffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
P rffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
P f ðX XÞ
¼
2 fx
2
qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
¼ ¼ ðX XÞ
N
N
N
2
(6)
donde N ¼ P K
j¼1
f j ¼ P f . Esta fórmula es útil para datos agrupados.
Algunas veces la desviación estándar de una muestra de datos se define usando como el denominador, en las ecuaciones
(5) y (6), (N − 1) en lugar de N. Esto se debe a que el valor que así se obtiene es una mejor aproximación a la
desviación estándar de la población de la que se ha tomado la muestra. Con valores grandes de N (N > 30), prácticamente
no hay diferencia entre pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
las dos definiciones. Y cuando se necesita una estimación mejor, ésta siempre se puede
obtener multiplicando por N=ðN 1Þ la desviación estándar obtenida de acuerdo con la primera definición. Por lo
tanto, en este libro se emplearán las fórmulas (5) y (6).
VARIANZA
La varianza de un conjunto de datos se define como el cuadrado de la desviación estándar y, por lo tanto, corresponde
al valor s 2 en las ecuaciones (5) y (6).
Cuando es necesario distinguir la desviación estándar de una población de la desviación estándar de una muestra
obtenida de esa población, se suele emplear s para la última y σ (letra griega sigma minúscula) para la primera. De
manera que s 2 y σ 2 representan la varianza muestral y la varianza poblacional, respectivamente.
MÉTODO ABREVIADO PARA EL CÁLCULO DE LA DESVIACIÓN ESTÁNDAR
Las ecuaciones (5) y (6) se pueden expresar, respectivamente, mediante las fórmulas siguientes
0 1
X N X
Xj
2 N 2
B XC
j
sffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
@ A
P
j¼1
j¼1
X
2 P X 2
qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
s ¼
¼
¼ X 2 X 2
N N
N N
0 1
X K X
f j Xj
2 K
2
B f j X j C sffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
@ A
P P
j¼1
j¼1
fX
2 fX 2
qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
s ¼
¼
¼ X 2 X 2
N N
N N
sffi
sffi
(7)
(8)
donde X 2 representa la media de los cuadrados de los diversos valores de X, en tanto que X 2 denota el cuadrado de la
media de los diversos valores de X (ver problemas 4.12 a 4.14).
Si las d j = X j − A son las desviaciones de X j respecto a una constante arbitraria A, las fórmulas (7) y (8) se transforman,
respectivamente, en
0 1
X N X
dj
2 N 2
B d j C sffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
P
j¼1
j¼1
d
2 P d 2
qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
@ A
s ¼
¼
¼ d 2 d
N N
N N
2
(9)
s ¼
sffi
sffi
X K
(Ver los problemas 4.15 y 4.17.)
j¼1
N
f j d 2 j
0
B
@
X K
j¼1
1
2
f j d j C
sffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
P P fd
2 fd 2
qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
A
¼
¼ d 2 d
N
N N
2
(10)
98 CAPÍTULO 4 DESVIACIÓN ESTÁNDAR Y OTRAS MEDIDAS DE DISPERSIÓN
Cuando en una distribución de frecuencia se tienen datos agrupados y los intervalos de clase son de un mismo
tamaño c, se tiene d j = cu j , o X j = A + cu j y la fórmula (10) se trasforma en
s ¼ c
sffi
X K
j¼1
N
f j u 2 j
0
B
@
X K
j¼1
N
1
2
f j u j C
A
sffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
P P fu
2 fu 2
qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
¼ c
¼ c u 2 u 2
N N
(11)
Esta última fórmula proporciona un método muy sencillo para el cálculo de la desviación estándar y se recomienda su
uso para datos agrupados, siempre que los intervalos de clase sean de un mismo tamaño. A este método se le llama
método de compilación y es exactamente análogo al empleado en el capítulo 3 para calcular la media aritmética de
datos agrupados. (Ver problemas 4.16 a 4.19.)
PROPIEDADES DE LA DESVIACIÓN ESTÁNDAR
1. La desviación estándar se puede definir como
s ¼
sffi
X N
j¼1
ðX j aÞ 2
N
donde a es un promedio cualquiera además de la media aritmética. De todas las desviaciones estándar, la mínima
es aquella en la que a = X, debido a la propiedad 2 del capítulo 3. Esta propiedad es una razón importante para
definir la desviación estándar como se definió antes. En el problema 4.27 se presenta una demostración de esta
propiedad.
2. En las distribuciones normales (ver capítulo 7) se encuentra que (como se muestra en la figura 4.1):
a) 68.27% de los casos está comprendido entre X − s y X + s (es decir, una desviación estándar a cada lado de
la media).
b) 95.45% de los casos está comprendido entre X − 2s y X + 2s (es decir, dos desviaciones estándar a cada lado
de la media).
c) 99.73% de los casos está comprendido entre X − 3s y X + 3s (es decir, tres desviaciones estándar a cada lado
de la media).
En distribuciones moderadamente sesgadas, estos porcentajes se satisfacen de manera aproximada (ver problema
4.24).
3. Supóngase que dos conjuntos que constan de N 1 y N 2 números (o dos distribuciones de frecuencia con frecuencias
totales N 1 y N 2 ) tienen varianzas s 2 1 y s 2 2, respectivamente, y una misma media X. Entonces, la varianza combinada
o conjunta de los dos conjuntos (o de las dos distribuciones de frecuencia) está dada por
s 2 ¼ N 1s 2 1 þ N 2 s 2 2
N 1 þ N 2
(12)
Obsérvese que ésta es una media aritmética ponderada de las dos varianzas. Esta fórmula puede generalizarse a tres
o más conjuntos.
4. El teorema de Chebyshev establece que para k > 1, por lo menos (1 − (1/k 2 )) × 100% de la distribución de probabilidad
de cualquier variable está a no más de k desviaciones estándar de la media. En particular, para k = 2, por
lo menos (1 − (1/2 2 )) × 100% o bien 75% de los datos está en el intervalo ðx 2S, x þ 2SÞ; para k = 3, por lo
menos (1 − (1/3 2 )) × 100% u 89% de los datos está en el intervalo ðx 3S, x þ 3SÞ, y para k = 4, por lo menos
(1 − (1/4 2 )) × 100% o bien 93.75% de los datos está en el intervalo ðx 4S, x þ 4SÞ.
COMPROBACIÓN DE CHARLIER 99
*
Media + DE
*
Media − DE
*
Media − 2DE
*
Media + 2DE
*
Media − 3DE
*
Media + 3DE
Figura 4-1 Ilustración de la regla empírica.
COMPROBACIÓN DE CHARLIER
La comprobación de Charlier, en el cálculo de la media y de la desviación estándar mediante el método de la compilación,
hace uso de las identidades
P f ðu þ 1Þ ¼
P fu þ
P f ¼
P fu þ N
P f ðu þ 1Þ 2 ¼ P f ðu 2 þ 2u þ 1Þ ¼ P fu 2 þ 2 P fu þ P f ¼ P fu 2 þ 2 P fu þ N
(Ver el problema 4.20.)
100 CAPÍTULO 4 DESVIACIÓN ESTÁNDAR Y OTRAS MEDIDAS DE DISPERSIÓN
CORRECCIÓN DE SHEPPARD PARA LA VARIANZA
El cálculo de la desviación estándar tiene cierto error debido a la agrupación de los datos en clases (error de agrupamiento).
Para hacer un ajuste respecto al error de agrupamiento, se usa la fórmula
Varianza corregida = Varianza de los datos agrupados
c 2
12
(13)
donde c es el tamaño del intervalo de clase. A la corrección c 2 /12 (que se resta) se le llama corrección de Sheppard.
Esta corrección se usa para distribuciones de variables continuas, en las que las “colas”, en ambas direcciones, se
aproximan gradualmente a cero.
Hay discrepancia respecto a cuándo y si la corrección de Shepppard debe ser aplicada. Desde luego no debe aplicarse
antes de que se examine la situación cuidadosamente, ya que se tiende a una sobrecorrección, con lo que sólo se
sustituye un error por otro. En este libro, a menos que se indique otra cosa, no se usará la corrección de Sheppard.
RELACIONES EMPÍRICAS ENTRE LAS MEDIDAS DE DISPERSIÓN
Para las distribuciones moderadamente sesgadas, se tiene la relación empírica
Desviación media = 4 5
(desviación estándar)
Rango semiintercuartil = 2 3
(desviación estándar)
Esto es consecuencia de que en una distribución normal se encuentre que la desviación media y el rango semiintercuartil
son iguales, respectivamente, a 0.7979 y 0.6745 veces la desviación estándar.
DISPERSIÓN ABSOLUTA Y RELATIVA; COEFICIENTE DE VARIACIÓN
La variación o dispersión real determinada mediante la desviación estándar u otra medida de dispersión se le conoce
como dispersión absoluta. Sin embargo, una variación o dispersión de 10 pulgadas (in) en una distancia de 1 000 pies
(ft) tiene un significado muy diferente a la misma variación de 10 in en una distancia de 20 ft. Este efecto se puede
medir mediante la dispersión relativa, que se define como sigue:
Dispersión relativa =
dispersión absoluta
promedio
(14)
Si la dispersión absoluta es la desviación estándar s y el promedio es la media X, entonces a la dispersión relativa
se le llama coeficiente de variación o coeficiente de dispersión; este coeficiente se denota por V y está dado por
Coeficiente de variación (V )= s X
(15)
y por lo general se expresa como porcentaje. También hay otras posibilidades (ver problema 4.30).
Obsérvese que el coeficiente de variación es independiente de las unidades que se empleen. Debido a esto, el coeficiente
de variación es útil cuando se trata de comparar distribuciones en las que las unidades son diferentes. Una
desventaja del coeficiente de variación es que no es útil cuando el valor de X es cercano a cero.
SOFTWARE Y MEDIDAS DE DISPERSIÓN 101
VARIABLE ESTANDARIZADA; PUNTUACIONES ESTÁNDAR
A la variable que mide la desviación respecto a la media en términos de unidades de desviaciones estándar se le llama
variable estandarizada y es una cantidad adimensional (es decir, es independiente de las unidades empleadas) y está
dada por
z ¼ X
s
X
(16)
Si las desviaciones respecto a la media se dan en términos de unidades de desviación estándar, se dice que las
desviaciones se expresan en unidades estándar o en puntuaciones estándar. Las unidades estándar son de gran valor
para comparar distribuciones (ver problema 4.31).
SOFTWARE Y MEDIDAS DE DISPERSIÓN
El software para estadística proporciona diversas medidas de dispersión. Estas medidas de dispersión suelen proporcionarse
en estadística descriptiva. EXCEL permite el cálculo de todas las medidas estudiadas en este libro. Aquí
se discuten MINITAB y EXCEL y en los problemas resueltos se muestran los resultados que proporcionan otros
paquetes.
EJEMPLO 3
a) EXCEL proporciona cálculos para varias medidas de dipersión, y en el siguiente ejemplo se ilustran algunas de ellas. En
una empresa se hace una encuesta; la pregunta es: ¿cuántos e-mails recibe una persona por semana? Las respuestas dadas
por los 75 empleados se muestran en las celdas A1:E15 de la hoja de cálculo de EXCEL.
32 113 70 60 84
114 31 58 86 102
113 79 86 24 40
44 42 54 71 25
42 116 68 30 63
121 74 77 77 100
51 31 61 28 26
47 54 74 57 35
77 80 125 105 61
102 45 115 36 52
58 24 24 39 40
95 99 54 35 31
77 29 69 58 32
49 118 44 95 65
71 65 74 122 99
El rango se obtiene mediante =MAX(A1:E15)-MIN(A1:E15) o bien 125 − 24 = 101. La desviación media o desviación
promedio se obtiene mediante = DESVPROM(A1:E15) o bien 24.42. El rango semiintercuartil se obtiene mediante la
expresión =(PERCENTIL(A1:E15,0.75)-(PERCENTIL(A1:E15,0.25))/2 o bien 22. El rango percentil 10-90 se obtiene
mediante PERCENTIL(A1:E15,0.9)-PERCENTIL(A1:E15,0.1) u 82.6.
La desviación estándar y la varianza se obtienen mediante =DESVEST(A1:E15), que es 29.2563 y =VAR(A1:E15),
que es 855.932 para muestras, y =DESVESTP(A1:E15) que es 29.0606 y =VARP(A1:E15), que es 844.52 para poblaciones.
102 CAPÍTULO 4 DESVIACIÓN ESTÁNDAR Y OTRAS MEDIDAS DE DISPERSIÓN
b)
Figura 4-2 Ventana de diálogo de MINITAB.
En la ventana de diálogo de MINITAB, que se presenta en la figura 4-2, se han elegido las medidas de dispersión y de
tendencia central. El resultado es el siguiente:
Estadística descriptiva: e-mails
Variable StDev Variance CoefVar Minimum Q1 Q3 Maximum Range IQR
e-mails 29.26 855.93 44.56 24.00 40.00 86.00 125.00 101.00 46.00
PROBLEMAS RESUELTOS
EL RANGO
4.1 Encontrar el rango de los conjuntos: a) 12, 6, 7, 3, 15, 10, 18, 5 y b) 9, 3, 8, 8, 9, 8, 9, 18.
SOLUCIÓN
En ambos casos, rango = número mayor − número menor = 18 − 3 = 15. Sin embargo, como se puede ver en las ordenaciones
de los conjuntos a) y b),
a) 3, 5, 6, 7, 10, 12, 15, 18 b) 3, 8, 8, 8, 9, 9, 9, 18
en el conjunto a) hay mucha más variación que en el conjunto b). En efecto, b) consta casi únicamente de ochos y
nueves.
Dado que el rango no indica diferencia alguna entre estos conjuntos, en este caso no es una buena medida de dispersión.
Cuando hay valores extremos, el rango no suele ser una buena medida de la dispersión.
Eliminando los valores extremos, 3 y 18, se logra una mejora. Entonces, el rango del conjunto a) es (15 − 5) = 10,
en tanto que el rango del conjunto b) es (9 − 8) = 1, lo que muestra claramente que en a) hay mayor dispersión que en b).
Sin embargo, el rango no ha sido definido de esta manera. El rango semiintercuartil y el rango percentil 10-90 están concebidos
para obtener una medida mejor que el rango mediante la eliminación de los valores extremos.
4.2 Encontrar el rango de las estaturas de los estudiantes de la universidad XYZ dadas en la tabla 2.1.
PROBLEMAS RESUELTOS 103
SOLUCIÓN
Hay dos maneras para definir el rango de datos agrupados.
Primer método
Segundo método
Rango = marca de clase de la clase más alta − marca de clase de la clase más baja
= 73 − 61 = 12 in
Rango = frontera superior de la clase más alta − frontera inferior de la clase más baja
= 74.5 − 59.5 = 15 in
Empleando el primer método se tienden a eliminar, en cierta medida, los valores extremos.
LA DESVIACIÓN MEDIA
4.3 Encontrar la desviación media de los conjuntos de números del problema 4.1.
SOLUCIÓN
a) La media aritmética es
La desviación media es
P jX
DM ¼
N
Xj
X ¼
12 þ 6 þ 7 þ 3 þ 15 þ 10 þ 18 þ 5
¼ 76
8
8 ¼ 9:5
j12 9:5jþj6 9:5jþj7 9:5jþj3 9:5jþj15 9:5jþj10 9:5jþj18 9:5jþj5 9:5j
¼
8
2:5 þ 3:5 þ 2:5 þ 6:5 þ 5:5 þ 0:5 þ 8:5 þ 4:5
¼ ¼ 34
8
8 ¼ 4:25
b) X ¼ 9 þ 3 þ 8 þ 8 þ 9 þ 8 þ 9 þ 18 ¼ 72 8
8 ¼ 9
P jX
DM ¼
N
Xj
¼
j9 9jþj3 9jþj8 9jþj8 9jþj9 9jþj8 9jþj9 9jþj18 9j
8
¼ 0 þ 6 þ 1 þ 1 þ 0 þ 1 þ 0 þ 9 ¼ 2:25
8
La desviación media indica, como debe ser, que en el conjunto b) hay menos dispersión que en el conjunto a).
4.4 Encontrar la desviación media de las estaturas de 100 estudiantes de la universidad XYZ (ver tabla 3.2, problema
3.20).
SOLUCIÓN
De acuerdo con el problema 3.20, X = 67.45 in. Para facilitar los cálculos, éstos pueden organizarse como en la tabla 4.1.
También se puede idear un método de compilación para el cálculo de la desviación media (ver problema 4.47).
104 CAPÍTULO 4 DESVIACIÓN ESTÁNDAR Y OTRAS MEDIDAS DE DISPERSIÓN
Tabla 4.1
Estaturas (in) Marcas de clase (X ) jX Xj ¼jX 67:45j Frecuencia ( f ) f jX Xj
60-62
63-65
66-68
69-71
72-74
61
64
67
70
73
6.45
3.45
0.45
2.55
5.55
5
18
42
27
8
32.25
62.10
18.90
68.85
44.40
N ¼ P f ¼ 100
P f jX Xj ¼226:50
P f jX
DM ¼
N
Xj
¼ 226:50 ¼ 2:26 in
100
4.5 Determinar el porcentaje de las estaturas de los estudiantes del problema 4.4 que cae dentro de los rangos a)
X ± DM, b) X ± 2 DM y c) X ± 3 DM.
SOLUCIÓN
a) El rango de 65.19 a 69.71 in es X ± DM = 67.45 ± 2.26. Este rango comprende a todos los individuos de la tercera
clase + 1 3 (65.5 − 65.19) de los estudiantes de la segunda clase +1 3 (69.71 − 68.5) de los estudiantes de la cuarta clase
(ya que el tamaño del intervalo de clase es 3 in, la frontera superior de clase de la segunda clase es 65.5 in y la frontera
inferior de clase de la cuarta clase es 68.5 in). La cantidad de estudiantes en el rango X ± DM es
42 þ 0:31
3 ð18Þþ1:21 ð27Þ ¼42 þ 1:86 þ 10:89 ¼ 54:75 o sea 55
3
que es 55% del total.
b) El rango de 62.93 a 71.97 in es X ± 2 DM = 67.45 ± 2(2.26) = 67.45 ± 4.52. El número de estudiantes en el rango
X ± 2 DM es
18
62:93 62:5
ð18Þþ42 þ 27 þ
3
71:97 71:5
3
ð8Þ ¼85:67 u 86
que es 86% del total.
c) El rango de 60.67 a 74.23 in es X ± 3 DM = 67.45 ± 3(2.26) = 67.45 ± 6.78. La cantidad de estudiantes en el rango
X ± 3 DM es
5
60:67 59:5
ð5Þþ18 þ 42 þ 27 þ
3
74:5 74:23
3
ð8Þ ¼97:33 o sea 97
que es 97% del total.
EL RANGO SEMIINTERCUARTIL
4.6 Encontrar el rango semiintercuartil en la distribución de las estaturas de los estudiantes de la universidad XYZ
(ver tabla 4.1 del problema 4.4).
SOLUCIÓN
El cuartil inferior y el cuartil superior son Q 1 ¼ 65:5 þ 2 42 ð3Þ ¼65:64 in y Q 3 ¼27
68:5 þ 10
27
ð3Þ ¼69:61 in, respectivamente,
y el rango semiintercuartil (o desviación cuartil) es Q ¼ 1 2 ðQ 3 Q 1 Þ¼ 1 2
1
ð69:61 65:64Þ ¼1:98 in. Obsérvese que el
50% de los casos se encuentra entre Q 1 y Q 3 (es decir, la estatura de 50 estudiantes está entre 65.64 y 69.61 in).
PROBLEMAS RESUELTOS 105
Se puede considerar que 1 2 ðQ 1 þ Q 3 Þ¼67:63 in es una medida de tendencia central (es decir, una altura promedio).
Por lo tanto, 50% de las estaturas se encuentra entre 67.63 ± 1.98 in.
4.7 Encontrar el rango semiintercuartil de los salarios de 65 empleados de la empresa P&R (ver la tabla 2.5 del
problema 2.3).
SOLUCIÓN
De acuerdo con el problema 3.44, Q 1 = $268.25 y Q 3 = $290.75. Por lo tanto, el rango semiintercuartil es Q = 1 2(Q 3 − Q 1 )
= 1 2($290.75 − $268.25) = $11.25. Como 1 2(Q 1 + Q 3 ) = $279.50, se puede concluir que 50% de los empleados tienen
salarios que se encuentran en el rango de $279.50 ± $11.25.
EL RANGO PERCENTIL 10-90
4.8 Encontrar el rango percentil 10-90 de las estaturas de los estudiantes de la universidad XYZ (ver tabla 2.1).
SOLUCIÓN
Aquí, P 10 = 62.5 + 5
18 (3) = 63.33 in y P 90
= 68.5 +
25
27 (3) = 71.27 in. Por lo tanto, el rango percentil 10-90 es P 90 − P 10
= 71.27 − 63.33 = 7.94 in. Como 1 2(P 10 + P 90 ) = 67.30 in y 1 2(P 90 − P 10 ) = 3.97 in, se puede concluir que las estaturas de
80% de los estudiantes se encuentra en el rango de 67.30 ± 3.97 in.
LA DESVIACIÓN ESTÁNDAR
4.9 Encontrar la desviación estándar s de cada uno de los conjuntos de números del problema 4.1.
SOLUCIÓN
P X 12 þ 6 þ 7 þ 3 þ 15 þ 10 þ 18 þ 5
a) X ¼ ¼ ¼ 76 N 8
8 ¼ 9:5
sffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
P ðX XÞ 2
s ¼
N
sffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
ð12 9:5Þ 2 þð6 9:5Þ 2 þð7 9:5Þ 2 þð3 9:5Þ 2 þð15 9:5Þ 2 þð10 9:5Þ 2 þð18 9:5Þ 2 þð5 9:5Þ 2
¼
8
p
¼
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
23:75 ¼ 4:87
b) X ¼ 9 þ 3 þ 8 þ 8 þ 9 þ 8 þ 9 þ 18 ¼ 72
8
8 ¼ 9
sffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
P ðX XÞ 2
s ¼
N
sffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
ð9 9Þ 2 þð3 9Þ 2 þð8 9Þ 2 þð8 9Þ 2 þð9 9Þ 2 þð8 9Þ 2 þð9 9Þ 2 þð18 9Þ 2
¼
8
p
¼
ffiffiffiffiffi
15 ¼ 3:87
Comparando los resultados anteriores con los del problema 4.3 se observa que la desviación estándar sí indica que
el conjunto b) tiene menos dispersión que el conjunto a). Sin embargo, este efecto se enmascara por el hecho de que los
valores extremos afectan a la desviación estándar mucho más que a la desviación media. Esto es de esperar, ya que para
calcular la desviación estándar las desviaciones se elevan al cuadrado.
106 CAPÍTULO 4 DESVIACIÓN ESTÁNDAR Y OTRAS MEDIDAS DE DISPERSIÓN
4.10 La desviación estándar de los dos conjuntos de datos dados en el problema 4.1 pueden encontrarse con MINITAB.
Adelante se presentan los resultados. Comparlos con los obtenidos en el problema 4.9.
MTB > print cl
set1
12 6 7 3 15 10 18 5
MTB > print c2
set2
9 3 8 8 9 8 9 18
MTB > standard deviation cl
Columna de desviación estándar
Standard deviation of set1 = 5.21
MTB > standard deviation c2
Columna de desviación estándar
Standard deviation of set2 = 4.14
SOLUCIÓN
MINITAB emplea la fórmula
sffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
P ðX XÞ 2
s ¼
N 1
y por lo tanto, en los problemas 4.9 y 4.10 no se obtiene la misma desviación pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
estándar. Las respuestas del problema 4.10
pse ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pueden obtener de las del problema 4.9 multiplicando éstas por N=ðN 1Þ. Como N = 8 para ambos conjuntos,
N=ðN 1Þ = 1.069045. Entonces, para el conjunto 1 se tiene (1.069045)(4.87) = 5.21, que es la desviación estándar
dada por MINITAB. De igual manera, (1.069045)(3.87) = 4.14, que es la desviación estándar dada por MINITAB para
el problema 2.
4.11 Encuentre la desviación estándar de las estaturas de los 100 estudiantes de la universidad XYZ (ver tabla
2.1).
SOLUCIÓN
De acuerdo con los problemas 3.15, 3.20 o bien 3.22, X = 67.45 in. Los cálculos pueden organizarse como en la tabla 4.2.
sffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
P rffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
f ðX XÞ 2 852:7500 p
s ¼
¼
¼
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
8:5275 ¼ 2:92 in
N
100
Tabla 4.2
Estaturas (in) Marcas de clase (X) X X ¼ X 67:45 ðX XÞ 2 Frecuencias ( f ) f ðX XÞ 2
60-62
63-65
66-68
69-71
72-74
61
64
67
70
73
−6.45
−3.45
−0.45
2.55
5.55
41.6025
11.9025
0.2025
6.5025
30.8025
5
18
42
27
8
208.0125
214.2450
8.5050
175.5675
246.4200
N ¼ P f ¼ 100
P f ðX XÞ 2
¼ 852.7500
PROBLEMAS RESUELTOS 107
CÁLCULO DE LAS DESVIACIONES ESTÁNDAR DE DATOS AGRUPADOS
4.12 a) Demostrar que
sffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
P P X
2
2
qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
X
s ¼
¼ X 2 X 2
N N
b) Usar la fórmula del inciso a) para hallar la desviación estándar del conjunto 12, 6, 7, 3, 15, 10, 18, 5.
SOLUCIÓN
a) Por definición
Entonces
o bien
sffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
P ðX XÞ 2
s ¼
N
P ðX XÞ 2 P ðX
s 2 2
2 XX þ X 2 P
Þ X
2
2 X P X þ N X 2
¼
¼
¼
N
N
N
P X
2
P P X
X
¼ 2 X
N N
þ X 2 2
P X
¼ 2 X 2 þ X 2 2
¼ X 2
N
N
P X
¼ X 2 ¼ X 2 2 P 2 X
− ¼
N N
sffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
P P X
2 X 2
qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
s ¼
¼ X 2 X 2
N N
Obsérvese que en las sumatorias anteriores se ha usado la forma abreviada, empleando X en lugar de X j y P en
lugar de P N
j¼1 .
Otro método
s 2 ¼ðX XÞ 2 ¼ X 2 2X X þ X 2 ¼ X 2 2X X þ X 2 ¼ X 2 2 X X þ X 2 ¼ X 2 X 2
b)
P X
2
X 2 ¼
N ¼ ð12Þ2 þð6Þ 2 þð7Þ 2 þð3Þ 2 þð15Þ 2 þð10Þ 2 þð18Þ 2 þð5Þ 2
8
P X 12 þ 6 þ 7 þ 3 þ 15 þ 10 þ 18 þ 5
X ¼ ¼ ¼ 76
N 8
8 ¼ 9:5
qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
p
Por lo tanto s ¼ X 2 X 2 ¼
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi p
114 90:25 ¼
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
23:75 ¼ 4:87
¼ 912
8 ¼ 114
Compárese este método con el del problema 4.9a).
4.13 Modificar la fórmula del problema 4.12a) para introducir las frecuencias que corresponden a los diversos
valores de X.
SOLUCIÓN
La modificación apropiada es
sffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
P P fX
2 fX 2
qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
s ¼
¼ X 2 X 2
N N
Como en el problema 4.12a), a esta fórmula se puede llegar partiendo de
sffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
P f ðX XÞ 2
s ¼
N
108 CAPÍTULO 4 DESVIACIÓN ESTÁNDAR Y OTRAS MEDIDAS DE DISPERSIÓN
Entonces
o bien
P f ðX XÞ 2 P f ðX
s 2 2
2 XX þ X 2 P
Þ fX
2
2 X P fX þ X 2 P f
¼
¼
¼
N
N
N
P fX
2
P P fX
fX
¼ 2 X
N N
þ X 2 2
P fX
¼ 2 X 2 þ X 2 2
¼ X 2
N
N
P fX
2
P fX 2
¼
N N
sffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
P P fX
2 fX 2
s ¼
N N
Obsérvese que la sumatoria anterior se ha usado en forma abreviada, empleando X y f en lugar de X j y f j , P en lugar
de P K
j¼1 y P K
j¼1 f j = N.
4.14 Empleando la fórmula del problema 4.13, encontrar la desviación estándar de los datos de la tabla 4.2, problema
4.11.
SOLUCIÓN
Los cálculos pueden organizarse como en la tabla 4.3, donde X ¼ð P fXÞ=N ¼ 67:45 in, según se obtuvo en el problema
3.15. Observar que este método, como el del problema 4.11, conlleva cálculos muy tediosos. En el problema 4.17 se muestra
cómo con el método de compilación se simplifican los cálculos enormemente.
Tabla 4.3
Estaturas (in) Marcas de clase (X ) X 2 Frecuencias ( f ) f X 2
60-62
63-65
66-68
69-71
72-74
61
64
67
70
73
3 721
4 096
4 489
4 900
5 329
5
18
42
27
8
18 605
73 728
188 538
132 300
42 632
N ¼ P f ¼ 100
P f X 2 = 455 803
sffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
P P fX
2 fX 2
rffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
455; 803
p
s ¼
¼
ð67:45Þ 2 ¼
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
8:5275 ¼ 2:92 in
N N
100
4.15 Si d = X − A son las desviaciones de X respecto a una constante arbitraria A, probar que
sffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
P P fd
2
2 fd
s ¼
N N
SOLUCIÓN
Como d = X − A, X = A + d y X ¼ A þ d (ver problema 3.18), entonces
de manera que
X X ¼ðA þ dÞ ðA þ dÞ¼d d
sffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
sffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
P f ðX XÞ 2 P
sffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
f ðd dÞ 2 P fd
2 P fd 2
s ¼
¼
¼
N
N
N N
de acuerdo con los resultados del problema 4.13 y sustituyendo X y X en lugar de d y d , respectivamente.
PROBLEMAS RESUELTOS 109
Otro método
s 2 ¼ðX XÞ 2 ¼ðd dÞ 2 ¼ d 2 2 dd þ d 2
P
¼ d 2 2d 2 þ d 2 ¼ d 2 d fd 2 2
¼
N
P fd
N
2
y la fórmula deseada se obtiene sacando la raíz cuadrada positiva.
4.16 Mostrar que si en una distribución de frecuencia en la que todos los intervalos de clase son del mismo tamaño
c, se compila cada marca de clase X con su valor correspondiente u de acuerdo con la relación X = A + cu,
donde A es una marca de clase dada, entonces la desviación estándar se puede expresar como
sffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
P P fu
2
2 qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
fu
s ¼ c
¼ c u 2 u 2
N N
SOLUCIÓN
Esto se deduce inmediatamente del problema 4.15, ya que d = X − A = cu. Por lo tanto, como c es una constante,
sffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
P f ðcuÞ
2 P
sffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
f ðcuÞ 2 P P
sffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
fu
s ¼
¼ c 2 2 fu 2 P P fu
c 2 2 fu 2
¼ c
N
N
N N
N N
Otro método
Esta fórmula se puede probar también directamente sin usar el problema 4.15. Dado que X = A + cu, X ¼ A þ cu y
X X ¼ cðu uÞ, entonces
s 2 ¼ðX XÞ 2 ¼ c 2 ðu uÞ 2 ¼ c 2 ðu 2 2uu þ u 2 Þ¼c 2 ðu 2 2u 2 þ u 2 Þ¼c 2 ðu 2 u 2 Þ
y
sffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
P fu
2 P fu 2
s ¼ c u 2 u 2 ¼ c
N N
4.17 Encontrar la desviación estándar de las estaturas de los estudiantes de la universidad XYZ (ver la tabla 2.1)
empleando: a) la fórmula obtenida en el problema 4.15 y b) el método de codificación del problema 4.16.
SOLUCIÓN
En las tablas 4.4 y 4.5 arbitrariamente se ha elegido A igual a la marca de clase 67. Obsérvese que en la tabla 4.4 las desviaciones
d = X − A son múltiplos del tamaño del intervalo de clase c = 3. En la tabla 4.5 se ha eliminado este factor. Esto
da como resultado que en la tabla 4.5 los cálculos se simplifican enormemente (en comparación con los de los problemas
4.11 y 4.14). Por esto se recomienda emplear el método de compilación siempre que sea posible.
a) Ver la tabla 4.4.
Tabla 4.4
Marcas de clase (X ) d = X − A Frecuencias ( f ) fd f d 2
61
64
A → 67
70
73
−6
−3
0
3
6
5
18
42
27
8
−30
−54
0
81
48
180
162
0
243
288
N ¼ P f ¼ 100
P f d = 45
P f X
2
= 873
110 CAPÍTULO 4 DESVIACIÓN ESTÁNDAR Y OTRAS MEDIDAS DE DISPERSIÓN
b) Ver la tabla 4.5
sffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
P P
sffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
fd
2 fd 2
873 45 2
p
s ¼
¼
¼
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
8:5275 ¼ 2:92 in
N N 100 100
Tabla 4.5
Marcas de clase (X ) u ¼ X A
c
Frecuencias ( f ) fu f u 2
61
64
A → 67
70
73
−2
−2
0
1
2
5
18
42
27
8
−10
−18
0
27
18
20
18
0
27
32
N ¼ P f ¼ 100
P f u = 15
P f u 2 = 97
sffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
P P
sffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
fu
2 fu 2
97 15 2
p
s ¼ c
¼ 3
¼ 3
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
0:9475 ¼ 2:92 in
N N 100 100
4.18 Empleando el método de compilación, encontrar: a) la media y b) la desviación estándar de la distribución de
los salarios de los 65 empleados de la empresa P&R (ver la tabla 2.5 del problema 2.3).
SOLUCIÓN
Los cálculos se pueden organizar como en la tabla 4.6.
P
fu
31
a) X ¼ A þ cu ¼ A þ c
N ¼ $275:00 þð$10:00Þ ¼ $279:77
65
sffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
P fu
2
P
sffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
fu 2
b) s ¼ c u 2 u 2
173 31 2
pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
¼ c
¼ð$10:00Þ
¼ð$10:00Þ 2:4341 ¼ $15:60
N N
65 65
A ⎯→
Tabla 4.6
X u f fu fu 2
$255.00
265.00
275.00
285.00
295.00
305.00
315.00
−2
−1
0
1
2
3
4
8
10
16
14
10
5
2
N = P f = 65
−16
32
−10
10
0
0
14
14
20
40
15
45
8
32
P P fu = 31 fu 2 = 173
4.19 La tabla 4.7 muestra el CI de 480 niños de primaria. Empleando el método de compilación, encontrar: a) la
media y b) la desviación estándar.
PROBLEMAS RESUELTOS 111
Tabla 4.7
Marca des clase (X ) 70 74 78 82 86 90 94 98 102 106 110 114 118 122 126
Frecuencias ( f ) 4 9 16 28 45 66 85 72 54 38 27 18 11 5 2
SOLUCIÓN
El cociente intelectual es
CI =
edad mental
edad cronológica
expresado como porcentaje. Por ejemplo, un niño de 8 años que (de acuerdo con ciertos procedimientos educativos) tiene una
mentalidad de un niño de 10 años, tendrá un CI de 10/8 = 1.25 = 125%, o simplemente 125, el signo % se sobreentiende.
Para hallar la media y la desviación estándar de los cocientes intelectuales de la tabla 4.7, se pueden organizar los
cálculos como en la tabla 4.8.
P
fu 236
a) X ¼ A þ cu ¼ A þ c
N ¼ 94 þ 4 ¼ 95:97
480
sffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
p
P fu
2
sffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
2
3404
2
3 236 p
b) s ¼ c
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
u 2 u 2
¼ c
COMPROBACIÓN DE CHARLIER
N
P fu
N
¼ 4
480
480
¼ 4
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
6:8499
¼ 10:47
4.20 Emplear la comprobación de Charlier para verificar los cálculos de: a) la media y b) la desviación estándar
realizados en el problema 4.19.
SOLUCIÓN
Para hacer la comprobación deseada, a las columnas de la tabla 4.8 se agregan las columnas de la tabla 4.9 (con excepción
de la columna 2, que por comodidad se repite en la tabla 4.9).
a) De acuerdo con la tabla 4.9, P f (u + 1) = 716; de acuerdo con la tabla 4.8, P fu + N = 236 + 480 = 716. Con esto
se tiene la comprobación de la media.
Tabla 4.8
X u f fu fu 2
70
74
78
82
86
90
A ⎯→ 94
98
102
106
110
114
118
122
126
−6
−5
−4
−3
−2
−1
−0
−1
−2
−3
−4
−5
−6
−7
−8
4
9
16
28
45
66
85
72
54
38
27
18
11
5
2
−24
−45
−64
−84
−90
−66
0
72
108
114
108
90
66
35
16
144
225
256
252
180
66
0
72
216
342
432
450
396
245
128
N = P f = 480
P f u = 236
P f u
2
= 3 404
112 CAPÍTULO 4 DESVIACIÓN ESTÁNDAR Y OTRAS MEDIDAS DE DISPERSIÓN
Tabla 4.9
u + 1 f f (u + 1) f (u + 1) 2
−5
−4
−3
−2
−1
−0
−1
−2
−3
−4
−5
−6
−7
−8
−9
4
9
16
28
45
66
85
72
54
38
27
18
11
5
2
N = P f = 480
−20
100
−36
144
−48
144
−56
112
−45
45
0
0
85
85
144
288
162
486
152
608
135
675
108
648
77
539
40
320
18
162
P P f (u + 1) = 716 f (u + 1) 2 = 4 356
b) De acuerdo con la tabla 4.9, P f (u + 1) 2 = 4 356; de acuerdo con la tabla 4.8, P f 2 + 2 P fu + N = 3 404 + 2(236)
+ 480 = 4 356, con lo que se tiene la comprobación de la desviación estándar.
CORRECCIÓN DE SHEPPARD PARA LA VARIANZA
4.21 Emplee la corrección de Sheppard para determinar la desviación estándar de los datos en: a) el problema 4.17,
b) el problema 4.18 y c) el problema 4.19.
SOLUCIÓN
a) s 2 √= 8.5275 y c = 3. Varianza pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
corregida = s 2 − c 2 /12 = 8.5275 − 3 2 /12 = 7.7775. Desviación estándar corregida
= varianza corregida = 7:7775 = 2.79 in.
b) s 2 = pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
243.41 y c = 10. Varianza corregida = s 2 − c 2 /12 = 243.41 − 10 2 /12 = 235.08. Desviación estándar corregida
= 235:08 = $15.33.
c) s 2 p= ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 109.60 y c = 4. Varianza corregida = s 2 − c 2 /12 = 109.60 − 4 2 /12 = 108.27. Desviación estándar corregida
= 108:27 = 10.41.
4.22 Dada la segunda distribución de frecuencia del problema 2.8, encontrar: a) la media, b) la desviación estándar,
c) la desviación estándar usando la corrección de Sheppard y d ) la verdadera desviación estándar a partir de
los datos no agrupados.
SOLUCIÓN
Los cálculos se pueden organizar como en la tabla 4.10.
P
fu
9
a) X ¼ A þ cu ¼ A þ c
N ¼ 149 þ 9 ¼ 147:0lb
40
sffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
P fu
2 P
sffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
2
2
fu
b) s ¼ c u 2 u 2
95 9 p
¼ c
¼ 9
¼ 9
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
2:324375 ¼ 13:7lb
N N
40 40
c) Varianza corregida = s 2 − c 2 /12 = 188.27 − 9 2 /12 = 181.52. Desviación estándar corregida = 13.5 lb.
PROBLEMAS RESUELTOS 113
Tabla 4.10
X u f fu fu 2
122
131
140
A ⎯→ 149
158
167
176
−3
−2
−1
−0
−1
−2
−3
3
5
9
12
5
4
2
−9
−10
−9
0
5
8
6
27
20
9
0
5
16
18
N = P f = 40
P f u = −9
P f u
2
= 95
d )
Para calcular la desviación estándar a partir de los verdaderos pesos de los estudiantes, dados en el problema, conviene
primero restarle a cada peso un número adecuado, por ejemplo, A = 150 lb, y después usar el método del problema
4.15. Las desviaciones d = X − A = X − 150 se dan en la tabla siguiente:
12 14 0 18 6 25 1 7
4 8 10 3 14 2 2 6
18 24 12 26 13 31 4 15
4 23 8 3 15 3 10 15
11 5 15 8 0 6 5 22
a partir de las cuales se encuentra que P d = −128 y P d 2 = 7 052. Entonces
qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
sffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
P P
sffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
s ¼ d 2 d d 2
2 d 2
7052
2
7 128 p
¼
¼
¼
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
166:06 ¼ 12:9lb
N N
40
40
Por lo tanto, con la corrección de Sheppard, en este caso, se obtiene cierta mejora.
RELACIONES EMPÍRICAS ENTRE LAS MEDIDAS DE DISPERSIÓN
4.23 Dada la distribución de las estaturas de los estudiantes de la universidad XYZ, comentar la validez de las
fórmulas empíricas: a) desviación media = 4 5(desviación estándar) y b) rango semiintercuartil = 2 3(desviación
estándar).
SOLUCIÓN
a) De acuerdo con los problemas 4.4 y 4.11, desviación media ÷ desviación estándar = 2.26/2.92 = 0.77, que es aproximadamente
4 5 .
b) De acuerdo con los problemas 4.6 y 4.11, rango semiintercuartil ÷ desviación estándar = 1.98/2.92 = 0.68, que es
aproximadamente 2 3 .
Por lo tanto, en este caso las fórmulas empíricas son válidas.
Obsérvese que no se usó la desviación estándar con corrección de Sheppard para agrupamiento, ya que no se hicieron
las correcciones correspondientes a la desviación media ni al rango semiintercuartílico.
PROPIEDADES DE LA DESVIACIÓN ESTÁNDAR
4.24 En el problema 4.19 determinar el porcentaje de estudiantes cuyo CI cae dentro de los rangos: a) X ± s,
b) X ± 2s y c) X ± 3s.
114 CAPÍTULO 4 DESVIACIÓN ESTÁNDAR Y OTRAS MEDIDAS DE DISPERSIÓN
SOLUCIÓN
a) El rango para los CI de 85.5 a 106.4 es X ± s = 95.97 ± 10.47. La cantidad de CI en el rango X ± s es
88 85:5
ð45Þþ66 þ 85 þ 72 þ 54 þ
4
106:4 104
4
ð38Þ ¼339
El porcentaje de CI en el rango X ± s es 339/480 = 70.6%.
b) El rango de los CI de 75.0 a 116.9 es X ± 2s = 95.97 ± 2(10.47). La cantidad de CI en el rango X ± 2s es
76 75:0
ð9Þþ16 þ 28 þ 45 þ 66 þ 85 þ 72 þ 54 þ 38 þ 27 þ 18 þ
4
116:9 116
4
ð11Þ ¼451
El porcentaje de CI en el rango X ± 2s es 451/480 = 94.0%.
c) El rango de los CI de 64.6 a 127.4 es X ± 3s = 95.97 ± 3(10.47). La cantidad de CI en el rango X ± 3s es
480
128 127:4
ð2Þ ¼479:7 o 480
4
El porcentaje de CI en el rango X ± 3s es 479.7/480 = 100%.
Los porcentajes de los incisos a), b) y c) coinciden con los esperados en una distribución normal: 68.27%, 95.45%
y 99.73%, respectivamente.
Obsérvese que no se ha usado la corrección de Sheppard para la desviación estándar. Si se usa esta corrección, los
resultados, en este caso, coinciden estrechamente con los anteriores. Obsérvese que los resultados anteriores también pueden
obtenerse usando la tabla 4.11 del problema 4.32.
4.25 Dados los conjuntos 2, 5, 8, 11, 14 y 2, 8, 14, encontrar: a) la media de cada conjunto, b) la varianza de cada
conjunto, c) la media de los conjuntos combinados (o conjuntados) y d ) la varianza de los conjuntos combinados.
SOLUCIÓN
a) Media del primer conjunto ¼ 1 5 ð2 þ 5 þ 8 þ 11 þ 14Þ ¼8. Media del segundo conjunto ¼ 1 3
ð2 þ 8 þ 14Þ ¼8.
b) Varianza del primer conjunto ¼ 1s 2 1 ¼ 1 5 ½ð2 8Þ2 þð5 8Þ 2 þð8 8Þ 2 þð11 8Þ 2 þð14 8Þ 2 5 ½ð Þ ð Þ ð
Š¼18. Varianza del
2 2 2
segundo conjunto ¼ s 2 2 ¼ 1 3 ½ð2 8Þ2 þð8 8Þ 2 þð14 8Þ 2 Š¼24.
c) La media de los conjuntos combinados es
2 þ 5 þ 8 þ 11 þ 14 þ 2 þ 8 þ 14
¼ 8
5 þ 3
d) La varianza de los conjuntos combinados es
s 2 ¼ ð2 8Þ2 þð5 8Þ 2 þð8 8Þ 2 þð11 8Þ 2 þð14 8Þ 2 þð2 8Þ 2 þð8 8Þ 2 þð14 8Þ 2
5 þ 3
¼ 20:25
Otro método (mediante fórmula)
s 2 ¼ N 1s 2 1 þ N 2 s 2 2
N 1 þ N 2
¼ ð5Þð18Þþð3Þð24Þ
5 þ 3
¼ 20:25
PROBLEMAS RESUELTOS 115
4.26 Resolver el problema 4.25 con los conjuntos 2, 5, 8, 11, 14 y 10, 16, 22.
SOLUCIÓN
Aquí las medias de los dos conjuntos son 8 y 16, respectivamente, en tanto que las varianzas son las mismas que las varianzas
en el problema anterior, a saber: s 2 1 = 18 y s 2 2 = 24.
Media de los conjuntos combinados ¼
2 þ 5 þ 8 þ 11 þ 14 þ 10 þ 16 þ 22
¼ 11
5 þ 3
s 2 ¼ ð2 11Þ2 þð5 11Þ 2 þð8 11Þ 2 þð11 11Þ 2 þð14 11Þ 2 þð10 11Þ 2 þð16 11Þ 2 þð22 11Þ 2
5 þ 3
¼ 35:25
Obsérvese que la fórmula
s 2 ¼ N 1s 2 1 þ N 2 s 2 2
N 1 þ N 2
con la que se obtiene el valor 20.25, no es aplicable en este caso, ya que las medias de los dos conjuntos no son iguales.
4.27 a) Probar que w 2 + pw + q, donde p y q son constantes dadas, es mínimo si y sólo si w = − 1 2 p.
b) Empleando el inciso a), probar que
X N
j¼1
ðX j aÞ 2
N
o brevemente
P ðX aÞ
2
N
es mínimo si y sólo si a = X Ȧ
SOLUCIÓN
a) Se tiene w 2 þ pw þ q ¼ðw þ 1 2 pÞ2 1
þ q
4 p2 1
. Como ðq
4 p2 Þ es constante, esta expresión tiene su mínimo valor si
y sólo si w + 1 2 p = 0 (es decir, w = − 1 2 p).
b)
P ðX aÞ
2 P ðX
2
¼
N
2aX þ a 2 Þ
N
P X
2
¼
2a P X þ Na 2
N
¼ a 2
2a
P P X X
2
N þ N
Comparando esta última expresión con (w 2 + pw + q), se tiene
P X
w ¼ a p ¼ 2
N
P X
2
q ¼
N
Por lo tanto, la expresión tiene un mínimo en a ¼
1 2 p ¼ðP XÞ=N ¼ X, empleando el resultado del inciso a).
DISPERSIÓN ABSOLUTA Y RELATIVA; COEFICIENTE DE VARIACIÓN
4.28 Un fabricante de cinescopios produce dos tipos de cinescopios, A y B. La vida media de los cinescopios es,
respectivamente, X A = 1 495 horas y X AB = 1 875 horas, y las desviaciones estándar son s A = 280 horas y
s B = 310 horas. ¿Cuál de los cinescopios tiene: a) la mayor dispersión absoluta y b) la mayor dispersión relativa?
116 CAPÍTULO 4 DESVIACIÓN ESTÁNDAR Y OTRAS MEDIDAS DE DISPERSIÓN
SOLUCIÓN
a) La dispersión absoluta de A es s A = 280 horas y la de B es s B = 310 horas. Por lo tanto, en los cinescopios B hay
mayor dispersión absoluta.
b) Los coeficientes de variación son
A = s A
X A
= 280
1 495 = 18.7% B = s B
X B
= 310
1 875 = 16.5%
Por lo tanto, los cinescopios A tienen mayor variación relativa o dispersión.
4.29 Encontrar el coeficiente de variación, V, de los datos: a) del problema 4.14 y b) del problema 4.18, empleando
la desviación estándar corregida y la desviación estándar no corregida.
SOLUCIÓN
s(no corregida)
a) V (no corregida) = = 2.92 = 0.0433 = 4.3%
X 67.45
V (corregida )= s(corregida ) = 2.79 = 0.0413 = 4.1% de acuerdo con el problema 4.21a)
X 67.45
b) V (no corregida) =
s(no corregida)
X
= 15.60 = 0.196 = 19.6%
79.77
V (corregida )= s(corregida ) = 15.33 = 0.192 = 19.2% de acuerdo con el problema 4.21b)
X 79.77
4.30 a) Definir una medida de dispersión relativa que pueda emplearse para un conjunto de datos en el que se
conocen los cuartiles.
b) Ilustrar el cálculo de la medida definida en el inciso a) aplicándolo a los datos del problema 4.6.
SOLUCIÓN
a) Si para un conjunto de datos, se dan los cuartiles Q 1 y Q 3, entonces 1 2 ðQ 1 þ Q 3 Þ es una medida de tendencia central de
los datos o promedio, en tanto que Q ¼ 1 2 ðQ 3 Q 1 Þ, el rango semiintercuartil, es una medida de dispersión de los
datos. De manera que una medida de dispersión relativa se puede definir de la siguiente manera.
V Q ¼
1
2 ðQ 3 Q 1 Þ
1
2 ðQ 1 þ Q 3 Þ ¼ Q 3 Q 1
Q 3 þ Q 1
a la que se le llama coeficiente de variación cuartil o coeficiente cuartil de dispersión relativa.
b) V Q ¼ Q 3 Q 1 69:61 65:64
¼
Q 3 þ Q 1 69:61 þ 65:64 ¼ 3:97 ¼ 0:0293 ¼ 2:9%
135:25
VARIABLES ESTANDARIZADAS; PUNTUACIONES ESTÁNDAR
4.31 En el examen final de matemáticas en el que la media es 76 y la desviación estándar es 10, un alumno obtiene
una calificación de 84. En el examen final de física, en el que la media es 82 y la desviación estándar es 16, el
mismo alumno obtiene como puntuación 90. ¿En qué materia tiene una posición relativa más alta?
SOLUCIÓN
La variable estandarizada z ¼ðX XÞ=s mide la desviación de X respecto a la media X en término de desviaciones estándar
s. En matemáticas, z = (84 − 76)/10 = 0.8, y en física z = (90 − 82)/16 = 0.5. Por lo tanto, la calificación de este
estudiante en matemáticas se encuentra a 0.8 de una desviación estándar sobre la media, en cambio la puntuación en física
se encuentra a sólo 0.5 de una desviación estándar sobre la media. Por lo tanto, en matemáticas obtuvo una posición relativa
más alta.
La variable z ¼ðX XÞ=s suele emplearse para las calificaciones de los exámenes de conocimientos, en donde se
denomina calificación estándar.
PROBLEMAS RESUELTOS 117
SOFTWARE Y MEDIDAS DE DISPERSIÓN
4.32 El análisis hecho con STATISTIX de los datos del ejemplo 3 de este capítulo da los resultados siguientes:
Statistix 8.0
Descriptive Statistics
Variable SD Variance C.V. MAD
e - mails 29.256 855.93 44.562 21.000
El valor MAD es la desviación mediana absoluta. Se trata del valor mediano de las diferencias absolutas entre
cada uno de los valores y la mediana muestral. Verificar que el valor MAD de estos datos es 21.
SOLUCIÓN
Los datos ordenados de menor a mayor son:
24 24 24 25 26 28 29 30 31 31 31 32 32
35 35 36 39 40 40 42 42 44 44 45 47 49
51 52 54 54 54 57 58 58 58 60 61 61 63
65 65 68 69 70 71 71 74 74 74 77 77 77
77 79 80 84 86 86 95 95 99 99 100 102 102
105 113 113 114 115 116 118 121 122 125
La mediana de los datos originales es 61.
Si a cada dato se le resta 61, se obtiene:
37 37 37 36 35 33 32 31 30 30 30 29 29
26 26 25 22 21 21 19 19 17 17 16 14 12
10 9 7 7 7 4 3 3 3 1 0 0 2
4 4 7 8 9 10 10 13 13 13 16 16 16
16 18 19 23 25 25 34 34 38 38 39 41 41
44 52 52 53 54 55 57 60 61 64
Ahora se toma el valor absoluto de estos datos:
37 37 37 36 35 33 32 31 30 30 30 29 29 26 26
25 22 21 21 19 19 17 17 16 14 12 10 9 7 7
7 4 3 3 3 1 0 0 2 4 4 7 8 9 10
10 13 13 13 16 16 16 16 18 19 23 25 25 34 34
38 38 39 41 41 44 52 52 53 54 55 57 60 61 64
La mediana de este último conjunto es 21. Por lo tanto, MAD = 21.
118 CAPÍTULO 4 DESVIACIÓN ESTÁNDAR Y OTRAS MEDIDAS DE DISPERSIÓN
RANGO
PROBLEMAS SUPLEMENTARIOS
4.33 Encontrar el rango de los conjuntos: a) 5, 3, 8, 4, 7, 6, 12, 4, 3 y b) 8.772, 6.453, 10.624, 8.628, 9.434, 6.351.
4.34 Encontrar el rango de las cargas máximas dadas en la tabla 3.8 del problema 3.59.
4.35 Encontrar el rango de los diámetros de remaches dados en la tabla 3.10 del problema 3.61.
4.36 En 50 medidas, la mayor es de 8.34 kilogramos (kg). Si el rango es 0.46 kg, encontrar la medida menor.
4.37 En la tabla siguiente se dan las semanas que necesitaron 25 trabajadores, que perdieron su trabajo por reducción de personal
en sus empresas, para encontrar un nuevo empleo. Encontrar el rango de estos datos.
13 13 17 7 22
22 26 17 13 14
16 7 6 18 20
10 17 11 10 15
16 8 16 21 11
DESVIACIÓN MEDIA
p
4.38 Encontrar el valor absoluto de: a) −18.2, b) +3.58, c) 6.21, d ) 0, e) − ffiffi
2 y f ) 4.00 − 2.36 − 3.52.
4.39 Encontrar la desviación media de los conjuntos: a) 3, 7, 9, 5 y b) 2.4, 1.6, 3.8, 4.1, 3.4.
4.40 Encontrar a desviación media de los conjuntos de números del problema 4.33.
4.41 Encontrar la desviación media de las cargas máximas dadas en la tabla 3.8 del problema 3.59.
4.42 a) Encontrar la desviación media (DM) de los diámetros de los remaches de la tabla 3.10 del problema 3.61.
b) ¿Qué porcentaje de los diámetros de los remaches está entre ( X ± DM), ( X ± 2 DM) y ( X = 3 DM)?
4.43 En el conjunto 8, 10, 9, 12, 4, 8, 2, encontrar la desviación media: a) respecto a la media y b) respecto a la mediana. Verificar
que la desviación media respecto a la mediana no es mayor que la desviación media respecto a la media.
4.44 En la distribución dada en la tabla 3.9 del problema 3.60, encontrar la desviación media: a) respecto a la media y b) respecto
a la mediana. Emplear los resultados de los problemas 3.60 y 3.70.
4.45 En la distribución dada en la tabla 3.11 del problema 3.62, encontrar la desviación media: a) respecto a la media y b) respecto
a la mediana. Emplear los resultados de los problemas 3.62 y 3.72.
PROBLEMAS SUPLEMENTARIOS 119
4.46 Encontrar la desviación media de los datos dados en el problema 4.37.
4.47 Deducir fórmulas de compilación para el cálculo de la desviación media: a) respecto a la media y b) respecto a la mediana
a partir de una distribución de frecuencias. Emplear estas fórmulas para verificar los resultados obtenidos en los problemas
4.44 y 4.45.
EL RANGO SEMIINTERCUARTIL
4.48 Encontrar el rango semiintercuartil en las distribuciones: a) del problema 3.59, b) del problema 3.60 y c) del problema
3.107. En cada caso interpretar los resultados claramente.
4.49 Encontrar el rango semiintercuartil de los datos dados en el problema 4.37.
4.50 Probar que en cualquier distribución de frecuencias, el porcentaje de casos que cae en el intervalo 1 2 ðQ 1 þ Q 3 Þ 1 2 ðQ 3 Q 1 Þ
es el 50%. ¿Ocurre lo mismo en el intervalo Q 2 1 2 ðQ 3 Q 1 Þ? Explicar la respuesta.
4.51 a) ¿Cómo se graficaría el rango semiintercuartil correspondiente a una distribución de frecuencias dada?
b) ¿Qué relación hay entre el rango semiintercuartil y la ojiva de una distribución?
EL RANGO PERCENTIL 10-90
4.52 Encontrar el rango percentil 10-90 en las distribuciones: a) del problema 3.59 y b) del problema 3.107. En cada caso interpretar
los resultados claramente.
4.53 El décimo percentil de los precios de venta de las casas en determinada ciudad es $35 500 y el nonagésimo percentil de los
precios de venta de las casas en la misma ciudad es $225 000. Encontrar el rango percentil 10-90 y dar un rango en el que
caiga el 80% de los precios de venta.
4.54 ¿Qué ventajas o desventajas tiene un rango percentil 20-80 en comparación con un rango percentil 10-90?
4.55 Contestar el problema 4.51 en relación: a) con el rango percentil 10-90, b) con el rango percentil 20-80 y c) el rango percentil
25-75. ¿Cuál es la relación entre c) y el rango semiintercuartil?
LA DESVIACIÓN ESTÁNDAR
4.56 Encontrar la desviación estándar de los conjuntos: a) 3, 6, 2, 1, 7, 5; b) 3.2, 4.6, 2.8, 5.2, 4.4, y c) 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1.
4.57 a) Sumando 5 a cada uno de los números del conjunto 3, 6, 2, 1, 7, 5 se obtiene el conjunto 8, 11, 7, 6, 12, 10. Mostrar
que los dos conjuntos tienen la misma desviación estándar pero diferentes medias. ¿Qué relación hay entre las
medias?
b) Si cada uno de los números del conjunto 3, 6, 2, 1, 7 y 5 se multiplica por 2 y después se le suma 5, se obtiene el
conjunto 11, 17, 9, 7, 19, 15. ¿Qué relación existe entre las medias y las desviaciones estándar de estos dos conjuntos?
c) ¿Qué propiedades de la media y de la desviación estándar se ilustran mediante los conjuntos de números particulares
de los incisos a) y b)?
120 CAPÍTULO 4 DESVIACIÓN ESTÁNDAR Y OTRAS MEDIDAS DE DISPERSIÓN
4.58 Encontrar la desviación estándar del conjunto de números de la progresión aritmética 4, 10, 16, 22, . . . , 154.
4.59 Encontrar la desviación estándar en las distribuciones: a) del problema 3.59, b) del problema 3.60 y c) del problema
3.107,
4.60 Ilustrar el uso de la comprobación de Charlier en cada inciso del problema 4.59.
4.61 Encontrar: a) la media y b) la desviación estándar en la distribución del problema 2.17 y explicar el significado de los
resultados obtenidos.
4.62 Cuando los datos tienen una distribución en forma de campana, la desviación estándar se puede obtener de manera aproximada
dividiendo el rango entre 4. Con los datos dados en el problema 4.37, calcular la desviación estándar y compararla
con el rango dividido entre 4.
4.63 a) Encontrar la desviación estándar s de los diámetros de los remaches dados en la tabla 3.10 del problema 3.61.
b) ¿Qué porcentaje de los diámetros de los remaches se encuentra entre X s, X 2s y X 3s?
c) Comparar los porcentajes del inciso b) con los que teóricamente se esperan en una distribución normal y explicar
cualquier diferencia observada.
4.64 Aplicar la corrección de Sheppard a las desviaciones estándar del problema 4.59. En cada caso, comentar si la aplicación
de la corrección de Sheppard está o no justificada.
4.65 ¿Qué modificaciones ocurren en el problema 4.63 cuando se aplica la corrección de Sheppard?
4.66 a) Encontrar la media y la desviación estándar de los datos del problema 2.8.
b) Construir una distribución de frecuencia para los datos y encontrar la desviación estándar.
c) Comparar los resultados del inciso b) con los del inciso a). Determinar si la aplicación de la corrección de Sheppard
produce mejores resultados.
4.67 Repetir el problema 4.66 con los datos del problema 2.27.
4.68 a) De un total de N números, la fracción p es de unos y la fracción q = 1 − p es de ceros. Probar que la desviación estándar
de este conjunto de números es pq .
p ffiffiffiffiffi
b) Aplicar el resultado del inciso a) al problema 4.56c).
4.69 a) Probar que la varianza del conjunto de números a, a + d, a + 2d, ..., a + (n − 1)d (es decir, de una progresión aritmética
en la que el primer término es a y la diferencia común es d ) es 12(n 1 2 − 1)d 2 .
b) Emplear el inciso a) para el problema 4.58. [Sugerencia: Usar 1 + 2 + 3 … + (n − 1) =
1
2 n(n − 1), 12 + 2 2 + 3 2 +…
+(n − 1) 2 = 1 6n(n − 1)(2n − 1)].
4.70 Generalizar y probar la propiedad 3 de este capítulo.
RELACIONES EMPÍRICAS ENTRE LAS MEDIDAS DE DISPERSIÓN
4.71 Comparando las desviaciones estándar obtenidas en el problema 4.59 con las desviaciones medias correspondientes de los
problemas 4.41, 4.42 y 4.44, determinar si se cumple la siguiente relación empírica: desviación media = 4 5 (desviación
estándar). Explicar cualquier diferencia que se presente.
PROBLEMAS SUPLEMENTARIOS 121
4.72 Comparando las desviaciones estándar obtenidas en el problema 4.59 con los correspondientes rangos semiintercuartiles
del problema 4.48, determinar si se cumple la siguiente relación empírica: rango semiintercuartil = 2 3(desviación estándar).
Explicar cualquier diferencia que se presente.
4.73 ¿Qué relación empírica se espera que exista entre el rango semiintercuartil y la desviación media en distribuciones en forma
de campana ligeramente sesgadas?
4.74 Una distribución de frecuencias que es aproximadamente normal tiene un rango semiintercuartil igual a 10. ¿Qué valor se
espera que tenga: a) la desviación estándar y b) la desviación media?
DISPERSIÓN ABSOLUTA Y RELATIVA; COEFICIENTE DE VARIACIÓN
4.75 En un examen final de estadística, la calificación media en un grupo de 150 alumnos es 78 y la desviación estándar 8.0. En
álgebra, la puntuación media final del grupo es 73 y la desviación estándar 7.6. ¿En qué materia hay: a) mayor dispersión
absoluta y b) mayor dispersión relativa?
4.76 Encontrar el coeficiente de variación de los datos: a) del problema 3.59 y b) del problema 3.107.
4.77 En las calificaciones obtenidas por los estudiantes en un examen de admisión, el primer cuartil es 825 y el segundo cuartil
es 1 125. Calcular el coeficiente cuartil de variación en estas calificaciones del examen da admisión.
4.78 En el grupo de edad de 15 a 24 años, el primer cuartil de ingreso familiar es $16 500 y el tercer cuartil de ingreso familiar,
en este mismo grupo de edad, es $25 000. Calcular el coeficiente cuartil de variación de la distribución de
los ingresos en este grupo de edad.
VARIABLES ESTANDARIZADAS; PUNTUACIONES ESTÁNDAR
4.79 En el examen del problema 4.75 la calificación de un estudiante en estadística es 75 y en álgebra 71. ¿En qué examen tiene
una puntuación relativa más alta?
4.80 Convertir el conjunto 6, 2, 8, 7, 5 en puntuaciones estándar.
4.81 Probar que la media y la desviación estándar en un conjunto de puntuaciones estándar son iguales a 0 y 1, respectivamente.
Emplear el problema 4.80 para ilustrar esto.
4.82 a) Convertir las calificaciones del problema 3.107 en puntuaciones estándar y b) construir una gráfica de frecuencias relativas
contra puntuaciones estándar.
SOFTWARE Y MEDIDAS DE DISPERSIÓN
4.83 En la tabla 4.11 se da el ingreso per cápita en los 50 estados de Estados Unidos, en 2005.
122 CAPÍTULO 4 DESVIACIÓN ESTÁNDAR Y OTRAS MEDIDAS DE DISPERSIÓN
Tabla 4.11 Ingreso per cápita en los 50 estados de Estados Unidos
Estado Ingreso per cápita Estado Ingreso per cápita
Wyoming 36 778 Pennsylvania 34 897
Montana 29 387 Wisconsin 33 565
North Dakota 31 395 Massachusetts 44 289
New Mexico 27 664 Missouri 31 899
West Virginia 27 215 Idaho 28 158
Rhode Island 36 153 Kentucky 28 513
Virginia 38 390 Minnesota 37 373
South Dakota 31 614 Florida 33 219
Alabama 29 136 South Carolina 28 352
Arkansas 26 874 New York 40 507
Maryland 41 760 Indiana 31 276
Iowa 32 315 Connecticut 47 819
Nebraska 33 616 Ohio 32 478
Hawaii 34 539 New Hampshire 38 408
Mississippi 25 318 Texas 32 462
Vermont 33 327 Oregon 32 103
Maine 31 252 New Jersey 43 771
Oklahoma 29 330 California 37 036
Delaware 37 065 Colorado 37 946
Alaska 35 612 North Carolina 30 553
Tennessee 31 107 Illinois 36 120
Kansas 32 836 Michigan 33 116
Arizona 30 267 Washington 35 409
Nevada 35 883 Georgia 31 121
Utah 28 061 Louisiana 24 820
El análisis de estos datos obtenido con SPSS es el siguiente:
Estadística descriptiva
Ingresos
N validado
N Rango Desviación estándar Varianza
50
50
22 999.00 4 893.54160 2E+007
Verificar el rango, la desviación estándar y la varianza.
MOMENTOS,
SESGO Y
CURTOSIS
5
MOMENTOS
Dados N valores X 1 , X 2 , . . . , X N que toma la variable X, se define la cantidad
X r ¼ Xr 1 þ X r 2 þþX r N
N
¼
X N
j¼1
N
X r j
¼ P X
r
N
a la que se le llama el r-ésimo momento. El primer momento, en el que r = 1 es la media aritmética X.
El r-ésimo momento respecto a la media X se define como
(1)
m r ¼
X N
j¼1
ðX j
N
XÞ r
P ðX
¼
N
Si r = 1, entonces m 1 = 0 (ver el problema 3.16). Si r = 2, entonces m 2 es la varianza.
El r-ésimo momento respecto a cualquier origen A se define de la manera siguiente
m 0 r ¼
X N
j¼1
ðX j
N
AÞ r
P ðX
¼
N
XÞ r
¼ ðX XÞ r (2)
AÞ
r P d
r
¼
N ¼ ðX AÞr (3)
donde las d = X − A son las desviaciones de las X respecto de A. Si A = 0, la ecuación (3) se reduce a la ecuación (1).
Debido a esto, a la ecuación (1) suele llamársele el r-ésimo momento respecto de cero.
MOMENTOS PARA DATOS AGRUPADOS
Si X 1 , X 2 , . . . , X K se presentan con frecuencias f 1 , f 2 , . . . , f K , respectivamente, los momentos anteriores están dados por
X r ¼ f 1X r 1 þ f 2 X r 2 þþf K X r K
N
¼
X K
j¼1
N
f j X r j
P fX
r
¼
N
(4)
123
124 CAPÍTULO 5 MOMENTOS, SESGO Y CURTOSIS
m r ¼
m 0 r ¼
X K
j¼1
X K
j¼1
f j ðX j
N
f j ðX j
N
XÞ r
P f ðX
¼
N
AÞ r
P f ðX
¼
N
XÞ r
¼ðX XÞ r (5)
AÞ
r
¼ðX AÞ r (6)
donde N ¼ P K
j¼1 f j ¼ P f . Estas fórmulas se emplean para el cálculo de momentos de datos agrupados.
RELACIONES ENTRE MOMENTOS
Entre los momentos respecto a la media m r y los momentos respecto de un origen arbitrario m 0 r existen las relaciones
siguientes:
m 2 ¼ m 0 2 m 1
02
m 3 ¼ m 0 3 3m 0 1m 0 2 þ 2m 1
03
etcétera (ver problema 5.5). Obsérvese que m 0 1 ¼ X A.
m 4 ¼ m 0 4 4m 0 1m 0 3 þ 6m 1 02 m 0 2 3m 1
04
CÁLCULO DE MOMENTOS PARA DATOS AGRUPADOS
El método de compilación dado en capítulos anteriores para el cálculo de la media y de la desviación estándar también
puede usarse para obtener un método abreviado para el cálculo de los momentos. Este método aprovecha el hecho de
que X j = A + cu j (o brevemente, X = A + cu), de manera que de acuerdo con la ecuación (6) se tiene
P fu
mr 0 ¼ c r r
N ¼ cr u r (8)
que puede usarse para hallar m r empleando las ecuaciones (7).
COMPROBACIÓN DE CHARLIER Y CORRECCIÓN DE SHEPPARD
La comprobación de Charlier al calcular momentos mediante el método de compilación emplea las identidades:
P f ðu þ 1Þ ¼
P fu þ N
(7)
P f ðu þ 1Þ 2 ¼ P fu 2 þ 2 P fu þ N
P f ðu þ 1Þ 3 ¼ P fu 3 þ 3 P fu 2 þ 3 P fu þ N
(9)
P f ðu þ 1Þ 4 ¼ P fu 4 þ 4 P fu 3 þ 6 P fu 2 þ 4 P fu þ N
Las correcciones de Sheppard para momentos son las siguientes:
m 2 corregido ¼ m 2
1
12 c2 m 4 corregido ¼ m 4
1
2 c2 m 2 þ 7
240 c4
Los momentos m 1 y m 3 no necesitan corrección.
MOMENTOS EN FORMA ADIMENSIONAL
Para evitar usar unidades particulares, se definen momentos adimensionales respecto de la media:
m r
a r ¼ m r
s r ¼ p ffiffiffiffiffiffi
( m ¼ m r
p ffiffiffiffiffiffi
(10)
2)
r m r 2
p
donde s ¼
ffiffiffiffiffiffi m 2 es la desviación estándar. Como m1 = 0 y m 2 = s 2 , se tiene a 1 = 0 y a 2 = 1.
CURTOSIS 125
SESGO
El sesgo de una distribución es su grado de asimetría o el grado en el que se aleja de la simetría. Si una curva de frecuencias
(polígono de frecuencias suavizado) de una distribución tiene una cola más larga hacia la derecha del máximo
central que hacia la izquierda, se dice que la distribución es sesgada a la derecha, o que tiene un sesgo positivo. Si
ocurre lo contrario, se dice que es sesgada a la izquierda o que tiene un sesgo negativo.
En las distribuciones sesgadas, la media tiende a encontrarse del mismo lado que la cola más larga opuesto al de la
moda y que la cola más larga (ver figuras 3-1 y 3-2). Por lo tanto, una medida de la simetría (o sesgo) se obtiene
mediante la diferencia: media – moda. Esta medida se puede hacer adimensional dividiendo entre una medida de dispersión,
como la desviación estándar, lo que conduce a la definición:
media moda
Sesgo =
desviación estándar = X moda
(11)
s
Para evitar el uso de la moda se puede utilizar la fórmula empírica (10) del capítulo 3 y definir
Sesgo = 3(media mediana)
desviación estándar = 3(X mediana)
(12)
s
A las ecuaciones (11) y (12) se les llama, respectivamente, primer coeficiente de sesgo de Pearson y segundo coeficiente
de sesgo de Pearson.
Otras medidas del sesgo, que se definen en términos de cuartiles y percentiles, son las siguientes:
Coeficiente cuartil de sesgo = (Q 3 Q 2 Q 2 Q 1 )
= Q 3 2Q 2 Q 1
(13)
Q 3 Q 1 Q 3 Q 1
Coeficiente de sesgo percentil 10–90 = (P 90 P 50 P 50 P 10 )
= P 90 2P 50 + P 10
(14)
P 90 P 10 P 90 P 10
En una importante medida del sesgo se emplea el tercer momento respecto de la media, tal medida expresada en
forma adimensional viene dada por:
Coeficiente momento de sesgo ¼ a 3 ¼ m 3
s 3 ¼ m 3
p ffiffiffiffiffi
(
¼ p m3
ffiffiffiffiffiffi
)
3 3
(15)
Otra medida de sesgo suele darse mediante b 1 ¼ a 2 3. En las curvas perfectamente simétricas, por ejemplo en la curva
normal, a 3 y b 1 son cero.
CURTOSIS
La curtosis indica qué tan puntiaguda es una distribución; esto por lo regular es en relación con la distribución normal.
A una distribución que tiene un pico relativamente alto se le llama leptocúrtica, en tanto que si es relativamente aplastada
se dice platicúrtica. Una distribución normal, que no es ni puntiaguda ni muy aplastada se llama mesocúrtica.
En una medida de la curtosis se emplea el cuarto momento respecto de la media, expresada en forma adimensional,
esta medida se encuentra dada por:
m 2
Coeficiente momento de curtosis = a 4 = m 4
s 4 = m 4
m 2 2
el cual suele denotarse b 2 . En las distribuciones normales b 2 = a 4 = 3. A esto se debe que la curtosis suela definirse
mediante (b 2 − 3), que tiene signo positivo en una distribución leptocúrtica, negativo en una distribución platicúrtica
y cero en las distribuciones normales.
Otra medida de la curtosis se basa tanto en los cuartiles como en los percentiles y está dada por
=
m 2
(16)
Q
P 90 P 10
(17)
donde Q = 1 2 (Q 3 Q 1 ) es el rango semiintercuartil. A κ (letra griega minúscula kappa) se le conoce como coeficiente
percentil de curtosis; en las distribuciones normales, el valor de κ es 0.263.
126 CAPÍTULO 5 MOMENTOS, SESGO Y CURTOSIS
MOMENTOS, SESGO Y CURTOSIS POBLACIONALES
Cuando es necesario distinguir los momentos muestrales, las medidas de sesgo muestrales o las medidas de curtosis
muestrales, de las correspondientes medidas de la población de la que es parte la muestra, se acostumbra usar letras
del alfabeto latino para las primeras y letras del alfabeto griego para las últimas. Así, si los momentos muestrales se
denotan m r y m 0 r, los correspondientes momentos poblacionales serán, µ r y 0 r (µ es la letra mu del alfabeto griego).
Como subíndices se emplean siempre letras del alfabeto latino.
De igual manera, si las medidas muestrales de sesgo y curtosis se denotan a 3 y a 4 , respectivamente, los sesgos y
las curtosis poblacionales serán α 3 y α 4 (α es la letra alfa del alfabeto griego).
Como ya se dijo en el capítulo 4, la desviación estándar de una muestra y la desviación estándar de una población
se denotan s y σ, respectivamente.
CÁLCULO DEL SESGO Y DE LA CURTOSIS
EMPLEANDO SOFTWARE
El software visto en este libro puede usarse para calcular las medidas de curtosis y de sesgo de datos muestrales. Los
datos que se presentan en la tabla 5.1 son muestras de 50 elementos (de tamaño 50) tomadas de distribuciones, una
normal, otra sesgada a la derecha, otra sesgada a la izquierda y la última es una distribución uniforme.
Los datos normales son estaturas de mujeres, los datos sesgados a la derecha son edades de casamiento de mujeres,
los datos sesgados a la izquierda son edades a las que fallecen las mujeres, y los datos uniformes son cantidades de
67
70
63
65
68
60
70
64
69
61
66
65
71
62
66
68
64
67
62
66
65
63
66
65
63
Tabla 5.1
Normal Sesgada a la derecha Sesgada a la izquierda Uniforme
69
62
67
59
66
65
63
65
60
67
64
68
61
69
65
62
67
70
64
63
68
64
65
61
66
31
43
30
30
38
26
29
55
46
26
29
57
34
34
36
40
28
26
66
63
30
33
24
35
34
40
24
29
24
27
35
33
75
38
34
85
29
40
41
35
26
34
19
23
28
26
31
25
22
28
102
55
70
95
73
79
60
73
89
85
72
92
76
93
76
97
10
70
85
25
83
58
10
92
82
87
104
75
80
66
93
90
84
73
98
79
35
71
90
71
63
58
82
72
93
44
65
77
81
77
12.1
12.1
12.4
12.1
12.1
12.2
12.2
12.2
11.9
12.2
12.3
12.3
11.7
12.3
12.3
12.4
12.4
12.1
12.4
12.4
12.5
11.8
12.5
12.5
12.5
11.6
11.6
12.0
11.6
11.6
11.7
12.3
11.7
11.7
11.7
11.8
12.5
11.8
11.8
11.8
11.9
11.9
11.9
12.2
11.9
12.0
11.9
12.0
12.0
12.0
CÁLCULO DEL SESGO Y DE LA CURTOSIS EMPLEANDO SOFTWARE 127
refresco despachadas por una máquina en envases de 12 onzas. En la figura 5-1 se muestra la distribución de cada uno
de estos conjuntos de datos muestrales. Las distribuciones de las cuatro muestras se ilustran mediante gráficas de
puntos.
Gráficas de puntos de estaturas, edades de casamiento, edades de fallecimiento
y llenado de refresco
Estaturas
60
62
64 66
Edades de casamiento
68
70
18
27
36
45 54
Edades de fallecimiento
63
72
81
14
28
42
56
Llenado de refresco
70
84
98
11.6
11.8
12.0
12.2
12.4
Figura 5-1 MINITAB, gráficas de cuatro distribuciones: normal, sesgada a la derecha,
sesgada a la izquierda y uniforme.
En la variable estatura se da la estatura de 50 mujeres adultas, en la variable edad de casamiento se da la edad de
casamiento de 50 mujeres, en la variable edad de fallecimiento se da la edad de fallecimiento de 50 mujeres y en la
variable llenado de refresco se dan las cantidades de refresco despachadas en recipientes de 12 onzas. Cada muestra
tiene 50 elementos (es de tamaño 50). Empleando la terminología aprendida en este capítulo: la distribución de las
estaturas es mesocúrtica, la distribución del llenado de refresco es platicúrtica, la distribución de las edades de casamiento
es sesgada a la derecha, y la distribución de las edades de fallecimiento es sesgada a la izquierda.
EJEMPLO 1 Para hallar los valores correspondientes al sesgo y a la curtosis de las cuatro variables puede emplearse MINITAB.
Seleccionando la secuencia “Stat ⇒ Basic statistics ⇒ Display descriptive statistics”, se obtiene el siguiente resultado:
Estadísticos descritivos: estatura, edades de casamiento, edades de fallecimiento y llenado de refresco
Variable N N* Mean StDev Skewness Kurtosis
Height 50 0 65.120 2.911 0.02 0.61
Wedage 50 0 35.48 13.51 1.98 4.10
Obitage 50 0 74.20 20.70 1.50 2.64
Cola-fill 50 0 12.056 0.284 0.02 1.19
Como se ve, los valores dados para el sesgo de las distribuciones normal y uniforme son cercanos a 0; el sesgo es positivo para
la distribución sesgada a la derecha y negativo para la distribución sesgada a la izquierda.
EJEMPLO 2 Use EXCEL para hallar los valores de sesgo y curtosis correspondientes a los datos de la figura 5-1. Los nombres
de las variables se ingresan en A1:D1, los datos muestrales se ingresan en A2:D51 y en cualquier celda vacía se ingresa
=COEFICIENTE.ASIMETRIA(A2:A51) obteniéndose como resultado −0.0203. La función =COEFICIENTE.ASIMETRIA(B2:
B51) da como resultado 1.9774, la función =COEFICIENTE.ASIMETRIA(C2:C51) da como resultado −1.4986 y la función
=COEFICIENTE.ASIMETRIA(D2:D51) da como resultado 0.0156. Los valores de curtosis se obtienen mediante las funciones
=CURTOSIS(A2:A51) que da como resultado −0.6083, =CURTOSIS(B2:B51) que da como resultado 4.0985, =CURTOSIS(C2:
C51) que da como resultado 2.6368 y =CURTOSIS(D2:D51) que da como resultado −1.1889. Como puede observarse, EXCEL y
MINITAB dan los mismos valores de curtosis y de sesgo.
EJEMPLO 3 También se puede emplear STATISTIX para analizar los datos de la figura 5-1. Se selecciona la secuencia “Statistics
⇒ Summary Statistics ⇒ Descriptive Statistics” y se obtiene la ventana de diálogo que se muestra en la figura 5-2.
128 CAPÍTULO 5 MOMENTOS, SESGO Y CURTOSIS
Figura 5-2 Ventana de diálogo de STATISTIX.
Obsérvese que N, Mean (media), SD (desviación estándar), Skew (sesgo) y Kurtosis (curtosis) fueron seleccionados
como los estadísticos que se desean conocer. El resultado que se obtiene de STATISTIX es:
Estadísticos descriptivos
Variable N Mean SD Skew Kurtosis
Cola 50 12.056 0.2837 0.0151 1.1910
Height 50 65.120 2.9112 0.0197 0.6668
Obitage 50 74.200 20.696 1.4533 2.2628
Wedage 50 35.480 13.511 1.9176 3.5823
Como los valores numéricos difieren ligeramente de los obtenidos con EXCEL y MINITAB, es claro que este
software emplea métodos ligeramente diferentes para medir la curtosis y el sesgo.
EJEMPLO 4 En SPSS con la secuencia “Analyze ⇒ Descriptive Statistics ⇒ Descriptives” se obtiene la ventana de diálogo
que se presenta en la figura 5-3, en la cual se selecciona Mean (media), Std. deviation (desviación estándar), Kurtosis (curtosis) y
Skewness (sesgo). SPSS da las mismas medidas de sesgo y curtosis que EXCEL y MINITAB.
Figura 5-3 Ventana de diálogo de SPSS.
PROBLEMAS RESUELTOS 129
SPSS proporciona los siguientes resultados.
Estadísticos descriptivos
Estatura
Casamientos
Defunciones
Llenado
N validada
N Media Desv. Estándar Sesgo Curtosis
Estadístico Estadístico Estadístico Estadístico Error estándar Estadístico Error estándar
50
50
50
50
50
65.1200
35.4800
74.2000
12.0560
2.91120
13.51075
20.69605
.28368
−.020
1.977
−1.499
.016
.337
.337
.337
.337
−.608
4.098
2.637
−1.189
.662
.662
.662
.662
EJEMPLO 5 Si se usa SAS para calcular los valores del sesgo y de la curtosis, se obtienen los resultados que se muestran a
continuación. Estos resultados son prácticamente los mismos que se obtienen con EXCEL, MINITAB y SPSS.
The MEANS Procedure
Variable Mean Std Dev N Skewness Kurtosis
fffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffff
Height 65.1200000 2.9112029 50 0.0203232 0.6083437
Wedage 35.4800000 13.5107516 50 1.9774237 4.0984607
Obitage 74.2000000 20.6960511 50 1.4986145 2.6368045
Cola_fill 12.0560000 0.2836785 50 0.0156088 1.1889600
fffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffff
PROBLEMAS RESUELTOS
MOMENTOS
5.1 Encontrar: a) el primero, b) el segundo, c) el tercero y d ) el cuarto momentos del conjunto 2, 3, 7, 8, 10.
SOLUCIÓN
a) El primer momento o media aritmética es
b) El segundo momento es
c) El tercer momento es
P X
X ¼
N ¼ 2 þ 3 þ 7 þ 8 þ 10 ¼ 30
5
5 ¼ 6
P X
2
X 2 ¼
N ¼ 22 þ 3 2 þ 7 2 þ 8 2 þ 10 2
5
¼ 226
5 ¼ 45:2
d )
El cuarto momento es
P X
3
X 3 ¼
N ¼ 23 þ 3 3 þ 7 3 þ 8 3 þ 10 3
5
P X
4
X 4 ¼
N ¼ 24 þ 3 4 þ 7 4 þ 8 4 þ 10 4
5
¼ 1 890 = 378
5
16 594
¼ = 3 318.8
5
130 CAPÍTULO 5 MOMENTOS, SESGO Y CURTOSIS
5.2 Dado el conjunto de números del problema 5.1, encontrar: a) el primero, b) el segundo, c) el tercero y d ) el
cuarto momentos respecto de la media.
SOLUCIÓN
P ðX
a) m 1 ¼ðX XÞ ¼
N
XÞ
¼
ð2 6Þþð3 6Þþð7 6Þþð8 6Þþð10 6Þ
5
¼ 0 5 ¼ 0
m 1 siempre es igual a cero debido a que X X ¼ X X ¼ 0 (ver problema 3.16).
P
b) m 2 ¼ðX XÞ 2 ðX XÞ 2
¼
¼ ð2 6Þ2 þð3 6Þ 2 þð7 6Þ 2 þð8 6Þ 2 þð10 6Þ 2
N
6
Obsérvese que m 2 es la varianza s 2 .
c) m 3 ¼ðX
P ðX XÞ
XÞ 3 ¼
¼ ð2 6Þ3 þð3 6Þ 3 þð7 6Þ 3 þð8
N
5
6Þ 3 þð10 6Þ 3
d ) m 4 ¼ðX
P ðX XÞ
XÞ 4 ¼
¼ ð2 6Þ4 þð3 6Þ 4 þð7 6Þ 4 þð8
N
5
6Þ 4 þð10 6Þ 4
¼ 46
5 ¼ 9:2
¼ 18
5 ¼ 3:6
¼ 610
5 ¼ 122
5.3 Para el conjunto de números del problema 5.1, encontrar: a) el primero, b) el segundo, c) el tercero y d ) el
cuarto momentos respecto del origen.
SOLUCIÓN
P ðX
a) m1 0 ¼ðX 4Þ ¼
N
4Þ
¼
ð2 4Þþð3 4Þþð7 4Þþð8 4Þþð10 4Þ
¼ 2
5
b) m2 0 ¼ðX
P ðX
4Þ 2 ¼
N
4Þ
2
c) m3 0 ¼ðX
P ðX
4Þ 3 ¼
N
4Þ
3
d ) m4 0 ¼ðX
P ðX
4Þ 4 ¼
N
4Þ
4
¼ ð2 4Þ2 þð3 4Þ 2 þð7 4Þ 2 þð8 4Þ 2 þð10 4Þ 2
5
¼ ð2 4Þ3 þð3 4Þ 3 þð7 4Þ 3 þð8 4Þ 3 þð10 4Þ 3
5
¼ ð2 4Þ4 þð3 4Þ 4 þð7 4Þ 4 þð8 4Þ 4 þð10 4Þ 4
5
¼ 66 5 ¼ 13:2
¼ 298
5 ¼ 59:6
¼ 1 650 = 330
5
5.4 Empleando los resultados de los problemas 5.2 y 5.3, verificar las siguientes relaciones entre los momentos:
a) m 2 ¼ m 0 2 m 1 02 , b) m 3 ¼ m 0 3 3m 0 1m 0 2 þ 2m 1 03 y c) m 4 ¼ m 0 4 4m 0 1m 0 3 þ 6m 1 02 m 0 2 3m 1 04 .
SOLUCIÓN
De acuerdo con el problema 5.3 se tiene m1 0 ¼ 2, m2 0 ¼ 13:2, m3 0 ¼ 59:6 y m4 0 ¼ 330. Por lo tanto:
a) m 2 ¼ m2 0 m 02 1 ¼ 13:2 ð2Þ 2 ¼ 13:2 4 ¼ 9:2
b) m 3 ¼ m3 0 3m1m 0 2 0 þ 2m 03 1 ¼ 59:6 ð3Þð2Þð13:2Þþ2ð2Þ 3 ¼ 59:6 79:2 þ 16 ¼ 3:6
c) m 4 ¼ m4 0 4m1m 0 3 0 þ 6m 02 1 m2 0 3m 04 1 ¼ 330 4ð2Þð59:6Þþ6ð2Þ 2 ð13:2Þ 3ð2Þ 4 ¼ 122
lo que coincide con el problema 5.2.
5.5 Probar que: a) m 2 ¼ m2 0 m 02 1 , b) m 3 ¼ m3 0 3m1m 0 2 0 03
þ 2m 1 y c) m 4 ¼ m4 0 4m1m 0 3 0 þ 6m 02 1 m2 0 3m 04 1 .
SOLUCIÓN
Si d = X – A, entonces X ¼ A þ d, X ¼ A þ d y X X ¼ d d , y por lo tanto:
a) m 2 ¼ðX XÞ 2 ¼ðd dÞ 2 ¼ d 2 2dd þ d 2
¼ d 2 2d 2 þ d 2 ¼ d 2 d 2 ¼ m2 0 02
m 1
PROBLEMAS RESUELTOS 131
b) m 3 ¼ðX XÞ 3 ¼ðd dÞ 3 ¼ðd 3 3d 2 d þ 3d d 2 d 3 Þ
¼ d 3 3 dd 2 þ 3 d 3 d 3 ¼ d 3 3 dd 2 þ 2 d 3 ¼ m 0 3 3m 0 1m 0 2 þ 2m 1
03
c) m 4 ¼ðX XÞ 4 ¼ðd dÞ 4 ¼ðd 4 4d 3 d þ 6d 2 d 2 4dd 3 þ d 4 Þ
¼ d 4 4dd 3 þ 6d 2 d 2 4d 4 þ d 4 ¼ d 4 4dd 3 þ 6d 2 d 2 3d 4
¼ m4 0 4m1m 0 3 0 þ 6m 02 1 m2 0 04
3m 1
Por extensión de este método se pueden deducir fórmulas semejantes para m 5 , m 6 , etcétera.
CÁLCULO DE MOMENTOS PARA DATOS AGRUPADOS
5.6 Encuentre los primeros cuatro momentos respecto de la media para la distribución de estaturas del problema
3.22.
SOLUCIÓN
Para facilitar los cálculos se pueden disponer como en la tabla 5.2, a partir de la cual se tiene
P P fu
m1 0 ¼ c
N ¼ð3Þ 15
fu
¼ 0:45 m3 0 ¼ c 3 3
33
100
N ¼ð3Þ3 100
P fu
m2 0 ¼ c 2 2
P
97
fu
N ¼ð3Þ2 ¼ 8:73 m4 0 ¼ c 4 4
253
100
N ¼ð3Þ4 100
¼ 8:91
¼ 204:93
Por lo tanto m 1 ¼ 0
m 2 ¼ m2 0 m 02 1 ¼ 8:73 ð0:45Þ 2 ¼ 8:5275
m 3 ¼ m3 0 3m1m 0 2 0 þ m 03 1 ¼ 8:91 3ð0:45Þð8:73Þþ2ð0:45Þ 3 ¼ 2:6932
m 4 ¼ m4 0 4m1m 0 3 0 þ 6m 02 1 m2 0 04
3m 1
¼ 204:93 4ð0:45Þð8:91Þþ6ð0:45Þ 2 ð8:73Þ 3ð0:45Þ 4 ¼ 199:3759
Tabla 5.2
X u f fu fu 2 fu 3 fu 4
61
64
67
70
73
−2
−1
0
1
2
5
18
42
27
8
−10
−18
0
27
16
20
18
0
27
32
−40
−18
0
27
64
80
18
0
27
128
N = P f = 10
P
fu = 15
P
fu
2
= 97
P
fu
3
= 33
P
fu
4
= 253
5.7 Encontrar: a) m 0 1, b) m 0 2, c) m 0 3, d ) m 0 4, e) m 1 , f ) m 2 , g) m 3 , h) m 4 , i) X, j) s, k) X 2 y l ) X 3 para la distribución
de la tabla 4.7 del problema 4.19.
SOLUCIÓN
Para facilitar los cálculos, disponerlos como en la tabla 5.3.
132 CAPÍTULO 5 MOMENTOS, SESGO Y CURTOSIS
Tabla 5.3
X u f fu fu 2 fu 3 fu 4
70
74
78
82
86
90
A ⎯→ 94
98
102
106
110
114
118
122
126
−6
−5
−4
−3
−2
−1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
4
9
16
28
45
66
85
72
54
38
27
18
11
5
2
−24
−45
−64
−84
−90
−66
0
72
108
114
108
90
66
34
16
144
225
256
252
180
66
0
72
216
342
432
450
396
245
128
−864
−1 125
−1 024
−756
−360
−66
0
72
432
1 026
1 728
2 250
2 376
1 715
1 024
5 184
5 625
4 096
2 268
720
66
0
72
864
3 078
6 912
11 250
14 256
12 005
8 192
N = P f = 480
P
fu = 236
P
fu 2 = 3 404 P fu 3 = 6 428 P fu 4 = 74 588
P fu
a) m1 0 ¼ c
N
236
¼ð4Þ ¼ 1:9667
480
P fu
b) m2 0 ¼ c 2 2
3 404
N ¼ð4Þ2 480
P fu
c) m3 0 ¼ c 3 3
6 428
N ¼ð4Þ3 480
= 113.4667
= 857.0667
P fu
d ) m4 0 ¼ c 4 4
N
¼ð4Þ4
m 0
e) m 1 = 0
74 588
480
= 39 780.2667
f ) m 2 ¼ m 0 2 m 1 02 ¼ 113:4667 ð1:9667Þ 2 ¼ 109:5988
g) m 3 ¼ m 0 3 3m 0 1m 0 2 þ 2m 1 03 ¼ 857:0667 3ð1:9667Þð113:4667Þþ2ð1:9667Þ 3 ¼ 202:8158
h) m 4 ¼ m4 0 4m1m 0 3 0 þ 6m 02 1 m2 0 3m 04 1 ¼ 35 627.2853
i)
P fu
X ¼ðA þ dÞ ¼A þ m1 0 ¼ A þ c ¼ 94 þ 1:9667 ¼ 95:97
N
j)
p
s ¼ ffiffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
m 2 ¼ 109:5988 ¼ 10:47
k) X 2 ¼ðA þ dÞ 2 ¼ðA 2 þ 2Ad þ d 2 Þ¼A 2 þ 2A d þ d 2 ¼ A 2 þ 2Am 0 1 þ m 0 2
¼ð94Þ 2 þ 2ð94Þð1:9667Þþ113:4667 ¼ 9 319.2063 o 9 319 a cuatro cifras significativas.
l ) X 3 ¼ðA þ dÞ 3 ¼ðA 3 þ 3A 2 d þ 3Ad 2 þ d 3 Þ¼A 3 þ 3A 2 d þ 3Ad 2 þ d 3
¼ A 3 þ 3A 2 m 0 1 þ 3Am 0 2 þ m 0 3 ¼ 915 571.9597 o 915 600 a cuatro cifras significativas.
PROBLEMAS RESUELTOS 133
COMPROBACIÓN DE CHARLIER
5.8 Ilustrar el uso de la comprobación de Charlier en los cálculos del problema 5.7.
SOLUCIÓN
Para proporcionar la comprobación deseada, a la tabla 5.3 se agregan las columnas de la tabla 5.4 (con excepción de la
columna 2, que por comodidad se repite en la tabla 5.3).
En cada uno de los siguientes pares de fórmulas, los datos para la primera se toman de la tabla 5.4 y los datos para
la segunda se toman de la tabla 5.2. La igualdad de los resultados en cada par proporciona la comprobación deseada.
Tabla 5.4
u + 1 f f (u + 1) f (u + 1) 2 f (u + 1) 3 f (u + 1) 4
−5
−4
−3
−2
−1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
4
9
16
28
45
66
85
72
54
38
27
18
11
5
2
−20
−36
−48
−56
−45
0
85
144
162
152
135
108
77
40
18
P
f (u + 1)
= 716
100
144
144
112
45
0
85
288
486
608
675
648
539
320
162
P
f (u + 1)
2
−500
−576
−432
−224
−45
0
85
576
1 458
2 432
3 375
3 888
3 773
2 560
1 458
P
f (u + 1)
3
2 500
2 304
1 296
448
45
0
85
1 152
4 374
9 728
16 875
23 328
26 411
20 480
13 122
P
f (u + 1)
4
N = P f
= 480
= 4 356
= 17 828
= 122 148
P f ðu þ 1Þ ¼716
P fu þ N ¼ 236 þ 480 ¼ 716
P f ðu þ 1Þ 2 ¼ 43564 P fu 2 þ 2 P fu þ N ¼ 34043 þ+ 2ð236Þþ480 2 (236) + 480 ¼= 4356 4 356
P f ðu þ 1Þ 3 ¼ 17,828
P fu 3 þ 3 P fu 2 þ 3 P fu þ N ¼ 6428 þ+ 3ð3404Þþ3ð236Þþ480 3(3 404) + 3(236) + 480 ¼= 17,828
828
P f ðu þ 1Þ 4 ¼ 122,148148
P fu 4 þ 4 P fu 3 þ 6 P fu 2 þ 4 P fu þ N ¼ 74,588 þ+ 4ð6428Þþ6ð3404Þþ4ð236Þþ480 4(6 428) + 6(3 404) + 4(236) + 480 ¼= 122,148
148
CORRECCIONES DE SHEPPARD PARA LOS MOMENTOS
5.9 Emplear las correcciones de Sheppard para determinar los momentos respecto de la media para los datos:
a) del problema 5.6 y b) del problema 5.7.
134 CAPÍTULO 5 MOMENTOS, SESGO Y CURTOSIS
SOLUCIÓN
a) m 2 corregido ¼ m 2 c 2 =12 ¼ 8:5275 3 2 =12 ¼ 7:7775
m 4 corregido ¼ m 4
1
2 c2 m 2 þ 7
240 c4
¼ 199:3759
1
2 ð3Þ2 ð8:5275Þþ 7
240 ð3Þ4
¼ 163:3646
m 1 y m 3 no necesitan correcciones.
b) m 2 corregido ¼ m 2 c 2 =12 ¼ 109:5988 4 2 =12 ¼ 108:2655
m 4 corregido = m 4
1
2 c2 m 2 + 7
240 c4
= 35 627.2853
1
2 (4)2 (109.5988)+ 7
240 (4)4
= 34 757.9616
SESGO
5.10 Encontrar: a) el primer coeficiente de sesgo de Pearson y b) el segundo coeficiente de sesgo de Pearson para
la distribución de los salarios de los 65 empleados de la empresa P&R (ver los problemas 3.44 y 4.18).
SOLUCIÓN
Media = $279.76, mediana = $279.06, moda = $277.50 y desviación estándar s = $15.60. Por lo tanto:
media moda $279.76 $277.50
a) Primer coeficiente de sesgo = = = 0.1448; o bien 0.14
s
$15.60
b) Segundo coeficiente de sesgo =
3(media mediana)
=
s
3($279.76 $279.06)
= 0.1346; o bien 0.13
$15.60
Si se emplea la desviación estándar corregida [ver problema 4.21b)], estos coeficientes se convierten, respectivamente,
en:
a)
b)
Media moda
=
s corregida
3(media mediana)
=
s corregida
$279.76 $277.50
= 0.1474; o bien 0.15
$15.33
3($279.76 $279.06)
= 0.1370; o bien 0.14
$15.33
Como los coeficientes son positivos, la distribución tiene sesgo positivo (es decir, a la derecha).
5.11 Encontrar los coeficientes: a) cuartil y b) percentil de sesgo para la distribución del problema 5.10 (ver problema
3.44).
SOLUCIÓN
Q 1 = $268.25, Q 2 = P 50 = $279.06, Q 3 = $290.75, P 10 = D 1 = $258.12, y P 90 = D 9 = $301.00. Por lo tanto:
a) Coeficiente cuartil de sesgo = Q 3 2Q 2 + Q 1
Q 3 Q 1
=
$290.75 2($279.06)+$268.25
= 0.0391
$290.75 $268.25
b) Coeficiente percentil de sesgo = P 90 2P 50 + P 10 $301.00 2($279.06) +$258.12
= = 0.0233
P 90 P 10 $301.00 $258.12
5.12 Encontrar el coeficiente momento de sesgo, a 3 , a) en la distribución de las estaturas de los estudiantes de la
universidad XYZ (ver problema 5.6) y b) en los CI de los niños de primaria (ver problema 5.7).
PROBLEMAS RESUELTOS 135
SOLUCIÓN
a) m 2 = s 2 = 8.5275 y m 3 = −2.6932. Por lo tanto:
a 3 ¼ m 3
s 3 ¼ m 3
p ffiffiffiffiffiffi
(
¼ 2:6932
pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
¼ 0:1081 o bien −0.11
) 3 ( 8:5275) 3
m 2
Si se emplea la corrección de Sheppard para datos agrupados [ver problema 5.9a)], se tiene
m
a 3 corregido ¼ pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
3
( corrected m 2 ) ¼ 2:6932
pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
¼ 0:1242 o bien −0.12
m 3 ( 7:7775) 3 2 corregido
b) a 3 ¼ m 3
s 3 ¼ m 3
p ffiffiffiffiffiffi
(
¼ p
202:8158 ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ¼ 0:1768 o bien 0.18
) 3
( 109:5988) 3
m 2
Si se emplea la corrección de Sheppard para datos agrupados [ver problema 5.9b)], se tiene
m
a 3 corregido ¼ pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
3
( corrected m 2 ) ¼ p
202:8158 ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ¼ 0:1800 o 0.18
m 3 ( 108:2655) 3 2 corregido
Obsérvese que ambas distribuciones son moderadamente sesgadas, la distribución a) a la izquierda (negativamente)
y la distribución b) a la derecha (positivamente). La distribución b) es más sesgada que la distribución a); es
decir, a) es más simétrica que b), lo que es evidente dado que el valor numérico (o el valor absoluto) del coeficiente
de sesgo para b) es mayor que el valor del coeficiente de sesgo para a).
CURTOSIS
5.13 Encontrar el coeficiente momento de curtosis, a 4 , de los datos: a) del problema 5.6 y b) del problema 5.7.
SOLUCIÓN
a) a 4 = m 4
s 4 = m 4
m 2 2
= 199.3759 = 2.7418 o bien 2.74
2
(8.5275)
Si se emplean las correcciones de Sheppard [ver problema 5.9a)], entonces
m corregido
a 4 corregido = 4
( m 2 corregido) 2 = 163.36346 = 2.7007 o bien 2.70
5
(7.7775)
b) a 4 = m 4
s 4 = m 4
m 2 =
2
35 627.2853
= 2.9660 o bien 2.97
2
(109.5988)
Si se emplean las correcciones de Sheppard [ver problema 5.9b)], entonces
a 4 corregido =
m 4
corregido 34 757.9616
= = 2.9653 o bien 2.97
2 2
(108.2655)
( m 2 corregido) Como en una distribución normal a 4 = 3, se sigue que ambas distribuciones, a) y b), son platicúrticas con
respecto a la distribución normal (es decir, menos puntiagudas que la distribución normal).
En lo que se refiere a qué tan puntiagudas son, la distribución b) se aproxima a la distribución normal más que
la distribución a). Sin embargo, de acuerdo con el problema 5.12, la distribución a) es más simétrica que la distribución
b), de manera que en lo que se refiere a la simetría, a) se aproxima más a una distribución normal que b).
CÁLCULO DEL SESGO Y DE LA CURTOSIS EMPLEANDO SOFTWARE
5.14 Algunas veces las puntuaciones de un examen no siguen una distribución normal, aunque generalmente lo
hacen. Algunas veces se observa que los estudiantes obtienen puntuaciones altas o bajas y que hay pocas puntuaciones
intermedias. La distribución que se muestra en la figura 5-4 es una de estas distribuciones. Este tipo
de distribuciones se conocen como distribuciones en forma de U. Empleando EXCEL, encontrar la media, la
desviación estándar, el sesgo y la curtosis de estos datos.
136 CAPÍTULO 5 MOMENTOS, SESGO Y CURTOSIS
Gráfica de puntos de las puntuaciones
20
40
60
80
Puntuaciones
Figura 5-4 MINITAB, gráfica de puntos con datos que siguen una distribución en forma de U.
SOLUCIÓN
En una hoja de cálculo de EXCEL se ingresan los datos en A1:A30. El comando “=AVERAGE(A1:A30)” da como resultado
50. El comando “=STDEV(A1:A30)” da como resultado 29.94. El comando “ =SKEW(A1:A30)” da como resultado
0. El comando “ =KURT(A1:A30)” da como resultado –1.59.
MOMENTOS
PROBLEMAS SUPLEMENTARIOS
5.15 Encontrar el: a) primero, b) segundo, c) tercero y d ) cuarto momentos del conjunto 4, 7, 5, 9, 8, 3, 6.
5.16 Encontrar el: a) primero, b) segundo, c) tercero y d ) cuarto momentos respecto de la media para el conjunto de datos del
problema 5.15.
5.17 Encontrar el: a) primero, b) segundo, c) tercero y d ) cuarto momentos respecto del número 7 para el conjunto de datos del
problema 5.15.
5.18 Empleando los resultados de los problemas 5.15 y 5.17, verificar las siguientes relaciones entre los momentos:
a) m 2 = m 0 2 m 1 02 , b) m 3 ¼ m 0 3 3m 0 1m 0 2 þ 2m 1
03
y c) m 4 ¼ m 0 4 4m 0 1m 0 3 þ 6m 1 02 m 0 2 3m 1 04 .
5.19 En el conjunto de números de la progresión aritmética 2, 5, 8, 11, 14, 17, encontrar los primeros cuatro momentos respecto
de la media.
5.20 Probar que: a) m 0 2 ¼ m 2 þ h 2 , b) m 0 3 ¼ m 3 þ 3hm 2 þ h 3 y c) m 0 4 ¼ m 4 þ 4hm 3 þ 6h 2 m 2 þ h 4 , donde h ¼ m 0 1.
5.21 Si el primer momento respecto del número 2 es igual a 5, ¿cuál es la media?
5.22 Si los primeros cuatro momentos respecto del número 3 son –2, 10, –25 y 50, determinar los momentos correspondientes:
a) respecto de la media, b) respecto del número 5 y c) respecto del cero.
5.23 Para los números 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1 y 1, encontrar los primeros cuatro momentos respecto de la media.
5.24 a) Probar que m 5 ¼ m 0 5 5m 0 1m 0 4 þ 10m 1 02 m 0 3 10m 1 03 m 0 2 þ 4m 1 05 .
b) Deducir una fórmula similar para m 6 .
5.25 De un total de N números, la fracción p son unos y la fracción q = 1 – p son ceros. Encontrar: a) m 1 , b) m 2 , c) m 3 y d ) m 4
para este conjunto de números. Comparar con el problema 5.23.
5.26 Probar que los primeros cuatro momentos respecto de la media en la progresión geométrica a, a + d, a + 2d, . . . , a +
(n − 1)d son m 1 = 0, m 2 = 1
12 (n2 − 1)d 2 , m 3 = 0 y m 4 = 1
240 (n2 − 1)(3n 2 − 7)d 4 . Comparar con el problema 5.19 (ver
también el problema 4.69). [Sugerencia: 1 4 + 2 4 + 3 4 + ... + (n − 1) 4 = 1 30 n(n − 1)(2n − 1)(3n2 − 3n − 1).]
PROBLEMAS SUPLEMENTARIOS 137
MOMENTOS PARA DATOS AGRUPADOS
5.27 Dada la distribución de la tabla 5.5, calcular los cuatro momentos respecto de la media.
Tabla 5.5
X
12
14
16
18
20
22
f
1
4
6
10
7
2
Total 30
5.28 Ilustrar el uso de la comprobación de Charlier para los cálculos del problema 5.27.
5.29 Aplicar las correcciones de Sheppard a los momentos obtenidos en el problema 5.27.
5.30 Dada la distribución del problema 3.59, calcular los primeros cuatro momentos respecto de la media: a) sin correcciones
de Sheppard y b) con correcciones de Sheppard.
5.31 Dada la distribución del problema 3.62, encontrar a) m 1 , b) m 2 , c) m 3 , d ) m 4 , e) X, f ) s, g) X 2 , h) X 3 , i) X 4 y j) ðX þ 1Þ 3 .
SESGO
5.32 Encontrar el coeficiente momento de sesgo, a 3 , para la distribución del problema 5.27: a) sin correcciones y b) con correcciones
de Sheppard.
5.33 Encontrar el coeficiente momento de sesgo, a 3 , para la distribución del problema 3.59 (ver problema 5.30).
5.34 Los segundos momentos respecto de la media de dos distribuciones son 9 y 16, en tanto que los terceros momentos respecto
de la media son –8.1 y –12.8, respectivamente. ¿Qué distribución es más sesgada a la izquierda?
5.35 Encontrar los coeficientes de Pearson: a) primero y b) segundo para la distribución del problema 3.59 y explicar cualquier
diferencia que se encuentre.
5.36 Encontrar los coeficientes de sesgo: a) cuartil y b) percentil para la distribución del problema 3.59. Comparar sus resultados
con los del problema 5.35 y explicar.
5.37 En la tabla 5.6 se dan tres distribuciones diferentes de la variable X. Las frecuencias de cada una de las tres distribuciones
están dadas por f 1 , f 2 y f 3. Encontrar el primero y el segundo coeficientes de sesgo de Pearson de las tres distribuciones.
Para calcular los coeficientes, emplear la desviación estándar corregida.
Tabla 5.6
X f 1 f 2 f 3
0
1
2
3
4
10
5
2
2
1
1
2
14
2
1
1
2
2
5
10
138 CAPÍTULO 5 MOMENTOS, SESGO Y CURTOSIS
CURTOSIS
5.38 Encontrar el coeficiente momento de curtosis, a 4 , para la distribución del problema 5.27: a) sin correcciones y b) con
correcciones de Sheppard.
5.39 Encontrar el coeficiente momento de curtosis, a 4 , de la distribución del problema 3.59: a) sin correcciones y b) con correcciones
de Sheppard (ver problema 5.30).
5.40 Los cuartos momentos respecto de la media de las dos distribuciones del problema 5.34 son 230 y 780, respectivamente.
¿Qué distribución se aproxima más a una distribución normal desde el punto de vista: a) de aplastamiento y b) del sesgo?
5.41 ¿Cuál de las distribuciones del problema 5.40 es: a) leptocúrtica, b) mesocúrtica y c) platicúrtica?
5.42 La desviación estándar de una distribución simétrica es 5. ¿Cuál deberá ser el valor del cuarto momento respecto de la media
para que la distribución sea: a) leptocúrtica, b) mesocúrtica y c) platicúrtica?
5.43 a) Calcular el coeficiente percentil de curtosis, κ, de la distribución del problema 3.59.
b) Comparar su resultado con el valor teórico 0.263 para una distribución normal, e interpretar.
c) ¿Cómo se puede reconciliar este resultado con el del problema 5.39?
CÁLCULO DEL SESGO Y DE LA CURTOSIS EMPLEANDO SOFTWARE
5.44 Los datos de la figura 5-5 muestran un pronunciado pico en 50. Esto debe mostrarse en la medida de la curtosis de los datos.
Empleando EXCEL, mostrar que el sesgo es prácticamente cero y que la curtosis es 2.0134.
35
30
25
20
15
10
5
0
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
Figura 5-5 EXCEL, gráfica de los datos de puntuaciones de examen.
TEORÍA ELEMENTAL
DE LA PROBABILIDAD
6
DEFINICIONES DE PROBABILIDAD
Definición clásica
Suponga que un evento E puede ocurrir en h de n maneras igualmente posibles. Entonces la probabilidad de que ocurra
el evento (a la que se le llama éxito) se denota como
p = Pr{E} = h n
La probabilidad de que no ocurra el evento (a la que se le llama fracaso) se denota como
q = Pr{no E} = n h = 1
n
h
n = 1 p = 1 Pr{E}
Por lo tanto, p + q = 1 o bien Pr{E} + Pr{no E} = 1. El evento “no E ” suele denotarse E, Ẽ o bien ∼E.
EJEMPLO 1 Cuando se lanza un dado, éste puede caer de seis maneras distintas.
Un evento E de que caiga un 3 o un 4 es:
y la probabilidad de E es Pr{E} = 2/6 o bien 1/3. La probabilidad de no obtener un 3 o un 4 (es decir, la probabilidad de obtener
1, 2, 5 o bien 6) es Pr {E} = 1 Pr {E} = 2/3.
Obsérvese que la probabilidad de un evento es un número entre 0 y 1. Si el evento no puede ocurrir, su probabilidad
es 0. En cambio, si se trata de un evento que tiene que ocurrir (es decir, que es seguro que ocurra), su probabilidad
es 1.
Si p es la probabilidad de que ocurra un evento, las posibilidades u oportunidades a favor de su ocurrencia son
p : q (que se lee “p a q”); las posibilidades en contra de que ocurra son q : p. Por lo tanto, las posibilidades en contra
de que en un solo lanzamiento de un dado caiga un 3 o un 4 son q : p = 2 3 : 1 3
= 2:1 (es decir, 2 a 1).
139
140 CAPÍTULO 6 TEORÍA ELEMENTAL DE LA PROBABILIDAD
Definición de frecuencia relativa
La definición clásica de probabilidad tiene la desventaja de que la expresión “igualmente posible” es vaga. Es más,
como esta expresión parece ser sinónimo de “igualmente probable”, la definición es circular, ya que está definiendo
probabilidad en términos de probabilidad. Debido a esto, algunas personas han abogado por una definición estadística
de probabilidad. De acuerdo con esto, se considera que la probabilidad estimada o probabilidad empírica de un evento
es la frecuencia relativa de ocurrencia del evento cuando la cantidad de observaciones es muy grande. La probabilidad
misma es el límite de esta frecuencia relativa a medida que la cantidad de observaciones aumenta de manera
indefinida.
EJEMPLO 2 Si en 1 000 lanzamientos de una moneda se obtienen 529 caras, la frecuencia relativa con la que se obtienen caras
es 529/1 000 = 0.529. Si en otros 1 000 lanzamientos se obtienen 493 caras, la frecuencia relativa en los 2 000 lanzamientos es
(529 + 493)/2 000 = 0.511. De acuerdo con la definición estadística, cada vez se estaría más cerca de un número que representa
la probabilidad de que caiga cara en un lanzamiento de una sola moneda. Según los resultados presentados, este número sería 0.5 a
una cifra significativa. Para obtener más cifras significativas se necesitan más observaciones.
La definición estadística, aunque útil en la práctica, tiene dificultades desde el punto de vista matemático, ya que
puede ser que no exista un verdadero número límite. Debido a esto, la teoría de probabilidad moderna ha sido desarrollada
en forma axiomática; es decir, el concepto de probabilidad se deja sin definir, que es lo mismo que ocurre en la
geometría con los conceptos de punto y línea, que también se dejan sin definir.
PROBABILIDAD CONDICIONAL; EVENTOS INDEPENDIENTES Y DEPENDIENTES
Si E 1 y E 2 son dos eventos, la probabilidad de que ocurra E 2 , dado que E 1 ha ocurrido, se denota Pr{E 2 |E 1 } o Pr{E 2
dado E 1 } y se conoce como la probabilidad condicional de E 2 dado que E 1 ha ocurrido.
Si la ocurrencia o no ocurrencia de E 1 no afecta la probabilidad de ocurrencia de E 2 , entonces Pr{E 2 |E 1 } = Pr{E 2 }
y se dice que E 1 y E 2 son eventos independientes, de lo contrario se dice que son eventos dependientes.
Si se denota con E 1 E 2 el evento de que “tanto E 1 como E 2 ocurran”, evento al que suele llamarse evento compuesto,
entonces
Pr{E 1 E 2 } Pr{E 1 } Pr{E 2 E 1 } (1)
En particular,
Pr{E 1 E 2 } Pr{E 1 } Pr{E 2 } para eventos independientes (2)
Para tres eventos E 1 , E 2 y E 3 , tenemos
Pr{E 1 E 2 E 3 } Pr{E 1 } Pr{E 2 E 1 } Pr{E 3 E 1 E 2 } (3)
Es decir, la probabilidad de que ocurra E 1 , E 2 y E 3 es igual a (la probabilidad de E 1 ) × (la probabilidad de E 2 dado que
E 1 ha ocurrido) × (la probabilidad de E 3 dado que E 1 y E 2 han ocurrido). En particular,
Pr{E 1 E 2 E 3 } Pr{E 1 } Pr{E 2 } Pr{E 3 } para eventos independientes (4)
En general, si E 1 , E 2 , E 3 , . . . , E n son n eventos independientes que tienen probabilidades p 1 , p 2 , p 3 , . . . , p n , entonces
la probabilidad de que ocurra E 1 y E 2 y E 3 y . . . E n es p 1 p 2 p 3
. . . p n .
EJEMPLO 3 Sean E 1 y E 2 los eventos “cae cara en el quinto lanzamiento” y “cae cara en el sexto lanzamiento” de una moneda,
respectivamente. Entonces E 1 y E 2 son eventos independientes y, por lo tanto, la probabilidad de cara tanto en el quinto como en el
sexto lanzamientos es (suponiendo que sea una moneda legal)
Pr{E 1 E 2 } Pr{E 1 } Pr{E 2 } 1 2
1
2
1 4
EJEMPLO 4 Si la probabilidad de que A esté vivo en 20 años es 0.7 y la probabilidad de que B esté vivo en 20 años es 0.5,
entonces la probabilidad de que ambos estén vivos en 20 años es (0.7)(0.5) = 0.35.
EVENTOS MUTUAMENTE EXCLUYENTES 141
EJEMPLO 5 Supóngase que una caja contiene 3 pelotas blancas y 2 pelotas negras. Sea E 1 el evento “la primera pelota que se
saca es negra” y E 2 el evento “la segunda pelota que se saca es negra”, donde las pelotas no se vuelvan a colocar en la caja una vez
sacadas. Aquí E 1 y E 2 son eventos dependientes.
La probabilidad de que la primera pelota que se extraiga sea negra es Pr{E 1 } 2/(3 2) 2 . La probabilidad de que la
5
segunda pelota que se extraiga sea negra, dado que la primera pelota que se extrajo fue negra, es Pr{E 2 E 1 } 1/(3 1) 1 4 . Por
lo tanto, la probabilidad de que las dos pelotas que se extraigan sean negras es
Pr{E 1 E 2 } Pr{E 1 } Pr{E 2 E 1 } 2 5
EVENTOS MUTUAMENTE EXCLUYENTES
1
4 1
10
Se dice que dos o más eventos son mutuamente excluyentes si la ocurrencia de uno cualquiera de ellos excluye la
ocurrencia de los otros. Entonces, si E 1 y E 2 son eventos mutuamente excluyentes, Pr{E 1 E 2 } = 0.
Si E 1 + E 2 denotan el evento “ocurre E 1 o E 2 o ambos”, entonces
En particular,
Pr{E 1 E 2 } Pr{E 1 } Pr{E 2 Pr{E 1 E 2 } (5)
Pr{E 1 E 2 } Pr{E 1 } Pr{E 2 } si los eventos son mutuamente excluyentes (6)
Por extensión se tiene que si E 1 , E 2 , . . . , E n son n eventos mutuamente excluyentes que tienen probabilidades p 1 ,
p 2 , . . . , p n , entonces la probabilidad de que ocurran E 1 o E 2 o . . . E n es p 1 + p 2 + . . . + p n .
La fórmula (5) también puede generalizarse a tres o más eventos mutuamente excluyentes.
EJEMPLO 6 Si E 1 es el evento “de una baraja se extrae un as” y E 2 es el evento “de una baraja se extrae un rey”, entonces
Pr{E 1 } 4
52 1 13 y Pr {E 2} 4 52 1 , y la probabilidad de en una sola extracción se extrae un as o un rey es
13
Pr{E 1 E 2 } Pr{E 1 } Pr{E 2 } 1
13 1 13 2 13
ya que en una sola extracción o se extrae un as o se extrae un rey, y por lo tanto estos eventos son mutuamente excluyentes (figura
6-1).
A♣ 2♣ 3♣ 4♣ 5♣ 6♣ 7♣ 8♣ 9♣ 10♣ J♣ Q♣ K♣
A♦ 2♦ 3♦ 4♦ 5♦ 6♦ 7♦ 8♦ 9♦ 10♦ J♦ Q♦ K♦
A♥ 2♥ 3♥ 4♥ 5♥ 6♥ 7♥ 8♥ 9♥ 10♥ J♥ Q♥ K♥
A♠ 2♠ 3♠ 4♠ 5♠ 6♠ 7♠ 8♠ 9♠ 10♠ J♠ Q♠ K♠
Figura 6-1 E 1 es el evento “extraer un as” y E 2 es el evento “extraer un rey”.
Obsérvese que E 1 y E 2 no tienen resultados en común. Estos eventos son mutuamente excluyentes.
EJEMPLO 7 Si E 1 es el evento “extraer un as” y E 2 es el evento “extraer una espada” de una baraja, E 1 y E 2 no son mutuamente
excluyentes, pues se puede extraer el as de espadas (figura 6-2). Por lo tanto, la probabilidad de extraer un as o una espada o
ambos es
Pr{E 1 E 2 } Pr{E 1 } Pr{E 2 Pr{E 1 E 2 } 4
52 13
52
1
52 16
52 4 13
A♣
A♦
A♥
A♠
2♣
2♦
2♥
2♠
3♣
3♦
3♥
3♠
4♣
4♦
4♥
4♠
5♣
5♦
5♥
5♠
6♣
6♦
6♥
6♠
7♣
7♦
7♥
7♠
8♣
8♦
8♥
8♠
9♣
9♦
9♥
9♠
10♣
10♦
10♥
10♠
J♣
J♦
J♥
J♠
Q♣
Q♦
Q♥
Q♠
Figura 6-2 E 1 es el evento “extraer un as” y E 2 es el evento “extraer una espada”.
Obsérvese que el evento “E 1 y E 2 ”, que consta de los resultados en los que se den los dos eventos, es el as de espadas.
K♣
K♦
K♥
K♠
142 CAPÍTULO 6 TEORÍA ELEMENTAL DE LA PROBABILIDAD
DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD
Discretas
Si una variable X toma un conjunto discreto de valores X 1 , X 2 , . . . , X K con probabilidades respectivas p 1 , p 2 , . . . , p K ,
donde p 1 + p 2 + . . . + p K = 1, esto se define como una distribución de probabilidad discreta de X. La función p(X ),
que tiene los valores p 1 , p 2 , . . . , p K para X = X 1 , X 2 , . . . , X K , respectivamente, se llama función de probabilidad o función
de frecuencia de X. Como X puede tomar ciertos valores con determinadas probabilidades, suele llamársele
variable aleatoria discreta. A las variables aleatorias también se les conoce como variables estocásticas.
EJEMPLO 8 Se lanza un par de dados; sea X la suma de los puntos obtenidos en estos dos dados. La distribución de probabilidad
es la que se muestra en la tabla 6.1. Por ejemplo, la probabilidad de que la suma sea 5 es 4 36 = 1 ; así que de 900 veces que se lancen
9
los dos dados se espera que en 100 la suma de los puntos sea 5.
Obsérvese la analogía con las distribuciones de frecuencias relativas empleando probabilidades en lugar de frecuencias
relativas. De manera que las distribuciones de probabilidad pueden considerarse como formas teóricas o
formas límites ideales de las distribuciones de frecuencias relativas cuando la cantidad de observaciones es muy grande.
A esto se debe que las distribuciones de probabilidad se consideren distribuciones de poblaciones, mientras que las
distribuciones de frecuencias relativas son distribuciones de muestras obtenidas de estas poblaciones.
Tabla 6.1
X 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
p(X ) 1/36 2/36 3/36 4/36 5/36 6/36 5/36 4/36 3/36 2/36 1/36
Una distribución de probabilidad se puede representar graficando p(X ) contra X, como se hace con las distribuciones
de frecuencias relativas (ver problema 6.11).
Con probabilidades acumuladas se obtienen distribuciones de probabilidad acumulada, que son análogas a las
distribuciones de frecuencia relativa acumulada. A las funciones correspondientes a estas distribuciones se les suele
llamar funciones de distribución.
La distribución de la tabla 6.1 puede obtenerse empleando EXCEL. La porción de una hoja de cálculo de EXCEL
que se muestra a continuación se obtiene ingresando Dado 1 en A1, Dado 2 en B1 y Suma en C1. Los 36 resultados
posibles al lanzar dos dados se ingresan en A2:B37. En C2 se ingresa =SUM(A2:B2), se da clic y se arrastra desde C2
hasta C37. Observando que la suma 2 se obtiene una vez; la suma 3, dos veces, etc., se forma la distribución de probabilidad
de la tabla 6.1.
Dado 1 Dado 2 Suma
1 1 2
1 2 3
1 3 4
1 4 5
1 5 6
1 6 7
2 1 3
2 2 4
2 3 5
2 4 6
2 5 7
DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD 143
Dado 1 Dado 2 Suma
2 6 8
3 1 4
3 2 5
3 3 6
3 4 7
3 5 8
3 6 9
4 1 5
4 2 6
4 3 7
4 4 8
4 5 9
4 6 10
5 1 6
5 2 7
5 3 8
5 4 9
5 5 10
5 6 11
6 1 7
6 2 8
6 3 9
6 4 10
6 5 11
6 6 12
Continua
Las ideas anteriores pueden extenderse al caso en el que la variable X puede tomar un conjunto continuo de valores.
El polígono de frecuencias relativas de la muestra se convierte, en el caso teórico o límite de una población, en una
curva continua (como la que se muestra en la figura 6-3) cuya ecuación es Y = p(X ). El área total limitada por el eje
X, bajo esta curva, es igual a 1, y el área entre las rectas X = a y X = b (que aparece sombreada en la figura 6-3)
corresponde a la probabilidad de que X se encuentre entre a y b, lo que se denota como Pr{a < X < b}.
p(X)
a b X
Figura 6-3 Pr{a X b} es el área sombreada bajo la función de densidad.
144 CAPÍTULO 6 TEORÍA ELEMENTAL DE LA PROBABILIDAD
A p(X ) se le conoce como función de densidad de probabilidad o brevemente función de densidad, y cuando se da
una de estas funciones se dice que se define una distribución de probabilidad continua para X; a la variable X suele
llamársele variable aleatoria continua.
Como en el caso discreto, se pueden definir distribuciones de probabilidad acumulada y las funciones de distribución
correspondientes.
ESPERANZA MATEMÁTICA
Si p es la probabilidad de que una persona reciba una cantidad de dinero S, pS define la esperanza matemática (o
simplemente la esperanza).
EJEMPLO 9 Encontrar E(X ) para la distribución de la suma de los dos dados dada en la tabla 6.1. La distribución se presenta
en los siguientes resultados de EXCEL. En A2:B12 se presenta la distribución en la que los valores p(X ) se han convertido a la
forma decimal. En C2 se ingresa la expresión =A2*B2, se da clic y se arrastra desde C2 hasta C12. En C13 se ingresa la expresión
=Sum(C2:C12) y se obtiene la esperanza matemática, que es 7.
X p(X) XP(X)
2 0.027778 0.055556
3 0.055556 0.166667
4 0.083333 0.333333
5 0.111111 0.555556
6 0.138889 0.833333
7 0.166667 1.166667
8 0.138889 1.111111
9 0.111111 1
10 0.083333 0.833333
11 0.055556 0.611111
12 0.027778 0.333333
7
El concepto de esperanza es fácil de extender. Si X denota una variable aleatoria discreta que puede tomar los
valores X 1 , X 2 , . . . , X K con probabilidades p 1 , p 2 , . . . , p K , respectivamente, donde p 1 + p 2 + . . . + p K = 1, la esperanza
matemática de X (o simplemente la esperanza de X), que se denota E(X ), se define de la manera siguiente:
EðXÞ ¼p 1 X 1 þ p 2 X 2 þþp K X K ¼ XK
j¼1
p j X j ¼ X pX (7)
Si en esta esperanza se sustituyen las probabilidades p j por las frecuencias relativas f j /N, donde N ¼ P f j , la esperanza
se reduce a ( P fXÞ=N, que es la media aritmética X de una muestra de tamaño N en la que X 1 , X 2 , . . . , X K se
presentan con estas frecuencias relativas. A medida que N se vuelve cada vez más grande, las frecuencias relativas
f j /N se aproximan a las probabilidades p j . Esto lleva a interpretar E(X ) como la media de la población de la que ha sido
tomada la muestra. Si se denota con m a la media muestral, a la media poblacional se le denota con la correspondiente
letra griega, µ (mu).
La esperanza también puede ser definida para variables aleatorias continuas, pero esta definición requiere el uso
del cálculo.
RELACIÓN ENTRE MEDIA Y VARIANZA POBLACIONALES Y MUESTRALES
Si de una población se toma en forma aleatoria una muestra de tamaño N (es decir, de manera que todas las muestras
de tamaño N sean igualmente probables), se puede demostrar que el valor esperado para la media muestral m es la
media poblacional µ.
ANÁLISIS COMBINATORIO 145
Sin embargo, no se sigue que el valor esperado de cualquier cantidad calculada a partir de una muestra sea la cantidad
poblacional correspondiente. Por ejemplo, el valor esperado de la varianza muestral, como se ha definido aquí,
no es la varianza poblacional, sino (N − 1)/N veces esta varianza. A esto se debe que algunos especialistas en estadística
prefieran definir la varianza muestral como la varianza aquí definida pero multiplicada por N/(N − 1).
ANÁLISIS COMBINATORIO
Para obtener probabilidades de eventos complejos, hacer una enumeración de los casos suele ser difícil, tedioso o ambas
cosas. Para facilitar esta tarea se hace uso de los principios básicos de una materia llamada análisis combinatorio.
Principio fundamental
Si un evento puede ocurrir de n 1 maneras diferentes, y si una vez que ha ocurrido, otro evento puede ocurrir de n 2
maneras diferentes, entonces la cantidad de maneras en que pueden ocurrir los dos eventos, en este orden específico,
es n 1 n 2 .
EJEMPLO 10 En una hoja de cálculo de EXCEL se ingresan los números 0 a 5 en las casillas A1 a A6. En B1 se ingresa
=FACT(A1), se hace clic y se arrastra desde B1 hasta B6. Después, para graficar los puntos, se emplea el asistente para gráficos de
EXCEL. La función =FACT(n) es lo mismo que n! Para n = 0, 1, 2, 3, 4 y 5 =FACT(n) es igual a 1, 1, 2, 6, 24 y 120. La figura
6-4 se generó con el asistente para gráficos de EXCEL.
140
120
100
80
n!
60
40
20
0
0 1 2 3 4 5 6
n
Figura 6-4
Gráfica de n! generada con EXCEL.
EJEMPLO 11 La cantidad de permutaciones de las letras a, b y c tomadas de dos en dos es 3 P 2 = 3 ⋅ 2 = 6. Estas permutaciones
son ab, ba, ac, ca, bc y cb.
El número de permutaciones de n objetos de los cuales n 1 son iguales, n 2 son iguales, . . . es
n!
n 1 ! n 2 !
donde n = n 1 n 2 (10)
EJEMPLO 12 El número de permutaciones de las letras en la palabra statistics es
ya que hay 3 eses, 3 tes, 1 a, 2 íes y 1 c.
10!
¼ 50 400
3! 3! 1! 2! 1!
146 CAPÍTULO 6 TEORÍA ELEMENTAL DE LA PROBABILIDAD
COMBINACIONES
Una combinación de n objetos diferentes tomados de r en r es una selección de r de los n objetos sin importar el orden.
El número de combinaciones de n objetos tomados de r en r se denota mediante el símbolo ( n r
) y está dado por
n
nðn 1Þðn r þ 1Þ n!
¼ ¼
r
r!
r!ðn
rÞ!
(11)
EJEMPLO 13 El número de combinaciones que se pueden hacer con las letras a, b, y c, tomadas de dos en dos, es
3
2
¼ 3 2 ¼ 3
2!
Estas combinaciones son ab, ac y bc. Obsérvese que ab es la misma combinación que ba, pero no la misma permutación.
Con EXCEL, las combinaciones de 3 objetos tomando 2 a la vez se obtienen con el comando =COMBIN(3,2), que
da como resultado 3.
APROXIMACIÓN DE STIRLING PARA n!
Cuando n es grande es poco práctico evaluar directamente n! En tales casos se hace uso de una fórmula de aproximación
desarrollada por James Stirling:
p
n! ffiffiffiffiffiffiffiffi
2n n n e n (12)
donde e = 2.71828. . . es la base del logaritmo natural (ver problema 6.31).
RELACIÓN ENTRE LA PROBABILIDAD Y LA TEORÍA DE CONJUNTOS
Como se ve en la figura 6-5, un diagrama de Venn representa, mediante un rectángulo, todos los resultados posibles
de un experimento, a lo que se llama el espacio muestral S. Los eventos se representan como figuras tetraédricas o
como círculos dentro del espacio muestral. Si S contiene únicamente una cantidad finita de puntos, entonces a cada
punto se le puede asociar un número no negativo, llamado probabilidad, de manera que la suma de todos los números
correspondientes a los puntos de S sea 1. Un evento es un conjunto (o una colección) de puntos en S, como los indicados
en la figura 6-5 por E 1 y E 2 .
DIAGRAMAS DE EULER O DE VENN Y PROBABILIDAD
El evento E 1 + E 2 es el conjunto de puntos que están en E 1 o en E 2 o en ambos, mientras que el evento E 1 E 2 es el
conjunto de puntos que son comunes a ambos, E 1 y E 2 . La probabilidad de un evento por ejemplo el evento E 1 es la
suma de las probabilidades correspondientes a todos los puntos que están en el conjunto E 1 . De igual manera, la probabilidad
de E 1 + E 2 , que se denota Pr{E 1 + E 2 }, es la suma de las probabilidades correspondientes a todos los puntos
contenidos en el conjunto E 1 + E 2 . Si E 1 y E 2 no tienen puntos en común (es decir, si los eventos son mutuamente
excluyentes), entonces Pr{E 1 + E 2 } = Pr{E 1 } + Pr{E 2 }. Si tienen puntos en común, entonces Pr{E 1 + E 2 } = Pr{E 1 }
+ Pr{E 2 } − Pr{E 1 E 2 }.
El conjunto E 1 + E 2 también suele denotarse E 1 E 2 y se conoce como la unión de los dos conjuntos. El conjunto
E 1 E 2 también suele denotarse E 1 E 2 y se conoce como la intersección de los dos conjuntos. Se pueden hacer
extensiones a más de dos conjuntos; así, en lugar de E 1 + E 2 + E 3 y E 1 E 2 E 3 , se pueden emplear las notaciones E 1
E 2 E 3 y E 1 E 2 E 3 , respectivamente.
DIAGRAMAS DE EULER O DE VENN Y PROBABILIDAD 147
DIAGRAMAS DE EULER O DE VENN Y PROBABILIDAD
E
E
a)
S
E 1
E 2
b)
S
E 1
E 2
c)
S
E 1
E 2
d)
Figura 6-5 Operaciones con eventos. a) El complemento del evento E aparece sombreado y se denota E;
b) la intersección de los eventos E 1 y E 2 aparece sombreada y se escribe E 1 E 2 ; c) la unión de los
eventos E 1 y E 2 aparece sombreada y se denota E 1 E 2; d ) los eventos E 1 y E 2 son mutuamente
excluyentes, es decir, E 1 E 2 f.
S
El símbolo φ (la letra fi del alfabeto griego) suele emplearse para denotar el conjunto que no tiene ningún punto,
conjunto al que se le conoce como conjunto vacío. La probabilidad que se le asigna a un evento que corresponde a este
conjunto es cero (es decir, Pr{φ} = 0). Si E 1 y E 2 no tienen puntos en común, se escribe E 1 E 2 = φ, lo que significa que
los eventos correspondientes son mutuamente excluyentes, por lo que Pr{E 1 E 2 } = 0.
Con esta visión moderna, una variable aleatoria es una función definida en cada punto de un espacio muestral. Por
ejemplo, en el problema 6.37, la variable aleatoria es la suma de las coordenadas de cada punto.
Empleando conceptos del cálculo pueden extenderse las ideas anteriores al caso en el que S tenga una cantidad
infinita de puntos.
EJEMPLO 14 Un experimento consiste en lanzar un par de dados. El evento E 1 es que se obtenga un 7, es decir, que la suma de
los puntos en los dados sea 7. El evento E 2 es que en el dado 1 se obtenga un número non. A continuación se presenta el espacio
muestral S y los eventos E 1 y E 2 . Encontrar Pr{E 1 }, Pr{E 2 }, Pr{E 1 E 2 } y Pr{E 1 E 2 }. En la figura 6.6 se presentan los resultados
de MINITAB con E 1 , E 2 y S en rectángulos separados.
PðE 1 Þ¼6=36 ¼ 1=6 PðE 2 Þ¼18=36 ¼ 1=2 PðE 1 \ E 2 Þ¼3=36 ¼ 1=12
PðE 1 [ E 2 Þ¼6=36 þ 18=36 3=36 ¼ 21=36:
148 CAPÍTULO 6 TEORÍA ELEMENTAL DE LA PROBABILIDAD
6
Espacio muestral S
6
5
5
4
4
3
3
2
2
1
1
6
5
4
3
2
1
1
1
2
2
E
3 4 5 6 1 2 3 4
Evento 1
Evento E 2
3 4 5 6
5
6
Figura 6-6 Resultados de MINITAB para el ejemplo 14.
PROBLEMAS RESUELTOS
REGLAS FUNDAMENTALES DE LA PROBABILIDAD
6.1 Determinar o estimar la probabilidad p de cada uno de los eventos siguientes:
a) Al lanzar una vez un dado obtener un número non.
b) Al lanzar dos veces una moneda obtener por lo menos una cara.
c) Al sacar una carta de una baraja, bien barajada, con 52 cartas obtener un as, un 10 de diamantes o un 2 de
espadas.
d ) Al lanzar una vez un par de dados su suma sea siete.
e) Si en 100 lanzamientos de una moneda se obtuvieron 56 caras, en el siguiente lanzamiento obtener una
cruz.
SOLUCIÓN
a) De seis casos equiprobables posibles, tres casos (que caiga 1, 3 o 5) son favorables al evento. Por lo tanto,
p = 3 6 = 1 2 .
b) Si H denota “cara” y T denota “cruz”, en los dos lanzamientos se pueden obtener los casos siguientes: HH, HT, TH,
TT, todos igualmente posibles. De éstos, sólo los tres primeros son favorables al evento. Por lo tanto, p 3 4 .
c) Este evento puede darse de seis maneras (as de espadas, as de corazones, as de tréboles, as de diamantes, 10 de diamantes
y 2 de espadas) en los 52 casos igualmente posibles. Por lo tanto, p 6
d )
52 3 26 .
Cada una de las caras de un dado puede relacionarse con cada una de las seis caras del otro dado, de manera que la
cantidad de casos que pueden presentarse, todos igualmente posibles, es 6 · 6 = 36. Estos casos se pueden denotar
(1, 1), (2, 1), (3, 1), ..., (6, 6).
Hay seis formas de obtener la suma de 7, denotada por (1, 6), (2, 5), (3, 4), (4, 3), (5, 2) y (6, 1). Por lo tanto,
p 6
36 1 6 .
e) Como en 100 lanzamientos se obtuvieron 100 − 56 = 44 cruces, la probabilidad estimada (o empírica) de que caiga
cruz es la frecuencia relativa 44/100 = 0.44.
PROBLEMAS RESUELTOS 149
6.2 Un experimento consiste en lanzar una moneda y un dado. Si E 1 es el evento en que se obtenga “cara” al lanzar
la moneda y E 2 es el evento en que se obtenga “3 o 6” al lanzar el dado, expresar en palabras cada uno de los
eventos siguientes:
a) E 1 c) E 1 E 2 e) Pr{E 1 |E 2 }
b) E 2 d) Pr{E 1 E 2 } f ) Pr{E 1 E 2 }
SOLUCIÓN
a) Cruz en la moneda y cualquier cosa en el dado.
b) 1, 2, 4 ó 5 en el dado y cualquier cosa en la moneda.
c) Cara en la moneda y 3 ó 6 en el dado.
d ) Probabilidad de cara en la moneda y 1, 2, 4 ó 5 en el dado.
e) Probabilidad de cara en la moneda, dado que en el dado se obtuvo 3 ó 6.
f ) Probabilidad de cruz en la moneda o 1, 2, 4 ó 5 en el dado o ambas cosas
6.3 De una caja que contiene 6 pelotas rojas, 4 pelotas blancas y 5 pelotas azules se extrae, de manera aleatoria,
una pelota. Determinar la probabilidad de que la pelota extraída sea: a) roja, b) blanca, c) azul, d ) no sea roja
y e) sea roja o blanca.
SOLUCIÓN
Con R, W y B se denotan los eventos de que la pelota que se saque sea roja, blanca o azul, respectivamente. Entonces:
maneras de sacar una pelota roja
a) Pr{R}
total de maneras de sacar una pelota 6
6 4 5 6
15 2 5
4
b) Pr{W }
6 4 5 4
15
5
c) Pr{B}
6 4 5 5
15 1 3
d ) Pr{R} 1 Pr{R} 1
2
5 3 5
de acuerdo con el inciso a)
maneras de sacar una pelota roja o una pelota blanca
e) Pr{R W } 6 4
total de maneras de sacar una pelota
6 4 5 10
15 2 3
Otro método
Pr{R W } Pr{B} 1 Pr{B} 1
1
3 2 3
de acuerdo con el inciso c)
Obsérvese que Pr{R + W } = Pr{R} + Pr{W } (es decir, 2 3 2 5 4 15
). Éste es un ejemplo de la regla general
Pr{E 1 + E 2 } = Pr{E 1 } + Pr{E 2 } válida para eventos E 1 y E 2 mutuamente excluyentes.
6.4 Un dado se lanza dos veces. Encontrar la probabilidad de obtener un 4, un 5 o un 6 en el primer lanzamiento y
un 1, 2, 3 ó 4 en el segundo lanzamiento.
SOLUCIÓN
Sea E 1 el evento “4, 5 ó 6” en el primer lanzamiento y E 2 el evento “1, 2, 3 ó 4” en el segundo lanzamiento. A cada una de
las seis maneras en que puede caer el dado en el primer lanzamiento se le asocia cada una de las seis maneras en que puede
caer en el segundo lanzamiento, lo que hace un total de 6 · 6 = 36 maneras, todas igualmente probables. A cada una de las
tres manera en que puede ocurrir E 1 se le asocia cada una de las cuatro maneras en que puede ocurrir E 2 , obteniéndose
3 · 4 = 12 maneras en las que pueden ocurrir E 1 y E 2 o E 1 E 2. Por lo tanto, Pr{E 1 E 2 } = 12/36 = 1/3.
Obsérvese que Pr{E 1 E 2 } = Pr{E 1 } Pr{E 2 } (es decir, 1 3 = 3 4 ) es válido para eventos independientes E 6 6 1 y E 2 .
150 CAPÍTULO 6 TEORÍA ELEMENTAL DE LA PROBABILIDAD
6.5 De una baraja, bien barajada, con 52 cartas se extraen dos cartas. Encuentre la probabilidad de que las dos sean
ases si la primera carta: a) se devuelve a la baraja y b) no se devuelve a la baraja.
SOLUCIÓN
Sea E 1 = evento “as” en la primera extracción y sea E 2 = evento “as” en la segunda extracción.
a) Si la primera carta se devuelve a la baraja, E 1 y E 2 son eventos independientes. Por lo tanto, Pr{las dos cartas extraídas
sean ases} = PrfE 1 E 2 g¼PrfE 1 g PrfE 2 g¼ð 4
52 Þð 4
52 Þ¼ 1
169 .
b) La primera carta se puede extraer de 52 maneras y la segunda puede extraerse de 51 maneras, ya que la primera carta
no se devuelve a la baraja. Por lo tanto, las dos cartas se pueden extraer de 52 · 51 maneras todas igualmente posibles.
Hay cuatro maneras en las que puede ocurrir E 1 y tres maneras en las que E 2 puede ocurrir, de manera que E 1 y
E 2 o E 1 E 2 puede ocurrir de 4 · 3 maneras. Por lo tanto, PrfE 1 E 2 g¼ð4 3Þ=ð52 51Þ ¼ 1
221 .
Obsérvese que PrfE 2 jE 1 g¼ Pr{segunda carta sea un as dado que la primera carta es un as} ¼ 3
51
. De manera
que este resultado ilustra la regla general PrfE 1 E 2 g¼PrfE 1 g PrfE 2 jE 1 g donde E 1 y E 2 son eventos dependientes.
6.6 De la caja del problema 6.3 se extraen, sucesivamente, tres pelotas. Encuéntrese la probabilidad de que se
extraigan en el orden roja, blanca y azul: a) si cada pelota se devuelve a la caja y b) si no se devuelve.
SOLUCIÓN
Sea R = evento “roja” en la primera extracción, W = evento “blanca” en la segunda extracción y B = evento “azul” en la
tercera extracción. Lo que se busca es Pr{RWB}.
a) Si cada una de las pelotas se devuelve, entonces R, W y B son eventos independientes y
6 4 5
PrfRWBg ¼PrfRg PrfWg PrfBg ¼
¼ 6
4 5
¼ 8
6 þ 4 þ 5 6 þ 4 þ 5 6 þ 4 þ 5 15 15 15 225
b) Si las pelotas no se devuelven, entonces R, W y B son eventos dependientes y
6 4 5
PrfRWBg ¼PrfRg PrfWjRg PrfBjWRg ¼
6 þ 4 þ 5 5 þ 4 þ 5 5 þ 3 þ 5
¼ 6
4 5
¼ 4
15 14 13 91
donde Pr{B|WR} es la probabilidad condicional de extraer una pelota azul si se han extraído ya una roja y una
blanca.
6.7 Encuéntrese la probabilidad de que en dos lanzamientos de un dado se obtenga por lo menos un 4.
SOLUCIÓN
Sea E 1 = el evento “4” en el primer lanzamiento, E 2 = el evento “4” en el segundo lanzamiento y E 1 + E 2 = el evento “4”
en el primer lanzamiento o “4” en el segundo lanzamiento o ambos = el evento de obtener por lo menos un 4. Lo que se
busca es Pr{E 1 + E 2 }.
Primer método
Los dos dados pueden caer en un total de 6 · 6 = 36 maneras igualmente posibles. Además,
Cantidad de maneras en las que puede ocurrir E 1 pero no E 2 = 5
Cantidad de maneras en las que puede ocurrir E 2 pero no E 1 = 5
Cantidad de maneras en las que pueden ocurrir E 1 y E 2 = 1
Por lo tanto, la cantidad de maneras en las que puede ocurrir por lo menos uno de los eventos E 1 o E 2 es 5 + 5 + 1 = 11,
y por lo tanto, Pr{E 1 þ E 2 g¼ 11
36 .
PROBLEMAS RESUELTOS 151
Segundo método
Como E 1 y E 2 no son mutuamente excluyentes, Pr{E 1 + E 2 } = Pr{E 1 } + Pr{E 2 } − Pr{E 1 E 2 }. Además, como E 1 y E 2 son
independientes, Pr{E 1 E 2 } = Pr{E 1 } Pr{E 2 }. Por lo tanto,
Pr{E 1 + E 2 } = Pr{E 1 } + Pr{E 2 } − Pr{E 1 } Pr{E 2 } ¼ 1 6 þ 1 6
ð 1 6 Þð1 6 Þ¼11 36 .
Tercer método
Pr{obtener por lo menos un 4} + Pr{no obtener ningún 4} = 1.
Por lo tanto, Pr{obtener por lo menos un 4} = 1 Pr{no obtener ningún 4}
= 1 Pr{no obtener un 4 ni en el primero ni en el segundo lanzamiento}
= 1 Pr{E 1 E 2 } = 1 Pr{E 1 } Pr{E 2 }
= 1
5
6
5
6
11
36
6.8 Una bolsa contiene 4 pelotas blancas y 2 pelotas negras; otra contiene 3 pelotas blancas y 5 pelotas negras. Si
se saca una pelota de cada bolsa, encontrar la probabilidad de que: a) ambas sean blancas, b) ambas sean negras
y c) una sea blanca y la otra sea negra.
SOLUCIÓN
Sea W 1 = el evento “blanca” de la primera bolsa y W 2 = el evento “blanca” de la segunda bolsa.
a)
4 3
PrfW 1 W 2 g¼PrfW 1 g PrfW 2 g¼
¼ 1 4 þ 2 3 þ 5 4
b)
2 5
Prf W 1
W 2 g¼Prf W 1 g Prf W 2 g¼
¼ 5
4 þ 2 3 þ 5 24
c) El evento “una es blanca y la otra es negra” es lo mismo que el evento “o la primera es blanca y la segunda es negra
o la primera es negra y la segunda es blanca”; es decir, W 1
W 2 þ W 1 W 2 . Como los eventos W 1
W 2 y W 1 W 2 son mutuamente
excluyentes, se tiene
Otro método
PrfW 1
W 2 þ W 1 W 2 g¼PrfW 1
W 2 gþPrf W 1 W 2 g
¼ PrfW 1 g Prf W 2 gþPrf W 1 g PrfW 2 g
4 5 2 3
¼
þ
¼ 13
4 þ 2 3 þ 5 4 þ 2 3 þ 5 24
La probabilidad que se busca es 1 PrfW 1 W 2 g Prf W 1
W 2 g¼1
1
4
5
24 ¼ 13
24 .
6.9 A y B juegan 12 partidos de ajedrez, de los cuales, A gana 6, B gana 4 y en 2 terminan empatados. Se ponen de
acuerdo para jugar otros 3 partidos. Encuéntrese la probabilidad de que: a) A gane los tres partidos, b) 2 partidos
terminen empatados, c) A y B ganen alternadamente y d ) B gane por lo menos un partido.
SOLUCIÓN
Sean A 1 , A 2 y A 3 los eventos “A gana” en el primero, el segundo y el tercer partidos, respectivamente; sean B 1 , B 2 y B 3 los
eventos “B gana” el primero, el segundo y el tercer partidos, respectivamente, y D 1 , D 2 y D 3 los eventos “terminan empatados”
en el primero, el segundo y el tercer partidos, respectivamente.
Sobre la base de experiencias anteriores (probabilidad empírica), asumir que Pr{A gana cualquiera de los partidos}
¼ 6 12 ¼ 1 4
2
, que Pr{B gana cualquiera de los partidos} ¼
12 ¼ 1 3 y que Pr{termina en empate en cualquier partido} ¼ 2 12 ¼ 1 6 .
a) Pr{A gane los tres partidos} ¼ PrfA 1 A 2 A 3 g¼PrfA 1 g PrfA 2 g PrfA 3 g¼ 1 1 1
¼ 1 2 2 2 8
152 CAPÍTULO 6 TEORÍA ELEMENTAL DE LA PROBABILIDAD
suponiendo que el resultado de cada partido sea independiente de los resultados de los otros partidos, lo que parece
razonable (a menos, por supuesto, que el jugador se vea psicológicamente influenciado por los otros partidos ganados
o perdidos).
b) Pr{2 partidos terminen empatados} = Pr{el primero y el segundo o el primero y el tercero o el segundo y el tercer
partidos terminen empatados}
¼ PrfD 1 D 2
D 3 gþPrfD 1
D 2 D 3 gþPrf D 1 D 2 D 3 g
¼ PrfD 1 g PrfD 2 g Prf D 3 gþPrfD 1 g Prf D 2 g PrfD 3 g
þ Prf D 1 g PrfD 2 g PrfD 3 g
¼ 1
1 5
þ 1 5 1
6 6 6 6 6 6
þ 5 6
1 1
6 6
¼ 15
216 ¼ 5
72
c) Pr{A y B ganen alternadamente} = Pr{A gane y después B gane y después A gane o que B gane y después A gane y
después B gane}
d )
¼ PrfA 1 B 2 A 3 þ B 1 A 2 B 3 g¼PrfA 1 B 2 A 3 gþPrfB 1 A 2 B 3 g
¼ PrfA 1 g PrfB 2 g PrfA 3 gþPrfB 1 g PrfA 2 g PrfB 3 g
¼ 1 1 1
þ 1
1 1
¼ 5
2 3 2 3 2 3 36
Pr{B gane por lo menos un partido} = 1 − Pr{B no gane ningún partido}
¼ 1 Prf B 1
B 2
B 3 g¼1 Prf B 1 g Prf B 2 g Prf B 3 g
¼ 1
2 2 2
¼ 19
3 3 3 27
DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD
6.10 Encontrar la probabilidad de que haya niños o niñas en familias con tres hijos, suponiendo probabilidades
iguales para niños que para niñas.
SOLUCIÓN
Sea B = el evento “niño en la familia” y G = el evento “niña en la familia”. De acuerdo con la suposición de probabilidades
iguales, PrfBg ¼PrfGg ¼ 1 2
. En las familias con tres hijos pueden presentarse los siguientes eventos mutuamente
excluyentes con las probabilidades que se indican.
a) Tres niños (BBB):
PrfBBBg ¼PrfBg PrfBg PrfBg ¼ 1 8
Aquí se supone que el que nazca un niño no está influenciado de manera alguna porque el hijo anterior haya sido
también niño, es decir, se supone que los eventos son independientes.
b) Tres niñas (GGG): Como en el inciso a) o por simetría,
PrfGGGg ¼ 1 8
c) Dos niños y una niña (BBG + BGB + GBB):
PrfBBG þ BGB þ GBBg ¼PrfBBGgþPrfBGBgþPrfGBBg
¼ PrfBg PrfBg PrfGgþPrfBg PrfGg PrfBgþPrfGg PrfBg PrfBg
¼ 1 8 þ 1 8 þ 1 8 ¼ 3 8
d ) Dos niñas y un niño (GGB + GBG + BGG): como en el inciso c) o por simetría, la probabilidad es 3/8.
Si X denota la variable aleatoria que indica la cantidad de niños en una familia con tres hijos, la distribución de
probabilidad es la que se muestra en la tabla 6.2.
PROBLEMAS RESUELTOS 153
Tabla 6.2
Cantidad de niños (hombres) X 0 1 2 3
Probabilidad p(X ) 1/8 3/8 3/8 1/8
6.11 Graficar la distribución del problema 6.10.
SOLUCIÓN
La gráfica puede representarse ya sea como en la figura 6.7 o como en la figura 6.8. Obsérvese que en la figura 6.8 la suma
de las áreas de los rectángulos es 1; en esta figura llamada histograma de probabilidad, X es considerada como una variable
continua, aunque en realidad sea discreta, procedimiento que suele resultar útil. Por otro lado, la figura 6.7 se emplea cuando
no se desea considerar a la variable como variable continua.
0.400
0.350
Probabilidad
0.300
0.250
0.200
0.150
0.100
0 1 2
3
Niños
Figura 6-7 SPSS, gráfica de la distribución de probabilidad.
40
30
Porcentaje
20
10
0
0
1
2
3
Niños
Figura 6-8 MINITAB, histograma de probabilidad.
154 CAPÍTULO 6 TEORÍA ELEMENTAL DE LA PROBABILIDAD
6.12 Una variable aleatoria continua X, que toma valores sólo entre 0 y 5, tiene una función de probabilidad dada
por p(X )= 0.2, 0 < X < 5 . La gráfica se muestra en la figura 6.9.
0, si no es así
a) Verificar que es una función de densidad.
0.25
0.2
p(X )
0.15
0.1
0.05
0
0 1 2 3 4 5 6
X
Figura 6-9 Función de densidad de probabilidad para la variable X.
b) Encontrar y graficar Pr{2.5 < X < 4.0}.
SOLUCIÓN
a) La función p(X ) es siempre ≥ 0 y el área total bajo la gráfica de p(X ) es 5 × 0.2 = 1, ya que tiene forma rectangular
con 0.2 de ancho y 5 de largo (ver figura 6-9).
b) La probabilidad Pr{2.5 < X < 4.0} se muestra en la figura 6.10.
0.250
0.225
p (X )
0.200
0.175
0.150
0
1
2
3
4
5
X
Figura 6-10 La probabilidad Pr{2.5 < X < 4.0} aparece como un área sombreada.
El área rectangular, Pr{2.5 < X < 4.0} es (4 − 2.5) × 0.2 = 0.3.
PROBLEMAS RESUELTOS 155
ESPERANZA MATEMÁTICA
6.13 Se compra un boleto para una rifa con el que se puede ganar $5 000 como primer premio o $2 000 como segundo
premio, siendo las probabilidades 0.001 y 0.003, respectivamente. ¿Cuál sería el precio justo a pagar por un
boleto?
SOLUCIÓN
La esperanza es ($5 000)(0.001) + ($2 000)(0.003) = $5 + $6 = $11, que es el precio justo a pagar.
6.14 En una inversión de negocios hay una probabilidad de 0.6 de obtener como ganancia $300 y una probabilidad
de 0.4 de perder $100. Determinar la esperanza.
SOLUCIÓN
La esperanza es ($300)(0.6) + (−$100)(0.4) = $180 − $40 = $140.
6.15 Encontrar: a) E(X ), b) E(X 2 ) y c) E½ðX XÞ 2 ÞŠ, para la distribución de probabilidad que se muestra en la tabla
6.3.
d ) Emplear EXCEL para dar la solución de los incisos a), b) y c).
Tabla 6.3
X 8 12 16 20 24
p(X ) 1/8 1/6 3/8 1/4 1/12
SOLUCIÓN
a) EðXÞ ¼ P XpðXÞ ¼ð8Þð 1 8 Þþð12Þð1 6 Þþð16Þð3 8 Þþð20Þð1 4 Þþð24Þð 1
12Þ¼16; lo que representa la media de la distribución.
b) EðX 2 Þ¼ P X 2 pðXÞ ¼ð8Þ 2 ð 1 8 Þþð12Þ2 ð 1 6 Þþð16Þ2 ð 3 8 Þþð20Þ2 ð 1 4 Þþð24Þ2 ð 1
12Þ¼276; lo que representa el segundo
momento respecto al origen cero.
c) E½ðX XÞ 2 Š¼ P ½ð Þ Š
ðX XÞ 2 pðXÞ ¼ð8 16Þ 2 ð 1 8 Þþð12 16Þ2 ð 1 6 Þþð16 16Þ2 ð 3 8 Þþð20 16Þ2 ð 1 4 Þþ ð24 16Þ 2 ð 1 12 Þ
2 1
= 20; lo que representa la varianza de la distribución.
d ) En A1:E1 se ingresan los títulos, como se muestra. Los valores de X y los valores de probabilidad se ingresan en A2:
B6. Los valores esperados de X se calculan en C2:C7. El valor esperado se da en C7. El segundo momento respecto
al origen se calcula en D2:D7. El segundo momento aparece en D7. La varianza se calcula en E2:E7. La varianza se
da en E7.
A B C D E
X P(X) Xp(X) X^2p(X) (X E(X))^2*p(X)
8 0.125 1 8 8
12 0.166667 2 24 2.666666667
16 0.375 6 96 0
20 0.25 5 100 4
24 0.083333 2 48 5.333333333
16 276 20
6.16 Una bolsa contiene 2 pelotas blancas y 3 pelotas negras. Cada una de cuatro personas, A, B, C y D, en este
orden, extrae una pelota y no la devuelve a la bolsa. La primera que extraiga una pelota blanca recibirá $10.
Determinar las esperanzas de A, B, C y D.
156 CAPÍTULO 6 TEORÍA ELEMENTAL DE LA PROBABILIDAD
SOLUCIÓN
Como sólo hay 3 pelotas negras, alguna de las personas deberá ganar en el primer intento. Sean A, B, C y D los eventos “A
gana”, “B gana”, “C gana” y “D gana”, respectivamente.
Por lo tanto, la esperanza de A ¼ 2 5
ð$10Þ ¼$4.
Pr{A gane} ¼ PrfAg ¼ 2
3 þ 2 ¼ 2 5
Pr{A pierda y B gane} ¼ Prf ABg ¼Prf Ag PrfBj Ag ¼ 3 5
2
4
¼ 3
10
Por lo tanto, la esperanza de B = $3.
2 2
4 3
Pr{A y B pierdan y C gane} ¼ Prf A BCg ¼Prf Ag Prf Bj Ag PrfC A Bg ¼ 3 5
¼ 1 5
Por lo tanto, la esperanza de C = $2.
Pr{A, B y C pierdan y D gane} ¼ Prf A B C Dg
Por lo tanto, la esperanza de D = $1.
Comprobación: $4 + $3 + $2 + $1 = $10 y 2 5 þ 3
10 þ 1 5 þ 1 10 ¼ 1.
¼ Prf Ag Prf Bj Ag Prf Cj A Bg PrfDj A B Cg
¼ 3
2 1 1
¼ 1 5 4 3 1 10
PERMUTACIONES
6.17 ¿De cuántas maneras se pueden acomodar en línea 5 canicas de colores diferentes?
SOLUCIÓN
Hay que ordenar las cinco canicas en cinco posiciones: − − − − −. La primera posición puede ser ocupada por cualquiera
de las 5 canicas (es decir, hay 5 maneras de ocupar la primera posición). Hecho esto, hay 4 maneras de ocupar la segunda
posición; a continuación hay 3 maneras de ocupar la tercera posición; 2 maneras de ocupar la cuarta posición y, por último,
sólo una manera de ocupar la última posición. Por lo tanto:
En general,
Número de maneras en que se pueden colocar las cinco canicas en línea = 5 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1 = 5! = 120
Número de maneras en las que se pueden colocar n objetos diferentes en línea = n(n − 1)(n − 2) ⋅ ⋅ ⋅ 1 = n!
A esto se le conoce como el número de permutaciones de n objetos diferentes tomados de n en n y se denota n P n .
6.18 ¿De cuántas maneras se pueden sentar 10 personas en una banca en la que sólo hay 4 asientos disponibles?
SOLUCIÓN
Hay 10 maneras de ocupar el primer asiento; hecho esto, hay 9 maneras de ocupar el segundo asiento; 8 maneras de ocupar
el tercer asiento, y 7 maneras de ocupar el cuarto asiento. Por lo tanto:
En general,
Número de ordenaciones de 10 personas tomadas de 4 en 4 = 10 ⋅ 9 ⋅ 8 ⋅ 7 = 5 040
Número de ordenaciones de n objetos diferentes tomados de r en r = n(n − 1) ⋅ ⋅ ⋅ (n − r + 1)
PROBLEMAS RESUELTOS 157
A esto también se le conoce como el número de permutaciones de n objetos diferentes tomados de r en r y se denota n P r ,
P(n, r) o P n,r . Obsérvese que cuando r = n, n P n = n!, como en el problema 6.17.
6.19 Evaluar: a) 8 P 3 , b) 6 P 4 , c) 15 P 1 y 3 P 3 , y e) los incisos del a) al d ) empleando EXCEL.
SOLUCIÓN
a) 8P 3 = 8 · 7 · 6 = 336, b) 6 P 4 = 6 · 5 · 4 · 3 = 360, c) 15 P 1 = 15, y d ) 3 P 3 = 3 · 2 · 1 = 6
e) =PERMUTACIONES(8, 3) = 336 =PERMUTACIONES(6, 4) = 360
=PERMUTACIONES(15, 1) = 15 =PERMUTACIONES(3, 3) = 6
6.20 Se desea sentar en hilera a 5 hombres y 4 mujeres de manera que las mujeres ocupen los lugares pares. ¿De
cuántas maneras es posible hacer esto?
SOLUCIÓN
Los hombres se pueden sentar de 5 P 5 maneras y las mujeres de 4 P 4 maneras. A cada acomodo de los hombres se le puede
hacer corresponder un acomodo de las mujeres. Por lo tanto, la cantidad de acomodos es 5 P 5 · 4 P 4 = 5!4! = (120)(24) =
2 880.
6.21 ¿Cuántos números de cuatro dígitos se pueden formar con los 10 dígitos 0, 1, 2, 3, . . . , 9, si: a) puede haber
repeticiones, b) no puede haber repeticiones y c) no puede haber repeticiones y el último dígito debe ser
cero?
SOLUCIÓN
a) El primer dígito puede ser cualquiera de 9 dígitos (ya que no puede ser 0). El segundo, tercero y cuarto dígitos pueden
ser uno cualquiera de 10. Entonces, se pueden formar 9 ⋅ 10 ⋅ 10 ⋅ 10 = 9 000 números.
b) El primer dígito puede ser cualquiera de 9 dígitos (cualquiera menos el 0).
El segundo dígito puede ser cualquiera de 9 dígitos (cualquiera menos el usado como primer dígito).
El tercer dígito puede ser cualquiera de 8 dígitos (cualquiera menos los usados como los dos primeros dígitos).
El cuarto dígito puede ser cualquiera de 7 dígitos (cualquiera menos los usados como los primeros tres dígitos).
De manera que se pueden formar 9 ⋅ 9 ⋅ 8 ⋅ 7 = 4 536 números.
Otro método
El primer dígito puede ser uno cualquiera de 9 dígitos y los tres restantes se pueden escoger de 9 P 3 maneras. Por lo
tanto, se pueden formar 9 ⋅ 9 P 3 = 9 ⋅ 9 ⋅ 8 ⋅ 7 = 4 536 números.
c) El primer dígito se puede formar de 9 maneras, el segundo de 8 maneras y el tercero de 7 maneras. Por lo tanto, se
pueden formar 9 ⋅ 8 ⋅ 7 = 504 números.
Otro método
El primer dígito se puede formar de 9 maneras y los siguientes dos dígitos en 9 P 2 maneras. Por lo tanto, se pueden
encontrar 9 ⋅ 8 P 2 = 9 ⋅ 8 ⋅ 7 = 504 números.
6.22 En un librero se van a acomodar cuatro libros diferentes de matemáticas, 6 libros diferentes de física y 2 libros
diferentes de química. ¿Cuántos son los acomodos posibles si: a) los libros de cada materia tienen que estar
juntos y b) sólo los libros de matemáticas tienen que estar juntos?
SOLUCIÓN
a) Los libros de matemáticas se pueden ordenar entre ellos de 4 P 4 = 4! maneras, los libros de física de 6 P 6 = 6! maneras,
los libros de química de 2 P 2 = 2! maneras y los tres grupos de 3 P 3 = 3! maneras. Por lo tanto, el número de acomodos
que se busca es = 4! 6! 2! 3! = 207 360.
158 CAPÍTULO 6 TEORÍA ELEMENTAL DE LA PROBABILIDAD
b) Considere a los 4 libros de matemáticas como un solo libro. Entonces se tienen 9 libros que se pueden acomodar
de 9 P 9 = 9! maneras. En todas estas maneras, los libros de matemáticas están juntos. Pero los libros de matemáticas,
entre ellos, se pueden acomodar de 4 P 4 = 4! maneras. Por lo tanto, el número de acomodos buscado es = 9! 4! =
8 709 120.
6.23 Cinco canicas rojas, 2 canicas blancas y 3 azules están ordenadas en línea. Si las canicas de un mismo color no
se distinguen unas de otras, ¿cuántas ordenaciones distintas se pueden tener? Para evaluar esta expresión usar
la función de EXCEL definida como =MULTINOMIAL.
SOLUCIÓN
Supóngase que existen P ordenaciones diferentes. Multiplicando P por el número de maneras en las que se pueden ordenar:
a) las 5 canicas rojas entre sí, b) las 2 canicas blancas entre sí y c) las 3 canicas azules entre sí (es decir, multiplicando P
por 5! 2! 3!), se obtiene el número de maneras en que se pueden ordenar las 10 canicas si son distinguibles (es decir, 10!).
Por lo tanto,
(5!2!3!)P = 10! y P ¼ 10!
5!2!3!
En general, el número de ordenaciones de n objetos de los cuales n 1 son iguales, n 2 son iguales, . . . , n k son iguales es
n!
n 1 !n 2 ! n k !
donde n 1 + n 2 + . . . + n k = n.
Con la función de EXCEL definida como =MULTINOMIAL(5,2,3) se obtiene 2 520.
6.24 ¿De cuántas maneras pueden sentarse 7 personas a una mesa redonda si: a) las 7 se pueden sentar en cualquier
lugar y b) 2 determinadas personas no pueden sentarse juntas?
SOLUCIÓN
a) Se escoge una de las personas para sentarla en cualquier lugar. Entonces, las 6 personas restantes se pueden sentar de
6! = 720 maneras, que es el total de maneras de acomodar a 7 personas en una mesa redonda.
b) Considérese como una sola persona a las dos personas que no se pueden sentar juntas. Entonces, quedan 6 personas
en total que se pueden acomodar de 5! maneras. Pero las dos personas consideradas como una sola, entre ellas, se
pueden acomodar de 2! maneras. Por lo tanto, la cantidad de maneras en que se pueden acomodar 6 personas en una
mesa redonda sentando 2 personas juntas es 5!2! = 240.
Entonces, empleando el inciso a), el total de maneras en las que 7 personas se pueden sentar a una mesa redonda,
de manera que 2 determinadas personas no se sienten juntas = 720 − 240 = 480 maneras.
COMBINACIONES
6.25 ¿De cuántas maneras pueden colocarse 10 objetos en dos grupos, uno de 4 y otro de 6 objetos?
SOLUCIÓN
Esto es lo mismo que el número de ordenaciones de 10 objetos de los cuales 4 son iguales entre sí y 6 son iguales entre sí.
De acuerdo con el problema 6.23, esto es
10!
4!6! ¼ 10 9 8 7 ¼ 210
4!
Este problema es equivalente a hallar de cuántas maneras se pueden tomar 4 de 10 objetos (o bien 6 de 10 objetos)
sin importar el orden.
En general, el número de maneras en que se pueden seleccionar r de n objetos, a lo que se le llama el número de
combinaciones de n cosas tomadas de r en r, se denota ð n rÞ y está dado por
n
r
n!
¼
r!ðn rÞ!
¼
nðn 1Þðn r þ 1Þ
r!
¼ n P r
r!
PROBLEMAS RESUELTOS 159
6.26 Evaluar: a) ( 7 4 ), b) (6 5 ), c) (4 4
) y d ) evaluar los incisos del a) al c) empleando EXCEL.
SOLUCIÓN
a)
b)
7
¼ 7!
4 4! 3! ¼ 7 6 5 4
4!
6
¼ 6!
5 5! 1! ¼ 6 5 4 3 2 ¼ 6 o bien
5!
¼ 7 6 5
3 2 1 ¼ 35
6
¼ 6 ¼ 6
5 1
c) ( 4 4 ) es el número de maneras en que se pueden tomar todos los cuatro objetos, y sólo hay una manera, por lo que (4 4 )
= 1. Obsérvese que formalmente
4
¼ 4!
4 4! 0! ¼ 1
si definimos 0! = 1.
d ) =COMBIN(7, 4) da 35, =COMBIN(6, 5) da 6 y =COMBIN(4, 4) da 1.
6.27 ¿De cuántas maneras puede formarse de un grupo de 9 personas un comité de 5 personas?
SOLUCIÓN
9
¼ 9!
5 5! 4! ¼ 9 8 7 6 5
5!
¼ 126
6.28 Con 5 matemáticos y 7 físicos hay que formar un comité que conste de 2 matemáticos y 3 físicos. ¿De cuántas
maneras se puede formar este comité si: a) puede incluirse a cualquiera de los matemáticos y a cualquiera de
los físicos, b) hay uno de los físicos que tiene que formar parte del comité y c) hay dos de los matemáticos que
no pueden formar parte del comité?
SOLUCIÓN
a) Dos matemáticos de 5 se pueden seleccionar de ( 5 2 ) formas y 3 físicos de 7 se pueden seleccionar de (7 3
) formas. Así que
las maneras en que se puede seleccionar el comité son
5 7
¼ 10 35 ¼ 350
2 3
b) Dos matemáticos de 5 se pueden seleccionar de ( 5 2 ) maneras y 2 físicos de 6 se pueden seleccionar de (6 2
) maneras. Así
que las maneras en que se puede seleccionar el comité son
5 6
¼ 10 15 ¼ 150
2 2
c) Dos matemáticos de 3 se pueden seleccionar de ( 3 2 ) maneras y 3 físicos de 7 se pueden seleccionar de (7 3
) maneras. Así
que las maneras en que se puede seleccionar el comité son
3 7
¼ 3 35 ¼ 105
2 3
6.29 Una niña tiene 5 flores que son todas distintas. ¿Cuántos ramos puede formar?
SOLUCIÓN
Cada flor puede tratarse de dos maneras; puede ser elegida para el ramo o puede no ser elegida para el ramo. Como a cada
una de estas dos maneras de tratar a la flor le corresponden 2 maneras de tratar a cada una de las otras flores, el número de
maneras en que se puede tratar a las 5 flores es = 2 5 . Pero estas 2 5 maneras comprenden el caso en que no se elija ninguna
de las flores. Por lo tanto, la cantidad de ramos que pueden formarse es = 2 5 − 1 = 31.
160 CAPÍTULO 6 TEORÍA ELEMENTAL DE LA PROBABILIDAD
Otro método
La niña puede elegir 1 de 5 flores, 2 de 5 flores, ..., 5 de 5 flores. Por lo tanto, el número de ramos que puede formar es
5
þ 5
þ 5
þ 5
þ 5 ¼ 5 þ 10 þ 10 þ 5 þ 1 ¼ 31
1 2 3 4 5
En general, para todo número entero positivo n,
n
þ n
þ n
þþ
n
¼ 2 n 1
1 2 3 n
6.30 Con 7 consonantes y 5 vocales ¿cuántas palabras con 4 consonantes distintas y 3 vocales distintas pueden
formarse? No importa que las palabras no tengan significado.
SOLUCIÓN
Las cuatro consonantes distintas pueden elegirse de ( 7 4 ) maneras, las tres vocales distintas pueden elegirse de (5 3 ) maneras, y
estas 7 letras (4 consonantes y 3 vocales) pueden ordenarse de 7 P 7 = 7! maneras. Por lo tanto, el número de palabras es
7 5
7! ¼ 35 10 5 040 = 1 764 000
4 3
APROXIMACIÓN DE STIRLING PARA n!
6.31 Evaluar 50!
SOLUCIÓN
p
Cuando n es grande se tiene n!
ffiffiffiffiffiffiffiffi
2n n n e n ; por lo tanto,
p
50! ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
2ð50Þ50 50 e 50 ¼ S
Para evaluar S se usan logaritmos base 10. Por lo tanto,
pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
log S ¼ log ð 10050 50 e 50 Þ¼ 1 2 log 100 þ 1 2
log þ 50 log 50 50 log e
¼ 1 2 log 100 þ 1 2
log 3:142 þ 50 log 50 50 log 2:718
¼ 1 2 ð2Þþ1 2
ð0:4972Þþ50ð1:6990Þ 50ð0:4343Þ ¼64:4846
de lo que se encuentra que S = 3.05 × 10 64 , número que tiene 65 dígitos.
PROBABILIDAD Y ANÁLISIS COMBINATORIO
6.32 Una caja contiene 8 pelotas rojas, 3 blancas y 9 azules. Si se extraen 3 pelotas en forma aleatoria, determinar
la probabilidad de que: a) las 3 sean rojas, b) las 3 sean blancas, c) 2 sean rojas y 1 sea blanca, d ) por lo menos
1 sea blanca, e) se extraiga una de cada color y f ) se extraigan en el orden roja, blanca, azul.
SOLUCIÓN
a) Primer método
Sean R 1 , R 2 y R 3 los eventos “pelota roja en la primera extracción”, “pelota roja en la segunda extracción”, “pelota roja
en la tercera extracción”, respectivamente. Entonces R 1 R 2 R 3 denota el evento de que las tres pelotas extraídas sean
rojas.
PrfR 1 R 2 R 3 g¼PrfR 1 g PrfR 2 jR 1 g PrfR 3 jR 1 R 2 g¼ 8
7 6
¼ 14
20 19 18 285
PROBLEMAS RESUELTOS 161
Segundo método
maneras de seleccionar 3 de 8 pelotas rojas
Probabilidad buscada
maneras de seleccionar 3 de 20 pelotas
b) Empleando el segundo método del inciso a),
8
3
20
3
14
285
Pr{las 3 sean blancas} =
También se puede usar el primer método del inciso a)
3
3
20
3
= 1
1 140
c) Pr{2 sean rojas y 1 sea blanca}
maneras de seleccionar maneras de seleccionar
2 de 8 pelotas rojas 1 de 3 pelotas blancas
maneras de seleccionar 3 de 20 pelotas
8
2
20
3
3
1
7 95
d ) Pr{ninguna sea blanca} =
17
3
20
3
= 34
57
de manera que Pr{por lo menos 1 sea blanca} = 1
34
57 = 23
57
e) Pr{1 de cada color} =
8
1
3
1
20
3
9
1
= 18
95
f )
Empleando el inciso e),
Otro método
Pr{ extraer las pelotas en el orden rojo, blanco, azul} = 1 3! Pr{ 1 de cada color} = 1 6
18
95
= 3 95
Pr{R 1 W 2 B 2 } Pr{R 1 } Pr{W 2 |R 1 } Pr{B 3 |R 1 W 2 } = 8
20
3
19
9
18 = 3
95
6.33 De una baraja de 52 cartas bien barajadas se extraen 5 cartas. Encontrar la probabilidad de que: a) 4 sean ases;
b) 4 sean ases y 1 sea rey; c) 3 sean dieces y 2 sean sotas; d ) sean 9, 10, sota, reina y rey en cualquier orden;
e) 3 sean de un palo y 2 de otro palo, y f ) se obtenga por lo menos 1 as.
SOLUCIÓN
a) Pr{4 ases} = 4 4
48
1
52
5
= 1
54 145
b) Pr{4 ases y 1 rey} = 4 4
4
1
52
5
1
=
649 740
162 CAPÍTULO 6 TEORÍA ELEMENTAL DE LA PROBABILIDAD
c) Pr {3 sean dieces y 2 sean sotas} = 4 3
4
2
52
5
1
=
108 290
d ) Pr{sean 9, 10, sota, reina y rey en cualquier orden} =
4
1
4
1
4
1
52
5
4
1
4
1
= 64
162 435
e) Como hay 4 maneras de elegir el primer palo y 3 maneras de elegir el segundo palo,
4 13
3
Pr{3 sean de un palo y 2 de otro palo} =
3 13
2
52
5
= 429
4 165
f ) Pr {ningún as} =
48
5
52
5
35 673
=
54 145
y Pr{por lo menos 1 as} = 1
35 673 18 482
=
54 145 54 145
6.34 Determinar la probabilidad de tener 3 seises en cinco lanzamientos de un dado.
SOLUCIÓN
Los lanzamientos del dado se representarán por 5 espacios: − − − − −. En cada espacio se tendrá el evento 6 o el evento
no-6 (6); por ejemplo se pueden tener tres 6 y dos no-6 en esta forma 6 6666 o en esta forma 6 6666, etcétera.
Ahora la probabilidad de un evento, como, por ejemplo, 6 6666 es
Pr{66666} = Pr{6} Pr{6} Pr{6} Pr{6} Pr{6} = 1 6
1
6
5
6
1
6
5
6 = 1 6
3
5
6
2
De igual manera, Pr {6 6666} =( 1 6 )3 ( 5 6 )2 , etc., para todos los eventos en los que hay tres 6 y dos no-6. Pero de estos eventos
hay ( 5 3
)=10 y estos eventos son mutuamente excluyentes; por lo tanto, la probabilidad buscada es
Pr{66666 o 6 666 6 o etc.} = 5 3
1
6
3
5
6
2
= 125
3 888
En general si q = Pr{E} y q = Pr{E}, entonces empleando el razonamiento anterior, la probabilidad de en N ensayos
obtener exactamente X veces E es ( N X )pX q N X .
6.35 En una fábrica se encuentra que en promedio 20% de los tornillos producidos con una máquina están defectuosos.
Si se toman aleatoriamente 10 tornillos producidos con esta máquina en un día, encontrar la probabilidad
de que: a) exactamente 2 estén defectuosos, b) 2 o más estén defectuosos y c) más de 5 estén defectuosos.
SOLUCIÓN
a) Empleando un razonamiento similar al empleado en el problema 6.34,
Pr{2 tornillos defectuosos} = 10 2 (0.2)2 (0.8) 8 = 45(0.04)(0.1678) =0.3020
b) Pr{2 o más tornillos defectuosos} = 1 − Pr{0 tornillos defectuosos} − Pr{1 tornillo defectuoso}
= 1
10
0 (0.2)0 (0.8) 10 10
1 (0.2)1 (0.8) 9
= 1 0.8) 10 10(0.2)(0.8) 9
= 1 0.1074 0.2684 = 0.6242
PROBLEMAS RESUELTOS 163
c) Pr{más de 5 tornillos defectuosos} = Pr{6 tornillos defectuosos} + Pr{7 tornillos defectuosos}
+ Pr{8 tornillos defectuosos} + Pr{9 tornillos defectuosos}
+ Pr{10 tornillos defectuosos}
= 10
6 (0.2)6 (0.8) 4 + 10
7 (0.2)7 (0.8) 3 + 10
8 (0.2)8 (0.8) 2
+ 10 9 (0.2)9 (0.8)+ 10
10 (0.2)10
= 0.00637
6.36 Si en el problema 6.35 se tomaron 1 000 muestras de 10 tornillos cada una, ¿en cuántas de estas muestras se
espera encontrar: a) exactamente 2 tornillos defectuosos, b) 2 o más tornillos defectuosos y c) más de 5 tornillos
defectuosos?
SOLUCIÓN
a) La cantidad esperada es = (1 000)(0.3020) = 302, de acuerdo con el problema 6.35a).
b) La cantidad esperada es = (1 000)(0.6242) = 624, de acuerdo con el problema 6.35b).
c) La cantidad esperada es = (1 000)(0.00637) = 6, de acuerdo con el problema 6.35c).
DIAGRAMAS DE EULER O DE VENN Y PROBABILIDAD
6.37 En la figura 6.11 se muestra cómo representar el espacio muestral de cuatro lanzamientos de una moneda y los
eventos E 1 , obtener exactamente dos caras y dos cruces, y E 2 , obtener lo mismo en el primero y en el último
lanzamiento. Ésta es una manera de representar diagramas de Venn y eventos en una hoja de cálculo.
h
h
h
h
h
h
h
h
t
t
t
t
t
t
t
t
espacio muestras evento E1 evento E2
h h h
Y
h h t
h t h
Y
h t t
X
t h h
Y
t h t
X
t t h
X
Y
t t t
h h h
h h t
X
Y
h t h
X
h t t
Y
t h h
X
t h t
Y
t t h
t t t
Y
Figura 6-11 EXCEL, representación del espacio muestral y de los eventos E 1 y E 2 .
Debajo de E 1 se han marcado con una X los casos en los que se da el evento E 1 y debajo de E 2 se han
marcado con una Y los casos en los que se da el evento E 2 .
a) Dar los casos que pertenecen a E 1 E 2 y E 1 E 2 .
b) Dar las probabilidades Pr{E 1 E 2 } y Pr{E 1 E 2 }.
SOLUCIÓN
a) Los casos que pertenecen a E 1 E 2 son los que tienen X y Y. Por lo tanto, E 1 E 2 consta de los casos htth y thht. Los
casos que pertenecen a E 1 E 2 son los que tienen X, Y o X y Y. Los casos que pertenecen a E 1 E 2 son: hhhh, hhth,
hhtt, hthh, htht, htth, thht, thth, thtt, tthh, ttht y tttt.
b) Pr{E 1 E 2 } = 2/16 = 1/8 o 0.125. Pr{E 1 E 2 } = 12/16 = 3/4 o 0.75.
164 CAPÍTULO 6 TEORÍA ELEMENTAL DE LA PROBABILIDAD
6.38 Usando un espacio muestral y diagramas de Venn, mostrar que
a) PrfA [ Bg ¼PrfAgþPrfBg PrfA \ Bg
b) PrfA [ B [ Cg ¼PrfAgþPrfBgþPrfCg PrfA \ Bg PrfB \ Cg
PrfA \ CgþPrfA \ B \ Cg
SOLUCIÓN
a) La unión no mutuamente excluyente A B se puede expresar como la unión mutuamente excluyente de A \ B, B \ A,
y A B.
A
B
A∩B
B∩A
A∩B
S
Figura 6-12 Una unión expresada como unión disyunta.
PrfA [ Bg ¼PrfA \ BgþPrfB \ AgþPrfA \ Bg
Ahora en el lado derecho de la ecuación se suma y se resta Pr{A B}.
PrfA [ Bg ¼PrfA \ BÞþPrfB \ AgþPrfA \ Bgþ½PrfA \ Bg PrfA \ BgŠ
Reordenando esta ecuación de la manera siguiente:
PrfA [ Bg ¼½PrfA \ BÞþPrfA \ BgŠþ½PrfB \ AgþPrfA \ BgŠ PrfA \ Bg
PrfA [ Bg ¼PrfAgþPrfBg PrfA \ Bg
b) En la figura 6-13, el evento A está compuesto por las regiones 1, 2, 3 y 6, el evento B está compuesto por las regiones
1, 3, 4 y 7, y el evento C está compuesto por las regiones 1, 2, 4 y 5.
8
A
3
6 7
2 1 4
B
5
C
S
Figura 6-13 La unión no mutuamente excluyente de tres eventos, A B C.
El espacio muestral de la figura 6-13 está formado por 8 regiones mutuamente excluyentes. Estas 8 regiones se
describen como sigue: la región 1 es A B C, la región 2 es A C B, la región 3 es A B C, la región 4 es
A C B, la región 5 es A C B, la región 6 es A C B, la región 7 es A C B y la región 8 es A C
B.
La probabilidad Pr{ A B C} se expresa como la probabilidad de las 7 regiones mutuamente excluyentes
que forman A B C, como sigue:
Pr{A ∩ B ∩ C} + Pr{A ∩ C ∩ B} + Pr{A ∩ B ∩ C} + Pr{A ∩ C ∩ B}
+ Pr{ A ∩C ∩ B} + Pr{A ∩ C ∩ B} + Pr{A ∩ C ∩ B}
PROBLEMAS RESUELTOS 165
Cada parte de esta ecuación puede reescribirse y toda completa simplificarse para obtener:
PrfA [ B [ Cg ¼PrfAgþPrfBgþPrfCg PrfA \ Bg PrfB \ Cg PrfA \ CgþPrfA \ B \ Cg
Por ejemplo, Prf A \ C \ Bg puede expresarse como
PrfCg PrfA \ Cg PrfB \ CgþPrfA \ B \ Cg
6.39 En una entrevista a 500 adultos se les hizo una pregunta que constaba de tres partes: 1) ¿Tiene usted teléfono
celular? 2) ¿Tiene un ipod? 3) ¿Tiene conexión a Internet? Los resultados se presentan a continuación (ninguno
contestó que no a todas las preguntas).
Teléfono celular 329 teléfono celular e ipod 83
ipod 186 teléfono celular y conexión a Internet 217
conexión a Internet 295 ipod y conexión a Internet 63
Dar la probabilidad de los eventos siguientes:
a) que conteste sí a todas las preguntas, b) que tenga teléfono celular, pero no conexión a Internet, c) que
tenga ipod, pero no teléfono celular, d ) que tenga conexión a Internet, pero no ipod e) que tenga teléfono
celular o conexión a Internet pero no ipod y g) que tenga teléfono celular, pero no ipod o conexión a
Internet.
SOLUCIÓN
El evento A es que el entrevistado tenga teléfono celular, el evento B es que el entrevistado tenga ipod y el evento C es que
el entrevistado tenga conexión a Internet.
8
teléfono
celular
3
6 7
2 1 4
ipod
5
conexión a Internet
Figura. 6-14 Diagrama de Ven para el problema 6.39.
a) La probabilidad de que todos estén en la unión es 1, ya que ninguno respondió no a las tres partes. Pr{A B C}
está dada por la expresión siguiente:
PrfAgþPrfBgþPrfCg PrfA \ Bg PrfB \ Cg PrfA \ CgþPrfA \ B \ Cg
1 ¼ 329=500 þ 186=500 þ 295=500 83=500 63=500 217=500 þ PrfA \ B \ Cg
Despejando Pr{A B C}, se obtiene 1 − 447/500 o bien 53/500 = 0.106.
Antes de responder los demás incisos conviene llenar las regiones de la figura 6-14, como se muestra en la figura 6-15.
La cantidad correspondiente a la región 2 es la cantidad en la región A C menos la cantidad en la región 1 o bien
217 − 53 = 164. La cantidad correspondiente a la región 3 es la cantidad en la región A B menos la cantidad en la
región 1 o bien 83 − 53 = 30. La cantidad en la región 4 es la cantidad correspondiente a la región B C menos el
número en la región 1 o bien 63 − 53 = 10. La cantidad correspondiente a la región 5 es la cantidad en la región C
menos la cantidad en las regiones 1, 2 y 4 o bien 295 − 53 − 164 − 10 = 68. La cantidad correspondiente a la región
6 es la cantidad en la región A menos la cantidad en las regiones 1, 2 y 3 o bien 329 − 53 − 164 − 30 = 82. La cantidad
correspondiente a la región 7 es 186 − 53 − 30 − 10 = 93.
166 CAPÍTULO 6 TEORÍA ELEMENTAL DE LA PROBABILIDAD
8
Teléfono
celular
3
6 7
2 1 4
5
conexión a Internet
ipod
Región número
1
2
3
4
5
6
7
Total
53
164
30
10
68
82
93
500
Figura 6-15 A, B y C divididas en regiones mutuamente excluyentes.
b) regiones 3 y 6 o bien 30 + 82 = 112 y la probabilidad es 112/500 = 0.224.
c) regiones 4 y 7 o bien 10 + 93 = 103 y la probabilidad es 103/500 = 0.206.
d ) regiones 2 y 5 o bien 164 + 68 = 232 y la probabilidad es 232/500 = 0.464.
e) regiones 2, 5 o bien 6 o bien 164 + 82 = 314 y la probabilidad es 314/500 = 0.628.
f ) región 6 u 82 y la probabilidad es 82/500 = 0.164.
PROBLEMAS SUPLEMENTARIOS
REGLAS FUNDAMENTALES DE LA PROBABILIDAD
6.40 Determinar o estimar la probabilidad p de cada uno de los eventos siguientes:
a) Al extraer de una baraja bien barajada una sola carta, obtener rey, as, sota de tréboles o rey de diamantes.
b) Se lanzan dos dados, una sola vez, y la suma de los puntos que aparecen en ellos resulte 8.
c) Encontrar un tornillo que no esté defectuoso si de 600 tornillos examinados, 12 estuvieron defectuosos.
d ) Se lanzan dos dados una vez y la suma de los puntos resulte 7 u 11.
e) Al lanzar tres veces una moneda obtener cara por lo menos una vez.
6.41 Un experimento consiste en extraer sucesivamente tres cartas de una baraja bien barajada. Sea E 1 el evento “rey” en la
primera extracción, E 2 el evento “rey” en la segunda extracción y E 3 el evento “rey” en la tercera extracción. Exprese en
palabras el significado de:
a) Pr{E 1 E 2 } c) E 1 + E 2 e) E 1 E 2 E 3
b) Pr{E 1 + E 2 } d) Pr{E 3 |E 1 E 2 } f ) Pr{E 1 E 2 + E 2 E 3 }
6.42 De una caja que contiene 10 canicas rojas, 30 blancas, 20 azules y 15 anaranjadas, se extrae una canica. Hallar la probabilidad
de que la canica extraída sea: a) anaranjada o roja, b) ni azul ni roja, c) no azul, d ) blanca y e) roja, blanca o azul.
6.43 De la caja del problema 6.42 se extraen sucesivamente dos canicas, devolviendo a la caja cada canica después de extraída.
Encontrar la probabilidad de que: a) las dos sean blancas, b) la primera sea roja y la segunda sea blanca, c) ninguna sea
anaranjada, d ) sean rojas o blancas o las dos cosas (roja y blanca), e) la segunda no sea azul, f ) la primera sea anaranjada,
g) por lo menos una sea azul, h) cuando mucho una sea roja, i) la primera sea blanca, pero la segunda no, y f ) sólo una sea
roja.
PROBLEMAS SUPLEMENTARIOS 167
6.44 Repetir el problema 6.43, pero suponiendo que una vez extraídas las canicas no se devuelven a la caja.
6.45 Encontrar la probabilidad de que al lanzar dos veces dos dados los puntos que se obtengan sumen 7: a) en el primer lanzamiento,
b) en uno de los dos lanzamientos y c) en los dos lanzamientos.
6.46 De una baraja de 52 cartas, bien barajada, se extraen sucesivamente dos cartas. Encontrar la probabilidad de que: a) la
primera carta extraída no sea un 10 de tréboles o un as, b) la primera carta sea un as, pero la segunda no, c) por lo menos
una de las cartas sea un diamante, d ) las cartas no sean de un mismo palo, e) no más de una de las cartas sea una figura
(sota, reina o rey), f ) la segunda carta no sea una figura, y g) la segunda carta no sea una figura dado que la primera sí fue
una figura, h) las cartas sean figuras o espadas o ambas.
6.47 Una caja contiene papelillos numerados del 1 al 9. Si se extraen 3 papelillos de uno en uno, encontrar la probabilidad de
que tengan números: 1) non, par, non o 2) par, non, par.
6.48 Las oportunidades de que A gane un partido de ajedrez contra B son 3:2. Si se van a jugar 3 partidos, ¿cuáles son las posibilidades:
a) a favor de que A gane por lo menos dos de los tres partidos y b) en contra de que A pierda los dos primeros
partidos contra B?
6.49 En un monedero hay dos monedas de plata y dos monedas de cobre, en otro monedero hay cuatro monedas de plata y 3
monedas de cobre. Si se toma al azar una moneda de uno de los dos monederos, ¿cuál es la probabilidad de que sea una
moneda de plata?
6.50 La probabilidad de que en 25 años un hombre esté vivo es 3 5 y la probabilidad de que en 25 años su esposa esté viva es 2 3 .
Encontrar la probabilidad de que en 25 años: a) ambos estén vivos, b) sólo el hombre esté vivo, c) sólo la esposa esté viva
y d ) por lo menos uno esté vivo.
6.51 De 800 familias con cuatro hijos cada una, ¿qué porcentaje se espera que tenga: a) 2 niños y 2 niñas, b) por lo menos 1
niño, c) ninguna niña y d ) cuando mucho 2 niñas? Supóngase que la probabilidad de niño y de niña es la misma.
DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD
6.52 Si X es la variable aleatoria que indica la cantidad de niños en una familia con 4 hijos (ver problema 6.51): a) construir
una tabla que dé la distribución de probabilidad de X y b) representar gráficamente la distribución de probabilidad del
inciso a).
6.53 Una variable aleatoria continua que toma valores sólo entre X = 2 y X = 8, inclusive, tiene una función de densidad dada
por a(X + 3), donde a es una constante. a) Calcular a. Hallar b) Pr{3 < X < 5}, c) Pr{X ≥ 4} y d ) Pr{| X − 5| < 0.5}.
6.54 De una urna que contiene 4 canicas rojas y 6 blancas se extraen 3 canicas sin reemplazo. Si X es la variable aleatoria que
indica la cantidad de canicas rojas extraídas: a) construir una tabla que muestre la distribución de probabilidad de X, y
b) graficar la distribución.
6.55 a) Se lanzan 3 dados y X = la suma de las tres caras que caen hacia arriba. Dar la distribución de probabilidad de X.
b) Encontrar Pr{7 ≤ X ≤ 11}.
ESPERANZA MATEMÁTICA
6.56 ¿Cuál es el precio justo a pagar en un juego en el que se pueden ganar $25 con probabilidad 0.2 y $10 con probabilidad
0.4?
168 CAPÍTULO 6 TEORÍA ELEMENTAL DE LA PROBABILIDAD
6.57 Si llueve, un vendedor de paraguas gana $30 diarios. Si no, pierde $6 diarios. ¿Cuál es la esperanza si la probabilidad de
que llueva es 0.3?
6.58 A y B juegan un partido en el que lanzan una moneda 3 veces. El primero que obtiene cara, gana el partido. Si A lanza
primero la moneda y si el valor total de las apuestas es $20, ¿con cuánto deberá contribuir cada uno para que el juego sea
justo?
6.59 Dada la distribución de probabilidad de la tabla 6.4, hallar: a) E(X ), b) E(X 2 ), c) E½ðX XÞ 2 Š, d ) E(X 3 ).
Tabla 6.4
X −10 −20 30
p(X ) 1/5 3/10 1/2
6.60 Dados los datos del problema 6.54, encontrar: a) la media, b) la varianza y c) la desviación estándar de la distribución de
X e interpretar los resultados.
6.61 Una variable aleatoria toma el valor 1 con probabilidad p y el valor 0 con probabilidad q = 1 – p. Probar que: a) E(X ) = p
y b) E½ðX XÞ 2 Š¼pq.
6.62 Probar que: a) E(2X + 3) = 2E(X ) + 3 y b) E½ðX XÞ 2 Š¼EðX 2 Þ ½EðXÞŠ 2 .
6.63 En el problema 6.55, encontrar el valor esperado de X.
PERMUTACIONES
6.64 Evalar: a) 4 P 2 , b) 7 P 5 , y c) 10 P 3 . Dar la función de EXCEL para evaluar los incisos a), b) y c).
6.65 ¿Para qué valores de n es n+1 P 3 = n P 4 ?
6.66 ¿De cuántas maneras se pueden sentar 5 personas en un sofá si el sofá sólo tiene 3 asientos?
6.67 ¿De cuántas maneras pueden ordenarse 7 libros en un librero si: a) pueden ordenarse como se desee, b) hay 3 libros que
deben estar juntos y c) hay 2 libros que deben estar al final?
6.68 ¿Cuántos números de cinco dígitos diferentes pueden formarse con los dígitos 1, 2, 3, . . . , 9 si: a) el número debe ser non
y b) si los dos primeros dígitos de cada número tienen que ser pares?
6.69 Resolver el problema 6.68 si se permiten dígitos repetidos.
6.70 ¿Cuántos números de tres dígitos pueden formarse con tres 4, cuatro 2 y dos 3?
6.71 ¿De cuántas maneras pueden sentarse a una mesa redonda 3 hombres y 3 mujeres si: a) sin ninguna restricción, b) hay dos
mujeres que no pueden sentarse juntas y c) cada mujer debe estar entre dos hombres?
PROBLEMAS SUPLEMENTARIOS 169
COMBINACIONES
7 8 10
6.72 Evaluar: a) , b) y c) . Dar la función de EXCEL para evaluar los incisos a), b) y c).
3 4 8
6.73 ¿Para qué valores de n se cumple que: 3 n þ 1
¼ 7 n
?
3 2
6.74 ¿De cuántas maneras se pueden seleccionar 6 de 10 preguntas?
6.75 ¿Cuántos comités de 3 hombres y 4 mujeres pueden formarse a partir de un grupo de 8 hombres y 6 mujeres?
6.76 ¿De cuántas maneras pueden seleccionarse 2 hombres, 4 mujeres, 3 niños y 3 niñas de un grupo de 6 hombres, 8 mujeres,
4 niños y 5 niñas si: a) no hay ninguna restricción y b) hay un hombre y una mujer que tienen que seleccionarse?
6.77 ¿De cuántas maneras puede dividirse un grupo de 10 personas en: a) dos grupos de 7 y 3 personas y b) tres grupos de 4, 3,
y 2 personas?
6.78 A partir de 5 profesionales de la estadística y 6 economistas, se va a formar un grupo que conste de 3 profesionales de la
estadística y 2 economistas. ¿Cuántos comités diferentes pueden formarse si: a) no hay restricción alguna, b) hay 2 profesionales
de la estadística que deben estar en el comité y c) hay un economista que no puede formar parte del comité?
6.79 Encontrar la cantidad de: a) combinaciones y b) permutaciones de cuatro letras que pueden formarse con las letras de la
palabra Tennessee.
6.80 Probar que 1
n
þ n
1 2
n
þþð 1Þ n n
¼ 0.
3
n
APROXIMACIÓN DE STIRLING PARA n!
6.81 ¿De cuántas maneras se pueden seleccionar 30 individuos de un grupo de 100 individuos?
2n
6.82 Mostrar que para valores grandes de n ¼ 2 2n p
=
ffiffiffiffiffi n , aproximadamente.
n
PROBLEMAS MISCELÁNEOS
6.83 De una baraja de 52 cartas se extraen tres cartas. Encontrar la probabilidad de que: a) dos sean sotas y una sea rey, b) todas
sean de un mismo palo, c) todas sean de palos diferentes y d ) por lo menos dos sean ases.
6.84 Encontrar la probabilidad de que de cuatro lanzamientos de un par de dados, por lo menos en dos se obtenga como suma 7.
6.85 Si 10% de los remaches que produce una máquina están defectuosos, ¿cuál es la probabilidad de que de 5 remaches tomados
al azar: a) ninguno esté defectuoso, b) 1 esté defectuoso y c) por lo menos 2 estén defectuosos?
6.86 a) Dar un espacio muestral para los resultados de 2 lanzamientos de una moneda empleando 1 para representar “cara” y
0 para representar “cruz”.
b) A partir de este espacio muestral, determinar la probabilidad de por lo menos una cara.
c) ¿Se puede dar el espacio muestral para los resultados de tres lanzamientos de una moneda? Determinar con ayuda de
este espacio muestral la probabilidad de cuando mucho dos caras.
170 CAPÍTULO 6 TEORÍA ELEMENTAL DE LA PROBABILIDAD
6.87 En una encuesta realizada con 200 votantes, se obtuvo la información siguiente acerca de tres candidatos (A, B y C) de un
partido que competían por tres puestos diferentes:
28 a favor de A y B 122 a favor de B o C, pero no de A
98 a favor de A o B, pero no de C 64 a favor de C, pero no de A o B
42 a favor de B, pero no de A o C 14 a favor de A y C, pero no de B
¿Cuántos de los votantes estuvieron a favor de: a) los tres candidatos, b) A sin tener en cuenta a B o C, c) B sin tener en
cuenta a A o C, d ) C sin tener en cuenta a A o B, e) A y B, pero no de C, y f ) sólo uno de los candidatos?
6.88 a) Probar que para dos eventos E 1 y E 2 cualquiera, PrfE 1 þ E 2 gPrfE 1 gþPrfE 2 g.
b) Generalizar los resultados del inciso a).
6.89 Sean E 1 , E 2 y E 3 tres eventos diferentes y se sabe que por lo menos uno de ellos ha ocurrido. Supóngase que cualquiera de
estos eventos tiene como resultado otro evento A, que también se sabe que ya ha ocurrido. Si todas las probabilidades
Pr{E 1 }, Pr{E 2 }, Pr{E 3 } y Pr{A | E 1 }, Pr{A | E 2 }, Pr{A| E 3 } se suponen conocidas, probar que
PrfE 1 jAg ¼
PrfE 1 g PrfAjE 1 g
PrfE 1 g PrfAjE 1 gþPrfE 2 g PrfAjE 2 gþPrfE 3 g PrfAjE 3 g
existiendo resultados similares para Pr{E 2 | A} y Pr{E 3 | A}. Esto se conoce como regla o teorema de Bayes, y es útil para
calcular las probabilidades de diversos E 1 , E 2 y E 3 hipotéticos que han dado como resultado un evento A. Este resultado
puede generalizarse.
6.90 Se tienen tres joyeros idénticos con dos cajones cada uno. En cada cajón del primer joyero hay un reloj de oro. En cada
cajón del segundo joyero hay un reloj de plata. En un cajón del tercer joyero hay un reloj de oro, y en el otro cajón hay un
reloj de plata. Si se toma al azar uno de los joyeros, se abre uno de los cajones y se encuentra que contiene un reloj de plata,
¿cuál es la probabilidad de que en el otro cajón se encuentre un reloj de oro? [Sugerencia: Emplear el problema 6.89.]
6.91 Encontrar la probabilidad de ganar en un sorteo en el que hay que elegir seis números, en cualquier orden, de entre los
números 1, 2, 3, . . . , 40.
6.92 Repetir el problema 6.91 si hay que escoger: a) cinco, b) cuatro y c) tres números.
6.93 En un juego de póquer, a cada jugador se le dan cinco cartas de un juego de 52 naipes. Determinar las posibilidades en
contra de que a un jugador le toque:
a) Una flor imperial (as, rey, reina, sota y 10 de un mismo palo).
b) Una corrida (5 cartas consecutivas y del mismo palo; por ejemplo, 3, 4, 5, 6 y 7 de espadas).
c) Un póquer (por ejemplo 4 sietes).
d ) Un full (3 de un tipo y 2 de otro; por ejemplo, 3 reyes y 2 dieces).
6.94 A y B acuerdan encontrarse entre 3 y 4 de la tarde y también acuerdan que no esperarán al otro más de 10 minutos. Determinar
la probabilidad de que se encuentren.
6.95 En un segmento de recta de longitud a > 0 se seleccionan en forma aleatoria dos puntos. Encontrar la probabilidad de que
los tres segmentos de recta que se forman puedan ser los lados de un triángulo.
6.96 Un tetraedro regular consta de cuatro lados. Cada lado tiene la misma posibilidad de caer hacia abajo cuando el tetraedro
es lanzado y vuelve al reposo. En cada uno de los lados hay uno de los números 1, 2, 3 o 4. Sobre una mesa se lanzan tres
tetraedros regulares. Sea X la suma de las caras que caen hacia abajo. Dar la distribución de probabilidad de X.
6.97 En el problema 6.96, encontrar el valor esperado de X.
PROBLEMAS SUPLEMENTARIOS 171
6.98 En una encuesta realizada a un grupo de personas se encontró que 25% eran fumadoras y bebedoras, 10% eran fumadoras
pero no bebedoras, y 33% eran bebedoras pero no fumadoras. ¿Qué porcentaje eran fumadoras o bebedoras o ambas
cosas?
6.99 Acme electronics fabrica MP3 en tres lugares. La fábrica situada en Omaha fabrica el 50% de los MP3, 1% de los cuales
tienen algún defecto. La fábrica en Memphis fabrica el 30%, el 2% de éstos tienen algún defecto. La fábrica en Fort
Meyers fabrica el 20% y el 3% de éstos tienen algún defecto. Si se toma al azar un MP3, ¿cuál es la probabilidad de que
tenga algún defecto?
6.100 Con respecto al problema 6.99: se encuentra un MP3 que tiene algún defecto, ¿cuál es la probabilidad de que haya sido
fabricado en Fort Meyers?
LAS DISTRIBUCIONES
BINOMIAL, NORMAL
Y DE POISSON
7
LA DISTRIBUCIÓN BINOMIAL
Si p es la probabilidad de que en un solo ensayo ocurra un evento (llamada la probabilidad de éxito) y q = 1 − p es la
probabilidad de que este evento no ocurra en un solo ensayo (llamada probabilidad de fracaso), entonces la probabilidad
de que el evento ocurra exactamente X veces en N ensayos (es decir, que ocurran X éxitos y N − X fracasos) está
dada por
pðXÞ ¼
N
p X q N
X
X ¼
N!
X! ðN XÞ! pX q N X (1)
donde X = 0, 1, 2, . . . , N; N! = N(N − 1)(N − 2) · · · 1; y 0! = 1 por definición (ver problema 6.34).
EJEMPLO 1 La probabilidad de obtener exactamente dos caras en seis lanzamientos de una moneda es
6 1 2
1 6 2
¼ 6
1 6
¼ 15
2 2 2 2! 4! 2 64
empleando la fórmula (1) con N = 6, X = 2 y p ¼ q ¼ 1 2 .
Usando EXCEL, la evaluación de la probabilidad de 2 caras en 6 lanzamientos se obtiene de la siguiente manera:
=BINOMDIST(2,6,0,5,0), donde la función BINOMDIST tiene 4 parámetros.
El primer parámetro es el número de éxitos, el segundo es el número de ensayos, el tercero es la probabilidad de éxito y el
cuarto es 0 o 1. Cero da la probabilidad del número de éxitos y uno da la probabilidad acumulada. La función =BINOMDIST(2,6,0.5,0)
da 0.234375 que es lo mismo que 15/64.
EJEMPLO 2 La probabilidad de obtener por lo menos 4 caras en 6 lanzamientos de una moneda es
6 1 4
1 6 4
þ 6 4 2 2 5
1
2
5
1 6 5
þ 6 2 6
1
2
6
1
2
6 6
¼ 15
64 þ 6 64 þ 1
64 ¼ 11
32
172
LA DISTRIBUCIÓN NORMAL 173
A la distribución de probabilidad discreta (1) suele llamársele distribución binomial, debido a que a X = 0, 1, 2, . . . ,
N le corresponden los términos sucesivos de la fórmula binomial o expansión binomial,
ðq þ pÞ N ¼ q N þ N 1
q N 1 p þ N
q N 2 p 2 þþp N (2)
2
N
donde 1,
1 ,
N
2
,... se conocen como coeficientes binomiales.
Empleando EXCEL, la solución es =1-BINOMDIST(3,6,0.5,1) o 0.34375 que es lo mismo que 11/32. Como
Pr{X ≥ 4} = 1 − Pr{X ≤ 3} y BINOMDIST(3,6,0.5,1) = Pr{X ≤ 3}, este cálculo da la probabilidad de obtener por
lo menos 4 caras.
EJEMPLO 3 ðq þ pÞ 4 ¼ q 4 þ 4
q 3 p þ 4
q 2 p 2 þ 4
qp 3 þ p 4
1 2 3
¼ q 4 þ 4q 3 p þ 6q 2 p 2 þ 4qp 3 þ p 4
En la tabla 7.1 se enumeran algunas de las propiedades de las distribuciones binomiales.
Tabla 7.1 Distribución binomial
Media
¼ Np
Varianza
2 ¼ Npq
Desviación estándar
p
¼ ffiffiffiffiffiffiffiffiffi
Npq
Coeficiente momento de sesgo 3 ¼ p
q ffiffiffiffiffiffiffiffiffi
p
Npq
Coeficiente momento de curtosis 4 ¼ 3 þ 1 6pq
Npq
EJEMPLO 4 En 100 lanzamientos de una moneda, el número medio de caras es ¼ Np ¼ð100Þð 1 2Þ¼50; éste es el número
p
esperado de caras en 100 lanzamientos de una moneda. La desviación estándar es ¼
ffiffiffiffiffiffiffiffiffi qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
Npq ¼ ð100Þð 1 2 ð1 2 Þ ¼ 5.
LA DISTRIBUCIÓN NORMAL
Uno de los ejemplos más importantes de distribución de probabilidad continua es la distribución normal, curva normal
o distribución gaussiana, que se define mediante la ecuación
Y ¼ p 1
ffiffiffiffiffi e 1=2ðX Þ2 = 2 (3)
2
donde µ = media, σ = desviación estándar, π = 3.14159 · · · y e = 2.71828 · · · . El total del área, que está limitada por
la curva (3) y por el eje X es 1; por lo tanto, el área bajo la curva comprendida entre X = a y X = b, donde a < b representa
la probabilidad de que X se encuentre entre a y b. Esta probabilidad se denota por Pr{a < X < b}.
Si la variable X se expresa en términos de unidades estándar [z = (X − µ)/σ], en lugar de la ecuación (3) se tiene
la llamada forma estándar:
Y ¼
p 1 ffiffiffiffiffi e 1=2z2 (4)
2
174 CAPÍTULO 7 LAS DISTRIBUCIONES BINOMIAL, NORMAL Y DE POISSON
En estos casos se dice que z está distribuida normalmente y que tiene media 0 y varianza 1. En la figura 7-1 se presenta
la gráfica de esta curva normal estándar; también se muestra que las áreas comprendidas entre z = −1 y z = +1,
z = −2 y z = +2, y z = −3 y z = +3 son iguales, respectivamente, a 68.27%, 95.45% y 99.73% del área total, que es
1. En la tabla que se presenta en el apéndice II se dan las áreas bajo esta curva entre z = 0 y cualquier valor positivo
de z. Con ayuda de esta tabla se encuentra el área entre dos valores de z cualesquiera, empleando la simetría de la curva
respecto a z = 0.
En la tabla 7.2 se enumeran algunas propiedades de la distribución normal dada por la ecuación (3).
0.4
0.3
0.2
0.1
0.0 Z
3
2
1
Figura 7-1 Curva normal estándar: 68.27% del área está entre z 1 y z 1, 95.45% del área está entre
z 2 y z 2 y 99.73% del área está entre z 3 y z 3.
0
1
2
3
Media
Tabla 7.2 Distribución normal
Varianza 2
Desviación estándar
Coeficiente momento de sesgo 3 ¼ 0
Coeficiente momento de curtosis 4 ¼ 3
Desviación media
p
ffiffiffiffiffiffiffiffi
2= ¼ 0:7979
RELACIÓN ENTRE LAS DISTRIBUCIONES BINOMIAL Y NORMAL
Si N es grande y si ni p ni q tienen valores muy cercanos a cero, la distribución binomial puede ser aproximada por
una distribución normal con la variable estandarizada dada por
z ¼ X pffiffiffiffiffiffiffiffiffi
Np
Npq
A medida que crece N, la aproximación mejora y en el caso límite es exacta; esto se muestra en las tablas 7.1 y 7.2, de
donde es claro que a medida que N aumenta, el sesgo y la curtosis de la distribución binomial se aproximan al sesgo
y a la curtosis de la distribución normal. En la práctica, la aproximación es muy buena si tanto Np como Nq son mayores
a 5.
LA DISTRIBUCIÓN DE POISSON 175
EJEMPLO 5 En la figura 7-2 se muestra la distribución binomial correspondiente a N = 16 y p = 0.5, ilustrando las probabilidades
de obtener X caras en 16 lanzamientos de una moneda, así como la distribución normal con media 8 y desviación estándar
pffiffiffiffiffiffiffiffiffi
2.
pObsérvese ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi lo semejante que son ambas distribuciones. X es binomial, con media = Np = 16(0.5) = 8 y desviación estándar Npq ¼
16ð0:5Þð0:5Þ ¼ 2. Y es una curva normal con media = 8 y desviación estándar 2.
0
4
8
12
16
0.20
p(X ) X
0.20
f (Y ) Y
0.15
0.15
0.10
0.10
0.05
0.05
0.00
Binomial
0.00
Normal
0 4 8 12 16
Figura 7-2 Gráfica de una curva binomial correspondiente a N 16 y p 0.5 y una curva normal
con media 8 y desviación estándar 2.
LA DISTRIBUCIÓN DE POISSON
La distribución de probabilidad discreta
pðXÞ ¼ X e
X ¼ 0, 1, 2, ... (5)
X!
donde e = 2.71828 ··· y λ es una constante dada, se conoce como distribución de Poisson en honor a Siméon-Denis
Poisson, quien la descubrió a comienzos del siglo XIX. Los valores de p(X ) pueden calcularse empleando la tabla del
apéndice VIII (la cual da los valores de e −λ para diversos valores de λ) o usando logaritmos.
EJEMPLO 6 El número de personas por día que llegan a una sala de urgencias tiene una distribución de Poisson con media 5.
Hallar la probabilidad de que cuando mucho lleguen tres personas por día y la probabilidad de que por lo menos lleguen 8 personas
por día. La probabilidad de que cuando mucho lleguen 3 personas es Pr{X 3} e 5 {5 0 /0! 5 1 /1! 5 2 /2! 5 3 /3!}. De acuerdo
con el apéndice VIII, e −5 = 0.006738 y Pr{X 3} 0.006738{1 5 12.5 20.8333} 0.265. Empleando MINITAB, la secuencia
“Calc ⇒ Probability distribution ⇒ Poisson” da la caja de diálogo de la distribución de Poisson que se llena como se muestra
en la figura 7-3.
El resultado que se obtiene es el siguiente:
Función de distribución acumulada
Poisson with mean = 5
x P(X<=x)
3 0.265026
El resultado es el mismo que el hallado usando el apéndice VIII.
176 CAPÍTULO 7 LAS DISTRIBUCIONES BINOMIAL, NORMAL Y DE POISSON
La probabilidad de que lleguen por lo menos 8 personas por día es Pr{X 8} ¼ 1
MINITAB se encuentra:
Pr{X 7}. Empleando
Figura 7-3 MINITAB, cuadro de diálogo para la distribución de Poisson.
Función de distribución acumulada
Poisson with mean = 5
x P(X < = x)
7 0.866628
Pr{X 8} ¼ 1 0.867 ¼ 0.133.
En la tabla 7.3 se enumeran algunas de las propiedades de la distribución de Poisson.
Tabla 7.3 Distribución de Poisson
Media ¼
Varianza 2 ¼
Desviación estándar
p
¼ ffiffiffi
Coeficiente momento de sesgo
p
3 ¼ 1= ffiffiffi
Coeficiente momento de curtosis 4 ¼ 3 þ 1=
RELACIÓN ENTRE LAS DISTRIBUCIONES BINOMIAL Y DE POISSON
En la distribución binomial (1), si N es grande, pero la probabilidad p de la ocurrencia de un evento es cercana a 0, con
lo que q = 1 − p es cercana 1, al evento se le llama evento raro. En la práctica se considera que un evento es raro si el
número de ensayos es por lo menos 50 (N ≥ 50) mientras que Np es menor a cinco. En tales casos la distribución binomial
(1) se aproxima con la distribución de Poisson (5) con λ = Np. Esto se comprueba comparando las tablas 7.1 y
7.3, ya que sustituyendo λ = Np, q ≈ 1 y p ≈ 0 en la tabla 7.1 se obtienen los resultados de la tabla 7.3.
Como existe una relación entre las distribuciones binomial y normal, también existe una relación entre las distribuciones
de Poisson y normal. En efecto, se puede demostrar que a medida que λ aumenta indefinidamente, p la distribución
de Poisson se aproxima a la distribución normal con variable estandarizada ðX Þ= ffiffiffi
.
LA DISTRIBUCIÓN MULTINOMIAL
Si los eventos E 1 , E 2 , . . . , E K pueden ocurrir con probabilidades p 1 , p 2 , . . . , p K , respectivamente, entonces la probabilidad
de que E 1 , E 2 , . . . , E K ocurran X 1 , X 2 , . . . , X K veces, respectivamente, es
N!
X 1 !X 2 ! X K ! pX 1
1 pX 2
2 pX K
K (6)
donde X 1 þ X 2 þþX K ¼ N. A esta distribución, que es una generalización de la distribución binomial, se le llama
distribución multinomial debido a que la ecuación (6) es el término general en la expansión multinomial
ðp 1 þ p 2 þþp K Þ N .
EJEMPLO 7 Si un dado se lanza 12 veces, la probabilidad de obtener cada uno de los números 1, 2, 3, 4, 5 y 6 exactamente dos
veces es
12! 1 2
1 2
1 2
1 2
1 2
1 2
¼ 1 925
2!2!2!2!2!2! 6 6 6 6 6 6 559 872 = 0.00344
Los números esperados de veces que ocurrirán E 1 , E 2 ,..., E K en N ensayos son Np 1 , Np 2 ,..., Np K , respectivamente.
Para obtener este resultado se puede emplear EXCEL de la manera siguiente: se usan =MULTINOMIAL(2,2,2,2,2,2) para
12!
evaluar 2!2!2!2!2!2! , con lo que se obtiene 7 484 400. Esto se divide después entre 612 , que es 2 176 782 336. El cociente es 0.00344.
AJUSTE DE DISTRIBUCIONES DE FRECUENCIAS
MUESTRALES MEDIANTE DISTRIBUCIONES TEÓRICAS
Cuando por medio de un razonamiento probabilístico, o de alguna otra manera, se tiene idea de la distribución de una
población, tal distribución teórica (también llamada distribución modelo o esperada) puede ajustarse a distribuciones
de frecuencias de una muestra obtenidas de una población. El método utilizado consiste, por lo general, en emplear la
media y la desviación estándar de la muestra para estimar la media y la desviación estándar de la población (ver problemas
7.31, 7.33 y 7.34).
Para probar la bondad de ajuste de las distribuciones teóricas se usa la prueba ji-cuadrada (que se presenta en el
capítulo 12). Cuando se quiere determinar si una distribución normal representa un buen ajuste para datos dados es
conveniente emplear papel gráfico de curva normal, o papel gráfico de probabilidad, como se le suele llamar (ver
problema 7.32).
LA DISTRIBUCIÓN BINOMIAL
7.1 Evaluar las expresiones siguientes:
a) 5! c)
b)
6!
2!4!
SOLUCIÓN
a)
b)
c)
d)
8
3
7
5
5! ¼ 5 4 3 2 1 ¼ 120
PROBLEMAS RESUELTOS
6!
2! 4! ¼ 6 5 4 3 2 1
ð2 1Þð4 3 2 1Þ ¼ 6 5
2 1 ¼ 15
8 8!
¼
3 3! ð8 3Þ! ¼ 8!
3! 5! ¼ 8 7 6 5 4 3 2 1
ð3 2 1Þð5 4 3 2 1Þ ¼ 8 7 6
e)
f )
4
4
4
0
3 2 1 ¼ 56 PROBLEMAS RESUELTOS 177
178 CAPÍTULO 7 LAS DISTRIBUCIONES BINOMIAL, NORMAL Y DE POISSON
d)
e)
f )
7
5
4
4
4
0
7!
5!2! 7 6 5 4 3 2 1
5 4 3 2 12 1 7 6
2 1 21
4! 1 ya que por definición, 0! 1
4!0!
4!
0!4! 1
7.2 Supóngase que 15% de la población es zurda. Encontrar la probabilidad de que en un grupo de 50 individuos
haya: a) cuando mucho 10 zurdos, b) por lo menos 5 zurdos, c) entre 3 y 6 zurdos y d ) exactamente 5 zurdos.
Usar EXCEL para hallar las soluciones.
SOLUCIÓN
a) La expresión de EXCEL =BINOMDIST(10,50,0.15,1) da Pr{X ≤ 10} que es 0.8801.
b) Se pide hallar Pr{X ≥ 5} que es igual a 1 − Pr{X ≤ 4}, ya que X ≥ 5 y X ≤ 4 son eventos complementarios. La expresión
de EXCEL para obtener el resultado buscado es =1-BINOMDIST(4,50,0.15,1), que da 0.8879.
c) Se pide hallar Pr{3 ≤ X ≤ 6} que es igual a Pr{X ≤ 6} − Pr{X ≤ 2}. La expresión de EXCEL para obtener el resultado
buscado es =BINOMDIST(6,50,0.15,1)-BINOMDIST(2,50,0.15,1) que proporciona 0.3471.
d ) La expresión de EXCEL =BINOMDIST(5,50,0.15,0) da Pr{X = 5} que da 0.1072.
7.3 Hallar la probabilidad de que en cinco lanzamientos de un dado aparezca un 3: a) ninguna vez, b) una vez,
c) dos veces, d ) tres veces, e) cuatro veces, f ) cinco veces y g) dar la solución empleando MINITAB.
SOLUCIÓN
La probabilidad de obtener un 3 en un solo lanzamiento = p = 1 6
y la probabilidad de no obtener un 3 en un solo lanzamiento
¼ q ¼ 1 p ¼ 5 6
; por lo tanto:
a) Pr{aparezca un 3 cero veces} 5 0
b) Pr{aparezca un 3 una vez} 5 1
c) Pr{aparezca un 3 dos veces} 5 2
d ) Pr{aparezca un 3 tres veces} 5 3
e) Pr{aparezca un 3 cuatro veces} 5 4
f ) Pr{aparezca un 3 cinco veces} 5 5
1
6
1
6
1
6
1
1
6
2
0
5
6
3
1
6
1
6
5
6
5
6
5
6
4
5
5
11 5 6
4
5 1 6
3
10
2
10
5
6
5
6
1
5
0
1
5
6
1
36
1
216
1
1 296
5
3 125
7 776
4
3 125
7 776
125
216
25
36
5
6
625
3 888
125
3 888
25
7 776
1
7 776 1 1
7 776
Obsérvese que estas probabilidades corresponden a los términos de la expansión binomial
5
6 þ 1 5
¼ 5 5
þ 5 5 4
1
6 6 1 6 6
þ 5 5 3
1 2
þ 5 2 6 6 3
5
6
2
1
6
3
þ 5 4
5 1 4
þ 1 5
¼ 1
6 6 6
g) En la columna C1 se ingresan los enterados 0 a 5 y después se llena el cuadro de diálogo para la distribución binomial
como se indica en la figura 7-4.
PROBLEMAS RESUELTOS 179
Figura 7-4 MINITAB, cuadro de diálogo para el problema 7.3g).
En la hoja de cálculo se obtiene el siguiente resultado:
C1 C2
0 0.401894
1 0.401874
2 0.160742
3 0.032147
4 0.003215
5 0.000129
Mostrar que las fracciones dadas en los incisos a) a f ) se transforman en los decimales que se obtienen con
MINITAB.
7.4 Escribir la expansión binomial de a) (q + p) 4 y de b) (q + p) 6 .
SOLUCIÓN
a) ðq þ pÞ 4 ¼ q 4 þ 4
q 3 p þ 4
q 2 p 2 þ 4 qp 3 þ p 4
1 2 3
¼ q 4 þ 4q 3 p þ 6q 2 p 2 þ 4qp 3 þ p 4
b) ðq þ pÞ 6 ¼ q 6 þ 6
q 5 p þ 6
q 4 p 2 þ 6
q 3 p 3 þ 6
q 2 p 4 þ 6
qp 5 þ p 6
1 2 3 4 5
¼ q 6 þ 6q 5 p þ 15q 4 p 2 þ 20q 3 p 3 þ 15q 2 p 4 þ 6qp 5 þ p 6
Los coeficientes 1, 4, 6, 4, 1 y 1, 6, 15, 20, 15, 6, 1 son los coeficientes binomiales correspondientes a N = 4 y N =
6, respectivamente. Si se escriben estos coeficientes para N = 0, 1, 2, 3, . . . , como se muestra en la figura siguiente, se
obtiene el llamado triángulo de Pascal. Obsérvese que en cada renglón el primero y el último número es un 1, y que cada
número se obtiene sumando los números que se encuentran a la izquierda y a la derecha en el renglón superior.
180 CAPÍTULO 7 LAS DISTRIBUCIONES BINOMIAL, NORMAL Y DE POISSON
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1
7.5 Encontrar la probabilidad de que en una familia con cuatro hijos haya: a) por lo menos un niño y b) por lo
menos un niño y una niña. Supóngase que la probabilidad de que nazca un niño varón es 1 2 .
SOLUCIÓN
a) Pr1 niño 4 1
1
2
1
1
2
3
1 4
Pr3 niños 4 3
1
2
3
1
2
1 4
Pr2 niños 4 2
1
2
2
1
2
2
3 8
Pr4 niños 4 4
1
2
4
1
2
0
1
16
Por lo tanto,
Pr{por lo menos 1 niño} = Pr{1 niño} + Pr{2 niños} + Pr{3 niños} + Pr{4 niños}
¼ 1 4 þ 3 8 þ 1 4 þ 1
16 ¼ 15
16
Otro método
Pr{por lo menos 1 niño} = 1 − Pr{ningún niño} 1
1
2
4
1
1
16 15
16
b) Pr{por lo menos 1 niño y 1 niña} = 1 − Pr{ningún niño} − Pr{ninguna niña} 1
1
16
1
16 7 8
7.6 De 2 000 familias con cuatro hijos cada una, ¿cuántas se esperaría que tuvieran: a) por lo menos un niño,
b) dos niños, c) 1 o 2 niñas y d ) ninguna niña? Consultar el problema 7.5a).
SOLUCIÓN
a) Número esperado de familias por lo menos con 1 niño 2 000 15
161 875
b) Número esperado de familias con 2 niños = 2 000 · Pr{2 niños} 2 000 3 8 750
c) Pr{1 o 2 niñas} = Pr{1 niña} + Pr{2 niñas} = Pr{1 niño} + Pr{2 niños} 1 4 3 8 5 8
. Número esperado de familias
con 1 o 2 niñas 2 000 5 81 250
d ) Número esperado de familias sin ninguna niña 2 000 1
16 125
7.7 Si el 20% de los tornillos que se fabrican con una máquina están defectuosos, determinar la probabilidad de
que de 4 tornillos elegidos al azar: a) 1 tornillo esté defectuoso, b) 0 tornillos estén defectuosos y c) cuando
mucho 2 tornillos estén defectuosos.
SOLUCIÓN
La probabilidad de que un tornillo esté defectuoso es p = 0.2 y la probabilidad de que no esté defectuoso es q = 1 − p
= 0.8.
a) Pr{1 de 4 tornillos esté defectuoso} ¼ 4 ð0:2Þ 1 ð0:8Þ 3 ¼ 0:4096
1
PROBLEMAS RESUELTOS 181
b) Pr{0 tornillos estén defectuosos} ¼ 4 0
ð0:2Þ 0 ð0:8Þ 4 ¼ 0:4096
c) Pr{2 tornillos estén defectuosos} ¼
4
2
ð0:2Þ 2 ð0:8Þ 2 ¼ 0:1536
Por lo tanto
Pr{cuando mucho 2 tornillos estén defectuosos} = Pr{0 tornillos estén defectuosos} + Pr{1 tornillo esté defectuoso}
+ Pr{2 tornillos estén defectuosos}
= 0.4096 + 0.4096 + 0.1536 = 0.9728
7.8 La probabilidad de que un estudiante que entra a la universidad se titule es 0.4. Determinar la probabilidad de
que de 5 estudiantes elegidos al azar: a) ninguno se titule, b) 1 se titule, c) por lo menos 1 se titule, d ) todos se
titulen y e) emplear STATISTIX para responder los incisos a) a d ).
SOLUCIÓN
a) Pr{ninguno se titule} ¼
5
0
ð0:4Þ 0 ð0:6Þ 5 ¼ 0:07776 o aproximadamente 0.08
b) Pr{1 se titule} ¼ 5 1
ð0:4Þ 1 ð0:6Þ 4 ¼ 0:2592 o aproximadamente 0.26
c) Pr{por lo menos 1 se titule} = 1 − Pr{ninguno se titule} = 0.92224 o aproximadamente 0.92
d ) Pr{todos se titulen} ¼ 5 5
ð0:4Þ 5 ð0:6Þ 0 ¼ 0:01024 o aproximadamente 0.01
e) STATISTIX sólo evalúa probabilidades binomiales acumuladas. Con el cuadro de diálogo de la figura 7-5 se obtiene
la distribución de probabilidad binomial acumulada para N = 5, p = 0.4, q = 0.6 y x = 0, 1, 4 y 5.
Figura 7-5 STATISTIX, cuadro de diálogo para el problema 7.8e).
182 CAPÍTULO 7 LAS DISTRIBUCIONES BINOMIAL, NORMAL Y DE POISSON
Mediante la información obtenida en el último cuadro de diálogo, se tiene que: la probabilidad de que ninguno se titule es
Pr{X = 0} = Binomial(0,5,0.4) = 0.07776. La probabilidad de que 1 se titule es Pr{X = 1} = Pr{X ≤ 1} − Pr{X ≤ 0} =
Binomial(1,5,0.4) − Binomial(0,5,0.4) = 0.33696 – 0.07776 = 0.2592. La probabilidad de que por lo menos 1 se titule es
Pr{X ≥ 1} = 1 − Pr{X = 0} = 1 – Binomial(0,5,0.4) = 0.92224. La probabilidad de que todos se titulen es Pr{X = 5} =
Pr{X ≤ 5} − Pr{X ≤ 4} = Binomial(5,5,0.4) −Binomial(4,5,0.4) = 1.00000 – 0.98976 = 0.01024. Obsérvese que
STATISTIX únicamente da la probabilidad binomial acumulada y también algunas de las tablas que aparecen en los libros
de texto dan únicamente probabilidades binomiales acumuladas.
7.9 ¿Cuál es la probabilidad de que en 6 lanzamientos de un par de dados se obtenga como suma 9: a) dos veces y
b) por lo menos 2 veces?
SOLUCIÓN
Cada una de las 6 maneras en que puede caer el primer dado se asocia con cada una de las 6 maneras en que puede caer el
segundo dado; por lo tanto, hay 6 · 6 = 36 maneras en que pueden caer los dos dados. Se puede tener: 1 en el primer dado
y 1 en el segundo dado, 1 en el primer dado y 2 en el segundo dado, etc., lo que se denota (1, 1), (1, 2), etcétera.
De estas 36 maneras (todas igualmente probables), la suma 9 se obtiene en 4 casos: (3, 6), (4, 5), (5, 4) y (6, 3). Por
lo tanto, la probabilidad de que en un lanzamiento de los dos dados la suma sea 9 es p ¼ 4
36 ¼ 1 9
y la probabilidad de que en
un lanzamiento la suma de los dos dados no sea 9 es q ¼ 1 p ¼ 8 9 .
a) Pr{2 nueves en 6 lanzamientos} ¼ 6 1 2
8 6 2
¼ 61,440
2 9 9 531,441
b) Pr{por lo menos 2 nueves} = Pr{2 nueves} + Pr{3 nueves} + Pr{4 nueves} + Pr{5 nueves} + Pr{6 nueves}
¼ 6 1 2
8 4
þ 6 1 3
8 3
þ 6 1 4
8 2
þ 6 1 5
8 1
þ 6 1 6
8 0
2 9 9 3 9 9 4 9 9 5 9 9 6 9 9
61 440
531 441
Otro método
10 240
531 441 960
53 1441 48
531 441 1 72 689
531 441 531 441
Pr{por lo menos 2 nueves} = 1 − Pr{0 nueves} − Pr{1 nueve}
6 1 0
8 6
6 1 1
8 5
¼ 1
¼ 72,689
0 9 9 1 9 9 531,441
7.10 Evaluar: a) P N
X¼0 XpðXÞ y b) P N
X¼0 X2 pðXÞ, donde pðXÞ ¼ð N X Þpx q N X .
SOLUCIÓN
a) Como q + p = 1,
X N
X¼0
XpðXÞ ¼ XN
X¼1
X
¼ Npðq þ pÞ N
N!
X! ðN XÞ! pX q N X ¼ Np XN
1 ¼ Np
X¼1
ðN 1Þ!
ðX 1Þ!ðN XÞ! pX 1 q N X
b)
X N
X¼0
X 2 pðXÞ ¼ XN
X¼1
X 2 N!
X!ðN XÞ! pX q N X ¼ XN
X¼1
½XðX
1ÞþXŠ
N!
X!ðN XÞ! pX q N X
¼ XN
X¼2
¼ NðN
¼ NðN
XðX
1Þ
1Þp 2 XN
N!
X!ðN XÞ! pX q N X þ XN
X¼2
1Þp 2 þ Np
X¼1
X
N!
X!ðN XÞ! pX q N X
ðN 2Þ!
ðX 2Þ!ðN XÞ! pX 2 q N X þ Np ¼ NðN 1Þp 2 ðq þ pÞ N 2 þ Np
PROBLEMAS RESUELTOS 183
Nota: Los resultados de los incisos a) y b) son las esperanzas de X y de X 2 , que se denotan E(X) y E(X 2 ), respectivamente
(ver capítulo 6).
7.11 Si la variable está distribuida binomialmente, determinar: a) su media µ y b) su varianza σ 2 .
SOLUCIÓN
a) De acuerdo con el problema 7.10a),
µ = esperanza de la variable ¼ XN
b) Empleando µ = Np y los resultados del problema 7.10,
2 ¼ XN
ðX
X¼0
Þ 2 pðXÞ ¼ XN
ðX 2
X¼0
2X þ 2 ÞpðXÞ ¼ XN
X¼0
X¼0
X 2 pðXÞ
XpðXÞ ¼Np
2 XN
X¼0
XpðXÞþ 2 XN
¼ NðN 1Þp 2 þ Np 2ðNpÞðNpÞþðNpÞ 2 ð1Þ ¼Np Np 2 ¼ Npð1 pÞ ¼Npq
p
Se sigue que la desviación estándar de una variable distribuida en forma binomial es ¼
ffiffiffiffiffiffiffiffiffi Npq.
Otro método
De acuerdo con el problema 6.62b),
E½ðX XÞŠ 2 ¼ EðX 2 Þ ½EðXÞŠ 2 ¼ NðN 1Þp 2 þ Np N 2 p 2 ¼ Np Np 2 ¼ Npq
7.12 Si la probabilidad de que un tornillo esté defectuoso es 0.1, encontrar: a) la media y b) la desviación estándar
de la distribución de los tornillos defectuosos en un total de 400 tornillos.
SOLUCIÓN
a) La media es Np = 400(0.1) = 40; es decir, se puede esperar que haya 40 tornillos defectuosos.
pffiffiffiffiffi
b) La varianza es Npq = 400(0.1)(0.9) = 36. Por lo tanto, la desviación estándar es 36 ¼ 6.
7.13 Encontrar el coeficiente momento de: a) sesgo y b) curtosis, de la distribución del problema 7.12.
SOLUCIÓN
a) Coeficiente momento de sesgo ¼ p q ffiffiffiffiffiffiffiffiffi
p ¼
Npq
0:9 0:1
¼ 0:133
6
Como este coeficiente es positivo, la distribución es sesgada a la derecha.
b) Coeficiente momento de curtosis ¼ 3 þ 1 6pq
Npq ¼ 3 þ 1 6ð0:1Þð0:9Þ ¼ 3:01
36
Esta distribución es ligeramente leptocúrtica con respecto a la distribución normal (es decir, ligeramente más puntiaguda;
ver capítulo 5).
X¼0
pðXÞ
LA DISTRIBUCIÓN NORMAL
7.14 En un examen final de matemáticas la media fue 72 y la desviación estándar fue 15. Determinar las puntuaciones
estándar (es decir, las calificaciones en unidades de desviaciones estándar) de los estudiantes que obtuvieron:
a) 60, b) 93 y c) 72 puntos.
SOLUCIÓN
aÞ z ¼ X X
s
bÞ z ¼ X X
s
¼
¼
60 72
¼ 0:8 ðcÞ z ¼ X X
¼
15
s
93 72
¼ 1:4
15
72 72
¼ 0
15
184 CAPÍTULO 7 LAS DISTRIBUCIONES BINOMIAL, NORMAL Y DE POISSON
7.15 Con los datos del problema 7.14, encontrar las calificaciones que corresponden a las siguientes puntuaciones
estándar: a) −1 y b) 1.6.
SOLUCIÓN
a) X = X + zs = 72 + (−1)(15) = 57 b) X = X + zs = 72 + (1.6)(15) = 96
7.16 Supóngase que la cantidad de juegos en que participan los beisbolistas de la liga mayor durante su carrera se
distribuye normalmente con media 1 500 juegos y desviación estándar 350 juegos. Emplear EXCEL para responder
las preguntas siguientes. a) ¿Qué porcentaje participa en menos de 750 juegos? b) Qué porcentaje
participa en más de 2 000 juegos? y c) Encontrar el percentil 90 de la cantidad de juegos en los que participan
durante su carrera.
SOLUCIÓN
a) La expresión de EXCEL =NORMDIST(750,1 500, 350, 1) busca el área a la izquierda de 750 en una curva normal
con media igual a 1 500 y desviación estándar igual a 350. La respuesta es Pr{X < 750} = 0.0161 o bien 1.61% participa
en menos de 750 juegos.
b) La expresión de EXCEL =1-NORMDIST(2 000,1 500, 350, 1) busca el área a la derecha de 2 000 en una curva normal
con media igual a 1 500 y desviación estándar igual a 350. La respuesta es Pr{X > 2 000} = 0.0766 o bien 7.66%
participa en más de 2 000 juegos.
c) La expresión de EXCEL =NORMINV(0.9,1 500, 350) busca en el eje horizontal el valor tal que a su izquierda se
encuentra 90% del área bajo la curva normal con media 1 500 y desviación estándar 350. Empleando la notación del
capítulo 3, P 90 = 1 948.5.
7.17 Encontrar el área bajo la curva normal en los casos siguientes.
a) Entre z = 0.81 y z = 1.94.
b) A la derecha de z = −1.28.
c) A la derecha de z = 2.05 o a la izquierda de z = −1.44.
Para resolver los incisos a) a c) emplear el apéndice II y EXCEL [ver la figura 7-6, incisos a), b) y c)].
SOLUCIÓN
a) En el apéndice II, bajar por la columna z hasta llegar a 1.9; después avanzar a la derecha hasta la columna marcada
con 4. El resultado 0.4738 es Pr{0 ≤ z ≤ 1.94}. A continuación bajar por la columna z hasta llegar a 0.8; después avanzar
a la derecha hasta la columna marcada con 1. El resultado 0.2910 es Pr{0 ≤ z ≤ 0.81}. El área correspondiente a
Pr{0.81 ≤ z ≤ 1.94} es la diferencia de ambos, Pr{0 ≤ z ≤ 1.94} − Pr{0 ≤ z ≤ 0.81} = 0.4738 − 0.2910 = 0.1828.
Empleando EXCEL, la respuesta se obtiene con =NORMSDIST(1.94)-NORMSDIST(0.81) = 0.1828. Empleando
EXCEL, el área Pr{0.81 ≤ z ≤ 1.94} es la diferencia Pr{−infinito ≤ z ≤ 1.94} − Pr{−infinito ≤ z ≤ 0.81}. Obsérvese
que la tabla del apéndice II da áreas desde 0 hasta un valor positivo de z, en tanto que EXCEL da áreas desde –infinito
hasta el mismo valor de z.
b) El área a la derecha de z = −1.28 es la misma área que a la izquierda de z = 1.28. Empleando el apéndice II, el área
a la izquierda de z = 1.28 es Pr{z ≤ 0} + Pr{0 ≤ z ≤ 1.28} o bien 0.5 + 0.3997 = 0.8997. Usando EXCEL,
Pr{z ≥ −1.28} = Pr{z ≤ 1.28} y Pr{z ≤ 1.28} se obtiene mediante =NORMSDIST(1.28), que da 0.8997.
c) Empleando el apéndice II, el área a la derecha de 2.05 es 0.5 − Pr{z ≤ 2.05} o bien 0.5 – 0.4798 = 0.0202. El área
a la izquierda de −1.44 es la misma que el área a la derecha de 1.44. El área a la derecha de 1.44 es 0.5 − Pr{z ≤ 1.44}
= 0.5 – 0.4251 = 0.0749. La suma de estas dos áreas en las colas es 0.0202 + 0.0749 = 0.0951. Usando EXCEL, esta
área se obtiene como sigue: =NORMSDIST(−1.44) + (1 − NORMSDIST(2.05)), que da 0.0951.
Obsérvese que en EXCEL =NORMSDIST(z) da el área a la izquierda de z bajo la curva normal estándar, en tanto
que =NORMDIST(z, µ, σ, 1) da el área a la izquierda de z bajo la curva normal cuya media es µ y cuya desviación estándar
de σ.
PROBLEMAS RESUELTOS 185
z 0.81
z 1.94
a)
z 1.28
b)
z 1.44 z 2.05
c)
Figura 7-6 Áreas bajo la curva normal estándar. a) Área entre z = 0.81 y z = 1.94; b) área a la derecha de z = –1.28;
c) área a la izquierda de z = –1.44 más área a la derecha de z = 2.05.
186 CAPÍTULO 7 LAS DISTRIBUCIONES BINOMIAL, NORMAL Y DE POISSON
7.18 La cantidad de horas, por semana, que los estudiantes de educación media ven televisión tiene una distribución
normal cuya media es 20.5 horas y cuya desviación estándar es 5.5 horas. Emplear MINITAB para hallar el
porcentaje que ve televisión menos de 25 horas por semana. Usar MINITAB para hallar el porcentaje que ve
televisión más de 30 horas por semana. Trazar una curva que represente estos dos grupos.
SOLUCIÓN
La solución se ilustra en la figura 7-7.
x 25 x 30
Figura 7-7 MINITAB, gráfica que muestra el grupo que ve televisión menos de 25 horas por semana
y el grupo que ve televisión más de 30 horas por semana.
La secuencia “Calc ⇒ Probability distributions ⇒ Normal” abre el cuadro de diálogo de la distribución normal
que se presenta en la figura 7-8.
Figura 7-8 MINITAB, cuadro de diálogo para la distribución normal.
PROBLEMAS RESUELTOS 187
Llenando el cuadro de diálogo como se muestra en la figura 7-8 y ejecutándolo, se obtiene el siguiente resultado:
Función de distribución acumulada
Normal con media = 20.5 y desviación estándar = 5.5
x P(X<=x)
25 0.793373
79.3% de los estudiantes de educación media ven 25 horas o menos de televisión por semana.
Si se ingresa 30 como la constante de entrada, se obtiene el resultado siguiente:
Función de distribución acumulada
Normal con media = 20.5 y desviación estándar = 5.5
x P(X<=x)
30 0.957941
El porcentaje que ve más de 30 horas de televisión por semana es 1 − 0.958 = 0.042 o 4.2%.
7.19 Hallar la ordenada correspondiente a la curva normal en: a) z = 0.84, b) z = −1.27 y c) z = −0.05.
SOLUCIÓN
a) En el apéndice I, bajar por la columna que tiene como encabezado z hasta llegar a la entrada 0.8; después avanzar hacia
la derecha hasta la columna que tiene como encabezado 4. La entrada 0.2803 es la ordenada buscada.
b) Por simetría: (ordenada correspondiente a z = −1.27) = (ordenada correspondiente a z = 1.27) = 0.1781.
c) (La ordenada correspondiente z = −0.05) = (la ordenada correspondiente a z = 0.05) = 0.3984.
7.20 Emplear EXCEL para evaluar algunas ordenadas correspondientes a la curva normal cuya media es 13.5 y cuya
desviación estándar es 2.5. Después, empleando el asistente para gráficos, graficar los puntos obtenidos. Estas
gráficas representan la distribución normal de la variable X, donde X representa las horas, por semana, que los
estudiantes universitarios pasan en Internet.
SOLUCIÓN
Las abscisas elegidas que van desde 6 hasta 21, a intervalos de 0.5, se ingresan en la hoja de cálculo de EXCEL en las
celdas A1:A31. En la celda B1 se ingresa la expresión =NORMDIST(A1,13.5,3.5,0), se hace clic y se arrastra. Estos puntos
son de la curva normal cuya media es 13.5 y cuya desviación estándar es 3.5:
6 0.001773
6.5 0.003166
7 0.005433
7.5 0.008958
8 0.01419
8.5 0.021596
9 0.03158
9.5 0.044368
10 0.059891
10.5 0.077674
11 0.096788
11.5 0.115877
12 0.13329
12.5 0.147308
13 0.156417
13.5 0.159577
188 CAPÍTULO 7 LAS DISTRIBUCIONES BINOMIAL, NORMAL Y DE POISSON
14 0.156417
14.5 0.147308
15 0.13329
15.5 0.115877
16 0.096788
16.5 0.077674
17 0.059891
17.5 0.044368
18 0.03158
18.5 0.021596
19 0.01419
19.5 0.008958
20 0.005433
20.5 0.003166
21 0.001773
Para graficar estos puntos se emplea el asistente para gráficos. El resultado se muestra en la figura 7-9.
0.18
0.16
0.14
0.12
f(X )
0.1
0.08
0.06
0.04
0.02
0
3.5 5.5 7.5 9.5 11.5 13.5 15.5 17.5 19.5 21.5 23.5
X
Figura 7-9 EXCEL, gráfica de la curva normal cuya media es = 13.5 y cuya desviación estándar es = 2.5.
7.21 Determinar el segundo cuartil (Q 2 ), el tercer cuartil (Q 3 ) y el percentil 90 (P 90 ) de las horas, por semana, que
los estudiantes universitarios pasan en Internet. Emplear la distribución normal dada en el problema 7.20.
SOLUCIÓN
El segundo cuartil o percentil 50 de una distribución normal corresponde al centro de la curva. Debido a la simetría de esta
distribución, coincide con el punto en el que se encuentra la media. En el caso del uso de Internet, éste será 13.5 horas por
semana. Para hallar el percentil 50, se usa la función de EXCEL =NORMINV(0.5,13.5,2.5). El percentil 50 significa que
0.5 del área se encuentra a la izquierda del segundo cuartil y que la media es 13.5 y la desviación estándar es 2.5. El resultado
que da EXCEL es 13.5. Usando MINITAB se obtiene:
PROBLEMAS RESUELTOS 189
Función de distribución acumulada inversa
Normal con media = 13.5 y desviación estándar = 2.5
p(X<=x) x
0.5 13.5
Esto se ilustra en la figura 7-10 a). En la figura 7-10b) se nota que el 75% del área bajo la curva está a la izquierda
de Q 3 . Empleando EXCEL, la función =NORMINV(0.75,13.5,2.5) da Q 3 = 15.19.
50% del área
segundo cuartil = 13.5
a)
75% del área
|
tercer cuartil
b)
90% del área
percentil 90
c)
Figura 7-10 Se hallan percentiles y cuartiles usando MINITAB y EXCEL. a) Q 2 es el valor tal que 50%
de los tiempos son menores que ese valor; b) Q 3 es el valor tal que 75% de los tiempos son menores que ese valor;
c) P 90 es el valor tal que 90% de los tiempos son menores que ese valor.
190 CAPÍTULO 7 LAS DISTRIBUCIONES BINOMIAL, NORMAL Y DE POISSON
En la figura 7-10c) se muestra que 90% del área está a la izquierda de P 90 . La función de EXCEL =NORMINV(0.90,13.5,2.5)
da P 90 = 16.70.
7.22 Usando el apéndice II, encontrar Q 3 para los datos del problema 7.21.
SOLUCIÓN
Si no se dispone de un software como EXCEL o MINITAB, es necesario trabajar con las tablas de la distribución normal
estándar como único recurso.
Área = 0.25
z = 0
Figura 7-11 Curva normal estándar.
Usando el apéndice II en forma inversa, se ve que el área que va desde z = 0 hasta z = 0.67 es 0.2486, y el área que
va desde z = 0 hasta z = 0.68 es 0.2518 (ver figura 7-11). El área desde −infinito hasta z = 0.675 es aproximadamente 0.75,
ya que el área desde −infinito a 0 es 0.5, y el área desde 0 hasta z = 0.675 es 0.25. Por lo tanto, en la curva normal estándar
el tercer cuartil es aproximadamente 0.675. Sea Q 3 el tercer cuartil en la curva normal cuya media es 13.5 y cuya desviación
estándar es 2.5 [ver figura 7-10b)]. Cuando Q 3 se transforma en un valor z, se tiene 0.675 = (Q 3 − 13.5)/2.5. Despejando
en esta ecuación Q 3 , se tiene Q 3 = 2.5(0.675) + 13.5 = 15.19, que es la misma respuesta que se obtuvo con EXCEL en el
problema 7.21.
7.23 Se producen arandelas cuyo diámetro interno está distribuido normalmente con media 0.500 pulgadas (in) y
desviación estándar 0.005 in. Las arandelas se consideran defectuosas si su diámetro interno es de menos de
0.490 in o si es de más de 0.510 in. Empleando tanto el apéndice II como EXCEL, hallar el porcentaje de
arandelas defectuosas.
SOLUCIÓN
0.490 en unidades estándar es
0.510 en unidades estándar es
0.490 0.500
0.005
0.510 0.500
0.005
2.00
2.00
De acuerdo con el apéndice II, el área a la derecha de Z = 2.00 es 0.5 − 0.4772, o bien 0.0228. El área a la izquierda de
Z = −2.00 es 0.0228. El porcentaje de defectuosos es (0.0228 + 0.0228) × 100 = 4.56%. Para hallar áreas bajo una curva
normal empleando el apéndice II hay que convertir los datos a la curva normal estándar para encontrar las respuestas.
Empleando EXCEL, la respuesta es = 2*NORMDIST(0.490, 0.500, 0.005, 1), que da también 4.56%.
PROBLEMAS RESUELTOS 191
X 0.490 X 0.500 X 0.510
Las arandelas se consideran defectuosas si X < 0.490 o si X > 0.510
Z 2.00 Z 0
Z 2.00
Figura 7-12 El área a la derecha de X = 0.510 es igual al área a la derecha de Z = 2.000 y el área
a la izquierda de X = 0.490 es igual al área a la izquierda de Z = –2.00.
APROXIMACIÓN NORMAL A LA DISTRIBUCIÓN BINOMIAL
7.24 Empleando: a) la distribución binomial y b) la aproximación normal a la distribución binomial, encontrar la
probabilidad de que en 10 lanzamientos de una moneda se obtengan 3 a 6 caras inclusive.
SOLUCIÓN
a) Pr 3 caras 10
3
1
2
3
1
2
7
15
128
Pr5 caras 10 5
1
2
5
1
2
5
63
256
Por lo tanto
Pr4 caras 10 4
1
2
4
1
2
6
105
512
Pr6 caras 10
6
1
2
6
1
2
4
105
512
de entre 3 a 6 caras inclusive 15
128 105
512 63
256 105
512 99
128 0.7734
b) En la figura 7-13 se presenta la gráfica que se obtiene con EXCEL para la distribución binomial con N = 10 lanzamientos
de una moneda.
Obsérvese que aunque la distribución binomial es una distribución discreta, esta gráfica tiene la forma de una
distribución normal, que es continua. Para aproximar la probabilidad binomial de 3, 4, 5 y 6 caras mediante el área
bajo la curva normal, se busca el área bajo la curva normal desde X = 2.5 hasta X = 6.5. El 0.5 que se agrega a cada
lado de X = 3 y X = 6 se le llama corrección por continuidad. A continuación se dan los pasos a seguir para aproximar
la distribución binomial
p
mediante la distribución normal. Se elige la curva normal con media Np = 10(0.5) = 5 y
desviación estándar ¼
ffiffiffiffiffiffiffiffiffi p
Npq ¼
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
10ð0:5Þð0:5Þ ¼ 1:58. De esta manera se elige la curva normal que tiene el mismo
centro y la misma variación que la distribución binomial. Después se busca el área bajo la curva desde 2.5 hasta 6.5,
como se muestra en la figura 7-14. Ésta es la aproximación normal a la distribución binomial.
192 CAPÍTULO 7 LAS DISTRIBUCIONES BINOMIAL, NORMAL Y DE POISSON
0.3
0.25
0.2
Probabilidad
0.15
0.1
0.05
0
0 2 4 6 8 10 12
Número de caras
Figura 7-13 EXCEL, gráfica de la distribución binomial con N = 10 y p = 0.5.
0.25
0.20
0.15
0.10
0.05
0.00
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Figura 7-14 Aproximación normal para 3, 4, 5 o 6 caras cuando se lanza una moneda 10 veces.
Usando una hoja de cálculo de EXCEL, la solución se obtiene empleando =NORMDIST(6.5, 5, 1.58,1) −
NORMDIST(2.5, 5, 1.58, 1), con lo que se obtiene 0.7720.
Empleando la técnica del apéndice II, los valores normales 6.5 y 2.5 se convierten primero a valores normales estándar.
(En unidades estándar 2.5 es −1.58, y 6.5 en unidades estándar es 0.95.) De acuerdo con el apéndice II el área entre
−1.58 y 0.95 es 0.7718. Cualquiera que sea el método que se use, el resultado es muy semejante al obtenido con la distribución
binomial, 0.7734.
7.25 Se lanza una moneda 500 veces. Hallar la probabilidad de que el número de caras no sea diferente de 250:
a) en más de 10 y b) en más de 30.
SOLUCIÓN
pffiffiffiffiffiffiffiffiffi
qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
¼ Np ¼ð500Þð 1 2Þ¼250 ¼ Npq ¼ ð500Þð 1 2 Þð1 2 Þ ¼ 11:18
PROBLEMAS RESUELTOS 193
a) Se busca la probabilidad de que la cantidad de caras esté entre 240 y 260 o, considerando los datos como datos continuos,
entre 239.5 y 260.5. Como 239.5 en unidades estándar es (239.5 – 250)/11.18 = −0.94 y 260.5 en unidades
estándar es 0.94, se tiene
Probabilidad buscada = (área bajo la curva normal entre z = −0.94 y z = 0.94)
= (dos veces el área entre z = 0 y z = 0.94) = 2(0.3264) = 0.6528
b) Se busca la probabilidad de que la cantidad de caras esté entre 220 y 280 o, considerando los datos como datos continuos,
entre 219.5 y 280.5. Como 219.5 en unidades estándar es (219.5 – 250)/11.18 = −2.73 y 280.5 en unidades
estándar es 2.73, se tiene
Probabilidad buscada = (dos veces el área entre z = 0 y z = −2.73)
= 2(0.4968) = 0.9936
Por lo tanto, se puede confiar en que el número de caras no diferirá de lo esperado (250) en más de 30. De manera
que si resulta que el número de caras que realmente se encuentra es 280, habrá razón para creer que la moneda está
cargada.
7.26 Supóngase que en el grupo de edad de 1 a 4 años, el 75% usa el cinturón de seguridad de manera habitual.
Hallar la probabilidad de que si se detienen, al azar, algunos automóviles que transporten pasajeros de 1 a 4
años, 70 o menos estén usando el cinturón de seguridad. Dar la solución empleando la distribución binomial
así como la aproximación normal a la distribución binomial. Usar MINITAB para hallar la solución.
SOLUCIÓN
El resultado de MINITAB dado adelante muestra que la probabilidad de que 70 o menos estén usando el cinturón de seguridad
es igual a 0.1495.
MTB > cdf 70;
SUBC> binomial 100.75.
Función de distribución acumulada
Binomial con n = 100 y p = 0.750000
x P( X ⇐ x)
70.00 0.1495
Empleando la aproximación normal a la distribución binomial, la solución se pencuentra como sigue: la media de la
distribución binomial es µ = Np = 100(0.75) = 75 y la desviación estándar es ¼
ffiffiffiffiffiffiffiffiffi p
Npq ¼
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
100ð0:75Þð0:25Þ ¼ 4:33.
El resultado de MINITAB dado adelante muestra que la aproximación normal es igual a 0.1493. Esta aproximación es muy
semejante al verdadero valor.
MTB > cdf 70.5;
SUBC> media normal = 75 sd = 4.33
Función de distribución acumulada
Normal con media = 75.0000 y desviación estándar = 4.33000
x P( X ⇐ x)
70.5000 0.1493
LA DISTRIBUCIÓN DE POISSON
7.27 De las herramientas que se producen con determinado proceso de fabricación, 10% resultan defectuosas.
Empleando: a) la distribución binomial y b) la aproximación de Poisson a la distribución binomial, hallar la
probabilidad de que en una muestra de 10 herramientas elegidas al azar exactamente 2 estén defectuosas.
194 CAPÍTULO 7 LAS DISTRIBUCIONES BINOMIAL, NORMAL Y DE POISSON
SOLUCIÓN
La probabilidad de que una herramienta esté defectuosa es p = 0.1.
a)
Pr{2 de 10 herramientas defectuosas} ¼ 10
ð0:1Þ 2 ð0:9Þ 8 ¼ 0:1937
2
o bien 0.19
b) Con λ = Np = 10(0.1) = 1 y usando e = 2.718,
Pr{2 de 10 herramientas defectuosas} ¼ X e
¼ ð1Þ2 e 1
¼ e 1
X! 2! 2 ¼ 1 ¼ 0:1839
2e
o bien 0.18
En general, esta aproximación es buena si p ≤ 0.1 y λ = Np ≤ 5.
7.28 Si la probabilidad de que un individuo tenga una reacción adversa por la inyección de determinado suero es
0.001, determinar la probabilidad de que de 2 000 individuos: a) exactamente 3 y b) más de 2, sufran una reacción
adversa. Usar MINITAB y hallar la respuesta empleando tanto Poisson como distribuciones binomiales.
SOLUCIÓN
a) En el siguiente resultado de MINITAB se da primero la probabilidad binomial de que exactamente 3 individuos tengan
una reacción adversa. Después de la probabilidad binomial se da la probabilidad de Poisson empleando λ = Np =
(2 000)(0.001) = 2. La aproximación de Poisson al parecer es en extremo cercana a la probabilidad binomial.
MTB > pdf 3;
SUBC> binomial 2000.001.
Función de probabilidad de densidad
Binomial con n = 2000 y p = 0.001
x P( X = x)
3.0 0.1805
MTB > pdf 3;
SUBC> poisson 2.
Función de probabilidad de densidad
Poisson con mu = 2
x P( X = x)
3.00 0.1804
b) La probabilidad de que más de dos individuos tengan una reacción adversa se obtiene de 1 − P(X ≤ 2). El siguiente
resultado de MINITAB da como probabilidad de que X ≤ 2 el resultado 0.6767 usando tanto la distribución binomial
como la distribución de Poisson. La probabilidad de que más de 2 tengan una reacción adversa es 1 − 0.6767 =
0.3233.
MTB > cdf 2;
SUBC> binomial 2000.001.
Función de distribución acumulada
Binomial con n = 2000 y p = 0.001
x P( X ⇐ x)
2.0 0.6767
MTB > cdf 2;
SUBC> poisson 2.
Función de distribución acumulada
Poisson con mu = 2
x P( X ⇐ x)
2.0 0.6767
PROBLEMAS RESUELTOS 195
7.29 Una distribución de Poisson está dada por
Hallar: a) p(0), b) p(1), c) p(2) y d ) p(3).
pðXÞ ¼ ð0:72ÞX e 0:72
X!
SOLUCIÓN
a) pð0Þ ¼ ð0:72Þ0 e 0:72
0:72
ð1Þ e
¼ ¼ e 0:72 ¼ 0:4868
0!
1
usando el apéndice VIII
b) pð1Þ ¼ ð0:72Þ1 e 0:72
¼ð0:72Þe 0:72 ¼ð0:72Þð0:4868Þ ¼0:3505
1!
c) pð2Þ ¼ ð0:72Þ2 e 0:72
0:72
ð0:5184Þe
¼ ¼ð0:2592Þð0:4868Þ ¼0:1262
2!
2
Otro método
d )
pð2Þ ¼ 0:72
2
pð3Þ ¼ ð0:72Þ3 e 0:72
3!
pð1Þ ¼ð0:36Þð0:3505Þ ¼0:1262
¼ 0:72
3
pð2Þ ¼ð0:24Þð0:1262Þ ¼0:0303
LA DISTRIBUCIÓN MULTINOMIAL
7.30 Una caja contiene 5 pelotas rojas, 4 pelotas blancas y 3 pelotas azules. De la caja se extrae al azar una pelota,
se anota su color y se devuelve a la caja. Hallar la probabilidad de que de 6 pelotas extraídas de esta manera,
3 sean rojas, 2 sean blancas y 1 sea azul.
SOLUCIÓN
Pr{roja en cualquier extracción} ¼ 5
4
3
12
, Pr{blanca en cualquier extracción} ¼
12
, y Pr{azul en cualquier extracción} ¼
por lo tanto,
12 ;
Pr{3 sean rojas, 2 sean blancas, 1 sea azul} = 6!
3!2!1!
5
12
3
4
12
2
3
12
1
= 625
5 184
AJUSTE DE DATOS MEDIANTE DISTRIBUCIONES TEÓRICAS
7.31 Ajustar una distribución binomial a los datos del problema 2.17.
SOLUCIÓN
Se tiene Pr{X caras en un lanzamiento de cinco monedas} ¼ pðXÞ ¼ð 5 X ÞpX q 5 X , donde p y q son las probabilidades respectivas
de cara y de cruz en un lanzamiento de una moneda. De acuerdo con el problema 7.11a), el número medio de
caras es µ = Np = 5p. En la distribución de frecuencias reales (u observadas), la cantidad media de caras es
∑ fX
∑ = (38)(0)+(144)(1)+(342)(2)+(287)(3)+(164)(4)+(25)(5) = 2 470
f 1 000
1 000 = 2.47
Igualando las medias teórica y real, 5p = 2.47, o bien p = 0.494. Por lo tanto, la distribución binomial ajustada está
dada por pðXÞ ¼ð 5 X Þð0:494ÞX ð0:506Þ 5 X .
En la tabla 7.4 se enumeran estas probabilidades así como las frecuencias esperadas (teóricas) y las frecuencias
reales. El ajuste parece ser bueno.
196 CAPÍTULO 7 LAS DISTRIBUCIONES BINOMIAL, NORMAL Y DE POISSON
Tabla 7.4
Número de
caras (X )
Pr{X caras}
Frecuencias
esperadas
Frecuencias
observadas
0
1
2
3
4
5
0.0332
0.1619
0.3162
0.3087
0.1507
0.0294
33.2 o bien 33
161.9 o bien 162
316.2 o bien 316
308.7 o bien 309
150.7 o bien 151
29.4 o bien 29
38
144
342
287
164
25
7.32 Usar la prueba de Kolmogorov-Smirnov de MINITAB para probar la normalidad de los datos de la tabla 7.5. Los
datos representan el tiempo en horas por semana que 30 estudiantes universitarios usan su teléfono celular.
SOLUCIÓN
6
5
16
14
12
13
10
13
17
14
11
13
Tabla 7.5
17
14
16
11
15
15
13
18
12
15
15
16
12
14
14
16
15
14
13
12
Frecuencias
4
3
2
1
0
10
12
14
Horas
a)
16
18
Gráfica de probabilidad de horas
Porcentajes
99
95
90
80
70
60
50
40
30
20
10
5
Normal
Media
Desv estánd
N
KS
Valor P
14
1.948
30
0.031
>0.150
1
10
12
14
Horas
b)
Figura 7-15 Prueba de Kolmogorov-Smirnov para normalidad: datos normales. a) Histograma que muestra
un conjunto de datos distribuidos normalmente; b) la prueba de Kolmogorov-Smirnov para normalidad
indica un valor p > 0.150 para normalidad.
16
18
PROBLEMAS RESUELTOS 197
El histograma de la figura 7-15a) indica que los datos de esta encuesta están distribuidos normalmente. La prueba
de Kolgomorov-Smirnov también indica que los datos muestrales provienen de una población distribuida normalmente. La
mayoría de los especialistas en estadística recomiendan que si el valor p es menor que 0.05, entonces se rechace la hipótesis
de normalidad. Aquí el valor p es > 0.15.
7.33 Usar la prueba de Kolgomorov-Smirnov de MINITAB para probar la normalidad de los datos presentados en
la tabla 7.6. Estos datos son el tiempo en horas, por semana, que emplean su teléfono celular 30 estudiantes
universitarios.
Tabla 7.6
18
17
17
16
16
16
18
16
14
11
16
12
17
18
17
18
18
16
18
18
11
13
17
17
17
15
16
17
15
10
Histograma de horas
9
8
7
Frecuencia
6
5
4
3
2
1
0
10
12
14
16
18
Horas
a)
Porcentaje
99
95
90
80
70
60
50
40
30
20
10
5
Gráfica de probabilidad de horas
Normal
Media 15.83
Desv estánd 2.291
N
30
KS 0.162
Valor P 0.046
1
10 12 14 16 18 20 22
Horas
b)
Figura 7-16 Prueba de Kolgomorov-Smirnov para normalidad; valor p = 0.046, datos no normales.
a) El histograma muestra un conjunto de datos sesgado a la izquierda; b) la prueba de Kolgomorov-Smirnov
para normalidad indica carencia de normalidad.
198 CAPÍTULO 7 LAS DISTRIBUCIONES BINOMIAL, NORMAL Y DE POISSON
La mayoría de los especialistas en estadística recomienda que si el valor p es menor que 0.05 se rechace la hipótesis de
normalidad. En este caso el valor p es menor a 0.05.
7.34 En la tabla 7.7 se presenta el número de días, f, en el que ocurrieron X accidentes automovilísticos en una ciudad
durante un periodo de 50 días. Ajustar a estos datos una distribución de Poisson.
Tabla 7.7
Cantidad de
accidentes (X )
0
1
2
3
4
Cantidad de
días ( f )
21
18
7
3
1
Total 50
SOLUCIÓN
La cantidad media de accidentes es
¼
P fX
P f
Por lo tanto, de acuerdo con la distribución de Poisson,
¼ ð21Þð0Þþð18Þð1Þþð7Þð2Þþð3Þð3Þþð1Þð4Þ ¼ 45
50
50 ¼ 0:90
Pr{X accidentes} ¼ ð0:90ÞX e 0:90
X!
En la tabla 7.8 se dan las probabilidades, de 0, 1, 2, 3 y 4 accidentes, obtenidas con esta distribución de probabilidad
de Poisson, así como las cantidades teóricas o esperadas de días con X accidentes (obtenidas multiplicando las probabilidades
respectivas por 50). Para facilitar la comparación, en la columna 4 se dan nuevamente las cantidades de días de la
tabla 7.7.
Obsérvese que el ajuste de la distribución de Poisson a los datos dados es bueno.
Tabla 7.8
Cantidad de
accidentes (X )
Pr{X accidentes}
Cantidad esperada
de días
Cantidad real
de días
0
1
2
3
4
0.4066
0.3659
0.1647
0.0494
0.0111
23.33 o bien 20
18.30 o bien 18
8.24 o bien 8
2.47 o bien 2
0.56 o bien 1
21
18
7
3
1
En una distribución de Poisson, la varianza es σ 2 = λ. Calculando la varianza a partir de la distribución dada se
obtiene 0.97, lo cual al compararlo con el valor 0.90 de λ resulta favorable, y esto puede tomarse como una evidencia más
de que la distribución de Poisson es adecuada para aproximar los datos muestrales.
PROBLEMAS SUPLEMENTARIOS 199
PROBLEMAS SUPLEMENTARIOS
LA DISTRIBUCIÓN BINOMIAL
7.35 Evaluar a) 7!, b) 10!/(6!4!), c), ( 9 5 ) d ) (11 8 ) y e) (6 1 ).
7.36 Expandir: a) (q + p) 7 y b) (q + p) 10 .
7.37 Hallar la probabilidad de que al lanzar una moneda seis veces se obtengan: a) 0, b) 1, c) 2, d ) 3, e) 4, f ) 5 y g) 6 caras.
h) Emplear MINITAB para construir una distribución de probabilidad para X = número de caras en seis lanzamientos de
una moneda.
7.38 Hallar la probabilidad de que en un solo lanzamiento de seis monedas se obtengan: a) 2 o más caras y b) menos de 4 caras.
c) Usar EXCEL para hallar las respuestas de los incisos a) y b).
7.39 Si X denota el número de caras en un solo lanzamiento de cuatro monedas, encontrar: a) Pr{X = 3}, b) Pr{X < 2}, c) Pr{X
≤ 2} y d )Pr{1 < X ≤ 3}.
7.40 De 800 familias con 5 hijos cada una, ¿cuántas se esperaría que tuvieran: a) 3 niños, b) 5 niñas y c) 2 o 3 niños? Supónganse
iguales probabilidades para niños y niñas.
7.41 Encontrar la probabilidad de obtener, en dos lanzamientos de un par de dados, la suma 11: a) una vez y b) dos veces.
7.42 ¿Cuál es la probabilidad de obtener 9 una sola vez en tres lanzamientos de un par de dados?
7.43 Hallar la probabilidad de adivinar, correctamente, por lo menos 6 de 10 respuestas en un examen de verdadero y falso.
7.44 Un vendedor de seguros vende pólizas a 5 hombres, todos de la misma edad y con buena salud. De acuerdo con las tablas
actuariales, la probabilidad de que un hombre de esta edad esté vivo en 30 años es 2 3
. Encontrar la probabilidad de que
en 30 años estén vivos: a) los 5 hombres, b) por lo menos 3 de estos hombres, c) sólo 2 de estos hombres y d ) por lo menos
1 de ellos. e) Usar EXCEL para responder los incisos del a) al d ).
7.45 Calcular: a) la media, b) la desviación estándar, c) el coeficiente momento de sesgo y d ) el coeficiente momento de curtosis
de la distribución binomial en la que p = 0.7 y N = 60. Interpretar los resultados.
7.46 Mostrar que si una distribución binomial en la que N = 100 es simétrica, su coeficiente momento de curtosis es 2.98.
7.47 Evaluar: a) P ðX Þ 3 pðXÞ y b) P ðX Þ 4 pðXÞ para una distribución binomial.
7.48 Probar las fórmulas (1) y (2) al principio de este capítulo respecto a los coeficientes momento de sesgo y de curtosis.
LA DISTRIBUCIÓN NORMAL
7.49 En un examen de estadística, la puntuación media es 78 y la desviación estándar es 10.
a) Determinar las puntuaciones estándar de dos estudiantes cuyas calificaciones fueron 93 y 62, respectivamente.
b) Determinar las calificaciones de dos estudiantes cuyas puntuaciones estándar fueron −0.6 y 1.2, respectivamente.
7.50 Encontrar: a) la media y b) la desviación estándar de las calificaciones obtenidas en un examen en el que 70 y 88 corresponden
a las puntuaciones estándar −0.6 y 1.4, respectivamente.
7.51 Hallar el área bajo la curva normal entre: a) z = −1.20 y z = 2.40; b) z = 1.23 y z = 1.87, y c) z = −2.35 y z = −0.50.
d ) Resolver los incisos del a) al c) empleando EXCEL.
7.52 Hallar el área bajo la curva normal: a) a la izquierda de z = −1.78, b) a la izquierda de z = 0.56, c) a la derecha de z = −1.45,
d ) correspondiente a z ≥ 2.16, e) correspondiente a −0.80 ≤ z ≤ 1.53 y f ) a la izquierda de z = −2.52 y a la derecha de z =
1.83. g) Resolver los incisos del a) al f ) usando EXCEL.
200 CAPÍTULO 7 LAS DISTRIBUCIONES BINOMIAL, NORMAL Y DE POISSON
7.53 Si z está distribuida normalmente con media 0 y varianza 1, hallar: a) Pr{z ≥ −1.64}, b) Pr{−1.96 ≤ z ≤ 1.96} y
c) Pr{|z| ≥ 1}.
7.54 Hallar el valor de z tal que: a) el área a la derecha de z sea 0.2266, b) el área a la izquierda de z sea 0.0314, c) el área entre
−0.23 y z sea 0.5722, d ) el área entre 1.15 y z sea 0.0730 y e) el área entre −z y z sea 0.9000.
7.55 Encontrar z 1 si Pr{z ≥ z 1 } = 0.84, donde z está distribuida normalmente con media 0 y varianza 1.
7.56 Empleando el apéndice I, encontrar las ordenadas en la curva normal correspondientes a: a) z = 2.25, b) z = −0.32 y
c) z = −1.18. d ) Resolver los incisos del a) al c) empleando EXCEL.
7.57 Las estaturas de hombres adultos tienen una distribución normal cuya media es 70 in y cuya desviación estándar es 3 in.
a) ¿Qué porcentaje mide menos de 65 in? b) ¿Qué porcentaje mide más de 72 in? c) ¿Qué porcentaje está entre 68 y 73 in?
7.58 Las cantidades gastadas, por determinado grupo de edad, en la compra de artículos en línea tienen una distribución normal
cuya media es $125 y cuya desviación estándar es $25. a) ¿Qué porcentaje gasta más de $175? b) ¿Qué porcentaje gasta
entre $100 y $150? c) ¿Qué porcentaje gasta menos de $50?
7.59 En un examen final la calificación media es 72 y la desviación estándar es 9. Los estudiantes que forman parte del 10%
superior obtienen A como nota. ¿Cuál es la calificación mínima para obtener A?
7.60 Si un conjunto de medidas tiene una distribución normal, ¿qué porcentaje de las medidas difiere de la media en: a) más de
media desviación estándar y b) menos de tres cuartos de desviación estándar?
7.61 Si X es la media y s es la desviación estándar de un conjunto de mediciones distribuidas normalmente, ¿qué porcentaje de
las mediciones: a) está dentro del rango X ± 2s, b) están fuera del rango X ± 1.2s y c) son mayores que X − 1.5s?
7.62 En el problema 7.61 encontrar la constante a tal que el porcentaje de casos: a) dentro del rango X ± as sea 75% y b) menores
que X − as sea 22%.
APROXIMACIÓN NORMAL A LA DISTRIBUCIÓN BINOMIAL
7.63 Encontrar la probabilidad de que en 200 lanzamientos de una moneda se obtengan: a) entre 80 y 120 caras inclusive,
b) menos de 90 caras, c) menos de 85 o más de 115 caras y d ) exactamente 100 caras.
7.64 Encontrar la probabilidad de que en un examen de verdadero o falso un estudiante adivine correctamente las respuestas de:
a) 12 de 20 preguntas o más y b) 24 de 40 preguntas o más.
7.65 De los tornillos que se producen con una máquina, 10% está defectuoso. Encontrar la probabilidad de que en una muestra
aleatoria de 400 tornillos producidos con esta máquina: a) cuando mucho 30, b) entre 30 y 50, c) entre 35 y 45 y d ) 55 o
más de los tornillos estén defectuosos.
7.66 Encontrar la probabilidad de obtener más de 25 sietes en 100 lanzamientos de un par de dados.
DISTRIBUCIÓN DE POISSON
7.67 Si 3% de los bulbos eléctricos fabricados por una empresa están defectuosos, encontrar la probabilidad de que en una
muestra de 100 bulbos: a) 0, b) 1, c) 2, d ) 3, e) 4 y f ) 5 bulbos estén defectuosos.
7.68 En el problema 7.67, hallar la probabilidad de que: a) más de 5, b) entre 1 y 3 y c) 2 o menos bulbos estén defectuosos.
PROBLEMAS SUPLEMENTARIOS 201
7.69 Una bolsa contiene 1 canica roja y 7 canicas blancas. De la bolsa se extrae una canica y se observa su color. Después se
regresa la canica a la bolsa y el contenido de la bolsa se mezcla bien. Usando: a) la distribución binomial y b) la aproximación
de Poisson a la distribución binomial, encontrar la probabilidad de que en 8 extracciones se extraiga exactamente 3
veces una canica roja.
7.70 Según la oficina de estadística del Departamento de Salud de Estados Unidos, en ese país la cantidad anual de ahogados
accidentalmente es 3 por 100 000 habitantes. Encontrar la probabilidad de que en una ciudad en que la población es de
200 000 habitantes haya anualmente: a) 0, b) 2, c) 6, d ) 8, e) entre 4 y 8, y f ) menos de 3 ahogados en forma accidental.
7.71 En una empresa, la cantidad promedio de llamadas que llegan al conmutador entre las 2 y las 4 de la tarde es 2.5 por
minuto. Encontrar la probabilidad de que en determinado minuto haya: a) 0, b) 1, c) 2, d ) 3, e) 4 o menos, y f ) más de 6
llamadas.
LA DISTRIBUCIÓN MULTINOMIAL
7.72 Un dado se lanza seis veces. Hallar la probabilidad de que se obtengan: a) un 1, dos 2 y tres 3, y b) una vez cada lado.
7.73 Una caja contiene una gran cantidad de canicas rojas, blancas, azules y amarillas en la proporción 4 : 3 : 2 : 1, respectivamente.
Encontrar la probabilidad de que en diez extracciones los colores de las canicas sean: a) 4 rojas, 3 blancas, 2 azules y
una amarilla y b) 8 rojas y 2 amarillas.
7.74 Encontrar la probabilidad de que en cuatro lanzamientos de un dado no se obtengan 1, 2 ni 3.
AJUSTE DE DATOS A DISTRIBUCIONES TEÓRICAS
7.75 Ajustar la distribución binomial a los datos de la tabla 7.9.
Tabla 7.9
X 0 1 2 3 4
f 30 62 46 10 2
7.76 En una encuesta realizada a estudiantes de educación media se determinaron las horas de ejercicio que practican por semana.
Usando STATISTIX, construir un histograma con los datos. Empleando la prueba de Shapiro-Wilk de STATISTIX,
determinar si los datos provienen de una distribución normal. Los datos aparecen en la tabla 7.10.
Tabla 7.10
5
5
1
4
10
5
2
4
2
1
20
4
3
3
3
3
2
15
1
5
7.77 Con los datos de la tabla 7.5 del problema 7.32, construir un histograma empleando STATISTIX. Empleando la prueba de
Shapiro-Wilk de STATISTIX, determinar si los datos provienen de una distribución normal.
7.78 Las puntuaciones de examen de la tabla 7.11 siguen una distribución en forma de U, que es exactamente lo opuesto a una
distribución normal. Con estos datos, construir un histograma empleando STATISTIX. Usando la prueba de Shapiro-Wilk
de STATISTIX, determinar si los datos provienen de una distribución normal.
202 CAPÍTULO 7 LAS DISTRIBUCIONES BINOMIAL, NORMAL Y DE POISSON
20
40
80
70
90
60
10
30
10
60
Tabla 7.11
90
90
70
40
70
30
20
10
80
50
10
20
50
90
10
80
30
20
90
80
7.79 Emplee los datos de la tabla 7.11. Usando la prueba de Anderson-Darling y la de Ryan-Joiner de MINITAB, determinar si
los datos provienen de una distribución normal.
7.80 Los datos de la tabla 7.12 provienen de 10 cuerpos de la armada prusiana y corresponden a un periodo de 20 años (1875 a
1894). Estos datos muestran la cantidad de muertes, por año, debidas a patadas de caballo. Ajustar una distribución de
Poisson a los datos.
Tabla 7.12
X 0 1 2 3 4
f 109 65 22 3 1
TEORÍA ELEMENTAL
DEL MUESTREO
8
TEORÍA DEL MUESTREO
La teoría del muestreo es el estudio de la relación que existe entre una población y las muestras que se obtienen de esa
población. La teoría del muestreo se emplea en muchos contextos. Por ejemplo, en la estimación de cantidades poblacionales
desconocidas (como la media y la varianza poblacionales), a las que se les conoce como parámetros
poblacionales o simplemente parámetros, a partir de las correspondientes cantidades muestrales (como la media y la
varianza muestrales), a menudo conocidas como estadísticos muestrales o simplemente estadísticos. El problema de
la estimación se estudia en el capítulo 9.
La teoría del muestreo también sirve para determinar si las diferencias que se observan entre dos muestras se deben
a variaciones casuales o si son diferencias realmente significativas. Tales preguntas surgen, por ejemplo, al probar un
nuevo suero para el tratamiento de una enfermedad o cuando se tiene que decidir si un proceso de producción es mejor
que otro. Para responder a estas preguntas se usan las llamadas pruebas de significancia o de hipótesis, fundamentales
en la teoría de decisiones. Estos temas se tratan en el capítulo 10.
En general, al estudio de las inferencias que se hacen acerca de una población, empleando muestras obtenidas de
ella, y de las indicaciones de la exactitud de tales inferencias, mediante el uso de la teoría de la probabilidad, es a lo
que se le llama inferencia estadística.
MUESTRAS ALEATORIAS Y NÚMEROS ALEATORIOS
Para que las conclusiones que se obtienen empleando la teoría del muestreo y la inferencia estadística sean válidas, las
muestras deben elegirse de manera que sean representativas de la población. Al estudio de los métodos de muestreo y
de los problemas relacionados con ellos se le conoce como diseño de experimentos.
Una manera de obtener una muestra representativa es mediante un proceso llamado muestreo aleatorio, mediante
el cual cada uno de los miembros de la población tiene la misma posibilidad de ser incluido en la muestra. Una técnica
para obtener una muestra aleatoria consiste en asignarle, a cada miembro de la población, un número, escribir estos
números en pedazos pequeños de papel, colocarlos en una urna y después extraer los números de la urna, teniendo
cuidado de mezclar muy bien antes de cada extracción. Una alternativa a este método es usar una tabla de números
aleatorios (ver el apéndice IX), la cual se construye especialmente para este fin. Ver el problema 8.6.
203
204 CAPÍTULO 8 TEORÍA ELEMENTAL DEL MUESTREO
MUESTREO CON REPOSICIÓN Y SIN ELLA
Si se extrae un número de una urna, antes de extraer otro, el número puede ser devuelto a la urna (ser repuesto) o no.
En el primer caso, el número puede ser extraído varias veces, en tanto que en el segundo caso sólo puede ser extraído
una vez. A un muestreo en el que cada miembro de la población puede ser elegido más de una vez se le llama muestreo
con reposición; en cambio, si sólo puede ser elegido una vez se llama muestreo sin reposición.
Una población puede ser finita o infinita. Por ejemplo, si de una urna que contiene 100 canicas se extraen sucesivamente
10 canicas sin reposición, se está muestreando una población finita; en cambio, si se lanza una moneda 50
veces y se cuenta la cantidad de caras, se está muestreando de una población infinita.
Una población finita que se muestrea con reposición puede considerarse teóricamente infinita, ya que se puede
extraer cualquier cantidad de muestras sin agotar la población. Para fines prácticos, cuando se muestrea de una población
finita pero muy grande, se puede considerar que el muestreo se hace de una población infinita.
DISTRIBUCIONES MUESTRALES
Considérense todas las muestras de tamaño N que pueden extraerse de determinada población (ya sea con reposición
o sin ella). Para cada muestra se pueden calcular diversos estadísticos (como media o desviación estándar), los cuales
variarán de una muestra a otra. De esta manera se obtiene una distribución del estadístico de que se trate, a la que se
le llama distribución muestral.
Por ejemplo, si el estadístico de que se trata es la media muestral, a la distribución que se obtiene se le llama distribución
muestral de las medias o distribución muestral de la media. De igual manera se pueden obtener distribuciones
muestrales de las desviaciones estándar, de las varianzas, de las medianas, de las proporciones, etcétera.
A cada distribución muestral se le puede calcular su media, su desviación estándar, etc. Así, se puede hablar de la
media, de la desviación estándar, de la distribución muestral de las medias, etcétera.
DISTRIBUCIONES MUESTRALES DE MEDIAS
Supóngase que de una población finita de tamaño N p > N se extraen, sin reposición, todas las muestras posibles de
tamaño N. Si se denota con X y X respectivamente, a la media y a la desviación estándar de una distribución muestral
de las medias, y con µ y σ, respectivamente, a la media y la desviación estándar poblacionales, entonces
X ¼ y X ¼ p
ffiffiffiffi
N
sffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
N p N
N p 1
(1)
Si la población es infinita, o si el muestreo se hace con reposición, las fórmulas anteriores se reducen a
X ¼ y X ¼ p ffiffiffiffi
(2)
N
Si el valor de N es grande (N ≥ 30), la distribución muestral de las medias es aproximadamente normal con media
X y desviación estándar X, independientemente de la población (siempre y cuando la media y la varianza poblacionales
sean finitas y el tamaño de la población sea por lo menos el doble del tamaño de la muestra). Si la población es
infinita, este resultado es un caso especial del teorema del límite central de la teoría avanzada de la probabilidad, el
cual muestra que la exactitud de la aproximación aumenta a medida que N aumenta. Esto suele indicarse diciendo que
la distribución muestral es asintóticamente normal.
Si la población está distribuida normalmente, la distribución muestral de las medias también es normal aun cuando
el valor de N sea pequeño (es decir, N < 30).
DISTRIBUCIONES MUESTRALES DE DIFERENCIAS Y SUMAS 205
DISTRIBUCIONES MUESTRALES DE PROPORCIONES
Supóngase que una población sea infinita y que la probabilidad de ocurrencia de un evento (llamada éxito) es p, y que
la probabilidad de no ocurrencia del evento es q = 1 − p. La población puede ser, por ejemplo, la de los lanzamientos
de una moneda, en los que la probabilidad del evento “cara” es p ¼ 1 2
. Considérense todas las posibles muestras de
tamaño N extraídas de esta población, y para cada muestra determínese la proporción P de éxitos. En el caso de una
moneda, P es la proporción de caras en N lanzamientos. De esta manera se obtiene una distribución muestral de las
proporciones cuya media µ P y cuya desviación estándar σ P están dadas por
rffiffiffiffiffi
rffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
pq pð1 pÞ
P ¼ p y P ¼ ¼
N N
(3)
p
que se pueden obtener de la ecuación (2) sustituyendo µ = p y ¼
ffiffiffiffiffi pq . Si el valor de N es grande (N ≥ 30), esta
distribución muestral es aproximadamente normal. Obsérvese que la población está distribuida en forma binomial.
Las ecuaciones (3) también son válidas para poblaciones finitas si el muestreo se hace con reposición. En el caso
de poblaciones finitas en las que el muestreo se hace sin reposición, las ecuaciones (3) se sustituyen por las ecuaciones
p
(1) con µ = p y ¼ ffiffiffiffiffi pq .
Obsérvese que
pffiffiffiffiffiffiffiffiffi
las ecuaciones (3) pueden obtenerse más fácilmente dividiendo entre N, la media y la desviación
estándar (Np y Npq) de la distribución binomial (ver capítulo 7).
DISTRIBUCIONES MUESTRALES DE DIFERENCIAS Y SUMAS
Se supone que se tienen dos poblaciones. Para cada muestra de tamaño N 1 tomada de la primera población se calcula
un estadístico S 1 , con lo que se obtiene una distribución muestral de este estadístico S 1 , cuya media y desviación estándar
se denotan µ S1 y σ S1 , respectivamente. De igual manera, para cada muestra de tamaño N 2 tomada de la segunda
población se calcula un estadístico S 2 , con lo que se obtiene una distribución muestral de este estadístico S 2 , cuya media
y desviación estándar se denotan µ S2 y σ S2 , respectivamente. Con todas las posibles combinaciones de estas muestras
de las dos poblaciones se obtiene una distribución de las diferencias, S 1 – S 2 , a la que se le llama distribución muestral
de las diferencias de los estadísticos. La media y la desviación estándar de esta distribución muestral se denotan, respectivamente,
µ S1−S2 y σ S1−S2 , y están dadas por
S1 S2 ¼ S1 S2 y S1 S2 ¼
qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
2 S1 þ 2 S2
(4)
siempre y cuando las muestras elegidas no dependan, de manera alguna, una de la otra (es decir, las muestras sean
independientes).
Si S 1 y S 2 son las medias muestrales de las dos poblaciones, a las que se les denota X 1 y X 2 , respectivamente, entonces
la distribución muestral de las diferencias de las medias está dada para poblaciones infinitas con media y desviación
estándar (µ 1 y σ 1 ) y (µ 2 y σ 2 ), respectivamente, por
X1 X2 ¼ X1 X2 ¼ 1 2 y X1 X2 ¼
qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
2 X1 þ 2 ¼ X2
sffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
2 1
þ 2 2
N 1 N 2
(5)
usando las ecuaciones (2). Estas ecuaciones también son válidas para poblaciones finitas si el muestreo se hace con
reposición. Para poblaciones finitas en las que el muestreo se haga sin reposición, se obtienen ecuaciones similares
empleando las ecuaciones (1).
Distribución
muestral
Error
estándar
Tabla 8.1 Error estándar de distribuciones muestrales
Observaciones
Media X ¼ p
ffiffiffiffi
N
Proporciones
rffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
rffiffiffiffiffi
pð1 pÞ pq
P ¼
¼
N N
Esta fórmula es válida tanto para muestras grandes como para
muestras pequeñas. La distribución muestral de las medias se aproxima
a una distribución normal cuando N ≥ 30, aun cuando la población no
sea normal.
X ¼ , la media poblacional, en todos los casos.
La observación hecha para las medias también es válida en este
caso.
µ P = p, en todos los casos.
Desviaciones
estándar
Medianas
Primero y tercer
cuartiles
(1) s ¼ p
ffiffiffiffiffiffi
2N
sffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
(2) s ¼ 4 2 2
4N 2
rffiffiffiffiffiffiffi
med ¼ ¼ 1:2533 pffiffiffiffi
2N N
Q1 ¼ Q3 ¼ 1:3626 pffiffiffiffi
N
Cuando N ≥ 100, la distribución muestral de s es casi normal.
σ s está dada por (1) sólo si la población es normal (o
aproximadamente normal). Si la población no es normal, se puede usar
(2).
Obsérvese que (2) se reduce a (1) cuando µ 2 = σ 2 y µ 4 = 3σ 4 , lo
que ocurre en poblaciones normales.
Cuando N ≥ 100, µ s = σ muy aproximadamente.
Cuando N ≥ 30, la distribución muestral de la mediana es casi
normal. La fórmula dada es válida sólo si la población es normal (o
aproximadamente normal).
µ med = µ
La observación hecha para las medianas también es válida aquí.
µ Q1 y µ Q3 son casi iguales al primero y tercer cuartiles de la
población.
Obsérvese que σ Q2 = σ med
Deciles
Rangos
semiintercuartílicos
Varianzas
Coeficiente de
variación
D1 ¼ D9 ¼ 1:7094 pffiffiffiffi
N
D2 ¼ D8 ¼ 1:4288 pffiffiffiffi
N
D3 ¼ D7 ¼ 1:3180 pffiffiffiffi
N
D4 ¼ D6 ¼ 1:2680 pffiffiffiffi
N
Q ¼ 0:7867 pffiffiffiffi
N
rffiffiffiffi
(1) S 2 ¼ 2 2
N
vffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
u N 3
t 4
(2) S 2 ¼
N 1 2 2
N
V ¼ ffiffiffiffiffiffiffi
v pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
p 1 þ 2v 2
2N
Las observaciones hechas para las medianas también son válidas
aquí.
µ D1 , µ D2 , . . . son casi iguales al primero, segundo, . . . deciles de la
población.
Obsérvese que σ D5 = σ med .
Las observaciones hechas para las medianas también son válidas
aquí.
µ Q es casi igual al rango semiintercuartil poblacional.
Las observaciones hechas para la desviación estándar también son
válidas aquí. Obsérvese que si la población es normal (2) da (1).
µ S
2 = σ 2 (N – 1)/N, que es casi igual a σ 2 cuando N es grande.
Aquí υ = σ/µ es el coeficiente de variación poblacional. La
fórmula dada es válida para poblaciones normales (o casi normales) y
N ≥ 100.
DEMOSTRACIONES DE LA TEORÍA ELEMENTAL DEL MUESTREO EMPLEANDO SOFTWARE 207
Pueden obtenerse resultados semejantes para las distribuciones muestrales de las diferencias entre las proporciones
de dos poblaciones distribuidas en forma binomial con parámetros (p 1 , q 1 ) y (p 2 , q 2 ), respectivamente. En este caso, S 1
y S 2 son proporción de éxitos, P 1 y P 2 , y las ecuaciones (4) se transforman en
P1 P2 ¼ P1 P2 ¼ p 1 p 2 y P1 P2 ¼
qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
2 P1 þ 2 P2
¼
rffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
p 1 q 1
þ p 2q 2
N 1 N 2
Si N 1 y N 2 son grandes (N 1 , N 2 ≥ 30), la distribución muestral de diferencias entre medias o proporciones se aproximan
mucho a una distribución normal.
Algunas veces se necesita la distribución muestral de la suma de estadísticos. La media y la desviación estándar
de estas distribuciones están dadas por
qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
S1þS2 ¼ S1 þ S2 y S1þS2 ¼ 2 S1 þ 2 S2
(7)
suponiendo que las muestras sean independientes.
(6)
ERRORES ESTÁNDAR
A la desviación estándar de la distribución muestral de un estadístico suele conocérsele como su error estándar. En la
tabla 8.1 se enumeran los errores estándar de distribuciones muestrales de varios estadísticos, suponiendo que el muestreo
es un muestreo aleatorio de una población infinita (o muy grande) o de una población finita pero hecho el muestreo
con reposición. Se presentan también algunas observaciones especiales en las que se dan las condiciones bajo las
cuales son válidas las fórmulas, así como otras observaciones pertinentes.
Las cantidades µ, σ, p, µ r y X, s, P, m r denotan media, desviación estándar, proporción y el r-ésimo momento
respecto a la media, poblacionales y muestrales, respectivamente.
Se hace notar que si el tamaño N de la muestra es suficientemente grande, la distribución muestral es normal o casi
normal. A esto se debe que estos métodos se conozcan como métodos para muestras grandes. Cuando N < 30, a las
muestras se les llama pequeñas. La teoría de las muestras pequeñas o teoría del muestreo exacto, como se le llama
algunas veces, se estudia en el capítulo 11.
Cuando los parámetros poblacionales, por ejemplo, σ, p o pbien µ r no se conocen, pueden estimarse con bastante
exactitud a partir de sus estadísticos muestrales, s (o bien ^s ¼
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
N=ðN 1Þs), P y m r , siempre y cuando las muestras
sean suficientemente grandes.
DEMOSTRACIONES DE LA TEORÍA ELEMENTAL DEL MUESTREO
EMPLEANDO SOFTWARE
EJEMPLO 1
En una población grande se define la siguiente variable aleatoria. X es la cantidad de computadoras por hogar; X está distribuida de
manera uniforme, es decir, p(x) = 0.25 para x = 1, 2, 3 y 4. En otras palabras, 25% de los hogares tiene 1 computadora; 25% tiene
2 computadoras; 25% tiene tres computadoras y 25% tiene 4 computadoras. La media ð Þ de X es ¼ xpðxÞ ¼0:25 þ 0:5 þ 0:75
þ 1 ¼ 2:5. La varianza de X es 2 ¼ x 2 pðxÞ 2 ¼ 0:25 þ 1 þ 2:25 þ 4 6:25 ¼ 1:25. Entonces, la cantidad media de computadoras
por hogar es 2.5 y la varianza de la cantidad de computadoras por hogar es 1.25.
EJEMPLO 2
Para enumerar todas las muestras, tomadas con reposición, de dos hogares puede usarse MINITAB. La hoja de cálculo se verá como
la que se presenta en la tabla 8.2. Las 16 muestras aparecen en C1 y C2, y la media de cada una de ellas en C3. Como la población
está distribuida de manera uniforme, la probabilidad de cada media muestral es 1/16. Resumiendo, en las columnas C4 y C5 se da
la distribución de probabilidad.
Obsérvese ð Þque ð x ¼ xpðxÞ Þ ¼1ð0:0625Þþ1:5ð0:1250Þþþ4ð0:0625Þ ð Þ ð Þ
¼2:5. Como se ve x ¼ . Además, 2 x ¼
x 2 pðxÞ 2 x ¼ 1ð0:0625Þþ2:25ð0:1250Þþþ16ð0:0625Þ 6:25 ¼ 0:625 con lo que 2 x ¼ð 2 =2Þ. Empleando MINITAB
para dibujar la gráfica de la distribución de probabilidad de x barra se obtiene el resultado que se muestra en la figura 8-1. (Obsérvese
que X y x barra se usan indistintamente.)
208 CAPÍTULO 8 TEORÍA ELEMENTAL DEL MUESTREO
Tabla 8.2
C1
hogar 1
C2
hogar 2
C3
media
C4
x barra
C5
p(x barra)
1
1
1
1
2
2
2
2
3
3
3
3
4
4
4
4
1
2
3
4
1
2
3
4
1
2
3
4
1
2
3
4
1.0
1.5
2.0
2.5
1.5
2.0
2.5
3.0
2.0
2.5
3.0
3.5
2.5
3.0
3.5
4.0
1.0
1.5
2.0
2.5
3.0
3.5
4.0
0.0625
0.1250
0.1875
0.2500
0.1875
0.1250
0.0625
0.25
0.20
p(x barra)
0.15
0.10
0.05
1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5
x barra
Figura 8-1 Gráfica de p(x barra) vs. x barra.
4.0
PROBLEMAS RESUELTOS
DISTRIBUCIÓN MUESTRAL DE LAS MEDIAS
8.1 Una población consta de los cinco números 2, 3, 6, 8 y 11. Considerar todas las muestras de tamaño 2 que
pueden extraerse de esta población con reposición. Encontrar: a) la media de la población, b) la desviación
estándar de la población, c) la media de la distribución muestral de las medias y d ) la desviación estándar de
la distribución muestral de las medias (es decir, el error estándar de las medias).
PROBLEMAS RESUELTOS 209
SOLUCIÓN
a) ¼ 2 þ 3 þ 6 þ 8 þ 11 ¼ 30
5
5 ¼ 6:0
b) 2 ¼ ð2 6Þ2 þð3 6Þ 2 þð6 6Þ 2 þð8 6Þ 2 þð11 6Þ 2
5
y σ = 3.29.
¼
16 þ 9 þ 0 þ 4 þ 25
¼ 10:8
5
c) Existen 5(5) = 25 muestras de tamaño 2 que pueden extraerse con reposición (ya que a cada uno de los cinco números
de la primera extracción le corresponden cada uno de los cinco números de la segunda extracción). Así, se tiene
(2, 2) (2, 3) (2, 6) (2, 8) (2, 11)
(3, 2) (3, 3) (3, 6) (3, 8) (3, 11)
(6, 2) (6, 3) (6, 6) (6, 8) (6, 11)
(8, 2) (8, 3) (8, 6) (8, 8) (8, 11)
(11, 2) (11, 3) (11, 6) (11, 8) (11, 11)
Las medias muestrales correspondientes son
2.0 2.5 4.0 5.0 6.5
2.5 3.0 4.5 5.5 7.0
4.0 4.5 6.0 7.0 8.5
5.0 5.5 7.0 8.0 9.5
6.5 7.0 8.5 9.5 11.0
(8)
y la media de la distribución muestral de las medias es
X =
suma de todas las medias muestrales de (8)
= 150
25
25 = 6.0
lo que ilustra que X ¼ .
d )
La varianza 2 X de la distribución muestral de las medias se obtiene restándole 6 a cada una de las medias en (8), elevando
cada resultado al cuadrado, sumando los 25 resultados obtenidos y dividiendo esta suma entre el 25. El resultado
final es 2 X ¼ 135=25 ¼ 5:40 y por lo tanto p
X ¼
ffiffiffiffiffiffiffiffiffi
5:40 ¼ 2:32. Esto ilustra que en una población finita en la
que se muestrea con reposición (o en una población infinita), 2 X ¼ 2 =N, ya que el lado derecho es 10.8/2 = 5.40, que
coincide con el valor anterior.
8.2 Resolver el problema 8.1 considerando que el muestreo se hace sin reposición.
SOLUCIÓN
Como en los incisos a) y b) del problema 8.1, µ = 6 y σ = 3.29.
c) Existen ð 5 2Þ¼10 muestras de tamaño 2 que pueden ser extraídas sin reposición (esto significa que se extrae un número
y después otro diferente al primero) de la población: (2, 3), (2, 6), (2, 8), (2, 11), (3, 6), (3, 8), (3, 11), (6, 8), (6, 11) y
(8, 11). La extracción (2, 3) se considera igual a la (3, 2).
Las medias muestrales correspondientes son 2.5, 4.0, 5.0, 6.5, 4.5, 5.5, 7.0, 7.0, 8.5 y 9.5, y la media de la
distribución muestral de las medias es
X ¼
2:5 þ 4:0 þ 5:0 þ 6:5 þ 4:5 þ 5:5 þ 7:0 þ 7:0 þ 8:5 þ 9:5
¼ 6:0
10
210 CAPÍTULO 8 TEORÍA ELEMENTAL DEL MUESTREO
d )
lo que ilustra que X ¼ .
La varianza de la distribución muestral de las medias es
2 X ¼ ð2:5 6:0Þ2 þð4:0 6:0Þ 2 þð5:0 6:0Þ 2 þþð9:5 6:0Þ 2
10
¼ 4:05
y X ¼ 2:01. Esto ilustra que
ya que el lado derecho es igual a
2 X ¼ 2
N
10:8
2
N p
N
N p 1
5 2
5 1
¼ 4:05
que es lo que se obtuvo antes.
8.3 Supóngase que las estaturas de 3 000 estudiantes del sexo masculino de una universidad tienen una distribución
normal con media 68.0 pulgadas (in) y desviación estándar 3.0 in. Si se obtienen 80 muestras, cada una de 25
estudiantes, ¿cuáles serán la media y la desviación estándar esperadas de la distribución muestral de las medias
si el muestreo se hace: a) con reposición y b) sin reposición?
SOLUCIÓN
El número de muestras de tamaño 25 que teóricamente pueden obtenerse de un grupo de 3 000 estudiantes, con reposición
y sin ésta son, respectivamente (3 000) 25 y ð 3000
25
Þ, que son mucho más que 80. De manera que no se obtendrá una verdadera
distribución muestral de las medias, sino únicamente una distribución muestral experimental. De cualquier manera,
dado que el número de muestras es grande, habrá una estrecha coincidencia entre las dos distribuciones muestrales. Por lo
tanto, la media y la desviación estándar esperadas serán muy semejantes a las de la distribución teórica. Se tiene:
a) X ¼ ¼ 68:0in y X ¼ p ffiffiffiffi ¼ p
3 ffiffiffiffiffi ¼ 0:6in
N 25
√
¯¯¯¯¯¯¯¯
N
b) X ¼ 68:0in y X = √ p N
= 3¯¯¯
√
¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯ 3 000 25
√
¯¯ N N p 1 25 3 000 1
que es apenas ligeramente menor a 0.6 in y por lo tanto, para fines prácticos, puede considerarse igual a la del muestreo
con reposición.
De esta manera, se espera que la distribución muestral experimental de las medias esté distribuida de manera
aproximadamente normal con media 68.0 in y desviación estándar 0.6 in.
8.4 ¿En cuántas de las muestras del problema 8.3 se esperaría encontrar que la media: a) estuviera entre 66.8 y
68.3 in y b) fuera menor a 66.4 in?
SOLUCIÓN
La media X de una muestra, en unidades estándar, está dada por
z ¼ X
X
X
a) 66.8 en unidades estándar ¼
68.3 en unidades estándar ¼
¼ X 68:0
0:6
66:8 68:0
¼ 2:0
0:6
68:3 68:0
¼ 0:5
0:6
PROBLEMAS RESUELTOS 211
−2.0 0.5
a)
−2.67
b)
Figura 8-2 Áreas bajo la curva normal estándar. a) En esta curva normal estándar se muestra
el área entre z = –2 y z = 0.5. b) En esta curva normal estándar se muestra el área
a la izquierda de z = –2.67.
Como se muestra en la figura 8-2a).
La proporción de muestras cuya media está entre 66.8 y 68.3 in
= (área bajo la curva normal entre z = −2.0 y z = 0.5)
= (área entre z = −2 y z = 0) + (área entre z = 0 y z = 0.5)
= 0.4772 + 0.1915 = 0.6687
Por lo tanto, la cantidad esperada de muestras es (80)(0.6687) = 56.496, o 53.
b) 66.4 en unidades estándar ¼
66:4 68:0
0:6
¼ 2:67
Como se muestra en la figura 8-2b).
Proporción de las muestras que tienen una media
menor que 66.4 in = (área bajo la curva normal a la izquierda de z = −2.67)
= (área a la izquierda de z = 0)
− (área entre z = −2.67 y z = 0)
= 0.5 − 0.4962 = 0.0038
Por lo tanto, el número de muestras esperada es (80)(0.0038) = 0.304 o cero.
8.5 Se tienen 500 balines cuyo peso medio es 5.02 gramos (g) y cuya desviación estándar es 0.30 g. Encontrar la
probabilidad de que todos los balines de una muestra aleatoria de 100 balines, tomada de estos balines, pese:
a) entre 496 y 500 g y b) más de 510 g.
212 CAPÍTULO 8 TEORÍA ELEMENTAL DEL MUESTREO
SOLUCIÓN
Para la distribución muestral de las medias, X ¼ ¼ 5:02 g, y
sffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
X ¼ p
N p N
ffiffiffiffi ¼ 0:30
rffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
500 100
pffiffiffiffiffiffiffi
¼ 0:027 g
N N p 1 100 500 1
a) El peso de los 100 balines, juntos, estará entre 496 y 500 g, si el peso medio de los balines se encuentra entre 4.96 y
5.00 g.
4.96 en unidades estándar ¼
5.00 en unidades estándar ¼
4:96 5:02
¼
0:0027
2:22
5:00 5:02
¼
0:027
0:74
Como se muestra en la figura 8-3a),
Probabilidad buscada = (área entre z = −2.22 y z = −0.74)
= (área entre z = −2.22 y z = 0) − (área entre z = −0.74 y z = 0)
= 0.4868 – 0.2704 = 0.2164
−2.22 −0.74
a)
2.96
b)
Figura 8-3 Las probabilidades muestrales se encuentran como áreas bajo la curva normal estándar.
a) Curva normal estándar en la que se muestra el área entre z = –2.22 y z = –0.74; b) curva normal
estándar en la que se muestra el área a la derecha de z = 2.96.
b) El peso de los 100 balines juntos será mayor a 510 g si el peso medio de los balines es mayor a 5.10 g.
5.10 en unidades estándar ¼
5:10 5:02
¼ 2:96
0:027
PROBLEMAS RESUELTOS 213
Como se muestra la figura 8-3b),
Probabilidad buscada = (área a la derecha de z = 2.96)
= (área a la derecha de z = 0) – (área entre z = 0 y z = 2.96)
= 0.5 – 0.4985 = 0.0015
Por lo tanto, sólo hay 3 posibilidades en 2 000 de obtener una muestra de 100 balines que juntos pesen más de 510 g.
8.6 a) Mostrar la manera de tomar, de la tabla 2.1, 30 muestras aleatorias (con reposición) de 4 estudiantes cada
una, empleando números aleatorios.
b) Encontrar la media y la desviación estándar de la distribución muestral de las medias del inciso a).
c) Comparar los resultados del inciso b) con los valores teóricos y explicar cualquier discrepancia.
SOLUCIÓN
a) Para enumerar cada uno de los 100 estudiantes se emplean los dígitos: 00, 01, 02, . . . , 99 (ver la tabla 8.3). Por lo tanto,
los 5 estudiantes cuya estatura está en el intervalo 60-62 están numerados 00-04; los dieciocho estudiantes cuya estatura
está en el intervalo 63-65 están numerados 05-22, etc. Al número de cada estudiante se le llama número de muestreo.
Tabla 8.3
Estatura (in) Frecuencias Número de muestreo
60-62
63-65
66-68
69-71
72-74
5
18
42
27
8
00-04
05-22
23-64
65-91
92-99
Después, se extraen números de muestreo de una tabla de números aleatorios (apéndice IX). En el primer renglón
se encuentra la secuencia 51, 77, 27, 46, 40, etc., la que será considerada como los números del muestreo aleatorios,
cada uno de los cuales dará la estatura de determinado estudiante. Así, 51 corresponde a un estudiante cuya estatura
está en el intervalo 66-68 in, estatura que se toma como 67 in (la marca de clase). De igual manera, 77, 27 y 46 dan
las estaturas 70, 67 y 67 in, respectivamente.
Mediante este proceso se obtiene la tabla 8.4, en la que se muestra el número de muestreo extraído, la estatura
correspondiente y la estatura promedio de cada una de las 30 muestras. Es necesario decir que aunque se han tomado
los números aleatorios del primer renglón de la tabla, igualmente podría haberse partido de cualquier otro lugar de la
tabla y elegir cualquier otro patrón específico.
b) En la tabla 8.5 se da la distribución de frecuencias de las medias muestrales de las estaturas obtenidas en el inciso a).
Ésta es una distribución muestral de las medias. La media y la desviación estándar se obtienen, como de costumbre,
empleando un método de compilación de los capítulos 3 y 4:
Media ¼ A þ cu ¼ A þ c P fu ð0:75Þð23Þ
¼ 67:00 þ ¼ 67:58 in
N
30
qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
sffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
P P
sffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
fu
Desviación estándar ¼ c u 2 u 2
2 fu 2
123 23 2
¼ c
¼ 0:75
¼ 1:41 in
N N
30 30
c) La media teórica de la distribución muestral de las medias, dada por X, debe ser igual a la media poblacional µ, que
es 67.45 in (ver problema 3.22), lo que coincide con el valor 67.58 del inciso b).
La p desviación estándar teórica (error estándar) de la distribución muestral de las medias, dada por X, debe ser
igual a =
ffiffiffiffi
N , donde p la desviación estándar poblacional es σ = 2.92 in (ver problema 4.17) y el tamaño de la muestra
es N = 4. Como =
ffiffiffiffi pffiffi
N ¼ 2:92= 4 ¼ 1:46 in, esto coincide con el valor 1.41 in del inciso b). Las ligeras discrepancias
resultan de que sólo se tomaron 30 muestras y de que el tamaño de la muestra es pequeño.
214 CAPÍTULO 8 TEORÍA ELEMENTAL DEL MUESTREO
Tabla 8.4
Números muestrales
extraídos
Estaturas
correspondientes
Estatura
media
Números muestrales
extraídos
Estaturas
correspondientes
Estatura
media
1. 51, 77, 27, 46 67, 70, 67, 67 67.75 16. 11, 64, 55, 58 64, 67, 67, 67 66.25
2. 40, 42, 33, 12 67, 67, 67, 64 66.25 17. 70, 56, 97, 43 70, 67, 73, 67 69.25
3. 90, 44, 46, 62 70, 67, 67, 67 67.75 18. 74, 28, 93, 50 70, 67, 73, 67 69.25
4. 16, 28, 98, 93 64, 67, 73, 73 69.25 19. 79, 42, 71, 30 70, 67, 70, 67 68.50
5. 58, 20, 41, 86 67, 64, 67, 70 67.00 20. 58, 60, 21, 33 67, 67, 64, 67 66.25
6. 19, 64, 08, 70 64, 67, 64, 70 66.25 21. 75, 79, 74, 54 70, 70, 70, 67 69.25
7. 56, 24, 03, 32 67, 67, 61, 67 65.50 22. 06, 31, 04, 18 64, 67, 61, 64 64.00
8. 34, 91, 83, 58 67, 70, 70, 67 68.50 23. 67, 07, 12, 97 70, 64, 64, 73 67.75
9. 70, 65, 68, 21 70, 70, 70, 64 68.50 24. 31, 71, 69, 88 67, 70, 70, 70 69.25
10. 96, 02, 13, 87 73, 61, 64, 70 67.00 25. 11, 64, 21, 87 64, 67, 64, 70 66.25
11. 76, 10, 51, 08 70, 64, 67, 64 66.25 26. 03, 58, 57, 93 61, 67, 67, 73 67.00
12. 63, 97, 45, 39 67, 73, 67, 67 68.50 27. 53, 81, 93, 88 67, 70, 73, 70 70.00
13. 05, 81, 45, 93 64, 70, 67, 73 68.50 28. 23, 22, 96, 79 67, 64, 73, 70 68.50
14. 96, 01, 73, 52 73, 61, 70, 67 67.75 29. 98, 56, 59, 36 73, 67, 67, 67 68.50
15. 07, 82, 54, 24 64, 70, 67, 67 67.00 30. 08, 15, 08, 84 64, 64, 64, 70 65.50
Tabla 8.5
Media muestral Cuenta f u fu fu 2
64.00
64.75
65.50
66.25
A → 67.00
67.75
68.50
69.25
70.00
/
//
/////
////
////
//////
////
/
/
/
/
1
0
2
6
4
4
7
5
1
–4
–3
–2
–1
0
1
2
3
4
–4
0
–4
–6
0
4
14
15
4
16
0
8
6
0
4
28
45
16
P f = N = 30
P fu = 23
P fu
2
= 123
DISTRIBUCIÓN MUESTRAL DE PROPORCIONES
8.7 Encontrar la probabilidad de que en 120 lanzamientos de una moneda: a) menos del 40% o más del 60% sean
cara y b) 5 8 o más sean cara.
SOLUCIÓN
Primer método
Los 120 lanzamientos de la moneda se consideran una muestra de la población infinita de todos los posibles lanzamientos de
una moneda. En esta población la probabilidad de obtener cara es p ¼ 1 2 y la probabilidad de obtener cruz es q ¼ 1 p ¼ 1 2 .
PROBLEMAS RESUELTOS 215
a) La probabilidad que se busca es que en 120 lanzamientos, la cantidad de caras sea menor a 48 o mayor a 72. Se procederá,
como en el capítulo 7, empleando la aproximación normal a la binomial. Como el número de caras es una
variable discreta, se busca la probabilidad de que el número de caras sea menor a 47.5 o mayor a 72.5.
µ = número esperado de caras ¼ Np ¼ 120ð 1 pffiffiffiffiffiffiffiffiffi
qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
2Þ¼60 y ¼ Npq ¼ ð120Þð 1 2 Þð1 2 Þ ¼ 5:48
Como se muestra en la figura 8-4,
47.5 en unidades estándar ¼
72.5 en unidades estándar ¼
47:5 60
¼ 2:28
5:48
72:5 60
¼ 2:28
5:48
Probabilidad buscada = (área a la izquierda de –2.28 más área a la derecha de 2.28)
= (2(0.0113) = 0.0226)
−2.28 2.28
Figura 8-4 En la aproximación normal a la binomial se usa la curva normal estándar.
Segundo método
P ¼ p ¼ 1 2 ¼ 0:50
sffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
rffiffiffiffiffi
pq ð 1 2
P ¼ ¼
Þð1 2 Þ ¼ 0:0456
N 120
40% en unidades estándar ¼
60% en unidades estándar ¼
0:40 0:50
¼ 2:19
0:0456
0:60 0:50
¼ 2:19
0:0456
Probabilidad buscada = (área a la izquierda de –2.19 más área a la derecha de 2.19)
= (2(0.0143) = 0.0286)
Aunque este resultado es exacto a dos cifras significativas, no hay una coincidencia exacta debido a que no se usó el
hecho de que una proporción es en realidad una variable discreta. Para tomar en cuenta esto, a 0.40 se le resta
216 CAPÍTULO 8 TEORÍA ELEMENTAL DEL MUESTREO
1/2N = 1/2(120) y a 0.60 se le suma 1/2N = 1/2(120); como 1/240 = 0.00417, las proporciones buscadas son, en
unidades estándar,
0:40 0:00417 0:50
¼ 2:28 y
0:0456
0:60 þ 0:00417 0:50
0:0456
¼ 2:28
con lo que se obtiene coincidencia con el primer método.
Obsérvese que (0.40 − 0.00417) y (0.60 + 0.00417) corresponden a las proporciones 47.5/120 y 72.5/120
usadas en el primer método.
b) Usando el segundo método del inciso a) se encuentra que como 5 8 ¼ 0:6250,
(0.6250 – 0.00417) en unidades estándar ¼
0:6250 0:00417 0:50
¼ 2:65
0:0456
Probabilidad buscada = (área bajo la curva normal a la derecha de z = 2.65)
= (área a la derecha de z = 0) – (área entre z = 0 y z = 2.65)
= 0.5 – 0.4960 = 0.0040
8.8 Cada una de las 500 personas de un grupo lanza una moneda 120 veces. ¿Cuántas personas pueden esperar:
a) que entre el 40% y el 60% de sus lanzamientos sean cara y b) en 5 8
, o más, de sus lanzamientos obtener
cara?
SOLUCIÓN
Este problema está estrechamente relacionado con el problema 8.7. Aquí se consideran 500 muestras, cada una de tamaño
120, tomadas de la población infinita de todos los posibles lanzamientos de una moneda.
a) En el inciso a) del problema 8.7 se establece que de todas las muestras posibles, cada una consistente en 120 lanzamientos
de una moneda, se puede esperar que en el 97.74% de las mismas se tenga entre 40% y 60% de caras. Entonces,
en 500 muestras se puede esperar que aproximadamente (97.74% de 500) = 489 muestras tengan esta propiedad. Se
concluye que alrededor de 489 personas pueden esperar que en su experimento entre 40% y 60% sean caras.
Es interesante observar que hay 500 − 489 = 11 personas para las que se espera que el porcentaje de caras que
obtengan no esté entre el 40 y el 60%. Estas personas pueden concluir, con razón, que su moneda esté cargada. Este
tipo de error es un riesgo siempre presente cuando se trata con probabilidad.
b) Razonando como en el inciso a) se concluye que aproximadamente (500)(0.0040) = 2 personas obtendrán caras en 5 8,
o más, de sus lanzamientos.
8.9 Se encuentra que el 2% de las herramientas producidas con determinada máquina están defectuosas. ¿Cuál es
la probabilidad de que en un pedido de 400 de estas herramientas: a) 3% o más y b) 2% o menos resulten
defectuosas?
SOLUCIÓN
rffiffiffiffiffi
rffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
pq ð0:02Þð0:98Þ
P ¼ p ¼ 0:02 y P ¼ ¼
N 400
¼ 0:14
20 ¼ 0:007
a) Primer método
Empleando la corrección para variables discretas, 1/2N = 1/800 = 0.00125, se tiene
(0.03 – 0.00125) en unidades estándar ¼
0:03 0:00125 0:02
¼ 1:25
0:007
Probabilidad buscada = (área bajo la curva normal a la derecha de z = 1.25) = 0.1056
Si no se usa la corrección, se obtiene 0.0764.
PROBLEMAS RESUELTOS 217
Otro método
(3% de 400) = 12 herramientas defectuosas. Considerando la variable como una variable continua, 12 o más herramientas
significa 11.5 o más.
p
X = (2% de 400) = 8 y ¼ ffiffiffiffiffiffiffiffiffi p
Npq ¼
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
ð400Þð0:02Þð0:98Þ ¼ 2:8
Entonces, 11.5 en unidades estándar = (11.5 – 8)/2.8 = 1.25, y como se encontró antes, la probabilidad buscada es
0.1056.
0:02 þ 0:00125 0:02
b) (0.02 + 0.00125) en unidades estándar ¼ ¼ 0:18
0:007
Probabilidad buscada = (área bajo la curva normal a la izquierda de z = 0.18)
= 0.5000 + 0.0714 = 0.5714
Si no se usa la corrección, se obtiene 0.5000. También se puede usar el segundo método del inciso a).
8.10 Como resultado de una elección se observa que determinado candidato obtuvo 46% de los votos. Determinar
la probabilidad de que en una encuesta realizada a: a) 200 y b) 1 000 personas elegidas al azar de la población
de votantes se hubiera obtenido una mayoría de votos a favor de este candidato.
SOLUCIÓN
rffiffiffiffiffi
rffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
pq ð0:46Þð0:54Þ
a) P ¼ p ¼ 0:46 y P ¼ ¼
¼ 0:0352
N 200
Como 1/2N = 1/400 = 0.0025, se tiene una mayoría en la muestra si la proporción a favor de este candidato es 0.50
+ 0.0025 = 0.5025 o más. (Esta proporción puede obtenerse también observando que una mayoría es 101 o más, pero
considerada como variable continua esto corresponde a 100.5, con lo que la proporción es 100.5/200 = 0.5025.)
0:5025 0:46
0.5025 en unidades estándar ¼ ¼ 1:21
0:0352
Probabilidad buscada = (área bajo la curva normal a la derecha de z = 1.21)
= 0.5000 − 0.3869 = 0.1131
√
b) p ¼ p ¼ 0:46 y P = pq
√
= (0.46)(0.54)
= 0.0158
N 1 000
0:5025 0:46
0.5025 en unidades estándar ¼ ¼ 2:69
0:0158
Probabilidad buscada = (área bajo la curva normal a la derecha de z = 2.69)
= 0.5000 – 0.4964 = 0.0036
DISTRIBUCIÓN MUESTRAL DE DIFERENCIAS Y DE SUMAS
8.11 Sea U 1 una variable que representa los elementos de la población 3, 7, 8 y U 2 una variable que representa los
elementos de la población 2, 4. Calcular: a) µ U1 , b) µ U2 , c) µ U1–U2 , d ) σ U1 , e) σ U2 y f ) σ U1–U2 .
SOLUCIÓN
a) µ U1 = media de la población U 1 ¼ 1 3
ð3 þ 7 þ 8Þ ¼6
b) µ U2 = media de la población U 2 ¼ 1 2 ð2 þ 4Þ ¼3
218 CAPÍTULO 8 TEORÍA ELEMENTAL DEL MUESTREO
c) Esta población consta de todas las diferencias entre los miembros de U 1 y U 2 , que es
Por lo tanto, U1 U2 ¼ media de ðU 1 U 2 Þ¼
3 2 7 2 8 2
o
1 5 6
3 4 7 4 8 4 1 3 4
Esto ilustra que U1 U2 ¼ U1 U2 , como se ve en los incisos a) y b).
1 þ 5 þ 6 þð 1Þþ3 þ 4
¼ 3
6
d ) 2 U1 ¼ varianza de la población U 1 ¼ ð3 6Þ2 þð7 6Þ 2 þð8 6Þ 2
o bien
rffiffiffiffiffi
14
U1 ¼
3
e) 2 U2 ¼ varianza de la población U 2 ¼ ð2 3Þ2 þð4 3Þ 2
¼ 1 o bien
2
U2 ¼ 1
f ) 2 U1 U2 ¼ varianza de la población (U 1 – U 2 )
rffiffiffiffiffi
17
o U1 U2 ¼
3
3
¼ 14
3
¼ ð1 3Þ2 þð5 3Þ 2 þð6 3Þ 2 þð 1 3Þ 2 þð3 3Þ 2 þð4 3Þ 2
6
Esto ilustra que para muestras independientes U1
U2 ¼
¼ 17
3
qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
2 U1 þ 2 U2, como se ve en los incisos d ) y e).
8.12 El tiempo medio de vida de los focos del fabricante A es 1 400 horas (h) y su desviación estándar es 200 h, en
tanto que el tiempo medio de vida de los focos del fabricante B es 1 200 h y su desviación estándar es 100 h.
Si se prueban muestras aleatorias de 125 focos de cada fabricante, ¿cuál es la probabilidad de que el tiempo
medio de vida de los focos del fabricante A sea por lo menos: a) 160 h y b) 250 h mayor que el del fabricante
B?
SOLUCIÓN
Sean X A y X B los tiempos medios de vida en las muestras de A y de B, respectivamente. Entonces
X A
X B
¼ X A
X B
¼ 1 400 − 1 200 = 200 h
sffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
sffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
2 A
y X A
X B
¼ þ 2 B ð100Þ 2
¼
N A N B 125 þ ð200Þ2 ¼ 20 h
125
La variable estandarizada que corresponde a la diferencia entre las medias es
z ¼ ð X A
X B Þ ð X A
X B
Þ
¼ ð X A
X B Þ 200
X A
X B
20
que está distribuida casi normalmente.
a) La diferencia de 160 h en unidades estándar es (160 − 200)/20 = −2. Por lo tanto
Probabilidad buscada = (área bajo la curva normal a la derecha de z = −2)
= 0.5000 + 0.4772 = 0.9772
b) La diferencia de 250 h en unidades estándar es (250 – 200)/20 = 2.50. Por lo tanto
Probabilidad buscada = (área bajo la curva normal a la derecha de z = 2.50)
= 0.5000 − 0.4938 = 0.0062
PROBLEMAS RESUELTOS 219
8.13 Los balines de determinada marca tienen un peso promedio de 0.50 g y su desviación estándar es 0.02 g. ¿Cuál
es la probabilidad de que entre dos lotes, cada uno de 1 000 balines, haya una diferencia de peso de más de 2 g?
SOLUCIÓN
Sean X 1 y X 2 las medias de los pesos de los balines de los dos lotes. Entonces
X 1
X 2
¼ X 1
X 2
¼ 0:50 0:50 ¼ 0
sffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
sffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
2 1
y X 1 X 2
¼ þ 2 2
ð0:02Þ 2
¼
N 1 N 2 1000 þ ð0:02Þ2 ¼ 0:000895
1 11000
La variable estandarizada correspondiente a la diferencia entre las medias es
z ¼ ð X 1
X 2 Þ 0
0:000895
que está distribuida en forma aproximadamente normal.
Una diferencia de 2 g entre los lotes es equivalente a una diferencia de 2/1 000 = 0.002 g entre las medias. Esto
puede ocurrir si X 1
X 2 0:002 o si X 1 X 2 0:002; es decir,
z 0:002 0
0:002 0
¼ 2:23 o z
0:000895 0:000895 ¼ 2:23
Entonces Prfz 2:23 o z 2:23g ¼Prfz 2:23gþPrfz 2:23g ¼2ð0:5000 0:4871Þ ¼0:0258:
8.14 A y B juegan un partido que consiste en que cada uno lance 50 monedas. A gana el partido si obtiene 5 o más
caras que B; si no, B lo gana. Determinar las posibilidades en contra de que A gane un juego.
SOLUCIÓN
Sean P A y P B las proporciones de caras obtenidas por A y por B, respectivamente. Si se supone que las monedas no están
cargadas, la probabilidad p de obtener una cara es 1 2 . Entonces
PA P B
¼ PA PB ¼ 0
y
PA P B
¼
qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
2 P A
þ 2 P B
¼
sffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
rffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
pq
þ pq 2ð 1 2
¼
Þð1 2 Þ ¼ 0:10
N A N B 50
La variable estandarizada correspondiente a esta diferencia entre las proporciones es z = (P A − P B − 0)/0.10.
Considerando la variable como variable continua, 5 o más caras corresponde a 4.5 o más caras, de manera que la
diferencia entre las proporciones debe ser de 4.5/50 = 0.09 o más; es decir, z es mayor o igual a (0.09 − 0)/0.10 = 0.9 (o
bien z ≥ 0.9). La probabilidad de esto es el área bajo la curva normal a la derecha de z = 0.9, la cual es (0.5000 − 0.3159)
= 0.1841.
De manera que las posibilidades en contra de que A gane son (1 − 0.1841):0.1841 = 0.8159:0.1841, o 4.43 a 1.
8.15 Dos distancias se miden como 27.3 centímetros (cm) y 15.6 cm con desviaciones estándar (errores estándar)
de 0.16 y 0.08 cm, respectivamente. Determinar la media y la desviación estándar de: a) la suma y b) la diferencia
de estas distancias.
SOLUCIÓN
Si las distancias se denotan D 1 y D 2 , entonces:
a) D1þD2 ¼ D1 þ D2 ¼ 27:3 þ 15:6 ¼ 42:9cm
qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
D1þD2 ¼ 2 D1 þ 2 D2
¼ ð0:16Þ 2 þð0:08Þ 2 ¼ 0:18 cm
b) D1 D2 ¼ D1 D2 ¼ 27:3 15:6 ¼ 11:7cm
qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
D1 D2 ¼ 2 D1 þ 2 D2
¼ ð0:16Þ 2 þð0:08Þ 2 ¼ 0:18 cm
220 CAPÍTULO 8 TEORÍA ELEMENTAL DEL MUESTREO
8.16 La media del tiempo de vida de determinado tipo de foco es 1 500 h y la desviación estándar es 150 h. Se
conectan tres de estos focos de manera que cuando uno se funda, otro empiece a funcionar. Suponiendo que los
tiempos de vida estén distribuidos normalmente, ¿cuál es la probabilidad de que la iluminación dure: a) por lo
menos 5 000 h y b) a lo mucho 4 200 h?
SOLUCIÓN
Suponga que los tiempos de vida son L 1 , L 2 y L 3 . Entonces
L1þL2þL3 ¼ L1 þ L2 þ L3 ¼ 1 500 + 1 500 + 1 500 = 4 500 h
L1þL2þL3 ¼
qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
2 L1 þ 2 L2 þ 2 L3
¼
qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
3ð150Þ 2 ¼ 260 h
5 000 4 500
a) 50 000 h en unidades estándar = = 1.92
260
Probabilidad buscada = (área bajo la curva normal a la derecha de z = 1.92)
= 0.5000 − 0.4726 = 0.0274
4 200 4 500
b) 4 200 h en unidades estándar = 1.15
260
Probabilidad buscada = (área bajo la curva normal a la izquierda de z = −1.15)
= 0.5000 − 0.3749 = 0.1251
DEMOSTRACIONES DE LA TEORÍA ELEMENTAL DEL MUESTREO
EMPLEANDO SOFTWARE
8.17 En una universidad, 1/3 de los estudiantes toma 9 horas de crédito, 1/3 toma 12 horas de crédito y 1/3 toma
15 horas de crédito. Si X representa las horas de crédito que toma un estudiante, la distribución de X es p(x) =
1/3 para x = 9, 12 y 15. Encontrar la media y la varianza de X. ¿Qué tipo de distribución tiene X?
SOLUCIÓN
La media de X es ¼ P xpðxÞ ¼9ð1=3Þþ12ð1=3Þþ15ð1=3Þ ¼12. La varianza de X es 2 ¼ P x 2 pðxÞ
81ð1=3Þþ144ð1=3Þþ225ð1=3Þ 144 ¼ 150 144 ¼ 6. La distribución de X es uniforme.
2 ¼
8.18 Enumerar todas las muestras de tamaño n = 2 que pueden tomarse (con reposición) de la población del problema
8.17. Usar el asistente para gráficos de EXCEL para graficar la distribución muestral de la media y mostrar
que x ¼ y que 2 x ¼ 2 =2.
SOLUCIÓN
A B C D E F G
media x barra p(x barra) x barra × p(x barra) x barra 2 × p(x barra)
9 9 9 9 0.111111 1 9
9 12 10.5 10.5 0.222222 2.333333333 24.5
9 15 12 12 0.333333 4 48
12 9 10.5 13.5 0.222222 3 40.5
12 12 12 15 0.111111 1.666666667 25
12 15 13.5 12 147
15 9 12
15 12 13.5
15 15 15
PROBLEMAS RESUELTOS 221
La hoja de cálculo de EXCEL muestra en A y en B los valores muestrales posibles y en C las medias. La distribución
muestral de x barra se construye y se da en D y E. En C2 se ingresa la función =AVERAGE(A2:B2), se hace
clic y se arrastra de C2 a C10. Como la población es uniforme, cada muestra tiene probabilidad 1/9 de ser elegida. La
media muestral se representa por x barra. La media de las medias muestrales es x ¼ xpðxÞ y se calcula de F2 a F6.
La función =SUM(F2:F6) se ingresa en F7 y se obtiene 12, mostrando que x ¼ . La varianza de las medias muestrales
es 2 x ¼ x 2 pðxÞ 2 x y se calcula como sigue. De G2 a G6 se calcula x 2 pðxÞ. En G7 se ingresa la función
=SUM(G2:G6), que es igual a 147. Restando 12 2 o bien144 de 147, se obtiene 3, que es 2 x ¼ 2 =2. En la figura 8-5
se muestra que con un tamaño de muestra 2, la distribución muestral de x es un poco parecida a una distribución
normal. Las probabilidades mayores se encuentran cerca de 12 y éstas disminuyen hacia la derecha y hacia la izquierda
de 12.
0.35
0.3
0.25
0.2
0.15
0.1
0.05
0
9 10 11 12 13 14 15
x barra
Figura 8-5 Distribución de x barra para n = 2.
8.19 Enlistar todas las muestras de tamaño n = 3 que se pueden obtener con reposición de la población del problema
8.17. Usar EXCEL para construir la distribución muestral de la media. Para graficar la distribución muestral
de la media se usa el asistente para gráficos de EXCEL. Mostrar que x ¼ y que 2 x ¼ 2
3 .
SOLUCIÓN
A B C D E F G H
media x barra p(x barra) x barra*p(x barra) x barra^2p(x barra)
9 9 9 9 9 0.037037037 0.333333333 3
9 9 12 10 10 0.111111111 1.111111111 11.11111111
9 9 15 11 11 0.222222222 2.444444444 26.88888889
9 12 9 10 12 0.259259259 3.111111111 37.33333333
9 12 12 11 13 0.222222222 2.888888889 37.55555556
9 12 15 12 14 0.111111111 1.555555556 21.77777778
9 15 9 11 15 0.037037037 0.555555556 8.333333333
9 15 12 12 12 146
9 15 15 13
12 9 9 10
222 CAPÍTULO 8 TEORÍA ELEMENTAL DEL MUESTREO
Continuación
A B C D E F G H
media x barra p(x barra) x barra*p(x barra) x barra^2p(x barra)
12 9 12 11
12 9 15 12
12 12 9 11
12 12 12 12
12 12 15 13
12 15 9 12
12 15 12 13
12 15 15 14
15 9 9 11
15 9 12 12
15 9 15 13
15 12 9 12
15 12 12 13
15 12 15 14
15 15 9 13
15 15 12 14
15 15 15 15
En la hoja de cálculo de EXCEL se muestran en A, B y C todos los valores muestrales, las medias se dan en D y la
distribución muestral de x barra se calcula y se da en E y F. En D2 se ingresa la función =AVERAGE(A2:C2), se hace
clic y se arrastra desde D2 hasta D28. Como esta población es uniforme, cada muestra tiene la probabilidad 1/27 de
ser elegida. La media muestral se representa por x barra. La media de las medias muestral es x ¼ xpðxÞ y se calcula
desde G2 hasta G8. La función =SUM(G2:G8) se ingresa en G9 y da como resultado 12, lo que demuestra que con
muestras de tamaño n = 3 x ¼ . La varianza de las medias muestrales es 2 x ¼ x 2 pðxÞ 2 x y se calcula como
sigue. Desde H2 hasta H8 se calcula x 2 pðxÞ. En H9 se ingresa la función =SUM(H2:H8), que da como resultado
146. Restando 12 2 , que es 144, de 146, se obtiene 2. Obsérvese que 2 x ¼ 2 =3. En la figura 8-6 se observa la tendencia
de la distribución x barra a una distribución normal.
0.3
0.25
0.2
0.15
0.1
0.05
0
9 10 11 12 13 14 15
x barra
Figura 8-6 Distribución de x barra para n = 3.
PROBLEMAS SUPLEMENTARIOS 223
8.20 Enlistar las 81 muestras de tamaño n = 4 (con reposición) que se pueden obtener de la población del problema
8.17. Usar EXCEL para construir la distribución muestral de las medias. Con el asistente para gráficos de
EXCEL, graficar la distribución muestral de las medias, y mostrar que x ¼ y que 2 x ¼ 2 =4.
SOLUCIÓN
El método empleado en los problemas 8.18 y 8.19 se extiende a muestras de tamaño 4. En la hoja de cálculo de EXCEL se
obtiene la siguiente distribución para x barra. Además, se puede demostrar que x ¼ y que 2 x ¼ 2 =4.
x barra p(x barra) x barra*p(x barra) x barra^2p(x barra)
9 0.012345679 0.111111111 1
9.75 0.049382716 0.481481481 4.694444444
10.5 0.12345679 1.296296296 13.61111111
11.25 0.197530864 2.222222222 25
12 0.234567901 2.814814815 33.77777778
12.75 0.197530864 2.518518519 32.11111111
13.5 0.12345679 1.666666667 22.5
14.25 0.049382716 0.703703704 10.02777778
15 0.012345679 0.185185185 2.777777778
1 12 145.5
En la figura 8-7 se muestra la gráfica de EXCEL de la distribución de x barra para muestras de tamaño 4.
0.25
0.2
0.15
0.1
0.05
0
9 10 11 12 13 14 15
x barra
Figura 8-7 Distribución de x barra para muestras de n = 4.
PROBLEMAS SUPLEMENTARIOS
DISTRIBUCIÓN MUESTRAL DE LAS MEDIAS
8.21 Una población consta de los cuatro números 3, 7, 11 y 15. Considerar todas las posibles muestras con reposición de tamaño
2 que pueden obtenerse de esta población. Encontrar: a) la media poblacional, b) la desviación estándar poblacional,
224 CAPÍTULO 8 TEORÍA ELEMENTAL DEL MUESTREO
c) la media de la distribución muestral de las medias y d ) la desviación estándar de la distribución muestral de las medias.
Verificar los incisos c) y d ) directamente a partir de los incisos a) y b) empleando las fórmulas adecuadas.
8.22 Resolver el problema 8.21 si el muestreo se hace sin reposición.
8.23 Las masas de 1 500 balines están distribuidas de manera normal, siendo su media 22.40 g y su desviación estándar 0.048 g.
Si de esta población se toman 300 muestras aleatorias de tamaño 36, determinar la media y la desviación estándar esperadas
en la distribución muestral de las medias si el muestreo se hace: a) con reposición y b) sin reposición.
8.24 Resolver el problema 8.23 si la población consta de 72 balines.
8.25 ¿En cuántas de las muestras aleatorias del problema 8.23 la media: a) estará entre 22.39 y 22.41 g, b) será mayor a 22.42 g,
c) será menor a 22.37 g y d ) será menor a 22.38 g o mayor a 22.41 g?
8.26 La media de la vida útil de ciertos cinescopios fabricados por una empresa es 800 h y la desviación estándar es 60 h. Encontrar
la probabilidad de que en una muestra aleatoria de 16 cinescopios la media del tiempo de vida: a) esté entre 790 y 810 h,
b) sea menor a 785 h, c) sea mayor a 820 h y d ) esté entre 770 y 830 h.
8.27 Repetir el problema 8.26 con una muestra aleatoria de 64 cinescopios. Explicar la diferencia.
8.28 Los paquetes que se reciben en una tienda departamental pesan en promedio 300 libras (lb) y su desviación estándar es de
50 lb. ¿Cuál es la probabilidad de que 25 paquetes recibidos al azar pesen más del límite de seguridad especificado en el
elevador, que es 8 200 lb?
NÚMEROS ALEATORIOS
8.29 Repetir el problema 8.6 usando un conjunto diferente de números aleatorios y seleccionando: a) 15, b) 30, c) 45 y d ) 60
muestras, con reposición, de tamaño 4. En cada caso, comparar con los resultados teóricos.
8.30 Repetir el problema 8.29 tomando muestras de tamaño: a) 2 y b) 8 con reposición, en lugar de tamaño 4 con reposición.
8.31 Repetir el problema 8.6, pero muestreando sin reposición. Comparar con los resultados teóricos.
8.32 a) Mostrar cómo se toman 30 muestras de tamaño 2 de la distribución del problema 3.61.
b) Calcular la media y la desviación estándar de la distribución muestral de las medias obtenida y compararla con los
resultados teóricos.
8.33 Repetir el problema 8.32 empleando muestras de tamaño 4.
DISTRIBUCIÓN MUESTRAL DE PROPORCIONES
8.34 Encontrar la probabilidad de que de los 200 próximos niños que nazcan, a) menos de 40% sean varones, b) entre 43 y 57%
sean niñas y c) más de 54% sean varones. Supóngase que existe la misma probabilidad de nacimiento de un niño que de
una niña.
8.35 De 1 000 muestras, cada una de 200 niños, ¿en cuántas puede esperarse encontrar que: a) menos del 40% sean niños,
b) entre 40 y 60% sean niñas y c) 53% o más sean niñas?
PROBLEMAS SUPLEMENTARIOS 225
8.36 Repetir el problema 8.34 si las muestras son de 100 y no de 200 niños y explicar las diferencias resultantes.
8.37 Una urna contiene 80 canicas, de las cuales el 60% son rojas y el 40% son blancas. De 50 muestras, cada una de 20 canicas,
tomadas de la urna con reposición, ¿en cuántas muestras se puede esperar que: a) haya el mismo número de canicas rojas
que de canicas blancas, b) haya 12 canicas rojas y 8 canicas blancas, c) haya 8 canicas rojas y 12 canicas blancas y d ) 10
o más canicas sean blancas?
8.38 Diseñar un experimento que tenga por objeto ilustrar los resultados del problema 8.37. En lugar de canicas rojas y blancas
se pueden usar tiras de papel en las que se escriba R y B en las proporciones adecuadas. ¿Qué error se introduciría al usar
dos conjuntos diferentes de monedas?
8.39 Un fabricante envía 1 000 lotes, cada uno de 100 bulbos eléctricos. Si es normal que el 5% de los bulbos esté defectuoso,
¿en cuántos de los lotes se esperaría: a) menos de 90 bulbos buenos y b) 98 o más bulbos buenos?
DISTRIBUCIONES MUESTRALES DE DIFERENCIA Y DE SUMAS
8.40 A y B fabrican cables que tienen una resistencia media a la ruptura de 4 000 lb y 4 500 lb, y desviaciones estándar de 300
lb y 200 lb, respectivamente. Si se prueban 100 cables del fabricante A y 50 cables del fabricante B, ¿cuál es la probabilidad
de que la resistencia media a la ruptura de B sea: a) por lo menos 600 lb mayor que la de A y b) por lo menos 450 lb mayor
que la de A?
8.41 En el problema 8.40, ¿cuáles son las probabilidades si se prueban 100 cables de cada fabricante? Explicar cualquier diferencia.
8.42 La puntuación media obtenida por los estudiantes en una prueba de aptitud es 72 puntos y la desviación estándar es 8 puntos.
¿Cuál es la probabilidad de que dos grupos de estudiantes, uno de 28 y otro de 36 estudiantes, difieran en la media de
sus puntuaciones en: a) 3 o más puntos, b) 6 o más puntos y c) entre 2 y 5 puntos?
8.43 Una urna contiene 60 canicas rojas y 40 canicas blancas. De esta urna se extraen, con reposición, dos conjuntos de 30
canicas cada uno, y se van anotando sus colores. ¿Cuál es la probabilidad de que los dos conjuntos difieran en 8 o más
canicas rojas?
8.44 Resolver el problema 8.43 si para obtener los dos conjuntos de canicas el muestreo se hace sin reposición.
8.45 Los resultados de una elección indican que un candidato obtuvo el 65% de los votos. Encontrar la probabilidad de que dos
muestras aleatorias, cada una de 200 votantes, indiquen una diferencia mayor al 10% entre las proporciones de quienes
votaron por el candidato.
8.46 Si U 1 y U 2 son los conjuntos de números del problema 8.11, verificar que: a) U1þU2 ¼ U1 þ U2 y b) U1þU2 ¼
qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
2 U1 þ 2 U2.
8.47 Los valores que se obtienen al medir tres masas son 20.48, 35.97 y 62.34 g, con desviaciones estándar de 0.21, 0.46 y 0.54 g,
respectivamente. Encontrar: a) la media y b) la desviación estándar de la suma de las masas.
8.48 El voltaje medio de una batería es 15.0 volts (V) y la desviación estándar es 0.2 V. ¿Cuál es la probabilidad de que cuatro
de estas baterías conectadas en serie tengan, juntas, un voltaje de 60.8 V o más?
226 CAPÍTULO 8 TEORÍA ELEMENTAL DEL MUESTREO
DEMOSTRACIONES DE LA TEORÍA ELEMENTAL DEL MUESTREO EMPLEANDO SOFTWARE
8.49 En una universidad la distribución de las horas crédito es como sigue:
x 6 9 12 15 18
p(x) 0.1 0.2 0.4 0.2 0.1
Encontrar µ y σ 2 . Dar las 25 muestras (con reposición) de tamaño 2 que se pueden obtener, su media y sus probabilidades.
8.50 Graficar la distribución de probabilidad de x barra del problema 8.49, para n = 2.
8.51 Con los datos del problema 8.50, mostrar que x ¼ y 2 x ¼ 2
2 .
8.52 Con los datos del problema 8.49, proporcionar y graficar la distribución de probabilidad de x barra para n = 3.
TEORÍA DE
LA ESTIMACIÓN
ESTADÍSTICA
9
ESTIMACIÓN DE PARÁMETROS
En el capítulo 8 se vio cómo emplear la teoría del muestreo para obtener información acerca de muestras extraídas en
forma aleatoria de una población desconocida. Sin embargo, desde el punto de vista práctico, suele ser más importante
poder inferir información acerca de una población a partir de muestras obtenidas de ella. De estos problemas se
ocupa la inferencia estadística en la que se usan los principios de la teoría del muestreo.
Un problema importante de la inferencia estadística es la estimación de parámetros poblacionales, o simplemente
parámetros (como, por ejemplo, la media y la varianza poblacionales), a partir de los correspondientes estadísticos
muestrales, o simplemente estadísticos (por ejemplo, la media y la varianza muestrales). En este capítulo se analiza
este problema.
ESTIMACIONES INSESGADAS
Si la media de la distribución muestral de un estadístico es igual al parámetro poblacional correspondiente se dice que
el estadístico es un estimador insesgado del parámetro; si no es así, se dice que es un estimador sesgado. A los valores
de estos estadísticos se les llama estimaciones insesgadas o sesgadas, respectivamente.
EJEMPLO 1 La media de la distribución muestral de las medias X es µ, la media poblacional. Por lo tanto, la media muestral
X es una estimación insesgada de la media poblacional µ.
EJEMPLO 2 La media de la distribución muestral de las varianzas es
s 2 ¼ N 1
N
donde σ 2 es la varianza poblacional y N es el tamaño de la muestra (ver tabla 8.1). Por lo tanto, la varianza muestral s 2 es una estimación
sesgada de la varianza poblacional σ 2 . Empleando la varianza modificada
^s 2 ¼
N
N
se encuentra que ^s 2 ¼ 2 , de manera que ^s 2 es una estimación insesgada de σ 2 . Sin embargo, ^s es una estimación sesgada de σ.
2
1 s2
227
228 CAPÍTULO 9 TEORÍA DE LA ESTIMACIÓN ESTADÍSTICA
En el lenguaje de la esperanza matemática (ver capítulo 6) se puede decir que un estadístico es insesgado si su
esperanza matemática es igual al correspondiente parámetro poblacional. Por lo tanto, X y ^s 2 son insesgados, ya que
Ef Xg ¼ y Ef^s 2 g¼ 2 .
ESTIMACIONES EFICIENTES
Si la distribución muestral de dos estadísticos tiene la misma media (o esperanza), entonces al estadístico que tiene la
menor varianza se le llama estimador eficiente del parámetro correspondiente, y al otro se le llama estimador ineficiente.
A los valores de estos estadísticos se les llama estimaciones eficientes e ineficientes, respectivamente.
Si se consideran todos los estadísticos cuya distribución muestral tiene una misma media, al estadístico que tiene
la menor varianza suele llamársele estimador más eficiente o mejor del parámetro correspondiente.
EJEMPLO 3 Las distribuciones muestrales de la media y de la mediana tienen la misma media, a saber, la media poblacional.
Sin embargo, la varianza de la distribución muestral de las medias es menor que la varianza de la distribución muestral de las
medianas (ver tabla 8.1). Por lo tanto, la media muestral proporciona una estimación eficiente de la media poblacional, en tanto que
la mediana muestral proporciona una estimación ineficiente de la media poblacional.
De todos los estadísticos que estiman la media poblacional, la media muestral proporciona la mejor (o la más eficiente) estimación.
En la práctica, las estimaciones ineficientes suelen usarse debido a la relativa facilidad con que algunas de ellas
pueden obtenerse.
ESTIMACIONES PUNTUALES Y ESTIMACIONES POR INTERVALO;
SU CONFIABILIDAD
A una estimación de un parámetro poblacional que se da mediante un solo número se le llama estimación puntual del
parámetro. A una estimación de un parámetro poblacional que se da mediante dos números, entre los cuales se considera
que debe estar el parámetro en cuestión, se le llama estimación por intervalo del parámetro en cuestión.
Las estimaciones por intervalo dan la precisión, o exactitud, de la estimación, y por esto se prefieren a las estimaciones
puntuales.
EJEMPLO 4 Si se dice que en la medición de una distancia se obtuvo como resultado 5.28 metros (m), se está dando una estimación
puntual. En cambio, si se dice que la distancia es 5.28 ± 0.03 m (es decir, que la distancia está entre 5.25 y 5.31 m), se está
dando una estimación por intervalo.
La información sobre el error (o precisión) de una estimación es su confiabilidad.
ESTIMACIÓN DE PARÁMETROS POBLACIONALES MEDIANTE
UN INTERVALO DE CONFIANZA
Sean µ S y σ S la media y la desviación estándar (error estándar), respectivamente, de la distribución muestral de un
estadístico S. Entonces, si la distribución muestral de S es aproximadamente normal (lo que se sabe que es así para
muchos estadísticos si el tamaño de la muestra es N ≥ 30), se puede esperar que exista un estadístico muestral S que
se encuentre en los intervalos µ S − σ S a µ S + σ S , µ S − 2σ S a µ S + 2σ S o µ S − 3σ S a µ S + 3σ S , a 68.27%, 95.45% y
99.73% de las veces, respectivamente.
De igual manera, se puede hallar (o se puede tener confianza de hallar) µ S en los intervalos S − σ S a S + σ S , S −
2σ S a S + 2σ S o S − 3σ S a S + 3σ S a 68.27, 95.45 y 99.73% de las veces, respectivamente. Debido a ello, a estos
intervalos se les llama intervalos de confianza de 68.27%, 95.45% y 99.73% para estimar µ S . A los números de los
extremos de estos intervalos (S ± σ S , S ± 2σ S y S ± 3σ S ) se les llama límites de confianza o límites fiduciales.
De igual manera, S ± 1.96σ S y S ± 2.58σ S son los límites de confianza de 95% y de 99% (o de 0.95 y 0.99) para
S. Al porcentaje de confianza se le suele llamar nivel de confianza. A los números 1.96, 2.58, etc., que aparecen en los
límites de confianza, se les llama coeficientes de confianza o valores críticos y se denotan z c . A partir de los niveles de
confianza se pueden encontrar los coeficientes de confianza y viceversa.
ESTIMACIÓN DE PARÁMETROS POBLACIONALES MEDIANTE UN INTERVALO DE CONFIANZA 229
En la tabla 9.1 se presentan los valores de z c que corresponden a varios niveles de confianza que se usan en la
práctica. Los valores de z c para niveles de confianza que no estén en esta tabla se pueden encontrar en las tablas de
áreas de la curva normal (ver apéndice II).
Tabla 9.1
Nivel de confianza 99.73% 99% 98% 96% 95.45% 95% 90% 80% 68.27% 50%
z c 3.00 2.58 2.33 2.05 2.00 1.96 1.645 1.28 1.00 0.6745
Intervalos de confianza para las medias
Si el estadístico S es la media muestral X, entonces los límites de confianza de 95 y 99% para la estimación de la media
poblacional µ están dados por X 1:96 X y X 2:58 X, respectivamente. En general, los límites de confianza están
dados por X z c X, donde z c (que depende del nivel de confianza deseado) puede leerse en la tabla 9.1. Empleando
los valores para X obtenidos en el capítulo 8, se ve que los límites de confianza para la media poblacional están dados
por
X z c
p ffiffiffiffi
(1)
N
si el muestreo se hace ya sea de una población infinita o de una población finita, pero con reposición, y están dados
por
sffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
N p N
X z c p ffiffiffiffi
(2)
N N p 1
si el muestreo se hace sin reposición de una población de tamaño finito N p .
Por lo general no se conoce la desviación estándar poblacional σ; de manera que para obtener los límites de confianza
anteriores, se usa la estimación muestral ^s o s. El resultado es satisfactorio si N ≥ 30. Si N < 30, la aproximación
es pobre y se debe emplear la teoría del muestreo para muestras pequeñas (ver capítulo 11).
Intervalos de confianza para proporciones
Si el estadístico S es la proporción de “éxitos” en una muestra de tamaño N obtenida de una población binomial en la
que p es la proporción de éxitos (es decir, la probabilidad de éxito), entonces los límites de confianza para p están
dados por P ± z c σ p , donde P es la proporción de éxitos en una muestra de tamaño N. Empleando los valores para σ p
indicados en el capítulo 8 se ve que los límites de confianza para la proporción poblacional están dados por
rffiffiffiffiffi
rffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
pq
pð1 pÞ
P z c ¼ P z
N
c
N
(3)
si el muestreo se hace de una población infinita o de una población finita, pero con reposición, y están dados por
rffiffiffiffiffi
sffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
pq N p N
P z c
N N p 1
(4)
si el muestreo se hace sin reposición y de una población finita de tamaño N p .
Para calcular estos límites de confianza se emplea la estimación muestral P para p, la que por lo general resulta
satisfactoria siempre que N ≥ 30. En el problema 9.12 se da un método más exacto para obtener estos límites de
confianza.
230 CAPÍTULO 9 TEORÍA DE LA ESTIMACIÓN ESTADÍSTICA
Intervalos de confianza para diferencias y sumas
Si S 1 y S 2 son dos estadísticos muestrales con distribuciones aproximadamente normales, los límites de confianza para
la diferencia entre los parámetros poblacionales correspondientes a S 1 y S 2 están dados por
qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
S 1 S 2 z c S1 S 2
¼ S 1 S 2 z c 2 S 1
þ 2 S 2
(5)
y los límites de confianza para la suma de los parámetros poblacionales están dados por
qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
S 1 þ S 2 z c S1 þS 2
¼ S 1 þ S 2 z c 2 S 1
þ 2 S 2
(6)
siempre que las muestras sean independientes (ver capítulo 8).
Por ejemplo, los límites de confianza para la diferencia entre dos medias poblacionales, en el caso en que las poblaciones
sean infinitas, están dados por
sffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
X 1
X 2 z c X 1
X 2
¼ X 1
X 2 1
2 z c þ 2 2
(7)
N 1
donde X 1 , σ 1 , N 1 y X 2 , σ 2 , N 2 son las correspondientes medias, desviaciones estándar y tamaños de las dos muestras
obtenidas de las poblaciones.
De igual manera, los límites de confianza para la diferencia entre dos proporciones poblacionales, si las poblaciones
son infinitas, están dados por
sffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
p
P 1 P 2 z c P1 P 2
¼ P 1 P 2 z 1 ð1 p 1 Þ
c þ p 2ð1 p 2 Þ
(8)
N 1
donde P 1 y P 2 son las dos proporciones muestrales, N 1 y N 2 son los tamaños de las dos muestras obtenidas de las
poblaciones y p 1 y p 2 son las proporciones en las dos poblaciones (estimadas por P 1 y P 2 ).
Intervalos de confianza para desviaciones estándar
Los límites de confianza para la desviación estándar σ de una población distribuida normalmente, estimada a partir de
una muestra con desviación estándar s, están dados por
s z c s ¼ s z c
N 2
N 2
p ffiffiffiffiffiffiffi
(9)
2N
empleando la tabla 8.1. Para calcular estos límites de confianza, se usa s o ^s para estimar σ.
ERROR PROBABLE
Los límites de confianza de 50% para el parámetro poblacional correspondiente a un estadístico S están dados por
S ± 0.6745σ S . La cantidad 0.6745σ S se conoce como el error probable de la estimación.
PROBLEMAS RESUELTOS 231
ESTIMADORES INSESGADOS Y EFICIENTES
PROBLEMAS RESUELTOS
9.1 Dar un ejemplo de estimadores (o estimaciones) que sean: a) insesgados y eficientes, b) insesgados e ineficientes
y c) sesgados e ineficientes.
SOLUCIÓN
a) La media muestral X y la varianza muestral
^s 2 ¼
son dos ejemplos.
b) La mediana muestral y el estadístico muestral 1 2 ðQ 1 þ Q 3 Þ, donde Q 1 y Q 3 son los cuartiles muestrales inferior y
superior, son dos de estos ejemplos. Ambos estadísticos son estimaciones insesgadas de la media poblacional, ya que
la media de sus distribuciones muestrales es la media poblacional.
c) La desviación estándar s, la desviación estándar modificada ^s, la desviación media y el rango semiintercuartil son
cuatro de estos ejemplos.
N
N
1 s2
9.2 Para el diámetro de un esfera, un científico obtiene una muestra de cinco mediciones, 6.33, 6.37, 6.36, 6.32 y
6.37 centímetros (cm). Obténganse estimaciones insesgadas y eficientes de: a) la verdadera media y b) la verdadera
varianza.
SOLUCIÓN
a) La estimación insesgada y eficiente de la verdadera media (es decir, de la media poblacional) es
P X 6:33 þ 6:37 þ 6:36 þ 6:32 þ 6:37
X ¼ ¼ ¼ 6:35 cm
N 5
b) La estimación insesgada y eficiente de la verdadera varianza (es decir de la varianza poblacional) es
^s 2 ¼
N P ðX ^XÞ 2
N 1 s2 ¼
N 1
¼ ð6:33 6:35Þ2 þð6:37 6:35Þ 2 þð6:36 6:35Þ 2 þð6:32 6:35Þ 2 þð6:37 6:35Þ 2
5 1
¼ 0:00055 cm 2
p
Obsérvese que aunque ^s ¼
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
0:00055 ¼ 0:023 cm es una estimación de la verdadera desviación estándar, esta
estimación no es ni insesgada ni eficiente.
9.3 Supóngase que las estaturas de 100 estudiantes varones de la universidad XYZ representan una muestra aleatoria
de las estaturas de los 1 546 estudiantes de esa universidad. Determinar estimaciones insesgadas y eficientes:
a) para la verdadera media y b) para la verdadera varianza.
SOLUCIÓN
a) De acuerdo con el problema 3.22, la estimación insesgada y eficiente de la verdadera estatura media es X = 67.45
pulgadas (in).
b) De acuerdo con el problema 4.17, la estimación insesgada y eficiente de la verdadera varianza es
^s 2 ¼
N
N 1 s2 ¼ 100 ð8:5275Þ ¼8:6136
99
p
Por lo tanto, ^s ¼
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
8:6136 ¼ 2:93 in. Obsérvese que como N es grande, en esencia no hay diferencia entre s 2 y ^s 2 o
entre s y ^s.
232 CAPÍTULO 9 TEORÍA DE LA ESTIMACIÓN ESTADÍSTICA
Obsérvese que no se empleó la corrección de Sheppard por agrupamiento. Si se emplea, se usa s = 2.79 in (ver
problema 4.21).
9.4 Dar una estimación insesgada e ineficiente del verdadero diámetro medio de la esfera del problema 9.2.
SOLUCIÓN
La mediana es un ejemplo de estimación insesgada e ineficiente de la media poblacional. Para las cinco mediciones coordenadas
de acuerdo con su magnitud, la mediana es 6.36 cm.
INTERVALOS DE CONFIANZA PARA MEDIAS
9.5 Encontrar los intervalos de confianza: a) de 95% y b) 99% para estimar la estatura media de los estudiantes de
la universidad XYZ del problema 9.3.
SOLUCIÓN
p
a) Los límites de confianza del 95% son X 1:96= ffiffiffiffi
N . Empleando X p¼ 67:45 in, y ^s ¼ 2:93 in como estimación de
σ (ver problema 9.3), los límites de confianza son 67:45 1:96ð2:93=
ffiffiffiffiffiffiffi
100 Þ o 67.45 ± 0.57 in. Por lo tanto, el intervalo
de confianza del 95% para la media poblacional µ es 66.88 a 68.02 in, lo que se denota así 66.88 < µ < 68.02.
De manera que se puede decir que la probabilidad de que la media poblacional de las estaturas se encuentre
entre 66.88 y 68.02 es aproximadamente de 95% o 0.95. Empleando símbolos se escribe Pr{66.88 < µ < 68.02} =
0.95. Esto equivale a decir que se tiene 95% de confianza en que la media poblacional (o verdadera media) se encuentre
entre 66.88 y 68.02 in.
p
b) Los límites de confianza del 99% son X 2:58= ffiffiffiffi
p
N ¼ X 2:58^s= ffiffiffiffi
pffiffiffiffiffiffiffi
N ¼ 67:45 2:58ð2:93= 100 Þ¼ 67.45 ±
0.76 in. Por lo tanto, el intervalo de confianza del 99% para la media poblacional µ es 66.69 a 68.21 in, lo que se
denota así 66.69 < µ < 68.21.
Al obtener los intervalos de confianza anteriores se supuso que la población era infinita o tan grande que se
podía considerar que las condiciones eran las mismas que en un muestreo con reposición. En el caso de poblaciones
finitas, si el muestreo se hace sin reposición, se debe usar
sffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
N p N
p ffiffiffiffi
N N p 1
en lugar de
p ffiffiffiffi
N
Sin embargo, se puede considerar que el factor
√ √
N p N 1
= 546 100
= 0.967
N p 1 1 546 1
es prácticamente 1.0, por lo que no necesita usarse. Si se usa, los límites de confianza anteriores se convierten en 67.45
± 0.56 in y 67.45 ± 0.73 in, respectivamente.
9.6 Una empresa tiene 5 000 árboles de navidad maduros y listos para ser cortados y vendidos. En forma aleatoria
se seleccionan 100 de estos árboles y se miden sus alturas. En la tabla 9.2 se dan estas alturas en pulgadas.
Emplear MINITAB para dar un intervalo de confianza de 95% para la altura media de los 5 000 árboles. Si
estos árboles se venden a $2.40 por pie, dar un límite inferior y un límite superior para el valor de los 5 000
árboles.
SOLUCIÓN
El intervalo de confianza de MINITAB, que se da a continuación, indica que la altura media de los 5 000 árboles puede ir
desde 57.24 a 61.20 pulgadas. El número total de pulgadas en los 5 000 árboles está entre (57.24)(5 000) = 286 200 y
PROBLEMAS RESUELTOS 233
Tabla 9.2
56 61 52 62 63 34 47 35 44 59
70 61 65 51 65 72 55 71 57 75
53 48 55 67 60 60 73 74 43 74
71 53 78 59 56 62 48 65 68 51
73 62 80 53 64 44 67 45 58 48
50 57 72 55 56 62 72 57 49 62
46 61 52 46 72 56 46 48 57 52
54 73 71 70 66 67 58 71 75 50
44 59 56 54 63 43 68 69 55 63
48 49 70 60 67 47 49 69 66 73
(61.20)(5 000) = 306 000. Si estos árboles se venden a $2.40 por pie, entonces el precio por pulgada es $0.2. El valor de
los árboles está entre (286 000)(0.2) = $57 200 y (306 000)(0.2) = $61 200 con 95% de confianza (o de seguridad).
Despliege de datos
altura
56 70 53 71 73 50 46 54 44
48 61 61 48 53 62 57 61 73
59 49 52 65 55 78 80 72 52
71 56 70 62 51 67 59 53 55
46 70 54 60 63 65 60 56 64
56 72 66 63 67 34 72 60 62
44 62 56 67 43 47 47 55 73
48 67 72 46 58 68 49 35 71
74 65 45 57 48 71 69 69 44
57 43 68 58 49 57 75 55 66
59 75 74 51 48 62 52 50 63
73
MTB > cl desviación estándar
Columna desviación estándar
Desviación estándar de altura = 10.111
MTB > zintervalo 95% de confianza ds = 10.111 datos en cl
Intervalos de confianza
Sigma supuesta = 10.1
Variable N Media DesvEst SE media 95.0% CI
Altura 100 59.22 10.11 1.01 (57.24, 61.20)
9.7 En una encuesta a sacerdotes católicos, cada sacerdote informó de la cantidad de bautizos, bodas y funerales
celebrados el año anterior. En la tabla 9.3 se presentan las respuestas obtenidas. Utilizar estos datos para construir
un intervalo de confianza de 95% para µ, la media del número, por sacerdote, de bautizos, bodas y fune-
234 CAPÍTULO 9 TEORÍA DE LA ESTIMACIÓN ESTADÍSTICA
Tabla 9.3
32 44 48 35 34 29 31 61 37 41
31 40 44 43 41 40 41 31 42 45
29 40 42 51 16 24 40 52 62 41
32 41 45 24 41 30 42 47 30 46
38 42 26 34 45 58 57 35 62 46
rales celebrados el año anterior. Obtener el intervalo empleando la fórmula para intervalos de confianza y usar
también el comando Zinterval de MINITAB para hallar este intervalo.
SOLUCIÓN
Una vez ingresados los datos de la tabla 9.3 en la columna 1 de la hoja de cálculo de MINITAB y de haberle dado “número”
como nombre a esta columna, se dan los comandos para la media y la desviación estándar.
MTB > cl media
Columna media
Media de número = 40.261
MTB > cl desviación estándar
Columna desviación estándar
Desviación estándar de número = 9.9895
p
El error estándar de la media es igual a 9:9895=
ffiffiffiffiffi
50 ¼ 1:413, el valor crítico es 1.96 y el margen de error de 95%
es 1.96(1.413) = 2.769. El intervalo de confianza va de 40.261 − 2.769 = 37.492 a 40.261 + 2.769 = 43.030.
Con el comando Zinterval se obtiene el resultado siguiente:
MTB > Zinterval, de 95% de confianza sd = 9.9895 datos en cl
Intervalos de confianza Z
Sigma supuesta = 9.99
Variable N Media DesvEst SE media 95.00% CI
Número 50 40.26 9.99 1.41 (37.49, 43.03)
Se tiene una confianza de 95% de que la verdadera media de todos los sacerdotes esté entre 37.49 y 43.03.
9.8 Para medir el tiempo de reacción, un psicólogo estima que la desviación estándar es 0.05 segundos (s). ¿Qué
tan grande debe ser la muestra de las medidas para que se tenga una confianza: a) de 95% y b) de 99% en que
el error de esta estimación no será mayor de 0.01 s?
SOLUCIÓN
p
a) Los límites de confianza del 95% son X 1:96= ffiffiffiffi
p ffiffiffiffi
N , siendo
p el
ffiffiffiffi error de estimación p 1:96= ffiffiffiffi N . Tomando σ = s =
0.05 s, se ve que este error será igual a 0.01 s si (1.96)(0.05)/ N ¼ 0:01; es decir, N ¼ð1:96Þð0:05Þ=0:01 ¼ 9:8
o bien N = 96.04. Por lo tanto, se puede tener una confianza del 95% en que el error de estimación será menor a 0.01
si N es 97 o mayor.
PROBLEMAS RESUELTOS 235
Otro método
pffiffiffiffi
ð1:96Þð0:05Þ
N
pffiffiffiffi
0:01 si
N
ð1:96Þð0:05Þ 1
pffiffiffiffi
ð1:96Þð0:05Þ
o bien N ¼ 9:8
0:01
0:01
Entonces N ≥ 96.04, o bien N ≥ 97.
p
b) Los límites de confianza del 99% son X 2:58= ffiffiffiffi
pffiffiffiffi
N . Entonces (2.58)(0.05)/ N ¼ 0:01 o bien N = 166.4. De
manera que se puede tener una confianza de 99% de que el error de estimación será menor a 0.01 s sólo si N es 167
o mayor.
9.9 De un total de 200 calificaciones de matemáticas se tomó una muestra aleatoria de 50 calificaciones en la que
la media encontrada fue 75 y la desviación estándar, 10.
a) ¿Cuáles son los límites de confianza de 95% para la estimación de la media de las 200 calificaciones?
b) ¿Con qué grado de confianza se puede decir que la media de las 200 calificaciones es 75 ± 1?
SOLUCIÓN
a) Como el tamaño de la población no es muy grande en comparación con el tamaño de la muestra, hay que hacer un
ajuste. Entonces, los límites de confianza de 95% son
sffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
X 1:96 X ¼ X 1:96 p
N p N
ffiffiffiffi ¼ 75 1:96 10 rffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
200 50
pffiffiffiffiffi
¼ 75 2:4
N N p 1
50 200 1
b) Los límites de confianza están representados por
sffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
rffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
N p N
10 200 50
X z c X ¼ X z c p ffiffiffiffi ¼ 75 z
N N p 1
c p ffiffiffiffiffi
¼ 75 1:23z
50 200 1
c
Como esto debe ser igual a 75 ± 1, se tiene 1.23z c = 1, o bien z c = 0.81. El área bajo la curva normal desde z = 0
hasta z = 0.81 es 0.2910; por lo tanto, el grado de confianza buscado es 2(0.2910) = 0.582 o bien 58.2%.
INTERVALOS DE CONFIANZA PARA PROPORCIONES
9.10 Un sondeo realizado con 100 votantes tomados en forma aleatoria de la población de todos los votantes de
determinado distrito indica que de éstos, 55% están a favor de cierto candidato. Encontrar límites de confianza
de: a) 95%, b) 99% y c) 99.73% para la proporción de todos los votantes a favor de este candidato.
SOLUCIÓN
pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
a) Los plímites ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi de confianza de 95% para la p poblacional son P 1:96 P ¼ P 1:96 pð1 pÞ=N ¼ 0:55
1:96 ð0:55Þð0:45Þ=100 ¼ 0:55 0:10, donde se ha usado la proporción muestral P para estimar p.
pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
b) Los límites de confianza de 99% para p son 0:55 2:58 ð0:55Þð0:45Þ=100 ¼ 0:55 0:13.
pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
c) Los límites de confianza de 99.73% para p son 0:55 3 ð0:55Þð0:45Þ=100 ¼ 0:55 0:15.
9.11 ¿De qué tamaño deberá tomarse la muestra de votantes del problema 9.19 para tener una confianza de: a) 95%
y b) 99.73% de que el candidato será electo?
SOLUCIÓN
pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
p
Los límites de confianza para p son P z c pð1 pÞ=N ¼ 0:55 z c ð0:55Þð0:45Þ=N ¼ 0:55 0:50z c =
ffiffiffiffi
N , donde, de
acuerdo con el problema 9.10, se ha usado la estimación pP = p = 0.55. Dado que el candidato gana sólo si tiene más del
50% de la población de votantes, se requiere que 0:50z c = ffiffiffiffi
N sea menor a 0.05.
236 CAPÍTULO 9 TEORÍA DE LA ESTIMACIÓN ESTADÍSTICA
p
a) Para una confianza de 95%, 0:50z c = ffiffiffiffi
pffiffiffiffi
N ¼ 0:50ð1:96Þ= N ¼ 0:05 si N = 384.2. Por lo tanto, N debe ser 385, por lo
menos.
p
b) Para una confianza de 99.73%, 0:50z c = ffiffiffiffi pffiffiffiffi
N ¼ 0:50ð3Þ= N ¼ 0:05 si N = 900. Por lo tanto, N debe ser 901, por lo
menos.
Otro método
p
1:50= ffiffiffiffi p ffiffiffiffi
p ffiffiffiffi
p ffiffiffiffi
N < 0:05 si N =1:50 > 1=0:05 o N > 1:50=0:05. Entonces N > 30 o bien N > 900, de manera que N
debe ser por lo menos 901.
9.12 Se realiza un estudio y se encuentra que 156 de 500 varones adultos son fumadores. Emplear el paquete de
software STATISTIX para dar un intervalo de confianza de 99% para p, la proporción poblacional de varones
adultos que son fumadores. Verificar el intervalo de confianza calculándolo a mano.
SOLUCIÓN
Los resultados de STATISTIX se dan a continuación. El intervalo de confianza de 99% aparece en negritas.
Prueba de proporción de una muestra
Tamaño de la muestra 500
Éxito 156
Proporción 0.31200
Hipótesis nula P = 0.5
Hipótesis alterna P < > 0.5
Diferencia -0.18800
Error estándar 0.02072
Z (sin corregir) -8.41 P 0.0000
Z (corregida) -8.36 P 0.0000
Intervalo de confianza 99%
Sin corregir (0.25863, 0.36537)
Corregido (0.25763, 0.36637)
Se tiene una confianza de 99% de que el verdadero porcentaje de varones adultos fumadores esté entre 25.9% y
36.5%.
Verificación:
rffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
0:312ð0:688Þ
P ¼ 0:312, z c ¼ 2:58,
¼ 0:0207
500
rffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
pð1 pÞ
P z c o bien 0.312 ± 2.58(0.0207) o bien (0.258, 0.365). Esto es lo mismo que se obtuvo antes con el
N
paquete de software STATISTIX.
9.13 Refiérase al problema 9.12 para dar un intervalo de confianza de 99% para p empleando MINITAB.
SOLUCIÓN
El intervalo de confianza de 99% se muestra abajo en negritas. Es el mismo que el intervalo de confianza obtenido con
STATISTIX en el problema 9.12.
Muestra X N Muestra P CI 99% Valor z Valor P
1 156 500 0.312000 (0.258629, 0.365371) -8.41 0.000
PROBLEMAS RESUELTOS 237
INTERVALOS DE CONFIANZA PARA DIFERENCIAS Y SUMAS
9.14 Para comparar la cantidad de tiempo que utilizan su celular los estudiantes universitarios, tanto varones como
mujeres, se tomaron 50 estudiantes varones y 50 estudiantes mujeres y se determinó la cantidad de tiempo, en
horas por semana, que utilizan su celular. En la tabla 9.4 se presentan los resultados en horas. Dar un intervalo
de 95% de confianza para µ 1 − µ 2 usando MINITAB. Verificar los resultados calculando a mano el intervalo.
Tabla 9.4
Varones
Mujeres
12
7
7
10
8
10
11
9
9
13
4
9
12
11
9
9
7
12
10
13
11
10
6
12
11
9
10
12
8
9
13
10
9
7
10
7
10
8
11
10
11
7
15
8
9
9
11
13
10
13
11
10
11
10
11
12
12
10
9
9
9
10
8
7
12
9
7
8
9
8
7
7
9
9
12
10
9
13
9
9
10
9
6
12
8
11
8
8
11
12
9
10
11
14
12
7
11
10
9
11
SOLUCIÓN
Dado que ambas muestras son mayores de 30, se puede usar indistintamente la prueba z o la prueba t para dos muestras, ya
que la distribución t y la distribución z son muy similares.
Dos muestras T para varones vs mujeres
N Media DesvEst SE media
varones 50 9.82 2.15 0.30
mujeres 50 9.70 1.78 0.25
Diferencia = mu (varones) – mu (mujeres)
Estimado para diferencia: 0.120000
CI 95% para diferencia: (-0.663474, 0.903474)
Prueba T de diferencia = 0 (vs no =): valor T = 0.30 valor P = 0.762
DF = 98
Ambos utilizaron la desviación estándar común = 1.9740
De acuerdo con los resultados de MINITAB, la diferencia entre las medias poblacionales está entre −0.66 y 0.90.
Así que existe la posibilidad de que no haya diferencia entre estas medias poblacionales.
Verificación:
qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
La fórmula para un intervalo de confianza de 95% es ðx 1 x 2 Þz c ðs 2 1 =n 1Þþðs 2 2 =n 2Þ . Sustituyendo se obtiene
0.12 ± 1.96(0.395) que corresponde a la respuesta dada por MINITAB.
9.15 Usar STATISTIX y SPSS para resolver el problema 9.14.
SOLUCIÓN
A continuación se presenta la solución dada por STATISTIX. Obsérvese que el intervalo de confianza de 95% es el mismo
que el del problema 9.14. Más adelante se verá por qué se supone que las varianzas son iguales.
238 CAPÍTULO 9 TEORÍA DE LA ESTIMACIÓN ESTADÍSTICA
Pruebas de dos muestras T para varones vs mujeres
Variable Media N SD SE
varones 9.8200 50 2.1542 0.3046
mujeres 9.7000 50 1.7757 0.2511
Diferencia 0.1200
Hipótesis nula: diferencia = 0
Hipótesis alterna: diferencia < > 0
CI 95% para diferencia
Supuesto T DF P Inferior Superior
Varianzas iguales 0.30 98 0.7618 –0.6635 0.9035
Varianzas desiguales 0.30 94.6 0.7618 –0.6638 0.9038
Prueba para igualdad F DF P
de varianzas 1.47 49,49 0.0899
La solución dada por SPSS es la siguiente:
Grupo estadístico
momento 1.00
2.00
Sexo N Media
50
50
9.7000
9.8200
Desviación
estándar
1.77569
2.15416
Media de error
estándar
.25112
.30464
Prueba de muestras independientes
Prueba de
Levene
para igualdad
de varianzas
Prueba t para igualdad de medias
momento Varianzas
iguales
supuestas
Varianzas
iguales
no supuestas
Sig.
(2-finales)
Diferencia
media
Diferencia
error estándar
Intervalo de
confianza de 95%
de la diferencia
F Sig. t gl
Inferior Superior
.898 .346 −.304 98 .762 −.12000 .39480 −.90347 .66347
−.304 94.556 .762 −.12000 .39480 −.90383 .66383
9.16 Usar SAS para resolver el problema 9.14. Dar las formas de archivos de datos que permiten usar SAS para
realizar este análisis.
SOLUCIÓN
El análisis de SAS es como se muestra a continuación. El intervalo de confianza se ha impreso en negritas en la parte inferior
de los resultados.
PROBLEMAS RESUELTOS 239
Dos muestras: prueba t para las medias de varones y mujeres
Estadísticos de muestra
Grupo N Media DesvEst ErrorEst
---------------------------------------------
varones 50 9.82 2.1542 0.3046
mujeres 50 9.7 1.7757 0.2511
Hipótesis nula: media 1 – media 2 = 0
Alternativa Media 1 – media 2 ˆ= 0
Si las varianzas son estadístico t Df Pr > t
-------------------------------------------------------
Igual 0.304 98 0.7618
Desigual 0.304 94.56 0.7618
Intervalo de confianza 95% para la diferencia entre dos medias.
Límite inferior Límite superior
--------------- ---------------
-0.66 0.90
Los archivos de datos que se emplean con SAS para el análisis pueden tener los datos de varones y de mujeres en columnas
separadas, pero los datos también pueden consistir en las horas que se emplea el celular, en una columna, y el sexo de la
persona (varón o mujer), en otra columna. Varones y mujeres se pueden codificar como 1 y 2, respectivamente. En la primera
forma habrá 2 columnas y 50 renglones. En la segunda forma habrá 2 columnas y 100 renglones.
INTERVALOS DE CONFIANZA PARA DESVIACIONES ESTÁNDAR
9.17 Para un intervalo de confianza para la varianza de una población se utiliza la distribución Ji cuadrada. El
2
(n 1)S
intervalo de confianza (1 − α) × 100% es 2 2
(n 1)S
( 2 <
)
( 2 2
1 2 ) donde n es el tamaño de la muestra, S2 es la
varianza muestral, 2 =2 y 2 1 =2 pertenecen a la distribución Ji cuadrada con (n − 1) grados de libertad. Use
EXCEL para hallar un intervalo de confianza de 99% para la varianza de veinte recipientes de 180 onzas. Los
datos de los veinte recipientes se presentan en la tabla 9.5.
Tabla 9.5
181.5
179.7
178.7
183.9
179.7
180.6
180.4
178.5
178.8
181.3
180.8
182.4
178.5
182.2
180.9
181.4
181.4
180.6
180.1
182.2
SOLUCIÓN
A continuación se presenta la hoja de cálculo de EXCEL. Los datos se encuentran en A1:B10. En la columna D se muestran
las funciones cuyos valores aparecen en la columna C.
240 CAPÍTULO 9 TEORÍA DE LA ESTIMACIÓN ESTADÍSTICA
A B C D
181.5
179.1
178.7
183.9
179.7
180.6
180.4
178.5
178.8
181.3
180.8
182.4
178.5
182.2
180.9
181.4
181.4
180.6
180.1
182.2
2.154211
40.93
38.58226
6.843971
1.06085
5.980446
=VAR(A1:B10)
=19*C1
=CHIINV(0.005,19)
=CHIINV(0.995,19)
=C2/C3
=C2/C4
El intervalo de confianza de 99% para σ 2 es: (1.06085 < σ 2 < 5.980446). El intervalo de confianza de 99% para σ
es: (1.03, 2.45).
Obsérvese que con =VAR(A1:B10) se obtiene S 2 , con =CHIINV(0.005,19) se obtiene el valor de Ji cuadrada que
tiene a su derecha un área de 0.005, y con =CHIINV(0.995,19) el valor de ji cuadrada que tiene a su derecha un área de
0.995. En ambos casos, la distribución ji cuadrada tiene 19 grados de libertad.
9.18 Para comparar la varianza de una población con la varianza de otra población se emplea el siguiente intervalo
de confianza (1 − α) × 100%:
S1
2
S2
2
1
F =2ð1 , 2Þ
< 2 1
2 < S2 1
2
S2
2 F =2ð2 , 1 Þ,
donde n 1 y n 2 son los tamaños de las dos muestras, S 2 1 y S 2 2 son las dos varianzas muestrales, v 1 = n 1 − 1 y
v 2 = n 2 − 1 son los grados de libertad, en el numerador y en el denominador, para la distribución F y los valores
F pertenecen a la distribución F. En la tabla 9.6 se dan los números de correos electrónicos enviados por
semana por los empleados de dos empresas.
Dar un intervalo de confianza de 95% para 1
2
.
Tabla 9.6
Empresa 1 Empresa 2
81
104
115
111
85
121
95
112
100
117
113
109
101
99
100
104
98
103
113
95
107
98
95
101
109
99
93
105
PROBLEMAS RESUELTOS 241
SOLUCIÓN
A continuación se muestra la hoja de cálculo de EXCEL. En la columna D se muestran las funciones cuyos valores aparecen
en la columna C. En C1 y C2 se calculan las dos varianzas muestrales. En C3 y C4 se calculan los valores F. En C5 y
C6 se calculan los extremos del intervalo de confianza para el cociente de las varianzas. Como se ve, el intervalo de confianza
del 95% para 2 1
2 es (1.568, 15.334). El intervalo de confianza del 95% para 1
es (1.252, 3.916). Obsérvese que
2
2
=FINV(0.025,12,14) es el punto que corresponde a la distribución F, con ν 1 = 12 y ν 2 = 14 grados de libertad, que tiene
un área de 0.025 a su derecha.
A B C D
Compañía 1
81
104
115
111
85
121
95
112
100
117
113
109
101
Compañía 2
99
100
104
98
103
113
95
107
98
95
101
109
99
93
105
148.5769231
31.06666667
3.050154789
3.2062117
1.567959436
15.33376832
1.25218187
3.915835584
=VAR(A2:A14)
=VAR(B2:B16)
=FINV(0.025,12,14)
=FINV(0.025,14,12)
=(C1/C2)/C3
=(C1/C2)*C4
=SQRT(C5)
=SQRT(C6)
ERROR PROBABLE
9.19 La media del voltaje de 50 baterías del mismo tipo es 18.2 volts (V) y la desviación estándar es 0.5 V. Encontrar:
a) el error probable de la media y b) los límites de confianza de 50%.
SOLUCIÓN
a) Error probable de la media ¼ 0:674 X ¼ 0:6745 p ffiffiffiffi ¼ 0:6745 p ^s ffiffiffiffi
N
N
s
¼ 0:6745 pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
¼ 0:6745 p
0:5 ffiffiffiffiffi ¼ 0:048 V
N 1
49
pObsérvese que si la desviación estándar de 0.5 V se calcula como ^s, el error probable también es 0.6745
ð0:5=
ffiffiffiffiffi
50 Þ¼0:048, de manera que si N es suficientemente grande puede usarse cualquier estimación.
b) Los límites de confianza de 50% son 18 ± 0.048 V.
9.20 Una medición se registra como 216.480 gramos (g) con un error probable de 0.272 g. ¿Cuáles son los límites
de confianza de 95% para esta medición?
242 CAPÍTULO 9 TEORÍA DE LA ESTIMACIÓN ESTADÍSTICA
SOLUCIÓN
El error probable es 0:272 ¼ 0:6745 X o bien X ¼ 0:272=0:6745. Por lo tanto, los límites de confianza de 95% son
X 1:96 X ¼ 216:480 1:96ð0:272=0:6745Þ ¼216:480 0:790 g.
PROBLEMAS SUPLEMENTARIOS
ESTIMADORES INSESGADOS Y EFICIENTES
9.21 Las mediciones de una muestra de masas fueron 8.3, 10.6, 9.7, 8.8, 10.2 y 9.4 kilogramos (kg), respectivamente. Determinar
estimaciones insesgadas y eficientes de: a) la media poblacional, b) la varianza poblacional y c) comparar la desviación
estándar muestral con la desviación estándar poblacional estimada.
9.22 En una muestra de 10 cinescopios de televisión, producidos por una empresa, la media del tiempo de vida es 1 200 horas
(h) y la desviación estándar es 100 h. Estimar: a) la media y b) la desviación estándar de todos los cinescopios producidos
por esta empresa.
9.23 a) Repetir el problema 9.22 considerando que la muestra es de 30, 50 y 100 cinescopios de televisión.
b) ¿Qué se puede concluir sobre la relación entre la desviación estándar muestral y las estimaciones de la desviación
estándar poblacional obtenidas con diferentes tamaños de muestra?
INTERVALOS DE CONFIANZA PARA MEDIAS
9.24 La media y la desviación estándar de la carga máxima que soporta cada uno de 60 cables (ver problema 3.59) son 11.09
toneladas y 0.73 toneladas, respectivamente. Encontrar los límites de confianza: a) de 95% y b) de 99% para la media de
la carga máxima de cada uno de los cables producidos por la empresa.
9.25 La media y la desviación estándar de los diámetros de una muestra de 250 cabezas de remaches fabricados por una empresa
son 0.72643 in y 0.00058 in, respectivamente (ver problema 3.61). Encontrar los límites de confianza de: a) 99%, b)
98%, c) 95% y d ) 90% para los diámetros de todas las cabezas de remaches producidos por la empresa.
9.26 Encontrar: a) los límites de confianza de 50% y b) el error probable para la media de los diámetros del problema 9.25.
9.27 Si se estima que la desviación estándar del tiempo de vida de los cinescopios de televisión es de 100 h, ¿de qué tamaño
deberá tomarse la muestra para que se tenga una confianza de: a) 95%, b) 90%, c) 99% y d ) 99.73% de que el error en la
vida media estimada no sea mayor de 20 h?
9.28 A los integrantes de un grupo de 50 personas que acostumbra comprar por Internet se les preguntó cuánto gastaban anualmente
en estas compras por Internet. Las respuestas obtenidas se presentan en la tabla 9.7.
Empleando las ecuaciones del capítulo 9, así como paquetes de software para estadística, encontrar un intervalo de
80% para µ, la cantidad media gastada por las personas que compran por Internet.
PROBLEMAS SUPLEMENTARIOS 243
Tabla 9.7
418
363
331
351
307
158
523
331
466
366
379
434
356
151
297
310
356
364
150
195
77
348
423
220
448
331
210
352
282
96
212
245
330
383
391
348
364
299
221
219
378
341
247
257
210
124
406
221
432
202
9.29 Una empresa tiene 500 cables. En una prueba realizada a 40 cables tomados en forma aleatoria se encuentra que la resistencia
media a la ruptura es 2 400 libras (lb) y la desviación estándar es 150 lb.
a) ¿Cuáles son los límites de confianza de 95% y 99% para la estimación de la resistencia media a la ruptura de los 460
cables restantes?
b) ¿Con qué grado de confianza se puede decir que la resistencia media a la ruptura de los 460 cables restantes es 2 400
± 35 lb?
INTERVALOS DE CONFIANZA PARA PROPORCIONES
9.30 Una urna contiene canicas rojas y blancas en proporción desconocida. En una muestra aleatoria de 60 canicas tomadas de
esta urna, con reposición, se observó que 70% eran rojas. Encontrar límites de confianza de: a) 95%, b) 99% y c) 99.73%
para la verdadera proporción de canicas rojas en esta urna.
9.31 Se realizó un sondeo con 1 000 personas mayores de 65 años para determinar el porcentaje de la población de este grupo
de edad que tiene conexión a Internet. Se encontró que 387 de las 1 000 personas contaban con conexión a Internet.
Empleando las ecuaciones dadas en este libro, así como software para estadística, encontrar un intervalo de confianza de
97.5% para p.
9.32 Se cree que los resultados de la elección entre dos candidatos sean muy reñidos. ¿Cuál será la cantidad mínima de votantes
que habrá que sondear para tener una confianza de: a) 80%, b) 90%, c) 95% y d ) 99% para una decisión a favor de cualquiera
de los candidatos?
INTERVALOS DE CONFIANZA PARA DIFERENCIAS Y SUMAS
9.33 Se tienen dos grupos similares de pacientes, A y B, que constan de 50 y 100 individuos, respectivamente. A las personas
del primer grupo se les administra una nueva pastilla para dormir, y a las del segundo, una pastilla convencional. En los
pacientes del grupo A la media de la cantidad de horas de sueño es 7.82 y la desviación estándar 0.24 h; en los pacientes
del grupo B la media de la cantidad de horas de sueño es 6.75 y la desviación estándar es 0.30 h. Encontrar los límites de
confianza: a) de 95% y b) de 99% para la diferencia entre las medias de la cantidad de horas de sueño inducido por los dos
tipos de pastillas para dormir.
9.34 Se realiza un estudio para comparar la duración media de vida de los varones con la de las mujeres. Se toman muestras
aleatorias de las páginas del obituario; los datos recolectados se presentan en la tabla 9.8.
Usando los resultados proporcionados en dicha tabla, las ecuaciones presentadas en este libro y un software para
244 CAPÍTULO 9 TEORÍA DE LA ESTIMACIÓN ESTADÍSTICA
Tabla 9.8
Varones
Mujeres
85
60
55
90
49
90
62
78
53
72
53
51
99
72
72
74
65
49
82
104
100
61
56
62
58
85
81
78
109
70
49
83
55
69
60
80
55
80
87
31
65
65
55
59
68
77
71
75
78
50
64
64
61
105
71
98
66
81
92
91
93
60
84
90
99
61
74
86
77
93
82
75
91
59
98
108
60
65
82
63
71
87
61
86
54
79
90
86
86
93
77
60
85
62
94
50
95
81
79
53
9.35 Se comparan dos áreas de un país respecto a la proporción de adolescentes con caries. En una de estas áreas se agrega flúor
al agua y en la otra no. En la muestra del área en donde no se agrega flúor al agua, 425 de 1 000 adolescentes tienen por lo
menos una caries. En la muestra del área en donde sí se agrega flúor al agua, 376 de 1 000 adolescentes tienen por lo menos
una caries. Dar un intervalo de confianza de 99% para esta diferencia, en porcentaje, empleando las ecuaciones dadas en
este libro, así como un paquete de software para estadística.
INTERVALOS DE CONFIANZA PARA DESVIACIONES ESTÁNDAR
9.36 La desviación estándar en la resistencia a la ruptura encontrada en 100 cables de una empresa es 180 lb. Dar límites de
confianza de: a) 95%, b) 99% y c) 99.73% para la desviación estándar de todos los cables producidos por esta empresa.
9.37 Resolver el problema 9.17 empleando SAS.
9.38 Resolver el problema 9.18 empleando SAS.
TEORÍA
ESTADÍSTICA
DE LA DECISIÓN
10
DECISIONES ESTADÍSTICAS
En la práctica, con frecuencia se tienen que tomar decisiones acerca de una población con base en información muestral.
A tales decisiones se les llama decisiones estadísticas. Por ejemplo, tal vez se tenga que decidir, con base en datos
muestrales, si determinado suero es realmente eficaz en la curación de una enfermedad, si un método educativo es
mejor que otro, o bien si una moneda está alterada o no.
HIPÓTESIS ESTADÍSTICAS
Cuando se trata de tomar una decisión es útil hacer suposiciones (o conjeturas) acerca de la población de que se trata.
A estas suposiciones, que pueden ser o no ciertas, se les llama hipótesis estadísticas. Estas hipótesis estadísticas son
por lo general afirmaciones acerca de las distribuciones de probabilidad de las poblaciones.
Hipótesis nula
En muchas ocasiones se formula una hipótesis estadística con la única finalidad de refutarla o anularla. Por ejemplo,
si se quiere decidir si una moneda está cargada o no, se formula la hipótesis de que no está cargada (es decir, p = 0.5,
donde p es la probabilidad de cara). También, si se quiere decidir si un método es mejor que otro, se formula la hipótesis
de que no hay diferencia entre los dos (es decir, que cualquier diferencia que se observe se debe sólo a las fluctuaciones
del muestreo de una misma población). A estas hipótesis se les llama hipótesis nula y se denota H 0 .
Hipótesis alternativa
A toda hipótesis que difiera de la hipótesis dada se le llama hipótesis alternativa. Por ejemplo, si una hipótesis es p =
0.5, la hipótesis alternativa puede ser p = 0.7, p 0.5 o p > 0.5. La hipótesis alternativa a la hipótesis nula se denota
H 1 .
245
246 CAPÍTULO 10 TEORÍA ESTADÍSTICA DE LA DECISIÓN
PRUEBAS DE HIPÓTESIS Y DE SIGNIFICANCIA O REGLAS DE DECISIÓN
Si se supone que una hipótesis es verdadera, pero se encuentra que los resultados que se observan en una muestra
aleatoria difieren marcadamente de los resultados esperados de acuerdo con la hipótesis (es decir, esperados con base
sólo en la casualidad, empleando la teoría del muestreo), entonces se dice que las diferencias observadas son significativas
y se estará inclinado a rechazar la hipótesis (o por lo menos a no aceptarla de acuerdo con la evidencia obtenida).
Por ejemplo, si en 20 lanzamientos de una moneda se obtienen 16 caras, se estará inclinado a rechazar que la
moneda es buena, aun cuando se puede estar equivocado.
A los procedimientos que permiten determinar si las muestras observadas difieren significativamente de los resultados
esperados, ayudando así a decidir si se acepta o se rechaza la hipótesis, se les llama pruebas de hipótesis, pruebas
de significancia o reglas de decisión.
ERRORES TIPO I Y TIPO II
Si se rechaza una hipótesis que debería aceptarse se dice que se comete un error tipo I. Si por otro lado, se acepta una
hipótesis que debería rechazarse, se comete un error tipo II. En cualquiera de los casos ha habido una decisión errónea
o se ha hecho un juicio erróneo.
Para que las reglas de decisión (o pruebas de hipótesis) sean buenas, deben diseñarse de manera que se minimicen
los errores de decisión. Esto no es sencillo, ya que para cualquier tamaño dado de muestra, al tratar de disminuir un
tipo de error suele incrementarse el otro tipo de error. En la práctica, un tipo de error puede ser más importante que
otro y habrá que sacrificar uno con objeto de limitar al más notable. La única manera de reducir los dos tipos de error
es aumentando el tamaño de la muestra, lo que no siempre es posible.
NIVEL DE SIGNIFICANCIA
Cuando se prueba determinada hipótesis, a la probabilidad máxima con la que se está dispuesto a cometer un error tipo
I se le llama nivel de significancia de la prueba. Esta probabilidad acostumbra denotarse α y por lo general se especifica
antes de tomar cualquier muestra para evitar que los resultados obtenidos influyan sobre la elección del valor de
esta probabilidad.
En la práctica, se acostumbran los niveles de significancia 0.05 o 0.01, aunque también se usan otros valores. Si,
por ejemplo, al diseñar la regla de decisión se elige el nivel de significancia 0.05 (o bien 5%), entonces existen 5 posibilidades
en 100 de que se rechace una hipótesis que debía ser aceptada; es decir, se tiene una confianza de aproximadamente
95% de que se ha tomado la decisión correcta. En tal caso se dice que la hipótesis ha sido rechazada al nivel
de significancia 0.05, lo que significa que la hipótesis tiene una probabilidad de 0.05 de ser errónea.
PRUEBAS EMPLEANDO DISTRIBUCIONES NORMALES
Para ilustrar las ideas presentadas antes, supóngase que de acuerdo con determinada hipótesis, la distribución muestral
de un estadístico S es una distribución normal con media µ S y desviación estándar σ S . Por lo tanto, la distribución de
la variable estandarizada (o puntuación z), dada por z = (S − µ S )/σ S , es la distribución normal estándar (media 0,
varianza 1), que se muestra en la figura 10-1.
Como indica la figura 10-1, se puede tener una confianza del 95% en que si la hipótesis es verdadera, entonces la
puntuación z del estadístico muestral real S estará entre −1.96 y 1.96 (ya que el área bajo la curva normal entre estos
dos valores es 0.95). Pero si se toma una sola muestra aleatoria y se encuentra que la puntuación z del estadístico se
encuentra fuera del rango −1.96 a 1.96, se concluye que si la hipótesis dada es verdadera, esto sólo puede ocurrir con
una probabilidad de 0.05 (el total del área sombreada en la figura). En tal caso se dice que la puntuación z difiere en
forma significativa de lo esperado de acuerdo con la hipótesis dada y se estará inclinado a rechazar esa hipótesis.
El 0.05, que es el total de área sombreada, es el nivel de significancia de la prueba. Esta cantidad representa la
probabilidad de estar equivocado al rechazar la hipótesis (es decir, la probabilidad de cometer un error tipo I). Por lo
tanto, se dice que la hipótesis se rechaza al nivel de significancia 0.05 o que la puntuación z del estadístico muestral
dado es significante al nivel 0.05.
PRUEBAS DE UNA Y DE DOS COLAS 247
Región crítica
0.025
Región de aceptación
0.95
Región crítica
0.025
z = −1.96 z = 1.96
Figura 10-1 Curva normal estándar mostrando la región crítica (0.05) y
la región de aceptación (0.95).
El conjunto de puntuaciones z que queda fuera del intervalo −1.96 a 1.96 constituye lo que se llama región crítica
de la hipótesis, región de rechazo de la hipótesis o región de significancia. Al conjunto de puntuaciones z que queda
dentro del intervalo −1.96 a 1.96 se le llama región de aceptación de la hipótesis o región de no significancia.
De acuerdo con las observaciones anteriores, se puede formular la siguiente regla de decisión (o prueba de hipótesis
o de significancia):
Rechazar la hipótesis, al nivel de significancia 0.05, si la puntuación z del estadístico S se encuentra fuera del rango
−1.96 a 1.96 (es decir, si z > 1.96 o z < −1.96). Esto equivale a decir que el estadístico muestral observado es
significante al nivel 0.05.
Si no es así, se acepta la hipótesis (o, si se desea, no se toma ninguna decisión).
Debido a que la puntuación z es tan importante en las pruebas de hipótesis, también se le conoce como el estadístico
de prueba.
Hay que hacer notar que también pueden emplearse otros niveles de significancia. Por ejemplo, si se emplea el
nivel 0.01, el 1.96, empleado antes se sustituirá por 2.58 (ver la tabla 10.1). También se puede emplear la tabla 9.1, ya
que los niveles de significancia y de confianza suman 100%.
Tabla 10.1
Nivel de significancia, α 0.10 0.05 0.01 0.005 0.002
Valores críticos de z para
pruebas de una cola
−1.28
o 1.28
−1.645
o 1.645
−2.33
o 2.33
−2.58
o 2.58
−2.88
o 2.88
Valores críticos de z para
pruebas de dos colas
−1.645
y 1.645
−1.96
y 1.96
−2.58
y 2.58
−2.81
y 2.81
−3.08
y 3.08
PRUEBAS DE UNA Y DE DOS COLAS
En la prueba anterior interesaban los valores extremos del estadístico S, o de sus correspondientes puntuaciones z, a
ambos lados de la media (es decir, en las dos colas de la distribución). Por lo tanto, a las pruebas de este tipo se les
llama pruebas bilaterales o pruebas de dos colas.
Sin embargo, hay ocasiones en las que interesan únicamente los valores extremos a un solo lado de la media (es
decir, en una sola cola de la distribución); por ejemplo, cuando se prueba si un método es mejor que otro (que es distinto
a probar si un método es mejor o peor que otro). A este tipo de pruebas se les llama pruebas unilaterales o pruebas
de una cola. En estos casos la región crítica es una región en un solo lado de la distribución y su área es igual al
nivel de significancia.
248 CAPÍTULO 10 TEORÍA ESTADÍSTICA DE LA DECISIÓN
La tabla 10.1, en la que se dan los valores críticos de z tanto para pruebas de una cola como para pruebas de dos
colas correspondientes a varios niveles de significancia, se encontrará útil como referencia. Valores críticos de z para
otros niveles de significancia se encuentran en la tabla de áreas de la curva normal (apéndice II).
PRUEBAS ESPECIALES
Cuando las muestras son grandes, las distribuciones muestrales de muchos estadísticos tienen una distribución normal
(o por lo menos aproximadamente normal), y en estas pruebas se puede emplear la correspondiente puntuación z. Los
siguientes casos especiales, tomados de la tabla 8.1, son sólo algunos de los estadísticos de interés práctico. En cada
uno de estos casos, el resultado es válido para poblaciones infinitas o cuando el muestreo se hace con reposición. Si el
muestreo se hace de poblaciones finitas y sin reposición, es necesario modificar las fórmulas. Ver la página 182.
p
1. Media. Aquí S ¼ X, la media muestral; S ¼ X ¼ , la media poblacional, y S ¼ X ¼ = ffiffiffiffi
N , donde σ es la
desviación estándar poblacional y N es el tamaño de la muestra. La puntuación z está dada por
X
z ¼
p
= ffiffiffiffi
N
Si es necesario, para estimar σ se emplea la desviación muestral s o ^s.
2. Proporciones. Aquí S = P, la proporción de “éxitos” en una muestra; p µ S = µ P = p, donde p es la proporción
poblacional de éxitos y N es el tamaño de la muestra, y S ¼ P ¼
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
pq=N, donde q = 1 − p.
La puntuación z está dada por
z ¼ p
P ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
p
pq=N
En el caso de P = X/N, donde X = cantidad de éxitos obtenidos realmente en una muestra, la puntuación z se
transforma en
Es decir, µ X = µ = Np, X ¼ ¼
p ffiffiffiffiffiffiffiffiffi Npq y S = X.
z ¼ X pffiffiffiffiffiffiffiffiffi
Np
Npq
Las fórmulas para otros estadísticos se pueden obtener de manera similar.
CURVA CARACTERÍSTICA DE OPERACIÓN; POTENCIA DE UNA PRUEBA
Se ha visto cómo limitar el error tipo I eligiendo de manera adecuada el nivel de significancia. Para evitar totalmente
cometer un error tipo II, simplemente no hay que cometerlo, que es lo mismo que no aceptar ninguna hipótesis. Sin
embargo, en la práctica esto no es posible. Entonces lo que se hace es emplear las curvas características de operación
o curvas OC, que son curvas que muestran la probabilidad de cometer un error tipo II bajo diversas hipótesis. Estas
curvas proporcionan indicaciones de qué tan bien permite una prueba determinada minimizar los errores tipo II; es
decir, indican la potencia de una prueba para evitar que se cometan errores de decisión. Estas curvas son útiles en el
diseño de experimentos, ya que muestran informaciones como qué tamaño de muestra emplear.
VALOR p EN PRUEBAS DE HIPÓTESIS
El valor p es la probabilidad de obtener un estadístico muestral tan extremo o más extremo que el obtenido, suponiendo
que la hipótesis nula sea verdadera. Para probar una hipótesis empleando este método se establece un valor α; se
PRUEBAS PARA DIFERENCIAS MUESTRALES 249
calcula el valor p y si el valor p ≤ α, se rechaza H 0 . En caso contrario, no se rechaza H 0 . En pruebas para medias
empleando muestras grandes (n > 30), el valor p se calcula como sigue:
1. Para H 0 : µ = µ 0 y H 1 : µ < µ 0 , valor p = P(Z < el estadístico de prueba calculado).
2. Para H 0 : µ = µ 0 y H 1 : µ > µ 0 , valor p = P(Z > el estadístico de prueba calculado).
3. Para H 0 : µ = µ 0 y H 1 : µ ≠ µ 0 , valor p = P(Z <−| el estadístico de prueba calculado |) + P(Z > | el estadístico
de prueba calculado |).
El estadístico de prueba calculado es x 0
p
ðs=
ffiffi , donde x es la media de la muestra, s es la desviación estándar de la
n Þ
muestra y µ 0 es el valor que se ha especificado para µ en la hipótesis nula. Obsérvese que σ no se conoce, se estima
a partir de la muestra y se usa s. Este método para pruebas de hipótesis es equivalente al método de hallar el o los
valores críticos y si el estadístico de prueba cae en la región de rechazo, rechazar la hipótesis nula. Usando cualquiera
de estos métodos se llega a la misma decisión.
GRÁFICAS DE CONTROL
En la práctica suele ser importante darse cuenta cuándo un proceso ha cambiado lo suficiente como para que se deban
tomar medidas para remediar la situación. Estos problemas surgen, por ejemplo, en el control de calidad. Los supervisores
de control de calidad deben decidir si los cambios observados se deben sólo a fluctuaciones casuales o a verdaderos
cambios en el proceso de fabricación debidos al deterioro de las máquinas, a los empleados, a errores, etc. Las
gráficas de control proporcionan un método útil y sencillo para tratar tales problemas (ver problema 10.16).
PRUEBAS PARA DIFERENCIAS MUESTRALES
Diferencias entre medias
Sean X 1 y X 2 las medias muestrales de muestras grandes de tamaños N 1 y N 2 obtenidas de poblaciones cuyas medias
son µ 1 y µ 2 y cuyas desviaciones estándar son σ 1 y σ 2 , respectivamente. Considérese la hipótesis nula de que no hay
diferencia entre las dos medias poblacionales (es decir, µ 1 = µ 2 ), lo cual es equivalente a decir que las muestras se han
tomado de dos poblaciones que tienen la misma media.
Haciendo µ 1 = µ 2 en la ecuación (5) del capítulo 8 se ve que la distribución muestral de las diferencias entre las
medias es aproximadamente normal con media y desviación estándar dadas por
sffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
2 1
X1 X2 ¼ 0 y X1 X2 ¼ þ 2 2
(1)
N 1 N 2
donde, si es necesario, se pueden usar las desviaciones estándar muestrales s 1 y s 2 (o ^s 1 y ^s 2 ) como estimaciones de σ 1
y σ 2 .
Empleando la variable estandarizada, o puntuación z, dada por
X
z ¼ 1
X 2 0
X1 X2
X
¼ 1
X 2
X1 X2
(2)
se puede probar la hipótesis nula contra la hipótesis alternativa (o la significancia de la diferencia observada) a un nivel
de significancia apropiado.
Diferencias entre proporciones
Sean P 1 y P 2 las proporciones muestrales de muestras grandes de tamaños N 1 y N 2 obtenidas de poblaciones cuyas
proporciones son p 1 y p 2 . Considérese la hipótesis nula de que no hay diferencia entre estos parámetros poblacionales
(es decir, p 1 = p 2 ) y que por lo tanto las muestras se han obtenido realmente de la misma población.
250 CAPÍTULO 10 TEORÍA ESTADÍSTICA DE LA DECISIÓN
Haciendo, en la ecuación (6) del capítulo 8, p 1 = p 2 = p, se ve que la distribución muestral de las diferencias entre
las proporciones es aproximadamente normal, y que su media y su desviación estándar están dadas por
sffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
1
µ P1 −µ P2 = 0 y P1 P2 ¼ pq þ 1
(3)
N 1 N 2
donde p ¼ N 1P 1 þ N 2 P 2
N 1 þ N 2
se usa como estimación de la proporción poblacional y donde q = 1 − p.
Empleando la variable estandarizada
z ¼ P 1 P 2 0
P1 P2
¼ P 1 P 2
P1 P2
(4)
se puede probar la diferencia observada a nivel de significancia apropiado y con esto probar la hipótesis nula.
Se pueden hacer pruebas con otros estadísticos de manera similar.
PRUEBAS EMPLEANDO DISTRIBUCIONES BINOMIALES
Las pruebas en las que se usen distribuciones binomiales (así como otras distribuciones) pueden hacerse de manera
análoga a las pruebas en las que se emplean distribuciones normales; el principio básico es esencialmente el mismo.
Ver los problemas del 10.23 al 10.28.
PROBLEMAS RESUELTOS
PRUEBAS DE MEDIAS Y PROPORCIONES EMPLEANDO DISTRIBUCIONES NORMALES
10.1 Encontrar la probabilidad de obtener entre 40 y 60 caras inclusive en 100 lanzamientos de una moneda que no
esté cargada.
SOLUCIÓN
De acuerdo con la probabilidad binomial, la probabilidad buscada es
100 1 40
1 60
þ 100 1 41
1 59
þþ 100 1 60
1
40 2 2 41 2 2
60 2 2
40
Como tanto Np ¼ 100ð 1 2 Þ como Nq ¼ 100ð1 2Þ son mayores que 5, para evaluar esta suma puede emplearse la aproximación
normal a la distribución binomial. La media y la desviación estándar de la cantidad de caras en 100 lanzamientos están
dadas por
¼ Np ¼ 100ð 1 pffiffiffiffiffiffiffiffiffi
qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
2Þ¼50 y ¼ Npq ¼ ð100Þð 1 2 Þð1 2 Þ ¼ 5
En una escala continua, entre 40 y 60 caras corresponden a entre 39.5 y 60.5 caras. Por lo tanto, se tiene
39.5 en unidades estándar ¼
39:5 50
¼ 2:10 60.5 en unidades estándar ¼
5
Probabilidad buscada = área bajo la curva normal entre z = −2.10 y z = 2.10
= 2(área entre z = 0 y z = 2.10) = 2(0.4821) = 0.9642.
60:5 50
¼ 2:10
5
PROBLEMAS RESUELTOS 251
10.2 Para probar la hipótesis de que una moneda no está cargada se adopta la siguiente regla de decisión:
Aceptar la hipótesis si el número de caras de una sola muestra de 100 lanzamientos está entre 40 y 60
inclusive.
Rechazar la hipótesis si no es así.
a) Encontrar la probabilidad de rechazar la hipótesis en caso de que en realidad sea correcta.
b) Graficar la regla de decisión y el resultado del inciso a).
c) ¿A qué conclusión se llega si en la muestra de 100 lanzamientos se obtienen 53 caras? ¿Y si se obtienen
60 caras?
d ) ¿Puede estar equivocada la conclusión obtenida en el inciso c)?
SOLUCIÓN
a) De acuerdo con el problema 10.1, la probabilidad de que no se obtengan entre 40 y 60 caras inclusive si la moneda no
está cargada es 1 − 0.9642 = 0.0358. Por lo tanto, la probabilidad de rechazar la hipótesis (nula) cuando en realidad
sea correcta es 0.0358.
b) En la figura 10.2 se ilustra la regla de decisión. Se muestra la distribución de probabilidad para la obtención de caras
en 100 lanzamientos de una moneda no cargada. Si en una sola muestra de 100 lanzamientos se obtiene una puntuación
z entre −2.10 y 2.10, se acepta la hipótesis; si no es así, se rechaza la hipótesis y se concluye que la moneda está
cargada.
El error que se comete si se rechaza la hipótesis cuando en realidad deba aceptarse es el error tipo I de la regla
de decisión, y la probabilidad de cometer este error es igual a 0.0358, de acuerdo con el inciso a); este error está
representado por el total del área sombreada de la figura. Si en una sola muestra de 100 lanzamientos se obtiene una
cantidad de caras cuya puntuación z (o estadístico z) se encuentra en la región sombreada, se dice que la puntuación z
difiere de manera significativa de lo que se esperaría si la hipótesis fuera verdadera. Es por esta razón que a la región
sombreada (es decir, a la probabilidad de cometer un error tipo I) se le conoce como nivel de significancia de la regla
de decisión, que en este caso es igual a 0.0358. Por lo tanto, se habla de rechazo de la hipótesis a nivel de significancia
0.0358 (o 3.58%).
c) De acuerdo con la regla de decisión, en ambos casos debe aceptarse la hipótesis de que la moneda no está cargada.
Puede argumentarse que bastará que se obtenga una cara más para que se rechace la hipótesis. Esto es a lo que se
enfrenta cuando se emplea una clara línea divisoria para tomar una decisión.
d ) Sí. Tal vez se acepte la hipótesis cuando en realidad debería haberse rechazado, que sería el caso, por ejemplo, si la
probabilidad de cara fuera en realidad 0.7 en lugar de 0.5. El error que se comete al aceptar una hipótesis que debería
rechazarse es un error tipo II de la decisión.
Región de
rechazo
Región de
aceptación
Región de
rechazo
z = −2.10 z = 2.10
Figura 10-2 Curva normal estándar en la que se muestran las regiones de aceptación
y de rechazo para probar que una moneda no está cargada.
252 CAPÍTULO 10 TEORÍA ESTADÍSTICA DE LA DECISIÓN
10.3 Empleando la distribución binomial y no la aproximación normal a la distribución binomial, diseñar una regla
de decisión para probar la hipótesis de que una moneda no está cargada si se emplea una muestra de 64 lanzamientos
y se usa como nivel de significancia 0.05. Usar MINITAB como ayuda para encontrar la solución.
SOLUCIÓN
En la figura 10-3 se presenta la gráfica de probabilidades binomiales cuando una moneda no cargada se lanza 64 veces.
Abajo de la figura 10-3 se presentan las probabilidades acumuladas generadas con MINITAB.
0.10
0.08
Probabilidad
0.06
0.04
0.02
0.00
0 10 20 30 40 50 60 70
x
Figura 10-3 MINITAB, gráfica de la distribución binomial correspondiente a n = 64 y p = 0.5.
x Probabilidad Acumulada x Probabilidad Acumulada
0 0.0000000 0.0000000 13 0.0000007 0.0000009
1 0.0000000 0.0000000 14 0.0000026 0.0000035
2 0.0000000 0.0000000 15 0.0000086 0.0000122
3 0.0000000 0.0000000 16 0.0000265 0.0000387
4 0.0000000 0.0000000 17 0.0000748 0.0001134
5 0.0000000 0.0000000 18 0.0001952 0.0003087
6 0.0000000 0.0000000 19 0.0004727 0.0007814
7 0.0000000 0.0000000 20 0.0010636 0.0018450
8 0.0000000 0.0000000 21 0.0022285 0.0040735
9 0.0000000 0.0000000 22 0.0043556 0.0084291
10 0.0000000 0.0000000 23 0.0079538 0.0163829
11 0.0000000 0.0000001 24 0.0135877 0.0299706
12 0.0000002 0.0000002 25 0.0217403 0.0517109
Como se ve, P(X ≤ 23) = 0.01638. Como la distribución es simétrica, se sabe también que P(X ≥ 41) = 0.01638. La
región de rechazo {X ≤ 23 y X ≥ 41} tiene la probabilidad 2(0.01638) = 0.03276. La región de rechazo {X ≤ 24 y X ≥ 40}
es mayor que 0.05. Cuando se usa una distribución binomial no se puede tener una región de rechazo exactamente igual a
0.05. Lo más cercano a 0.05 que se puede tener, sin que se tenga una probabilidad mayor a este valor, es 0.03276.
Resumiendo, la moneda se lanza 64 veces. Se declarará que está cargada, o no equilibrada, si se obtienen 23 o menos,
o 41 o más caras. La posibilidad de cometer un error tipo I es 0.03276, que es lo más cerca que se puede estar de 0.05, sin
sobrepasar este valor.
10.4 Volver al problema 10.3. Usando la distribución binomial, no la aproximación normal a la distribución binomial,
diseñar una regla de decisión para probar la hipótesis de que la moneda no está cargada empleando una mues-
PROBLEMAS RESUELTOS 253
tra de 64 lanzamientos de la moneda y un nivel de significancia de 0.05. Emplear EXCEL como ayuda para dar
la solución.
SOLUCIÓN
En la columna A de la hoja de cálculo de EXCEL se ingresan los resultados 0 a 64. Las expresiones =BINOMDIST(A1,64,0.5,0)
y =BINOMDIST(A1,64,0.5,1) se emplean para obtener la distribución binomial y la distribución binomial acumulada. El
0, que aparece como cuarto parámetro, indica que se requieren probabilidades individuales, y el 1 indica que se desean las
probabilidades acumuladas. Haciendo clic y arrastrando en la columna B se obtienen las probabilidades individuales y
haciendo clic y arrastrando en la columna C se obtienen las probabilidades acumuladas.
A B C A B C
x Probabilidad Acumulada x Probabilidad Acumulada
0 5.42101E-20 5.42101E-20 13 7.12151E-07 9.40481E-07
1 3.46945E-18 3.52366E-18 14 2.59426E-06 3.53474E-06
2 1.09288E-16 1.12811E-16 15 8.64754E-06 1.21823E-05
3 2.25861E-15 2.37142E-15 16 2.64831E-05 3.86654E-05
4 3.44438E-14 3.68152E-14 17 7.47758E-05 0.000113441
5 4.13326E-13 4.50141E-13 18 0.000195248 0.000308689
6 4.06437E-12 4.51451E-12 19 0.000472706 0.000781395
7 3.36762E-11 3.81907E-11 20 0.001063587 0.001844982
8 2.39943E-10 2.78134E-10 21 0.002228469 0.004073451
9 1.49298E-09 1.77111E-09 22 0.004355644 0.008429095
10 8.21138E-09 9.98249E-09 23 0.007953785 0.01638288
11 4.03104E-08 5.02929E-08 24 0.013587715 0.029970595
12 1.78038E-07 2.28331E-07 25 0.021740344 0.051710939
Se encuentra, como en el problema 10.3, que P(X ≤ 23) = 0.01638 y debido a la simetría, P(X ≥ 41) = 0.01638, y que la
región de rechazo es {X ≤ 23 o X ≥ 41} y el nivel de significancia es 0.01638 + 0.01638 o bien 0.03276.
Región crítica
Z
Figura 10-4 Determinación del valor Z que dará una región crítica igual a 0.05.
10.5 Se realiza un experimento de percepción extrasensorial (PES) en el que se pide a un individuo que está en una
habitación que adivine el color (rojo o verde) de una carta extraída de un juego de 50 cartas bien mezcladas por
una persona en otra habitación. El individuo no sabe cuántas cartas rojas o verdes hay en ese conjunto de cartas.
Si este individuo identifica 32 cartas correctamente, determinar si los resultados son significativos al nivel: a)
0.05 y b) 0.01.
254 CAPÍTULO 10 TEORÍA ESTADÍSTICA DE LA DECISIÓN
SOLUCIÓN
Si p es la probabilidad de que la persona elija correctamente el color de la carta, entonces hay que decidir entre las dos
hipótesis:
H 0 : p = 0.5, el individuo simplemente está adivinando (es decir, el resultado se debe a la casualidad).
H 1 : p > 0.5, la persona tiene PES.
Como lo que interesa no es la habilidad de la persona para obtener puntuaciones extremadamente bajas, sino sólo su
habilidad para obtener puntuaciones altas, se elige una prueba de una cola. Si la hipótesis H 0 es verdadera, entonces la media
y la desviación estándar de la cantidad de cartas identificadas correctamente están dadas por
p
µ = Np = 50(0.5) = 25 y ¼ ffiffiffiffiffiffiffiffiffi p
Npq ¼
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi p
50ð0:5Þð0:5Þ ¼
ffiffiffiffiffiffiffiffiffi
12:5 ¼ 3:54
a) Como se trata de una prueba de una cola con nivel de significancia 0.05, en la figura 10-4 se debe elegir z de manera
que el área sombreada, en la región crítica de puntuaciones altas, sea 0.05. El área entre 0 y z será 0.4500 y z = 1.645;
este valor también se puede leer en la tabla 10.1. Por lo tanto, la regla de decisión (o prueba de significancia) es:
Si la puntuación z observada es mayor a 1.645, los resultados son significativos al nivel 0.05 y la persona tiene
poderes extrasensoriales.
Si la puntuación z es menor a 1.645, los resultados se deben a la casualidad (es decir, no son significativos al
nivel 0.05).
Como 32 en unidades estándar (32 − 25)/3.54 = 1.98, lo cual es mayor a 1.645, se concluye, al nivel 0.05, que
la persona tiene poderes extrasensoriales.
Obsérvese que en realidad debe aplicarse la corrección por continuidad, ya que 32 en una escala continua está
entre 31.5 y 32.5. Sin embargo, la puntuación estándar correspondiente a 31.5 es (31.5 − 25)/3.54 = 1.84, con lo que
se llega a la misma conclusión.
b) Si el nivel de significancia es 0.01, entonces el área entre 0 y z es 0.4900, de donde se concluye que z = 2.33.
Como 32 (o 31.5) en unidades estándar es 1.98 (o 1.84), que es menor a 2.33, se concluye que los resultados no son
significativos al nivel 0.01.
Algunos especialistas en estadística adoptan la siguiente terminología: resultados significativos al nivel 0.01 son
altamente significativos; resultados significativos al nivel 0.05, pero no al nivel 0.01, son probablemente significativos, y
resultados significativos a niveles mayores a 0.05 no son significativos. De acuerdo con esta terminología se concluye que
los resultados experimentales anteriores son probablemente significativos, de manera que será necesario hacer más investigaciones
acerca del fenómeno.
Como los niveles de significancia sirven de guía en la toma de decisiones, algunos especialistas en estadística dan
las probabilidades empleadas. Por ejemplo, como en este problema, Pr{z ≥ 1.84} = 0.0322, un especialista en estadística
dirá que con base en el experimento, las posibilidades de estar equivocado al concluir que la persona tiene poderes extrasensoriales
son aproximadamente 3 en 100. A la probabilidad que se da (0.0322 en este caso) se le conoce como valor p de
la prueba.
10.6 Se asegura que 40% de las personas que hacen sus declaraciones de impuestos, las hacen empleando algún
software para impuestos. En una muestra de 50 personas, 14 emplearon software para hacer su declaración de
impuestos. Probar H 0 : p = 0.4 versus H a : p < 0.4 a α = 0.05, donde p es la proporción poblacional de los que
emplean software para hacer su declaración de impuestos. Haga la prueba empleando la distribución binomial
y también empleando la aproximación normal a la distribución binomial.
SOLUCIÓN
Si se emplea la prueba exacta H 0 : p = 0.4 versus H a : p < 0.4 a α = 0.05, la hipótesis nula se rechaza si X ≤ 15. A esta región
se le llama la región de rechazo. Si se emplea la prueba basada en la aproximación normal a la binomial, la hipótesis nula
se rechaza si Z < −1.645 y a esta región se le llama la región de rechazo. A X = 14 se le llama estadístico de prueba. El
estadístico de prueba binomial está en la región de rechazo y la hipótesis nula se rechaza. Usando la aproximación normal,
14 20
el estadístico de prueba es z ¼
3:46
¼ 1:73. El verdadero valor de α es 0.054 y la región de rechazo es X ≤ 15 y se emplea
la probabilidad binomial acumulada P(X ≤ 15). Empleando la aproximación normal también se rechazará la hipótesis nula,
ya que z = −1.73 está en la región de rechazo que es Z < −1.645. Obsérvese que si se usa la distribución binomial para
realizar la prueba, el estadístico de prueba tiene una distribución binomial. Si se emplea la distribución normal, el estadístico
de prueba, Z, tiene una distribución normal estándar.
PROBLEMAS RESUELTOS 255
0.12
0.10
0.08
0.06
0.04
0.02
0.00
0 10 20 30 40 50
Z = −1.645
Figura 10-5 Comparación entre la prueba exacta a la izquierda (binomial) y la prueba aproximada
a la derecha (normal estándar).
10.7 El valor p en una prueba de hipótesis se define como el menor nivel de significancia al cual se rechaza la hipótesis
nula. En este problema se ilustra el cálculo del valor p para un estadístico de prueba. Usar los datos del
problema 9.6 para probar la hipótesis nula de que la altura media de los árboles es igual a 5 pies (ft) contra la
hipótesis alternativa de que la altura media es menor a 5 ft. Encontrar el valor p de esta prueba.
SOLUCIÓN
El valor encontrado para z es z = (59.22 − 60)/1.01 = −0.77. El menor nivel de significancia al que se rechaza la hipótesis
nula es el valor p = P(z < −0.77) = 0.5 − 0.2794 = 0.2206. La hipótesis nula se rechaza si el valor p es menor al nivel
de significancia preestablecido. En este problema, si el nivel de significancia preestablecido es 0.05, no se rechaza la hipótesis
nula. A continuación se presenta la solución que da MINITAB, donde el comando Alternative-1 indica que se
trata de una prueba de la cola inferior.
MTB> ZTest mean = 60 sd = 10.111 data in cl ;
SUBC>Alternative –1
Prueba Z
Test of mu = 60.00 vs mu < 60.00
The assumed sigma = 10.1
Variable N Mean StDev SE Mean Z P
height 100 59.22 10.11 1.01 –0.77 0.22
10.8 Se toma una muestra de 33 personas que escuchen radio y se determina la cantidad de horas, por semana, que
escuchan la radio. Los datos son los siguientes.
9 8 7 4 8 6 8 8 7 10 8 10 6 7 7 8 9
6 5 8 5 6 8 7 8 5 5 8 7 6 6 4 5
Probar, de las siguientes tres maneras equivalentes, la hipótesis nula µ = 5 horas (h) contra la hipótesis alternativa
µ ≠ 5 h al nivel de significancia α = 0.05:
a) Calcular el valor del estadístico de prueba y compararlo con el valor crítico correspondiente a α = 0.05.
b) Calcular el valor p del estadístico de prueba encontrado y comparar este valor p con α = 0.05.
c) Calcular el intervalo de confianza 1 − α = 0.95 para µ y determinar si 5 cae dentro de este intervalo.
256 CAPÍTULO 10 TEORÍA ESTADÍSTICA DE LA DECISIÓN
SOLUCIÓN
En el siguiente resultado de MINITAB se halla, primero, la desviación estándar y después se emplea en las declaraciones
Ztest y Zinterval.
MTB > standard deviation cl
Standard deviation of hours = 1.6005
MTB > ZTest 5.01.6005 ‘hours’ ;
SUBC> Alternative 0.
Prueba Z
Test of mu = 5.000 vs mu not = 5.000
The assumed sigma = 1.60
Variable N Mean StDev SE Mean Z P
hours 33 6.897 1.600 0.279 6.81 0.0000
MTB > ZInterval 95.01.6005 ‘hours’
Variable N Mean StDev SE Mean 95.0 % CI
hours 33 6.897 1.600 0.279 ( 6.351, 7.443)
a) El valor calculado para el estadístico de prueba es Z ¼ 6:897 5 ¼ 6:81, los valores críticos son ±1.96, y la hipótesis
nula se rechaza. Obsérvese que éste es el valor encontrado que aparece en el resultado de MINITAB.
0:279
b) El valor p encontrado, de acuerdo con los resultados de MINITAB, es 0.0000, por lo tanto, el valor p < α = 0.05, la
hipótesis nula se rechaza.
c) Como el valor especificado por la hipótesis nula, 5, no está contenido en el intervalo de confianza de 95% para µ, la
hipótesis nula se rechaza.
Estos tres procedimientos para probar una hipótesis nula contra una de hipótesis alternativa de dos colas son
equivalentes.
10.9 La resistencia a la ruptura de los cables fabricados por una empresa tiene media de 1 800 libras (lb) y desviación
estándar de 100 lb. Se asegura que mediante una nueva técnica puede aumentarse la resistencia a la ruptura.
Para probar esto, se prueba una muestra de 50 cables y se encuentra que su resistencia media a la ruptura es
1 850 lb. ¿Puede apoyarse, a nivel de significancia 0.01, la aseveración hecha antes?
SOLUCIÓN
Se tiene que decidir entre las dos hipótesis siguientes:
H 0 : µ = 1 800 lb, en realidad no hay cambio en la resistencia a la ruptura.
H 1 : µ > 1 800 lb, sí hay cambio en la resistencia a la ruptura.
Por lo tanto, se debe usar una prueba de una cola; el diagrama correspondiente a esta prueba es idéntico al de la figura 10-4
del problema 10.5a). A nivel de significancia 0.01, la regla de decisión es:
Si la puntuación z observada es mayor a 2.33, los resultados son significativos a nivel de significancia 0.01 y H 0 se
rechaza.
Si no es así, H 0 se acepta (o la decisión se aplaza).
Bajo la hipótesis de que H 0 es verdadera, se encuentra que
z = X
√ =
N
1 850 1 800
√ = 3.55
100 50
que es mayor a 2.33. Por lo tanto, se concluye que los resultados son altamente significativos y que la aseveración hecha
puede apoyarse.
PROBLEMAS RESUELTOS 257
VALORES p PARA PRUEBAS DE HIPÓTESIS
10.10 A un grupo de 50 compradores se le preguntó cuánto gastaba anualmente en sus compras por Internet. En la
tabla 10.2 se muestran las respuestas. Se desea probar que gastan $325 por año contra una cantidad diferente a
$325. Encontrar el valor p para la prueba de hipótesis. ¿A qué conclusión se llega empleando α = 0.05?
Tabla 10.2
418
363
331
351
307
158
523
331
466
366
379
434
356
151
297
310
356
364
150
195
77
348
423
220
448
331
210
352
282
96
212
245
330
383
391
348
364
299
221
219
378
341
247
257
210
124
406
221
432
202
SOLUCIÓN
La media de estos datos es 304.60, la desviación estándar es 101.51, el estadístico de prueba obtenido es
304:60 325
z ¼ p
101:50= ffiffiffiffiffi ¼ 1:43.
50
El estadístico Z tiene aproximadamente una distribución normal estándar. El valor p calculado es el siguiente P(Z < − | estadístico
de prueba calculado | ) o Z > | estadístico de prueba calculado | ) o P(Z < − 1.43) + P(Z > 1.43). La respuesta puede
hallarse usando el apéndice II o usando EXCEL. Mediante EXCEL, el valor p =2*NORMDIST(−1.43) = 0.1527, dado
que la curva normal es simétrica y las áreas a la izquierda de −1.43 y a la derecha de 1.43 son iguales, se puede simplemente
duplicar en el área a la izquierda de −1.43. Como el valor p es menor a 0.05, no se rechaza la hipótesis nula. En la
figura 10.6 se muestra gráficamente el valor p calculado en este problema.
Z = −1.43 Z = 1.43
Figura 10-6 El valor p es la suma del área a la izquierda de Z = –1.43 más que
el área a la derecha de Z = 1.43.
10.11 Volver al problema 10.10. Para analizar los datos usar el software para estadística de MINITAB. Obsérvese que
el software da el valor p y al usuario se le deja la decisión respecto a la hipótesis de acuerdo con el valor que
le haya asignado a α.
258 CAPÍTULO 10 TEORÍA ESTADÍSTICA DE LA DECISIÓN
SOLUCIÓN
Con la secuencia “Stat ⇒ Basic statistics ⇒ 1 sample Z” se obtiene el análisis siguiente. El software calcula para el
usuario el estadístico de prueba y el valor p.
Muestra uno Z: cantidad
Test of mu = 325 vs not = 325
The assumed standard deviation = 101.51
Variable N Mean StDev SE Mean Z P
Amount 50 304.460 101.508 14.356 –1.43 0.152
Obsérvese que el software proporciona el valor del estadístico de prueba (−1.43) y el valor p (0.152).
10.12 En la tabla 10.3 se muestran los resultados de un estudio sobre individuos que emplean la computadora para
hacer sus declaraciones de impuestos. Los datos de la tabla dan el tiempo que necesitan para hacer su declaración.
La hipótesis nula es H 0 : µ = 8.5 horas contra la hipótesis alternativa, que es H 1 : µ < 8.5. Encontrar el
valor p de esta prueba de hipótesis. ¿A qué conclusión llega empleando α = 0.05?
Tabla 10.3
6.2
11.5
2.7
4.8
8.0
9.1
2.6
3.3
10.4
4.9
4.8
8.6
14.9
9.5
11.8
6.4
3.5
10.3
8.5
4.4
8.9
6.2
11.2
12.4
7.4
9.5
6.4
3.2
10.8
9.4
5.6
8.5
6.9
9.7
9.1
7.6
4.3
11.5
6.9
5.6
6.5
5.2
7.9
10.7
4.9
6.7
7.9
1.7
5.3
7.0
SOLUCIÓN
La media de los datos que se presentan en la tabla 10.3 es 7.42 h, la desviación estándar es 2.91 h y el estadístico de prueba
calculado es Z ¼ p
7:42 8:5
2:91= ffiffiffiffiffi ¼ 2:62. El estadístico Z tiene aproximadamente la distribución normal estándar. Con
50
la secuencia de MINITAB “Calc ⇒ Probability distribution ⇒ Normal” se obtiene el cuadro de diálogo que se muestra
en la figura 10-7. El cuadro de diálogo se llena como se indica.
Los resultados que da el cuadro de diálogo de la figura 10-7 son los siguientes:
Función de distribución acumulada
Normal with mean = 0 and standard deviation = 1
x P ( X<=x)
–2.62 0.0043965
El valor p es 0.0044 y como el valor p < α, se rechaza la hipótesis nula. Consultar la figura 10-8 para ver gráficamente
el valor p obtenido en este problema.
PROBLEMAS RESUELTOS 259
Figura 10-7 Cuadro de diálogo para calcular el valor p si el estadístico de prueba es igual a –2.62.
Z = −2.62
Figura 10-8 El valor p es el área a la izquierda de Z = –2.62.
10.13 Refiérase al problema 10.12. Para analizar los datos usar el software para estadística SAS. Obsérvese que este
software da el valor p y deja al usuario la decisión respecto de la hipótesis de acuerdo con el valor que el usuario
haya asignado a α.
SOLUCIÓN
A continuación se presentan los resultados dados por SAS. El valor p se da como Prob > z = 0.0044, el mismo valor que
se obtuvo en el problema 10.12. Este valor es el área bajo la curva normal estándar a la izquierda de −2.62. Comparar las
demás cantidades dadas como resultados de SAS con las del problema 10.12.
RESULTADOS DE SAS
One Sample Z Test for a Mean
Sample Statistics for time
N Mean Std. Dev Std Error
-----------------------------------------------------------
50 7.42 2.91 0.41
260 CAPÍTULO 10 TEORÍA ESTADÍSTICA DE LA DECISIÓN
Hypothesis Test
Null hypothesis Mean of time => 8.5
Alternative Mean of time < 8.5
with a specified know standard deviation of 2.91
Z Statistic Prob > Z
-----------------------
–2.619 0.0044
95% Confidence Interval for the Mean
(Upper Bound Only)
Lower Limit Upper Limit
------------------------
–infinity 8.10
Obsérvese que el intervalo unilateral de 95% (−∞, 8.10) no contiene el valor de la hipótesis nula, 8.5. Ésta es otra
indicación de que la hipótesis nula se debe rechazar a nivel α = 0.05.
10.14 Se asegura que el promedio de tiempo que escuchan MP3 las personas que utilizan estos dispositivos es 5.5 h
por semana, contra un promedio mayor a 5.5. En la tabla 10.4 se dan las cantidades de tiempo que 50 personas
pasan escuchando un MP3. Probar H 0 : µ = 5.5 h contra la hipótesis alternativa H 1 : µ > 5.5 h. Encontrar el
valor p de esta prueba de hipótesis usando STATISTIX. ¿A qué conclusión se llega empleando α = 0.05?
Tabla 10.4
6.4
5.8
6.3
6.3
6.5
6.7
6.9
4.7
5.7
6.9
6.4
5.9
5.5
4.2
6.8
5.4
6.7
7.0
5.2
5.5
6.8
6.9
6.1
6.2
6.8
5.9
6.4
6.0
4.9
5.2
7.6
5.9
6.4
5.0
5.1
3.5
5.1
5.8
6.6
3.3
6.9
6.0
4.8
5.9
6.5
4.4
5.4
5.8
8.2
8.3
SOLUCIÓN
STATISTIX proporciona los resultados siguientes:
Statistix 8.0
Descriptive Statistics
Variable N Mean SD
MP3 50 5.9700 1.0158
5:97 5:5
El estadístico de prueba calculado es Z ¼ p
1:0158= ffiffiffiffiffi ¼ 3:27. En la figura 10-9 se calcula el valor p.
50
En la figura 10-10 se muestra gráficamente el valor p encontrado en este problema.
El valor p encontrado es 0.00054 y como es menor a 0.05, se rechaza la hipótesis nula.
PROBLEMAS RESUELTOS 261
Figura 10-9 Cuadro de diálogo para hallar el valor p siendo el estadístico de prueba igual a 3.27.
Z = 3.2 7
Figura 10-10 El valor p es el área a la derecha de z = 3.27.
10.15 Empleando SPSS, usar la secuencia “Analyze ⇒ Compare means ⇒ one-sample t test” y los datos del problema
10.14 para probar H 0 : µ = 5.5 h contra la hipótesis alternativa H a : µ > 5.5 h a α = 0.05 hallando el
valor p y comparándolo con α.
SOLUCIÓN
Los resultados de SPSS son los siguientes:
One-sample statistics
N Media Desv. estándar Media error estándar
MPE 50 5.9700 1.0184 .14366
262 CAPÍTULO 10 TEORÍA ESTADÍSTICA DE LA DECISIÓN
One-sample test
t gl Sigma (2 colas)
Valor de prueba = 5.5
Diferencia
media
Intervalo de
confianza de 95%
de la diferencia
Inferior
Superior
MPE 3.272 49 0.002 .47000 .1813 .7587
En la primera parte de los resultados de SPSS se dan los estadísticos necesarios. Obsérvese que al estadístico de prueba
encontrado se le llama t y no z. Esto se debe a que para n > 30, la distribución t y la distribución z son muy similares.
La distribución t tiene un parámetro llamado grados de libertad que es igual a n − 1. El valor p encontrado por SPSS es
siempre un valor p para dos colas y se le conoce como sigma(2 colas). Este valor es igual a 0.002. El valor para 1 cola
es 0.002/2 = 0.001. Este valor es un valor cercano al encontrado en el problema 10.14 que es igual a 0.00054. Cuando se
usa un software, el usuario debe estar atento a la idiosincrasia de ese software.
GRÁFICAS DE CONTROL
10.16 Para controlar el llenado de recipientes de mostaza se emplea una gráfica de control. La cantidad media de
llenado es 496 gramos (g) y la desviación estándar es 5 g. Para determinar si la máquina llenadora está trabajando
en forma adecuada, cada hora, a lo largo de las 8 h del día, se toma una muestra de cinco recipientes. En
la tabla 10.5 se presentan los datos de dos días.
a) Diseñar una regla de decisión mediante la cual se pueda estar muy seguro de que la media de llenado se
mantiene, durante estos dos días, en 496 g con una desviación estándar igual a 5 g.
b) Mostrar cómo graficar la regla de decisión del inciso a).
Tabla 10.5
1 2 3 4 5 6 7 8
492.2
487.9
493.8
495.4
491.7
486.2
489.5
495.9
494.1
494.0
493.6
503.2
486.0
498.4
496.5
508.6
497.8
493.4
495.8
508.0
503.4
493.4
493.9
493.8
501.3
494.9
492.3
502.9
502.8
498.9
497.5
497.0
493.8
497.1
488.3
490.5
503.0
496.4
489.7
492.6
9 10 11 12 13 14 15 16
492.2
487.9
493.8
495.4
491.7
486.2
489.5
495.9
494.1
494.0
493.6
503.2
486.0
498.4
496.5
508.6
497.8
493.4
495.8
508.0
503.4
493.4
493.9
493.8
501.3
494.9
492.3
502.9
502.8
498.9
497.5
497.0
493.8
497.1
488.3
490.5
503.0
496.4
489.7
492.6
SOLUCIÓN
a) Con una confianza de 99.73% puede decirse que la media muestral x debe encontrarse en el intervalo de µ x 3 x
hasta µ x þ 3 x o bien, de: 3 p ffiffiffi hasta: þ 3 p ffiffiffi . Como µ = 496, σ = 5 y n = 5, se sigue que con una confianza
n
n
PROBLEMAS RESUELTOS 263
de 99.73% la media muestral debe estar en el intervalo de: 496
502.71. Por lo tanto, la regla de decisión es la siguiente:
3 p 5 ffiffi hasta: 496 þ 3 p 5 ffiffi o bien entre 489.29 y
5
5
Si la media muestral cae dentro del intervalo de 489.29 g a 502.71 g, se supone que la máquina está llenando
correctamente.
Si no es así, se concluye que la máquina de llenado no está trabajando en forma adecuada y se busca la razón
por la que el llenado es incorrecto.
b) Empleando una gráfica como la de la figura 10-11, llamada gráfica de control de calidad, se puede llevar un registro
de las medias muestrales. Cada vez que se calcula una media muestral se representa mediante un punto. Mientras estos
puntos se encuentren entre el límite inferior y el límite superior, el proceso está bajo control. Si un punto se sale de
estos límites de control puede ser que algo esté mal y se recomienda hacer una investigación.
Las 80 observaciones se ingresan en la columna C1. Con la secuencia “Stat ⇒ Control Charts ⇒ Variable charts
for subgroups ⇒ Xbar” se abre la ventana de diálogo que, una vez llenada, da la gráfica de control que se muestra en la
figura 10-11.
504
502
500
Gráfica Xbarra de cantidad
UCL=502.71
Media muestral
498
496
494
_
X=496
492
490
LCL=489.29
2 4 6 8 10 12 14 16
Muestra
Figura 10-11 Gráfica de control con límites 3σ para el control de la media de llenado
de los envases de mostaza.
Los límites de control especificados antes se conocen como límites de confianza del 99.73%, o simplemente, límites
3σ. También se pueden determinar otros límites de confianza (por ejemplo, límites del 99% o del 95%). En cada caso la
elección depende de las circunstancias particulares.
PRUEBAS PARA DIFERENCIAS DE MEDIAS Y PROPORCIONES
10.17 A dos grupos de estudiantes, uno de 40 y el otro de 50 alumnos, se les puso un examen. En el primer grupo la
puntuación media fue 74 y la desviación estándar 8; en el segundo grupo la puntuación media fue 78 y la desviación
estándar 7. ¿Existe diferencia en el desempeño de estos dos grupos a los niveles de significancia: a)
0.05 y b) 0.01?
SOLUCIÓN
Supóngase que los dos grupos provienen de dos poblaciones cuyas medias son µ 1 y µ 2 , respectivamente. Entonces se debe
decidir entre las hipótesis:
H 0 : µ 1 = µ 2 , la diferencia se debe únicamente a la casualidad.
H 1 : µ 1 ≠ µ 2 , existe una diferencia significativa entre los dos grupos.
264 CAPÍTULO 10 TEORÍA ESTADÍSTICA DE LA DECISIÓN
De acuerdo con la hipótesis H 0 , ambos grupos provienen de una misma población. La media y la desviación estándar de la
diferencia entre las medias están dadas por
sffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
rffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
2 1
X1 X2 ¼ 0 y X1 X2 ¼ þ 2 2
8 2
¼
N 1 N 2 40 þ 72
¼ 1:606
50
donde se han empleado las desviaciones estándar muestrales como estimación de σ 1 y σ 2 . Por lo tanto,
z ¼ X 1
X1
X
¼
X2
74 78
1:606 ¼ 2:49
a) En una prueba de dos colas, los resultados son significativos al nivel 0.05 si z se encuentra fuera del intervalo de −1.96
a 1.96. Por lo tanto, se concluye que al nivel de significancia 0.05 existe una diferencia significativa en el desempeño
de estos dos grupos y que el segundo grupo parece ser mejor.
b) En una prueba de dos colas, los resultados son significativos al nivel 0.01 si z se encuentra fuera del intervalo de −2.58
a 2.58. Por lo tanto, se concluye que al nivel 0.01 no hay diferencia significativa entre las clases.
Ya que los resultados son significativos al nivel 0.05 pero no al nivel 0.01, se concluye que los resultados sean probablemente
significativos (de acuerdo con la terminología presentada al final del problema 10.5).
10.18 La estatura media de 50 estudiantes que mostraron una participación especial en las actividades deportivas de
su escuela fue 68.2 pulgadas (in) con una desviación estándar de 2.5 in, en tanto que la estatura media de 50
estudiantes que no mostraron interés en los deportes fue 67.5 in con una desviación estándar de 2.8 in. Probar
la hipótesis de que los estudiantes que mostraron interés en el deporte son más altos que el resto de los estudiantes.
SOLUCIÓN
Hay que decidir entre las hipótesis:
H 0 : µ 1 = µ 2 , no hay diferencia entre las estaturas medias.
H 1 : µ 1 > µ 2 , la estatura media del primer grupo es mayor que la del segundo grupo.
Bajo la hipótesis H 0 ,
sffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
sffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
2 1
X1 X2 ¼ 0 y X1 X2 ¼ þ 2 2
ð2:5Þ 2
¼
N 1 N 2 50 þ ð2:8Þ2 ¼ 0:53
50
donde para estimar σ 1 y σ 2 se han empleado las desviaciones estándar muestrales. Por lo tanto,
X
z ¼ 1
X 2
X1 X2
¼
68:2 67:5
¼ 1:32
0:53
Usando una prueba de una cola al nivel de significancia 0.05 se puede rechazar H 0 si la puntuación z es mayor a 1.645. Por
lo tanto, en este caso, a ese nivel de significancia no se puede rechazar la hipótesis nula.
Sin embargo, hay que observar que la hipótesis se puede rechazar al nivel de significancia 0.10 si se está dispuesto
a correr el riesgo de tener una probabilidad de 0.10 de cometer un error (es decir, 1 posibilidad en 10).
10.19 Se realiza un estudio para comparar la media, en horas por semana, que usan sus celulares varones y mujeres
estudiantes universitarios. De una universidad se tomaron 50 estudiantes mujeres y 50 estudiantes varones y se
registró la cantidad de horas por semana que utilizan sus celulares. Los resultados se muestran en la tabla 10.6.
Se quiere probar H 0 : µ 1 − µ 2 = 0 contra H a : µ 1 − µ 2 ≠ 0, basándose en estas muestras. Usar EXCEL para
calcular el valor p y llegar a una decisión acerca de la hipótesis nula.
PROBLEMAS RESUELTOS 265
Tabla 10.6 Horas por semana que usan su celular varones
y mujeres estudiantes de una universidad
Varones
Mujeres
12
7
7
10
8
10
11
9
9
13
4
9
12
11
9
9
7
12
10
13
11
10
6
12
11
9
10
12
8
9
13
10
9
7
10
7
10
8
11
10
11
7
15
8
9
9
11
13
10
13
11
10
11
10
11
12
12
10
9
9
9
10
8
7
12
9
7
8
9
8
7
7
9
9
12
10
9
13
9
9
10
9
6
12
8
11
8
8
11
12
9
10
11
14
12
7
11
10
9
11
SOLUCIÓN
Los datos de la tabla 10.6 se ingresan en una hoja de cálculo de EXCEL como se muestra en la figura 10-12. Los datos
de los varones se ingresan en las celdas A2:E11 y los datos de las mujeres en las celdas F2:J11. La varianza de los datos de
los varones se calcula ingresando en la celda A14 =VAR(A2:E11). La varianza de los datos de las mujeres se calcula
ingresando en la celda A15 =VAR(F2:J11). La media de los datos de los varones se calcula ingresando en la celda
Figura 10-12 Hoja de cálculo EXCEL para calcular el valor p del problema 10.19.
266 CAPÍTULO 10 TEORÍA ESTADÍSTICA DE LA DECISIÓN
A16 =AVERAGE(A2:E11). La media de los datos de las mujeres se calcula ingresando en la celda A17 =AVERAGE(F2:
J11). El estadístico de prueba es =(A16-A17)/SQRT(A14/50+A15/50) y se muestra en A19. Este estadístico tiene una
distribución normal estándar y su valor es 0.304. La expresión =2*(1-NORMSDIST(A19) calcula el área a la derecha de
0.304 y la duplica. Con esto se obtiene que el valor p = 0.761.
Como este valor p no es menor que ninguno de los valores α usuales, 0.01 o bien 0.05, no se rechaza la hipótesis
nula. La probabilidad de obtener muestras como la obtenida es 0.761, suponiendo que la hipótesis nula sea verdadera. Por
lo tanto, no hay evidencia que sugiera que la hipótesis nula es falsa y que se deba rechazar.
10.20 Se tienen dos grupos de personas, A y B, cada uno de 100 personas que padecen una enfermedad. Al grupo A
se le administra un suero, pero al grupo B (que es el grupo control) no; por lo demás, los dos grupos se tratan
en forma idéntica. En los grupos A y B se encuentra que 75 y 65 personas, respectivamente, se recuperan de
esta enfermedad. A los niveles de significancia: a) 0.01, b) 0.05 y c) 0.10, probar la hipótesis de que el suero
ayuda a la curación de la enfermedad. Calcular el valor p y mostrar que valor p > 0.01, valor p > 0.05, pero
valor p < 0.10.
SOLUCIÓN
Sean p 1 y p 2 las proporciones poblacionales de las personas curadas: 1) usando el suero y 2) sin usar el suero, respectivamente.
Hay que decidir entre las hipótesis:
H 0 : p 1 = p 2 , las diferencias observadas se deben a la casualidad (es decir, el suero no es eficiente).
H 1 : p 1 > p 2 , el suero sí es eficiente .
Bajo la hipótesis H 0 ,
sffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
1
µ P1−P2 = 0 y P1 P2 ¼ pq þ 1 sffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
1
¼ ð0:70Þð0:30Þ
N 1 N 2
100 þ 1
¼ 0:0648
100
donde, como estimación de p, se ha empleado la proporción promedio de curados en las dos muestras dada por (75 +
65)/200 = 0.70, de donde q = 1 − p = 0.30. Por lo tanto,
z ¼ P 1 P 2
P1 P2
¼
0:750 0:650
¼ 1:54
0:0648
a) Empleando una prueba de una cola al nivel de significancia 0.01, la hipótesis H 0 se rechaza únicamente si la puntuación
z es mayor a 2.33. Como la puntuación z es de sólo 1.54, se concluye que a este nivel de significancia los resultados
se deben a la casualidad.
b) Empleando una prueba de una cola al nivel de significancia 0.05, la hipótesis H 0 se rechaza únicamente si la puntuación
z es mayor a 1.645. Por lo tanto, se concluye que a este nivel de significancia los resultados se deben a la casualidad.
c) Si se usa una prueba de una cola al nivel de significancia 0.10, H 0 se rechaza sólo si la puntuación z es mayor a 1.28.
Dado que esta condición se satisface, se concluye que el suero es eficiente al nivel 0.10.
d ) Empleando EXCEL, el valor p se obtiene mediante =1-NORMDIST(1.54), que es igual a 0.06178. Ésta es el área a
la derecha de 1.54. Obsérvese que este valor es mayor a 0.01, 0.05, pero menor a 0.10.
Nótese que la conclusión depende de qué tanto se está dispuesto a arriesgarse a estar equivocado. Si en realidad los
resultados se deben a la casualidad, pero se concluye que se deben al suero (error tipo I), se procederá a administrar el suero
a una gran cantidad de personas, con el único resultado de que en realidad no sea efectivo. Éste es un riesgo que no siempre
se está dispuesto a asumir.
Por otro lado, se puede concluir que el suero no ayuda, cuando en realidad sí lo hace (error tipo II). Esta conclusión
es muy peligrosa, en especial porque lo que está en juego son vidas humanas.
10.21 Repetir el problema 10.20, pero considerando que cada grupo consta de 300 personas y que sanan 225 personas
del grupo A y 195 del grupo B. Encontrar el valor p usando EXCEL y comentar sobre su decisión.
PROBLEMAS RESUELTOS 267
SOLUCIÓN
Obsérvese que la proporción de personas que sana en cada grupo es 225/300 = 0.750 y 195/300 = 0.650, respectivamente,
que son las mismas que en el problema 10.20. De acuerdo con la hipótesis H 0
sffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
1
µ P1−P2 = 0 y P1 P2 ¼ pq þ 1 sffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
1
¼ ð0:70Þð0:30Þ
N 1 N 2
300 þ 1
¼ 0:0374
300
donde (225 + 195)/600 = 0.70 se usa como estimación de p. Por lo tanto,
z ¼ P 1 P 2
P1 P2
¼
0:750 0:650
¼ 2:67
0:0374
Como el valor de z es mayor que 2.33, la hipótesis nula se puede rechazar al nivel de significancia 0.01; es decir, se puede
concluir que el suero es efectivo con una probabilidad de estar equivocado de sólo 0.01.
Esto muestra cómo al aumentar el tamaño de la muestra se incrementa la confiabilidad de las decisiones. Sin embargo,
en muchos casos suele no ser posible aumentar el tamaño de la muestra. En esos casos se está forzado a tomar las
decisiones con base en la información disponible, y por lo tanto se debe conformar con correr mayor riesgo de tomar una
decisión incorrecta.
valor p =1-NORMDIST(2.67) = 0.003793. Esto es menor a 0.01.
10.22 Se realizó un sondeo en una muestra de 300 votantes del distrito A y 200 votantes del distrito B; se encontró
que 56 y 48%, respectivamente, estaban a favor de determinado candidato. Al nivel de significancia 0.05,
probar las hipótesis: a) existe diferencia entre los distritos, b) el candidato se prefiere en el distrito A y c)
calcular el valor p de los incisos a) y b).
SOLUCIÓN
Sean p 1 y p 2 las proporciones de todos los votantes de los distritos A y B que están a favor de este candidato. Bajo la hipótesis
H 0 : p 1 = p 2 , se tiene
sffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
1
µ P1−P2 = 0 y P1 P2 ¼ pq þ 1 sffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
1
¼ ð0:528Þð0:472Þ
N 1 N 2
300 þ 1
¼ 0:0456
200
donde se emplean los valores [(0.56)(300) + (0.48)(200)]/500 = 0.528 y (1 − 0.528) = 0.472 como estimaciones de p y
q, respectivamente. Por lo tanto,
z ¼ P 1 P 2
P1 P2
¼
0:560 0:480
¼ 1:75
0:0456
a) Si sólo se desea determinar si existe alguna diferencia entre los distritos, hay que decidir entre las hipótesis H 0 : p 1 =
p 2 y H 1 : p 1 ≠ p 2 , lo que implica una prueba de dos colas. Usando una prueba de dos colas al nivel de significancia 0.05,
H 0 se puede rechazar si z está fuera del intervalo −1.96 a 1.96. Como z = 1.75 se encuentra en este intervalo, a este
nivel no se puede rechazar H 0 ; esto es, no hay diferencia significativa entre los dos distritos.
b) Si se desea determinar si el candidato es preferido en el distrito A, hay que decidir entre las hipótesis H 0 : p 1 = p 2 y
H 1 : p 1 > p 2 , lo que implica una prueba de una cola. Usando una prueba de una cola al nivel de significancia 0.05, H 0
se rechaza si z es mayor a 1.645. Dado que éste es el caso, se rechaza H 0 a este nivel de significancia y se concluye
que el candidato es preferido en el distrito A.
c) Con la alternativa de dos colas, el valor p =2*(1-NORMDIST(1.75)) = 0.0801. A α = 0.05 no se puede rechazar la
hipótesis nula. Con la alternativa de una cola, valor p =1-NORMDIST(1.75) = 0.04006. A α = 0.05 se puede rechazar
la hipótesis nula.
PRUEBAS EMPLEANDO DISTRIBUCIONES BINOMIALES
10.23 Un profesor aplica un pequeño examen en el que hay 10 preguntas de verdadero o falso. Para probar la hipótesis
de que los alumnos contestan sólo adivinando, el profesor adopta la siguiente regla de decisión:
Si hay siete o más de las respuestas correctas, el estudiante no está sólo adivinando.
Si hay menos de siete respuestas correctas, el estudiante está sólo adivinando.
268 CAPÍTULO 10 TEORÍA ESTADÍSTICA DE LA DECISIÓN
Encontrar la probabilidad de rechazar la hipótesis nula cuando ésta sea correcta: a) empleando la distribución
binomial y b) empleando EXCEL.
SOLUCIÓN
a) Sea p la probabilidad de que una pregunta se responda correctamente. La probabilidad de tener X de 10 preguntas
correctas es ð 10
X ÞpX q 10 X , donde q = 1 − p. Entonces bajo la hipótesis p = 0.5 (es decir, el estudiante está sólo atinando),
Pr{7 o más correctas} = Pr{7 correctas} + Pr{8 correctas} + Pr{9 correctas} + Pr{10 correctas}
¼ 10 1 7
1 3
þ 10 1 8
1 2
þ 10 1 9
1
þ 10 1 10
¼0:1719
7 2 2 8 2 2 9 2 2 10 2
Por lo tanto, la probabilidad de concluir que el estudiante no está sólo adivinando cuando en realidad sí lo esté haciendo es
0.1719. Obsérvese que ésta es la probabilidad de un error tipo I.
b) Los números 7, 8, 9 y 10 se ingresan en A1:A4 de la hoja de cálculo de EXCEL. Después se ingresa =BINOMDIST(A1,
10,0.5,0). A continuación se hace clic y se arrastra desde B1 hasta B4. En B5 se ingresa =SUM(B1:B4). La respuesta
aparece en B5.
A
B
7 0.117188
8 0.043945
9 0.009766
10 0.000977
0.171875
10.24 En el problema 10.23, encontrar la probabilidad de aceptar la hipótesis p = 0.5 cuando en realidad p = 0.7.
Encontrar la respuesta: a) usando la fórmula de probabilidad binomial y b) usando EXCEL.
SOLUCIÓN
a) Bajo la hipótesis p = 0.7,
Pr{menos de 7 correctas} = 1 − Pr{7 o más correctas}
10
¼ 1 ð0:7Þ 7 ð0:3Þ 3 þ 10
ð0:7Þ 8 ð0:3Þ 2 þ 10
ð0:7Þ 9 ð0:3Þþ 10
ð0:3Þ 10
7
8
9
10
¼ 0:3504
b) La solución usando EXCEL es:
Pr{menos de 7 correctas cuando p = 0.7} está dada por =BINOMDIST (6,10,0.7,1) que es igual a 0.350389. El 1
en la función BINOMDIST indica que la probabilidad, correspondiente a n = 10 y p = 0.7, desde 0 hasta 6 está acumulada.
10.25 En el problema 10.23, encontrar la probabilidad de aceptar la hipótesis p = 0.5 cuando en realidad: a) p = 0.6,
b) p = 0.8, c) p = 0.9, d ) p = 0.4, e) p = 0.3, f ) p = 0.2 y g) p = 0.1.
SOLUCIÓN
a) Si p = 0.6,
Probabilidad buscada = 1 − [Pr{7 correctas} + Pr{8 correctas} + Pr{9 correctas} + Pr{10 correctas}]
10
¼ 1 ð0:6Þ 7 ð0:4Þ 3 þ 10
ð0:6Þ 8 ð0:4Þ 2 þ 10
ð0:6Þ 9 ð0:4Þþ 10
ð0:6Þ 10 ¼ 0:618
7
8
9
10
PROBLEMAS RESUELTOS 269
Los resultados de los incisos b) a g) se encuentran de manera similar y se presentan en la tabla 10.7, junto con los
correspondientes valores desde p = 0.5 hasta p = 0.7. Obsérvese que en la tabla 10.7 la probabilidad se denota por β (probabilidad
de cometer un error tipo II); la entrada β correspondiente a p = 0.5 está dada por β = 1 − 0.1719 = 0.828 (de
acuerdo con el problema 10.23) y la entrada β correspondiente a p = 0.7 se tomó del problema 10.24.
Tabla 10.7
p 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9
β 1.000 0.999 0.989 0.945 0.828 0.618 0.350 0.121 0.013
10.26 Usar el problema 10.25 para construir una gráfica de β contra p.
SOLUCIÓN
La gráfica buscada se muestra en la figura 10-3.
1.2
1
1 0.999 0.989 0.945
0.828
0.8
Beta
0.6
0.618
0.4
0.35
0.2
0.121
0.013
0
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
p
Figura 10-13 Gráfica para los errores tipo II en el problema 10.25.
10.27 La hipótesis nula es que un dado no está cargado y la hipótesis alternativa es que el dado sí está cargado, de
manera que la cara seis aparece con más frecuencia de la que debería. Esta hipótesis se prueba lanzando el dado
18 veces y observando cuántas veces cae seis. Encontrar el valor p si la cara seis se presenta 7 veces en 18
lanzamientos del dado.
SOLUCIÓN
En la hoja de cálculo de EXCEL se ingresan en A1:A19 los números del 0 al 18. En B1 se ingresa =BINOMDIST(A1,18,
0.16666,0), se hace clic y se arrastra desde B1 hasta B19 para obtener cada una de las probabilidades binomiales, en C1 se
ingresa =BINOMDIST (A1,18,0.16666,1), se hace clic y se arrastra desde C1 hasta C19 con lo que se obtiene la probabilidad
binomial acumulada.
270 CAPÍTULO 10 TEORÍA ESTADÍSTICA DE LA DECISIÓN
A B C
0 0.037566 0.037566446
1 0.135233 0.17279916
2 0.229885 0.402683738
3 0.245198 0.647882186
4 0.18389 0.831772194
5 0.102973 0.934745656
6 0.04462 0.979365347
7 0.015297 0.994662793
8 0.004207 0.998869389
9 0.000935 0.999804143
10 0.000168 0.999972391
11 2.45E-05 0.999996862
12 2.85E-06 0.999999717
13 2.64E-07 0.99999998
14 1.88E-08 0.999999999
15 1E-09 1
16 3.76E-11 1
17 8.86E-13 1
18 9.84E-15 1
El valor p es p{x ≥ 7} = 1 − P{X ≤ 6} = 1 − 0.979 = 0.021. El resultado X = 6 es significativo a α = 0.05, pero no a
α = 0.01.
10.28 Para probar que 40% de las personas que pagan impuestos emplean algún software para el cálculo de los mismos
contra la hipótesis alternativa de que el porcentaje es mayor a 40%, se seleccionan en forma aleatoria 300
personas que pagan impuestos y se les pregunta si emplean algún software. Si 131 de las 300 emplea algún
software, encontrar el valor p correspondiente a esta observación.
Figura 10-14 Cuadro de diálogo de la distribución binomial para calcular 130
o menos de 300 usuarios de software, dado que 40% de los que pagan impuestos
usan algún software.
PROBLEMAS SUPLEMENTARIOS 271
SOLUCIÓN
La hipótesis nula es H 0 : p = 0.4 y la hipótesis alternativa H a : p > 0.4. El valor de X observado es 131, donde X es la cantidad
de los que usan algún software. El valor p = P{X ≥ 131 dado que p = 0.4}. El valor p = 1 − P{X ≤ 130 dado que
p = 0.4}. Empleando MINITAB, con la secuencia “Calc ⇒ Probability Distribution ⇒ Binomial” se abre el cuadro de
diálogo que se muestra en la figura 10-14.
Con el cuadro de diálogo de la figura 10-14 se obtiene el resultado siguiente.
Función de distribución acumulada
Binomial with n=300 and p=0.4
x P(X<=x)
130 0.891693
El valor p es 1 − P{X ≤ 130 dado que p = 0.4} = 1 − 0.8971 = 0.1083. El resultado X = 131 no es significativo a
0.01, 0.05 ni 0.10.
PROBLEMAS SUPLEMENTARIOS
PRUEBAS PARA MEDIAS Y PARA PROPORCIONES
EMPLEANDO DISTRIBUCIONES NORMALES
10.29 Una urna contiene sólo canicas azules y rojas. Para probar la hipótesis nula de que las canicas de ambos colores se encuentran
en la misma proporción, se toma una muestra, con reposición, de 64 canicas; se anotan los colores de las canicas que
se van extrayendo y se adopta la siguiente regla de decisión:
La hipótesis nula se acepta si 28 ≤ X ≤ 36, donde X es la cantidad de canicas rojas en la muestra de tamaño 64.
La hipótesis nula se rechaza si X ≤ 27 o si X ≥ 37.
a) Encontrar la probabilidad de rechazar la hipótesis nula si es correcta.
b) Graficar la regla de decisión y el resultado que se obtenga en el inciso a).
10.30 a) ¿Qué regla de decisión se adopta en el problema 10.29 si lo que se busca es que la probabilidad de rechazar la hipótesis
nula siendo en realidad correcta no sea mayor a 0.01 (es decir, si se quiere que el nivel de significancia sea 0.01)?
b) ¿A qué nivel de confianza se puede aceptar la hipótesis nula?
c) ¿Cuál es la regla de decisión si se emplea como nivel de significancia 0.05?
10.31 Supóngase que en el problema 10.29 se desea probar la hipótesis de que la proporción de canicas rojas es mayor que la de
canicas azules.
a) ¿Cuál es entonces la hipótesis nula y cuál la hipótesis alternativa?
b) ¿Se debe usar una prueba de una cola o de dos colas? ¿Por qué?
c) ¿Cuál debe ser la regla de decisión si el nivel de significancia es 0.05?
d ) ¿Cuál es la regla de decisión si el nivel de significancia es 0.01?
10.32 Se lanzan 100 veces un par de dados y en 23 de las veces aparece un 7. Al nivel de significancia 0.05, probar la hipótesis
de que los dados no están cargados empleando: a) una prueba de dos colas y b) una prueba de una cola. Analizar las razones,
si es que las hay, para preferir una de estas dos pruebas.
10.33 Repetir el problema 10.32 empleando como nivel de significancia 0.01.
272 CAPÍTULO 10 TEORÍA ESTADÍSTICA DE LA DECISIÓN
10.34 Un fabricante asegura que por lo menos el 95% de los equipos que vende a una fábrica satisfacen las especificaciones. En
una muestra de 200 equipos examinados, 18 no cumplen con las especificaciones. Probar la afirmación del fabricante a los
niveles de significancia: a) 0.01 y b) 0.05.
10.35 Se afirma que los compradores por Internet gastan en promedio $335 por año. Se desea probar que esta cantidad no es la
correcta empleando α = 0.075. Se hace un estudio en el que intervienen 300 compradores por Internet y se encuentra que
la media muestral es $354 y la desviación estándar es $125. Encontrar el valor del estadístico de prueba, los valores críticos
y efectuar la conclusión.
10.36 Por experiencia se sabe que la resistencia a la ruptura de determinada marca de hilo es 9.72 onzas (oz) y su desviación
estándar es 1.40 oz. En una muestra reciente de 36 piezas de este hilo se encuentra que la resistencia media a la ruptura es
8.93 oz. Probar la hipótesis nula H 0 : µ = 9.72 contra la hipótesis alternativa H 0 : µ < 9.72 y dar el valor del estadístico de
prueba y el valor crítico que corresponde a: a) α = 0.10 y b) α = 0.025. ¿Es este resultado significativo a α = 0.10? ¿Es
este resultado significativo a α = 0.025?
10.37 Se realiza un estudio para probar la hipótesis nula de que la cantidad media de correos electrónicos enviados semanalmente
por los empleados en una ciudad grande es 25.5 contra la hipótesis alternativa de que esta cantidad es mayor a 25.5. Se
entrevista a 200 empleados de toda la ciudad y se encuentra que x = 30.1 y s = 10.5. Dar el valor del estadístico de prueba
y el valor crítico para α = 0.03, y efectuar la conclusión.
10.38 Para una n grande (n > 30) y una desviación estándar conocida se usa la distribución normal estándar para realizar una
prueba acerca de la media de la población de la que se toma la muestra. A la hipótesis alternativa H a : µ < µ 0 se le
llama alternativa de la cola inferior y a la hipótesis alternativa H a : µ > µ 0 se le llama alternativa de la cola superior. Para
una alternativa de la cola superior, dar la expresión de EXCEL para el valor crítico si α = 0.1, α = 0.01 y α = 0.001.
VALORES p EN PRUEBAS DE HIPÓTESIS
10.39 Para probar que una moneda está balanceada se lanza 15 veces y se obtienen 12 caras. Dar el valor p correspondiente a este
resultado. Para hallar el valor p emplear BINOMDIST de EXCEL.
10.40 Dar el valor p correspondiente al resultado del problema 10.35.
10.41 Dar el valor p correspondiente al resultado del problema 10.36.
10.42 Dar el valor p correspondiente al resultado del problema 10.37.
GRÁFICAS DE CONTROL DE CALIDAD
10.43 Cierto tipo de hilo producido por un fabricante ha tenido una resistencia a la ruptura de 8.64 oz y una desviación estándar
de 1.28 oz. Para determinar si este producto satisface los estándares, cada tres horas se toma una muestra de 16 piezas y se
determina la media de su resistencia al rompimiento. En una gráfica de control de calidad, registrar los límites de control
de: a) 99.73% (o 3σ), b) 99% y c) 95%, y explicar sus aplicaciones.
10.44 En promedio, cerca del 3% de los pernos que produce una empresa están defectuosos. Para mantener esta calidad cada
cuatro horas se toma una muestra de 200 pernos y se examina. Determinar los límites de control de: a) 99% y b) 95% para
la cantidad de pernos defectuosos en cada muestra. Obsérvese que en este caso sólo se necesitan los límites superiores de
control.
PRUEBAS PARA DIFERENCIAS DE MEDIAS Y PROPORCIONES
10.45 En un estudio se compara la vida media, en horas, de dos tipos de focos. Los resultados del estudio se muestran en la tabla
10.8.
PROBLEMAS SUPLEMENTARIOS 273
Tabla 10.8
Foco
ecológico
Foco
tradicional
n 75 75
Media 1 250 1 305
Desv. est. 55 65
Probar H 0 : µ 1 − µ 2 = 0 contra H a : µ 1 − µ 2 0 con α = 0.05. Dar el valor de la prueba estadística y calcular el
valor de p y comparar el valor p con α = 0.05. Proporcionar su conclusión.
10.46 En un estudio se comparan las calificaciones de 50 estudiantes universitarios que tienen televisión en su dormitorio con las
de 50 estudiantes universitarios que no tienen televisión en su dormitorio. Los resultados se muestran en la tabla 10.9. La
hipótesis alternativa es que la media de las calificaciones de los universitarios que no tienen televisión en su dormitorio es
mayor a la de los que sí la tienen. Dar el valor del estadístico de prueba suponiendo que no haya diferencia entre las calificaciones.
Dar el valor p y las conclusiones para α = 0.05 y para α = 0.10.
Tabla 10.9
Televisión en
el dormitorio
Sin
televisión
n 50 50
Media 2.58 2.77
Desv. est. 0.55 0.65
10.47 En un examen de ortografía en una escuela primaria, la calificación promedio de 32 niños fue de 72 puntos y su desviación
estándar de 8 puntos, y la calificación promedio de 36 niñas fue de 75 puntos y su desviación estándar de 6 puntos. La
hipótesis alternativa es que las niñas son mejores en ortografía que los niños. Dar el valor del estadístico de prueba suponiendo
que entre niños y niñas no hay diferencia en la calificación de ortografía. Dar el valor p y la conclusión para α =
0.05 y para α = 0.10.
10.48 Para probar los efectos de un nuevo fertilizante sobre la producción de trigo se dividió una parcela en 60 cuadrados de la
misma área, todos de idéntica calidad en términos de suelo, exposición a la luz, etc. En 30 de los cuadrados se empleó el
nuevo fertilizante y el fertilizante viejo se usó en el resto de los cuadrados. La cantidad media de bushels (bu) de trigo,
usando el nuevo fertilizante, cosechado por cuadrado, fue de 18.2 bu y su desviación estándar de 0.63 bu. La media y la
desviación estándar correspondientes en el caso en que se usó el fertilizante viejo fueron 17.8 y 0.54 bu, respectivamente.
Empleando como niveles de significancia: a) 0.05 y b) 0.01, probar la hipótesis de que el nuevo fertilizante es mejor que
el viejo.
10.49 En muestras aleatorias de 200 remaches elaborados con la máquina A y 100 remaches elaborados con la máquina B se
encontraron 19 y 5 remaches defectuosos, respectivamente.
a) Dar el estadístico de prueba, el valor p, y su conclusión a α = 0.05 para probar que las dos máquinas tienen diferente
calidad de desempeño.
b) Dar el estadístico de prueba, el valor p y la conclusión a α = 0.05 para probar que la máquina B es mejor que la
máquina A.
10.50 Dos urnas, A y B, contienen la misma cantidad de canicas, pero no se sabe cuál es la proporción de canicas rojas y canicas
blancas en cada una de ellas. De cada una se toma una muestra, con reposición, de 50 canicas. En las 50 canicas de la urna
A hay 32 rojas y en las 50 canicas de la urna B hay 23 rojas.
274 CAPÍTULO 10 TEORÍA ESTADÍSTICA DE LA DECISIÓN
a) Empleando α = 0.05, probar la hipótesis de que la proporción de canicas rojas es la misma en las dos urnas, contra la
hipótesis de que es diferente; dar el estadístico de prueba calculado, el valor p calculado y la conclusión.
b) Empleando α = 0.05, probar la hipótesis de que la urna A tiene una proporción mayor de canicas rojas que la urna B;
dar el estadístico de prueba calculado, el valor p calculado y la conclusión.
10.51 Para determinar si una moneda está cargada, de manera que al lanzarla sea más probable que aparezca cara que cruz, se
lanza 15 veces. Sea X = cantidad de caras en los 15 lanzamientos. Se declarará que la moneda está cargada a favor de cara
si X ≥ 11. Usar EXCEL para hallar α.
10.52 Se lanza una moneda 20 veces para determinar si está cargada. Se declarará cargada si X = 0, 1, 2, 18, 19, 20, donde X =
cantidad de cruces obtenidas. Usar EXCEL para hallar α.
10.53 Se lanza una moneda 15 veces para determinar si está cargada, de manera que al lanzarla sea más probable que aparezca
cara que cruz. Sea X = cantidad de caras en los 15 lanzamientos. Se declarará cargada a favor de cara si X ≥ 11. Usar
EXCEL y encontrar β si p = 0.6.
10.54 Se lanza una moneda 20 veces para determinar si está cargada. Se declarará cargada si X = 0, 1, 2, 18, 19, 20, donde X =
cantidad de cruces obtenidas. Usar EXCEL para hallar β si p = 0.9.
10.55 Se lanza una moneda 15 veces para determinar si está cargada, de manera que al lanzarla sea más probable que aparezca
cara que cruz. Sea X = cantidad de caras en los 15 lanzamientos. Se declarará cargada a favor de cara si X ≥ 11. Encontrar
el valor p correspondiente al resultado X = 10. Comparar el valor p con el valor de α en este problema.
10.56 Se lanza una moneda 20 veces para determinar si está cargada. Se declarará cargada si X = 0, 1, 2, 3, 4, 16, 17, 18, 19 y 20,
donde X = cantidad de cruces obtenidas. Encontrar el valor p correspondiente al resultado X = 17. Comparar el valor p con
el valor de α en este problema.
10.57 En una línea de producción se fabrican teléfonos celulares. Tres por ciento de defectuosos se considera aceptable. De la
producción diaria se selecciona una muestra de 50. Si en la muestra se encuentran más de tres defectuosos, se considera
que el porcentaje de defectuosos se ha excedido del 3% y la línea de producción se detiene hasta que se satisfaga el 3%.
Emplear EXCEL para determinar α.
10.58 En el problema 10.57 encontrar la probabilidad de que 4% de defectuosos no haga que se detenga la línea de producción.
10.59 Para determinar si un dado está balanceado se lanza 20 veces. Se declarará que no está balanceado porque el 6 aparece más
de 1/6 de las veces si en 20 lanzamientos se obtienen más de 5 seises. Hallar el valor de α. Si se lanza el dado 20 veces y
se obtienen 6 seises, hallar el valor p correspondiente a este resultado.
TEORÍA DE
LAS MUESTRAS
PEQUEÑAS
11
En los capítulos anteriores con frecuencia se utilizó el hecho de que si el tamaño de las muestras es grande, N > 30, lo
que se conoce como muestras grandes, las distribuciones muestrales de muchos de los estadísticos son aproximadamente
normales; esta aproximación mejora a medida que aumenta N. Si el tamaño de las muestras es N < 30, lo que
se conoce como muestras pequeñas, esta aproximación no es buena y empeora a medida que N disminuye, de manera
que es necesario hacer algunas modificaciones.
Al estudio de las distribuciones muestrales de los estadísticos, cuando las muestras son pequeñas, se le llama teoría
de las muestras pequeñas. Sin embargo, un nombre más adecuado sería teoría del muestreo exacto, ya que los resultados
obtenidos son válidos tanto para muestras grandes como para muestras pequeñas. En este capítulo se estudian
tres distribuciones importantes: la distribución t de Student, la distribución ji cuadrada y la distribución F.
DISTRIBUCIÓN t DE STUDENT
Sea el estadístico
X
t ¼ s
pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
X
N 1 ¼
p
^s=
ffiffiffiffi
(1)
N
que es análogo al estadístico z dado por
X
z ¼
p
= ffiffiffiffi :
N
Si se consideran muestras de tamaño N extraídas de una población normal (o aproximadamente normal) cuya media
es µ y si para cada muestra se calcula t, usando la media muestral X y la desviación estándar muestral s o ^s, se obtiene
la distribución muestral de t. Esta distribución (ver figura 11-1) está dada por
Y ¼
Y 0
! N=2
¼
1 þ t2
N 1
1 þ t2
Y 0
! ðþ1Þ=2
(2)
275
276 CAPÍTULO 11 TEORÍA DE LAS MUESTRAS PEQUEÑAS
a)
b)
c)
t
−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4
Figura 11-1 a) Curva normal estándar, b) t de Student para = 5, c) t de Student para = 1.
donde Y 0 es una constante que depende de N, tal que el área total bajo la curva sea 1, y donde a la constante ν = (N − 1)
se le conoce como el número de grados de libertad (ν es la letra griega nu).
A la distribución (2) se le llama distribución t de Student en honor a su descubridor, W. S. Gossett, quien en la
primera mitad del siglo xx publicó sus trabajos bajo el seudónimo “Student”.
Si los valores de ν o de N son grandes (N ≥ 30), la curva (2) se aproxima a la curva normal estándar
como se muestra en la figura 11-1.
Y ¼
p
1 ffiffiffiffiffi e ð1=2Þt2
2
INTERVALOS DE CONFIANZA
Como se hizo en el capítulo 9 con las distribuciones normales, se pueden definir intervalos de confianza de 95%, 99%
u otros intervalos usando la tabla de la distribución t que aparece en el apéndice III. De esta manera puede estimarse
la media poblacional µ dentro de determinados límites de confianza.
Por ejemplo, si −t .975 y t .975 son los valores de t para los cuales 2.5% del área se encuentra repartida en cada una de
las colas de la distribución t, entonces el intervalo de confianza para t de 95% es
X
t :975 < pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
N 1 < t
s
:975 (3)
a partir de lo cual se puede estimar que µ se encuentra en el intervalo
s
s
X t :975 p ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi << X þ t :975 p ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
(4)
N 1
N 1
con una confianza de 95% (es decir, con una probabilidad de 0.95). Obsérvese que t .975 representa el valor del percentil
97.5, y que t .025 = −t .975 representa el valor del percentil 2.5.
En general, los límites de confianza para la media poblacional se representan mediante
s
X t c p ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
(5)
N 1
donde los valores ±t c , llamados valores críticos o coeficientes de confianza, dependen del nivel de confianza deseado
y del tamaño de la muestra. Estos valores se leen en el apéndice III.
Se supone que la muestra se toma de una población normal. Esta suposición se puede verificar empleando la prueba
para normalidad de Kolmogorov-Smirnov.
DISTRIBUCIÓN JI CUADRADA 277
p
Comparando la ecuación (5) con los límites de confianza ( X z c =
ffiffiffiffi
N Þ dados en el capítulo 9, se ve que cuando
se tienen muestras pequeñas z c (que se pobtienen ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi de la distribución normal) se sustituye por t c (que se obtiene de la
distribución t) y que σ se sustituye por N=ðN 1Þs ¼ ^s, que es la estimación de σ. A medida que N aumenta, ambos
métodos tienden a coincidir.
PRUEBAS DE HIPÓTESIS Y DE SIGNIFICANCIA
Las pruebas de hipótesis y de significancia, o reglas de decisión (vistas en el capítulo 10), pueden extenderse fácilmente
a problemas con muestras pequeñas; la única diferencia es que la puntuación z, o estadístico z, se sustituye por la
puntuación t o estadístico t apropiado.
1. Media. Para probar la hipótesis H 0 de que una población normal tiene una media µ, se usa la puntuación t (o estadístico
t)
X
t ¼ pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
X
N 1 ¼ pffiffiffiffi
N
s
^s
donde X es la media de una muestra de tamaño N. Esto es análogo a usar la puntuación z
X
z ¼
p
= ffiffiffiffi
N
p
para una N grande, salvo que se usa ^s ¼
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
N=ðN 1Þs en lugar de σ. La diferencia es que mientras z está distribuida
normalmente, t sigue una distribución de Student. A medida que N aumenta, estas distribuciones tienden a
coincidir.
2. Diferencias entre medias. Supóngase que de poblaciones normales cuya desviaciones estándar son iguales (σ 1 =
σ 2 ) se toman dos muestras aleatorias de tamaños N 1 y N 2 . Supóngase, además, que las medias de estas dos muestras
son X 1 y X 2 y que sus desviaciones estándar son s 1 y s 2 , respectivamente. Para probar la hipótesis H 0 de que las
muestras provienen de una misma población (es decir que µ 1 = µ 2 y también σ 1 = σ 2 ) se usa la puntuación t dada
por
X
t ¼ 1
X
p 2
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi donde ¼
1=N 1 þ 1=N 2
sffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
N 1 s 2 1 þ N 2s 2 2
N 1 þ N 2 2
Esta distribución t tiene una distribución de Student con ν = N 1 + N 2 − 2 grados de libertad. El uso de la ecuación
(7) se hace plausible al hacer σ 1 = σ 2 = σ en la puntuación z de la ecuación (2) del capítulo 10 y después usar como
estimación de σ 2 la media ponderada
ðN 1 1Þ^s 2 1 þðN 2 1Þ^s 2 2
ðN 1 1ÞþðN 2 1Þ
donde ^s 2 1 y ^s 2 2 son estimadores insesgados de 2 1 y 2 2.
DISTRIBUCIÓN JI CUADRADA
¼ N 1s 2 1 þ N 2 s 2 2
N 1 þ N 2 2
Sea el estadístico
2 ¼ Ns2
2 ¼ ðX 1
XÞ 2 þðX 2
XÞ 2 þþðX N
XÞ 2
2 (8)
donde χ es la letra griega ji y χ 2 se lee “ji cuadrada”.
Si se consideran muestras de tamaño N obtenidas de una población normal cuya desviación estándar es σ, y si para
cada muestra se calcula χ 2 , se obtiene una distribución muestral de χ 2 . Esta distribución, llamada distribución ji
cuadrada, está dada por
Y ¼ Y 0 ð 2 Þ ð1=2Þð 2Þ e ð1=2Þ2 ¼ Y 0 2 e ð1=2Þ2 (9)
(6)
(7)
278 CAPÍTULO 11 TEORÍA DE LAS MUESTRAS PEQUEÑAS
donde ν = N − 1 es el número de grados de libertad y Y 0 es una constante que depende de ν, de manera que el área
bajo la curva sea 1. En la figura 11-2 se presentan distribuciones ji cuadrada correspondientes a diversos valores de ν.
El valor máximo de Y se obtiene cuando χ 2 = ν − 2 para ν ≥ 2.
0.5
0.4
0.3
a)
0.2
0.1
b)
c)
d )
0.0
0
5
10
15
20
Figura 11-2 Distribuciones ji cuadrada correspondientes a: a) 2, b) 4, c) 6 y d ) 10 grados de libertad.
INTERVALOS DE CONFIANZA PARA
Como se hizo con la distribución normal y con la distribución t, pueden definirse límites de confianza de 95%, 99%,
u otros límites empleando la tabla de distribución χ 2 que se presenta en el apéndice IV. De esta manera puede estimarse
la desviación estándar poblacional σ en términos de la desviación estándar muestral dentro de determinados límites
de confianza.
Por ejemplo, si 2 :025 y X 2 :975 son los valores de χ 2 (llamados valores críticos), tales que 2.5% del área se encuentra
repartida en ambas colas de la distribución, entonces el intervalo de confianza de 95% es
2 :025 < Ns2
2 <2 :975 (10)
de donde se ve que puede estimarse que σ se encuentra en el intervalo
pffiffiffiffi
s N
<< s
pffiffiffiffi
N
(11)
:975 :025
con 95% de confianza. De manera similar se pueden encontrar otros intervalos de confianza. Los valores χ .025 y χ .975
representan, respectivamente, los percentiles 2.5 y 97.5.
En el apéndice IV se encuentran valores percentiles correspondientes pffiffiffiffiffiffiffi
pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
a diversos grados de libertad ν. Si se tienen
valores grandes de ν (ν ≥ 30), se puede usar el hecho de que ð 2 2 2 1Þ se aproxima mucho a una distribución
normal con media 0 y desviación estándar 1; por lo tanto, las tablas para la distribución normal pueden emplearse
cuando ν ≥ 30. Si 2 p y z p son los percentiles p de la distribución ji cuadrada y de la distribución normal, respectivamente,
se tiene
2 p ¼ 1 2 ðz p
p þ
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
2 1Þ 2 (12)
En este caso hay una gran coincidencia con los resultados obtenidos en los capítulos 8 y 9.
Para más aplicaciones de la distribución ji cuadrada, ver el capítulo 12.
GRADOS DE LIBERTAD
Para calcular un estadístico, por ejemplo (1) y (8), es necesario emplear observaciones obtenidas de una muestra y
también ciertos parámetros poblacionales. Si estos parámetros no se conocen, es necesario estimarlos a partir de la
muestra.
LA DISTRIBUCIÓN F 279
El número de grados de libertad de un estadístico, que por lo general se denota ν, se define como la cantidad N de
observaciones en la muestra (es decir, el tamaño de la muestra) menos la cantidad k de parámetros poblacionales que
tengan que estimarse a partir de las observaciones muestrales. En símbolos, ν = N − k.
En el caso del estadístico (1), la cantidad de observaciones independientes en la muestra es N, y a partir de ellas se
calculan X y s. Sin embargo, como se necesita estimar µ, k = 1 y por lo tanto ν = N − 1.
En el caso del estadístico (8), la cantidad de observaciones independientes en la muestra es N, a partir de las cuales
se calcula s. Sin embargo, como se tiene que estimar σ, k = 1 y por lo tanto ν = N − 1.
LA DISTRIBUCIÓN F
Según se ha visto, en algunas aplicaciones es importante conocer la distribución muestral de la diferencia entre las
medias ð X 1
X 2 Þ de dos muestras. De igual manera, algunas veces se necesita la distribución muestral de la diferencia
entre varianzas ðS1
2 S2Þ. 2 Sin embargo, resulta que esta distribución es bastante complicada. Debido a ello, se considera
el estadístico S1=S 2 2, 2 ya que un cociente grande o pequeño indica una gran diferencia, en tanto que un cociente
cercano a 1 indica una diferencia pequeña. En este caso se puede encontrar una distribución muestral a la que se le
conoce como distribución F en honor a R. A. Fischer.
Más precisamente, supóngase que se tienen dos muestras, 1 y 2, de tamaños N 1 y N 2 , respectivamente, obtenidas
de dos poblaciones normales (o casi normales) cuyas varianzas son 2 1 y 2 2. Sea el estadístico
F ¼ ^S 1= 2 2 1
¼ N 1S1=ðN 2 1 1Þ 2 1
^S
2 2=2 N
2 2 S2 2=ðN 2 1Þ 2 2
(13)
donde ^S 2 1 ¼ N 1S 2 1
N 1 1
^S 2 2 ¼ N 2S 2 2
N 2 1 . (14)
Entonces a la distribución muestral de F se le llama distribución F de Fisher, o simplemente distribución F, con ν 1 =
N 1 − 1 y ν 2 = N 2 − 1 grados de libertad. Esta distribución está dada por
CF ð 1=2Þ 1
Y ¼
ð 1 F þ 2 Þ ð 1þ 2 Þ=2
(15)
donde C es una constante que depende de ν 1 y ν 2 , de manera que el área total bajo la curva sea 1. Esta curva tiene una
forma similar a la de las curvas que se muestran en la figura 11-3, aunque esta forma puede variar de manera notable
de acuerdo con los valores de ν 1 y ν 2 .
0.7
0.6
Variable
F-4-2
F-5-10
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0.0
0
5
10 15 20
Figura 11-3 La línea continua representa la distribución F con 4 y 2 grados de libertad,
y la línea punteada representa la distribución F con 5 y 10 grados de libertad.
280 CAPÍTULO 11 TEORÍA DE LAS MUESTRAS PEQUEÑAS
En los apéndices V y VI se dan los valores percentiles de F para los cuales las áreas en la cola derecha son 0.05 y
0.01, respectivamente, que se denotan F .95 y F .99 . Estos valores que representan los niveles de significancia del 5%
y del 1% se usan para determinar si la varianza S 2 1 es significativamente mayor que la varianza S 2 2. En la práctica, como
muestra 1 se considera la muestra que tenga la mayor varianza.
El software para estadística permite encontrar las áreas bajo la distribución t de Student, la distribución ji cuadrada
y la distribución F. Este software también permite trazar las distintas distribuciones. Esto se ilustrará en la sección de
problemas resueltos de este capítulo.
DISTRIBUCIÓN t DE STUDENT
PROBLEMAS RESUELTOS
−a
a
Figura 11-4 Distribución t de Student para 9 grados de libertad.
11.1 En la figura 11-4 se muestra la gráfica de la distribución t de Student para nueve grados de libertad. Utilizar el
apéndice III para hallar los valores de a para los que: a) el área a la derecha de a sea 0.05, b) el total del área
sombreada sea 0.05, c) el total del área que no está sombreada sea 0.99, d ) el área sombreada de la izquierda
sea 0.01 y e) el área a la izquierda de a sea 0.90. Hallar los incisos del a) al e) empleando EXCEL.
SOLUCIÓN
a) Si el área sombreada a la derecha de a es 0.05, el área a la izquierda de a es (1 − 0.05) = 0.95, y a representa el percentil
95, t .95 . En el apéndice III, se desciende por la columna cuyo encabezado es ν hasta llegar a la entrada 9, después
se avanza a la derecha hasta la columna cuyo encabezado es t .95 ; el resultado, 1.83, es el valor de t que se busca.
b) Si el total del área sombreada es 0.05, entonces, por simetría, el área sombreada de la derecha es 0.025. Por lo tanto,
el área a la izquierda de a es (1 − 0.025) = 0.975 y a representa el percentil 97.5, t .975 . En el apéndice III se encuentra
que 2.26 es el valor de t buscado.
c) Si el total del área no sombreada es 0.99, entonces el total del área sombreada es (1 − 0.99) = 0.01 y el área sombreada
a la derecha de a es 0.01/2 = 0.005. En el apéndice III se encuentra que t .995 = 3.25.
d ) Si el área sombreada a la izquierda es 0.01, entonces por simetría el área sombreada a la derecha es 0.01. En el apéndice
III, t .99 = 2.82. Por lo tanto, el valor crítico de t para el cual el área sombreada a la izquierda es 0.01 es igual a
−2.82.
e) Si el área sombreada a la izquierda de a es 0.90, a corresponde al percentil 90, t .90 , el cual en el apéndice III se encuentra
que es igual a 1.38.
PROBLEMAS RESUELTOS 281
Usando EXCEL, con la expresión =TINV(0.1,9) se obtiene 1.833113. EXCEL requiere la suma de las áreas en las
dos colas y los grados de libertad. De igual manera, con =TINV(0.05,9) se obtiene 2.262157, con =TINV(0.01,9) se obtiene
3.249836, con =TINV(0.02,9) se obtiene 2.821438 y con =TINV(0.2,9) se obtiene 1.383029.
11.2 Encontrar los valores críticos de t para los cuales el área de la cola derecha de la distribución t es 0.05, siendo
el número de grados de libertad, ν, igual a: a) 16, b) 27 y c) 200.
SOLUCIÓN
Usando el apéndice III, en la columna cuyo encabezado es t .95 se encuentran los valores: a) 1.75, correspondiente a ν = 16;
b) 1.70, correspondiente a ν = 27 y c) 1.645, correspondiente a ν = 200. (El último es el valor que se obtendría usando la
curva normal; en el apéndice III este valor corresponde a la entrada en el último renglón marcado ∞, o infinito.)
11.3 Los coeficientes de confianza del 95% (dos colas) en la distribución normal son ±1.96. ¿Cuáles son los coeficientes
correspondientes en la distribución t para: a) ν = 9, b) ν = 20, c) ν = 30 y d ) ν = 60?
SOLUCIÓN
Para los coeficientes de confianza de 95% (dos colas), el total del área sombreada en la figura 11-4 debe ser 0.05; por lo
tanto, el área sombreada de la cola derecha debe ser 0.025 y el correspondiente valor de t es t .975 . Entonces, los coeficientes
de confianza buscados son ±t .975 , que para los valores de ν dados son: a) ±2.26, b) ±2.09, c) ±2.04 y d ) ±2.00.
11.4 En una muestra de 10 mediciones del diámetro de una esfera, la media es X = 438 centímetros (cm) y la desviación
estándar es s = 0.06 cm. Encontrar los límites de confianza de: a) 95% y b) 99% para el verdadero
diámetro.
SOLUCIÓN
p
a) Los límites de confianza del 95% están dados por X t :975 ðs= ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
N 1Þ.
Como ν = N − 1 = 10 − 1 = 9, se encuentra que t .975 = 2.26 [ver también el problema p 11.3a)]. Después, usando
X = 4.38 y s = 0.06, los límites de confianza buscados de 95% son 4:38 2:26ð0:06=
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
10 1Þ¼4:38 0:0452
cm. Por lo tanto, se puede tener una confianza de 95% en que la verdadera media se encuentra entre (438 − 0.045) =
4.335 cm y (4.38 + 0.045) = 4.425 cm.
p
b) Los límites de confianza del 99% están dados por X t :995 ðs= ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
N 1Þ.
p
Para ν = 9, t .995 = 3.25. Entonces, los límites de confianza del 99% son 4:38 3:25ð0:06=
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
10 1Þ¼ 4.38 ±
0.0650 cm y el intervalo de confianza de 99% es 4.315 a 4.445 cm.
11.5 De 25 trabajadores seleccionados en forma aleatoria se registró la cantidad de días que el año pasado faltaron
al trabajo debido al síndrome del túnel carpiano, relacionado con el trabajo. Los resultados se presentan en la
tabla 11.1. Cuando se usan estos datos para establecer un intervalo de confianza para la media poblacional de
todos los casos, relacionados con el trabajo, de síndrome del túnel carpiano, se supone que el número de días
de ausencia se distribuye normalmente en la población. Usar los datos para probar la suposición de normalidad,
y si se está dispuesto a asumir la normalidad, entonces dar un intervalo de 95% para µ.
Tabla 11.1
21 23 33 32 37
40 37 29 23 29
24 32 24 46 32
17 29 26 46 27
36 38 28 33 18
282 CAPÍTULO 11 TEORÍA DE LAS MUESTRAS PEQUEÑAS
SOLUCIÓN
La gráfica de probabilidad normal de MINITAB (figura 11-5) indica que la suposición de la normalidad es razonable, ya
que el valor p es mayor a 0.15. Este valor p se usa para probar la hipótesis nula de que los datos han sido tomados de una
población distribuida en forma normal. Empleando el nivel de significancia convencional, 0.05, la normalidad de la distribución
de la población se rechazaría sólo si el valor p fuera menor a 0.05. Como se indica que el valor p correspondiente a
la prueba de Kolmogorov-Smirnov para normalidad es valor p > 0.15, no se rechaza la suposición de normalidad.
Usando MINITAB, el intervalo de confianza que se encuentra es el siguiente. El intervalo de confianza de 95% para
la media poblacional va de 27.21 a 33.59 días por año.
MTB > tinterval 95% confidence for data in cl
Intervalos de confianza
Variable N Mean StDev SE Mean 95.0% CI
days 25 30.40 7.72 1.54 (27.21, 33.59)
11.6 El espesor de las arandelas producidas con una máquina es 0.050 pulgadas (in). Para determinar si la máquina
está trabajando de manera adecuada se toma una muestra de 10 arandelas en las cuales el espesor medio es
0.053 in y la desviación estándar es 0.003 in. Probar la hipótesis de que la máquina está trabajando en forma
adecuada usando los niveles de significancia: a) 0.05 y b) 0.01.
Porcentaje
99
95
90
80
70
60
50
40
30
20
10
5
Gráfica de probabilidad de días
Normal
Media 30.4
DesvEst 7.724
N
25
KS 0.068
Valor p >0.150
1
10
20
30
Días
Figura 11-5 Gráfica de probabilidad normal y prueba de normalidad de Kolmogorov-Smirnov.
40
50
SOLUCIÓN
Se desea decidir entre las dos hipótesis:
H 0 : µ = 0.050, la máquina está trabajando de manera adecuada.
H 1 : µ ≠ 0.050, la máquina no está trabajando en forma adecuada.
Por lo tanto, se requiere una prueba de dos colas. De acuerdo con la hipótesis H 0 se tiene
X
t ¼ pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
0:053 0:050 pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
N 1 ¼ 10 1 ¼ 3:00
s
0:003
a) Para una prueba de dos colas a nivel de significancia 0.05, se adopta la siguiente regla de decisión:
Aceptar H 0 si t se encuentra dentro del intervalo −t .975 a t .975 , el cual para 10 − 1 = 9 grados de libertad es el
intervalo −2.26 a 2.26.
Rechazar H 0 si no es así.
Como t = 3.00, se rechaza H 0 al nivel 0.05.
PROBLEMAS RESUELTOS 283
b) Para una prueba de dos colas al nivel de significancia 0.01, se adopta la siguiente regla de decisión:
Aceptar H 0 si t se encuentra dentro del intervalo −t .995 a t .995 , el cual para 10 − 1 = 9 grados de libertad es el
intervalo −3.25 a 3.25.
Rechazar H 0 si no es así.
Como t = 3.00, se acepta H 0 al nivel de significancia 0.01.
Como H 0 se puede rechazar al nivel de significancia 0.05 pero no al nivel de significancia 0.01, se dice que la muestra
da como resultado una probabilidad significativa (ver esta terminología al final del problema 10.5). Por lo tanto, será
recomendable verificar el funcionamiento de la máquina o, por lo menos, tomar otra muestra.
11.7 El gerente de un centro comercial realiza una prueba de hipótesis para probar µ = $50 contra µ ≠ $50, donde
µ representa la cantidad media que gasta un comprador en ese centro comercial. En los datos que se presentan
en la tabla 11.2 se dan las cantidades, en dólares, gastadas por 28 personas en el centro comercial. Para esta
prueba de hipótesis, usando la distribución t de Student, se supone que los datos empleados para la prueba han
sido tomados de una población distribuida normalmente. Esta suposición de normalidad puede comprobarse
usando cualquiera de los métodos para pruebas de normalidad. MINITAB tiene tres posibilidades diferentes
para pruebas de normalidad. Probar la normalidad al nivel de significancia convencional α = 0.05. Si la suposición
de normalidad no se rechaza, entonces se procede a realizar la prueba de hipótesis en que µ = $50
contra la alternativa µ ≠ $50 empleando α = 0.05.
Tabla 11.2
68 49 45 76 65 50
54 92 24 36 60 66
57 74 52 75 36 40
62 56 94 57 64
72 65 59 45 33
SOLUCIÓN
Empleando la prueba para normalidad de Anderson-Darling de MINITAB se obtiene el valor p = 0.922, la prueba de normalidad
de Ryan-Joyner da un valor p mayor a 0.10, y la prueba de normalidad de Kolmogorov-Smirnov da un valor p
mayor a 0.15. Al nivel de significancia convencional de 5%, en ninguno de los tres casos se puede rechazar la hipótesis de
que los datos han sido tomados de una población distribuida normalmente. Recuérdese que una hipótesis nula se rechaza
sólo si el valor p es menor que el nivel de significancia preestablecido. A continuación se presenta el análisis de MINITAB
para la prueba de la cantidad media gastada por los clientes. Empleando el método clásico para pruebas de hipótesis, la
hipótesis nula se rechaza si el valor encontrado para el estadístico de prueba es mayor, en valor absoluto, a 2.05. El valor
crítico, 2.05, se encuentra empleando la distribución t de Student para 27 grados de libertad. Como el valor hallado para el
estadístico de prueba es 18.50, se rechaza la hipótesis nula y se concluye que la cantidad media gastada por los clientes es
mayor a $50. Si hace la prueba de hipótesis empleando el método del valor p, entonces como el valor p = 0.0000 es menor
al nivel de significancia (0.05), también se rechaza la hipótesis nula.
Despliegue de datos
Amount
68 54 57 62 72 49 92 74 56
65 45 24 52 94 59 76 36 75
57 45 65 60 36 64 33 50 66
40
MTB > TTest 0.0 ‘Amount’;
SUBC > Alternative 0.
284 CAPÍTULO 11 TEORÍA DE LAS MUESTRAS PEQUEÑAS
T–Test of the Mean
Test of mu = 0.00 vs mu not = 0.00
Variable N Mean StDev SE Mean T P
Amount 28 58.07 16.61 3.14 18.50 0.0000
11.8 El cociente intelectual (CI) de 16 estudiantes de una región de una ciudad resultó con una media de 107 y una
desviación estándar de 10, el CI de 14 estudiantes de otra región de esa ciudad resultó de 112 y la desviación
estándar de 8. Al nivel de significancia: a) 0.01 y b) 0.05, ¿hay diferencia entre los CI de estos dos grupos?
SOLUCIÓN
Si µ 1 y µ 2 , respectivamente, denotan las medias poblacionales de los CI de los estudiantes de estas dos regiones, hay que
decidir entre las hipótesis:
H 0 : µ 1 = µ 2 , en esencia no hay diferencia entre los dos grupos.
H 1 : µ 1 ≠ µ 2 , hay una diferencia significativa entre los dos grupos.
De acuerdo con la hipótesis H 0 ,
sffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
X
t ¼ 1
X 2
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
N
p donde ¼ 1 s 2 1 þ N 2s 2 2
1=N 1 þ 1=N 2
N 1 þ N 2 2
sffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
16ð10Þ 2 þ 14ð8Þ 2
112 107
Por lo tanto, ¼
¼ 9:44 y t ¼ p
16 þ 14 2
9:44 ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ¼ 1:45
1=16 þ 1=14
a) Empleando una prueba de dos colas al nivel de significancia 0.01, H 0 se rechaza si t queda fuera del intervalo −t .995 a
t .995 , el cual para (N 1 + N 2 − 2) = (16 + 14 − 2) = 28 grados de libertad es el intervalo −2.76 a 2.76. Por lo tanto, al
nivel de significancia 0.01 no se puede rechazar H 0 .
b) Empleando una prueba de dos colas al nivel de significancia 0.05, H 0 se rechaza si t queda fuera del intervalo −t .975 a
t .975 , el cual para 28 grados de libertad es el intervalo −2.05 a 2.05. Por lo tanto, al nivel de significancia 0.05 no se
puede rechazar H 0 .
Se concluye que no hay una diferencia significativa entre los CI de los dos grupos.
11.9 En la tabla 11.3 se dan los costos anuales (en miles de dólares) de colegiatura, alojamiento y manutención en
10 universidades privadas elegidas en forma aleatoria y 15 universidades públicas elegidas en forma aleatoria.
Probar la hipótesis nula de que el costo medio anual en las universidades privadas es 10 mil dólares mayor al
costo medio anual en las universidades públicas, contra la hipótesis alternativa de que la diferencia no es de 10
mil dólares. Usar el nivel de significancia 0.05. Antes de realizar la prueba de las medias, probar, al nivel de
significancia 0.05, la suposición de normalidad y de varianzas iguales.
Tabla 11.3
Universidades públicas
Universidades privadas
4.2
6.1
4.9
8.5
4.6
9.1
7.7
6.5
6.2
10.2
11.6
10.4
5.0
10.4
8.1
13.0
18.8
13.2
14.4
17.7
17.7
17.6
19.8
16.8
16.1
SOLUCIÓN
En la figura 11-6 se muestran los resultados de MINITAB para la prueba de normalidad de Anderson-Darling de las universidades
públicas. Dado que el valor p (0.432) no es menor a 0.05, la suposición de normalidad no se rechaza. Una
PROBLEMAS RESUELTOS 285
prueba similar para las universidades privadas indica que la suposición de normalidad también es válida para las universidades
privadas.
Porcentaje
99
95
90
80
70
60
50
40
30
20
10
5
Gráfica de probabilidad de las públicas
Normal
Media
DesvEst
N
AD
Valor p
7.567
2.417
15
0.346
0.432
1
2
4
6
8
Públicas
10
12
14
Públicas
Privadas
Prueba de varianzas iguales para públicas, privadas
Prueba F
Estadístico de prueba
Valor p
1.09
0.920
Prueba de Levene
Estadístico de prueba 0.21
Valor p
0.651
1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 4.5 5.0
Intervalos de confianza de 95% de Bonferroni para desviaciones estándar
Públicas
Privadas
5.0 7.5 10.0 12.5 15.0 17.5 20.0
Datos
Figura 11-6 Prueba de normalidad de Anderson-Darling y prueba F de varianzas iguales.
La prueba F que se muestra en la parte inferior de la figura 11-6 indica que puede suponerse que las varianzas son
iguales. Con la secuencia de comandos “Stat ⇒ Basic Statistics ⇒ 2-sample t” se obtiene el resultado que se da a continuación.
Los resultados indican que no se puede rechazar que el costo de las universidades privadas sea 10 mil dólares
mayor al de las universidades públicas.
Prueba T de dos muestras y CI: públicas, privadas
Two-sample T for Public vs Private
N Mean StDev SE Mean
Public 15 7.57 2.42 0.62
Private 10 16.51 2.31 0.73
Difference = mu (Public) – mu(Private)
Estimate for difference: –8.9433
95% CI for difference: (–10.9499, –6.9367)
T-Test of difference = –10 (vs not =) : T-Value = 1.09 P-Value = 0.287
DF = 23
Both use Pooled StDev = 2.3760
286 CAPÍTULO 11 TEORÍA DE LAS MUESTRAS PEQUEÑAS
DISTRIBUCIÓN JI CUADRADA
a
b
Figura 11-7 Distribución ji cuadrada para 5 grados de libertad.
11.10 En la figura 11-7 se muestra la gráfica de la distribución ji cuadrada para 5 grados de libertad. Empleando
el apéndice IV, hallar los valores críticos de χ 2 para los cuales: a) el área sombreada de la derecha es 0.05,
b) el total del área sombreada es 0.05, c) el área sombreada de la izquierda es 0.10 y d ) el área sombreada de
la derecha es 0.01. Hallar también estas respuestas usando EXCEL.
SOLUCIÓN
a) Si el área sombreada de la derecha es 0.05, entonces el área a la izquierda de b es (1 − 0.05) = 0.95 y b es el percentil
95, 2 :95. Refiérase al apéndice IV, bajar por la columna que tiene como encabezado ν hasta llegar a la entrada 5, y
después avanzar hacia la derecha hasta la columna cuyo encabezado es 2 :95; el resultado, 11.1, es el valor crítico de
χ 2 que se busca.
b) Como esta distribución no es simétrica, hay muchos valores críticos para los que el total del área sombreada es 0.05.
Por ejemplo, el área sombreada de la derecha puede ser 0.04 y el área sombreada de la izquierda 0.01. Sin embargo,
se acostumbra, a menos que se especifique otra cosa, elegir estas áreas de manera que sean iguales. En este caso,
entonces, cada área es 0.025. Si el área sombreada de la derecha es 0.025, el área a la izquierda de b es 1 − 0.025 =
0.975 y b es el percentil 97.5, 2 :975, el cual de acuerdo con el apéndice IV es 12.8. De igual manera, si el área sombreada
de la izquierda es 0.025, el área a la izquierda de a es 0.025 y a es el percentil 2.5, 2 :025, que es igual a 0.831.
Por lo tanto, los valores críticos son 0.83 y 12.8.
c) Si el área sombreada de la izquierda es 0.10, a representa el percentil 10, 2 :10, el cual es igual a 1.61.
d) Si el área sombreada de la derecha es 0.01, el área a la izquierda de b es 0.99 y b representa el percentil 99, 2 :99, el
cual es igual a 15.1.
La respuesta de EXCEL para a) se obtiene con =CHIINV(0.05,5), que da 11.0705. El primer parámetro de CHIINV es el
área a la derecha del punto y el segundo es el número de grados de libertad. La respuesta para b) se obtiene con
=CHIINV(0.975,5), que da 0.8312 y =CHIINV(0.025,5) da 12.8325. La respuesta para c) se obtiene con =CHIINV(0.9,5),
que da 1.6103. La respuesta para d ) se obtiene con =CHIINV(0.01,5), que da 15.0863.
11.11 Encontrar el valor crítico de χ 2 tal que el área en la cola derecha de la distribución χ 2 sea 0.05, siendo el número
de grados de libertad, ν, igual a: a) 15, b) 21 y c) 50.
SOLUCIÓN
En el apéndice IV, en la columna cuyo encabezado es 2 :95 se encuentran los valores: a) 25.0 que corresponde a ν = 15; b)
32.7 que corresponde a ν = 21 y c) 67.5 que corresponde a ν = 50.
PROBLEMAS RESUELTOS 287
11.12 Encontrar el valor mediano de χ 2 que corresponda a: a) 9, b) 28 y c) 40 grados de libertad.
SOLUCIÓN
En el apéndice IV, en la columna cuyo encabezado es 2 :50 (ya que la mediana es el percentil 50), se encuentran los valores:
a) 8.34, que corresponde a ν = 9; b) 27.3, que corresponde a ν = 28, y c) 39.3, que corresponde a ν = 40.
Resulta interesante observar que los valores medianos están muy cercanos a la igualdad del número de grados de
libertad. De hecho, para ν > 10, los valores medianos son iguales a (ν − 0.7), como puede verse en la tabla.
11.13 La desviación estándar de las estaturas de 16 estudiantes elegidos en forma aleatoria en una escuela de 1 000
estudiantes es 2.40 in. Encontrar los límites de confianza de: a) 95% y b) 99% para la desviación estándar de
las estaturas de todos los estudiantes de esta escuela.
SOLUCIÓN
p ffiffiffiffi p ffiffiffiffi
a) Los límites de confianza de 95% son s N =:975 y s N =:025 .
Para ν = 16 − 1 = 15 grados de libertad, p 2 :975 = 27.5 (o bien χ .975 = 5.24) y 2 :025 = 6.26 (o bien χ .025 = 2.50).
Los límites de confianza de 95% son 2:40
ffiffiffiffiffi
p ffiffiffiffiffi
16 =5:24 y 2:40 16 =2:50 (es decir, 1.83 y 3.84 in). Por lo tanto, se puede
tener una confianza de 95% de que la desviación estándar poblacional se encuentra entre 1.83 y 3.84 in.
p ffiffiffiffi p
b) Los límites de confianza de 99% son s N =:995 y s= ffiffiffiffi
N =:005 .
Para ν = 16 − 1 = 15 grados de libertad están dados por p 2 :995 = 32.8 (o χ .995 = 5.73) y 2 :005 = 4.60 (o bien
χ .005 = 2.14). Entonces los límites de confianza de 99% son 2:40
ffiffiffiffiffi p ffiffiffiffiffi
16 =5:73 y 2.40 16 /2.14 (es decir, 1.68 y 4.49 in).
Por lo tanto, se puede tener una confianza de 99% de que la desviación estándar poblacional se encuentre entre 1.68
y 4.49 in.
11.14 Encontrar 2 :95 para: a) ν = 50 y b) ν = 100 grados de libertad.
SOLUCIÓN
pffiffiffiffiffiffiffi
pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
Para ν mayor que 30 se puede emplear el hecho de que 2 2 2 1 es una distribución aproximadamente normal en
la que la media es 0 y la desviación estándar es 1. Entonces, si z p es un percentil de la puntuación z en la distribución normal
estándar, se puede escribir, con un alto grado de aproximación,
qffiffiffiffiffiffiffi
2 2 p
pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
2 1 ¼ z p
o
qffiffiffiffiffiffiffi
2 2 p
p
¼ z p þ
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
2 1
de donde 2 p ¼ 1 2 ðz p
p þ
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
2 1Þ 2 .
a) Si ¼ 50, 2 :95 ¼ 1 2 ðz p
:95 þ ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
2ð50Þ 1Þ 2 ¼ 1 2 ð1:64 þ
p ffiffiffiffiffi
99 Þ 2 ¼ 67:2, lo que coincide muy bien con el valor 67.5 dado
en el apéndice IV.
b) Si ¼ 100, 2 :95 ¼ 1 2 ðz p
:95 þ ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
2ð100Þ 1Þ 2 ¼ 1 2 ð1:64 þ
p ffiffiffiffiffiffiffi
199 Þ 2 ¼ 124:0 (verdadero valor = 124.3).
11.15 La desviación estándar del tiempo de vida de una muestra de 200 bombillas eléctricas es 100 horas (h). Encontrar
los límites de confianza de: a) 95% y b) 99% para la desviación estándar de estas bombillas eléctricas.
SOLUCIÓN
p ffiffiffiffi p ffiffiffiffi
a) Los límites de confianza de 95% están dados por s N =:975 y s N =:025 .
Para ν = 200 − 1 = 199 grados de libertad, se encuentra (como en el problema 11.14)
2 :975 ¼ 1 2 ðz p
:975 þ
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
2ð199Þ 1Þ 2 ¼ 1 2 ð1:96 þ 19:92Þ2 ¼ 239
2 :025 ¼ 1 2 ðz p
:025 þ
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
2ð199Þ 1Þ 2 ¼ 1 2 ð 1:96 þ 19:92Þ2 ¼ 161
p
por lo tanto, χ .975 = 15.5 y χ 0.025 = 12.7. De manera que los límites de confianza del 95% son 100
ffiffiffiffiffiffiffi
p
200 =15:5 ¼
91.2 h y 100 ffiffiffiffiffiffiffi
200 =12:7 ¼ 111:3 h, respectivamente. Se puede tener una confianza de 95% en que la desviación estándar
poblacional esté entre 91.2 y 111.3 h.
288 CAPÍTULO 11 TEORÍA DE LAS MUESTRAS PEQUEÑAS
p ffiffiffiffi p ffiffiffiffi
b) Los límites de confianza de 99% están dados por s N =:995 y s N =:005 .
Para ν = 200 − 1 = 199 grados de libertad,
2 :995 ¼ 1 2 ðz p
:995 þ
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
2ð199Þ 1Þ 2 ¼ 1 2 ð2:58 þ 19:92Þ2 ¼ 253
2 :005 ¼ 1 2 ðz p
:005 þ
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
2ð199Þ 1Þ 2 ¼ 1 2 ð 2:58 þ 19:92Þ2 ¼ 150
p
por lo tanto, χ .995 = 15.9 y χ .005 = 12.2. De manera que los límites de confianza del 99% son 100
ffiffiffiffiffiffiffi
p
200 =15:9 ¼
88.9 h y 100 ffiffiffiffiffiffiffi
200 =12:2 ¼ 115:9 h, respectivamente. Se puede tener una confianza de 99% en que la desviación estándar
poblacional esté entre 88.9 y 115.9 h.
11.16 Un fabricante de ejes requiere que en el proceso de fabricación el diámetro de los ejes sea 5.000 cm. Además,
para garantizar que las ruedas se ajusten de manera adecuada a los ejes, es necesario que la desviación estándar
en los diámetros sea 0.005 cm o menos. En la tabla 11.4 se presentan los diámetros de los 20 ejes de una
muestra.
Tabla 11.4
4.996 4.998 5.002 4.999
5.010 4.997 5.003 4.998
5.006 5.004 5.000 4.993
5.002 4.996 5.005 4.992
5.007 5.003 5.000 5.000
El fabricante desea probar la hipótesis nula de que la desviación estándar poblacional es 0.005 cm contra
la hipótesis alternativa de que la desviación estándar poblacional es mayor a 0.005 cm. Si se confirma la hipótesis
alternativa, entonces el proceso de fabricación debe detenerse y deben hacerse ajustes a las máquinas. Para
la prueba se supone que los diámetros de los ejes tienen una distribución normal. Probar esta suposición al nivel
de significancia 0.05. Si se está dispuesto a suponer normalidad, entonces hacer la prueba concerniente a
la desviación estándar poblacional al nivel de significancia 0.05.
SOLUCIÓN
En la figura 11-8 se muestra la prueba de normalidad de Shapiro-Wilk. Como el valor p que se obtiene es grande (0.9966),
no se puede rechazar la normalidad. Esta gráfica de probabilidad y el análisis de Shapiro-Wilk se hicieron empleando el
paquete STATISTIX de software para estadística.
Se tiene que decidir entre las hipótesis:
H 0 : σ = 0.005 cm, el valor observado se debe a la casualidad.
H 1 : σ = 0.005 cm, la variabilidad es demasiado grande.
El análisis realizado con SAS es el siguiente:
One Sample Chi-square Test for a Variance
Sample Statistics for diameter
N Mean Std. Dev. Variance
-----------------------------------------------------------
20 5.0006 0.0046 215E-7
Hypothesis Test
Null hypothesis: Variance of diameter <=0.000025
Alternative: Variance of diameter > 0.000025
Chi-square Df Prob
---------------------------------------
16.358 19 0.6333
Como el valor p obtenido (0.6333) es grande, esto indica que la hipótesis nula no se debe rechazar.
PROBLEMAS RESUELTOS 289
Gráfica del diámetro de probabilidad normal
5.011
5.006
Datos ordenados
5.001
4.996
4.991
−2 −1 0
1 2
Grados de clasificación
20 casos de Shapiro-Wilk W 0.9890 P(W) 0.9966
Figura 11-8 STATISTIX, prueba de normalidad de Shapiro-Wilk.
11.17 La desviación estándar en los pesos de paquetes de 40.0 onzas (oz), llenados con una máquina, ha sido 0.25 oz.
En una muestra de 20 paquetes se observa una desviación estándar de 0.32 oz. ¿Este aparente incremento en la
variabilidad es significativo a los niveles: a) 0.05 y b) 0.01?
SOLUCIÓN
Decidir entre las hipótesis:
H 0 : σ = 0.25 oz, el resultado observado es casualidad.
H 1 : σ > 0.25 oz, la variabilidad ha aumentado.
El valor de χ 2 para la muestra es
2 ¼ Ns2
2
¼ 20ð0:32Þ2
ð0:25Þ 2 ¼ 32:8
a) Empleando una prueba de una cola, al nivel de significancia 0.05, se rechaza H 0 si los valores muestrales de χ 2 son
mayores a 2 :95, lo que es igual a 30.1 para ν = 20 − 1 = 19 grados de libertad. Por lo tanto, se rechaza H 0 al nivel de
significancia 0.05.
b) Empleando una prueba de una cola, al nivel de significancia 0.01, se puede rechazar H 0 si los valores muestrales de
χ 2 son mayores a 2 :99, lo que es igual a 36.2 para 19 grados de libertad. Por lo tanto, al nivel de significancia 0.01, no
se rechaza H 0 .
Se concluye que la variabilidad probablemente ha aumentado. Se recomienda examinar la máquina.
LA DISTRIBUCIÓN F
11.18 De poblaciones distribuidas en forma normal se obtienen dos muestras de tamaños 9 y 12 cuyas varianzas son
16 y 25. Si las varianzas muestrales son 20 y 8, respectivamente, determinar si la primera muestra tiene una
varianza bastante mayor que la segunda muestra al nivel de significancia: a) 0.05, b) 0.01 y c) usar EXCEL
para mostrar que el área a la derecha de 4.03 está entre 0.01 y 0.05.
290 CAPÍTULO 11 TEORÍA DE LAS MUESTRAS PEQUEÑAS
SOLUCIÓN
Para estas dos muestras, 1 y 2, se tiene N 1 ¼ 9, N 2 ¼ 12, 2 1 ¼ 16, 2 2 ¼ 25, S 2 1 ¼ 20 y S 2 2 ¼ 8. Por lo tanto,
F ¼ ^S 1= 2 2 1
¼ N 1S1=ðN 2 1 1Þ 2 1
^S
2 2=2 N
2 2 S2 2=ðN 2 1Þ 2 2
¼ ð9Þð20Þ=ð9 1Þð16Þ
ð12Þð8Þ=ð12 1Þð25Þ ¼ 4:03
a) Los grados de libertad para el numerador y para el denominador de F son ν 1 = N 1 −1 = 9 − 1 = 8 y ν 2 = N 2 −1 =
12 − 1 = 11. Entonces, en el apéndice V se encuentra que F .95 = 2.95. Como el valor de F calculado es F = 4.03, que
es mayor a 2.95, se concluye que la varianza de la muestra 1 es significativamente mayor que la de la muestra 2, al
nivel de significancia 0.05.
b) Para ν 1 = 8 y ν 2 = 11, en el apéndice VI se encuentra F .01 = 4.74. En este caso el valor de F calculado es F = 4.03,
que es menor a 4.74. Por lo tanto, no se puede concluir que la varianza de la muestra 1 sea mayor que la varianza de
la muestra 2, al nivel de significancia 0.01.
c) El área a la derecha de 4.03 está dada por =FDIST(4.03,8,11) y es 0.018.
11.19 De dos poblaciones distribuidas de manera normal se toman dos muestras, una de tamaño 8 y otra de tamaño
10, cuyas varianzas corresponden a 20 y 36. Encontrar la probabilidad de que la varianza de la primera muestra
sea mayor al doble de la varianza de la segunda muestra.
Usar EXCEL para hallar la probabilidad exacta de que F con 7 y 9 grados de libertad sea mayor a 3.70.
SOLUCIÓN
Se tiene N 1 ¼ 8, N 2 ¼ 10, 2 1 ¼ 20, y 2 2 ¼ 36. Por lo tanto,
F ¼ 8S2 1=ð7Þð20Þ
10S 2 2 =ð9Þð36Þ ¼ 1:85 S2 1
S 2 2
El número de grados de libertad en el numerador y en el denominador es ν 1 = N 1 − 1 = 8 − 1 = 7 y ν 2 = N 2 − 1 = 10 −
1 = 9. Ahora, si S 2 1 es mayor al doble de S 2 2, entonces
F ¼ 1:85 S2 1
S2
2 > ð1:85Þð2Þ ¼3:70
Buscando 3.70 en los apéndices V y VI se encuentra que la probabilidad es menor a 0.05 pero mayor a 0.01. Para encontrar
los valores exactos se necesita una tabulación más extensa que la distribución F.
Con EXCEL la respuesta se obtiene con =FDIST(3.7,7,9), que da 0.036, que es la probabilidad de que F con 7 y 9
grados de libertad sea mayor a 3.70.
DISTRIBUCIÓN t DE STUDENT
PROBLEMAS SUPLEMENTARIOS
11.20 En una distribución de Student con 15 grados de libertad, encontrar el valor de t 1 tal que: a) el área a la derecha de t 1 sea
0.01, b) el área a la izquierda de t 1 sea 0.95, c) el área a la derecha de t 1 sea 0.10, d ) el área a la derecha de t 1 junto con el
área a la izquierda de −t 1 sea 0.01 y e) el área entre −t 1 y t 1 sea 0.95.
11.21 Usando el apéndice III, encontrar los valores críticos de t para los cuales el área en la cola derecha de la distribución t sea
0.01, siendo el número de grados de libertad, ν, igual a: a) 4, b) 12, c) 25, d ) 60 y e) 150. Dar las soluciones de a) a e)
usando EXCEL.
PROBLEMAS SUPLEMENTARIOS 291
11.22 En la distribución t de Student encontrar los valores de t 1 que satisfacen cada una de las condiciones siguientes:
a) El área entre −t 1 y t 1 es 0.90 y ν = 25.
b) El área a la izquierda de −t 1 es 0.025 y ν = 20.
c) El área a la derecha de t 1 junto con el área a la izquierda de −t 1 es 0.01 y ν = 5.
d) El área a la derecha de t 1 es 0.55 y ν = 16.
11.23 Si una variable U tiene una distribución t de Student con ν = 10, encontrar la constante C que satisfaga: a) Pr{U > C} =
0.05, b) Pr{−C ≤ U ≤ C} = 0.98, c) Pr{U ≤ C} = 0.20 y d ) Pr{U ≥ C} = 0.90.
11.24 En la distribución normal, los coeficientes de confianza de 99% (dos colas) son ± 2.58. ¿Cuáles son los coeficientes correspondientes
en la distribución t si: a) ν = 4, b) ν = 12, c) ν = 25, d ) ν = 30, y e) ν = 40?
11.25 En una muestra de 12 mediciones de la resistencia a la ruptura de un hilo de algodón, la media es 7.38 gramos (g) y la
desviación estándar 1.24 g. Encontrar los límites de confianza de: a) 95% y b) 99% para la verdadera resistencia a la ruptura
y c) la solución que da MINITAB usando el resumen de estadísticos.
11.26 Resolver el ejercicio 11.25 suponiendo que los métodos de la teoría de muestras grandes son aplicables, y comparar los
resultados obtenidos.
11.27 Se tomaron cinco mediciones del tiempo de reacción de una persona a cierto estímulo; las mediciones fueron 0.28, 0.30,
0.27, 0.33 y 0.31 segundos. Encontrar los límites de confianza de: a) 95% y b) 99% para el verdadero tiempo de reacción.
11.28 El tiempo medio de vida de los focos eléctricos producidos por una empresa ha sido 1 120 h y la desviación estándar 125
h. En una muestra de 8 focos eléctricos, recientemente producidos, el tiempo medio de vida fue de 1 070 h. Probar la hipótesis
de que el tiempo medio de vida de los focos no ha variado, usando los niveles de significancia: a) 0.05 y b) 0.01.
11.29 En el problema 11.28 probar las hipótesis µ = 1 120 h contra µ < 1 120 h, usando como niveles de significancia: a) 0.05
y b) 0.01.
11.30 Las especificaciones en la producción de cierta aleación exigen 23.2% de cobre. En una muestra consistente en 10 análisis
del producto, el contenido medio de cobre fue 23.5% y la desviación estándar 0.24%. A los niveles de significancia: a) 0.05
y b) 0.01 ¿puede concluirse que el producto satisface las especificaciones?
11.31 En el problema 11.30, empleando los niveles de significancia: a) 0.01 y b) 0.05, probar la hipótesis de que el contenido
medio de cobre es mayor que el requerido por las especificaciones.
11.32 Un experto asegura que introduciendo un nuevo tipo de máquina en un proceso de producción se puede disminuir notablemente
el tiempo de producción. Debido a los gastos requeridos para el mantenimiento de esta máquina, el gerente encuentra
que a menos que el tiempo de producción se reduzca por lo menos en 8%, no vale la pena introducir la nueva máquina.
Seis experimentos resultantes mostraron que el tiempo de producción se redujo en 8.4% con una desviación estándar de
0.32%. Usando como niveles de significancia: a) 0.01 y b) 0.05, probar la hipótesis de que debe introducirse la nueva
máquina.
11.33 Empleando una marca A de gasolina el rendimiento medio en millas por galón encontrado en cinco automóviles similares
bajo condiciones idénticas es 22.6 y la desviación estándar es 0.48. Empleando la marca B, el rendimiento medio es 21.4 y
la desviación estándar es 0.54. Usando el nivel de significancia 0.05, investigar si la marca A da realmente un mejor rendimiento
que la marca B.
292 CAPÍTULO 11 TEORÍA DE LAS MUESTRAS PEQUEÑAS
11.34 Se prueba el pH (grado de acidez de una solución) de dos soluciones químicas, A y B. En seis muestras de A la media en el
pH es 7.2 y la desviación estándar es 0.024. En cinco muestras de la solución B la media en el pH es 7.49 y la desviación
estándar es 0.032. Al nivel de significancia 0.05, determinar si el pH de estos dos tipos de soluciones es diferente.
11.35 En un examen de psicología, la media de las calificaciones de los 12 estudiantes de un grupo es 78 y la desviación estándar
es 6; la media de las calificaciones de los 15 estudiantes de otro grupo es 74 y la desviación estándar es 8. Empleando el
nivel de significancia 0.05, determinar si el primer grupo es mejor que el segundo grupo.
LA DISTRIBUCIÓN JI CUADRADA
11.36 En el apéndice IV, en la distribución ji cuadrada para 12 grados de libertad, hallar el valor de 2 c tal que: a) el área a la
derecha de 2 c sea 0.05, b) el área a la izquierda de 2 c sea 0.99, c) el área a la derecha de 2 c sea 0.025 y d ) resolver los
incisos del a) al c) empleando EXCEL.
11.37 Hallar los valores críticos de χ 2 para los cuales el área en la cola derecha de la distribución es 0.05, siendo el número de
grados de libertad, ν, igual a: a) 8, b) 19, c) 29 y d ) 40.
11.38 Resolver el problema 11.37 si el área en la cola derecha es 0.01.
11.39 a) Encontrar 2 1 y 2 2 tales que el área bajo la distribución χ 2 para ν = 20 entre 2 1 y 2 2 sea 0.95, suponiendo áreas iguales
a la derecha de 2 2 y a la izquierda de 2 1.
b) Mostrar que si en a) no se hace la suposición de áreas iguales, los valores 2 1 y 2 2 no son únicos.
11.40 Si una variable U tiene la distribución ji cuadrada con ν = 7, encontrar 2 1 y 2 2 tales que: a) PrfU > 2 2g¼0:025,
b) PrfU < 2 1g¼0:50 y c) Prf 2 1 U 2 2g¼0:90.
11.41 La desviación estándar encontrada en la duración de 10 bombillas eléctricas producidas por una empresa es 120 h. Encontrar
los límites de confianza de: a) 95% y b) 99% para la desviación estándar de todas las bombillas eléctricas fabricadas por la
empresa.
11.42 Resolver el problema 11.41 si se tienen 25 bombillas eléctricas en las que la desviación estándar es 120 h.
11.43 Encontrar: a) 2 :05 y b) 2 :95 para ν = 150 empleando 2 p ¼ 1 2 ðz p
p þ ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
2 1Þ y c) comparar estos resultados con los que se
obtienen usando EXCEL.
11.44 Encontrar: a) 2 :025 y b) 2 :975 para ν = 250 empleando 2 p ¼ 1 2 ðz p
p þ ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
2 1Þ y c) comparar estos resultados con los que
se obtienen usando EXCEL.
11.45
pffiffiffiffiffi
Mostrar que si se tienen valores grandes de ν, una buena aproximación a χ 2 es la dada por ðv þ z p 2 Þ, donde zp es el
percentil p de la distribución normal estándar.
11.46 Resolver el problema 11.39 usando la distribución χ 2 si en una muestra de 100 bombillas eléctricas se encuentra la misma
desviación estándar de 120 h. Comparar los resultados con los obtenidos con los métodos del capítulo 9.
11.47 En el problema 11.44, ¿cuál es el intervalo de confianza de 95% que tiene la menor amplitud?
PROBLEMAS SUPLEMENTARIOS 293
11.48 La desviación estándar en la resistencia a la ruptura de determinados cables producidos por una empresa es de 240 libras
(lb). Después de que se introdujo una modificación en el proceso de fabricación de estos cables, en una muestra de ocho
cables la desviación estándar encontrada fue 300 lb. Investigar la significancia del aparente aumento de variabilidad a los
niveles de significancia: a) 0.05 y b) 0.01.
11.49 La desviación estándar de la temperatura anual de una ciudad durante 100 años fue de 16 Fahrenheit. Usando la temperatura
media del día 15 de cada mes durante los últimos 15 años, la desviación estándar calculada de la temperatura anual fue
de 10 Fahrenheit. Probar la hipótesis de que la temperatura en la ciudad se volvió menos variable que en el pasado, usando
los niveles de significancia de: a) 0.05 y b) 0.01.
LA DISTRIBUCIÓN F
11.50 Empleando los apéndices V y VI, encontrar los valores de F que se piden en los incisos del a) al d ).
a) F 0.95 para V 1 = 8 y V 2 = 10.
b) F 0.99 para V 1 = 24 y V 2 = 11.
c) F 0.85 para N 1 = 16 y N 2 = 25.
d ) F 0.90 para N 1 = 21 y N 2 = 23.
11.51 Resolver el problema 11.50 usando EXCEL.
11.52 De poblaciones distribuidas normalmente cuyas varianzas son 40 y 60 se toman dos muestras de tamaños 10 y 15, respectivamente.
Si las varianzas muestrales son 90 y 50, determinar si la varianza de la muestra 1 es significativamente mayor
que la de la muestra 2 a los niveles de: a) 0.05 y b) 0.01.
11.53 Dos empresas, A y B, fabrican bombillas eléctricas. Los tiempos de vida de estas bombillas están distribuidos casi en forma
normal y sus desviaciones estándar son 20 y 27 h, respectivamente. Si se toman 16 bombillas de la empresa A y 20 bombillas
de la empresa B y se determina que las desviaciones estándar de sus tiempos de vida corresponden a 15 y 40 h, ¿puede
determinarse, a los niveles de significancia: a) 0.05 y b) 0.01, que la variabilidad en las bombillas de A es mayor que la
variabilidad en las bombillas de B?
LA PRUEBA
JI CUADRADA
12
FRECUENCIAS OBSERVADAS Y FRECUENCIAS TEÓRICAS
Como se ha visto, los resultados obtenidos de las muestras no siempre coinciden exactamente con los resultados teóricos
esperados según las reglas de la probabilidad. Por ejemplo, aunque de acuerdo con las consideraciones teóricas
en 100 lanzamientos de una moneda se esperarían 50 caras y 50 cruces, es raro que se obtengan exactamente estos
resultados.
Supóngase que en una muestra determinada se observa la ocurrencia de un conjunto de eventos E 1 , E 2 , E 3 , . . . , E k
(ver tabla 12.1) con las frecuencias o 1 , o 2 , o 3 , . . . , o k , llamadas frecuencias observadas y que, según las reglas de la
probabilidad, se esperaría que estos eventos ocurrieran con frecuencias e 1 , e 2 , e 3 , . . . , e k , llamadas frecuencias esperadas
o teóricas. Se desea saber si las frecuencias observadas difieren, de manera significativa, de las frecuencias esperadas.
Tabla 12.1
Eventos E 1 E 2 E 3
. . . E k
Frecuencias observadas o 1 o 2 o 3
. . . o k
Frecuencias esperadas e 1 e 2 e 3
. . . e k
DEFINICIÓN DE 2
Una medida de la discrepancia entre las frecuencias observadas y las frecuencias esperadas la proporciona el estadístico
χ 2 (léase ji cuadrada) dado por
Donde, si la frecuencia total es N,
2 ¼ ðo 1 e 1 Þ 2
þ ðo 2 e 2 Þ 2
þþ ðo k e k Þ 2
e 1 e 2
Una expresión equivalente a la fórmula (1) es (ver problema 12.11)
e k
¼ Xk
j¼1
ðo j e j Þ 2
(1)
e j
P
oj ¼ P e j ¼ N (2)
2 ¼ P o2 j
e j
N (3)
Si χ 2 = 0, las frecuencias observadas y las frecuencias teóricas coinciden exactamente; en tanto que si χ 2 > 0, la
coincidencia no es exacta. Cuanto mayor sea el valor de χ 2 , mayor la discrepancia entre frecuencias observadas y
frecuencias esperadas.
294
LA PRUEBA JI CUADRADA DE BONDAD DE AJUSTE 295
La distribución muestral de χ 2 se puede aproximar con bastante exactitud mediante la distribución ji cuadrada
Y ¼ Y 0 ð 2 Þ 1=2ð 2Þ e 1=22 ¼ Y 0 2 e 1=22 (4)
(vista en el capítulo 11) si las frecuencias esperadas son mayores o iguales a 5. La aproximación mejora cuanto mayores
sean estos valores.
El número de grados de libertad, ν, es
1. ν = k − 1 si las frecuencias esperadas pueden calcularse sin tener que estimar parámetros poblacionales a partir de
estadísticos muestrales. Obsérvese que a k se le resta 1 debido a la condición restrictiva (2), que establece que conociendo
k − 1 de las frecuencias esperadas, queda determinada la frecuencia restante.
2. ν = k − 1 − m si las frecuencias esperadas sólo pueden calcularse estimando m parámetros poblacionales a partir
de estadísticos muestrales.
PRUEBAS DE SIGNIFICANCIA
En la práctica, las frecuencias esperadas se calculan basándose en la hipótesis H 0 . Si de acuerdo con esta hipótesis el
valor calculado para χ 2 , mediante las ecuaciones (1) o (3) es mayor a algún valor crítico (por ejemplo, 2 :95 o 2 :99, que
son los valores críticos para los niveles de significancia 0.05 y 0.01, respectivamente), se concluye que las frecuencias
observadas difieren en forma significativa de las frecuencias esperadas y se rechaza H 0 al correspondiente nivel de
significancia; si no es así, se acepta H 0 (o por lo menos no se rechaza). A este procedimiento se le conoce como prueba
ji cuadrada de hipótesis o de significancia.
Es necesario notar que hay que tener desconfianza de aquellas circunstancias en las que χ 2 tenga un valor demasiado
cercano a cero, pues es raro que exista una coincidencia tan buena entre las frecuencias observadas y las frecuencias
esperadas. Para examinar tales situaciones se determina si el valor obtenido para χ 2 es menor a 2 :05 o a 2 :01,
en cuyo caso se decide que a los niveles de significancia 0.05 o 0.01, respectivamente, la coincidencia es demasiado
buena.
LA PRUEBA JI CUADRADA DE BONDAD DE AJUSTE
La prueba chi cuadrada puede emplearse para determinar qué tan bien se ajustan una distribución teórica (por ejemplo,
la distribución normal o la distribución binomial) a una distribución empírica (es decir, a una distribución obtenida a
partir de datos muestrales). Ver los problemas 12.12 y 12.13.
EJEMPLO 1 Un par de dados se lanzan 500 veces y las sumas de las caras que caen hacia arriba son las que se muestran en la
tabla 12.2.
Tabla 12.2
Suma 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Observada 15 35 49 58 65 76 72 60 35 29 6
Los números esperados, si el dado no está cargado, se determinan a partir de la distribución de x y son los que se muestran
en la tabla 12.3.
Tabla 12.3
x 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
p(x) 1/36 2/36 3/36 4/36 5/36 6/36 5/36 4/36 3/36 2/36 1/36
En la tabla 12.4 se presentan las frecuencias observadas y las frecuencias esperadas.
Tabla 12.4
Observada 15 35 49 58 65 76 72 60 35 29 6
Esperada 13.9 27.8 41.7 55.6 69.5 83.4 69.5 55.6 41.7 27.8 13.9
296 CAPÍTULO 12 LA PRUEBA JI CUADRADA
Si en las celdas B1:L2 de una hoja de cálculo de EXCEL se introducen las frecuencias observadas y las frecuencias
esperadas, en la celda B4 se introduce la expresión =(B1-B2)^2/B2, se hace clic y se arrastra desde B4 hasta L4 y las cantidades
en B4:L4 se suman, se obtiene 10.34 como el valor de 2 ¼ P j ððo j e j Þ 2 =e j Þ.
El valor p que corresponde a 10.34 se obtiene mediante la expresión de EXCEL =CHIDIST(10.34,10). Este valor p es
0.411 y dado que es grande, no hay razón para pensar que el dado esté cargado.
TABLAS DE CONTINGENCIA
A tablas como la 12.1 en las que las frecuencias observadas ocupan un solo renglón se les llama tablas de clasificación
en un solo sentido. Como el número de columnas es k, se les llama también tablas 1 × k (que se lee “1 por k”). Por
extensión de estas ideas, se obtienen tablas de clasificación en dos sentidos, o tablas h × k, en las que las frecuencias
observadas ocupan h renglones y k columnas. A estas tablas se les suele llamar tablas de contingencia.
En una tabla de contingencia h × k, para cada frecuencia observada hay una frecuencia esperada (o teórica), que
se calcula basándose en alguna hipótesis y sujetándose a las reglas de probabilidad. A las frecuencias que ocupan las
celdas de una tabla de contingencia se les llama frecuencias de celda. Al total de las frecuencias de un renglón o de
una columna se le llama frecuencia marginal.
Para investigar el grado de coincidencia entre las frecuencias observadas y las frecuencias esperadas se calcula el
estadístico
2 ¼ X j
ðo j e j Þ 2
(5)
e j
donde la suma se realiza sobre todas las celdas de la tabla de contingencia y donde los símbolos o j y e j representan
frecuencias, observada y esperada, en la celda j. Esta suma, que es análoga a la de la ecuación (1), contiene hk términos.
La suma de todas las frecuencias observadas, que se denota N, es igual a la suma de todas las frecuencias esperadas
[ver la ecuación (2)].
Como antes, el estadístico (5) tiene una distribución muestral que está dada, con una aproximación muy buena, por
(4), siempre y cuando las frecuencias esperadas no sean demasiado pequeñas. El número de grados de libertad, ν, de
esta distribución ji cuadrada es, para h > 1 y k > 1,
1. ν = (h − 1)(k − 1) si las frecuencias esperadas pueden calcularse sin necesidad de estimar parámetros poblacionales
mediante estadísticos muestrales. Una demostración de esto se da en el problema 12.18.
2. ν = (h − 1)(k − 1) − m si las frecuencias esperadas sólo pueden calcularse estimando m parámetros poblacionales
mediante estadísticos muestrales.
Las pruebas de significancia para tablas h × k son similares a las pruebas de significancia para tablas 1 × k. Las
frecuencias esperadas se establecen basándose en la hipótesis H 0 de que se trate; una de las hipótesis más empleadas
es que las dos clasificaciones son independientes una de otra.
Las tablas de contingencia pueden extenderse a dimensiones mayores. Así, se pueden tener, por ejemplo, tablas
h × k × 1, en las que hay tres clasificaciones.
EJEMPLO 2 En la tabla 12.5 se presenta la manera en que las personas hacen sus declaraciones de impuestos y su nivel de
estudios. La hipótesis nula es que la manera en que las personas hacen sus declaraciones de impuestos (usando software o sólo lápiz
y papel) es independiente de su nivel de estudios. La tabla 12.5 es una tabla de contingencia.
Tabla 12.5
Nivel de estudios
Manera Preparatoria Licenciatura Maestría
Computadora
Papel y lápiz
23
45
35
30
42
25
Empleando MINITAB para analizar estos datos se obtienen los resultados siguientes.
FÓRMULAS SENCILLAS PARA CALCULAR 2 297
Prueba ji cuadrada: preparatoria, licenciatura, maestría
Los resultados esperados se muestran debajo de los observados
Las contribuciones de ji cuadrada se muestran debajo de los esperados
preparatoria licenciatura maestría Total
1 23 35 42 100
34.00 32.50 33.50
3.559 0.192 2.157
2 45 30 25 100
34.00 32.50 33.50
3.559 0.192 2.157
Total 68 65 67 200
Ji-Sq = 11.816, DF = 2, P-Value = 0.003
Debido a que el valor p es pequeño, se rechaza la hipótesis de independencia y se concluye que la manera en que
se hace la declaración de impuestos y el nivel de educación no son independientes.
CORRECCIÓN DE YATES POR CONTINUIDAD
Cuando a datos discretos se aplican fórmulas para datos continuos, como se ha visto en capítulos anteriores, es necesario
hacer una corrección por continuidad. Para el empleo de la distribución ji cuadrada hay una corrección similar.
Esta corrección consiste en reescribir la ecuación (1) de la manera siguiente:
χ 2 (corregida) ¼ ðjo 1 e 1 j 0:5Þ 2
þ ðjo 2 e 2 j 0:5Þ 2
þþ ðjo k e k j 0:5Þ 2
(6)
e 1 e 2 e k
y se le conoce como corrección de Yates. Para la ecuación (5) existe una modificación análoga.
En general, esta corrección sólo se hace cuando el número de grados de libertad es ν = 1. Cuando se tienen muestras
grandes, se obtiene prácticamente el mismo resultado que con χ 2 no corregida, pero cerca de los valores críticos
pueden surgir dificultades (ver el problema 12.8). Cuando se tienen muestras pequeñas, donde cada una de las frecuencias
esperadas está entre 5 y 10, quizá sea mejor comparar ambos valores de χ 2 , el corregido y el no corregido. Si
ambos valores conducen a la misma conclusión respecto a la hipótesis, por ejemplo al rechazo al nivel 0.05, es raro
que se encuentren dificultades. Si ambos valores conducen a conclusiones diferentes se puede recurrir a aumentar el
tamaño de la muestra, o si esto no es posible se pueden usar métodos de probabilidad en los que se emplee la distribución
multinomial del capítulo 6.
FÓRMULAS SENCILLAS PARA CALCULAR 2
Para calcular χ 2 pueden deducirse fórmulas sencillas en las que únicamente se emplean las frecuencias esperadas.
A continuación se dan las fórmulas para tablas de contingencia 2 × 2 y 2 × 3 (ver las tablas 12.6 y 12.7, respectivamente).
Tablas 2 2
2 ¼
Nða 1 b 2 a 2 b 1 Þ 2
ða 1 þ b 1 Þða 2 þ b 2 Þða 1 þ a 2 Þðb 1 þ b 2 Þ ¼ N 2
(7)
N 1 N 2 N A N B
298 CAPÍTULO 12 LA PRUEBA JI CUADRADA
Tabla 12.6
I II Total
A a 1 a 2 N A
B b 1 b 2 N B
Total N 1 N 2 N
Tabla 12.7
I II III Total
A a 1 a 2 a 3 N A
B b 1 b 2 b 3 N B
Total N 1 N 2 N 3 N
donde ∆ = a 1 b 2 − a 2 b 1 , N = a 1 + a 2 + b 1 + b 2 , N 1 = a 1 + b 1 , N 2 = a 2 + b 2 , + b 2 , N A = a 1 + a 2 y N B = b 1 + b 2 (ver
problema 12.19). Empleando la corrección de Yates, esta ecuación se convierte en
1
χ 2 Nðja 1 b 2 a 2 b 1 j
(corregida) ¼
2
NÞ 2
ða 1 þ b 1 Þða 2 þ b 2 Þða 1 þ a 2 Þðb 1 þ b 2 Þ ¼ Nðjj 1
2
NÞ 2
(8)
N 1 N 2 N A N B
Tablas 2 3
" #
2 ¼ N N A
a 2 1
N 1
þ a2 2
N 2
þ a2 3
N 3
" #
þ N N B
b 2 1
N 1
þ b2 2
N 2
þ b2 3
N 3
N (9)
donde se ha empleado el resultado general válido para todas las tablas de contingencia (ver el problema 12.43):
2 ¼ P o2 j
e j
N (10)
La fórmula (9) puede generalizarse a tablas 2 × k donde k > 3 (ver el problema 12.46).
COEFICIENTE DE CONTINGENCIA
Una medida del grado de relación, asociación o dependencia entre las clasificaciones en una tabla de contingencia es
la dada por
sffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
2
C ¼
2 (11)
þ N
que se conoce como coeficiente de contingencia. Cuanto mayor sea el valor de C mayor será el grado de relación entre
las clasificaciones. El valor máximo de C está determinado por la cantidad de renglones y columnas de la tabla de
contingencia y este valor pnunca ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi es mayor a 1. Si k es la cantidad de renglones y columnas en una tabla de contingencia,
el valor máximo de C es ðk 1Þ=k (ver los problemas 12.22, 12.52 y 12.53).
EJEMPLO 3 Encontrar el coeficiente de contingencia correspondiente al ejemplo 2.
sffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
rffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
2 11:816
C ¼
2 ¼
¼ 0:236
þ N 11:816 þ 200
CORRELACIÓN DE ATRIBUTOS
Como las clasificaciones de una tabla de contingencia suelen describir características de personas u objetos, a estas
clasificaciones se les suele llamar atributos y a su grado de dependencia, asociación o relación se le llama correlación
de atributos. Para tablas k × k, el coeficiente de correlación entre atributos (o clasificaciones) se define como
sffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
2
r ¼
(12)
Nðk 1Þ
PROBLEMAS RESUELTOS 299
este coeficiente se encuentra entre 0 y 1 (ver el problema 12.24). En tablas 2 × 2 en las que k = 2, a la correlación se
le conoce como correlación tetracórica.
En el capítulo 14 se considera el problema general de la correlación entre variables numéricas.
PROPIEDAD ADITIVA DE 2
Supóngase que como resultado de la repetición de un experimento se obtienen los valores muestrales de χ 2 dados por
2 1, 2 2, 2 3, ... con ν 1 , ν 2 , ν 3 , . . . grados de libertad, respectivamente. Entonces el resultado de todos estos experimentos
puede considerarse equivalente al valor χ 2 dado por 2 1 þ 2 2 þ 2 3 þ con ν 1 + ν 2 + ν 3 + . . . grados de libertad (ver
el problema 12.25).
LA PRUEBA JI CUADRADA
PROBLEMAS RESUELTOS
12.1 En 200 lanzamientos de una moneda se obtienen 115 caras y 85 cruces. Pruebe la hipótesis de que la moneda
no está cargada a los niveles de significancia: a) 0.05 y b) 0.01, empleando el apéndice IV y c) pruebe esta
hipótesis calculando el valor p y comparándolo con los niveles 0.05 y 0.01.
SOLUCIÓN
Las frecuencias observadas de caras y cruces son o 1 = 115 y o 2 = 85, respectivamente, y las frecuencias esperadas de caras
y cruces (si la moneda no está cargada) son e 1 = 100 y e 2 = 100, respectivamente. Por lo tanto,
2 ¼ ðo 1 e 1 Þ 2
e 1
þ ðo 2 e 2 Þ 2
e 2
¼
ð115 100Þ2
þ ð85
100
100Þ2
100
¼ 4:50
Dado que el número de categorías, o clases (caras, cruces), es k = 2, ν = k − 1 = 2 − 1 = 1.
a) El valor crítico 2 :95 para 1 grado de libertad es 3.84. Por lo tanto, como 4.50 > 3.84, al nivel de significancia 0.05 se
rechaza la hipótesis de que la moneda no está cargada.
b) El valor crítico 2 :99 para 1 grado de libertad es 6.63. Por lo tanto, como 4.50 < 6.63, al nivel de significancia 0.01 no
se puede rechazar la hipótesis de que la moneda no está cargada.
Se concluye que los resultados encontrados tal vez sean significativos y que la moneda quizás esté cargada. Para
comparar este método con métodos usados antes, ver el problema 12.3.
Empleando EXCEL, el valor p se obtiene mediante =CHIDIST(4.5,1) que da como resultado 0.0339. Y empleando
el método del valor p se ve que los resultados son significativos a 0.05, pero no a 0.01. Cualquiera de estos métodos puede
emplearse para realizar la prueba.
12.2 Se repite el problema 12.1 empleando la corrección de Yates.
SOLUCIÓN
χ 2 (corregida) ¼ ðjo 1 e 1 j 0:5Þ 2
þ ðjo 2 e 2 j 0:5Þ 2 ðj115 100j 0:5Þ2 ðj85 100j 0:5Þ2
¼ þ
e 1 e 2 100
100
¼ ð14:5Þ2
100 þ ð14:5Þ2
100 ¼ 4:205
Como 4.205 > 3.84 y 4.205 < 6.63, las conclusiones a las que se llegó en el problema 12.1 son válidas. Para hacer una
comparación con los métodos anteriores, ver el problema 12.3.
300 CAPÍTULO 12 LA PRUEBA JI CUADRADA
12.3 Resolver el problema 12.1 empleando la aproximación normal a la distribución binomial.
SOLUCIÓN
De acuerdo con la hipótesis de que la moneda no está cargada, la media y la desviación
p
estándar de la cantidad de caras esperadas
en 200 lanzamientos de una moneda son µ = Np = (200)(0.5) = 100 y ¼
ffiffiffiffiffiffiffiffiffi p
Npq ¼
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
ð200Þð0:5Þð0:5Þ ¼ 7:07,
respectivamente.
Primer método
115 caras en unidades estándar ¼
115 100
7:07
¼ 2:12
Al nivel de significancia 0.05, empleando una prueba de dos colas, la hipótesis de que la moneda no está cargada se rechaza
si la puntuación z que se obtenga cae fuera del intervalo −1.96 a 1.96. Al nivel 0.01 el intervalo correspondiente es −2.58
a 2.58. Se concluye (como en el problema 12.1) que la hipótesis puede rechazarse al nivel 0.05, pero no al nivel 0.01.
Obsérvese que el cuadrado de la puntuación estándar anterior es (2.12) 2 = 4.50, que es igual al valor de χ 2 obtenido
en el problema 12.1. Éste es siempre el caso en una prueba ji cuadrada con dos categorías (ver problema 12.10).
Segundo método
Usando la corrección por continuidad 115 o más caras es equivalente a 114.5 o más caras. Entonces 114.5 en unidades
estándar = (114.5 − 100)/7.07 = 2.05. Esto conduce a la misma conclusión obtenida con el primer método.
Obsérvese que el cuadrado de la puntuación estándar es (2.05) 2 = 4.20, valor que coincide con el valor de χ 2 corregido
por continuidad empleando la corrección de Yates en el problema 12.2. Éste es siempre el caso en una prueba ji
cuadrada en la que haya dos categorías y se emplee la corrección de Yates.
12.4 En la tabla 12.8 se muestran las frecuencias observadas y las frecuencias esperadas al lanzar un dado 120
veces.
a) Pruebe la hipótesis de que el dado no está cargado calculando χ 2 y comparando el estadístico de prueba
encontrado con el valor crítico correspondiente al nivel de significancia 0.05.
b) Calcule el valor p y compárelo con 0.05 para probar la hipótesis.
Tabla 12.8
Cara del dado 1 2 3 4 5 6
Frecuencias observadas 25 17 15 23 24 16
Frecuencias esperadas 20 20 20 20 20 20
SOLUCIÓN
2 ¼ ðo 1 e 1 Þ 2
e 1
þ ðo 2 e 2 Þ 2
e 2
þ ðo 3 e 3 Þ 2
e 3
þ ðo 4 e 4 Þ 2
e 4
þ ðo 5 e 5 Þ 2
e 5
þ ðo 6 e 6 Þ 2
¼ ð25
20Þ2 þ ð17 20Þ2
20 20
þ ð15
20Þ2 þ ð23
20
20Þ2 þ ð24
20
20Þ2
20
e 6
þ ð16
20Þ2
20
¼ 5:00
a) Empleando EXCEL, el valor crítico correspondiente a 0.05 se obtiene mediante la expresión =CHIINV(0.05,5), que
da 11.0705. El valor encontrado para el estadístico de prueba es 5.00. Como el valor encontrado para el estadístico de
prueba no está en la región crítica 0.05, no se rechaza la hipótesis nula de que el dado no esté cargado.
b) Empleando EXCEL, el valor p se obtiene mediante la expresión =CHIDIST(5.00,5), que da 0.4159. Como el valor p
no es menor a 0.05, no se rechaza la hipótesis nula de que el dado no esté cargado.
PROBLEMAS RESUELTOS 301
12.5 En la tabla 12.9 se muestra la distribución de los dígitos 0, 1, 2, . . . , 9 en los 250 dígitos de una tabla de números
aleatorios. a) Encontrar el valor del estadístico de prueba χ 2 , b) encontrar el valor crítico correspondiente
a α = 0.01 y dar una conclusión y c) encontrar el valor p correspondiente al valor encontrado en el inciso a)
y dar una conclusión para α = 0.01.
Tabla 12.9
Dígito 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Frecuencias observadas 17 31 29 18 14 20 35 30 20 36
Frecuencias esperadas 25 25 25 25 25 25 25 25 25 25
SOLUCIÓN
a) 2 ¼
ð17 25Þ2
25
þ ð31
25Þ2 þ ð29
25
25Þ2 þ ð18
25
25Þ2
25
þþ ð36
25Þ2
25
¼ 23:3
b) El valor crítico correspondiente a 0.01 se obtiene mediante la expresión =CHIINV(0.01,9) y es 21.6660. Como el
valor obtenido para χ 2 es mayor a este valor, se rechaza la hipótesis de que estos números sean aleatorios.
c) Empleando EXCEL, el valor p se obtiene mediante la expresión =CHIDIST(23.3,9) y es 0.0056, que es menor a 0.01.
De manera que con la técnica del valor p se rechaza la hipótesis nula.
12.6 En un experimento empleando chícharos, Gregor Mendel observó que 315 eran redondos y amarillos, 108 eran
redondos y verdes, 101 eran deformes y amarillos, y 32 eran deformes y verdes. De acuerdo con su teoría sobre
la herencia, estas cantidades debían estar en la proporción 9:3:3:1. ¿Existe alguna evidencia que haga dudar de
su teoría a los niveles de significancia: a) 0.01 y b) 0.05?
SOLUCIÓN
La cantidad total de chícharos es 315 + 108 + 101 + 35 = 556. Como las cantidades esperadas están en la proporción
9:3:3:1 (y 9 + 3 + 3 + 1 = 16), se esperaría que hubiera
Por lo tanto, 2 ¼
9
16 (556) =312.75 redondos y amarillos 3
16
(556) =104.25 deformes y amarillos
3
16 (556) =104.25 redondos y verdes 1
16
(556) =34.75 deformes y verdes
ð315 312:75Þ2 ð108 104:25Þ2 ð101 104:25Þ2 ð32 34:75Þ2
þ þ þ ¼ 0:470
312:75
104:25
104:25 34:75
Dado que hay cuatro categorías, k = 4 y el número de grados de libertad es ν = 4 − 1 = 3.
a) Para = 3,
2
.99 = 11.3; por lo tanto, al nivel 0.01 no puede rechazarse su teoría.
b) Para = 3,
2
.95 = 7.81; por lo tanto, al nivel 0.05 no puede rechazarse su teoría.
Se concluye que sí hay coincidencia entre la teoría y la experimentación.
Obsérvese que para 3 grados de libertad 2 :05 = 0.352 y χ 2 = 0.470 > 0.352. Por lo tanto, aunque la coincidencia sea
buena, el resultado obtenido está sujeto a una cantidad razonable de error muestral.
12.7 En una urna hay una cantidad grande de canicas de cuatro colores: rojas, anaranjadas, amarillas y verdes. En
una muestra de 12 canicas, tomada de la urna en forma aleatoria, se encuentran 2 canicas rojas, 4 canicas anaranjadas,
4 canicas amarillas y 1 canica verde. Probar la hipótesis de que en la urna las canicas de los distintos
colores están en la misma proporción.
SOLUCIÓN
Bajo la hipótesis de que en la urna hay la misma proporción de canicas de cada color, se esperaría que en una muestra de
12 canicas hubiera 3 de cada color. Como las cantidades esperadas son menores a 5, la aproximación ji cuadrada será
errónea. Para evitar esto se fusionan categorías de manera que el tamaño de cada categoría sea por lo menos 5.
302 CAPÍTULO 12 LA PRUEBA JI CUADRADA
Si se desea rechazar la hipótesis habrá que combinar las categorías de manera que la evidencia contra la hipótesis
sea la mejor posible. En tal caso, esto se logra formando las categorías “rojas o verdes” y “anaranjadas o amarillas”, con lo
cual las muestras serán de 3 y 9 canicas, respectivamente. Como la cantidad esperada en cada categoría, de acuerdo con la
hipótesis de proporciones iguales, es 6, se tiene
2 ¼ ð3
6Þ2 þ ð9
6
Para ν = 2 − 1 = 1, 2 :95 = 3.84. Por lo tanto, al nivel de significancia 0.05 no se puede rechazar la hipótesis (aunque
sí al nivel de significancia 0.10). Por supuesto que los resultados obtenidos pueden deberse únicamente a la casualidad aun
cuando los distintos colores estén en la misma proporción.
Otro método
Empleando la corrección de Yates, se encuentra
2 ¼
6Þ2
6
ðj3 6j 0:5Þ2 ðj9 6j 0:5Þ2
þ
6
6
¼ 3
¼ ð2:5Þ2 þ ð2:5Þ2 ¼ 2:1
6 6
lo que conduce a la misma conclusión obtenida antes. Esto era de esperarse, ya que la corrección de Yates siempre reduce
el valor de χ 2 .
Nótese que empleando la aproximación χ 2 , aun cuando las frecuencias son demasiado pequeñas, se obtiene
2 ¼ ð2
3Þ2 þ ð5
3
3Þ2 þ ð4
3
3Þ2 þ ð1
3
3Þ2
3
¼ 3:33
Como ν = 4 − 1 = 3, 2 :95 = 7.81 y se llega a la misma conclusión que antes. Infortunadamente, cuando las frecuencias
son pequeñas, la aproximación χ 2 es pobre; por lo tanto, cuando no sea recomendable combinar frecuencias hay que recurrir
a los métodos exactos de probabilidad del capítulo 6.
12.8 En 360 lanzamientos de un par de dados se obtuvo 74 veces un 7 y 24 veces un 11. Empleando como nivel de
significancia 0.05 pruebe la hipótesis de que el dado no está cargado.
SOLUCIÓN
Un par de dados pueden caer de 36 maneras. El número once se puede obtener de 6 maneras y el número siete de 2 maneras.
Entonces Pr{siete} ¼ 6
36 ¼ 1 6 y Pr{once} ¼ 2
36 ¼ 1
18 . Por lo tanto, en 360 lanzamientos se esperan 1 6
ð360Þ ¼60 sietes y
1
18 ð360Þ ¼20 onces, de manera que 2 ¼
ð74 60Þ2
þ ð24 20Þ2
60 20
¼ 4:07
Para ν = 2 − 1 = 1, 2 :95 = 3.84. Por lo tanto, como 4.07 > 3.84, se estará inclinado a rechazar la hipótesis de que
el dado no está cargado. Sin embargo, empleando la corrección de Yates se encuentra
χ 2 (corregida) ¼
ðj74 60j 0:5Þ2
60
ðj24 20j 0:5Þ2
þ
20
¼ ð13:5Þ2 þ ð3:5Þ2 ¼ 3:65
60 20
Así, de acuerdo con el valor de χ 2 corregida, no se puede rechazar la hipótesis al nivel 0.05.
En general, con muestras grandes como las que se tienen en este caso, los resultados empleando la corrección de
Yates son más confiables que sin usar la corrección de Yates. Sin embargo, como aun el valor corregido de χ 2 está tan
cercano al valor crítico, se estará indeciso para tomar una decisión en un sentido o en otro. En tales casos, quizá lo mejor
sea aumentar el tamaño de la muestra si, por alguna razón, se está especialmente interesado en el nivel 0.05; si no es así, se
puede rechazar la hipótesis a algún otro nivel (por ejemplo, al nivel 0.10) si esto es satisfactorio.
12.9 Se estudian 320 familias de 5 hijos cada una y se encuentra la distribución que se muestra en la tabla 12.10.
¿Este resultado es consistente con la hipótesis de que el nacimiento de un hombre o de una mujer es igualmente
probable?
PROBLEMAS RESUELTOS 303
Cantidad de niños
y niñas
5 niños
0 niñas
4 niños
1 niña
Tabla 12.10
3 niños
2 niñas
2 niños
3 niñas
1 niño
4 niñas
0 niños
5 niñas Total
Cantidad de familias 18 56 110 88 40 8 320
SOLUCIÓN
Sea p = probabilidad de que nazca un hombre y q = 1 − p = probabilidad de que nazca una mujer. Entonces las probabilidades
de (5 niños), (4 niños y 1 niña), . . . , (5 niñas) están dadas por los términos de la expansión binomial
Si p ¼ q ¼ 1 2
, se tiene
ð p þ qÞ 5 ¼ p 5 þ 5p 4 q þ 10p 3 q 2 þ 10p 2 q 3 þ 5pq 4 þ q 5
Pr{5 niños y 0 niñas} =( 1 2 )5 = 1
32
Pr{2 niños y 3 niñas} = 10( 1 2 )2 ( 1 2 )3 = 10
32
Pr{4 niños y 1 niña} = 5( 1 2 )4 ( 1 2 )= 5 32
Pr{1 niño y 4 niñas} = 5( 1 2 )(1 2 )4 = 5
32
Pr{3 niños y 2 niñas} = 10( 1 2 )3 ( 1 2 )2 = 10
32
Pr{0 niños y 5 niñas} =( 1 2 )5 = 1 32
Por lo que las cantidades esperadas de familias con 5, 4, 3, 2, 1 y 0 niños se obtienen multiplicando las probabilidades
anteriores por 320, y los resultados son 10, 50, 100, 100, 50 y 10, respectivamente. Por lo tanto,
2 ¼ ð18
10Þ2
10
þ ð56
50Þ2
50
þ ð110 100Þ2 þ ð88
100
100Þ2
100
þ ð40
50Þ2 þ ð8
50
10Þ2
10
¼ 12:0
Como 2 :95 = 11.1 y 2 :99 = 15.1 para ν = 6 − 1 = 5 grados de libertad, la hipótesis nula puede rechazarse al nivel
de significancia 0.05, pero no al nivel de significancia 0.01. De manera que se concluye que los resultados tal vez sean
significativos y que el nacimiento de hombres y mujeres no es igualmente probable.
12.10 En 500 personas estudiadas se encontró que la semana pasada 155 de ellas habían rentado por lo menos un
video. Empleando una prueba de dos colas y α = 0.05, probar la hipótesis de que la semana pasada el 25% de
la población rentó por lo menos un video. Realizar la prueba empleando tanto la distribución normal estándar
como la distribución ji cuadrada. Mostrar que la prueba ji cuadrada con sólo dos categorías es equivalente a la
prueba de significancia para proporciones dada en el capítulo 10.
SOLUCIÓN
p
Si la hipótesis nula es verdadera, entonces µ = Np = 500(0.25) = 125 y ¼
ffiffiffiffiffiffiffiffiffi p
Npq ¼
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
500ð0:25Þð0:75Þ ¼ 9:68. El
estadístico de prueba calculado es Z = (155 − 125)/9.68 = 3.10. Los valores críticos son ±1.96, por lo que la hipótesis
nula se rechaza.
La solución empleando la distribución ji cuadrada se halla empleando los resultados que se muestran en la tabla
12.11.
Tabla 12.11
Frecuencias Rentaron videos No rentaron videos Total
Observadas 155 345 500
Esperadas 125 375 500
El estadístico ji cuadrada calculado se obtiene como sigue:
2 ¼ ð155 125Þ2 þ ð345 375Þ2 ¼ 9:6
125
375
El valor crítico para un grado de libertad es 3.84, por lo que se rechazó la hipótesis nula. Obsérvese que (3.10) 2 =
9.6 y que (±1.96) 2 = 3.84, o sea Z 2 = χ 2 . Los dos procedimientos son equivalentes.
304 CAPÍTULO 12 LA PRUEBA JI CUADRADA
12.11 a) Probar que la fórmula (1) de este capítulo puede escribirse como
2 ¼ P o2 j
e j
N
b) Utilizar el resultado de a) para comprobar el valor de χ 2 calculado en el problema 12.6.
SOLUCIÓN
a) Por definición
2 ¼ P ðo j e j Þ 2
¼ P !
o2 j 2o j e j þ e 2 j
e j e j
¼ P o2 j
e j
2 P o j þ P e j ¼ P o2 j
e j
2N þ N ¼ P o2 j
e j
N
donde se ha empleando la fórmula (2) de este capítulo.
b) 2 ¼ X o 2 j
e j
N ¼ ð315Þ2
312:75 þ ð108Þ2
104:25 þ ð101Þ2
104:25 þ ð32Þ2
34:75
556 ¼ 0:470
BONDAD DE AJUSTE
12.12 Un jugador de tenis se entrena jugando series de tres juegos; lleva un registro de los juegos perdidos y ganados
en estas series a lo largo del año. Su registro muestra que de 250 días, 25 días ganó 0 juegos, 75 días ganó 1
juego, 125 días ganó 2 juegos y 25 días ganó 3 juegos. Con α = 0.05, probar que X = cantidad de juegos
ganados, en las series de 3, está distribuida en forma binomial.
SOLUCIÓN
La cantidad media de juegos ganados en estas series de 3 juegos es (0 × 25 + 1 × 75 + 2 × 125 + 3 × 25)/250 = 1.6. Si
X es binomial, la media es np = 3p, lo cual igualándolo al estadístico 1.6 y despejando p permite encontrar que p = 0.53.
Se desea probar que X es binomial con n = 3 y p = 0.53. Si X es binomial con p = 0.53, su distribución y el número esperado
de juegos ganados son los que muestran los siguientes resultados de EXCEL. Obsérvese que las probabilidades binomiales
p(x) se encontraron ingresando =BINOMDIST(A2,3,0.53,0) y haciendo clic y arrastrando desde B2 hasta B5. De
esta manera se obtuvieron los valores que se muestran a continuación bajo p(x).
x p(x) Ganados esperados Ganados observados
0 0.103823 25.95575 25
1 0.351231 87.80775 75
2 0.396069 99.01725 125
3 0.148877 37.21925 25
La cantidad de juegos ganados esperados se encuentra multiplicando los valores de p(x) por 250.
2 ¼
ð25 30:0Þ2 ð75 87:8Þ2 ð125 99:0Þ2 ð25 37:2Þ2
þ þ þ ¼ 12:73:
30:0 87:8 99:0 37:2
Como la cantidad de parámetros necesarios para estimar las frecuencias esperadas es m = 1 (a saber, el parámetro p
de la distribución binomial), v = k − 1 − m = 4 − 1 − 1 = 2. El valor p se obtiene mediante la expresión de EXCEL
=CHIDIST(12.73,2) = 0.0017, por lo que se rechaza la hipótesis de que la variable X esté distribuida en forma binomial.
12.13 El número de horas por semana que 200 estudiantes universitarios usan Internet se ha agrupado en las clases
0 a 3, 4 a 7, 8 a 11, 12 a 15, 16 a 19, 20 a 23 y 24 a 27, cuyas frecuencias observadas son 12, 25, 36, 45, 34, 31
y 17. A partir de estos datos se obtiene la media y la desviación estándar de estos datos agrupados. La hipótesis
PROBLEMAS RESUELTOS 305
nula es que estos datos están distribuidos normalmente. De acuerdo con la media y con la desviación estándar
encontradas y suponiendo que la distribución sea normal, se obtienen las frecuencias esperadas que, redondeadas,
son las siguientes: 10, 30, 40, 50, 36, 28 y 6.
a) Encontrar χ 2 .
b) ¿Cuántos grados de libertad tiene χ 2 ?
c) Empleando EXCEL, encontrar el valor crítico del 5% y dar las conclusiones al 5%.
d ) Empleando EXCEL, hallar el valor p para el resultado.
SOLUCIÓN
a) En la figura 12-1 se muestra parte de la hoja de cálculo de EXCEL. En C2 se ingresa =(A2-B2)^2/B2, se hace clic y
se arrastra desde C2 hasta C8. En C9 se ingresa =SUM(C2:C8). Como se ve, χ 2 = 22.7325.
Figura 12-1 EXCEL, parte de la hoja de cálculo para el problema 12.13.
b) Como el número de parámetros empleados para estimar las frecuencias esperadas es m = 2 (comúnmente son la media
µ y la desviación estándar σ de una distribución normal), ν = k − 1 − m = 7 − 1 − 2 = 4. Obsérvese que no es
necesario combinar clases, ya que todas las frecuencias esperadas son mayores a 5.
c) El valor crítico de 5% se obtiene mediante =CHIINV(0.05,4) y es 9.4877. Como 22.73 es mayor al valor crítico, se
rechaza la hipótesis nula de que los datos provengan de una distribución normal.
d ) El valor p se encuentra mediante =CHIDIST(22.7325,4), que da valor p = 0.000143.
TABLAS DE CONTINGENCIA
12.14 Se repite el problema 10.20 usando, primero, la prueba ji cuadrada, y después MINITAB. Comparar las dos
soluciones.
SOLUCIÓN
En la tabla 12.12a) se presentan las condiciones del problema. Bajo la hipótesis nula de que el suero no tiene efecto alguno,
se esperaría que en cada grupo se recuperaran 70 personas y 30 no, como se muestra en la tabla 12.12b). Obsérvese que la
hipótesis nula es equivalente a afirmar que la recuperación es independiente del uso del suero (es decir, que las clasificaciones
son independientes).
Tabla 12.12a) Frecuencias observadas
Recuperados
No
recuperados Total
Grupo A (usan el suero) 75 25 100
Grupo B (no usan el suero) 65 35 100
Total 140 60 200
306 CAPÍTULO 12 LA PRUEBA JI CUADRADA
Tabla 12.12b) Frecuencias esperadas bajo H 0
Recuperados
No
recuperados
Total
Grupo A (usan el suero) 70 30 100
Grupo B (no usan el suero) 70 30 100
Total 140 60 200
2 ¼ ð75
70Þ2 þ ð65
70
70Þ2 þ ð25
70
30Þ2
30
þ ð35
30Þ2
30
¼ 2:38
Para determinar el número de grados de libertad, considérese la tabla 12.13, que es la misma tabla 12.12, excepto
que sólo muestra los totales. Es claro que en cualquiera de las cuatro celdas vacías sólo se tiene la libertad de colocar un
número, ya que una vez hecho esto los números de las celdas restantes quedan determinados de manera única por los totales
dados. Por lo tanto, hay 1 grado de libertad.
Recuperados
Tabla 12.13
No
recuperados
Total
Grupo A 100
Grupo B 100
Total 140 60 200
Otro método
Empleando la fórmula (ver problema 12.18), ν = (h − 1)(k − 1) = (2 − 1)(2 − 1) = 1. Como 2 :95 = 3.84 para 1 grado
de libertad y como χ 2 = 2.38 < 3.84, se concluye que los resultados no son significativos al nivel 0.05. Por lo tanto,
no se puede rechazar H 0 a este nivel, y se concluye que el suero no es efectivo o se aplaza la decisión hasta tener más
resultados.
Obsérvese que χ 2 = 2.38 es el cuadrado de la puntuación z, z = 1.54, que se obtuvo en el problema 10.20. En general,
la prueba ji cuadrada para proporciones muestrales en una tabla de contingencia 2 × 2 es equivalente a una prueba de
significancia para la diferencia entre proporciones usando la aproximación normal.
Nótese también que una prueba de una cola empleando χ 2 es equivalente a una prueba de dos colas empleando χ,
ya que, por ejemplo, χ 2 > 2 :95 corresponde a χ > χ .95 o χ < −χ .95 . Como en tablas 2 × 2 χ 2 es el cuadrado de la puntuación
z, se sigue que, en este caso, χ es igual a z. Por lo tanto, el rechazo de una hipótesis al nivel 0.05 empleando χ 2 es
equivalente al rechazo de una prueba de dos colas al nivel 0.10 empleando z.
Prueba ji cuadrada: recuperación, no recuperación
Los resultados esperados se muestran debajo de los observados
Las contribuciones de ji cuadrada se muestran debajo de los resultados esperados
Recuperación No recuperación Total
1 75 25 100
70.00 30.00
0.357 0.833
2 65 35 100
70.00 30.00
0.357 0.833
Total 140 60 200
Ji-Sq=2.381, DF=1, P-Value=0.123
PROBLEMAS RESUELTOS 307
12.15 Resolver el problema 12.14 empleando la corrección de Yates.
SOLUCIÓN
χ 2 (corregida) ¼
ðj75 70j 0:5Þ2 ðj65 70j 0:5Þ2 ðj25 30j 0:5Þ2 ðj35 30j 0:5Þ2
þ þ þ ¼ 1:93
70
70
30
30
Por lo tanto, las conclusiones a las que se llegó en el problema 12.14 son correctas. Esto era de suponer sabiendo que la
corrección de Yates siempre hace disminuir el valor de χ 2 .
12.16 Una empresa de teléfonos celulares realiza una encuesta para determinar la proporción de personas que tienen
teléfono celular en los distintos grupos de edad. En la tabla 12.14 se muestran los resultados obtenidos en 100
hogares. Probar la hipótesis de que en los diferentes grupos de edad, las proporciones de personas que tienen
teléfono celular son las mismas.
Tabla 12.14
Teléfono celular 18-24 25-54 55-64 ≥65 Total
Sí
No
Total
50
200
250
80
170
250
70
180
250
50
200
250
250
750
1 000
SOLUCIÓN
De acuerdo con la hipótesis de que la proporción de personas que tienen teléfono celular es la misma en los distintos grupos
de edad, 250/1 000 = 25% es una estimación del porcentaje de personas que tienen teléfono celular en cada grupo de edad
y 75% es una estimación del porcentaje de personas que no tienen teléfono celular en cada grupo de edad. En la tabla 12.15
se presentan las frecuencias esperadas en cada grupo de edad.
El valor del estadístico ji cuadrada se puede encontrar como se muestra en la tabla 12.16.
El número de grados de libertad para la distribución ji cuadrada es ν = (h − 1)(k − 1) = (2 − 1)(4 − 1) = 3. Como
2 :95 = 7.81, y 14.3 es mayor que 7.81, se rechaza la hipótesis nula y se concluye que los porcentajes en los cuatro grupos
de edad no son los mismos.
Tabla 12.15
Teléfono celular 18-24 25-54 55-64 ≥65 Total
Sí
No
Total
25% de 250 = 62.5
75% de
250 = 187.5
250
25% de 250 = 62.5
75% de
250 = 187.5
250
25% de 250 = 62.5
75% de
250 = 187.5
250
25% de 250 = 62.5
75% de
250 = 187.5
250
250
750
1 000
Tabla 12.16
Renglón, columna o e (o − e) (o − e) 2 (o − e) 2 /e
1, 1
1, 2
1, 3
1, 4
2, 1
2, 2
2, 3
2, 4
Suma
50
80
70
50
200
170
180
200
1 000
62.5
62.5
62.5
62.5
187.5
187.5
187.5
187.5
1 000
−12.5
17.5
7.5
−12.5
12.5
−17.5
−7.5
12.5
0
156.25
306.25
56.25
156.25
156.25
306.25
56.25
156.25
2.5
4.9
0.9
2.5
0.8
1.6
0.3
0.8
14.3
308 CAPÍTULO 12 LA PRUEBA JI CUADRADA
12.17 Utilizar MINITAB para resolver el problema 12.16.
SOLUCIÓN
A continuación se presenta la solución que da MINITAB al problema 12.16. Las cantidades observadas y esperadas se
presentan junto con los cálculos del estadístico de prueba. Obsérvese que la hipótesis nula se rechazará a cualquier nivel de
significancia mayor a 0.002.
Muestra de datos
Fila 18-24 25-54 55-64 65 o más
1 50 80 70 50
2 200 170 180 200
MTB > chisquare c1-c4
Prueba ji cuadrada
Los resultados esperados se muestran debajo de los observados
18-24 25-54 55-64 65 o más Total
1 50 80 70 50 250
62.50 62.50 62.50 62.50
2 200 170 180 200 750
187.50 187.50 187.50 187.50
Total 250 250 250 250 1 000
Ji-Sq= 2.500 + 4.900 + 0.900 + 2.500 +
0.833 + 1.633 + 0.300 + 0.833 = 14.400
DF = 3, P-Value = 0.002
12.18 Mostrar que en una tabla de contingencia de h × k, el número de grados de libertad es (h − 1)(k − 1), donde
h > 1 y k > 1.
SOLUCIÓN
En una tabla con h renglones y k columnas únicamente se puede dejar sin introducir un número en cada renglón y en cada
columna, ya que estos números se determinan conociendo los totales de cada columna y de cada renglón. Por lo tanto, sólo
se tiene la libertad de colocar (h − 1)(k − 1) números en la tabla, los números restantes quedan determinados automáticamente
y de manera única. Por lo tanto, el número de grados de libertad es (h − 1)(k − 1). Obsérvese que este resultado es
válido si se conocen los parámetros poblacionales necesarios para obtener las frecuencias esperadas.
12.19 a) Demostrar que para la tabla de contingencia 2 × 2 que se muestra en la tabla 12.17a),
2 ¼ Nða 1b 2 a 2 b 1 Þ 2
N 1 N 2 N A N B
b) Ilustrar el resultado de a) empleando los datos del problema 12.14.
Tabla 12.17a) Resultados observados
I II Total
A a 1 a 2 N A
B b 1 b 2 N B
Total N 1 N 2 N
Tabla 12.17b) Resultados esperados
I II Total
A N 1 N A /N N 2 N A /N N A
B N 1 N B /N N 2 N B /N N B
Total N 1 N 2 N
PROBLEMAS RESUELTOS 309
SOLUCIÓN
a) Como en el problema 12.14, los resultados esperados, basándose en la hipótesis nula, se presentan en la tabla 12.17b).
Entonces,
2 ¼ ða 1 N 1 N A =NÞ 2
þ ða 2 N 2 N A =NÞ 2
N 1 N A =N N 2 N A =N
þ ðb 1 N 1 N B =NÞ 2
þ ðb 2 N 2 N B =NÞ 2
N 1 N B =N N 2 N B =N
Pero a 1
N 1 N A
N ¼ a 1
ða 1 þ b 1 Þða 1 þ a 2 Þ
¼ a 1b 2 a 2 b 1
a 1 þ b 1 þ a 2 þ b 2 N
De manera similar a 2
N 2 N A
N
son también igual a
Por lo tanto, se puede escribir
N
y b 1 N B
1
N
a 1 b 2 a 2 b 1
N
y b 2
N 2 N B
N
2 ¼
N
a 1 b 2 a 2 b 2
1
þ N
a 1 b 2 a 2 b 2
1
N 1 N A N N 2 N A N
þ
N
a 1 b 2 a 2 b 2
1
þ N
a 1 b 2 a 2 b 2
1
N 1 N B N N 2 N B N
de donde, simplificando, se obtienen 2 ¼ Nða 1b 2 a 2 b 1 Þ 2
N 1 N 2 N A N B
b) En el problema 12.14, a 1 = 75, a 2 = 25, b 1 = 65, b 2 = 35, N 1 = 140, N 2 = 60, N A = 100, N B = 100 y N = 200; entonces,
como se obtuvo antes,
2 ¼ 200½ð75Þð35Þ ð25Þð65ÞŠ2 ¼ 2:38
ð140Þð60Þð100Þð100Þ
Empleando la corrección de Yates se llega al mismo resultado que en el problema 12.15:
χ 2 (corregida) ¼ Nðja 1
1b 2 a 2 b 1 j
2 NÞ2 200½jð75Þð35Þ ð25Þð65Þj 100Š2
¼ ¼ 1:93
N 1 N 2 N A N B ð140Þð60Þð100Þð100Þ
12.20 A 900 hombres y 900 mujeres se les preguntó si deseaban que hubiera más programas federales de ayuda para
el cuidado de los niños. Cuarenta por ciento de las mujeres y 36 por ciento de los hombres respondieron que
sí. Probar con α = 0.05 la hipótesis nula de estos porcentajes iguales contra la hipótesis alternativa de estos
porcentajes diferentes. Mostrar que la prueba ji cuadrada para dos proporciones muestrales es equivalente a la
prueba de significancia para diferencias empleando la aproximación normal del capítulo 10.
SOLUCIÓN
Bajo la hipótesis H 0 ,
sffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
1
P1 P 2
¼ 0 y P1 P 2
¼ pq þ 1 sffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
1
¼ ð0:38Þð0:62Þ
N 1 N 2
900 þ 1
¼ 0:0229
900
donde p se estima fusionando las proporciones de las dos muestras. Es decir,
p ¼
360 þ 324
¼ 0:38 y q = 1 − 0.38 = 0.62
900 þ 900
El estadístico de prueba para la aproximación normal es el siguiente:
Z ¼ P 1 P 2
P1 P 2
¼
0:40 0:36
¼ 1:7467
0:0229
310 CAPÍTULO 12 LA PRUEBA JI CUADRADA
El resultado que da MINITAB del análisis ji cuadrada es el siguiente:
Prueba ji cuadrada
Los resultados esperados se muestran debajo de los observados
males females Total
1 324 360 684
342.00 342.00
2 576 549 1 116
558.00 558.00
Total 900 900 1 800
Ji-Sq = 0.947 + 0.947 +
0.581 + 0.581 = 3.056
DF = 1, P-Value = 0.080
El cuadrado del estadístico de prueba normal es (1.7467) 2 = 3.056, que es el valor del estadístico ji cuadrada. Las dos
pruebas son equivalentes. Los valores p son siempre los mismos para las dos pruebas.
COEFICIENTE DE CONTINGENCIA
12.21 Encontrar el coeficiente de contingencia correspondiente a los datos de la tabla de contingencia del problema
12.14.
SOLUCIÓN
sffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
rffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
2 2:38 p
C ¼
2 ¼
¼
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
0:01176 ¼ 0:1084
þ N 2:38 þ 200
12.22 Encontrar el valor máximo de C correspondiente a la tabla 2 × 2 del problema 12.14.
SOLUCIÓN
El valor máximo de C se presenta cuando las dos clasificaciones son perfectamente dependientes o están muy bien relacionadas.
En ese caso, todos los que toman el suero sanan y todos los que no lo toman no sanan. La tabla de contingencia,
entonces, será como la tabla 12.18.
Tabla 12.18
Sanados
No
sanados
Total
Grupo A (usan el suero) 100 0 100
Grupo B (no usan el suero) 0 100 100
Total 100 100 200
Dado que las frecuencias de celda esperadas, suponiendo completa independencia, son todas igual a 50,
2 ¼ ð100 50Þ2 þ ð0
50
50Þ2 þ ð0
50
50Þ2
50
þ ð100 50Þ2 ¼ 200
50
pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
p
Por lo tanto, el máximo valor de C es 2 =ð 2 þ NÞ ¼
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
200=ð200 þ 200Þ ¼ 0:7071.
PROBLEMAS RESUELTOS 311
En general, para que exista dependencia perfecta en una tabla de contingencia en la que la cantidad de renglones
y de columnas son ambas igual a k, las únicas frecuencias de celda distintas de cero deben encontrarse en la diagonal que
va de la pesquina superior izquierda a la esquina inferior derecha de la tabla de contingencia. En tales casos,
C máx ¼
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
ðk 1Þ=k. (Ver los problemas 12.52 y 12.53.)
CORRELACIÓN DE ATRIBUTOS
12.23 Encontrar el coeficiente de correlación correspondiente a la tabla 12.12 del problema 12.14: a) sin corrección
de Yates y b) con corrección.
SOLUCIÓN
a) Como χ 2 = 2.28, N = 200 y k = 2, se tiene
sffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
rffiffiffiffiffiffiffiffiffi
2 2:38
r ¼
¼ ¼ 0:1091
Nðk 1Þ 200
lo que indica una correlación muy pequeña entre la recuperación de la salud y el uso del suero.
p
b) De acuerdo con el problema 12.15, r (corregida) ¼ ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
1:93=200 ¼ 0:0982.
12.24 Demostrar que el coeficiente de correlación para tablas de contingencia, definido por la ecuación (12) de este
capítulo, se encuentra entre 0 y 1.
SOLUCIÓN
pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
De acuerdo con el problema 12.53, el valor máximo de 2 =ð 2 þ NÞ es ðk 1Þ=k. Por lo tanto,
2
2 þ N k 1
k
2 ðk
1ÞN
Como χ 2 ≥ 0, r ≥ 0. Por lo tanto, 0 ≤ r ≤ 1, que es lo requerido.
k 2 ðk 1Þð 2 þ NÞ k 2 k 2 2 þ kN N
s
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
2
Nðk 1Þ 1 y r ¼ 2
Nðk 1Þ
1
PROPIEDAD ADITIVA DE 2
12.25 Para probar una hipótesis H 0 , se repite un experimento tres veces. Los valores que se obtienen para χ 2 son 2.37,
2.86 y 3.54, cada uno de los cuales corresponde a 1 grado de libertad. Mostrar que aunque no puede rechazarse
H 0 , al nivel 0.05, con base en ninguno de estos experimentos, sí puede rechazarse fusionando los tres experimentos.
SOLUCIÓN
El valor de χ 2 que se obtiene fusionando los resultados de los tres experimentos es, de acuerdo con la propiedad aditiva,
χ 2 = 2.37 + 2.86 + 3.54 = 8.77 con 1 + 1 + 1 = 3 grados de libertad. Como 2 :95 para 3 grados de libertad es 7.81, se
puede rechazar H 0 al nivel de significancia 0.05. Pero como para 1 grado de libertad 2 :95 = 3.84, basándose en cualquiera
de los tres experimentos, no se puede rechazar H 0 .
Cuando se fusionan experimentos en los que se han obtenido valores de χ 2 que corresponden a 1 grado de libertad,
se omite la corrección de Yates debido a que ésta tiende a sobrecorregir.
312 CAPÍTULO 12 LA PRUEBA JI CUADRADA
LA PRUEBA JI CUADRADA
PROBLEMAS SUPLEMENTARIOS
12.26 En 60 lanzamientos de una moneda se obtuvieron 37 caras y 23 cruces. Empleando como niveles de significancia: a) 0.05
y b) 0.01, probar la hipótesis de que la moneda no está cargada.
12.27 Resolver el problema 12.26 empleando la corrección de Yates.
12.28 Durante algún tiempo, las puntuaciones dadas a los alumnos por un grupo de profesores de determinada materia fueron, en
promedio: 12% Aes; 18% Bes; 40% Ces; 18% Des, y 12% Efes. Durante dos semestres, un profesor nuevo da 22 Aes, 34
Bes, 66 Ces, 16 Des y 12 Efes. Al nivel de significancia 0.05, determinar si el nuevo profesor sigue el patrón de calificaciones
establecido por los otros profesores.
12.29 Tres monedas se lanzan 240 veces anotando cada vez la cantidad de caras y de cruces que se obtienen. En la tabla 12.19 se
muestran los resultados junto con los resultados esperados bajo la hipótesis de que las monedas no están cargadas. Probar
esta hipótesis al nivel de significancia 0.05.
Tabla 12.19
0 caras 1 cara 2 caras 3 caras
Frecuencias observadas 24 108 95 23
Frecuencias esperadas 30 90 90 30
12.30 En la tabla 12.20 se muestra el número de libros prestados en una biblioteca pública a lo largo de determinada semana.
Probar la hipótesis de que el número de libros que se prestan no depende del día de la semana; usar los niveles de significancia:
a) 0.05 y b) 0.01.
Tabla 12.20
Lunes Martes Miércoles Jueves Viernes
Cantidad de libros
prestados 135 108 120 114 146
12.31 Una urna contiene 6 canicas rojas y 3 canicas blancas. Se sacan en forma aleatoria dos canicas de la urna, se anotan sus
colores y se devuelven a la urna. Este proceso se realiza 120 veces, los resultados obtenidos se presentan en la tabla
12.21.
a) Determinar las frecuencias esperadas.
b) Al nivel de significancia 0.05, determinar si los resultados obtenidos son consistentes con los resultados esperados.
Tabla 12.21
0 rojas
2 blancas
1 roja
1 blanca
2 rojas
0 blancas
Número de extracciones 6 53 61
12.32 Se toman en forma aleatoria 200 pernos de la producción de cada una de cuatro máquinas. La cantidad de pernos defectuosos
que se encuentran es 2, 9, 10 y 3. Empleando como nivel de significancia 0.05, determinar si hay una diferencia significativa
entre las máquinas.
PROBLEMAS SUPLEMENTARIOS 313
BONDAD DE AJUSTE
12.33 a) Emplear la prueba ji cuadrada para determinar la bondad de ajuste de los datos de la tabla 7.9 del problema 7.75.
b) ¿Es el ajuste “demasiado bueno”? Emplear el nivel de significancia 0.05.
12.34 Usar la prueba ji cuadrada para determinar la bondad de ajuste de los datos: a) de la tabla 3.8 del problema 3.59 y b) de la
tabla 3.10 del problema 3.61. Usar el nivel de significancia 0.05 y determinar, en cada caso, si el ajuste es “demasiado
bueno”.
12.35 Usar la prueba ji cuadrada para determinar la bondad de ajuste de los datos: a) de la tabla 7.9 del problema 7.75 y b) de la
tabla 7.12 del problema 7.80 ¿Es el resultado obtenido en a) consistente con el del problema 12.33?
TABLAS DE CONTINGENCIA
12.36 La tabla 12.22 muestra el resultado de un experimento para investigar el efecto que tiene la vacunación contra determinada
enfermedad en los animales de laboratorio. Empleando el nivel de significancia: a) 0.01 y b) 0.05, probar la hipótesis de
que no hay diferencia entre el grupo vacunado y el no vacunado (es decir, la vacunación y la enfermedad son independientes).
Tabla 12.22
Adquirieron la
enfermedad
No adquirieron la
enfermedad
Vacunados 9 42
No vacunados 17 28
Tabla 12.23
Aprobaron No aprobaron
Grupo A 72 17
Grupo B 64 23
12.37 Resolver el problema 12.36 empleando la corrección de Yates.
12.38 En la tabla 12.23 se presenta la cantidad de estudiantes de dos grupos, A y B, que aprobaron y que no aprobaron un examen
realizado a ambos grupos. Empleando el nivel de significancia: a) 0.05 y b) 0.01, probar la hipótesis de que no hay diferencia
entre los dos grupos. Resolver el problema con corrección de Yates y sin ella.
12.39 De un grupo de pacientes que se quejaba de no dormir bien, a algunos se les dieron unas pastillas para dormir, en tanto que
a otros se les dieron pastillas de azúcar (aunque todos pensaban que se les daban pastillas para dormir). Después se les
interrogó acerca de si las pastillas les habían ayudado a dormir o no. En la tabla 12.24 se muestran los resultados obtenidos.
Suponiendo que todos los pacientes digan la verdad, probar la hipótesis de que no hay diferencia entre las pastillas para
dormir y las pastillas de azúcar, empleando como nivel de significancia 0.05.
Tabla 12.24
Durmió
bien
No durmió
bien
Tomó pastillas para dormir 44 10
Tomó pastillas de azúcar 81 35
12.40 En relación con determinada propuesta de interés nacional, los votos de demócratas y republicanos son como se muestra
en la tabla 12.25. Al nivel de significancia: a) 0.01 y b) 0.05, probar la hipótesis de que, en lo referente a esta propuesta, no
hay diferencia entre los dos partidos.
314 CAPÍTULO 12 LA PRUEBA JI CUADRADA
Tabla 12.25
A favor En contra Indeciso
Demócratas 85 78 37
Republicanos 118 61 25
12.41 En la tabla 12.26 se muestra la relación que hay entre el desempeño de los estudiantes en matemáticas y en física. Probar
la hipótesis de que el desempeño en matemáticas es independiente del desempeño en física, empleando el nivel de significancia:
a) 0.05 y b) 0.01.
Tabla 12.26
Matemáticas
Física
Calificación
alta
Calificación
intermedia
Calificación
baja
Calificación alta 56 71 12
Calificación intermedia 47 163 38
Calificación baja 14 42 85
12.42 En la tabla 12.27 se muestran los resultados de una encuesta realizada con objeto de determinar si la edad de un conductor
de 21 años o más tiene alguna relación con la cantidad de accidentes automovilísticos en los que se ve implicado (incluyendo
accidentes menores). Al nivel de significancia: a) 0.05 y b) 0.01, probar la hipótesis de que la cantidad de accidentes
es independiente de la edad del conductor. ¿Cuáles pueden ser las fuentes de dificultad en la técnica de muestreo, así como
otras consideraciones, que puedan afectar los resultados?
Tabla 12.27
Edad del conductor
21-30 31-40 41-50 51-60 61-70
0 748 821 786 720 672
Número de
accidentes
1 74 60 51 66 50
2 31 25 22 16 15
>2 9 10 6 5 7
12.43 a) Probar que 2 ¼ P ð 2 j =e j Þ N para todas las tablas de contingencia, donde N es la frecuencia total de todas las
celdas.
b) Resolver el problema 12.41 empleando los resultados de a).
12.44 Si N i y N j denotan, respectivamente, la suma de las frecuencias en el renglón i y en la columna j de una tabla de contingencia
(las frecuencias marginales), demostrar que la frecuencia esperada en la celda del renglón i y la columna j es N i N j /N,
donde N es la frecuencia total de todas las celdas.
12.45 Probar la fórmula (9) de este capítulo. (Sugerencia: Utilizar los problemas 12.43 y 12.44.)
12.46 Extender la fórmula (9) de este capítulo a tablas de contingencia 2 × k, donde k > 3.
PROBLEMAS SUPLEMENTARIOS 315
12.47 Probar la fórmula (8) de este capítulo.
12.48 Por analogía con las ideas desarrolladas para tablas de contingencia h × k, analizar las tablas de contingencia h × k × 1,
indicando sus posibles aplicaciones.
COEFICIENTE DE CONTINGENCIA
12.49 En la tabla 12.28 se muestra la relación entre color de pelo y color de ojos encontrada en una muestra de 200 estudiantes.
a) Encontrar el coeficiente de contingencia sin corrección de Yates y con ella.
b) Comparar el resultado de a) con el coeficiente máximo de contingencia.
Tabla 12.28
Color de pelo
Color de ojos
Rubio No rubio
Azules 49 25
No azules 30 96
12.50 Encontrar el coeficiente de contingencia correspondiente a los datos: a) del problema 12.36 y b) del problema 12.38, con
corrección de Yates y sin ella.
12.51 Encontrar el coeficiente de contingencia correspondiente a los datos del problema 12.41.
qffiffi
12.52 Probar que el coeficiente máximo de contingencia de una tabla 3 × 3 es ¼ 0:8165, aproximadamente.
pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
12.53 Probar que el coeficiente máximo de contingencia de una tabla k × k es ðk 1Þ=k.
2
3
CORRELACIÓN DE ATRIBUTOS
12.54 Encontrar el coeficiente de correlación de los datos de la tabla 12.28.
12.55 Encontrar el coeficiente de correlación de los datos: a) de la tabla 12.22 y b) de la tabla 12.23, con corrección de Yates y
sin ella.
12.56 Encontrar el coeficiente de correlación entre las calificaciones de matemáticas y de física de la tabla 12.26.
12.57 Si C es pel ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
coeficiente de contingencia de una tabla k × k y r es el coeficiente de correlación correspondiente, probar que
r ¼ C= ð1 C 2 Þðk 1Þ.
PROPIEDAD ADITIVA DE 2
12.58 Para probar una hipótesis H 0 , se repite un experimento cinco veces. Los valores obtenidos para χ 2 , correspondiente cada
uno a 4 grados de libertad, son 8.3, 9.1, 8.9, 7.8 y 8.6. Mostrar que aunque al nivel de significancia 0.05 no se puede rechazar
H 0 con base en ninguno de los experimentos por separado, sí se puede rechazar a este nivel de significancia con base
en todos los experimentos juntos.
AJUSTE DE CURVAS
Y MÉTODO DE
MÍNIMOS
CUADRADOS
13
RELACIÓN ENTRE VARIABLES
Con frecuencia, en la práctica se encuentra que existen relaciones entre dos (o más) variables. Por ejemplo, el peso de
los hombres adultos depende de alguna manera de su estatura; la circunferencia de un círculo depende de su radio, y
la presión de una masa de gas depende de su temperatura y volumen.
Es útil expresar estas relaciones en forma matemática mediante una ecuación que conecte estas variables.
AJUSTE DE CURVAS
Para hallar una ecuación que relacione las variables, el primer paso es obtener datos que muestren los valores de las
variables que se están considerando. Por ejemplo, si X y Y denotan, respectivamente, la estatura y el peso de hombres
adultos, entonces en una muestra de N individuos se hallan las estaturas X 1 , X 2 , . . . , X N y los correspondientes pesos Y 1 ,
Y 2 , . . . , Y N .
El paso siguiente es graficar los puntos (X 1 , Y 1 ), (X 2 , Y 2 ), . . . , (X N , Y N ) en un sistema de coordenadas rectangulares.
Al conjunto de puntos obtenido se le llama diagrama de dispersión.
En el diagrama de dispersión es posible visualizar alguna curva cuya forma se aproxime a los datos. A esta curva
se le llama curva de aproximación. Por ejemplo, en la figura 13-1 los datos al parecer se aproximan adecuadamente
mediante una línea recta; entonces se dice que entre las variables existe una relación lineal. En cambio, en la figura
13-2, aunque existe una relación entre las variables, esta relación no es una relación lineal y por lo tanto se le llama
relación no lineal.
En general, al problema de hallar la ecuación de una curva de aproximación que se ajuste a un conjunto dado de
datos se le conoce como ajuste de curvas.
316
ECUACIONES DE CURVAS DE APROXIMACIÓN 317
Diagrama de dispersión de pesos contra estaturas
210
200
190
180
Peso
170
160
150
140
130
64 65 66 67 68 69 70 71 72 73
Estatura
Figura 13-1 Algunas veces la relación entre dos variables se describe mediante una línea recta.
50
Diagrama de dispersión de número presente contra tiempo
45
Número presente
40
35
30
25
20
15
0
2
4
6
8 10
Tiempo
Figura 13-2 Algunas veces la relación entre dos variables se describe mediante una relación no lineal.
ECUACIONES DE CURVAS DE APROXIMACIÓN
Como referencia, a continuación se presentan varios de los tipos más comunes de curvas de aproximación. Todas las
letras, excepto X y Y, representan constantes. A las variables X y Y se les llama variable independiente y variable
dependiente, respectivamente, aunque estos papeles pueden intercambiarse.
Línea recta Y ¼ a 0 þ a 1 X (1)
Parábola o curva cuadrática Y ¼ a 0 þ a 1 X þ a 2 X 2 (2)
Curva cúbica Y ¼ a 0 þ a 1 X þ a 2 X 2 þ a 3 X 3 (3)
Curva cuártica Y ¼ a 0 þ a 1 X þ a 2 X 2 þ a 3 X 3 þ a 4 X 4 (4)
Curva de grado n Y ¼ a 0 þ a 1 X þ a 2 X 2 þþa n X n (5)
318 CAPÍTULO 13 AJUSTE DE CURVAS Y MÉTODO DE MÍNIMOS CUADRADOS
En las ecuaciones anteriores, a las expresiones de los lados derechos se les conoce como polinomios de primero,
segundo, tercero, cuarto y n-ésimo grados, respectivamente. Las funciones definidas por las primeras cuatro ecuaciones
se llaman funciones lineales, cuadráticas, cúbicas y cuárticas, en ese orden.
Las siguientes son algunas de las muchas otras funciones que se emplean en la práctica:
Hipérbola
Y ¼
1
a 0 þ a 1 X o bien 1
Y ¼ a 0 þ a 1 X (6)
Curva exponencial Y = ab X o bien log Y = log a + (log b)X = a 0 + a 1 X (7)
Curva geométrica Y = aX b o bien log Y = log a + b(log X ) (8)
Curva exponencial modificada Y = ab X + g (9)
Curva geométrica modificada Y = aX b + g (10)
Curva de Gompertz Y = pq b X o bien log Y = log p + b X (log q) = ab X + g (11)
Curva de Gompertz modificada Y = pq b X + h (12)
Curva logística
Y ¼
1
ab X þ g
o bien
1
Y ¼ abX þ g (13)
Y ¼ a 0 þ a 1 ðlog XÞþa 2 ðlog XÞ 2 (14)
Para saber cuál de estas curvas emplear, es útil obtener el diagrama de dispersión de las variables transformadas.
Por ejemplo, si el diagrama de dispersión de log Y contra X muestra una relación lineal, la ecuación será de la forma
(7), en tanto que si log Y contra log X muestra una relación lineal, la ecuación será de la forma (8). Como ayuda para
saber qué tipo de curva utilizar suele emplearse papel especial para graficar. Al papel para graficar en el que una de
las escalas está calibrada logarítmicamente se le conoce como papel semilogarítmico, y al papel en el que las dos
escalas están calibradas de manera logarítmica se le conoce como papel logarítmico.
MÉTODO DE AJUSTE DE CURVAS A MANO
Para trazar una curva de aproximación que se ajuste a los datos puede emplearse el criterio personal. A este método se
le llama ajuste de curva a mano. Si se sabe cuál es el tipo de ecuación, las constantes de la ecuación se determinan
eligiendo tantos puntos de la curva como constantes tenga la ecuación. Por ejemplo, si la curva es una línea recta, se
necesitarán dos puntos; si es una parábola, se necesitarán tres puntos. Este método tiene la desventaja de que personas
distintas encontrarán curvas y ecuaciones distintas.
LA LÍNEA RECTA
El tipo más sencillo de curva de aproximación es una línea recta, cuya ecuación puede escribirse como
Y = a 0 + a 1 X (15)
Dados dos puntos cualesquiera (X 1 , Y 1 ) y (X 2 , Y 2 ) de la recta, se determinan las constantes a 0 y a 1 . La ecuación que se
obtiene es
Y Y 1 ¼ Y
2 Y 1
ðX X
X 2 X 1 Þ o bien Y Y 1 ¼ mðX X 1 Þ (16)
1
donde m ¼ Y 2 Y 1
X 2 X 1
es la pendiente de la recta y representa el cambio o variación en Y dividido por un cambio o variación correspondiente
en X.
LA RECTA DE MÍNIMOS CUADRADOS 319
En la ecuación escrita de la forma (15), la constante a 1 es la pendiente m. La constante a 0 , que es el valor de Y
cuando X = 0, se conoce como la intersección con el eje Y.
EL MÉTODO DE MÍNIMOS CUADRADOS
Para evitar el empleo del criterio personal para la construcción de rectas, parábolas u otras curvas de aproximación que
se ajusten a un conjunto de datos, es necesario ponerse de acuerdo en una definición de la “recta de mejor ajuste”, la
“parábola de mejor ajuste”, etcétera.
Con objeto de dar una definición, considérese la figura 13-3, en la que los datos son los puntos (X 1 , Y 1 ), (X 2 , Y 2 ), . . . ,
(X N , Y N ). Dado un valor de X, por ejemplo X 1 , entre el valor Y 1 y el valor correspondiente determinado de acuerdo con
la curva C habrá una diferencia.Como se muestra en la figura, esta diferencia se denota D 1 y se llama la desviación, el
error o el residual y puede ser positivo, negativo o cero. De manera semejante se obtienen las desviaciones X 2 , . . . , X N
correspondientes a cada valor D 2 , . . . , D N .
Una medida de la “bondad de ajuste” de la curva C a los datos dados es la cantidad D 2 1 þ D 2 2 þþD 2 N. Si esta
cantidad es pequeña, el ajuste es bueno; si es grande, el ajuste es malo. De esta manera se llega a la definición
siguiente:
Definición: De todas las curvas que se aproximan a un conjunto dado de puntos, a la curva que tiene
la propiedad de que D 2 1 þ D 2 2 þþD 2 N sea la mínima se le llama curva de mejor ajuste.
Una curva que tiene esta propiedad se dice que se ajusta a los datos en el sentido de mínimos cuadrados y se le llama
curva de mínimos cuadrados. De manera que una recta que tiene esta propiedad se dice que es una recta de mínimos
cuadrados, una parábola que tiene esta propiedad es una parábola de mínimos cuadrados, etcétera.
La definición anterior suele emplearse cuando X es la variable independiente y Y es la variable dependiente. Si X
es la variable dependiente, la definición se modifica considerando desviaciones horizontales en lugar de desviaciones
verticales, lo que equivale a intercambiar los ejes X y Y. Por lo general, estas dos definiciones llevan a curvas distintas
de mínimos cuadrados. En este libro, a menos que se especifique otra cosa, se considerará que X es la variable independiente
y que Y es la variable dependiente.
También pueden definirse otras curvas de mínimos cuadrados considerando las distancias perpendiculares del punto
a la curva en lugar de las distancias verticales u horizontales. Sin embargo, esto no suele usarse.
Curva de mejor ajuste
D 1
(X 1 ,Y 1 )
(X 3 ,Y 3 )
D 3 D n
(X n ,Y n )
X 1 X 2 X 3
X n
Figura 13-3 D 1 es la distancia del punto (X 1 , Y 1 ) a la curva de mejor ajuste, . . . , D n
es la distancia del punto (X n , Y n ) a la curva de mejor ajuste.
LA RECTA DE MÍNIMOS CUADRADOS
La recta de mínimos cuadrados que aproxima el conjunto de puntos (X 1 , Y 1 ), (X 2 , Y 2 ), . . . , (X N , Y N ) tiene la ecuación
Y = a 0 + a 1 X (17)
320 CAPÍTULO 13 AJUSTE DE CURVAS Y MÉTODO DE MÍNIMOS CUADRADOS
donde las constantes a 0 y a 1 se determinan resolviendo las ecuaciones simultáneas
P P Y ¼ a0 N þ a 1 X
P P P XY ¼ a0 X þ a1 X
2
(18)
a las que se les denomina ecuaciones normales de la recta de mínimos cuadrados (17). Las constantes a 0 y a 1 de las
ecuaciones (18) pueden hallarse empleando las fórmulas
a 0 ¼ ðP YÞð P X 2 Þ ð P XÞð P XYÞ
N P X 2 ð P XÞ 2 a 1 ¼ N P XY ð P XÞð P YÞ
N P X 2 ð P XÞ 2 (19)
Para recordar las ecuaciones normales (18) hay que observar que la primera ecuación se obtiene formalmente
sumando a ambos lados de la ecuación (17) [es decir, P Y ¼ P P
ða 0 þ a 1 XÞ¼a 0 N þ a 1 XŠ y la segunda ecuación
se obtiene multiplicando, primero, ambos lados de la ecuación (17) por X y después sumando [es decir, P P P P
XY ¼
Xða0 þ a 1 XÞ¼a 0 X þ a1 X 2 Š. Obsérvese que no se trata de una deducción de las ecuaciones normales,
sino simplemente de una manera que facilita recordarlas. Obsérvese también que en las ecuaciones (18) y (19) se ha
empleado la notación abreviada P X, P X Y, etc., en lugar de P N
j¼1 X j, P N
j¼1 X jY j , etcétera.
El trabajo que implica hallar la recta de mínimos cuadrados puede reducirse transformando los datos de manera
que x ¼ X X y y ¼ Y Y. Entonces, la ecuación de la recta de mínimos cuadrados puede escribirse de la manera
siguiente (problema 13.15):
P xy
y ¼ P x
2
x o bien y ¼
P xY
P x (20)
x
2
En particular, si X es tal que P X ¼ 0 (es decir, X ¼ 0), la ecuación se convierte en
P XY
Y ¼ Y þ P X (21)
X
2
La ecuación (20) implica que y = 0 para x = 0; por lo tanto, la recta de mínimos cuadrados pasa por el punto ð X, YÞ,
al que se le llama el centroide o centro de gravedad de los datos.
Si se considera que la variable X es la variable dependiente en lugar de la variable independiente, la ecuación (17)
se escribe X = b 0 + b 1 Y. Las fórmulas anteriores también son válidas cuando se intercambian X y Y, y a 0 y a 1 se sustituyen
por b 0 y b 1 , respectivamente. Sin embargo, por lo general la recta de mínimos cuadrados que se obtiene no es
la misma que la que se obtuvo antes [ver problemas 13.11 y 13.15d )].
RELACIONES NO LINEALES
Algunas veces, las relaciones no lineales pueden reducirse a relaciones lineales mediante transformaciones adecuadas
de las variables (ver problema 13.21).
LA PARÁBOLA DE MÍNIMOS CUADRADOS
La parábola de mínimos cuadrados que aproxima el conjunto de puntos (X 1 , Y 1 ), (X 2 , Y 2 ),...,(X N , Y N ) tiene la ecuación
Y ¼ a 0 þ a 1 X þ a 2 X 2 (22)
donde las constantes a 0 , a 1 y a 2 se determinan resolviendo simultáneamente las ecuaciones
P P P Y ¼ a0 N þ a 1 X þ a2 X
2
P P P XY ¼ a0 X þ a1 X 2 P
þ a 2 X
3
P X 2 Y ¼ a 0
P X 2 þ a 1
P X 3 þ a 2
P X
4
(23)
llamadas ecuaciones normales de la parábola de mínimos cuadrados (22).
PROBLEMAS EN LOS QUE INTERVIENEN MÁS DE DOS VARIABLES 321
Para recordar las ecuaciones (23), obsérvese que se pueden obtener formalmente multiplicando la ecuación (22)
por 1, X y X 2 , respectivamente, y sumando a ambos lados de las ecuaciones resultantes. Esta técnica puede extenderse
a las ecuaciones normales de curvas cúbicas de mínimos cuadrados, ecuaciones cuárticas de mínimos cuadrados y, en
general, a cualquiera de las curvas de mínimos cuadrados correspondientes a la ecuación (5).
Como en el caso de la recta de mínimos cuadrados, las ecuaciones (23) se simplifican si las X se escogen de manera
que P X ¼ 0. Estas ecuaciones también se simplifican empleando las nuevas variables x ¼ X X y y ¼ Y Y.
REGRESIÓN
Con frecuencia se desea estimar el valor de la variable Y que corresponde a un valor dado de la variable X, basándose
en los datos muestrales. Esto se hace estimando el valor de Y a partir de la curva de mínimos cuadrados ajustada a los
datos muestrales. A la curva de mínimos cuadrados se le llama curva de regresión de Y en X, debido a que Y se estima
a partir de X.
Si lo que se desea es estimar un valor de X a partir de un valor dado de Y, se emplea la curva de regresión de X en
Y, que es lo mismo que intercambiar las variables en el diagrama de dispersión, de manera que X sea la variable dependiente
y Y sea la variable independiente. En este caso se sustituyen las desviaciones verticales, de la definición de la
curva de mínimos cuadrados de la página 284, por desviaciones horizontales.
En general, la recta o la curva de regresión de Y en X no es igual a la recta o a la curva de regresión de X en Y.
APLICACIONES A SERIES DE TIEMPO
Si la variable independiente X representa tiempo, los datos dan el valor de Y en distintos momentos. A los datos ordenados
de acuerdo con el tiempo se les llama serie de tiempo. En este caso, a la recta o a la curva de regresión de Y en
X se le llama recta o curva de tendencia y se emplea para hacer estimaciones, predicciones o pronósticos.
PROBLEMAS EN LOS QUE INTERVIENEN MÁS DE DOS VARIABLES
Los problemas en los que intervienen más de dos variables se tratan de manera análoga a los problemas de dos variables.
Por ejemplo, entre las tres variables X, Y y Z puede haber una relación que pueda ser descrita mediante la ecuación
Z ¼ a 0 þ a 1 X þ a 2 Y (24)
a la que se le llama ecuación lineal en las variables X, Y y Z.
En un sistema de coordenadas rectangulares, esta ecuación representa un plano y los puntos muestrales (X 1 , Y 1 , Z 1 ),
(X 2 , Y 2 , Z 2 ), . . . , (X N , Y N , Z N ) estarán “dispersos” no demasiado lejos de este plano, al que se le llama plano de aproximación.
Por extensión del método de mínimos cuadrados, se puede hablar de un plano de mínimos cuadrados que se aproxime
a los datos. Si Z se aproxima a partir de los valores de X y Y, a este plano se le llamará plano de regresión de Z en
X y Y. Las ecuaciones normales correspondientes al plano de mínimos cuadrados (24) son
P Z ¼ a0 N þ a 1
P X þ a2
P Y
P XZ ¼ a0
P X þ a1
P X 2
þ a 2
P XY
P YZ ¼ a0
P Y þ a1
P XY þ a2
P Y
2
(25)
y para recordarlas se puede pensar que se obtienen a partir de la ecuación (24) multiplicando ésta por 1, X y Y y sumando
después.
322 CAPÍTULO 13 AJUSTE DE CURVAS Y MÉTODO DE MÍNIMOS CUADRADOS
También se pueden considerar ecuaciones más complicadas que la (24). Éstas representan superficies de regresión.
Cuando el número de variables es mayor a tres, se pierde la intuición geométrica debido a que se requieren espacios
de cuatro, cinco o n dimensiones.
A los problemas en los que se estima una variable a partir de dos o más variables se les llama problemas de regresión
múltiple. Estos problemas serán considerados más detalladamente en el capítulo 15.
LÍNEAS RECTAS
PROBLEMAS RESUELTOS
13.1 Treinta estudiantes de secundaria fueron entrevistados en un estudio acerca de la relación entre el tiempo que
pasan en Internet y su promedio de calificaciones. Los resultados se muestran en la tabla 13.1. X es la cantidad
de tiempo que pasan en Internet y Y es su promedio de calificaciones.
Tabla 13.1
Horas Promedio Horas Promedio Horas Promedio
11
5
22
23
20
20
10
19
15
18
2.84
3.20
2.18
2.12
2.55
2.24
2.90
2.36
2.60
2.42
9
5
14
18
6
9
24
25
12
6
2.85
3.35
2.60
2.35
3.14
3.05
2.06
2.00
2.78
2.90
25
6
9
20
14
19
21
7
11
20
1.85
3.14
2.96
2.30
2.66
2.36
2.24
3.08
2.84
2.45
Usar MINITAB para:
a) Hacer un diagrama de dispersión con estos datos.
b) Ajustar una recta a estos datos y dar los valores de a 0 y a 1 .
SOLUCIÓN
a) En las columnas C1 y C2 de la hoja de cálculo de MINITAB se ingresan estos datos. La columna C1 se titula Horas
en Internet y la columna C2 Promedio de calificaciones. Empleando la secuencia Stat → Regresión →
Regression se obtienen los resultados que se muestran en la figura 13-4.
b) El valor de a 0 es 3.49 y el valor de a 1 es −0.0594.
13.2 Resolver el problema 13.1 usando EXCEL.
SOLUCIÓN
En las columnas A y B de la hoja de cálculo de EXCEL se ingresan los datos. Con la secuencia Tools → Data Análisis →
Regression se obtiene el cuadro de diálogo de la figura 13-5 que se llena como ahí se muestra. La parte de interés del
resultado, en este momento, es
Intersección 3.488753
Horas en Internet −0.05935
PROBLEMAS RESUELTOS 323
3.50
Diagrama de dispersión de promedio vs. horas en Internet
3.25
3.00
Promedio
2.75
2.50
2.25
2.00
5
10
Horas en Internet
Figura 13-4 La suma de los cuadrados de las distancias de los puntos a la recta de mejor
ajuste es la mínima utilizando la recta promedio = 3.49 – 0.0594 horas en Internet.
15
20
25
Figura 13-5 EXCEL, cuadro de diálogo para el problema 13.2.
A la constante a 0 se le llama intersección y a la constante a 1 se le denomina pendiente. Se obtienen los mismos
valores que con MINITAB.
13.3 a) Mostrar que la ecuación de la recta que pasa a través de los puntos (X 1 , Y 1 ) y (X 2 , Y 2 ) está dada por
Y Y 1 ¼ Y 2 Y 1
X 2 X 1
ðX X 1 Þ
324 CAPÍTULO 13 AJUSTE DE CURVAS Y MÉTODO DE MÍNIMOS CUADRADOS
b) Encontrar la ecuación de la recta que pasa a través de los puntos (2, −3) y (4, 5).
SOLUCIÓN
a) La ecuación de la recta es
Como (X 1 , Y 1 ) está en la recta,
Como (X 2 , Y 2 ) está en la recta,
Sustrayendo la ecuación (30) de la ecuación (29),
Sustrayendo la ecuación (30) de la ecuación (31),
Y = a 0 + a 1 X (29)
Y 1 = a 0 + a 1 X 1 (30)
Y 2 = a 0 + a 1 X 2 (31)
Y − Y 1 = a 1 (X − X 1 ) (32)
Y 2 Y 1 ¼ a 1 ðX 2 X 1 Þ o bien a 1 ¼ Y 2 Y 1
X 2 X 1
Sustituyendo este valor de a 1 en la ecuación (32), se obtiene
como se deseaba. La cantidad
Y Y 1 ¼ Y 2 Y 1
X 2 X 1
ðX X 1 Þ
Y 2 Y 1
X 2 X 1
se abrevia m, representa el cambio en Y dividido entre el correspondiente cambio en X y es la pendiente de la recta. La
ecuación buscada es Y − Y 1 = m(X − X 1 ).
b) Primer método [empleando los resultados del inciso a)]
En el primer punto (2, −3) se tiene X 1 = 2 y Y 1 = −3; en el segundo punto (4, 5) se tiene X 2 = 4 y Y 2 = 5. Por
lo tanto, la pendiente es
y la ecuación buscada es
m ¼ Y 2 Y 1
¼ 5 ð 3Þ ¼ 8 X 2 X 1 4 2 2 ¼ 4
Y − Y 1 = m(X − X 1 ) o bien Y − (−3) = 4(X − 2)
la cual se puede escribir como Y + 3 = 4(X − 2), o bien Y = 4X − 11.
Segundo método
La ecuación de una línea recta es Y = a 0 + a 1 X. Como el punto (2, −3) pertenece a esta recta, −3 = a 0 + 2a 1 ,
y como también el punto (4, 5) pertenece a esta recta, 5 = a 0 + 4a 1 ; resolviendo estas dos ecuaciones simultáneas, se
obtiene a 1 = 4 y a 0 = −11. Por lo tanto, la ecuación buscada es
Y = − 11 + 4X o bien Y = 4X − 11
13.4 Se siembra trigo en 9 parcelas del mismo tamaño. En la tabla 13.2 se muestran las cantidades de fertilizante
empleadas en cada parcela, así como las cantidades de trigo obtenidas.
Usar MINITAB para ajustar una curva parabólica Y = a 0 + a 1 X + a 2 X 2 a estos datos.
PROBLEMAS RESUELTOS 325
Tabla 13.2
Cantidad de trigo (y)
2.4
3.4
4.4
5.1
5.5
5.2
4.9
4.4
3.9
Fertilizante (x)
1.2
2.3
3.3
4.1
4.8
5.0
5.5
6.1
6.9
SOLUCIÓN
Las cantidades de trigo se ingresan en la columna C1 y las de fertilizante en la columna C2. Con la secuencia Stat →
Regresión → Fitted Line Plot se obtiene el cuadro de diálogo que se muestra en la figura 13-6.
Figura 13-6 MINITAB, cuadro de diálogo para el problema 13.4.
Con este cuadro de diálogo se obtiene el resultado que se muestra en la figura 13-7.
5.5
Gráfica de la línea ajustada
Y =−0.2009 + 2.266 X
−0.2421 X ∗∗ 2
5.0
4.5
Y
4.0
3.5
3.0
2.5
2.0
1 2 3 4 5 6 7
X
Figura 13-7 MINITAB, ajuste de la curva parabólica de mínimos cuadrados a un conjunto de datos.
326 CAPÍTULO 13 AJUSTE DE CURVAS Y MÉTODO DE MÍNIMOS CUADRADOS
13.5 Encontrar: a) la pendiente, b) la ecuación, c) la intersección con el eje Y y d ) la intersección con el eje X de la
recta que pasa por los puntos (1, 5) y (4, −1).
SOLUCIÓN
a) (X 1 = 1, Y 1 = 5) y (X 2 = 4, Y 2 = −1). Por lo tanto,
m = pendiente ¼ Y 2 Y 1
¼ 1 5
X 2 X 1 4 1 ¼ 6
3 ¼ 2
El signo negativo de la pendiente indica que a medida que X crece, Y decrece, como se muestra en la figura 13-8.
b) La ecuación de la recta es
Y − Y 1 = m(X − X 1 ) o Y − 5 = −2(X − 1)
Es decir, Y − 5 = −2X + 2 o Y = 7 −2X
Esta ecuación también se puede obtener empleando el segundo método del problema 13.3b).
c) La intersección con el eje Y, que es el valor de Y cuando X = 0, es Y = 7 − 2(0) = 7. Esto también puede verse directamente
en la figura 13-8.
8
7
0, 7 Intersección con el eje Y
6
5
1, 5
4
3
2
1
Intersección con el eje X
0
3.5, 0
−2 −1 0 1 2 3 4 5 6 7 8
−1
4, −1
−2
Figura 13-8 Recta que muestra la intersección con el eje X y la intersección con el eje Y.
d )
La intersección con el eje X es el valor de X cuando Y = 0. Sustituyendo Y = 0 en la ecuación Y = 7 − 2X, se tiene
0 = 7 − 2X, o 2X = 7 y X = 3.5. Esto también se puede ver directamente en la figura 13-8.
13.6 Encontrar la ecuación de la recta que pasa a través del punto (4, 2) y que es paralela a la recta 2X + 3Y = 6.
SOLUCIÓN
Si dos rectas son paralelas, sus pendientes son iguales. De 2X + 3Y = 6 se obtiene 3Y = 6 − 2X, o bien Y = 2 − 2 3
X, de
manera que la pendiente de la recta es m = − 2 3
. Por lo tanto, la ecuación de la recta que se busca es
la cual también se puede escribir como 2X + 3Y = 14.
Y − Y 1 = m(X − X 1 ) o Y − 2 = − 2 3
(X − 4)
PROBLEMAS RESUELTOS 327
Otro método
La ecuación de cualquier recta paralela a 2X + 3Y = 6 es de la forma 2X + 3Y = c. Para encontrar c, sea X = 4 y
Y = 2. Entonces 2(4) + 3(2) = c, o c = 14, con lo que la ecuación buscada es 2X + 3Y = 14.
13.7 Encontrar la ecuación de la recta cuya pendiente es −4 y cuya intersección con el eje Y es 16.
SOLUCIÓN
En la ecuación Y = a 0 + a 1 X, a 0 = 16 es la intersección con el eje Y y a 1 = −4 es la pendiente. Por lo tanto, la ecuación
buscada es Y = 16 − 4X.
13.8 a) Construir una recta que se aproxime a los datos de la tabla 13.3.
b) Encontrar la ecuación de esta recta.
Tabla 13.3
X 1 3 4 6 8 9 11 14
Y 1 2 4 4 5 7 8 9
SOLUCIÓN
a) En un sistema de coordenadas rectangulares se grafican los puntos (1, 1), (3, 2), (4, 4), (6, 4), (8, 5), (9, 7), (11, 8) y
(14, 9), como se muestra en la figura 13-9. En la figura se ha trazado a mano una recta que se aproxima a los datos.
En el problema 13.11 se muestra un método que elimina el criterio personal; ese método es el de mínimos cuadrados.
b) Para obtener la ecuación de la recta construida en el inciso a), se eligen cualesquiera dos puntos de la recta, por ejemplo,
P y Q; como se muestra en la gráfica, las coordenadas de los puntos P y Q son aproximadamente (0, 1) y (12, 7.5).
La ecuación de una recta es Y = a 0 + a 1 X. Por lo tanto, para el punto (0, 1) se tiene 1 = a 0 + a 1 (0), y para el punto
(12, 7.5) se tiene 7.5 = a 0 + 12a 1 ; como de la primera de estas ecuaciones se obtiene a 0 = 1, de la segunda se obtiene
a 1 = 6.5/12 = 0.542. Entonces, la ecuación buscada es Y = 1 + 0.542X.
Otro método
Y
9
8
7
6
5
4
3
2
Por lo tanto, Y = 1 + 0.542X.
1
P
0
0 2 4 6 8 10 12 14
X
Figura 13-9 Método a mano para el ajuste de curvas.
Y Y 1 ¼ Y 2 Y 1
ðX X
X 2 X 1 Þ y Y 1 ¼ 7:4 1 ðX 0Þ ¼0:542X
1 12 0
Q
328 CAPÍTULO 13 AJUSTE DE CURVAS Y MÉTODO DE MÍNIMOS CUADRADOS
13.9 a) Comparar los valores de Y obtenidos a partir de la recta de aproximación con los datos de la tabla 13.2.
b) Estimar el valor de Y para X = 10.
SOLUCIÓN
a) Para X = 1, Y = 1 + 0.542(1) = 1.542, o bien 1.5. Para X = 3, Y = 1 + 0.542(3) = 2.626 o bien 2.6. De la misma
manera se obtienen valores de Y correspondientes a otros valores de X. Los valores estimados para Y a partir de la
ecuación Y = 1 + 0.542X se denotan Y est . En la tabla 13.4 se presentan estos valores estimados junto con los datos
originales.
b) El valor estimado de Y correspondiente a X = 10 es Y = 1 + 0.542(10) = 6.42 o 6.4.
Tabla 13.4
X 1 3 4 6 8 9 11 14
Y 1 2 4 4 5 7 8 9
Y est 1.5 2.6 3.2 4.3 5.3 5.9 7.0 8.6
13.10 En la tabla 13.5 se presentan las estaturas en pulgadas (in) y los pesos en libras (lb) de 12 estudiantes varones
que forman una muestra aleatoria de los estudiantes de primer año de una universidad.
Tabla 13.5
Estatura X (in) 70 63 72 60 66 70 74 65 62 67 65 68
Peso Y (lb) 155 150 180 135 156 168 178 160 132 145 139 152
a) Obtener el diagrama de dispersión de estos datos.
b) Trazar una recta que se aproxime a los datos.
c) Encontrar la ecuación de la recta que se trazó en el inciso b).
d ) Estimar el peso de un estudiante cuya estatura es 63 in.
e) Estimar la estatura de un estudiante cuyo peso es 168 lb.
SOLUCIÓN
a) El diagrama de dispersión que se muestra en la figura 13-10 se obtiene graficando los puntos (70, 155), (63, 150),...,
(68, 152).
b) En la figura 13-10 se presenta una recta que se aproxima a los datos. Pero ésta es sólo una de las muchas que podían
haberse trazado.
c) Se toman dos puntos cualesquiera de la recta construida en el inciso b), por ejemplo P y Q. Las coordenadas de estos
puntos, de acuerdo con la gráfica, son aproximadamente (60, 130) y (72, 170). Por lo tanto,
Y Y 1 ¼ Y 2 Y 1
170 130
ðX X
X 2 X 1 Þ Y 130 ¼
1 72 60 ðX 60Þ Y ¼ 10 3 X 70
d ) Si X = 63, entonces Y = 10 3
(63) − 70 = 140 lb.
e) Si Y = 168, entonces 168 = 10 3 X − 70, 10 3
X = 238 y X = 71.4 o bien 71 in.
PROBLEMAS RESUELTOS 329
180
170
Q
Peso
160
150
140
130 P
60 62 64 66 68 70 72 74
Estatura
Figura 13-10 Método a mano para el ajuste de curvas.
LA RECTA DE MÍNIMOS CUADRADOS
13.11 Encontrar la recta de mínimos cuadrados correspondiente a los datos del problema 13.8 empleando: a) X como
variable independiente y b) X como variable dependiente.
SOLUCIÓN
a) La ecuación de una recta es Y = a 0 + a 1 X. Las ecuaciones normales son
P P Y ¼ a0 N þ a 1 X
P P P XY ¼ a0 X þ a1 X
2
El cálculo de estas sumas se puede organizar como se muestra en la tabla 13.6. Aunque la última columna de la
derecha no se necesita en esta parte del problema, se ha incluido en la tabla para emplearla en el inciso b).
Como hay ocho pares de valores X y Y, N = 8 y las ecuaciones normales resultan ser
8a 0 þ 56a 1 ¼ 40
56a 0 þ 524a 1 ¼ 364
Resolviendo simultáneamente estas ecuaciones, se obtiene a 0 ¼ 6 11 o 0.545; a 1 ¼ 7 11
o 0.636; con lo que la recta de
mínimos cuadrados buscada es Y ¼ 6
11 þ 7
11
X, o Y = 0.545 + 0.636X.
Tabla 13.6
X Y X 2 X Y Y 2
1
3
4
6
8
9
11
14
1
2
4
4
5
7
8
9
1
9
16
36
64
81
121
196
P X = 56
P Y = 40
P X 2 = 524
1
1
6
4
16
16
24
16
40
25
63
49
88
64
126
81
P P X Y = 364 Y 2 = 256
330 CAPÍTULO 13 AJUSTE DE CURVAS Y MÉTODO DE MÍNIMOS CUADRADOS
Otro método
a 0 ¼ ðP YÞð P X 2 Þ ð P XÞð P XYÞ
N P X 2 ð P XÞ 2 ¼
a 1 ¼ N P XY ð P XÞð P YÞ
N P X 2 ð P XÞ 2 ¼
ð40Þð524Þ ð56Þð364Þ
ð8Þð524Þ ð56Þ 2 ¼ 6 11
ð8Þð364Þ ð56Þð40Þ
ð8Þð524Þ ð56Þ 2 ¼ 7
11
o bien 0.636
o bien 0.545
Por lo tanto, Y = a 0 + a 1 X, o bien Y = 0.545 + 0.636X, como antes.
b) Si X es considerada como la variable dependiente, entonces Y es la variable independiente; la ecuación de la recta de
mínimos cuadrados es X = b 0 + b 1 Y y las ecuaciones normales son
P P X ¼ b0 N þ b 1 Y
P P P XY ¼ b0 Y þ b1 Y
2
Entonces, de acuerdo con la tabla 13.6, las ecuaciones normales son
8b 0 þ 40b 1 ¼ 56
40b 0 þ 256b 1 ¼ 364
de donde b 0 = − 1 2 o bien −0.50 y b 1 = 3 2
o bien 1.50. Estos valores también pueden obtenerse de la manera siguiente
b 0 ¼ ðP XÞð P Y 2 Þ ð P YÞð P XYÞ
N P Y 2 ð P ð56Þð256Þ ð40Þð364Þ
YÞ 2 ¼
ð8Þð256Þ ð40Þ 2 ¼ 0:50
b 1 ¼ N P XY ð P XÞð P YÞ
N P Y 2 ð P YÞ 2 ¼
ð8Þð364Þ ð56Þð40Þ
ð8Þð256Þ ð40Þ 2 ¼ 1:50
Por lo tanto, la ecuación buscada de la recta de mínimos cuadrados es X = b 0 + b 1 Y o bien X = −0.50 + 1.50Y.
Obsérvese que despejando Y de esta ecuación se obtiene Y ¼ 1 3 þ 2 3
X o bien Y = 0.333 + 0.667X, que no es
igual a la recta obtenida en el inciso a).
13.12 Emplear el paquete para estadística SAS para trazar, en una misma gráfica, los puntos correspondientes a los
datos de estatura y peso del problema 13.10 y la recta de mínimos cuadrados.
SOLUCIÓN
En la figura 13-11, los puntos correspondientes a los datos se presentan como pequeños círculos vacíos y la recta de mínimos
cuadrados como una recta punteada.
180
170
160
Peso
150
140
130
60 62 64 66 68 70 72 74
Estatura
Figura 13-11 SAS, gráfica que presenta los puntos correspondientes a los datos
de la tabla 13.5 y la recta de mínimos cuadrados.
PROBLEMAS RESUELTOS 331
13.13 a) Muestre que las dos rectas de mínimos cuadrados obtenidas en el problema 13.11 se intersecan en el punto
ð X, YÞ.
b) Estimar el valor de Y para X = 12.
c) Estimar el valor de X para Y = 3.
SOLUCIÓN
P X
X ¼
N ¼ 56 P Y
8 ¼ 7 Y ¼
N ¼ 40 8 ¼ 5
Por lo tanto, el punto ð X, YÞ, llamado el centroide, es (7, 5).
a) El punto (7, 5) se encuentra en la recta Y = 0.545 + 0.636X; o, más exactamente, Y ¼ 6 11 þ 7
11
X , ya que
5 ¼ 6
11 þ 7
11 ð7Þ. El punto (7, 5) se encuentra en la recta X ¼ 1 2 þ 3 2 Y, ya que 7 ¼ 1 2 þ 3 2 ð5Þ.
Otro método
Las ecuaciones de las dos rectas son Y ¼ 6 11 þ 7
11 X y X ¼ 1 2 þ 3 2
Y. Resolviendo simultáneamente estas dos ecuaciones
se encuentra X = 7 y Y = 5. Por lo tanto, las rectas se intersecan en el punto (7, 5).
b) Sustituyendo X = 12 en la recta de regresión de Y (problema 13.11), Y = 0.545 + 0.636(12) = 8.2.
c) Sustituyendo Y = 3 en la recta de regresión de X (problema 13.11), X = −0.50 + 1.50(3) = 4.0.
13.14 Probar que una recta de mínimos cuadrados siempre pasa por el punto ð X, YÞ.
SOLUCIÓN
Caso 1 (X es la variable independiente)
La ecuación de la recta de mínimos cuadrados es
Y = a 0 + a 1 X (34)
Una de las ecuaciones normales de la recta de mínimos cuadrados es
P P Y ¼ a0 N þ a 1 X (35)
Dividiendo ambos lados de la ecuación (35) entre N se obtiene
Y ¼ a 0 þ a 1
X (36)
Restando la ecuación (36) de la ecuación (34), la recta de mínimos cuadrados se puede escribir como
Y Y ¼ a 1 ðX XÞ (37)
lo que muestra que la recta pasa a través del punto ð X, YÞ.
Caso 2 (Y es la variable independiente)
Procediendo como en el caso 1, pero intercambiando X y Y y sustituyendo las constantes a 0 y a 1 por b 0 y b 1 , respectivamente,
se encuentra que la recta de mínimos cuadrados puede escribirse como
X X ¼ b 1 ðY YÞ (38)
lo que indica que la recta pasa por el punto ð X, YÞ.
Obsérvese que las rectas (37) y (38) no coinciden, sino que se intersecan en ð X, YÞ.
13.15 a) Considerando X como la variable independiente, mostrar que la ecuación de la recta de mínimos cuadrados
se puede escribir como
P
P
xy
xY
y ¼ P x o bien y ¼ P x
x
2
x
2
donde x ¼ X X y y ¼ Y Y.
332 CAPÍTULO 13 AJUSTE DE CURVAS Y MÉTODO DE MÍNIMOS CUADRADOS
b) Si X ¼ 0, mostrar que la recta de mínimos cuadrados del inciso a) puede escribirse como
P XY
Y ¼ Y þ P X X
2
c) Dar la ecuación de la recta de mínimos cuadrados correspondiente a la del inciso a) en el caso en que Y
sea la variable independiente.
d ) Verificar que las rectas de los incisos a) y c) no son necesariamente iguales.
SOLUCIÓN
a) La ecuación (37) puede escribirse como y = a 1 x, donde x ¼ X X y y ¼ Y Y. Además, resolviendo simultáneamente
las ecuaciones normales (18) se tiene
a 1 ¼ N P XY ð P XÞð P YÞ
N P X 2 ð P XÞ 2 ¼ N P ðx þ XÞðy þ YÞ ½ P ðx þ XŠ½ P ðy þ YÞŠ
N P ðx þ XÞ 2 ½ P ðx þ XÞŠ 2
¼ N P ðxy þ x Y þ Xy þ X YÞ ð P x þ N XÞð P y þ N YÞ
N P ðx 2 þ 2x X þ X 2 Þ ð P x þ N XÞ 2
¼ N P xy þ N Y P x þ N X P y þ N 2 X Y ð P x þ N XÞð P y þ N YÞ
N P x 2 þ 2N X P x þ N 2 X 2 ð P x þ N XÞ 2
Pero P x ¼ P ðX XÞ ¼0 y P y ¼ P ðY YÞ ¼0; por lo que la fórmula anterior se simplifica a
a 1 ¼ N P xy þ N 2 X Y N 2 P
X Y xy
N P x 2 þ N 2 X 2 N 2 X 2 ¼ P x
2
Lo que puede escribirse como
P P xy xðY
a 1 ¼ P x
2 ¼ P x
2
P
YÞ xY Y P x
¼ P ¼ x
2
P xY
P x
2
Por lo tanto, la recta de mínimos cuadrados es y = a 1 x; es decir,
P
P
xy
xY
y ¼ P x o bien y ¼ P x
x
2
x
2
b) Si X ¼ 0, x ¼ X X ¼ X. Entonces, de acuerdo con la fórmula
P xY
y ¼ P x
2
se tiene
P XY
y ¼ P X o bien Y ¼ Y þ
X
2
P XY
P X
2
X
Otro método
Las ecuaciones normales de la recta de mínimos cuadrados Y = a 0 + a 1 X son
P Y ¼ a0 N þ a 1
P X y
P XY ¼ a0
P X þ a1
P X
2
Si X ¼ð P XÞ=N ¼ 0, entonces P X ¼ 0 y las ecuaciones normales se transforman en
P Y ¼ a0 N
y
P XY ¼ a1
P X
2
de donde
a 0 ¼
P P Y
XY
N ¼ Y y a 1 ¼ P X
2
Por lo tanto, la ecuación buscada de la recta de mínimos cuadrados es
P XY
Y = a 0 + a 1 X o bien Y ¼ Y þ P X X
2
PROBLEMAS RESUELTOS 333
c) Intercambiando X y Y o bien x y y, se puede demostrar como en el inciso a) que
P xy
x ¼ P y y
2
d )
De acuerdo con el inciso a), la recta de mínimos cuadrados es
P xy
y ¼ P x x
2
(39)
De acuerdo con el inciso c), la recta de mínimos cuadrados es
P xy
x ¼ P y y
2
o bien
y ¼
P y
2
P xy
!x (40)
Como en general
P xy
P x
2 6¼ P y
2
P xy
en general las rectas de mínimos cuadrados (39) y (40) son diferentes. Sin embargo, obsérvese que estas rectas se
intersecan en x = 0 y y = 0 [es decir, en el punto ð X, YÞ].
13.16 Si X ′ = X + A y Y ′ = Y + B, donde A y B son constantes cualesquiera, probar que
a 1 ¼ N P XY ð P XÞð P YÞ
N P X 2 ð P XÞ 2 ¼ N P X 0 Y 0 ð P X 0 Þð P Y 0 Þ
N P X 02 ð P X 0 Þ 2 ¼ a1
0
SOLUCIÓN
x 0 ¼ X 0 X 0 ¼ðX þ AÞ ðX þ AÞ ¼X X ¼ x
y 0 ¼ Y 0 Y 0 ¼ðY þ BÞ ðY þ BÞ ¼Y Y ¼ y
Entonces
P xy
P x
2 ¼ P x 0 y 0
P x
02
y el resultado es consecuencia del problema 13.15. Un resultado similar es válido para b 1 .
Este resultado es útil, pues permite simplificar los cálculos para obtener la recta de regresión sustrayendo a las variables
X y Y constantes adecuadas (ver el segundo método del problema 13.17).
Nota: Este resultado no es válido si X ′ = c 1 X + A y Y ′ = c 2 Y + B, a menos que c 1 = c 2 .
13.17 Ajustar una recta de mínimos cuadrados a los datos del problema 13.10 empleando: a) X como la variable
independiente y b) X como variable dependiente.
SOLUCIÓN
Primer método
a) De acuerdo con el problema 13.15a), la recta buscada es
P xy
y ¼ P x x
2
donde x ¼ X X y y ¼ Y Y. Los cálculos de las sumas se pueden organizar como se muestra en la tabla 13.7. De
acuerdo con las dos primeras columnas X ¼ 802=12 ¼ 66:8 y Y ¼ 1 850/12 = 154.2. La última columna se incluyó
para emplearla en el inciso b).
334 CAPÍTULO 13 AJUSTE DE CURVAS Y MÉTODO DE MÍNIMOS CUADRADOS
Tabla 13.7
Estatura X Peso Y x ¼ X X y ¼ Y Y xy x 2 y 2
70
63
72
60
66
70
74
65
62
67
65
68
P X ¼ 802
X ¼ 66:8
155
150
180
135
156
168
178
160
132
145
139
152
∑ Y = 1 850
Y = 154.2
3.2
−3.8
5.2
−6.8
−0.8
3.2
7.2
−1.8
−4.8
0.2
−1.8
1.2
0.8
−4.2
25.8
−19.2
1.8
13.8
23.8
5.8
−22.2
−9.2
−15.2
−2.2
2.56 10.24
15.96 14.44
134.16 27.04
130.56 46.24
−1.44
0.64
44.16 10.24
171.36 51.84
−10.44
3.24
106.56 23.04
−1.84
0.04
27.36
3.24
−2.64
1.44
P P xy ¼ 616:32 x 2 ¼ 191:68
0.64
17.64
665.64
368.64
3.24
190.44
566.44
33.64
492.84
84.64
231.04
4.84
P y 2 ¼ 2 659.68
La recta de mínimos cuadrados buscada es
P xy
y ¼ P x ¼ 616:32
x
2
191:68 x ¼ 3:22x
o bien Y − 154.2 = 3.22(X − 66.8), lo que puede escribirse como Y = 3.22X − 60.9. A esta ecuación se le conoce
como la recta de regresión de Y sobre X y sirve para estimar valores de Y a partir de valores dados de X.
b) Si X es la variable dependiente, la recta buscada es
x =
∑ xy
∑ y
2
y = 616.32
2 659.68 y = 0.232y
la cual se puede escribir como X − 66.8 = 0.232(Y − 154.2), o bien X = 31.0 + 0.232Y. A esta ecuación se le conoce
como la recta de regresión de X sobre Y y se utiliza para estimar X a partir de valores dados de Y.
Obsérvese que, si se desea, también se puede emplear el método del problema 13.11.
Segundo método
Empleando la fórmula del problema 13.16, de X y Y también se pueden sustraer cantidades adecuadas. Se sustraerá
65 a X y 150 a Y. Los cálculos se pueden organizar como en la tabla 13.7.
a 1 ¼ N P X 0 Y 0 ð P X 0 Þð P Y 0 Þ
N P X 02 ð P (12)(708 22)(50)
X 0 Þ 2 ¼
(12)(232 22) 2 = 3.22
b 1 ¼ N P X 0 Y 0 ð P Y 0 Þð P X 0 Þ
N P Y 02 ð P (12)(708 50)(22)
Y 0 Þ 2 ¼
(12)(2 868 50) 2 = 0.232
Como X ¼ 65 þ 22=12 ¼ 66:8 y Y ¼ 150 þ 50=12 ¼ 154:2, las ecuaciones de regresión son Y − 154.2 = 3.22
(X − 66.8) y X − 66.8 = 0.232(Y − 154.2); es decir, Y = 3.22X − 60.9 y X = 0.232Y + 31.0, en coincidencia con el primer
método.
13.18 Resolver el problema 13.17 usando MINITAB. En un mismo conjunto de ejes, trazar la recta de regresión de
pesos contra estaturas y la recta de regresión de estaturas contra pesos. Mostrar que el punto ð X, YÞ satisface
ambas ecuaciones. Estas rectas se intersecan en ð X, YÞ.
PROBLEMAS RESUELTOS 335
SOLUCIÓN
Gráfica de peso contra estatura, estatura contra peso
180
Estatura = 31.0 + 0.232 Peso
170
Peso
160
(x barra, y barra)
Peso = 3.22 Estatura − 60.9
150
140
130
60 62 64 66 68 70 72 74
Estatura
Figura 13-12 Tanto la recta de regresión de estatura contra peso como la recta de
regresión del peso contra estatura pasan a través del punto (x barra, y barra).
ð X, YÞ es lo mismo que (x barra, y barra) y es igual a (66.83, 154.17). Obsérvese que peso = 3.22(66.83) − 60.9 =
154.17 y estatura = 31.0 + 0.232(154.17) = 66.83. Por lo tanto, ambas rectas pasan a través de (x barra, y barra).
Tabla 13.8
X ′ Y ′ X ′ 2 X ′ Y ′ Y ′2
5
−2
7
−5
1
5
9
0
−3
2
0
3
5
0
30
−15
6
18
28
10
−18
−5
−11
2
25
4
49
25
1
25
81
0
9
4
0
9
25
0
210
75
6
90
252
0
54
−10
0
6
25
0
900
225
36
324
784
100
324
25
121
4
∑
X ′ = 22
∑
Y ′ = 50
∑
X ′2 = 232
∑
X ′ Y ′ = 708
∑
Y ′2 = 2 868
APLICACIONES PARA SERIES DE TIEMPO
13.19 En la tabla 13.9 se presentan, en millones de dólares, las exportaciones agrícolas de Estados Unidos. Usar
MINITAB para hacer lo siguiente:
Tabla 13.9
Año 2000 2001 2002 2003 2004 2005
Valor total
Código del año
51 246
1
53 659
2
53 115
3
59 364
4
61 383
5
62 958
6
Fuente: The 2007 Statistical Abstract.
336 CAPÍTULO 13 AJUSTE DE CURVAS Y MÉTODO DE MÍNIMOS CUADRADOS
a) Graficar los datos y mostrar la recta de regresión de mínimos cuadrados.
b) Encontrar y graficar la recta de tendencia de los datos.
c) Dar los valores ajustados y los residuales empleando los códigos de los años.
d ) Estimar el valor de las exportaciones agrícolas en 2006.
SOLUCIÓN
a) En la figura 13-13a) se muestran los datos y la recta de regresión. La gráfica que se muestra en la figura 13-13a) se
obtiene empleando la secuencia Stat → Regresión → Fitted line plot.
64 000
Gráfica de la recta ajustada
valor total = −4 976 816 + 2 514 año
62 000
60 000
Valor total
58 000
56 000
54 000
52 000
50 000
2000 2001 2002 2003 2004 2005
Año
Figura 13-13 a) Recta de regresión de las exportaciones agrícolas de Estados Unidos
dadas en millones de dólares.
b) La gráfica que se muestra en la figura 13.13b) se obtiene empleando la secuencia Stat → Time series → Trend
Análisis. Ésta es una manera diferente de ver los mismos datos. Tal vez sea un poco más fácil emplear los números
índice (códigos de los años) en vez de los años.
64 000
62 000
60 000
Gráfica del análisis de tendencia del valor total
Modelo de tendencia lineal
Y t = 48 156.1 + 2 513.74 ∗ t
Variable
Real
Ajustada
Valor total
58 000
56 000
54 000
52 000
50 000
1 2 3 4 5 6
Índice
Figura 13-13 b) Recta de tendencia de las exportaciones agrícolas de Estados Unidos,
dadas en millones de dólares.
PROBLEMAS RESUELTOS 337
c) En la tabla 13.10 se dan los valores ajustados y los residuales de los datos que se presentan en la tabla 13.9; se emplean
años codificados.
Tabla 13.10
Año codificado Valor total Valor ajustado Residual
1
2
3
4
5
6
51 246
53 659
53 115
59 364
61 383
62 958
50 669.8
53 183.6
55 697.3
58 211.0
60 724.8
63 238.5
576.19
475.45
−2 582.30
1 152.96
658.22
−280.52
d ) Empleando el año codificado, el valor estimado es Y t = 48 156.1 + 2 513.74(7) = 65 752.3.
13.20 En la tabla 13.11 se presenta el poder de compra del dólar, medido a través de los precios al consumidor, de
acuerdo con lo informado por la Oficina de Estadísticas Laborales de Estados Unidos.
Tabla 13.11
Año 2000 2001 2002 2003 2004 2005
Precios al consumidor 0.581 0.565 0.556 0.544 0.530 0.512
Fuente: U. S. Bureau of Labor Statistics, Survey of Current Business.
a) Graficar los datos y obtener la recta de tendencia usando MINITAB.
b) Encontrar, a mano, la ecuación de la línea de tendencia.
c) Estimar el precio al consumidor del 2008 suponiendo que la tendencia continúe tres años más.
SOLUCIÓN
a) En la figura 13-14, la línea continua es la gráfica de los datos de la tabla 13.11 y la línea punteada es la gráfica de la
recta de mínimos cuadrados.
Poder de compra
Gráfica del análisis de tendencia del poder de compra
Modelo de tendencia lineal
Y t = 0.5942 − 0.0132 ∗ t
0.59
Variable
0.58
Real
0.57
Ajustada
0.56
0.55
0.54
0.53
0.52
0.51
1 2 3 4 5 6
Índice
Figura 13-14 Línea de tendencia del poder de compra.
338 CAPÍTULO 13 AJUSTE DE CURVAS Y MÉTODO DE MÍNIMOS CUADRADOS
b) En la tabla 13.12 se presentan los cálculos para hallar, a mano, la línea de tendencia. La ecuación es
y ¼
P xy
P x
2 x
donde x ¼ X X y y ¼ Y Y; por lo que esta ecuación se puede escribir como Y − 0.548 = −0.0132(X − 3.5) o
Y = −0.0132X + 0.5942. Como se ilustra con este problema, el trabajo que se ahorra empleando algún software para
estadística es enorme.
Tabla 13.12
Año X Y x ¼ X X y ¼ Y Y x 2 xy
2000
2001
2002
2003
2004
2005
1
2
3
4
5
6
Σ X = 21
X = 3.5
0.581
0.565
0.556
0.544
0.530
0.512
Σ Y = 3.288
Y = 0.548
−2.5
−1.5
−0.5
0.5
1.5
2.5
0.033
0.017
0.008
−0.004
−0.018
−0.036
6.25
2.25
0.25
0.25
2.25
6.25
Σx 2
17.5
−0.0825
−0.0255
−0.004
−0.002
−0.027
−0.09
Σxy
−0.231
c) El precio al consumidor estimado del 2008 se obtiene sustituyendo en la ecuación de la línea tendencia X = 9. El
precio al consumidor estimado es 0.5942 − 0.0132(9) = 0.475.
ECUACIONES NO LINEALES REDUCIBLES A LA FORMA LINEAL
13.21 En la tabla 13.13 se dan los valores experimentales de la presión P de una masa dada de gas correspondientes
a diversos valores del volumen V. De acuerdo con los principios de la termodinámica, entre estas variables
existe una relación de la fórmula PV γ = C, donde γ y C son constantes.
a) Encontrar los valores de γ y de C.
b) Escribir la ecuación que relaciona P y V.
Tabla 13.13
Volumen V en pulgadas cúbicas (in 3 ) 54.3 61.8 72.4 88.7 118.6 194.0
Presión P en libras por pulgada cuadrada (lb/in 2 ) 61.2 49.2 37.6 28.4 19.2 10.1
c) Estimar P para V = 100.0 (lb/in 2 ).
SOLUCIÓN
Como PV γ = C, se tiene
log P + γ log V = log C o bien log P = log C − γ log V
Haciendo log V = X y log P = Y, la última ecuación puede escribirse como
Y = a 0 + a 1 X (41)
donde a 0 = log C y a 1 = −γ.
PROBLEMAS RESUELTOS 339
En la tabla 13.14 se dan los valores de X = log V y de Y = log P, correspondientes a los valores de V y P dados en
la tabla 13.13, y se indican también los cálculos para obtener la recta (41) de mínimos cuadrados. Las ecuaciones normales
correspondientes a la recta (41) de mínimos cuadrados son
P Y ¼ a0 N þ a 1
P X y
P XY ¼ a0
P X þ a1
P X
2
de donde
a 0 ¼ ðP YÞð P X 2 Þ ð P XÞð P XYÞ
N P X 2 ð P XÞ 2 ¼ 4:20 a 1 ¼ N P XY ð P XÞð P YÞ
N P X 2 ð P XÞ 2 ¼ 1:40
Por lo tanto, Y = 4.20 − 1.40X.
a) Como a 0 = 4.20 = log C y a 1 = −1.40 = −γ, C = 1.60 × 10 4 y γ = 1.40.
b) La ecuación que se busca en términos de P y V se puede escribir como PV 1.40 = 16 000.
c) Para V = 100, X = log V = 2 y Y = log P = 4.20 − 1.40(2) = 1.40. Entonces P = antilog 1.40 = 25.1 lb/in 2 .
Tabla 13.14
X = log V Y = log P X 2 X Y
1.7348
1.7910
1.8597
1.9479
2.0741
2.2878
1.7868
1.6946
1.5752
1.4533
1.2833
1.0043
3.0095
3.2077
3.4585
3.7943
4.3019
5.2340
P X = 11.6953
P Y = 8.7975
P X
2
= 23.0059
3.0997
3.0350
2.9294
2.8309
2.6617
2.2976
P X Y = 16.8543
13.22 Usar MINITAB para resolver el problema 13.21.
SOLUCIÓN
Las transformaciones X = log t (V ) y Y = log t (P) convierten el problema en un problema de ajuste lineal. Para encontrar los
logaritmos comunes del volumen y de la presión se emplea la calculadora de MINITAB. En las columnas C1 a C4 de la
hoja de cálculo de MINITAB se tendrá:
V P Log10V Log10P
54.3 61.2 1.73480 1.78675
61.8 49.2 1.79099 1.69197
72.4 37.6 1.85974 1.57519
88.7 28.4 1.94792 1.45332
118.6 19.2 2.07408 1.28330
194.0 10.1 2.28780 1.00432
El ajuste por mínimos cuadrados da: log 10 (P) = 4.199 − 1.402 log 10 (V). Ver la figura 13-15. a 0 = log C y a 1 = −γ.
Sacando antilogaritmos se obtiene C = 10 a 0 y γ = −a 1 o C = 15 812 y γ = 1.402. La ecuación no lineal es PV 1.402 =
15 812.
340 CAPÍTULO 13 AJUSTE DE CURVAS Y MÉTODO DE MÍNIMOS CUADRADOS
1.8
1.7
1.6
1.5
Gráfica de la recta ajustada
log 10 P = 4.199 − 1.402 log 10 V
l og 1 0 P
1.4
1.3
1.2
1.1
1.0
0.9
1.7 1.8 1.9 2.0 2.1 2.2 2.3
log 10 V
Figura 13-15 Reducción de una ecuación no lineal a la forma lineal.
13.23 En la tabla 13.15 se da, en millones, la población de Estados Unidos desde 1960 hasta 2005. A estos datos,
ajustar una recta y una parábola y analizar los dos ajustes. Usar ambos modelos para predecir la población que
tendrá Estados Unidos en 2010.
Tabla 13.15
Año 1960 1965 1970 1975 1980 1985 1990 1995 2000 2005
Población 181 194 205 216 228 238 250 267 282 297
Fuente: U.S. Bureau of Census.
SOLUCIÓN
A continuación se presenta parte de los resultados que da MINITAB para la recta de mínimos cuadrados y para la parábola
de mínimos cuadrados.
Año Población x xcuadrada
1960 181 1 1
1965 194 2 4
1970 205 3 9
1975 216 4 16
1980 228 5 25
1985 238 6 36
1990 250 7 49
1995 267 8 64
2000 282 9 81
2005 297 10 100
El modelo para la recta es el siguiente:
La ecuación de regresión es
Población = 166 + 12.6 x
El modelo cuadrático es el siguiente:
La ecuación de regresión es
Población = 174 + 9.3 x – 0.326 x 2
PROBLEMAS RESUELTOS 341
En la tabla 13.16 se dan los valores ajustados y los residuales del ajuste a los datos mediante la recta.
Tabla 13.16
Año Población Valor ajustado Residual
1960
1965
1970
1975
1980
1985
1990
1995
2000
2005
181
194
205
216
228
238
250
267
282
297
179.018
191.636
204.255
216.873
229.491
242.109
254.727
267.345
279.964
292.582
1.98182
2.36364
0.74545
−0.87273
−1.49091
−4.10909
−4.72727
−0.34545
2.03636
4.41818
En la tabla 13.17 se dan los valores ajustados y los residuales correspondientes al ajuste parabólico a los datos. La
suma de los cuadrados de los residuales en el caso de la recta es 76.073 y la suma de los cuadrados de los residuales en el
caso de la parábola es 20.042. Parece que, en general, la parábola se ajusta mejor que la recta a estos datos.
Tabla 13.17
Año Población Valor ajustado Residual
1960
1965
1970
1975
1980
1985
1990
1995
2000
2005
181
194
205
216
228
238
250
267
282
297
182.927
192.939
203.603
214.918
226.885
239.503
252.773
266.694
281.267
296.491
−1.92727
1.06061
1.39697
1.08182
1.11515
−1.50303
−2.77273
0.30606
0.73333
0.50909
Para predecir cuál será la población en el año 2010, obsérvese que el código para 2010 es 11. El valor que se obtiene
con el modelo de la recta es población = 166 + 12.6x = 166 + 138.6 = 304.6 millones y con el modelo de la parábola
es población = 174 + 9.03x + 0.326x 2 = 174 + 99.33 + 39.446 = 312.776.
342 CAPÍTULO 13 AJUSTE DE CURVAS Y MÉTODO DE MÍNIMOS CUADRADOS
LÍNEAS RECTAS
PROBLEMAS SUPLEMENTARIOS
13.24 Si 3X + 2Y = 18, encontrar: a) el valor de X para Y = 3, b) el valor de Y para X = 2, c) el valor de X para Y = −5, d ) el
valor de Y para X = −1, e) la intersección con el eje X, y f ) la intersección con el eje Y.
13.25 En un mismo conjunto de ejes, trazar la gráfica de las ecuaciones: a) Y = 3X − 5 y b) X + 2Y = 4. ¿En qué punto se intersecan?
13.26 a) Encontrar la ecuación de la recta que pasa por los puntos (3, −2) y (−1, 6).
b) Determinar las intersecciones de la recta del inciso a) con el eje X y con el eje Y.
c) Encontrar el valor de Y que corresponde a X = 3 y a X = 5.
d) A partir de la gráfica, verificar sus respuestas a los incisos a), b) y c).
13.27 Encontrar la ecuación de la recta cuya pendiente es 2 3
y cuya intersección con el eje Y es −3.
13.28 a) Encontrar la pendiente y la intersección con el eje Y de la recta cuya ecuación es 3X − 5Y = 20.
b) ¿Cuál es la ecuación de la recta paralela a la recta del inciso a) y qué pasa por el punto (2,−1)?
13.29 Encontrar: a) la pendiente, b) la intersección con el eje Y y c) la ecuación de la recta que pasa por los puntos (5, 4) y
(2, 8).
13.30 Encontrar la ecuación de la recta cuyas intersecciones con los ejes X y Y son 3 y −5, respectivamente.
13.31 La temperatura de 100 grados Celsius (C) corresponde a 212 grados Fahrenheit (F), en tanto que la temperatura de 0C
corresponde a 32F. Suponiendo que exista una relación lineal entre temperaturas Celsius y temperaturas Fahrenheit, encontrar:
a) la ecuación que relaciona temperaturas Celsius y temperaturas Fahrenheit, b) la temperatura Fahrenheit que corresponde
a 80C y c) la temperatura Celsius que corresponde 68F.
LA RECTA DE MÍNIMOS CUADRADOS
13.32 Ajustar una recta de mínimos cuadrados a los datos de la tabla 13.18 usando: a) X como la variable independiente y b) X
como la variable dependiente. Graficar los datos de estas rectas de mínimos cuadrados en un mismo eje de coordenadas.
Tabla 13.18
X 3 5 6 8 9 11
Y 2 3 4 6 5 8
13.33 Dados los datos del problema 13.32, hallar: a) el valor de Y para X = 12 y b) el valor de X para Y = 7.
13.34 a) Empleando el método a mano, obtener una ecuación de la recta que se ajuste a los datos del problema 13.32.
b) Empleando el resultado del inciso a), resolver el problema 13.33.
13.35 En la tabla 13.19 se muestran las calificaciones finales de álgebra y de física de diez estudiantes, tomados en forma aleatoria
de un grupo grande.
a) Graficar los datos.
b) Encontrar la recta de mínimos cuadrados que se ajusta a los datos, usando X como la variable independiente.
PROBLEMAS SUPLEMENTARIOS 343
c) Encontrar la recta de mínimos cuadrados que se ajusta a los datos, usando Y como la variable independiente.
d ) Si la calificación de un estudiante en álgebra es 75, ¿cuál es la calificación que se espera que obtenga en física?
e) Si la calificación de un estudiante en física es 95, ¿cuál es la calificación que se espera que obtenga en álgebra?
Tabla 13.19
Álgebra (X ) 75 80 93 65 87 71 98 68 84 77
Física (Y ) 82 78 86 72 91 80 95 72 89 74
13.36 En la tabla 13.20 se muestra la tasa de nacimiento por cada mil personas desde 1998 hasta 2004.
a) Graficar estos datos.
b) Hallar la recta de mínimos cuadrados que se ajusta a estos datos. Asignar a los años 1998 a 2004 los números 1 a 7.
c) Calcular los valores de tendencia (valores ajustados) y los residuales.
d ) Indicar cuál será la tasa de nacimiento en 2010, suponiendo que la tendencia actual continúa.
Tabla 13.20
Año 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004
Tasa de nacimientos por cada 1 000 14.3 14.2 14.4 14.1 13.9 14.1 14.0
Fuente: U.S. Nacional Center for Health Statistics, Vital Statistics of the United Status, annual; Nacional Vital Statistics
Reports y datos inéditos.
13.37 En la tabla 13.21 se presenta, en miles, la población de Estados Unidos de 85 o más años, desde 1999 hasta 2005.
a) Graficar estos datos.
b) Encontrar la recta de mínimos cuadrados que se ajusta a estos datos. Asignar a los años 1999 a 2005 los números 1
a 7.
c) Calcular los valores de tendencia (valores ajustados) y los residuales.
d ) Suponiendo que la tendencia actual continúe, indicar cuál será el número de personas de 85 años o más en el 2010.
Tabla 13.21
Año 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005
85 o más 4 154 4 240 4 418 4 547 4 716 4 867 5 096
Fuente: U.S. Bureau of Census.
CURVAS DE MÍNIMOS CUADRADOS
13.38 Ajustar una parábola de mínimos cuadrados, Y = a 0 + a 1 X + a 2 X 2 , a los datos de la tabla 13.22.
Tabla 13.22
X 0 1 2 3 4 5 6
Y 2.4 2.1 3.2 5.6 9.3 14.6 21.9
344 CAPÍTULO 13 AJUSTE DE CURVAS Y MÉTODO DE MÍNIMOS CUADRADOS
13.39 El tiempo requerido para llevar un automóvil al alto total a partir de que se percibe un peligro es el tiempo de reacción (el
tiempo entre el reconocimiento del peligro y la aplicación del freno) más el tiempo de frenado (el tiempo necesario para
que el automóvil se detenga después de la aplicación del freno). En la tabla 13.23 se da la distancia de frenado D (en pies,
ft) de un automóvil que va a una velocidad V (en millas por hora, mi/h).
a) Graficar D contra V.
b) Ajustar a estos datos una parábola de mínimos cuadrados de la forma D = a 0 + a 1 V + a 2 V 2 .
c) Estimar D para V = 45 mi/h y 80 mi/h.
Tabla 13.23
Velocidad V (mi/h) 20 30 40 50 60 70
Distancia de frenado D (ft) 54 90 138 206 292 396
13.40 En la tabla 13.24 se presenta, en millones, la población de hombres y de mujeres en Estados Unidos, desde 1940 hasta 2005.
Se presentan también los números dados como códigos a los años y la diferencia de hombres menos mujeres.
a) Graficar los datos y la recta de mejor ajuste por mínimos cuadrados.
b) Graficar los datos y el mejor ajuste cuadrático por mínimos cuadrados.
c) Graficar los datos y el mejor ajuste cúbico por mínimos cuadrados.
d ) Con cada uno de los tres modelos, dar el valor ajustado y los residuales, así como la suma de los cuadrados de los
residuales.
e) Emplear cada uno de los tres modelos para predecir la población que habrá en el año 2010.
Tabla 13.24
Año 1940 1950 1960 1970 1980 1990 2000 2005
Código
Hombres
Mujeres
Diferencia
0
66.1
65.6
0.5
1
75.2
76.1
−0.9
2
88.3
91.0
−2.7
3
98.9
104.3
−5.4
4
110.1
116.5
−6.4
5
121.2
127.5
−6.3
6
138.1
143.4
−5.3
6.5
146.0
150.4
−4.4
Fuente: U.S. Bureau of Census.
13.41 Resolver el problema 13.40 empleando, en lugar de las diferencias, la proporción entre mujeres y hombres.
13.42 Resolver el problema 13.40 ajustando una parábola de mínimos cuadrados a las diferencias.
13.43 En la tabla 13.25 se presenta la cuenta bacteriana Y, por unidad de volumen en un cultivo, después de X horas.
Tabla 13.25
Número de horas (X) 0 1 2 3 4 5 6
Cuenta bacteriana por unidad de volumen (Y ) 32 47 65 92 132 190 275
a) Graficar los datos en papel semilogarítmico usando la escala logarítmica para Y y la escala aritmética para X.
b) Ajustar a los datos una curva de mínimos cuadrados de la forma Y = ab x y explicar por qué esta ecuación dará buenos
resultados.
c) Comparar los valores de Y que se obtienen con esta ecuación con los valores reales.
d ) Estimar el valor de Y para X = 7.
13.44 En el problema 13.43 mostrar cómo usar una gráfica en papel semilogarítmico para obtener la ecuación buscada sin emplear
el método de mínimos cuadrados.
TEORÍA DE
LA CORRELACIÓN
14
CORRELACIÓN Y REGRESIÓN
En el capítulo 13 se consideró el problema de la regresión, o estimación de una variable (la variable dependiente) a
partir de una o más variables (las variables independientes). En este capítulo se hará referencia a un problema relacionado
con el de la correlación o grado de relación entre las variables, en el que se busca determinar qué tan bien una
ecuación lineal, o de otro tipo, describe o explica la relación entre las variables.
Si todos los valores de las variables satisfacen con exactitud una ecuación, se dice que las variables están en perfecta
correlación o que hay una correlación perfecta entre ellas. Así, las circunferencias C y los radios r de todos los
círculos están perfectamente correlacionados, ya que C = 2πr. Cuando se lanzan 100 veces dos dados en forma simultánea
entre los puntos que aparecen en cada uno de ellos no hay relación alguna (a menos que estén cargados); es decir,
no están correlacionados. Sin embargo, variables como el peso y la estatura de una persona muestran cierta correlación.
Cuando intervienen sólo dos variables se habla de correlación simple y de regresión simple. Cuando intervienen
más de dos variables, se habla de correlación múltiple y de regresión múltiple. En este capítulo sólo se considerará la
correlación simple. En el capítulo 15 se consideran la correlación y la regresión múltiples.
CORRELACIÓN LINEAL
Si X y Y son las dos variables en consideración, un diagrama de dispersión sirve para mostrar la localización de los
puntos (X, Y) en un sistema de coordenadas rectangulares. Si en este diagrama de dispersión todos los puntos parecen
encontrarse cerca de una línea recta, como en las figuras 14-1a) y 14-1b), a la correlación se le llama lineal. En estos
casos, como se vio en el capítulo 13, una ecuación lineal es lo apropiado con el propósito de regresión (o estimación).
Si Y tiende a aumentar a medida que X aumenta, como en la figura 14-1a), se dice que la correlación es una correlación
positiva o directa. Si Y tiende a disminuir a medida que X aumenta, como en la figura 14-1b), se dice que es una
correlación negativa o inversa.
Si todos los puntos parecen encontrarse en una curva, esta correspondencia se llama no lineal, y según se vio en el
capítulo 13, lo apropiado para la regresión es una ecuación no lineal. Es claro que la correlación no lineal puede ser
algunas veces positiva y otras veces negativa.
Si no parece haber relación entre las variables, como en la figura 14-1c), se dice que no hay relación entre ellas (es
decir, están descorrelacionadas).
345
346 CAPÍTULO 14 TEORÍA DE LA CORRELACIÓN
Salario inicial
80
70
60
50
40
30
10
12
14 16 18
Años de estudio
a)
20
22
Promedio de calificaciones escolares
4.00
3.75
3.50
3.25
3.00
2.75
2.50
0
5
10 15
Horas de televisión
b)
20
25
Horas hablando por teléfono
20.0
17.5
15.0
12.5
10.0
7.5
5.0
2
4
6 8 10 12
Letras en el nombre
c)
Figura 14-1 Ejemplos de correlación positiva, correlación negativa y ninguna
correlación. a) El salario inicial y los años de estudio se correlacionan en forma positiva;
b) el promedio de las calificaciones escolares y las horas que se pasa viendo la televisión
se correlacionan negativamente; c) entre la cantidad de horas que se habla por teléfono
y el número de letras que tiene el nombre de una persona no hay correlación.
14
16
MEDIDAS DE LA CORRELACIÓN
Mediante observación directa se puede determinar de manera cualitativa que también una recta o una curva describe
la relación entre las variables. Por ejemplo, se ve que una línea recta es mucho más útil para describir la relación entre
X y Y en el caso de los datos de la figura 14-1a) que en el caso de los datos de la figura 14-1b), debido a que en la
figura 14-1a) hay menos dispersión con relación a la recta.
Para ocuparse de manera cuantitativa del problema de la dispersión de los datos muestrales respecto a una línea o
a una curva, es necesario encontrar una medida de la correlación.
LAS RECTAS DE REGRESIÓN DE MÍNIMOS CUADRADOS
Primero se considerará el problema de qué tan bien una línea recta explica la relación entre dos variables. Para esto,
se necesitarán las ecuaciones de las rectas de regresión por mínimos cuadrados obtenidas en el capítulo 13. Como se
ha visto, la recta de regresión por mínimos cuadrados de Y sobre X es
Y = a 0 + a 1 X (1)
EL ERROR ESTÁNDAR DE ESTIMACIÓN 347
donde a 0 y a 1 se obtienen de las ecuaciones normales
P Y ¼ a0 N þ a 1
P X
P XY ¼ a0
P X þ a1
P X
2
(2)
que dan
a 0 ¼ ðP YÞð P X 2 Þ
N P X 2 ð P XÞð P XYÞ
ð P XÞ 2
a 1 ¼ N P XY ð P XÞð P YÞ
N P X 2 ð P XÞ 2 (3)
De igual manera, la recta de regresión de X sobre Y es
X = b 0 + b 1 Y (4)
donde b 0 y b 1 se obtienen de las ecuaciones normales
P X ¼ b0 N þ b 1
P Y
P XY ¼ b0
P X þ b1
P Y
2
(5)
que dan
b 0 ¼ ðP XÞð P Y 2 Þ ð P YÞð P XYÞ
N P Y 2 ð P YÞ 2
Las ecuaciones (1) y (4) pueden expresarse, respectivamente, como
b 1 ¼ N P XY ð P XÞð P YÞ
N P Y 2 ð P (6)
YÞ 2
P xy
y ¼ P x y x ¼
x
2
P xy
P y
2
y (7)
donde x ¼ X X y y ¼ Y Y.
Las ecuaciones de regresión son idénticas si y sólo si todos los puntos del diagrama de dispersión se encuentran en
una recta. En tales casos, existe una correlación lineal perfecta entre X y Y.
EL ERROR ESTÁNDAR DE ESTIMACIÓN
Si Y est es el valor estimado para Y, empleando la ecuación (1), para un valor dado de X, una medida de la dispersión
respecto a la recta de regresión de Y sobre X es la cantidad
sffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
P ðY Yest Þ 2
s Y:X ¼
N
(8)
a la que se le llama error estándar de estimación de Y sobre X.
348 CAPÍTULO 14 TEORÍA DE LA CORRELACIÓN
Empleando la recta de regresión (4), el error estándar de estimación análogo, de X sobre Y, es
sffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
P ðX Xest Þ 2
s X:Y ¼
N
(9)
En general, s Y.X ≠ s X.Y .
La ecuación (8) también puede expresarse en la forma
P Y
s 2 2
Y:X ¼
P
a 0 Y
N
a1
P XY
(10)
que puede ser más apropiada para hacer los cálculos (ver problema 14.3). Para la ecuación (9) existe una expresión
similar.
El error estándar de estimación tiene propiedades análogas a la desviación estándar. Por ejemplo, si se trazan rectas
paralelas a la recta de regresión de Y sobre X a las distancias verticales s Y.X , 2s Y.X y 3s Y.X , se hallará, si N es suficientemente
grande, que entre estas rectas se encuentra 68%, 95% y 99.7% de los puntos muestrales, respectivamente.
Así como la desviación estándar modificada, que es
rffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
N
^s ¼ s
N 1
se emplea para muestras pequeñas, también el error estándar de estimación modificado está dado por
rffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
N
^s Y:X ¼
N 2
A esto se debe que algunos especialistas en estadística prefieran definir las ecuaciones (8) y (9) empleando N − 2 en
el denominador en lugar de N.
s Y:X
VARIACIÓN EXPLICADA Y NO EXPLICADA
La variación total de Y se define como P ðY YÞ 2 ; es decir, la suma de los cuadrados de las desviaciones de Y respecto
a la media Y. Como se muestra en el problema 14.7, esta expresión se puede expresar como
P ðY YÞ 2 ¼ P ðY Y est Þ 2 þ P ðY est
YÞ 2 (11)
En la ecuación (11), al primer término del lado derecho se le llama variación no explicada, en tanto que al segundo
término se le llama variación explicada; se les llama así debido a que las desviaciones Y est
Y tienen un patrón
definido; en cambio, las desviaciones Y − Y est son aleatorias o impredecibles. Para la variable X existe una fórmula
similar.
COEFICIENTE DE CORRELACIÓN
Al cociente de la variación explicada entre la variación total se le llama coeficiente de determinación. Si hay cero
variación explicada (es decir, si la variación total es sólo variación no explicada), este cociente es 0. Si hay 0 variación
no explicada (es decir, si la variación total es sólo variación explicada), este cociente es 1. En los demás casos, este
cociente se encuentra entre 0 y 1; como siempre es no negativo, se denota r 2 . A la cantidad r se le llama coeficiente de
correlación; está dado por
rffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
sffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
P
explained variación explicada variation ðYest YÞ 2
r ¼
¼ P
total variación variation total
ðY YÞ 2
(12)
OBSERVACIONES ACERCA DEL COEFICIENTE DE CORRELACIÓN 349
y varía entre −1 y +1. Los signos + y − se usan para correlación lineal positiva y correlación lineal negativa, respectivamente.
Obsérvese que r es una cantidad adimensional; es decir, no depende de las unidades que se empleen.
Utilizando las ecuaciones (8) y (11) y el hecho de que la desviación estándar de Y es
sffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
P ðY YÞ 2
s Y ¼
N
(13)
se encuentra que la ecuación (12) puede expresarse, sin hacer caso del signo, como
sffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
s 2 Y:X
r ¼ 1
s 2 Y
pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
o bien s Y:X ¼ s Y 1 r 2
(14)
Si se intercambian X y Y se obtienen ecuaciones similares.
En el caso de la correlación lineal, la cantidad r es la misma, ya sea que se considere a X o a Y como la variable
independiente. Por lo tanto r es una muy buena medida de la correlación lineal entre dos variables.
OBSERVACIONES ACERCA DEL COEFICIENTE DE CORRELACIÓN
Las definiciones del coeficiente de correlación dadas en las ecuaciones (12) y (14) son muy generales y pueden emplearse
tanto para relaciones no lineales como para relaciones lineales; la única diferencia es que Y est se calcula a partir de
una ecuación de regresión no lineal y no a partir de una ecuación de regresión lineal, y que los signos + y − se omiten.
En estos casos la ecuación (8), que define el error estándar de estimación, es perfectamente general. Sin embargo, la
ecuación (10) que se emplea únicamente para regresión lineal, debe ser modificada. Si, por ejemplo, la ecuación de
estimación es
la ecuación (10) se reemplaza por
Y ¼ a 0 þ a 1 X þ a 2 X 2 þþa n 1 X n 1 (15)
P Y
s 2 2
Y:X ¼
P
a 0 Y
P
a1 XY an
P
1 X
n 1 Y
N
(16)
En este caso, el error estándar de estimación modificado (antes visto en este capítulo) es
rffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
N
^s Y:X ¼
N n
en donde a la cantidad N − n se le conoce como número de grados de libertad.
Hay que subrayar que en todos los casos, el valor calculado para r mide el grado de relación respecto al tipo de
ecuación que se emplee. Así, si se utiliza una ecuación lineal y con la ecuación (12) o (14) dan un valor de r cercano
a cero, esto significa que entre las variables casi no hay correlación lineal. Pero esto no significa que no haya correlación
alguna, pues entre estas variables puede haber una fuerte correlación no lineal. En otras palabras, el coeficiente
de correlación mide la bondad de ajuste entre: 1) la ecuación empleada y 2) los datos. A menos que se especifique otra
cosa, el término coeficiente de correlación se emplea con el significado de coeficiente de correlación lineal.
Hay que hacer notar también que un coeficiente de correlación elevado (es decir, cercano a 1 o a −1) no necesariamente
indica que haya dependencia directa entre las variables. Así, por ejemplo, puede haber correlación elevada
entre la cantidad de libros publicados anualmente y cantidades número de tormentas eléctricas por año. A los ejemplos
de este tipo o se le conoce como correlaciones sin sentido o espurias.
s Y:X
350 CAPÍTULO 14 TEORÍA DE LA CORRELACIÓN
FÓRMULA PRODUCTO-MOMENTO PARA EL COEFICIENTE
DE CORRELACIÓN LINEAL
Si se supone que entre dos variables existe una relación lineal, la ecuación (12) se convierte en
P xy
r ¼ p ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
ð P x 2 Þð P (17)
y 2 Þ
donde x ¼ X X y y ¼ Y Y (ver el problema 14.10). Esta fórmula, que automáticamente da el signo adecuado de
r se conoce como fórmula del producto-momento y permite ver claramente la simetría entre X y Y.
Si se escribe
sffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
sffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
P P P xy
x
2
y
2
s XY ¼ s
N X ¼
s
N Y ¼
(18)
N
entonces s X y s Y se reconocerán como las desviaciones estándar de X y de Y, respectivamente, y s 2 X y s 2 Y son las varianzas.
La nueva cantidad s XY es la covarianza de X y Y. En términos de la fórmula (18), la fórmula (17) puede expresarse
como
r ¼ s XY
(19)
s X s Y
Obsérvese que r no sólo es independiente de las unidades de X y de Y, sino también de la elección del origen.
FÓRMULAS SIMPLIFICADAS PARA EL CÁLCULO
La fórmula (17) puede expresarse de la siguiente manera equivalente
N P XY ð P XÞð P YÞ
r ¼ q ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
½n P X 2 ð P XÞ 2 Š½N P Y 2 ð P (20)
YÞ 2 Š
con frecuencia empleada para el cálculo de r.
Para datos agrupados como los de una tabla de frecuencias bivariadas o distribución de frecuencias bivariadas
(ver problema 14.17), conviene emplear un método de compilación como los de capítulos anteriores. En ese caso, la
fórmula (20) puede expresarse
N P fu
r ¼
X u Y ð P f X u X Þð P f Y u Y Þ
q ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
½N P f X u 2 X ð P f X u X Þ 2 Š½N P f Y u 2 Y ð P (21)
f Y u Y Þ 2 Š
(ver problema 14.18). Cuando se emplea esta fórmula, para facilitar los cálculos se emplea una tabla de correlación
(ver problema 14.19).
En el caso de datos agrupados, las fórmulas (18) se pueden expresar como
P P P
fuX u
s XY ¼ c X c Y fX u X fY u Y
Y
(22)
N N N
sffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
P
fX u 2 P
X fX u 2
s X ¼ c X
X
(23)
N N
sffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
P
fY u 2 P
Y fY u 2
s Y ¼ c Y
Y
(24)
N N
donde c X y c Y son las amplitudes de los intervalos de clase (que se suponen constantes) correspondientes a las variables
X y Y, respectivamente. Obsérvese que las fórmulas (23) y (24) son equivalentes a la fórmula (11) del capítulo 4.
Empleando las fórmulas (22) y (24), la fórmula (19) parece ser equivalente a la fórmula (21).
TEORÍA MUESTRAL DE LA CORRELACIÓN 351
RECTAS DE REGRESIÓN Y EL COEFICIENTE DE CORRELACIÓN LINEAL
La ecuación de la recta de regresión por mínimos cuadrados Y = a 0 + a 1 X, la recta de regresión de Y sobre X, puede
expresarse como
Y Y ¼ rs Y
ðX XÞ o bien y ¼ rs Y
x (25)
s X s X
De igual manera, la recta de regresión de X sobre Y, X = b 0 + b 1 Y, puede expresarse como
X X ¼ rs X
ðY YÞ o bien x ¼ rs X
y (26)
s Y s Y
Las pendientes de las rectas de regresión (25) y (26) son iguales si y sólo si r = ±1. En esos casos las dos rectas
son idénticas y existe una perfecta correlación entre X y Y. Si r = 0, las rectas forman ángulos rectos y no hay correlación
lineal entre X y Y. Por lo tanto, el coeficiente de correlación lineal mide qué tanto se apartan las dos rectas de
regresión.
Obsérvese que si las ecuaciones (25) y (26) se expresan como Y = a 0 + a 1 X y X = b 0 + b 1 Y, respectivamente,
entonces a 1 b 1 = r 2 (ver problema 14.22).
CORRELACIÓN DE SERIES DE TIEMPO
Si las variables X y Y dependen del tiempo, es posible que entre X y Y exista una relación, aunque esta relación no sea,
necesariamente, de dependencia directa y produzca una “correlación sin sentido”. El coeficiente de correlación se
obtiene considerando los pares de valores (X, Y ) correspondientes a los distintos tiempos y procediendo como de costumbre,
haciendo uso de las fórmulas anteriores (ver problema 14.28).
También se puede tratar de correlacionar los valores de una variable X en cierto tiempo con los correspondientes
valores de X en un tiempo anterior. A esta correlación se le llama autocorrelación.
CORRELACIÓN DE ATRIBUTOS
Los métodos descritos en este capítulo no permiten considerar la correlación entre variables, por naturaleza, no numéricas;
por ejemplo, atributos de individuos (como color de pelo, color de ojos, etc.). La correlación de atributos se
analiza en el capítulo 12.
TEORÍA MUESTRAL DE LA CORRELACIÓN
Los N pares de valores (X, Y ) de dos variables pueden considerarse como muestras de una población que consta de
todos estos pares. Como hay dos variables, a esta población se le llama población bivariada, la que se supondrá tiene
una distribución normal bivariada.
Se puede pensar que existe un coeficiente de correlación poblacional teórico, denotado ρ, que se estima por el
coeficiente de correlación muestral r. Las pruebas de significancia o de hipótesis relacionadas con los diferentes valores
de ρ requieren del conocimiento de la distribución muestral de r. Para ρ = 0 esta distribución es simétrica y se usa
un estadístico que implica la distribución de Student. Para ρ ≠ 0 esta distribución es sesgada; en ese caso, una transformación
desarrollada por Fischer da un estadístico que está distribuido en forma aproximadamente normal. Las
pruebas siguientes resumen los procedimientos empleados:
1. Prueba de hipótesis ρ = 0. Aquí se emplea el hecho de que el estadístico
t ¼ r
pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
N 2
p ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
(27)
1 r 2
tiene una distribución de Student con ν = N − 2 grados de libertad (ver problemas 14.31 y 14.32).
352 CAPÍTULO 14 TEORÍA DE LA CORRELACIÓN
2. Prueba de hipótesis ρ = ρ 0 0. Aquí se emplea el hecho de que el estadístico
Z ¼ 1 2 log 1 þ r
1 þ r
e ¼ 1:1513 log
1 r
10
1 r
(28)
donde e = 2.71828. . . , está distribuido de manera casi normal, con media y desviación estándar dadas por
Z ¼ 1 2 log e
1 þ 0
1 0
1 þ
¼ 1:1513 log 0
10
1 0
1
Z ¼ p ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
(29)
N 3
Las ecuaciones (28) y (29) también pueden usarse para hallar los límites de confianza para los coeficientes de
correlación (ver problemas 14.33 y 14.34). La ecuación (28) se llama transformación Z de Fischer.
3. Significancia de una diferencia entre coeficientes de correlación. Para determinar si dos coeficientes de correlación
r 1 y r 2 , obtenidos de muestras de tamaños N 1 y N 2 , respectivamente, difieren de manera notable uno de otro,
empleando la ecuación (28) se calculan los valores Z 1 y Z 2 correspondientes a r 1 y r 2 . Después se usa el hecho de
que el estadístico de prueba
z ¼ Z 1 Z 2 Z1 Z 2
Z1 Z 2
(30)
donde Z1 Z 2
¼ Z1 Z2
sffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
y Z1 Z 2
¼ 2 Z 1
þ 2 1
Z 2
¼
N 1 3 þ 1
N 2 3
está distribuido en forma normal (ver problema 14.35).
TEORÍA MUESTRAL DE LA REGRESIÓN
La ecuación de regresión Y = a 0 + a 1 X se obtiene basándose en datos muestrales. Se desea conocer la correspondiente
ecuación de regresión para la población de la que se obtuvo la muestra. A continuación se presentan tres pruebas
relacionadas con esta población:
1. Prueba de hipótesis a 1 = A 1 . Para probar la hipótesis de que el coeficiente de regresión a 1 es igual a algún valor
dado A 1 , se emplea el hecho de que el estadístico
t ¼ a 1 A 1
s Y:X =s X
pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
N 2
(31)
tiene una distribución de Student con N − 2 grados de libertad. Esto también se puede emplear para hallar intervalos
de confianza para los coeficientes de regresión poblacional a partir de valores muestrales (ver los problemas
14.36 y 14.37).
2. Prueba de la hipótesis para valores pronosticados. Sea Y 0 el valor pronosticado para Y, correspondiente a X =
X 0 , mediante la ecuación de regresión muestral (es decir, Y 0 = a 0 + a 1 X 0 ). Sea Y P el valor pronosticado para Y que
corresponde a X = X 0 en la población. Entonces, el estadístico
t ¼
s Y:X
Y 0 Y p
pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
N 2 ¼
N þ 1 þðX 0
XÞ 2 =s 2 X
^s X:Y
Y 0
Y p
q ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi (32)
1 þ 1=N þðX 0
XÞ 2 =ðNs 2 X Þ
tiene una distribución de Student con N − 2 grados de libertad. A partir de esta fórmula se pueden hallar límites de
confianza para valores poblacionales pronosticados (ver el problema 14.38).
PROBLEMAS RESUELTOS 353
3. Prueba de hipótesis para valores pronosticados para la media. Sea Y 0 el valor pronosticado para Y, correspondiente
a X = X 0 , empleando la ecuación de regresión muestral (es decir, Y 0 = a 0 + a 1 X 0 ). Sea Y p el valor medio
pronosticado de Y que corresponde a X = X 0 en la población. Entonces el estadístico
t ¼
s Y:X
Y 0
Y p
pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
N 2 ¼
1 þðX 0
XÞ 2 =s 2 X
^s Y:X
Y 0
Y p
q ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
(33)
1=N þðX 0
XÞ 2 =ðNs 2 X Þ
tiene una distribución de Student con N − 2 grados de libertad. A partir de esta fórmula se pueden hallar límites de
confianza para valores pronosticados para la media poblacional (ver el problema 14.39).
PROBLEMAS RESUELTOS
DIAGRAMAS DE DISPERSIÓN Y RECTAS DE REGRESIÓN
14.1 En la tabla 14.1 X y Y son las estaturas de 12 padres y de sus hijos mayores.
a) Con estos datos, construir un diagrama de dispersión.
b) Resolviendo las ecuaciones normales, encontrar la línea de regresión de mínimos cuadrados correspondiente
a la estatura del padre sobre la estatura del hijo. También encontrar esta línea empleando SPSS.
c) Resolviendo las ecuaciones normales, encontrar la línea de regresión de mínimos cuadrados correspondiente
a la estatura del hijo sobre la estatura del padre. Encontrar también esta línea empleando STATISTIX.
Tabla 14.1
Estatura X del padre (in) 65 63 67 64 68 62 70 66 68 67 69 71
Estatura Y del hijo (in) 68 66 68 65 69 66 68 65 71 67 68 70
SOLUCIÓN
a) El diagrama de dispersión se obtiene graficando los puntos (X, Y ) en un sistema de coordenadas rectangulares, como
el que se muestra en la figura 14-2.
71
70
Estatura del hijo
69
68
67
66
65
62 63 64 65 66 67 68 69 70 71
Estatura del padre
Figura 14-2 Diagrama de dispersión de los datos de la tabla 14.1.
b) La recta de regresión de Y sobre X es Y = a 0 + a 1 X, donde a 0 y a 1 se obtienen resolviendo las ecuaciones normales.
P P Y ¼ a0 N þ a 1 X
P P P XY ¼ a0 X þ a1 X
2
354 CAPÍTULO 14 TEORÍA DE LA CORRELACIÓN
En la tabla 14.2 se presentan las sumas a partir de las cuales las ecuaciones normales son
12a 0 + 800a 1 = 811
800a 0 + 53 418a 1 = 54 107
de donde se encuentra que a 0 = 35.82 y a 1 = 0.476, con lo que Y = 35.82 + 0.476X.
A continuación se presenta parte del resultado que se obtiene con la secuencia Analyze → Regresión → Linear de
SPSS.
Coeficientes a
Coeficientes sin
estandarizar
Coeficientes
estandarizados
Modelo
B Error estándar Beta
t
Sig
1 (Constante)
Estpadre
35.825
.476
10.178
.153 .703
3.520
3.123
.006
.011
a Variable dependiente: Esthijo.
Delante de la palabra (Constante) se encuentra el valor de a 0 y delante de la palabra Estpadre se encuentra el
valor de a 1 .
Tabla 14.2
X Y X 2 X Y Y 2
65
63
67
64
68
62
70
66
68
67
69
71
68
66
68
65
69
66
68
65
71
67
68
70
4 225
3 969
4 489
4 096
4 624
3 844
4 900
4 356
4 624
4 489
4 761
5 041
∑ X = 800
∑ Y = 811
∑ X 2 = 53 418
4 420
4 624
4 158
4 356
4 556
4 624
4 160
4 225
4 692
4 761
4 092
4 356
4 760
4 624
4 290
4 225
4 828
5 041
4 489
4 489
4 692
4 624
4 970
4 900
∑ ∑ X Y = 54 107 Y 2 = 54 849
c) La recta de regresión de X sobre Y es X = b 0 + b 1 Y, donde b 0 y b 1 se obtienen resolviendo las ecuaciones normales
P P X ¼ b0 N þ b 1 Y
P P P XY ¼ b0 Y þ b1 Y
2
Empleando las sumas de la tabla 14.2 estas ecuaciones son:
12b 0 + 811b 1 = 800
811b 0 + 54 849b 1 = 54 107
PROBLEMAS RESUELTOS 355
de las cuales se encuentra que b 0 = −3.38 y b 1 = 1.036, por lo que X = −3.38 + 1.036Y
A continuación se presenta parte del resultado que se obtiene con la secuencia Statistics → Linear models →
Linear regresión de STATISTIX:
Statistix 8.0
Unweighted Least Squares Linear Regression of Htfather
Predictor
Variable Coefficient Std Error T P
Constant –3.37687 22.4377 –0.15 0.8834
Htson –1.03640 0.33188 –3.12 0.0108
Delante de la palabra constant se encuentra el valor b 0 = −3.37687 y delante de la palabra Esthijo se encuentra
el valor b 1 = 1.0364.
14.2 Resolver el problema 14.1 usando MINITAB. Construir tablas en las que se den los valores ajustados, Y est , y
los residuales. Encontrar la suma de los cuadrados de los residuales correspondientes a estas dos rectas de
regresión.
SOLUCIÓN
Primero se hallará la línea de regresión por mínimos cuadrados de Y sobre X. A continuación se muestran parte de los
resultados que da MINITAB. En la tabla 14.3 se dan los valores ajustados, los residuales y los cuadrados de los residuales
correspondientes a la línea de regresión de Y sobre X.
Tabla 14.3
X
Y
Valor ajustado
Y est
Residual
Y − Y est
Cuadrado del
residual
65
63
67
64
68
62
70
66
68
67
69
71
68
66
68
65
69
66
68
65
71
67
68
70
66.79
65.84
67.74
66.31
68.22
65.36
69.17
67.27
68.22
67.74
68.69
69.65
1.21
0.16
0.26
–1.31
0.78
0.64
–1.17
–2.27
2.78
–0.74
–0.69
0.35
Suma = 0
1.47
0.03
0.07
1.72
0.61
0.41
1.37
5.13
7.74
0.55
0.48
0.12
Suma = 19.70
MTB > Regress ‘Y’ on 1 predictor ‘X’
Análisis de regresión
La ecuación de regresión es Y = 35.8 + 0.476 X
El resultado que da MINITAB al hallar la línea de regresión por mínimos cuadrados de X sobre Y es el siguiente:
MTB > Regress ‘X’ on 1 predictor ‘Y’
Análisis de regresión
La ecuación de regresión es X = –3.4 + 1.04 Y
En la tabla 14.4 se dan los valores ajustados, los residuales y los cuadrados de los residuales correspondientes a la
línea de regresión de X sobre Y.
356 CAPÍTULO 14 TEORÍA DE LA CORRELACIÓN
Tabla 14.4
X
Y
Valor ajustado
X est
Residual
X − X est
Cuadrado del
residual
65
63
67
64
68
62
70
66
68
67
69
71
68
66
68
65
69
66
68
65
71
67
68
70
67.10
65.03
67.10
63.99
68.13
65.03
67.10
63.99
70.21
66.06
67.10
69.17
−2.10
−2.03
−0.10
−0.01
−0.13
−3.03
−2.90
−2.01
−2.21
−0.94
−1.90
−1.83
Suma = 0
4.40
4.10
0.01
0.00
0.02
9.15
8.42
4.04
4.87
0.88
3.62
3.34
Suma = 42.85
Comparando la suma de cuadrados de los residuales se ve que el ajuste de la recta de regresión de mínimos cuadrados
de Y sobre X es mucho mejor que el ajuste de la recta de regresión de mínimos cuadrados de X sobre Y. Recuérdese que
cuanto menor sea la suma de los cuadrados de los residuales, el modelo de regresión se ajusta mejor a los datos. La estatura
del padre es mejor predictor de la estatura del hijo que la estatura del hijo de la estatura del padre.
ERROR ESTÁNDAR DE ESTIMACIÓN
14.3 Si la línea de regresión de Y sobre X está dada por Y = a 0 + a 1 X, probar que el error estándar de estimación
s Y .X está dado por
P Y
s 2 2
Y:X ¼
P
a 0 Y
N
a1
P XY
SOLUCIÓN
Los valores estimados para Y, de acuerdo con la línea de regresión, están dados por Y est = a 0 + a 1 X. Por lo tanto,
P ðY
s 2 Yest Þ 2 P ðY a0 a
Y:X ¼
¼
1 XÞ 2
N
N
P P P YðY a0 a
¼
1 XÞ a 0 ðY a0 a 1 XÞ a 1 XðY a0 a 1 XÞ
N
Pero
y
P ðY a0 a 1 XÞ¼ P Y a 0 N a 1
P X ¼ 0
P XðY a0 a 1 XÞ¼ P XY a 0
P X a1
P X 2 ¼ 0
ya que de acuerdo con las ecuaciones normales
P Y ¼ a0 N þ a 1
P X
P XY ¼ a0
P X þ a1
P X
2
Por lo tanto,
P P YðY
s 2 a0 a
Y:X ¼
1 XÞ Y
2
¼
N
P
a 0 Y
N
a1
P XY
Este resultado puede extenderse a ecuaciones de regresión no lineales.
PROBLEMAS RESUELTOS 357
14.4 Si x ¼ X X y y ¼ Y Y, mostrar que la ecuación del problema 14.3 puede expresarse
P y
s 2 2
Y:X ¼
a 1
P xy
N
SOLUCIÓN
De acuerdo con el problema 14.3, si X ¼ x þ X y Y ¼ y þ Y, se tiene
Ns 2 Y:X ¼ P Y 2 P P P
a 0 Y a1 XY ¼ ðy þ YÞ 2 P P
a 0 ðy þ YÞ a 1 ðx þ XÞðy þ YÞ
¼ P ðy 2 þ 2y Y þ Y 2 Þ a 0 ð P P
y þ N YÞ a 1 ðxy þ Xy þ x Y þ X YÞ
¼ P y 2 þ 2 Y P y þ N Y 2 P
a 0 N Y a 1 xy a1 X P y a 1
Y P x a 1 N X Y
¼ P y 2 þ N Y 2 P
a 0 N Y a 1 xy a1 N X Y
¼ P y 2 P
a 1 xy þ N Yð Y a 0 a 1
XÞ
¼ P y 2
a 1
P xy
donde se han empleado los resultados P x ¼ 0, P y ¼ 0 y Y ¼ a 0 þ a 1
X (que se obtienen al dividir entre N ambos lados
de la ecuación normal P Y ¼ a 0 N þ a 1
P X por N).
14.5 Dados los datos del problema 14.1, calcular el error estándar de estimación s Y.X empleando: a) la definición y
b) la ecuación obtenida en el problema 14.4.
SOLUCIÓN
a) De acuerdo con el problema 14.1b), la recta de regresión de Y sobre X es Y = 35.82 + 0.476X. En la tabla 14.5 se dan
los valores reales de Y (tomados de la tabla 14.1) y los valores estimados de Y, que se denotan Y est , obtenidos empleando
la recta de regresión; por ejemplo, para X = 65 se tiene Y est = 35.82 + 0.476(65) = 66.76. También se dan los
valores Y − Y est , que se necesitan para calcular s Y.X :
P ðY
s 2 Yest Þ
Y:X ¼
¼ ð1:24Þ2 þð0:19Þ 2 þþð0:38Þ 2
¼ 1:642
N
12
p
y s Y:X ¼
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
1:1642 ¼ 1:28 in.
b) De acuerdo con los problemas 14.1, 14.2 y 14.4
P y
s 2 2
Y:X ¼
p
y s Y:X ¼
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
1:643 ¼ 1:28 in.
a 1
P xy
N
¼ 38:92
0:476ð40:34Þ ¼ 1:643
12
Tabla 14.5
X 65 63 67 64 68 62 70 66 68 67 69 71
Y 68 66 68 65 69 66 68 65 71 67 68 70
Y est 66.76 65.81 67.71 66.28 68.19 65.33 69.14 67.24 68.19 67.71 68.66 69.62
Y − Y est 1.24 0.19 0.29 −1.28 0.81 0.67 −1.14 −2.24 2.81 −0.71 −0.66 0.38
14.6 a) Construir dos rectas que sean paralelas a la recta de regresión del problema 14.1 y que se encuentren a una
distancia vertical s Y .X de ella.
b) Determinar el porcentaje de los datos que caen entre estas dos líneas.
358 CAPÍTULO 14 TEORÍA DE LA CORRELACIÓN
SOLUCIÓN
71
70
69
68
Y
67
66
65
64
Variable
Y
regresión
inferior
superior
62 63 64 65 66 67 68 69 70 71
X
Figura 14-3 De los datos, el 66% se encuentra a una distancia no mayor a S Y .X de la línea de regresión.
a) La recta de regresión Y = 35.82 + 0.476X, obtenida en el problema 14.1, es la recta que aparece marcada con los
rombos. Es la recta de enmedio de las tres rectas que aparecen en la figura 14-3; hay otras dos rectas que se encuentran
cada una a una distancia S Y .X = 1.28 de la recta de regresión. A estas rectas se les llama rectas inferior y superior.
b) En la figura 14-3, los datos aparecen como círculos en negro. Ocho de los 12 datos, es decir el 66.7%, se encuentran entre
las rectas inferior y superior. Dos datos se encuentran fuera de estas rectas y otros dos se hallan sobre estas rectas.
VARIACIÓN EXPLICADA Y VARIACIÓN NO EXPLICADA
14.7 Probar que P ðY YÞ 2 ¼ P ðY Y est Þ 2 þ P ðY est
YÞ 2 .
SOLUCIÓN
Elevando al cuadrado ambos lados de Y Y ¼ðY Y est ÞþðY est
YÞ y sumando después, se tiene
P ðY YÞ 2 ¼ P ðY Y est Þ 2 þ P ðY est
YÞ 2 þ 2 P ðY Y est ÞðY est
YÞ
La ecuación buscada se obtiene inmediatamente si se demuestra que la última suma es cero; en el caso de la regresión lineal,
esto es así debido a que
P ðY Yest ÞðY est
YÞ ¼ P ðY a 0 a 1 XÞða 0 þ a 1 X YÞ
¼ a 0
P ðY a0 a 1 XÞþa 1
P XðY a0 a 1 XÞ Y P ðY a 0 a 1 XÞ¼0
y por las ecuaciones normales, P ðY a 0 a 1 XÞ¼0 y P XðY a 0 a 1 XÞ¼0.
De igual manera, empleando la curva de mínimos cuadrados dada por Y est ¼ a 0 þ a 1 X þ a 2 X 2 þþa n X n , puede
mostrarse que este resultado también es válido para la regresión no lineal.
14.8 Dados los datos del problema 14.1, calcular: a) la variación total, b) la variación no explicada y c) la variación
explicada.
SOLUCIÓN
P
La recta de regresión por mínimos cuadrados es Y est = 35.8 + 0.476X. En la tabla 14.6 se ve que la variación total
¼ P ðY YÞ 2 = 38.917, la variación no explicada ¼ P ð Þ
ðY Y est Þ 2 = 19.703 y la variación explicada ¼ P ðY est
YÞ 2
= 19.214.
PROBLEMAS RESUELTOS 359
Tabla 14.6
Y Y est (Y − Y) 2 (Y − Y est ) 2 (Y est − Y) 2
68
66
68
65
69
66
68
65
71
67
68
70
Y = 67.5833
66.7894
65.8366
67.7421
66.3130
68.2185
65.3602
69.1713
67.2657
68.2185
67.7421
68.6949
69.6476
0.1739
2.5059
0.1739
6.6719
2.0079
2.5059
0.1739
6.6719
11.6759
0.3399
0.1739
5.8419
Suma = 38.917
1.46562
0.02669
0.06650
1.72395
0.61074
0.40930
1.37185
5.13361
7.73672
0.55075
0.48286
0.12416
Suma = 19.703
0.62985
3.04986
0.02532
1.61292
0.40387
4.94068
2.52257
0.10065
0.40387
0.02532
1.23628
4.26273
Suma = 19.214
Los siguientes resultados de MINITAB dan las mismas sumas de cuadrados. Estas sumas aparecen en negritas.
Obsérvese la enorme cantidad de cálculos que este software le ahorra al usuario.
MTB > Regress ‘Y’ 1 ‘X’;
SUBC> Constant;
SUBC> Brief 1.
Análisis de regresión
The regression equation is
Y = 35.8 + 0.476 X
Analysis of Variance
Source DF SS MS F P
Regression 1 19.214 19.214 9.75 0.011
Residual Error 10 19.703 1.970
Total 11 38.917
COEFICIENTE DE CORRELACIÓN
14.9 Usar los resultados del problema 14.8 para hallar: a) el coeficiente de determinación y b) el coeficiente de
correlación.
SOLUCIÓN
a) Coeficiente de determinación = r 2 variación explicada
= = 19.214
variación total 38.917 = 0.4937
p
b) Coeficiente de correlación ¼ r ¼ ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
0:4937 ¼0:7027
Como X y Y se relacionan en forma directa, se elige el signo positivo. A dos lugares decimales r = 0.70.
14.10 Probar que para la regresión lineal, el coeficiente de correlación entre las variables X y Y puede expresarse
como
P xy
r ¼ pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
ð P x 2 Þð P y 2 Þ
donde x ¼ X X y y ¼ Y Y.
360 CAPÍTULO 14 TEORÍA DE LA CORRELACIÓN
SOLUCIÓN
La recta de regresión por mínimos cuadrados de Y sobre X puede expresarse Y est = a 0 + a 1 X o bien y est = a 1 x, donde [ver
problema 13.15a)]
P xy
a 1 ¼ P x
2 y y est ¼ Y est
Y
P
Entonces
r 2 variación explicada ðYest YÞ 2 P y
2
= ¼ P
variación total ðY YÞ 2 ¼ P est
y
2
P a
2
¼ 1 x 2 P
P ¼ a2 1 x
2 P xy 2 P x
2
P ¼ P P y
2 y
2 x
2 y
2 ¼ ð P xyÞ 2
ð P x 2 Þð P y 2 Þ
P xy
y
r ¼pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
ð P x 2 Þð P y 2 Þ
P xy
Sin embargo, como la cantidad
pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
ð P x 2 Þð P y 2 Þ
es positiva cuando y est aumenta a medida que x aumenta (es decir, correlación lineal positiva) y negativa cuando y est disminuye
a medida que x aumenta (es decir, correlación lineal negativa), esta expresión tiene automáticamente el signo correcto.
Por lo tanto, el coeficiente de correlación lineal se define como
P xy
r ¼ pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
ð P x 2 Þð P y 2 Þ
A esta expresión se le conoce como fórmula producto-momento para el coeficiente de correlación lineal.
FÓRMULA PRODUCTO-MOMENTO PARA EL COEFICIENTE
DE CORRELACIÓN LINEAL
14.11 Encontrar el coeficiente de correlación lineal entre las variables X y Y que se presentan en la tabla 14.7.
Tabla 14.7
SOLUCIÓN
X 1 3 4 6 8 9 11 14
Y 1 2 4 4 5 7 8 9
Para facilitar los cálculos se elabora la tabla 14.8.
P xy
r ¼ ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
ð P x 2 Þð P 84
p
¼ pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
¼ 0:977
y 2 Þ ð132Þð56Þ
Esto indica que existe una correlación lineal muy elevada entre estas variables, como ya se observó en los problemas
13.8 y 13.12.
Tabla 14.8
X Y x ¼ X X y ¼ Y Y x 2 xy y 2
1
3
4
6
8
9
11
14
P X ¼ 56
X ¼ 56=8 ¼ 7
1
2
4
4
5
7
8
9
P Y ¼ 40
Y ¼ 40=8 ¼ 5
−6
−4
−3
−1
−1
−2
−4
−7
−4
−3
−1
−1
−0
−2
−3
−4
36
16
9
1
1
4
16
49
P x 2 ¼ 132
24
12
3
1
0
4
12
28
16
9
1
1
0
4
9
16
P xy ¼ 84
P y 2 ¼ 56
PROBLEMAS RESUELTOS 361
14.12 Con objeto de investigar la relación entre el promedio de calificaciones y la cantidad de horas por semana que
se ve televisión, se recolectan los datos que se muestran en la tabla 14.9 y en la figura 14-4, y se emplea EXCEL
para obtener un diagrama de dispersión de los datos. La información corresponde a 10 estudiantes de secundaria,
X es la cantidad de horas por semana que el estudiante ve televisión (horas de TV) y Y es su promedio de
calificaciones.
Tabla 14.9
Horas de TV
20
5
8
10
13
7
13
5
25
14
Promedio de calificaciones
2.35
3.8
3.5
2.75
3.25
3.4
2.9
3.5
2.25
2.75
Promedio de calificaciones
4
3.8
3.6
3.4
3.2
3
2.8
2.6
2.4
2.2
2
0 5 10 15 20 25 30
Horas de TV
Figura 14-4 EXCEL, diagrama de dispersión de datos del problema 14.12.
Usar EXCEL para calcular el coeficiente de correlación de estas dos variables y verificar empleando la
fórmula de producto-momento.
SOLUCIÓN
Para hallar el coeficiente de correlación se emplea la función de EXCEL =CORREL(E2:E11,F2:F11), ingresando
en las celdas E2:E11 las horas de televisión y en las celdas F2:F11 los promedios de calificaciones. El coeficiente de
correlación es −0.9097. El signo negativo indica que las dos variables están inversamente correlacionadas. Es decir, cuanto
mayor es la cantidad de horas que se ve televisión, menor es el promedio de calificaciones.
14.13 En un estudio se registran los salarios iniciales (en miles), Y, y los años de estudio, X, de 10 empleados. En la
tabla 14.10 y en la figura 14-5 se presentan los datos y una gráfica de dispersión empleando SPSS.
362 CAPÍTULO 14 TEORÍA DE LA CORRELACIÓN
Tabla 14.10
Salario inicial
35
46
48
50
40
65
28
37
49
55
Años de estudio
12
16
16
15
13
19
10
12
17
14
60.00
Salario inicial
50.00
40.00
30.00
12.00 15.00 18.00
Estudios
Figura 14-5 SPSS, diagrama de dispersión del problema 14.13.
Usar SPSS para calcular el coeficiente de correlación de estas dos variables y verificar usando la fórmula
del producto-momento.
SOLUCIÓN
Correlaciones
salario inicial
estudios
salario inicial
Correlación de Pearson
Sig. (2 colas)
N
1
10
.891**
.001
10
estudios
Correlación de Pearson
Sig. (2 colas)
N
.891**
.001
10
1
10
**Correlación significativa al nivel 0.001 (2 colas).
PROBLEMAS RESUELTOS 363
La secuencia Analyze → Correlate → Bivariate de SPSS da la correlación empleando la fórmula del
producto-momento. A esta fórmula también se le llama correlación de Pearson.
El resultado da el coeficiente de correlación r = 0.891.
14.14 En un estudio realizado con 10 estudiantes se registró la cantidad de horas por semana que emplean su teléfono
celular, Y, y la cantidad de letras en su nombre, X. En la tabla 14.11 y en la figura 14-6 se presentan los datos
y el diagrama de dispersión obtenido con STATISTIX.
Tabla 14.11
Horas de celular
6
6
3
17
19
14
15
3
13
7
Letras en el nombre
13
11
12
7
14
4
4
13
4
9
Diagrama de dispersión de letras vs. horas
14
12
Letras
10
8
6
4
3 7 11
15 19
Horas
Figura 14-6 STATISTIX, diagrama de dispersión de los datos de la tabla 14.11.
Usar STATISTIX para calcular el coeficiente de correlación de las dos variables y verificar usando la
fórmula del producto-momento.
SOLUCIÓN
Con la secuencia “Statistics → Linear models → correlations(Pearson)” se obtiene el resultado
siguiente:
Statistix 8.0
Correlations (Pearson)
Hours
Letters –0.4701
P-VALUE 0.1704
364 CAPÍTULO 14 TEORÍA DE LA CORRELACIÓN
El coeficiente de correlación es r = −0.4701. Entre estas dos variables no existe una correlación significativa.
14.15 Mostrar que el coeficiente de correlación lineal está dado por
N P XY ð P XÞð P YÞ
r ¼ qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
½N P X 2 ð P XÞ 2 Š½N P Y 2 ð P YÞ 2 Š
SOLUCIÓN
Si se escribe x ¼ X X y y ¼ Y Y en la fórmula del problema 14.10, se tiene
P P xy
ðX XÞðY YÞ
r ¼ pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
ð P x 2 Þð P ¼ q ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
y 2 Þ ½ P ðX XÞ 2 Š½ P (34)
ðY YÞ 2 Š
Pero
P ðX XÞðY YÞ ¼ P ðXY XY X Y þ X YÞ ¼ P XY X P Y Y P X þ N X Y
¼ P XY N X Y N Y X þ N X Y ¼ P XY N X Y
¼ P XY
ðP XÞð P YÞ
N
ya que X ¼ð P XÞ=N y Y ¼ð P YÞ=N. De igual manera,
P ðX XÞ 2 ¼ P ðX 2 2X X þ X 2 Þ¼ P X 2 2 X P X þ N X 2
y
¼ P X 2 2ð P XÞ 2
N
þ ðP XÞ 2
N
P ðY YÞ 2 ¼ P Y 2 ð P YÞ 2
¼ P X 2 ð P XÞ 2
N
N
Por lo tanto, la ecuación (34) se convierte en
P P P XY ð XÞð YÞ=N
N P XY ð P XÞð P YÞ
r ¼ qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
½ P X 2 ð P XÞ 2 =NŠ½ P Y 2 ð P ¼ qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
YÞ 2 =NŠ ½N P X 2 ð P XÞ 2 Š½N P Y 2 ð P YÞ 2 Š
14.16 Se estudió la relación entre el exceso de peso y la presión sanguínea alta en adultos obesos. En la tabla 14.12
se presentan exceso de peso, en libras, y unidades superiores a 80 en la presión diastólica. En la figura 14-7 se
presenta el diagrama de dispersión obtenido con SAS.
Tabla 14.12
Exceso de peso en libras Unidades superiores a 80
75
86
88
125
75
30
47
150
114
68
15
13
10
27
20
5
8
31
78
22
PROBLEMAS RESUELTOS 365
40
Presión diastólica superior a 80
30
20
10
0
30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150
Exceso de peso
Figura 14-7 SAS, diagrama de dispersión para el problema 14.16.
Usar SAS para calcular el coeficiente de correlación de estas dos variables y verificar usando la fórmula del producto-momento.
SOLUCIÓN
Con la secuencia Statistics → Descriptive → Correlations de SAS se obtiene el procedimiento para la correlación, una
parte del cual se muestra a continuación.
The CORR Procedure
Overwt
Over80
Overwt 1.00000 0.85536
Overwt 0.0016
Over80 0.85536 1.00000
Over80 0.0016
El coeficiente de correlación dado en estos resultados es 0.85536. Existe una correlación significativa entre el
exceso de peso de una persona y una presión diastólica superior a 80.
COEFICIENTE DE CORRELACIÓN PARA DATOS AGRUPADOS
14.17 En la tabla 14.13 se muestran las distribuciones de frecuencias de las calificaciones finales en matemáticas y
en física de 100 estudiantes. De acuerdo con esta tabla determinar.
a) El número de estudiantes que en matemáticas obtuvo una calificación entre 70 y 79, y en física una calificación
entre 80 y 89.
b) El porcentaje de estudiantes cuya calificación en matemáticas es menor a 70.
c) El número de estudiantes que tiene 70 o más en física y menos de 80 en matemáticas.
d ) El porcentaje de estudiantes que aprueba por lo menos una de estas dos materias, suponiendo que la calificación
para aprobar es 60.
366 CAPÍTULO 14 TEORÍA DE LA CORRELACIÓN
SOLUCIÓN
a) En la tabla 14.13 se desciende por la columna cuyo encabezado es 70-79 (calificación en matemáticas) hasta el renglón
marcado 80-89 (calificación en física), donde la entrada es 4, que es el número de estudiantes buscado.
Tabla 14.13
Calificación en matemáticas
40-49 50-59 60-69 70-79 80-89 90-99 Total
90-99 2 4 4 10
Calificación en física
80-89 1 4 6 5 16
70-79 5 10 8 1 24
60-69 1 4 9 5 2 21
50-59 3 6 6 2 17
40-49 3 5 4 12
Total 7 15 25 23 20 10 100
b) El número de estudiantes cuya calificación en matemáticas es menos de 70 es el número de estudiantes cuya calificación
corresponde a 40-49 + el número de estudiantes cuya calificación está en 50-59 + el número de estudiantes cuya
calificación se halla en 60-69 = 7 + 15 + 25 = 47. Por lo tanto, el porcentaje buscado es 47/100 = 47%.
c) El número buscado de estudiantes es la suma de las entradas en la tabla 14.14 (que presenta parte de las entradas de
la tabla 14.13). Por lo tanto, el número buscado de estudiantes es 1 + 5 + 2 + 4 + 10 = 22.
d ) En la tabla 14.15 (tomada de la tabla 14.13) se muestra el número de alumnos que tiene una calificación menor a 60
en física o en matemáticas o en ambas materias, que es 3 + 3 + 6 + 5 = 17. Por lo tanto, el número de estudiantes
con una calificación de 60 o más en física o en matemáticas, o en ambas, es 100 − 17 = 83. El porcentaje buscado es
83/100 = 83%.
Tabla 14.14
Tabla 14.15
Calificaciones en
matemáticas
Calificaciones en
matemáticas
60-69 70-79
40-49 50-59
Calificaciones
en física
90-99 2
80-89 1 4
70-79 5 10
Calificaciones
en física
50-59 3 6
40-49 3 5
La tabla 14.13 a veces se denomina tabla de frecuencias bivariada o distribución de frecuencias bivariada. Cada
cuadro de la tabla se llama celda y corresponde a un par de clases o intervalos de clase. El número indicado en la celda se
conoce como frecuencia de celda. Por ejemplo, en la parte a) el número 4 es la frecuencia de la celda que corresponde al
par de intervalos de clase 70-79 en matemáticas y 80-89 en física.
Los totales indicados en la última fila y la última columna se denominan totales marginales o frecuencias marginales.
Corresponden, respectivamente, a las frecuencias de clase de las distribuciones de frecuencias separadas de las calificaciones
de matemáticas y de física.
PROBLEMAS RESUELTOS 367
14.18 Mostrar cómo modificar la fórmula del problema 14.15 en el caso de datos agrupados, como en la tabla de
frecuencias bivariada (tabla 14.13).
SOLUCIÓN
En el caso de datos agrupados se puede considerar que los valores de las variables X y Y coinciden con las marcas de clase
y que f X y f Y son las correspondientes frecuencias de clase, o frecuencias marginales, que se muestran en el último renglón
y en la última columna de la tabla de frecuencias bivariada. Si f representa las diversas frecuencias de celda que corresponden
a los pares de marcas de clase (X, Y), entonces la fórmula del problema 14.15 puede reemplazarse por la fórmula
N P fXY ð P f
r ¼
X XÞð P f Y YÞ
q ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
½N P f X X 2 ð P f X XÞ 2 Š½N P f Y Y 2 ð P (35)
f Y YÞ 2 Š
Si X = A + c x u x y Y = B + c Y u Y , donde c X y c Y son las amplitudes de los intervalos de clase (que se suponen constantes)
y A y B son dos marcas de clase cualesquiera que corresponden a estas variables, la fórmula (35) se convierte en la
fórmula (21) de este capítulo:
N P fu
r ¼
X u Y ð P f X u X Þð P f Y u Y Þ
q ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
½N P f X u 2 X ð P f X u X Þ 2 Š½N P f Y u 2 Y ð P (21)
f Y u Y Þ 2 Š
Éste es el método de codificación empleado en capítulos anteriores como método abreviado para el cálculo de medias,
desviaciones estándar y momentos superiores.
14.19 Encontrar el coeficiente de correlación lineal correspondiente a las calificaciones de matemáticas y de física
del problema 14.17.
SOLUCIÓN
Se usará la fórmula (21). Para facilitar los cálculos se elabora la tabla 14.16, a la que se le llama tabla de correlación. Las
sumas P f X , P f X u X , P f X u 2 X, P f Y , P f Y u Y y P f Y u 2 Y se obtienen empleando el método de codificación, como en
capítulos anteriores.
En la tabla 14.16, el número que aparece en la esquina de cada celda representa el producto fu X u Y , donde f es la
frecuencia de celda. La suma de estos números de las esquinas en cada renglón se indica en el renglón correspondiente de
la última columna. La suma de estos números de las esquinas en cada columna se indica en la columna correspondiente del
último renglón. Los totales finales del último renglón y de la última columna son iguales y representan P fu X u Y .
De acuerdo con la tabla 14.16, se tiene
N P fu
r ¼
X u Y ð P f X u X Þð P f Y u Y Þ
qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
½N P f X u 2 X ð P f X u X Þ 2 Š½N P f Y u 2 Y ð P f Y u Y Þ 2 Š
ð100Þð125Þ ð64Þð 55Þ
16,020
¼ qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
¼ pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
¼ 0:7686
½ð100ð236Þ [(100)(236) − ð64Þ (64) 2 Š½ð100Þð253Þ ][(100)(253) − ð(−55) 55Þ 2 Š]
ð19,504Þð22,275Þ
14.20 Empleando la tabla 14.16 calcular: a) s X , b) s Y y c) s X Y y verificar la fórmula r = s X Y /(s X s Y ).
SOLUCIÓN
ON sffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
P
fX u 2 P
sffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
X fX u 2
a) s X ¼ c X 236 64 2
X
¼ 10
¼ 13:966
N N
100 100
sffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
P
fY u 2 P
sffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
Y fY u 2
b) s Y ¼ c Y 253 55 2
Y ¼ 10
¼ 14:925
N N
100 100
P P P
fuX u
c) s XY ¼ c X c Y fX u X fY u Y
Y ¼ð10Þð10Þ 125
N N N
100
64
100
55
100
¼ 160:20
Por lo tanto, la desviación estándar de las calificaciones de matemáticas y de física son 14.0 y 14.9, respectivamente, y la
covarianza es 160.2. Por lo tanto, el coeficiente de correlación r es
368 CAPÍTULO 14 TEORÍA DE LA CORRELACIÓN
Tabla 14.16
Calificaciones en matemáticas X
Calificaciones en física Y
X 44.5 54.5 64.5 74.5 84.5 94.5 Suma de
los números
u X f Y f Y u Y f Y u 2 y
Y 2 1 0 1 2 3
u Y
en las
esquinas
de cada
renglón
94.5 2 2 4 4 10 20 40 44
4 16 24
84.5 1 1 4 6 5 16 16 16 31
0 4 12 15
74.5 0 5 10 8 1 24 0 0 0
0 0 0 0
64.5 1 1 4 9 5 2 21 21 21 3
2 4 0 5 4
54.5 2 3 6 6 2 17 34 68 20
12 12 0 4
44.5 3 3 5 4 12 36 108 33
18 15 0
f X 7 15 25 23 20 10
f X u X 14 15 0 23 40 30
f X u 2 X 28 15 0 23 80 90
Suma de los
números en
las esquinas
de cada
columna
32 31 0 1 24 39
f X f Y f Y u Y f Y u 2 Y fu X u Y
N 100 55 253 125
f X u X
64
f X u 2 X
236
fu X u Y
125
Comprobación
que coincide con el valor obtenido en el problema 14.19.
r ¼ s XY 160:20
¼
s X s Y ð13:966Þð14:925Þ ¼ 0:7686
RECTAS DE REGRESIÓN Y EL COEFICIENTE DE CORRELACIÓN
14.21 Probar que las rectas de regresión de Y sobre X y de X sobre Y son, respectivamente, a) Y Y ¼ðrs Y =s X Þ
ðX YÞ y b) X X ¼ðrs X =s Y ÞðY YÞ.
SOLUCIÓN
a) De acuerdo con el problema 13.15a), la ecuación de la recta de regresión de Y sobre X es
P
P
xy
xy
y ¼ P x o bien Y Y ¼ P ðX XÞ
x
2
x
2
Entonces, como
P xy
r ¼ p ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
ð P x 2 Þð P (ver problema 14.10)
y 2 Þ
PROBLEMAS RESUELTOS 369
se tiene
P ¼ r pPffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
y
2
pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
x
2 P x
2
P xy
P x
2 ¼ r
pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
ð P x 2 Þð P y 2 Þ
¼ rs Y
s X
de donde resulta la fórmula buscada.
b) La fórmula buscada se obtiene intercambiando X y Y en el inciso a).
14.22 Si las rectas de regresión de Y sobre X y de X sobre Y son, respectivamente, Y = a 0 + a 1 X y X = b 0 + b 1 Y,
probar que a 1 b 1 = r 2 .
SOLUCIÓN
De acuerdo con el problema 14.21, incisos a) y b),
Por lo tanto, a 1 b 1 ¼ rs Y
s X
a 1 ¼ rs Y
y b
s 1 ¼ rs X
X s Y
rsX
s Y
¼ r 2
Esta fórmula puede tomarse como el punto de partida para la definición del coeficiente de correlación lineal.
14.23 Emplear la fórmula obtenida en el problema 14.22 para hallar el coeficiente de correlación lineal correspondiente
a los datos del problema 14.1.
SOLUCIÓN
De acuerdo con el problema 14.1 [incisos b) y c), respectivamente] a 1 = 484/1 016 = 0.476 y b 1 = 484/467 = 1.036. Por
lo tanto, Y 2 = a 1 b 1 = (384/1 016)(484/467) y r = 0.7027.
14.24 Dados los datos del problema 14.19, escribir las ecuaciones de las rectas de regresión de: a) Y sobre X y b) X
sobre Y.
SOLUCIÓN
De acuerdo con la tabla de correlación (tabla 14.16) del problema 14.19, se tiene
P
fX u
X ¼ A þ c X
X
N
P
fY u
Y ¼ B þ c Y
Y
N
¼ 64:5 þ ð10Þð64Þ
100
¼ 70:9
¼ 74:5 þ ð10Þð 55Þ ¼ 69:0
100
De acuerdo con los resultados del problema 14.20, s X = 13.966, s Y = 14.925 y r = 0.7686. Ahora, empleando el problema
14.21, incisos a) y b), se obtienen las ecuaciones de las rectas de regresión.
a) Y Y ¼ rs Y
ðX XÞ Y 69:0 ¼ ð0:7686Þð14:925Þ ðX
s X 13:966
70:9Þ ¼0:821ðX 70:9Þ
b) X X ¼ rs X
ðY YÞ X 70:9 ¼ ð0:7686Þð13:966Þ ðY
s Y 14:925
69:0Þ ¼0:719ðY 69:0Þ
14.25 Dados los datos del problema 14.19, calcular los errores estándar de estimación: a) s Y.X y b) s X.Y . Usar los resultados
del problema 14.20.
SOLUCIÓN
pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
a) s Y:X ¼ s Y 1 r 2 ¼ 14:925 1 ð0:7686Þ 2 ¼ 9:548
pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
b) s X:Y ¼ s X 1 r 2 ¼ 13:966 1 ð0:7686Þ 2 ¼ 8:934
370 CAPÍTULO 14 TEORÍA DE LA CORRELACIÓN
14.26 En la tabla 14.17 se presentan los índices de precios al consumidor para alimentos y atención médica, de Estados
Unidos, desde 2000 hasta 2006, comparados con los precios de los años base, 1982 a 1984 (tomando la media
como 100). Calcular el coeficiente de correlación entre estos dos índices de precios y dar el cálculo de este
coeficiente empleando MINITAB.
Tabla 14.17
Año 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006
Alimentos 167.8 173.1 176.2 180.0 186.2 190.7 195.2
Medicamentos 260.8 272.8 285.6 297.1 310.1 323.2 336.2
Fuente: Bureau of Labor Statistics.
SOLUCIÓN
Estos índices para alimentos y para atención médica se denotan X y Y, respectivamente, y los cálculos del coeficiente de
correlación se organizan en la tabla 14.18. (Obsérvese que el año se usa únicamente para especificar los valores correspondientes
a X y Y.)
Tabla 14.18
X Y x ¼ X X y ¼ Y Y x 2 xy y 2
167.8
173.1
176.2
180.0
186.2
190.7
195.2
X = 181.3
260.8
272.8
285.6
297.1
310.1
323.2
336.2
Y = 298.0
−13.5
−8.2
−5.1
−1.3
−4.9
−9.4
−13.9
−37.2
−25.2
−12.4
−0.9
−12.1
−25.2
−38.2
182.25
67.24
26.01
1.69
24.01
88.36
193.21
Suma = 582.77
502.20
206.64
63.24
1.17
59.29
236.88
530.98
Suma = 1 600.4
1 383.84
635.04
153.76
0.81
46.41
635.04
1 459.24
Suma = 4 414.14
Entonces, mediante la fórmula del producto-momento
P xy
r ¼ ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
ð P x 2 Þð P 1600:4 1 600.4
p
¼ pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
¼ 0:998
y 2 Þ (582.77)(4 ð582:77Þð4414:14Þ 414.14)
Después de ingresar los valores de X en C1 y los valores de Y en C2, con el comando de MINITAB correlation C1
C2, se obtiene el coeficiente de correlación, que es igual al calculado antes.
Correlations: X, Y
Pearson correlation of X and Y =0.998
P–Value=0.000
CORRELACIÓN NO LINEAL
14.27 Ajustar una parábola de mínimos cuadrados de la forma Y = a 0 + a 1 X + a 2 X 2 al conjunto de datos de la tabla
14.19. Dar también la solución empleando MINITAB.
PROBLEMAS RESUELTOS 371
SOLUCIÓN
Las ecuaciones normales (23) del capítulo 13 son
P P P Y ¼ a0 N þ a 1 X þ a2 X
2
P XY ¼ a0
P X þ a1
P X 2 þ a 2
P X
3
P X 2 Y ¼ a 0
P X 2 þ a 1
P X 3 þ a 2
P X
4
(36)
Tabla 14.19
X 1.2 1.8 3.1 4.9 5.7 7.1 8.6 9.8
Y 4.5 5.9 7.0 7.8 7.2 6.8 4.5 2.7
Para facilitar el cálculo de las sumas se elabora la tabla 14.20. Entonces, como N = 8, las ecuaciones normales (36) se
convierten en
8a 0 + 42.2a 1 + 291.20a 2 = 46.4
42.2a 0 + 291.20a 1 + 2 275.35a 2 = 230.42
291.20a 0 + 2 275.35a 1 + 18 971.92a 2 = 1 449.00
(37)
Resolviendo, a 0 = 2.588, a 1 = 2.056 y a 2 = −0.2110, de manera que la ecuación de la parábola de mínimos cuadrados
buscada es
Y ¼ 2:588 þ 2:065X 0:2110X 2
Tabla 14.20
X Y X 2 X 3 X 4 XY X 2 Y
1.2
1.8
3.1
4.9
5.7
7.1
8.6
9.8
4.5
5.9
7.0
7.8
7.2
6.8
4.5
2.7
1.44
3.24
9.61
24.01
32.49
50.41
73.96
96.04
1.73
5.83
29.79
117.65
185.19
357.91
636.06
941.19
2.08
10.49
92.35
576.48
1 055.58
2 541.16
5 470.12
9 223.66
5.40
10.62
21.70
38.22
41.04
48.28
38.70
26.46
6.48
19.12
67.27
187.28
233.93
342.79
332.82
259.31
∑ X
= 42.2
∑ Y
= 46.4
∑ X
2
= 291.20
∑ X
3
= 2 275.35
∑ X
4
= 18 971.92
∑ X Y
= 230.42
∑ X 2 Y
= 1 449.00
Los valores de Y se ingresan en C1, los valores de X se ingresan en C2, y los valores de X 2 se ingresan en C3. Se da la
secuencia Stat → Regresión → Regression de MINITAB. La parábola de mínimos cuadrados dada como parte de
los resultados es la siguiente:
La ecuación de regresión es Y = 2.59 + 2.06 X – 0.211 Xcuadrada
Que es la misma ecuación obtenida resolviendo las ecuaciones normales.
14.28 Usar la parábola de mínimos cuadrados del problema 14.27 para estimar el valor de Y para los valores dados
de X.
372 CAPÍTULO 14 TEORÍA DE LA CORRELACIÓN
SOLUCIÓN
Para X = 1.2, Y est = 2.588 + 2.065(1.2) − 0.2110(1.2) 2 = 4.762. Los demás valores estimados se obtienen de manera
similar. Los resultados se muestran en la tabla 14.21 junto con los valores reales de Y.
Tabla 14.21
Y est 4.762 5.621 6.962 7.640 7.503 6.613 4.741 2.561
Y 4.5 5.9 7.0 7.8 7.2 6.8 4.5 2.7
14.29 a) Encontrar el coeficiente de correlación lineal entre las variables X y Y del problema 14.27.
b) Encontrar el coeficiente de correlación no lineal entre las variables X y Y del problema 14.27, asumiendo
la relación parábolica obtenida en el problema 14.27.
c) Explicar la diferencia entre los coeficientes de correlación obtenidos en los incisos a) y b).
d ) ¿Qué porcentaje de la variación total queda no explicada si se supone que la relación entre X y Y es la
relación parabólica?
SOLUCIÓN
a) Empleando los cálculos ya realizados en la tabla 14.20 y el hecho de que ∑ Y 2 = 290.52, se encuentra que
N P XY ð P XÞð P YÞ
r ¼ qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
½N P X 2 ð P XÞ 2 Š½N P Y 2 ð P YÞ 2 Š
ð8Þð230:42Þ ð42:2Þð46:4Þ
¼ qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
¼ 0:3743
½ð8Þð291:20Þ ð42:2Þ 2 Š½ð8Þð290:52Þ ð46:4Þ 2 Š
b) De acuerdo con la tabla 14.20, Y ¼ð P YÞ=N ¼ 46:4=8 ¼ 5:80; por lo tanto, la variación total es P ðY YÞ 2 ¼
21.40. De acuerdo con la tabla 14.21, la variación explicada es P ðY est
YÞ 2 ¼ 21:02. Por lo tanto,
r 2 =
variación explicada
variación total
= 21.02 = 0.9822 y r = 0.9911 o bien 0.99
21.40
c) El hecho de que en el inciso a) la correlación lineal sea de sólo −0.3743 indica que prácticamente no hay ninguna
relación lineal entre X y Y. Sin embargo, hay una muy buena relación no lineal dada por la parábola del problema
14.27, como lo indica el hecho de que en el inciso b) el coeficiente de correlación sea 0.99.
d )
Variación no explicada
Variación total
= 1 r 2 = 1 0.9822 = 0.0178
Por lo tanto, 1.78% de la variación total queda no explicada. Esto puede deberse a fluctuaciones aleatorias o a otras
variables que no hayan sido tomadas en consideración.
14.30 Dados los datos del problema 14.27, encontrar: a) s Y y b) s Y .X .
SOLUCIÓN
a) De acuerdo con el problema 14.29a), P ðY YÞ 2 ¼ 21:40. Por lo tanto, la desviación estándar de Y es
sffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
P rffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
ðY YÞ 2 21:40
s Y ¼
¼ ¼ 1:636 o bien 1.64
N
8
PROBLEMAS RESUELTOS 373
b) Primer método
Empleando el inciso a) y el problema 14.29b), el error estándar de estimación de Y sobre X es
pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
s Y:X ¼ s Y 1 r 2 ¼ 1:636 1 ð0:9911Þ 2 ¼ 0:218 o bien 0.22
Segundo método
Usando el problema 14.29,
sffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
P rffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
rffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
ðY Yest Þ 2 unexplained variación no variation explicada 21:40 21:02
s Y:X ¼
¼
¼
¼ 0:218 o bien 0.22
N
N
8
Tercer método
Usando el problema 14.27 y el cálculo adicional ∑ Y 2 = 290.52, se tiene
sffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
P P P P Y
2
a
s Y:X ¼
0 Y a1 XY a2 X 2 Y
¼ 0:218 o bien 0.22
N
TEORÍA MUESTRAL DE LA CORRELACIÓN
14.31 En una muestra de tamaño 18, el coeficiente de correlación encontrado es 0.32. ¿Puede concluirse, a los niveles
de significancia: a) 0.05 y b) 0.01, que el coeficiente de correlación poblacional correspondiente difiere de
cero?
SOLUCIÓN
Se debe decidir entre las hipótesis H 0 : ρ = 0 y H 1 : ρ > 0.
t ¼ r
pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
N 2 0:32 18 2
pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
¼ qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
¼ 1:35
1 r 2
1 ð0:32Þ 2
a) Empleando una prueba de una cola con la distribución de Student al nivel 0.05, H 0 se rechaza si t > t. 95 = 1.75 para
(18 − 2) = 16 grados de libertad. Por lo tanto, al nivel 0.05, no se rechaza H 0 .
b) Como al nivel 0.05 no se rechaza H 0 , seguramente tampoco se rechazará al nivel 0.01.
14.32 ¿Cuál será el mínimo tamaño de muestra necesario para que se pueda concluir, al nivel 0.05, que un coeficiente
de correlación 0.32 difiere significativamente de cero?
SOLUCIÓN
Empleando una prueba de una cola con la distribución de Student al nivel 0.05, el valor mínimo de N debe ser tal que
p
0:32 ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
N 2
qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
¼ t :95
1 ð0:32Þ 2
para N − 2 grados de libertad. Para un número infinito de grados de libertad t. 95 = 1.64 y por lo tanto, N = 25.6.
p
Para N = 26: ν = 24 t. 95 = 1.71 t ¼ 0:32 ffiffiffiffiffi qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
24 = 1 ð0:32Þ 2 ¼ 1:65
p
Para N = 27: ν = 25 t. 95 = 1.71 t ¼ 0:32 ffiffiffiffiffi qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
25 = 1 ð0:32Þ 2 ¼ 1:69
p
Para N = 28: ν = 26 t. 95 = 1.71 t ¼ 0:32 ffiffiffiffiffi qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
26 = 1 ð0:32Þ 2 ¼ 1:72
Por lo tanto, el tamaño mínimo de la muestra es N = 28.
374 CAPÍTULO 14 TEORÍA DE LA CORRELACIÓN
14.33 En una muestra de tamaño 24, el coeficiente de correlación encontrado es r = 0.75. Al nivel de significancia
0.05, ¿se puede rechazar la hipótesis de que el coeficiente de correlación poblacional sea tan pequeño como:
a) ρ = 0.60 y b) ρ = 0.50?
SOLUCIÓN
a) Z ¼ 1:1513 log 1 þ 0:75
1 0:75
y
Por lo tanto, z ¼ Z Z
Z
¼
¼ 0:9730 Z ¼ 1:1513 log 1 þ 0:60
¼ 0:6932
1 0:60
1
Z ¼ pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
¼ p 1 ffiffiffiffiffi ¼ 0:2182
N 3 21
0:9730 0:6932
¼ 1:28
0:2182
Empleando la distribución normal para una prueba de una cola al nivel de significancia 0.05, la hipótesis sólo se podrá
rechazar si z es mayor que 1.64. Por lo tanto, en este caso no se puede rechazar la hipótesis de que el coeficiente de
correlación poblacional sea tan pequeño como 0.60.
b) Si ρ = 0.50, entonces µ Z = 1.1513 log 3 = 0.5493 y z = (0.9730 − 0.5493)/0.2182 = 1.94. Por lo tanto, la hipótesis
de que el coeficiente de correlación poblacional sea tan pequeño como ρ = 0.50 al nivel 0.05 puede rechazarse.
14.34 Se calcula que el coeficiente de correlación entre las calificaciones finales en física y matemáticas de un grupo
de 21 estudiantes es 0.80. Encontrar límites de confianza de 95% para este coeficiente.
SOLUCIÓN
Como r = 0.80 y N = 21, los límites de confianza del 95% para µ z están dados por
Z 1:96 Z ¼ 1:1513 log
1 þ r
1
1:96 pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
¼ 1:0986 0:4620
1 r
N 3
Por lo tanto, µ Z tiene el intervalo de confianza de 95% siguiente: 0.5366 a 1.5606. Ahora, si
Z ¼ 1:1513 log
1 þ
¼ 0:5366
1
entonces ρ = 0.4904
y si
Z ¼ 1:1513 log 1 þ
¼ 1:5606
1
entonces ρ = 0.9155
Por lo tanto, los límites de confianza de 95% para ρ son 0.49 y 0.92.
14.35 A partir de dos muestras de tamaño N 1 = 28 y N 2 = 35 se obtuvieron los coeficientes de correlación r 1 = 0.50
y r 2 = 0.30, respectivamente. Al nivel de significancia 0.05, ¿existe una diferencia significativa entre estos dos
coeficientes?
SOLUCIÓN
Z 1 ¼ 1:1513 log 1 þ r
1
¼ 0:5493 Z
1 r 2 ¼ 1:1513 log 1 þ r
2
¼ 0:3095
1
1 r 2
sffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
1
y Z1 Z 2
¼
N 1 3 þ 1 ¼ 0:2669
N 2 3
Se debe decidir entre las hipótesis H 0 : µ Z1
= µ Z2
y H 1 : µ Z1
µ Z2
. Bajo la hipótesis H 0 ,
z ¼ Z 1 Z 2 ð Z1 Z2 Þ
Z1 Z 2
¼
0:5493 0:3095 0
¼ 0:8985
0:2669
Empleando la distribución normal para una prueba de dos colas, H 0 se rechazará sólo si z > 1.96 o z < −1.96. Por lo tanto,
no se puede rechazar H 0 , y se concluye que al nivel de significancia 0.05 los resultados no son notablemente diferentes.
PROBLEMAS RESUELTOS 375
TEORÍA MUESTRAL DE LA REGRESIÓN
14.36 En el problema 14.1 se encontró que la ecuación de regresión de Y sobre X era Y = 35.82 + 0.476X. Al nivel
de significancia 0.05, probar la hipótesis nula de que el coeficiente de regresión de la ecuación de regresión
poblacional es 0.180 contra la hipótesis alternativa de que este coeficiente de regresión es mayor a 0.180.
Realizar esta prueba sin ayuda de un software para estadística, así como con la ayuda de MINITAB.
SOLUCIÓN
t ¼ a 1 A 1
S Y:X =S X
pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
N 2 ¼
0:476 0:180
1:28=2:66
pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
12 2 ¼ 1:95
p
como S Y .X = 1.28 (calculado en el problema 14.5) y S X ¼
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
ð P p
x 2 Þ=N ¼
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
84:68=12 ¼ 2:66. Empleando una prueba de
una cola con la distribución de Student al nivel 0.05, la hipótesis de que el coeficiente de regresión es 0.180 se rechazará si
t > t .95 = 1.81 para (12 − 2) = 10 grados de libertad. Por lo tanto, se rechaza la hipótesis nula.
Los resultados de MINITAB para este problema son los siguientes:
MTB > Regress ‘Y’ 1 ‘X’;
SUBC> Constant;
SUBC> Predict C7.
Análisis de regresión
La ecuación de regresión es
Y = 35.8 + 0.476 X
Predictor Coef StDev T P
Constant 35.82 10.18 3.52 0.006
X 0.4764 0.1525 3.12 0.011
S = 1.404 R-Sq = 49.4% R-Sq(adj) = 44.3%
Análisis de varianza
Source DF SS MS F P
Regression 1 19.214 19.214 9.75 0.011
Residual Error 10 19.703 1.970
Total 11 38.917
Predicted Values
Fit StDev Fit 95.0% CI 95.0% PI
66.789 0.478 (65.724, 67.855) (63.485, 70.094)
69.171 0.650 (67.723, 70.620) (65.724, 72.618)
El siguiente fragmento de los resultados proporciona la información necesaria para realizar la prueba de hipótesis.
Predictor Coef StDev T P
Constant 35.82 10.18 3.52 0.006
X 0.4764 0.1525 3.12 0.011
El estadístico de prueba calculado se encuentra como sigue:
t ¼
0:4764 0:180
¼ 1:94
0:1525
El valor calculado para t, 3.12, que se muestra en los resultados de MINITAB, sirve para probar la hipótesis nula de que
el coeficiente de regresión es 0. Para probar cualquier otro valor del coeficiente de regresión se necesita hacer un cálculo
376 CAPÍTULO 14 TEORÍA DE LA CORRELACIÓN
como el anterior. Para probar que el coeficiente de regresión es 0.25, por ejemplo, el valor calculado para el estadístico de
prueba será igual a
t ¼
0:4764 0:25
¼ 1:48
0:1525
La hipótesis nula de que el coeficiente de regresión es igual a 0.25 no se rechazará.
14.37 Encontrar los límites de confianza de 95% para el coeficiente de regresión del problema 14.36. Establecer el
intervalo de confianza sin ayuda de un software para estadística, así como con ayuda de MINITAB.
SOLUCIÓN
El intervalo de confianza puede expresarse como
t
a 1 p
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
N 2
S Y:X
S X
Por lo tanto, los límites de confianza de 95% para A 1 (obtenidos haciendo t = ±t .975 = ±2.23 para 12 − 2 = 10 grados de
libertad) están dados por
a 1 ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
2:23
S
p
Y:X
¼ 0:476 2:23
1:28
pffiffiffiffiffi
¼ 0:476 0:340
12 2 S X
10 2:66
Es decir, se tiene una confianza de 95% de que A 1 se encuentre entre 0.136 y 0.816.
En el siguiente fragmento de los resultados obtenidos con MINITAB para el problema 14.36 aparece la información
necesaria para establecer el intervalo de confianza de 95%.
Predictor Coef StDev T P
Constant 35.82 10.18 3.52 0.006
X 0.4764 0.1525 3.12 0.011
El término
1 S
pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
Y:X
N 2 S X
se conoce como el error estándar correspondiente al coeficiente de regresión estimado. En los resultados de MINITAB este
error estándar es 0.1525. Para hallar el intervalo de confianza de 95%, se multiplica este error estándar por t .975 , y después
este término se suma y se resta a a 1 = 0.476, con lo que se obtiene el siguiente intervalo de confianza para A 1 :
0.476 ± 2.23(0.1525) = 0.476 ± 0.340
14.38 En el problema 14.1, encontrar los límites de confianza de 95% para las estaturas de los hijos cuyos padres
tienen una estatura de: a) 65.0 y b) 70.0 in. Encontrar el intervalo de confianza sin ayuda de software, así como
con ayuda de MINITAB.
SOLUCIÓN
Como t .975 = 2.23 para (12 − 2) = 10 grados de libertad, los límites de confianza de 95% para Y P están dados por
sffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
Y 0 p 2:23 ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi S Y:X N þ 1 þ ðX 0
XÞ 2
N 2
SX
2
donde Y 0 = 35.82 + 0.476X 0 , S Y .X = 1.28, S X = 2.66 y N = 12.
a) Si X 0 = 65.0, entonces Y 0 = 66.76 in. Además, ðX 0
XÞ 2 ¼ð65:0 66:67Þ 2 ¼ 2:78. De manera que los límites de
confianza de 95% son
rffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
66:76 p
2:23 ffiffiffiffiffi ð1:28Þ 12 þ 1 þ 2:78
10
2:66 2 ¼ 66:76 3:30 in
Es decir, se puede tener una confianza de 95% de que las estaturas de los hijos están entre 63.46 y 70.06 in.
PROBLEMAS SUPLEMENTARIOS 377
b) Si X 0 = 70.0, entonces Y 0 = 69.14 in. Además, ðX 0
XÞ 2 ¼ð70:0 66:67Þ 2 ¼ 11:09. De manera que los límites de
confianza de 95% son 69.14 ± 3.45 in; es decir, se puede tener una confianza de 95% de que las estaturas de los hijos
estén entre 65.69 y 72.59 in.
En el siguiente fragmento de los resultados obtenidos con MINITAB para el problema 14.36 aparecen los límites de
confianza para las estaturas de los hijos.
Predicted Values
Fit StDev Fit 95.0% CI 95.0% PI
66.789 0.478 (65.724, 67.855) (63.485, 70.094)
69.171 0.650 (67.723, 70.620) (65.724, 72.618)
A los intervalos de confianza para individuos se les conoce como intervalos de predicción. Los intervalos de predicción del
95% aparecen en negritas. Estos intervalos coinciden con los antes calculados, salvo errores de redondeo.
14.39 En el problema 14.1, encontrar los límites de confianza de 95% para la estatura media de los hijos cuyos padres
tienen una estatura de: a) 65.0 y b) 70.0 in. Establecer el intervalo de confianza sin ayuda de software, así como
con ayuda de MINITAB.
SOLUCIÓN
Como t .975 = 2.23 para 10 grados de libertad, los límites de confianza de 95% para Y P están dados por
sffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
Y 0 p 2:23 ffiffiffiffiffi S Y:X 1 þ ðX 0
XÞ 2
10
donde Y 0 = 35.82 + 0.476X 0 , S Y.X = 1.28, S X = 2.66.
a) Para X 0 = 65.0, los límites de confianza serán 66.76 ± 1.07 o bien 65.7 y 67.8.
b) Para X 0 = 70.0, los límites de confianza serán 69.14 ± 1.45 o bien 67.7 y 70.6.
En el siguiente fragmento de los resultados obtenidos con MINITAB para el problema 14.36 aparecen los límites de confianza
para las estaturas medias.
Predicted Values
Fit StDev Fit 95.0% CI 95.0% PI
66.789 0.478 (65.724, 67.855) (63.485, 70.094)
69.171 0.650 (67.723, 70.620) (65.724, 72.618)
S 2 X
REGRESIÓN LINEAL Y CORRELACIÓN
PROBLEMAS SUPLEMENTARIOS
14.40 En la tabla 14.22 se presentan las calificaciones (denotadas X y Y, respectivamente) de 10 estudiantes en dos primeros
exámenes de biología.
a) Construir un diagrama de dispersión.
b) Encontrar la recta de regresión de mínimos cuadrados de Y sobre X.
c) Encontrar la recta de regresión de mínimos cuadrados de X sobre Y.
d ) Graficar las dos de rectas de regresión de los incisos b) y c) en el diagrama de dispersión del inciso a).
14.41 Dados los datos de la tabla 14.22, encontrar: a) s Y .X y b) s X .Y .
378 CAPÍTULO 14 TEORÍA DE LA CORRELACIÓN
Tabla 14.22
Calificación en el primer examen (X ) 6 5 8 8 7 6 10 4 9 7
Calificación en el segundo examen (Y ) 8 7 7 10 5 8 10 6 8 6
14.42 Dados los datos del problema 14.40, calcular: a) la variación total de Y, b) la variación no explicada de Y y c) la variación
explicada de Y.
14.43 Empleando los resultados del problema 14.42, encontrar el coeficiente de correlación entre los dos conjuntos de calificaciones
del problema 14.40.
14.44 Empleando la fórmula del producto-momento encontrar el coeficiente de correlación entre los dos conjuntos de calificaciones
del problema 14.40; comparar el resultado con el coeficiente de correlación dado por SPSS, SAS, STATISTIX,
MINITAB y EXCEL.
14.45 Dados los datos del problema 14.40a), encontrar la covarianza: a) directamente y b) usando la fórmula s X Y = rs X s Y y los
resultados de los problemas 14.43 y 14.44.
14.46 En la tabla 14.23 se presenta la edad X y la presión sistólica Y de 12 mujeres.
a) Encontrar el coeficiente de correlación entre X y Y empleando la fórmula del producto-momento, EXCEL, MINITAB,
SAS, SPSS y STATISTIX.
b) Determinar la ecuación de regresión por mínimos cuadrados de Y sobre X resolviendo las ecuaciones normales y
empleando EXCEL, MINITAB, SAS, SPSS y STATISTIX.
c) Estimar la presión sanguínea de una mujer de 45 años de edad.
Tabla 14.23
Edad (X ) 56 42 72 36 63 47 55 49 38 42 68 60
Presión sanguínea (Y ) 147 125 160 118 149 128 150 145 115 140 152 155
14.47 Encontrar los coeficientes de correlación para los datos: a) del problema 13.32 y b) del problema 13.35.
14.48 El coeficiente de correlación entre dos variables X y Y es r = 0.60. Si s X = 1.50, s Y = 2.00, X ¼ 10 y Y ¼ 20, hallar la
ecuación de la recta de regresión: a) de Y sobre X y b) de X sobre Y.
14.49 Dados los datos del problema 14.48, calcular: a) s Y .X y b) s X .Y .
14.50 Si s Y .X = 3 y s Y = 5, hallar r.
14.51 Si el coeficiente de correlación entre X y Y es 0.50, ¿qué porcentaje de la variación total queda no explicada por la ecuación
de regresión?
14.52 a) Probar que la ecuación de la recta de regresión de Y sobre X puede expresarse como
Y
Y ¼ s XY
s 2 X
ðX
XÞ
b) Escribir la ecuación análoga para la recta de regresión de X sobre Y.
PROBLEMAS SUPLEMENTARIOS 379
14.53 a) Calcular el coeficiente de correlación entre los valores correspondientes de X y Y dados en la tabla 14.24.
Tabla 14.24
X 2 4 5 6 8 11
Y 18 12 10 8 7 5
b) Multiplicar por 2 cada uno de los valores de X que aparecen en la tabla y sumarles 6. Multiplicar por 3 cada uno de
los valores de Y que aparecen en la tabla y restarles 15. Encontrar el coeficiente de correlación entre estos dos nuevos
conjuntos de valores y explicar por qué sí, o por qué no, se obtienen los mismos resultados que en el inciso a).
14.54 a) Dados los datos del problema 14.53, incisos a) y b), encontrar las ecuaciones de regresión de Y sobre X.
b) Analizar la relación entre estas dos ecuaciones de regresión.
14.55 a) Probar que el coeficiente de correlación entre X y Y se puede expresar como
b) Aplicar este método al problema 14.1.
XY X Y
r ¼ qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
½X 2 X 2 Š½Y 2 Y 2 Š
14.56 Probar que el coeficiente de correlación es independiente de la elección del origen de las variables o de las unidades en las
que estén expresadas. (Sugerencia: Suponga que X ′ = c 1 X + A y Y ′ = c 2 Y + B donde c 1 , c 2 , A y B son constantes cualesquiera,
y probar que el coeficiente de correlación entre X ′ y Y ′ es el mismo que entre X y Y.)
14.57 a) Probar que, para la regresión lineal,
s 2 Y:X
s 2 Y
b) ¿Es válido este resultado para la regresión no lineal?
¼ s2 X:Y
s 2 X
COEFICIENTE DE CORRELACIÓN PARA DATOS AGRUPADOS
14.58 Encontrar el coeficiente de correlación entre las estaturas y los pesos de 300 hombres adultos, presentadas en la tabla 14.25,
una tabla de frecuencias.
Tabla 14.25
Estaturas X (in)
59-62 63-66 67-70 71-74 75-78
90-109 2 1
110-129 7 8 4 2
Pesos Y (lb)
130-149 5 15 22 7 1
150-169 2 12 63 19 5
170-189 7 28 32 12
190-209 2 10 20 7
210-229 1 4 2
380 CAPÍTULO 14 TEORÍA DE LA CORRELACIÓN
14.59 a) Dados los datos del problema 14.58, encontrar la ecuación de regresión por mínimos cuadrados de Y sobre X.
b) Estimar los pesos de los hombres cuyas estaturas son 64 y 72 in, respectivamente.
14.60 Dados los datos del problema 14.58, encontrar: a) s Y .X y b) s X .Y .
14.61 Establecer la fórmula (21) de este capítulo para el coeficiente de correlación de datos agrupados.
CORRELACIÓN DE SERIES DE TIEMPO
14.62 En la tabla 14.26 se presenta el gasto anual promedio, por consumidor, en atención a la salud y el ingreso per cápita desde
1999 hasta 2004. Encontrar el coeficiente de correlación.
Tabla 14.26
Año 1999 2000 2001 2002 2003 2004
Costo de la atención a la salud 1 959 2 066 2 182 2 350 2 416 2 574
Ingreso per cápita 27 939 29 845 30 574 30 810 31 484 33 050
Fuente: Bureau of Laboral Statistics and U.S. Bureau of Economic Analysis.
14.63 En la tabla 14.27 se muestran temperatura y precipitación promedio durante el mes de julio en una ciudad, desde 2000 hasta
2006. Hallar el coeficiente de correlación.
Tabla 14.27
Año 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006
Temperatura (F) 78.1 71.8 75.6 72.7 75.3 73.6 75.1
Precipitación (in) 6.23 3.64 3.42 2.84 1.83 2.82 4.04
TEORÍA MUESTRAL DE LA CORRELACIÓN
14.64 En una muestra de tamaño 27, el coeficiente de correlación calculado es 0.40. ¿Puede concluirse a los niveles de significancia:
a) 0.05 y b) 0.01, que el coeficiente de correlación poblacional correspondiente sea distinto de cero?
14.65 En una muestra de tamaño 35, el coeficiente de correlación calculado es 0.50. ¿Puede concluirse al nivel de significancia
0.05 que el coeficiente de correlación poblacional sea: a) tan pequeño como ρ = 0.30 y b) tan grande como ρ = 0.70?
14.66 Encontrar los límites de confianza de: a) 95% y b) 99% para un coeficiente de correlación que se ha calculado que es 0.60
a partir de una muestra de tamaño 28.
14.67 Resolver el problema 14.66 si la muestra es de tamaño 52.
14.68 Encontrar los límites de confianza de 95% para el coeficiente de correlación calculado: a) en el problema 14.46 y b) en el
problema 14.58.
14.69 Los coeficientes de correlación obtenidos a partir de dos muestras, una de tamaño 23 y otra de tamaño 28, fueron 0.80 y
0.95, respectivamente. ¿Puede concluirse a los niveles de significancia: a) 0.05 y b) 0.01, que existe una diferencia significativa
entre estos dos coeficientes?
PROBLEMAS SUPLEMENTARIOS 381
TEORÍA MUESTRAL DE LA REGRESIÓN
14.70 Basándose en una muestra de tamaño 27, la ecuación de regresión de Y sobre X encontrada es Y = 25.0 + 2.00X. Si s Y .X =
1.50, s Y .X = 1.50, s X = 3.00 y X ¼ 7:50, encontrar los límites de confianza de a) 95% y b) 99% para el coeficiente de
regresión.
14.71 Dados los datos del problema 14.70, al nivel de significancia 0.01, probar la hipótesis de que el coeficiente de regresión
poblacional es: a) tan bajo como 1.70 y b) tan alto como 2.20.
14.72 Dados los datos del problema 14.70, encontrar los límites de confianza: a) de 95% y b) de 99% para Y cuando X = 6.00.
14.73 Dados los datos del problema 14.70, encontrar los límites de confianza: a) de 95% y b) de 99% para la media de todos los
valores de Y correspondientes a X = 6.00.
14.74 Dados los datos del problema 14.46, encontrar los límites de confianza de 95% para: a) el coeficiente de regresión de Y
sobre X, b) las presiones sanguíneas de todas las mujeres cuya edad es de 45 años y c) la media de las presiones sanguíneas
de todas las mujeres de 45 años.
CORRELACIÓN
MÚLTIPLE Y
CORRELACIÓN
PARCIAL
15
CORRELACIÓN MÚLTIPLE
Al grado de relación que existe entre tres o más variables se le conoce como correlación múltiple. Los principios fundamentales
relacionados con los problemas de correlación múltiple son análogos a los de los problemas de correlación
simple, tratados en el capítulo 14.
NOTACIÓN EMPLEANDO SUBÍNDICES
Para generalizar a un número mayor de variables conviene adoptar una notación con subíndices.
Sean X 1 , X 2 , X 3 , . . . las variables en consideración. Entonces, con X 11 , X 12 , X 13 , . . . se denotan los valores que asume
la variable X 1 , y X 21 , X 22 , X 23 , . . . denotan los valores que asume la variable X 2 , y así sucesivamente. Con esta notación,
una suma como X 21 + X 22 + X 23 + ... + X 2N puede expresarse como P N
j¼1 X 2j, P j X 2j o simplemente P X 2 . Cuando
P
no puede haber lugar a ambigüedad, se usa la última notación. En este caso, la media de X 2 se expresa: X 2 ¼
X2 =N.
ECUACIONES DE REGRESIÓN Y PLANOS DE REGRESIÓN
Una ecuación de regresión es una ecuación que se utiliza para estimar una variable dependiente, por ejemplo X 1 , a
partir de las variables independientes X 2 , X 3 , . . . y se le llama ecuación de regresión de X 1 sobre X 2 , X 3 , . . . Empleando
la notación funcional esto puede expresarse brevemente como X 1 = F(X 2 , X 3 , . . .) (que se lee “X 1 es una función de X 2 ,
X 3 , etcétera”).
En el caso de tres variables, la ecuación de regresión más simple de X 1 sobre X 2 y X 3 tiene la forma siguiente:
X 1 ¼ b 1:23 þ b 12:3 X 2 þ b 13:2 X 3 (1)
donde b 1.23 , b 12.3 y b 13.2 son constantes. Si en la ecuación (1) X 3 se mantiene constante, la gráfica de X 1 versus X 2 es
una línea recta cuya pendiente es b 12.3 . Si X 2 se mantiene constante, la gráfica de X 1 versus X 3 es una línea recta cuya
pendiente es b 13.2 . Como se ve, el subíndice después del punto indica la variable que se mantiene constante en cada
caso.
Dado que X 1 varía parcialmente debido a la variación de X 2 y parcialmente debido a la variación de X 3 , a b 12.3 y
b 13.2 se les llama coeficientes de regresión parcial de X 1 sobre X 2 manteniendo X 3 constante y de X 1 sobre X 3 manteniendo
X 2 constante, respectivamente.
382
PLANOS DE REGRESIÓN Y COEFICIENTES DE CORRELACIÓN 383
A la ecuación (1) se le llama ecuación de regresión lineal de X 1 sobre X 2 y X 3 . En un sistema rectangular tridimensional
de coordenadas, esta ecuación representa un plano al que se le conoce como plano de regresión, que es una
generalización de la recta de regresión para dos variables, considerada en el capítulo 13.
ECUACIONES NORMALES PARA LOS PLANOS DE
REGRESIÓN DE MÍNIMOS CUADRADOS
Así como existen rectas de regresión de mínimos cuadrados que aproximan un conjunto de puntos (X, Y) en un diagrama
de dispersión bidimensional, también existen planos de regresión de mínimos cuadrados que se ajustan a un conjunto
de N puntos (X 1 , X 2 , X 3 ) en un diagrama de dispersión tridimensional.
El plano de regresión de mínimos cuadrados de X 1 sobre X 2 y X 3 tiene la ecuación (1), donde b 1.23 , b 12.3 y b 13.2 se
determinan resolviendo simultáneamente las ecuaciones normales
P
X1 ¼ b 1:23 N þ b 12:3
P
X2 þ b 13:2
P
X3
P
X1 X 2 ¼ b 1:23
P
X2 þ b 12:3
P X
2
2 þ b 13:2
P
X2 X 3
P
X1 X 3 ¼ b 1:23
P
X3 þ b 12:3
P
X2 X 3 þ b 13:2
P X
2
3
(2)
Estas ecuaciones pueden obtenerse formalmente multiplicando, en cada caso, ambos lados de la ecuación (1) por 1,
por X 2 y por X 3 , y sumando después ambos lados.
A menos que se especifique otra cosa, siempre que se haga referencia a una ecuación de regresión se entenderá que
se está haciendo referencia a la ecuación de regresión de mínimos cuadrados.
Si x 1 ¼ X 1
X 1 , x 2 ¼ X 2
X 2 y x 3 ¼ X 3
X 3 , la ecuación de regresión de X 1 sobre X 2 y X 3 puede expresarse
de manera más sencilla como
donde b 12.3 y b 13.2 se obtienen resolviendo simultáneamente las ecuaciones
x 1 ¼ b 12:3 x 2 þ b 13:2 x 3 (3)
P
x1 x 2 ¼ b 12:3
P x
2
2 þ b 13:2
P
x2 x 3
P
x1 x 3 ¼ b 12:3
P
x2 x 3 þ b 13:2
P x
2
3
(4)
Estas ecuaciones, que son equivalentes a las ecuaciones normales (2), se obtienen formalmente multiplicando, de
manera sucesiva, ambos lados de la ecuación (3) por x 2 y por x 3 , y después sumando ambos lados (ver problema
15.8).
PLANOS DE REGRESIÓN Y COEFICIENTES DE CORRELACIÓN
Si los coeficientes de correlación entre las variables X 1 y X 2 , X 1 y X 3 , y X 2 y X 3 , que se calcularon en el capítulo 14, se
denotan respectivamente r 12 , r 13 y r 23 (también llamados coeficientes de correlación de orden cero), entonces la ecuación
del plano de regresión de mínimos cuadrados tiene la ecuación
x 1
¼ r
12 r 13 r 23 x2
s 1 1 r 2 23
s 2
þ r 13 r 12 r 23
1 r 2 23
x3
s 3
(5)
donde x 1 ¼ X 1
X 1 , x 2 ¼ X 2
X 2 y x 3 ¼ X 3
X 3 , y donde s 1 , s 2 y s 3 son, respectivamente, las desviaciones estándar
de X 1 , X 2 y X 3 (ver problema 15.9).
Obsérvese que si la variable X 3 no existe y si X 1 = Y y X 2 = X entonces la ecuación (5) se reduce a la ecuación (25)
del capítulo 14.
384 CAPÍTULO 15 CORRELACIÓN MÚLTIPLE Y CORRELACIÓN PARCIAL
ERROR ESTÁNDAR DE ESTIMACIÓN
Mediante una obvia generalización de la ecuación (8) del capítulo 14 se define el error estándar de estimación de X 1
sobre X 2 y X 3 como
sffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
P ðX1 X 1,estÞ 2
s 1:23 ¼
N
(6)
donde X 1,est indica los valores estimados de X 1 obtenidos con las ecuaciones de regresión (1) o (5).
El error estándar de estimación también se puede calcular en términos de los coeficientes de correlación r 12 , r 13 y
r 23 , empleando la fórmula
sffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
1 r 2 12
r 2 13
r 2 23
s 1:23 ¼ s þ 2r 12r 13 r 23
1
1 r 2 23
La interpretación muestral del error estándar de estimación para dos variables, dada en la página 313 para el caso
en el que N es grande, puede extenderse a tres dimensiones reemplazando p las rectas paralelas a la recta de regresión
por planos paralelos al plano de regresión. La fórmula ^s 1:23 ¼
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
N=ðN 3Þs 1:23 proporciona una mejor estimación
del error estándar de estimación poblacional.
COEFICIENTE DE CORRELACIÓN MÚLTIPLE
El coeficiente de correlación múltiple se define mediante una extensión de la ecuación (12) o (14) del capítulo 14. En
el caso de dos variables independientes, por ejemplo, el coeficiente de correlación múltiple está dado por
(7)
sffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
s 2 1:23
R 1:23 ¼ 1
s 2 1
(8)
donde s 1 es la desviación estándar de la variable X 1 , y s 1.23 está dado por la ecuación (6) o por la ecuación (7). La
cantidad R 2 1:23 se conoce como coeficiente de determinación múltiple.
Cuando se emplea una ecuación de regresión lineal, al coeficiente de correlación múltiple se le llama coeficiente
de correlación lineal múltiple. A menos que se especifique otra cosa, el término correlación múltiple se empleará para
correlación lineal múltiple.
La ecuación (8) también puede expresarse en términos de r 12 , r 13 y r 23 como
sffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
r 2 12
R 1:23 ¼
þ r2 13
2r 12 r 13 r 23
1 r 2 23
(9)
El valor de un coeficiente de correlación múltiple, como R 1.23 , está entre 0 y 1, inclusive. Cuanto más cerca está de
1, mejor es la relación lineal entre las variables. Cuanto más cerca esté de 0, peor será la relación lineal entre las variables.
Si un coeficiente de correlación múltiple es 1, a esa correlación se le llama correlación perfecta. Aunque un
coeficiente de correlación sea 0, esto indica que no hay relación lineal entre las variables, pero puede que exista una
relación no lineal.
CAMBIO DE LA VARIABLE DEPENDIENTE
Los resultados anteriores son válidos cuando X 1 se considera la variable dependiente. Pero si en lugar de X 1 quiere
considerarse a X 3 (por ejemplo) como la variable dependiente, lo único que hay que hacer es sustituir, en las fórmulas
CORRELACIÓN PARCIAL 385
ya obtenidas, el subíndice 1 por el subíndice 3 y el subíndice 3 por el subíndice 1. Por ejemplo, la ecuación de regresión
de X 3 sobre X 1 y X 2 es
x 3
¼ r
23 r 13 r 12 x2
s 3 1 r 2 þ r
13 r 23 r 12 x1
12
s 2 1 r 2 (10)
12
s 1
de acuerdo con la ecuación (5) y empleando las igualdades r 32 = r 23 , r 31 = r 13 y r 21 = r 12 .
GENERALIZACIONES A MÁS DE TRES VARIABLES
Estas generalizaciones se obtienen por analogía con los resultados anteriores. Por ejemplo, la ecuación de regresión
lineal de X 1 sobre X 2 , X 3 y X 4 se expresa
X 1 ¼ b 1:234 þ b 12:34 X 2 þ b 13:24 X 3 þ b 14:23 X 4 (11)
y representa un hiperplano en el espacio de cuatro dimensiones. Multiplicando sucesivamente ambos lados de la
ecuación (11) por 1, X 2 , X 3 y X 4 y después sumando ambos lados se obtienen las ecuaciones normales con las que se
determina b 1.234 , b 12.34, b 13.24 y b 14.23 ; sustituyendo sus valores en la ecuación (11) se obtiene la ecuación de regresión
de mínimos cuadrados de X 1 sobre X 2 , X 3 y X 4 . Esta ecuación de regresión de mínimos cuadrados se puede expresar
en forma similar a la de la ecuación (5). (Ver problema 15.41.)
CORRELACIÓN PARCIAL
También es importante medir la correlación entre una variable dependiente y determinada variable independiente
cuando todas las demás variables permanecen constantes; es decir, cuando se eliminan los efectos de todas las demás
variables. Esto se logra definiendo un coeficiente de correlación parcial, como la ecuación (12) del capítulo 14, salvo
que deberán considerarse las variaciones explicadas y no explicadas que surgen con esa determinada variable independiente
y sin ella.
Si r 12.3 denota el coeficiente de correlación parcial entre X 1 y X 2 cuando X 3 permanece constante, se encuentra
que
r
r 12:3 ¼ 12 r 13 r
q ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 23
(12)
ð1 r 2 13 Þð1 r2 23 Þ
De manera similar, si r 12.34 denota el coeficiente de correlación parcial entre X 1 y X 2 cuando X 3 y X 4 permanecen constantes,
entonces
r
r 12:34 ¼ 12:4 r 13:4 r
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 23:4 r
q
¼ 12:3 r 14:3 r
q ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 24:3
(13)
ð1 r 2 13:4 Þð1 r2 23:4 Þ ð1 r 2 14:3 Þð1 r2 24:3 Þ
Estos resultados son útiles, pues mediante ellos puede hacerse que cualquier coeficiente de correlación parcial dependa
finalmente de los coeficientes de correlación r 12 , r 23 , etc. (es decir, de los coeficientes de correlación de orden
cero).
Se vio que en el caso de dos variables, X y Y, si las ecuaciones de las dos rectas de regresión son Y = a 0 + a 1 X y
X = b 0 + b 1 Y, se tiene que r 2 = a 1 b 1 (ver problema 14.22). Este resultado puede generalizarse. Por ejemplo, si
X 1 ¼ b 1:234 þ b 12:34 X 2 þ b 13:24 X 3 þ b 14:23 X 4 (14)
y X 4 ¼ b 4:123 þ b 41:23 X 1 þ b 42:13 X 2 þ b 43:12 X 3 (15)
386 CAPÍTULO 15 CORRELACIÓN MÚLTIPLE Y CORRELACIÓN PARCIAL
son, respectivamente, las ecuaciones de regresión lineal de X 1 sobre X 2 , X 3 y X 4 y de X 4 sobre X 1 , X 2 y X 3 , entonces
r 2 14:23 ¼ b 14:23 b 41:23 (16)
(ver problema 15.18). Esta fórmula puede tomarse como punto de partida para una definición de los coeficientes de
correlación lineal parcial.
RELACIONES ENTRE COEFICIENTES DE CORRELACIÓN MÚLTIPLE
Y COEFICIENTES DE CORRELACIÓN PARCIAL
Se pueden encontrar resultados interesantes que relacionan los coeficientes de correlación múltiple. Por ejemplo, se
encuentra que
Las generalizaciones de estos resultados son fáciles de efectuar.
1 R 2 1:23 ¼ð1 r 2 12Þð1 r 2 13:2Þ (17)
1 R 2 1:234 ¼ð1 r 2 12Þð1 r 2 13:2Þð1 r 2 14:23Þ (18)
REGRESIÓN MÚLTIPLE NO LINEAL
Los resultados anteriores para la regresión lineal múltiple se pueden extender a la regresión no lineal múltiple. Los
coeficientes de correlación parcial y de correlación múltiple pueden definirse mediante métodos similares a los proporcionados
antes.
PROBLEMAS RESUELTOS
ECUACIONES DE REGRESIÓN CON TRES VARIABLES
15.1 Usando la notación adecuada mediante subíndices, dar la ecuación de regresión de: a) X 2 sobre X 1 y X 3 ; b) X 3
sobre X 1 , X 2 y X 4 , y c) X 5 sobre X 1 , X 2 , X 3 y X 4 .
SOLUCIÓN
a) X 2 ¼ b 2:13 þ b 21:3 X 1 þ b 23:1 X 3
b) X 3 ¼ b 3:124 þ b 31:24 X 1 þ b 32:14 X 2 þ b 34:12 X 4
c) X 5 ¼ b 5:1234 þ b 51:234 X 1 þ b 52:134 X 2 þ b 53:124 X 3 þ b 54:123 X 4
15.2 Dar las ecuaciones normales correspondientes a las ecuaciones a) X 3 = b 3.12 + b 31.2 X 1 + b 32.1 X 2 y b) X 1 =
b 1.234 + b 12.34 X 2 + b 13.24 X 3 + b 14.23 X 4 .
SOLUCIÓN
a) La ecuación se multiplica, sucesivamente, por 1, X 1 y X 2 y se suma a ambos lados. Las ecuaciones normales son
P
X3 ¼ b 3:12 N þ b 31:2 X 1 þ b 32:1
P
X2
P
X1 X 3 ¼ b 3:12
P
X1 þ b 31:2
P X
2
1 þ b 32:1
P
X1 X 2
P
X2 X 3 ¼ b 3:12
P
X2 þ b 31:2
P
X1 X 2 þ b 32:1
P X
2
2
PROBLEMAS RESUELTOS 387
b) La ecuación se multiplica, sucesivamente, por 1, X 2 , X 3 y X 4 y se suma a ambos lados. Las ecuaciones normales son
P
X1 ¼ b 1:234 N þ b 12:34
P
X2 þ b 13:24
P
X3 þ b 14:23
P
X4
P
X1 X 2 ¼ b 1:234
P
X2 þ b 12:34
P X
2
2 þ b 13:24
P
X2 X 3 þ b 14:23
P
X2 X 4
P
X1 X 3 ¼ b 1:234
P
X3 þ b 12:34
P
X2 X 3 þ b 13:24
P X
2
3 þ b 14:23
P
X3 X 4
P
X1 X 4 ¼ b 1:234
P
X4 þ b 12:34
P
X2 X 4 þ b 13:24
P
X3 X 4 þ b 14:23
P X
2
4
Obsérvese que éstas no son deducciones de las ecuaciones normales, sino únicamente una manera formal para recordarlas.
El número de ecuaciones normales es igual al número de constantes desconocidas.
15.3 En la tabla 15.1 se presentan los pesos X 1 dados a la libra (lb) más cercana, las estaturas X 2 a la pulgada (in)
más cercana y las edades X 3 al año más cercano de 12 niños.
a) Encontrar la ecuación de regresión de mínimos cuadrados de X 1 sobre X 2 y X 3 .
b) Determinar los valores estimados de X 1 a partir de los valores dados de X 2 y X 3 .
c) Estimar el peso de un niño de 9 años que mide 54 in.
d ) Encontrar la ecuación de regresión de mínimos cuadrados empleando EXCEL, MINITAB, SPSS y
STATISTIX.
Tabla 15.1
Peso (X 1 ) 64 71 53 67 55 58 77 57 56 51 76 68
Estatura (X 2 ) 57 59 49 62 51 50 55 48 52 42 61 57
Edad (X 3 ) 8 10 6 11 8 7 10 9 10 6 12 9
SOLUCIÓN
a) La ecuación de regresión de mínimos cuadrados de X 1 sobre X 2 y X 3 puede expresarse como
X 1 ¼ b 1:23 þ b 12:3 X 2 þ b 13:2 X 3
Las ecuaciones normales de la ecuación de regresión de mínimos cuadrados son
P P P
X1 ¼ b 1:23 N þ b 12:3 X2 þ b 13:2 X3
P
X1 X 2 ¼ b 1:23
P
X2 þ b 12:3
P X
2
2 þ b 13:2
P
X2 X 3
P
X1 X 3 ¼ b 1:23
P
X3 þ b 12:3
P
X2 X 3 þ b 13:2
P X
2
3
(19)
Para calcular las sumas se elabora la tabla 15.2. (Aunque la columna con el encabezado X 2 1 no se necesita en este
momento, se ha incluido para referencias futuras.) Empleando la tabla 15.2, las ecuaciones normales (19) se convierten
en
12b 1.23 + 643b 12.3 + 106b 13.2 = 753
643b 1.23 + 34 843b 12.3 + 5 779b 13.2 = 40 830
106b 1.23 + 5 779b 12.3 + 976b 13.2 = 6 796
(20)
388 CAPÍTULO 15 CORRELACIÓN MÚLTIPLE Y CORRELACIÓN PARCIAL
Resolviendo, b 1.23 = 3.6512, b 12.3 = 0.8546 y b 13.2 = 1.5063, con lo que la ecuación de regresión es
X 1 = 3.6512 + 0.8546X 2 + 1.5063X 3 o X 1 = 3.65 + 0.855X 2 + 1.506X 3 (21)
Tabla 15.2
X 1 X 2 X 3 X 2 1 X 2 2 X 2 3 X 1 X 2 X 1 X 3 X 2 X 3
64
71
53
67
55
58
77
57
56
51
76
68
∑ X 1
= 753
57
59
49
62
51
50
55
48
52
42
61
57
∑ X 2
= 643
8
10
6
11
8
7
10
9
10
6
12
9
∑ X 3
= 106
4 096
5 041
2 809
4 489
3 025
3 364
5 929
3 249
3 136
2 601
5 776
4 624
∑ X
2
1
= 48 139
3 249
3 481
2 401
3 844
2 601
2 500
3 025
2 304
2 704
1 764
3 721
3 249
64
100
36
121
64
49
100
81
100
36
144
81
3 648
4 189
2 597
4 154
2 805
2 900
4 235
2 736
2 912
2 142
4 636
3 876
512
710
318
737
440
406
770
513
560
306
912
612
456
590
294
682
408
350
550
432
520
252
732
513
∑ X
2
2
= 34 843
∑ X
2
3
= 976
∑ X 1 X 2
= 40 830
∑ X 1 X 3
= 6 796
∑ X 2 X 3
= 5 779
En el problema 15.6 se presenta otro método en el que se evita tener que resolver ecuaciones simultáneas.
b) Sustituyendo, en la ecuación de regresión (21), X 2 y X 3 por sus valores se obtienen los valores estimados para X 1 , que
se denotan X 1,est . Por ejemplo, sustituyendo en la ecuación (21) X 2 = 57 y X 3 = 8, se obtiene X 1,est = 64.414.
De manera similar se obtienen los demás valores estimados para X 1 . Estos valores se dan en la tabla 15.3 junto
con los valores muestrales de X 1 .
Tabla 15.3
X 1,est 64.414 69.136 54.564 73.206 59.286 56.925 65.717 58.229 63.153 48.582 73.857 65.920
X 1 64 71 53 67 55 58 77 57 56 51 76 68
c) Haciendo X 2 = 54 y X 3 = 9 en la ecuación (21), se obtiene el peso estimado X 1,est = 63.356, o 63 lb, aproximadamente.
d ) En la figura 15-1 se muestra parte de los resultados obtenidos con EXCEL. Para obtener estos resultados se emplea la
secuencia Tools → Data analysis → Regression. En los resultados, los coeficientes b 1.23 = 3.6512, b 12.3 = 0.8546 y
b 13.2 = 1.5063 aparecen en negritas.
Parte de los resultados de MINITAB es la ecuación de regresión X1 = 3.7 + 0.855X2 + 1.51X3.
Una vez ingresados los datos en C1-C3 se emplea la secuencia Stat → Regression → Regression.
En la figura 15-2 se presenta una parte de los resultados de SPSS. Los resultados se obtienen empleando la
secuencia analyze → Regression → Linear. En los resultados, los coeficientes b 1.23 = 3.651, b 12.3 = 0.855 y b 13.2 =
1.506 aparecen en la columna titulada Unstandardized Coefficients.
En la figura 15-3 se presenta parte de los resultados de STATISTIX. Los resultados se obtienen empleando la
secuencia Stastitics → Linear models → Linear Regression.
PROBLEMAS RESUELTOS 389
X1
64
71
53
67
55
58
77
57
56
51
76
68
X2
57
59
49
62
51
50
55
48
52
42
61
57
X3
8
10
6
11
8
7
10
9
10
6
12
9
RESUMEN
Estadísticos de la regresión
R^2 múltiple
R^2 cuadrado
R^2 ajustado
Error estándar
Observaciones
ANÁLISIS DE VARIANZA
Regresión
Residuos
Total
0.841757
0.708554
0.643789
5.363215
12
df
2
9
11
Intersección
X2
X3
Coeficientes
3.651216
0.85461
1.506332
Figura 15-1 EXCEL, resultados para el problema 15.3d ).
Coeficientes a
Modelo
1
(Constante)
X2
X3
Coeficientes
desestandarizados
B
3.651
.855
1.506
Error estándar
16.168
.452
1.414
Coeficientes
estandarizados
Beta
.565
.318
t
.226
1.892
1.065
Sig.
.826
.091
.315
a Variable dependiente: X1
Figura 15-2 SPSS, resultados para el problema 15.3d ).
Las soluciones del software son las mismas que las de las ecuaciones normales.
15.4 Dados los datos del problema 15.3, calcular las desviaciones estándar: a) s 1 , b) s 2 y c) s 3 .
SOLUCIÓN
Statistix 8.0
Regresión lineal de mínimos cuadrados de X1 de bajo peso
Variables
predichas
Constante
X2
X3
Coeficiente
3.65122
0.85461
1.50633
Error estándar
16.1678
0.45166
1.41427
Figura 15-3 STATISTIX, resultados para el problema 15.3d ).
a) La cantidad s 1 es la desviación estándar de la variable X 1 . Entonces, empleando la tabla 15.2 del problema 15.3 y los
métodos del capítulo 4, se encuentra
sffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
P P
sffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
X
2 2
s 1 ¼ 1 X1 48,139 753 2
¼
¼ 8:6035 u 8.6 lb
N N
12 12
sffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
P P
sffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
X
2 2
b) s 2 ¼ 2 X2 34,843 643 2
¼
¼ 5:6930 o bien 5.7 in
N N
12 12
sffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
P P
sffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
X
2 2
c) s 3 ¼ 3 X3 976 106 2
¼
¼ 1:8181 o bien 1.8 años
N N 12 12
T
0.23
1.89
1.07
P
0.8264
0.0910
0.3146
VIF
2.8
2.8
390 CAPÍTULO 15 CORRELACIÓN MÚLTIPLE Y CORRELACIÓN PARCIAL
15.5 Dados los datos del problema 15.3, calcular: a) r 12 , b) r 13 , c) r 23 . Calcular las tres correlaciones empleando
EXCEL, MINITAB y STATISTIX.
SOLUCIÓN
a) La cantidad r 12 es el coeficiente de correlación lineal entre las variables X 1 y X 2 , ignorando a la variable X 3 . Por lo
tanto, empleando los métodos del capítulo 14, se tiene
N P X
r 12 ¼
1 X 2 ð P X 1 Þð P X 2 Þ
qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
½N P X1 2 ð P X 1 Þ 2 Š½N P X2 2 ð P X 2 Þ 2 Š
ð12Þð40,830Þ ð753Þð643Þ
¼ qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
¼ 0:8196 o bien 0.82
½ð12Þð48,139Þ ð753Þ 2 Š½ð12Þð34,843Þ ð643Þ 2 Š
b) y c) Empleando las fórmulas correspondientes se obtiene r 12 = 0.7698, o bien 0.77, y r 23 = 0.7984, o bien 0.80.
d ) Usando EXCEL se tiene:
A B C D E
X1 X2 X3 0.819645 ¼CORREL(A2:A13,B2:B13)
64 57 8 0.769817 ¼CORREL(A2:A13,C2:C13)
71 59 10 0.798407 ¼CORREL(B2:B13,C2:C13)
53 49 6
67 62 11
55 51 8
58 50 7
77 55 10
57 48 9
56 52 10
51 42 6
76 61 12
68 57 9
Como se ve, r 12 está en D1, r 13 está en D2 y r 23 está en D3. En E1, E2 y E3 aparecen las funciones de EXCEL
empleadas para obtener los resultados.
Usando MINITAB, la secuencia Stat → Basic Statistics → Correlation da el resultado siguiente.
Correlaciones: X1, X2, X3
X1 X2
X2 0.820
0.001
X3 0.770 0.798
0.003 0.002
Cell Contents: Pearson correlation
P-Value
La correlación r 12 está en la intersección de X1 y X2 y es 0.820. El valor debajo de él, 0.001, es el valor p para
probar que no hay correlación poblacional entre X1 y X2. Como este valor p es menor de 0.05, se rechaza la hipótesis
nula de que no hay correlación poblacional entre la estatura (X2) y el peso (X1). Las demás correlaciones con sus
valores p se leen de manera similar.
PROBLEMAS RESUELTOS 391
Empleando en SPSS la secuencia Analyze → Correlate → Bivariate da el siguiente resultado que se lee de
manera similar al de MINITAB.
Correlaciones
X1 X2 X3
X1
Correlación de Pearson
Sig. (2 colas)
N
1
12
.820**
.001
12
.770**
.003
12
X2
Correlación de Pearson
Sig. (2 colas)
N
.820**
.001
12
1
12
.798**
.002
12
X3
Correlación de Pearson
Sig. (2 colas)
N
.770**
.003
12
.798**
.002
12
1
12
**La correlación es significativa al nivel 0.01 (2 colas).
Empleando STATISTIX, la secuencia Stastitics → Linear models → Correlation da el resultado siguiente,
que es similar al de los otros software.
Statistix 8.0
Correlations (Pearson)
X1
X2 0.8196
P-VALUE 0.0011
X2
X3 0.7698 0.7984
0.0034 0.0018
Una vez más se ve la cantidad de tiempo que se ahorra con un software que realiza los cálculos para el
usuario.
15.6 Repetir el problema 15.3a) empleando la ecuación (5) de este capítulo y los resultados de los problemas 15.4
y 15.5.
SOLUCIÓN
Multiplicando ambos lados de la ecuación (5) por s 1 , la ecuación de regresión de X 1 sobre X 2 y X 3 es,
x 1 ¼ r 12 r 13 r 23
1 r 2 23
s1
s 2
x 2 þ r 13 r 12 r 23
1 r 2 23
s1
s 3
x 3 (22)
donde x 1 ¼ X 1
X 1 , x 2 ¼ X 2
X 2 y x 3 ¼ X 3
X 3 . Empleando los resultados de los problemas 15.4 y 15.5, la ecuación
(22) se convierte en
x 1 ¼ 0:8546x 2 þ 1:5063x 3
Dado que
X 1 ¼
P
X1
N ¼ 753
P
12 ¼ 62:750 X2
X 2 ¼
N ¼ 53:583 y X 3 ¼ 8:833
(de acuerdo con la tabla 15.2 del problema 15.3), la ecuación buscada puede expresarse como
que coincide con el resultado del problema 15.3a).
X 1 62:750 ¼ 0:8546ðX 2 53:583Þþ1:506ðX 3 8:833Þ
392 CAPÍTULO 15 CORRELACIÓN MÚLTIPLE Y CORRELACIÓN PARCIAL
15.7 Dados los datos del problema 15.3, determinar: a) el promedio de incremento en el peso por pulgada de incremento
en la altura de niños de una misma edad, y b) el promedio de incremento en el peso por año en niños de
una misma estatura.
SOLUCIÓN
De acuerdo con la ecuación de regresión obtenida en el problema 15.3a) o 15.6, se encuentra que la respuesta para a) es
0.8546, o bien 0.9 lb, y la respuesta para b) es 1.5063, o bien 1.5 lb, aproximadamente.
15.8 Mostrar que las ecuaciones (3) y (4) de este capítulo se obtienen de las ecuaciones (1) y (2).
SOLUCIÓN
De acuerdo con la primera de las ecuaciones (2), dividiendo ambos lados entre N se tiene
X 1 ¼ b 1:23 þ b 12:3
X 2 þ b 13:2
X 3 (23)
Restando la ecuación (23) de la ecuación (1) se obtiene
X 1
X 1 ¼ b 12:3 ðX 2
X 2 Þþb 13:2 ðX 3
X 3 Þ
o bien x 1 ¼ b 12:3 x 2 þ b 13:2 x 3 (24)
que es la ecuación (3).
Sean X 1 ¼ x 1 þ X 1 , X 2 ¼ x 2 þ X 2 y X 3 ¼ x 3 þ X 3 en la segunda y tercera ecuación de las ecuaciones (2). Entonces,
después de algunas simplificaciones algebraicas y empleando los resultados P x 1 ¼ P x 2 ¼ P x 3 ¼ 0, estas ecuaciones
se convierten en
P
x1 x 2 ¼ b 12:3
P x
2
2 þ b 13:2
P
x2 x 3 þ N X 2 ½b 1:23 þ b 12:3
X 2 þ b 13:2
X 3
X 1 Š (25)
P
x1 x 3 ¼ b 12:3
P
x2 x 3 þ b 13:2
P x
2
3 þ N X 3 ½b 1:23 þ b 12:3
X 2 þ b 13:2
X 3
X 1 Š (26)
las cuales se reducen a las ecuaciones (4) debido a que las cantidades que se encuentran entre corchetes en el lado derecho
de las ecuaciones (25) y (26) son cero de acuerdo con la ecuación (1).
15.9 Deducir la ecuación (5) que se repite a continuación:
x 1
¼ r 12 r 13 r 23
s 1 1 r 2 23
x2
s 2
þ r 13 r 12 r 23
1 r 2 23
x3
s 3
(5)
SOLUCIÓN
De acuerdo con las ecuaciones (25) y (26)
b 12:3
P x
2
2 þ b 13:2
P
x2 x 3 ¼ P x 1 x 2
b 12:3
P
x2 x 3 þ b 13:2
P x
2
3 ¼ P x 1 x 3
(27)
Como
P x
s 2 2
2 ¼ 2
N
y
s 2 3 ¼
P x
2
3
N
P x
2
2 ¼ Ns 2 2 y P x 2 3 ¼ Ns 2 3. Dado que
P P
x2 x
r 23 ¼ ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 3 x2 x
q
ð P ¼ 3
x 2 2 ÞðP x 2 3 Þ Ns 2 s 3
P
x2 x 3 ¼ Ns 2 s 3 r 23 . De igual manera, P x 1 x 2 ¼ Ns 1 s 2 r 12 y P x 1 x 3 ¼ Ns 1 s 3 r 13 .
PROBLEMAS RESUELTOS 393
Sustituyendo en la ecuación (27) y simplificando, se encuentra
b 12:3 s 2 þ b 13:2 s 3 r 23 ¼ s 1 r 12
b 12:3 s 2 r 23 þ b 13:2 s 3 ¼ s 1 r 13
(28)
Resolviendo las ecuaciones simultáneas (28), se tiene
b 12:3 ¼ r 12 r 13 r 23
1 r 2 23
s1
s 2
y b 13:2 ¼ r 13 r 12 r 23
1 r 2 23
s1
s 3
Sustituyendo estos valores en la ecuación x 1 = b 12.3 x 2 + b 13.2 x 3 [ecuación (24)] y dividiendo entre s 1 se llega al resultado
buscado.
ERROR ESTÁNDAR DE ESTIMACIÓN
15.10 Dados los datos del problema 15.3, calcular el error estándar de estimación de X 1 sobre X 2 y X 3 .
SOLUCIÓN
De acuerdo con la tabla 15.3 del problema 15.3, se tiene
sffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
P ðX1 X 1,estÞ 2
s 1:23 ¼
N
sffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
ð64 64:414Þ 2 þð71 69:136Þ 2 þþð68 65:920Þ 2
¼
¼ 4:6447 o bien 4.6 lb
12
p
El error estándar de estimación poblacional se estima mediante ^s 1:23 ¼
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
N=ðN 3Þs 1:23 = 5.3 lb en este caso.
15.11 Para obtener el resultado del problema 15.10, utilizar
sffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
1 r 2 12
r 2 13
r 2 23
s 12:3 ¼ s þ 2r 12r 13 r 23
1
1 r 2 23
SOLUCIÓN
De acuerdo con los problemas 15.4a) y 15.5 se tiene
sffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
1 ð0:8196Þ 2 ð0:7698Þ 2 ð0:7984Þ 2 þ 2ð0:8196Þð0:7698Þð0:7984Þ
s 1:23 ¼ 8:6035
1 ð0:7984Þ 2
¼ 4:6lb
Obsérvese que con el método empleado en este problema se obtiene el error estándar de estimación sin necesidad de
usar la ecuación de regresión.
COEFICIENTE DE CORRELACIÓN MÚLTIPLE
15.12 Dados los datos del problema 15.3, calcular el coeficiente de correlación lineal múltiple de X 1 sobre X 2 y X 3 .
Consultar los resultados de MINITAB dados en la solución del problema 15.3 para determinar el coeficiente
de correlación lineal múltiple.
394 CAPÍTULO 15 CORRELACIÓN MÚLTIPLE Y CORRELACIÓN PARCIAL
SOLUCIÓN
Primer método
De acuerdo con los resultados de los problemas 15.4a) y 15.10 se tiene
sffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
sffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
s 2 1:23 ð4:6447Þ 2
R 1:23 ¼ 1
s 2 ¼ 1
1 ð8:6035Þ 2 ¼ 0:8418
Segundo método
De acuerdo con los resultados del problema 15.5 se tiene
sffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
sffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
r 2 12
R 1:23 ¼
þ r2 13
2r 12 r 13 r 23 ð0:8196Þ 2 þð0:7698Þ 2 2ð0:8196Þð0:7698Þð0:7984Þ
1 r 2 ¼
23
1 ð0:7984Þ 2
¼ 0:8418
Obsérvese que el coeficiente de correlación múltiple, R 1.23 , es mayor que cualquiera de los coeficientes r 12 o r 13 (ver
problema 15.5). Esto siempre es así y en realidad es de esperar, ya que al tomar en cuenta más variables independientes
relevantes, se llega a una relación mejor entre las variables.
El fragmento siguiente de los resultados de MINITAB en la solución del problema 15.3, R-Sq = 70.9%, da el
cuadrado del coeficiente de correlación p lineal múltiple. El coeficiente de correlación lineal múltiple es la raíz cuadrada de
esta cantidad. Es decir, R 1:23 ¼
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
0:709 ¼ 0:842.
15.13 Dados los datos del problema 15.3, calcular el coeficiente de determinación múltiple de X 1 sobre X 2 y X 3 .
Consultar los resultados de MINITAB dados en la solución del problema 15.3 para determinar el coeficiente
de determinación múltiple.
SOLUCIÓN
El coeficiente de determinación múltiple de X 1 sobre X 2 y X 3 es
R 2 1:23 ¼ð0:8418Þ 2 ¼ 0:7086
empleando el problema 15.12. Por lo tanto, cerca de 71% de la variación total en X 1 se explica usando la ecuación de regresión.
El coeficiente de determinación múltiple se lee directamente en los resultados de MINITAB dados en la solución del
problema 15.3, y es R-Sq = 70.9%.
15.14 Según los datos del problema 15.3, calcular: a) R 2.13 y b) R 3.12 y comparar estos valores con el valor de R 1.23 .
SOLUCIÓN
sffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
sffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
r 2 12
a) R 2:13 ¼
þ r2 23
2r 12 r 13 r 23 ð0:8196Þ 2 þð0:7984Þ 2 2ð0:8196Þð0:7698Þð0:7984Þ
1 r 2 ¼
13
1 ð0:7698Þ 3
¼ 0:8606
sffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
sffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
r 2 13
b) R 3:12 ¼
þ r2 23
2r 12 r 13 r 23 ð0:7698Þ 2 þð0:7984Þ 2 2ð0:8196Þð0:7698Þð0:7984Þ
1 r 2 ¼
12
1 ð0:8196Þ 2
¼ 0:8234
Este problema ilustra el hecho de que, en general, R 2.13 , R 3.12 y R 1.23 no son necesariamente iguales, como se puede
ver en la comparación con el problema 15.12.
PROBLEMAS RESUELTOS 395
15.15 Si R 1.23 = 1, probar que: a) R 2.13 = 1 y b) R 3.12 = 1.
SOLUCIÓN
y
sffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
r 2 12
R 1:23 ¼
þ r2 13
2r 12 r 13 r 23
1 r 2 23
sffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
r 2 12
R 2:13 ¼
þ r2 23
2r 12 r 13 r 23
1 r 2 13
(29)
(30)
a) Haciendo en la ecuación (29), R 1.23 = 1 y elevando al cuadrado ambos lados, r 2 12 þ r 2 13 2r 12 r 13 r 23 ¼ 1 r 2 23.
Entonces
r 2 12 þ r 2 23 2r 12 r 13 r 23 ¼ 1 r 2 13 o bien
r 2 12 þ r 2 23 2r 12 r 13 r 23
1 r 2 13
¼ 1
Es decir, R 2 2:13 ¼ 1 y R 2.13 = 1, ya que el coeficiente de correlación múltiple se considera no negativo.
b) R 3.12 = 1 sigue del inciso a) intercambiando los subíndices 2 y 3 en la fórmula para R 2.13 = 1.
15.16 Si R 1.23 = 0, ¿implica necesariamente que R 2.13 = 0?
SOLUCIÓN
De acuerdo con la ecuación (29), R 2.13 = 0 si y sólo si
Entonces, de acuerdo con la ecuación (30) se tienen
lo cual no es necesariamente igual a cero.
r 2 12 þ r 2 13 2r 12 r 13 r 23 ¼ 0 o bien 2r 12 r 13 r 23 ¼ r 2 12 þ r 2 13
sffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
sffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
r 2 12
R 2:13 ¼
þ r2 23
ðr 2 12 þ r2 13 Þ r 2 23
r 2 13
1 r 2 ¼
13
1 r 2 13
CORRELACIÓN PARCIAL
15.17 Dados los datos del problema 15.3, calcular los coeficientes de correlación lineal parcial r 12.3 , r 13.2 y r 23.1 .
También determinar estos coeficientes empleando STATISTIX.
SOLUCIÓN
r
r 12:3 ¼ 12 r 13 r
qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
23
ð1 r 2 13 Þð1 r2 23 Þ
r
r 13:2 ¼ 13 r 12 r
qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
23
ð1 r 2 12 Þð1 r2 23 Þ
r
r 23:1 ¼ 23 r 12 r
qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
13
ð1 r 2 12 Þð1 r2 13 Þ
Empleando los resultados del problema 15.5, se encuentra que r 12.3 = 0.5334, r 13.2 = 0.3346 y r 23.1 = 0.4580. Se concluye
que entre los niños de una misma edad, el coeficiente de correlación entre peso y estatura es 0.53; entre los niños de una
misma estatura el coeficiente de correlación entre peso y edad es 0.33. Como estos resultados se basan en una muestra
pequeña, de sólo 12 niños, no son tan confiables como si se obtuviesen de una muestra mayor.
Con la secuencia Statistics → Linear models → Partial Correlations se obtiene el cuadro de diálogo de la figura
15-4. Este cuadro se llena como se indica en la figura. Se busca r 12.3 . El resultado es el siguiente.
Statistix 8.
Partial Correlations with X1
Controlled for X3
X2 0.5335
396 CAPÍTULO 15 CORRELACIÓN MÚLTIPLE Y CORRELACIÓN PARCIAL
Figura 15-4 STATISTIX, cuadro de diálogo para el problema 15.17.
STATISTIX puede emplearse de manera similar para hallar las otras dos correlaciones parciales buscadas.
15.18 Si X 1 = b 1.23 + b 12.3 X 2 + b 13.2 X 3 y X 3 = b 3.12 + b 32.1 X 2 + b 31.2 X 1 son las ecuaciones de regresión de X 1 sobre
X 2 y X 3 , y de X 3 sobre X 2 y X 1 , respectivamente, probar que r 2 13:2 ¼ b 13:2 b 31:2 .
SOLUCIÓN
La ecuación de regresión de X 1 sobre X 2 y X 3 puede expresarse como [ver ecuación (5) de este capítulo]
X 1 ¼ X 1 ¼ r
12 r 13 r 23 s1
1 r 2 ðX
23
s 2
X 2 Þþ r
13 r 12 r 23 s1
2
1 r 2 ðX
23
s 3
X 3 Þ (31)
3
La ecuación de regresión de X 3 sobre X 2 y X 1 puede expresarse como [ver ecuación (10)]
X 3
X 3 ¼ r
23 r 13 r 12 s3
1 r 2 ðX
12
s 2
X 2 Þþ r
13 r 23 r 12 s3
2
1 r 2 ðX
12
s 1
X 1 Þ (32)
1
De acuerdo con las ecuaciones (31) y (32), los coeficientes de X 3 y X 1 son, respectivamente,
b 13:2 ¼ r
13 r 12 r 23 s1
1 r 2 y b
23
s 31:2 ¼ r
13 r 23 r 12 s3
3
1 r 2 12
s 1
Por lo tanto b 13:2 b 31:2 ¼ ðr 13 r 12 r 23 Þ 2
ð1 r 2 23 Þð1 r2 12 Þ ¼ r2 13:2
15.19 Si r 12.3 = 0, probar que
SOLUCIÓN
sffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
1 r
a) 2 23
r 13:2 ¼ r 13
1 r 2 12
sffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
1 r 2 13
b) r 23:1 ¼ r 23
1 r 2 12
Si
r
r 12:3 ¼ 12 r 13 r
qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
23
¼ 0
ð1 r 2 13 Þð1 r2 23 Þ
PROBLEMAS RESUELTOS 397
se tiene que r 12 = r 13 r 23 .
s ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
a)
r
r 13:2 ¼ 13 r 12 r
qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
23
¼ r 13 ðr 13 r 23 Þr
qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
23 r
¼ 13 ð1 r 2
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
23Þ
1 r 2 23
13
ð1 r 2 12 Þð1 r2 23 Þ ð1 r 2 12 Þð1 r2 23 Þ ð1 r 2 12 Þð1 r2 23 Þ 1 r 2 12
b) Se intercambian los subíndices 1 y 2 en el resultado del inciso a).
CORRELACIÓN MÚLTIPLE Y CORRELACIÓN PARCIAL PARA CUATRO O MÁS VARIABLES
15.20 Un examen de ingreso a la universidad consta de tres partes: matemáticas, español y conocimientos generales.
Para determinar si los resultados de este examen sirven para predecir el desempeño en el curso de estadística,
se recolectan y se analizan los datos de una muestra de 200 estudiantes. Sea
X 1 = calificación en el curso de estadística X 3 = calificación en el examen de español
X 2 = calificación en el examen de matemáticas X 4 = calificación en el examen de conocimientos generales
Se obtienen los valores siguientes:
X 1 ¼ 75 s 1 ¼ 10 X 2 ¼ 24 s 2 ¼ 5
X 3 ¼ 15 s 3 ¼ 3 X 4 ¼ 36 s 4 ¼ 6
r 12 ¼ 0:90 r 13 ¼ 0:75 r 14 ¼ 0:80 r 23 ¼ 0:70 r 24 ¼ 0:70 r 34 ¼ 0:85
Encontrar la ecuación de regresión de mínimos cuadrados de X 1 sobre X 2 , X 3 y X 4 .
SOLUCIÓN
Generalizando el resultado del problema 15.8, la ecuación de regresión de mínimos cuadrados de X 1 sobre X 2 , X 3 y X 4 puede
expresarse como
x 1 ¼ b 12:34 x 2 þ b 13:24 x 3 þ b 14:23 x 4 (33)
donde b 12.34 , b 13. 24 y b 14.23 se obtienen a partir de las ecuaciones normales
P P
x1 x 2 ¼ b 12:34 x
2
2
P P
þ b 13:24 x2 x 3 þ b 14:23 x2 x 4
P P P
x1 x 3 ¼ b 12:34 x2 x 3 þ b 13:24 x
2
3
P
þ b 14:23 x3 x 4
P P P P
x1 x 4 ¼ b 12:34 x2 x 4 þ b 13:24 x3 x 4 þ b 14:23 x
2
4
y donde x 1 ¼ X 1
X 1 , x 2 ¼ X 2
X 2 , x 3 ¼ X 3
X 3 y x 4 ¼ X 4
X 4 .
A partir de los datos dados, se encuentra
∑ x
2
2 Ns 2 2 = 5 000
∑ x 1 x 2 = Ns 1 s 2 r 12 = 9 000
∑ x 2 x 3 = Ns 1 s 3 r 23 = 2 100
∑ x
2
3 Ns 2 3 = 1 800
∑ x 1 x 3 = Ns 1 s 3 r 13 = 4 500
∑ x 2 x 4 = Ns 2 s 4 r 24 = 4 200
∑ x
2
4 Ns 2 4 = 7 200
∑ x 1 x 4 = Ns 1 s 4 r 14 = 9 600
∑ x 3 x 4 = Ns 3 s 4 r 34 = 3 060
Sustituyendo estos valores en las ecuaciones (34) y resolviendo el sistema de ecuaciones, se obtiene
b 12:34 ¼ 1:3333 b 13:24 ¼ 0:0000 b 14:23 ¼ 0:5556 (35)
que al sustituirlos en la ecuación (33) dan la ecuación de regresión buscada
x 1 ¼ 1:3333x 2 þ 0:0000x 3 þ 0:5556x 4
o bien X 1 75 ¼ 1:3333ðX 2 24Þþ0:5556ðX 4 27Þ (36)
398 CAPÍTULO 15 CORRELACIÓN MÚLTIPLE Y CORRELACIÓN PARCIAL
La solución exacta de la ecuación (34) da b 12:34 ¼ 4 3 , b 13:24 ¼ 0 y b 14:23 ¼ 5 9
, de manera que la ecuación de regresión
también se puede expresar como
X 1 ¼ 23 þ 4 3 X 2 þ 5 9 X 4 (37)
Es interesante observar que en la ecuación de regresión no aparecen las calificaciones de español, X 3 . Esto no significa
que los conocimientos de español no sean importantes para el desempeño en estadística, sino que significa que la
necesidad del español, en lo que se refiere a la predicción de la calificación en estadística, queda ampliamente reflejada por
las calificaciones obtenidas en los otros exámenes.
15.21 Dos estudiantes que aprobaron el examen de admisión del problema 15.20 obtuvieron, respectivamente, las
calificaciones siguientes: a) 30 en matemáticas, 18 en español y 32 en conocimientos generales y b) 18 en
matemáticas, 20 en español y 36 en conocimientos generales. ¿Cuál será su calificación en estadística?
SOLUCIÓN
a) Sustituyendo X 2 = 30, X 3 = 18 y X 4 = 32 en la ecuación (37), la calificación en estadística será X 1 = 81.
b) Procediendo como en el inciso a) con X 2 = 18, X 3 = 20 y X 4 = 36, se encuentra X 1 = 67.
15.22 Dados los datos del problema 15.20, encontrar los coeficientes de correlación parcial: a) r 12.34 , b) r 13.24 y
c) r 14.23 .
SOLUCIÓN
r
a) y b) r 12:4 ¼ 12 r 14 r
qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
24
ð1 r 2 14 Þð1 r2 24 Þ
r
r 13:4 ¼ 13 r 14 r
qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
34
ð1 r 2 14 Þð1 r2 34 Þ
r
r 23:4 ¼ 23 r 24 r
qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
34
ð1 r 2 24 Þð1 r2 34 Þ
Sustituyendo con los valores del problema 15.20, se obtiene r 12.4 = 0.7935, r 13.4 = 0. 2215 y r 23.4 = 0. 2791. Por lo
tanto,
r
r 12:34 ¼ 12:4 r 13:4 r
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 23:4
r
q ¼ 0:7814 y r 13:24 ¼ 13:4 r 12:4 r
qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
23:4
¼ 0:0000
ð1 r 2 13:4 Þð1 r2 23:4 Þ
ð1 r 2 12:4 Þð1 r2 23:4 Þ
r
c) r 14:3 ¼ 14 r 13 r
qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
34
ð1 r 2 13 Þð1 r2 34 Þ
r
r 12:3 ¼ 12 r 13 r
qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
23
ð1 r 2 13 Þð1 r2 23 Þ
r
r 24:3 ¼ 24 r 23 r
qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
34
ð1 r 2 23 Þð1 r2 34 Þ
Sustituyendo con los valores del problema 15.20, se obtiene r 14.3 = 0.4664, r 12.3 = 0.7939 y r 24.3 = 0.2791. Por lo
tanto
r
r 14:23 ¼ 14:3 r 12:3 r
qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
24:3
¼ 0:4193
ð1 r 2 12:3 Þð1 r2 24:3 Þ
15.23 Interpretar los coeficientes de correlación parcial: a) r 12.4 , b) r 13.4 , c) r 12.34 , d ) r 14.3 y e) r 14.23 obtenidos en el
problema 15.22.
SOLUCIÓN
a) r 12.4 = 0.7935 representa el coeficiente de correlación (lineal) entre las calificaciones en estadística y las calificaciones
en matemáticas de estudiantes con una misma calificación en conocimientos generales. Para obtener este coeficiente
no se toman en cuenta las calificaciones en español (así como otros factores tampoco considerados), como resulta
evidente por el hecho de que se ha omitido el subíndice 3.
PROBLEMAS RESUELTOS 399
b) r 13.4 = 0.2215 representa el coeficiente de correlación entre las calificaciones en estadística y las calificaciones en
español de estudiantes que tienen la misma calificación en conocimientos generales. Aquí no se han considerado las
calificaciones en matemáticas.
c) r 12.34 = 0.7814 representa el coeficiente de correlación entre las calificaciones en estadística y las calificaciones en
matemáticas de estudiantes con la misma calificación, tanto en español como en conocimientos generales.
d ) r 14.3 = 0.4664 representa el coeficiente de correlación entre las calificaciones en estadística y las calificaciones en
conocimientos generales de estudiantes con la misma calificación en español.
e) r 14.23 = 0.4193 representa el coeficiente de correlación entre las calificaciones en estadística y las calificaciones en
conocimientos generales de estudiantes con la misma calificación tanto en matemáticas como en español.
15.24 a) Dados los datos del problema 15.20, mostrar que
r 12:4 r 13:4 r
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 23:4 r
q
¼ 12:3 r 14:3 r
q ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 24:3
(38)
ð1 r 2 13:4 Þð1 r2 23:4 Þ ð1 r 2 14:3 Þð1 r2 24:3 Þ
b) Explicar el significado de la igualdad del inciso a).
SOLUCIÓN
a) El lado izquierdo de la ecuación (38) fue evaluado en el problema 15.22a) dando como resultado 0.7814. Para evaluar
el lado derecho de la ecuación (38), se usan los resultados del problema 15.22c); el resultado también es 0.7814. Por
lo tanto, en este caso en especial, la igualdad es válida. Mediante manipulaciones algebraicas puede demostrarse que
esta igualdad también es válida en general.
b) El lado izquierdo de la ecuación (38) es r 12.34 y el lado derecho es r 12.43 . Como r 12.34 es la correlación entre las variables
X 1 y X 2 cuando X 3 y X 4 permanecen constantes, y r 12.43 es la correlación entre las variables X 1 y X 2 cuando X 4 y X 3
permanecen constantes, resulta inmediatamente evidente que la igualdad debe ser válida.
15.25 Dados los datos del problema 15.20, encontrar: a) el coeficiente de correlación múltiple R 1.234 y b) el error
estándar de estimación s 1.234 .
SOLUCIÓN
a) 1 R 2 1:234 ¼ð1 r 2 12Þð1 r 2 13:2Þð1 r 2 14:23Þ o bien R 1.234 = 0.9310
dado que r 12 = 0.90 de acuerdo con el problema 15.20, r 14.23 = 0.4193, de acuerdo con el problema 15.22c), y
r
r 13:2 ¼ 13 r 12 r
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 23
0:75 ð0:90Þð0:70Þ
q
¼ qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
¼ 0:3855
ð1 r 2 12 Þð1 r2 23 Þ ½1 ð0:90Þ 2 Š½1 ð0:70Þ 2 ÞŠ
Otro método
Intercambiando en la primera ecuación los subíndices 2 y 4 se obtiene
1 R 2 1:234 ¼ð1 r 2 14Þð1 r 2 13:4Þð1 r 2 12:34Þ o bien R 1.234 = 0.9310
donde se han empleado directamente los resultados del problema 15.22a).
sffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
b) R 1:234 ¼
1 s 2 1:234
s 2 1
Comparar con la ecuación (8) de este capítulo.
qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
o bien s 1:234 ¼ s 1 1 R 2 1:234
q
¼ 10
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
1 ð0:9310Þ 2
¼ 3:650
400 CAPÍTULO 15 CORRELACIÓN MÚLTIPLE Y CORRELACIÓN PARCIAL
ECUACIONES DE REGRESIÓN CON TRES VARIABLES
PROBLEMAS SUPLEMENTARIOS
15.26 Empleando la notación adecuada con subíndices, escribir las ecuaciones de regresión de: a) X 3 sobre X 1 y X 2 , y b) X 4 sobre
X 1 , X 2 , X 3 y X 5 .
15.27 Escribir las ecuaciones normales correspondientes a la ecuación de regresión de: a) X 2 sobre X 1 y X 3 , y b) X 5 sobre X 1 , X 2 ,
X 3 y X 4 .
15.28 En la tabla 15.4 se presentan los valores de tres variables: X 1 , X 2 y X 3 .
a) Encontrar la ecuación de regresión de mínimos cuadrados de X 3 sobre X 1 y X 2 .
b) Estimar X 3 para X 1 = 10 y X 2 = 6.
Tabla 15.4
X 1 3 5 6 8 12 14
X 2 16 10 7 4 3 2
X 3 90 72 54 42 30 12
15.29 Un maestro de matemáticas quiere determinar la relación que hay entre las calificaciones del examen final y las calificaciones
de dos exámenes parciales durante el semestre. Siendo X 1 , X 2 y X 3 , respectivamente, las calificaciones del primero
y segundo exámenes parciales y del examen final, el profesor calcula los siguientes valores correspondientes a un total de
120 alumnos.
X 1 ¼ 6:8 X 2 ¼ 7:0 X 3 ¼ 74
s 1 ¼ 1:0 s 2 ¼ 0:80 s 2 ¼ 9:0
r 12 ¼ 0:60 r 13 ¼ 0:70 r 23 ¼ 0:65
a) Encontrar la ecuación de regresión de mínimos cuadrados de X 3 sobre X 1 y X 2 .
b) Estimar la calificación final de dos estudiantes cuyas calificaciones en los dos exámenes parciales fueron: 1) 9 y 7, y
2) 4 y 8.
15.30 Los datos de la tabla 15.5 dan el precio en miles (X 1 ), la cantidad de recámaras (X 2 ) y la cantidad de baños (X 3 ) de 10 casas.
Usar las ecuaciones normales para hallar la ecuación de regresión de mínimos cuadrados de X 1 sobre X 2 y X 3 . Usar EXCEL,
MINITAB, SAS, SPSS y STATISTIX para encontrar la ecuación de regresión de mínimos cuadrados de X 1 sobre X 2 y X 3 .
Usar la ecuación de regresión de mínimos cuadrados de X 1 sobre X 2 y X 3 para estimar el precio de una casa que tenga cinco
recámaras y cuatro baños.
Tabla 15.5
Precio Recámaras Baños
165
200
225
180
202
250
275
300
155
230
3
3
4
2
4
4
3
5
2
4
2
3
3
3
2
4
4
3
2
4
PROBLEMAS SUPLEMENTARIOS 401
ERROR ESTÁNDAR DE ESTIMACIÓN
15.31 Dados los datos del problema 15.28, encontrar el error estándar de estimación de X 3 sobre X 1 y X 2 .
15.32 Dados los datos del problema 15.29, encontrar el error estándar de estimación de: a) X 3 sobre X 1 y X 2 y b) X 1 sobre X 2
y X 3 .
COEFICIENTE DE CORRELACIÓN MÚLTIPLE
15.33 Dados los datos del problema 15.28, calcular el coeficiente de correlación lineal múltiple de X 3 sobre X 1 y X 2 .
15.34 Dados los datos del problema 15.29, calcular: a) R 3.12 , b) R 1.23 y c) R 2.13 .
15.35 a) Si r 12 = r 13 = r 23 = r 1, mostrar que
R 1:23 ¼ R 2:31 ¼ R 3:12 ¼ r pffiffiffi
2
pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
1 þ r
b) Analizar el caso r = 1.
15.36 Si R 1.23 = 0, probar que jr 23 jjr 12 j y jr 23 jjr 13 j e interpretar.
CORRELACIÓN PARCIAL
15.37 Dados los datos del problema 15.28, calcular los coeficientes de correlación lineal parcial r 12.3 , r 13.2 y r 23.1 . Calcularlos
también usando STATISTIX.
15.38 Resolver el problema 15.37 con los datos del problema 15.29.
15.39 Si r 12 = r 13 = r 23 = r 1, mostrar que r 12.3 = r 13.2 = r 23.1 = r/(1 + r). Analizar el caso r = 1.
15.40 Si r 12.3 = 1, mostrar que: a) |r 13.2 | = 1, b) |r 23.1 | = 1, c) R 1.23 = 1 y d ) s 1.23 = 0.
CORRELACIÓN MÚLTIPLE Y CORRELACIÓN PARCIAL CON CUATRO O MÁS VARIABLES
15.41 Mostrar que la ecuación de regresión de X 4 sobre X 1 , X 2 y X 3 puede escribirse como
x 4 x
¼ a 1
s 1
4 s 1
x
þ a 2
2
s 2
x
þ a 3
3
s 3
donde a 1 , a 2 y a 3 se determinan resolviendo simultáneamente las ecuaciones
a 1 r 11 þ a 2 r 12 þ a 3 r 13 ¼ r 14
a 1 r 21 þ a 2 r 22 þ a 3 r 23 ¼ r 24
a 1 r 31 þ a 2 r 32 þ a 3 r 33 ¼ r 34
y donde x j ¼ X j
X j , r jj ¼ 1 y j = 1, 2, 3 y 4. Generalizar al caso con más de cuatro variables.
402 CAPÍTULO 15 CORRELACIÓN MÚLTIPLE Y CORRELACIÓN PARCIAL
15.42 Dados X 1 ¼ 20, X 2 ¼ 36, X 3 ¼ 12, X 4 ¼ 80, s 1 = 1.0, s 2 = 2.0, s 3 = 1.5, s 4 = 6.0, r 12 = −0.20, r 13 = 0.40, r 23 = 0.50,
r 14 = 0.40, r 24 = 0.30 y r 34 = −0.10, a) encontrar la ecuación de regresión de X 4 sobre X 1 , X 2 y X 3 , y b) estimar X 4 para
X 1 = 15, X 2 = 40 y X 3 = 14.
15.43 Dados los datos del problema 15.42, encontrar: a) r 41.23 , b) r 42.13 y c) r 43.12 .
15.44 Dados los datos del problema 15.42, encontrar: a) R 4.123 y b) s 4.123 .
15.45 Los gastos médicos anuales de quince hombres adultos se correlacionan con otros factores de salud. En un estudio se consideran
gastos médicos anuales, Y, así como la información sobre las siguientes variables independientes,
X 1 =
0, si es no fumador
1, si es fumador
X 2 = cantidad de dinero gastado semanalmente en alcohol,
X 3 = horas semanales de ejercicio,
8
>< 0, poco informado sobre la alimentación
X 4 = 1, informado medianamente sobre la alimentación
>:
2, altamente informado sobre la alimentación
X 5 = peso X 6 = edad
La notación empleada en este problema se encuentra en muchos libros de estadística. Y se emplea como variable dependiente
y X, con subíndices, como variables independientes. Empleando los datos de la tabla 15.6, encontrar, resolviendo las
ecuaciones normales, la ecuación de regresión de Y sobre X 1 a X 6 y comparar esta solución con las soluciones dadas por
EXCEL, MINITAB, SAS, SPSS y STATISTIX.
Tabla 15.6
Gastos médicos Fumador Alcohol Ejercicio Alimentación Peso Edad
2 100
2 378
1 657
2 584
2 658
1 842
2 786
2 178
3 198
1 782
2 399
2 423
3 700
2 892
2 350
0
1
0
1
1
0
1
0
1
0
0
0
1
1
1
20
25
10
20
25
0
25
10
30
5
25
15
25
30
30
5
0
10
5
0
10
5
10
0
10
12
15
0
5
10
1
1
2
2
1
1
0
1
1
0
2
0
1
1
1
185
200
175
225
220
165
225
180
225
180
225
220
275
230
245
50
42
37
54
32
34
30
41
31
45
45
33
43
42
40
ANÁLISIS DE
VARIANZA
16
OBJETIVO DEL ANÁLISIS DE VARIANZA
En el capítulo 8 se usó la teoría del muestreo para probar la importancia de la diferencia entre dos medias muestrales
y se supuso que las dos poblaciones de las que provenían las muestras tenían la misma varianza. Hay ocasiones que se
necesita probar la importancia de la diferencia entre tres o más medias muestrales o, lo que es equivalente, probar la
hipótesis nula de que todas estas medias muestrales son iguales.
EJEMPLO 1 Supóngase que en un experimento agrícola se emplean cuatro diferentes tratamientos químicos para el suelo, y se
obtienen, respectivamente, con los siguientes rendimientos medios de trigo: 28, 22, 18 y 24 bushels por acre. ¿Existe diferencia
significativa entre estas medias o la dispersión observada se debe sólo a la casualidad?
Problemas como éste se resuelven empleando una técnica desarrollada por Fischer y que se denomina análisis de varianza. En
esta técnica se usa la distribución F, ya vista en el capítulo 11.
CLASIFICACIÓN EN UN SENTIDO O EXPERIMENTOS CON UN FACTOR
En un experimento de un factor, las mediciones (u observaciones) se hacen de a grupos independientes de muestras,
y b es la cantidad de mediciones en cada muestra. Se habla de a tratamientos, cada uno con b repeticiones o b réplicas.
En el ejemplo 1, a = 4.
Los resultados de un experimento de un factor se acostumbra presentarlos en una tabla con a renglones y b columnas,
como la tabla 16.1. Aquí, X jk denota la medición del renglón j y columna k, donde j = 1, 2, . . . , a y donde k = 1,
2, . . . , b. Por ejemplo, X 35 significa la quinta medición del tercer tratamiento.
Tabla 16.1
Tratamiento 1 X 11 , X 12 , . . . , X 1b
X 1:
Tratamiento 2 X 21 , X 22 , . . . , X 2b
X 2:
Tratamiento a X a1 , X a2 , . . . , X ab
X a:
La media de las mediciones en el renglón j se denota X j . Se tiene
X j: ¼ 1 b
X b
k¼1
X jk j ¼ 1, 2, ..., a (1)
403
404 CAPÍTULO 16 ANÁLISIS DE VARIANZA
El punto que aparece en X j. sirve para indicar que se suma sobre el índice k. A los valores X j. se les llama medias de
grupo, medias de tratamiento o medias de renglón. La gran media o media general es la media de todas las mediciones
de todos los grupos y se denota X:
X ¼ 1 X a
ab
j¼1
X b
k¼1
X jk (2)
VARIACIÓN TOTAL, VARIACIÓN DENTRO DE TRATAMIENTOS
Y VARIACIÓN ENTRE TRATAMIENTOS
La variación total, que se denota V, se define como la suma de los cuadrados de las desviaciones de cada medición
respecto a la gran media X
Variación total ¼ V ¼ X ðX jk
XÞ 2 (3)
j;k
Expresando esta identidad como
X jk
X ¼ðX jk
X j: ÞþðX j:
XÞ (4)
y después elevando al cuadrado y sumando sobre j y k, se tiene (ver problema 16.1)
X
ðX jk
XÞ 2 ¼ X ðX jk
X j: Þ 2 þ X ð X j:
XÞ 2 (5)
j;k
j;k
j;k
X
o
ðX jk
XÞ 2 ¼ X ðX jk
X j: Þ 2 þ b X ð X j:
XÞ 2 (6)
j;k
j;k
j
La primera suma que aparece en el lado derecho de las ecuaciones (5) y (6) es la variación dentro de los tratamientos
(ya que se trata de los cuadrados de las desviaciones de las X jk respecto a las medias de los tratamientos X j. ) y se denota
V W . Por lo tanto,
V W ¼ X ðX jk
X j: Þ 2 (7)
j;k
La segunda suma que aparece en el lado derecho de las ecuaciones (5) y (6) es la variación entre los tratamientos (ya
que se trata de los cuadrados de las desviaciones de las medias de los tratamientos X j. respecto a la gran media X) y
se denota V B . Por lo tanto,
V B ¼ X j;k
ð X j:
XÞ 2 ¼ b X j
ð X j
XÞ 2 (8)
Por lo tanto, las ecuaciones (5) y (6) se pueden expresar como
V ¼ V W þ V B (9)
MÉTODOS ABREVIADOS PARA OBTENER LAS VARIACIONES
Para simplificar el cálculo de las variaciones anteriores se emplean las fórmulas siguientes:
V ¼ X j;k
X 2 jk
T 2
ab
(10)
V B ¼ 1 b
X
j
T 2 j:
T 2
ab
(11)
V W ¼ V V B (12)
VALORES ESPERADOS DE LAS VARIACIONES 405
donde T es la suma de todos los valores X jk y donde T j. es la suma de todos los valores del tratamiento j-ésimo:
T ¼ X j;k
X jk
T j: ¼ X k
X jk (13)
En la práctica, conviene sustraer, de cada dato de la tabla, un valor fijo con objeto de simplificar los cálculos; esto no
afecta el resultado final.
MODELO MATEMÁTICO PARA EL ANÁLISIS DE VARIANZA
Cada renglón de la tabla 16.1 se considera como una muestra aleatoria de tamaño b tomada de la población de ese
determinado tratamiento. Las X jk difieren de la media poblacional µ j correspondiente al tratamiento j en un error aleatorio
que se denota ε jk ; por lo tanto,
X jk ¼ j þ " jk (14)
Se supone que estos errores están distribuidos de manera normal con media 0 y varianza σ 2 . Si µ es la media de
la población de todos los tratamientos y si se denota α j = µ j − µ, entonces µ j = µ + α j , y la ecuación (14) se convierte
en
X jk ¼ þ j þ " jk (15)
donde P j
j ¼ 0 (ver problema 16.18). De acuerdo con la ecuación (15) y con la suposición de que las ε jk están distribuidas
de manera normal con media 0 y varianza σ 2 , se concluye que las X jk se pueden considerar como variables
aleatorias distribuidas en forma normal, con media µ y varianza σ 2 .
La hipótesis nula de que todas las medias de los tratamientos son iguales está dada por (H 0 : α j = 0; j = 1, 2, . . . , a)
o, lo que es equivalente, por (H 0 : µ j = µ; j = 1, 2, . . . , a). Si H 0 es verdadera, todas las poblaciones de los tratamientos
tendrán la misma distribución normal (es decir, con la misma media y varianza). En estos casos, sólo hay un tratamiento
poblacional (es decir, todos los tratamientos son estadísticamente idénticos); en otras palabras, no hay diferencia
significativa entre los tratamientos.
VALORES ESPERADOS DE LAS VARIACIONES
Como se puede demostrar (ver problema 16.19), los valores esperados de V W , V B y V están dados por
EðV W Þ¼aðb 1Þ 2 (16)
EðV B Þ¼ða
1Þ 2 þ b X j
2 j (17)
EðVÞ ¼ðab
1Þ 2 þ b X j
2 j (18)
De acuerdo con la ecuación (16) se tiene
V
E W
¼ 2 (19)
aðb 1Þ
de manera que ^S W 2 ¼ V W
aðb 1Þ
(20)
siempre es la mejor estimación (insesgada) de σ 2 , sin importar si H 0 es o no verdadera. Por otro lado, de acuerdo con
las ecuaciones (17) y (18) se ve que sólo si H 0 es verdadera (es decir, α j = 0) se tendrá
E
V
B
¼ 2 V
y E ¼ 2 (21)
a 1
ab 1
406 CAPÍTULO 16 ANÁLISIS DE VARIANZA
de manera que sólo en ese caso
^S 2 B ¼
V B
a 1
y ^S 2 ¼ V
ab 1
proporcionan una estimación insesgada de σ 2 . Pero si H 0 no es verdadera, entonces de acuerdo con la ecuación (17) se
tiene
Eð ^S BÞ¼ 2 2 þ
b X
2 j (23)
a 1
j
(22)
DISTRIBUCIONES DE LAS VARIACIONES
Empleando la propiedad aditiva de ji cuadrada se pueden probar los siguientes teoremas fundamentales que se refieren
a las distribuciones de las variaciones V W , V B y V:
Teorema 1:
V W /σ 2 tienen una distribución ji cuadrada con a(b − 1) grados de libertad.
Teorema 2: Bajo la hipótesis nula H 0 , V B /σ 2 y V/σ 2 tienen distribuciones ji cuadrada con a − 1
y ab − 1 grados de libertad, respectivamente.
Es importante subrayar que el teorema 1 es válido, ya sea que H 0 sea o no verdadera, mientras que el teorema 2 sólo
es válido bajo la suposición de que H 0 es verdadera.
PRUEBA F PARA LA HIPÓTESIS NULA DE MEDIAS IGUALES
Si la hipótesis nula H 0 no es verdadera (es decir, si las medias de los tratamientos no son iguales), como se ve de
acuerdo con la ecuación (23), se esperará que ^S 2 B sea mayor que σ 2 , y que este efecto se haga más pronunciado a medida
que la discrepancia entre las medias aumente. Por otro lado, de acuerdo con las ecuaciones (19) y (20) puede esperarse
que ^S 2 W sea igual a σ 2 sin importar si las medias son o no iguales. Se tiene, entonces, que un buen estadístico para
probar la hipótesis H 0 es el proporcionado por ^S 2 B= ^S 2 W. Si este estadístico es significativamente grande, se puede concluir
que entre las medias de los tratamientos hay una diferencia significativa y, por lo tanto, se puede rechazar H 0 ; si
no es así, puede aceptarse H 0 o posponer la decisión hasta hacer más análisis.
Para usar el estadístico ^S 2 B= ^S2 W es preciso conocer su distribución muestral. Este conocimiento lo proporciona el
teorema 3.
Teorema 3: El estadístico F = ^S 2 B= ^S 2 W tiene distribución F con a − 1 y a(b − 1) grados de libertad.
El teorema 3 permite probar la hipótesis nula a determinado nivel de significancia, empleando la distribución F (estudiada
en el capítulo 11) mediante una prueba de una cola.
TABLAS PARA EL ANÁLISIS DE VARIANZA
En la tabla 16.2, llamada tabla para el análisis de varianza, se resumen los cálculos necesarios para la prueba anterior.
En la práctica se calculan V y V B empleando ya sea el método largo [ecuaciones (3) y (8)] o el método corto [ecuaciones
(10) y (11)] y calculando después V W = V − V B . Debe notarse que el número de grados de libertad para la variación
total (es decir, ab − 1) es igual a la suma de los grados de libertad para la variación entre los tratamientos más los
grados de libertad para la variación dentro de los tratamientos.
CLASIFICACIÓN EN DOS SENTIDOS O EXPERIMENTOS CON DOS FACTORES 407
Tabla 16.2
Variación Grados de libertad Cuadrado medio F
Entre tratamientos,
V B ¼ b X ð X j:
XÞ 2 a − 1 ^S B 2 ¼ V B
^S B
2
a 1
j
^S W
2
Dentro de tratamientos,
V W = V − V B a(b − 1) ^S W 2 ¼ V W
aðb 1Þ
con a − 1 y a(b − 1)
grados de libertad
Total
V ¼ V B þ V W
¼ X ab − 1
ðX jk
XÞ 2
j; k
MODIFICACIONES PARA NÚMEROS DISTINTOS DE OBSERVACIONES
En caso de que los tratamientos 1, . . . , a tengan números distintos de observaciones —iguales a N 1 ,..., N a , respectivamente—
los resultados anteriores pueden modificarse fácilmente. Así se obtiene
V ¼ X ðX jk
XÞ 2 ¼ X X 2 T 2
jk
(24)
N
j;k
j;k
V B ¼ X ð X j:
j;k
XÞ 2 ¼ X j
N j ð X j:
XÞ 2 ¼ X j
Tj:
2 T 2
N j N
(25)
V W ¼ V V B (26)
donde P j;k denota la sumatoria, primero sobre k desde 1 hasta N j y después la sumatoria sobre j desde 1 hasta a. En
este caso, la tabla para el análisis de varianza es la tabla 16.3.
Tabla 16.3
Variación Grados de libertad Cuadrado medio F
Entre tratamientos,
V B ¼ X N j ð X j:
XÞ 2 a − 1 ^S B 2 ¼ V B
a 1
j
^S B
2
^S W
2
Dentro de tratamientos,
V W = V − V B
N − a ^S W 2 ¼ V W
N a
con a − 1 y N − a
grados de libertad
Total,
V ¼ V B þ V W
¼ X N − 1
ðX jk
XÞ 2
j; k
CLASIFICACIÓN EN DOS SENTIDOS O EXPERIMENTOS CON DOS FACTORES
Las ideas del análisis de varianza para clasificaciones en un sentido o experimentos con un factor pueden generalizarse.
En el ejemplo 2 se ilustra el procedimiento para clasificaciones en dos sentidos o experimentos con dos factores.
408 CAPÍTULO 16 ANÁLISIS DE VARIANZA
EJEMPLO 2 Supóngase que un experimento agrícola consiste en examinar los rendimientos por acre de cuatro variedades de
trigo, cultivando cada variedad en cinco tipos de parcelas. Por lo tanto, se necesitarán (4)(5) = 20 parcelas. En tales casos conviene
reunir las parcelas en bloques, por ejemplo, bloques de cuatro parcelas, y cultivar una variedad diferente de trigo en cada parcela
del bloque. Así, en este ejemplo se necesitarán 5 bloques.
En este caso se tienen dos clasificaciones, o dos factores, ya que las diferencias en el rendimiento por acre pueden deberse a:
1) el tipo de trigo cultivado, o 2) al bloque de que se trate (que pueden presentar diferencias en la fertilidad del suelo, etcétera).
Por analogía, con el experimento agrícola del ejemplo 2 se acostumbra referirse a los dos factores de un experimento
como tratamientos y bloques, aunque por supuesto puede referirse a ellos simplemente como factor 1 y
factor 2.
NOTACIÓN PARA EXPERIMENTOS CON DOS FACTORES
Cuando se tienen a tratamientos y b bloques, se construye una tabla como la 16.4, donde se supone que para cada
tratamiento y para cada bloque hay un valor experimental (por ejemplo, el rendimiento por acre). X jk denota el tratamiento
j y el bloque k. La media de las entradas en el renglón j se denota X j , donde j = 1, . . . , a, y la media de las
entradas en la columna k se denota X :k , donde k = 1, . . . , b. La media general, o gran media, se denota X. En símbolos,
X j: ¼ 1 b
X b
k¼1
X jk
X :k ¼ 1 a
X a
X jk
j¼1
X ¼ 1 X
X
ab jk (27)
j;k
Tabla 16.4
Bloque
1 2 ... b
Tratamiento 1 X 11 X 12 ... X 1b
X 1:
Tratamiento 2 X 21 X 22 ... X 2b
X 2:
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
Tratamiento a X a1 X a2 ... X ab
X a:
X :1
X :2
X :b
VARIACIONES EN LOS EXPERIMENTOS CON DOS FACTORES
Como en el caso de los experimentos con un factor, se definen las variaciones en los experimentos con dos factores.
Primero, como en la ecuación (3), se define la variación total, que es
V ¼ X ðX jk
XÞ 2 (28)
j;k
Expresando la identidad
X jk
X ¼ðX jk
X j:
X :k þ XÞþðX j:
XÞþðX :k
XÞ (29)
elevando al cuadrado y sumando después sobre j y k se puede mostrar que
V ¼ V E þ V R þ V C (30)
ANÁLISIS DE VARIANZA PARA EXPERIMENTOS CON DOS FACTORES 409
donde
V E = variación debida al error o a la casualidad = X j;k
ðX jk
X j:
X :k þ XÞ 2
V R = variación entre renglones (tratamientos) = b Xa
V C = variación entre columnas (bloques) = a Xb
k¼1
j¼1
ð X j:
XÞ 2
ð X :k
XÞ 2
La variación debida al error o a la casualidad se conoce también como variación residual o variación aleatoria.
Las fórmulas siguientes, análogas a las ecuaciones (10), (11) y (12), son las fórmulas de cálculo abreviadas.
V ¼ X jk
X 2 jk
T 2
ab
(31)
V R ¼ 1 b
V C ¼ 1 a
X a
Tj:
2
j¼1
X b
T:k
2
k¼1
T 2
ab
T 2
ab
(32)
(33)
V E ¼ V V R V C (34)
donde T j. es el total (la suma) de las entradas en el renglón j-ésimo, T .k es el total (la suma) de las entradas en la columna
k, y T es el total (la suma) de todas las entradas.
ANÁLISIS DE VARIANZA PARA EXPERIMENTOS CON DOS FACTORES
La generalización del modelo matemático para experimentos con un factor, dado por la ecuación (15), lleva a suponer
que para experimentos con dos factores
X jk ¼ þ j þ k þ " jk (35)
donde ∑ α j = 0 y ∑ β k = 0. Aquí µ es la gran media de la población, α j es la parte de X jk atribuida a los diferentes
tratamientos (también llamada efectos del tratamiento), β k es la parte de X jk atribuida a los diferentes bloques (también
llamada efectos de los bloques) y ε jk es la parte de X jk atribuida a la casualidad o al error. Como antes, se supone que
las ε jk están distribuidas en forma normal con media 0 y varianza σ 2 , de manera que las X jk también están distribuidas
en forma normal con media µ y varianza σ 2 .
Correspondiendo con los resultados (16), (17) y (18) puede probarse que las esperanzas de las variaciones están
dadas por
EðV E Þ¼ða 1Þðb 1Þ 2 (36)
EðV R Þ¼ða
1Þ 2 þ b X j
2 j (37)
EðV C Þ¼ðb
1Þ 2 þ a X k
2 k (38)
EðVÞ ¼ðab
2 k (39)
1Þ 2 þ b X j
2 j þ a X k
Las hipótesis nulas que se quieren probar son dos:
H ð1Þ
0 : todas las medias de los tratamientos (renglones) son iguales; es decir, α j = 0 y j = 1, ..., a.
H ð2Þ
0 : todas las medias de los bloques (columnas) son iguales; es decir, β k = 0 y k = 1, ..., b.
410 CAPÍTULO 16 ANÁLISIS DE VARIANZA
De acuerdo con la ecuación (36) se ve que, ya sea que H ð1Þ
σ 2 es la dada por
0 y Hð2Þ 0
, sean o no verdaderas, una estimación insesgada de
^S 2 E ¼
V E
ða 1Þðb 1Þ
esto es, Eð ^S 2 EÞ¼ 2 (40)
Además, si las hipótesis H ð1Þ
0 y Hð2Þ 0
son verdaderas, entonces
^S 2 R ¼ V R
a 1
^S 2 C ¼ V C
b 1
^S 2 ¼
V
ab 1
(41)
serán estimaciones insesgadas de σ 2 . Sin embargo, si H ð1Þ
(37) y (38) se tiene, respectivamente
Los teoremas siguientes son similares a los teoremas 1 y 2:
0 y Hð2Þ 0
no son verdaderas, de acuerdo con las ecuaciones
Eð ^S RÞ¼ 2 2 þ
b X
2 j
a 1
j
(42)
Eð ^S CÞ¼ 2 2 þ
a X
k 2 b 1
(43)
Teorema 4: V E /σ 2 es una distribución ji cuadrada con (a − 1)(b − 1) grados de libertad, independientemente
de H ð1Þ
0
o bien Hð2Þ
0 .
k
Teorema 5: Si la hipótesis H ð1Þ
0 es verdadera, V R /σ2 tiene una distribución ji cuadrada con a − 1
grados de libertad. Si la hipótesis H ð2Þ
0 es verdadera, V C /σ2 tiene una distribución ji cuadrada con
b − 1 grados de libertad. Si las dos hipótesis H ð1Þ
0 y Hð2Þ 0 son verdaderas, V/σ2 es una distribución
ji cuadrada con ab − 1 grados de libertad.
Para probar la hipótesis H ð1Þ
0 , es natural considerar el estadístico ^S R= 2 ^S E, 2 ya que, como se ve, de acuerdo con la
ecuación (42), ^S R 2 se espera que difiera significativamente de σ 2 si las medias de los renglones (tratamientos) son significativamente
diferentes. De manera similar, para probar la hipótesis H ð2Þ
0 , se emplea el estadístico ^S C= 2 ^S E. 2 En el
teorema 6 se dan las distribuciones de ^S R= 2 ^S E 2 y de ^S C= 2 ^S E; 2 este teorema es análogo al teorema 3.
Teorema 6: Si la hipótesis H ð1Þ
0 es verdadera, el estadístico ^S R= 2 ^S E 2 tiene una distribución F con
a − 1 y (a − 1)(b − 1) grados de libertad. Si la hipótesis H ð2Þ
0 es verdadera, el estadístico ^S C= 2 ^S E
2
tiene la distribución F con b − 1 y (a − 1)(b − 1) grados de libertad.
El teorema 6 permite aceptar o rechazar H ð1Þ
0 y Hð2Þ 0
a un nivel de significancia determinado. Para mayor claridad y
facilidad, como en el caso de un factor, para el análisis de varianza se suele construir una tabla como la 16.5.
EXPERIMENTOS CON DOS FACTORES CON REPLICACIÓN
En la tabla 16.4, para cada tratamiento y para cada bloque hay únicamente una entrada. Más información acerca de los
factores puede obtenerse repitiendo el experimento, proceso que se llama replicación. En esos casos habrá más de una
entrada para cada tratamiento y para cada bloque. Se supondrá que en cada posición hay c entradas; en el caso en que
los números de replicaciones no sean iguales, se hacen las modificaciones apropiadas.
Debido a la replicación se necesita un modelo adecuado que sustituya al modelo dado por la ecuación (35). Se usa
el modelo siguiente:
X jkl ¼ þ j þ k þ jk þ " jkl (44)
donde los subíndices j, k y l de X jkl corresponden, respectivamente, al j-ésimo renglón (o tratamientos), a la k-ésima
columna (o bloque) y a la l-ésima repetición (o replicación). En la ecuación (44) µ, α j y β k están definidos como antes;
EXPERIMENTOS CON DOS FACTORES CON REPLICACIÓN 411
Tabla 16.5
Variación Grados de libertad Cuadrado medio F
Entre tratamientos,
V R ¼ b X ð X j:
XÞ 2 a − 1 ^S R 2 ¼ V R
a 1
j
Entre bloques,
V C ¼ a X ð X :k
XÞ 2 b − 1 ^S C 2 ¼ V C
b 1
k
^S 2 R= ^S 2 E
con a − 1 y (a − 1)(b − 1)
grados de libertad
^S 2 C= ^S 2 E
con b − 1 y (a − 1)(b − 1)
grados de libertad
Residual o aleatoria,
V E = V − V R − V C
(a − 1)(b − 1)
^S 2 E ¼
V E
ða 1Þðb 1Þ
Total,
V ¼ V R þ V C þ V E
¼ X ðX jk
XÞ 2 ab − 1
j;k
ε jkl es un término aleatorio o un término de error, y γ jk denota los efectos de la interacción renglón-columna (o tratamiento-bloque)
que se conocen simplemente como interacciones. Se tienen las restricciones
X
X
X
X
j ¼ 0 k ¼ 0 jk ¼ 0 jk ¼ 0 (45)
j
k
y se supone que las X jkl están distribuidas de manera normal con media µ y varianza σ 2 .
Como antes, la variación V de todos los datos puede dividirse en variaciones debidas a los renglones V R , variaciones
debidas a las columnas V C , interacciones V I y un error aleatorio o residual V E :
j
V ¼ V R þ V C þ V I þ V E (46)
k
donde
V ¼ X ðX jkl
XÞ 2 (47)
j;k;l
V R ¼ bc Xa
ð X j::
XÞ 2 (48)
j¼1
V C ¼ ac Xb
ð X :k:
XÞ 2 (49)
k¼1
V I ¼ c X j;k
ð X jk:
X j::
X :k: þ XÞ 2 (50)
V E ¼ X ðX jkl
X jk: Þ 2 (51)
j;k;l
En estos resultados, los puntos que aparecen en los subíndices tienen significados análogos a los dados antes; así, por
ejemplo,
X j:: ¼ 1 X
X
bc jkl ¼ 1 X
b
k;l
k
X jk: (52)
El valor esperado de las variaciones se encuentra como antes. Empleando, para cada fuente de variación, el número que
le corresponde de grados de libertad, se puede elaborar una tabla para el análisis de varianza como la que se muestra
412 CAPÍTULO 16 ANÁLISIS DE VARIANZA
en la tabla 16.6. Los cocientes F que aparecen en la última columna de la tabla 16.6 se usan para probar las hipótesis
nulas:
H ð1Þ
0 : todas las medias de los tratamientos (renglones) son iguales; es decir, α j = 0.
H ð2Þ
0 : todas las medias de los bloques (columnas) son iguales; es decir, β k = 0.
H ð3Þ
0 : entre tratamientos y bloques no hay interacción; es decir, γ jk = 0.
Tabla 16.6
Variación Grados de libertad Cuadrado medio F
Entre tratamientos,
V R
a − 1 ^S 2 R ¼ V R
a 1
Entre bloques,
V C
b − 1 ^S 2 C ¼ V C
b 1
^S 2 R= ^S 2 E
con a − 1 y ab(c − 1)
grados de libertad
^S 2 C= ^S 2 E
con b − 1 y ab(c − 1)
grados de libertad
Interacción,
V I
(a − 1)(b − 1)
^S 2 I ¼
V I
ða 1Þðb 1Þ
^S 2 1= ^S 2 E
con (a − 1)(b − 1) y
ab(c − 1) grados de libertad
Residual o aleatoria,
V E
ab(c − 1)
^S 2 E ¼
V E
abðc
1Þ
Total,
V
abc − 1
Desde un punto de vista práctico, hay que decidir primero si H ð3Þ
0
puede o no ser rechazada a nivel de significancia
apropiado usando el F-cociente ^S I 2 = ^S E 2 de la tabla 16.6. Pueden presentarse dos casos:
1. H ð3Þ
0
no puede ser rechazada. En este caso se concluye que las interacciones no son muy grandes. Entonces, se
pueden probar H ð1Þ
0 y Hð2Þ 0 empleando, respectivamente, los F-cocientes ^S R= 2 ^S E 2 y ^S C= 2 ^S E 2 como se muestra en la
tabla 16.6. Algunos especialistas en estadística recomiendan que en este caso se junten las variaciones y se use el
total V I + V E dividiéndolo entre la correspondiente suma de grados de libertad (a − 1)(b − 1) + ab(c − 1) y usando,
en la prueba F, este valor en lugar de ^S E.
2
2. H ð3Þ
0
puede ser rechazada. En este caso, se concluye que las interacciones son significativamente grandes. Entonces,
las diferencias entre los factores sólo serán importantes si son grandes en comparación con estas interacciones. A
esto se debe que muchos especialistas en estadística recomienden probar H ð1Þ
0 y Hð2Þ 0
empleando los F-cocientes
^S R= 2 ^S I 2 y ^S C= 2 ^S I 2 en lugar de los dados en la tabla 16.6. Aquí también se usará este procedimiento alternativo.
El análisis de varianza con replicación puede realizarse más fácilmente sumando primero los valores de las replicaciones
correspondientes a un tratamiento (renglón) y a un bloque (columna). Con esto se obtiene una tabla de dos
factores con entrada sencilla, que se puede analizar como la tabla 16.5. Este procedimiento se ilustra en el problema
16.16.
DISEÑO EXPERIMENTAL
Las técnicas de análisis de varianza vistas antes se emplean una vez que se han obtenido los resultados de un experimento.
Sin embargo, con objeto de obtener tanta información como sea posible, es necesario que primero se planee
DISEÑO EXPERIMENTAL 413
cuidadosamente el experimento; a esto se le conoce como diseño del experimento. Los siguientes son algunos ejemplos
importantes de diseños de experimentos:
1. Aleatorización completa. Supóngase que se tiene un experimento agrícola como el del ejemplo 1. Para diseñar
este experimento se puede dividir la tierra en 4 × 4 = 16 parcelas (como se indica en la figura 16-1 mediante los
cuadrados, aunque puede emplearse cualquier otra figura) y asignar cada tratamiento (indicados por las letras A, B,
C y D) a cuatro bloques elegidos en forma completamente aleatoria. El propósito de la aleatorización es eliminar
diversas fuentes de error, por ejemplo, la fertilidad del suelo.
D A C C
B D B A
D C B D
A B C A
Figura 16-1 Aleatorización completa.
Bloques Tratamientos
I C B A D
II A B D C
III B C D A
IV A D C B
Figura 16-2 Bloques aleatorizados.
Factor 1
D B C A
B D A C
Factor 2
C A D B
A C B D
Figura 16-3 Cuadrado latino.
B γ A β D δ C α
A δ B α C γ D β
D α C δ B β A γ
C β D γ A α B δ
Figura 16-4 Cuadrado grecolatino.
2. Bloques aleatorizados. Cuando se necesita todo un conjunto de tratamientos para cada bloque, como en el ejemplo
2, los tratamientos A, B, C y D se introducen en orden aleatorio en cada uno de los bloques I, II, III y IV (es decir,
en los renglones de la figura 16-2), y por esta razón a los bloques se les llama bloques aleatorizados. Este tipo de
diseño se emplea para controlar una fuente de error o variabilidad: a saber, la diferencia entre los bloques.
3. Cuadrados latinos. Para algunos fines es necesario controlar al mismo tiempo dos fuentes de error o de variabilidad,
como las diferencias entre los renglones y las diferencias entre las columnas. Por ejemplo, en el experimento
del ejemplo 1, los errores en los diferentes renglones y columnas pueden deberse a variaciones en la fertilidad
del suelo en distintos lugares del terreno. En tales casos es necesario que cada tratamiento aparezca una vez en cada
renglón y una vez en cada columna, como en la figura 16-3. A esta distribución se le llama cuadrado latino debido
a que se emplean las letras A, B, C y D.
4. Cuadrados grecolatinos. Cuando es necesario controlar tres fuentes de error o de variabilidad se emplea un cuadrado
grecolatino, como el que se muestra en la figura 16-4. Estos cuadrados son, en esencia, dos cuadrados latinos
superpuestos uno sobre otro, usando las letras latinas A, B, C y D para uno de los cuadrados y las letras griegas α,
β, γ y δ para el otro. Un requerimiento adicional por satisfacer es que cada letra griega debe usarse una y sólo una
vez con cada letra latina; si se satisface esta condición se dice que el cuadrado es ortogonal.
414 CAPÍTULO 16 ANÁLISIS DE VARIANZA
PROBLEMAS RESUELTOS
CLASIFICACIÓN EN UN SENTIDO O EXPERIMENTOS CON UN FACTOR
16.1 Probar que V = V W + V B ; es decir,
X
j;k
ðX jk
XÞ 2 ¼ X j;k
ðX jk
X j: Þ 2 þ X j;k
ð X j:
XÞ 2
SOLUCIÓN
Se tiene X jk
X ¼ðX jk
X j: ÞþðX j:
XÞ
Elevando al cuadrado y sumando sobre j y k, se obtiene
X
ðX jk
XÞ 2 ¼ X ðX jk
X j: Þ 2 þ X
j;k
j;k
j;k
ð X j:
XÞ 2 þ 2 X j;k
ðX jk
X j: Þð X j:
XÞ
Para probar el resultado deseado hay que mostrar que la última suma es cero. Para esto, se procede como sigue:
" #
X
ðX jk
X j: Þð X j:
XÞ ¼ Xa
ð X j:
XÞ Xb
ðX jk
X j: Þ
j;k
j¼1
¼ Xa
j¼1
ð X j:
k¼1
" ! #
X
XÞ
b
X jk b X j: ¼ 0
k¼1
ya que
X j: ¼ 1 b
X b
X jk
k¼1
16.2 Empleando la notación de la página 362, verificar que: a) T ¼ ab X, b) T j: ¼ b X j: y c) P j
T j: ¼ ab X.
SOLUCIÓN
a) T ¼ X !
1 X
X jk ¼ ab X
ab jk ¼ ab X
j;k
j;k
b) T j: ¼ X !
X jk ¼ b
1 X
X
b jk ¼ b X j:
k
k
c) Como T j: ¼ P k X jk, de acuerdo con el inciso a) se tiene
X
T j: ¼ X X
X jk ¼ T ¼ ab X
j
j
16.3 Verificar las fórmulas abreviadas (10), (11) y (12) de este capítulo.
SOLUCIÓN
k
Se tiene
V ¼ X j;k
ðX jk
XÞ 2 ¼ X j;k
ðX 2 jk
2 XX jk þ X 2 Þ
¼ X j;k
X 2 jk
2 X X j;k
X jk þ ab X 2
¼ X j;k
¼ X j;k
X 2 jk 2 Xðab XÞþab X 2
X 2 jk ab X 2
¼ X j;k
X 2 jk
T 2
ab
PROBLEMAS RESUELTOS 415
empleando el problema 16.2a) para el tercero y último renglones anteriores. De igual manera,
V B ¼ X j;k
ð X j:
XÞ 2 ¼ X j;k
ð X 2 j:
2 X X j: þ X 2 Þ
¼ X j;k
X 2 j:
2 X X j;k
X j: þ ab X 2
¼ X j;k
¼ 1 b 2 X a
¼ 1 b
¼ 1 b
T 2
j:
2 X X b
j;k
X b
j¼1 k¼1
X a
j¼1
X a
Tj:
2
j¼1
T j:
b þ ab X 2
T 2
j: 2 Xðab XÞþab X 2
T 2 j: ab X 2
T 2
ab
empleando el problema 16.2b) para el tercer renglón y el problema 16.2a) para el último renglón. Por último, la ecuación
(12) se obtiene a partir de que V = V W + V B o bien V W = V − V B .
16.4 La tabla 16.7 muestra los rendimientos, en bushels por acre, de cierta variedad de trigo cultivado en un tipo
especial de suelo tratado con los agentes químicos A, B o C. Encontrar: a) el rendimiento medio con los distintos
tratamientos, b) la gran media de todos los tratamientos, c) la variación total, d ) la variación entre los tratamientos
y e) la variación dentro de los tratamientos. Utilizar el método largo. f ) Proporcionar el análisis de
EXCEL para los datos que se muestran en la tabla 16.7.
Tabla 16.7
A 48 49 50 49
B 47 49 48 48
C 49 51 50 50
Tabla 16.8
3 4 5 4
2 4 3 3
4 6 5 5
SOLUCIÓN
Para simplificar los cálculos se puede sustraer una cantidad adecuada, por ejemplo 45, de cada uno de los datos sin que esto
afecte los valores de las variaciones. Así se obtienen los datos de la tabla 16.8.
a) Las medias de tratamiento (renglón) en la tabla 16.8 son, respectivamente,
X 1: ¼ 1 4 ð3 þ 4 þ 5 þ 4Þ ¼4 X 2: ¼ 1 4 ð2 þ 4 þ 3 þ 3Þ ¼3 X 3: ¼ 1 4
ð4 þ 6 þ 5 þ 5Þ ¼5
Y los rendimientos medios, que se obtienen sumando 45 a estos valores, son 49, 48 y 50 bushels por acre, respectivamente,
para A, B y C.
b) La gran media de todos los tratamientos es
X ¼ 1 12
ð3 þ 4 þ 5 þ 4 þ 2 þ 4 þ 3 þ 3 þ 4 þ 6 þ 5 þ 5Þ ¼4
Por lo tanto, la gran media del conjunto de los datos originales es 45 + 4 = 49 bushels por acre.
c) La variación total es
V ¼ X j;k
ðX jk XÞ 2 ¼ð3 4Þ 2 þð4 4Þ 2 þð5 4Þ 2 þð4 4Þ 2 þð2 4Þ 2 þð4 4Þ 2
þð3 4Þ 2 þð3 4Þ 2 þð4 4Þ 2 þð6 4Þ 2 þð5 4Þ 2 þð5 4Þ 2 ¼ 14
416 CAPÍTULO 16 ANÁLISIS DE VARIANZA
d )
La variación entre tratamientos es
V B ¼ b X j
ð X j:
XÞ 2 ¼ 4½ð4 4Þ 2 þð3 4Þ 2 þð5 4Þ 2 Š¼8
e) La variación dentro de los tratamientos es
Otro método
V W ¼ V V B ¼ 14 8 ¼ 6
V W ¼ X j;k
ðX jk X j: Þ 2 ¼ð3 4Þ 2 þð4 4Þ 2 þð5 4Þ 2 þð4 4Þ 2 þð2 3Þ 2 þð4 3Þ 2
þð3 3Þ 2 þð3 3Þ 2 þð4 5Þ 2 þð6 5Þ 2 þð5 5Þ 2 þð5 5Þ 2 ¼ 6
Nota: La tabla 16.9 es para el análisis de varianza de los problemas 16.4, 16.5 y 16.6.
Tabla 16.9
Variación Grados de libertad Cuadrado medio F
Entre tratamientos
V B = 8
a − 1 = 2 ^S B 2 ¼ 8 2 ¼ 4 ^S B
2 ¼ 4
^S W
2 2=3 ¼ 6
Dentro de los tratamientos
V W = V − V B
= 14 − 8 = 6
Total
V = 14
a(b − 1) = (3)(3) = 9 ^S 2 W ¼ 6 9 ¼ 2 3
ab − 1 = (3)(4) − 1
= 11
con 2 y 9 grados
de libertad
f )
Empleando EXCEL, la secuencia Tools → Data analysis → Anova single factor da el análisis que se presenta a
continuación. El valor p indica que α = 0.05, las medias de las tres variedades son diferentes.
A B C
48 47 49
49 49 51
50 48 50
49 48 50
Análisis de varianza de un factor
RESUMEN
Grupos Cuenta Suma Promedio
Varianza
A 4 196 49 0.666667
B 4 192 48 0.666667
C 4 200 50 0.666667
ANÁLISIS DE VARIANZA
Origen de las
variaciones SS df MS F Valor p
Entre grupos 8 2 4 6 0.022085
Dentro de los grupos 6 9 0.666667
Total 14 11
PROBLEMAS RESUELTOS 417
La figura 16-5 muestra una gráfica de puntos de MINITAB dando los rendimientos de las tres variedades de trigo. La
figura 16-6 muestra una gráfica de caja de MINITAB dando los rendimientos de las tres variedades de trigo. El análisis
de EXCEL y las gráficas de MINITAB indican que la variedad C supera significativamente los rendimientos de la variedad
B.
Gráfica de puntos de rendimientos contra tratamiento
Tratamiento
A
B
C
47 48 49 50 51
Rendimiento
Figura 16-5 MINITAB, gráfica de puntos de los rendimientos de las tres variedades de trigo.
51
Gráfica de caja de rendimiento contra variedad
50
Rendimiento
49
48
47
A
B
C
Variedad
Figura 16-6 MINITAB, gráfica de caja de los rendimientos de las tres variedades de trigo.
16.5 Volver al problema 16.4, encontrar una estimación insesgada de la varianza poblacional σ 2 a partir de: a) la
variación entre tratamientos bajo la hipótesis nula de medias de tratamiento iguales y b) la variación dentro de
los tratamientos. c) Consultar los resultados de EXCEL dados en la solución del problema 16.4, localizar las
estimaciones de las varianzas calculadas en los incisos a) y b).
SOLUCIÓN
a) ^S 2 B ¼ V B
a 1 ¼ 8
3 1 ¼ 4
b) ^S 2 W ¼ V W
aðb 1Þ ¼ 6
3ð4 1Þ ¼ 2 3
c) La estimación de varianza ^S 2 B, en los resultados de EXCEL, es MS entre grupos y es 4, que es igual al valor encontrado.
La estimación de ^S 2 W, en los resultados de EXCEL, es MS dentro de los grupos y es 0.666667, que es igual al
valor encontrado.
16.6 Dados los datos del problema 16.4, a los niveles de significancia: a) 0.05 y b) 0.01, ¿puede rechazarse la hipótesis
nula de medias iguales? c) Consultar los resultados de EXCEL dados en la solución del problema 16.4,
para probar la hipótesis nula de varianzas iguales.
418 CAPÍTULO 16 ANÁLISIS DE VARIANZA
SOLUCIÓN
Se tiene
F ¼ ^S B
2 ¼ 4
^S W
2 2=3 ¼ 6
con a − 1 = 3 − 1 grados de libertad y a(b − 1) = 3(4 − 1) = 9 grados de libertad.
a) En el apéndice V, para ν 1 = 2 y ν 2 = 9, se encuentra que F .95 = 4.26. Como F = 6 > F .95 , la hipótesis nula de medias
iguales puede rechazarse al nivel 0.05.
b) En el apéndice VI, para ν 1 = 2 y ν 2 = 9, se encuentra que F .99 = 8.02. Como F = 6 < F .99 , la hipótesis nula de medias
iguales no se puede rechazar al nivel 0.01.
c) Consultando los resultados de EXCEL dados en el problema 16.4, se encuentra que el valor F es 6 y el valor p es 0.022.
Por lo tanto, el menor nivel de significancia predeterminado al que puede rechazarse la hipótesis nula es 0.022. De
manera que la hipótesis nula se rechazará al nivel de significancia 0.05, pero no al nivel de significancia 0.01.
16.7 Dados los datos del problema 16.4, emplear las fórmulas abreviadas (10), (11) y (12) para obtener: a) la variación
total, b) la variación entre los tratamientos y c) la variación dentro de los tratamientos. Además, utilizar
MINITAB con los datos, a los que se les restó 45 a cada valor, para obtener la tabla del análisis de varianza.
SOLUCIÓN
Conviene ordenar los datos como en la tabla 16.10.
Tabla 16.10
T j Tj 2
A 3 4 5 4 16 256
B 2 4 3 3 12 144
C 4 6 5 5 20 400
X
Xjk 2 ¼ 206 T ¼ X X
T j ¼ 48 Tj 2
¼ 800
j
j
j; k
a) Usando la fórmula (10), se tiene
X
Xjk 2 ¼ 9 þ 16 þ 25 þ 16 þ 4 þ 16 þ 9 þ 9 þ 16 þ 36 þ 25 þ 25 ¼ 206
j;k
y T ¼ 3 þ 4 þ 5 þ 4 þ 2 þ 4 þ 3 þ 3 þ 4 þ 6 þ 5 þ 5 ¼ 48
Por lo tanto,
V ¼ X j;k
X 2 jk
T 2
ab ¼ 206 ð48Þ 2
¼ 206 192 ¼ 14
ð3Þð4Þ
b) Los totales (suma) de los renglones son
T 1: ¼ 3 þ 4 þ 5 þ 4 ¼ 16 T 2: ¼ 2 þ 4 þ 3 þ 3 ¼ 12 T 3: ¼ 4 þ 6 þ 5 þ 5 ¼ 20
y T ¼ 16 þ 12 þ 20 ¼ 48
Por lo tanto, empleando la fórmula (11), se tiene
V B ¼ 1 X
T 2 T 2
j:
b ab ¼ 1 4 ð162 þ 12 2 þ 20 2 Þ
j
ð48Þ 2
¼ 200 192 ¼ 8
ð3Þð4Þ
c) Empleando la fórmula (12), se tiene
V W ¼ V V B ¼ 14 8 ¼ 6
PROBLEMAS RESUELTOS 419
Estos resultados coinciden con los obtenidos en el problema 16.4 y se procede como antes.
Con la secuencia Stat → Anova → Oneway se obtiene el resultado siguiente. Obsérvense las diferencias en la terminología
empleada. A la variación dentro de los tratamientos se le llama en EXCEL Dentro de los grupos y en
MINITAB Error. A la variación entre tratamientos en EXCEL se le llama Entre los grupos y en MINITAB Factor.
El usuario debe acostumbrarse a las diferentes terminologías empleadas en los diversos paquetes de software.
One-way ANOVA: A, B, C
Source DF SS MS F P
Factor 2 8.000 4.000 6.00 0.022
Error 9 6.00 0.667
Total 11 14.000
S=0.8165 R-Sq=57.14% R-Sq(adj)=47.62%
16.8 Una empresa quiere comprar una de cinco máquinas A, B, C, D o E. En un experimento destinado a probar si
hay diferencia en el rendimiento de estas máquinas, uno de cada cinco operadores experimentados trabaja
durante la misma cantidad de tiempo en cada máquina. En la tabla 16.11 se muestra la cantidad de unidades
producidas con cada máquina. A los niveles de significancia: a) 0.05 y b) 0.01, probar la hipótesis de que no
hay diferencia entre las máquinas. c) Proporcionar la solución de STATISTIX a este problema, y empleando el
método del valor p, probar la hipótesis de que no hay diferencia entre las máquinas. Usar α = 0.05.
Tabla 16.11
A 68 72 77 42 53
B 72 53 63 53 48
C 60 82 64 75 72
D 48 61 57 64 50
E 64 65 70 68 53
Tabla 16.12
T j
T 2 j
A −8 12 −17 −18 −−7 −12 144
B −12 −7 −3 −7 −12 −11 121
C −0 22 −4 −15 −12 −53 2 809
D −12 1 −3 −4 −10 −20 400
E −4 5 −10 −8 −−7 −20 400
P X
2
jk ¼ 2 658 −54 3 874
SOLUCIÓN
A cada dato se le resta un número adecuado, por ejemplo 60, y se obtiene la tabla 16.12. Entonces
V = 2 658
(54) 2
= 2 658 116.64 = 2 541.36
(5)(5)
y V B = 3 874
5
(54) 2
= 774.8 116.64 = 658.16
(5)(4)
Ahora se elabora la tabla 16.13. Para 4 y 20 grados de libertad, se tiene F .95 = 2.87. De esta manera, al nivel 0.05 no
se puede rechazar la hipótesis nula y, por lo tanto, tampoco al nivel 0.01.
Con la secuencia Statistics → One, two, multi-sample tests → One-way Anova se obtiene el resultado siguiente.
420 CAPÍTULO 16 ANÁLISIS DE VARIANZA
Statistix 8.
One-Way AOV for: ABCDE
Source DF SS MS F P
Between 4 658.16 164.540 1.75 0.1792
Within 20 1883.20 94.160
Total 24 2541.36
Grand Mean 62.160 CV 15.61
Variable Mean
A 62.400
B 57.800
C 70.600
D 56.000
E 64.000
El valor p es 0.1792. No hay diferencia significativa entre las medias poblacionales.
Tabla 16.13
Variación Grados de libertad Cuadrado medio F
Entre tratamientos,
V B = 658.2
a − 1 = 4 ^S 2 B ¼ 658:2
4
¼ 164:5 F ¼ 164:55
94:16 ¼ 1:75
Dentro de tratamientos,
V W = 1 883.2
Total,
V = 2 514.4
a(b − 1) = (5)(4) = 20 ^S 2 W = 1 883.2
20
ab − 1 = 24
= 94.16
MODIFICACIONES PARA NÚMEROS DISTINTOS DE OBSERVACIONES
16.9 En la tabla 16.14 se presentan las duraciones, en horas, de muestras de tres diferentes tipos de cinescopios
producidos por una empresa. Usando el método largo, a los niveles de significancia: a) 0.05 y b) 0.01, determinar
si hay alguna diferencia entre los tres tipos de cinescopios.
Tabla 16.14
Muestra 1 407 411 409
Muestra 2 404 406 408 405 402
Muestra 3 410 408 406 408
SOLUCIÓN
Para facilitar los cálculos se resta de cada dato un número apropiado, por ejemplo 400, obteniendo así la tabla 16.15. En
esta tabla se dan los totales de los renglones, las medias muestrales (o grupales) y la gran media. De esta manera se tiene
PROBLEMAS RESUELTOS 421
V ¼ X ðX jk
XÞ 2 ¼ð7 7Þ 2 þð11 7Þ 2 þþð8 7Þ 2 ¼ 72
j;k
V B ¼ X j;k
ð Xj:
XÞ 2 ¼ X j
N j ð X j:
XÞ 2 ¼ 3ð9 7Þ 2 þ 5ð7 5Þ 2 þ 4ð8 7Þ 2 ¼ 36
V W ¼ V V B ¼ 72 36 ¼ 36
V W también puede obtenerse directamente observando que es igual a
ð7 9Þ 2 þð11 9Þ 2 þð9 9Þ 2 þð4 5Þ 2 þð6 5Þ 2 þð8 5Þ 2 þð5 5Þ 2
þð2 5Þ 2 þð10 8Þ 2 þð8 8Þ 2 þð6 8Þ 2 þð8 8Þ 2
Tabla 16.15
Total
Media
Muestra 1 7 11 9 27 9
Muestra 2 4 6 8 5 2 25 5
Muestra 3 10 8 6 8 32 8
X = gran media = 84
12 = 7
Los datos pueden resumirse como en la tabla 16.16, la tabla para el análisis de varianza. Para 2 y 9 grados de libertad,
en el apéndice V se encuentra que F .95 = 4.26 y en el apéndice VI que F .99 = 8.02. Por lo tanto, la hipótesis de que
las medias son iguales (es decir, que no hay diferencia entre los tres tipos de cinescopios) puede rechazarse al nivel de
significancia 0.05, pero no al nivel de significancia 0.01.
Tabla 16.16
Variación Grados de libertad Cuadrado medio F
V B = 36 a − 1 = 2 ^S B 2 ¼ 36
2 ¼ 18 ^S B
2 ¼ 18
^S W
2 4
V W = 36 N − a = 9 ^S W 2 ¼ 36 9 ¼ 4 ¼ 4:5
16.10 Resolver el problema 16.9 empleando las fórmulas abreviadas (24), (25) y (26). Además, proporcionar la solución
al problema empleando SAS.
SOLUCIÓN
De acuerdo con la tabla 16.15, se tiene N 1 = 3, N 2 = 5, N 3 = 4, N = 12, T 1. = 27, T 2. = 25, T 3. = 32 y T = 84. Por lo tanto,
se tiene
V ¼ X j;k
X 2 Jk
T 2
N ¼ 72 þ 11 2 þþ6 2 þ 8 2 ð84Þ 2
12 ¼ 72
V B ¼ X j
Tj:
2 T 2
N j
N ¼ ð27Þ2
3
þ ð25Þ2 þ ð32Þ2
5 4
V W ¼ V V B ¼ 36
ð84Þ 2
12 ¼ 36
Empleando estos valores, el análisis de varianza procede entonces como en el problema 16.9.
422 CAPÍTULO 16 ANÁLISIS DE VARIANZA
Empleando SAS, con la secuencia Statistics → ANOVA → Oneway ANOVA se obtienen los resultados
siguientes.
The ANOVA Procedure
Class Level Information
Class Levels Values
Sample_ 3 1 2 3
Dependent Variable: lifetime
Number of Observations Read 12
Number of Observations Used 12
The ANOVA Procedure
Source DF Sum of Squares Mean Square F value Pr > F
Model 2 36.00000000 18.00000000 4.50 0.0442
Error 9 36.00000000 4.00000000
Corrected Total 11 72.00000000
R-Square coeff Var Root MSE lifetime Mean
0.500000 0.491400 2.000000 407.0000
Source DF Anova SS Mean Square F Value Pr > F
Sample_ 2 36.00000000 18.00000000 4.50 0.0442
Obsérvese que en SAS a la variación entre tratamientos se le llama model (modelo) y a la variación dentro de
los tratamientos se le dice error. Al estadístico de prueba se le llama valor F y es igual a 4.50. El valor p es Pr > F
y es igual a 0.0442. A α = 0.05 se declarará que las duraciones no son iguales.
CLASIFICACIÓN EN DOS SENTIDOS O EXPERIMENTOS CON DOS FACTORES
16.11 En la tabla 16.17 se presenta la producción por acre en cuatro cultivos diferentes empleando tres tipos diferentes
de fertilizantes. Usando el método largo, determinar, al nivel de significancia 0.01, si hay diferencias en la
producción por acre: a) debidas a los fertilizantes y b) debidas a los cultivos. c) Proporcionar la solución que
da MINITAB a este experimento de dos factores.
SOLUCIÓN
Como se muestra en la tabla 16.18, se calculan los totales de los renglones, las medias de los renglones, los totales de
las columnas, las medias de las columnas, el gran total y la gran media. Según esta tabla se obtiene:
La variación de las medias de los renglones respecto a la gran media es
V R ¼ 4½ð6:2 6:8Þ 2 þð8:3 6:8Þ 2 þð5:9 6:8Þ 2 Š¼13:68
La variación de las medias de las columnas respecto a la gran media es
V C ¼ 3½ð6:4 6:8Þ 2 þð7:0 6:8Þ 2 þð7:5 6:8Þ 2 þð6:3 6:8Þ 2 Š¼2:82
Tabla 16.17
Cultivo I Cultivo II Cultivo III Cultivo IV
Fertilizante A 4.5 6.4 7.2 6.7
Fertilizante B 8.8 7.8 9.6 7.0
Fertilizante C 5.9 6.8 5.7 5.2
PROBLEMAS RESUELTOS 423
Tabla 16.18
Cultivo I Cultivo II Cultivo III Cultivo IV
Total del
renglón
Media del
renglón
Fertilizante A 4.5 6.4 7.2 6.7 24.8 6.2
Fertilizante B 8.8 7.8 9.6 7.0 33.2 8.3
Fertilizante C 5.9 6.8 5.7 5.2 23.6 5.9
Total de la columna 19.2 21.0 22.5 18.9 Gran total = 81.6
Media de la columna 6.4 7.0 7.5 6.3 Gran media = 6.8
La variación total es
V ¼ð4:5 6:8Þ 2 þð6:4 6:8Þ 2 þð7:2 6:8Þ 2 þð6:7 6:8Þ 2
þð8:8 6:8Þ 2 þð7:8 6:8Þ 2 þð9:6 6:8Þ 2 þð7:0 6:8Þ 2
þð5:9 6:8Þ 2 þð6:8 6:8Þ 2 þð5:7 6:8Þ 2 þð5:2 6:8Þ 2 ¼ 23:08
La variación aleatoria es
V E ¼ V V R V C ¼ 6:58
Esto conduce al análisis de varianza de la tabla 16.19.
Tabla 16.19
Variación
Grados de
libertad
Cuadrado medio
F
V R = 13.68 2 ^S 2 R ¼ 6:84
V C = 2.82 3 ^S 2 C ¼ 0:94
^S 2 R= ^S 2 E ¼ 6:24
con 2 y 6 grados
de libertad
^S 2 C= ^S 2 E ¼ 0:86
con 3 y 6 grados
de libertad
V E = 6.58 6 ^S 2 E ¼ 1:097
V = 23.08 11
a) Al nivel de significancia 0.05 con 2 y 6 grados de libertad, F .95 = 5.14. Entonces, como 6.24 > 5.14, se puede rechazar
la hipótesis de que las medias de los renglones sean iguales y concluir que al nivel de significancia 0.05 existe, en la
producción, una diferencia significativa debida a los fertilizantes.
b) Como el valor F correspondiente a las diferencias en las medias de las columnas es menor que 1, se concluye que
debido a los cultivos no hay diferencia significativa en la producción.
c) Primero se da la estructura que deben tener los datos en la hoja de cálculo de MINITAB, y a continuación el análisis
de MINITAB para este experimento de dos factores.
424 CAPÍTULO 16 ANÁLISIS DE VARIANZA
Row Crop Fertilizer Yield
1 1 1 4.5
2 1 2 8.8
3 1 3 5.9
4 2 1 6.4
5 2 2 7.8
6 2 3 6.8
7 3 1 7.2
8 3 2 9.6
9 3 3 5.7
10 4 1 6.7
11 4 2 7.0
12 4 3 5.2
MTB > Twoway ‘Yield’ ‘Crop’ ‘Fertilizer’;
SUBC > Means ‘Crop’ ‘Fertilizer’.
Two-way Analysis of Variance
Analysis of Variance for Yield
Source DF SS MS F P
Crop 3 2.82 0.94 0.86 0.512
Fertiliz 2 13.68 6.84 6.24 0.034
Error 6 6.58 1.10
Total 11 23.08
Individual 95% CI
Crop Mean --þ ---------þ ---------þ ---------þ ---------
1 6.40 (--------------*--------------)
2 7.00 (--------------*--------------)
3 7.50 (--------------*--------------)
4 6.30 (--------------*--------------)
--þ ---------þ ---------þ ---------þ ---------
5.00 6.00 7.00 8.00
Individual 95% CI
Fertiliz Mean --þ ---------þ ---------þ ---------þ ---------
1 6.20 (----------*---------)
2 8.30 (----------*----------)
3 5.90 (----------*----------)
--þ ---------þ ---------þ ---------þ ---------
4.80 6.00 7.20 8.40
La estructura de los datos en la hoja de cálculo debe corresponder exactamente a la estructura de los datos en la tabla
16.17. El primer renglón, 1 1 4.5, corresponde a Cultivo 1, Fertilizante 1 y Rendimiento 4.5; el segundo renglón, 1 2 8.8,
corresponde a Cultivo 1, Fertilizante 2 y Rendimiento 8.8, etc. Un error frecuente al usar software para estadística es que
en la hoja de cálculo se dé una estructura incorrecta de los datos. Hay que asegurarse de que los datos dados en una tabla
como la 16.17 y la estructura de los datos en la hoja de cálculo se correspondan uno a uno. Obsérvese que la tabla para el
análisis de varianza en dos sentidos, dada en los resultados de MINITAB, contiene la información de la tabla 16.19. Los
valores p que aparecen en los resultados de MINITAB permiten al investigador probar la hipótesis de interés sin tener que
consultar las tablas de la distribución F para hallar los valores críticos. El valor p para los cultivos es 0.512. Éste es el nivel
de significancia mínimo al que se puede rechazar que haya diferencia en la producción media de los cultivos. Las producciones
medias de los cuatro cultivos no son estadísticamente significativas a 0.05 o bien 0.01. El valor p para los fertilizantes
es 0.034. Esto indica que las producciones medias con los tres fertilizantes son estadísticamente diferentes a 0.05 pero
no a 0.01.
Los intervalos de confianza para las medias de los cuatro cultivos dados en los resultados de MINITAB refuerzan la
conclusión de que no hay diferencia en las producciones medias de los cuatro diferentes cultivos. Los intervalos de confianza
para los tres fertilizantes indican que posiblemente con el fertilizante B se obtenga una producción media más alta
que con cualquiera de los fertilizantes A o bien C.
PROBLEMAS RESUELTOS 425
16.12 Usar la fórmula de cálculo abreviada para resolver el problema 16.11. Además, proporcionar la solución a este
problema empleando SPSS.
SOLUCIÓN
De acuerdo con la tabla 16.18, se tiene
∑
X jk 2 =(4.5) 2 +(6.4) 2 5.2) 2 = 577.96
j,k
T = 24.8 + 33.2 + 23.6 = 81.6
∑
T
2
j. =(24.8) 2 +(33.2) 2 +(23.6) 2 = 2 274.24
∑
T
2
.k =(19.2) 2 +(21.0) 2 +(22.5) 2 +(18.9) 2 = 1 673.10
Entonces
V = ∑ j,k
X 2 jk
T 2
= 577.96 554.88 = 23.08
ab
V R = 1 ∑
T
2 T 2
b j.
ab = 1 (2 274.24
4
554.88 = 13.68
V C = 1 ∑
T
2 T 2
a .k
ab = 1 (1 673.10
3
554.88 = 2.82
V E = V V R V C = 23.08 13.68 2.82 = 6.58
Lo cual coincide con los resultados del problema 16.11.
Con la secuencia Analyze → General Linear Model → Univariate de SPSS se obtienen los resultados siguientes:
Variable dependiente: rendimiento
Pruebas de efectos entre temas
Origen
Tipo 1: suma
de cuadrados
df Cuadrado medio F Sig.
Modelo correcto
Intercepto
Cultivo
Fertilizante
Error
Total
Total corregido
16.500 a
554.880
2.820
13.680
6.580
577.960
23.080
5
1
3
2
6
12
11
3.300
554.880
.940
6.840
1.097
3.009
505.970
.857
6.237
.106
.000
.512
.034
a R cuadrada = .715 (R cuadrada ajustada = .477)
Obsérvese que el estadístico de prueba está dado por F y que para los cultivos el valor F es 0.857 y el correspondiente
valor p es 0.512. El valor F para fertilizante es 6.237 y el correspondiente valor p es 0.034. Estos valores corresponden
a los valores de la tabla 16.19, así como a los resultados dados por MINITAB en el problema 16.11.
EXPERIMENTOS CON DOS FACTORES CON REPLICACIÓN
16.13 Un fabricante desea determinar la efectividad de cuatro tipos de máquinas (A, B, C y D) en la producción de
tornillos. Para esto, obtiene la cantidad de tornillos defectuosos producidos por cada máquina durante los días
de una semana determinada en cada uno de los dos turnos; los resultados se muestran en la tabla 16.20. Realizar
426 CAPÍTULO 16 ANÁLISIS DE VARIANZA
un análisis de varianza para determinar, al nivel de significancia 0.05, si existe alguna diferencia: a) entre las
máquinas y b) entre los turnos. c) Utilizar también MINITAB para realizar el análisis de varianza y probar las
diferencias entre las máquinas y entre los turnos usando un valor p apropiado.
Tabla 16.20
Primer turno
Segundo turno
Máquina Lunes Martes Miércoles Jueves Viernes Lunes Martes Miércoles Jueves Viernes
A 6 4 5 5 4 5 7 4 6 8
B 10 8 7 7 9 7 9 12 8 8
C 7 5 6 5 9 9 7 5 4 6
D 8 4 6 5 5 5 7 9 7 10
SOLUCIÓN
Los datos también se pueden organizar de manera equivalente, como en la tabla 16.21. En esta tabla se indican los dos
factores principales: la máquina y el turno. Obsérvese que se han indicado dos turnos por cada máquina. Los días de la
semana pueden considerarse como réplicas (o repeticiones) del desempeño de cada máquina en los dos turnos. La variación
total de todos los datos de la tabla 16.21 es
V ¼ 6 2 þ 4 2 þ 5 2 þþ7 2 þ 10 2 ð268Þ 2
¼ 1 946 − 1 795.6 = 150.4
40
Tabla 16.21
Factor I:
Máquina
A
B
C
D
Factor II:
Turno
1
2
1
2
1
2
1
2
Réplicas
Lunes Martes Miércoles Jueves Viernes Total
6
5
10
7
7
9
8
5
4
7
8
9
5
7
4
7
5
4
7
12
Total 57 51 54 47 59 268
6
5
6
9
5
6
7
8
5
4
5
7
4
8
9
8
9
6
5
10
24
30
41
44
32
31
28
38
Con el fin de considerar los dos factores principales (la máquina y el turno), se concentra la atención en la suma de
los valores de las réplicas correspondientes a cada combinación de los factores. Éstas se presentan en la tabla 16.22, que
es, por lo tanto, una tabla de dos factores con entradas sencillas. La variación total en la tabla 16.22, a la que se le llamará
variación subtotal V S , está dada por
V S ¼ ð24Þ2
5
þ ð41Þ2 þ ð32Þ2
5 5
= 1 861.2 − 1 795.6 = 65.6
þ ð28Þ2
5
þ ð30Þ2
5
þ ð44Þ2
5
þ ð31Þ2 þ ð38Þ2
5 5
ð268Þ 2
40
PROBLEMAS RESUELTOS 427
La variación entre renglones está dada por
V R ¼ ð54Þ2
10 þ ð85Þ2
10 þ ð63Þ2
10 þ ð66Þ2
10
ð268Þ 2
¼ 1 846.6 − 1 795.6 = 51.0
40
Tabla 16.22
Máquina Primer turno Segundo turno Total
A
B
C
D
24
41
32
28
30
44
31
38
54
85
63
66
Total 125 143 268
La variación entre columnas está dada por
V C ¼ ð125Þ2 þ ð143Þ2
20 20
ð268Þ 2
¼ 1 803.7 − 1 795.6 = 8.1
40
Si de la variación subtotal V S se resta ahora la suma de las variaciones entre renglones y las variaciones entre columnas
(V R + V C ), se obtiene la variación debida a la interacción entre renglones y columnas, la cual está dada por
V I ¼ V S V R V C ¼ 65:6 51:0 8:1 ¼ 6:5
Por último, se obtiene la variación residual, que puede considerarse como una variación aleatoria o variación por error V E
(siempre que se crea que los diferentes días de la semana no ocasionan diferencia importante), esta variación se encuentra
restando la variación subtotal (es decir, la suma de las variaciones de renglón, de columna y de interacción) de la variación
total V. Esto da
V E ¼ V ðV R þ V C þ V I Þ¼V V S ¼ 150:4 65:6 ¼ 84:8
Estas variaciones se muestran en la tabla 16.23, la tabla para el análisis de varianza. En esta tabla también se da el
número de grados de libertad que corresponde a cada tipo de variación. Por lo tanto, dado que en la tabla 16.22 hay cuatro
Tabla 16.23
Variación
Grados de
libertad
Cuadrado medio
F
Renglones (máquinas),
V R = 51.0
Columnas (turnos),
V C = 8.1
Interacción,
V I = 6.5
Subtotal,
V S = 65.6
Aleatoria o residual,
V E = 84.8
Total,
V = 150.4
3 ^S R 2 ¼ 17:0
1 ^S C 2 ¼ 8:1
3 ^S I 2 ¼ 2:167
7
32 ^S E 2 ¼ 2:65
39
17:0
2:65 ¼ 6:42
8:1
2:65 ¼ 3:06
2:167
2:65 ¼ 0:817
428 CAPÍTULO 16 ANÁLISIS DE VARIANZA
renglones, la variación debida a los renglones tiene 4 − 1 = 3 grados de libertad, la variación debida a las dos columnas
tiene 2 − 1 = 1 grado de libertad. Para hallar los grados de libertad debidos a la interacción, se observa que en la tabla 16.22
hay ocho entradas; por lo tanto, el total de grados de libertad es 8 − 1 = 7. Como 3 de estos 7 grados de libertad se deben
a los renglones y 1 se debe a las columnas, el resto [7 − (3 + 1) = 3] se debe a la interacción. Dado que en la tabla original
16.21 hay 40 entradas, el total de grados de libertad es 40 − 1 = 39. De esta manera, los grados de libertad debidos a la
variación aleatoria o residual son 39 − 7 = 32.
Primero debe determinarse si hay alguna interacción significativa. El valor crítico interpolado de la distribución F
con 3 y 32 grados de libertad es 2.90. El valor F calculado para la interacción es 0.817 y no es significativo. Entre las
máquinas hay una diferencia significativa, ya que el valor F calculado para las máquinas es 6.42 y el valor crítico es 2.90.
El valor crítico para los turnos es 4.15. El valor F calculado para los turnos es 3.06. No hay diferencia en los defectos
debida a los turnos.
A continuación se muestra la estructura que deben tener los datos en la hoja de cálculo de MINITAB. Compárese la
estructura de los datos con los de la tabla 16.21 para ver la relación entre los dos conjuntos de datos.
Row Machine Shift Defects
1 1 1 6
2 1 1 4
3 1 1 5
4 1 1 5
5 1 1 4
6 1 2 5
7 1 2 7
8 1 2 4
9 1 2 6
10 1 2 8
11 2 1 10
12 2 1 8
13 2 1 7
14 2 1 7
15 2 1 9
16 2 2 7
17 2 2 9
18 2 2 12
19 2 2 8
20 2 2 8
21 3 1 7
22 3 1 5
23 3 1 6
24 3 1 5
25 3 1 9
26 3 2 9
27 3 2 7
28 3 2 5
29 3 2 4
30 3 2 6
31 4 1 8
32 4 1 4
33 4 1 6
34 4 1 5
35 4 1 5
36 4 2 5
37 4 2 7
38 4 2 9
39 4 2 7
40 4 2 10
Con el comando MTB < Twoway ‘Defects’ ‘Machine’ ‘Shifts’ se obtiene el análisis de varianza en dos
sentidos. El valor p para la interacción es 0.494. Éste es el nivel de significancia mínimo para rechazar la hipótesis nula; es
claro que no hay una interacción significativa entre turnos y máquinas. Para los turnos, el valor p es 0.090; como este valor
es mayor que 0.050, la cantidad media de defectos en los dos turnos no es significativamente diferente. Para las máquinas,
PROBLEMAS RESUELTOS 429
el valor p es 0.002; al nivel de significancia 0.050, las cantidades medias de defectos en las cuatro máquinas son notablemente
diferentes.
MTB > Twoway ‘Defects’ ‘Machine’ ‘Shift’
Two-way Analysis of Variance
Analysis of Variance for Defects
Source DF SS MS F P
Machine 3 51.00 17.00 6.42 0.002
Shift 1 8.10 8.10 3.06 0.090
Interaction 3 6.50 2.17 0.82 0.494
Error 32 84.80 2.65
Total 39 150.40
En la figura 16-7 se presenta la gráfica de la interacción entre turnos y máquinas. La gráfica indica que hay una
posible interacción entre turnos y máquinas. Sin embargo, en la tabla del análisis de varianza el valor p de esta interacción
indica que no hay una interacción significativa. Cuando no hay interacción, las gráficas del turno 1 y del turno 2 son paralelas.
En la figura 16-8, las gráficas de los efectos principales indican que, en este experimento, la máquina 1 fue la que
produjo en promedio menos tornillos defectuosos y la máquina 2 fue la que produjo más tornillos defectuosos; se produjeron
más defectuosos en el turno 2 que en el turno 1. Sin embargo, el análisis de varianza indica que esta diferencia no es
significativa.
9
Turno
1
2
8
Media
7
6
5
1 2 3 4
Máquina
Figura 16-7 Gráfica de la interacción: medias de los datos para defectuosos.
8.6
Máquina
Turno
7.8
Defectuosos
7.0
6.2
5.4
4
1
1
2
3
2
Figura 16-8 Gráfica de los efectos principales: medias de los datos para defectuosos.
430 CAPÍTULO 16 ANÁLISIS DE VARIANZA
16.14 Resolver el problema 16.13 empleando EXCEL.
SOLUCIÓN
A B C D E
máquina1 máquina2 máquina3 máquina4
turno1 6 10 7 8
turno1 4 8 5 4
turno1 5 7 6 6
turno1 5 7 5 5
turno1 4 9 9 5
turno2 5 7 9 5
turno2 7 9 7 7
turno2 4 12 5 9
turno2 6 8 4 7
turno2 8 8 6 10
Análisis de varianza de dos factores con una sola muestra por grupo
RESUMEN máquina1 máquina2 máquina3 máquina4 Total
turno1
Cuenta 5 5 5 5 20
Suma 24 41 32 28 125
Promedio 4.8 8.2 6.4 5.6 6.25
Varianza 0.7 1.7 2.8 2.3 3.25
turno2
Cuenta 5 5 5 5 20
Suma 30 44 31 38 143
Promedio 6 8.8 6.2 7.6 7.15
Varianza 2.5 3.7 3.7 3.8 4.239474
Total
Cuenta 10 10 10 10
Suma 54 85 63 66
Promedio 5.4 8.5 6.3 6.6
Varianza 1.822222 2.5 2.9 3.822222
ANÁLISIS DE VARIANZA
Origen de
las variaciones SS df MS F Valor p
Muestra 8.1 1 8.1 3.056604 0.089999
Columnas 51 3 17 6.415094 0.001584
Interacción 6.5 3 2.166667 0.81761 0.49371
Dentro del grupo 84.8 32 2.65
Total 150.4 39
*SS, Suma de cuadrados; df, grados de libertad; MS, promedio de los cuadrados; F, probabilidad.
Los datos se ingresan en la hoja de cálculo de EXCEL, como se muestra. Con la secuencia Tools → Data
analysis → Anova: Two-Factor with Replication se obtiene el cuadro de diálogo de la figura 16-9 que se llena como
se muestra en la figura.
PROBLEMAS RESUELTOS 431
Figura 16-9 EXCEL, cuadro de diálogo para el problema 16.14.
En el análisis de varianza, muestra corresponde a turnos, y columna a máquinas. Comparar estos resultados con
los obtenidos con MINITAB en el problema 16.13.
CUADRADOS LATINOS
16.15 Un granjero desea probar los efectos de cuatro fertilizantes (A, B, C y D) en la producción de trigo. Con objeto
de eliminar las fuentes de error debidas a la variabilidad de la fertilidad del suelo, distribuye los fertilizantes
en un cuadrado latino, como se muestra en la tabla 16.24, en donde los números indican la producción en
bushels por unidad de área. Hacer un análisis de varianza para determinar, a los niveles de significancia a) 0.05
y b) 0.01, si hay diferencia entre los fertilizantes. c) Proporcionar la solución de MINITAB para este diseño de
cuadrado latino. d ) Proporcionar la solución de STATISTIX para este diseño de cuadrado latino.
SOLUCIÓN
Primero, como se muestra en la tabla 16.25, se obtienen los totales de los renglones y los totales de las columnas. También
se obtiene la producción total obtenida con cada uno de los fertilizantes, como se muestra en la tabla 16.26. Después, como
es costumbre, se obtienen la variación total y las variaciones de los renglones, de las columnas y de los tratamientos. Se
encuentra que:
La variación total es
V ¼ð18Þ 2 þð21Þ 2 þð25Þ 5 þþð10Þ 2 þð17Þ
= 5 769 − 5 439.06 = 329.94
ð295Þ 2
16
Tabla 16.24
A 18 C 21 D 25 B 11
D 22 B 12 A 15 C 19
B 15 A 20 C 23 D 24
C 22 D 21 B 10 A 17
Tabla 16.25
Total
A 18 C 21 D 25 B 11 75
D 22 B 12 A 15 C 19 68
B 15 A 20 C 23 D 24 82
C 22 D 21 B 10 A 17 70
Total 77 74 73 71 295
432 CAPÍTULO 16 ANÁLISIS DE VARIANZA
Tabla 16.26
A B C D
Total 70 48 85 92 295
La variación entre los renglones es
V R = (75)2 + (68)2
4 4
+ (82)2 + (70)2
4 4
= 5 468.25 5 439.06 = 29.19
(295) 2
16
La variación entre las columnas es
V C = (77)2
4
+ (74)2 + (73)2 + (71)2
4 4 4
= 5 443.75 5 439.06 = 4.69
(295) 2
16
La variación entre los tratamientos es
V B = (70)2
4
+ (48)2 + (85)2 + (92)2
4 4 4
(295) 2
16
= 5 723.25 − 5 439.06 = 284.19
En la tabla 16.27 se muestra el análisis de varianza.
Variación
Tabla 16.27
Grados de
libertad
Cuadrado medio
Renglones, 29.19 3 9.73 4.92
Columnas, 4.69 3 1.563 0.79
Tratamientos, 284.19 3 94.73 47.9
Residuales, 11.87 6 1.978
Total, 329.94 15
F
a) Como F .95,3,6 = 4.76, la hipótesis de que las medias de los renglones son iguales puede rechazarse al nivel de significancia
0.05. Al nivel 0.05 existe diferencia en la fertilidad del suelo entre un renglón y otro.
Como el valor F para las columnas es menor a 1, se concluye que en las columnas no hay diferencia en la fertilidad
del suelo.
Como el valor F para los tratamientos es 47.9 > 4.76, se concluye que hay diferencia entre los fertilizantes.
b) Como F .99,3,6 = 9.78, al nivel de significancia 0.01 se puede aceptar la hipótesis de que no hay diferencia en la fertilidad
del suelo en los renglones (o en las columnas). Sin embargo, al nivel de significancia 0.01 se sigue concluyendo
que hay diferencia entre los fertilizantes.
PROBLEMAS RESUELTOS 433
c) Primero se presenta la estructura que deben tener los datos en la hoja de cálculo de MINITAB.
Row Rows Columns Treatment Yield
1 1 1 1 18
2 1 2 3 21
3 1 3 4 25
4 1 4 2 11
5 2 1 4 22
6 2 2 2 12
7 2 3 1 15
8 2 4 3 19
9 3 1 2 15
10 3 2 1 20
11 3 3 3 23
12 3 4 4 24
13 4 1 3 22
14 4 2 4 21
15 4 3 2 10
16 4 4 1 17
Obsérvese que los renglones y las columnas se han numerado del 1 al 4. Los fertilizantes A a D de la tabla 16.24 han
sido codificados en la hoja de cálculo 1 al 4, respectivamente. Con la secuencia de MINITAB Stat → ANOVA → General
Linear Model se obtiene el resultado siguiente.
Modelo lineal general: rendimiento versus filas, columnas, tratamiento
Factor Type Levels Values
Rows fixed 4 1, 2, 3, 4
Columns fixed 4 1, 2, 3, 4
Treatment fixed 4 1, 2, 3, 4
Analysis of Variance for Yield, using Adjusted SS for Tests
Source DF Seq SS Adj SS Adj MS F P
Rows 3 29.188 29.188 9.729 4.92 0.047
Columns 3 4.688 4.687 1.562 0.79 0.542
Treatment 3 284.188 284.188 94.729 47.86 0.000
Error 6 11.875 11.875 1.979
Total 15 329.938
S = 1.40683 R-Sq = 96.40% R-sq(adj)-91.00%
Los resultados de MINITAB coinciden con los antes obtenidos a mano. Estos resultados indican que hay diferencia
en la fertilidad de un renglón a otro, al nivel de significancia 0.05, pero no al nivel 0.01. No hay diferencia en
la fertilidad de una columna a otra. Hay diferencia entre los cuatro fertilizantes al nivel de significancia 0.01.
d )
Con la secuencia Statistics → Linear Models → Analysis of Variance → Latin Square Design de STATISTIX se
obtiene el resultado siguiente.
Statistix 8.0
Latin Square AOV Table for Yield
Source DF SS MS F P
Rows 3 29.188 9.7292
Columns 3 4.688 1.5625
Treatment 3 284.188 94.7292 47.86 0.0001
Error 6 11.875 1.9792
Total 15 329.938
434 CAPÍTULO 16 ANÁLISIS DE VARIANZA
CUADRADOS GRECOLATINOS
16.16 Se quiere determinar si hay una diferencia significativa entre las gasolinas A, B, C y D en su rendimiento por
galón. Diseñar un experimento en el que se usen cuatro conductores distintos, cuatro automóviles distintos y
cuatro carreteras distintas.
SOLUCIÓN
Como el número de gasolinas, de conductores, de automóviles y de carreteras es el mismo (cuatro), puede emplearse un
cuadrado grecolatino. Supóngase que los diferentes automóviles están representados por los renglones y los diferentes
conductores por las columnas, como se muestra en la tabla 16.28. Después, las gasolinas (A, B, C y D) se asignan en forma
aleatoria a los renglones y a las columnas, sujetas a la condición de que cada letra aparezca sólo una vez en cada renglón y
una vez en cada columna. Por lo tanto, cada conductor tendrá la oportunidad de conducir cada uno de los automóviles y
usar cada uno de los tipos de gasolina, y ningún automóvil será conducido dos veces con el mismo tipo de gasolina.
Ahora se asignan en forma aleatoria las cuatro carreteras, denotadas α, β, γ y δ, sujetándolas a la misma condición
impuesta a los cuadrados latinos. Por lo tanto, cada conductor tendrá también la oportunidad de conducir por cada una de
las carreteras. En la tabla 16.28 se muestra una posible distribución.
Tabla 16.28
Conductor
1 2 3 4
Automóvil 1 B γ A β D δ C α
Automóvil 2 A δ B α C γ D β
Automóvil 3 D α C δ B β A γ
Automóvil 4 C β D γ A α B δ
16.17 Supóngase que al llevar a cabo el experimento del problema 16.16, las millas por galón son las indicadas en la
tabla 16.29. Utilizar el análisis de varianza para determinar si al nivel de significancia 0.05 hay diferencias.
Usar MINITAB para obtener la tabla del análisis de varianza y usar los valores p dados por MINITAB para
probar si existen diferencias al nivel de significancia 0.05.
Tabla 16.29
Conductor
1 2 3 4
Automóvil 1 B γ 19 A β 16 D δ 16 C α 14
Automóvil 2 A δ 15 B α 18 C γ 11 D β 15
Automóvil 3 D α 14 C δ 11 B β 21 A γ 16
Automóvil 4 C β 16 D γ 16 A α 15 B δ 23
PROBLEMAS RESUELTOS 435
SOLUCIÓN
Primero se obtienen los totales de los renglones y de las columnas, como se muestra en la tabla 16.30. Después se obtienen
los totales correspondientes a cada letra latina y a cada letra griega como se indica a continuación:
Total A: 15 + 16 + 15 + 16 = 62
Total B: 19 + 18 + 21 + 23 = 81
Total C: 16 + 11 + 11 + 14 = 52
Total D: 14 + 16 + 16 + 15 = 61
Total α: 14 + 18 + 15 + 14 = 61
Total β: 16 + 16 + 21 + 15 = 68
Total γ: 19 + 16 + 11 + 16 = 62
Total δ: 15 + 11 + 16 + 23 = 65
Ahora, se calculan las variaciones correspondientes, usando el método abreviado:
Renglones:
Columnas:
Gasolinas (A, B, C, D):
Carreteras ( ):
La variación total es
(65) 2
4
(64) 2
4
(62) 2
4
(61) 2
4
+ (59)2
4
+ (61)2
4
+ (81)2
4
+ (68)2
4
+ (62)2 + (70)2
4 4
+ (63)2 + (68)2
4 4
+ (52)2 + (61)2
4 4
+ (62)2 + (65)2
4 4
(256) 2
= 4 112.50 4 096 = 16.50
16
(256) 2
= 4 102.50 4 096 = 6.50
16
(256) 2
= 4 207.50 4 096 = 111.50
16
(256) 2
= 4 103.50 4 096 = 7.50
16
(19) 2 +(16) 2 +(16) 2 15) 2 +(23) 2 (256) 2
= 4 244 4 096 = 148.00
16
de manera que la variación debida al error es
148.00 − 16.50 − 6.50 − 111.50 − 7.50 = 6.00
Los resultados se muestran en la tabla 16.31, la tabla del análisis de varianza. El número total de grados de libertad
es N 2 − 1, ya que se trata de un cuadrado de N × N. Cada uno de los renglones, de las columnas, de las letras latinas y de
las letras griegas tiene N − 1 grados de libertad. Por lo tanto, los grados de libertad para el error son N 2 − 1 − 4(N − 1)
= (N − 1)(N − 3). En este caso, N = 4.
Tabla 16.30
Total
B γ 19 A β 16 D δ 16 C α 14 65
A δ 15 B α 18 C γ 11 D β 15 59
D α 14 C δ 11 B β 21 A γ 16 62
C β 16 D γ 16 A α 15 B δ 23 70
Total 64 61 63 68 256
436 CAPÍTULO 16 ANÁLISIS DE VARIANZA
Variación
Renglones (automóviles),
16.50
Columnas (conductores),
6.50
Gasolinas (A, B, C y D),
111.50
Carreteras (α, β, γ y δ),
7.50
Error,
6.00
Total,
148.00
Tabla 16.31
Grados de
libertad
Cuadrado medio
3 5.500
3 2.167
3 37.167
3 2.500
15
3 2.000
F
5:500
2:000 ¼ 2:75
2:167
2:000 ¼ 1:08
37:167
2:000 ¼ 18:6
2:500
2:000 ¼ 1:25
Se tiene que F .95,3,3 = 9.28 y F .99,3,3 = 29.5. Por lo tanto, la hipótesis de que las gasolinas son iguales puede rechazarse
al nivel 0.05, pero no al nivel 0.01.
Primero se presenta la estructura que deben tener los datos en la hoja de cálculo de MINITAB.
Row Car Driver Gasoline Road MPG
1 1 1 2 3 19
2 1 2 1 2 16
3 1 3 4 4 16
4 1 4 3 1 14
5 2 1 1 4 15
6 2 2 2 1 18
7 2 3 3 3 11
8 2 4 4 2 15
9 3 1 4 1 14
10 3 2 3 4 11
11 3 3 2 2 21
12 3 4 1 3 16
13 4 1 3 2 16
14 4 2 4 3 16
15 4 3 1 1 15
16 4 4 2 4 23
Obsérvese que los automóviles y los conductores están numerados en la hoja de cálculo de MINITAB igual que en
la tabla 16.29. Las gasolinas en la tabla 16.29 van de la A a la D, y en la hoja de cálculo de MINITAB se han codificado del
1 al 4, respectivamente. Las carreteras son α, β, γ y δ en la tabla 16.29, en la hoja de cálculo de MINITAB se han codificado
1, 2, 3 y 4. Con la secuencia Stat → ANOVA → General Linear Model de MINITAB se obtienen los resultados
siguientes.
Modelo lineal general: millas por galón versus automóvil, conductor, gasolina, carretera
Factor Type Levels Values
Car fixed 4 1, 2, 3, 4
Driver fixed 4 1, 2, 3, 4
Gasoline fixed 4 1, 2, 3, 4
Road fixed 4 1, 2, 3, 4
PROBLEMAS RESUELTOS 437
Analysis of Variance for Mpg, using Adjusted SS for Tests
Source DF Seq SS Adj SS Adj MS F P
Car 3 16.500 16.500 5.500 2.75 0.214
Driver 3 6.500 6.500 2.167 1.08 0.475
Gasoline 3 111.500 111.500 37.167 18.58 0.019
Road 3 7.500 7.500 2.500 1.25 0.429
Error 3 6.000 6.000 2.000
Total 15 148.000
La columna titulada Seq MS en los resultados de MINITAB corresponde a la columna titulada Mean Square
en la tabla 16.31. Los valores F calculados en los resultados de MINITAB son los mismos que los de la tabla 16.31.
Los valores p para automóviles, conductores, marcas de gasolina y carreteras son 0.214, 0.475, 0.019 y 0.429, respectivamente.
Recuérdese que un valor p es el mínimo valor para un nivel de significancia preestablecido al que puede
rechazarse la hipótesis de medias iguales de un factor. Los valores p indican que no hay diferencia entre los automóviles,
conductores o carreteras a los niveles 0.01 o 0.05. Las medias de las marcas de gasolina son estadísticamente
diferentes al nivel 0.05, pero no al nivel 0.01. Posteriores investigaciones sobre las medias de las marcas de gasolina
pueden indicar cómo éstas difieren.
PROBLEMAS DIVERSOS
16.18 Probar [ecuación (15) de este capítulo] que P j j ¼ 0.
SOLUCIÓN
Las medias de la población de los tratamientos µ j y la media de la población total µ se relacionan mediante
¼ 1 X
a j (53)
Entonces, como α j = µ j = µ, empleando la ecuación (53) se tiene,
X
j ¼ X ð j Þ¼ X j a ¼ 0 (54)
j
j
j
j
16.19 Deducir: a) la ecuación (16) y b) la ecuación (17) de este capítulo.
SOLUCIÓN
a) Por definición, se tiene
V W ¼ X j;k
ðX jk
X j: Þ 2 ¼ b Xa
j¼1
" #
1 X b
ðX
b jk
X j: Þ 2
k¼1
¼ b Xa
Sj
2
j¼1
donde Sj 2 es la varianza muestral correspondiente al tratamiento j. Entonces, como el tamaño de la muestra es b,
EðV W Þ¼b Xa
EðSj 2 Þ¼b Xa b 1
2 ¼ aðb 1Þ 2
b
b) Por definición
j¼1
j¼1
V B ¼ b Xa
j¼1
ð X j:
XÞ 2 ¼ b Xa
j¼1
X 2 j:
2b X Xa
j¼1
X j: þ ab X 2 ¼ b Xa
j¼1
X 2 j: ab X 2
ya que X ¼ð P j
X j: Þ=a. Entonces, omitiendo el índice de sumación se tiene
EðV B Þ¼b X Eð X 2 j:Þ abEð X 2 Þ (55)
438 CAPÍTULO 16 ANÁLISIS DE VARIANZA
Ahora para cualquier variable aleatoria U, E(U 2 ) = var(U) + [E(U)] 2 , donde var(U) denota la varianza de U. Por lo
tanto,
Eð X j:Þ 2 ¼var ð X j: Þþ½Eð X j: ÞŠ 2 (56)
Eð X 2 Þ¼var ð XÞþ½Eð XÞŠ 2 (57)
Pero como las poblaciones de los tratamientos son normales, con media µ j = µ + α j , se tiene
var ð X j: Þ¼ 2
b
var ð XÞ ¼ 2
ab
(58)
(59)
Usando las ecuaciones (56) a (61) junto con la ecuación (55), se tiene
" # " #
EðV B Þ¼b X 2
b þð þ jÞ 2 ab 2
ab þ 2
Eð X j: Þ¼ j ¼ þ j (60)
Eð XÞ ¼ (61)
¼ a 2 þ b X ð þ j Þ 2 2 ab 2
¼ða 1Þ 2 þ ab 2 þ 2b X j þ b X 2 j þ ab 2
¼ða
1Þ 2 þ b X 2 j
16.20 Probar el teorema 1 de este capítulo.
SOLUCIÓN
Como se muestra en el problema 16.19,
V W ¼ b Xa
Sj
2
j¼1
o bien
V W
2
¼ Xa
j¼1
donde S 2 j es la varianza muestral de muestras de tamaño b obtenidas de la población del tratamiento j. Se ve que bS 2 j = 2
tiene una distribución ji cuadrada con b − 1 grados de libertad. Por lo tanto, como las varianzas S j 2 son independientes, se
concluye, de acuerdo con la página 299, que V W /σ 2 tiene una distribución ji cuadrada con a(b − 1) grados de libertad.
bS 2 j
2
PROBLEMAS SUPLEMENTARIOS 439
PROBLEMAS SUPLEMENTARIOS
CLASIFICACIÓN EN UN SENTIDO O EXPERIMENTOS CON UN FACTOR
Se aconseja al lector que todos estos ejercicios los haga primero “a mano”, empleando las ecuaciones dadas en este
capítulo, antes de usar el software sugerido. Esto le ayudará a comprender mejor la técnica ANOVA, así como a apreciar
la potencia del software.
16.21 Se realiza un experimento para determinar el rendimiento de cinco tipos diferentes de trigo: A, B, C, D y E. A cada variedad
se le asignan cuatro parcelas; los rendimientos (en bushels por acre) se muestran en la tabla 16.32. Suponiendo que las
parcelas tengan una fertilidad semejante y que las variedades de trigo se asignen a las parcelas en forma aleatoria, a los
niveles de significancia a) 0.05 y b) 0.01, determinar si hay diferencia entre los rendimientos. c) Proporcionar el análisis
que se obtiene para esta clasificación en un sentido o experimento de un factor empleando MINITAB.
Tabla 16.32
A 20 12 15 19
B 17 14 12 15
C 23 16 18 14
D 15 17 20 12
E 21 14 17 18
16.22 Una empresa quiere probar cuatro tipos de neumáticos: A, B, C y D. En la tabla 16.33 se da (en miles de millas) la duración
de estos neumáticos, determinada por el dibujo, donde cada tipo de neumático ha sido probado en seis automóviles similares
asignados, a los neumáticos, en forma aleatoria. A los niveles de significancia: a) 0.05 y b) 0.01, determinar si hay
alguna diferencia significativa entre los neumáticos. c) Proporcionar el análisis que se obtiene para esta clasificación en un
sentido o experimento de un factor empleando STATISTIX.
Tabla 16.33
A 33 38 36 40 31 35
B 32 40 42 38 30 34
C 31 37 35 33 34 30
D 29 34 32 30 33 31
16.23 Un maestro quiere probar tres métodos de enseñanza: I, II y III. Para esto se eligen en forma aleatoria tres grupos, cada uno
de cinco estudiantes y con cada grupo se emplea uno de estos tres métodos de enseñanza. A todos los estudiantes se les
aplica un mismo examen. En la tabla 16.34 se presentan las calificaciones que obtuvieron. A los niveles de significancia:
a) 0.05 y b) 0.01, determinar si hay diferencia entre estos tres métodos de enseñanza. c) Proporcionar el análisis que se
obtiene empleando EXCEL para esta clasificación en un sentido o experimento de un factor.
Tabla 16.34
Método I 75 62 71 58 73
Método II 81 85 68 92 90
Método III 73 79 60 75 81
440 CAPÍTULO 16 ANÁLISIS DE VARIANZA
MODIFICACIONES PARA NÚMEROS DISTINTOS DE OBSERVACIONES
16.24 En la tabla 16.35 se dan las cifras en millas por galón obtenidas en automóviles similares usando cinco marcas de gasolina.
A los niveles de significancia: a) 0.05 y b) 0.01, determinar si hay diferencia entre las marcas. c) Proporcionar el análisis
que se obtiene para esta clasificación en un sentido o experimento de un factor empleando SPSS.
Tabla 16.35
Marca A 12 15 14 11 15
Marca B 14 12 15
Marca C 11 12 10 14
Marca D 15 18 16 17 14
Marca E 10 12 14 12
Tabla 16.36
Matemáticas 72 80 83 75
Ciencias 81 74 77
Inglés 88 82 90 87 80
Economía 74 71 77 70
16.25 En la tabla 16.36 se presentan las calificaciones obtenidas durante un semestre por un estudiante. A los niveles de significancia:
a) 0.05 y b) 0.01, determinar si hay diferencia significativa entre las calificaciones de este estudiante. c) Proporcionar
el análisis que se obtiene para esta clasificación en un sentido o experimento de un factor empleando SAS.
CLASIFICACIÓN EN DOS SENTIDOS O EXPERIMENTOS CON DOS FACTORES
16.26 Los artículos que produce una empresa son fabricados por tres operadores que usan tres máquinas diferentes. La empresa
desea determinar si hay diferencia: a) entre los operadores y b) entre las máquinas. Se realiza un experimento para determinar
la cantidad de artículos por día producidos por cada operador usando cada máquina; en la tabla 16.37 se muestran
los resultados. Empleando MINITAB al nivel de significancia 0.05, proporcionar la información buscada.
Tabla 16.37
Operador
1 2 3
Tabla 16.38
Tipo de trigo
I II III IV
Máquina A
Máquina B
Máquina C
23
34
28
27
30
25
24
28
27
Bloque A
Bloque B
Bloque C
Bloque D
Bloque E
12
15
14
11
16
15
19
18
16
17
10
12
15
12
11
14
11
12
16
14
16.27 Resolver el problema 16.26 usando EXCEL y el nivel de significancia 0.01.
16.28 Se plantan semillas de cuatro tipos diferentes de trigo en cinco bloques. Cada bloque se divide en cuatro parcelas que después
se asignan en forma aleatoria a los cuatro tipos de trigo. Al nivel de significancia 0.05, determinar si los rendimientos,
en bushels por acre, que se presentan en la tabla 16.38, varían en forma significativa con respecto a: a) el suelo (es decir, a
los cinco bloques) y b) el tipo de trigo. Usar SPSS para construir una tabla de ANOVA.
16.29 Resolver el problema 16.28 usando STATISTIX y el nivel de significancia 0.01 para construir ANOVA.
16.30 Supóngase que en el problema 16.22 la primera observación con cada tipo de neumático se haga usando determinado tipo
de automóvil, la segunda observación se haga usando un segundo tipo de automóvil, y así sucesivamente. Determinar al
PROBLEMAS SUPLEMENTARIOS 441
nivel de significancia 0.05 si hay diferencia: a) entre los tipos de neumáticos y b) entre los tipos de automóviles. Usar SAS
para construir la tabla de ANOVA.
16.31 Resolver el problema 16.30 usando MINITAB y el nivel de significancia 0.01.
16.32 Supóngase que en el problema 16.23 la primera entrada para cada método de enseñanza corresponde a un estudiante de
determinada escuela, la segunda a un estudiante de otra escuela, y así sucesivamente. Probar la hipótesis de que al nivel de
significancia 0.05 hay diferencia: a) entre los métodos de enseñanza y b) entre las escuelas. Para construir una tabla de
ANOVA usar STATISTIX.
16.33 Se realiza un experimento para probar si el color de pelo y la estatura de las estudiantes de Estados Unidos tiene alguna
relación con los logros escolares. En la tabla 16.39 se presentan los resultados, donde los números indican la cantidad de
personas en el 10% superior de esta evaluación. Analizar el experimento al nivel de significancia 0.05. Para construir una
tabla de ANOVA utilizar EXCEL.
Tabla 16.39
Pelirroja Rubia Castaña
Alta 75 78 80
Mediana 81 76 79
Baja 73 75 77
Tabla 16.40
A 16 18 20 23
B 15 17 16 19
C 21 19 18 21
D 18 22 21 23
E 17 18 24 20
16.34 Resolver el problema 16.33 al nivel de significancia 0.01. Usar SPSS para obtener la tabla de ANOVA y comparar los
resultados con los de EXCEL dados en el problema 16.33.
EXPERIMENTOS CON DOS FACTORES CON REPLICACIÓN
16.35 Supóngase que el experimento del problema 16.21 se llevó a cabo en el sur y que las columnas de la tabla 16.32 indican
ahora cuatro tipos de fertilizantes, y que un experimento similar se lleva a cabo en el oeste dando los resultados que se
muestran en la tabla 16.40. Al nivel de significancia 0.05, determinar si hay diferencia en los rendimientos que se deban a:
a) los fertilizantes y b) el lugar. Usar MINITAB para elaborar la tabla de ANOVA.
16.36 Resolver el problema 16.35 al nivel de significancia 0.01. Para elaborar la tabla de ANOVA emplear STATISTIX y comparar
los resultados con los dados por MINITAB en el problema 16.35.
16.37 En la tabla 16.41 se dan las cantidades de artículos producidos, en cada uno de los días de la semana, por cuatro operadores
que trabajan con dos tipos de máquinas, I y II. Al nivel de significancia 0.05, determinar si hay diferencias significativas:
a) entre los operadores y b) entre las máquinas. Construir una tabla de ANOVA usando SAS y otra usando MINITAB.
Tabla 16.41
Máquina I
Máquina II
Lunes Martes Miércoles Jueves Viernes Lunes Martes Miércoles Jueves Viernes
Operador A
Operador B
Operador C
Operador D
15
12
14
19
18
16
17
16
17
14
18
21
20
18
16
23
12
11
13
18
14
11
12
17
16
15
14
15
18
12
16
18
17
16
14
20
15
12
11
17
442 CAPÍTULO 16 ANÁLISIS DE VARIANZA
CUADRADOS LATINOS
16.38 Se realiza un experimento para probar los efectos sobre la producción de trigo de cuatro fertilizantes (A, B, C y D) y de las
variaciones en el suelo en dos direcciones perpendiculares. Se obtiene el cuadrado latino de la tabla 16.42, donde los números
corresponden a la producción de trigo por unidad de área. Al nivel de significancia 0.01, probar la hipótesis de que no
hay diferencia entre: a) los fertilizantes y b) las variaciones en el suelo. Usar STATISTIX para elaborar la tabla de
ANOVA.
Tabla 16.42
C 8 A 10 D 12 B 11
A 14 C 12 B 11 D 15
D 10 B 14 C 16 A 10
B 7 D 16 A 14 C 12
Tabla 16.43
E 75 W 78 M 80
M 81 E 76 W 79
W 73 M 75 E 77
16.39 Resolver el problema 16.38 al nivel de significancia 0.05. Para construir la tabla ANOVA utilizar MINITAB y comparar
los resultados con los de STATISTIX del problema 16.38.
16.40 Volviendo al problema 16.33, suponer que se introduce un factor más, dado por el área E, M o W de Estados Unidos en la
que nació la estudiante, como se muestran en la tabla 16.43. Al nivel de significancia 0.05, determinar si hay diferencia
significativa en los logros académicos de las estudiantes debido a: a) la estatura, b) el color de pelo y c) el lugar de nacimiento.
Usar SPSS para elaborar la tabla de ANOVA.
CUADRADOS GRECOLATINOS
16.41 Con objeto de producir un tipo mejor de alimento para gallinas, a los ingredientes básicos se les agregan cuatro cantidades
distintas de cada una de dos sustancias químicas. Las diferentes cantidades de la primera sustancia química se indican como
A, B, C y D, en tanto que las cantidades de la segunda sustancia química se indican como α, β, γ y δ. El alimento es suministrado
a pollitos recién nacidos agrupados de acuerdo con cuatro pesos iniciales (W 1 , W 2 , W 3 y W 4 ) y a cuatro especies
diferentes (S 1 , S 2 , S 3 y S 4 ). En el cuadro grecolatino de la tabla 16.44 se da el aumento de peso por unidad de tiempo. Efectuar
un análisis de varianza de este experimento al nivel de significancia 0.05 y brindar las conclusiones que se obtengan. Para
elaborar la tabla de ANOVA, usar MINITAB.
Tabla 16.44
W 1 W 2 W 3 W 4
S 1 C γ 8 B β 6 A α 5 D δ 6
S 2 A δ 4 D α 3 C β 7 B γ 3
S 3 D β 5 A γ 6 B δ 5 C α 6
S 4 B α 6 C δ 10 D γ 10 A β 8
16.42 Cada una de cuatro empresas (C 1 , C 2 , C 3 y C 4 ) fabrica cuatro tipos distintos de cable (T 1 , T 2 , T 3 y T 4 ). Cuatro operadores
(A, B, C y D) emplean cuatro máquinas diferentes (α, β, γ y δ) para medir la resistencia de los cables. Las resistencias
PROBLEMAS SUPLEMENTARIOS 443
promedio encontradas se presentan en el cuadro grecolatino de la tabla 16.45. Al nivel de significancia 0.05, hacer un
análisis de varianza y proporcionar las conclusiones. Usar SPSS para elaborar la tabla de ANOVA.
PROBLEMAS DIVERSOS
16.43 En la tabla 16.46 se dan los datos del óxido acumulado sobre hierro tratado con las sustancias químicas A, B y C, respectivamente.
A los niveles de significancia: a) 0.05 y b) 0.01, determinar si hay diferencia significativa entre los tratamientos.
Usar EXCEL para elaborar la tabla de ANOVA.
Tabla 16.45
C 1 C 2 C 3 C 4
T 1 A β 164 B γ 181 C α 193 D δ 160
T 2 C δ 171 D α 162 A γ 183 B β 145
T 3 D γ 198 C β 212 B δ 207 A α 188
T 4 B α 157 A δ 172 D β 166 C γ 136
Tabla 16.46
A 3 5 4 4
B 4 2 3 3
C 6 4 5 5
16.44 En un experimento se mide el coeficiente intelectual (CI) de estudiantes adultos de estaturas baja, media y alta. En la tabla
16.47 se dan los resultados. A los niveles de significancia: a) 0.05 y b) 0.01, determinar si hay diferencia en los CI de
acuerdo con las distintas estaturas. Usar MINITAB para elaborar la tabla de ANOVA.
Tabla 16.47
Alta 110 105 118 112 90
Baja 95 103 115 107
Media 108 112 93 104 96 102
16.45 Probar las ecuaciones (10), (11) y (12) de este capítulo.
16.46 Se hace un examen para determinar, entre veteranos y no veteranos con diferente CI, quiénes tienen mejor desempeño. Las
puntuaciones obtenidas se muestran en la tabla 16.48. Al nivel de significancia 0.05, determinar si hay diferencias en las
puntuaciones debidas a diferencias en: a) ser o no veterano y b) el CI. Usar SPSS para elaborar una tabla de ANOVA.
Tabla 16.48
Puntuación en la prueba
CI
alto
CI
medio
CI
bajo
Veterano 90 81 74
No veterano 85 78 70
444 CAPÍTULO 16 ANÁLISIS DE VARIANZA
16.47 Usar STATISTIX para resolver el problema 16.46 al nivel de significancia 0.01.
16.48 En la tabla 16.49 se presentan las puntuaciones que obtuvieron en un examen estudiantes de distintas partes de un país y
con diferente CI. Analizar esta tabla al nivel de significancia 0.05 y dar las conclusiones. Usar MINITAB para elaborar la
tabla de ANOVA.
16.49 Usar SAS para resolver el problema 16.48 al nivel de significancia 0.01.
16.50 En el problema 16.37, ¿se puede determinar si hay diferencia significativa en la cantidad de artículos producidos en los
distintos días de la semana? Explicar.
Tabla 16.49
Puntuación en el examen
CI
alto
CI
medio
CI
bajo
Este 88 80 72
Oeste 84 78 75
Sur 86 82 70
Norte y centro 80 75 79
16.51 Se sabe que en los cálculos del análisis de varianza a cada entrada se le puede sumar o restar una constante adecuada sin
que esto afecte las conclusiones. ¿Pasa lo mismo si cada entrada se multiplica o se divide entre una constante adecuada?
Justificar la respuesta.
16.52 Deducir las ecuaciones (24), (25) y (26) para cantidades desiguales de observaciones.
16.53 Suponer que los resultados en la tabla 16.46 del problema 16.43 corresponden al noreste de Estados Unidos y que para el
oeste, los resultados correspondientes son los dados en la tabla 16.50. Al nivel de significancia 0.05, determinar si hay
diferencias que se deban a: a) la sustancias químicas y b) la ubicación. Usar MINITAB para elaborar la tabla de ANOVA.
Tabla 16.50
A 5 4 6 3
B 3 4 2 3
C 5 7 4 6
Tabla 16.51
A 17 14 18 12
B 20 10 20 15
C 18 15 16 17
D 12 11 14 11
E 15 12 19 14
15.54 Volviendo a los problemas 16.21 y 16.35, suponer que se lleva a cabo otro experimento en el noreste y se obtienen los
resultados dados en la tabla 16.51. Al nivel de significancia 0.05, determinar si hay diferencias entre los rendimientos
debidas a: a) los fertilizantes y b) las tres ubicaciones. Emplear STATISTIX para elaborar la tabla de ANOVA.
PROBLEMAS SUPLEMENTARIOS 445
16.55 Resolver el problema 16.54 al nivel de significancia 0.01. Usar MINITAB para elaborar la tabla de ANOVA.
16.56 Al nivel de significancia 0.05, hacer un análisis de varianza del cuadrado latino de la tabla 16.52 y proporcionar las conclusiones.
Usar SPSS para construir la tabla de ANOVA.
Tabla 16.52
Factor 1
B 16 C 21 A 15
Factor 2
A 18 B 23 C 14
C 15 A 18 B 12
16.57 Estructurar un experimento que lleve al cuadrado latino de la tabla 16.52.
16.58 Al nivel de significancia 0.05, realizar el análisis de varianza del cuadrado grecolatino de la tabla 16.53 y proporcionar las
conclusiones. Usar SPSS para elaborar la tabla de ANOVA.
Tabla 16.53
Factor 1
A γ 6 B β 12 C δ 4 D α 18
Factor 2
B δ 3 A α 8 D γ 15 C β 14
D β 15 C γ 20 B α 9 A δ 5
C α 16 D δ 6 A β 17 B γ 7
16.59 Diseñar un experimento que conduzca al cuadrado grecolatino de la tabla 16.53.
16.60 Describir cómo usar el análisis de varianza en un experimento de tres factores con replicaciones.
16.61 Diseñar y resolver un problema que ilustre el procedimiento del problema 16.60.
16.62 Probar: a) la ecuación (30) y b) las ecuaciones (31) a (34) de este capítulo.
16.63 En la práctica, ¿se esperaría hallar: a) un cuadrado latino 2 × 2 y b) un cuadrado grecolatino de 3 × 3? Explicar.
PRUEBAS
NO PARAMÉTRICAS
17
INTRODUCCIÓN
La mayor parte de las pruebas de hipótesis y significancia (o reglas de decisión), vistas en los capítulos anteriores,
requieren varias suposiciones acerca de la población de la que se toma la muestra. Por ejemplo, en la clasificación en
un sentido del capítulo 16 se requiere que las poblaciones tengan una distribución normal y desviaciones estándar
iguales.
En la práctica, hay situaciones en las que tales suposiciones no se justifican o en las que se duda que se satisfagan,
como es el caso de poblaciones muy sesgadas. Debido a esto, se han desarrollado diversas pruebas y métodos que son
independientes tanto de la distribución de las poblaciones como de sus correspondientes parámetros. Estas pruebas se
conocen como pruebas no paramétricas.
Las pruebas no paramétricas se emplean como sustitutos sencillos de pruebas más complicadas; son especialmente
útiles cuando se tienen datos no numéricos, como en el caso de consumidores que ordenan cereales u otros productos,
de acuerdo con su preferencia.
LA PRUEBA DE LOS SIGNOS
Considérese la tabla 17.1 en la que se muestran las cantidades de tornillos defectuosos producidos en 12 días consecutivos
con dos máquinas (I y II); se supone que las dos máquinas tienen la misma producción total diaria. Se desea
probar la hipótesis H 0 de que no hay diferencia entre las máquinas: que las diferencias observadas entre las máquinas,
en términos de cantidades de tornillos defectuosos producidos, son resultado de la casualidad, lo que equivale a decir
que las muestras provienen de la misma población.
Tabla 17.1
Día 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Máquina I 47 56 54 49 36 48 51 38 61 49 56 52
Máquina II 71 63 45 64 50 55 42 46 53 57 75 60
Una sencilla prueba no paramétrica para muestras por pares es la prueba de los signos. Esta prueba consiste en
calcular las diferencias entre las cantidades de tornillos defectuosos producidos por día y anotar únicamente el signo
de cada diferencia, por ejemplo, el día 1 la diferencia es 47-71, que es negativa. De esta manera, a partir de la tabla
17.1 se obtiene la secuencia de signos siguiente.
þ þ þ (1)
446
LA PRUEBA U DE MANN-WHITNEY 447
(es decir, 3 signos más y 9 signos menos). Si es igualmente probable obtener un + que un −, se esperaría que se obtuvieran
6 de cada uno. La prueba H 0 es, entonces, equivalente a preguntarse si una moneda está o no cargada, si en 12
lanzamientos de la moneda se obtienen 3 caras (+) y 9 cruces (−). Esto implica la distribución binomial vista en el
capítulo 7. En el problema 17.1 se muestra que empleando una prueba de dos colas con esta distribución, al nivel de
significancia 0.05, no se puede rechazar H 0 ; es decir, a este nivel no hay diferencia entre las máquinas.
Nota 1: Si algún día las máquinas producen la misma cantidad de tornillos defectuosos, una diferencia
en la secuencia (1) será cero. En este caso, se eliminan esos valores muestrales y se usan 11
en vez de 12 observaciones.
Nota 2: También puede usarse una aproximación normal a la distribución binomial empleando la
corrección por continuidad (ver problema 17.2).
Aunque la prueba de los signos es especialmente útil para muestras por pares, como la muestra de la tabla 17.1,
también puede usarse para problemas con muestras sencillas (no pares) (ver los problemas 17.3 y 17.4).
LA PRUEBA U DE MANN-WHITNEY
Considérese la tabla 17.2, en la que se dan las resistencias de cables hechos de dos aleaciones distintas, I y II. En esta
tabla se tienen dos muestras: 8 cables de la aleación I, y 10 cables de la aleación II. Se quiere decidir si hay diferencia
entre las muestras o, lo que es lo mismo, si provienen o no de la misma población. Aunque este problema se puede
resolver empleando la prueba t del capítulo 11, también puede utilizarse una prueba no paramétrica llamada la prueba
U de Mann-Whitney. Esta prueba consta de los pasos siguientes:
Tabla 17.2
Aleación I
Aleación II
18.3 16.4 22.7 17.8 12.6 14.1 20.5 10.7 15.9
18.9 25.3 16.1 24.2 19.6 12.9 15.2 11.8 14.7
Paso 1. Se combinan todos los valores muestrales, se ordenan de menor a mayor, y a cada uno de los valores se
le asigna una posición o rango (en este caso del 1 al 18). Si dos o más valores muestrales son idénticos (es decir, si hay
puntuaciones empatadas, o empates), a cada uno de los valores muestrales se les asigna una posición (o rango) igual
a la media de las posiciones que les tocaría ocupar. Si en la tabla 17.2 la entrada 18.9 fuera 18.3, las posiciones 12
y 13 estarían ocupadas por dos valores idénticos, de manera que la posición (o rango) asignada a cada uno sería
1
2
(12 + 13) = 12.5.
Paso 2. Se obtiene la suma de los rangos de cada muestra. Estas sumas se denotan R 1 y R 2 , siendo N 1 y N 2 los
respectivos tamaños muestrales. Por conveniencia se elige como N 1 la muestra más pequeña, si éstas no son iguales,
de manera que N 1 ≤ N 2 . Una diferencia significativa entre las sumas de los rangos R 1 y R 2 implica una diferencia
significativa entre las muestras.
Paso 3. Para probar la diferencia entre las sumas de los rangos, se usa el estadístico
U ¼ N 1 N 2 þ N 1ðN 1 þ 1Þ
2
R 1 (2)
que corresponde a la muestra 1. La distribución muestral de U es simétrica y tiene media y varianza dadas, respectivamente,
por las fórmulas
U ¼ N 1N 2
2
2 U ¼ N 1N 2 ðN 1 þ N 2 þ 1Þ
12
(3)
448 CAPÍTULO 17 PRUEBAS NO PARAMÉTRICAS
Si tanto N 1 como N 2 son por lo menos igual a 8, entonces la distribución de U es aproximadamente normal, de
manera que
z ¼ U
U
U
(4)
tiene una distribución normal con media 0 y desviación estándar 1. Empleando el apéndice II se puede, entonces,
decidir si las muestras son o no significativamente diferentes. En el problema 17.5 se muestra que, al nivel de significancia
0.05, hay una diferencia significativa entre los cables.
Nota 3: Un valor de U correspondiente a la muestra 2 es el dado por el estadístico
U ¼ N 1 N 2 þ N 2ðN 2 þ 1Þ
2
R 2 (5)
y tiene la misma distribución muestral que el estadístico (2), siendo su media y su varianza las dadas
por la fórmula (3). El estadístico (5) se relaciona con el estadístico (2), ya que si U 1 y U 2 son los
valores correspondientes a los estadísticos (2) y (5), respectivamente, entonces se tiene
También se tiene
U 1 þ U 2 ¼ N 1 N 2 (6)
R 1 þ R 2 ¼
NðN þ 1Þ
2
(7)
donde N = N 1 + N 2 . La fórmula (7) puede servir como verificación de los cálculos.
Nota 4: En la ecuación (2), el estadístico U es el número de veces que los valores de la muestra 1
preceden a los valores de la muestra 2, cuando todos los valores han sido ordenados en forma creciente
de magnitud. Esto proporciona un método alternativo de conteo para hallar U.
LA PRUEBA H DE KRUSKAL-WALLIS
La prueba U es una prueba no paramétrica para decidir si dos muestras provienen o no de una misma población. Una
generalización de esta prueba para k muestras es la prueba H de Kruskal-Wallis o simplemente prueba H.
Esta prueba se puede describir de la manera siguiente: supóngase que se tienen k muestras, cuyos tamaños son N 1 ,
N 2 , . . . , N k , por lo que el tamaño de todas estas muestras juntas será N = N 1 + N 2 + · · · + N k . Supóngase además que
todas estas muestras se juntan y sus valores se ordenan de menor a mayor asignándoles un rango, y que las sumas de
los rangos, de cada una de las k muestras, son R 1 , R 2 , . . . , R k , respectivamente. Se define el estadístico como
H ¼
12 X k
NðN þ 1Þ
j¼1
R 2 j
N j
3ðN þ 1Þ (8)
se puede demostrar que la distribución muestral de H es aproximadamente una distribución chi cuadrada con k – 1
grados de libertad, siempre que cada uno de los N 1 , N 2 , . . . , N k , sean por lo menos de 5.
La prueba H proporciona un método no paramétrico de análisis de varianza para clasificaciones en un sentido o
experimentos de un factor, pudiéndose hacer generalizaciones.
PRUEBA H CORREGIDA PARA EMPATES
Cuando hay demasiados empates entre las observaciones de los datos muestrales, el valor de H dado por el estadístico
(8) es menor de lo que debiera ser. El valor correcto de H, que se denota H c , se obtiene dividiendo el valor dado por el
estadístico (8) entre el factor de corrección
PRUEBA DE LAS RACHAS PARA ALEATORIEDAD 449
1
P ðT
3
N 3
TÞ
N
(9)
donde T es la cantidad de empates que corresponden a cada observación y donde la suma se toma sobre todas las
observaciones. Si no hay empates, entonces T = 0 y el factor (9) se reduce a 1, de manera que no se necesita ninguna
corrección. En la práctica, la corrección suele ser despreciable (es decir, no es suficiente para garantizar que haya un
cambio de decisión).
PRUEBA DE LAS RACHAS PARA ALEATORIEDAD
Aunque la palabra “aleatorio” se ha usado muchas veces en este libro, en ninguno de los capítulos anteriores se ha dado
una prueba para aleatoriedad. La teoría de las rachas proporciona una prueba no paramétrica para aleatoriedad.
Para entender qué es una racha, considérese una secuencia formada por dos símbolos, a y b, por ejemplo,
aaj bbbj a j bbj aaaaaj bbbj aaaaj (10)
Por ejemplo, en el lanzamiento de una moneda, a puede representar “cara” y b puede ser “cruz”; o al muestrear los
tornillos producidos con una máquina, a puede corresponder a “defectuoso” y b a “no defectuoso”.
Una racha se define como un conjunto de símbolos idénticos (o semejantes) que se encuentran entre dos símbolos
diferentes o entre ningún símbolo (como el principio y el final de la secuencia). Si se lee la secuencia (10) de izquierda
a derecha, la primera racha, cuyo fin está señalado por una línea vertical, consta de dos a; de manera similar, la
segunda racha consta de tres b; la tercera racha consta de una a, etc. En total hay siete rachas.
Parece claro que debe existir alguna relación entre aleatoriedad y cantidad de rachas. Así, en la secuencia
a j b j a j b j a j b j a j b j a j b j a j b j (11)
se observa un patrón cíclico, en el que aparece una a y luego una b, otra vez una a y luego una b, etc., que sería difícil
pensar que fuera aleatorio. En este caso, se tienen demasiadas rachas (en realidad, se tiene la cantidad máxima posible,
dada la cantidad de letras a y letras b).
Por otro lado, en la secuencia
aaaaaaj bbbbj aaaaaj bbbj (12)
parece haber un patrón de tendencia en el que se agrupan (o acumulan) las letras a y las letras b. En este caso hay muy
pocas rachas y no se puede considerar que esta secuencia sea aleatoria.
Por lo tanto, se considerará que una secuencia no es aleatoria si hay demasiadas o muy pocas rachas; si no es así,
se considera que la secuencia es aleatoria. Para cuantificar esta idea, supóngase que se forman todas las secuencias
posibles que tengan una cantidad N 1 de letras a y una cantidad N 2 de letras b haciendo un total N de símbolos (o letras)
(N 1 + N 2 = N ). La colección de todas estas secuencias proporciona una distribución muestral: a cada secuencia le
corresponde una cantidad de rachas, denotada V. De esta manera se llega a la distribución muestral del estadístico V.
Puede demostrarse que esta distribución muestral tiene media y varianza dadas, respectivamente, por las fórmulas
V ¼ 2N 1N 2
þ 1 2 V ¼ 2N 1N 2 ð2N 1 N 2 N 1 N 2 Þ
N 1 þ N 2 ðN 1 þ N 2 Þ 2 ðN 1 þ N 2 1Þ
(13)
Empleando las fórmulas (13), se puede probar la hipótesis de aleatoriedad al nivel de significancia adecuado. Se encuentra
que, si tanto N 1 como N 2 son por lo menos 8, entonces la distribución muestral de V se aproxima a una distribución
normal. Por lo tanto,
z ¼ V
V
V
(14)
tiene distribución normal, con media 0 y varianza 1, y por lo tanto puede emplearse el apéndice II.
450 CAPÍTULO 17 PRUEBAS NO PARAMÉTRICAS
OTRAS APLICACIONES DE LA PRUEBA DE LAS RACHAS
Las siguientes son otras aplicaciones de las rachas para problemas estadísticos:
1. Prueba mayor y menor que la mediana para aleatoriedad de datos numéricos. Para determinar si un conjunto
de datos numéricos es aleatorio (por ejemplo, los datos de una muestra), primero se colocan los datos en el mismo
orden en que se obtuvieron. Después, se encuentra la mediana de esos datos y cada dato se reemplaza por una a, si
su valor es mayor que la mediana o por una b si su valor es menor que la mediana. Si un valor es igual a la mediana,
se elimina de la muestra. La muestra es o no aleatoria según si la secuencia de letras a y b sea o no aleatoria.
(Ver problema 17.20.)
2. Diferencias entre poblaciones de las que se ha tomado una muestra. Supóngase que dos muestras de tamaños
m y n se denotan a 1 , a 2 , . . . , a m y b 1 , b 2 , . . . , b n , respectivamente. Para decidir si las muestras provienen o no de una
misma población, primero se ordenan todos los m + n valores muestrales de menor a mayor. Si hay valores iguales,
se deben ordenar mediante un proceso aleatorio (por ejemplo, empleando números aleatorios). Si la secuencia
obtenida es aleatoria, se concluye que las muestras realmente no son diferentes y que, por lo tanto, provienen de la
misma población; si la secuencia no es aleatoria, no puede sacarse tal conclusión. Esta prueba puede ser una alternativa
a la prueba U de Mann-Whitney. (Ver problema 17.21.)
CORRELACIÓN DE RANGOS DE SPEARMAN
Los métodos no paramétricos también pueden usarse para medir la correlación entre dos variables, X y Y. En lugar de
emplear valores precisos de las variables, o cuando no se puede tener tal precisión, los datos se ordenan desde 1 hasta
N de acuerdo con su tamaño, importancia, etc. Una vez que las variables X y Y se han ordenado de esta manera, el
coeficiente de correlación de rangos o fórmula de Spearman para correlación de rangos (como suele llamársele) es
r S ¼ 1
6 P D 2
NðN 2 1Þ
(15)
donde D denota las diferencias entre los rangos de los valores correspondientes de X y Y y donde N es la cantidad de
pares de valores (X, Y ) que hay en los datos.
LA PRUEBA DE LOS SIGNOS
PROBLEMAS RESUELTOS
17.1 Hágase referencia a la tabla 17.1 y al nivel de significancia 0.05, se prueba la hipótesis H 0 de que no hay diferencia
entre las máquinas, contra la hipótesis alternativa H 1 de que sí hay diferencia.
SOLUCIÓN
En la figura 17-1 se muestra la distribución binomial de X caras en 12 lanzamientos de una moneda, en forma de áreas bajo
los rectángulos, para X = 0, 1, ..., 12. Sobrepuesta a la distribución binomial se encuentra la distribución normal, trazada
con una
p
línea punteada. La media de la distribución binomial es µ = Np = 12(0.5) = 6. La desviación estándar es
¼
ffiffiffiffiffiffiffiffiffi p
Npq ¼
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi p
12ð0:5Þð0:5Þ ¼
ffiffi
3 ¼ 1:73. La distribución normal también tiene media = 6 y desviación estándar = 1.73.
De acuerdo con el capítulo 7, la probabilidad binomial de X caras es
PrfXg ¼ 12 1 X
1 12 X
¼ 12 1 12
X 2 2 X 2
PROBLEMAS RESUELTOS 451
0.25
0.20
0.15
0.10
0.05
0.00
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Figura 17-1 Distribución binomial (áreas bajo los rectángulos) y aproximación normal
a la distribución binomial (curva punteada).
Las probabilidades pueden encontrarse usando EXCEL. El valor p correspondiente al resultado X = 3 es 2P{X ≤ 3},
que usando EXCEL es =2*BINOMDIST(3,12,0.5,1) o bien 0.146. (El valor p es el doble del área en la cola izquierda
de la distribución binomial.) Como esta área es mayor que 0.05, no se puede rechazar la hipótesis nula al nivel de
significancia 0.05. Por lo tanto, se concluye que a este nivel no hay diferencia entre las dos máquinas.
17.2 Resolver el problema 17.1, pero esta vez empleando la aproximación normal a la distribución binomial.
SOLUCIÓN
En la aproximación normal a la distribución binomial se emplea el hecho de que la puntuación z correspondiente a la cantidad
de caras es
z ¼ X ¼ X pffiffiffiffiffiffiffiffiffi
Np
Npq
Como en la distribución normal la variable X es discreta, en tanto que en la distribución binomial es continua, se hace una
corrección por continuidad (por ejemplo, 3 caras es en realidad un valor que está entre 2.5 y 3.5 caras). Esto es equivalente
a restarle
p
0.05 al valor de X si X > Np y sumarle 0.05 al valor de X si X < Np. Como N = 12, µ = Np = (12)(0.5) = 6
y ¼
ffiffiffiffiffiffiffiffiffi p
Npq ¼
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
ð12Þð0:5Þð0:5Þ ¼ 1:73, se tiene
z ¼
ð3 þ 0:5Þ 6
1:73
¼ 1:45
El valor p es el doble del área a la izquierda de −1.45. Empleando EXCEL con =2*NORMSDIST(−1.45) se obtiene
1.47. En la figura 17-1, el valor p es, aproximadamente, el área bajo la curva normal estándar a la izquierda de −1.45, la
cual se duplica debido a que se trata de una hipótesis de dos colas. Obsérvese cuán cercanos, uno de otro, están los dos
valores p; el área binomial bajo los rectángulos es 0.146 y el área bajo la curva normal estándar es 0.147.
17.3 La empresa PQR asegura que un tipo de batería fabricada por ellos tiene una duración mayor a 250 horas (h).
Para determinar si está justificado, se mide la duración de 24 baterías producidas por esta empresa; los resultados
se presentan en la tabla 17.3. Suponiendo que la muestra sea aleatoria, determinar al nivel de significancia
0.05 si lo que asegura la empresa está justificado. Resolver el problema primero a mano, dando todos los
detalles de la prueba de los signos. Después, dar la solución empleando MINITAB.
452 CAPÍTULO 17 PRUEBAS NO PARAMÉTRICAS
SOLUCIÓN
Sea H 0 la hipótesis de que la duración de las baterías de esta empresa es igual a 250 h y sea H 1 la hipótesis de que su duración
es mayor a 250 h. Para probar H 0 contra H 1 se emplea la prueba de los signos. Para esto, a cada entrada de la tabla 17.3
se le resta 250 y se registra el signo de la diferencia, como se muestra en la tabla 17.4. Se observa que hay 15 signos más
y 9 signos menos.
Tabla 17.3
Tabla 17.4
271
253
264
230
216
295
198
262
211
275
288
252
282
236
294
225
291
243
284
253
272
219
224
268
+
+
+
−
−
+
−
+
−
+
+
+
+
−
+
−
+
−
+
+
+
−
−
+
Empleando la aproximación normal a la distribución binomial, la puntuación z es
ð15 0:5Þ 24ð0:5Þ
z ¼ pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
¼ 1:02:
24ð0:5Þð0:5Þ
Obsérvese que al restar 0.5 de 15 se hace la corrección por continuidad (15 – 0.5) = 14.5. El valor p es el área de la curva
normal estándar, a la derecha de 1.02. (Ver la figura 17-2.)
z = 1.02
Figura 17-2 El valor p es el área a la derecha de z 1.02.
El valor p es el área a la derecha de z = 1.02, o usando EXCEL, el área se obtiene mediante =1–NORMSDIST(1.02)
o bien 0.1537. Dado que el valor p > 0.05, lo que asegura la empresa no se justifica.
A continuación se presenta la solución empleando MINITAB. Los datos de la tabla 17.3 se ingresan en la columna
1 de la hoja de cálculo de MINITAB y a esta columna se le pone como título Duración. Con la secuencia Stat → Nonparametrics
→ 1-sample sign se obtienen los resultados siguientes.
Prueba de los signos para la mediana: Duración
Sign test of median ¼ 250.0 versus > 250.0
N Below Equal Above P Median
Lifetime 24 9 0 15 0.1537 257.5
Obsérvese que la información dada aquí es la misma a la que se llegó antes en la solución de este problema.
PROBLEMAS RESUELTOS 453
17.4 En la tabla 17.5 se presentan 40 calificaciones obtenidas en un examen a nivel estatal. Al nivel de significancia
0.05, probar la hipótesis de que la calificación mediana de todos los participantes es: a) 66 y b) 75. Resolver el
problema primero a mano, dando todos los detalles de la prueba de los signos, y a continuación, resolverlo
empleando MINITAB.
Tabla 17.5
71
78
67
73
67
46
95
40
55
84
70
78
64
93
43
70
82
72
70
64
66
54
73
86
74
78
57
76
58
86
64
62
79
48
60
95
61
52
83
66
SOLUCIÓN
a) Se resta 66 a cada entrada de la tabla 17.5 y se conservan sólo los signos de las diferencias, con lo que se obtiene la
tabla 17.6, en la que se observa que hay 23 signos más, 15 signos menos y 2 ceros. Si se eliminan los 2 ceros, la muestra
consta de 38 signos: 23 signos más y 15 signos menos. En una prueba de dos colas, usando la distribución normal
con probabilidades 1 2
ð0:05Þ ¼0:025 en cada cola (ver la figura. 17-3), la regla de decisión que se adopta es la siguiente:
Aceptar la hipótesis si −1.96 ≤ z ≤ 1.96.
Rechazar la hipótesis si no es así.
Dado que z ¼ X ffiffiffiffiffiffiffiffiffi
Np ð23 0:5Þ ð38Þð0:5Þ
p ¼ pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
¼ 1:14
Npq ð38Þð0:5Þð0:5Þ
al nivel de significancia 0.05, se acepta la hipótesis de que la mediana es 66.
Tabla 17.6
+
+
+
+
+
−
+
−
−
+
+
+
−
+
−
+
+
+
+
−
0
−
+
+
+
+
−
+
−
+
−
−
+
−
−
+
−
−
+
0
Obsérvese que también se puede usar 15, la cantidad de signo menos. En este caso
llegándose a la misma conclusión.
ð15 þ 0:5Þ
z ¼ pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
ð38Þð0:5Þ ¼ 1:14
ð38Þð0:5Þð0:5Þ
Área = 0.025 Área = 0.025
z = −1.96 z = 1.96
Figura 17-3 Prueba de dos colas mostrando la región crítica para α 0.05.
454 CAPÍTULO 17 PRUEBAS NO PARAMÉTRICAS
b) Restando 75 a cada una de las entradas de la tabla 17.5 se obtiene la tabla 17.7, en la que hay 13 signos más y 27
signos menos. Como
ð13 þ 0:5Þ
z ¼ pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
ð40Þð0:5Þ ¼ 2:06
ð40Þð0:5Þð0:5Þ
al nivel de significancia 0.05, se rechaza la hipótesis de que la mediana sea 75.
Tabla 17.7
−
+
−
−
−
−
+
−
−
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−
+
−
+
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−
+
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+
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+
−
+
−
+
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−
+
−
−
+
−
−
+
−
Empleando este método se puede encontrar un intervalo de confianza de 95% para la calificación mediana en
este examen. (Ver el problema 17.30.)
Obsérvese que en la solución anterior se emplea el método clásico de prueba de hipótesis. En el método clásico se
emplea α = 0.05 para determinar la región de rechazo para la prueba, [z < −1.96 o z > 1.96]. A continuación se calcula el
estadístico de prueba [en el inciso a) z = −1.14, y en el inciso b) z = −2.06]. Si el estadístico de prueba cae en la región
de rechazo, se rechaza la hipótesis nula. Si este estadístico no cae en la región de rechazo, no se rechaza la hipótesis nula.
En la solución de MINITAB se usa el método del valor p. Se calcula el valor p y si este valor es menor a 0.05, se
rechaza la hipótesis nula. Si el valor p es mayor que 0.05, no se rechaza la hipótesis nula. Usando tanto el método clásico
como el método del valor p se llega a la misma decisión.
La solución empleando MINITAB es la que se muestra a continuación. Para probar que la mediana es 66, el resultado
es el siguiente
Prueba de los signos para la mediana: Calificaciones
Sign test of median ¼ 66.00 versus not ¼ 66.00
N Below Equal Above P Median
Grade 40 15 2 23 0.2559 70.00
Como el valor p es mayor que 0.05, no se rechaza la hipótesis nula.
El resultado para probar que la mediana es 75 es
Prueba de los signos para la mediana: Calificaciones
Sign test of median ¼ 75.00 versus not ¼ 75.00
N Below Equal Above P Median
Grade 40 27 0 13 0.0385 70.00
Como el valor p es < 0.05, se rechaza la hipótesis nula.
LA PRUEBA U DE MANN-WHITNEY
17.5 Volver a la tabla 17.2. Al nivel de significancia 0.05, determinar si hay alguna diferencia entre los cables hechos
con la aleación I y los hechos con la aleación II. Resolver el problema, primero a mano, dando todos los detalles
de la prueba U de Mann-Whitney, y después usando MINITAB.
SOLUCIÓN
La solución se encuentra siguiendo los pasos 1, 2 y 3 (antes descritos en este capítulo):
Paso 1. Se juntan los 18 valores muestrales y se ordenan de menor a mayor, con lo cual se obtiene el primer renglón
de la tabla 17.8. En el segundo renglón se numeran estos valores del 1 al 18, con lo que se obtienen los rangos.
PROBLEMAS RESUELTOS 455
Tabla 17.8
10.7
1
11.8
2
12.6
3
12.9
4
14.1
5
14.7
6
15.2
7
15.9
8
16.1
9
16.4
10
17.8
11
18.3
12
18.9
13
19.6
14
20.5
15
22.7
16
24.2
17
25.3
18
Paso 2. Para hallar la suma de los rangos de cada muestra, se rescribe la tabla 17.2 con los rangos correspondientes
a cada valor de acuerdo con la tabla 17.8, y de esta manera se obtiene la tabla 17.9. La suma de los rangos correspondiente
a la aleación I es 106 y la suma de los rangos correspondientes a la aleación II es 65.
Resistencia
del cable
18.3
16.4
22.7
17.8
18.9
25.3
16.1
24.2
Aleación I
Rango
12
10
16
11
13
18
9
17
Tabla 17.9
Resistencia
del cable
12.6
14.1
20.5
10.7
15.9
19.6
12.9
15.2
Suma 106 11.8
14.7
Aleación II
Rango
3
5
15
1
8
14
4
7
2
6
Suma 65
Paso 3. Como la muestra de la aleación I es la menor, N 1 = 8 y N 2 = 10. Las correspondientes sumas de los rangos
son R 1 = 106 y R 2 = 65. Entonces
U ¼ N 1N 2
2
Por lo que σ U = 11.25 y
¼ ð8Þð10Þ
2
U ¼ N 1 N 2 þ N 1ðN 1 þ 1Þ
2
¼ 40
2 U ¼ N 1N 2 ðN 1 þ N 2 þ 1Þ
12
z ¼ U U
¼
U
R 1 ¼ð8Þð10Þþ ð8Þð9Þ
2
10 40
11:25 ¼ 2:67
¼ ð8Þð10Þð19Þ
12
106 ¼ 10
¼ 126:67
Dado que la hipótesis H 0 que se está probando es que no hay diferencia entre las aleaciones, se requiere una prueba de dos
colas. La regla de decisión al nivel de significancia 0.05 es:
Aceptar H 0 si −1.96 ≤ z ≤ 1.96.
Rechazar H 0 si no es así.
Como z = −2.67, se rechaza H 0 y se concluye que al nivel de significancia 0.05, sí hay diferencia entre las aleaciones.
A continuación se presenta la solución a este problema obtenida con MINITAB. Primero, se ingresan los datos de la
aleación I en la columna C1 y los datos de la aleación II en la columna C2, y a las columnas se les pone como encabezado
AleaciónI y AleaciónII. Mediante la secuencia Stat → Nonparametrics → Mann-Whitney se obtienen los resultados
siguientes.
Prueba de Mann-Whitney e intervalo de confianza: AleaciónI y AleaciónII
N Median
AlloyI 8 18.600
AlloyII 10 14.400
456 CAPÍTULO 17 PRUEBAS NO PARAMÉTRICAS
Point estimate for ETA1-ETA2 is 4.800
95.4 Percent CI for ETA1-ETA2 is (2.000, 9.401)
W ¼ 106.0
Test of ETA1 ¼ ETA2 vs ETA1 not ¼ ETA2 is significant at 0.0088
Los resultados de MINITAB dan la resistencia mediana de los cables de cada muestra, una estimación puntual de la diferencia
entre las medianas poblacionales(ETA1–ETA2), un intervalo de confianza para la diferencia entre las medianas
poblacionales, la suma de los rangos de la primera variable (W = 106) y el valor p para dos colas = 0.0088. Como el valor
p < 0.05, se rechaza la hipótesis nula. Se concluye que con la aleación I se obtienen cables más resistentes.
17.6 Con los datos del problema 17.5, verificar las fórmulas (6) y (7) de este capítulo.
SOLUCIÓN
a) Como los valores de U que se obtienen con las muestras 1 y 2 son
U 1 ¼ N 1 N 2 þ N 1ðN 1 þ 1Þ
2
U 2 ¼ N 1 N 2 þ N 2ðN 2 þ 1Þ
2
R 1 ¼ð8Þð10Þþ ð8Þð9Þ
2
106 ¼ 10
R 2 ¼ð8Þð10Þþ ð10Þð11Þ
2
65 ¼ 70
se tiene U 1 + U 2 = 10 + 70 = 80 y N 1 N 2 = (8)(10) = 80.
b) Como R 1 = 106 y R 2 = 65, se tiene R 1 + R 2 = 106 + 65 = 171 y
NðN þ 1Þ
¼ ðN 1 þ N 2 ÞðN 1 þ N 2 þ 1Þ
¼ ð18Þð19Þ ¼ 171
2
2
2
17.7 Resolver el problema 17.5 usando el estadístico U de la muestra de la aleación II.
SOLUCIÓN
Para la muestra de la aleación II
U ¼ N 1 N 2 þ N 2ðN 2 þ 1Þ
2
R 2 ¼ð8Þð10Þþ ð10Þð11Þ
2
de manera que z ¼ U U 70 40
¼
U 11:25 ¼ 2:67
65 ¼ 70
Este valor de z es el negativo de la z del problema 17.5, por lo que se emplea la cola derecha de la distribución normal, en
lugar de la cola izquierda. Como este valor de z también se encuentra fuera de −1.96 ≤ z ≤ 1.96, la conclusión es la misma
que en el problema 17.5.
17.8 Un profesor tiene dos grupos de psicología: uno en la mañana, con 9 alumnos, y otro en la tarde con 12 alumnos.
En el examen final, que es el mismo para los dos grupos, las calificaciones obtenidas son las que se muestran
en la tabla 17.10. ¿Puede concluirse al nivel de significancia 0.05 que en el grupo de la mañana el
rendimiento sea menor que en el grupo de la tarde? Resolver el problema, primero a mano, dando todos los
detalles de la prueba U de Mann-Whitney y después dar la solución empleando MINITAB.
Tabla 17.10
Grupo matutino 73 87 79 75 82 66 95 75 70
Grupo vespertino 86 81 84 88 90 85 84 92 83 91 53 84
PROBLEMAS RESUELTOS 457
SOLUCIÓN
Paso 1. En la tabla 17.11 se muestran las calificaciones con sus rangos respectivos. Obsérvese que el rango que corresponde
a las dos calificaciones 75 es 1 2 (5 + 6) = 5.5 y el que corresponde a los tres 84 es 1 3
(11 + 12 + 13) = 12.
Tabla 17.11
53
1
66
2
70
3
73
4
75 75
5.5
79
7
81
8
82
9
83
10
84 84
12
84 85
14
86
15
87
16
88
17
90
18
91
19
92
20
92
21
Paso 2. Rescribiendo la tabla 17.10 en términos de los rangos, se obtiene la tabla 17.12.
Verificación: R 1 = 73, R 2 = 158 y N = N 1 + N 2 = 9 + 12 = 21; por lo tanto, R 1 + R 2 = 73 + 158 = 231 y
NðN þ 1Þ
2
¼ ð21Þð22Þ
2
Tabla 17.12
¼ 231 ¼ R 1 þ R 2
Suma de
rangos
Grupo matutino 4 16 7 5.5 9 2 21 5.5 3 73
Grupo vespertino 15 8 12 17 18 14 12 20 10 19 1 12 158
Paso 3.
U ¼ N 1N 2
2
¼ ð9Þð12Þ
2
U ¼ N 1 N 2 þ N 1ðN 1 þ 1Þ
2
¼ 54
R 1 ¼ð9Þð12Þþ ð9Þð10Þ
2
2 U ¼ N 1N 2 ðN 1 þ N 2 þ 1Þ
12
73 ¼ 80
¼ ð9Þð12Þð22Þ ¼ 198
12
Por lo tanto, z ¼ U U 80 54
¼
U 14:07 ¼ 1:85
El valor p para una cola se obtiene empleando la expresión de EXCEL =1–NORMSDIST(1.85) que da 0.0322. Como el
valor p < 0.05, se concluye que el desempeño del grupo matutino no es tan bueno como el del turno vespertino.
La solución de MINITAB al problema es como sigue. Primero se introducen los datos de los valores del turno matutino
y del vespertino en las columnas C1 y C2 y se nombra a esas columnas matutino y vespertino. Con la secuencia
Stat → Nonparametrics → Mann-Whitney se obtienen los resultados siguientes.
Prueba de Mann−Whitney e intervalo de confianza: Matutino, Vespertino
N Median
Morning 9 75.00
Afternoon 12 84.50
Point estimate for ETA1-ETA2 is 9.00
95.7 Percent CI for ETA1-ETA2 is ( 15.00, 2.00)
W ¼ 73.0
Test of ETA1 ¼ ETA2 vs ETA1 < ETA2 is significant at 0.0350
The test is significant at 0.0348 (adjusted for ties)
En los resultados de MINITAB se da la calificación mediana de cada muestra, una estimación puntual de la diferencia entre
las medianas poblacionales, un intervalo de confianza para la diferencia entre las medianas poblacionales, la suma de los
rangos de la primera variable (en este caso, el grupo matutino) y el valor p para una cola que es = 0.0350. Como el valor
p es menor que 0.05, se rechaza la hipótesis nula. Se concluye que la clase matutina no tiene tan buen desempeño como la
clase vespertina.
458 CAPÍTULO 17 PRUEBAS NO PARAMÉTRICAS
17.9 Dados los datos de la tabla 17.13, encontrar U usando: a) la fórmula (2) de este capítulo y b) el método de
conteo (descrito en la Nota 4 de este capítulo).
SOLUCIÓN
a) Ordenando todos los datos juntos, de menor a mayor, y asignándoles un rango del 1 al 5, se obtiene la tabla 17.14.
Sustituyendo los datos de la tabla 17.13 por sus rangos correspondientes se obtiene la tabla 17.15, en la que se dan las
sumas de los rangos, que son R 1 = 5 y R 2 = 10. Como N 1 = 2 y N 2 = 3, el valor U para la muestra 1 es
U ¼ N 1 N 2 þ N 1ðN 1 þ 1Þ
2
R 1 ¼ð2Þð3Þþ ð2Þð3Þ
2
5 ¼ 4
De igual manera se encuentra el valor U para la muestra 2, que es U = 2.
Tabla 17.13
Muestra 1 22 10
Muestra 2 17 25 14
Tabla 17.14
Datos 10 14 17 22 25
Rango 1 2 3 4 5
Tabla 17.15
Suma de
los rangos
Muestra 1 4 1 5
Muestra 2 3 5 2 10
b) Sustituyendo los valores de la tabla 17.14 con I o II, dependiendo si el valor pertenece a la muestra 1 o a la muestra 2,
el primer renglón de la tabla 17.14 se transforma en
Dato I II II I II
En esta tabla se ve que
Número de valores de la muestra 1 que preceden al primer valor de la muestra 2 = 1
Número de valores de la muestra 1 que preceden al segundo valor de la muestra 2 = 1
Número de valores de la muestra 1 que preceden al tercer valor de la muestra 2 = 2
Total = 4
Por lo tanto, el valor de U que corresponde a la primera muestra es 4.
De igual manera,
Número de valores de la muestra 2 que preceden al primer valor de la muestra 1 = 0
Número de valores de la muestra 2 que preceden al segundo valor de la muestra 1 = 2
Total = 2
Por lo tanto, el valor de U que corresponde a la segunda muestra es 2.
Obsérvese que como N 1 = 2 y N 2 = 3, estos valores satisfacen U 1 + U 2 = N 1 N 2 ; es decir, 4 + 2 = 6 =
(2)(3) = 6.
carse la distribución de probabilidad de U; en ese caso, Pr{U = 0} = Pr{U = 1} = Pr{U = 2} = 1 3
. La gráfica que se
requiere es igual a la de la figura 17-4, pero con 1 3 y 1 6 en lugar de 1 y 2. PROBLEMAS RESUELTOS 459
17.10 Una población consta de los valores 7, 12 y 15. De esta población se toman dos muestras sin reposición: la
muestra 1 consta de un valor y la muestra 2 consta de dos valores. (Estas dos muestras agotan la población.)
a) Encontrar la distribución muestral de U y su gráfica.
b) Encontrar la media y la varianza de la distribución del inciso a).
c) Verificar los resultados hallados en el inciso b) empleando la fórmula (3) de este capítulo.
SOLUCIÓN
a) Se elige el muestreo sin reposición para evitar empates, los cuales se presentarían si, por ejemplo, el valor 12 apareciera
en ambas muestras.
Como se observa en la tabla 17.16, hay 3 · 2 = 6 posibilidades para elegir las muestras. Debe notarse que también
se pueden emplear sólo los rangos 1, 2 y 3, en lugar de 7, 12 y 15. El valor U de la tabla 17.16 es el hallado para
la muestra 1, pero si se usa la U para la muestra 2, se obtendrá la misma distribución.
Tabla 17.16
Muestra 1 Muestra 2 U
7
7
12
12 15
15 12
7 15
2
2
1
12 15 7 1
15 7 12 0
15 12 7 0
En la figura 17-4 se muestra una gráfica de esta distribución, en la que f es la frecuencia. También puede grafi-
2.50
2.25
f
2.00
1.75
1.50
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
u
Figura 17-4 MINITAB, gráfica de la distribución muestral de U con N 1 1 y N 2 2.
460 CAPÍTULO 17 PRUEBAS NO PARAMÉTRICAS
b) La media y la varianza de los valores de la tabla 17.16 son
U ¼ 2 þ 2 þ 1 þ 1 þ 0 þ 0 ¼ 1
6
2 U ¼ ð2 1Þ2 þð2 1Þ 2 þð1 1Þ 2 þð1 1Þ 2 þð0 1Þ 2 þð0 1Þ 2
6
c) De acuerdo con la fórmula (3)
U ¼ N 1N 2
2
¼ ð1Þð2Þ
2
2 U ¼ N 1N 2 ðN 1 þ N 2 þ 1Þ ð1Þð2Þð1 þ 2 þ 1Þ
¼ ¼ 2 12
12 3
lo que coincide con el inciso a).
17.11 a) Con los datos del problema 17.9, encontrar la distribución muestral de U y graficarla.
b) Graficar la correspondiente distribución de probabilidad de U.
c) Obtener la media y la varianza de U directamente a partir de los resultados del inciso a).
d ) Verificar el inciso c) empleando la fórmula (3) de este capítulo.
¼ 1
¼ 2 3
SOLUCIÓN
a) En este caso hay 5 · 4 · 3 · 2 = 120 posibilidades para elegir los valores de las dos muestras y el método del problema
17.9 resulta demasiado laborioso. Para simplificar este procedimiento hay que fijar la atención en la muestra más
pequeña (de tamaño N 1 = 2) y en las posibles sumas de sus rangos, R 1 . La suma de los rangos de la muestra 1 es la
menor cuando la muestra consta de los dos números de menor rango (1, 2); entonces R 1 = 1 + 2 = 3. De igual manera,
la suma de los rangos de la muestra 1 es la mayor cuando la muestra consta de los dos números de mayor rango
(4,5); entonces R 1 = 4 + 5 = 9. Por lo tanto, R 1 varía desde 3 hasta 9.
En la columna 1 de la tabla 17.17 se presentan estos valores de R 1 (desde 3 hasta 9) y en la columna 2 se muestran
los valores correspondientes de la muestra 1, cuya suma es R 1 . En la columna 3 se da la frecuencia (o el número)
de las muestras cuya suma es R 1 ; por ejemplo, hay f = 2 muestras para las que R 1 = 5. Como N 1 = 2 y N 2 = 3, se
tiene
U ¼ N 1 N 2 þ N 1ðN 1 þ 1Þ
2
R 1 ¼ð2Þð3Þþ ð2Þð3Þ
2
R 1 ¼ 9 R 1
A partir de lo cual pueden encontrarse los valores correspondientes de U en la columna 4 de la tabla; obsérvese que
como R 1 varía de 3 a 9, U varía de 6 a 0. La distribución muestral se da en las columnas 3 y 4 y la gráfica en la figura
17-5.
2.5
2
1.5
f
1
0.5
0
−1 0 1 2 3 4 5 6 7
u
Figura 17-5 EXCEL, gráfica de la distribución muestral de U con N 1 2 y N 2 3.
PROBLEMAS RESUELTOS 461
b) La probabilidad de que U = R 1 (es decir, Pr{U = R 1 }) se presenta en la columna 5 de la tabla 17.17 y se obtiene
hallando la frecuencia relativa. La frecuencia relativa se halla dividiendo cada frecuencia entre la suma de todas las
frecuencias, o sea entre 10; por ejemplo, PrfU ¼ 5g ¼ 2 10
¼ 0:2. En la figura 17.6 se muestra la gráfica de la distribución
de probabilidad.
Tabla 17.17
R 1 Valores de la muestra 1 f U Pr{U = R 1 }
3
4
5
6
7
8
9
(1, 2)
(1, 3)
(1, 4), (2.3)
(1, 5), (2, 4)
(2, 5), (3, 4)
(3, 5)
(4, 5)
1
1
2
2
2
1
1
6
5
4
3
2
1
0
0.1
0.1
0.2
0.2
0.2
0.1
0.1
*
* *
0.18
Probabilidad de U
0.15
0.12
*
* * *
0.00 1.00 2.00 3.00 4.00 5.00 6.00
U
Figura 17-6 SPSS, gráfica de la distribución de probabilidad de U con N 1 2 y N 2 3.
c) De acuerdo con las columnas 3 y 4 de la tabla 17.17, se tiene
U ¼ U ¼
2 U ¼
P fU
P f
P f ðU UÞ 2
P f
¼ ð1Þð6Þþð1Þð5Þþð2Þð4Þþð2Þð3Þþð2Þð2Þþð1Þð1Þþð1Þð0Þ
1 þ 1 þ 2 þ 2 þ 2 þ 1 þ 1
¼ ð1Þð6 3Þ2 þð1Þð5 3Þ 2 þð2Þð4 3Þ 2 þð2Þð3 3Þ 2 þð2Þð2 3Þ 2 þð1Þð1 3Þ 2 þð1Þð0 3Þ 2
10
¼ 3
¼ 3
Otro método
2 U ¼ U 2 U 2 ¼ ð1Þð6Þ2 þð1Þð5Þ 2 þð2Þð4Þ 2 þð2Þð3Þ 2 þð2Þð2Þ 2 þð1Þð1Þ 2 þð1Þð0Þ 2
10
ð3Þ 2 ¼ 3
462 CAPÍTULO 17 PRUEBAS NO PARAMÉTRICAS
d )
De acuerdo con la fórmula (3), empleando N 1 = 2 y N 2 = 3, se tiene
U ¼ N 1N 2
2
¼ ð2Þð3Þ
2
¼ 3
2 U ¼ N 1N 2 ðN 1 þ N 2 þ 1Þ
¼ ð2Þð3Þð6Þ ¼ 3
12
12
17.12 Si N números de un conjunto se ordenan del 1 al N, probar que la suma de los rangos es [N(N + 1)]/2.
SOLUCIÓN
Sea R la suma de los rangos. Entonces se tiene
R ¼ 1 þ 2 þ 3 þþðN 1ÞþN (16)
R ¼ N þðN 1ÞþðN 2Þþþ 2 þ 1 (17)
en donde la suma de la ecuación (17) se obtiene invirtiendo el orden de los sumandos de la ecuación (16). Sumando las
ecuaciones (16) y (17) se obtiene
2R ¼ðN þ 1ÞþðN þ 1ÞþðN þ 1ÞþþðN þ 1ÞþðN þ 1Þ ¼NðN þ 1Þ
como en esta suma (N + 1) se presenta N veces, entonces R = [N(N + 1)]/2. Esto también puede obtenerse empleando una
fórmula del álgebra elemental en series y progresiones aritméticas.
17.13 Si R 1 y R 2 son, respectivamente, las sumas de los rangos en las muestras 1 y 2 en una prueba U, demostrar que
R 1 + R 2 = [N(N + 1)]/2.
SOLUCIÓN
Se supone que en los datos muestrales no hay empates. Entonces, R 1 debe ser la suma de algunos de los rangos (números)
del conjunto 1, 2, 3, . . . , N, y R 2 debe ser la suma de los rangos restantes del conjunto. Por lo tanto, R 1 + R 2 debe ser la suma
de todos los rangos del conjunto; es decir, R 1 + R 2 = 1 + 2 + 3 + · · · + N = [N(N + 1)]/2, de acuerdo con el problema
17.12.
LA PRUEBA H DE KRUSKAL-WALLIS
17.14 Una empresa va a comprar una de cinco máquinas: A, B, C, D o E. En un experimento para determinar si hay
diferencia en el desempeño de estas máquinas, cinco operadores experimentados trabajan con cada una de las
cinco máquinas durante un mismo tiempo. En la tabla 17.18 se muestra la cantidad de unidades obtenida con
cada máquina. A los niveles de significancia: a) 0.05 y b) 0.01, probar la hipótesis de que no hay diferencia
entre las máquinas. Resolver el problema primero a mano, dando todos los detalles de la prueba H de Kruskal-
Wallis; después, resolver el problema usando MINITAB.
Tabla 17.18
A 68 72 77 42 53
B 72 53 63 53 48
C 60 82 64 75 72
D 48 61 57 64 50
E 64 65 70 68 53
Tabla 17.19
Suma de
los rangos
A 17.5 21 24 1 6.5 70
B 21 6.5 12 6.5 2.5 48.5
C 10 25 14 23 21 93
D 2.5 11 9 14 4 40.5
E 14 16 19 17.5 6.5 73
PROBLEMAS RESUELTOS 463
SOLUCIÓN
Dado que hay cinco muestras (A, B, C, D y E), k = 5. Como cada muestra consta de cinco valores, se tiene N 1 = N 2 =
N 3 = N 4 = N 5 = 5 y N = N 1 + N 2 + N 3 + N 4 + N 5 = 25. Ordenando todos los valores en forma creciente de magnitud
y asignando a los empates los rangos adecuados, la tabla 17.18 se transforma en la tabla 17.19, en la que en la columna del
extremo derecho se muestran las sumas de los rangos. De acuerdo con la tabla 17.19 se tiene R 1 = 70, R 2 = 48.5, R 3 = 93,
R 4 = 40.5 y R 5 = 73. Por lo tanto,
X k
R 2 j
12
H ¼
3ðN þ 1Þ
NðN þ 1Þ N
j¼1 j
" #
12 ð70Þ 2
¼
þ ð48:5Þ2 þ ð93Þ2 þ ð40Þ2 þ ð73Þ2
ð25Þð26Þ 5 5 5 5 5
3ð26Þ ¼6:44
Para k – 1 = 4 grados de libertad al nivel de significancia 0.05, en el apéndice IV se encuentra 2 :95 ¼ 9:49. Como 6.44 <
9.49, al nivel de significancia 0.05, no se puede rechazar la hipótesis de que no haya diferencia entre las máquinas y, por lo
tanto, tampoco se podrá rechazar al nivel de significancia 0.01. En otras palabras, se puede aceptar la hipótesis (o postergar
la decisión) de que, a ambos niveles, no hay diferencia entre las máquinas.
Obsérvese que este problema ya fue resuelto antes empleando el análisis de varianza (ver problema 16.8) y se llegó
a la misma conclusión.
A continuación se presenta la solución del problema usando MINITAB. Primero, es necesario ingresar los datos en
la hoja de cálculo de MINITAB. La estructura que deben tener los datos es la siguiente:
Row Machine Units
1 1 68
2 1 72
3 1 77
4 1 42
5 1 53
6 2 72
7 2 53
8 2 63
9 2 53
10 2 48
11 3 60
12 3 82
13 3 64
14 3 75
15 3 72
16 4 48
17 4 61
18 4 57
19 4 64
20 4 50
21 5 64
22 5 65
23 5 70
24 5 68
25 5 53
Con la secuencia Stat → Nonparametrics → Kruskal-Wallis se obtienen los resultados:
Prueba de Kruskal-Wallis: unidades versus máquinas
Machine N Median Ave Rank Z
1 5 68.00 14.0 0.34
2 5 53.00 9.7 1.12
3 5 72.00 18.6 1.90
4 5 57.00 8.1 1.66
5 5 65.00 14.6 0.54
Overall 25 13.0
464 CAPÍTULO 17 PRUEBAS NO PARAMÉTRICAS
H ¼ 6.44 DF ¼ 4 P ¼ 0.168
H ¼ 6.49 DF ¼ 4 P ¼ 0.165 (adjusted for ties)
Obsérvese que se dan dos valores p. Uno es el valor p ajustado, para los empates que se presentan al dar los rangos,
y el otro no es ajustado. Es claro que, a los niveles de significancia 0.05 y 0.01, las máquinas no son estadísticamente diferentes
respecto a la cantidad de unidades que producen, ya que los dos valores p superan con mucho ambos niveles.
17.15 Resolver el problema 17.14 usando los paquetes de software STATISTIX y SPSS.
SOLUCIÓN
El archivo con los datos se estructura como en el problema 17.14. Usando STATISTIX, la secuencia Statistics → One,
Two, Multi-sample tests → Kruskal-Wallis One-way AOV Test proporciona los resultados que se muestran a continuación.
Comparar estos resultados con los obtenidos en el problema 17.14.
Statistix 8.0
Kruskal-Wallis One-way Nonparametrics AOV para unidades por máquina
Mean
Sample
Machine Rank Size
1 14.0 5
2 9.7 5
3 18.6 5
4 8.1 5
5 14.6 5
Total 13.0 25
Kruskal-Wallis Statistic 6.4949
p-Value, Using Chi-Squared Approximation 0.1651
Los resultados de STATISTIX coinciden con los resultados de MINITAB ajustados para empates.
Los resultados de SPSS también coinciden con los resultados de MINITAB ajustados para empates.
Prueba de Kruskal-Wallis
Rangos
Máquina N Rango medio
Unidades 1.00
2.00
3.00
4.00
5.00
Total
4
5
5
5
5
25
14.00
9.70
18.60
8.10
14.60
Estadísticos de prueba a,b
Unidades
Ji cuadrada
df
Significación asintótica
6.495
4
.165
a Prueba de Kruskal-Wallis
b Variable agrupada: máquina
PROBLEMAS RESUELTOS 465
17.16 En la tabla 17.20 se da la cantidad de DVD rentados durante el pasado año por los profesores, abogados y
médicos de una muestra aleatoria. Usar la prueba H de Kruskal-Wallis del paquete SAS para probar la hipótesis
nula de que las distribuciones de las rentas son las mismas en los tres grupos de profesionistas. Emplear
el nivel 0.01.
Tabla 17.20
Profesores Abogados Médicos
18
4
5
9
20
26
7
17
43
20
24
7
34
30
45
2
45
9
2
16
21
24
5
2
50
10
7
49
35
1
45
6
9
24
36
50
44
3
14
30
11
1
7
5
14
7
16
14
27
19
15
22
20
10
SOLUCIÓN
Los datos se ingresan en dos columnas. Una columna contiene 1, 2 o 3 que corresponden a profesores, abogados y médicos;
la otra columna contiene la cantidad de DVD rentados. Con la secuencia Statistics → ANOVA → Nonparametric Oneway
ANOVA de SAS se obtienen los resultados siguientes.
The NPAR1WAY Procedure
Wilcoxon Scores (Rank Sums) for Variable number
Classified by Variable Profession
Sum of Expected Std Dev Mean
Profession N Scores Under H0 Under H0 Score
fffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffff fffffffffffffffffffffffffff
1 18 520.50 495.0 54.442630 29.916667
2 20 574.50 550.0 55.770695 28.725000
3 16 390.00 440.0 52.735539 24.375000
Average scores were used for ties.
Kruskal-Wallis Test
Chi-Square 0.9004
DF 2
Pr > Chi-Sqaure 0.6375
466 CAPÍTULO 17 PRUEBAS NO PARAMÉTRICAS
El valor p se da como Pr > Chi-Square 0.6375. Como el valor p es mucho mayor que 0.05, no se rechaza la
hipótesis nula.
PRUEBA DE LAS RACHAS PARA ALEATORIEDAD
17.17 En 30 lanzamientos de una moneda se obtiene la siguiente secuencia de caras (H) y cruces (T):
H T T H T H H H T H H T T H T
H T H H T H T T H T H H T H T
a) Determinar la cantidad V de rachas.
b) Al nivel de significancia 0.05, probar si esta secuencia es aleatoria.
Resolver el problema primero a mano, dando todos los detalles de las pruebas de las rachas para aleatoriedad,
y después dar la solución al problema usando MINITAB.
SOLUCIÓN
a) Empleando una línea vertical para separar las rachas
H j T T j H j T j H H H j T j H H j T T j H j Tj
H j T j H H j T j H j T T j H j T j H H j T j H j T j
se observa que la cantidad de rachas es V = 22.
b) En esta muestra de lanzamientos hay N 1 = 16 caras y N 2 = 14 cruces, y de acuerdo con el inciso a), la cantidad de
rachas es V = 22. Por lo tanto, de acuerdo con las fórmulas (13) de este capítulo, se tiene
V ¼ 2ð16Þð14Þ
16 þ 14 þ 1 ¼ 15:93 2ð16Þð14Þ½2ð16Þð14Þ 16 14Š
2 V ¼
ð16 þ 14Þ 2 ¼ 7:175
ð16 þ 14 1Þ
o σ V = 2.679. Por lo tanto, la puntuación z correspondiente a V = 22 rachas es
z ¼ V
V
V
¼
22 15:93
¼ 2:27
2:679
En una prueba de dos colas, al nivel de significancia 0.05, se aceptará la hipótesis H 0 de aleatoriedad si −1.96 ≤ z ≤
1.96 y se rechazará si no es así (ver figura 17-7). Como el valor obtenido para z es 2.27 > 1.96, se concluye, al nivel
de significancia 0.05, que los lanzamientos no son aleatorios. La prueba indica que hay demasiadas rachas, lo que
indica un patrón cíclico en los lanzamientos.
Área = 0.025
Área = 0.025
z = −1.96 z = 1.96
Figura 17-7 Región de rechazo en la curva normal estándar, al nivel de significancia 0.05.
PROBLEMAS RESUELTOS 467
Si se emplea la corrección por continuidad, la puntuación z dada arriba se convierte en
z ¼
ð22 0:5Þ 15:93
¼ 2:08
2:679
y se llega a la misma conclusión.
La solución del problema empleando MINITAB es como se indica a continuación. En la columna C1 se ingresan
los datos. Cada cara se ingresa como un número 1 y cada cruz como un 0. A la columna 1 se le pone como título
Coin (moneda). Con la secuencia de MINITAB Stat → Nonparametrics → Runs Test se obtienen los resultados
siguientes.
Prueba de las rachas: Moneda
Runs test for Coin
Runs above and below K = 0.533333
The observed number of runs ¼ 22
The expected number of runs ¼ 15.9333
16 Observations above K 14 below
p-value = 0.024
El valor K corresponde a la media de ceros y unos en la columna 1. La cantidad de observaciones mayores y
menores a K es la cantidad de caras y cruces en los 30 lanzamientos de la moneda. El valor p es igual a 0.0235. Como
este valor p es menor que 0.05, se rechaza la hipótesis nula. La cantidad de rachas no es aleatoria.
17.18 En una muestra de 48 herramientas producidas con una máquina se encuentra la siguiente secuencia de herramientas
buenas (G) y defectuosas (D):
G G G G G G D D G G G G G G G G
G G D D D D G G G G G G D G G G
G G G G G G D D G G G G G D G G
Al nivel de significancia 0.05, probar la aleatoriedad de la secuencia. Usar también SPSS para probar la aleatoriedad
de la secuencia.
SOLUCIÓN
El número de letras D es N 1 = 10 y el número de letras G es N 2 = 38; el número de rachas es V = 11. Por lo tanto, la media
y la varianza son
V ¼ 2ð10Þð38Þ
10 þ 38 þ 1 ¼ 16:83 2ð10Þð38Þ½2ð10Þð38Þ 10 38Š
2 V ¼
ð10 þ 38Þ 2 ¼ 4:997
ð10 þ 38 1Þ
de manera que σ V = 2.235.
En una prueba de dos colas, al nivel de significancia 0.05, se acepta la hipótesis H 0 de aleatoriedad si −1.96 ≤ z ≤
1.96 (ver figura 17-7), y se rechaza si no es así. Como la puntuación z que corresponde a V = 11 es
z ¼ V
V
V
¼
11 16:83
¼ 2:61
2:235
y −2.61 < −1.96, se rechaza H 0 al nivel 0.05.
La prueba muestra que hay muy pocas rachas, lo que indica que hay una acumulación (o agrupación) de herramientas
defectuosas. En otras palabras, parece haber un patrón de tendencia en la producción de herramientas defectuosas. Se
recomienda un examen del proceso de producción.
468 CAPÍTULO 17 PRUEBAS NO PARAMÉTRICAS
Con la secuencia Analyze → Nonparametric Tests → Runs de SPSS se obtienen los resultados que se dan a continuación.
Si las G se reemplazan por unos y las D por ceros, el valor de prueba (Test Value), 0.7917, es la media de estos
valores. Los demás valores que se dan en los resultados son N 1 = 10, N 2 = 38, Suma = 48 y V = 11. El valor obtenido para
z es el valor con corrección por continuidad. A esto se debe que el valor z difiera del valor z calculado arriba. El término
Asymp. Sig.(2-tailed) es el valor p para dos colas correspondiente a z = −2.386. Como se ve, los resultados de
SPSS contienen la misma información que se halló a mano. Sólo hay que saber interpretarla.
Prueba de rachas
Calidad
Valor de prueba a
Casos < Valor de prueba
Casos > = Valor de prueba
Total de casos
Número de rachas
Z
Asymp. Sig. (2 colas)
.7917
10
38
48
11
–2.386
.017
a Media
17.19 a) Formar todas las secuencias posibles que contengan tres a y dos b, y dar la cantidad V de rachas correspondientes
a cada secuencia.
b) Obtener la distribución muestral de V y su gráfica.
c) Obtener la distribución de probabilidad de V y su gráfica.
SOLUCIÓN
a) La cantidad de secuencias con tres a y dos b es
5
¼ 5!
2 2!3! ¼ 10
Estas secuencias se muestran en la tabla 17.21, dando también la cantidad de rachas correspondiente a cada secuencia.
b) En la tabla 17.22 se da la distribución muestral de V (obtenida a partir de la tabla 17.21), en la que V denota la cantidad
de rachas y f su frecuencia. Así, por ejemplo, la tabla 17.22 indica que hay un 5, cuatro 4, etc. En la figura 17-8 se
muestra la gráfica correspondiente.
Tabla 17.21
Tabla 17.22
Secuencia Rachas (V )
a a a b b 2
a a b a b 4
a a b b a 3
a b a b a 5
a b b a a 3
a b a a b 4
b b a a a 2
b a b a a 4
b a a a b 3
b a a b a 4
V
2
3
4
5
f
2
3
4
1
PROBLEMAS RESUELTOS 469
c) La distribución de probabilidad de V, graficada en la figura 17-9, se obtiene de la tabla 17.22 dividiendo cada frecuencia
entre la frecuencia total 2 + 3 + 4 + 1 = 10. Por ejemplo, Pr{V = 5} = 1 10 = 0.1.
17.20 En el problema 17.19, obtener directamente de los resultados ahí obtenidos: a) la media y b) la varianza de la
cantidad de rachas.
4
Gráfica de f vs. V
3
f
2
1
2 3 4
V
Figura 17-8 STATISTIX, gráfica de la distribución muestral de V.
5
0.45
0.4
0.35
0.3
P r{ V }
0.25
0.2
0.15
0.1
0.05
0
0 1 2 3 4 5 6
V
Figura 17-9 EXCEL, gráfica de la distribución de probabilidad de V.
SOLUCIÓN
a) De acuerdo con la tabla 17.21, se tiene
V ¼ 2 þ 4 þ 3 þ 5 þ 3 þ 4 þ 2 þ 4 þ 3 þ 4 ¼ 17
10
5
Otro método
De acuerdo con la tabla 17.21, con el método de los datos agrupados se tiene
P fV
V ¼ P ¼ ð2Þð2Þþð3Þð3Þþð4Þð4Þþð1Þð5Þ ¼ 17
f
2 þ 3 þ 4 þ 1
5
470 CAPÍTULO 17 PRUEBAS NO PARAMÉTRICAS
b) Empleando el método de los datos agrupados para calcular la varianza, de acuerdo con la tabla 17.22, se tiene
2 V ¼
P "
f ðV VÞ 2
P ¼ 1
f 10 ð2Þ 2 17 2
17 2
17 2 #
17 2
þð3Þ 3 þð4Þ 4 þð1Þ 5
5
5
5
5
¼ 21
25
Otro método
Como en el capítulo 3, la varianza está dada por
2 V ¼ V 2 V 2 ¼ ð2Þð2Þ2 þð3Þð3Þ 2 þð4Þð4Þ 2 þð1Þð5Þ 2
10
17 2
¼ 21
5 25
17.21 Repetir el problema 17.20 empleando las fórmulas (13) de este capítulo.
SOLUCIÓN
Como hay tres a y dos b, se tiene que N 1 = 3 y N 2 = 2. Por lo tanto,
a) V ¼ 2N 1N 2
N 1 þ N 2
þ 1 ¼ 2ð3Þð2Þ
3 þ 2 þ 1 ¼ 17 5
b) 2 V ¼ 2N 1N 2 ð2N 1 N 2 N 1 N 2 Þ
ðN 1 þ N 2 Þ 2 ðN 1 þ N 2 1Þ
2ð3Þð2Þ½2ð3Þð2Þ 3 2Š
¼
ð3 þ 2Þ 2 ¼ 21
ð3 þ 2 1Þ 25
OTRAS APLICACIONES DE LA PRUEBA DE LAS RACHAS
17.22 Con los datos del problema 17.3 y empleando como nivel de significancia 0.05, determinar si las duraciones
muestrales de las baterías producidas por la empresa PQR son aleatorias. Suponer que las duraciones de las
baterías dadas en la tabla 17.3 se registraron en forma consecutiva. Esto es, la primera duración fue 271, la
segunda duración fue 230, y así sucesivamente hasta la última duración, 268. Resolver el problema primero a
mano, dando todos los detalles de la prueba de las rachas para aleatoriedad. Después, resolver el problema
empleando STATISTIX.
SOLUCIÓN
En la tabla 17.23 se muestran las duraciones de las baterías en orden creciente de magnitud. Como en esta tabla hay 24
entradas, la mediana se obtiene de los dos valores de en medio, 253 y 262, y es 1 2
(253 + 262) = 257.5. Ahora se rescriben
los datos de la tabla 17.3 sustituyéndolos por una a si su valor es mayor a la mediana y por una b si su valor es menor a la
mediana; se obtiene la tabla 17.24, en la que hay 12 letras a, 12 letras b y 15 rachas. Por lo tanto, N 1 = 12, N 2 = 12, N =
24, V = 15, y se tiene
V ¼ 2N 1N 2
þ 1 ¼ 2ð12Þð12Þ
N 1 þ N 2 12 þ 12 þ 1 ¼ 13 2 V ¼ 2ð12Þð12Þð264Þ
ð24Þ 2 ¼ 5:739
ð23Þ
de manera que z ¼ V V 15 13
¼
V 2:396 ¼ 0:835
Tabla 17.23
198 211 216 219 224 225 230 236
243 252 253 253 262 264 268 271
272 275 282 284 288 291 294 295
Tabla 17.24
a b b a a b a b
b b a a b a b b
a a b b a b a a
PROBLEMAS RESUELTOS 471
Empleando una prueba de dos colas, al nivel de significancia 0.05, la hipótesis de aleatoriedad se acepta si −1.96 ≤ z ≤
1.96. Como 0.835 cae dentro de este intervalo, se concluye que la muestra es aleatoria.
A continuación se presenta el análisis empleando STATISTIX. Las duraciones se ingresan en la columna 1 en el
orden en que fueron obtenidas. A la columna se le da como título Duraciones. Empleando la secuencia Statistics →
Randomness/Normality Tests → Runs Test se obtiene el resultado que se presenta a continuación.
Statistix 8.0
Prueba de rachas para duración
Median 257.50
Values Above the Median 12
Values below the Median 12
Values Tied with the Median 0
Runs Above the Median 8
Runs Below the Median 7
Total Number of Runs 15
Expected Number of Runs 13.0
p-Value, Two-Tailed Test 0.5264
Probability of getting 15 or fewer runs 0.8496
Probability of getting 14 or more runs 0.2632
El valor p grande indica que la cantidad de rachas puede ser considerada como aleatoria.
17.23 Resolver el problema 17.5 empleando la prueba de las rachas para aleatoriedad.
SOLUCIÓN
En el primer renglón de la tabla 17.8 aparecen ya todos los valores de las dos muestras ordenados de menor a mayor.
Empleando una a para cada dato de la muestra I y una b para cada dato de la muestra II, el primer renglón de la tabla 17.8
será
b b b b b b b b a a a a a b b a a a
Como hay cuatro rachas, se tiene V = 4, N 1 = 8 y N 2 = 10. Entonces,
V ¼ 2N 1N 2
þ 1 ¼ 2ð8Þð10Þ þ 1 ¼ 9:889
N 1 þ N 2 18
2 V ¼ 2N 1N 2 ð2N 1 N 2 N 1 N 2 Þ
ðN 1 þ N 2 Þ 2 ðN 1 þ N 2 1Þ þ 2ð8Þð10Þð142Þ
ð18Þ 2 ð17Þ
¼ 4:125
de manera que z ¼ V V
¼ 4 9:889 ¼ 2:90
V 2:031
Si H 0 es la hipótesis de que no hay diferencia entre las aleaciones, esto equivale a la hipótesis de que la secuencia anterior
es aleatoria. Esta hipótesis se acepta si −1.96 ≤ z ≤ 1.96 y se rechaza si no es así. Como z = −2.90 se encuentra fuera de
este intervalo, se rechaza H 0 y se llega a la misma conclusión que en el problema 17.5.
Obsérvese que si se hace la corrección por continuidad,
y se llega a la misma conclusión.
z ¼ V
V
V
¼
ð4 þ 0:5Þ 9:889
¼ 2:65
2:031
472 CAPÍTULO 17 PRUEBAS NO PARAMÉTRICAS
CORRELACIÓN DE RANGOS
17.24 Las calificaciones, en teoría y laboratorio, de una clase de biología que se presentan en la tabla 17.25 corresponden
a 10 estudiantes colocados en orden alfabético. Encontrar el coeficiente de correlación de rangos. Usar
SPSS para calcular la correlación de rangos de Spearman.
Tabla 17.25
Laboratorio 8 3 9 2 7 10 4 6 1 5
Teoría 9 5 10 1 8 7 3 4 2 6
SOLUCIÓN
En la tabla 17.26 se presentan las diferencias, D, entre los rangos (calificaciones) de laboratorio y de teoría de cada estudiante;
se da también D 2 y ∑ D 2 . Entonces
r S ¼ 1
6 P D 2
NðN 2 1Þ ¼ 1 6ð24Þ
10ð10 2 1Þ ¼ 0:8545
lo que indica que hay una estrecha relación entre las calificaciones de teoría y de laboratorio.
Tabla 17.26
Diferencia entre los rangos (D) −1 −2 −1 1 −1 3 1 2 −1 −1
D 2 −1 −4 −1 1 −1 9 1 4 −1 −1
∑
D 2 = 24
Los datos de la tabla 17.26 se ingresan en las columnas tituladas Lab y Lecture (Teoría). Con la secuencia Analyze
→ Correlate → Bivariate se obtienen los resultados siguientes.
Correlaciones
Lab
Teoría
Correlación de rangos
de Spearman
Lab
Coeficiente de correlación
Sig. (2 colas)
N
Coeficiente de correlación
Sig. (2 colas)
N
1.000
.
10
.855
.002
10
.855
.002
10
1.000
Teoría
10
El resultado indica que hay una correlación significativa entre los desempeños en teoría y en laboratorio.
17.25 En la tabla 17.27 se muestran las estaturas de una muestra de 12 padres y de sus hijos mayores adultos. Encontrar
el coeficiente de correlación de rangos. Resolver el problema primero a mano, dando todos los detalles para
hallar el coeficiente de correlación de rangos. Después, usar SAS para hallar la solución del problema.
PROBLEMAS RESUELTOS 473
Tabla 17.27
Estatura del padre (pulgadas) 65 63 67 64 68 62 70 66 68 67 69 71
Estatura del hijo (pulgadas) 68 66 68 65 69 66 68 65 71 67 68 70
SOLUCIÓN
En orden creciente de magnitud, las estaturas de los padres son
62 63 64 65 66 67 67 68 68 69 71 (18)
Como la sexta y séptima estaturas son iguales [67 pulgadas (in)], a estas posiciones se les asigna un rango medio 1 2
(6 + 7)
= 6.5. De igual manera, a las estaturas octava y novena se les asigna el rango 1 2
(8 + 9) = 8.5. De esta manera, los rangos
asignados a las estaturas de los padres son
1 2 3 4 5 6:5 6:5 8:5 8:5 10 11 12 (19)
En forma análoga, en orden creciente de magnitud, las estaturas de los hijos son
65 65 66 66 67 68 68 68 68 69 70 71 (20)
y como las estaturas sexta, séptima, octava y novena son iguales (68 in), a estos lugares se les asigna el rango medio 1 4 (6 +
7 + 8 + 9) = 7.5. De esta manera, los rangos asignados a las estaturas de los hijos son
1:5 1:5 3:5 3:5 5 7:5 7:5 7:5 7:5 10 11 12 (21)
Empleando las correspondencias (18) y (19), y (20) y (21), la tabla 17.27 puede reemplazarse por la tabla 17.28. En
la tabla 17.29 se dan las diferencias entre los rangos D, D 2 y ∑ D 2 , con lo que
r S ¼ 1
6 P D 2
NðN 2 1Þ ¼ 1 6ð72:50Þ
12ð12 2 1Þ ¼ 0:7465
Tabla 17.28
Rango del padre 4 2 6.5 3 8.5 1 11 5 8.5 6.5 10 12
Rango del hijo 7.5 3.5 7.5 1.5 10 3.5 7.5 1.5 12 5 7.5 11
Tabla 17.29
D −3.5 −1.5 −1.0 1.5 −1.5 −2.5 3.5 3.5 −3.5 1.5 2.5 1.0
D 2 12.25 2.25 1.00 2.25 2.25 6.25 12.25 12.25 12.25 2.25 6.25 1.00
∑
D 2 = 72.50
Este resultado coincide con el coeficiente de correlación obtenido mediante otros métodos.
Las estaturas de los padres se ingresan en la primera columna y las de los hijos en la segunda columna y se pulsa el
comando de SAS. Con la secuencia Statistics → Descriptive → Correlations se obtienen los resultados siguientes.
The CORR Procedure
2 Variables: Fatherht Sonht
Simple Statistics
Variable N Mean Std Dev Median Minimum Maximum
Fatherht 12 66.66667 2.77434 67.00000 62.00000 71.00000
Sonht 12 67.58333 1.88092 68.00000 65.00000 71.00000
474 CAPÍTULO 17 PRUEBAS NO PARAMÉTRICAS
Spearman Correlation Coefficient, N = 12
prob > |r| under H0: Rho = 0
Fatherht Sonht
Fatherht 1.00000 0.74026
0.0059
Sonht 0.74026 1.00000
0.0059
Además de los estadísticos sencillos, SAS da el coeficiente de correlación de Spearman, que es 0.74. El valor p,
0.0059, puede emplearse para probar la hipótesis nula de que el coeficiente poblacional de correlación de rangos es igual a
0 versus la hipótesis alternativa de que el coeficiente poblacional de correlación de rangos es diferente de 0. Se concluye
que en la población sí existe una relación entre estaturas de los padres y estaturas de los hijos.
PROBLEMAS SUPLEMENTARIOS
LA PRUEBA DE LOS SIGNOS
17.26 Una empresa asegura que si sus productos se adicionan al tanque de gasolina de los automóviles, su rendimiento, en millas
por galón, aumenta. Para probar esto, se eligen 15 automóviles diferentes y se mide el rendimiento de la gasolina, en millas
por galón, con el aditivo y sin éste; los resultados se muestran en la tabla 17.30. Suponiendo que las condiciones de manejo
sean las mismas, determinar los niveles de significancia: a) 0.05 y b) 0.01, si hay alguna diferencia atribuible al uso del
aditivo.
Tabla 17.30
Con aditivo 34.7 28.3 19.6 25.1 15.7 24.5 28.7 23.5 27.7 32.1 29.6 22.4 25.7 28.1 24.3
Sin aditivo 31.4 27.2 20.4 24.6 14.9 22.3 26.8 24.1 26.2 31.4 28.8 23.1 24.0 27.3 22.9
17.27 ¿Se puede concluir, al nivel de significancia 0.05, que el rendimiento, en millas por galón, obtenido en el problema 17.26
es mejor con aditivo que sin aditivo?
17.28 Un club para bajar de peso anuncia un programa especial con el que se pierde por lo menos el 6% en 1 mes, si se sigue el
programa al pie de la letra. Para probar si esto es así, 36 adultos se someten al programa. De éstos, 25 logran bajar la cantidad
deseada, 6 aumentan de peso y el resto permanece esencialmente igual. Al nivel de significancia 0.05, determinar si
el programa es efectivo.
17.29 Un capacitador asegura que si el personal de ventas de la empresa toma un curso especial, las ventas anuales de la empresa
aumentarán. Para probar esto, 24 personas toman el curso. Las ventas de 16 de ellas aumentan, las ventas de 6 de ellas
disminuyen y las de 2 de ellas permanecen igual. Al nivel de significancia 0.05, probar la hipótesis de que el curso incrementa
las ventas de la empresa.
17.30 La empresa refresquera MW realiza “pruebas de sabor” en 27 lugares en todo Estados Unidos, con objeto de determinar
las preferencias del público respecto a dos marcas de cola, A y B. En ocho lugares se prefirió la marca A a la marca B, en
17 lugares se prefirió la marca B a la marca A, y en el resto de los lugares fueron indiferentes. Al nivel de significancia 0.05,
¿se puede concluir que la marca B se prefiere a la marca A?
17.31 En la tabla 17.31 se muestra la resistencia a la ruptura de una muestra de 25 cuerdas fabricadas por una empresa. Basándose
en esta muestra, probar al nivel de significancia 0.05 la afirmación del fabricante de que la resistencia a la ruptura de las
cuerdas es: a) 25, b) 30, c) 35 y d ) 40.
PROBLEMAS SUPLEMENTARIOS 475
Tabla 17.31
41 28 35 38 23
37 32 24 46 30
25 36 22 41 37
43 27 34 27 36
42 33 28 31 24
17.32 Mostrar cómo obtener límites de confianza de 95% para los datos del problema 17.4.
17.33 Diseñe y resuelva un problema en el que se emplee la prueba de los signos.
LA PRUEBA U DE MANN-WHITNEY
17.34 Dos profesores, A y B, imparten un mismo curso en la universidad XYZ. En la tabla 17.32 se presentan las calificaciones
que obtienen sus alumnos en el examen final, que es común para los dos grupos. Al nivel de significancia 0.05, probar la
hipótesis de que no hay diferencia entre las calificaciones de los dos profesores.
Tabla 17.32
A 88 75 92 71 63 84 55 64 82 96
B 72 65 84 53 76 80 51 60 57 85 94 87 73 61
17.35 Volviendo al problema 17.34, al nivel de significancia 0.01, ¿puede concluirse que los alumnos del maestro B sean mejores
que los alumnos del maestro A?
17.36 Un agricultor quiere determinar si hay diferencia en el rendimiento de dos variedades de trigo, I y II. En la tabla 17.33 se
muestra la producción de trigo por unidad de área con cada una de las dos variedades de trigo. A los niveles de significancia:
a) 0.05 y b) 0.01, ¿puede concluirse que existe alguna diferencia?
Tabla 17.33
Trigo I 15.9 15.3 16.4 14.9 15.3 16.0 14.6 15.3 14.5 16.6 16.0
Trigo II 16.4 16.8 17.1 16.9 18.0 15.6 18.1 17.2 15.4
17.37 ¿Puede el agricultor del problema 17.36 concluir que con el trigo II se obtiene mayor rendimiento?
17.38 Una empresa desea determinar si hay diferencia entre dos marcas de gasolina, A y B. En la tabla 17.34 se muestran las
distancias obtenidas por galón con cada una de las dos marcas. Al nivel de significancia 0.05, ¿puede concluirse: a) que sí
hay diferencia entre las marcas y b) que la marca B es mejor que la marca A?
Tabla 17.34
A 30.4 28.7 29.2 32.5 31.7 29.5 30.8 31.1 30.7 31.8
B 33.5 29.8 30.1 31.4 33.8 30.9 31.3 29.6 32.8 33.0
17.39 ¿Puede emplearse una prueba U para determinar si hay diferencia entre las máquinas I y II de la tabla 17.1? Explicar.
476 CAPÍTULO 17 PRUEBAS NO PARAMÉTRICAS
17.40 Diseñar y resolver un problema usando la prueba U.
17.41 Dados los datos de la tabla 17.35, encontrar U usando: a) el método de la fórmula y b) el método del conteo.
17.42 Repetir el problema 17.41 con los datos de la tabla 17.36.
Tabla 17.35
Muestra 1 15 25
Muestra 2 20 32
Tabla 17.36
Muestra 1 40 27 30 56
Muestra 2 10 35
17.43 Una población consta de los números 2, 5, 9 y 12. De esta población se toman dos muestras, la primera consta de uno de
estos números y la segunda consta de los otros tres números.
a) Obtener la distribución muestral de U y su gráfica.
b) Obtener la media y la varianza de esta distribución, tanto directamente como empleando la fórmula.
17.44 Probar que U 1 + U 2 = N 1 N 2 .
17.45 Probar que R 1 + R 2 = [N(N + 1)]/2 en el caso en que la cantidad de empates sea: a) 1, b) 2 y c) cualquier número.
17.46 Si N 1 = 14, N 2 = 12 y R 1 = 105, encontrar: a) R 2 , b) U 1 y c) U 2 .
17.47 Si N 1 = 10, N 2 = 16 y U 2 = 60, encontrar: a) R 1 , b) R 2 y c) U 1 .
17.48 ¿Cuál es la mayor cantidad de los valores N 1 , N 2 , R 1 , R 2 , U 1 y U 2 que se puede determinar a partir de los restantes? Probar
la respuesta.
LA PRUEBA H DE KRUSKAL-WALLIS
17.49 Se hace un experimento para determinar el rendimiento de cinco variedades de trigo: A, B, C, D y E. A cada variedad se le
asignan cuatro parcelas. En la tabla 17.37 se presentan los rendimientos (en bushels por acre). Suponiendo que en todas las
parcelas la fertilidad sea semejante y que las variedades se hayan asignado de manera aleatoria a las parcelas, determinar,
a los niveles de significancia: a) 0.05 y b) 0.01, si hay diferencia significativa entre los rendimientos.
Tabla 17.37
A 20 12 15 19
B 17 14 12 15
C 23 16 18 14
D 15 17 20 12
E 21 14 17 18
Tabla 17.38
A 33 38 36 40 31 35
B 32 40 42 38 30 34
C 31 37 35 33 34 30
D 27 33 32 29 31 28
17.50 Una empresa desea probar cuatro tipos diferentes de neumáticos: A, B, C y D. En la tabla 17.38 se dan las duraciones de
los neumáticos (en miles de millas) determinadas de acuerdo con su dibujo; cada tipo de neumático se probó en seis automóviles
similares asignados aleatoriamente a los neumáticos. A los niveles: a) 0.05 y b) 0.01, determinar si hay diferencia
significativa entre los neumáticos.
PROBLEMAS SUPLEMENTARIOS 477
17.51 Un maestro desea probar tres métodos de enseñanza: I, II y III. Para esto, elige en forma aleatoria tres grupos de cinco
estudiantes cada uno y en cada grupo prueba uno de los métodos de enseñanza. A todos los estudiantes les pone el mismo
examen. En la tabla 17.39 se presentan las calificaciones obtenidas. A los niveles de significancia: a) 0.05 y b) 0.01, determinar
si hay diferencia entre estos métodos de enseñanza.
Tabla 17.39
Método I 78 62 71 58 73
Método II 76 85 77 90 87
Método III 74 79 60 75 80
17.52 En la tabla 17.40 se presentan las calificaciones obtenidas por un estudiante durante un semestre en varias materias. A los
niveles de significancia: a) 0.05 y b) 0.01, probar si hay diferencia entre las calificaciones en estas materias.
Tabla 17.40
Matemáticas 72 80 83 75
Ciencias 81 74 77
Inglés 88 82 90 87 80
Economía 74 71 77 70
17.53 Usando la prueba H, resolver: a) el problema 16.9, b) el problema 16.21 y c) el problema 16.22.
17.54 Usando la prueba H, resolver: a) el problema 16.23, b) el problema 16.24 y c) el problema 16.25.
PRUEBA DE LAS RACHAS PARA ALEATORIEDAD
17.55 En cada una de estas secuencias, determinar la cantidad, V, de rachas.
a) A B A B B A A A B B A B
b) H H T H H H T T T T H H T H H T H T
17.56 A 25 personas se les preguntó si les gustaba un producto (lo que se indica por Y y N, respectivamente). El resultado muestral
obtenido es el que se presenta en la secuencia siguiente:
Y Y N N N N Y Y Y N Y N N Y N N N N N Y Y Y Y N N
a) Determinar la cantidad, V, de rachas.
b) Al nivel de significancia 0.05, probar si estas respuestas son aleatorias.
17.57 Aplicar la prueba de las rachas a las secuencias (10) y (11) de este capítulo y dar las conclusiones acerca de la aleatoriedad.
17.58 a) Formar todas las secuencias posibles que contengan dos letras a y una letra b y dar el número V de rachas correspondiente
a cada secuencia.
b) Obtener la distribución muestral de V, así como su gráfica.
c) Obtener la distribución de probabilidad de V, así como su gráfica.
478 CAPÍTULO 17 PRUEBAS NO PARAMÉTRICAS
17.59 En el problema 17.58, encontrar la media y la varianza de V: a) directamente a partir de la distribución muestral y
b) mediante las fórmulas.
17.60 Resolver los problemas 17.58 y 17.59, pero esta vez con: a) dos letras a y dos letras b; b) una letra a y tres letras b, y c) una
letra a y cuatro letras b.
17.61 Resolver los problemas 17.58 y 17.59, pero esta vez con dos letras a y cuatro letras b.
OTRAS APLICACIONES DE LA PRUEBA DE LAS RACHAS
17.62 Empleando como nivel de significancia 0.05, determinar si la muestra de las 40 calificaciones de la tabla 17.5 es aleatoria.
17.63 En la tabla 17.41 se da el precio de cierre de una acción en 25 días consecutivos. Al nivel de significancia 0.05, determinar
si estos precios son aleatorios.
Tabla 17.41
10.375
11.625
10.875
11.875
11.375
11.125
11.250
10.750
11.375
12.125
10.875
11.375
11.500
11.875
11.750
10.625
10.750
11.250
11.125
11.500
11.500
11.000
12.125
11.750
12.250
pffiffi
17.64 Los primeros dígitos de 2 son 1.41421 35623 73095 0488· · ·. ¿Qué conclusión se puede sacar respecto a la aleatoriedad
de estos dígitos?
17.65 ¿Qué conclusión se puede sacar respecto a la aleatoriedad de los dígitos siguientes?
a)
p ffiffi
3 = 1.73205 08075 68877 2935···
b) π = 3.14159 26535 89793 2643···
17.66 En el problema 17.62, mostrar que empleando la aproximación normal, el valor p es 0.105.
17.67 En el problema 17.63, mostrar que empleando la aproximación normal, el valor p es 0.168.
17.68 En el problema 17.64, mostrar que empleando la aproximación normal, el valor p es 0.485.
CORRELACIÓN DE RANGOS
17.69 En un concurso se pide a los jueces que ordenen a los candidatos (numerados del 1 al 8) de acuerdo con su preferencia. Los
resultados se muestran en la tabla 17.42.
a) Encontrar el coeficiente de correlación de rangos.
b) Decidir si hay buena coincidencia entre los jueces.
Tabla 17.42
Primer juez 5 2 8 1 4 6 3 7
Segundo juez 4 5 7 3 2 8 1 6
PROBLEMAS SUPLEMENTARIOS 479
17.70 La tabla 14.17, que se reproduce a continuación, da los índices de precios al consumidor, en Estados Unidos, para alimentos
y atención médica desde 2000 hasta 2006, comparados con los precios de los años base, 1982 a 1984 (tomando la media
como 100).
Año 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006
Alimentos
Medicina
167.8
260.8
173.1
272.8
176.2
285.6
180.0
297.1
186.2
310.1
190.7
323.2
195.2
336.2
Fuente: Bureau of Labor Statistics.
Según estos datos, encontrar la correlación de rangos de Spearman y el coeficiente de correlación de Pearson.
17.71 El coeficiente de correlación de rangos se obtiene empleando los datos ordenados por rangos en la fórmula del productomomento
del capítulo 14. Ilustrar esto empleando ambos métodos para resolver un problema.
17.72 Para datos agrupados, ¿puede obtenerse el coeficiente de correlación de rangos? Explicar e ilustrar la respuesta con un
ejemplo.
CONTROL ESTADÍSTICO
DE PROCESOS Y
18
CAPACIDAD DE
PROCESOS
ANÁLISIS GENERAL DE LAS GRÁFICAS DE CONTROL
Las variaciones que se presentan en cualquier proceso pueden deberse a causas comunes o a causas especiales. La
variación natural de materiales, maquinaria y personas da lugar a las causas comunes de variación. Las causas especiales,
también conocidas como causas asignables, se deben en la industria a desgaste excesivo de las herramientas, a
un nuevo operador, a cambios en los materiales, a nuevos proveedores, etc. Uno de los propósitos de las gráficas de
control es localizar, y si es posible, eliminar las causas especiales de variación. La estructura general de una gráfica
de control consta de límites de control y de una línea central, como se muestra en la figura 18-1. Hay dos límites de
control, el límite superior de control o UCL (por sus siglas en inglés) y el límite inferior de control o LCL (por sus
siglas en inglés).
Causas especiales
UCL
Causas comunes
Línea central
Causas comunes
LCL
0
1
2
3
4
5
6
Causas especiales
7
8 9 10
Tiempo
Figura 18-1 Las gráficas de control pueden ser de dos tipos (gráficas de control
para variables y gráficas de control para atributos).
11
12
13
14
15
16
480
GRÁFICAS X-BARRA Y GRÁFICAS R 481
Cuando en una gráfica de control un punto cae fuera de los límites de control, se dice que el proceso está fuera de
control estadístico. Además de los puntos fuera de control, hay otras anomalías que indican que un proceso está fuera
de control. Éstas se verán más adelante. Lo deseable es que los procesos estén bajo control, de manera que su comportamiento
sea previsible.
GRÁFICAS DE CONTROL DE VARIABLES Y GRÁFICAS
DE CONTROL DE ATRIBUTOS
Las gráficas de control se pueden dividir en gráficas de control de variables y gráficas de control de atributos. Los
términos “variable” y “atributo” se deben al tipo de datos que se recolectan del proceso. Si se miden características
como tiempo, peso, volumen, longitud, caída de presión, concentración, etc., los datos obtenidos se consideran continuos
y se conocen como datos de variables. Si se cuenta la cantidad de defectuosos en una muestra o la cantidad de
defectos en determinado tipo de artículo, a los datos obtenidos se les llama datos de atributos. Se considera que los
datos de variables son de nivel superior a los datos de atributos. En la tabla 18.1 se dan los nombres de algunas gráficas
de control de variables y de control de atributos, así como los estadísticos que en ellas se grafican.
Tabla 18.1
Tipo de gráfica
Gráfica X-barra y gráfica R
Gráfica X-barra y gráfica sigma
Gráfica mediana
Gráficas de lecturas individuales
Gráfica cusum
Gráfica de zonas
Gráfica EWMA
Gráfica P
Gráfica NP
Gráfica C
Gráfica U
Estadístico que se grafica
Promedios y rangos de subgrupos de datos de las variables
Promedios y desviaciones estándar de subgrupos de datos de las variables
Mediana de subgrupos de datos de las variables
Mediciones individuales
Suma acumulada de cada X menos el valor nominal
Pesos por zonas
Medias móviles con pesos exponenciales
Proporción de artículos defectuosos en el total inspeccionado
Cantidad real de artículos defectuosos
Cantidad de defectos por artículo en muestras de tamaño constante
Cantidad de defectos por artículo en muestras de tamaño variable
En la tabla 18.1, las gráficas arriba de la línea punteada son gráficas de control de variables y las gráficas debajo
de la línea punteada son gráficas de control de atributos. Actualmente, para la elaboración de gráficas suele emplearse
algún software para estadística, como MINITAB.
GRÁFICAS X-BARRA Y GRÁFICAS R
Para entender la idea general de una gráfica X-barra considérese un proceso que tenga media µ y desviación estándar
σ. Supóngase que el proceso se vigila tomando periódicamente muestras, a las que se les llama subgrupos de tamaño
n, y calculando la media muestral X de cada una de ellas. El teorema del límite central
p
asegura que la media de las
medias muestrales es µ y la desviación estándar de las medias muestrales es =
ffiffi n . La línea central
p de las medias
muestrales se designa como µ y se considera que los límites inferior y superior de control están 3ð=
ffiffiffi nÞ abajo y arriba
de la línea central. El límite inferior de control está dado por la ecuación (1):
p
LCL = µ 3ð= ffiffiffi n Þ (1)
482 CAPÍTULO 18 CONTROL ESTADÍSTICO DE PROCESOS Y CAPACIDAD DE PROCESOS
El límite superior de control está dado por la ecuación (2):
p
UCL = µ þ 3ð=
ffiffiffi n Þ (2)
En un proceso distribuido normalmente, la media de un subgrupo caerá 99.7% de las veces entre los límites dados por
(1) y (2). En la práctica no se conoce ni la media ni la desviación estándar del proceso y es necesario estimarlas. La
media del proceso se estima mediante la media de las medias de las muestras periódicas. Esta media está dada por la
ecuación (3), donde m es la cantidad de muestras de tamaño n tomadas periódicamente.
P
X
X ¼
m
(3)
La media X, también puede encontrarse sumando todos los datos y dividiendo esta suma entre mn. La desviación
estándar del proceso se estima promediando las desviaciones estándar o los rangos de los subgrupos, o bien usando un
valor histórico de σ.
EJEMPLO 1 Se obtienen datos sobre la anchura de un producto. En 20 periodos se toman 5 observaciones de cada periodo. Los
datos obtenidos se presentan en la tabla 18.2. El número de muestras periódicas es m = 20, el tamaño de la muestra o subgrupo es
n = 5, la suma de todos los datos es 199.84 y la línea central es X = 1.998. La secuencia del menú de MINITAB “Stat ⇒ Control
charts ⇒ Xbar” se utilizó para procesar la gráfica de control que se muestra en la figura 18-2. Los datos de la tabla 18.2 se ingresan
en una sola columna antes de aplicar la secuencia del menú anterior.
Tabla 18.2
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
2.000
1.988
1.975
1.994
1.991
2.007
1.988
2.002
1.978
2.012
1.987
1.983
2.006
2.019
2.021
1.989
1.989
1.997
1.976
2.007
1.997
2.018
1.999
1.990
2.003
1.983
1.972
2.002
1.991
1.997
1.966
1.982
1.995
2.020
2.008
2.004
1.998
2.011
1.991
1.972
2.009
1.994
2.020
2.000
2.006
1.991
1.989
2.000
2.016
2.037
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
2.004
1.980
1,998
1.994
2.006
1.988
1.991
2.003
1.997
1.985
1.996
2.005
1.996
2.008
2.007
1.999
1.984
1.988
2.011
2.005
2.018
2.009
2.023
2.010
1.993
1.986
2.010
2.012
2.013
1.988
2.002
1.969
2.018
1.984
1.990
1.988
2.031
1.978
1.987
1.990
2.011
1.976
1.998
2.023
1.998
1.998
2.003
2.016
1.996
2.009
La desviación estándar del producto puede estimarse de cuatro maneras distintas: sacando el promedio de los rangos
de los 20 subgrupos, sacando el promedio de las desviaciones estándar de los 20 subgrupos, conjuntando las
varianzas de los 20 subgrupos o mediante un valor histórico de σ, en caso de que se conozca alguno. MINITAB permite
utilizar cualquiera de las cuatro opciones. En la figura 18-2 se grafican las 20 medias de las muestras que se
presentan en la tabla 18.2. Esta gráfica indica que el proceso está bajo control. Las medias varían aleatoriamente respecto
a la línea central y ninguna cae fuera de los límites de control.
GRÁFICAS X-BARRA Y GRÁFICAS R 483
2.02
UCL = 2.01729
2.01
Media muestral
2.00
1.99
_
X
= 1.99842
1.98
2
4
6
8
10
12
Muestra
Figura 18-2 Gráfica X-barra para las anchuras.
14
16
18
20
LCL = 1.97955
Las gráficas R se usan para vigilar la variación del proceso. Para cada uno de los m subgrupos se calcula el rango
R. La línea central de la gráfica R está dada por la ecuación (4)
P R
R ¼
m
(4)
Como en el caso de la gráfica X-barra, hay diversos métodos para estimar la desviación estándar del proceso.
EJEMPLO 2 Dados los datos de la tabla 18.2, el rango del primer subgrupo es R 1 = 2.000 − 1.975 = 0.025, el rango del segundo
subgrupo es R 2 = 2.012 − 1.978 = 0.034. Los 20 rangos son: 0.025, 0.034, 0.038, 0.031, 0.028, 0.030, 0.054, 0.039, 0.026,
0.048, 0.026, 0.018, 0.012, 0.027, 0.030, 0.027, 0.049, 0.053, 0.047 y 0.020. La media de estos 20 rangos es 0.0327. En la figura
18-3 se presenta una gráfica de estos rangos elaborada con MINITAB. Esta gráfica R no muestra patrón inusual alguno respecto de
la variabilidad. Para obtener la gráfica de control de la figura 18-3 se emplea la secuencia “Stat → Control charts → R chart”
de MINITAB. Antes de aplicar esta secuencia, los datos de la tabla 18.2 deben ingresarse en una sola columna.
0.07
UCL = 0.06917
0.06
Rango muestral
0.05
0.04
0.03
0.02
_
R = 0.03271
0.01
0.00
LCL = 0
2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
Muestra
Figura 18-3 Gráfica R para las anchuras.
484 CAPÍTULO 18 CONTROL ESTADÍSTICO DE PROCESOS Y CAPACIDAD DE PROCESOS
PRUEBAS PARA CAUSAS ESPECIALES
Además de un punto que caiga fuera de los límites de control, hay otros indicadores que sugieren falta de aleatoriedad
en un proceso debida a causas especiales. En la tabla 18.3 se presentan ocho pruebas para causas especiales.
Tabla 18.3 Pruebas para causas especiales
1. Un punto a más de 3 sigmas de la línea central
2. Nueve puntos consecutivos de un mismo lado de la línea central
3. Seis puntos consecutivos, crecientes o decrecientes
4. Catorce puntos consecutivos, alternados arriba y abajo
5. Dos de tres puntos a más de 2 sigmas de la línea central (de un mismo lado)
6. Cuatro de cinco puntos a más de 1 sigma de la línea central (de un mismo lado)
7. Quince puntos consecutivos a más de 1 sigma de la línea central (de cualquier lado)
8. Ocho puntos consecutivos a más de 1 sigma de la línea central (de cualquier lado)
CAPACIDAD DE PROCESOS
Para llevar a cabo un análisis de la capacidad de un proceso, el proceso debe estar bajo control estadístico. Normalmente
se supone que las características del proceso que van a ser medidas tienen distribución normal. Esto se puede comprobar
empleando pruebas de normalidad, como la prueba de Kolmogorov-Smirnov, la prueba de Ryan-Joiner o la prueba
de Anderson-Darling. La capacidad del proceso es una comparación entre el desempeño del proceso y los requerimientos
del mismo. Los requerimientos del proceso determinan los límites de especificación. El LSL y el USL (por sus
siglas en inglés) son, respectivamente, el límite inferior de especificación y el límite superior de especificación.
Los datos utilizados para determinar si un proceso está bajo control estadístico pueden emplearse para hacer el
análisis de capacidad. A la distancia de 3 sigmas a ambos lados de la media se le conoce como dispersión del proceso.
La media y la desviación estándar de las características del proceso suelen estimarse a partir de los datos obtenidos
para el estudio del control estadístico del proceso.
EJEMPLO 3 Como se vio en el ejemplo 2, los datos de la tabla 18.2 provienen de un proceso que está bajo control estadístico.
Se encuentra que la estimación de la media del proceso es 1.9984. Y la desviación estándar de las 100 observaciones es 0.013931.
Supóngase que los límites de especificación son LSL = 1.970 y USL = 2.030. La prueba de Kolmogorov-Smirnov para normalidad
se aplica usando MINITAB y se encuentra que no se puede rechazar la normalidad de la característica del proceso. Las tasas de no
conformes se calculan como sigue. La proporción arriba del USL = P(X > 2.030) = P[(X − 1.9984)/0.013931 > (2.030 −
1.9984)/0.013931] = P(Z > 2.27) = 0.0116. Es decir, hay 0.0116(1 000 000) = 11 600 partes por millón (ppm) superiores al USL
que son no conformes. Obsérvese que P(Z > 2.27) puede encontrarse usando MINITAB, en lugar de buscar en las tablas de distribución
normal estándar. Esto se hace como sigue. Se emplea la secuencia Calc → Probability Distribution → Normal.
Con X = 2.27 se obtiene
x P(X ( x)
2.2700 0.9884
Se tiene P(Z < 2.27) = 0.9884, por lo tanto, P(Z > 2.27) = 1 − 0.09884 = 0.0116.
De igual manera, la proporción abajo del LSL = P(X < 1.970) = P(Z < −2.04) = 0.0207. Hay 20 700 ppm abajo del LSL que
son no conformes. También aquí se emplea MINITAB para hallar el área bajo la curva normal estándar a la izquierda de −2.04.
La cantidad total de unidades no conformes es 11 600 + 20 700 = 32 300 ppm. Esto es, claramente, un número inaceptablemente
elevado de unidades no conformes.
CAPACIDAD DE PROCESOS 485
Supóngase que ^m es la estimación de la media de la característica del proceso y ^ es la estimación de la desviación
estándar de la característica del proceso, entonces la tasa de no conformes se estima como sigue. La proporción arriba
del USL es igual a
PðX > USLÞ ¼P Z > USL ^m
^
y la proporción abajo del LSL es igual a
PðX < LSLÞ ¼P Z < LSL
^
^m
El índice de capacidad del proceso mide el potencial del proceso para satisfacer las especificaciones y se define
como sigue:
dispersión permitida
C P =
dispersión medida = USL LSL
6ˆ
(5)
EJEMPLO 4 Dados los datos del proceso de la tabla 18.2, USL − LSL = 2.030 − 1.970 = 0.060, 6^ = 6(0.013931) = 0.083586
y C p = 0.060/0.083586 = 0.72.
El índice C PK mide el desempeño del proceso y se define como sigue:
USL ^m ^m LSL
C PK = mínimo ,
3^ 3^
(6)
EJEMPLO 5 Dados los datos del proceso del ejemplo 1,
2:030 1:9984 1:9984 1:970
C PK = mínimo
,
= mínimo {0.76, 0.68} = 0.68
3ð0:013931Þ 3ð0:013931Þ
En procesos que únicamente tienen límite inferior de especificación, el índice inferior de capacidad C PL se define
como sigue:
C PL ¼ ^m
LSL
3^
(7)
En procesos que únicamente tienen límite superior de especificación, el índice superior de capacidad C PU se define
como sigue:
C PU ¼ USL
3^
^m
(8)
El C PK se puede definir en términos del C PL y del C PU como sigue:
C PK = mín {C PL , C PU } (9)
La relación entre tasas de no conformes y C PL y C PU se obtiene como sigue:
PðX < LSLÞ ¼P Z < LSL ^m
LSL ^m
¼ PðZ < 3C
^
PL Þ dado que 3C PL ¼
^
PðX > USLÞ ¼P Z > USL ^m
¼ PðZ > 3C
^
PU Þ dado que 3C PU ¼ USL ^m
^
486 CAPÍTULO 18 CONTROL ESTADÍSTICO DE PROCESOS Y CAPACIDAD DE PROCESOS
EJEMPLO 6 Supóngase que C PL = 1.1, entonces la proporción de no conformes es P(Z < −3(1.1)) = P(Z < −3.3). Esto se
puede encontrar usando MINITAB, de la manera siguiente. Se da la secuencia “Calc ⇒ Probability Distribution ⇒ Normal”.
El área acumulada a la izquierda de −3.3 está dada como:
Función de distribución acumulada
Normal with mean = 0 and standard deviation = 1
x P(X ( x)
-3.3 0.00048348
Habrá 1 000 000 × 0.00048348 = 483 ppm de no conformes. Empleando esta técnica se puede elaborar una tabla en la que se
relacione la tasa de no conformes con el índice de capacidad. Esto se da en la tabla 18.4.
Tabla 18.4
C PL o C PU Proporción de no conformes ppm
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1.0
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
1.6
1.7
1.8
1.9
2.0
0.38208867
0.27425308
0.18406010
0.11506974
0.06680723
0.03593027
0.01786436
0.00819753
0.00346702
0.00134997
0.00048348
0.00015915
0.00004812
0.00001335
0.00000340
0.00000079
0.00000017
0.00000003
0.00000001
0.00000000
382089
274253
184060
115070
66807
35930
17864
8198
3467
1350
483
159
48
13
3
1
0
0
0
0
EJEMPLO 7 Usando la siguiente secuencia de MINITAB Stat ⇒ Quality tools ⇒ Capability Analysis (Normal) se obtiene un
análisis de capacidad de los datos de la tabla 18.2. Estos resultados de MINITAB se muestran en la figura 18-4. En estos resultados
se dan las tasas de no conformes, los índices de capacidad y algunas otras medidas. Las cantidades halladas en los ejemplos 3, 4 y
5 se acercan mucho a las medidas correspondientes mostradas en la figura. Las diferencias se deben a errores de redondeo, así como
a diferentes métodos para estimar ciertos parámetros. La gráfica es muy ilustrativa, y señala la distribución de las mediciones muestrales
en un histograma. La distribución poblacional de las mediciones del proceso aparece como una curva normal. Las áreas, a la
derecha del USL y a la izquierda del LSL, en las colas bajo la curva normal, representan el porcentaje de productos no conformes.
Multiplicando la suma de estos porcentajes por un millón, se obtiene la tasa, en ppm, de no conformes en el proceso.
GRÁFICAS P Y NP 487
Datos del proceso
LSL
1.97000
Objetivo
*
USL
2.03000
Media de la muestra 1.99842
Muestra N
100
DesvEst (dentro) 0.01406
DesvEst (total) 0.01397
LSL
Capacidad de anchura del proceso
USL
Dentro
Total
Capacidad potencial (dentro)
Cp 0.71
CPL 0.67
CPU 0.75
Cpk 0.67
CCpk 0.71
Capacidad total
Pp
PPL
PPU
Ppk
Cpm
0.72
0.68
0.75
0.68
*
1.97
1.98
1.99
2.00
2.01
2.02
2.03
Logros observados
PPM < LSL 20 000.00
PPM > USL 20 000.00
PPM Total 40 000.00
Logros en exp.
PPM < LSL 21 647.20
PPM > USL 12 366.21
PPM Total 34 013.41
Logros en exp. total
PPM < LSL 20 933.07
PPM > USL 11 876.48
PPM Total 32 809.56
Figura 18-4 Varias medidas de la capacidad del proceso.
GRÁFICAS P Y NP
Cuando se categorizan o clasifican artículos producidos en masa, a los datos resultantes se les llama datos de atributos.
Una vez establecidos los estándares que debe satisfacer un producto, se determinan las especificaciones. A un artículo
que no satisface las especificaciones se le llama artículo no conforme. A un artículo que es no conforme y que no sirve
para ser usado se le llama artículo defectuoso. Resulta más grave que un artículo sea defectuoso a que sea no conforme.
Un artículo puede ser no conforme debido a un rayón o una decoloración, sin que sea un artículo defectuoso. Que un
artículo no satisfaga una prueba de desempeño posiblemente hará que el producto sea clasificado como defectuoso y
como no conforme. A los defectos encontrados en un artículo se les llama no conformidades. A las fallas irreparables
se les llama defectos.
Para los datos de atributo se pueden emplear cuatro gráficas de control distintas. Estas cuatro gráficas son las gráficas
P, las NP, las C y las U. Las gráficas P y las NP se basan en la distribución binomial y las gráficas C y U se basan
en la distribución de Poisson. Las gráficas P se usan para vigilar la proporción de artículos no conformes producidos
en un proceso. En el ejemplo 8 se ilustran las gráficas P, así como la notación que se emplea para describirlas.
EJEMPLO 8 Supóngase que cada 30 minutos se examinan 20 mascarillas para respiración y que por cada turno de 8 h se registra
la cantidad de unidades defectuosas. La cantidad total examinada durante un turno es igual a n = 20(16) = 320. En la tabla 18.5
se dan los resultados obtenidos en 30 turnos. La línea central de la gráfica P corresponde a la proporción de defectuosos en los 30
turnos, y está dada por la cantidad total de defectuosos entre el total de examinados en los 30 turnos, es decir
p = 72/9 600 = 0.0075
La desviación estándar de la distribución binomial, correspondiente a esta gráfica, es
rffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
rffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
pð1 pÞ 0:0075 0:9925
¼
¼ 0:004823
n
320
Los límites de control de 3 sigmas para este proceso son
488 CAPÍTULO 18 CONTROL ESTADÍSTICO DE PROCESOS Y CAPACIDAD DE PROCESOS
Tabla 18.5
Turno #
Cantidad de
defectuosos
X i
Proporción de
defectuosos
P i = X/n Turno #
Cantidad de
defectuosos
X i
Proporción de
defectuosos
P i = X/n
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
1
2
2
0
4
4
4
6
4
0
0
0
1
0
7
0.003125
0.006250
0.006250
0.000000
0.012500
0.012500
0.012500
0.018750
0.012500
0.000000
0.000000
0.000000
0.003125
0.000000
0.021875
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
2
0
4
1
7
4
1
0
4
4
3
2
0
0
5
0.006250
0.000000
0.012500
0.003125
0.021875
0.012500
0.003125
0.000000
0.012500
0.012500
0.009375
0.006250
0.000000
0.000000
0.015625
rffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
pð1 pÞ
p 3
n
(10)
El límite inferior de control es LCL = 0.0075 − 3(0.004823) = −0.006969. Cuando el LCL es negativo, se considera igual a
cero, ya que la proporción de defectuosos en una muestra no es posible que sea negativa. El límite superior de control es UCL =
0.0075 + 3(0.004823) = 0.021969.
La gráfica P de este proceso, empleando MINITAB, se obtiene con la secuencia Stat → Control charts → P. En la figura
18-5 se muestra la gráfica P. Aunque al parecer las muestras 15 y 20 indican la presencia de una causa especial, cuando se compara
la proporción de defectuosos en estas muestras 15 y 20 (ambas igual a 0.021875) con el UCL = 0.021969, se ve que estos puntos
no están más allá del UCL.
0.025
0.020
UCL = 0.02197
Proporción
0.015
0.010
0.005
_
P = 0.0075
0.000
LCL= 0
3 6 9 12 15 18 21 24 27 30
Muestra
Figura 18-5 Con la gráfica p se vigila la proporción de defectuosos.
OTRAS GRÁFICAS DE CONTROL 489
Con las gráficas NP se vigila el número de defectuosos, en lugar de la proporción de defectuosos. La gráfica NP
es preferida por muchos debido a que es más fácil de entender que la proporción de defectuosos, tanto para los técnicos
de calidad como para los operadores. La línea central en la gráfica NP está dada por np y los límites de control de 3
sigmas son
pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
np 3 npð1 pÞ
(11)
EJEMPLO 9 Dados los datos de la tabla 18.5, la línea central está dada por np = 320(.0075) = 2.4 y los límites de control son
LCL = 2.4 − 4.63 = −2.23, que se toma igual a 0 y UCL = 2.4 + 4.63 = 7.03. Si en un turno se encuentran 8 o más defectuosos,
el proceso estará fuera de control. Con MINITAB, la solución se encuentra usando la secuencia
Stat → Control charts → NP
7
UCL = 7.030
6
Cuenta muestral
5
4
3
2
__
NP = 2.4
1
0
LCL = 0
3 6 9 12 15 18 21 24 27 30
Muestra
Figura 18-6 Con la gráfica NP se vigila el número de defectuosos.
Antes de ejecutar esta secuencia, el número de defectuosos por muestra debe ser ingresado en alguna columna de la hoja de
cálculo. En la figura 18-6 se muestra una gráfica NP.
OTRAS GRÁFICAS DE CONTROL
Este capítulo es sólo una introducción al uso de las gráficas de control como ayuda en el proceso de control estadístico.
En la tabla 18.1 se enumeran varias de las muchas gráficas de control que se emplean actualmente en la industria.
Para facilitar los cálculos, en las plantas de producción suele usarse la gráfica mediana. En lugar de las medias de las
muestras se grafican las medianas de las muestras. Si el tamaño de la muestra es non, entonces la mediana es simplemente
el valor de en medio en el conjunto de valores ordenados de menor a mayor.
Cuando el volumen de producción es pequeño suelen emplearse las gráficas de lecturas individuales. En este caso,
el subgrupo o muestra consta de una sola observación. A las gráficas de lecturas individuales también se les llama
gráficas X.
Una gráfica de zonas está dividida en cuatro zonas. La zona 1 son los valores a no más de 1 desviación estándar
de la media, la zona 2 son los valores entre 1 y 2 desviaciones estándar de la media, la zona 3 son los valores entre 2
y 3 desviaciones estándar de la media, y la zona 4 son los valores a 3 o más desviaciones estándar de la media. A las
cuatro zonas se les asignan pesos. Los pesos de los puntos a un mismo lado de la línea central se suman y si la suma
acumulada es mayor o igual al peso asignado a la zona 4, esto se considera como una señal de que el proceso está fuera
de control. La suma acumulada se hace igual a cero después de que el proceso se ha considerado fuera de control, o
cuando el siguiente punto graficado cruza la línea central.
490 CAPÍTULO 18 CONTROL ESTADÍSTICO DE PROCESOS Y CAPACIDAD DE PROCESOS
Las gráficas de medias móviles con pesos exponenciales (gráfica EWMA, por sus siglas en inglés) son una alternativa
a las gráficas de lecturas individuales o a las gráficas X-barra y proporcionan una rápida respuesta a cualquier
desplazamiento del promedio del proceso. En las gráficas EWMA se incorpora información de todos los subgrupos
anteriores, no sólo del subgrupo presente.
Las sumas acumuladas de las desviaciones del valor objetivo del proceso se utilizan en las gráficas cusum. Tanto
las gráficas EWMA como las gráficas cusum permiten detectar fácilmente cualquier desplazamiento del proceso.
Cuando lo que interesa es la cantidad de no conformidades o de defectos en un producto y no simplemente determinar
si el producto está defectuoso o no, se usan las gráficas C o las gráficas U. Cuando se usan estas gráficas es
importante definir una unidad de inspección. La unidad de inspección se define como la unidad de producción a ser
muestreada y examinada respecto de no conformidades. Si sólo hay una unidad de inspección por muestra, se usa una
gráfica C, y si el número de unidades de inspección por muestra varía, se usa una gráfica U.
GRÁFICAS X-BARRA Y GRÁFICAS R
PROBLEMAS RESUELTOS
18.1 En un proceso industrial se llenan paquetes de avena para desayuno. La media de llenado de este proceso es
510 gramos (g) y la desviación estándar del llenado es 5 g. Cada hora se toman cuatro paquetes y el peso medio
del subgrupo de cuatro pesos se emplea para vigilar el proceso respecto a causas especiales y para ayudar a
mantener el proceso bajo control estadístico. Hallar los límites inferior y superior de control de la gráfica de
control X-barra.
SOLUCIÓN
En este problema se supone que se conocen µ y σ y que son iguales a 510 y 5, respectivamente. Cuando no se conocen ni
p
µ ni σ, será necesario estimarlas. El límite inferior de control es LCL = µ − 3ð= ffiffi nÞ = 510 − 3(2.5) = 502.5 y el límite
p
superior de control es UCL = µ + 3ð=
ffiffi nÞ = 510 + 3(2.5) = 517.5.
Tabla 18.6
Periodo
1
Periodo
2
Periodo
3
Periodo
4
Periodo
5
Periodo
6
Periodo
7
Periodo
8
Periodo
9
Periodo
10
2.000
1.988
1.975
1.994
1.991
2.007
1.988
2.002
1.978
2.012
1.987
1.983
2.006
2.019
2.021
1.989
1.989
1.997
1.976
2.007
1.997
2.018
1.999
1.990
2.003
1.983
1.972
2.002
1.991
1.997
1.966
1.982
1.995
2.020
2.008
2.004
1.998
2.011
1.991
1.972
2.009
1.994
2.020
2.000
2.006
1.991
1.989
2.000
2.016
2.037
Periodo
11
Periodo
12
Periodo
13
Periodo
14
Periodo
15
Periodo
16
Periodo
17
Periodo
18
Periodo
19
Periodo
20
2.004
1.980
1.998
1.994
2.006
1.988
1.991
2.003
1.997
1.985
1.996
2.005
1.996
2.008
2.007
1.999
1.984
1.988
2.011
2.005
2.018
2.009
2.023
2.010
1.993
2.025
2.022
2.035
2.013
2.020
2.002
1.969
2.018
1.984
1.990
1.988
2.031
1.978
1.987
1.990
2.011
1.976
1.998
2.023
1.998
1.998
2.003
2.016
1.996
2.009
PROBLEMAS RESUELTOS 491
18.2 La tabla 18.6 contiene las anchuras de un producto obtenidas en 20 periodos. Los límites de control para la
gráfica X-barra son LCL = 1.981 y UCL = 2.018. ¿Está alguna de las medias de los grupos fuera de estos
límites de control?
SOLUCIÓN
Las medias de los 20 subgrupos son 1.9896, 1.9974, 2.0032, 1.9916, 2.0014, 1.9890, 1.9942, 1.9952, 2.0058, 2.0066, 1.9964,
1.9928, 2.0024, 1.9974, 2.0106, 2.0230, 1.9926, 1.9948, 2.0012 y 2.0044, respectivamente. La media número dieciséis,
2.0230, está fuera del límite superior de control. Todas las demás medias están dentro de los límites de control.
18.3 Volviendo al problema 18.2, se encuentra que precisamente antes de muestrear el grupo número dieciséis hubo
una falla. Este subgrupo se elimina, se vuelven a calcular los límites de control y se encuentra que los nuevos
límites de control son LCL = 1.979 y UCL = 2.017. ¿Hay alguna otra media, además de la media del subgrupo
dieciséis, que esté fuera de los nuevos límites de control?
SOLUCIÓN
Ninguna de las medias dadas en el problema 18.2, además de la número dieciséis, cae fuera de los nuevos límites. Suponiendo
que la nueva gráfica satisfaga todas las otras pruebas para causas especiales, dadas en la tabla 18.3, los límites de control
dados en este problema pueden emplearse para vigilar el proceso.
18.4 Verificar los límites de control dados en el problema 18.2. Estimar la desviación estándar del proceso conjuntando
las 20 varianzas muestrales.
SOLUCIÓN
La media de las 100 observaciones muestrales es 1.999. Una manera de hallar la varianza conjunta de estas 20 muestras es
tratar estas 20 muestras, cada una con cinco observaciones, como una clasificación en un sentido. El error cuadrado medio
dentro de los tratamientos es igual a la varianza conjunta de las 20 muestras. Empleando el análisis de MINITAB para un
diseño en un sentido, se obtiene la siguiente tabla de análisis de varianza
Analysis of Variance
Source DF SS MS F P
Factor 19 0.006342 0.000334 1.75 0.044
Error 80 0.015245 0.000191
Total 99 0.021587
pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
p La ffiffiffiestimación de la desviación estándar es 0:000191 = 0.01382. El límite inferior p ffiffiffi de control es LCL = 1.999 − 3(0.01382/
5 ) = 1.981 y el límite superior de control es UCL = 1.999 + 3(0.01382/ 5 ) = 2.018.
PRUEBAS PARA CAUSAS ESPECIALES
18.5 En la tabla 18.7 se presentan los datos de 20 subgrupos, cada uno de tamaño 5. La gráfica X-barra se da en la
figura 18-7. ¿Qué efectos tuvo en el proceso un cambio a un nuevo proveedor en el periodo 10? ¿Cuál es la
prueba para causas especiales, de la tabla 18.3, que no satisface el proceso?
SOLUCIÓN
En la gráfica de control de la figura 18-7 se observa que el cambio al nuevo proveedor ocasionó un aumento en la anchura.
Este cambio después del periodo 10 es evidente. El 6 que aparece en la gráfica de la figura 18-7 indica que no se satisface
la prueba 6 de la tabla 18.3. Cuatro de cinco puntos están a más de 1 sigma de la línea central (del mismo lado). Los cinco
puntos corresponden a los subgrupos 4 a 8.
492 CAPÍTULO 18 CONTROL ESTADÍSTICO DE PROCESOS Y CAPACIDAD DE PROCESOS
2.02
UCL = 2.02229
Media muestral
2.01
2.00
_
X = 2.00342
1.99
6
LCL = 1.98455
1.98
2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
Muestra
Figura 18-7 MINITAB, puntos que no satisfacen la prueba 6 de la tabla 18.3.
Tabla 18.7
Periodo
1
Periodo
2
Periodo
3
Periodo
4
Periodo
5
Periodo
6
Periodo
7
Periodo
8
Periodo
9
Periodo
10
2.000
1.988
1.975
1.994
1.991
2.007
1.988
2.002
1.978
2.012
1.987
1.983
2.006
2.019
2.021
1.989
1.989
1.997
1.976
2.007
1.997
2.018
1.999
1.990
2.003
1.983
1.972
2.002
1.991
1.997
1.966
1.982
1.995
2.020
2.008
2.004
1.998
2.011
1.991
1.972
2.009
1.994
2.020
2.000
2.006
1.991
1.989
2.000
2.016
2.037
Periodo
11
Periodo
12
Periodo
13
Periodo
14
Periodo
15
Periodo
16
Periodo
17
Periodo
18
Periodo
19
Periodo
20
2.014
1.990
2.008
2.004
2.016
1.998
2.001
2.013
2.007
1.995
2.006
2.015
2.006
2.018
2.017
2.009
1.994
1.998
2.021
2.015
2.028
2.019
2.033
2.020
2.003
1.996
2.020
2.022
2.023
1.998
2.012
1.979
2.028
1.994
2.000
1.998
2.041
1.988
1.997
2.000
2.021
1.986
2.008
2.033
2.008
2.008
2.013
2.026
2.006
2.019
CAPACIDAD DEL PROCESO
18.6 Volver al problema 18.2. Después de determinar una causa especial relacionada con el subgrupo 16, se elimina
ese subgrupo. La anchura media se estima hallando la media de los datos de los 19 subgrupos restantes. Y la
desviación estándar se estima hallando la desviación estándar de estos mismos datos. Si los límites de especificación
son LSL = 1.960 y USL = 2.040, hallar el índice inferior de capacidad, el índice superior de capacidad
y el índice C PK .
PROBLEMAS RESUELTOS 493
SOLUCIÓN
Empleando las 95 mediciones restantes, después de excluir al subgrupo 16, se encuentra que ^m = 1.9982 y ^ = 0.01400.
El índice inferior de capacidad es
el índice superior de capacidad es
y C PK = mín{C PL , C PU } = 0.91.
C PL ¼ ^m
LSL
3^
C PU ¼ USL
3^
¼
^m ¼
1:9982 1:960
0:0420
2:040 1:9982
0:042
¼ 0:910
¼ 0:995
18.7 Volver al problema 18.1. a) Encontrar el porcentaje de no conformes si LSL = 495 y USL = 525. b) Encontrar
las ppm de no conformes si LSL = 490 y USL = 530.
SOLUCIÓN
a) Suponiendo que el llenado tenga una distribución normal, el área bajo la curva normal abajo del LSL se encuentra
empleando el comando de EXCEL =NORMDIST(495,510,5,1), con el que se obtiene 0.001350. Por simetría, el
área bajo la curva normal arriba del USL también es 0.001350. El total del área fuera de los límites de especificación
es 0.002700. Las ppm de no conformes son 0.002700(1 000 000) = 2 700.
b) El área bajo la curva normal correspondiente a LSL = 490 y a USL = 530 se halla de manera similar y es 0.000032
+ 0.000032 = 0.000064. Se encuentra que las partes por millón son 0.000064(1 000 000) = 64.
GRÁFICAS P Y NP
18.8 Se inspeccionan circuitos impresos para detectar soldaduras imperfectas. A lo largo de 30 días, diariamente se
inspeccionan 500 circuitos impresos. En la tabla 18.8 se presentan las cantidades de defectuosos. Elaborar una
gráfica P y localizar las causas especiales.
Tabla 18.8
Día 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
# Defectuosos 2 0 2 5 2 4 5 1 2 3
Día 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
# Defectuosos 3 2 0 4 3 8 10 4 4 5
Día 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
# Defectuosos 2 4 3 2 3 3 2 1 1 2
SOLUCIÓN
Los límites de confianza son
rffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
pð1 pÞ
p ¼ 3
n
La línea central es p = 92/15 000 = 0.00613 y la desviación estándar es
rffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
rffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
pð1 pÞ ð0:00613Þð0:99387Þ
¼
¼ 0:00349
n
500
494 CAPÍTULO 18 CONTROL ESTADÍSTICO DE PROCESOS Y CAPACIDAD DE PROCESOS
El límite inferior de control es 0.00613 − 0.01047 = −0.00434, que se toma igual a 0, ya que las proporciones no
pueden ser negativas. El límite superior de control es 0.00613 + 0.01047 = 0.0166. El día 17 la proporción de defectuosos
es P 17 = 10/500 = 0.02; es el único día en que la proporción es mayor al límite superior.
18.9 Dados los datos del problema 18.8, proporcionar los límites de control de la gráfica-NP.
SOLUCIÓN
p
Los límites de control para el número de defectuosos son np ¼ 3
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
npð1 pÞ . La línea central es np = 3.067. El límite
inferior es 0 y el límite superior es 8.304.
18.10 Supóngase que se empacan mascarillas para respiración en cajas con 25 o con 50 unidades. Durante cada turno,
a intervalos de 30 minutos, se toma de manera aleatoria una caja y se determina la cantidad de defectuosas en
ella. La caja puede contener 25 o 50 mascarillas. La cantidad de mascarillas examinadas por turno varía entre
400 y 800. En la tabla 18.9 se presentan los datos. Usar MINITAB para elaborar la gráfica de control para la
proporción de defectuosas.
Tabla 18.9
Turno #
Tamaño de
la muestra
n i
Cantidad de
defectuosas
X i
Proporción de
defectuosas
P i = X i /n i
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
18
20
400
575
400
800
475
575
400
625
775
425
400
400
625
800
800
800
475
800
750
475
3
7
1
7
2
0
8
1
10
8
7
3
6
5
4
7
9
9
9
2
0.0075
0.0122
0.0025
0.0088
0.0042
0.0000
0.0200
0.0016
0.0129
0.0188
0.0175
0.0075
0.0096
0.0063
0.0050
0.0088
0.0189
0.0113
0.0120
0.0042
SOLUCIÓN
Cuando varía el tamaño de la muestra, la línea central siempre es la misma, es decir, es la proporción de defectuosos en
todas las muestras. Pero la desviación estándar varía de una muestra a otra y los límites de control que se obtienen son
límites de control escalonados. Los límites de control son
sffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
pð1 pÞ
p ¼ 3
n i
PROBLEMAS RESUELTOS 495
La línea central es p = 108/11 775 = 0.009172. Para el primer subgrupo, se tiene n i = 400
rffiffi
pð1
n i
rffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
pÞ ð0:009172Þð0:990828Þ
¼
¼ 0:004767
400
y 3(0.004767) = 0.014301. El límite inferior del subgrupo 1 es 0 y el límite superior es 0.009172 + 0.014301 = 0.023473.
Los límites de los turnos restantes se determinan de igual manera. Estos límites cambiantes dan lugar a límites superiores
de control escalonados, como se muestran en la figura 18-8.
0.025
0.020
UCL = 0.02229
Proporción
0.015
0.010
_
P = 0.00917
0.005
0.000
LCL = 0
2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
Muestra
Pruebas realizadas con tamaños de muestras variables
Figura 18-8 Gráfica P para tamaños de muestra variables.
OTRAS GRÁFICAS DE CONTROL
18.11 En los casos en que las mediciones resultan muy costosas, los datos se obtienen lentamente, o cuando la producción
es bastante homogénea lo indicado es una gráfica de lecturas o mediciones individuales de rangos
móviles. Los datos consisten en una sola medición tomada en diferentes momentos. La línea central es la media
de todas las mediciones individuales y la variación se estima mediante el uso de rangos móviles. Normalmente,
los rangos móviles se calculan restando los valores de datos adyacentes y tomando el valor absoluto del valor
resultante. En la tabla 18.10 se presentan las mediciones codificadas de la resistencia a la ruptura de un costoso
cable empleado en los aviones. Del proceso de producción, se toma un cable por día y se prueba. Proporcionar
la gráfica de lecturas individuales generada con MINITAB e interpretar los resultados.
Tabla 18.10
Día 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Resistencia 491.5 502.0 505.5 499.6 504.1 501.3 503.5 504.3 498.5 508.8
Día 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
Resistencia 515.4 508.0 506.0 510.9 507.6 519.1 506.9 510.9 503.9 507.4
496 CAPÍTULO 18 CONTROL ESTADÍSTICO DE PROCESOS Y CAPACIDAD DE PROCESOS
SOLUCIÓN
Se emplea la secuencia siguiente Stats → Control charts → individuals.
525
Valor de la medición individual
520
515
510
505
500
495
2
2
UCL = 520.98
_
X = 505.76
490
LCL = 490.54
2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
Observación
Figura 18-9 Gráfica de mediciones individuales para la resistencia.
En la figura 18-9 se presenta la gráfica de lecturas individuales correspondiente a los datos de la tabla 18.10. En esta
gráfica de control se grafican los valores de las lecturas individuales de la tabla 18.10. El 2 que aparece en las semanas 9 y
18 de la gráfica de control hace referencia a la segunda prueba para causas especiales de la tabla 18.3. Esta indicación de
una causa especial corresponde a nueve puntos consecutivos de un mismo lado de la línea central. En el periodo 10, un
aumento de la temperatura del proceso ocasionó incremento en la resistencia a la ruptura. Este cambio en la resistencia a
la ruptura resultó en puntos debajo de la línea central antes del periodo 10 y puntos sobre la línea central después del periodo
10.
18.12 La gráfica EWMA de promedios móviles exponencialmente ponderados se usa para detectar pequeños cambios
respecto a un valor objetivo t. Los puntos de la gráfica EWMA están dados por la ecuación siguiente:
^x i ¼ wx i þð1 wÞ^x i 1
Para ilustrar el uso de esta ecuación, supóngase que los datos de la tabla 18.7 hayan sido seleccionados de un
proceso cuyo valor objetivo sea 2 000. El valor inicial ^x 0 se elige igual al valor objetivo, 2 000. Como peso w
suele elegirse un valor entre 0.10 y 0.30. Si no se especifica ningún valor, MINITAB utiliza 0.20. El primer
punto de la gráfica EWMA será ^x 1 = w x 1 + (1 − w) ^x 0 + 0.20(1.9896) + 0.80(2.000) = 1.9979. El segundo
punto de la gráfica será ^x 2 = w x 2 + (1 − w) ^x 1 = 0.20(1.9974) + 0.80(1.9979) = 1.9978, etc. El análisis de
MINITAB se obtiene empleando la secuencia siguiente Stat → Control charts → EWMA. Es necesario proporcionar
a MINITAB el valor objetivo. En la figura 18-10 se muestran los resultados. De acuerdo con la
figura, determinar en qué subgrupo se desvía el proceso del valor objetivo.
SOLUCIÓN
La gráfica de los valores ^x i cruza el límite superior de control con el punto correspondiente al periodo 15. Éste es el punto
en el que se concluirá que el proceso se aleja del valor objetivo. Obsérvese que la gráfica EWMA tiene límites de control
escalonados.
PROBLEMAS RESUELTOS 497
2.0100
2.0075
2.0050
UCL = 2.00629
EWMA
2.0025
2.0000
_
X = 2
1.9975
1.9950
LCL = 1.99371
2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
Muestra
Figura 18-10 Gráfica de promedios móviles exponencialmente ponderados.
18.13 Una gráfica de zonas se divide en cuatro zonas. La zona 1 se define como los valores a no más de 1 desviación
estándar de la media, la zona 2 se define como los valores entre 1 y 2 desviaciones estándar de la media, la zona
3 se define como los valores entre 2 y 3 desviaciones estándar de la media, y la zona 4 como los valores a 3 o
más desviaciones estándar de la media. Si no se especifica otra cosa, MINITAB asigna a las zonas 1 a 4 los
valores 0, 2, 4 y 8, respectivamente. Los puntos que se encuentran de un mismo lado de la línea central se
suman. Si una suma acumulada es mayor o igual al peso asignado a la zona 4, eso se considera como una señal
de que el proceso está fuera de control. Después de que un proceso se señala como fuera de control o cuando
el siguiente punto graficado cruza la línea central, la suma acumulada se iguala a 0. En la figura 18-11 se presenta
el análisis de MINITAB empleando una gráfica de zonas para los datos de la tabla 18.6. La secuencia para
obtener esta gráfica es Stat → Control charts → Zone. ¿Qué puntos se encuentran fuera de control en esta
gráfica de zona?
SOLUCIÓN
El subgrupo 16 corresponde a un punto fuera de control. La puntuación de zona correspondiente al subgrupo 16 es 10, que
es mayor a la puntuación asignada a la zona 4, con lo que en el proceso se localiza un periodo fuera de control.
8
4
10
+3 DesvEst = 2.01806
2
0
0
2
2
2
0
2
0
2
2
2
2
4
0
2
0
0
2
2
2
0
0
+2 DesvEst = 2.01187
+1 DesvEst = 2.00567
_
X = 1.99948
−1 DesvEst = 1.99329
−2 DesvEst = 1.98709
4
−3 DesvEst = 1.98090
8
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
Muestra
Figura 18-11 Gráfica de zonas para las anchuras.
498 CAPÍTULO 18 CONTROL ESTADÍSTICO DE PROCESOS Y CAPACIDAD DE PROCESOS
18.14 Cuando lo que interesa es el número de no conformidades o de defectos en un producto, y no sólo determinar
si el producto está o no defectuoso, se usa la gráfica C o la gráfica U. Para usar estas gráficas es importante
definir la unidad de inspección. La unidad de inspección se define como la unidad de producción (de salida) a
ser muestreada y examinada respecto a no conformidades. Si sólo hay una unidad de inspección por muestra,
se usa una gráfica C; si la cantidad de unidades de inspección por muestra varía, se usa una gráfica U.
La fabricación de productos en rollo, como papel, películas, textiles, plásticos, etc., es un área en la que se
usan la gráfica C y la gráfica U. No conformidades o defectos, como la aparición de puntos negros en una
película fotográfica, atadijos de fibras, manchas, agujeritos, marcas por electricidad estática, suelen presentarse
en algún grado en la fabricación de productos en rollo. El propósito de las gráficas C y U es garantizar que
en el resultado del proceso la ocurrencia de tales inconformidades permanezca dentro de un nivel aceptable.
Estas no conformidades suelen presentarse en forma aleatoria e independiente unas de otras en toda el área del
producto. En estos casos, para elaborar la gráfica de control se emplea la distribución de Poisson. La línea
central de una gráfica C se localiza en c, la cantidad media p ffiffi de no conformidades en todos los subgrupos.
La desviación p estándar en la distribución de Poisson es c , y por lo tanto los límites de control 3 sigma son
c 3
ffiffi pffiffi p c . Es decir, el límite inferior de control es LCL = c 3 c y el límite superior de control es UCL =
c þ 3
ffiffi c .
Cuando se aplica un recubrimiento a un material, suelen formarse pequeñas no conformidades llamadas
aglomerados. En los rollos jumbo de un producto se registra la cantidad de aglomerados por 5 pies (ft) de rollo.
En la tabla 18.11 se presentan los resultados en 24 de estos rollos. ¿Hay algún punto fuera de los límites de
control 3 sigma?
Tabla 18.11
Rollo jumbo # 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Aglomerados 3 3 6 0 7 5 3 6 3 5 2 2
Rollo jumbo # 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24
Aglomerados 2 7 6 4 7 8 5 13 7 3 3 7
SOLUCIÓN
La cantidad media de aglomerados por rollo jumbo
p ffiffi
es igual a la cantidad total de aglomerados dividida entre 24, esto es,
c = 117/24 = 4.875. La desviación estándar es c = 2.208. El límite inferior de control es LCL = 4.875 − 3(2.208) =
−1.749. Como este valor es negativo, se toma 0 como límite inferior. El límite superior es UCL = 4.875 + 3(2.208) =
11.499. En el rollo jumbo # 20 hay una condición fuera de control, ya que la cantidad de aglomerados, 13, es mayor al
límite superior de control, 11.499.
18.15 Este problema es continuación del problema 18.14. Antes de hacer este problema se deberá revisar el problema
18.14. En la tabla 18.12 se dan los datos de 20 rollos jumbo. En la tabla se da el número del rollo, la longitud
del rollo inspeccionada para detectar aglomerados, la cantidad de unidades inspeccionadas (recuérdese que
según el problema 18.14, una unidad de inspección es 5 ft), la cantidad de aglomerados encontrados en la
longitud inspeccionada y la cantidad de aglomerados por unidad inspeccionada. La línea central de la gráfica
U es u, la suma de la columna 4 dividida entre la suma de la columna 3. Sin embargo, la desviación estándar
cambia de una muestra a otra y hace que los límites pde ffiffiffiffiffiffiffiffiffi control sean límites de control escalonados. El límite
inferior de control p ffiffiffiffiffiffiffiffiffi de la muestra i es UCL = u 3 u=n i y el límite superior de control de la muestra i es
UCL = u þ 3 u=n i.
PROBLEMAS RESUELTOS 499
Tabla 18.12
Rollo jumbo #
Longitud
inspeccionada
# de unidades
inspeccionadas, n i
# de
aglomerados
u i =
Col. 4/Col. 3
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
5.0
5.0
5.0
5.0
5.0
10.0
7.5
15.0
10.0
7.5
5.0
5.0
5.0
15.0
5.0
5.0
15.0
5.0
15.0
15.0
1.0
1.0
1.0
1.0
1.0
2.0
1.5
3.0
2.0
1.5
1.0
1.0
1.0
3.0
1.0
1.0
3.0
1.0
3.0
3.0
6
4
6
2
3
8
6
6
10
6
4
7
5
8
3
5
10
1
8
15
6.00
4.00
6.00
2.00
3.00
4.00
4.00
2.00
5.00
4.00
4.00
7.00
5.00
2.67
3.00
5.00
3.33
1.00
2.67
5.00
Usar MINITAB para elaborar la gráfica de control para este problema y determinar si el proceso está bajo
control.
SOLUCIÓN
La línea central de la gráfica U es u, la suma de la columna 4 entre la suma de la columna 3. Pero la desviación estándar
cambia de una muestra p a otra y hace que los límites de control sean escalonados. El límite inferior de control de la muestra
i es LCL = u 3 ffiffiffiffiffiffiffiffiffi
p
u=n i y el límite superior de control de la muestra i es UCL = u þ 3
ffiffiffiffiffiffiffiffiffi
u=n i.
La línea central correspon-
Cuenta muestral por unidad
10
8
6
4
2
UCL = 7.0 7
_
U = 3.73
LCL = 0.38
0
2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
Muestra
Prueba realizada con tamaños de muestra diferentes
Figura 18-12 Gráfica U para aglomerados.
500 CAPÍTULO 18 CONTROL ESTADÍSTICO DE PROCESOS Y CAPACIDAD DE PROCESOS
diente a los datos anteriores es u = 123/33 = 3.73. La solución de MINITAB se obtiene mediante la secuencia Stat →
Control Charts → U.
La información que requiere MINITAB para elaborar la gráfica U es la dada en las columnas 3 y 4 de la tabla 18.12.
En la figura 18-12 se muestra la gráfica U de los datos de la tabla 18.12. La gráfica de control no indica que ningún periodo
esté fuera de control.
GRÁFICA X-BARRA Y GRÁFICA R
PROBLEMAS SUPLEMENTARIOS
18.16 En la tabla 18.13 se presentan los datos de 10 subgrupos, cada uno de tamaño 4. Para cada subgrupo calcular X y R, así
como X y R. En una gráfica señalar los valores de X y la línea central correspondiente a X. En otra gráfica mostrar los
valores de R junto con la línea central correspondiente a R.
Tabla 18.13
Subgrupo
Observaciones del subgrupo
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
13
11
16
13
12
14
12
17
15
20
11
12
18
15
19
10
13
17
12
13
13
20
20
18
11
19
20
12
16
18
16
15
15
12
12
16
10
14
17
17
18.17 Una empresa de alimentos congelados elabora paquetes de ejotes de una libra (lb) (454 g). Cada hora se toman cuatro
paquetes y se pesan con una exactitud de décimas de gramo. En la tabla 18.14 se presentan los datos obtenidos durante una
semana.
Tabla 18.14
Lunes
10:00
Lunes
12:00
Lunes
2:00
Lunes
4:00
Martes
10:00
Martes
12:00
Martes
2:00
Martes
4:00
Miércoles
10:00
Miércoles
12:00
453.0
454.5
452.6
451.8
451.6
455.5
452.8
453.5
452.0
451.5
450.8
454.8
455.4
453.0
454.3
450.6
454.8
450.9
455.0
453.6
452.6
452.8
455.5
454.8
453.6
456.1
453.9
454.8
453.2
455.8
452.0
453.5
453.0
451.4
452.5
452.1
451.6
456.0
455.0
453.0
Miércoles
2:00
Miércoles
4:00
Jueves
10:00
Jueves
12:00
Jueves
2:00
Jueves
4:00
Viernes
10:00
Viernes
12:00
Viernes
2:00
Viernes
4:00
454.7
451.4
450.9
455.8
451.1
452.6
448.5
454.4
452.2
448.9
455.3
453.9
454.0
452.8
455.5
453.8
455.7
451.8
451.2
452.8
455.3
452.4
452.3
452.3
454.2
452.9
451.5
455.8
451.1
453.8
452.4
454.3
455.7
455.3
455.4
453.7
450.7
452.5
454.1
454.2
PROBLEMAS SUPLEMENTARIOS 501
Usar el método visto en el problema 18.4 para estimar la desviación estándar conjuntando las varianzas de las 20 muestras.
Usar esta estimación para hallar los límites de control de la gráfica X-barra. ¿Se encuentra alguna de las 20 medias de
los subgrupos fuera de los límites de control?
18.18 Los límites de control en la gráfica R de los datos de la tabla 18.14 son LCL = 0 y UCL = 8.205. ¿Se encuentra alguno de
los rangos de los subgrupos fuera de los límites 3 sigma?
18.19 El proceso del problema 18.17 mediante el cual se llenan paquetes de ejotes de 1 lb se modifica con objeto de reducir la
variabilidad de los pesos de los paquetes. Después de haber empleado esta modificación durante algún tiempo, se vuelven
a recolectar los datos de toda una semana y se grafican los rangos de los nuevos subgrupos usando los límites de control
dados en el problema 18.18. En la tabla 18.15 se presentan los nuevos datos. ¿Parece haberse reducido a la variabilidad? Si
se ha reducido la variabilidad, encontrar nuevos límites de control para la gráfica X empleando los datos de la tabla
18.15.
Tabla 18.15
Lunes
10:00
Lunes
12:00
Lunes
2:00
Lunes
4:00
Martes
10:00
Martes
12:00
Martes
2:00
Martes
4:00
Miércoles
10:00
Miércoles
12:00
454.9
452.7
457.0
454.2
454.2
453.6
454.4
453.9
454.4
453.6
453.6
454.3
454.7
453.9
454.6
453.9
454.3
454.2
454.2
453.4
454.2
452.8
453.3
453.3
454.6
454.5
454.3
454.9
453.6
453.2
453.6
453.1
454.4
455.0
454.6
454.1
454.6
454.1
453.3
454.3
Miércoles
2:00
Miércoles
4:00
Jueves
10:00
Jueves
12:00
Jueves
2:00
Jueves
4:00
Viernes
10:00
Viernes
12:00
Viernes
2:00
Viernes
4:00
453.0
454.0
452.9
454.2
453.9
454.2
454.3
454.7
453.8
453.3
454.1
454.7
455.1
453.3
454.7
453.9
454.2
453.0
453.8
453.9
454.4
452.6
454.9
454.2
455.1
454.6
454.1
454.6
455.7
452.8
453.8
454.9
452.2
453.7
454.4
454.5
455.4
452.8
454.7
455.1
PRUEBAS PARA CAUSAS ESPECIALES
18.20 Los operadores que hacen ajustes a las máquinas continuamente son un problema en los procesos industriales. La tabla
18.16 contiene un conjunto de datos (20 muestras cada una de tamaño 5) en las que éste es el caso. Encontrar los límites de
control de la gráfica X-barra, elaborar la gráfica X-barra y hacer las ocho pruebas para causas especiales dadas en la tabla
18.3.
Tabla 18.16
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
2.006
1.994
1.981
2.000
1.997
2.001
1.982
1.996
1.972
2.006
1.993
1.989
2.012
2.025
2.027
1.983
1.983
1.991
1.970
2.001
2.003
2.024
2.005
1.996
2.009
1.977
1.966
1.996
1.985
1.991
1.972
1.988
2.001
2.026
2.014
1.998
1.992
2.005
1.985
1.966
2.015
2.000
2.026
2.006
2.012
1.985
1.983
1.994
2.010
2.031
502 CAPÍTULO 18 CONTROL ESTADÍSTICO DE PROCESOS Y CAPACIDAD DE PROCESOS
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
2.010
1.986
2.004
2.000
2.012
1.982
1.985
1.997
1.991
1.979
2.002
2.011
2.002
2.014
2.013
1.993
1.978
1.982
2.005
1.999
2.024
2.015
2.029
2.016
1.999
1.980
2.004
2.006
2.007
1.982
2.008
1.975
2.024
1.990
1.996
1.982
2.025
1.972
1.981
1.984
2.017
1.982
2.004
2.029
2.004
1.992
1.997
2.010
1.990
2.003
CAPACIDAD DE PROCESOS
18.21 Supóngase que los límites de especificación para los paquetes de comida congelada del problema 18.17 son LSL = 450 g
y USL = 458 g. Usar las estimaciones de µ y σ obtenidas en el problema 18.17 para hallar C PK . Estimar también las ppm
que no satisfacen las especificaciones.
18.22 En el problema 18.21, calcular el C PK y estimar las ppm de no conformes después de las modificaciones hechas en el problema
18.19.
GRÁFICAS P Y NP
18.23 Una empresa produce fusibles para el sistema eléctrico de los automóviles. A lo largo de 30 días se prueban 500 fusibles
por día. En la tabla 18.17 se presenta la cantidad de fusibles defectuosos hallados por día. Determinar la línea central y los
límites superior e inferior de control de la gráfica P. ¿Parece estar el proceso bajo control estadístico? Si el proceso está
bajo control estadístico, dar una estimación puntual de las tasas de ppm de defectuosos.
Tabla 18.17
Día 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
# de defectuosos 3 3 3 3 1 1 1 1 6 1
Día 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
# de defectuosos 1 1 5 4 6 3 6 2 7 3
Día 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
# de defectuosos 2 3 6 1 2 3 1 4 4 5
18.24 Supóngase que en el problema 18.23, el fabricante de fusibles decide usar una gráfica NP en lugar de una gráfica P. Encontrar
la línea central y los límites superior e inferior de control de esta gráfica.
18.25 Scottie Long, el gerente del departamento de carnes de una cadena grande de supermercados, desea saber cuál es el porcentaje
de paquetes de carne para hamburguesa que muestran ligera decoloración. Cada día se inspeccionan varios paquetes
y se anota el número de ellos que muestra una pequeña decoloración. Estos datos se presentan en la tabla 18.18.
Proporcionar los límites escalonados superiores de control de estos 20 subgrupos.
PROBLEMAS SUPLEMENTARIOS 503
Tabla 18.18
Día
Tamaño del
subgrupo
Cantidad de
decolorados
Porcentaje de
decolorados
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
100
150
100
200
200
150
100
100
150
200
100
200
150
200
150
200
150
150
150
150
1
1
0
1
1
0
0
0
0
2
1
1
3
2
1
1
4
0
0
2
1.00
0.67
0.00
0.50
0.50
0.00
0.00
0.00
0.00
1.00
1.00
0.50
2.00
1.00
0.67
0.50
2.67
0.00
0.00
1.33
OTRAS GRÁFICAS DE CONTROL
18.26 Antes de revisar este problema, leer el problema 18.11. Durante 24 horas se lee cada hora la temperatura de un horno que
se usa para elaborar pan. La temperatura de horneado es crítica en el proceso y el horno trabaja sin interrupción a lo largo
de todos los turnos. Estos datos se presentan en la tabla 18.19. Para vigilar la temperatura del proceso se emplea una gráfica
de mediciones individuales. Encontrar la línea central y los rangos móviles correspondientes al uso de pares adyacentes
de mediciones. ¿Cómo se encuentran los límites de control?
Tabla 18.19
Hora 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Temperatura 350.0 350.0 349.8 350.4 349.6 350.0 349.7 349.8 349.4 349.8 350.7 350.9
Hora 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24
Temperatura 349.8 350.3 348.8 351.6 350.0 349.7 349.8 348.6 350.5 350.3 349.1 350.0
18.27 Antes de revisar este problema, leer el problema 18.12. Usar MINITAB para elaborar una gráfica EWMA con los datos de
la tabla 18.14. Usando como valor objetivo 454 g, ¿qué indica esta gráfica respecto al proceso?
18.28 Antes de revisar este problema, leer el problema 18.13 que se refiere a las gráficas de zonas. Con los datos de la tabla 18.16,
elaborar una gráfica de zonas. ¿Indica la gráfica de zonas que haya algunas situaciones fuera de control? ¿Qué deficiencia
de las gráficas de zonas muestra este problema?
504 CAPÍTULO 18 CONTROL ESTADÍSTICO DE PROCESOS Y CAPACIDAD DE PROCESOS
18.29 Antes de revisar este problema, leer el problema 18.15. Dar los límites de control escalonados de la gráfica U del problema
18.15.
18.30 En el control de calidad se emplean también las gráficas de Pareto. Una gráfica de Pareto es una gráfica de barras en la que
se enumeran los defectos observados en orden descendente. Los defectos que se encuentran con mayor frecuencia aparecen
primero en la lista, seguidos por aquellos que se encuentran con menos frecuencia. Usando estas gráficas se pueden identificar
áreas de problema para corregir aquellas causas a las que se debe el mayor porcentaje de defectos. En mascarillas
para respiración inspeccionadas durante cierto tiempo, se encontraron los siguientes defectos: decoloración, tirante faltante,
abolladuras, roturas y agujeros. En la tabla 18.20 se muestran los resultados.
Tabla 18.20
decoloración decoloración decoloración
tirante tirante tirante
decoloración abolladura tirante
decoloración tirante decoloración
tirante decoloración decoloración
decoloración decoloración abolladura
decoloración abolladura ruptura
ruptura agujero decoloración
abolladura decoloración agujero
decoloración ruptura ruptura
En la figura 18-13 se presenta una gráfica de Pareto generada con MINITAB. Los datos que aparecen en la tabla 18.20
se ingresan en la columna 1 de la hoja de cálculo. La secuencia para elaborar esta gráfica es la siguiente: “Stat → Quality
tools → Pareto charts”. De acuerdo con la gráfica de Pareto, ¿a qué tipo de defecto debe dársele mayor atención? ¿Cuáles
son los dos tipos de defectos a los que debe dárseles mayor atención?
Cuenta
30
25
20
15
10
5
Gráfica de Pareto para defectos
100
80
60
40
20
Porcentaje
0
defecto
Cuenta
Porcentaje
% acum.
decoloración
14
46.7
46.7
tirante
6
20.0
66.7
abolladura
4
13.3
80.0
ruptura
4
13.3
93.3
agujero
2
6.7
100.0
Figura 18-13 Defectos en mascarillas para respiración.
0
RESPUESTAS A
LOS PROBLEMAS
SUPLEMENTARIOS
CAPÍTULO 1
1.46 a) continua; b) continua; c) discreta; d ) discreta; e) discreta.
1.47 a) Desde cero en adelante; continua. b) 2, 3, . . .; discreta.
c) Soltero, casado, divorciado, separado, viudo; discreta. d ) Desde cero en adelante; continua.
e) 0, 1, 2, . . .; discreta.
1.48 a) 3 300; b) 5.8; c) 0.004; d ) 46.74; e) 126.00; f ) 4 000 000; g) 148; h) 0.000099; i) 2 180; j) 43.88.
1.49 a) 1 325 000; b) 0.0041872; c) 0.0000280; d ) 7 300 000 000; e) 0.0003487; f ) 18.50.
1.50 a) 3; b) 4; c) 7; d ) 3; e) 8; f ) una cantidad ilimitada; g) 3; h) 3; i) 4; j) 5.
1.51 a) 0.005 millones de bu o 5 000 bu; tres. b) 0.000000005 cm o 5 × 10 −9 cm; cuatro. c) 0.5 ft; cuatro.
d ) 0.05 × 10 8 m o bien 5 × 10 6 m; dos. e) 0.5 mi/s; seis. f ) 0.5 millares de mi/s o bien 500 mi/s; tres.
1.52 a) 3.17 × 10 −4 ; b) 4.280 × 10 8 ; c) 2.160000 × 10 4 ; d ) 9.810 × 10 −6 ; e) 7.32 × 10 5 ; f ) 1.80 × 10 −3 .
1.53 a) 374; b) 14.0.
1.54 a) 280 (dos cifras significativas), 2.8 centenas o 2.8 × 10 2 ; b) 178.9;
c) 250 000 (tres cifras significativas), 250 millares o 2.50 × 10 5 ; d ) 53.0; e) 5.461; f ) 9.05;
g) 11.54; h) 5 745 000 (cuatro cifras significativas), 5 745 millares, 5.745 millones o 5.745 × 10 6 ; i) 1.2;
j) 4 157.
505
506 RESPUESTAS A LOS PROBLEMAS SUPLEMENTARIOS
1.55 a) −11; b) 2; c) 35 8 o bien 4.375; d ) 21; e) 3; f ) −16; g) pffiffiffiffiffi
p 98 o 9.89961 aproximadamente;
h) −7/ ffiffiffiffiffi
pffiffiffiffiffi
34 o bien −1.20049 aproximadamente; i) 32; j) 10/ 17 o bien 2.42536 aproximadamente.
1.56 a) 22, 18, 14, 10, 6, p 2, −2, −6 y −10; b) 19.6, 16.4, 13.2, 2.8, −0.8, −4 y −8.4;
c) −1.2, 30, 10 − 4 ffiffi
2 = 4.34 aproximadamente y 10 + 4π = 22.57 aproximadamente;
d ) 3, 1, 5, 2.1, −1.5, 2.5 y 0; e) X = 1 (10 − Y ).
4
1.57 a) −5; b) −24; c) 8.
1.58 a) −8; b) 4; c) −16.
1.76 a) −4; b) 2; c) 5; d ) 3 ; e) 1; f ) −7.
4
1.77 a) a = 3, b = 4; b) a = −2, b = 6; c) X = −0.2, Y = −1.2;
d ) A = 184
110
7
= 26.28571 aproximadamente, B =
7
= 15.71429 aproximadamente; e) a = 2, b = 3, c = 5;
f ) X = −1, Y = 3, Z = −2; g) U = 0.4, V = −0.8, W = 0.3.
1.78 b) (2, −3); es decir, X = 2, Y = −3.
1.79 a) 2, −2.5; b) 2.1 y −0.8 aproximadamente.
1.80 a) 4 p ffiffiffiffiffi
76
o bien 2.12 y −0.79 aproximadamente.
6
b) 2 y −2.5.
c) 0.549 y −2.549 aproximadamente.
p
8 ffiffiffiffiffiffiffiffiffi
36
d )
¼ 8 p ffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffiffi
36 1
¼
8 6i
p
¼ 4 3i, donde i ¼ ffiffiffiffiffiffi
1 .
2
2
2
Estas raíces son números complejos y no se mostrarán cuando se emplee un procedimiento gráfico.
1.81 a) −6.15 < −4.3 < −1.5 < 1.52 < 2.37; b) 2.37 > 1.52 > −1.5 > −4.3 > −6.15.
1.82 a) 30 ≤ N ≤ 50; b) S ≥ 7; c) −4 ≤ X < 3; d ) P ≤ 5; e) X − Y > 2.
1.83 a) X ≥ 4; b) X > 3; c) N < 5; d ) Y ≤ 1; e) −8 ≤ X ≤ 7; f ) −1.8 ≤ N < 3; g) 2 ≤ a < 22.
1.84 a) 1; b) 2; c) 3; d ) −1; e) −2.
1.85 a) 1.0000; b) 2.3026; c) 4.6052; d ) 6.9076; e) −2.3026.
1.86 a) 1; b) 2; c) 3; d ) 4; e) 5.
1.87 Debajo de cada respuesta se muestra el comando de EXCEL.
1.160964 1.974636 2.9974102 1.068622 1.056642
¼LOG(5,4) ¼LOG(24,5) ¼LOG(215,6) ¼LOG(8,7) ¼LOG(9,8)
1.88 > evalf(log[4](5)); 1.160964047
> evalf(log[5](24)); 1.974635869
> evalf(log[6](215)); 2.997410155
> evalf(log[7](8)); 1.068621561
> evalf(log[8](9)); 1.056641667
!
1.89 ln a3 b 4 !
c 5 ¼ 3ln(a) þ 4ln(b) 5ln(c)
1.90 log xyz
w 3 ¼ log(x) þ log(y) þ log(z) 3log(w)
RESPUESTAS A LOS PROBLEMAS SUPLEMENTARIOS 507
!
1.91 5ln(a) 4ln(b) þ ln(c) þ ln(d) ¼ ln a5 cd
b 4 .
1.92
1.93 104/3.
log(u) þ log(v) þ log(w) 2log(x) 3log(y) 4log(z) ¼ log
1.94 2, −5/3.
1.95
pffiffiffi
pffiffi
5 7
2 2 i y 5
2 þ 7
2 i.
1.96 165.13.
1.97 471.71.
1.98 402.14.
1.99 2.363.
1.100 0.617.
uvw
x 2 y 3 z 4 .
CAPÍTULO 2
2.19 b) 62.
2.20 a) 799; b) 1 000; c) 949.5; d ) 1 099.5 y 1 199.5; e) 100 (horas); f ) 76;
= 0.155 o 15.5%; h) 29.5%; i) 19.0%; j) 78.0%.
g) 62
400
2.25 a) 24%; b) 11%; c) 46%.
2.26 a) 0.003 in; b) 0.3195, 0.3225, 0.3255, . . . , 0.3375 in.
c) 0.320-0.322, 0.323-0.325, 0.326-0.328, . . . , 0.335-0.337 in.
2.31 a) Cada una es de 5 años; b) cuatro (aunque estrictamente hablando el tamaño de la última clase no está especificado);
c) uno; d ) (85-94); e) 7 años y 17 años; f ) 14.5 años y 19.5 años; g) 49.3% y 87.3%; h) 45.1%;
i) no se puede determinar.
2.33 19.3, 19.3, 19.1, 18.6, 17.5, 19.1, 21.5, 22.5, 20.7, 18.3, 14.0, 11.4, 10.1, 18.6, 11.4 y 3.7. (Esto no suma 265 millones
debido a los errores de redondeo en los porcentajes.)
2.34 b) 0.295, c) 0.19; d ) 0.
CAPÍTULO 3
3.47 a) X 1 þ X 2 þ X 3 þ X 4 þ 8
b) f 1 X1 2 þ f 2 X2 2 þ f 3 X3 2 þ f 4 X4 2 þ f 5 X5
2
c) U 1 ðU 1 þ 6ÞþU 2 ðU 2 þ 6ÞþU 3 ðU 3 þ 6Þ
d ) Y1 2 þ Y2 2 þþYN
2 4N
e) 4X 1 Y 1 þ 4Y 2 Y 2 þ 4X 3 Y 3 þ 4X 4 Y 4 :
3.48 a) X3
j¼1
ðX j þ 3Þ 3 ;
b) X15
j¼1
f j ðY j aÞ 2 ; c) XN
ð2X j 3Y j Þ;
j¼1
508 RESPUESTAS A LOS PROBLEMAS SUPLEMENTARIOS
d ) X8
j¼1
X 2
j
1 ; e)
Y j
X 12
j¼1
X 12
j¼1
f j a 2 j
f j
.
3.51 a) 20; b) −37; c) 53; d ) 6; e) 226; f ) −62; g) 25
12 .
3.52 a) −1; b) 23.
3.53 86.
3.54 0.50 s.
3.55 8.25.
3.56 a) 82; b) 79.
3.57 78.
3.58 66.7% varones y 33.3% mujeres.
3.59 11.09 tons.
3.60 501.0
3.61 0.72642 cm.
3.62 26.2.
3.63 715 min.
3.64 b) 1.7349 cm.
3.65 a) media = 5.4, mediana = 5; b) media = 19.91, mediana = 19.85.
3.66 85.
3.67 0.51 s.
3.68 8.
3.69 11.07 tons.
3.70 490.6.
3.71 0.72638 cm.
3.72 25.4.
3.73 Aproximadamente 78.3 años.
3.74 35.7 años.
3.75 708.3 min.
RESPUESTAS A LOS PROBLEMAS SUPLEMENTARIOS 509
3.76 a) Media = 8.9, mediana = 9, moda = 7.
b) Media = 6.4, mediana = 6. Como cada uno de los números 4, 5, 6, 8 y 10 se presentan dos veces, se puede considerar
que éstos son cinco modas; sin embargo, en este caso es más razonable concluir que no hay moda.
3.77 No existe una puntuación modal.
3.78 0.53 s.
3.79 10.
3.80 11.06 tons.
3.81 462.
3.82 0.72632 cm.
3.83 23.5.
3.84 668.7 min.
3.85 a) 35-39; b) 75 a 84.
3.86 a) Empleando la fórmula (9), moda = 11.1 Empleando la fórmula (10), moda = 11.3
b) Empleando la fórmula (9), moda = 0.7264 Empleando la fórmula (10), moda = 0.7263
c) Empleando la fórmula (9), moda = 23.5 Empleando la fórmula (10), moda = 23.8
d ) Empleando la fórmula (9), moda = 668.7 Empleando la fórmula (10), moda = 694.9.
3.88 a) 8.4; b) 4.23.
3.89 a) G = 8; b) X = 12.4.
3.90 a) 4.14; b) 45.8.
3.91 a) 11.07 tons; b) 499.5.
3.92 18.9%.
3.93 a) 1.01%; b) 238.2 millones; c) 276.9 millones.
3.94 $1 586.87.
3.95 $1 608.44.
3.96 3.6 y 14.4.
3.97 a) 3.0; b) 4.48.
3.98 a) 3; b) 0; c) 0.
3.100 a) 11.04; b) 498.2.
3.101 38.3 mi/h.
3.102 b) 420 mi/h.
510 RESPUESTAS A LOS PROBLEMAS SUPLEMENTARIOS
3.104 a) 25; b) 3.55.
3.107 a) Cuartil inferior = Q 1 = 67, cuartil intermedio = Q 2 = mediana = 75 y cuartil superior = Q 3 = 83.
b) 25% obtuvo 67 o menos (o 75% obtuvo 67 o más), 50% obtuvo 75 o menos (o 50% obtuvo 75 o más) y 75% obtuvo 83
o menos (o 25% obtuvo 83 o más).
3.108 a) Q 1 = 10.55 tons, Q 2 = 11.07 tons y Q 3 = 11.57 tons; b) Q 1 = 469.3, Q 2 = 490.6 y Q 3 = 523.3.
3.109 Media aritmética, mediana, moda, Q 2 , P 50 y D 5 .
3.110 a) 10.15 tons; b) 11.78 tons; c) 10.55 tons; d ) 11.57 tons.
3.112 a) 83; b) 64.
CAPÍTULO 4
4.33 a) 9; b) 4.273.
4.34 4.0 tons.
4.35 0.0036 cm.
4.36 7.88 kg.
4.37 20 semanas.
4.38
p ffiffi
a) 18.2; b) 3.58; c) 6.21; d ) 0; e) 2 = 1.414 aproximadamente; f ) 1.88.
4.39 a) 2; b) 0.85.
4.40 a) 2.2; b) 1.317.
4.41 0.576 ton.
4.42 a) 0.00437 cm; b) 60.0%, 85.2% y 96.4%.
4.43 a) 3.0; b) 2.8.
4.44 a) 31.2; b) 30.6.
4.45 a) 6.0; b) 6.0.
4.46 4.21 semanas.
4.48 a) 0.51 ton; b) 27.0; c) 12.
4.49 3.5 semanas.
4.52 a) 1.63 tons; b) 33.6 o 34.
4.53 El rango percentil 10-90 es igual a $189 500 y el 80% de los precios de venta se encuentran en el intervalo $130 250 ±
$94 750.
4.56 a) 2.16; b) 0.90; c) 0.484.
RESPUESTAS A LOS PROBLEMAS SUPLEMENTARIOS 511
4.58 45.
4.59 a) 0.733 ton; b) 38.60; c) 12.1.
4.61 a) X = 2.47; b) s = 1.11.
4.62 s = 5.2 y rango/4 = 5.
4.63 a) 0.00576 cm; b) 72.1%, 93.3% y 99.76%.
4.64 a) 0.719 ton; b) 38.24; c) 11.8.
4.65 a) 0.000569 cm; b) 71.6%, 93.0% y 99.68%.
4.66 a) 146.8 lb y 12.9 lb.
4.67 a) 1.7349 cm y 0.00495 cm.
4.74 a) 15; b) 12.
4.75 a) Estadística; b) álgebra.
4.76 a) 6.6%; b) 19.0%.
4.77 0.15.
4.78 0.20.
4.79 Álgebra.
4.80 0.19, −1.75, 1.17, 0.68, −0.29.
CAPÍTULO 5
5.15 a) 6; b) 40; c) 288; d ) 2 188.
5.16 a) 0; b) 4; c) 0; d ) 25.86.
5.17 a) −1; b) 5; c) −91; d ) 53.
5.19 0, 26.25, 0, 1 193.1.
5.21 7.
5.22 a) 0, 6, 19, 42; b) −4, 22, −117, 560; c) 1, 7, 38, 155.
5.23 0, 0.2344, −0.0586, 0.0696.
5.25 a) m 1 = 0, b) m 2 = pq; c) m 3 = pq(q − p); d ) m 4 = pq(p 2 − pq + q 2 ).
5.27 m 1 = 0, m 2 = 5.97, m 3 = −0.397, m 4 = 89.22.
5.29 m 1 (corregido) = 0, m 2 (corregido) = 5.440, m 3 (corregido) = −0.5920, m 4 (corregido) = 76.2332.
512 RESPUESTAS A LOS PROBLEMAS SUPLEMENTARIOS
5.30 a) m 1 = 0, m 2 = 0.53743, m 3 = 0.36206, m 4 = 0.84914;
b) m 2 (corregido) = 0.51660, m 4 (corregido) = 0.78378.
5.31 a) 0; b) 52.95; c) 92.35; d ) 7 158.20; e) 26.2; f ) 7.28; g) 739.58; h) 22 247; i) 706 428;
j) 24 545.
5.32 a) −0.2464; b) −0.2464.
5.33 0.9190.
5.34 La primera distribución.
5.35 a) 0.040; b) 0.074.
5.36 a) −0.02; b) −0.13.
5.37
Distribución
Coeficiente de asimetría (o sesgo) de Pearson 1 2 3
Primer coeficiente
Segundo coeficiente
0.770
1.094
1
0
−0.770
−1.094
5.38 a) 2.62; b) 2.58.
5.39 a) 2.94; b) 2.94.
5.40 a) La segunda; b) la primera.
5.41 a) La segunda; b) ninguna; c) la primera.
5.42 a) Mayor que 1 875; b) igual a 1 875; c) menor que 1 875.
5.43 a) 0.313.
CAPÍTULO 6
6.40 a) 5
26 ; b) 5 36 ; c) 0.98; d ) 2 9 ; e) 7 8 .
6.41 a) Probabilidad de obtener un rey en la primera extracción, pero no en la segunda extracción.
b) Probabilidad de obtener un rey, ya sea en la primera extracción, en la segunda extracción o en ambas.
c) No obtener rey en la primera extracción o no obtener rey en la segunda o en ninguna (es decir, no obtener rey ni en la
primera extracción ni en la segunda extracción).
d ) Probabilidad de obtener un rey en la tercera extracción dado que se obtuvo rey en la primea extracción pero no en la
segunda extracción.
e) No obtener rey en la primera ni en la segunda ni en la tercera extracción.
f ) Probabilidad de obtener rey en la primera y en la segunda extracción o no obtener rey en la segunda extracción pero sí
en la tercera extracción.
6.42 a) 1 3 ; b) 3 11
5
; c)
15 ; d ) 2 5 ; e) 4 5 .
6.43 a) 4
25 ; b) 4 16
75
; c)
25 ; d ) 64 11
225
; e)
15 ; f ) 1 104 221
5
; g)
225
; h)
225 ; i) 6 52
25
; j)
6.44 a) 29
185 ; b) 2 118
37
; c)
185 ; d ) 52 11
185
; e)
15 ; f ) 1 86 182
5
; g)
185
; h)
185 ; i) 9 26
37
; j)
225 .
111 .
RESPUESTAS A LOS PROBLEMAS SUPLEMENTARIOS 513
6.45 a) 5 11
18
; b)
36 ; c) 1 36 .
6.46 a) 47 16 15
52
; b)
221
; c)
34 ; d ) 13 210
17
; e)
221 ; f ) 10 40 77
13
; g)
51
; h)
6.47
5
18 .
6.48 a) 81:44; b) 21:4.
6.49
19
42 .
6.50 a) 2 5 ; b) 1 5 ; c) 4
15 ; d ) 13
15 .
6.51 a) 37.5%; b) 93.75%; c) 6.25%; d ) 68.75%.
442 .
6.52 a) X 0 1 2 3 4
p(X )
1
16
4
16
6
16
4
16
1
16
6.53 a) 1 48 ; b) 7
24 ; c) 3 4 ; d ) 1 6 .
6.54 a) X 0 1 2 3
p(X )
1
6
1
2
3
10
1
30
6.55 a) X 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18
6.56 $9.
p(X )* 1 3 6 10 15 21 25 27 27 25 21 15 10 6 3 1
*Todos los valores de p(x) tienen un divisor de 216.
b) 0.532407.
6.57 $4.80 por día.
6.58 A contribuye con $12.50; B contribuye con $7.50.
6.59 a) 7; b) 590; c) 541; d ) 10 900.
6.60
pffiffiffiffiffiffiffiffiffi
a) 1.2; b) 0.56; c) 0:56 = 0.75 aproximadamente.
6.63 10.5.
6.64 a) 12; b) 2 520; c) 720;
d ) =PERMUT(4,2), =PERMUT(7,5), =PERMUT(10,3).
6.65 n = 5.
6.66 60.
6.67 a) 5 040; b) 720; c) 240.
6.68 a) 8 400; b) 2 520.
6.69 a) 32 805; b) 11 664.
514 RESPUESTAS A LOS PROBLEMAS SUPLEMENTARIOS
6.70 26.
6.71 a) 120; b) 72; c) 12.
6.72 a) 35; b) 70; c) 45.
d ) =COMBIN(7,3), =COMBIN(8,4), =COMBIN(10,8).
6.73 n = 6.
6.74 210.
6.75 840.
6.76 a) 42 000; b) 7 000.
6.77 a) 120; b) 12 600.
6.78 a) 150; b) 45; c) 100.
6.79 a) 17; b) 163.
6.81 2.95 × 10 25 .
6 22 169
6.83 a)
5 525
; b)
425
; c)
425 ; d ) 73
6.84
171
1 296 .
5 525 .
6.85 a) 0.59049; b) 0.32805; c) 0.08866.
6.86 b) 3 4 ; c) 7 8 .
6.87 a) 8; b) 78; c) 86; d ) 102; e) 20; f ) 142.
6.90
1
3 .
6.91 1/3 838 380 (es decir, las posibilidades en contra de ganar son 3 838 379 contra 1).
6.92 a) 658 007 a 1; b) 91 389 a 1; c) 9 879 a 1.
6.93 a) 649 739 a 1; b) 71 192 a 1; c) 4 164 a 1; d ) 693 a 1.
6.94
11
36 .
6.95
1
4 .
6.96
X 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
p(X)* 1 3 6 10 12 12 10 5 3 1
*Todos los valores de p(x) tienen un divisor de 64.
6.97 7.5
6.98 70%.
RESPUESTAS A LOS PROBLEMAS SUPLEMENTARIOS 515
6.99 (0.5)(0.01) + (0.3)(0.02) + (0.2)(0.03) = 0.017.
6.100
0:2ð0:03Þ
¼ 0:35.
0:017
CAPÍTULO 7
7.35 a) 5 040; b) 210; c) 126; d ) 165; e) 6.
7.36 a) q 7 + 7q 6 p + 21q 5 p 2 + 35q 4 p 3 + 35q 3 p 4 + 21q 2 p 5 + 7qp 6 + p 7
b) q 10 + 10q 9 p + 45q 8 p 2 + 120q 7 p 3 + 210q 6 p 4 + 252q 5 p 5 + 210q 4 p 6 + 120q 3 p 7 + 45p 2 p 8 + 10qp 9 + p 10
7.37 a) 1 64 ; b) 3 15
32
; c)
64 ; d ) 5 15
16
; e)
64 ; f ) 3
32 ; g) 1 64 ;
h) Función de densidad de probabilidad
Binomial with n = 6 and p = 0.5
X P(X = x )
0 0.015625
1 0.093750
2 0.234375
3 0.312500
4 0.234375
5 0.093750
6 0.015625
7.38 a) 57 21
64
; b)
32 ;
c ) 1–BINOMDIST(1,6,0.5,1) o bien 0.890625, =BINOMDIST(3,6,0.5,1) = 0.65625.
7.39 a) 1 4 ; b) 5 11
16
; c)
16 ; d ) 5 8 .
7.40 a) 250; b) 25; c) 500.
7.41 a) 17
162 ; b) 1
324 .
7.42
64
243 .
7.43
193
512 .
7.44 a) 32
243
e)
192 40
; b)
243
; c)
243 ; d ) 242
243 ;
a 0.131691 =BINOMDIST(5,5,0.66667,0)
b 0.790128 =1-BINOMDIST(2,5,0.66667,1)
c 0.164606 =BINOMDIST(2,5,0.66667,0)
d 0.995885 =1-BINOMDIST(0,5,0.66667,0).
7.45 a) 42; b) 3.550; c) −0.1127; d ) 2.927.
7.47 a) Npq(q − p); b) Npq(1 − 6pq) + 3N 2 p 2 q 2 .
7.49 a) 1.5 y −1.6; b) 72 y 90.
7.50 a) 75.4; b) 9.
516 RESPUESTAS A LOS PROBLEMAS SUPLEMENTARIOS
7.51 a) 0.8767; b) 0.0786; c) 0.2991;
d )
a 0.8767328 =NORMSDIST(2.4)-NORMSDIST(-1.2)
b 0.0786066 =NORMSDIST(1.87)-NORMSDIST(1.23)
c 0.2991508 =NORMSDIST(-0.5)-NORMSDIST(-2.35).
7.52 a) 0.0375; b) 0.7123; c) 0.9265; d ) 0.0154; e) 0.7251; f ) 0.0395;
g)
a 0.037538 =NORMSDIST(-1.78)
b 0.7122603 =NORMSDIST(0.56)
c 0.9264707 =1-NORMSDIST(-1.45)
d 0.0153863 =1-NORMSDIST(2.16)
e 0.7251362 =NORMSDIST(1.53)-NORMSDIST(-0.8)
f 0.0394927 =NORMSDIST(-2.52)+(1-NORMSDIST(1.83)).
7.53 a) 0.9495; b) 0.9500; c) 0.6826.
7.54 a) 0.75; b) −1.86; c) 2.08; d ) 1.625 o bien 0.849; e) ±1.645.
7.55 −0.995.
7.56 a) 0.0317; b) 0.3790; c) 0.1989;
d )
a 0.03174 =NORMDIST(2.25,0,1,0)
b 0.37903 =NORMDIST(-0.32,0,1,0)
c 0.19886 =NORMDIST(-1.18,0,1,0).
7.57 a) 4.78%; b) 25.25%; c) 58.89%.
7.58 a) 2.28%; b) 68.27%; c) 0.14%.
7.59 84.
7.60 a) 61.7%; b) 54.7%.
7.61 a) 95.4%; b) 23.0%; c) 93.3%.
7.62 a) 1.15; b) 0.77.
7.63 a) 0.9962; b) 0.0687; c) 0.0286; d ) 0.0558.
7.64 a) 0.2511; b) 0.1342.
7.65 a) 0.0567; b) 0.9198; c) 0.6404; d ) 0.0079.
7.66 0.0089.
7.67 a) 0.04979; b) 0.1494; c) 0.2241; d ) 0.2241; e) 0.1680; f ) 0.1008.
7.68 a) 0.0838; b) 0.5976; c) 0.4232.
7.69 a) 0.05610; b) 0.06131.
7.70 a) 0.00248; b) 0.04462; c) 0.1607; d ) 0.1033; e) 0.6964; f ) 0.0620.
RESPUESTAS A LOS PROBLEMAS SUPLEMENTARIOS 517
7.71 a) 0.08208; b) 0.2052; c) 0.2565; d ) 0.2138; e) 0.8911; f ) 0.0142.
7.72 a)
5
3 888 ; b) 5
324 .
7.73 a) 0.0348; b) 0.000295.
7.74
1
16 .
7.75 pðXÞ ¼ð 4 X Þð0:32ÞX ð0:68Þ 4 X . Las frecuencias esperadas son 32, 60, 43, 13 y 2, respectivamente.
7.76
15
Histograma
Frecuencias
10
5
0
0 4 8 12 16 20
Horas
El histograma muestra un sesgo en los datos, lo que indica que no hay normalidad.
La prueba de Shapiro-Wilt de STATISTIX indica que no hay normalidad.
7.77 El histograma de STATISTIX indica claramente normalidad.
6
Histograma
Frecuencias
4
2
0
8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
Horas
518 RESPUESTAS A LOS PROBLEMAS SUPLEMENTARIOS
Con la secuencia “Statistics ⇒ Randomness/Normality Tests ⇒ Normality Probability Plot” se obtiene la gráfica
siguiente. Si los datos provienen de una población distribuida normalmente, los puntos de la gráfica tienden a caer en una
línea recta y P(W ) tiende a ser mayor que 0.05. Si P(W) < 0.05, por lo general se rechaza que haya normalidad.
18
Gráfica de horas de probabilidad normal
16
Datos ordenados
14
12
10
–3 –2 –1 0 1 2 3
Puntuaciones
30 casos Shapiro-Wil, W 0.9768 P(W) 0.7360
Arriba se muestra la gráfica para probabilidad normal. Se muestra el estadístico de Shapiro-Wilk junto con el valor p.
P(W) = 0.7360. Como el valor p es considerablemente mayor que 0.05, no se rechaza la normalidad de los datos.
7.78 El siguiente histograma de las puntuaciones de examen de la tabla 7.11, obtenido con STATISTIX, tiene forma de U. Por
lo tanto, se le conoce como distribución en forma de U.
5
Histograma
4
Frecuencias
3
2
1
0
0
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
Puntuaciones
RESPUESTAS A LOS PROBLEMAS SUPLEMENTARIOS 519
Esta gráfica se obtiene con la secuencia “Statistics ⇒ Randomness/Normality Tests ⇒ Normality Probability Plot”. Si
los datos provienen de una población distribuida normalmente, los puntos de la gráfica tienden a caer en una línea recta y
P(W) tiende a ser mayor que 0.05. Si P(W ) < 0.05, por lo general se rechaza que haya normalidad.
90
Gráfica de probabilidad normal para las puntuaciones
Datos ordenados
60
30
0
–3 –2 –1 0 1 2 3
Puntuaciones
30 casos Shapiro-Wilk, W 0.8837 P(W) 0.0034
Arriba se muestra la gráfica para probabilidad normal. Se muestra el estadístico de Shapiro-Wilk junto con el valor p P(W)
= 0.0034. Como el valor p es menor que 0.05, se rechaza la normalidad de los datos.
7.79 Además de la prueba de Kolgomorov-Smirnov de MINITAB y de la prueba de Shapiro-Wilk de STATISTIX, hay otras dos
pruebas para la normalidad, que se verán aquí. Éstas son la prueba de Ryan-Joiner y la prueba de Anderson-Darling.
Básicamente las cuatro pruebas calculan un estadístico de prueba y cada estadístico tiene un correspondiente valor p. Por
lo general se sigue la regla siguiente. Si el valor p es < 0.05, se rechaza la normalidad. La gráfica siguiente se obtiene al
hacer la prueba de Anderson-Darling. En este caso, el valor p es 0.006 y se rechazará la hipótesis de que los datos provienen
de una distribución normal.
99
Gráfica de probabilidad de puntuaciones
Normal
Porcentaje
95
90
80
70
60
50
40
30
20
10
5
Media 50
DesvEst 29.94
N 30
AD 1.109
Valor P 0.006
1
0
30
60
Puntuaciones
90
120
520 RESPUESTAS A LOS PROBLEMAS SUPLEMENTARIOS
Obsérvese que si se emplea la prueba de Ryan-Joiner no se rechaza la normalidad.
99
Gráfica de probabilidad de puntuaciones
Normal
95
90
Porcentaje
80
70
60
50
40
30
20
10
5
1
0
30
60
Puntuaciones
Media 50
DesvEst 29.94
N 30
RJ 0.981
Valor P > 0.100
90
120
7.80 pðXÞ ¼ ð0:61ÞX e 0:61
. Las frecuencias esperadas son 108.7, 66.3, 20.2, 4.1 y 0.7, respectivamente.
X!
CAPÍTULO 8
8.21 a) 9.0; b) 4.47; c) 9.0; d ) 3.16.
8.22 a) 9.0; b) 4.47; c) 9.0; d ) 2.58.
8.23 a) X = 22.40 g, X = 0.008 g; b) X = 22.40 g, X = un poco menos de 0.008 g.
8.24 a) X = 22.40 g, X = 0.008 g; b) X = 22.40 g, X = 0.0057 g.
8.25 a) 237; b) 2; c) ninguna; d ) 34.
8.26 a) 0.4972; b) 0.1587; c) 0.0918; d ) 0.9544.
8.27 a) 0.8164; b) 0.0228; c) 0.0038; d ) 1.0000.
8.28 0.0026.
8.34 a) 0.0029; b) 0.9596; c) 0.1446.
8.35 a) 2; b) 996; c) 218.
8.36 a) 0.0179; b) 0.8664; c) 0.1841.
8.37 a) 6; b) 9; c) 2; d ) 12.
8.39 a) 19; b) 125.
8.40 a) 0.0077; b) 0.8869.
RESPUESTAS A LOS PROBLEMAS SUPLEMENTARIOS 521
8.41 a) 0.0028; b) 0.9172.
8.42 a) 0.2150; b) 0.0064; c) 0.4504.
8.43 0.0482.
8.44 0.0188.
8.45 0.0410.
8.47 a) 118.79 g; b) 0.74 g.
8.48 0.0228.
8.49 µ = 12 y σ 2 = 10.8.
A B C D
primera segunda media probabilidad
6 6 6 0.01
6 9 7.5 0.02
6 12 9 0.04
6 15 10.5 0.02
6 18 12 0.01
9 6 7.5 0.02
9 9 9 0.04
9 12 10.5 0.08
9 15 12 0.04
9 18 13.5 0.02
12 6 9 0.04
12 9 10.5 0.08
12 12 12 0.16
12 15 13.5 0.08
12 18 15 0.04
15 6 10.5 0.02
15 9 12 0.04
15 12 13.5 0.08
15 15 15 0.04
15 18 16.5 0.02
18 6 12 0.01
18 9 13.5 0.02
18 12 15 0.04
18 15 16.5 0.02
18 18 18 0.01
1
8.50 Distribución de probabilidad de X-barra para n = 2.
D E F G H
probabilidad xbarra p(xbarra)
0.01 6 0.01 D2
0.02 7.5 0.04 D3+D7
522 RESPUESTAS A LOS PROBLEMAS SUPLEMENTARIOS
0.04 9 0.12 D4+D8+D12
0.02 10.5 0.2 D5+D9+D13+D17
0.01 12 0.26 D6+D10+D14+D18+D22
0.02 13.5 0.2 D11+D15+D19+D23
0.04 15 0.12 D16+D20+D24
0.08 16.5 0.04 D21+D25
0.04 18 0.01 D26
0.02 1 SUM(G2:G10)
0.04
0.08
0.16
0.08
0.04
0.02
0.04
0.08
0.04
0.02
0.01
0.02
0.04
0.02
0.01
0.3
0.25
0.2
0.15
0.1
0.005
0
0 5 10 15 20
x-barra
8.51 Media(x-barra) = 12 Var (x-barra) = 5.4.
8.52
xbarra P(xbarra)
6 0.001
7 0.006
8 0.024
9 0.062
RESPUESTAS A LOS PROBLEMAS SUPLEMENTARIOS 523
10 0.123
11 0.18
12 0.208
13 0.18
14 0.123
15 0.062
16 0.024
17 0.006
18 0.001
0.25
0.2
0.15
0.1
0.05
0
5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
x-barra
CAPÍTULO 9
9.21 a) 9.5 kg; b) 0.74 kg 2 ; c) 0.78 kg y 0.86 kg, respectivamente.
9.22 a) 1 200 h; b) 105.4 h.
9.23 a) Las estimaciones de las desviaciones estándar con muestras de tamaño 30, 50 y 100 cinescopios son 101.7 h, 101.0 h y
100.5 h, respectivamente; las estimaciones de las medias poblacionales son 1 200 h en todos los casos.
9.24 a) 11.09 ± 0.18 tons; b) 11.09 ± 0.24 tons.
9.25 a) 0.72642 ± 0.000095 in; b) 0.72642 ± 0.000085 in; c) 0.72642 ± 0.000072 in; d ) 0.72642 ± 0.000060 in.
9.26 a) 0.72642 ± 0.000025 in; b) 0.000025 in.
9.27 a) Por lo menos 97; b) por lo menos 68; c) por lo menos 167; d ) por lo menos 225.
9.28 Intervalo de confianza de 80% para la media: (286.064, 332.856).
9.29 a) 2 400 ± 45 lb, 2 400 ± 59 lb; b) 87.6%.
9.30 a) 0.70 ± 0.12, 0.69 ± 0.11; b) 0.70 ± 0.15, 0.68 ± 0.15; c) 0.70 ± 0.18, 0.67 ± 0.17.
524 RESPUESTAS A LOS PROBLEMAS SUPLEMENTARIOS
9.31 Intervalo de confianza de 97.5% para la diferencia: (0.352477, 0.421523).
9.32 a) 16 400; b) 27 100; c) 38 420; d ) 66 000.
9.33 a) 1.07 ± 0.09 h; b) 1.07 ± 0.12 h.
9.34 Intervalo de confianza de 85% para la diferencia: (−7.99550, −0.20948).
9.35 Intervalo de confianza de 95% para la diferencia: (−0.0918959, −0.00610414).
9.36 a) 180 ± 24.9 lb; b) 180 ± 32.8 lb; c) 180 ± 38.2 lb.
9.37
One Sample Chi-square Test for a Variance
Sample Statistics for volume
N Mean Std. Dev. Variance
-------------------------------------
20 180.65 1.4677 2.1542
99% Confidence Interval for the variance
Lower Limit Upper Limit
-------- ----------
1.06085 5.98045
9.38
Two Sample Test for variances of units within line
Sample Statistics
line
Group N Mean Std. Dev. Variance Varinace
----------------------------------------- --
1 13 104.9231 12.189 148.5769
2 15 101.2667 5.5737 31.06667
95% Confidence Interval of the Ratio of Two Variances
Lower Limit Upper Limit
--------- ----------
1.568 15.334
CAPÍTULO 10
10.29 a) 0.2604.
b) 0.1302 Zona de aceptación 0.1302
0 27 37 64
α = 0.1302 + 0.1302.
RESPUESTAS A LOS PROBLEMAS SUPLEMENTARIOS 525
10.30 a) Rechazar la hipótesis nula si X ≤ 21 o X ≥ 43, donde X = número de canicas rojas extraídas; b) 0.99186; c) rechazar si
X ≤ 23 o X ≥ 41.
10.31 a) H o : p = 0.5 H a : p > 0.5; b) prueba de una cola; c) rechazar la hipótesis nula si X ≥ 40; d ) rechazar la hipótesis nula si
X ≥ 41.
10.32 a) Para dos colas, valor p = 2*(1–BINOMDIST(22,100,0.16666,1) = 0.126 > 0.05. Al nivel de significancia 0.05,
no se rechaza la hipótesis nula.
b) Para una cola, valor p = 1–BINOMDIST(22,100,0.16666,1) = 0.063 > 0.05. Al nivel de significancia 0.05, no
se rechaza la hipótesis nula.
10.33 Empleando ya sea una prueba de una cola o una prueba de dos colas, al nivel de significancia 0.01 no se puede rechazar la
hipótesis.
10.34 H o : p ≥ 0.95 H a : p < 0.95
Valor p = P{X ≤ 182 de 200 piezas cuando p = 0.95} = BINOMDIST(182,200,0.95,1) = 0.012. No se rechaza a
0.01, pero se rechaza a 0.05
10.35 Estadístico de prueba = 2.63, valores críticos ±1.7805, se rechaza la hipótesis nula.
10.36 Estadístico de prueba = −3.39, valor crítico para 0.10 es −1.28155, valor crítico para 0.025 es −1.96. El resultado es
significativo a α = 0.10 y α = 0.025.
10.37 Estadístico de prueba = 6.46, valor crítico = 1.8808, se concluye que µ > 25.5.
10.38 =NORMSINV(0.9) = 1.2815 para α = 0.1, =NORMSINV(0.99) = 2.3263 para α = 0.01 y =NORMSINV(0.999)
= 3.0902 para α = 0.001.
10.39 valor p = P{X ≤ 3} + P{X ≥ 12} = 0.0352.
10.40 valor p = P{Z < −2.63} + P{Z > 2.63} = 0.0085.
10.41 valor p = P{Z < −3.39} = 0.00035.
10.42 valor p = P{Z > 6.46} = 5.23515E-11.
10.43 a) 8.64 ± 0.96 oz; b) 8.64 ± 0.83 oz; c) 8.64 ± 0.63 oz.
10.44 Los límites superiores de control son: a) 12 y b) 10.
10.45 Estadístico de prueba = −5.59, valor p = 0.000. Se rechaza la hipótesis nula ya que el valor p < α.
10.46 Estadístico de prueba = −1.58, valor p = 0.059. Para α = 0.05 no se rechaza, para α = 0.10 sí se rechaza.
10.47 Estadístico de prueba = −1.73, valor p = 0.042. Para α = 0.05 se rechaza, para α = 0.01 no se rechaza.
10.48 Con una prueba de una cola se observa que, a ambos niveles de significancia, el nuevo fertilizante es mejor.
10.49 a) Estadístico de prueba = 1.35, valor p = 0.176, no se puede rechazar la hipótesis nula a α = 0.05.
b) Estadístico de prueba = 1.35, valor p = 0.088, no se puede rechazar la hipótesis nula a α = 0.05.
10.50 a) Estadístico de prueba = 1.81, valor p = 0.07, no se puede rechazar la hipótesis nula a α = 0.05.
b) Estadístico de prueba = 1.81, valor p = 0.0035, se rechaza la hipótesis nula a α = 0.05.
10.51 =1–BINOMDIST(10,15,0.5,1) o bien 0.059235.
526 RESPUESTAS A LOS PROBLEMAS SUPLEMENTARIOS
10.52 =BINOMDIST(2,20,0.5,1) + 1–BINOMDIST(17,20,0.5,1)o 0.000402.
10.53 =BINOMDIST(10,15,0.6,1)o 0.7827.
10.54 =BINOMDIST(17,20,0.9,1)–BINOMDIST(2,20,0.9,1)o 0.3231.
10.55 El valor p se obtiene con =1–BINOMDIST(9,15,0.5,1) que da 0.1509. No se rechaza la hipótesis nula porque el valor
de α = 0.0592 y el valor p no es menor que α.
10.56 α=BINOMDIST(4,20,0.5,1) + 1–BINOMDIST(15,20,0.5,1)o bien 0.0118
valor p =BINOMDIST(3,20,0.5,1) + 1–BINOMDIST(16,20,0.5,1)o bien 0.0026.
Se rechaza la hipótesis nula dado que el valor p < α.
10.57 =1–BINOMDIST(3,30,0.03,1)o bien 0.0119.
10.58 =BINOMDIST(3,30,0.04,1)o bien 0.9694.
10.59 α=1–BINOMDIST(5,20,0.16667,1)o bien 0.1018
valor p =1–BINOMDIST(6,20,0.16667,1)o bien 0.0371.
CAPÍTULO 11
11.20 a) 2.60; b) 1.75; c) 1.34; d ) 2.95; e) 2.13.
11.21 a) 3.75; b) 2.68; c) 2.48; d ) 2.39; e) 2.33.
a) =TINV(0.02,4)o bien 3.7469; b) 2.6810; c) 2.4851; d ) 2.3901; e) 3.3515.
11.22 a) 1.71; b) 2.09; c) 4.03; d ) −0.128.
11.23 a) 1.81; b) 2.76; c) −0.879; d ) −1.37.
11.24 a) ±4.60; b) ±3.06; c) ±2.79; d ) ±2.75; e) ±2.70.
11.25 a) 7.38 ± 0.79; b) 7.38 ± 1.11.
c) (6.59214,8.16786)(6.26825,8.49175).
11.26 a) 7.38 ± 0.70; b) 7.38 ± 0.92.
11.27 a) 0.289 ± 0.030 segundos; b) 0.298 ± 0.049 segundos.
11.28 Con una prueba de dos colas se observa que no hay evidencia, ni al nivel 0.05 ni al nivel 0.01, que indiquen que el tiempo
medio de vida ha variado.
11.29 Con una prueba de una cola se observa que no hay disminución en la media al nivel 0.05 ni al nivel 0.01.
11.30 Con una prueba de dos colas se observa que el producto no satisface las especificaciones requeridas.
11.31 Con una prueba de una cola se observa, a ambos niveles, que el contenido de cobre es superior al requerido por las especificaciones.
11.32 Con una prueba de una cola se observa que la nueva máquina debe introducirse si el nivel de significancia que se adopte es
0.01, pero no debe introducirse si el nivel de significancia que se adopte es 0.05.
11.33 Con una prueba de una cola se observa que la marca A es mejor que la marca B al nivel de significancia 0.05.
RESPUESTAS A LOS PROBLEMAS SUPLEMENTARIOS 527
11.34 Empleando una prueba de dos colas, al nivel de significancia 0.05, de acuerdo con las muestras no se puede concluir que
haya diferencia entre la acidez de las dos soluciones.
11.35 Empleando una prueba de una cola, al nivel de significancia 0.05 se concluye que el primer grupo no es mejor que el
segundo.
11.36 a) 21.0; b) 26.2; c) 23.3; d ) =CHIINV(0.05,12)o bien 21.0261 =CHIINV(0.01,12)o bien 26.2170
=CHIINV(0.025,12)o bien 23.3367.
11.37 a) 15.5; b) 30.1; c) 41.3; d ) 55.8.
11.38 a) 20.1; b) 36.2; c) 48.3; d ) 63.7.
11.39 a) 2 1 = 9.59 y 2 2 = 34.2.
11.40 a) 16.0; b) 6.35; c) suponiendo áreas iguales en ambas colas, 2 1 = 2.17 y 2 2 = 14.1.
11.41 a) 87.0 a 230.9 h; b) 78.1 a 288.5 h.
11.42 a) 95.6 a 170.4 h; b) 88.9 a 190.8 h.
11.43 a) 122.5; b) 179.2; c) =CHIINV(0.95,150)o bien 122.6918; d ) =CHIINV(0.05,150)o bien 179.5806.
11.44 a) 207.7; b) 295.2; c) =CHIINV(0.975,250)o bien 208.0978; d ) =CHIINV(0.025,250)o bien 295.6886.
11.46 a) 106.1 a 140.5 h; b) 102.1 a 148.1 h.
11.47 105.5 a 139.6 h.
11.48 Con base en las muestras dadas, el aparente aumento de la variabilidad no es significativo a ninguno de los dos niveles.
11.49 La disminución aparente de la variabilidad es significativa al nivel 0.05, pero no al nivel 0.01.
11.50 a) 3.07; b) 4.02; c) 2.11; d ) 2.83.
11.51 a) =FINV(0.05,8,10)o bien 3.0717; b) =FINV(0.01,24,11)o bien 4.0209;
c) =FINV(0.05,15,24)o bien 2.1077; d ) =FINV(0.01,20,22)o bien 2.8274.
11.52 Al nivel 0.05, la varianza de la muestra 1 es significativamente mayor, pero al nivel 0.01, no.
11.53 a) Sí; b) no.
CAPÍTULO 12
12.26 La hipótesis no puede rechazarse a ninguno de los dos niveles.
12.27 La conclusión es la misma que antes.
12.28 El nuevo profesor no sigue el patrón de notas de los otros profesores. (El que las notas sean mejores que el promedio puede
deberse a una mejor capacidad para enseñar o a un estándar inferior, o ambas cosas.)
528 RESPUESTAS A LOS PROBLEMAS SUPLEMENTARIOS
12.29 No hay razón para rechazar la hipótesis de que la moneda no esté cargada.
12.30 No hay razón para rechazar la hipótesis a ninguno de los dos niveles.
12.31 a) 10, 50 y 60, respectivamente;
b) al nivel de significancia 0.05 no se puede rechazar la hipótesis de que los resultados sean los esperados.
12.32 Al nivel de significancia 0.05, la diferencia es significativa.
12.33 a) El ajuste es bueno; b) no.
12.34 a) El ajuste es “muy bueno”; b) al nivel 0.05, el ajuste no es bueno.
12.35 a) Al nivel 0.05 el ajuste es muy malo; dado que la distribución binomial da un buen ajuste a los datos, esto coincide con
el problema 12.33.
b) El ajuste es bueno, pero no “muy bueno”.
12.36 Al nivel 0.05 se puede rechazar la hipótesis, pero no al nivel 0.01.
12.37 La conclusión es la misma que antes.
12.38 La hipótesis no se puede rechazar a ninguno de los dos niveles.
12.39 La hipótesis no se puede rechazar al nivel 0.05.
12.40 La hipótesis se puede rechazar a los dos niveles.
12.41 La hipótesis se puede rechazar a los dos niveles.
12.42 La hipótesis no se puede rechazar a ninguno de los dos niveles.
12.49 a) 0.3863 (no corregido) y 0.3779 (con la corrección de Yate).
12.50 a) 0.2205, 0.1985 (corregido); b) 0.0872, 0.0738 (corregido).
12.51 0.4651.
12.54 a) 0.4188, 0.4082 (corregido).
12.55 a) 0.2261, 0.2026 (corregido); b) 0.0875, 0.0740 (corregido).
12.56 0.3715.
CAPÍTULO 13
13.24 a) 4; b) 6; c) 28 3
; d ) 10.5; e) 6; f ) 9.
13.25 (2, 1).
13.26 a) 2X + Y = 4; b) intersección con el eje X = 2, intersección con el eje Y = 4; c) −2, −6.
13.27 Y = 2 X − 3 o bien 2X − 3Y = 9.
3
RESPUESTAS A LOS PROBLEMAS SUPLEMENTARIOS 529
13.28 a) Pendiente = 3 5
, intersección con el eje Y = −4; b) 3X − 5Y = 11.
4
13.29 a)
3 ; b) 32 3
; c) 4X + 3Y = 32.
13.30 X/3 + Y/(−5) = 1 o bien 5X − 3Y = 15.
13.31 a) F = 9 5
C + 32; b) 176F; c) 20C.
1
13.32 a) Y
3 + 5 7 X , o bien Y 0.333 + 0.714X ; b) X = 1 + 9 7
Y , o bien X = 1.00 + 1.29Y.
13.33 a) 3.24; 8.24; b) 10.00.
13.35 b) Y = 29.13 + 0.661X; c) X = −14.39 + 1.15Y; d ) 79; e) 95.
13.36 a) y b).
14.4
Gráfica de análisis de tendencia para la tasa de natalidad
Modelo de tendencia lineal
Y t = 14.3714 – 0.0571429* t
14.3
Tasa de natalidad
14.2
14.1
14.0
13.9
1
2
3
4
Índice
5
6
7
c)
Año Tasa de natalidad Valor ajustado Residual
1998
1999
2000
2001
2002
2003
2004
14.3
14.2
14.4
14.1
13.9
14.1
14.0
14.3143
14.2571
14.2000
14.1429
14.0857
14.0286
13.9714
−0.014286
−0.057143
−0.200000
−0.042857
−0.185714
−0.071429
−0.028571
d ) 14.3714−0.0571429(13) = 13.6.
530 RESPUESTAS A LOS PROBLEMAS SUPLEMENTARIOS
13.37 a) y b)
5 200
5 000
4 800
Gráfica de análisis de tendencia para el número
Modelo de tendencia lineal
Y t = 3 951.43 + 156.357* t
Número
4 600
4 400
4 200
4 000
1
2
3
4
Índice
5
6
7
c)
Año Número Valor ajustado Residual
1999
2000
2001
2002
2003
2004
2005
4 154
4 240
4 418
4 547
4 716
4 867
5 096
4 107.79
4 264.14
4 420.50
4 576.86
4 733.21
4 889.57
5 045.93
−46.2143
−24.1429
−2.5000
−29.8571
−17.2143
−22.5714
−50.0714
d ) 3 951.43 + 156.357(12) = 5 827.7.
13.38 Y = 5.51 + 3.20(X − 3) + 0.733(X − 3) 2 o bien Y = 2.51 − 1.20X + 0.733X 2 .
13.39 b) D = 41.77 − 1.096V + 0.08786V 2 ; c) 170 ft, 516 ft.
RESPUESTAS A LOS PROBLEMAS SUPLEMENTARIOS 531
13.40
a)
Gráfica de la recta ajustada
Diferencia = –0.863 – 0.8725 tiempo codificado
0
–1
Diferencia
–2
–3
–4
–5
–6
–7
0
1
2
3 4
Tiempo codificado
5
6
7
b) Gráfica cuadrática ajustada
(c)
Diferencia = 1.215 – 3.098 tiempo codificado
+ 0.3345 tiempo codificado**2
Diferencia
2
1
0
–1
–2
–3
–4
–5
–6
–7
0
1
2 3 4
Tiempo codificado
5
6
7
Diferencia
Gráfica cúbica ajustada
Diferencia = 0.6124 – 1.321 tiempo codificado
–0.4008 tiempo codificado**2 + 0.07539 tiempo codificado**3
1
0
–1
–2
–3
–4
–5
–6
–7
0
1 2 3 4
Tiempo codificado
5
6
7
d )
Modelo lineal Modelo cuadrático Modelo cúbico
Año Residual Ajustado Residual Ajustado Residual Ajustado
1940
1950
1960
1970
1980
1990
2000
2005
−1.363
−0.836
−0.092
−1.919
−2.047
−1.074
−0.798
−2.134
0.863
1.736
0.092
1.919
2.047
1.074
6.098
6.534
−0.715
−0.649
−0.943
−0.332
−0.575
−0.388
−0.030
−0.388
−1.215
−1.549
−3.643
−5.068
−5.825
−5.912
−5.330
−4.788
−0.112
−0.134
−0.330
−0.476
−0.139
−0.292
−0.162
−0.191
SSQ = 16.782 SSQ = 2.565 SSQ = 0.533
−0.612
−1.034
−3.030
−4.924
−6.261
−6.592
−5.462
−4.209
e)
Lineal: −0.863 − 0.8725(7) = −6.97
Cuadrático: −1.215 − 3.098(7) + 0.3345(7 2 ) = −4.08
Cúbico: −0.6124 − 1.321(7) − 0.4008(49) + 0.0754(343) = −2.41.
532 RESPUESTAS A LOS PROBLEMAS SUPLEMENTARIOS
13.41 b) Proporción = 0.965 + 0.0148 año codificado.
c)
Año
Año
codificado Hombre Mujer Proporción
Valor
ajustado
Residual
1920 0 53.90 51.81 0.96 0.97 −0.00
1930 1 62.14 60.64 0.98 0.98 −0.00
1940 2 66.06 65.61 0.99 0.99 −0.00
1950 3 75.19 76.14 1.01 1.01 −0.00
1960 4 88.33 90.99 1.03 1.02 −0.01
1970 5 98.93 104.31 1.05 1.04 −0.01
1980 6 110.05 116.49 1.06 1.05 −0.00
1990 7 121.24 127.47 1.05 1.07 −0.02
d ) Proporción pronosticada = 1.08. Proporción real = 1.04.
13.42 b) Diferencia = −2.63 + 1.35 x + 0.0064 xcuadrada.
d ) La diferencia pronosticada para 1995 es −2.63 + 1.35(7.5) + 0.0064(56.25) = 7.86.
13.43 b) Y = 32.14(1.427) X o bien Y = 32.14(10) 0.1544X o bien Y = 32.14e 0.3556X , donde e = 2.718··· es la base logarítmica natural.
d ) 387.
CAPÍTULO 14
14.40 b) Y = 4.000 + 0.500X; c) X = 2.408 + 0.612Y.
14.41 a) 1.304; b) 1.443.
14.42 a) 24.50; b) 17.00; c) 7.50.
14.43 0.5533.
14.44 Usando EXCEL la solución es =CORREL(A2:A11,B2:B11)que es 0.553.
14.45 1.5.
14.46 a) 0.8961; b) Y = 80.78 + 1.138X; c) 132.
14.47 a) 0.958; b) 0.872.
14.48 a) Y = 0.8X + 12; b) X = 0.45Y + 1.
14.49 a) 1.60; b) 1.20.
RESPUESTAS A LOS PROBLEMAS SUPLEMENTARIOS 533
14.50 ±0.80.
14.51 75%.
14.53 En los dos incisos se obtiene la misma respuesta, a saber −0.9203.
14.54 a) Y = 18.04 − 1.34X, Y = 51.18 − 2.01X.
14.58 0.5440.
14.59 a) Y = 4.44X − 142.22; b) 141.9 lb y 177.5 lb, respectivamente.
14.60 a) 16.92 lb; b) 2.07 in.
14.62 Correlación de Pearson entre C1 y C2 = 0.957.
14.63 Correlación de Pearson entre C1 y C2 = 0.582.
14.64 a) Sí; b) no.
14.65 a) No; b) sí.
14.66 a) 0.2923 y 0.7951; b) 0.1763 y 0.8361.
14.67 a) 0.3912 y 0.7500; b) 0.3146 y 0.7861.
14.68 a) 0.7096 y 0.9653; b) 0.4961 y 0.7235.
14.69 a) Sí; b) no.
14.70 a) 2.00 ± 0.21; b) 2.00 ± 0.28.
14.71 a) Usando una prueba de una cola, se puede rechazar la hipótesis.
b) Usando una prueba de una cola, no se puede rechazar la hipótesis.
14.72 a) 37.0 ± 3.28; b) 37.0 ± 4.45.
14.73 a) 37.0 ± 0.69; b) 37.0 ± 0.94.
14.74 a) 1.138 ± 0.398; b) 132.0 ± 16.6; c) 132.0 ± 5.4.
CAPÍTULO 15
15.26 a) X 3 = b 3.12 + b 31.2 X 1 + b 32.1 X 2 ; b) X 4 = b 4.1235 + b 41.235 X 1 + b 42.135 X 2 + b 43.125 X 3 .
15.28 a) X 3 = 61.40 − 3.65X 1 + 2.54X 2 ; b) 40.
15.29 a) X 3 − 74 = 4.36(X 1 − 6.8) + 4.04(X 2 − 7.0) o bien X 3 = 16.07 + 4.36X 1 + 4.04X 2 ; b) 84 y 66.
15.30 En todos los casos se han resumido los resultados.
534 RESPUESTAS A LOS PROBLEMAS SUPLEMENTARIOS
EXCEL
Price Bedrooms Baths SUMMARY
OUTPUT
165 3 2
200 3 3 Regression Statistics
225 4 3 Multiple R 0.877519262
180 2 3 R Square 0.770040055
202 4 2 Adjusted R Square 0.704337213
250 4 4 Standard Error 25.62718211
275 3 4 Observations 10
300 5 3 Coefficients
155 2 2 Intercept 32.94827586
230 4 4 Bedrooms 28.64655172
Baths 29.28448276
MINITAB
Análisis de regresión: precio contra recámaras, baños
The regression equation is
Price ¼ 32.9 þ 28.6 Bedrooms þ 29.3 Baths
R-Sq ¼ 77.0% R-Sq(adj) ¼ 70.4%
SAS
Root MSE 25.62718 R-Square 0.7700
Dependent Mean 218.20000 Adj R-Sq 0.7043
Coeff Var 11.74481
Parameter Estimates
Parameter Standard
Variable Label DF Estimate Error t Value Pr 4 |t|
Intercept Intercept 1 32.94828 39.24247 0.84 0.4289
Bedrooms Bedrooms 1 28.64655 9.21547 3.11 0.0171
Baths Baths 1 29.28448 10.90389 2.69 0.0313
SPSS
Coeficientes sin
estandarizar
Coeficientes a
Coeficientes
estandarizados
Modelo B Error estándar Beta t Sig.
1 (Constante)
Recámaras
Baños
a Variable dependiente: Precio
32.948
28.647
29.284
39.242
9.215
10.904
.587
.507
.840
3.109
2.686
.429
.017
.031
RESPUESTAS A LOS PROBLEMAS SUPLEMENTARIOS 535
15.31 3.12.
STATISTIX
Statistix 8.0
Unweighted Least Squares Linear Regression of Price
Predictor
Variables Coefficients Std Error T P VIF
Constant 32.9483 39.2425 0.84 0.4289
Bedrooms 28.6466 9.21547 3.11 0.0171 1.1
Baths 29.2845 10.9039 2.69 0.0313 1.1
R-Squared 0.7700
Estimated Price = 32.9 + 28.6(5) + 29.3(4) = 293.1 thousand.
15.32 a) 5.883; b) 0.6882.
15.33 0.9927.
15.34 a) 0.7567; b) 0.7255; c) 0.6710.
15.37 Se usa la secuencia “Statistics ⇒ Linear models ⇒ Partial Correlations”. Se llena la siguiente ventana de diálogo
como se muestra.
Se obtienen los resultados siguientes.
Statistix 8.0
Partial Correlations with X1
Controlled for X3
X2 0.5950
536 RESPUESTAS A LOS PROBLEMAS SUPLEMENTARIOS
De igual manera, se encuentra que:
Statistix 8.0
Partial Correlations with X1
Controlled for X2
X3 -0.8995
y
Statistix 8.0
Partial Correlations with X2
Controlled for X1
X3 0.8727
15.38 a) 0.2672; b) 0.5099; c) 0.4026.
15.42 a) X 4 = 6X 1 + 3X 2 − 4X 3 − 100; b) 54.
15.43 a) 0.8710; b) 0.8587; c) −0.8426.
15.44 a) 0.8947; b) 2.680.
15.45 Con cualquiera de las soluciones siguientes se obtendrán los mismos coeficientes que resolviendo las ecuaciones normales.
En EXCEL se usa la secuencia “Tools ⇒ Data analysis ⇒ Regression” para hallar la ecuación de regresión, así
como otras medidas de regresión. La parte de los resultados a partir de la cual se obtiene la ecuación de regresión es la
siguiente:
Intersección
Fumador
Alcohol
Ejercicio
Alimentación
Peso
Edad
Coeficientes
–25.3355
–302.904
–4.57069
–60.8839
–36.8586
16.76998
–9.52833
En MINITAB se emplea la secuencia “Stat ⇒ Regression ⇒ Regression” para hallar la ecuación de regresión. La
parte de los resultados a partir de la cual se encuentra la ecuación de regresión es la siguiente.
Análisis de regresión: Medcost versus fumador, alcohol, . . .
The regression equation is
Medcost ¼ 25 303 smoker 4.6 alcohol 60.9 Exercise 37 Dietary þ 16.8 weight
9.53 Age
Predictor Coef SE Coef T P
Constant 25.3 644.8 0.04 0.970
smoker 302.9 256.1 1.18 0.271
alcohol 4.57 11.89 0.38 0.711
Exercise 60.88 19.75 3.08 0.015
RESPUESTAS A LOS PROBLEMAS SUPLEMENTARIOS 537
Dietary 36.9 104.0 0.35 0.732
weight 16.770 3.561 4.71 0.002
Age 9.528 9.571 1.00 0.349
En SAS se emplea la secuencia “Statistics ⇒ Regression ⇒ Linear” para hallar la ecuación de regresión. La parte
de los resultados a partir de la cual se encuentra la ecuación de regresión es la siguiente.
The REG Procedure
Model: MODEL1
Dependent Variable: Medcost Medcost
Number of Observations Read 16
Number of Observations Used 15
Number of Observations with Missing Values 1
Root MSE 224.41971 R-Square 0.9029
Dependent Mean 2461.80000 Adj R-Sq 0.8301
Coeff Var 9.11608
Parameter Estimates
Variable Label DF Parameter Standard t value Pr 4 |t|
Estimate Error
Intercept Intercept 1 25.33552 644.84408 0.04 0.9696
smoker smoker 1 302.90395 256.11003 1.18 0.2709
alcohol alcohol 1 4.57069 11.88579 0.38 0.7106
Exercise Exercise 1 60.88386 19.75371 3.08 0.0151
Dietary Dietary 1 36.85858 104.04736 0.35 0.7323
weight weight 1 16.76998 3.56074 4.71 0.0015
Age Age 1 9.52833 9.57104 1.00 0.3486
En SPSS se emplea la secuencia “Analysis ⇒ Regression ⇒ Linear” para hallar la ecuación de regresión. La parte
de los resultados a partir de la cual se encuentra la ecuación de regresión es la siguiente. Ver bajo la columna de coeficientes
no estandarizados.
Coeficientes a
Coeficientes no
estandarizados
Coeficientes
estandarizados
Modelo B Error estándar Beta t Sig.
1 (Constante)
fumador
alcohol
ejercicio
dieta
peso
edad
–25.336
–302.904
–4.571
–60.884
–36.859
–16.770
–9.528
644.844
256.110
11.886
19.754
104.047
3.561
9.571
–.287
–.080
–.553
–.044
–.927
–.124
–.039
–1.183
–.385
–3.082
–.354
4.710
–.996
.970
.271
.711
.015
.732
.002
.049
a Variable dependiente: medcost
En STATISTIX se emplea la secuencia “Statistics ⇒ Linear models ⇒ Linear regression” para hallar la ecuación
de regresión. La parte de los resultados a partir de la cual se encuentra la ecuación de regresión es la siguiente. Ver bajo la
columna de coeficientes.
538 RESPUESTAS A LOS PROBLEMAS SUPLEMENTARIOS
Statistix 8.0
Unweighted Least Squares Linear Regression of Medcost
Predictor
Variables Coefficient Std Error T P VIF
Constant 25.3355 644.844 0.04 0.9696
Age 9.52833 9.57104 1.00 0.3486 1.3
Dietary 36.8586 104.047 0.35 0.7323 1.3
Exercise 60.8839 19.7537 3.08 0.0151 2.6
alcohol 4.57069 11.8858 0.38 0.7106 3.6
smoker 302.904 256.110 1.18 0.2709 4.9
weight 16.7700 3.56074 4.71 0.0015 3.2
CAPÍTULO 16
16.21 A los niveles de significancia 0.05 y 0.01 no hay diferencia significativa entre las cinco variedades. El análisis proporcionado
por MINITAB es el siguiente:
One-way ANOVA: A, B, C, D, E
Source DF SS MS F P
Factor 4 27.2 6.8 0.65 0.638
Error 15 157.8 10.5
Total 19 185.0
S = 3.243 R-Sq = 14.71% R-Sq(adj) = 0.00%
Individual 95% CIs For Mean Based on
Pooled StDev
Level N Mean StDev ---+--------+--------+-------+-----
A 4 16.500 3.697 (- ----------*-------–--)
B 4 14.500 2.082 (- ----------*-------–--)
C 4 17.750 3.862 (- ----------*-------–--)
D 4 16.000 3.367 (- ----------*-------–--)
E 4 17.500 2.887 (- ----------*-------–--)
---+--------+--------+-------+-----
12.0 15.0 18.0 21.0
16.22 A los niveles de significancia 0.05 y 0.01 no hay diferencia entre los cuatro tipos de neumáticos. El análisis proporcionado
por STATISTIX es el siguiente:
Statistix 8.0
Completely Randomized AOV for Mileage
Source DF SS MS F P
Type 3 77.500 25.8333 2.39 0.0992
Error 20 216.333 10.8167
Total 23 293.833
Grand Mean 34.083 CV 9.65
Chi-Sq DF P
Bartlett’s Test of Equal Variances 4.13 3 0.2476
Cochran’s Q 0.5177
Largest Var / Smallest Var 6.4000
RESPUESTAS A LOS PROBLEMAS SUPLEMENTARIOS 539
Component of variance for between groups 2.50278
Effective cell size 6.0
Type Mean
A 35.500
B 36.000
C 33.333
D 31.500
16.23 Al nivel de significancia 0.05 sí hay diferencia entre los tres métodos de enseñanza, pero no al nivel 0.01. El análisis proporcionado
por EXCEL es el siguiente:
MétodoI MétodoII MétodoIII
75 81 73
62 85 79
71 68 60
58 92 75
73 90 81
Análisis de varianza de un factor
RESUMEN
Grupos Cuenta Suma Promedio Varianza
MétodoI
MétodoII
MétodoIII
5
5
5
339
416
368
67.8
83.2
73.6
54.7
90.7
67.8
Análisis de varianza
Origen de las
variaciones SS df MS F Valor p
Entre grupos
Dentro de los grupos
604.9333
852.8
2
12
Total 1 457.733 14
302.4667
71.06667
4.265098 0.040088
16.24 Al nivel de significancia 0.05 sí hay diferencia entre las cinco marcas, pero no al nivel 0.01. El análisis proporcionado por
SPSS es el siguiente:
mpg
Entre grupos
En los grupos
Total
ANÁLISIS DE VARIANZA
Suma de
cuadrados df Cuadrado medio F Sig.
52.621
44.617
97.238
4
16
20
13.155
2.789
4.718 .010
16.25 A los dos niveles hay diferencia entre las cuatro materias. El análisis proporcionado por SAS es el siguiente:
The ANOVA Procedure
Class Level Information
Class Levels Values
Subject 4 1 2 3 4
Number of Observations Read 16
Number of Observations Used 16
540 RESPUESTAS A LOS PROBLEMAS SUPLEMENTARIOS
The ANOVA Procedure
Dependent Variable: Grade
Sum of
Source DF Squares Mean Square F Value Pr 4 F
Model 3 365.5708333 121.8569444 7.35 0.0047
Error 12 198.8666667 16.5722222
Corrected Total 15 564.4375000
16.26 Al nivel de significancia 0.05 no hay diferencia ni entre los operadores ni entre las máquinas. A continuación se presenta
el análisis proporcionado por MINITAB.
Two-way ANOVA: Number versus Machine, Operator
Source DF SS MS F P
Machine 2 56 28.0 4.31 0.101
Operator 2 6 3.0 0.46 0.660
Error 4 26 6.5
Total 8 88
S = 2.550 R-Sq = 70.45% R-Sq(adj) = 40.91%
16.27 Al nivel de significancia 0.01 no hay diferencia ni entre los operadores ni entre las máquinas. A continuación se presenta
el análisis proporcionado por EXCEL. Comparar el análisis de EXCEL con el proporcionado por MINITAB en el problema
anterior.
Máquina1
Máquina2
Máquina3
Operador1 Operador2 Operador3
23
27
24
34
30
28
28
25
27
Análisis de varianza de dos factores con una sola muestra por grupo
RESUMEN Cuenta Suma Promedio Varianza
Fila 1
Fila 2
Fila 3
Columna 1
Columna 2
Columna 3
3
3
3
3
3
3
74
92
80
85
82
79
24.66667
30.66667
26.66667
28.33333
27.33333
26.33333
4.333333
9.333333
2.333333
30.33333
6.333333
4.333333
Análisis de varianza
Origen de las
variaciones SS df MS F Valor p
Filas
Columnas
Error
56
6
26
2
2
4
Total 88 8
28
3
6.5
4.307692
0.461538
0.100535
0.660156
16.28 Al valor p en SPSS se le llama sig. El valor p para los bloques es 0.640 y el valor p para los tipos de maíz es 0.011, que
es menor a 0.05 y por lo tanto es significativo. Al nivel de significancia 0.05 no hay diferencia entre los bloques. Al nivel
de significancia 0.05 sí hay diferencias en los rendimientos debido al tipo de maíz. A continuación se presenta el análisis
proporcionado por SPSS.
RESPUESTAS A LOS PROBLEMAS SUPLEMENTARIOS 541
Variable dependiente: resultado
Pruebas de efectos entre temas
Origen
Tipo III Suma
de cuadrados df Cuadrado medio F Sig.
Modelo corregido
Intersección
bloque
tipo
Error
Total
Total corregido
77.600 a
3 920.000
10.000
67.600
46.400
4 044.000
124.000
7
1
4
3
12
20
19
11.086
3 920.000
2.500
22.533
3.867
2.867
1 013.793
.647
5.828
.053
.000
.640
.011
a R cuadrada = .626 (R cuadrada ajustada = .408)
16.29 Al nivel de significancia 0.01, en los rendimientos no hay diferencias que se deban a los bloques o al tipo de maíz. Comparar
estos resultados de STATISTIX con los resultados de SPSS del problema 16.28.
Statistix 8.0
Randomized Complete Block AOV Table for yield
Source DF SS MS F P
block 4 10.000 2.5000 5.83 0.0108
type 3 67.600 22.5333
Error 12 46.400 3.8667
Total 19 124.000
Grand Mean 14.000 CV 14.05
Means of yield for type
type Mean
1 13.600
2 17.000
3 12.000
4 13.400
16.30 SAS representa el valor p como Pr > F. En los dos últimos renglones de los resultados, se ve que tanto los automóviles
como las marcas de los neumáticos son significativos al nivel 0.05.
The GLM Procedure
Class Level Information
Class Levels Values
Auto 6 1 2 3 4 5 6
Brand 4 1 2 3 4
The GLM Procedure
Dependent Variable: lifetime
Sum of
Source DF Squares Mean Square F Value Pr 4 F
Model 8 201.3333333 25.1666667 4.08 0.0092
Error 15 92.5000000 6.1666667
Corrected Total 23 293.8333333
542 RESPUESTAS A LOS PROBLEMAS SUPLEMENTARIOS
Source DF Type III SS Mean Square F Value Pr 4 F
Auto 5 123.8333333 24.7666667 4.02 0.0164
Brand 3 77.5000000 25.8333333 4.19 0.0243
16.31 Compare el análisis de MINITAB en este problema con el de SAS en el problema 16.30. Al nivel de significancia 0.01, no
hay diferencia entre los automóviles ni entre las marcas, ya que los valores p son 0.016 y 0.024, ambos mayores a 0.01.
Two-way ANOVA: lifetime versus Auto, Brand
Source DF SS MS F P
Auto 5 123.833 24.7667 4.02 0.016
Brand 3 77.500 25.8333 4.19 0.024
Error 15 92.500 6.1667
Total 23 293.833
S = 2.483 R-Sq = 68.52% R-Sq(adj) = 51.73%
16.32 A continuación se presentan los resultados de STATISTIX. El valor p que es 0.3171 indica que, al nivel de significancia
0.05 no hay diferencia entre las escuelas.
Statistix 8.0
Randomized Complete Block AOV Table for Grade
Source DF SS MS F P
Method 2 604.93 302.467
School 4 351.07 87.767 1.40 0.3171
Error 8 501.73 62.717
Total 14 1457.73
Para los métodos de enseñanza, el valor de F es 4.82 y el valor p es 0.0423. Por lo tanto, al nivel de significancia 0.05, sí
hay diferencia entre los métodos de enseñanza.
16.33 Los resultados de EXCEL indican que al nivel de significancia 0.05, ni el color del pelo ni las estaturas de las mujeres
adultas tienen influencia en los logros escolares. El valor p para el color del pelo es 0.4534 y el valor p para la estatura es
0.2602.
Alta
Mediana
Baja
Pelirroja Rubia Castaña
75
81
73
78
76
75
80
79
77
Análisis de varianza de dos factores con una sola muestra por grupo
RESUMEN Cuenta Suma Promedio Varianza
Fila 1
Fila 2
Fila 3
Columna 1
Columna 2
Columna 3
3
3
3
3
3
3
233
236
225
229
229
236
77.66667
78.66667
75
76.33333
76.33333
78.33333
6.333333
6.333333
4
17.33333
2.333333
2.333333
RESPUESTAS A LOS PROBLEMAS SUPLEMENTARIOS 543
Análisis de varianza
Origen de las
variaciones SS df MS F Valor p
Filas
Columnas
Error
21.55556
10.88889
22.44444
Total 54.88889 8
2
2
4
10.77778
5.444444
5.611111
1.920792
0.970297
0.260203
0.453378
16.34 En los siguientes resultados de SPSS, al valor p se le llama Sig. El valor p para color de pelo es 0.453 y el valor p para
estatura es 0.260. Éstos son los mismos valores p que se obtuvieron con EXCEL en el problema 16.33. Dado que ninguno
de ellos es menor que 0.01, al nivel de significancia 0.01 no son significativos. Es decir, las puntuaciones no son diferentes
de acuerdo con los distintos colores de pelo ni tampoco de acuerdo con las diferentes estaturas.
Tests of Between–Subjects Effects
Variable dependiente: puntuación
Origen
Tipo III Suma
de cuadrados df Cuadrado medio F Sig.
Modelo corregido
Intersección
Pelo
Estatura
Error
Total
Total corregido
32.444 a
53 515.111
10.889
21.556
22.444
53 570.000
54.889
4
1
2
2
4
9
8
8.111
53 515.111
5.444
10.778
5.611
1.446
9 537.347
.970
1.921
.365
.000
.453
.260
a R cuadrada = .591 (R cuadrada ajustada = .182)
16.35 En los resultados de MINITAB se observa que al nivel de significancia 0.05 hay diferencias debidas a la ubicación, pero
no hay diferencias debidas a los fertilizantes. La interacción es significativa al nivel 0.05.
ANOVA: yield versus location, fertilizer
Factor Type Levels Values
location fixed 2 1, 2
fertilizer fixed 4 1, 2, 3, 4
Analysis of Variance for yield
Source DF SS MS F P
location 1 81.225 81.225 12.26 0.001
fertilizer 3 18.875 6.292 0.95 0.428
location*fertilizer 3 78.275 26.092 3.94 0.017
Error 32 212.000 6.625
Total 39 390.375
16.36 En los resultados de STATISTIX se observa que al nivel de significancia 0.01 hay diferencias debidas a la ubicación, pero
no hay diferencias debidas a los fertilizantes. Al nivel 0.01 no hay una interacción significativa.
544 RESPUESTAS A LOS PROBLEMAS SUPLEMENTARIOS
Statistix 8.0
Analysis of Variance Table for yield
Source DF SS MS F P
fertilize 3 18.875 6.2917 0.95 0.4283
location 1 81.225 81.2250 12.26 0.0014
fertilize*location 3 78.275 26.0917 3.94 0.0169
Error 32 212.000 6.6250
Total 39 390.375
16.37 En los siguientes resultados de SAS, el valor p para las máquinas es 0.0664, el valor p para los operadores es 0.0004 y el
valor p para la interacción es 0.8024. Al nivel de significancia 0.05, sólo los operadores son significativos.
The GLM Procedure
Class Level Information
Class Levels Values
Operator 4 1 2 3 4
Machine 2 1 2
Number of Observations Read 40
Number of Observations Used 40
The GLM Procedure
Dependent Variable: Articles
Sum of
Source DF Squares Mean Square F Value Pr 4 F
Model 7 154.8000000 22.1142857 4.08 0.0027
Error 32 173.6000000 5.4250000
Corrected Tot 39 328.4000000
Source DF Type III SS Mean Square F Value Pr4F
Machine 1 19.6000000 19.6000000 3.61 0.0664
Operator 3 129.8000000 43.2666667 7.98 0.0004
Operator*Machine 3 5.4000000 1.8000000 0.33 0.8024
Los siguientes resultados de MINITAB son iguales a los de SAS.
ANOVA: Articles versus Machine, Operator
Factor Type Levels Values
Machine fixed 2 1, 2
Operator fixed 4 1, 2, 3, 4
Analysis of Variance for Articles
Source DF SS MS F P
Machine 1 19.600 19.600 3.61 0.066
Operator 3 129.800 43.267 7.98 0.000
Machine*Operator 3 5.400 1.800 0.33 0.802
Error 32 173.600 5.425
Total 39 328.400
16.38 En los siguientes resultados de STATISTIX, los valores p para variaciones del suelo en dos direcciones perpendiculares son
0.5658 y 0.3633 y el valor p para los tratamientos es 0.6802. Al nivel de significancia 0.01, ninguno de los tres es significativo.
RESPUESTAS A LOS PROBLEMAS SUPLEMENTARIOS 545
Statistix 8.0
Latin Square AOV Table for Yield
Source DF SS MS F P
Row 3 17.500 5.8333 0.74 0.5658
Column 3 30.500 10.1667 1.28 0.3633
Treatment 3 12.500 4.1667 0.53 0.6802
Error 6 47.500 7.9167
Total 15 108.000
16.39 Los siguientes resultados de MINITAB son iguales a los resultados de STATISTIX del problema 16.38. Ninguno de los
factores es significativo al nivel 0.05.
General Linear Model: Yield versus Row, Column, Treatment
Factor Type Levels Values
Row fixed 4 1, 2, 3, 4
Column fixed 4 1, 2, 3, 4
Treatment fixed 4 1, 2, 3, 4
Analysis of Variance for yield, using Adjusted SS for Tests
Source DF Seq SS Adj SS Adj MS F P
Row 3 17.500 17.500 5.833 0.74 0.567
Column 3 30.500 30.500 10.167 1.28 0.362
Treatment 3 12.500 12.500 4.167 0.53 0.680
Error 6 47.500 47.500 7.917
Total 15 108.000
16.40 En los resultados obtenidos con SPSS no se observa que al nivel de significancia 0.05 haya diferencia en los logros escolares
debido al color de pelo, a la estatura o al lugar de nacimiento.
Pruebas de efectos entre temas
Variable dependiente: puntuación
Origen
Tipo III Suma
de cuadrados df Cuadrado medio F Sig.
Modelo corregido
Intersección
Pelo
Estatura
Por nacimiento
Error
Total
Total corregido
44.000 a
53 515.111
10.889
21.556
11.556
10.889
53 570.000
54.889
6
1
2
2
2
2
9
8
7.333
53 515.11
5.444
10.778
5.778
5.444
1.347
9 829.306
1.000
1.980
1.061
.485
.000
.500
.336
.485
a R cuadrada = .802 (R cuadrada ajustada = .206)
16.41 En el análisis de MINITAB se observa que hay diferencias significativas debidas a las especies de los pollitos y a las cantidades
de la primera sustancia química, pero no debidas a las cantidades de la segunda sustancia química o al peso inicial
de los pollitos. Obsérvese que para las especies el valor p es 0.009 y para la primera sustancia química el valor p es 0.032.
546 RESPUESTAS A LOS PROBLEMAS SUPLEMENTARIOS
General Linear Model: Wtgain versus Weight, Species, ...
Factor Type Levels Values
Weight fixed 4 1, 2, 3, 4
Species fixed 4 1, 2, 3, 4
Chemical1 fixed 4 1, 2, 3, 4
Chemical2 fixed 4 1, 2, 3, 4
Analysis of Variance for Wtgain, using Adjusted SS for Tests
Source DF Seq SS Adj SS Adj MS F P
Weight 3 2.7500 2.7500 0.9167 2.20 0.267
Species 3 38.2500 38.2500 12.7500 30.60 0.009
Chemical1 3 16.2500 16.2500 5.4167 13.00 0.032
Chemical2 3 7.2500 7.2500 2.4167 5.80 0.091
Error 3 1.2500 1.2500 0.4167
Total 15 65.7500
16.42 En SPSS al valor p se le llama Sig. Hay diferencias significativas en la resistencia del cable debidas al tipo de cable, pero
no hay diferencias significativas debidas a los operadores, las máquinas o las empresas.
Variable dependiente: resistencia
Pruebas de efectos entre temas
Origen
Tipo III Suma
de cuadrados df Cuadrado medio F Sig.
Modelo corregido
Intersección
Tipo
Empresa
Operador
Máquina
Error
Total
Total corregido
6 579.750 a
488 251.563
4 326.188
2 066.188
120.688
66.888
299.688
495 131.000
6 879.438
12
1
3
3
3
3
3
16
15
548.313
488 251.563
1 442.063
688.729
40.229
22.229
99.896
5.489
4 887.607
14.436
6.894
.403
.223
.094
.000
.027
.074
.763
.876
a R cuadrada = .956 (R cuadrada ajustada = .782)
16.43 Al nivel de significancia 0.05 hay diferencias significativas entre los tres tratamientos, pero al nivel de significancia 0.01,
no. A continuación se presenta el análisis que se obtiene con EXCEL.
A B C
3
5
4
4
4
2
3
3
6
4
5
5
Análisis de varianza de un factor
RESUMEN
Grupos Cuenta Suma Promedio Varianza
A
B
C
4
4
4
16
12
20
4
3
5
0.666667
0.666667
0.666667
RESPUESTAS A LOS PROBLEMAS SUPLEMENTARIOS 547
Análisis de varianza
Origen de las
variaciones SS df MS F Valor p
Entre grupos
Dentro de los grupos
8
6
Total 14 11
2
9
0.666664
0.666667
6 0.022085
16.44 El valor p que da MINITAB es 0.700. Entre los CI no hay diferencia debido a las estaturas.
One-way ANOVA: Tall, Short, Medium
Source DF SS MS F P
Factor 2 55.8 27.9 0.37 0.700
Error 12 911.5 76.0
Total 14 967.3
S = 8.715 R-Sq = 5.77% R-Sq(adj) = 0.00%
Individual 95% CIs For Mean Based on
Pooled StDev
Level N Mean StDev ---+--------+--------+-------+-----
Tall 5 107.00 10.58 (- ----------*-------–--)
Short 4 105.00 8.33 (- ----------*-------–--)
Medium 6 102.50 7.15 (- ----------*-------–--)
- ---+--------+--------+-------+-----
96.0 102.0 108.0 114.0
16.46 En los resultados de SPSS, al valor p se le llama Sig. Al nivel de significancia 0.05, existe una diferencia significativa en
las puntuaciones de examen, debida tanto a ser o no veterano como al CI.
Pruebas de efectos entre temas
Variable dependiente: puntuación
Origen
Tipo III Suma
de cuadrados df Cuadrado medio F Sig.
Modelo corregido
Intersección
Veterano
CI
Error
Total
Total corregido
264.333 a
38 080.667
24.000
240.333
1.000
38 346.000
265.333
3
1
1
2
2
6
5
88.111
38 080.667
24.000
120.167
.500
176.222
76 161.333
48.000
240.333
.006
.000
.020
.004
a R cuadrada = .996 (R cuadrada ajustada = .991)
16.47 En el análisis de STATISTIX se encuentra que al nivel de significancia 0.01 las diferencias en las puntuaciones de examen
debidas a ser o no veterano no son significativas, pero las diferencias debidas al CI sí son significativas.
Statistix 8.0
Randomized Complete Block AOV Table for Score
Source DF SS MS F P
Veteran 1 24.000 24.000 48.00 0.020
IQ 2 240.333 120.167 240.33 0.0041
548 RESPUESTAS A LOS PROBLEMAS SUPLEMENTARIOS
Error 2 1.000 0.500
Total 5 265.333
16.48 En el análisis de MINITAB se observa que al nivel de significancia 0.05 las diferencias en las puntuaciones de examen
debidas a la ubicación no son significativas, pero las diferencias debidas al CI, sí.
Two-way ANOVA: Testscore versus Location, IQ
Source DF SS MS F P
Location 3 6.250 2.083 0.12 0.943
IQ 2 221.167 110.583 6.54 0.031
Error 6 101.500 16.917
Total 11 328.917
16.49 En el análisis de SAS se observa que al nivel de significancia 0.01 las diferencias en las puntuaciones de examen debidas
a la ubicación no son significativas, pero las diferencias debidas al CI, sí. Recuerde que el valor p se escribe Pr > F.
The GLM Procedure
Class Level Information
Class Levels Values
Location 4 1 2 3 4
IQ 3 1 2 3
Number of Observations Read 12
Number of Observations Used 12
The GLM Procedure
Source DF Type III SS Mean Square F Value Pr4F
Location 3 6.2500000 2.0833333 0.12 0.9430
IQ 2 221.1666667 110.5833333 6.54 0.0311
16.53 En el análisis de MINITAB se observa que debido a la ubicación, las cantidades de óxido no son significativas al nivel de
significancia 0.05. No hay interacción significativa entre ubicación y sustancias químicas.
ANOVA: rust versus location, chemical
Factor Type Levels Values
location fixed 2 1, 2
chemical fixed 3 1, 2, 3
Analysis of Variance for rust
Source DF SS MS F P
location 1 0.667 0.667 0.67 0.425
chemical 2 20.333 10.167 10.17 0.001
location*chemical 2 0.333 0.167 0.17 0.848
Error 18 18.000 1.000
Total 23 39.333
RESPUESTAS A LOS PROBLEMAS SUPLEMENTARIOS 549
16.54 En el análisis de STATISTIX se observa que al nivel de significancia 0.05, las diferencias en el rendimiento debidas a la
ubicación son significativas, pero las diferencias debidas a las variedades no son significativas. No hay interacción significativa
entre la ubicación y las variedades.
Statistix 8.0
Analysis of Variance Table for Yield
Source DF SS MS F P
Variety 4 35.333 8.8333 1.07 0.3822
location 2 191.433 95.7167 11.60 0.0001
Variety*location 8 82.567 10.3208 1.25 0.2928
Error 45 371.250 8.2500
Total 59 680.583
16.55 En el análisis de MINITAB se observa que al nivel de significancia 0.01, las diferencias en el rendimiento debidas a la
ubicación son significativas, pero las diferencias debidas a las variedades no son significativas. No hay interacción significativa
entre la ubicación y las variedades.
General Linear Model: Yield versus location, Variety
Factor Type Levels Values
location fixed 3 1, 2, 3
variety fixed 5 1, 2, 3, 4, 5
Analysis of Variance for Yield, using Adjusted SS for Tests
Source DF Seq SS Adj SS Adj MS F P
location 2 191.433 191.433 95.717 11.60 0.000
Variety 4 35.333 35.333 8.833 1.07 0.382
location*Variety 8 82.567 82.567 10.321 1.25 0.293
Error 45 371.250 371.250 8.250
Total 59 680.583
16.56 Observando la ANOVA de SPSS y teniendo en cuenta que Sig. en SPSS es lo mismo que valor p, se ve que, al nivel 0.05,
el factor 1, el factor 2 y el tratamiento (treatment) no tienen un efecto significativo sobre la variable de respuesta,
ya que el valor p de los tres es mayor que 0.05.
Pruebas de efectos entre temas
Variable dependiente: respuesta
Origen
Tipo III Suma
de cuadrados df Cuadrado medio F Sig.
Modelo corregido
Intersección
Factor1
Factor2
Tratamiento
Error
Total
Total corregido
92.667 a
2 567.111
74.889
17.556
.222
4.222
2 664.000
96.889
6
1
2
2
2
2
9
8
15.444
2 567.111
37.444
8.778
.111
2.111
7.316
1 216.000
17.737
4.158
.053
.125
.001
.053
.194
.950
a R cuadrada = .956 (R cuadrada ajustada = .826)
550 RESPUESTAS A LOS PROBLEMAS SUPLEMENTARIOS
16.58 Observando la ANOVA de SPSS y teniendo en cuenta que Sig. en SPSS es lo mismo que valor p, se ve que al nivel 0.05
el Factor 1, el Factor 2, el tratamiento latino (latin treatment) y el tratamiento griego (greek treatment)
no tienen un efecto significativo sobre la variable de respuesta, ya que el valor p de los cuatro es mayor que 0.05.
Variable dependiente: respuesta
Pruebas de efectos entre temas
Origen
Tipo III Suma
de cuadrados df Cuadrado medio F Sig.
Modelo corregido
Intersección
Factor1
Factor2
Latino
Griego
Error
Total
Total corregido
362.750 a
1 914.063
5.188
15.188
108.188
234.188
98.188
2 375.000
460.938
12
1
3
3
3
3
3
16
15
30.229
1 914.063
1.729
5.063
36.063
78.063
32.729
.924
58.482
.053
.155
1.102
2.385
.607
.005
.981
.920
.469
.247
a R cuadrada = .787 (R cuadrada ajustada = .065)
CAPÍTULO 17
17.26 Con la alternativa de dos colas, el valor p es 0.0352. Al nivel de significancia 0.05 hay diferencia debida al aditivo, pero al
nivel 0.01, no. El valor p se obtiene usando la distribución binomial y no la aproximación normal a la binomial.
17.27 Con la alternativa de una cola, el valor p es 0.0176. Como el valor p es menor que 0.05, se rechaza la hipótesis nula de que
no hay diferencia debida al aditivo.
17.28 Empleando EXCEL, el valor p se obtiene con =1−BINOMDIST(24,31,0.5,1) que da 0.00044. El programa es efectivo
al nivel de significancia 0.05.
17.29 Empleando EXCEL, el valor p se obtiene con =1−BINOMDIST(15,22,0.5,1), que da 0.0262. El programa es efectivo
al nivel de significancia 0.05.
17.30 Empleando EXCEL, el valor p se obtiene con =1−BINOMDIST(16,25,0.5,1), que da 0.0539. Al nivel de significancia
0.05 no se puede concluir que la marca B se prefiera a la marca A.
17.31 BS = 25 BS = 30 BS = 35 BS = 40
41 16 11 6 1
37 12 7 2 3
25 0 5 10 15
43 18 13 8 3
42 17 12 7 2
28 3 2 7 12
32 7 2 3 8
36 11 6 1 4
27 2 3 8 13
33 8 3 2 7
RESPUESTAS A LOS PROBLEMAS SUPLEMENTARIOS 551
35 10 5 0 5
24 1 6 11 16
22 3 8 13 18
34 9 4 1 6
28 3 2 7 12
38 13 8 3 2
46 21 16 11 6
41 16 11 6 1
27 2 3 8 13
31 6 1 4 9
23 2 7 12 17
30 5 0 5 10
37 12 7 2 3
36 11 6 1 4
24 1 6 11 16
0.00154388 2*BINOMDIST(4,24,0.5,1) Reject null
0.307456255 2*BINOMDIST(9,24,0.5,1) Do not reject null
0.541256189 2*BINOMDIST(10,24,0.5,1) Do not reject null
0.004077315 2*BINOMDIST(5,25,0.5,1) Reject null
17.34 La suma de los rangos de la muestra menor = 141.5 y la suma de los rangos de la muestra mayor = 158.5. El valor p para
dos colas = 0.3488. Al nivel de significancia 0.05 no se rechaza la hipótesis nula de no diferencia, pues el valor p >
0.05.
17.35 En el problema 17.34, al nivel 0.01 no se puede rechazar la hipótesis nula en la prueba de una cola.
17.36 La suma de los rangos de la muestra menor = 132.5 y la suma de los rangos de la muestra mayor = 77.5. Para dos colas el
valor p = 0.0044. La hipótesis nula de no diferencia se rechaza tanto a nivel 0.01 como a nivel 0.05, ya que el valor p <
0.05.
17.37 Al nivel de significancia 0.05, el agricultor del problema 17.36 puede concluir que el trigo II da mayor rendimiento que el
trigo I.
17.38 Para la marca A, la suma de los rangos = 86.0 y para la marca B, la suma de los rangos = 124.0. Para dos colas el valor p
= 0.1620. a) Al nivel de significancia 0.05, no se rechaza la hipótesis nula de no diferencia entre las dos marcas versus hay
diferencia, ya que el valor p > 0.05. b) Al nivel de significancia 0.05 no se puede concluir que la marca B sea mejor que la
marca A, ya que para una cola valor p (0.081) > 0.05.
17.39 Sí, se puede emplear tanto la prueba U como la prueba de los signos para determinar si hay diferencia entre las dos máquinas.
17.41 3.
17.42 6.
17.46 a) 246; b) 168; c) 0.
17.47 a) 236; b) 115; c) 100.
17.49 H = 2.59, DF = 4, P = 0.629. A los niveles de significancia 0.05 y 0.01, no hay diferencia entre los rendimientos de las
cinco variedades, ya que el valor p es mayor que 0.01 y que 0.05.
17.50 H = 8.42, DF = 3, P = 0.038. Al nivel de significancia 0.05 sí hay diferencia entre las cuatro marcas de neumáticos, pero
no al nivel de significancia 0.01, ya que 0.01 < valor p < 0.05.
552 RESPUESTAS A LOS PROBLEMAS SUPLEMENTARIOS
17.51 H = 6.54, DF = 2, P = 0.038. Al nivel de significancia 0.05 sí hay diferencia entre los tres métodos de enseñanza, pero no
al nivel de significancia 0.01, ya que 0.01 < valor p < 0.05.
17.52 H = 9.22, DF = 3, P = 0.026. Al nivel de significancia 0.05 hay diferencia significativa entre las cuatro materias, pero no
al nivel de significancia 0.01, ya que 0.01 < valor p < 0.05.
17.53 a) H = 7.88, DF = 8, P = 0.446. A los niveles de significancia 0.01 y 0.05 no hay diferencia significativa entre las duraciones
de los tres cinescopios, ya que el valor p > 0.01 y 0.05.
b) H = 2.59, DF = 4, P = 0.629. A los niveles de significancia 0.01 y 0.05 no hay diferencia significativa entre las cinco
variedades de trigo, ya que el valor p > 0.01 y 0.05.
c) H = 5.70, DF = 3, P = 0.127. A los niveles de significancia 0.01 y 0.05 no hay diferencia significativa entre las cuatro
marcas de neumáticos, ya que el valor p > 0.01 y > 0.05.
17.54 a) H = 5.65, DF = 2, P = 0.059. A los niveles de significancia 0.01 y 0.05 no hay diferencia entre los tres métodos de
enseñanza, ya que el valor p > 0.01 y > 0.05.
b) H = 10.25, DF = 4, P = 0.036. Al nivel de significancia 0.05 hay diferencia entre las cinco marcas de gasolina, pero no
al nivel 0.01, ya que 0.01 < valor p < 0.05.
c) H = 9.22, DF = 3, P = 0.026. Al nivel de significancia 0.05 hay diferencia entre las cuatro materias, pero no al nivel
0.01, ya que 0.01 < valor p < 0.05.
17.55 a) 8; b) 10.
17.56 a) El número de rachas es V = 10.
b) La prueba de aleatoriedad está basada en la distribución normal estándar. La media es
µ V ¼ 2N 1N 2
þ 1 ¼ 2ð11Þð14Þ þ 1 ¼ 13:32
N 1 þ N 2 25
y la desviación estándar es
sffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
2ð11Þð14Þf2ð11Þð14Þ 11 14g
s V ¼
25 2 ¼ 2:41
ð24Þ
La Z encontrada es
Z ¼
10 13:32
¼ 1:38
2:41
Empleando EXCEL, el valor p es =2*NORMSDIST(−1.38) que es 0.1676. Dado que el valor p es grande, no se duda de
la aleatoriedad.
17.57 a) Aun cuando el número de corridas es menor que lo esperado, el valor p no es menor que 0.05. No se rechaza la aleatoriedad
de la secuencia (10).
Prueba de corridas: moneda
Runs test for coin
Runs above and below K ¼ 0.4
The observed number of runs ¼ 7
The expected number of runs ¼ 10.6
8 observations above K, 12 below
* N is small, so the following approximation may be invalid.
P-value ¼ 0.084
b) El número de rachas es mayor que lo esperado. Se rechaza la aleatoriedad de la secuencia (11).
Prueba de corridas: moneda
Runs test for coin
Runs above and below K ¼ 0.5
RESPUESTAS A LOS PROBLEMAS SUPLEMENTARIOS 553
The observed number of runs ¼ 12
The expected number of runs ¼ 7
6 observations above K, 6 below
* N is small, so the following approximation may be invalid.
P-value ¼ 0.002
17.58 a)
b)
c)
Sequence
Runs
a a b 2
a b a 3
b a a 2
Sampling distribution
V f
2 2
3 1
Probability distribution
V Pr{V}
2 0.667
3 0.333
17.59 Media = 2.333 Varianza = 0.222
17.60 a)
Sequence
Runs
a a b b 2
a b a b 4
a b b a 3
b b a a 2
b a b a 4
b a a b 3
Sampling distribution
V f
2 2
3 2
4 2
Probability distribution
V Pr{V}
2 0.333
3 0.333
4 0.333
Mean V 3
Variance V 0.667
b)
Sequence
Runs
a b b b 2
b a b b 3
554 RESPUESTAS A LOS PROBLEMAS SUPLEMENTARIOS
b b a b 3
b b b a 3
Sampling distribution
V f
2 1
3 3
Probability distribution
V Pr{V}
2 0.25
3 0.75
Mean V 2.75
Variance V 0.188
c)
Sequence
Runs
a b b b b 2
b a b b b 3
b b a b b 3
b b b a b 3
b b b b a 2
Sampling distribution
V f
2 2
3 3
Probability distribution
V Pr{V}
2 0.4
3 0.6
Mean V 2.6
Variance V 0.24
17.61 a)
Sequence
Runs
a a b b b b 2
a b a b b b 4
a b b a b b 4
a b b b a b 4
a b b b b a 3
b a a b b b 3
b a b a b b 5
b a b b a b 5
b a b b b a 4
b b a a b b 3
b b a b a b 5
b b a b b a 4
b b b b a a 2
b b b a b a 4
b b b a a b 3
RESPUESTAS A LOS PROBLEMAS SUPLEMENTARIOS 555
b)
c)
Sampling distribution
V f
2 2
3 4
4 6
5 3
Probability distribution
V Pr{V}
2 0.133
3 0.267
4 0.4
5 0.2
Mean V 3.667
Variance V 0.888
17.62 Supóngase que los renglones se leen uno por uno. Es decir, primero el renglón 1, luego el renglón 2, luego el renglón 3 y
finalmente el renglón 4.
Prueba de corridas: Calificaciones
Runs test for Grade
Runs above and below K ¼ 69
The observed number of runs ¼ 26
The expected number of runs ¼ 20.95
21 observations above K, 19 below
P-value ¼ 0.105
Al nivel de significancia 0.05 puede suponerse que las calificaciones se registraron en forma aleatoria.
17.63 Supóngase que los datos se registraron renglón por renglón.
Runs test for price
Runs above and below K ¼ 11.36
The observed number of runs ¼ 10
The expected number of runs ¼ 13.32
14 observations above K, 11 below
P-value ¼ 0.168
Al nivel de significancia 0.05 puede suponerse que los precios son aleatorios.
17.64 En los dígitos después del punto decimal, considérese que 0 representa a un dígito par y 1 representa un dígito non.
Runs test for digit
Runs above and below K ¼ 0.473684
The observed number of runs ¼ 9
The expected number of runs ¼ 10.4737
9 observations above K, 10 below
* N is small, so the following approximation may be invalid.
P-value ¼ 0.485
Al nivel de significancia 0.05 puede suponerse que los dígitos son aleatorios.
17.65 Al nivel de significancia 0.05 puede suponerse que los dígitos son aleatorios.
556 RESPUESTAS A LOS PROBLEMAS SUPLEMENTARIOS
17.66 Usando la aproximación normal, el valor calculado para Z es −1.62. Empleando EXCEL, el valor p calculado es
=2*NORMSDIST(−1.62) que es 0.105.
17.67 Usando la aproximación normal, el valor calculado para Z es −1.38. Empleando EXCEL, el valor p calculado es
=2*NORMSDIST(−1.38) que es 0.168.
17.68 Usando la aproximación normal, el valor calculado para Z es −0.70. Empleando EXCEL, el valor p calculado es
=2*NORMSDIST(−0.70) que es 0.484.
17.70 Correlación de rangos de Spearman = 1.0 y coeficiente de correlación de Pearson = 0.998.
CAPÍTULO 18
18.16 Medias de los subgrupos: 13.25 14.50 17.25 14.50 13.50 14.75 13.75 15.00 15.00 17.00
Rangos de los subgrupos: 5 9 5 6 8 9 10 5 5 7
X ¼ 14:85, R ¼ 6:9:
18.17 La estimación conjunta de σ es 1.741. LCL = 450.7, UCL = 455.9. Ninguna de las medias de los subgrupos está fuera de
los límites de control.
18.18 No.
18.19 La gráfica indica que ha disminuido la variabilidad. Los nuevos límites de control son LCL = 452.9 y UCL = 455.2. Después
de la modificación, también parece que el proceso se ha centrado más próximo al valor objetivo.
18.20 Los límites de control son LCL = 1.980 y UCL = 2.017. Los periodos 4, 5 y 6 no satisfacen la prueba 5. Los periodos 15
a 20 no satisfacen la prueba 4. Cada uno de estos puntos es el último de 14 puntos consecutivos alternantes hacia arriba y
hacia abajo.
18.21 C PK = 0.63. ppm de no conformes = 32 487.
18.22 C PK = 1.72. ppm de no conformes = menos de 1.
18.23 Línea central = 0.006133, LCL = 0, UCL = 0.01661. El proceso está bajo control. ppm = 6 133.
18.24 Línea central = 3.067, LCL = 0, UCL = 8.304.
18.25 0.032 0.027 0.032 0.024 0.024 0.027 0.032 0.032 0.027 0.024 0.032 0.024
0.027 0.024 0.027 0.024 0.027 0.027 0.027 0.027
18.26 Línea central = X = 349.9.
Rangos móviles: 0.0 0.2 0.6 0.8 0.4 0.3 0.1 0.4 0.4 0.9 0.2 1.1 0.5 1.5 2.8 1.6 0.3 0.1 1.2 1.9 0.2
1.2 0.9
Media de los anteriores rangos móviles = R M = 0.765.
Límites de control de la gráfica de mediciones individuales X 3ð R M =d 2 Þ. d 2 es una constante de la gráfica de
mediciones individuales que se obtiene de tablas de diversas fuentes y que en este caso es igual a 1.128. LCL = 347.9 y
UCL = 352.0.
18.27 La gráfica EWMA indica que las medias del proceso se encuentran constantemente abajo del valor objetivo. Las medias de
los subgrupos 12 y 13 caen abajo de los límites de control inferior. Las medias de los grupos después del 13 están arriba de
los límites inferiores de control; pero la media del proceso sigue estando abajo del valor objetivo.
18.28 La gráfica de zonas no indica que haya alguna situación fuera de control. Sin embargo, como se ve en el problema 18.20,
hay 14 puntos consecutivos alternando hacia arriba y hacia abajo. Dada la manera en que funciona una gráfica de zonas,
ésta no indica esta situación.
RESPUESTAS A LOS PROBLEMAS SUPLEMENTARIOS 557
18.29 Los 20 límites de control inferiores son: 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.38 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.38 0.00
0.00 0.38 0.00 0.38 0.38.
Los 20 límites de control superiores son: 9.52 9.52 9.52 9.52 9.52 7.82 8.46 7.07 7.82 8.46 9.52 9.52 9.52
7.07 9.52 9.52 7.07 9.52 7.07 7.07.
18.30 Decoloración; decoloración y pérdida del tirante.
APÉNDICES
Apéndice I
Ordenadas Ordinates (Y(Y)
)
en of z, the
en la Standard curva
Normal normalCurve
estándar at z
0
Y
z
z 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
0.0 .3989 .3989 .3989 .3988 .3986 .3984 .3982 .3980 .3977 .3973
0.1 .3970 .3965 .3961 .3956 .3951 .3945 .3939 .3932 .3925 .3918
0.2 .3910 .3902 .3894 .3885 .3876 .3867 .3857 .3847 .3836 .3825
0.3 .3814 .3802 .3790 .3778 .3765 .3752 .3739 .3725 .3712 .3697
0.4 .3683 .3668 .3653 .3637 .3621 .3605 .3589 .3572 .3555 .3538
0.5 .3521 .3503 .3485 .3467 .3448 .3429 .3410 .3391 .3372 .3352
0.6 .3332 .3312 .3292 .3271 .3251 .3230 .3209 .3187 .3166 .3144
0.7 .3123 .3101 .3079 .3056 .3034 .3011 .2989 .2966 .2943 .2920
0.8 .2897 .2874 .2850 .2827 .2803 .2780 .2756 .2732 .2709 .2685
0.9 .2661 .2637 .2613 .2589 .2565 .2541 .2516 .2492 .2468 .2444
1.0 .2420 .2396 .2371 .2347 .2323 .2299 .2275 .2251 .2227 .2203
1.1 .2179 .2155 .2131 .2107 .2083 .2059 .2036 .2012 .1989 .1965
1.2 .1942 .1919 .1895 .1872 .1849 .1826 .1804 .1781 .1758 .1736
1.3 .1714 .1691 .1669 .1647 .1626 .1604 .1582 .1561 .1539 .1518
1.4 .1497 .1476 .1456 .1435 .1415 .1394 .1374 .1354 .1334 .1315
1.5 .1295 .1276 .1257 .1238 .1219 .1200 .1182 .1163 .1145 .1127
1.6 .1109 .1092 .1074 .1057 .1040 .1023 .1006 .0989 .0973 .0957
1.7 .0940 .0925 .0909 .0893 .0878 .0863 .0848 .0833 .0818 .0804
1.8 .0790 .0775 .0761 .0748 .0734 .0721 .0707 .0694 .0681 .0669
1.9 .0656 .0644 .0632 .0620 .0608 .0596 .0584 .0573 .0562 .0551
2.0 .0540 .0529 .0519 .0508 .0498 .0488 .0478 .0468 .0459 .0449
2.1 .0440 .0431 .0422 .0413 .0404 .0396 .0387 .0379 .0371 .0363
2.2 .0355 .0347 .0339 .0332 .0325 .0317 .0310 .0303 .0297 .0290
2.3 .0283 .0277 .0270 .0264 .0258 .0252 .0246 .0241 .0235 .0229
2.4 .0224 .0219 .0213 .0208 .0203 .0198 .0194 .0189 .0184 .0180
2.5 .0175 .0171 .0167 .0163 .0158 .0154 .0151 .0147 .0143 .0139
2.6 .0136 .0132 .0129 .0126 .0122 .0119 .0116 .0113 .0110 .0107
2.7 .0104 .0101 .0099 .0096 .0093 .0091 .0088 .0086 .0084 .0081
2.8 .0079 .0077 .0075 .0073 .0071 .0069 .0067 .0065 .0063 .0061
2.9 .0060 .0058 .0056 .0055 .0053 .0051 .0050 .0048 .0047 .0046
3.0 .0044 .0043 .0042 .0040 .0039 .0038 .0037 .0036 .0035 .0034
3.1 .0033 .0032 .0031 .0030 .0029 .0028 .0027 .0026 .0025 .0025
3.2 .0024 .0023 .0022 .0022 .0021 .0020 .0020 .0019 .0018 .0018
3.3 .0017 .0017 .0016 .0016 .0015 .0015 .0014 .0014 .0013 .0013
3.4 .0012 .0012 .0012 .0011 .0011 .0010 .0010 .0010 .0009 .0009
3.5 .0009 .0008 .0008 .0008 .0008 .0007 .0007 .0007 .0007 .0006
3.6 .0006 .0006 .0006 .0005 .0005 .0005 .0005 .0005 .0005 .0004
3.7 .0004 .0004 .0004 .0004 .0004 .0004 .0003 .0003 .0003 .0003
3.8 .0003 .0003 .0003 .0003 .0003 .0002 .0002 .0002 .0002 .0002
3.9 .0002 .0002 .0002 .0002 .0002 .0002 .0002 .0002 .0001 .0001
561
Apéndice II
Áreas bajo
la Under curvathe
normal Standard estándar,
Normal desde 0Curve
hasta from 0z
to z
0
z
z 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
0.0 .0000 .0040 .0080 .0120 .0160 .0199 .0239 .0279 .0319 .0359
0.1 .0398 .0438 .0478 .0517 .0557 .0596 .0636 .0675 .0714 .0754
0.2 .0793 .0832 .0871 .0910 .0948 .0987 .1026 .1064 .1103 .1141
0.3 .1179 .1217 .1255 .1293 .1331 .1368 .1406 .1443 .1480 .1517
0.4 .1554 .1591 .1628 .1664 .1700 .1736 .1772 .1808 .1844 .1879
0.5 .1915 .1950 .1985 .2019 .2054 .2088 .2123 .2157 .2190 .2224
0.6 .2258 .2291 .2324 .2357 .2389 .2422 .2454 .2486 .2518 .2549
0.7 .2580 .2612 .2642 .2673 .2704 .2734 .2764 .2794 .2823 .2852
0.8 .2881 .2910 .2939 .2967 .2996 .3023 .3051 .3078 .3106 .3133
0.9 .3159 .3186 .3212 .3238 .3264 .3289 .3315 .3340 .3365 .3389
1.0 .3413 .3438 .3461 .3485 .3508 .3531 .3554 .3577 .3599 .3621
1.1 .3643 .3665 .3686 .3708 .3729 .3749 .3770 .3790 .3810 .3830
1.2 .3849 .3869 .3888 .3907 .3925 .3944 .3962 .3980 .3997 .4015
1.3 .4032 .4049 .4066 .4082 .4099 .4115 .4131 .4147 .4162 .4177
1.4 .4192 .4207 .4222 .4236 .4251 .4265 .4279 .4292 .4306 .4319
1.5 .4332 .4345 .4357 .4370 .4382 .4394 .4406 .4418 .4429 .4441
1.6 .4452 .4463 .4474 .4484 .4495 .4505 .4515 .4525 .4535 .4545
1.7 .4554 .4564 .4573 .4582 .4591 .4599 .4608 .4616 .4625 .4633
1.8 .4641 .4649 .4656 .4664 .4671 .4678 .4686 .4693 .4699 .4706
1.9 .4713 .4719 .4726 .4732 .4738 .4744 .4750 .4756 .4761 .4767
2.0 .4772 .4778 .4783 .4788 .4793 .4798 .4803 .4808 .4812 .4817
2.1 .4821 .4826 .4830 .4834 .4838 .4842 .4846 .4850 .4854 .4857
2.2 .4861 .4864 .4868 .4871 .4875 .4878 .4881 .4884 .4887 .4890
2.3 .4893 .4896 .4898 .4901 .4904 .4906 .4909 .4911 .4913 .4916
2.4 .4918 .4920 .4922 .4925 .4927 .4929 .4931 .4932 .4934 .4936
2.5 .4938 .4940 .4941 .4943 .4945 .4946 .4948 .4949 .4951 .4952
2.6 .4953 .4955 .4956 .4957 .4959 .4960 .4961 .4962 .4963 .4964
2.7 .4965 .4966 .4967 .4968 .4969 .4970 .4971 .4972 .4973 .4974
2.8 .4974 .4975 .4976 .4977 .4977 .4978 .4979 .4979 .4980 .4981
2.9 .4981 .4982 .4982 .4983 .4984 .4984 .4985 .4985 .4986 4986
3.0 .4987 .4987 .4987 .4988 .4988 .4989 .4989 .4989 .4990 .4990
3.1 .4990 .4991 .4991 .4991 .4992 .4992 .4992 .4992 .4993 .4993
3.2 .4993 .4993 .4994 .4994 .4994 .4994 .4994 .4995 .4995 .4995
3.3 .4995 .4995 .4995 .4996 .4996 .4996 .4996 .4996 .4996 .4997
3.4 .4997 .4997 .4997 .4997 .4997 .4997 .4997 .4997 .4997 .4998
3.5 .4998 .4998 .4998 .4998 .4998 .4998 .4998 .4998 .4998 .4998
3.6 .4998 .4998 .4999 .4999 .4999 .4999 .4999 .4999 .4999 .4999
3.7 .4999 .4999 .4999 .4999 .4999 .4999 .4999 .4999 .4999 .4999
3.8 .4999 .4999 .4999 .4999 .4999 .4999 .4999 .4999 .4999 .4999
3.9 .5000 .5000 .5000 .5000 .5000 .5000 .5000 .5000 .5000 .5000
562
Apéndice Appendix III III
Valores Percentile percentiles Values (t p (t)
p )
correspondientes for a
la distribución Student’s t t Distribution
de Student
con withν ngrados Degrees de of libertad Freedom
(área (shaded sombreada area = p)
t p
t :995 t :99 t :975 t :95 t :90 t :80 t :75 t :70 t :60 t :55
1 63.66 31.82 12.71 6.31 3.08 1.376 1.000 .727 .325 .158
2 9.92 6.96 4.30 2.92 1.89 1.061 .816 .617 .289 .142
3 5.84 4.54 3.18 2.35 1.64 .978 .765 .584 .277 .137
4 4.60 3.75 2.78 2.13 1.53 .941 .741 .569 .271 .134
5 4.03 3.36 2.57 2.02 1.48 .920 .727 .559 .267 .132
6 3.71 3.14 2.45 1.94 1.44 .906 .718 .553 .265 .131
7 3.50 3.00 2.36 1.90 1.42 .896 .711 .549 .263 .130
8 3.36 2.90 2.31 1.86 1.40 .889 .706 .546 .262 .130
9 3.25 2.82 2.26 1.83 1.38 .883 .703 .543 .261 .129
10 3.17 2.76 2.23 1.81 1.37 .879 .700 .542 .260 .129
11 3.11 2.72 2.20 1.80 1.36 .876 .697 .540 .260 .129
12 3.06 2.68 2.18 1.78 1.36 .873 .695 .539 .259 .128
13 3.01 2.65 2.16 1.77 1.35 .870 .694 .538 .259 .128
14 2.98 2.62 2.14 1.76 1.34 .868 .692 .537 .258 .128
15 2.95 2.60 2.13 1.75 1.34 .866 .691 .536 .258 .128
16 2.92 2.58 2.12 1.75 1.34 .865 .690 .535 .258 .128
17 2.90 2.57 2.11 1.74 1.33 .863 .689 .534 .257 .128
18 2.88 2.55 2.10 1.73 1.33 .862 .688 .534 .257 .127
19 2.86 2.54 2.09 1.73 1.33 .861 .688 .533 .257 .127
20 2.84 2.53 2.09 1.72 1.32 .860 .687 .533 .257 .127
21 2.83 2.52 2.08 1.72 1.32 .859 .686 .532 .257 .127
22 2.82 2.51 2.07 1.72 1.32 .858 .686 .532 .256 .127
23 2.81 2.50 2.07 1.71 1.32 .858 .685 .532 .256 .127
24 2.80 2.49 2.06 1.71 1.32 .857 .685 .531 .256 .127
25 2.79 2.48 2.06 1.71 1.32 .856 .684 .531 .256 .127
26 2.78 2.48 2.06 1.71 1.32 .856 .684 .531 .256 .127
27 2.77 2.47 2.05 1.70 1.31 .855 .684 .531 .256 .127
28 2.76 2.47 2.05 1.70 1.31 .855 .683 .530 .256 .127
29 2.76 2.46 2.04 1.70 1.31 .854 .683 .530 .256 .127
30 2.75 2.46 2.04 1.70 1.31 .854 .683 .530 .256 .127
40 2.70 2.42 2.02 1.68 1.30 .851 .681 .529 .255 .126
60 2.66 2.39 2.00 1.67 1.30 .848 .679 .527 .254 .126
120 2.62 2.36 1.98 1.66 1.29 .845 .677 .526 .254 .126
1 2.58 2.33 1.96 1.645 1.28 .842 .674 .524 .253 .126
Fuente: R. A. Fisher y F. Yates, Statistical Tables for Biological, Agricultural and Medical Research (Tablas de estadísticas para la investigación
biológica, agrícola y médica) (5a. edición), Tabla III, Oliver and Boyd Ltd., Edinburgh, con autorización de los autores y editores.
563
Apéndice IV
Valores percentiles (χ 2 p )
correspondientes
a la distribución ji cuadrada
con with ν grados n Degrees de libertad of Freedom
(área(shaded sombreada area = = p) p)
2 :995 2 :99 2 :975 2 :95 2 :90 2 :75 2 :50 2 :25 2 :10 2 :05 2 :025 2 :01 2 :005
1 7.88 6.63 5.02 3.84 2.71 1.32 .455 .102 .0158 .0039 .0010 .0002 .0000
2 10.6 9.21 7.38 5.99 4.61 2.77 1.39 .575 .211 .103 .0506 .0201 .0100
3 12.8 11.3 9.35 7.81 6.25 4.11 2.37 1.21 .584 .352 .216 .115 .072
4 14.9 13.3 11.1 9.49 7.78 5.39 3.36 1.92 1.06 .711 .484 .297 .207
5 16.7 15.1 12.8 11.1 9.24 6.63 4.35 2.67 1.61 1.15 .831 .554 .412
6 18.5 16.8 14.4 12.6 10.6 7.84 5.35 3.45 2.20 1.64 1.24 .872 .676
7 20.3 18.5 16.0 14.1 12.0 9.04 6.35 4.25 2.83 2.17 1.69 1.24 .989
8 22.0 20.1 17.5 15.5 13.4 10.2 7.34 5.07 3.49 2.73 2.18 1.65 1.34
9 23.6 21.7 19.0 16.9 14.7 11.4 8.34 5.90 4.17 3.33 2.70 2.09 1.73
10 25.2 23.2 20.5 18.3 16.0 12.5 9.34 6.74 4.87 3.94 3.25 2.56 2.16
11 26.8 24.7 21.9 19.7 17.3 13.7 10.3 7.58 5.58 4.57 3.82 3.05 2.60
12 28.3 26.2 23.3 21.0 18.5 14.8 11.3 8.44 6.30 5.23 4.40 3.57 3.07
13 29.8 27.7 24.7 22.4 19.8 16.0 12.3 9.30 7.04 5.89 5.01 4.11 3.57
14 31.3 29.1 26.1 23.7 21.1 17.1 13.3 10.2 7.79 6.57 5.63 4.66 4.07
15 32.8 30.6 27.5 25.0 22.3 18.2 14.3 11.0 8.55 7.26 6.26 5.23 4.60
16 34.3 32.0 28.8 26.3 23.5 19.4 15.3 11.9 9.31 7.96 6.91 5.81 5.14
17 35.7 33.4 30.2 27.6 24.8 20.5 16.3 12.8 10.1 8.67 7.56 6.41 5.70
18 37.2 34.8 31.5 28.9 26.0 21.6 17.3 13.7 10.9 9.39 8.23 7.01 6.26
19 38.6 36.2 32.9 30.1 27.2 22.7 18.3 14.6 11.7 10.1 8.91 7.63 6.84
20 40.0 37.6 34.2 31.4 28.4 23.8 19.3 15.5 12.4 10.9 9.59 8.26 7.43
21 41.4 38.9 35.5 32.7 29.6 24.9 20.3 16.3 13.2 11.6 10.3 8.90 8.03
22 42.8 40.3 36.8 33.9 30.8 26.0 21.3 17.2 14.0 12.3 11.0 9.54 8.64
23 44.2 41.6 38.1 35.2 32.0 27.1 22.3 18.1 14.8 13.1 11.7 10.2 9.26
24 45.6 43.0 39.4 36.4 33.2 28.2 23.3 19.0 15.7 13.8 12.4 10.9 9.89
25 46.9 44.3 40.6 37.7 34.4 29.3 24.3 19.9 16.5 14.6 13.1 11.5 10.5
26 48.3 45.6 41.9 38.9 35.6 30.4 25.3 20.8 17.3 15.4 13.8 12.2 11.2
27 49.6 47.0 43.2 40.1 36.7 31.5 26.3 21.7 18.1 16.2 14.6 12.9 11.8
28 51.0 48.3 44.5 41.3 37.9 32.6 27.3 22.7 18.9 16.9 15.3 13.6 12.5
29 52.3 49.6 45.7 42.6 39.1 33.7 28.3 23.6 19.8 17.7 16.0 14.3 13.1
30 53.7 50.9 47.0 43.8 40.3 34.8 29.3 24.5 20.6 18.5 16.8 15.0 13.8
40 66.8 63.7 59.3 55.8 51.8 46.6 39.3 33.7 29.1 26.5 24.4 22.2 20.7
50 79.5 76.2 71.4 67.5 63.2 56.3 49.3 42.9 37.7 34.8 32.4 29.7 28.0
60 92.0 88.4 83.3 79.1 74.4 67.0 59.3 52.3 46.5 43.2 40.5 37.5 35.5
70 104.2 100.4 95.0 90.5 85.5 77.6 69.3 61.7 55.3 51.7 48.8 45.4 43.3
80 116.3 112.3 106.6 101.9 96.6 88.1 79.3 71.1 64.3 60.4 57.2 53.5 51.2
90 128.3 124.1 118.1 113.1 107.6 98.6 89.3 80.6 73.3 69.1 65.6 61.8 59.2
100 140.2 135.8 129.6 124.3 118.5 109.1 99.3 90.1 82.4 77.9 74.2 70.1 67.3
Fuente: Catherine M. Thompson, Table of percentage points of the χ 2 distribution. Biometrika, vol. 32 (1941) con autorización de autor y
editor.
564
Apéndice Appendix V V
Valores 95th Percentile del percentil Values 95
correspondientes
for the F Distribution
(n 1 degrees a la distribución of freedom in F numerator)
(ν(n 1 grados 2 degrees libertad of freedom en el innumerador)
denominator)
(ν 2 grados de libertad en el denominador)
0.95
F .95
0.05
1
2
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 15 20 24 30 40 60 120 1
1 161 200 216 225 230 234 237 239 241 242 244 246 248 249 250 251 252 253 254
2 18.5 19.0 19.2 19.2 19.3 19.3 19.4 19.4 19.4 19.4 19.4 19.4 19.4 19.5 19.5 19.5 19.5 19.5 19.5
3 10.1 9.55 9.28 9.12 9.01 8.94 8.89 8.85 8.81 8.79 8.74 8.70 8.66 8.64 8.62 8.59 8.57 8.55 8.53
4 7.71 6.94 6.59 6.39 6.26 6.16 6.09 6.04 6.00 5.96 5.91 5.86 5.80 5.77 5.75 5.72 5.69 5.66 5.63
5 6.61 5.79 5.41 5.19 5.05 4.95 4.88 4.82 4.77 4.74 4.68 4.62 4.56 4.53 4.50 4.46 4.43 4.40 4.37
6 5.99 5.14 4.76 4.53 4.39 4.28 4.21 4.15 4.10 4.06 4.00 3.94 3.87 3.84 3.81 3.77 3.74 3.70 3.67
7 5.59 4.74 4.35 4.12 3.97 3.87 3.79 3.73 3.68 3.64 3.57 3.51 3.44 3.41 3.38 3.34 3.30 3.27 3.23
8 5.32 4.46 4.07 3.84 3.69 3.58 3.50 3.44 3.39 3.35 3.28 3.22 3.15 3.12 3.08 3.04 3.01 2.97 2.93
9 5.12 4.26 3.86 3.63 3.48 3.37 3.29 3.23 3.18 3.14 3.07 3.01 2.94 2.90 2.86 2.83 2.79 2.75 2.71
10 4.96 4.10 3.71 3.48 3.33 3.22 3.14 3.07 3.02 2.98 2.91 2.85 2.77 2.74 2.70 2.66 2.62 2.58 2.54
11 4.84 3.98 3.59 3.36 3.20 3.09 3.01 2.95 2.90 2.85 2.79 2.72 2.65 2.61 2.57 2.53 2.49 2.45 2.40
12 4.75 3.89 3.49 3.26 3.11 3.00 2.91 2.85 2.80 2.75 2.69 2.62 2.54 2.51 2.47 2.43 2.38 2.34 2.30
13 4.67 3.81 3.41 3.18 3.03 2.92 2.83 2.77 2.71 2.67 2.60 2.53 2.46 2.42 2.38 2.34 2.30 2.25 2.21
14 4.60 3.74 3.34 3.11 2.96 2.85 2.76 2.70 2.65 2.60 2.53 2.46 2.39 2.35 2.31 2.27 2.22 2.18 2.13
15 4.54 3.68 3.29 3.06 2.90 2.79 2.71 2.64 2.59 2.54 2.48 2.40 2.33 2.29 2.25 2.20 2.16 2.11 2.07
16 4.49 3.63 3.24 3.01 2.85 2.74 2.66 2.59 2.54 2.49 2.42 2.35 2.28 2.24 2.19 2.15 2.11 2.06 2.01
17 4.45 3.59 3.20 2.96 2.81 2.70 2.61 2.55 2.49 2.45 2.38 2.31 2.23 2.19 2.15 2.10 2.06 2.01 1.96
18 4.41 3.55 3.16 2.93 2.77 2.66 2.58 2.51 2.46 2.41 2.34 2.27 2.19 2.15 2.11 2.06 2.02 1.97 1.92
19 4.38 3.52 3.13 2.90 2.74 2.63 2.54 2.48 2.42 2.38 2.31 2.23 2.16 2.11 2.07 2.03 1.98 1.93 1.88
20 4.35 3.49 3.10 2.87 2.71 2.60 2.51 2.45 2.39 2.35 2.28 2.20 2.12 2.08 2.04 1.99 1.95 1.90 1.84
21 4.32 3.47 3.07 2.84 2.68 2.57 2.49 2.42 2.37 2.32 2.25 2.18 2.10 2.05 2.01 1.96 1.92 1.87 1.81
22 4.30 3.44 3.05 2.82 2.66 2.55 2.46 2.40 2.34 2.30 2.23 2.15 2.07 2.03 1.98 1.94 1.89 1.84 1.78
23 4.28 3.42 3.03 2.80 2.64 2.53 2.44 2.37 2.32 2.27 2.20 2.13 2.05 2.01 1.96 1.91 1.86 1.81 1.76
24 4.26 3.40 3.01 2.78 2.62 2.51 2.42 2.36 2.30 2.25 2.18 2.11 2.03 1.98 1.94 1.89 1.84 1.79 1.73
25 4.24 3.39 2.99 2.76 2.60 2.49 2.40 2.34 2.28 2.24 2.16 2.09 2.01 1.96 1.92 1.87 1.82 1.77 1.71
26 4.23 3.37 2.98 2.74 2.59 2.47 2.39 2.32 2.27 2.22 2.15 2.07 1.99 1.95 1.90 1.85 1.80 1.75 1.69
27 4.21 3.35 2.96 2.73 2.57 2.46 2.37 2.31 2.25 2.20 2.13 2.06 1.97 1.93 1.88 1.84 1.79 1.73 1.67
28 4.20 3.34 2.95 2.71 2.56 2.45 2.36 2.29 2.24 2.19 2.12 2.04 1.96 1.91 1.87 1.82 1.77 1.71 1.65
29 4.18 3.33 2.93 2.70 2.55 2.43 2.35 2.28 2.22 2.18 2.10 2.03 1.94 1.90 1.85 1.81 1.75 1.70 1.64
30 4.17 3.32 2.92 2.69 2.53 2.42 2.33 2.27 2.21 2.16 2.09 2.01 1.93 1.89 1.84 1.79 1.74 1.68 1.62
40 4.08 3.23 2.84 2.61 2.45 2.34 2.25 2.18 2.12 2.08 2.00 1.92 1.84 1.79 1.74 1.69 1.64 1.58 1.51
60 4.00 3.15 2.76 2.53 2.37 2.25 2.17 2.10 2.04 1.99 1.92 1.84 1.75 1.70 1.65 1.59 1.53 1.47 1.39
120 3.92 3.07 2.68 2.45 2.29 2.18 2.09 2.02 1.96 1.91 1.83 1.75 1.66 1.61 1.55 1.50 1.43 1.35 1.25
1 3.84 3.00 2.60 2.37 2.21 2.10 2.01 1.94 1.88 1.83 1.75 1.67 1.57 1.52 1.46 1.39 1.32 1.22 1.00
Fuente: E. S. Pearson y H. O. Hartley, Biometrika Table for Statisticians, vol. 2 (1972), tabla 5, página 178, con autorización.
565
Apéndice Appendix VI VI
99th Percentile Values
Valores fordel thepercentil F Distribution 99
(n 1 degrees correspondientes of freedom in numerator)
(n 2 degrees a la distribución of freedomFin denominator)
(ν 1 grados de libertad en el numerador)
(ν 2 grados de libertad en el denominador)
0.99
F .99
0.01
1
2
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 15 20 24 30 40 60 120 1
1 4052 5000 5403 5625 5764 5859 5928 5981 6023 6056 6106 6157 6209 6235 6261 6287 6313 6339 6366
2 98.5 99.0 99.2 99.2 99.3 99.3 99.4 99.4 99.4 99.4 99.4 99.4 99.4 99.5 99.5 99.5 99.5 99.5 99.5
3 34.1 30.8 29.5 28.7 28.2 27.9 27.7 27.5 27.3 27.2 27.1 26.9 26.7 26.6 26.5 26.4 26.3 26.2 26.1
4 21.2 18.0 16.7 16.0 15.5 15.2 15.0 14.8 14.7 14.5 14.4 14.2 14.0 13.9 13.8 13.7 13.7 13.6 13.5
5 16.3 13.3 12.1 11.4 11.0 10.7 10.5 10.3 10.2 10.1 9.89 9.72 9.55 9.47 9.38 9.29 9.20 9.11 9.02
6 13.7 10.9 9.78 9.15 8.75 8.47 8.26 8.10 7.98 7.87 7.72 7.56 7.40 7.31 7.23 7.14 7.06 6.97 6.88
7 12.2 9.55 8.45 7.85 7.46 7.19 6.99 6.84 6.72 6.62 6.47 6.31 6.16 6.07 5.99 5.91 5.82 5.74 5.65
8 11.3 8.65 7.59 7.01 6.63 6.37 6.18 6.03 5.91 5.81 5.67 5.52 5.36 5.28 5.20 5.12 5.03 4.95 4.86
9 10.6 8.02 6.99 6.42 6.06 5.80 5.61 5.47 5.35 5.26 5.11 4.96 4.81 4.73 4.65 4.57 4.48 4.40 4.31
10 10.0 7.56 6.55 5.99 5.64 5.39 5.20 5.06 4.94 4.85 4.71 4.56 4.41 4.33 4.25 4.17 4.08 4.00 3.91
11 9.65 7.21 6.22 5.67 5.32 5.07 4.89 4.74 4.63 4.54 4.40 4.25 4.10 4.02 3.94 3.86 3.78 3.69 3.60
12 9.33 6.93 5.95 5.41 5.06 4.82 4.64 4.50 4.39 4.30 4.16 4.01 3.86 3.78 3.70 3.62 3.54 3.45 3.36
13 9.07 6.70 5.74 5.21 4.86 4.62 4.44 4.30 4.19 4.10 3.96 3.82 3.66 3.59 3.51 3.43 3.34 3.25 3.17
14 8.86 6.51 5.56 5.04 4.70 4.46 4.28 4.14 4.03 3.94 3.80 3.66 3.51 3.43 3.35 3.27 3.18 3.09 3.00
15 8.68 6.36 5.42 4.89 4.56 4.32 4.14 4.00 3.89 3.80 3.67 3.52 3.37 3.29 3.21 3.13 3.05 2.96 2.87
16 8.53 6.23 5.29 4.77 4.44 4.20 4.03 3.89 3.78 3.69 3.55 3.41 3.26 3.18 3.10 3.02 2.93 2.84 2.75
17 8.40 6.11 5.19 4.67 4.34 4.10 3.93 3.79 3.68 3.59 3.46 3.31 3.16 3.08 3.00 2.92 2.83 2.75 2.65
18 8.29 6.01 5.09 4.58 4.25 4.01 3.84 3.71 3.60 3.51 3.37 3.23 3.08 3.00 2.92 2.84 2.75 2.66 2.57
19 8.18 5.93 5.01 4.50 4.17 3.94 3.77 3.63 3.52 3.43 3.30 3.15 3.00 2.92 2.84 2.76 2.67 2.58 2.49
20 8.10 5.85 4.94 4.43 4.10 3.87 3.70 3.56 3.46 3.37 3.23 3.09 2.94 2.86 2.78 2.69 2.61 2.52 2.42
21 8.02 5.78 4.87 4.37 4.04 3.81 3.64 3.51 3.40 3.31 3.17 3.03 2.88 2.80 2.72 2.64 2.55 2.46 2.36
22 7.95 5.72 4.82 4.31 3.99 3.76 3.59 3.45 3.35 3.26 3.12 2.98 2.83 2.75 2.67 2.58 2.50 2.40 2.31
23 7.88 5.66 4.76 4.26 3.94 3.71 3.54 3.41 3.30 3.21 3.07 2.93 2.78 2.70 2.62 2.54 2.45 2.35 2.26
24 7.82 5.61 4.72 4.22 3.90 3.67 3.50 3.36 3.26 3.17 3.03 2.89 2.74 2.66 2.58 2.49 2.40 2.31 2.21
25 7.77 5.57 4.68 4.18 3.86 3.63 3.46 3.32 3.22 3.13 2.99 2.85 2.70 2.62 2.54 2.45 2.36 2.27 2.17
26 7.72 5.53 4.64 4.14 3.82 3.59 3.42 3.29 3.18 3.09 2.96 2.82 2.66 2.58 2.50 2.42 2.33 2.23 2.13
27 7.68 5.49 4.60 4.11 3.78 3.56 3.39 3.26 3.15 3.06 2.93 2.78 2.63 2.55 2.47 2.38 2.29 2.20 2.10
28 7.64 5.45 4.57 4.07 3.75 3.53 3.36 3.23 3.12 3.03 2.90 2.75 2.60 2.52 2.44 2.35 2.26 2.17 2.06
29 7.60 5.42 4.54 4.04 3.73 3.50 3.33 3.20 3.09 3.00 2.87 2.73 2.57 2.49 2.41 2.33 2.23 2.14 2.03
30 7.56 5.39 4.51 4.02 3.70 3.47 3.30 3.17 3.07 2.98 2.84 2.70 2.55 2.47 2.39 2.30 2.21 2.11 2.01
40 7.31 5.18 4.31 3.83 3.51 3.29 3.12 2.99 2.89 2.80 2.66 2.52 2.37 2.29 2.20 2.11 2.02 1.92 1.80
60 7.08 4.98 4.13 3.65 3.34 3.12 2.95 2.82 2.72 2.63 2.50 2.35 2.20 2.12 2.03 1.94 1.84 1.73 1.60
120 6.85 4.79 3.95 3.48 3.17 2.96 2.79 2.66 2.56 2.47 2.34 2.19 2.03 1.95 1.86 1.76 1.66 1.53 1.38
1 6.63 4.61 3.78 3.32 3.02 2.80 2.64 2.51 2.41 2.32 2.18 2.04 1.88 1.79 1.70 1.59 1.47 1.32 1.00
Fuente: E. S. Pearson y H. O. Hartley, Biometrika Table for Statisticians, vol. 2 (1972), tabla 5, página 180, con autorización.
566
Apéndice VII
Logaritmos comunes con cuatro cifras decimales
N 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Partes Proportional proporcionales Parts
1 2 3 4 5 6 7 8 9
10 0000 0043 0086 0128 0170 0212 0253 0294 0334 0374 4 8 12 17 21 25 29 33 37
11 0414 0453 0492 0531 0569 0607 0645 0682 0719 0755 4 8 11 15 19 23 26 30 34
12 0792 0828 0864 0899 0934 0969 1004 1038 1072 1106 3 7 10 14 17 21 24 28 31
13 1139 1173 1206 1239 1271 1303 1335 1367 1399 1430 3 6 10 13 16 19 23 26 29
14 1461 1492 1523 1553 1584 1614 1644 1673 1703 1732 3 6 9 12 15 18 21 24 27
15 1761 1790 1818 1847 1875 1903 1931 1959 1987 2014 3 6 8 11 14 17 20 22 25
16 2041 2068 2095 2122 2148 2175 2201 2227 2253 2279 3 5 8 11 13 16 18 21 24
17 2304 2330 2355 2380 2405 2430 2455 2480 2504 2529 2 5 7 10 12 15 17 20 22
18 2553 2577 2601 2625 2648 2672 2695 2718 2742 2765 2 5 7 9 12 14 16 19 21
19 2788 2810 2833 2856 2878 2900 2923 2945 2967 2989 2 4 7 9 11 13 16 18 20
20 3010 3032 3054 3075 3096 3118 3139 3160 3181 3201 2 4 6 8 11 13 15 17 19
21 3222 3243 3263 3284 3304 3324 3345 3365 3385 3404 2 4 6 8 10 12 14 16 18
22 3424 3444 3464 3483 3502 3522 3541 3560 3579 3598 2 4 6 8 10 12 14 15 17
23 3617 3636 3655 3674 3692 3711 3729 3747 3766 3784 2 4 6 7 9 11 13 15 17
24 3802 3820 3838 3856 3874 3892 3909 3927 3945 3962 2 4 5 7 9 11 12 14 16
25 3979 3997 4014 4031 4048 4065 4082 4099 4116 4133 2 3 5 7 9 10 12 14 15
26 4150 4166 4183 4200 4216 4232 4249 4265 4281 4298 2 3 5 7 8 10 11 13 15
27 4314 4330 4346 4362 4378 4393 4409 4425 4440 4456 2 3 5 6 8 9 11 13 14
28 4472 4487 4502 4518 4533 4548 4564 4579 4594 4609 2 3 5 6 8 9 11 12 14
29 4624 4639 4654 4669 4683 4698 4713 4728 4742 4757 1 3 4 6 7 9 10 12 13
30 4771 4786 4800 4814 4829 4843 4857 4871 4886 4900 1 3 4 6 7 9 10 11 13
31 4914 4928 4942 4955 4969 4983 4997 5011 5024 5038 1 3 4 6 7 8 10 11 12
32 5051 5065 5079 5092 5105 5119 5132 5145 5159 5172 1 3 4 5 7 8 9 11 12
33 5185 5198 5211 5224 5237 5250 5263 5276 5289 5302 1 3 4 5 6 8 9 10 12
34 5315 5328 5340 5353 5366 5378 5391 5403 5416 5428 1 3 4 5 6 8 9 10 11
35 5441 5453 5465 5478 5490 5502 5514 5527 5539 5551 1 2 4 5 6 7 9 10 11
36 5563 5575 5587 5599 5611 5623 5635 5647 5658 5670 1 2 4 5 6 7 8 10 11
37 5682 5694 5705 5717 5729 5740 5752 5763 5775 5786 1 2 3 5 6 7 8 9 10
38 5798 5809 5821 5832 5843 5855 5866 5877 5888 5899 1 2 3 5 6 7 8 9 10
39 5911 5922 5933 5944 5955 5966 5977 5988 5999 6010 1 2 3 4 5 7 8 9 10
40 6021 6031 6042 6053 6064 6075 6085 6096 6107 6117 1 2 3 4 5 6 8 9 10
41 6128 6138 6149 6160 6170 6180 6191 6201 6212 6222 1 2 3 4 5 6 7 8 9
42 6232 6243 6253 6263 6274 6284 6294 6304 6314 6325 1 2 3 4 5 6 7 8 9
43 6335 6345 6355 6365 6375 6385 6395 6405 6415 6425 1 2 3 4 5 6 7 8 9
44 6435 6444 6454 6464 6474 6484 6493 6503 6513 6522 1 2 3 4 5 6 7 8 9
45 6532 6542 6551 6561 6571 6580 6590 6599 6609 6618 1 2 3 4 5 6 7 8 9
46 6628 6637 6646 6656 6665 6675 6684 6693 6702 6712 1 2 3 4 5 6 7 7 8
47 6721 6730 6739 6749 6758 6767 6776 6785 6794 6803 1 2 3 4 5 5 6 7 8
48 6812 6821 6830 6839 6848 6857 6866 6875 6884 6893 1 2 3 4 4 5 6 7 8
49 6902 6911 6920 6928 6937 6946 6955 6964 6972 6981 1 2 3 4 4 5 6 7 8
50 6990 6998 7007 7016 7024 7033 7042 7050 7059 7067 1 2 3 3 4 5 6 7 8
51 7076 7084 7093 7101 7110 7118 7126 7135 7143 7152 1 2 3 3 4 5 6 7 8
52 7160 7168 7177 7185 7193 7202 7210 7218 7226 7235 1 2 2 3 4 5 6 7 7
53 7243 7251 7259 7267 7275 7284 7292 7300 7308 7316 1 2 2 3 4 5 6 6 7
54 7324 7332 7340 7348 7356 7364 7372 7380 7388 7396 1 2 2 3 4 5 6 6 7
N 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9
567
Logaritmos comunes con cuatro cifras decimales (continuación)
N 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Partes Proportional proporcionales Parts
1 2 3 4 5 6 7 8 9
55 7404 7412 7419 7427 7435 7443 7451 7459 7466 7474 1 2 2 3 4 5 5 6 7
56 7482 7490 7497 7505 7513 7520 7528 7536 7543 7551 1 2 2 3 4 5 5 6 7
57 7559 7566 7574 7582 7589 7597 7604 7612 7619 7627 1 2 2 3 4 5 5 6 7
58 7634 7642 7649 7657 7664 7672 7679 7686 7694 7701 1 1 2 3 4 4 5 6 7
59 7709 7716 7723 7731 7738 7745 7752 7760 7767 7774 1 1 2 3 4 4 5 6 7
60 7782 7789 7796 7803 7810 7818 7825 7832 7839 7846 1 1 2 3 4 4 5 6 6
61 7853 7860 7868 7875 7882 7889 7896 7903 7910 7917 1 1 2 3 4 4 5 6 6
62 7924 7931 7938 7945 7952 7959 7966 7973 7980 7987 1 1 2 3 3 4 5 6 6
63 7993 8000 8007 8014 8021 8028 8035 8041 8048 8055 1 1 2 3 3 4 5 5 6
64 8062 8069 8075 8082 8089 8096 8102 8109 8116 8122 1 1 2 3 3 4 5 5 6
65 8129 8136 8142 8149 8156 8162 8169 8176 8182 8189 1 1 2 3 3 4 5 5 6
66 8195 8202 8209 8215 8222 8228 8235 8241 8248 8254 1 1 2 3 3 4 5 5 6
67 8261 8267 8274 8280 8287 8293 8299 8306 8312 8319 1 1 2 3 3 4 5 5 6
68 8325 8331 8338 8344 8351 8357 8363 8370 8376 8382 1 1 2 3 3 4 4 5 6
69 8388 8395 8401 8407 8414 8420 8426 8432 8439 8445 1 1 2 2 3 4 4 5 6
70 8451 8457 8463 8470 8476 8482 8488 8494 8500 8506 1 1 2 2 3 4 4 5 6
71 8513 8519 8525 8531 8537 8543 8549 8555 8561 8567 1 1 2 2 3 4 4 5 5
72 8573 8579 8585 8591 8597 8603 8609 8615 8621 8627 1 1 2 2 3 4 4 5 5
73 8633 8639 8645 8651 8657 8663 8669 8675 8681 8686 1 1 2 2 3 4 4 5 5
74 8692 8698 8704 8710 8716 8722 8727 8733 8739 8745 1 1 2 2 3 4 4 5 5
75 8751 8756 8762 8768 8774 8779 8785 8791 8797 8802 1 1 2 2 3 3 4 5 5
76 8808 8814 8820 8825 8831 8837 8842 8848 8854 8859 1 1 2 2 3 3 4 5 5
77 8865 8871 8876 8882 8887 8893 8899 8904 8910 8915 1 1 2 2 3 3 4 4 5
78 8921 8927 8932 8938 8943 8949 8954 8960 8965 8971 1 1 2 2 3 3 4 4 5
79 8976 8982 8987 8993 8998 9004 9009 9015 9020 9025 1 1 2 2 3 3 4 4 5
80 9031 9036 9042 9047 9053 9058 9063 9069 9074 9079 1 1 2 2 3 3 4 4 5
81 9085 9090 9096 9101 9106 9112 9117 9122 9128 9133 1 1 2 2 3 3 4 4 5
82 9138 9143 9149 9154 9159 9165 9170 9175 9180 9186 1 1 2 2 3 3 4 4 5
83 9191 9196 9201 9206 9212 9217 9222 9227 9232 9238 1 1 2 2 3 3 4 4 5
84 9243 9248 9253 9258 9263 9269 9274 9279 9284 9289 1 1 2 2 3 3 4 4 5
85 9294 9299 9304 9309 9315 9320 9325 9330 9335 9340 1 1 2 2 3 3 4 4 5
86 9345 9350 9355 9360 9365 9370 9375 9380 9385 9390 1 1 2 2 3 3 4 4 5
87 9395 9400 9405 9410 9415 9420 9425 9430 9435 9440 0 1 1 2 2 3 3 4 4
88 9445 9450 9455 9460 9465 9469 9474 9479 9484 9489 0 1 1 2 2 3 3 4 4
89 9494 9499 9504 9509 9513 9518 9523 9528 9533 9538 0 1 1 2 2 3 3 4 4
90 9542 9547 9552 9557 9562 9566 9571 9576 9581 9586 0 1 1 2 2 3 3 4 4
91 9590 9595 9600 9605 9609 9614 9619 9624 9628 9633 0 1 1 2 2 3 3 4 4
92 9638 9643 9647 9652 9657 9661 9666 9671 9675 9680 0 1 1 2 2 3 3 4 4
93 9685 9689 9694 9699 9703 9708 9713 9717 9722 9727 0 1 1 2 2 3 3 4 4
94 9731 9736 9741 9745 9750 9754 9759 9763 9768 9773 0 1 1 2 2 3 3 4 4
95 9777 9782 9786 9791 9795 9800 9805 9809 9814 9818 0 1 1 2 2 3 3 4 4
96 9823 9827 9832 9836 9841 9845 9850 9854 9859 9863 0 1 1 2 2 3 3 4 4
97 9868 9872 9877 9881 9886 9890 9894 9899 9903 9908 0 1 1 2 2 3 3 4 4
98 9912 9917 9921 9926 9930 9934 9939 9943 9948 9952 0 1 1 2 2 3 3 4 4
99 9956 9961 9965 9969 9974 9978 9983 9987 9991 9996 0 1 1 2 2 3 3 3 4
N 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9
568
Apéndice VIII
Valores de e −λ
(0< <1Þ
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
0.0 1.0000 .9900 .9802 .9704 .9608 .9512 .9418 .9324 .9231 .9139
0.1 .9048 .8958 .8869 .8781 .8694 .8607 .8521 .8437 .8353 .8270
0.2 .8187 .8106 .8025 .7945 .7866 .7788 .7711 .7634 .7558 .7483
0.3 .7408 .7334 .7261 .7189 .7118 .7047 .6977 .6907 .6839 .6771
0.4 .6703 .6636 .6570 .6505 .6440 .6376 .6313 .6250 .6188 .6126
0.5 .6065 .6005 .5945 .5886 .5827 .5770 .5712 .5655 .5599 .5543
0.6 .5488 .5434 .5379 .5326 .5273 .5220 .5169 .5117 .5066 .5016
0.7 .4966 .4916 .4868 .4819 .4771 .4724 .4677 .4630 .4584 .4538
0.8 .4493 .4449 .4404 .4360 .4317 .4274 .4232 .4190 .4148 .4107
0.9 .4066 .4025 .3985 .3946 .3906 .3867 .3829 .3791 .3753 .3716
ð ¼ 1; 2; 3, ...,10Þ
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
e .36788 .13534 .04979 .01832 .006738 .002479 .000912 .000335 .000123 .000045
Nota: Para obtener valores de e −λ correspondientes a otros valores de λ, úsense las leyes de los exponentes.
Ejemplo: e −3.48 = (e −3.00 )(e −.48 ) = (0.04979)(0.6188) = 0.03081.
569
Apéndice IX
Números aleatorios
51772 74640 42331 29044 46621 62898 93582 04186 19640 87056
24033 23491 83587 06568 21960 21387 76105 10863 97453 90581
45939 60173 52078 25424 11645 55870 56974 37428 93507 94271
30586 02133 75797 45406 31041 86707 12973 17169 88116 42187
03585 79353 81938 82322 96799 85659 36081 50884 14070 74950
64937 03355 95863 20790 65304 55189 00745 65253 11822 15804
15630 64759 51135 98527 62586 41889 25439 88036 24034 67283
09448 56301 57683 30277 94623 85418 68829 06652 41982 49159
21631 91157 77331 60710 52290 16835 48653 71590 16159 14676
91097 17480 29414 06829 87843 28195 27279 47152 35683 47280
50532 25496 95652 42457 73547 76552 50020 24819 52984 76168
07136 40876 79971 54195 25708 51817 36732 72484 94923 75936
27989 64728 10744 08396 56242 90985 28868 99431 50995 20507
85184 73949 36601 46253 00477 25234 09908 36574 72139 70185
54398 21154 97810 36764 32869 11785 55261 59009 38714 38723
65544 34371 09591 07839 58892 92843 72828 91341 84821 63886
08263 65952 85762 64236 39238 18776 84303 99247 46149 03229
39817 67906 48236 16057 81812 15815 63700 85915 19219 45943
62257 04077 79443 95203 02479 30763 92486 54083 23631 05825
53298 90276 62545 21944 16530 03878 07516 95715 02526 33537
570
ÍNDICE
A
Abscisa, 4
Ajuste de curva, 316
método a mano de, 318
método de mínimos cuadrados de, 319
Ajuste de datos, 19 (ver también Ajuste de curva)
empleando papel para probabilidad, 177
mediante una distribución binomial, 195
mediante una distribución de Poisson, 198
mediante una distribución normal, 196
Aleatorio/a(s):
errores, 403
muestra, 203
números, 203
variable, 142
Aleatorización completa, 413
Análisis combinatorio, 146
Análisis de varianza, 362-401
experimentos de dos factores usando, 407
experimentos de un factor usando, 403
modelo matemático para, 403
objetivo de, 403
tablas, 406
usando cuadrados grecolatinos, 413
usando cuadrados latinos, 413
Aproximación de curvas, ecuaciones de, 317
Aproximación de Stirling a n!, 146
Aproximación normal a la distribución binomial, 174
Áreas:
en la distribución ji-cuadrada, 277
en la distribución F, 279
en la distribución normal, 173
en la distribución t, 275
Artículo defectuoso, 487
Artículo no conforme, 486
Asintóticamente normal, 204
Atributos, correlación de, 298
Autocorrelación, 351
B
Base, 2
de logaritmos comunes, 6
de logaritmos naturales, 6
Bivariada:
distribución normal, 351
población, 351
tabla o distribución de frecuencia, 366
Bloques aleatorizados, 413
C
Cálculos, 3
reglas para, 3
reglas para, empleando logaritmos, 7
Carta-C, 490
Carta de control de atributos, 481
Categorías, 37
Causas asignables, 480
Causas comunes, 480
Causas especiales, 480
Centro de gravedad, 320
Centroide, 320
Clase, 37 (ver también Intervalos de clase)
Clase modal, 43
Clasificación en un sentido, 403
Clasificaciones de dos sentidos, 407
Coeficiente cuartílico de asimetría, 125
Coeficiente cuartílico de dispersión relativa, 116
Coeficiente de asimetría de Pearson, 125
Coeficiente de correlación, 348
de tablas de contingencia, 298
fórmula producto momento para, 350
para datos agrupados, 350
rectas de regresión y, 351
teoría del muestreo y, 351
Coeficiente de correlación de orden cero, 383
Coeficiente momento de curtosis, 125
Coeficiente momento de sesgo, 125
Coeficiente percentil de curtosis, 125
Coeficientes binomiales, 173
triángulo de Pascal para, 180
Coeficientes de regresión parcial, 382
Combinaciones, 146
Comprobación de Charlier, 99
para la media y la varianza, 99
para momentos, 124
571
572 ÍNDICE
Conjunto nulo, 146
Constante, 1
Conteos o enumeraciones, 2
Contingencia, coeficiente de, 310
Coordenadas, rectangulares, 4
Corrección de Sheppard para momentos, 124
Corrección de Sheppard para varianza, 100
Corrección de Yates para continuidad, 297
Correlación, 345
auto-, 351
coeficiente de (ver Coeficiente de correlación)
de atributos, 311
espuria, 549
lineal, 345
medidas de, 346
parcial, 385
positiva y negativa, 345
rango de, 450
simple, 345
Correlación espuria, 349
Correlación múltiple, 382
Correlación parcial, 382
Correlación positiva, 346
Correlación simple, 382
Correlación sin sentido, 350
Correlación tetracórica, 299
Corridas, 449
Cuadrado latino ortogonal, 413
Cuadrados grecolatinos, 413
Cuadrados latinos, 413
ortogonales, 413
Cuadrantes, 4
Cuadrática:
curva, 317
ecuación, 35
función, 17
Cuantiles, 66
Cuartiles, 66
Curtosis, 125
coeficiente momento de, 125
coeficiente percentílico de, 125
de una distribución binomial, 173
de una distribución de Poisson, 176
de una distribución normal, 125
Curva cuártica, 317
Curva cúbica, 317
Curva de frecuencia bimodal, 41
Curva de frecuencia multimodal, 41
Curva de Gompertz, 318
Curva de grado n, 317
Curva exponencial, 318
Curva geométrica, 318
Curva logística, 318
Curva normal, 173
áreas bajo la, 173
forma estándar de, 173
ordenadas de, 187
Curvas de frecuencia, 41
relativa, 41
tipos de, 41
Curvas de frecuencia en forma de U, 41
Curvas de frecuencia sesgadas, 41
Curva simétrica o en forma de campana, 41
D
Datos:
agrupados, 38
dispersión o variación de, 89
en bruto, 37
Datos agrupados, 38
Datos continuos, 1
representación gráfica de, 57
Datos de atributos, 481
Datos discretos, 2
representación gráfica de, 54
Datos en bruto, 76
Deciles, 66
de datos agrupados, 87
errores estándar para, 206
Decisiones estadísticas, 245
Defectos, 487
Desigualdades, 5
Desviación de la media aritmética, 63
Desviación estándar, 96
de datos agrupados, 98
de distribuciones muestrales, 204
de una distribución de probabilidad, 155
intervalo de confianza para, 230
método abreviado de cálculo, 98
método de codificación para, 96
propiedades de, 98
propiedad minimal de, 98
relación con la desviación media, 100
relación entre poblacional y muestral, 97
Desviación media, 95
de la distribución normal, 174
para datos agrupados, 96
Determinación:
coeficiente de, 348
múltiple, coeficiente de, 384
Determinación múltiple, coeficiente de, 384
Diagrama de Euler, 146
Diagrama de Venn (ver Diagrama de Euler)
Diagramas (ver Gráficas)
Dígitos o cifras significativas, 3
Diseño de experimentos, 412
Diseño experimental, 412
Dispersión, 87 (ver también Variación)
absoluta, 95
coeficiente de, 100
medidas de, 95
relativa, 100
Dispersión absoluta, 100
Dispersión del proceso, 282
ÍNDICE 573
Dispersión relativa o varianza, 95
Distribución acumulada “o más”, 40
Distribución binomial, 172
ajuste de datos, 195
propiedades de, 172
prueba de hipótesis usando, 250
relación con la distribución de Poisson, 175
relación con la distribución normal, 174
Distribución ji-cuadrada, 297 (ver también Ji-cuadrada)
intervalos de confianza usando, 278
pruebas de hipótesis y significancia, 294
Distribución de Bernoulli (ver Distribución binomial)
Distribución de Poisson, 175
ajuste de datos mediante, 198
propiedades de, 175
relación con las distribuciones binomial y normal, 176
Distribución en forma de J inversa, 41
Distribuciones de frecuencia, 37
acumulada, 40
porcentual o relativa, 39
reglas para la elaboración de, 38
Distribuciones de probabilidad acumulada, 143
Distribuciones de probabilidad continua, 143
Distribuciones de probabilidad discreta, 142
Distribuciones muestrales, 204
de diferencias y sumas, 205
de diversos estadísticos, 204
de medias, 204
de proporciones, 205
experimentales, 208
Distribuciones unilaterales y bilaterales, 247
Distribución F, 279 (ver también Análisis de varianza)
Distribución multinomial, 177
Distribución normal, 173
forma estándar de, 174
proporciones de, 174
relación con la distribución binomial, 174
relación con la distribución de Poisson, 176
Distribución t, 275
Distribución unimodal, 64
Dominio de una variable, 1
E
Ecuaciones, 5
cuadráticas, 35
de curvas de aproximación, 317
de regresión, 382
equivalentes, 5
miembros izquierdo y derecho de, 5
simultáneas, 25, 34
solución de, 5
trasposición en, 26
Ecuaciones normales:
para el plano de mínimos cuadrados, 321
para la parábola de mínimos cuadrados, 320
para la recta de mínimos cuadrados, 320
Ecuaciones simultáneas, 5
Ejes X y Y de un sistema de coordenadas rectangulares, 4
Eje Y, 4
Empates en la prueba H de Kruskal-Wallis, 448
en la prueba U de Mann-Whitney, 447
Entrada de una tabla, 42
Enumeraciones, 2
Error de agrupación, 39
Error estándar de estimación, 348
modificado, 348
Error probable, 230
Errores:
de agrupación, 39
de redondeo, 2
probables, 230
Errores de redondeo, 2
Errores de redondeo acumulados, 2
Errores estándar de distribuciones muestrales, 206
Errores tipo I y tipo II, 246
Espacio de cuatro dimensiones, 385
Espacio muestral, 146
Esperanza matemática, 144
Estadística, 1
deductiva o descriptiva, 1
definición de, 1
inductiva o inferencial, 1
Estadística deductiva, 1
Estadística descriptiva, 1
Estadística inductiva o inferencial, 1
Estadístico de prueba, 247
Estadístico H, 448
Estadístico muestral, 1
Estadístico U, 447
Estadísticos muestrales, 203
Estimación, 227
Estimaciones (ver también Estimación)
eficientes e ineficientes, 228
puntual y de intervalo, 228
sesgadas y no sesgadas, 227
Estimaciones insesgadas, 227
Estimaciones por intervalo, 228
Estimaciones y estimadores eficientes, 228
Estimaciones y estimadores ineficientes, 228
Estimación puntual, 228
Estimación sesgada, 227
Evento compuesto, 143
Eventos, 140
compuestos, 140
dependientes, 140
independientes, 140
mutuamente excluyentes, 141
Eventos dependientes, 140
Eventos independientes, 140
Eventos mutuamente excluyentes, 141
Éxito, 139
Expansión multinomial, 177
Experimento de dos factores, 407
Experimento de un factor, 403
Exponente, 2
574 ÍNDICE
F
Factores de ponderación, 62
Factorial, 143
Fórmula de Spearman para la correlación por rangos, 450
Fórmula de Stirling para, 146
Fórmula o expansión binomial, 173
Fórmula para el interés compuesto, 85
Fórmula producto momento para el coeficiente de
correlación, 350
Fracaso, 139
Frecuencia (ver también Frecuencia de clase)
acumulada, 40
modal, 41
relativa, 40
Frecuencia acumulada, 40
Frecuencia de clase, 37
Frecuencia relativa, 39
curvas, 39
definición de probabilidad, 139
distribución, 39
tabla, 39
Frecuencias de celda, 496
Frecuencias esperadas o teóricas, 181
Frecuencias marginales, 294
Frecuencias observadas, 294
Frecuencias teóricas, 295
Fronteras de clase, inferior y superior, 38
Función, 4
de distribución, 142
de frecuencia, 142
de probabilidad, 139
lineal, 318
multivaluada, 4
univaluada, 4
Función de densidad, 144
Función de distribución, 142
Función de frecuencia, 142
Función de probabilidad, 142
Funciones univaluadas, 4
G
Gosset, 276
Grados de libertad, 276
Gráfica, 5
de barras, 18
de pastel, 5
Gráfica cero, 489
Gráfica circular (ver Gráfica o carta de pastel)
Gráfica Cusum, 490
Gráfica de efectos principales, 429
Gráfica de interacción, 429
Gráfica de medianas, 489
Gráfica de Pareto, 504
Gráfica EWMA, 490
Gráfica NP, 487
Gráfica o carta de pastel, 5
Gráfica-P, 487
Gráfica U, 490
Gráficas de control, 480
Gráficas individuales, 489
Gráficas o cartas de barras, parte componente, 4
Gráficas X barra y R, 481
Gran media, 404
H
Hipérbola, 318
Hiperplano, 385
Hipótesis, 245
alternativa, 245
nula, 245
Hipótesis alternativa, 245
Hipótesis nula, 245
Histogramas, 39
cálculo de medianas para, 64
de frecuencia porcentual o relativa, 39
de probabilidad, 153
Hoja de conteo, 39
I
Identidad, 5
Índice CP, 485
Índice CPK, 485
Índice de capacidad del proceso, 485
Índice de capacidad inferior, 485
Índice de capacidad superior, 485
Interacción, 411
Interés compuesto, 85
Interpolación, 7
Intersección, 319
Intersección con el eje X, 283, 289-291
Intersección de conjuntos, 146
Intervalo de confianza:
en correlación y regresión, 374
para desviaciones estándar, 230
para diferencias y sumas, 230
para medias, 229
para proporciones, 229
usando la distribución ji-cuadrada, 278
usando la distribución normal, 229-230
usando la distribución t, 276
Intervalos de clase, 38
abierto, 38
amplitud o tamaño de, 38
desiguales, 51
mediano, 64
modal, 43
J
Ji-cuadrada, 294
correlación de Yates para, 297
definición de, 294
fórmulas para, en tablas de contingencia, 297
para bondad de ajuste, 295
propiedad aditiva de, 299
prueba, 295
ÍNDICE 575
L
Leptocúrtica, 125
Límite inferior de control, 480
Límite inferior de especificación, 484
Límite superior de control, 480
Límite superior de especificación, 484
Límites de clase, 38
inferior y superior, 38
verdaderos, 38
Límites de confianza, 229
Límites de control, 480
Límites de especificación, 484
Línea central, 480
Línea recta, 317
ecuación de, 317
mínimos cuadrados, 318
pendiente de, 318
regresión, 321
Logaritmos, 6
base de, 6
cálculos usando, 7
comunes, 6
naturales, 6
Logaritmos comunes, 6
Logaritmos naturales, base de, 6
Longitud, tamaño o amplitud de clase, 38
M
Marca de clase, 38
Media aritmética, 61
calculada a partir de datos agrupados, 63
comprobación de Charlier para, 99
de medias aritméticas, 63
de una población y de una muestra, 144
distribuciones de probabilidad, 142
efecto de valores extremos (o atípicos) en, 71
método de codificación para calcularla, 63
método largo y método abreviado para calcularla, 63
ponderada, 62
propiedades de la, 63
relación con la mediana y la moda, 64
relación con las medias geométrica y armónica, 66
supuesta o adivinada, 63
Media armónica, 65
ponderada, 86
relación con las medias aritmética y geométrica, 66
Media del grupo, 404
Media geométrica, 65
de datos agrupados, 83
idoneidad para promedios de cocientes, 84
ponderada, 84
relación con las medias aritmética y armónica, 66
Mediana, 64
calculada a partir de un histograma o de una ojiva
porcentual, 64
de datos agrupados, 64
efecto de valores atípicos sobre la, 78
relación con la media aritmética y con la moda, 64
Medias de renglón, 403
Medias de tratamiento, 345
Mediciones, 2
Medidas de tendencia central, 61
Mejor estimación, 228
Mesocúrtica, 125
Método a mano para el ajuste de curvas, 318
Método de conteo en la prueba U de Mann-Whitney, 447
Métodos de codificación, 63
para el coeficiente de correlación, 350
para el momento, 124
para la desviación estándar, 98
para la media, 63
Mínimos cuadrados:
curva, 319
parábola, 320
plano, 321
recta, 319
Moda, 64
de datos agrupados, 64
fórmulas para, 64
relación con la media y la mediana, 65
Modelo o distribución teórica, 177
Momentos, 123
adimensionales, 124
correcciones de Sheppard para, 124
definición de, 123
método de codificación para el cálculo de, 124
para datos agrupados, 123
relaciones entre, 124
verificación de Charlier para el cálculo de, 124
Momentos adimensionales, 124
Muestra, 1
Muestreo:
con reemplazo, 204
sin reemplazo, 204
N
Nivel de significancia, 246
Niveles de confianza, tablas de, 229
No aleatoria, 449
No lineal:
correlación y regresión, 346
ecuaciones, reducibles a forma lineal, 320
regresión múltiple, 382
relación entre variables, 316
Notación científica, 2
Número muestral, 213
O
Ojivas, 40
deciles, percentiles y cuartiles obtenidos de, 87
mediana obtenida de, 78
“menos de”, 52
“o más”, 52
porcentual, 53
suavizada, 53
576 ÍNDICE
Ordenaciones, 37
Ordenadas, 4
Origen, 5
P
Papel para gráficas
de probabilístico, 177
log-log, 339
semilogarítmico, 318
Papel semilog, 318
Parábola, 320
Parámetros, estimación de, 227
Parámetros poblacionales, 228
Partes por millón (ppm), 484
Patrón cíclico en pruebas de corridas, 449
Pendiente de una recta, 318
Percentiles, 66
Permutaciones, 145
Plano, 4
Plano XY, 4
Platicúrtica, 125
Población, 1
Polígonos de frecuencia, 39
porcentuales o relativos, 39
suavizados, 41
Polinomios, 318
Ponderada:
media aritmética, 62
media armónica, 85
media geométrica, 83
Porcentual:
distribución, 39
distribuciones acumuladas, 39
frecuencia acumulada, 39
histograma, 38
ojivas, 39
Probabilidad, 139
análisis combinatorio y, 143
axiomática, 140
condicional, 140
definición clásica de, 139
definición de, mediante frecuencias relativas, 140
distribuciones de, 142
empírica, 140
reglas fundamentales de, 146
relación con la teoría de conjuntos, 146
Probabilidad condicional, 140
Probabilidad empírica, 139
Progresión aritmética:
momentos de, 136
varianza de, 120
Promedio, 62
Proporción de no conformes, 484
Proporciones, 205
distribución muestral de, 205
intervalo de confianza para, 229
pruebas de hipótesis para, 245
Prueba de bondad de ajuste, 177 (véase también Ajuste de
datos)
Prueba de dos lados o de dos colas, 247
Prueba de homogeneidad de la varianza, 285
Prueba de los signos, 446
Prueba de normalidad, 196
Prueba H de Kruskal-Wallis, 448
Pruebas:
de hipótesis y de significancia, 245
en las que interviene la distribución binomial, 250
en las que interviene la distribución normal, 246
para causas especiales, 484
para diferencias de medias y proporciones, 249
para medias y proporciones, 249
relacionadas con correlación y regresión, 352
Pruebas no paramétricas, 446
para correlación, 450
prueba de corridas, 449
prueba de los signos, 449
prueba H de Kruskal-Wallis, 448
prueba U de Mann-Whitney, 447
Prueba U de Mann Whitney, 454
Punto cero, 4
Puntuaciones estándar, 101
Puntuación o estadístico t, 275
Q
Quintiles, 87
R
Raíz cuadrada media, 66
Rango, 95
intercuartílico, 96
percentil 10-90, 96
semiintercuartílico, 96
Rango, coeficiente de correlación por, 450
Rango intercuartílico, 96
semi-, 96
Rango percentil, 96
Rango percentílico 10-90, 96
Rango semiintercuartílico, 96
Redondeo de datos, 2
Región crítica, 247
Región de aceptación, 247 (ver también Hipótesis)
Reglas de decisión, 246 (ver también Decisiones
estadísticas)
Regresión, 321
curva de, 321
múltiple, 345
plano, 321
recta, 321
simple, 343
superficie, 322
teoría muestral de, 352
Relación empírica entre media, mediana y moda, 64
Relación empírica entre medidas de dispersión, 100
Residual, 319
ÍNDICE 577
S
Sesgo, 41
coeficiente cuartílico de, 125
coeficiente de sesgo percentílico 10-90, 125
coeficientes de Pearson de, 125
distribución binomial, 172
distribución de Poisson, 175
distribución normal, 173
negativo, 41
Signos de desigualdad, 5
Solución de ecuaciones, 5
Subgrupos, 418
Subíndices, 61
Sumatoria, 61
T
Tabla, 4
Tabla de correlación, 350
Tablas de contingencia, 296
coeficiente de correlación de, 298
fórmulas para ji-cuadrada en, 298
Tablas de frecuencia (ver también Distribuciones
de frecuencia)
acumulada, 40
relativa, 40
Teorema del límite central, 204
Teorema o regla de Bayes, 170
Teoría de las muestras pequeñas, 275
Teoría del muestreo, 203
de correlación, 351
de regresión, 352
muestras grandes, 207
uso de, en estimación, 227
uso de, en pruebas de hipótesis y de significancia, 245
Teoría exacta del muestreo o teoría de las muestras pequeñas,
181
Tratamiento, 345
Triángulo de Pascal, 180
U
Unidad de inspección, 489
Unión de conjuntos, 146
V
Valor absoluto, 95
Valores críticos, 248
Valores críticos (o coeficientes de confianza), 228
valor-p, 245
Variable, 1
continua, 1
datos, 480
dependiente, 4
discreta, 1
distribuida normalmente, 173
dominio de, 1
estandarizada, 101
gráfica de control, 480
independiente, 4
relación entre, 316 (ver también Ajuste de curva;
Correlación; Regresión)
Variable continua, 1
Variable dependiente, 4
cambio de, en ecuaciones de regresión, 284
Variable discreta, 1
Variable estandarizada, 101
Variable independiente, 4
Variación, 95 (ver también Dispersión)
coeficiente cuartílico de, 116
coeficiente de, 100
explicada y no explicada, 348
residual, 408
total, 348
Variación explicada, 348
Variación no explicada, 348
Variación residual, 409
Variación total, 348
Varianza, 97 (ver también Desviación estándar)
combinada o conjunta, 98
comprobación de Charlier para, 99
corrección de Sheppard para, 100
de una distribución de probabilidad, 204
muestral modificada, 227
relación entre poblacional y muestral, 14
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