-H D D —• * • W illiam H . Hayt,Jr, • Jack E. Kemmerly • Steven M. Durbin Código de colores de las resistencias Negro Café Color de la banda Valor numérico 0 1 Rojo Naranja Amarillo Verde Azul Violeta 2 3 'lo. trámete 4 5 6 7 Gris Blanco 8 9 Banda de tolerancia(ejemplo, oro - 5%, plata —1 0 %, ninguna = 2 0 %) 1. Escriba el valor numérico correspondiente a la primera banda desde la izquierda. 2. Escriba el valor numérico correspondiente a la segunda banda desde la izquierda. 3. Escriba el número de ceros que indica la banda multiplicadora, la cual representa una potencia de 10 (negro 5 sin ceros adicionales, café 5 1 cero, etc.) Una banda multiplicadora de color oro indica que el decimal se corre un lugar hacia la izquierda; una banda multiplicadora de plata indica que el decimal se corre dos lugares hacia la izquierda. 4. La banda de tolerancia representa la precisión. Así que, por ejemplo, no sería una sorpresa encontrar una resistencia de 100 fl con una tolerancia de 5% cuyo valor medido se encuentre en algún punto dentro del rango de 95 a 105 fl. Ejemplo Rojo Rojo Naranja Oro =22000 Azul Gris Oro = 6 .8 o22xl03 o 6 8 x 10_1 = 22 k£2, 5% de tolerancia = 6 .8 £2, 20% de tolerancia Valores estándar de resistencias con tolerancia de 5% 1.0 1.1 1.2 1.3 1.5 1.6 1.8 2.0 2.2 2.4 2.7 3.0 3.3 3.6 3.9 4.3 4.7 5.1 5.6 6.2 6.8 7.5 8.2 9.1 £2 10. 11. 12. 13. 15. 16. 18. 20. 22. 24. 27. 30. 33. 36. 39. 43. 47. 51. 56. 62. 68. 75. 82. 91. 100 110 120 130 150 160 180 200 220 240 270 300 330 360 390 430 470 510 560 620 680 750 820 910 £2 1.0 1.1 1.2 1.3 1.5 1,6 1.8 2.0 2.2 2.4 2.7 3.0 3.3 3.6 3.9 4.3 4.7 5.1 5.6 6.2 6.8 7.5 8.2 9.1 kn 10. 11. 12. 13. 15. 16. 18. 20. 22. 24. 27. 30. 33. 36. 39. 43. 47. 51. 56. 62. 68. 75. 82. 91. k£2 100 110 120 130 150 160 180 200 220 240 270 300 330 360 390 430 470 510 560 620 680 750 820 910 kn 1.0 1.1 1.2 1.3 1.5 1.6 1.8 2.0 2.2 2.4 2.7 3.0 3.3 3.6 3.9 4.3 4.7 5.1 5.6 6.2 6.8 7.5 8.2 9.1 M£2 14.1 TABLA Pares de transform adas de Laplace m = £ - ' l F(s)} F(s) = C{f(t)}, m = £ ' ' {F(S 1 á (t) & -a 1 - s 1 tu(t) tn~ l • e~Mu(t) te~mu(ñ -e~tt,u w u( t ) ,f in —= i 1 , ,2 — , ,. .. . .. --------------------- r ( « — !)! 1 — s Sj + Cú- "íw é n lW + 9) u ( t ) s'! 1 1 ------ 'íj^T sen - — ----(s -f- o- ; ^ _ f +<" --;----;----- s - + t!>* lo , (s + ------------------ ssenc) )-í-jcosí5 scosO - osent) costó* + S-jwH S + Cf ------- r sr + C0‘ COiCOTU(l) s- (ii?- I* io secuoruü) . — -sot) ,« = 1 ,2 . .. . ( s r f f ) ( s + /l) (S h ü!); + tu2- e f ^ cc, o s ov j/vt/oi/(l) Kut, 11 ) / v i (s + a ) 1 + l lo- TABLA 6.1 Resum en de circuitos básicos de am p ops Nombre Relación entrada-salida Esquema del circuito ^sa! — A m p lif ic a d o r in v e r s o r A m p l i f i c a d o r n o - in v e r s o r Al VSal S e g u id o r d e v o lt a je ( t a m b ié n c o n o c id o c o m o a m p lif ic a d o r d e g a n a n c ia u n it a r ia ) ^sal A m p lif ic a d o r s u m a d o r *%ni Ifcal = ---- “ (l'l + «2 + V3 ) K A m p lif ic a d o r d if e r e n c ia Rf n *%nt R i ANALISIS DE CIRCUITOS EN INGENIERÍA ANALISIS DE CIRCUITOS EN INGENIERÍA SÉPTIM A EDICIÓN William H. Hayt, ir. (finado) Purdue University Jack E. Kemmerly (finado) California State University Steven M. Durbin University o f C anterbury Te Whare W ánanga o Waitaha Revisión técnica: Ahmed Zekkour Zekkour Jefe d e l Á re a Eléctrica U niversidad A u tó n o m a M etropolitana-A zcapotzalco l U s T i T U T O r w m im c o íS U í P IH R IO R D E . í ^ A P Ü .A T O MEXICO • BOGOTA • BUENOS AIRES • CARACAS MADRID • NUEVA YORK • SAN JUAN • SANTIAGO • LONDRES • MILÁN • MONTREAL • NUEVA DELHI • SINGAPUR • SAN LUIS • SIDNEY • TORONTO Director Higher Education: Miguel Ángel Toledo Castellanos Director editorial: Ricardo A. dei Bosque Alayón Editor sponsor: Pablo E. Roig Vázquez Editora de desarrollo: Lorena Campa Rojas Supervisor de producción: Zeferino García García Traducción: Carlos Roberto Cordero Pedraza ANÁLISIS DE CIRCUITOS EN INGENIERÍA Séptima edición Prohibida la reproducción total o parcial de esta obra, por cualquier medio, sin la autorización escrita del editor. Me G ra i/v M cG raw -H ill Interam ericana DERECHOS RESERVADOS © 2007 respecto a la séptima edición en español por McGRAW-HILL/INTERAMERICANA EDITORES, S A . DEC.V. A Subsidiary o fT h e M cGraw-Hill Companies, Inc. Edificio Punta Santa Fe Prolongación Paseo de la Reforma 1015, Torre A Piso 17, Colonia Desarrollo Santa Fe, Delegación Alvaro Obregón C .P 01376, México, D. F. Miembro de la Cámara Nacional de la Industria Editorial Mexicana, Reg. Núm. 736 Fotografías de portada: Imagen de la cabina del avión © PhotoLinkJGetty Images Aerogeneradores: Russell Illig/Getty Intages Multímetro gráfico Fluke: Cortesía de Fluke Corporation Tarjeta de un Procesador Intel® Pentium® M (Dothan): Cortesía de Intel Corporation ISBN-13: 978-970-10-6107-7 ISBN-10: 970-10-6107-1 (ISBN: 970-10-3694-8 edición anterior) Traducido de la séptima edición en inglés de la obra ENGINEERING CIRCUITANALYSIS, byW illiam H. Hayt, Jack E. Kemmerlv and Steven M. Durbin. Copyright © 2007 by The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. ISBN-10: 0-07-286611-X ISBN-13: 978-0-07-286611-7 2345678901 09765432108 Impreso en China Impreso por CTPS Printed in China Printed by CTPS Pnrsi Venn uk'rirrí I /1meinr n/irte ■1/’ tn/inn ln t dín<! y ■ p NUESTRO COMPROMISO CON LA EXACTITUD #----------------------------------------------------------------------------------------------------El lector tiene el derecho de esperar un libro preciso y la división de Ingeniería de McGraw-Hill invierte una cantidad de tiempo y esfuerzo considerables para asegurarse de entregarle lo que desea. A continuación se muestran los diferentes pasos que tomamos en este proceso. NUESTRO PROCESO DE VERIFICACIÓN DE LA EXACTITUD s -------------------------------------------------------------------------P rim e ra e ta p a Paso 1: Un número significativo de profesores de ingeniería a nivel universi­ tario revisa el manuscrito y reporta los errores al equipo editorial. Los autores revisan sus comentarios y efectúan las correcciones necesarias en su manuscrito. S e gunda e ta p a Paso 2: Un experto en el campo de estudio revisa cada ejemplo y ejercicio del manuscrito final para verificar la exactitud de los ejemplos, ejercicios y respues­ tas. Los autores revisan las correcciones que resulten y las incorporan en el ma­ nuscrito final y en el manual de soluciones. Paso 3: El manuscrito se entrega a un editor de textos, que revisa todas las pá­ ginas a fin de encontrar errores gramaticales y de estilo. Al mismo tiempo, el ex­ perto en el campo de estudio comienza a llevar a cabo una segunda revisión de la exactitud. Todas las correcciones se someten de manera simultánea a la con­ sideración de los autores, quienes revisan e integran la edición y, posteriormen­ te, someten las páginas del manuscrito a la composición de letras de imprenta. Tercera e ta p a Paso 4: Los autores revisan sus pruebas con un doble propósito: 1) asegurarse de que se hayan efectuado de forma correcta las correcciones previas y, 2 ) en­ contrar cualquier error que no haya sido detectado. Paso 5: Se asigna al proyecto un revisor del texto para analizar las pruebas de las páginas, verificar por segunda vez el trabajo del autor, así como para adicio­ nar un análisis crítico al libro. Se incorporan las revisiones en el nuevo lote de páginas las cuales son sometidas de nueva cuenta a verificación por parte del autor. C u a rta e ta p a Paso 6 : El equipo de autores somete el manual de soluciones a la persona ex­ perta en el campo de estudio, a fin de que éste compare las páginas de texto con el manual de soluciones a manera de una revisión final. Paso 7: El gerente del proyecto, el equipo editorial y el equipo del autor re­ visan las páginas del texto como una verificación final de su exactitud. El texto de ingeniería residíante ha pasado a través de varias etapas donde se ha asegurado su calidad y se ha verificado que se encuentre libre de errores y que sea lo más preciso posible. Nuestros autores y el grupo editorial confían que, a través de este proceso, se entregan libros de texto que sean líderes en el merca­ do en cuanto a su precisión e integridad técnica. ACERCA DE LOS AUTORES W IL U A M H. HAYT, JR. cursó su licenciatura y maestría en la Universidad Purdue, y su doctorado en la Universidad de Illinois. Después de pasar cua­ tro años en la industria, el profesor Hayt ingresó a la Facultad de Ingeniería de la Universidad Purdue, donde colaboró como profesor y jefe de la Escue­ la de Ingeniería Eléctrica y como profesor emérito luego de retirarse en 1986. Además de la obra Análisis de circuitos en ingeniería, el profesor Hayt es autor de otros tres libros,, entre los que se incluyen Teoría electro­ magnética, ahora publicado en su sexta edición por McGraw-Hiil. El profe­ sor Hayt ha pertenecido a las siguientes sociedades profesionales: Eta Kappa Nu, Tau Beta Pi, Sigma Xi, Sigma Delta Chi, miembro del IEEE, ASEE y NAEB. Mientras estuvo en Purdue, recibió varios premios a la enseñanza, entre los que se cuentan el premio al mejor profesor universitario. También se encuentra en la lista del libro de grandes maestros de Purdue, un muro permanente que se exhibe en Purdue Memorial Union, donde quedó inscri­ to el 23 de abril de 1999. El libro lleva los nombres del grupo inaugural de 225 miembros de la facultad, del pasado y el presente, quienes dedicaron sus vidas a la excelencia en la enseñanza y la erudición. Fueron elegidos por los estudiantes y colegas como los mejores educadores de Purdue. JACK E. K EM M ER LY recibió su licenciatura con grado M agna Cum Laude por parte de la Universidad Católica de América, su maestría por parte de la Universidad de Denver y su doctorado de la Universidad Purdue. Enseñó primero en esta última universidad y después trabajó como ingeniero en je ­ fe en la División de Aeroneutrónica de Ford Motor Company. Después in­ gresó a la Universidad Estatal de California, en Fullerton, donde se desem­ peñó como profesor, director de la Facultad de Ingeniería Eléctrica, director de la División de Ingeniería y profesor emérito. El profesor Kemmerly ha pertenecido a las siguientes sociedades profesionales: Eta Kappa Nu, Tau Beta Pi, Sigma Xi, ASEE e IEEE (miembro Sénior). Sus intereses fuera de la academia incluyen ser oficial de la Little League y jefe de grupo de los Boy Scouts. STEVEN M . D U R B IN cursó su licenciatura, maestría y doctorado en las uni­ versidades de Purdue, West Lafayette e Indiana, respectivamente. Luego de obtener su doctorado, ingresó al Departamento de Ingeniería Eléctrica de la Universidad de Florida A&M y de la Universidad Estatal de Florida. En agosto de 2000 aceptó un puesto académico en la Universidad de Canterbury, en Christchurch. Nueva Zelanda, donde enseña circuitos, electrónica y cursos relacionados con el estado sólido; asimismo, realiza investigaciones sobre nuevos materiales aplicados a la electrónica y estructuras de dispositi­ vos. Es miembro sénior del IEEE así como miembro de Eta Kappa Nu, la Electron Devices Society, la American Physical Society y la Royal Society de Nueva Zelanda. e pretende que la lectura de este libro sea una experiencia placentera, aun cuando el texto sea por necesidad científicamente riguroso y un tanto m a­ temático. Nosotros, los autores, tratamos de compartir la idea de que el análisis de circuitos resulta entretenido. No sólo es útil y del todo esencial para el estudio de la ingeniería, sino también una maravillosa capacitación para el pensamiento lógico: es bueno incluso para aquellos que quizá nunca analicen otro circuito en su carrera profesional. Mirando retrospectivamente, luego de fi­ nalizar el curso, muchos estudiantes se sorprenden en verdad por todas las exce­ lentes herramientas analíticas que se derivan sólo de tres leyes científicas sim­ ples: la ley de Ohm y las leyes de tensión y de corriente de Kirchhoff. En muchas universidades públicas y privadas, el curso introductorio de Inge­ niería Eléctrica será precedido o estará acompañado por uno introductorio de Fí­ sica, en el que se presentan los conceptos básicos de la electricidad y el magne­ tismo, casi siempre a partir del aspecto de campo. Sin embargo, los antecedentes de este tipo no constituyen un prerrequisito, sino que varios de los conceptos bá­ sicos esenciales de la electricidad y el magnetismo se explican (o revisan), según se necesite. Para la lectura del libro, sólo se requiere haber tomado un curso in­ troductorio de cálculo como prerrequisito, o quizás como correquisito. Los ele­ mentos de circuito se presentan y definen aquí en términos de sus ecuaciones de circuito; sólo se ofrecen comentarios incidentales acerca de relaciones de cam­ po pertinentes. En el pasado, tratamos de presentar el curso básico del análisis de circuitos viendo en tres o cuatro semanas la teoría del campo electromagnético, a fin de poder definir los elementos de circuito con mayor precisión, en términos de las ecuaciones de Maxwell. Los resultados, en especial con respecto de la aceptación de los estudiantes, no fueron buenos. Pretendemos que este texto ayude a los estudiantes a enseñarse a sí mismos la ciencia del análisis de circuitos. Está dirigido al estudiante, y no al profesor, pues el primero es quien tal vez dedique más tiempo a leerlo. Se hizo el máximo esfuerzo para que cada término nuevo se definiera claramente cuando se presen­ ta por primera vez. El materia] básico aparece al inicio de cada capítulo y se ex­ plica con cuidado y en detalle; se emplean numerosos ejemplos para presentar y sugerir resultados generales. Aparecen problemas prácticos a lo largo de cada capítulo, los cuales resultan por lo general simples; asimismo, se dan respuestas en orden eu las diversas partes. Los problemas más difíciles aparecen al final de los capítulos y siguen el orden general de presentación del material del texto. Es­ tos problemas se utilizan en ocasiones para introducir temas menos importantes o más avanzados, a través de un procedimiento guiado paso a paso, así como pa­ ra presentar temas que aparecerán en el siguiente capítulo. La presentación y la repetición resultante son importantes para el proceso de aprendizaje. En total, hay más de 1 2 0 0 problemas de fin de capítulo, además de numerosos problemas de práctica y más de 170 ejemplos trabajados. L a mayor parte de los ejercicios es nueva en esta edición, y con el auxilio de varios colegas, cada problema se re­ solvió a mano y se verificó en computadora cuando así convenía. S X» ------ W V PREFACIO Si en ocasiones el libro parece ser informal, o incluso ligero, se debe a que no es necesario ser secos o pomposos para ser educativos. Las sonrisas sorpresivas en las caras de nuestros estudiantes rara vez son obstáculo para que absorban infor­ mación. Si la redacción del libro tuvo sus momentos de entretenimiento, entonces, ¿por qué no pensar también lo mismo en el caso de la lectura ? La presentación del material en el texto representa un proceso evolutivo a través de los cursos impar­ tidos en la Universidad de Purdue; la Universidad Estatal de California, Fullerton; Fort Lewis College en Durango; el programa de Ingeniería conjunto de la Univer­ sidad de Florida A&M y la Universidad Estatal de Florida; y la Universidad de Canterbury (Nueva Zelanda). Dichos estudiantes vieron todo desde el principio y sus comentarios y sugerencias frecuentes se agradecen infinitamente. Es un verdadero honor poder ser el coautor de Análisis de circuitos en Ingenie­ ría, publicado por primera vez en 1962. Ahora en su séptima edición, este libro ha experimentado tanto un progreso permanente como un cambio importante en la for­ ma en que se enseña el análisis de circuitos. Yo lo utilicé como estudiante en la ca­ rrera de ingeniería en Purdue, donde tuve la fortuna de tomar este curso con el mismo Bill Hayt, que sin duda es uno de los mejores profesores que jamás haya tenido. Existen varias características dignas de mencionarse en Análisis de circuitos en Ingeniería que han propiciado su éxito. Está muy bien estructurado y probado por el tiempo, y los conceptos clave se presentan en un formato muy lógico, aun­ que también se vinculan de manera clara en un marco de referencia mayor. Tam­ bién cuenta con análisis bien ubicados, mezclados con ejemplos de gran utilidad y problemas prácticos excelentes. No se escatima cuando se trata de presentar la teoría en la que se basa un tema en particular o en el desarrollo de las bases m a­ temáticas correspondientes. Sin embargo, todo ha sido cuidadosamente diseña­ do para ayudar al estudiante en el aprendizaje de cómo llevar a cabo el análisis de circuitos por sí mismo; la teoría con el propósito de teorizar se deja para otros textos. Bill Hayt y Jack Kemmerly realizaron un gran trabajo en la creación de la primera edición y su deseo de transmitir al lector paite de su entusiasmo des­ bordante aparece en cada capítulo. LO NUEVO EN LA SÉPTIMA EDICIÓN ^ _______________ Cuando se tomó la decisión de hacer esta séptima edición a todo color, todos los miembros del equipo de producción hicieron todo su esfuerzo para hacer lo me­ jor de esta excitante oportunidad. Un sinnúmero de borradores (estoy seguro que alguna persona del departamento de contabilidad los contó), revisiones, mode­ los y machotes cruzaron el ether (net), a medida que poníamos todo nuestro es­ fuerzo para hacer que todo el trabajo a colores representara un ventaja para el estudiante. El resultado final de este trabajo en equipo, considero, es difícil de al­ canzar. Existen muchos otros cambios con respecto a la sexta edición, aunque se ha puesto especial cuidado en la conservación de las características clave, el flu­ jo general de ideas y el contenido en su totalidad para beneficio de los profeso­ res actuales. Por lo tanto, una vez más, hemos utilizado diferentes iconos: Ofrece una advertencia de errores comunes Indica un punto específico que vale la pena observar * PREFACIO Denota un problema de diseño para el cual no existe una solución única Indica un problema que requiere del análisis asistido por computadora Con la idea de que los paquetes de software sobre ingeniería pueden ser de ayu­ da en el proceso de aprendizaje, pero que no deben ser utilizados como muletas, los problemas al final de cada capítulo marcados con se encuentran dise­ ñados de tal form a que el software se utilice para verificar las respuestas y no pa­ ra proporcionarlas. Muchos profesores se ven en apuros para cubrir el material requerido para su curso específico sobre circuitos y, por lo tanto, pueden saltarse algunos de los capítulos. Esto es particularmente válido en el tem a de amplificadores operaciotiales, por lo que ése y subsecuentes capítulos se han escrito de tal forma que el material pueda ser omitido sin que ello signifique pérdida de claridad o flujo. La decisión de colocar el capítulo 6 inmediatamente después de terminar el análisis de cd se tomó a fin de que los circuitos de amp ops puedan utilizarse para reforzar las técnicas del análisis de circuitos que se estudiaron en capítu­ los anteriores. Los efectos transitorios y la respuesta en frecuencia, con excep­ ción de la velocidad de bajada, se incluyen al final de los capítulos relevantes, lo cual evita tener una sobrecarga de información, a la vez que proporciona un gran número de oportunidades para el uso de los amp ops como ejemplos prác­ ticos de los conceptos sobre análisis de circuitos que se están estudiando. Vale la pena también mencionar aquí el tema de la frecuencia compleja. Bill Hayt fue de la idea de que las transformadas de Laplace deberían presentarse co­ mo un caso especial de las transformadas de Fourier, esto es, un ejercicio mate­ mático directo. Sin embargo, muchos programas no abarcan los conceptos que se basan en Fourier hasta los cursos posteriores sobre señales y sistemas, por lo que él y Jack Kemmerly le presentan al estudiante la noción de frecuencia com­ pleja como una extensión de los fasores. Se ha conservado esta técnica amigable para el estudiante y representa una característica de gran valor del texto, donde otros tratamientos a menudo comienzan el capítulo sobre anáfisis de Laplace es­ tableciendo simplemente la transformada integral. LOS CAM BIOS EN LA SÉPTIMA EDICIÓN INCLUYEN: --------------------------------------- --------------------------------------------------------- • -------1. Un gran número de ejemplos nuevos y revisados, en particular en la parte de análisis transitorio (capítulos 7, 8 y 9). 2. Una gran cantidad de reescritura y expansión del material sobre amp ops en el capítulo 6 . Este material incluye ahora el análisis de su uso para construir fuentes de corriente y de voltaje, y de velocidad de bajada, comparadores y amplificadores de instrumentación. Se analizan a detalle varios tipos de confi­ guraciones, pero algunas variaciones se dejan a los estudiantes a fin de que puedan resolverlas por sí mismos. 3. La adición de varios cientos de problemas al final de cada capítulo. 4. Varias tablas nuevas para referencia rápida. 5. Atención minuciosa a cada ejemplo a fin de asegurar explicaciones conci­ sas, pasos intermedios apropiados y figuras adecuadas. Como se hizo en la sexta edición, cada ejemplo está redactado de forma similar a una pregunta de examen y diseñado para ayudar en la resolución de problemas, contra­ riamente a la ilustración del concepto. * ■VvV A/VV • PREFACIO 6 . En respuesta a los comentarios de muchos estudiantes, se ha incluido una gran variedad de problemas al final de cada capítulo, en los que se cuentan problemas directos para “proporcionar confianza en sí mismo” . 7. La sección de “Metas y objetivos” al comienzo de cada capítulo ha sido rebautizada como “Conceptos clave”, a fin de proporcionar una referencia rápida del contenido de cada uno. 8 . Se han agregado algunas secciones de “Aplicación práctica”, a la vez que se han actualizado las existentes. 9. Nuevas fotos, mucha de ellas en cuatro colores, a fin de agregar una pers­ pectiva visual de los temas relevantes. 10. El nuevo software multimedia (en línea) que acompaña a este libro incluye una actualización, que había sido anticipada por un largo tiempo, del m a­ nual de soluciones COSMOS, creado por los profesores. L a inesperada muerte de Bill Hayt muy al comienzo del proceso de revisión de la sexta edición representó un golpe muy duro. Nunca tuve la oportunidad de ha­ blar con él acerca de las modificaciones planeadas: sólo esperaba que las con­ tinuas revisiones ayudaran a que este libro hablara a otra generación de brillan­ tes estudiantes jóvenes de ingeniería. Mientras tanto, nosotros (durbin@ieee.org y los editores de McGraw-Hill) le damos la bienvenida a los comentarios y retroal imentación por parte de estudiantes y profesores. Ya sean positivos o nega­ tivos, serán todos de gran valía para nosotros. Por supuesto que este proyecto ha sido un esfuerzo de equipo y mucha gen­ te ha participado y prestado su ayuda. El apoyo siempre presente de la editorial M cGraw-Hill y del grupo de producción, que incluye a Melinda Bilecki, Michelle Flomenhofi, Kalah Cavanaugh, Michael Hackett, Christina Nelson, Eric Weber, Phil M eek y Kay Brimever se reconoce profundamente. También quisiera agradecer a m i representante local de McGraw-Hill, Nazier Hassan, quien me visitaba en el campus para tomar una taza de café y preguntar cómo iban las co­ sas. Trabajar con estas personas ha sido verdaderamente increíble. En la séptima edición, las siguientes personas merecen reconocimiento y una deuda de gratitud por su tiempo y energía en la revisión de las diversas versio­ nes del manuscrito: Miroslav M. Begovic, Georgia Institute o f Technology Maqsood Chaudhry, California State University, Fullerton Wade Enright, Viva Technical Solutions, Ltd. Rick Fields, TRW Victor Gerez, Montana State University Dennis Goeckel, Univeristy o f Massachusetts, Amherst Paul M. Goggans, University o f Mississippi RiadhH abash, University o f Ottawa Jay H. Harris, San Diego State University Archie Holmes, Jr. University o f Texas, Austin, Sheila Horan, New México State University Douglas E. Jussaume, University o f Tulsa James S. Kang, California State Polytechnic University, Pomona Chandra Kavitha, University o f Massachusetts, Lowell León McCaughan, University ofW isconsin John P. Palmer, California State Polytechnic University, Pomona PKtFACIO Craig S. Petrie, Brigham Young University Mohammad Sarmadi, The Pennsylvania State University A C . Soudack, University ofB ritish Columbia Earl Swartzlander, University o f Texas, Austin Val Tereski, North Dakota State University Kamal Yacoub, University ofM iam i Se agradecen profundamente los comentarios y sugerencias de los doctores Jim Zheng, Reginald Perry, Rodney Roberts y Tom Harrison del Departamento de Ingeniería Eléctrica y Computación de la Universidad de Florida A&M y la Universidad Estatal de Florida, así como el increíble esfuerzo y entusiasmo de Bill Kennedy, de la Universidad de Canterbury, quién efectuó la lectura prelimi­ nar de cada capítulo y proporcionó muchas sugerencias útiles. Asimismo, se agradece en especial a Ken Smart y Dermot Sallis por haber proporcionado componentes para las fotografías, a Duncan Shaw-Brown y Kristi Durban por los servicios fotográficos, a Richard Blaikie por su apoyo con la Aplicación práctica sobre los parámetros-^, a Rick Millane por su ayuda en la Aplicación práctica sobre el procesamiento de imágenes, y a Wade Enright por proporcio­ nar un sinnúmero de fotografías de transformadores (nadie tiene más fotografías de transformadores que él). Las compañías Cadenee y The Mathworks propor­ cionaron su amable ayuda con el software de análisis asistido por computadora, lo cual se agradece profundamente. Phillipa Haigh y Emily Hewat proporcionaron la captura, fotocopiado y revisión en varias etapas del proyecto y, ciertamente, merecen nuestro agradecimiento por escrito por su valiosa ayuda. Asimismo, quisiera expresar mi agradecimiento a mi departamento por otorgarme mi estancia sabática para comenzar el proceso de revisión, lo que significa que mis colegas amablemente accedieron a llevar a cabo un gran número de mis labores cotidianas. Muchas personas han influido en mi estilo de enseñanza a través de los años. Entre ellas se incluyen a los profesores Bill Hayt, David Meyer, Alan Weitsman y mi asesor de tesis, Jeffrey Gray, así como el primer ingeniero eléctrico quejamás haya conocido: mi padre, Jesse Durbin, un egresado del Instituto Tecnoló­ gico de Indiana. Asimismo, agradezco profundamente la ayuda y aliento a otros miembros de mi familia, lo cual incluye a mi madre, Roberta y a mis hermanos, Dave, John y James, así como a mis suegros Jack y Sandy. Por último y más im­ portante: agradezco a mi esposa Kristi por su paciencia, comprensión, aliento y consejo y a nuestro hijo, Sean, por hacemos la vida muy divertida. Steven M. Durbin Chrislchurch, Nueva Zelanda Agradecemos en especial la valiosa contribución de los siguientes asesores técnicos para la presente edición en español: Francisco Reséndiz Rodríguez, ITESM, campus Puebla Katia Romo, ITESM, campus Ciudad de México Elise Juárez Pinto, Instituto Tecnológico de Culiacán Arturo Astorga Ramos, Instituto Tecnológico de Mazatlán Alfredo Santana Díaz, ITESM, campus Toluca Héctor Hernández Ramírez, Universidad La Salle Germán García Benítez, Universidad Autónoma del Estado de México, campus Toluca José Waldo Cervantes, Universidad Iberoamericana Homero Núñez Ramírez, ITESM, campus Monterrey Martha Salomé López, ITESM, campus Monterrey Nicolás González, Universidad Autónoma de Nuevo León VISITA GUIADA E n fo q u e en la res o lu ció n d e p ro b le m a s El capítulo 1 muestra información detallada acerca de la forma más eficiente de atacar un problema de análisis de circuitos en ingeniería y establece los pasos que se deben tomar para llegar a la solución correcta. Un ejemplo cuidadosamente seleccionado en cada capítulo subsecuente se identifica con estos pasos para reforzar de manera continua las capacidades para la resolución de problemas. Énfasis en el d is e ñ o El concepto de diseño se presenta en el capítulo 1 ; a través del texto, los aspectos relacionados con el diseño se encuentran mezclados con un estudio de los procedimientos de análisis. sSdieS X '<íOMÜ/nSOO) = 4 V. lomúmocsnffi •X(2000/ 12500) = SO ufloet&fu deíunpüficación(k tsatdcaí) que isaexisteflujoticcoi : maDCíHíctUtntfhi ÍV- 11 x v iii — ' • -------------- • VISITA GUIADA R elación con la v id a rea l Las secciones de Aplicación Práctica muestran de qué manera se relaciona el material bajo estudio con situaciones del mundo real. G ran n ú m e ro de no tas a l m arg en e iconos Las notas al margen proporcionan consejos, ideas e información adicional acerca de aspectos clave del análisis. El icono de “Tome nota” hace hincapié en los puntos específicos que vale la pena resaltar, mientras que el icono de “Precaución” identifica a los estudiantes las probables causas de error. (¿üij------ W \ -------- -----• CAPITULOSOLAMPIIF1CA0OROCB»OOMAI enel casoparticular donde fU/R) = R2/Ri = IC. laecuación (2?( x reduce a cualquier punto dentroJe! nicrvnlade 1a 1000cotwctaodo unakmsjíikíivcxlenuentre'lo* desüspatita»(se mueMiacalañguta6.38¿»como/?„-} r t RESUMEN Y REPASO ¡reta ideal sdlosuministra6 W.Además, Jare- ]crnunalc>decargl: ;peronasonequiva □ Nnsa puede suponer laíorrieiue desalidx deun áinpop; debecalculara despuésdequelaleiwklnde salidair áctcrwktó de maaeraindependieate. a Lagananciadeuncircuitodeámpop¡nverwe«J didaporlaecuacájn ! ■ , □ Lagananciade uncircuitodeaoifltrpno«tuetsorsooblicoemediantí i* unainp00hastaMipatilla(termina])deentoldainveooni.locual inctxpon infinitaenlaioabicitoA. laKMatcnciadeentradainfinitaR,y laInsistencia Secciones d e "le c tu ra a d ic io n a l" LECTURAS ADICIONALES R- Mancini ¡ed.).OpAmpsAtzFacEverymic,’a.ed. Anuterdam; Mtwnes. Al final de cada capítulo, una lista de lecturas adicionales acerca de los temas clave que se trataron en él proporciona una guía para los estudiantes interesados en clarificar y profundizar su conocimiento de los conceptos importantes acerca de circuitos. W0. >»í. OpAmpCookbook. 3a. ed. UpperSaddleRiver.NJ.: PrenáceHall, laseat^dertsticBdddiodoZeneryotn»(¡posdediodos« eetudunenelcapítulo l.de ; VISITA GUIADA •------------ AA/V R esu m en y rep aso J1Q a travésde un»líneadeuanúnisiói quetieneunaresidenciatotaí de Í.5Ü 1> temimar (a) [apetencia ptotncdici y aparente suministradaa la carga: (6) la poienda promedioy apatsatcque se píenleenla línea*de Al final de cada capítulo se presenta un panorama que ofrece a los estudiantes una oportunidad para verificar su retención de las ideas principales que se explicaron, que es además de mucha utilidad como una referencia para el repaso y la preparación de exámenes. Sólolacomponenteresistivade unacaiga consumeunapotenciapromedio Unacaiga puramenteresistivatendráun factor ib potenciaunitario.Una cargapuramentercactivatendráun {actor(lepotenciacero. Lapotenciatoníplcjdsc definecomoS = P+ jQ, o Isl - V^^yse TOKtiTOlVAW 0"' ¡ami: 1PCScienceaodCchncfcjyP»mí. ”**’ ISSN:0142-0615.* 8 P ro b le m a s p a ra c o m p u ta d o ra Se presentan ejemplos de PSpice y MATLAB en lugares convenientes en muchos capítulos. La ingeniería asistida por computadora se utiliza como apoyo, no como una sustituía del desarrollo de capacidades para resolver problemas. Asimismo, el análisis asistido por computadora se presenta en problemas de tarea seleccionados para motivar a los estudiantes a que comparen los cálculos realizados por escrito con los resultados que se generen en la simulación. NUESTRO COMPROMISO CON LA EXACTITUD NUESTRO PROCESO DE VERIFICACIÓN DE LA EXACTITUD | Primera atapa C o m p ro m is o con la precisió n Se incluye una declaración de precisión que describe el proceso que el editor y el autor han instituido con el fin de asegurar la precisión en los cálculos. CONTENIDO BREVE PREFACIO xi 1 IN TR O D U C C IÓ N 1 2 CO M PO N EN TES BÁSICOS Y CIRCUITOS ELÉCTRICOS 3 LEYES DE TE N SIÓ N Y DE CORRIENTE 4 A NÁLISIS N O D A L Y DE M A L L A BÁSICOS 5 TÉCNICAS ÚTILES PARA EL ANÁ LISIS DE CIRCUITOS 6 EL A M P LIFIC A D O R O PER AC IO N AL 7 CAPACITORES Y BO BIN AS 8 CIRCUITOS 9 CIRCUITO 35 79 173 255 319 10 ANÁLISIS DE ESTADO S EN O ID AL PERM ANENTE 11 ANÁ LISIS DE POTENCIA EN CIRCUITOS DE CA 12 121 215 RL Y RC BÁSICOS RLC 9 CIRCUITOS POLIFÁSICOS 369 419 457 13 CIRCUITOS ACO PLADOS M AG N É TIC AM E N TE 14 FRECUENCIA COM PLEJA Y TR A N S FO R M AD A DE LAPLACE 15 ANÁLISIS DE CIRCUITOS EN EL D O M IN IO S 16 RESPUESTA EN FRECUENCIA 17 18 REDES DE DOS PUERTOS 491 533 571 627 691 ANÁLSIS DE CIRCUITOS POR FOURIER 735 A péndice 1 IN TR O D U C C IÓ N A LA TO PO LO G ÍA DE REDES A péndice 2 SO LU CIÓ N DE ECUACIONES SIM ULTÁNEAS 805 A péndice 3 U N A PRUEBA DEL TEOREM A DE TH ÉVENIN 813 A péndice 4 TUTORIAL DE PSPICES A péndice 5 NÚM EROS COMPLEJOS A péndice 6 U N BREVE TUTORIAL DE M ATLAB A péndice 7 TEOREMAS AD IC IO N A LES DE LA TR A N S FO R M AD A DE LAPLACE ÍN D ICE 843 793 815 821 831 837 CONTENIDO , C A P ÍT U L O 1 _ _ _ _ _ _ _ INTRODUCCIÓN 1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1. 6 Preámbulo 1 Panorama general del texto 2 Relación del análisis de circuitos con la Ingeniería 4 Análisis y diseño 5 Análisis asistido por computadora 6 Estrategias exitosas para la resolución de problemas 7 LECTURAS ADICIONALES 8 C A P ÍT U L O 2 _____________________ _________ COMPONENTES BÁSICOS Y CIRCUITOS ELÉCTRICOS 9 2.1 2.2 2.3 2.4 Unidades y escalas 9 Carga, corriente, tensión (voltaje) y potencia 11 Fuentes de tensión y de comente 17 Ley de Ohm 22 RESUMEN Y REPASO 28 LECTURAS ADICIONALES 28 EJERCICIOS 29 C A P ÍT U L O 5 ________________ _________ LEYES DE TENSION Y DE CORRIENTE 35 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 3.7 3.8 Nodos, trayectorias, lazos y ramas 35 Ley de comentes de Kirchhoff 36 Ley de tensión de Kirchhoff 38 El circuito de un solo lazo 42 El circuito de un par de nodos 45 Fuentes independientes conectadas en serie y en paralelo 49 Resistencias en serie y en paralelo 51 División de tensión y de comente 57 RESUMEN Y REPASO 62 LECTURAS ADICIONALES 63 EJERCICIOS 63 C A P ÍT U L O 4 ___________________ ANÁLISIS NODAL Y DE MALLA BÁSICOS 79 4.1 4.2 4.3 Análisis nodal 80 El supemodo 89 Análisis de malla 92 4.4 4.5 4.6 Supermalla 98 Comparación entre el análisis nodal y el de malla 101 Análisis de circuitos asistido por computadora 103 RESUMEN Y REPASO 108 LECTURAS ADICIONALES 108 EJERCICIOS 109 C A P ÍT U L O 5 TÉCNICAS ÚTILES PARA EL ANÁLISIS DE CIRCUITOS 121 5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 5.6 Linealidad y superposición 121 Transformaciones de fuente 131 Circuitos equivalentes de Thévenin y Norton 139 Transferencia de potencia máxima 150 Conversión delta-estrella 152 Selección de un procedimiento: comparación de diversas técnicas 155 RESUMEN Y REPASO 156 LECTURAS ADICIONALES 156 EJERCICIOS 156 C A P ÍT U L O 6__________________ _________ EL AMPLIFICADOR OPERACIONAL 173™ 6.1 6.2 6.3 6.4 6.5 6.6 Antecedentes 173 El amp op ideal: una introducción amable 174 Etapas en cascada 182 Circuitos de fuentes de tensión y de corriente 186 Consideraciones prácticas 190 Los comparadores y el amplificador de instrumentación 2 0 1 RESUMEN Y REPASO 204 LECTURAS ADICIONALES 204 EJERCICIOS 205 C A P ÍT U L O 7 __________ CAPACITORES E INDUCTORES 215 7.1 7.2 7.3 7.4 7.5 El capacitor 215 El inductor 224 Combinación de inductancia y capacitancia 232 Consecuencias de la linealidad 235 Circuitos de amp op simples con / '' ^ capacitores 238 [X X ÍÍÍ A /W 7.6 7.7 ■# CONTENIDO Dualidad 240 Construcción de modelos de capacitores e inductores conPSpice 243 RESUMEN Y REPASO 245 LECTURAS ADICIONALES 246 EJERCICIOS 246 CAPÍTL'í-Q 10.9 Superposición, transformaciones de fuente y teorema de Thévenin 396 10.10 Diagramas fasoriales 404 RESUMEN Y REPASO 407 LECTURAS ADICIONALES 407 EJERCICIOS 408 C A P ÍT U L O 11________________________________________ 8 CIRCUITOS RL Y RC BASICOS 255 ANALISIS DE POTENCIA EN CIRCUITOS DE CA 419 8.1 8.2 8.3 8.4 8.5 8.6 8.7 8.8 8.9 11.1 11.2 11.3 11.4 11.5 11.6 El circuito RL sin fuente 255 Propiedades de la respuesta exponencial 262 Circuito RC sin fuente 266 Una perspectiva más general 269 La función escalón unitario 276 Accionamiento de circuitos RL 280 Respuestas natural y forzada 283 Accionamiento de circuitos RC 289 Predicción de la respuesta de circuitos conmutados secuencialmente 294 RESUMEN Y REPASO 300 LECTURAS ADICIONALES 302 EJERCICIOS 302 ¿6 rgBTPI J1 íf> O í'lf i I Ü.W - CIRCUITO RLC 3 1 9 9.1 9.2 9.3 9.4 9.5 9.6 9.7 Circuito en paralelo sin fuente 319 Circuito RLC en paralelo sobreamortiguado 324 Amortiguamiento crítico 332 Circuito RLC en paralelo subamortiguado 336 Circuito RLC en serie sin fuente 343 Respuesta completa del circuito RLC 349 Circuito LC sin pérdidas 357 RESUMEN Y REPASO 359 LECTURAS ADICIONALES 360 EJERCICIOS 360 CA FSTm a 1 0 __________________' C A P ÍT U LO 12 _________________ CIRCUITOS POLIFÁSICOS 457 12.1 12.2 12.3 12.4 12.5 CIRCUITOS ACOPLADOS MAGNÉTICAMENTE 13.1 13.2 13.3 13.4 ______________ Características de las senoidales 369 Respuesta forzada a funciones senoidales 372 Función forzada compleja 376 Elfasor 381 Relaciones fasoriales de R, L y C 383 Impedancia 387 Admitancia 392 Análisis nodal y de malla 393 Sistemas polifásicos 458 Sistemas monofásicos de tres hilos 460 Conexión Y-Y trifásica 464 Conexión delta A 470 Medición de potencia en sistemas trifásicos 476 RESUMEN Y REPASO 484 LECTURAS ADICIONALES 485 EJERCICIOS 485 C A P ÍT U L O 1 3 ___________________ ______________ ANÁLISIS DE ESTADO SENOIDAL PERMANENTE 3 6 9 10.1 10.2 10.3 10.4 10.5 10.6 10.7 10.8 Potencia instantánea 420 Potencia promedio o activa 422 Valores eficaces de corriente y de tensión 432 Potencia aparente y factor de potencia 437 Potencia compleja 440 Comparación de la terminología de potencia 445 RESUMEN Y REPASO 446 LECTURAS ADICIONALES 446 EJERCICIOS 447 Inductancia mutua 491 Consideraciones energéticas 499 El transformador lineal 503 El transformador ideal 510 RESUMEN Y REPASO 520 LECTURAS ADICIONALES 520 EJERCICIOS 521 C A P ÍT U L O 1 4 __________ FRECUENCIA COMPLEJA Y TRANSFORMADA DE LAPLACE 533 14.1 14.2 14.3 Frecuencia compleja 533 Función forzada senoidal amortiguada 537 Definición de la transformada deLaplace 540 CONTENIDO 14.4 14.5 14.6 14.7 Transformadas de Laplace de funciones de tiempo simples 543 Técnicas de la transformada inversa 546 Teoremas fundamentales para la transformada de Laplace 553 Teoremas del valor inicial y del valor final 561 RESUMEN Y REPASO 564 LECTURAS ADICIONALES 564 EJERCICIOS 565 C A P IT U L O 1 5 _____ ANÁLISIS DE CIRCUITOS EN EL D OM INO s 571 15.1 15.2 15.3 15.4 15.5 15.6 15.7 15.8 Z(s) y Y(s) 571 Análisis nodal y de malla en el dominio s 578 Técnicas adicionales de análisis de circuitos 585 Polos, ceros y funciones de transferencia 588 Convolución 589 Plano de frecuencia compleja 598 Respuesta natural y el plano s 607 Técnica para sintetizar la razón de tensión H(s) = 'Vmt/'VSni 612 RESUMEN Y REPASO 616 LECTURAS ADICIONALES 616 EJERCICIOS 617 C A P ÍT U L O 1 6 _____________________ RESPUESTA EN FRECUENCIA 627 16.1 16.2 16.3 16.4 16.5 16.6 16.7 Resonancia en paralelo 627 Ancho de banda y circuitos de alto Q 636 Resonancia en se¿p 641 Otras formas resonantes 645 Escalamiento (o ajuste) 652 Diagramas de Bode 656 Filtros 672 RESUMEN Y REPASO 680 LECTURAS ADICIONALES 681 EJERCICIOS 681 C A P ÍT U L O 1 7 REDES DE DOS PUERTOS 691 17.1 17.2 17.3 17.4 17.5 17.6 Redes de un puerto 691 Parámetros de admitancia 696 Algunas redes equivalentes 703 Parámetros de impedancia 712 Parámetros híbridos 718 Parámetros de transmisión 720 RESUMEN Y REPASO 724 LECTURAS ADICIONALES 725 EJERCICIOS 725 • ------------ W V ----------------( X X V C A P IT U L O 1 8 _________ ________ ANÁLISIS DE CIRCUITOS POR FOURIER 735 18.1 18.2 18.3 18.4 18.5 18.6 18.7 Forma trigonométrica de la serie de Fourier 735 Uso de la simetría 745 Respuesta completa a funciones forzadas periódicas 750 Forma compleja de la serie de Fourier 752 Definición de la transformada de Fourier 759 Algunas propiedades de la transformada de Fourier 763 Pares de transformadas de Fourier de algunas funciones del tiempo simples 766 18.8 Transformada de Fourier de una función del tiempo periódica general 771 18.9 Función del sistema y respuesta en el dominio de la frecuencia 772 18.10 Significado físico de la función del sistema 779 RESUMEN Y REPASO 785 LECTURAS ADICIONALES 785 EJERCICIOS 785 A P É N D IC E 1 INTRO DU CC IÓ N A LA TO POLOG ÍA DE REDES 793 A P É N D IC E 2 SOLUCIÓN DE ECUACIONES SIMULTÁNEAS 8 0 5 A P É N D IC E 3 U NA PRUEBA DEL TEOREMA DE THÉVENIN 813 A P É N D IC E 4 TUTORIAL DE PSPICE A P É N D IC E 5 NÚMEROS COMPLEJOS 821 A P É N D IC E 6 UN BREVE TUTORIAL DE MATLAB® 831 A P É N D IC E 7 TEOREMAS AD ICIO NALES DE LA TRANSFO RM ADA DE LAPLACE 8 3 7 ÍN D ICE 843 815 CAPITULO Introducción 1.1 PREAMBULO -------•--------------------------A los estudiantes que actualmente se gradúan en ingeniería ya no se les contrata sólo para trabajar en aspectos de diseño técnico en los problemas de la ingeniería. Ahora sus esfuerzos van más allá de la creación de mejores computadoras y sistemas de comunicación, e incluso se involucran en vigorosos esfuerzos para resolver proble­ mas socioeconómicos como la contaminación del aire y el agua, la planeación urbana, la transportación masiva, el descubrimiento de nuevas fuentes de energía y la conservación de los recursos natura­ les, en particular el petróleo y el gas natural. Para contribuir a solucionar tales problemas ingenieriles, un in­ geniero debe adquirir muchas capacidades, una de las cuales es el conocimiento del análisis de los circuitos eléctricos. Si ya se ha cur­ sado un programa de ingeniería eléctrica o se pretende entrar a uno, es posible que el análisis de circuitos sea el curso de introducción en el campo elegido. Si se vincula con alguna otra rama de la ingenie­ ría, es factible que el análisis de circuitos represente una gran parte del estudio completo de ingeniería eléctrica, pues proporciona los fundamentos para trabajar en la instrumentación electrónica, en má­ quinas alimentadas por electricidad y sistemas de gran escala. Sin embargo, lo más importante es la posibilidad que brinda de ampliar la educación que se posee, para que los ingenieros puedan convertir­ se en miembros más informados de un equipo. Cada vez más, los equipos han incrementado su nivel multidisciplinario, y la comuni­ cación eficaz dentro de ellos sólo puede lograrse si el lenguaje y las definiciones utilizadas resultan familiares para todos. . En este capítulo, antes de comenzar la agenda sobre discusiones técnicas, se esbozan los temas que se analizarán a lo largo del texto, pero se hará una breve pausa para considerar la relación entre el análisis y el diseño, así como el papel que juegan las herramientas de cómputo en el análisis moderno de circuitos. Aspectos del análisis de circuitos: análisis en cd, análisis transitorio, análisis en ca y análisis en frecuencia, i------------------------------------------------------------------------ Análisis y diseño. !-------------------------------Análisis asistido p o r co m putadora. ------------------------------------------Técnicas para la resolución de problem as. ( T ) ------ w v CAPÍTULO 1 INTRODUCCIÓN No todos los ingenieros en electrónica utilizan el análisis de circuitos de manera rutinaria, pero a menudo ponen en práctica las habilidades analíticas y de resolución de problemas que aprendieron durante sus estudios de licenciatura. Un curso sobre análisis de circuitos es una de sus primeras exposiciones a dichos conceptos. (Espejos solares: © Corbis; Skyline: © Getty Images/ Photolínk; Oil Rig: © Getty Images; Dish:" Getty Images/J. Luke/Photolink.) 1.2 . PANORAMA GENERAL DEL TEXTO________ _ _ _ _ _ El tema fundamenta] de este libro es el análisis de circuitos lineales, el cual in­ vita a algunos lectores a preguntar, “¿Existe el análisis de circuitos no-linealesT' ¡Por supuesto! Se encuentran circuitos no-lineales todos los días: éstos capturan y decodifican señales para nuestras televisiones y radios, llevan a cabo millones de cálculos por segundo dentro de los microprocesadores, convierten la voz en señales eléctricas para su transmisión a través de líneas telefónicas y ejecutan muchas otras funciones que ni siquiera es posible imaginar. En el diseño, prue­ ba e implementación de dichos circuitos no-lineales, no puede uno olvidarse del análisis a detalle. Los aparatos de televisión incluyen muchos circuitos no lineales. Sin embargo, una gran cantidad de ellos pueden comprenderse y analizarse con la ayuda de modelos lineales. ( © Sony Electronics Inc) “Entonces, ¿por qué estudiar el análisis de circuitos lineales?” sería una pregunta válida. Muy buena pregunta. El simple hecho es que ningún sistema físico (entre ellos los circuitos eléctricos) es perfectamente lineal. Sin embargo, por fortuna, un gran número de sistemas se comportan razonable­ mente en forma lineal arriba de un rango limitado, pues permite modelarlos como sistemas lineales si se toman en cuenta las limitaciones en el rango. Por ejemplo, considere la función f ( x ) = e* SECCIÓN 1.2 PANORAMA GENERAL DEL TEXTO U na aproximación lineal a esta función es f(x ) « 1 + x La comprobación se realiza de la siguiente manera. La tabla 1.1 muestra tan­ to el valor exacto como el aproximado ds f ( x ) en un rango de x. De manera sor­ prendente, la aproximación lineal es muy exacta hasta alrededor de x = 0 . 1 el valor, cuando el error relativo es todavía menor a 1%. Aunque muchos ingenie­ ros son muy hábiles con una calculadora, es difícil discutir el hecho de que cual­ quier otro método sea más rápido que sólo agregando un 1 . TABLA 1.1 Comparación de un modelo lineal para ex con el valor exacto x f(x)* 1+ x Error relativo** 0.0001 1.0001 1.0001 0 .0 0 0 0 0 0 5 ^ 0.001 1.0010 0.01 1.0101 g lo i 1.01 0.1 1.0 1.1052 2.7183 1.1 2.0 0 .0 0 0 0 5 ^ :: 0.005% 0^5% 26% *Especiücado con eua¡ro£lfrassjgi)á¿_a¡ivas. **Error relativo = I Q É k x ----------- ^ + Los problemas lineales son inherentemente más fáciles de resolver que los no-lineales. Por esta razón, a menudo se buscan aproximaciones lineales que sean muy similares (modelos) a las situaciones físicas. Además, los modelos li­ neales se manipulan y se comprenden de una manera más fácil logrando que el diseño se convierta en un proceso más sencillo. Todop Jos circuitos que se presentarán en los. capítulos subsecuentes repre­ sentan aproximaciones lineales a los circuitos eléctricos físicos. Cuando sea apropiado, se proporcionarán explicaciones breves de inexactitudes potenciales o limitaciones de estos modelos, pero, en términos generales, se puede observar que tienen una exactitud adecuada para la mayor parte de las aplicaciones. Cuan­ do en la práctica se requiera de una exactitud mayor, se emplearán modelos nolineales, a costa de un incremento considerable en la complejidad de la solución. En el capítulo 2 se puede encontrar un análisis más detallado de lo que constituye un circuito eléctrico lineal. El análisis de circuitos lineales puede separarse en cuatro grandes categorías: análisis en cd, análisis transitorio, análisis en ca y análisis de la respuesta en frecuencia. El estudio comienza con el tema de los circuitos resistivos, que in­ cluye ejemplos simples como el de un foco o un tostador. Ello nos brinda una oportunidad perfecta para aprender varias técnicas muy poderosas de análisis de circuitos de ingeniería, como el análisis nodal, el análisis de malla, la superpo­ sición, la transformación de fuente, el teorema de Thévenin y el teorema de Nor­ ton, así como varios métodos para simplificar las redes de componentes conec­ tados en serie o en paralelo. La única característica rescatable de los circuitos resistivos es que la dependencia del tiempo de cualquier cantidad de interés no afecta el proceso de análisis. En otras palabras, si se quiere determinar una cantidad • 4 ------ W V -------------------------------• Los trenes modernos están impulsados por motores eléctricos. Sus sistemas eléctricos se analizan mejor a través del uso de técnicas de análisis fasorial o en ca. ( © Corbis.) Los circuitos que dependen de la frecuencia son parte medular de muchos aparatos electrónicos, y su diseño puede representar una tarea muy divertida. ( © 1994-2005 Hewlett-Packard Company.) CAPITULO 1 INTRODUCCIÓN eléctrica de un circuito resistivo en algunos instantes específicos en el tiempo, no será necesario que se analice el circuito más de una vez. Como resultado, se dedicarán los mayores esfuerzos a considerar sólo circuitos de cd, es decir, cir­ cuitos cuyos parámetros eléctricos no varían con el tiempo. Aunque los circuitos de cd como un foco o el desemparuidor del vidrio trase­ ro de un automóvil son, sin duda alguna, importantes en la vida diaria, las cosas se toman mucho más interesantes cuando algo sucede de repente (¡imagine un cohete que le tome 100 años para ir de un ruido suave a una explosión!). En el argot del análisis de circuitos, el análisis de transitorios es el conjunto de técni­ cas utilizadas en el estudio de circuitos que se energizan o desenergizan de manera repentina. Para hacer esos circuitos más interesantes, es necesario agre­ garles elementos que respondan a la velocidad de cambio de las cantidades eléctricas, lo cual conduce a ecuaciones de circuitos que incluyen derivadas e in­ tegrales. Por fortuna, se pueden obtener dichas ecuaciones utilizando las técni­ cas que se expusieron en la prim era parte de este estudio. Sin embargo, no todos los circuitos que varían con el tiempo se encienden y se apagan de manera repentina. Los equipos de aire acondicionado, ventiladores y lámparas fluorescentes son sólo algunos de los múltiples ejemplos que se en­ cuentran en la vida diaria. En tales situaciones, el método basado en el cálculo para todos los análisis puede convertirse en una tarea tediosa y consumir mu­ cho tiempo. Por fortuna, existe una mejor alternativa en situaciones donde al equipo se le permite operar un tiempo lo suficientemente largo para que los efec­ tos transitorios desaparezcan, a lo cual se le conoce comúnmente como análisis en ca, o, a menudo, análisis fasorial. La última parte del recorrido está relacionado con el tem a conocido como la respuesta en frecuencia. Trabajar de manera directa con las ecuaciones diferen­ ciales que se obtienen en el análisis en el dominio del tiempo permite desarrollar una comprensión intuitiva de la operación de circuitos que contengan elementos de almacenamiento de energía (por ejemplo, capacitores y bobinas). Sin embar­ go, como se verá más adelante, aun los circuitos con un número relativamente pequeño de componentes pueden ser de alguna forma difíciles de analizar, por lo que se han desarrollado métodos más directos. Estos métodos, entre ellos el aná­ lisis de Laplace y de Foürier, permiten transformar las ecuaciones diferenciales en ecuaciones algebraicas así como diseñar circuitos que respondan de manera específica a frecuencias particulares. Cotidianamente se utilizan circuitos que varían con la frecuencia cuando se marca un número telefónico, se selecciona la estación de radio favorita o se conecta a intem et 1.5 t RELACIÓN DEL ANÁLISIS DE CIRCUITOS__________ * CON LA INGENIERÍA Ya sea que se desee llevar a cabo más análisis de circuitos cuando termine este curso o no, vale la pena mencionar que existen varios niveles de los conceptos bajo estudio. Más allá de los detalles de las técnicas de análisis de circuitos se encuentra la oportunidad de desarrollar una técnica metodológica para resolver problemas, la capacidad para determinar el objetivo u objetivos de un problema en particular, la habilidad para recabar la información necesaria para llegar a una solución y, quizás igualmente importante, las oportunidades para obtener expe­ riencia práctica en la verificación de la exactitud de la solución. Los estudiantes familiarizados con el estudio de otros temas de ingeniería comí) el flujo de fluidos, los sistemas de suspensión de automóviles, el diseño de puentes, la administración de la cadena de suministros y el control de procesos, AA/V SECCION 1.4 ANÁLISIS Y DISEÑO 0 Facilidad de crecimiento epitaxial de cristales por medio de un haz molecular. Las ecuaciones que rigen su operación son muy parecidas a las que se utilizan para describir circuitos lineales simples. reconocerán la forma general de muchas de las ecuaciones que se presentarán para describir el comportamiento de varios circuitos. Sólo es necesario aprender la forma de “traducir” las variables relevantes (por ejemplo, sustituir tensión por fuerza, carga por distancia, resistencia por coeficiente de fricción, etcétera) a fin de determinar lo que ya se sabe para resolver un nuevo tipo de problema. Con mucha frecuencia, si se tiene mucha experiencia en la resolución de problemas similares o relacionados, la intuición puede ser una guía a través de la solución de un problema totalmente nuevo. Lo que se verá a continuación con respecto al análisis de circuitos forma la base de muchos cursos subsecuentes sobre ingeniería eléctrica. El estudio de la electrónica se fundamenta en el análisis de circuitos con dispositivos conoci­ dos como diodos y transistores, que se emplean para diseñar fuentes de alimen­ tación, amplificadores y circuitos digitales. Por lo general, las capacidades que se deben desarrollar las aplican de manera metódica y rápida los ingenieros en electrónica ¡los cuales, algunas veces, son capaces de analizar un circuito com­ plicado sin valerse incluso de un lápiz! Los capítulos referentes al dominio del tiempo y al dominio de la frecuencia en este texto conducen directamente al exa­ men del procesamiento de señales, de la transmisión de potencia, de la teoría de control y de las comunicaciones. Se demostrará que el análisis en el dominio de la frecuencia resulta, en particular, una técnica muy poderosa, que se aplica con fa­ cilidad a cualquier sistema físico sujeto a una excitación variable en el tiempo. 1.4 ANÁLISIS Y DISEÑO -------•-------------------------------------------------------------------------------------------------Los ingenieros adquieren una comprensión básica de los principios científicos, los combinan con el conocimiento empírico a menudo expresado en términos matemá­ ticos y (con frecuencia con una gran creatividad) llegan a la solución de un proble­ ma determinado. El análisis es el proceso a través del cual se determina el alcance de un problema, se obtiene la información que se requiere para comprenderlo y se calculan los parámetros de interés. El diseño es el proceso por medio del cual se sin­ tetiza algo nuevo como parte de la solución de un problema. En general, se espera que un problema que requiera de diseño no tenga una solución única, mientras que la fase de análisis típicamente la tendrá. Por lo tanto, el último paso en el diseño es siempre el análisis del resultado para ver si cumple con las especificaciones. Ejemplo de un manipulador robotizado. El sistema de control de retroalimentación puede modelarse utilizando elementos de circuitos lineales con el fin de determinar las situaciones en las que la operación puede adquirir inestabilidad. (NASA Marshall Space Fligth Center.) 6 ------ V W CAPÍTULO I INTRODUCCION Este texto se enfoca en el desarrollo de la habilidad para analizar y resolver problemas, debido a que constituye el punto de partida en cada situación de in­ geniería. La filosofía de este libro es que se necesita aclarar explicaciones, pre­ sentar ejemplos pertinentes y llevar a cabo mucha práctica para desarrollar dicha capacidad. Por lo tanto, los elementos de diseño están integrados en los proble­ mas al final del capítulo y en capítulos posteriores de tal forma que se puedan disfrutar en lugar de distraer. 1.5 Dos diseños propuestos para el transbordador espacial de nueva generación. Aunque ambos contienen elementos similares, cada uno es único. (NASA Dryden Flight Research Center.) "Máquina diferencial número 2", de Charles Babbage, según la completó el Science Museum (Londres) en 1991. ( © Science Museum/Science &Society Picture Library.) ANÁLISIS ASISTIDO POR COMPUTADORA -------• -------------------------------------------------------------------------------------------------A menudo, la resolución de los tipos de ecuaciones que resultan del análisis de circuitos puede convertirse en una tarea muy tediosa, aun en el caso de circuitos con un moderado grado de complejidad. Lo anterior, por supuesto, implica una alta probabilidad de que se cometan errores, además del considerable consumo de tiempo para llevar a cabo los cálculos. En realidad, el deseo de encontrar una herramienta que facilite este proceso es anterior a las computadoras electrónicas, con computadoras puramente mecánicas, como la “máquina analítica” diseñada por Charles Babbage alrededor de 1880 y propuesta como una solución. Quizás la primera computadora electrónica que tuvo éxito diseñada para resolver ecua­ ciones diferenciales fue la ENIAC, inventada en la década de 1940, cuyas vál­ vulas al vacío llenaban un cuarto completo. Sin embargo, con el advenimiento de las computadoras de escritorio de bajo costo, el análisis de circuitos asistido por computadora se ha convertido en una invaluable herramienta cotidiana que forma parte integral no sólo del análisis sino también del diseño. Uno de los aspectos más poderosos del diseño asistido por computadora es la relativamente reciente integración de programas múltiples de una forma transpa­ rente para el usuario, lo cual posibilita que el circuito se dibuje rápidamente de modo esquemático sobre la pantalla, se reduzca de manera automática al forma­ to requerido por un programa de análisis (como el SP1CE, que se presenta en el capítulo 4) y que la salida resultante se transfiera de modo automático incluso a un tercer programa capaz de graficar diversas cantidades eléctricas de interés que SECCIÓN 1.6 ESTRATEGIAS EXITOSAS PARA LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS A /W Circuito amplificador dibujado con la ayuda de un paquete de software comercial para la i_aptura de esquemas. En la parte interior de la figura: tiempo de simulación en función de la salida. describan el circuito. Todo ello permite a un ingeniero dibujar un diagrama es­ quemático, presionar unos cuantos botones y determinar si la operación de un cir­ cuito complejo es la que se esperaba. El nivel de integración del software para análisis moderno de circuitos ha crecido con rapidez, y la meta final es que sea posible sentarse ante una computadora, dibujar un diagrama esquemático, anali­ zar el circuito para verificar su desempeño, presionar unos cuantos botones y ¡ob­ tener una versión por completo manufacturada del circuito, lista para probarse! Sin embargo, es necesario prevenir al lector: por varias razones, el software para el análisis de circuitos no es de ningún modo sustituto de un buen análisis a la antigua, con lápiz y papel. Se necesita comprender cabalmente la forma en que funcionan los circuitos a fin de desarrollar la capacidad necesaria para dise­ ñarlos. El simple seguimiento de los movimientos de ejecución de un paquete de software particular puede ayudar a obtener la respuesta para una simple pregun­ ta, aunque esto resulta similar a tratar de aprender a tocar el piano a través de la observación de una cinta de video. Podrá aprender algunos acordes e incluso una canción breve, pero resulta muy improbable que alguien lo contrate alguna vez. Otra razón es que los programas muchas veces tienen errores, e incluso sucede con más frecuencia que los usuarios muchas veces introduzcan de manera inco­ rrecta la información. Si no se tiene cierta idea del resultado que se espera, los errores se notarán cuando ya sea demasiado tarde. Aun así, el anáfisis asistido por computadora es una herramienta poderosa. Permite modificar los valores de los parámetros y evaluar el cambio en el de­ sempeño de circuitos y considerar la introducción de variaciones al diseño de una manera muy sencilla. El resultado es una disminución de los pasos repetiti­ vos y más tiempo para concentrarse en los detalles de ingeniería. 1.6 , ESTRATEGIAS EXITOSAS_______________________ * PARA LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS Cuando se le pide que señale la parte más frustrante del análisis de circuitos, la gran mayoría de los estudiantes siente que la mayor dificultad radica en saber cómo comenzar a resolver un problema específico. La segunda parte más difícil 0 A/VV >lfeef el enunciado del problema de manera pausada y cuidadosa Identificar el objetivo del probíem a Recopilar la información conocida Construir un conjunto adecuado de ecuaciones CAPÍTULO 1 INTRODUCCIÓN parece ser obtener un conjunto completo de ecuaciones y organizado de modo que parezca manejable. Muchas veces, el instinto fundamental se basa en leer con rapidez el enuncia­ do del problema, y luego buscar, de inmediato, una ecuación apropiada. ¡Se tiende a añorar los días en que sólo se pedía la circunferencia de un círculo, o cuando se debía determinar el volumen de una pirámide! Aunque tratar de encontrar una solución rápida puede ser algo tentador, una técnica metodológica congruente para resolver problemas dará mejores resultados en el largo plazo. El diagrama de flujo ubicado a la izquierda se diseñó para proporcionar ayu­ da en las dos dificultades más usuales: comenzar a resolver un problema y ma­ nipular la solución. Quizás varios de estos pasos parezcan obvios, pero el orden cronológico, así como el desempeño de cada tarea, es lo que conduce al éxito. Sin embargo, la práctica es la verdadera clave para tener éxito en el análisis de circuitos. La experiencia es el mejor maestro, y aprender de los errores siem­ pre será parte del proceso de convertirse en un ingeniero competente. LECTURAS ADICIONALES_________________________ R e la t iv a m e n t e e c o n ó m ic o , e s te fa m o s o é x ito e d it o r ia l a e s c a la m u n d ia l e n s e ñ a a l le c t o r la m a n e r a d e g e n e r a r e s tr a te g ia s g a n a d o r a s a l e n c a r a r p r o b 'e m a s a p a r e n t e ­ m e n t e im p o s ib le s . G. Polya, How to Solve It, Princeton, N.J.: Princeton University Press, 1971. Buscar la solución Componentes básicos y circuitos eléctricos INTRODUCCION El tema primordial de este libro es el análisis de circuitos eléctricos y de sistemas. Cuando se lleva a cabo un análisis en particular, a menudo se trata de determinar corrientes, voltajes o potencias específicos, por lo que el capítulo comenzará con una breve descripción de dichas cantidades. En términos de los componentes que pueden utilizarse para construir circuitos eléctricos, se cuenta Cantidades eléctricas básicas y unidades asociadas: carga, corriente, tensión y potencia. ------------------------------------------: Dirección de la corriente y polaridad de la tensión (voltaje). con mucho de donde escoger. Con la intención de no saturar con ellos, primero se estudiará la resistencia, un componente pasivo simple y luego una variedad de fuentes activas ideales de voltaje y ' Convención de signos pasiva [ para calcular la potencia. de corriente. A medida que se avance, se agregarán nuevos compo­ •-------------------------------------------- nentes al inventario a fin de poder considerar circuitos más Fuentes ideales de tensión y : de corriente. complejos (y útiles). U n rápido consejo antes de comenzar: es necesario poner m ucha atención en el papel de los signos “+ ” y ” cuando indiquen las tensiones, así como en la importancia de la flecha que define la com ente; muchas veces estos elementos establecen la diferencia entre las respuestas equivocadas y las correctas. 2.1 . UNIDADES Y ESCALAS_________________ Para establecer los valores de alguna cantidad medible, es necesario dar un número y una unidad, como “3 pulgadas”. Por fortuna, todos utilizan el mismo sistema numérico, aunque no las mismas unidades, por lo que debe dedicarse cierto tiempo para familiarizarse con un sistema adecuado. Es imprescindible acordar una unidad patrón y ase­ gurar su permanencia y su aceptación general. La unidad patrón de longitud, por ejemplo, no debe definirse en términos de distancia en­ tre dos marcas sobre cierta banda de plástico, pues no es permanente y además cualquier otra persona podría estar utilizando otro patrón. No existen muchas opciones en lo que respecta a un sistema de uni­ dades. El que se utilizará en este texto fue adoptado por el National Bureau of Standards en 1964, que es el que emplean todas las principales sociedades de ingenieros profesionales y es el lenguaje con el cual se . • -------------------------------; Fuentes dependientes. '-------------------------------: Resistencia y ley de Ohm. 0 ■wv CAPÍTULO 2 COMPONENTES BÁSICOS Y CIRCUITOS ELÉCTRICOS escriben los libros de texto actuales: el Sistema Internacional de Unidades (SI en to­ dos los lenguajes), adoptado por la Conferencia General de Pesos y Medidas en 1960. Modificado varias veces desde entonces, el SI se construye a partir de siete unidades básicas: metro, kilogramo, segundo, ampere, kelvin, mol y candela (vea la tabla 2.1). Es un “sistema métrico”, y en cierta forma se utiliza en la mayor parte de los países tecnológicamente avanzados, aunque no en forma amplia en Estados Unidos. Las unidades para medir otras magnitudes como el volumen, fuerza, ener­ gía, etc., se derivan de las siete unidades fundamentales. TABLA 2.1 Unidades básicas del SI --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- — Las unidades nombradas en honor a una persona (por ejemplo, el kelvin, en honor a Lord Kelvín, profesor de la Universidad de Glasgow) se escriben con minúsculas, aunque se abrevian mediante el — Cantidad básica N om bre Sím bolo longitud masa tiempo corriente eléctrica temperatura termodinámica cantidad de sustancia intensidad luminosa metro kilogramo segundo amperio kelvin mol candela m kg s A K mol cd empleo de una letra mayúscula. En realidad, la "caloría" utilizada en los alimentos, las bebidas y el ejercicio corresponde a una kilocaloría, 4.187 J. La unidad fundamental de trabajo o energía es el jo u le (J). Un joule (un kg m 2 s - 2 en las unidades fundamentales del SI) equivale a 0.7376 pie librafuerza (pie-lbf). Otras unidades de energía incluyen la caloría (cal), igual a 4.187 J; la unidad térmica británica (Btu), que corresponde a 1 055 J; y el kilowatthora (kWh), igual a 3.6 x 106 J. La potencia se define como la tasa del trabajo que se hace o de la energía gastada. La unidad fundamental de la potencia es el watt (W), definida como 1 J/s. Un watt equivale a 0.7376 pie-lbf/s, o 1/745.7 caballos de fuerza (hp). El SI utiliza el sistema decimal para relacionar unidades más grandes y más pequeñas con la unidad fundamental y emplea prefijos para indicar las di­ versas potencias de 10. En la tabla 2.2 se presenta una lista de los prefijos y sus símbolos; se subrayan los que se encuentran más comúnmente en ingeniería. TABLA . 2.2 Prefijos del SI Factor N om bre Sím bolo Factor io - 24 KT21 1 (T 18 io - 15 octo zepto atto femto pico nano micro mili centi deci y z a f 1 0 24 1 0 ~ 12 íc r9 itr6 10“ 3 íc r 2 ío - 1 P n M m c d 1 0 21 1 0 18 1 0 15 1 0 12 109 106 103 102 101 N om bre iota zeta exa peta tera giga mega kilo hecto deca Sím bolo Y Z E P T G M k ti da SECCIÓN 2.2 CARGA, CORRIENTE, TtNSIÓN (VOLTAJE) Y POTENCIA • ------------------------------ V W ----------------( | f Vale la pena memorizar estos prefijos, ya que aparecerán a menudo en este texto y en cualquier otro trabajo técnico. Las combinaciones de varios prefijos, como el milimicrosegundo, son inaceptables. Cabe mencionar que en términos de distancia, es mucho más común ver “micrón” (/¿m)” en vez de “micrómetro”, y con frecuencia se utiliza el angstrom (A) correspondiente a 1 0 - 1 0 metros. Además, en el análisis de circuitos y en la ingeniería en general, resulta bastante común observar números expresados en lo que con frecuencia se denomina “unidades de ingeniería”. En la notación de ingeniería, una cantidad se representa mediante un número entre 1 y 999 y una unidad métrica apropiada utilizando una potencia divisible entre 3. De tal modo, por ejemplo, es preferible expresar la cantidad 0.048 W como 48 mW, en lugar de 4.8 x 10 2 W, o 48 000 /¿W. PF ÍC T IC A _____________________________________________________________ 2.1 Un láser de fluoruro de kriptón emite luz con una longitud de onda de 248 nm, lo cual es lo mismo que: (a) 0.0248 mm; (b) 2.48 ; í i i i ; ( c ) 0.248 ;im ; (d) 24 800 Á. 2.2 En cierto circuito integrado digital, una compuerta lógica conmuta del estado “activado'’^al ^“desactivado” en 1 ns, lo cual corresponde a: (a) 0 . 1 ps; (b) 1 0 ps; (c) 1 0 0 ps¿ (d) 1 0 0 0 ps. 2.1 Una típica lámpara incandescente opera a 60 W. Si se deja encendida permanentemente, ¿cuánta energía (J) se consume por día, y cuál es el costo semanal si la energía se cobra a una tarifa de 12.5 centavos por kilowatt hora? Respuesta: 2.1 (c); 2.2 (d)\ 2.3 5.18 MJ, $1.26. 2.2 t CARGA, CORRIENTE, TENSION (VOLTAJE) Y POTENCIA Carga Uno de los conceptos más importantes en el análisis de circuitos eléctricos es el de la conservación de la carga. De la física básica se sabe que hay dos tipos de carga: positiva (correspondiente a un protón) y negativa (correspondiente a un electrón). En la mayor parte de los casos, este texto analiza circuitos en los que sólo resulta relevante el flujo de electrones. Existen muchos dispositivos (como baterías, diodos y transistores) en los que resulta determinante el movimiento de carga positiva para entender la operación interna, pero respecto a lo externo del dispositivo es mejor concentrarse en los electrones que fluyen por los alambres de conexión. Si bien de manera continua se transfieren cargas entre las diferen­ tes partes de un circuito, no se hace nada para cambiar la cantidad total de carga. En otras palabras, ni se crean ni se destruyen electrones (o protones) cuando se operan circuitos eléctricos . 1 La carga en movimiento representa una corriente. En el sistema SI, la unidad fundamental de carga es el coulomb (C), que se de­ fine en términos del ampere al contar la carga total que pasa por una sección transversal arbitraria de un alambre durante un segundo; un coulomb se mide cada segundo en un alambre que conduce una corriente de 1 ampere (fig. 2 . 1 ). En este sistema de unidades, un solo electrón tiene una carga de —1.602 x .1,0 19 C y un protón individual tiene una carga de +1.602 x lO" 19 C. (1) Aunque la aparición ocasional de humo parezca sugerir otra cosa. .. Como se observa en la tabla 2.1, las unidades básicas del SI no se derivan de cantidades físicas fundamentales. En vez de eso, históricamente representan acuerdos sobre las mediciones, lo que lleva a definiciones que en algunos casos parecen un retroceso. Por ejemplo, tendría más sentido desde ¡a perspectiva física definir el ampere con base en la carga electrónica. Sección transversal D irección del movim iento de la carga Cargas individuales í F IG U R A 2.1 Definición de corriente ¡lustrada a través del uso de una corriente que fluye a través de un alambre; 1 ampere corresponde a 1 coulomb de carga que pasa en 1 segundo a través de una sección transversal seleccionada de manera arbitraria. u ------ v w ■# CAPÍTULO 2 COMPONENTES BÁSICOS Y CIRCUITOS ELÉCTRICOS Una cantidad de carga que no cambia con el tiempo suele representarse por medio de Q. La cantidad instantánea de carga (que puede ser o no invariante en el tiempo) a menudo se representa por medio de q(t), o simplemente q. Esta con­ vención se utilizará en lo que resta del texto: las letras m ayúsculas se reser­ van para las cantidades constantes (invariantes en el tiempo), en tanto que las minúsculas representan el caso más general. Según este punto de vista, es posi­ ble representar una carga constante por medio de Q o q, aunque una cantidad de carga que cambia con el tiempo debe representarse con la letra minúscula q. Corriente q(t) (C ) t(s) I F IG U R A 2 .2 Gráfica del valor instantáneo de la carga total q(t) que pasó por un punió de referencia determinado desde f = 0. La idea de “transferencia de caiga” o “carga en movimiento” es de vital impor­ tancia cuando se estudian los circuitos eléctricos, debido a que al mover una carga de un lugar a otro, también se necesita transferir energía de un punto a otro. La familiar línea de transmisión eléctrica que surca los campos es un ejemplo prác­ tico de un dispositivo que transfiere energía. Igual importancia tiene la posibili­ dad de variar la tasa a la cual se transfiere la carga para comunicar o transferir información. Tal proceso constituye la base de sistemas de comunicación como la radio, la televisión y la telemetría. La corriente presente en una trayectoria discreta, como un alambre metálico, tiene un valor numérico y una dirección asociada a ella; es una medida de la ve­ locidad a la cual la caiga pasa por un punto de referencia determinado en una di­ rección especificada. Luego de determinar una dirección de referencia, se puede establecer en ese caso que q(t) sea la carga total que ha pasado por el punto de referencia desde un tiempo arbitrario t = 0, moviéndose en la dirección definida. Una contribución a esta carga total será negativa si la carga negativa se mueve en la dirección de referencia, o si la carga positiva se mueve en la dirección opuesta. Como un ejemplo, la figura 2 . 2 ilustra una historia de la carga total q (t ) que ha pasado por un punto de referencia dado en un alambre (como el de la fig. 2 . 1 ). Se define la corriente en un punto específico, que fluye en una dirección es­ pecificada, como la velocidad instantánea a la cual la carga positiva pasa por ese punto en la dirección especificada. Desafortunadamente, ésta es la definición histórica, cuyo uso se popularizó antes de que se apreciara que la corriente en los alambres se debe en realidad al movimiento de carga negativa, y no a la positiva. La com ente se simboliza mediante I o i, por lo que d(* ‘ = í(t) (A ) ni 77 111 L a unidad de corriente es el ampere (A), cuyo nombre es en honor a A. M. Ampére, un físico francés. Se suele abreviar como “amp”, aunque no esoficial y resulta algo informal. Un ampere es igual a 1 coulomb por segundo. Mediante la ecuación [1] se calcula la corriente instantánea y se obtiene la fi­ gura 2.3, El empleo de la letra minúscula i se asocia de nuevo con un valor instan­ táneo; una / mayúscula denotaría una cantidad constante (es decir, invariante en el tiempo). La carga transferida entre el tiempo t0 y t se expresa como una integral definida: rq{t) / rt dq = i d t' Por lo tanto, la carga total transferida durante todo el tiempo está dada por: F IG U R A 2 .3 Corriente instantánea i = dq/dt, donde q está dada en la figura 22. <?0 ) = í i d t' + q(to) J tn [ 2] SECCIÓN 2.2 CARGA, CORRIENTE, TENSIÓN (VOLTAJE) Y POTENCIA En la figura 2.4 se ilustran diferentes tipos de corriente. Una corriente que es constante en el tiempo se denomina com ente directa, o simplemente cd, la cual se presenta en la figura 2.4a. Se encontrarán muchos ejemplos prácticos de corrientes que varían spnoidalm ente con el tiempo (fig. 2.4/;); las corrientes de esta form a se manifiestan en los circuitos domésticos normales. Además, la corriente de este tipo a menudo se conoce como corriente alterna, o ca. Después se verán también corrientes exponenciales y corrientes senoidales amortiguadas (fig. 2.4c y d). Se establece un símbolo gráfico para la corriente mediante una flecha puesta al lado del conductor. Así, en la figura 2.5a , la dirección de la flecha y el valor 3 A in­ dican que una carga positiva neta de 3 C/s se está moviendo hacia la derecha, o que una carga negativa de —3 C/s se mueve hacia la izquierda cada segundo. En la figu­ ra 2.5b se presentan otra vez dos posibilidades; que —3 A fluya hacia la izquierda o que + 3 A fluya h ad a la derecha. Los cuatro enunciados y ambas figuras representan corrientes equivalentes en sus efectos eléctricos, por lo que se dice que son iguales. Una analogía no eléctrica que tal vez sea más fácil de visualizar consiste en pensar en términos de una cuenta de ahorro personal: por ejemplo, se puede considerar un depósito como un flujo de efectivo negativo hacia afuera de su cuenta, o como un flujo positivo hacia adentro de su cuenta. Es conveniente visualizar la com ente como el movimiento de carga positiva, aun cuando se sabe que el flujo de corriente en los conductores metálicos se pro­ duce a partir del movimiento de electrones. En gases ionizados, en soluciones electrolíticas y en algunos materiales, semiconductores, los elementos en movi­ miento cargados positivamente constituyen una parte o la totalidad de la corrien­ te. Por lo tanto, cualquier definición de corriente concuerda con la naturaleza fí­ sica de la conducción sólo una parte del tiempo. La definición y la simbología que hemos adoptado son estándares. Resulta esencial reconocer que la flecha de la corriente no indica la dirección “real” del flujo de ella, sino que sólo forma parte de una convención que permite hablar de “la corriente en el alambre” de una manera precisa. ¡La flecha es una parte fundamental de la definición de una comente! En consecuencia, hablar sobre el valor de una comente i\ (t) sin especificar la flecha equivale a analizar una enti­ dad indefinida. Por ejemplo, la figura 2.6a y b son representaciones sin sentido de ¿i (t), mientras que la figura. 2 .6 c utiliza la simbología definitiva apropiada. A /W • " (a) (b) id) (c) i F IG U R A 2 .4 Varios tipos de corriente: (o) Corriente direda (de). (b) Corriente senoidal (ac). (c) Corriente exponencial, (d) Corriente senoidal amortiguada. (a) (a) (b) (c) corriente, (c) Definición correcta dei](t). P R Á C T IC A __________________________________________________________ 2.4 En el alambre de la figura 2 7, los electrones se mueven de izquierda a derecha para crear una com ente de 1 mA. Determinar /i e 12. i F IG U R A 2 .7 Respuesta: ly = -1 mA; I 2 = +1 mA. (b) F IG U R A 2 .5 Dos métodos de representación de la misma corriente. I F IG U R A 2 .6 (o, b) Definiciones incompletas, impropias e incorrectas de una 13 14 --------- w v ------------- • CAPITULO 2 COMPONENTES BÁSICOS Y CIRCUITOS ELÉCTRICOS Tensión A - ' i i ' S B - ’Nh _ . ' ■ F IG U R A 2 .8 Elemento de circuito general de dos terminales. r * l • i •:? J # = 5V \ — ' (d) (O I F IG U R A 2 .9 (a, b) La terminal 6 es 5 V positiva con respecto a la terminal A\ (c, d ) ) la terminal A es 5 V positiva con respecto a la terminal B. (a) 0 b) (c) I F IG U R A 2 .1 0 (a, b) Definiciones inadecuadas de una tensión, (c) Definición correcta que incluye un símbolo para la variable y un par de símbolos más-menos. A continuación se explicará un elemento de circuito que está mejor definido en tér­ minos generales. Los dispositivos eléctricos como fusibles, bombillas eléctricas, re­ sistores, baterías, capacitores, generadores y bobinas de chispa se representan me­ diante combinaciones de elementos de circuito simples. Se comenzará con un elemento de circuito muy general, como un objeto sin forma que posee dos termina­ les en las que es posible hacer conexiones con otros elementos (fig. 2 .8 ). Hay dos trayectorias por medio de las cuales la corriente entra o sale del ele­ mento. En análisis subsecuentes se definirán elementos de circuito particulares mediante la descripción de las características eléctricas que se observan en sus terminales. En la figura 2.8, suponga que una corriente cd se envía hacia la terminal A, a través del elemento general, y sale de regreso por la terminal B. Considere tam ­ bién que empujar la carga a través del elemento requiere un gasto de energía. En este caso, se dice que existe una tensión eléctrica (o una diferencia de potencial) entre las dos terminales, o que hay una tensión “en los extremos” del elemento. De tal modo, la tensión entre un par de terminales significa una medida del tra­ bajo que se requiere para mover la carga a través del elemento. La unidad de ten­ sión (voltaje) es el volt , 2 y 1 volt es lo mismo que 1 J/C. La tensión se representa por medio d e V o v . Puede existir una tensión entre un par de terminales eléctricas sin importar si fluye o no una corriente. Por ejemplo, una batería de automóvil tiene una tensión de 12 V entre sus terminales incluso si no se conecta nada a ellas. De acuerdo con el principio de conservación de energía, la energía que se gasta al forzar a la carga desplazarse a través del elemento debe aparecer en algún otro lado. Cuando más adelante se analicen los elementos de circuito específicos, se no­ tará si esa energía se almacena en alguna forma de tal modo que esté disponible con facilidad como eneigía eléctrica, o si se transforma de modo irreversible en calor, energía acústica o alguna otra forma no eléctrica. Ahora es necesario establecer una convención mediante la cual sea posible distinguir entre la energía suministrada a un elemento y la energía que suminis­ tra el propio elemento. Ello se realiza mediante la elección de signo para la ten­ sión de la terminal A con respecto a la terminal B. Si una corriente positiva está entrando a la terminal A del elemento y una fuente externa debe gastar energía para establecer tal corriente, entonces la terminal A es positiva con respecto a la terminal B. De manera análoga, se dice que la terminal B es negativa con respec­ to a la terminal A. El sentido de la tensión se indica mediante un par de signos algebraicos más y menos. En la figura 2.9a, por ejemplo, la colocación del signo + en la termi­ nal A indica que ésta es v volts positiva con respecto a la terminal B. Si después se determina que v tiene un valor numérico de —5 V, entonces expresa que A es —5 V positivo con respecto a B o que B es 5 V positivo con respecto a A. Otros casos se ilustran en la figura 2.9b, c y d. Al igual que se advirtió en la definición de corriente, resulta esencial darse cuenta que el par más-menos de signos algebraicos no indica la polaridad “real” de la tensión, sino que simplemente forma parte de una convención que permite hablar de manera exacta sobre la “tensión entre el par de terminales”. Nota: ¡la definición de toda tensión debe incluir un par de signos más-menos! Si se utiliza una cantidad v¡ (t) sin especificar la ubicación del par de signos más-menos, se está empleando un término indefinido. La figura 2.10a y b n o sirve como defini­ ción de v¡ (t); la figura 2 . 1 0 c sí. (2) ¡Tal vez seamos afortunados de que el nombre completo del físico italiano del siglo xvm, Alessandro Giuseppe Antonio Anastasio Volta, no se utilice para nuestra unidad de diferencia de potencial! SECCIÓN 2.2 CARGA, CORRIENTE, TENSIÓN (VOLTAJE) V POTENCIA P R Á C T I C A _ ______________ 2.5 Para el elemento en la figura. 2.1 Éliui = 17 V. Determíne i>2 - + vl o---------l:2 o— ■ ----- ■ F IG U R A 2.11 R espuesta: u2 = —17 V. Potencia Ya se definió la potencia, a la cual se representará por medio de P o p. Si un jou­ le de energía se gasta en transferir un coulomb de carga a través del dispositivo en un segundo, la tasa de transferencia de energía es un watt. La potencia absor­ bida debe ser proporcional al número de coulombs transferidos por segundo (co­ rriente) y a la energía necesaria para transferir un coulomb a través del elemen­ to (tensión). De tal modo, se tiene: p = vi [3] Dimensionalmente, el miembro derecho de esta ecuación se obtiene del producto de joules por coulomb y de los coulombs por segundo, lo cual produce la dimensión esperada de joules por segundo, o watts. Las convenciones para corriente, tensión y potencia se presentan en la figura 2 . 1 2 . Ahora se tiene la expresión para designar la potencia que es absorbida por un ele­ mento de circuito en términos de un voltaje (tensión) y una corriente que pasa a través de él. El voltaje (tensión) se definió en términos de un consumo de energía y la potencia es la velocidad a la que ésta se consume. Sin embargo, por ejemplo, no se puede hacer ninguna afirmación respecto de la transferencia de energía en cualquiera de los cuatro casos que se muestran en la figura 2.9 hasta que se especi­ fique la dirección de la corriente. Imagine que se coloca una flecha de corriente a lo largo de cada extremo superior, dirigida hacia la derecha y se identifica como “+ 2 A”. En primer término, considere el caso que se muestra en la figura 2.9c. La terminal A es 5 V positivos con respecto a la terminal B, lo cual significa que se requiere de 5 J de energía para mover cada coulomb de carga positiva a la terminal A, a través del objeto y fuera de la terminal B. Puesto que se alimentan + 2 A (una corriente de 2 coulombs de carga positiva por segundo) a la terminal A, se realiza un trabajo de (5 J/C) x (2 C/s) = 10 J por segundo sobre el objeto. En otras palabras, el objeto ab­ sorbe 10 W de potencia desde cualquier elemento que esté inyectando la corriente. Se sabe que, a partir de lo que se explicó con anterioridad, no existe ninguna diferencia entre la figura 2.9c y la figura 2.9d, por lo que se espera que el objeto que se muestra en esta última absorba 10 W. Se puede verificar este nivel de absorción de una manera muy sencilla: se inyectan + 2 A a la terminal A de] objeto, por lo que una comente de + 2 A fluye hacia afuera de la terminal B. Otra forma de decir esto es que se inyectan —2 A de corriente en la terminal B. Toma —5 J/C para mover una carga desde la terminal B hasta la A, por lo que el objeto absorbe (—5 J/C) x (—2 C/s) = +10 Wcomo se esperaba. La única dificultad que se presenta para describir este caso particular es conservar el signo menos como está, pero con un poco de cuidado se puede observar que es posible obtener la respuesta correcta sin tomar en cuenta la elección respecto de la terminal de referencia positiva (terminal A en la figura 2.9o, y la terminal B en la figura 2.9d). ■ F IG U R A 2 .1 2 La potencia absorbida por el elemento se determina mediante el producto p = vi. De forma análoga, se dice que el elemento genera o suministra una potencia -vi. CAPÍTULO 2 COMPONENTES BÁSICOS Y CIRCUITOS ELÉCTRICOS Si la flecha de corriente se dirige hacia la terminal marcada" + " de un elemento, entonces p = vi produce la potencia absorbida. Un valor negativo indica que, en realidad, la potencia es generada por el elemento; podría haber sido mejor definir una corriente que fluye hacia afuera de la terminal Si la flecha de corriente se dirige hacia la terminal " + " de un elemento, entonces p = vi produce la potencia suministrada. En este caso, un valor negativo indica que se está absorbiendo potencia. Ahora observe la situación que se muestra en la figura 2.9a, de nuevo con + 2 A inyectados a la terminal A. Puesto que toma —5 J/C mover una carga desde la terminal A a la terminal B, el objeto absorbe (—5 J/C) x (2 C/s) = —10 W. ¿Qué significa esto? ¿Cómo puede algo absorber energía negativa! Si se piensa esto en términos de transferencia de energía, se transfieren —10 J al objeto cada segundo a través de la com ente de 2 A que fluye hacia la terminal A. En realidad, el objeto pierde energía: aú n a velocidad de 10 J/s. En otras palabras, proporciona 10 J/s (es decir, 10 W) a otro objeto que no se muestra en la figura. Por lo tanto, la potencia negativa absorbida es equivalente a la potencia positiva entregada. En resumen: la figura 2.12 muestra que si una terminal del elemento es v volts positiva con respecto a la otra terminal, y si una comente i está entrando al ele­ mento a través de esa terminal, este elemento absorbe una potencia p — vi - tam­ bién es correcto decir que se entrega al elemento una potencia p — vi. Cuando la flecha de comente se dirige hacia el elemento en la terminal marcada como posi­ tiva, se satisface la convención de signos pasiva, la cual debe estudiarse con todo cuidado, entenderse y memorizarse. En otras palabras, indica que si la flecha de com ente y los signos de polaridad de tensión se sitúan de manera tal que la comente entra en el extremo del elemento mareado con el signo positivo, la poten­ cia absorbida por el elemento se expresa mediante el producto de las variables de com ente y tensión especificadas. Si el valor numérico del producto es negativo, se dice que el elemento absorbe potencia negativa, o que en realidad está generando potencia y la entrega a algún elemento externo. Por ejemplo, en la figura 2.12, con t; = 5 V e i = —4 A, el elemento absorbe - 2 0 W o genera 20 W. Las convenciones sólo se requieren cuando existe más de una forma de hacer algo y quizá se produzca confusión cuando dos grupos diferentes tratan de comuni­ carse. Por ejemplo, resulta bastante arbitrario ubicar siempre el “norte” en la parte superior de un mapa; las manecillas de las brújulas no apuntan hacia “arriba”, de ningún modo. Sin embargo, si se habla con personas que han elegido de manera secreta la convención opuesta de situar el “sur” en la parte superior de sus mapas, ¡imagine la confusión que se produciría! De la misma manera, existe una conven­ ción general que siempre dibuja las flechas de corriente apuntando hacia la terminal de tensión positiva, sin que importe si el elemento suministra o absorbe potencia, lo cual no es incorrecto pero en ocasiones origina comentes que no son intuitivas y que se indican en los esquemas de los circuitos. La razón de ello es que simplemente parece más natural referirse a una comente positiva que fluya hacia afuera de una fuente de tensión o de corriente que está suministrando potencia positiva a uno o más elementos de circuito. EJEMPLO 2.1 Calcular la potencia absorbida en cada uno de los casos de la figura 2.13. (a) (b) ■ F IG U R A 2 .1 J (a, b, c) Tres ejemplos de elementos de dos terminales. (c) SECCIÓN 2.3 FUENTES DE TENSIÓN Y DE CORRIENTE En la figura 2.13a, se observa que la corriente de referencia se define en forma congruente con la convención pasiva de signos, la cual supone que el elemento está absorbiendo potencia. Con + 3 A que fluye hacia la terminal de referencia positiva, se calcula: P = (2 V)(3 A) = 6 W de potencia absorbida por el elemento. La figura 2.13b ilustra una imagen un poco diferente. En este caso, existe una corriente de —3 A que fluye hacia la terminal de referencia positiva. Sin embargo, la tensión, tal como se ha defininido, es negativa, lo que origina una potencia absorbida P = ( - 2 V )(—3 A) = 6 W Por lo tanto, se ve en realidad que ambos casos son equivalentes: Una corriente de + 3 A que fluye hacia la terminal superior es la misma que una corriente de + 3 A que fluye hacia afuera de la terminal inferior, o, de modo equivalente, es igual a una corriente de —3 A que fluye hacia la termi­ nal inferior. Refiriéndose a la la figura 2.13c, se aplican de nuevo las reglas de la con­ vención pasiva de signos y se calcula una potencia absorbida P = (4 V )(—5 A) = - 2 0 W Debido a que se calcula una potencia absorbida negativa, se deduce que, en realidad, el elemento de la figura 2.13c está suministrando + 2 0 W (es decir, es una fuente de energía). P R Á C T IC A ________________________ ___________________________________ 2.6 Determinar la potencia que absorbe cada elemento del circuito de la figura 2.14a. +o 8e 1001V — 3 .2 A (o) (b) (c) ■ F IG U R A 2 .1 4 2.7 Calcular la potencia que genera el elemento de circuito de la figura 2A4b. 2.8 Encontrar la potencia que se entrega al elemento de circuito de la figura 2.14c en t — 5 ms. Respuesta: 1.012 W; 6.65 W: —15.53 W. 2 .3 FUENTES DE TENSIÓN Y DE CORRIENTE -------• -------------------------------------------------------------------------------------------------Mediante los conceptos de corriente y de tensión, ahora es posible ser más es­ pecíficos en la definición de un elemento de circuito. Al hacerlo de esa manera, resulta importante distinguir entre el propio dispositivo físico y el modelo matemático que se utilizará para analizar su comportamiento en un circuito. El modelo no es más que una aproximación. #■ AA/V 19 ) --------------- W V -------------------------------• Por definición, un elemento de circuito simple es el modelo matemático de un dispositivo eléctrico de dos terminales, que puede caracterizarse por completo medíante su relación tensión-corriente; no es posible subdividirlo en otros dispositivos de dos terminales. CAPÍTULO 2 COMPONENTES BÁSICOS Y CIRCUITOS ELÉCTRICOS De aquí en adelante se utilizará la expresión elemento de circuito para referirse al modelo matemático. La elección de un modelo particular para cualquier dis­ positivo real debe hacerse con base en datos experimentales o la experiencia; casi siempre se supondrá que ya se ha hecho tal elección. Por simplicidad, al principio los circuitos se consideran con componentes ideales, representados mediante modelos simples. Todos los elementos de circuitos simples que se considerarán se clasifican de acuerdo con la relación entre la com ente a través del elemento y la tensión en los extremos del mismo elemento. Por ejemplo, si la tensión en los extremos del elemento es linealmente proporcional a la com ente a través de él, al elemento se le denominará resistor. Otros tipos de elementos de circuito simples tienen ten­ siones de terminal proporcionales a la derivada de la com ente con respecto al tiempo (bobina), o a la integral de la com ente con respecto al tiempo (capaci­ tor). Existen también elementos en los que la tensión es totalmente independien­ te de la com ente, o la corriente lo es de la tensión, en cuyo caso se conocen co­ mo fuentes independientes. Además, es necesario definir tipos especiales de fuentes para las que la tensión o la com ente de fuente dependan de una corrien­ te o tensión en otro punto del circuito, que se conocen como fuentes dependien­ tes y se usan mucho en electrónica para hacer módulos del comportamiento de la cd y de la ca de transistores, sobre todo en circuitos de amplificador. Fuentes de tensión independientes (a) (b) {c) ■ F IG U R A 2 .1 5 Símbolo de circuito para la fuente de tensión independiente. Si ha notado alguna vez que las luces de la habitación se atenúan cuando comienza a funcionar un equipo de aire acondicionado, se debe a que la repentina demanda de una corriente elevada origina una caída temporal de tensión. Luego de que el m otor inicia su movimiento, se necesita menos corriente para mantenerlo. En este punto, se reduce la demanda de corriente, la tensión vuelve a su valor original y la toma de corriente de la pared proporciona otra vez una aproximación razonable a una fuente de tensión ideal. El primer elemento que se considerará es la fu en te de tensión independiente. El símbolo de circuito se presenta en la figura 2.15a; el subíndice i sólo identifica la tensión como una tensión de “fuente”, y es común pero no se requiere. Una fuente de tensión independiente se caracteriza por una tensión de terminal que es total­ mente independiente de la corriente a través de ella. Por lo tanto, si se indica una fuente de tensión independiente y se señala que la tensión de terminal corresponde a 12 V, entonces se supone siempre esta tensión, sin que importe la comente que fluya. La fuente de tensión independiente es una fuente ideal, es decir, no representa exactamente algún dispositivo físico real, debido a que la fuente ideal podría en­ tregar en teoría una cantidad infinita de energía desde sus terminales. Sin embargo, tal fuente de tensión idealizada proporciona una aproximación razonable a varias fuentes de tensión prácticas. Una batería de almacenamiento de automóvil, por ejemplo, muestra una tensión de terminal de 12 V que se mantiene en esencia constante, siempre que la com ente a través de ella no sobrepase unos cuantos am­ peres. Tal vez Huya una pequeña com ente en cualquier dirección a través de la batería. Si es positiva y circula hacia afuera de la terminal marcada como positiva, entonces la batería proporcionará potencia a los faros delanteros; por ejemplo, si la comente es positiva y fluye hacia adentro de la terminal positiva, entonces la batería está en proceso de carga y absorbe energía del alternador. 3 Una toma de corriente eléctrica doméstica común se aproxima también a una fuente de tensión indepen­ diente y suministra una tensión vs = 115\/2 eos 2tt60t V: esta representación es válida para comentes menores a 20 A o con un valor similar. Un punto que vale la pena repetir aquí es la presencia del signo más en el ex­ tremo superior del símbolo de la fuente de tensión independiente de la figura 2.15a que no significa de manera forzosa que la terminal superior sea positiva con respecto a la terminal inferior. Más bien, indica que la terminal superior es vs volts positiva con respecto a la inferior. Si en algún instante ocurre que vs sea negativa, entonces la terminal superior es en verdad negativa con respecto a la inferior en ese instante. (3) O de la batería del automóvil de un amigo, si por accidente deja ias luces encendidas. SECCIÓN 2.3 FUENTES DE TENSIÓN Y DE CORRIENTE Considere una flecha de comeare marcada como “i ” que se ubica adyacente al conductor superior de la fuenle (fig. 2 15¿>). La corriente i entra a la terminal en donde se localiza el signo positivo, haciendo que la convención de signos pasiva se satisfaga y la fuente de ese modo a b so rb e una potencia p = vs i. Con mucha fre­ cuencia se espera que una fuente entregue potencia a una red y no que la absorba de ella. En consecuencia, se podría orientar la flecha como en la figura 2.15c de manera que vsi representara la potencia en treg a d a por la fuente. Técnicamente, se puede elegir cualquier dirección de flecha; en este texto se adoptará la convención de la figura 2.15c para fuentes de tensión y de corriente, las cuales no suelen considerarse dispositivos pasivos. Una fuente de tensión independiente, con una tensión de terminal constante, muchas veces se conoce como fuente de tensión cd independiente y se repre­ senta por cualquiera de los símbolos de la figura 2 .16a y b. Observe en la figura 2.16¿> que cuando se sugiere de forma física la estructura de placas de la batería, la placa más larga se sitúa en la terminal positiva; los signos más y menos repre­ sentan entonces una notación redundante, aunque suelen incluirse de cualquier modo. Para concordar con la anterior, el símbolo para una fuente de tensión de ca independiente se ilustra en la figura 2.16c. • ------------------------------ W (a) V (b) ----------------( 19 (c) I F IG U R A 2 .1 6 (a) símbolo de la fuente de tensión de cd; (b) símbolo de la batería; (c) símbolo de la fuente de tensión de ca. Se suelen utilizar términos similares para fuente de tensión de cd y fuente de corriente de cd. En sentido literal, quieren decir “ fuente de tensión de corriente directa" y "fuente de corriente de corriente directa", respectivamente. Si bien tales palabras pueden parecer un poco extrañas o incluso redundantes, la terminología se emplea a tal grado que no existe punto de conflicto al respecto. Fuentes de corriente independientes Otra fuente ideal que necesitaremos es la fu e n te de corriente independiente. En este caso, la corriente a través del elemento es totalmente independiente de la tensión entre sus extremos. El símbolo de una fuente de corriente independi­ ente se m uestra en la figura 2.17. Si is es constante, se trata de una fuente de corriente cd independiente. A menudo, una fuente de corriente de ca se dibuja con una tilde en la flecha, de manera similar a como se hace con la fuente de ten­ sión de ca que se m uestra en la figura 2.16c. Como en el caso de la fuente de tensión independiente, la fuente de com ente independiente representa, en el mejor de los casos, una aproximación razonable de un elemento físico. En teoría, entrega potencia infinita desde sus terminales, puesto que produce la m ism a corriente finita para cualquier tensión entre sus extremos, sin importar cuán grande pueda ser la tensión. Sin embargo, ello con­ stituye una buena aproximación de muchas fuentes prácticas, en particular de circuitos electrónicos. Aunque la mayoría de los estudiantes se sienten a gusto con una fuente de tensión independiente que suministre un voltaje fijo, pero en esencia ninguna corriente, es un error m uy frecu en te ver una fuente de corriente independiente como una en la que el voltaje entre sus terminales es nulo y que suministra una corriente fija. En realidad, no se sabe a p rio ri cuál será el voltaje a través de una fuente de corriente, pues ello depende totalmente del circuito al que se encuentre conectada. ,jO I F IG U R A 2 .1 7 Símbolo de circuito de la fuente de corriente independiente. y \ Fuentes dependientes Los dos tipos de fuentes ideales que se han explicado hasta ahora se denominan fuentes independientes, debido a que el valor de la cantidad de la fuente no se ve afec­ tado de ningún modo por lo que pasa en el resto del circuito. Esta situación contrasta incluso con oLro tipo de fuente ideal, la fuente dependiente o controlada, en donde la cantidad de la fuente está determinada por una tensión o una corriente existente en al­ gún otro lugar del sistema que se analiza. Las fuentes de este tipo aparecen en los modelos eléctricos equivalentes de muchos dispositivos electrónicos, como los tran­ sistores, amplificadores operacionales y circuitos integrados. Para distinguir las fuentes dependientes de las independientes se utilizarán los símbolos de diamante de la figura 2.18. En la figura2.18a> c ,K & i una constante de ajuste adimensional. En la figura 2.18¿, g es un tactor de ajuste con unidades de A / V ; en la figura 2.18á, r e s un factor de ajuste con unidades de V/A. La comente controladora ix y la tensión con­ troladora vx deben definirse en el circuito. I F IG U R A 2 . 1 8 Cuatro tipos diferentes de fuentes independientes; (a) fuente de corriente controlada por corriente; (b) fuente de corriente controlada por tensión; (c) fuente de tensión controlada por tensión; (d) fuente de tensión controlada por corriente. 20 --------- V W -• CAPÍTULO 2 COMPONENTES BÁSICOS Y CIRCUITOS ELÉCTRICOS En primera instancia parece extraño tener una fuente de corriente cuyo valor de­ penda de un vol taje o una de una fuente de voltaje que esté controlada por una co­ rriente que fluya a través de otro elemento. Aun una fuente de voltaje que dependa de un voltaje remoto puede parecer extraña. Sin embargo, dichas fuentes son invaluables en el modelado de un sistema complejo, pues permiten que el análisis alge­ braico sea muy sencillo. Como ejemplos se pueden incluir la corriente de fuga de un transistor de efecto de campo en función del voltaje de la compuerta o el volta­ je de salida de un circuito integrado analógico en función del voltaje de entrada di­ ferencial. Cuando aparece en el análisis de circuitos, se escribe toda la expresión controladora de la fuente dependiente justamente como se haría si fuera un valor numérico conectado a una fuente independiente. A menudo este procedimiento ge­ nera la necesidad de elaborar una ecuación adicional para completar el análisis, a menos que el voltaje o la corriente controladora sean una de las incógnitas especí­ ficas del sistema de ecuaciones. E JE M P L O 2.2 terminar v¡ . Se da el esquema del circuito marcado de manera parcial y la información adicional de que vi = 3 V. Quizás valga la pena agregar dicho valor en el esquema, como se indica en la figura 2 . 1 9b. A continuación se retrocede y se observa la información recopilada. Al examinar el esquema del circuito, se observa que la tensión deseada vL es la misma que la tensión en la fuente dependiente. De modo que: v L = 5 v2 En este punto ¡qué se haría con el problema si sólo se conociera V2 I Al volver al esquema del circuito, se observa que, en realidad, se conoce V2 , que se especificó como 3 V. Por lo tanto, se puede escribir, v2 (b) U F IG U R A 2 .1 9 (a) Ejemplo de un circuito que contiene una fuente de tensión controlada por tensión, (b) La información adicional que se proporciona se incluye en el diagrama. ~3 Ahora se tienen dos (simples) ecuaciones con dos incógnitas y se resuel­ ven para encontrar que v i = 15 V. Una lección importante en esta primera etapa del juego es que el tiempo que se em plee p a ra m arcar p o r com pleto un esquema d el circuito será siempre una buena inversión. Como última etapa, es necesario regresar y verificar el trabajo para asegurar que el resultado es correcto. P R Á C T IC - 'A # 1 -- — 2.9 Determinar la potencia absorbida por cada elemento del circuito de la figura 2 .2 0 . 5 A “ ~ v* + ■ F IG U R A 2 .2 0 Respuesta: (de izquierda a derecha) —56 W; 16 W; —60 W; 160 W; —60 W. SECCIÓN 2.3 FUENTES DE TENSIÓN Y DE CORRIENTE Las fuentes de tensión y de corriente dependientes e independientes son ele­ mentos activos que pueden entregar potencia a algún dispositivo externo. Por ahora se considerará un elemento pasivo como aquel que sólo puede recibir po­ tencia. Sin embargo, después se verá que varios elementos pasivos almacenan cantidades finitas de energía y luego las reintegran a distintos dispositivos exter­ nos; puesto que se desea seguir llamando pasivos a dichos elementos, más ade­ lante será necesario perfeccionar las dos definiciones. Redes y circuitos La interconexión de dos o más elementos de circuitos simples forma una red eléctrica; si contiene al menos una trayectoria cerrada, también es un circuito eléctrico. Nota: cada circuito es una red, ¡pero no todas las redes son circuitos! (vea la fig. 2 .2 1 ). ■ F IG U R A 2 .2 1 (o) Red que no es un circuito. (b) Red que es un circuito. Una red que contiene al menos un elemento activo, como una fuente de ten­ sión o de corriente independiente, es una red activa; la que no contiene ningún elemento activo, constituye una red pasiva. A continuación se define lo que se entiende por el término elemento de cir­ cuito y se presentarán las definiciones de varios elementos de circuito específi­ cos, las fuentes de tensión y de corriente independientes y dependientes. En lo que resta del libro se definirán sólo cinco elementos de circuito adicionales: re­ sistor o resistencia, inductor, capacitor, transformador y amplificador operacional (“amp op”, para abreviar), todos los cuales son elementos ideales. Son importantes debido a que es posible combinarlos en redes y circuitos que repre­ sentan dispositivos reales de una forma tan precisa como sea necesario. Por lo tanto, se puede hacer el modelo del transistor de la figura 2 .2 2 a y b mediante las terminales de tensión denominadas vgs y de la fuente de corriente dependiente de la figura 2.22c. Observe que esta última produce una corriente que depende de una tensión en otra paite del circuito. El parámetro gm, que por lo común se conoce como transconductancia, se calcula utilizando datos específicos del transistor así como también el punto de operación determinado por el circuito conectado al transistor. En general, es un número pequeño en el orden de 10 - 2 a quizás 10 A/V. El modelo funciona bastante bien, siempre y cuando la fre­ cuencia de cualquier fuente senoidal no sea ni muy grande ni muy pequeña; además, se modifica al incluir elementos de circuito ideales adicionales tales como resistencias y capacitores. » A /W 22 -AAA ------------------------------- • )------------ CAPITULO 2 COMPONENTES BÁSICOS Y CIRCUITOS ELÉCTRICOS M etal (o polisilicio) (a) Dióxido de silicio (S t0 2) (*) W I F IG U R A 2 .2 2 Transistor de efecto de campo semiconductor de óxido metálico (MOSFET). (o) transistor de potencia MOSFET de canal N IRF540 del empaque TO-220, a 100 V y 22 A. (6) vista de la sección transversal de un MOSFET básico (R. Jaeger, Mícroelectronic Design, McGraw-Hill, 1997); (c) modelo de circuito equivalente para utilizarlo en un análisis de circuitos en ca. Por lo general, los transistores de este tipo constituyen sólo una pequeña parte de un circuito integrado, que quizá sea menor que un cuadrado de 2 mm x 2 mm y de 2 0 0 /¿m de espesor, y aun así contienen incluso varios cientos de transistores, más varias resistencias y capacitores. Por lo tanto, se tiene un dis­ positivo físico que es casi del tamaño de una letra de esta página, pero que re­ quiere un modelo compuesto de diez mil elementos de circuito simples ideales. Se utiliza este concepto del “modelado de circuito” en un gran número de temas de ingeniería eléctrica que se abordan en otros cursos, entre los que se incluyen los de electrónica, ahorro de energía y antenas. 2.4 • ------------------LEY DE OHM ------------:-----------------------------------------------------------------------------------------------------------Hasta este momento se han presentado las fuentes de corriente y tensión depen­ dientes e independientes; además, se aclaró que se tratan de elementos activos idealizados que sólo se podrían aproximar en un circuito real. Ahora se cuenta con las bases suficientes para conocer otro elemento idealizado, la resistencia lineal. La resistencia es el elemento pasivo más simple, así que la explicación comienza considerando el trabajo de un humilde físico alemán, Georg Simón Ohm, quien en 1827 publicó un folleto en el que describía los resultados de uno de los primeros intentos para medir corrientes y tensiones, y para describirlos y relacionarlos en forma matemática. Uno de los resultados fue el planteamiento de una relación fun­ damental llamada ahora ley de Ohm, a pesar de que se ha demostrado que este re­ sultado lo descubrió Henry Cavendish, un brillante semiermitaño, 46 años antes en Inglaterra. El folleto de Ohm recibió una crítica bastante inmerecida y se ridiculi­ zó durante varios años después de su primera publicación, aunque sí se aceptó más adelante y sirvió para eliminar lo eclipsado asociado con su nombre. La ley de Ohm establece que la tensión entre los extremos de materiales con­ ductores es directamente proporcional a la corriente que fluye a través del mate­ rial, o: v = Ri [4] donde la constante de proporcionalidad R recibe el nombre de resistencia. La unidad de resistencia es el ohm, que corresponde a 1 V/A y suele abreviarse me­ diante una omega mayúscula, Í 2 . SECCIÓN 2.4 LEY DE OHM Cuando esta ecuación se grafica sobre los ejes i en función de v el resultado es una recta que pasa por el origen (fig. 2.23). La ecuación [4] es una ecuación lineal; además, se le considera como la definición de una resistencia lineal. En consecuencia, si la proporción entre la corriente y la tensión asociadas con un elemento de corriente simple es constante, entonces el elemento es una resisten­ cia lineal y tiene una resistencia igual a la razón tensión-corriente. La resistencia se suele considerar como una cantidad positiva, si bien es posible simular resis­ tencias negativas con circuitos especiales. De nuevo, debe subrayarse que la resistencia lineal es un elemento de cir­ cuito idealizado; constituye sólo un modelo matemático de un dispositivo físico real. Las “resistencias” se compran o fabrican con facilidad» sin embargo, se de­ terminó de inmediato que las razones tensión-corriente de estos dispositivos físi­ cos son más o menos razonablemente constantes sólo dentro de ciertos interva­ los de corriente, tensión o potencia, y que dependen también de la temperatura y de otros factores ambientales. Es común referirse a una resistencia lineal en forma simple mediante el término resistencia; cualquier resistencia que sea no lineal siempre se describirá como tal. Las resistencias no lineales no necesaria­ mente se consideran elementos indeseables. Si bien es cierto que su presencia complica un análisis, el desempeño del dispositivo quizá dependa o forme parte de la mejora de la no linealidad. Por ejemplo, los fusibles para la protección con­ tra sobrecorrientes y los diodos Zener para regular la tensión son de naturaleza no muy lineal, lo cual se aprovecha cuando se usan en el diseño de circuitos. Absorción de potencia La figura 2.24 muestra varios tipos de resistencia diferentes, así como el símbolo de circuito más utilizado para designarlas. De acuerdo con las convenciones de tensión, corriente y potencia ya adoptadas, el producto de i; e i da como resul­ te) (b) (c) id) ■ F IG U R A 2 .2 4 (o) Algunos empaques comunes de resistencias, (ó) Resistencia de potencia de 560 £2 con una potencia de 500 W. (c) Resistencia de 10 teraohms (10 000 000 000 000 Q) y 5°/o de tolerancia fabricada por Ohmcraft. ( d ) Símbolo de circuito de una resistencia que se aplica a todos los dispositivos de (a) hasta (c). • ------------------------------ W V ------ ( 23 I (amperes) I F IG U R A 2 .2 3 Relación corriente-tensión de una resistencia lineal de 2 £2. 0 -• CAPÍTULO 2 COMPONENTES BÁSICOS Y CIRCUITOS ELÉCTRICOS tado la potencia que absorbe la resistencia. Esto es, v e i se eligen para satisfacer la convención de signos pasiva. La potencia absorbida aparece físicamente como calor y/o luz y siempre es positiva; una resistencia (positiva) es un ele­ mento pasivo que no puede entregar potencia o almacenar energía. U na variante de expresiones de la potencia absorbida es: p = vi = i 2R = v2/ R [5] Uno de los autores (que prefiere no identificarse ) 4 tuvo la desafortunada ex­ periencia de conectar de manera inadvertida una resistencia de carbón de 1 0 0 Í2 , 2 W a una fuente de 110 V. La flama, el humo y la fragmentación consecuentes resultaron bastante desconcertantes, lo que demostró con toda claridad que una resistencia práctica tiene límites definidos para su capacidad de comportarse como un modelo lineal ideal. En este caso, se requería que la desafortunada re­ sistencia absorbiera 121 W; puesto que se diseñó para manejar sólo 2 W, se com­ prende que su reacción fuera violenta. E J E M P L O 2.3 La resistencia que se muestra en la figura 2.24b está conectada a un cir­ cuito que obliga a una corriente de 428 mA a fluir a través de ella. Calcular la tensión en sus terminales y la potencia que disipa. La tensión en la resistencia está determinada por la ley de Ohm, de tal forma que v = R i = (560) (0.428) = 239.7 V Se puede calcular la potencia disipada por la resistencia de varias formas. Puesto que se cuenta con la tensión en sus terminales y la corriente que fluye a través de ella, p = vi — (239.7) (0.428) = 102.6 W que es aproximadamente 20% de su máximo valor a 500 W. Se verifican re­ sultados mediante las dos ecuaciones siguientes: p = v 2 / R = (239.7)2/560 = 102.6 W p = i2R = (0.428)2 560 = 102.6 W y se obtiene el valor esperado. P R Á C T IC A O ------W v — o R m F IG U R A 2 .2 5 _________ ~ _____________________________________ Con referencia en las definiciones de v e i de la figura 2.25, calcular las can­ tidades siguientes: 2.10 R si i — —1.6 m A y v — —6.3 V. 2.11 La potencia absorbida si v = —6.3 V y R = 21 £2 2.12 i si v = —8 V y R absorbe 0.24 W. Respuestas: 3.94 kQ; 1.89 W; —30.0 mA. (4) El nombre se proporcionará con gusto, luego de una solicitud escrita a S.M.D. ( APLICACIÓN PRÁCTICÁ~) El c a lib r e d e l a la m b r e Técnicamente, cualquier material (salvo un supercon­ ductor) ofrecerá resistencia al flujo de corriente. Como en todos los textos introductorios de circuitos, de manera tácita se supone que los alambres que aparecen en los es­ quemas de circuito tienen una resistencia nula, lo cual implica que no hay diferencia de potencial entre los ex­ tremos de un alambre y, en consecuencia, no existe po­ tencia absorbida ni calor generado. Si bien no suele ser un supuesto irrazonable, pasa por alto consideraciones prácticas al elegir el diámetro de alambre apropiado para una aplicación específica. La resistencia se determina por medio de: 1) la resis­ tividad inherente de un material y 2 ) la geometría del dis­ positivo. La resistividad, representada por el símbolo p, es una m edida de la facilidad con que los electrones viajan a través de cierto material. En razón de que es el cociente del campo eléctrico (V/m) y la densidad de co­ rriente que fluye en el material (A/m2), las dimensiones de p son £ 2 • m, aunque a menudo se emplean prefijos métricos. Todo material tiene una diferente resistividad inherente, que depende de la temperatura. Algunos ejem­ plos se muestran en la tabla 2.3; como puede observarse, existe una pequeña variación entre los diferentes tipos de cobre (menor a 1 %), pero una gran diferencia entre metales distintos. En particular el acero, aunque más re­ sistente que el cobre, es varias veces más resistivo. En al­ guna literatura técnica, es más común ver mencionada la TAB LA 2.5 ~^221 B355 B415 i R = P j [-«--------- £ (cm)---------- * Area transversal 7 Área = A cm*' k- j Resistividad = p ílcm ¡ [6 ] Dirección de’ flujo de la corriente ■ F IG U R A 2 .2 6 Definición de los parámetros geométricos empleados para calcular la resistencia de un alambre. Se supone que la resistividad del material es espacialmente uniforme. La resistividad se determina cuando se elige el tipo de material con el que se fabrica un alambre y se mide la tem­ peratura del medio ambiente en donde se lleva la apli­ cación. Puesto que en realidad el alambre absorberá una cantidad finita de potencia debido a su resistencia, el flujo de comente origina la producción de calor. Los alambres más gruesos tienen resistencia más baja y también disipan el calor con mayor facilidad, pero son más pesados, tienen un volumen mayor y, además, resultan más costosos. Por lo tanto, por consideraciones prácticas es conveniente se­ leccionar el alambre más pequeño que puedan utilizarse de Algunos materiales comunes de ala m bre eléctrico y sus resistividad es* Especificación A S TM ** BJ3 B75 B188 B189 B230 conductividad (simbolizada por una a) de un material, la cual simplemente es el recíproco de la resistividad. La resistencia de un objeto particular se obtiene mul­ tiplicando la resistividad por la longitud l de la resisten­ cia y dividiéndola entre el área de la sección transversal (A) (ecuación [6 ]), como se ilustra en la figura 2.26. Tem plado y form a Cobre, estañado redondo Cobre, tubular, suave, cobre OF Cobre, tubo macizo, rectangular o cuadrado Cobre, recubierto de plomo suave, redondo Aluminio, macizo, redondo Acero con cubierta de cobre, macizo, redondo, grado 40 HS Cobre, recubierto con níquel, redondo, clase 10 Acero con cubierta de aluminio, macizo, redondo Resistividad a 20°C (liü- cm) 1.7654 1.7241 1.7521 1.7654 2.8625 43971 1.9592 8.4805 * C.B. Rawlins, “Conductor Materials”, Standard Handbookfor Electrical Engineering, 13a. edición, D.G. Fink y H.W. Beaty, e.ds. Nueva York: McGraw-Hill, I W . pp. 4-4 a 4-8. ** SociaL.d IMadounidense de Prueba de Materiales. (Continúa en la siguiente página i ( .. i ■ < manera segura, en lugar de seleccionar el alambre con el diámetro mayor disponible en un esfuerzo por minimizar las pérdidas resistivas. El American Wire Gauge (AWG) es un sistema estándar para especificar tamaños de alam­ bre. Al elegir un calibre de alambre, los valores AWG más pequeños corresponden a un diámetro de alambre más grande; la tabla 2.4 presenta información abreviada de ca­ libres comunes. Los códigos de seguridad locales eléctri­ cos y contra incendio típicamente dictan el calibre que se requiere en aplicaciones específicas de cableado con base en la com ente máxima esperada, así como en el lugar donde se localizará la instalación. TABLA 2.4 Algunos calibres de alambre comunes y resistencia ____________ de alambre de cobre sólido (blando).*_________________ Tamaño del conductor (AWG) 28 24 22 18 14 12 6 4 2 Sección transversal (m m 2) 0.0804 0.205 0.324 0.823 2.08 3.31 13.3 21.1 33.6 Ohms por 1000 pies a 20°C 65.3 25.7 16.2 6.39 2.52 1.59 0.3952 0.2485 0.1563 * C. B. Rawlins y cois., Standard Handbookfor Electrical Engineering, 13a. edición, D.G. Fink y H.W. Beaty, eds. Nueva York: McGraw-Hill, 1993, pp. 4-47. EJEMPLO 2.4 Se tiende un alambre a lo largo de un tramo de 2 000 pies hacia una lámpara de alta potencia que toma 100 A. Si se usa un alambre AWG número 4, ¿qué cantidad de potencia se disipa (es decir, se pierde o se desperdicia) dentro del alambre? La mejor forma para empezar a resolver este problema consiste en hacer un dibujo rápido, como el de la figura 2.27. En la tabla 2.4 se observa que un alambre AWG 4 tiene 0.2485 Q para cada 1 000 pies. El alambre que sale hacia la lámpara mide 2 0 0 0 pies de largo, y el que regresa a la fuente de potencia presenta también esa longitud, lo que corresponde a un total de 4 000 pies. De tal manera, el alambre tiene una resistencia de: R = (4 000 ft) (0.2485 ft/1 000 ft) = 0.994 Q ■ F IG U R A 2 .2 7 Rápido bosquejo del circuito con foco del ejemplo 2.4. SECCIÓN2.4 LEYDEOHM AAA/------- #■ La potencia disipada está dada por i 2 R, donde i — 100 A. Así, el alambre disipa 9 940 W o 9.94 kW. Incluso con una resistencia total menor que 1 Q se desperdicia en el alambre una cantidad enorme de potencia: ¡ésta también debe ser proporcionada por la fuente de potencia, aunque nunca llegue al foco! P R Á C T IC A ' ______________________________________________________ 2.13 Dadas las pérdidas de potencia tan elevadas que se describieron en el ejemplo 2.4, su gerente le pide que reemplace el alambre AWG numero 4 por el alambre AWG número 2. Calcular la pérdida de potencia en el nuevo alambre, suponiendo que el foco consume una corriente de 100 A. Por mera curiosidad, ¿cuántas veces más pesará el nuevo cableado (dos veces más, cuatro veces más, etc.)? Respuesta: 6.25 kW, 1.59 veces más. Conductancia En un resistor lineal, la proporción entre la corriente y la tensión también es constante. donde G sé llama conductancia. La unidad del SI para la conductancia es el siemens (S), 1 A/V. Anteriormente se utilizaba una unidad no oficial, el mho, abreviada mediante una omega. mayúscula invertida y . De vez en cuando la verá en algunos esquemas de circuito, así como en catálogos y textos. El mismo símbolo de circuitos (fig. 2.24d) se emplea para representar la resistencia y la conductancia. En este caso, la potencia absorbida es también necesariamente positiva y se podría expresar en términos de la conductancia mediante: p — vi [8 ] De este modo, un resistor de 2 Q tiene una conductancia de \ S, y si fluye una corriente de 5 A a través de él, se presenta una tensión de 10 V en las termi­ nales y se absorbe una potencia de 50 W. Todas las expresiones dadas hasta ahora en esta sección se escribieron en tér­ minos de la com ente, la tensión y la potencia instantáneas, como v — iR y p = vi. Es necesario recordar que es una notación abreviada de v(t) = R i(t) y p (t) = v(t) i(t). La com ente que circula por una resistencia y la tensión que existe entre sus extremos deben variar de la misma manera respecto del tiempo. Por lo tanto, si R = 1 0 £2y v = 2 sen lOOfV, entonces i = 0.2 sen lOOíA. Se ob­ serva que la potencia está dada por 0.4 sen 2 W, de modo que un diagrama sim­ ple ilustrará la naturaleza diferente de su variación en el tiem po. Si bien la com ente y la tensión son negativas durante ciertos intervalos, ¡la potencia ab­ sorbida nunca es negativa! La resistencia puede utilizarse como la base para definir dos términos que suelen emplearse: cortocircuito y circuito abierto. Se define al cortocircuito como una resistencia de cero ohms; entonces, puesto que v = / R. la tensión en un cortocircuito debe ser cero, aunque la comente tenga cualquier valor. De manera análoga, se define al circuito abierto como una resistencia infinita. Se con­ cluye a partir de la ley de Ohm que la corriente debe ser nula, sin que importe la tensión en el circuito abierto. Aunque los alambres reales tienen una pequeña » 2a AA/V CAPITULO 2 COMPONENTES BÁSICOS Y CIRCUITOS ELÉCTRICOS resistencia asociada, siempre se supone que tienen resistencia nula a menos que se indique lo contrario. Por lo tanto, en la totalidad de los diagramas esquemáti­ cos de circuito, los alambres se consideran como cortocircuitos perfectos. RESUM EN Y REPASO______________________________ □ El sistema de unidades más utilizado en la ingeniería eléctrica es el SI. □ La dirección en la que se mueven las cargas positivas constituye la correspondiente al flujo de corriente positiva; de manera alternativa, el flujo de corriente positiva está en dirección opuesta a la de los electrones móviles. Observe que una corriente representada por i o i(t) es constante (cd) o variable en el tiempo, aunque las corrientes representadas por el símbolo / no deben variar en el tiempo. □ Para definir una corriente, deben indicarse un valor y una dirección. Por lo general, las com entes se denotan mediante la letra mayúscula “I” para valores constantes (cd), o de lo contrario también i(t) o simplemente i. □ Para definir la tensión en un elemento, se requiere marcar las terminales con signos “+ ” y ” además de proporcionar un valor (un símbolo algebraico o un valor numérico). □ Se dice que cualquier elemento suministrará potencia positiva si fluye corriente positiva hacia afuera de la terminal de tensión positiva. Cualquier elemento absorbe potencia positiva si fluye corriente positiva hacia adentro de la terminal de tensión positiva. □ Existen seis fuentes: la fuente de tensión independiente, la fuente de corriente independiente, la fuente de corriente dependiente controlada por corriente, la fuente de corriente dependiente controlada por tensión, la fuente de tensión dependiente controlada por tensión y la fuente de tensión dependiente controlada por corriente. □ La ley de Ohm establece que la tensión en un resistor lineal es directamente proporcional a la corriente que fluye a través de él; es decir, v = R i. □ La potencia disipada por un resistor (que causa producción de calor) está dada por p = vi = i 2R = v 2 ¡ R. □ En el análisis de circuitos se suele suponer que los alambres tienen una resistencia nula. Sin embargo, cuando se elige un calibre de alambre para una aplicación específica, es necesario consultar códigos locales eléctricos y contra incendios. LECTURAS AD ICIONALES__________________________ Un buen libro que estudia con una gran profundidad las propiedades y fabricación de resistencias es: Félix Zandman. Paul-René Simón y Joseph Szwarc, Resistor Theory and Technology, Raleigh, N.C.: SciTech Publishing, 2002. Un buen manual de ingeniería eléctrica para todo propósito es: Donald G. Fink y H. Wayne Beaty, Standard Handbookfor Electrical Engineers, 13a. edición, Nueva York: McGraw-Hill, 1993. En particular las páginas 1-1 a 1-51,2-8 a 2-10 y 4-2 a 4-207 proporcionan un tratamiento detallado de temas relacionados con los que se estudiaron en este capítulo. Una referencia detallada al SI se encuentra disponible en internet en el Instituto Nacional de Estándares: Barry N. Taylor, Guidefor the Use qfthe International System ofUnits (SI), NIST Special Publication 811, Edición 1995, www.nist.gov. EJERCICIOS EJERCICIOS______________ 2.1 U n id a d e s y escalas 1. Convierta lo siguiente a notación de ingeniería: («) 1 .2 , ^ 1 0 ~ 5 s Q>) 750 mJ (c) 1 130 £2 ■! (d) 3 500 000 000 bits df) 13 560 000 Hz ¡Ü) 0.0065 /xm (h) 49 000 £2 Cg) 0.039 nA ai Í[Í173 x 10' 5 /XA Convierta lo siguiente a notación de ingeniería: (b) 12.35 mm (o) 1000 000 W id) 0.00546 A (c) 47 000 W (e) 0.033 m.l (-/) 5.33 x 10~ 6 mW m 5 555 kW 0 . 0 0 0 0 0 0 0 0 1 s (8) 32 000 000 000 pm (0 3. Convierta las siguientes unidades del SI. Asegúrese de utilizar notación de ingeniería y conserve cuatro dígitos significativos. (a) 400 hp(b ) 12 ft (c) 2.54 cm (d) 67 Btu (e) 285.4 x 10“ 15 s 4. Una cierta batería de celdas secas de 15 V totalmente descargada, requiere de una corriente de 100 mA por 3 horas para recargarse completamente. ¿Cuál es la capacidad de almacenamiento de energía de la batería, suponiendo que la tensión no depende del estado de carga? 5. Un pequeño y veloz carro eléctrico está equipado con un motor de 175 hp. (a) ¿Cuántos kW se requieren para hacer funcionar el motor si se supone una eficiencia de 100% en la conversión de potencia eléctrica en potencia mecánica? (b ) ¿Cuánta energía (en J) se consume si el motor opera de manera continua durante 3 horas? ®i) Si una batería de plomo-ácido tiene una capacidad de almacenamiento de 430 kilowatt hora, ¿cuántas baterías se necesitan para la parte (Z>)?' ■1 6. Un bisturí láser de KrF genera pulsos láser de 400 mJ de 20 ns de duración. (a) ¿Cuál es la potencia instantánea pico del láser? (b) Si sólo pueden generarse 20 pulsos por segundo, ¿cuál es la salida de potencia promedio del láser? 7. Un láser amplificado de titanio/zafiro genera pulsos láser de 1 mJ de 75 fs de duración, (¿f) ¿Cuál es la potencia instantánea pico del láser? (b) Si sólo pueden generarse 100 pulsos por segundo, ¿cuál es la salida de potencia promedio del láser? 8. La potencia suministrada por cierta batería es constante e igual a 6 W durante los primeros 5 minutos, cero en los siguientes 2 minutos, un valor que aumenta linealmente desde cero hasta 10 W durante los siguientes 10 minutos, y una potencia que disminuye linealmente de 10 W a cero en los siguientes 7 minutos. (a) ¿Cuál es la energía total en joules consumida durante este intervalo de 24 minutos? (b ) ¿Cuál es la potencia promedio en Btu/h durante este tiempo? 9. Un nuevo tipo de batería entrega 10 W de potencia por 8 horas sin fluctuación de voltaje o corriente. Sin embargo, después de 8 horas, la potencia de salida cae linealmente de 10 W a 0 en sólo 5 minutos, (a) ¿Cuál es la capacidad de almacenamiento de energía de la batería? (b ) ¿Cuánta energía es entregada durante los últimos 5 minutos del ciclo de descarga? 2 .2 C arga, c o rrie n te , te n s ió n y p o te n c ia 10. La carga total acumulada por cierto dispositivo está dada como una función del tiempo por q = 18í2 —2í4 (en unidades del SI), (a) ¿Cuál es la carga total que se » A /W 0 30 --------- V W • CAPÍTULO 2 COMPONENTES BÁSICOS Y CIRCUITOS ELÉCTRICOS acumula en / = 2 s? (b) ¿Cuál es la carga máxima acumulada en el intervalo 0 < t < 3 s, y cuándo ocurre? (c) ¿A qué velocidad se acumula la carga en t = 0.8 s? (d) Dibuje curvas de q en función de t y de i en función de t en el intervalo 0 < / < 3 s. 11. La corriente ¡i (r) de la figura 2.6c está dada por —2 + 3e~5' A para / < 0, y —2 + 3e3'A para t > 0. Determinar (a) i\ (—0.2); (ti) ¡i (0.2); (c) los instantes en los que ¡i = 0 ; (d) la carga total que ha pasado de izquierda a derecha a lo largo del conductor en el intervalo —0 . 8 < t < 0 . 1 s. 12. La forma de onda que se presenta en la figura 2.28 tiene un periodo de 10 s. (a) ¿Cuál es el valor promedio de la corriente en un periodo? (b) ¿Qué cantidad de carga se transfiere en el intervalo 1 < t < 12 s? (c) Si <7 (0) = 0, dibuje ¡7 (/), 0 < t < 16 s. i (A) 6 4 2 1 1 1 1 2 4 5 1 8 1 10 1 12 .1 1 1 14 16 1 18 . -2 -4 ■ F IG U R A 2 .2 8 13. Considere una trayectoria formada por los puntos discretos A, B, C, D y E. Se consumen 2 pJ en mover un electrón de A a B o de B a C. Consumen 3 pJ para mover un protón de C a D. No se consume energía para mover un electrón de D a E. (a) ¿Cuál es la diferencia de potencial (en volts) entre A y 5? (Suponga que la referencia + está en B.) (ti) ¿Cuál es la diferencia de potencial (en volts) entre D y E'l (Suponga que la referencia + está en E.) (c) ¿Cuál es la diferencia de potencial (en volts) envíe C y ¿>? (Suponga que la referencia + está en D.) (d) ¿Cuál es la diferencia de potencial (en volts) entre D y B'! (Suponga que la referencia + está en D.) 14. Se encuentra una caja no marcada en la esquina trasera de un laboratorio. Tiene dos alambres que salen de ella, uno color naranja y otro color morado. Un voltímetro se conecta a los dos alambres con la referencia + en el alambre morado. De esta forma se mide una tensión do —2.86 V. ¿Cuál será la lectura de tensión si se invierten las conexiones del voltímetro? 15. Determine la potencia que absorbe cada uno de los elementos de circuito dados en la figura 2.29. 8 eos 1 000 1 mA ------r i í p -------- 4 sen 1 000/ V 1 = 2 ms (a) ■ F IG U R A 2 J 9 (b) (c) -o + EJERCICIOS + 16. Sea i = 3 te~ ,00‘ mA y v = (0.006 —0 .6 t)e~ 100t V para el elemento de circuito de la figura 2.30. (a) ¿Qué potencia absorbe el elemento de circuito en t = 5 ms? (b) ¿Cuánta energía se entrega al elemento en el intervalo 0 < t < oo? 17. En la figura 2.30, sea i = 3e-100f A. Determine la potencia que absorbe el elemento de circuito en t = 8 ms si v es igual a: (a) 40 i; (b) 0.2 d i / d t \ (c) 30 f g i d t + 20 V. 18. En la figura 2.31 se presenta la característica de corriente-tensión de una celda solar de silicio expuesta a la luz solar directa a las doce del día en Florida, durante pleno verano. Se obtiene colocando resistores de diferente tamaño entre las dos terminales del dispositivo y se miden las corrientes y tensiones resultantes. (a) ¿Cuál es el valor de la corriente en cortocircuito? (b ) ¿Cuál es el valor de la tensión en circuito abierto? (c) Calcule la potencia máxima que se obtiene del dispositivo. com ente (A) 19. Una comente que fluye hacia cierto circuito se supervisa con cuidado a medida que pasa el tiempo. Todos los voltajes (tensión) especificados suponen que la terminal de referencia positiva es la terminal superior de las dos terminales del circuito. Se observa que en las dos primeras horas, una comente de 1 mA fluye hacia la terminal superior, al mismo tiempo que se mide una tensión de +5 V. En los 30 minutos siguientes, no fluye ninguna corriente hacia adentro o hacia afuera. Después, en las dos horas siguientes, fluye una corriente de 1 mA afuera de la terminal superior, con un voltaje medido de + 2 V. Después, de nuevo no fluye corriente alguna hacia adentro o hacia afuera. Si se supone que el circuito no tenía energía almacenada ¡nicialmente, responda lo siguiente: (á) ¿Cuánta potencia se entregó al circuito durante cada uno de los tres intervalos? (b) ¿Cuánta energía se proporcionó al circuito durante las primeras dos horas de observación? (c ) ¿Cuánta energía queda ahora en el circuito? 2 .3 Fuentes d e te n s ió n y d e c o rrie n te 20. Determine cuál de las cinco fuentes de la figura 2.32 se está cargando (absorbe potencia positiva) y demuestre que la suma algebraica de los cinco valores de potencia absorbida es cero. 21. Con referencia al circuito de la figura 2.32, multiplique cada comente y voltaje por 4 y determine cuál de las cinco fuentes actúa como fuente de energía (es decir, que proporciona potencia positiva a otros elementos). 22. En el circuito simple de la figura 2.33 circula la misma comente a través de cada elemento. Si Vx = 1 V y V r = 9 V, calcular: (á) la potencia absorbida por el elemento A; (,b) la potencia suministrada por cada una de las dos fuentes. (c) ¿La potencia total suministrada es igual a la potencia total absorbida? ¿Su descubrimiento es razonable? ¿Por qué sí (o por qué no)? 23. En el circuito de la figura 2.34, si v2 = 1 000í2 e ¡2 = 5 mA, determine vs. B F IG U R A 2 .3 2 A / V \ --------- 31 32 -W V CAPÍTULO 2 COMPONENTES BÁSICOS Y CIRCUITOS ELÉCTRICOS 24. Para el circuito de la figura 2.35, si ix = —1 inA, calcular el voltaje i>2 25. Un circuito simple se forma con una batería de plomo-ácido de 12 V y un faro frontal de automóvil. Si 1h batería entrega una energía total de 460.8 watts-hora durante un periodo de descarga de 8 horas, (a) ¿qué cantidad de potencia se entrega al faro? ib) ¿cuál es la comente que fluye por la bombilla? (Suponga que la tensión de la batería permanece constante mientras se descarga.) 26. Debe elegirse un fusible para cierta aplicación. Se pueden elegir fusibles especificados para “fundirse” cuando las corrientes superen 1.5 A, 3 A, 4.5 A o 5 A. Si la tensión de suministro es de 110 V y II miixima disipación de potencia permisible corresponde a 500 W, ¿cuál es el fusible que se debe elegir y por qué? 2 .4 Ley d e O h m W r 27. En realidad, una resistencia de 1 kQ con 10% de tolerancia puede tener cualquier valor en el rango de 900 y 1100 Q. Si se le aplica una tensión de 5.0 V, (a) ¿cuál es el rango de corriente que se medirá? (b) ¿cuál es el rango de potencia que se medirá? 28. Una corriente de 2 mA es obligada a circular a través de una resistencia de 470 Q con 5% de tolerancia. ¿Qué valor de potencia deberá tener la resistencia y por qué? (Observe que “5% de tolerancia” significa que la resistencia podría tener en realidad un valor cualquiera dentro del rango de 446.5 Q y 493.5 £2.) 29. Sea R = 1200 Q para el resistor de la figura 2.24d. Determine la potencia que absorbe R en t = 0.1 s si (a) i = 20e~Ut mA; (b) v = 40 eos 20í V; (c) vi = 8 1 ' 5 VA. 30. Cierta tensión es igual a +10 V durante 20 ms —10 V en los siguientes 20 ms y continúa oscilando entre los dos valores en intervalos de 20 ms. La tensión se presenta en un resistor de 50 £2. Para cualquier intervalo de 40 ms determine (a) el valor máximo de la tensión; (b) el valor promedio de la lensión; (c) el valor promedio de la corriente del resistor; (d ) el valor máximo de la potencia absorbida; (e) el valor promedio de la potencia absorbida. 31. En el circuito de la figura 2.36 debe fluir la misma comente a través de los tres componentes como consecuencia de leyes de conservación. Recurriendo al hecho de que la potencia total suministrada es igual a la potencia total absorbida, demuestre que la tensión en el resistor AS está dada por: V», = Vs— —— 2 R1 + R 2 ' FIGURA 2.36 32. Las siguientes mediciones experimentales se efectuaron en un dispositivo de dos terminales, fijando la tensión mediante el uso de un suministro de potencia variable, y midiendo el flujo de corriente resultante en una de las terminales. Tensión (V) -1.5 -0.3 0.0 1.2 2.5 Corriente (mA) -3.19 -0.638 I.OljS 1 0 “ 8 2.55 5.32 (a) Grafique la característica de corriente-tensión. (.b) Calcule la conductancia y la resistencia efectivas del dispositivo. (c) En una gráfica diferente, dibuje la característica corriente-tensión, si la resistencia del dispositivo se incrementa en un factor de 3. EJERCICIOS 33. Para cada uno de los circuitos de la figura 2.37, determine la corriente / y calcule la potencia que absorbe la resistencia. lO k íl 5V lO k íl 5V lO kíl l Ok íl -5 V -5 V ■ F IG U R A 2 .3 7 34. Es común ver una variedad de subíndices en las tensiones, corrientes y resistencias de los diagramas de circuito. En el circuito de la figura 2.38 aparece la tensión v„ en el resistor llamado rw. Calcular vsa] si vi = 0.01 eos 1 OOOí V. 1 1* "si T 1 I- 11 n> io-3*v 1 i kíi < ysal i 1í FIG U R A 2 .3 8 35. El circuito de la figura 2.38 está construido de tal manera que vs = 2 sen 51 V, y Tjr = 80 £2. Calcular v^i e n f = 0 y f = 314 ms. 36. Un tramo de alambre de cobre sólido calibre 18 AWG es tendido a lo largo de un camino para conectar un sensor con un sistema de cómputo central. Si se sabe que el alambre tiene una resistencia de 53 £2, ¿cuál es su longitud total? (suponga que la temperatura es ~20°C). 37. Se encuentra varado en una isla desierta y la temperatura del aire es de 108°F. Después de darse cuenta de que su transmisor no ñmeiona, atribuye el problema a una resistencia descompuesta de 470 £2. Por fortuna, observa que hay un gran carrete de alambre de cobre sólido de calibre 28 AWG tirado en la costa. ¿Cuántos pies de alambre requerirá para usarlos como un sustituto de la resistencia de 470 £2? Observe que debido a que la isla se ubica en el trópico, la temperatura es un poco mayor que los 20°C utilizados para marcar la resistencia del alambre en la tabla 2.4. Puede utilizar la siguiente relación5para corregir los valores de la tabla mencionada: Ra Ri donde 234.5 + T2 234.5-f 7i = temperatura de referencia (20°C en este caso) = resistencia a la temperatura de referencia = nueva temperatura (en grados Celsius) = resistencia a la nueva temperatura 38. La resistencia de un conductor que tiene una longitud de l y una sección transversal uniforme A está dada por R = l/cr A, donde a (sigma) es la conductividad eléctrica. Si a = 5.8 x 107 S/m del cobre: (a) ¿cuál es la resistencia de un alambre de cobre número 18 (diámetro = 1.024 mm) es decir, 50 pies de largo? (b ) ¿Si una tarjeta de circuito impreso tiene un peine conductor envuelto en cobre de 33 [im de grosor y 0.5 mm de ancho que puede transportar 3 A a 5CPC de forma segura, encontrar la resistencia de un tramo de 15 cm de ese listón y la potencia entregada a éste por la corriente de 3 A. Ti Ri Ti R2 D. G. Fink y H. W. Beaty, Standard Handbookfor Electrical Engineers, 13a, edición, Nueva York: McGraw-Hill, 1993, p. 2-9. © AA/V ■# jfift CAPITULO 2 COMPONENTES BÁSICOS Y CIRCUITOS ELÉCTRICOS 39. La tabla 2.3 presenta varios tipos de estándares de alambre de cobre con una resistividad de aproximadamente 1.1¡j. Q. ■cm. Utilice la información de la tabla 2.4 para el alambre 28 AWG para determinar la resistividad del alambre de cobre suave correspondiente. ¿Es su valor congruente con el de la tabla 2.3? 40. (a) Presentar tres ejemplos de resistencias “no-lineales”. (b) Imaginar una batería conectada a una resistencia. La energía se transfiere desde la batería a la resistencia hasta que la primera se descaiga totalmente. Con base en el principio físico de la conservación de la energía, ¿a dónde exactamente fue la energía inicialmente almacenada en la batería? 41. Si el cobre B33 se utiliza para fabricar un alambre circular de un diámetro de 1 mm, ¿cuánta potencia se disipará en 1 0 0 m de alambre por el que circula una corriente de 1.5 A? 42. Con base a la información de la tabla 2.4, diseñar un dispositivo mecánico que actúe continuamente como una resistencia variable. (Sugerencia: podría ser de ayuda una bobina.) 43. Se puede hacer el modelo del diodo, un dispositivo no lineal muy común de dos terminales, mediante la siguiente relación de corriente-tensión: / = io- V 9V- d (a) Dibujar la característica de corriente-tensión para V = —0.7 a 0.7 V. Q (b) ¿Cuál es la resistencia efectiva del diodo a V = 0.55 V? (c) ¿A qué corriente el diodo tiene una resistencia de 1 £2? 44. Se necesita una resistencia de 10 £2 para reparar un circuito regulador de tensión en una aplicación portátil. Los únicos materiales disponibles son carretes de 10 000 pies con sus calibres de alambre que se presentan en la tabla 2.4. Diseñar una resistencia adecuada. 45. La resisúvidad del silicio cristalino “tipo n” está dada por p = l/qNi)i¿n, donde q, la carga por electrón, es 1.602 x 10~ 19 C, No = número de átomos de impureza de fósforo por cm3, y ¡in = movilidad del electrón (en unidades de cm2 V_ 1 s_1). La movilidad y la concentración de impurezas se relacionan por medio de la figura 2.39. Suponiendo una oblea de silicio de 6 pulgadas de diámetro y de 250 /¿m de espesor, diseñar una resistencia de 1 0 0 £2 que especifique una concentración de fósforo en el intervalo de 1 0 15 < No < 1 0 1S átomos/cm3, así como una geometría del dispositivo adecuada. £ s Nd (átomos/cm3) H F IG U R A 2 .3 9 Leyes de tensión de corriente CONCEPTOS CLAVE INTRODUCCION En el capítulo 2 se presentaron la resistencia así como varios tipos de fuentes. Después de definir algunos términos nuevos sobre circuitos, se contará con elementos suficientes para comenzar a Nuevos términos sobre : circuitos: nodo, trayectoria, 1 lazo y rama. • -------------------------------Ley de Kirchhoff de corriente analizar circuitos simples realizados a partir de estos dispositivos. Las técnicas que se explicarán están basadas en dos leyes relativa­ mente simples: la ley de corrientes de Kirchhoff (LCK) y la ley de voltajes (tensiones) de Kirchhoff (LVK). La LCK se basa en el principio de conservación de la carga, mientras que la LVK se fundamenta en el principio de conservación de la energía, por lo cual ambas son leyes físicas fundamentales. Una vez que se haya familiarizado con el análisis básico, podrá hacer un uso más extensivo de LCK y LVK para simplificar combinaciones en serie y en paralelo de resistencias, fuentes de tensión o fuentes de corriente y se desarrollarán los conceptos de división de tensión y de corriente. En capítulos subsecuentes, se explicarán técnicas adicionales que permitirán analizar, de manera eficiente, redes aún más complejas. ; (LKQ. • -------------------------------: Ley de Kirchhoff de voltaje ! (LKV). • --------------------------- — . Análisis de circuitos básicos ¡ en serie y en paralelo. 4 -------------------------------------------! Combinación de fuentes en i serie y en paralelo. é---------------------; : ; i Simplificación de combinaciones de resistencias en serie y en paralelo. é -------------------------------------------- 3.1 NODOS, TRAYECTORIAS, LAZOS Y RAMAS -------• --------------- ------------------------------------------------------------------ Ahora el foco de atención se centrará en determinar las relaciones corriente-tensión en redes simples con dos o más elementos de cir­ cuito. Los elementos se conectarán entre sí por medio de cables (al­ gunas veces denominados “hilos de conexión”), que tienen una re­ sistencia nula. Debido a que la red aparece entonces como varios elementos simples y un conjunto de hilos de conexión, se le da el nombre de red de parám etros concentrados. Surge un problema de análisis más difícil cuando se debe enfrentar una red de parámetros distribuidos, que contiene un número esencialmente infinito de ele­ mentos pequeños que se van anulando. En este texto sólo se expon­ drán las redes de parámetros concentrados. • División de corriente y de tensión. I é ------------------------------------------Conexiones a tierra. 3 6 ) --------------- VA ------------------------------ • En los circuitos ensamblados en el mundo real, los ca­ bles siempre tienen resistencia finita. Sin embargo, dicha resistencia casi siempre es tan pequeña, en comparación con otras resistencias del circuito, que puede pasarse por alto sin introducir un error impor­ tante. Por lo tanto, de ahora en adelante, en los cir­ cuitos idealizados, se hará referencia a cables de "re­ sistencia nula". I F IG U R A 3.1 (a) Circuito que contiene tres CAPITULO 3 LEYES DETENSIÓN Y DE CORRIENTE Un punto en el cual dos o más elementos tienen una conexión común se llama nodo. Por ejemplo, en la figura 3.1a se presenta un circuito que contiene tres nodos. Algunas redes se dibujan de manera que engañan a un estudiante desprevenido que cree que hay más nodos de los que en verdad existen. Esto ocurre cuando un nodo, tal como el que se indica con el número 1 en la figura 3.1a, se muestra como dos uniones separadas conectadas por un conductor (resistencia nula), como en la figu­ ra 3.1 b. Sin embargo, todo lo que se ha hecho es dispersar el punto común en una línea común de resistencia nula. Así, se debe considerar en forma obligatoria la to­ talidad de los hilos de conexión perfectamente conductores o las porciones de hilos de conducción unidos al nodo, como parte de este mismo. Observe también que to­ do elemento tiene un nodo en cada uno de sus extremos. Suponga que se parte del nodo de una red y se mueve a través de un elemen­ to simple hacia el nodo del otro extremo. Se continúa luego desde ese nodo a tra­ vés de un elemento diferente hasta el siguiente, y se prosigue con este movimien­ to hasta que se haya pasado por tantos elementos como se desee. Si se encontró un nodo más de una vez, entonces el conjunto de nodos y elementos a través de los cuales se pasó se define como una trayectoria. Si el nodo en el cual se empe­ zó es el mismo que con el que se finalizó, entonces la trayectoria es, por defini­ ción, una trayectoria cerrada o lazo. Por ejemplo, en la figura 3.1a, si al moverse a partir del nodo 2 por la fuente de corriente hacia el 1 , y luego se atraviesa la resistencia superior derecha hacia el nodo 3, se establece una trayectoria. Esto es debido a que no se ha continuado de nuevo hacia el nodo 2, completando así un lazo. Si se procede desde el nodo 2 a través de la fuente de corriente hacia el 1 , se atraviesa la resistencia izquierda ha­ cia el 2 , y después se sube otra vez por la resistencia central hacia el nodo 1 , no se está teniendo una trayectoria, ya que se encontró más de una vez un nodo (en reali­ dad dos nodos); tampoco tiene un lazo, puesto que éste debe ser utia trayectoria. Otro término cuyo uso probará su conveniencia es el de rama, a la cual se de­ fine como una trayectoria única en una red, compuesta por un elemento simple y el nodo en cada extremo de ese elemento. Por lo tanto, una trayectoria es una co­ lección particular de ramas. El circuito de la figura 3.1a y b contiene cinco ramas. nodos y cinco ramas. (b) El nodo 1 se vuelve a dibujar para considerarlo como dos nodos, aunque sigue siendo uno. 3.2 g LEY DE CORRIENTES DE KIRCHHOFf_____________ A hora cuenta con elementos suficientes para analizar la primera de las dos leyes con las que se honra el nombre de Gustav Robert Kirchhoff (dos h y d o s /), pro­ fesor universitario alemán que nació en la época en que Ohm efectuaba su traba­ jo experimental. Esta ley axiomática se denomina ley de Kirchhoff de corriente (abreviada LKC), la cual establece simplemente que: L a suma algebraica de las corrientes que entran a cualquier nodo es cero. Esta ley representa un enunciado matemático del hecho de que la carga no se acumula en un nodo. Un nodo no es un elemento d e circuito, y ciertamente no puede almacenar, destruir o generar carga. En consecuencia, las corrientes deben sumar cero. En ocasiones resulta útil una analogía hidráulica para aclarar este caso: por ejemplo, considerar tres tuberías de agua unidas en la forma de una Y. Se definen tres “corrientes” que fluyen hacia cada una de las tres tuberías. Si se insiste en que el agua siempre fluye, entonces resulta evidente que no se pueden tener tres corrientes de agua positivas, o las tuberías explotarían. Lo anterior constituye un resultado de las corrientes definidas como independientes de la di- SECCIÓN 3.2 LEY DE CORRIENTES DE KIRCHHOFF A /W ---------( 37 rección en la cual en realidad fluye el agua. Por lo tanto, por definición, el valor de una o dos com entes debe ser negativo. Considere el nodo de la figura 3.2. La suma algebraica de las cuatro corrientes que entran al nodo debe ser cero: ia + ¡b + (~ > c) + (—Íd ) — 0 I F IG U R A 3 .2 Ejemplo de un nodo para ilustrar la Es obvio que la ley podría aplicarse de igual forma a la suma algebraica de las corrientes que abandonan el nodo: ¿a) + (—íb ) + ic + íd = aplicación de la ley de Kirchhoff de corriente. 0 Quizá se desee igualar la suma de las corrientes que tienen flechas de refe­ rencia dirigidas hacia el nodo, con la suma de las dirigidas hacia afuera del mis­ mo: ia + ¡b = ic + Íd lo que establece de manera simple que la suma de las comentes que entran es igual a la suma de las com entes que salen. Una expresión compacta de la ley de Kirchhoff de com ente es: y~! «=i [ 1] _ o que es justo un enunciado breve de: h + *2 + h + • ■• + Ín = [2] 0 Cuando se emplea la ecuación [1] o la [2], se entiende que las N flechas de com ente se dirigen hacia el nodo en cuestión, o se alejan de él. S 9 Ww*H H --Mwmmmr H ¡s r n - ' 1 EJEMPLO 3.1 En el circuito de la figura 3.3a, calcular la corriente a través del resistor R i si se sabe que la fuente de tensión suministra una corriente de 3 A. Identificar el objetivo del problema. La com ente que circula por el resistor R 3 ya se marcó como i sobre el dia­ grama de circuito. Recopilar la información conocida. La corriente fluye desde el nodo superior de R 3, que se conecta a las otras tres ramas. Las comentes que fluyen hacia el nodo a partir de cada rama se sumarán para formar la corriente i. > Elaborar un plan. Empezar marcando la com ente que pasa por R] (fig. 3.3b), de manera que pueda escribirse una ecuación LKC en el nodo superior de los resistores R2 y ^ 3 . Construir un conjunto apropiado de ecuaciones. Sumar las comentes que circulan hacia el nodo: lRt • 2 - i -1- 5 — 0 Para mayor claridad, las com entes que fluyen hacia este nodo se muestran en el esquema del circuito ampliado de la figura 3.3c. (Continúa en la siguiente página) CAPÍTULO 3 LEYES DE TENSIÓN Y DE CORRIENTE Determinar si se requiere información adicional. Observar que tiene una ecuación pero dos incógnitas, lo que significa que se necesita obtener una ecuación adicional. En este punto, se vuelve útil el hecho de que sepa que la fuente de 10 V suministra 3 A: la LKC muestra que ésta es también la corriente i r , . Buscar la solución. Sustituyendo, se tiene que i = 3 — 2 + 5 = 6A . Verificar la solución. ¿Es razonable o es la esperada? Siempre vale la pena el esfuerzo de verificar una vez más la solución. Además, puede hacerse el intento de evaluar si al menos la magnitud de la solución es razonable. En este caso, tiene dos fuentes: una suministra 5 A y la otra, 3 A. No hay otras fuentes, independientes o dependientes. Por consiguiente, no se debe esperar encontrar ninguna com ente en el circuito mayor que 8 A. P R Á C T IC A __________________________________________________________ 3.1 Contar el número de ramas y nodos que hay en el circuito de la figura 3.4. Si ix — 3 y la fuente de 18 V entrega 8 A de corriente, ¿cuál es el valor de R a ‘? (Sugerencia: necesita de la ley de Ohm, así como de la LCK). 13 A (c) ■ F IG U R A 3 .3 (o) Circuito simple en el que se desea que fluya la corriente a través de la re­ sistencia /?3. (b) La corriente que circula por la resistencia /?i se indica de manera que la ecuación de la LCK pueda escribirse, (c) Las corrientes en el nodo superior de R¡ se vuelven a dibujar por claridad. r — V A -----1 5 fi >*A <> 6 ü ( + ■ F IG U R A 3 .4 Respuesta: 5 ramas, 3 nodos, 1Q. 3.3 ■--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------LEY DE TENSIÓN DE KIRCHHOFF --------La corriente se relaciona con la carga que fluye p o r un elemento de circuito, en tanto que la tensión constituye una medida de la diferencia de energía potencial en­ tre los extremos del elemento. En la teoría de circuitos, la tensión sólo tiene un va­ lor único. Por lo tanto, en un circuito, la energía necesaria para mover una carga unitaria desde el punto A hasta el punto fi debe tener un valor independiente de la trayectoria seguida de A a fi (a menudo existe más de una trayectoria). Este hecho se puede comprobar por medio de la ley de Kirchhoff de tensión (abreviada LVK): La suma algebraica de las tensiones alrededor de cualquier trayectoria cerrada es cero. B ■ F IG U R A 3 .5 La diferencia de potencial entre los puntos A y f i es independiente de la trayectoria elegida. En la figura 3.5, si se lleva una carga de 1 C de A a fi a través del elemento 1, los signos de polaridad de referencia de v¡ muestran que se utilizaron v\ joules de trabajo . 1 Observar que se eligió una carga de 1 C por conveniencia numérica: por lo tanto, se efectúa. Ahora bien, si, en vez de eso, se elige proceder de A a fi (1) Observar que se eligió una carga de 1 C por conveniencia numérica; por lo tanto, se efectúa (1 C)(ui J/C) = vi joules de trabajo. SECCIÓN 3.3 LEY DE TENSIÓN DE KIRCHHOFF A /W ------ por el nodo C, entonces consumirá v 2 — vs joules de energía. El Irabajo realizado, sin embargo, es independiente de la trayectoria en un circuito, por lo cual los valores deben ser iguales. Cualquier ruta debe conducir al mismo valor de la ten­ sión. En otras palabras, Ui = v2 - V3 [3] Resulta que si traza una trayectoria cerrada, la suma algebraica de las ten­ siones en los elementos individuales, a lo largo de ella, debe ser nula. Así, se po­ dría escribir: ^1 + V i + v s + • • • + V¡v = 0 o de manera más compacta, N J 2 v» = ° w n=1 Se puede aplicar la LKT a un circuito de varias maneras diferentes. Un método que propicia menos errores de escritura de ecuaciones, en comparación con otros, consiste en moverse mentalmente alrededor de la trayectoria cerrada en la dirección de las manecillas de reloj y escribir de manera directa la tensión de cada elemento a cuya terminal (+ ) se entra, y después expresar el negativo de cada tensión que se encuentre primero en el signo (—). Aplicando lo anterior al lazo sencillo de la figura 3.5, se tiene - v i + v 2 — vs = 0 lo cual concuerda con el resultado previo, ecuación [3]. E J E M P L O 3.2 E n el circuito de la figura 3.6, d e te rm in a r vx e ix. Se conoce la tensión en dos de los tres elementos del circuito. De tal modo, la LKT se aplica de inmediato para obtener vx. Empezando con el nodo superior de la fuente de 5 V, se aplica la LVK en el sentido de las manecillas del reloj alrededor del lazo: 7V —5 — 7 + vx ~ 0 por lo que vx = 12 V. La LVK se aplica a este circuito, pero sólo dice que la misma corriente (ix) fluye a través de los tres elementos. Sin embargo, se conoce la tensión en la resistencia de 1 0 0 £2 . Se puede recurrir a la ley de Ohm, vx 12 100 100 ■ F IG U R A 3 .6 Circuito simple con dos fuentes de tensión y una sola resistencia. A = 120 mA 1V P R A C T IC A 3.2 Determinar ix y vx en el circuito de la figura 3.7. Respuesta: vx = —4 V; iz = —400 mA. mFIGURA 3.7 VA -• CAPÍTULO 3 LEYES DE TENSIÓN Y DE CORRIENTE EJEMPLO 3.3 En el circuito de la ligura 3.8 hav ocho elementos de circuito; las ten­ siones con pares más-menos se muestran en los extremos de cada ele­ mento. Calcular v¡n (la tensión en R2) y la tensión marcada vx. El mejor método para determinar v r 2 en esta situación consiste en considerar un lazo en el que sea posible aplicar la LVK. Existen varias opciones, pero después de observar con cuidado el circuito se descubre que el lazo que está más hacia la izquierda ofrece una ruta directa, ya que dos tensiones se especifican con claridad. Por lo tanto, puede encontrar v r 2 si escribe una ecuación LVK en tomo al lazo de la izquierda, empezando en el punto c: 4 — 36 -f- Vg2 = 0 lo que produce v r 2 = 32 V. ■ FIGURA 3.8 Circuito con ocho elementos en el que se quiere determinar va y vx- Los puntos b y c, así como el cable entre ellos, son parte del mismo nodo. Para determinar vx , podría considerársele como la suma (algebraica) de las tensiones de los tres elementos de la derecha. Sin embargo, puesto que no hay valores para estas cantidades, tal procedimiento no suministraría una respuesta numérica. En vez de eso, se debe aplicar la LVK empezando en el punto c, moverse hacia arriba y a través de la parte superior hasta a, a través de vx hasta b, y por el hilo de conducción hasta el punto de inicio te­ niendo así: + 4 - 36 + 12 + 14 + vx = 0 por lo que vx = 6 V Procedimiento alterno: corto a través de R 2 '. conociendo v r 2 se podría haber tomado el camino —32 -f- 12 + 14 -\- vx = 0 con lo cual se obtendría vx = 6 V también en este caso. Como se puede ver justamente, la clave para analizar de manera correcta un circuito consiste en marcar primero de manera metódica todas las tensiones y las corrientes sobre el esquema del circuito. De este modo, la escritura cuidadosa de las ecuaciones LCK o LVK proporcionaría relaciones correctas y la ley de Ohm se aplicaría como se requiriese, si se obtienen al principio más incógnitas que ecuaciones. Se ilustran estos principios con un ejemplo más detallado. SECCIÓN 3.3 LEY DE TENSIÓN DE KIRCHHOFF * A /W EJEMPLO Determinar vx en el circuito de la figura 3.9a. 4Í1 — V A — ----- W v — 8íl > ion 60 V r Q í> 2 0 3 (a) 5A r ~ 60 V *4 8Í1 W © + í'lO 40 -v w + ^4 \ r + :2 n 10 íi ", I% [ho ib) I F IG U R A 3 .9 (o) Circuito para el que se va a determinar v„ mediante LVK. (6) Circuito con tensiones y corrientes señaladas. Se debe empezar marcando (señalando) las tensiones y las corrientes en el resto de los elementos de circuito (fig. 3.9b). Observe que vx aparece entre los extremos del resistor de 2 Q y la fuente l v también. Si se obtiene la corriente que circula por el resistor de 2 £2 con la ley de Ohm se calculará vx. Al escribir la ecuación apropiada de la LCK, se ve que: h = u + ix Desafortunadamente, no se tienen los valores de ninguna de estas tres cantidades. Por lo tanto, la solución se ha atascado (de manera temporal). Puesto que se conoce el flujo de comente de la fuente de 60 V, es más con­ veniente trabajar con ese lado del circuito. Podría obtenerse vx mediante ¿2 , de manera directa de la LVK, en lugar de basarse en el conocimiento de vx . Desde esta perspectiva, se pueden escribir las ecuaciones LVK siguientes: - 6 0 + vs + uio = 0 y —uio + U4 + vx = 0 [5] Esto ya es un avance. Ahora se cuenta con dos ecuaciones con cuatro in­ cógnitas, lo cual significa una ligera mejora que contar con una ecuación en la que todos los términos son incógnitas. En realidad, se sabe que Vy, = 40 V por medio de la ley de Ohm, ya que se dijo que 5 A fluyen a través de una resistencia de 8 Q. Por lo tanto, v 10 = 0 + 60 —40 = 20 V, de tal forma que la ecuación [5] se reduce a vx = 2 0 — D4 Si se pudiera determinar V4 , se resolvería el problema. (Continúa en la siguiente página) ® 3.4 42 )--------------- VW ------------------------------ • CAPÍTULO 3 1FYES DE TENSIÓN Y DE CORRIENTE La mejor forma de encontrar el valor numérico de la tensión 1)4 en este caso es utilizar la ley de Ohm, la cual requiere contar con un valor para ¿4 . A partir de LCK, se puede ver que * <- 14 Ul0 c = 20 10 = de tal form a que V4 = (4)(3) = 12 V y, por lo tanto, vx = 20 — 12 = 10 = 8 V. P R A C T IC A 3.3 Determine vx en el circuito de la figura 3.10. 2 a 2 n —^-A/A— — VW 80 30 V © 1 0 í2 ■ F IG U R A 3 .1 0 Respuesta: vx = 1 2 .8 V . 3.4 • --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------EL CIRCUITO DE UN SOLO LAZO --------- i (c) ■ F IG U R A 3.11 (a) Circuito de un solo lazo con cuatro elementos. (6) Modelo del circuito con ten­ siones de fuente y valores de resistencia dados. (c) Tienen que agregarse al circuito los signos de referencia de la corriente y de la tensión. Se ha podido observar que el uso repetido de LCK y LVK en conjunto con la ley de Ohm puede aplicarse a circuitos no triviales que cuenten con varios lazos y un determinado número de elementos. Antes de avanzar más, éste es un buen momento para enfocar la atención en el concepto de circuitos en serie (y, en la sección siguiente, paralelo), ya que ambos formarán la base de cualquier red que se presente en el futuro. Se dice que todos los elementos del circuito que conducen la misma corrien­ te están conectados en serie. Como ejemplo, considere el circuito de la figura 3.9. La fuente de 60 V está en serie con la resistencia de 8 £2 por ambos circula la misma corriente de 5 A. Sin embargo, la resistencia de 8 £2 no está en serie con la de 4 £2; por ambas circulan com entes diferentes. Observe que los elemen­ tos pueden conducir com entes iguales y no estar en serie; dos focos de luz eléc­ trica de 100 W en casas vecinas quizás conduzcan perfectamente corrientes iguales, pero realmente no conducen la misma corriente y no están en serie. La figura 3.11a muestra un circuito simple que consiste en dos baterías y dos resistencias. Se supone que cada terminal, hilo de conexión y soldadura tiene re­ sistencia cero; juntos constituyen un nodo individual del esquema de circuitos de la figura 3.11¿>. Ambas baterías están modeladas por fuentes de tensión idea­ les; se supone que cualquier resistencia interna que puedan tener es lo suficien­ temente pequeña como para que pueda despreciarse. Se supone que las dos re­ sistencias son reemplazables por resistencias ideales (lineales). Se trata de encontrar la com ente a través de cada elemento, la tensión en ca­ da elemento y la potencia que absorbe cada elemento. El primer paso del análi­ sis es el supuesto de las direcciones de referencia de las com entes desconocidas. De manera arbitraria se elige la com ente i en el sentido de las m anecillas del reloj que sale de la terminal superior de la fuente de tensión a la izquierda. Tal elección se indica mediante una flecha marcada i en ese punto del circuito, como se muestra en la figura 3.11c. Una aplicación trivial de la ley de Kirchhoff de SECCIÓN 3.4 EL CIRCUITO DE UN SOLO LAZO • - A A /Y corriente asegura que esta misma corriente debe circular también por cada uno de los demás elementos del circuito; se debe destacar este hecho colocando esta vez varios símbolos de corriente alrededor del circuito. El segundo paso del análisis consiste en elegir la tensión de referencia para cada una de las dos resistencias. La convención de signos pasiva requiere que las variables de corriente y tensión de la resistencia se definan de manera que la co­ rriente entre a la terminal en la cual se localiza la referencia de tensión positiva Utfi y vr 2- Puesto que ya se ha elegido (de manera arbitraria) la dirección de la corriente, y se definen como en la figura 3.11c. El tercer paso es aplicar la ley de Kirchhoff de tensión a la única trayectoria ce­ rrada. Es necesario moverse alrededor del circuito en la dirección de las maneci­ llas del reloj, empezar en la esquina inferior izquierda y escribir de manera direc­ ta cada tensión que se encuentre primero en su referencia positiva, y expresar el negativo de cada tensión que se encuentre en la terminal negativa. Por lo tanto, [6 ] - V i l + V R l + Vs2 + VR 2 = 0 Después se aplica la ley de Ohm a los elementos resistivos: Vri = R ü y Vr2 = R 2 Í La sustitución en la ecuación [6 ] produce: —Vs\ + R] i + vs2 + R ii = 0 Puesto que i es la única incógnita, se determina que: Vil ~ Vs2 Ri + Ri La tensión o la potencia asociada con cualquier elemento tal vez se obtenga ahora mediante la aplicación de v = R i, p = vi o p = i R . PR AC T1C A _____ 3.4 En el circuito de la figura 3.11¿>, vsi = 120 V, v S2 = 30 V, R\ = 30 £2, y Rj, = 15 £2. Calcular la potencia que absorbe cada elemento. Respuesta: p n m = —240 W; p 3ov = +60 W; piqq = 120 W; p l5a = 60 W. EJEMPLO Calcular la potencia que absorbe cada elemento del circuito que se pre­ senta en la figura 3.12a. 30 fi 30 fi -w v -A /W 120 V - O + 15 f i . ■120 V 150- I (b) I F IG U R A 3 .1 2 (o) Circuito de un solo lazo que contiene una fuente dependiente, corriente / y la tensión (b) Se asignan la (Continúa en la siguiente página) 3.5 0 W v CAPITULO 3 LEYES DE TENSIÓN Y DE CORRIENTE Primero se asigna una dirección de referencia a la corriente i y una polari­ dad de referencia a la tensión U3 0 como se indica en la figura 3A 2b. No es necesario asignar una tensión a la resistencia de 15 Q. puesto que la tensión de control va de la fuente dependiente ya está disponible. (Sin embargo, vale la pena señalar que los signos de referencia de va están invertidos respecto a los que se habrían asignado, con base en la convención de signos pasiva.) Este circuito contiene una fuente de tensión dependiente, cuyo valor per­ manece desconocido hasta que se determine vA■No obstante, se utiliza su valor algebraico 2 va del mismo modo como si se dispusiera de un valor numérico. En consecuencia, al aplicar la LVK alrededor del lazo: —120 + 1)30 + 2 va — va = 0 [7] Utilizando la ley de Ohm para introducir los valores de resistencia conocidos: t >3 0 = 30i y vA = - 1 5 i Observe que se requiere el signo negativo, puesto que i fluye hacia la termi­ nal negativa de La sustitución en la ecuación [7] produce: - 1 2 0 + 30¿ - 30/ + 15/ = 0 y por ello se determina que: i = 8 A Al calcular la potencia absorbida por cada elemento: P 1 2 0 V = ( 1 2 0 ) ( —8 ) Pión = (8)2(30) Pdep = (2 im )( 8 ) = - 1920 W P 15S2 = (8)2(15) P R A C T IC A 4v 3.5 En el circuito de la figura 3.13, encontrar la potencia absorbida por cada uno de los cinco elementos del circuito. Respuesta: (En el sentido de las manecillas del reloj desde la izquierda) 0.768 W; 1.92 W; 0.2048 W; 0.1792 W; -3.072 W. En el ejemplo anterior y el problema de la práctica, se pidió calcular la potencia absorbida por cada elemento de un circuito. Sin embargo, es difícil pensar en una situación en la que todas las cantidades de potencia absorbidas por un circui­ to sean positivas, por la sencilla razón de que la energía debe provenir de algún lugar. Por lo tanto, a partir de la conservación de la energía, es de esperar que la suma de la potencia absorbida p o r cada elemento de un circuito sea cero. En otras palabras, al menos una de las cantidades debe ser negativa (despreciando SECCIÓN 3.5 EL CIRCUITO DE UN PAR DE NODOS el obvio caso en el que el circuito no esté en operación). Dicho de otra forma, la suma de la potencia absorbida p or cada elemento debe ser igual a cero. De manera más práctica, la suma de la potencia absorbida es igual a la suma de la potencia suministrada, lo que parece lógico de acuerdo al valor. Lo anterior puede probarse con el circuito de la figura 3 .12 del ejemplo 3.5, que consiste en dos fuentes (una dependiente y la otra independiente) y dos re­ sistencias. Si se suma la potencia absorbida por cada elemento, se tiene ^ absorbida —9 6 0 + 1920 — 1 920 + 960 = 0 todos los elementos En realidad (la indicación en el esquema del circuito es la del signo asociado con la potencia absorbida) la fuente de 120 V suministra + 960 W, y la fuente de­ pendiente + 1 9 2 0 W. Por lo tanto, las fuentes suministran un total de 960 + 1920 = 2 8 8 0 W. Se espera que las resistencias absorban potencia posi­ tiva, que en este caso se adiciona a un total de 1 920 + 960 = 2 880 W. Por ende, si tomamos en cuenta cada elemento del circuito, ^ /?absorbida -- ^ /^suministrada como se esperaba. Si se enfoca en el problem a de p ráctica 3.5, la solución con la que querrá comparar, se observa claramente que las potencias absorbidas suman 0.768 + 1.92 + 0.2048 + 0.1792 — 3.072 = 0. Resulta interesante saber que la fuente de tensión independiente de 12 V absorbe + 1 .9 2 W, lo que significa que está disipando potencia y no suministrándola. En su lugar, la fuente de tensión dependiente aparenta estar suministrando toda la potencia en este circuito en particular. ¿Es factible esta situación? En general, sería de esperar que una fuente suministrara potencia positiva; sin embargo, puesto que los circuitos em ­ plean fuentes ideales, es factible tener un flujo de potencia neto en cualquier fuente. Si se modifica el circuito de alguna forma, se podrá ver que la misma fuente sumi­ nistrará la potencia positiva. No se conocerá el resultado hasta que se haya lle­ vado a cabo el análisis de circuitos. 3.5 EL CIRCUITO DE UN PAR DE NODOS -------• -------------------------------------------------------------------------------------------------El compañero de un circuito de un solo lazo que se analizó en la sección 3.4 es el circuito de un par de nodos, en el que cualquier número de elementos simples se conectan entre el mismo par de nodos. Un ejemplo de este tipo de circuito se ilustra en la figura 3.14a. Se conocen las dos fuentes de corriente y los valores de resistencia. Primero, suponga una tensión en cualquier elemento y asígnele una polaridad de referencia arbitraria. La LKT obliga a reconocer que la tensión en los extremos en cada rama es la misma que la de los extremos de cualquier otra. Se dice que los elementos de un circuito que tienen una tensión común en­ tre sus extremos están conectados en paralelo. 120 A 120 A («) (b) P F IG U R A 3 .1 4 (o) Circuito de un solo par de nodos. (b) Se asignan una tensión y dos corrientes. #■ 46 --------- V W CAPÍTULO 3 LEYES DE TENSIÓN Y DE CORRIENTE Determinar la tensión, la co m en te y la potencia asociadas con cada ele­ mento del circuito de la figura 3.14a. Primero se define una tensión v y se elige de manera arbitraria su polaridad, como se muestra en la figura 3.14b. Dos corrientes, que fluyen en las re­ sistencias, se escogen conforme a la convención de signos pasiva; tales corrientes se indican también en la figura 3A4b. Determinar cualquier corriente ¿i o ¿ 2 permite obtener un valor de v. De este modo, el siguiente paso es aplicar la LKC a cualquiera de los dos nodos del circuito. Igualando a cero la suma algebraica de las corrientes que aban­ donan el nodo superior, se tiene: —120 -1- i\ 30 — f—í"2 — 0 Al escribir ambas corrientes en términos de la tensión v mediante la ley de Ohm, » = 2V Y al recurrir a la ley de Ohm se obtiene: i 1 = 60 A e ¿2 = 30 A Ahora puede calcularse la potencia absorbida por cada elemento. En las dos resistencias: P ri = 30(2)2 = 120 W y p R2 = 15(2)2 = 60 W y para las dos fuentes: pnoA = 120(—2) = - 2 4 0 W y p* 0A = 30(2) = 60 W En razón de que la fuente de 120 A absorbe 240 W negativos, en realidad ésta suministra potencia a los otros elementos del circuito. De manera simi­ lar, se encuentra que la fuente de 30 A en realidad absorbe potencia, en vez de suministrarla. P R Á C T IC A # 3.6 Determinar v en el circuito de la figura 3.15. ■ F IG U R A 3 .1 5 R e sp u e sta : 5 0 V . SECCIÓN 3.5 EL CIRCUITO DE UM PAR DE NODOS #■ A /W € ) EJEMPLO 3.7 ------ ------- -------------- --------------------- — — ----------------------------- ------------ --------- — - — — — ----------------- — — — ---------------- --------- . . . . . . — - ----- - Determinar el valor de u y la potencia suministrada por la fuente de corriente independiente de la figura 3.16. ■ F IG U R A 3 .1 6 Se asignan una tensión v y una corriente /6 circuito de un solo par de nodos que contiene una fuente dependiente. Mediante la LCK, la suma de las com entes que salen del nodo superior debe ser cero, por lo que: ¿6 —2 ix — 0.024 — ix = 0 De nuevo, observe que el valor de la fuente dependiente (2ix) se trata como si fuese cualquier otra com ente, aun cuando no se conoce su valor exacto hasta que el circuito haya sido analizado. A continuación se aplica la ley de Ohm a cada resistencia: v if, = -----6 6000 . —v ir — ------ e 2 0 0 0 Por lo tanto, 6 ¿ X ,- 2 (2 ^ ,) - ° 024- ( 2 ^ ) = ° y por ello v = (600) (0.024) = 14.4 V. Cualquier otra información que se quiera determinar para este circuito se ob­ tiene ahora con facilidad, por lo general en un solo paso. Por ejemplo, la potencia suministrada por la fuente independiente es p 2 4 = 14.4(0.024) = 0.3456 W (345.6 mW). P R A C T IC A 3.7 En el circuito de un solo par de nodos de la figura 3.17, determinar ¿a, íb e ic- lc 5.6 A (Q 18 í l ^ I F IG U R A 3 .1 7 R e sp u e sta : 3 A ; —5 .4 A ; 6 A . 0 . 1^ < ^ T > 9 fl> 0 W v CAPÍTULO 3 LEYES DE TENSIÓN Y DE CORRIENTE EJEMPLO 3.8 En el circuito de la figura 3.18a, encontrar i\, ¡ 2 , ¿3 e /j. (a) i4 100 ft (c) ■ F IG U R A 3 .1 8 (o) Circuito de un solo par de nodos. (6) Circuito con los puntos marcados como auxiliares, (c) Circuito dibujado nuevamente. De acuerdo con la ilustración, este circuito es un poco difícil de analizar, por lo que, primero, es necesario volverlo a dibujar, después de marcar los puntos A , B , C y D como en la figura 3.186 y por último en la 3 .18c. Tam­ bién se debe definir una corriente i io que circula por la resistencia de 1 0 £2 para anticiparse al uso de la ley de Kirchhoff de corriente. Ninguna de las corrientes que se desean resulta evidente de inmediato a partir del esquema del circuito, por lo que será necesario obtenerlas a partir de la ley de Ohm. Cada uno de las tres resistencias tiene la misma tensión (ui) entre sus extremos, así que, simplemente, se deben sumar las corrientes que fluyen hacia el nodo más a la derecha: vi ■2.5 — — 100 10 SECCIÓN 3.6 FUENTES INDEPENDIENTES CONECTADAS EN SERIE Y EN PARALELO A /W 0 Despejando, se encuentra que V\ = 250/5 = 50 V. Al observar la parte inferior del circuito, se ve que ¿4 -u i 50 = — - = ------- = - 0 .5 A 100 100 De un modo similar, se determina que i¡ = —2 A e ¿¡o = —5 A. Las dos com entes restantes, ¿2 e ¿3 se determinan con la LCK para sumar de manera independiente las com entes conocidas en los nodos del lado derecho y del lado izquierdo. Por lo tanto i'2 — ¿ i + 0 .2 d j + ¿10 = —2 + 10 — 5 = 3A e ¿3 5 .6 = i 1íj — 2.5 “I- ¿4 = —5 — 2.5 —0.5 — — 8 A t FUENTES INDEPENDIENTES CONECTADAS________ * EN SERIE Y EN PARALELO Ocurre que algunas de las ecuaciones obtenidas para los circuitos en serie y en paralelo se evitan si se combinan las fuentes. Sin embargo, observe que la tota­ lidad de las relaciones de corriente, tensión y potencia en el resto del circuito permanecen invariables. Por ejemplo, varias fuentes de tensión en serie tal vez sean sustituidas por una fuente de tensión equivalente que tenga una tensión igual a la suma algebraica de las fuentes individuales (fig. 3 .19a). También se podrían combinar las fuentes de com ente en paralelo mediante la suma algebrai­ ca de las com entes individuales; además, el orden de los elementos en paralelo quizá se vuelva a arreglar como se desee (fig. 3.19¿>). (b) ■ F IG U R A 3 .1 9 (o) Las fuentes de tensión conec­ tadas en serie se sustituyen por una sola fuente. (b) Las fuentes de corriente en paralelo se susti­ tuyen por una sola fuente. EJEMPLO 3.9 Determinar la corriente que circula a través de la resistencia de 470 ñ de la figura 3.20a combinando primero las cuatro fuentes en 1111a sola fuente de tensión. 470 0 470Ü -------- V W ----------- ( ' ; (a) (b) ■ F IG U R A 3 J O (a) Circuito de un solo lazo que cuenta con cuatro fuentes de tensión en serie, (b) Circuito equivalente. Hay cuatro fuentes de tensión conectadas en serie. Es necesario reem­ plazarlas por una sola fuente de tensión que tenga su terminal de referencia “+ ” en la parte superior. Para ello, se debe comenzar en la terminal de referen­ cia “+ ” de la fílente de 3 V y se escribe: +3 + 5 —1 + 2 = 9V (Continúa en la siguiente página) 0 A /W CAPITULO 3 LEYES DE TENSIÓN Y DE CORRIENTE El circuito equivalente se muestra en la figura 3.206. Ahora se calcula el valor de i a partir de la ley de Ohm: 470 Es normal que se obtenga una ganancia muy pequeña al incluir una fuente dependiente en una combinación de fuentes de tensión o de corriente, pero no es incorrecto hacerlo de esa forma. P R Á C T IC A ________________________________________________________ 3.8 Determinar v en el circuito de la figura 3.21 combinando primero las tres fuentes de corriente. ■ F IG U R A 3.21 Respuesta: 50 V. Para concluir el análisis de las combinaciones de fuentes en paralelo y en se­ rie, se debe considerar la combinación en paralelo de dos fuentes de tensión y la combinación en serie de dos fuentes de corriente. Por ejemplo, ¿cuál es el equiva­ lente de una fuente de 5 V en paralelo con una fuente de 10 V? De acuerdo con la definición de una fuente de tensión, no puede cambiar la tensión en la fuente; entonces, mediante la ley de K irchhoff de tensión, 5 es igual a 10 y se ha supuesto como hipótesis una imposibilidad física. De tal modo, las fuentes de tensión ideales en paralelo se pueden tener sólo cuando cada una tiene la misma tensión a nivel terminal en todo instante. De modo similar, no se pueden poner dos fuentes de corriente en serie a menos que cada una tenga la misma corriente y el mismo signo, en cada instante de tiempo. EJEMPLO 3.1 0 Determinar cuáles de los circuitos de la figura 3.22 son válidos. El circuito de la figura 3.22a consiste en dos fuentes de tensión en paralelo. El valor de cada fuente es diferente, por lo que viola la LVK. Por ejemplo, si una resistencia se pone en paralelo con la fuente de 5 V, también está en paralelo con la fuente de 10 V. L a tensión real en sus extremos es por tanto ambigua y, obviamente, no hay posibilidad de construir el circuito como se indica. Si se intenta construir un circuito de este tipo en la vida real, será imposible localizar fuentes de tensión “ideales”, pues todas las fuentes del mundo real tienen una resistencia interna. La presencia de este tipo de resistencia permite una diferencia de tensión entre las dos fuentes reales. SECCIÓN 3.7 RESISTENCIAS EN SERIEY EN PARALELO R kf, (tí) (c) ■ F IG U R A 3 .2 2 De (a) a (c). Ejemplos de circuitos con fuentes múltiples, algunos de los cuales violan las leyes de Kirchhoff. De acuerdo con lo anterior, el circuito de la figura 3.22b es perfectamente válido. El circuito de la figura 3.22c viola LKC: no es claro que, realmente, la corriente fluya a través de la resistencia R. P R Á C T IC A _____________ V ' _____________________ 3.9 Determinar si el circuito de la figura 3.23 viola las leyes de Kirchhoff. ■ F IG U R A 3 .2 3 Respuesta: No. Sin embargo, si se quitara la resistencia, el circuito resultante sí las violaría. 3.7 RESISTENCIAS EN SERIE Y EN PARALELO -------• -------------------------------------------------------------------------------------------------A menudo se sustituyen combinaciones de resistencias relativamente compli­ cadas por una sola resistencia equivalente. Lo anterior resulta útil cuando no se está interesado de manera específica en la corriente, la tensión o la potencia aso­ ciadas con cualquiera de las resistencias individuales de las combinaciones. To­ das las relaciones de corriente, tensión y potencia en el resto del circuito per­ manecerán invariables. Considere la combinación en serie de N resistencias que se muestra en la figura 3.24a. Es necesario simplificar el circuito sustituyendo las N resistencias por una sola resistencia/?eq de modo que el resto del circuito, en este caso sólo la fuente de tensión, no se percate de que se ha realizado algún cambio. La corriente, i . Ri RoRN|i (a) (tí) ■ F IG U R A 3 .2 4 (o) Combinaciones en serie de N resistencias, (b) Circuito eléctricamente equivalente. 52 A /v V CAPITULO 3 LEYES DE TENSIÓN Y DE CORRIENTE la tensión y la potencia de la fuente deben ser las mismas antes y después de la sustitución. Primero se aplica la LVK: Vs — V\ + l>2 + • • • + Vn y después la ley de Ohm: Dj = R \i + R 2 Í + • • • + R nÍ — {Rl + R 2 + ' ■' + R n)Í Compare ahora este resultado con la ecuación simple aplicándola al circuito equivalente de la figura 3.24b: Vs =■ R^qi Así, el valor de la resistencia equivalente de N resistencias en serie está dado por [ 8] Rea = R i + R 2 + • ■• + Rh En consecuencia, se puede sustituir una red de dos terminales compuesta por N resistencias en serie, por un solo elemento de dos terminales Req que tengan la misma relación v-i. Debe subrayarse de nuevo que tal vez interese la corriente, la tensión o la po­ tencia de uno de los elementos originales. Por ejemplo, la tensión de una fuente de tensión dependiente quizá dependa de la tensión en R 3 . Después de que R 3 se com­ bina con varias resistencias en serie para formar una resistencia equivalente, éste desaparece y su tensión no puede determinarse hasta que R^ se identifique al sepa­ rarlo de la combinación. En ese caso, sería mejor continuar adelante y no hacer que al principio R 3 forme parte de la combinación. Otra sugerencia: la inspección de la ecuación de la LVK para un circuito en serie muestra que no hay diferencia en el orden en el que se ubiquen los ele­ mentos. EJEMPLO 3.11 Utilizar las combinaciones de resistencia y fuente para determinar la corriente i de la figura 3.25a, así como la potencia que entrega la fuente de 80 V. Primero se intercambian las posiciones de los elementos del circuito, para lo cual se debe tener cuidado de preservar el sentido apropiado de las fuentes, como se ilustra en la figura 3.25b. El siguiente paso consiste en combinar las tres fuentes de tensión en una fuente equivalente de 90 V, y las cuatro re­ sistencias en una resistencia equivalente de 30 £2 como en la figura 3.25c. De tal modo, en lugar de escribir: - 8 0 + I O;' - 30 + l i + 5i + simplemente se tiene - 9 0 + 30¿ = 0 y de esa manera se determina que: i =3 A 20 + 8 ¿= 0 SECCIÓN 3.7 RESISTENCIAS EN SERIE Y EN PARAI.FI O (a) (c) ■ F IG U R A 3 .2 5 (o) Circuito en serie con varias fuentes y resistencias, (ib) Los elementos se vuelven a ordenar para lograr una mayor claridad. (c) Un equivalente más simple. Para calcular la potencia que la fuente de 80 V que aparece en el circuito dado entrega al circuito, resulta necesario regresar a la figura 3.25a sabiendo que la com ente es igual a 3 A. En ese caso, la potencia deseada es 80 V x 3 A = 240 W. Es interesante advertir que ningún elemento del circuito original queda en el circuito equivalente. P R Á C T IC A ________ _ _ _ __________________________________ 3.10 Determinar i en el circuito de la figura 3.26. R e sp u e sta : - 3 3 3 m A . #■ ■vw 54 )--------------- VW--------------• CAPITULO 3 LEYES DE TENSIÓN Y DE CORRIENTE Se aplican simplificaciones similares a circuitos en paralelo. Un circuito que contiene N resistencias en paralelo, como el de la figura 3.27a, conduce por medio de la ecuación de la ley de Kirchhoff de corriente a lo siguiente h = h + *2 + ■■■+ Ín (a) V V V is — --- “i- --- + ’ ’ Ri R2 + R^ V Req Por lo tanto, (b) I F IG U R A 3 .2 7 (o) Circuito con N resistencias en paralelo. (b) Circuito equivalente. 1 1 ~ R~l 1 1 + R¡ [9] + ' Rn que puede escribirse como, Req1 = R { 1 + R 2 1 + ■■+ 0 r n' en términos de conductancias como, G eq = G 1 + G 2 + ‘ ■+ Gn El circuito simplificado (equivalente) se ilustra en la figura 3.27b. Una combinación en paralelo se indica de manera rutinaria siguiendo la no­ tación abreviada: R,eq R l \ \ R 7 \\R 3 El caso especial de sólo dos resistencias en paralelo se encuentra con bas­ tante frecuencia, y está dado por: R eq = R\ ]| R 2 1 1 R\ 1 Ri O, más simplemente: R 1-^2 Roa = ---eq Ri + R 2 [ 10] iECAUCJÓÍb Vale la pena memorizar la última forma, si bien es un error común intentar generalizar la ecuación [ 1 0 ] para más de dos resistencias; por ejemplo: Req X ^1 R 2 R 3 R{ + / ? 2 + ^3 Una rápida revisión de las unidades de esta ecuación muestra de inmediato que no es posible que la expresión sea correcta. SECCIÓN 3.7 RESISTENCIAS EN SERIE Y EN PARALELO A /W 55 P R A C T IC A 3.11 Determinar v en el circuito de la figura 3.28 combinando primero las tres fuentes de corriente y después las dos resistencias de 10 Í2. I F IG U R A 3 .2 8 R e sp u e sta : 5 0 V . EJEMPLO Calcular la potencia y la tensión de la fuente dependiente de la figura 3.29a. ■ F IG U R A 3 .2 9 (a) Circuito multinodal. (b) Las dos fuentes de corriente indepen­ dientes se combinan en una fuente de 2 A, y la resistencia de 15 f i en serie con las dos resistencias de 6 Q en paralelo se sustituyen por una sola resistencia de 18 £2. (c) Circuito equivalente simplificado. Es necesario simplificar el circuito antes de analizarlo, pero se debe tener cuidado de no incluir la fuente dependiente puesto que sus características de tensión y de potencia son de interés. (Continúa en la página siguiente) 3.12 0 VA CAPÍTULO 3 LEYES DE TENSIÓN Y DE CORRIENTE A pesar de no estar dibujadas juntas, las dos fuentes de corriente inde­ pendientes están, en realidad, en paralelo, por lo que se las reemplaza por una fuente de 2 A. Las dos resistencias de 6 ñ están en paralelo y pueden reemplazarse con una resistencia de 3 en serie con la de 15 ¡3. Por lo tanto, las dos resisten­ cias de 6 ¡3 y la de 15 ¡3 se reemplazan por una de 18 ¡3 (figura 3.29b). Sin importar qué tan tentador sea, no se deben combinar las tres resisten­ cias sobrantes: la variable de control h depende de la resistencia de 3 ñ por lo que esa resistencia debe quedar intacta. La única simplificación adicional, entonces, es 9 £2|| 18 Q = 6 ¡3, como se muestra en la figura 3.29c. Al aplicar la LCK en el nodo superior de la figura 3.29c, se tiene —O.9 / 3 — 2 — |—¿3 — |—— = 0 6 Empleando la ley de Ohm: v — 3/3 lo que permite calcular De esta forma, la tensión en la fuente dependiente (que es la misma que la tensión en la resistencia de 3 fi) está dada por: v = 3 /3 = 10 V Entonces, la fuente dependiente suministra v x 0.9/3 = 10(0.9)(10/3) = 30 W al resto del circuito. Ahora bien: si se pide la potencia disipada en la resistencia de 15 ¡3 se debe volver al circuito original. Tal resistencia se encuentra en serie con una resistencia equivalente de 3 ñ existe una tensión de 10 V en el total de 18 en consecuencia, circula una corriente de 5/9 A por la resistencia de 15 ¡3 y la potencia absorbida por el elemento corresponde a (5/9 )2(15) o 4.63 W. P R A C T IC A 3.12 En el circuito de la figura 3.30, encontrar la tensión v. m FIGURA 3.30 R e sp u e sta : 1 2 .7 3 V . SECCIÓN 3.8 DIVISIÓN DE TENSIÓN Y DE CORRIENTE (a) F IG U R A 3 .3 1 Estos dos elementos de circuito están en seriey en paralelo. (6) R2 y R-¡ están en paralelo, y R-¡ y Re se encuentran en serie, (c) No hay elementos de circuito en serie o en paralelo entre sí. Tres comentarios finales sobre las combinaciones en serie y en paralelo podrían ser de utilidad. El primero se refiere a la figura 3.31a y se debe pregun­ tar: “¿Están vs y R en serie o en paralelo?” La respuesta es “en las dos condi­ c i o n e s Los dos elementos conducen la misma corriente y, por lo tanto, están en serie; están sujetos también a la misma tensión y, en consecuencia, se encuentran en paralelo. El segundo comentario es una alerta. Tal vez los estudiantes sin experiencia o instructores maliciosos dibujen los circuitos de manera que resulte difícil dis­ tinguir combinaciones en serie o en paralelo. En la figura 3.316, por ejemplo, las únicas dos resistencias en paralelo son / ? 2 y R j , en tanto que las únicas dos en serie son R i y R&. E1 último comentario es que un elemento de circuito simple no necesita estar en serie o en paralelo con otro elemento de circuito simple de un circuito. Por ejemplo, R+ y R$ en la figura 3.316 no están en serie o en paralelo con otro ele­ mento de circuito simple, y no hay elementos de circuito simples en la figura 3.31c que estén en serie o en paralelo con cualquier otro elemento de circuito simple. En otras palabras, no se puede simplificar más el circuito utilizando cualquiera de las técnicas analizadas en este capítulo. 5.8 t DIVISIÓN DE TENSIÓN Y DE CORRIENTE__________ Al combinar resistencias y fuentes, se encuentra un método para simplificar el análisis en un circuito. Otro camino útil consiste en la aplicación de las ideas de división de tensión y de corriente. La división de tensión se usa para expre­ sar la tensión en una o varias resistencias en serie, en términos de la tensión de la • ---- WV- 58 A /W CAPITULO 3 LEYES DE TENSIÓN Y DE CORRIENTE combinación. En la figura 3.32, la tensión en R 2 se determ ina por m edio de la LVK y de la ley de Ohm: V — Vi + l>2 = / / ? ! + Í R 2 = ¿ ( R l + R 2) de modo que, ¡ F IG U R A 3 .3 2 Ilustración de la división de tensión. Ri + R 2 En consecuencia: v2 — 1 R 2 v2 = R\ + R2 r2 R2 R1 + R 2 y la tensión en R\ es, de modo similar: vi = Ri + Ri Si se generaliza la red de la figura 3.32 mediante la eliminación de R 2 y se la sustituye por la combinación en serie R 2 , . . . , R,\-, entonces se tiene el resul­ tado general de la división de tensión en una cadena de N resistencias en serie, Vk Rk [1 1 ] R i + R 2 + ■• ■+ Ra lo cual nos permite calcular la tensión vt que aparece entre los extremos de una resistencia arbitraria Rk de la serie. EJEMPLO 3.13 Determinar vx del circuito de la figura 3.33a. 4 Í1 3 í l < - ¡v 1 2 s e n í V ( -v. (b) ■ F IG U R A 3 .3 3 Ejemplo numérico que ilustra la combinación de resistencia y división de tensión, (a) Circuito original, (b) Circuito simplificado. Primero se deben combinar las resistencias de 6 y 3 Q. y sustituirlas por (6 )(3 )/(6 + 3) = 2 Q . Debido a que vx aparece en los extremos de la combinación en paralelo, la simplificación no ha perdido esta cantidad. Sin embargo, una simplifi­ cación adicional del circuito al sustituir la combinación en serie de la re­ sistencia de 4 €2 por una nueva resistencia de 2 Q produciría dicha situación. SECCIÓN 3.8 DIVISION DE TENSION Y CORRIENTE A /W En consecuencia, sólo se debe aplicar la división de tensión al circuito de la figura 3.33Z?: 2 vx = (1 2 s e n í)^ -jj^ = 4 s e n í volts P R Á C T I C A __________________________________ ________________________ 3.13 Recurrir a la división de tensión para determinar vx en el circuito de la figura 3.34. R e sp u e sta : 2 V. El complemento2 de la división de tensión es la división de corriente. En este caso se tiene una corriente total que se alimenta a varias resistencias en paralelo, como en el circuito de la figura 3.35. La corriente que íluye por R j es v_ _ i(R j ||/?2) _ i?2 Ri i_ R \R i ■ F IG U R A 3 .3 5 Ilustración de la división de corriente. Rz Ri + R 2 o [ 12] y de manera similar, . . Ri i\ = 1 ----------Ri + R2 [13] La naturaleza no nos sonríe en este caso, ya que estas dos últimas ecuaciones tienen un factor que difiere sutilmente del utilizado con la división de tensión, y se requerirá cierto esfuerzo para evitar errores. Muchos estudiantes consideran la expresión de la división de tensión como “evidente” y la correspondiente a la di­ visión de corriente como “diferente”. Ayuda a reconocer que la más grande de las dos resistencias en paralelo conduce siempre la corriente más pequeña. Para combinar en paralelo N resistencias, la corriente que circula por la re­ sistencia R k es 1 J_ J_ J_ T 1 + r¡ + " ' + rñ [14] (2) El principio de dualidad se encuentra a menudo en ingeniería. El tema, en forma breve, se considera en el capítulo 7 cuando se comparan bobinas y capacitores 60 A A /V - • CAPÍTULO 3 LEYES DE TENSIÓN Y DE CORRIENTE Escrito en términos de conductancias: Gk Gi + G2 + • • • + G n lo que se asemeja en gran medida a la ecuación [ 1 1 ] de la división de tensión. E J E M P L O 3.14 Escribir la expresión de la corriente que pasa por la resistencia de 3 fí en el circuito de la figura 3.36. 12 sen t V La corriente total que fluye en la combinación de 3 y diante: 12 sen í I F IG U R A 3 .3 6 Circuito utilizado como un ejem­ plo de división de corriente. La línea ondulada en el símbolo de la fuente de tensión indica su variación senoidal con el tiempo. 12se n í 6 £2 se calcula me­ 0 ,< 0 = 4 T 3 ¡¡6 = 7 T T = w .A a y por lo tanto la corriente deseada está dada por la división de corriente: h it) = ( 2 sen 0 V6 + 3 / = í sen? 3 Desafortunadamente, la división de corriente se aplica algunas veces cuando no es aplicable. Como ejemplo, considere otra vez el circuito de la figura 3.31c, en cuyo caso ya se ha acordado que no contiene elementos de circuito que estén en serie o en paralelo. Sin resistencias en paralelo, no hay forma de que pueda apli­ carse la división de corriente. Aun así, hay muchos estudiantes que dan un rápido vistazo a las resistencias R Á y Rb y tratan de aplicar la división de co­ rriente, escribiendo una ecuación incorrecta, como Rf Í a X is Ra + R e Recuerde que, las resistencias en paralelo deben ser ramas entre el mismo par de nodos. P R Á C T IC A _____________________ ____________________________________ 3.14 En el circuito de la figura 3.37, utilizar los métodos de combinación de resistencias y de división de corriente para determinar iu i2 y 1)3 . Respuesta: 100 mA; 50 mA; 0.8 V. C APLICACIÓN PRÁCTICA ) La c o n e x ió n a t ie r r a d if ie r e d e la t ie r r a g e o ló g ic a Hasta ahora, se han dibujado esquemas de circuito de una manera similar al de la figura 3.38, donde las ten­ siones se definen entre dos terminales marcadas con toda claridad. Se tuvo especial cuidado en subrayar el hecho de que la tensión no puede definirse en un solo punto: es por definición la diferencia de potencial entre dos p un­ tos. Sin embargo, muchos esquemas utilizan la conven­ ción de considerar a la tierra como la definición de cero volts, de modo que todas las demás tensiones se refieren de manera implícita a este potencial. A menudo el con­ cepto se conoce como conexión a tierra, y está vinculado de manera fundamental con los reglamentos de seguridad diseñados para evitar incendios, choques eléctricos fata­ les y lo relacionado con el caos. El símbolo de la cone­ xión a tierra se muestra en la figura 3.39a. Debido a que la conexión a tierra se define como cero volts, a menudo resulta conveniente emplearla como una terminal común en los esquemas de circuito. El circuito de la figura 3.38 se presenta dibujado otra vez de esta manera en la figura 3.40, donde el símbolo de conexión a tierra representa un nodo común. Resulta importante advertir que dos circuitos son equivalentes en términos de nuestro valor va (4.5 V en cualquier caso), aunque ya no son total­ mente iguales. Se afirma que el circuito de la figura 3.38 “flota”, pues para todos los propósitos prácticos podría instalarse sobre un tablero de circuito de un satélite en una órbita geosíncrona (o en su camino hacia Plutón). Sin em­ bargo, el circuito de la figura 3.40 está conectado física­ mente de algún modo a la tierra por medio de una trayec­ toria conductora. Por esta razón, existen otros dos símbolos que se usan en ocasiones para denotar una ter­ minal común. La figura 3.3% muestra lo que suele cono­ cerse como tierra de la señal, tal vez haya (y a menudo hay) una gran tensión entre la conexión a tierra y cualquier terminal conectada a la tierra de la señal. El hecho de que la terminal común de un circuito pueda o no conectarse mediante alguna trayectoria de baja resistencia a la tierra, propicia situaciones poten­ cialmente peligrosas. Considere el diagrama de la figura 3.41a, que describe a un inocente espectador a punto de tocar una pieza de equipo energizado por una toma de corriente de ca. Sólo se han utilizado dos terminales del contacto de la pared; la terminal redonda de conexión a tierra del enchufe no se ha conectado. La terminal común de cualquier circuito del equipo se ha unido y conectado eléctricamente con el chasis conductor del equipo; a menudo, esta terminal se denota mediante el símbolo de la conexión a tierra de chasis de la figura 3.39c. Desa­ fortunadamente, existe una falla en el cableado, debido a una fabricación pobre o quizá sólo al desgaste y a la prisa. De cualquier forma, el chasis no está “aterrizado”, por lo que se presenta una gran resistencia entre la conexión al chasis y la conexión a tierra. En la figura 3.416. se exhibe un pseudoesquema (se tomaron ciertas libertades con el símbolo de la resistencia equivalente de la persona) de la situación. En realidad, la trayectoria eléctrica entre el chasis conductor y la tierra puede ser la mesa, la cual puede representar una resistencia de cientos de megaohms o más. Sin embargo, la resistencia de una persona es muchos órdenes menos de magnitud. Una vez que la persona toca el equipo para ver por qué no está traba­ jando correctamente... bien, sólo se señala que no todas las historias tienen un final feliz. El hecho de que la “tierra” no siempre sea “la conexión a tierra” puede provocar una amplia gama de problemas de seguridad y de ruido eléctrico. De vez en cuando se encuentra un ejemplo en los edificios viejos, donde la plom ería consistía al principio en cobre conductor de electricidad. En este tipo de edificios, cualquier tubería de agua se consideró a menudo como una trayectoria de baja resistencia hacia la tierra, y por lo tanto se usó en muchas conexiones eléctricas. Sin embargo, cuando las 4r (a) ^ (b) A? (c) ■ F IG U R A 3 .3 9 Tres símbolos diferentes utilizados para representar una conexión a tierra o terminal común: (a) tierra; (b) tierra de señal, (c) tierra de chasis. 4 .7 k í í 4 .7 k í í ■ F IG U R A 3 .4 0 El circuito de la figura 3.38 se volvió a dibujar utilizando el símbolo de la conexión a tierra. El símbolo de conexión a tierra de la derecha es redundante; sólo se requiere marcar la terminal positiva de v¿ por lo tanto, la referencia negativa es implícitamente la conexión a tierra, o cero volts. ■ F IG U R A 3 .3 8 Circuito simple con una tensión v„ definida entre dos terminales. ( Continúa en la siguiente página) tuberías corroídas se sustituyeron por material de PVC no conductor y de costo conveniente, ya no existe la trayectoria de baja resistencia hacia la tierra. Se presenta un problema similar cuando la composición de la tierra varía de modo considerable en una región particular. En tales situaciones, es posible tener en realidad dos edifi­ cios separados en los que las dos “conexiones a tierra” no son iguales, y como consecuencia, fluya corriente. Dentro de este texto, se usará exclusivamente el sím­ bolo de conexión a tierra. Sin embargo, vale la pena recordar que, en la práctica, no todas las conexiones a tierra son iguales. I F IG U R A 3 .4 1 (o) Bosquejo de una persona desprevenida a punto de tocar una parte de equipo conectada a tierra de manera inadecuada. No va a serle agradable el resultado. (b) Diagrama de un circuito equivalente para la situación que está a punto de desencadenarse; la persona se representó con una resistencia equivalente, como la que tiene el equipo. Se utilizó una resistencia para representar la trayectoria no humana hacia tierra. RESUMEN Y REPASO______________________________ □ La ley de corriente de Kirchhoff (LCK) establece que la suma algebraica de las corrientes que entran a cualquier nodo es nula. □ La ley de tensión de Kirchhoff (LVK) enuncia que la suma algebraica de las tensiones alrededor de cualquier trayectoria cerrada en un circuito es nula. □ Se dice que todos los elementos de un circuito que conducen la misma corriente están conectados en serie. □ Se dice que los elementos de un circuito que tienen una tensión común entre sus terminales están conectados en paralelo. □ Una combinación en serie de N resistencias se sustituye por una sola que tiene un valor R eq = /?¡ + /?2 H------- \~ R n □ Una combinación en paralelo de N resistencias se sustituye por una sola resistencia que tiene el valor 1 _ R &q 1 Ri 1 Ri 1 Rn □ Se pueden sustituir fuentes de tensión en serie por una sola fuente, siempre que se tenga cuidado de notar la polaridad individual de cada fuente. □ Es posible sustituir las fuentes de corriente en paralelo por una sola fuente, pero hay que tener cuidado de la dirección de cada flecha de corriente. AAA/---- { 63 EJERCICIOS □ La división de tensión permite calcular la fracción de la tensión total en los extremos de una cadena de resistencias en serie que se reduce entre los extremos de cualquier resistencia (o grupo de resistencias). □ La división de corriente permite calcular la fracción de la corriente total en una cadena en paralelo de resistencias que fluye a través de cualquiera de ellas. LECTURAS ADICIONALES_______ Se puede encontrar un análisis de los principios de conservación de la energía y conservación de la carga, así como las leyes de Kirchhoff en R. Feynman, R.B. Leighton y M. L. Sands, The Feynman Lectures on Physics. Reading, Mass.: Addison-Wesley, 1989, pp. 4-1, 4-7 y 25-9. Un estudio muy profundo acerca de las prácticas de instalación de sistemas de tierras coherentes con el National Electrical Code de 1996 se puede encontrar en J.F. McPartland y B.J. McPartland, McGraw-Hill 's National Electrical Code Handbook, 22a. edición, Nueva York: McGraw-Hill, 1996, pp. 337-485. EJERCICIOS_____________________________________ 3.1 N odos, tray ec to rias , lazo s y ram as L. Volver a dibujar el circuito de la figura 3.42, pero en esta ocasión consolidar los nodos en el mínimo número posible. 2. En el circuito de la figura 3.42, contar el número de (a) nodos; (b) ramas. 3. En la figura 3.43, (a) ¿Cuántos nodos hay? (,b) ¿Cuántas ramas hay? (c) Al moverse de A a b a E a D a C a B, ¿se ha formado una trayectoria? ¿Un lazo? 4. En la figura 3.44, (a) ¿Cuál es el número de nodos? (,b) ¿Cuántas ramas hay? (c) Al moverse de B a F a E a C, ¿se ha formado una trayectoria? ¿Un lazo? ■ FIGURA 3,44 ■ F IG U R A 3 .4 3 64 AAA a- CAPlTULO 3 LEYES DE TENSIÓN Y DE CORRIENTE 5. Con referencia al circuito que se muestra en la figura 3.43, (a) Si un segundo alambre se conecta entre los puntos E y D del circuito, ¿cuántos nodos tiene el nuevo circuito? (b) Si se agrega una resistencia al circuito de tal manera que una terminal se conecta al punto C y la otra se deja flotando, ¿cuántos nodos tendrá el circuito nuevo? (c) ¿Cuáles de los siguientes representan lazos? (i) Al moverse de A a li a C a D a E a A. (ii ) Al moverse de B a E a A. (iü) Al moverse de li a C a D a E a li. (.iv ) Al moverse d e Aa f l a C. (v) Al moverse d e A a f i a C a B a A . 3 .2 Ley d e K irc h h o ff d e c o rrie n te 6 . (a) Determinar la corriente identificada como iz en el circuito que se muestra en la figura 3.45. (b ) Si la resistencia que transporta una corriente de 3 A tiene un valor de 1 £2, ¿cuál es el valor de la resistencia que transporta —5 A? 2A (O l t 3A CD i -5 A © -3 A ■ F IG U R A 3 .4 5 7. Encontrar ix en cada uno de los circuitos de la figura 3.46. 4A 1A ÍO 5 fi AAAr-T-AAAr-» 5 fi (b) (r) R F IG U R A 3 .4 6 . Con referencia en la figura 3.47, (ia ) Encontrar ix si iy = 2 A e iz = 0 A. ( b ) Calcular iy si ix (c ) Proporcionar iz si ix = iy = iz . = 2 A e iz = 2 iy . 9. Determinar ix e iy en el circuito de la figura 3.48. 10. Un foco de 100 W, uno de 60 W y uno de 40 W se conectan en paralelo entre sí a una fuente casera estadounidense estándar de 115 V. Calcular la corriente que circula en cada foco y la corriente total que entrega la fuente de tensión. ■ FIGURA 3.48 EJERCICIOS 11. Un multímetro digital (DMM) es un dispositivo que, por lo regular, se utiliza para medir tensiones. Cuenta con dos puntas (en general, rojo para la referencia positiva y negro para la negativa) y un display LCD. Suponga que se conecta un DMM al circuito de la figura 3.46b con la punta positiva en el nodo superior y la negativa en el nodo inferior. Con base en la LCK, explicar por qué, idealmente, es deseable que un DMM que se utilizara de esta forma tuviera una resistencia infinita en lugar de resistencia nula. 12. Un restaurante local cuenta con un anuncio de neón construido con 12 focos separados; cuando uno de éstos falla, parece como una resistencia infinita y no puede conducir comente. Para cablear el anuncio, el fabricante presenta dos opciones (figura 3.49). A partir de lo que se aprendió sobre la LCK, ¿cuál deberá seleccionar el propietario? Explicar su respuesta. 13. En el circuito de la figura 3.50, (a) Calcular vy si iz = —3 A. (b) ¿Qué tensión necesitaría sustituir la fuente de 5 V para obtener vy = —6 V si i, = 0.5 A? 14. Con referencia a la figura 3.51a, (<7) Si ix = 5 A, determinar v¡ e íy. (tí) Si di = 3 V, calcular ix e iy. (c) ¿Qué valor de i,¡ haría que vi v i? 15. Determinará y G en el circuito de la figura 3.51/? si la fuente de 5 A suministra 100 W, y la de 40 V proporciona 500 W. io a —VW— 1 + vx - i— V W — i —v w — io n lo n r ~ r i | f v. ion< ■© (a) ■ FIGURA 3.51 vi < ioa A / W — f 65 •• CAPÍTULO 3 LEYES DE TENSIÓN Y DE CORRIENTE 3 .3 Ley d e te n s ió n d e K irc h h o ff 16. En los circuitos de la figura 3.52a y b, determinar la corriente marcada como i. I FIGURA 3.52 17. Calcular el valor de i en cada circuito de la figura 3.53. 2 V 0 -M 2 í! /v - 9v ia (b) I FIGURA 3.53 18. Considerar el circuito simple que se muestra en la figura 3.54. Con base en la LKT, deducir las expresiones, Vi = vs R\ R i+ R i y vz = vs Ri R\ + Ri ■ FIGURA 3.54 19. El circuito que se presenta en la figura 3.55 muestra un dispositivo conocido como amp op. Este dispositivo tiene dos propiedades particulares en el circuito que se muestra: 1) V¿ = 0 V, y 2) no puede circular ninguna comente en cualquier terminal de entrada (marcada con un ” y un “+ ” dentro del símbolo), pero sf puede circular a través de terminal de salida (marcada “SAL”). Esta situación aparentemente imposible —en conflicto directo con LCK— es un resultado de canalizaciones de potencia hacia este dispositivo que no están incluidas en el símbolo. Con base en esta información, calcular Vs¡m (Sugerencia, se requieren dos ecuaciones LVK, que tomen en cuenta la fuente de 5 V.) 470 n mFIGURA 3.55 EJERCICIOS •- W V ------ 67 20. Aplicar las leyes de Ohm y de Kirchhoff al circuito de la figura 3.56 para calcular (a) vx; (b ) ¡ent; (c) Z¡;\d ) la potencia proporcionada por la fuente dependiente. 4 fl 21. (a) Utilizar las leyes de Kirchhoff y Ohm en un procedimiento paso por paso para evaluar todas las comentes y las tensiones del circuito de la figura 3.57. (b) Calcular la potencia que absorbe cada uno de los cinco elementos del circuito y mostrar que la suma es cero. 22. Con referencia al circuito de la figura 3.58, determinar la potencia absorbida por cada uno de los siete elementos del circuito. 1.5 fl 2 fl 2.5 fl 12 V 23. Un circuito contiene seis elementos y cuatro nodos, numerados 1, 2, 3 y 4, Cada elemento del circuito se conecta entre un par diferente de nodos. La tensión v n (+ la referencia en el primer nodo nombrado) es igual a 12 V, y D34 = —8 V. Proporcionar D13, V23 y U24 si v u es igual a: (a) 0; (b ) 6 V; (c) —6 V. 24. Remitirse al circuito transistorizado de la figura 3.59. Tener en mente que aunque no conoce la relación corriente-tensión del dispositivo, éste sigue cumpliendo la LCK y la LVK. (a) Si Io = 1.5 mA, calcular Vos- (b ) Si = 2 mAy V(~ = 3 V, calcular Vos3 .4 C ircu ito d e un so lo la zo 25. Determinar la potencia que absorbe el elemento X de la figura 3.60, si éste es: (a) una resistencia de 100 Q; (b) una fuente de tensión independiente de 40 V, referencia + en la parte superior; (c) una fuente de tensión dependiente marcada como 25ix , + referencia + en la parte superior; (d) una fuente de tensión dependiente marcada como 0 .8 ui. + referencia + en la parte superior; (e) una fuente de comente independiente de 2 A, con la flecha dirigida hacia arriba. A /W CAPÍTULO 3 LEVES DE TENSIÓN V DE CORRIENTE 26. Determinar ¿i en el circuito de la figura 3.61, si la fuente de tensión dependiente se marca como: (a) 2 v2 \ (b) 1.5i>3; (c) —15/1 . ■ F IG U R A 3.61 27. Remitirse al circuito de la figura 3.61 y marcar la fuente dependiente 1 .8 1 )3 . Calcular 1)3 si (o) la fuente de 90 V genera 180 W; (b) la fuente de 90 V absorbe 180 W; (c) la fuente dependiente genera 100 W; (d) la fuente dependiente absorbe una potencia delOO W. 28. Para el cargador de baterías cuyo modelo es el circuito de la figura 3.62, determinar el valor del resistor ajustable R de modo que: (a) circule una corriente de carga de 4 A; (ti) se entregue una potencia de 25 W a la batería (0.035 f iy 10.5 V); (c) esté presente una tensión de 11 V en las terminales de la batería (0.035 f iy 10.5 V). ■ F IG U R A 3 .6 2 29. El circuito de la figura 3.62 se modifica si se instala una fuente de tensión dependiente en serie con la batería. Ubicar la referencia + en la parte inferior y dejar que el control sea 0.05¡, donde i es la corriente de lazo en el sentido de las manecillas del reloj. Calcular esta corriente y la tensión a nivel terminal de la batería, incluyendo la fuente dependiente, si R = 0.5 fl. 30. Proporcionar la potencia absorbida por cada uno de los seis elementos del circuito de la figura 3.63 y demostrar que su suma es igual a cero. + vl - 15 k íí + V2 - + V3 ■ F IG U R A 3 .6 3 _AAA_ 12 V 25 kfl I F IG U R A 3 .6 4 31. En el circuito de la figura 3.64, (a) Determine la resistencia R cuando la resistencia de 25 kí2 absorbe 2 mW. (ti) Calcular la resistencia R cuando la fuente de 12 V entrega 3.6 mW al circuito. (c) Sustituir la resistencia R por una fuente de tensión, de modo que cualquier resistencia no absorba potencia; dibujar el circuito e indicar la polaridad de tensión de la nueva fuente. EJERCICIOS A/W 32. Con referencia a la tabla 2.4, si el segmento de alambre que se muestra en gris en el circuito de la figura 3.65 es cobre sólido del número 22 AWG y de 3 000 pies de largo, calcular la comente i. 300 fl 12 V 2.3 fl ■ F IG U R A 3 .6 5 33. Si en la figura 3.66, sig,„ = 25 x 10-3 siemens y i)s = 10 eos 5t mV, determine va(t). 34. Las leyes de Kirchhoff se aplican, independientemente de que la ley de Ohm se cumpla para un elemento particular. La característica I-V de un diodo, por ejemplo, está dada por I d = Is (i ,VD/V T _ 1) donde V j = 27 mV a temperatura ambiente e I $ puede variar desde 10-12 hasta 10~-3 A. En el circuito de la figura 3.67, utilizar las LVK y LCK para obtener Vo si I s = 3 ¡i A. (Nota: este problema da como resultado una ecuación trascendental que requiere un método interactivo para obtener una solución numérica. La mayor parte de las calculadoras científicas pueden efectuar una función de este tipo.) 3.5 El circ u ito d e un so lo p a r d e n od os 35. Determinar la potencia absorbida por cada elemento del circuito de la figura 3.68, si el control para la fuente dependiente es: (a) 0.8^ (tí) 0.Siy . En cada caso, demostrar que la suma de las cantidades de potencia absorbida es cero. 5 kfl 20 kfl ■ F IG U R A 3 .6 9 36. Proporcionar ix del circuito de la figura 3.69. 37. Calcular la potencia absorbida por cada elemento del circuito de un par de nodos de la figura 3.70 y demostrar que la suma es igual a cero. 38. Determinar la potencia que absorbe el elemento X del circuito de la figura 3.71 si es: (a) una resistencia de 4 kQ; (tí) una fuente de comente independiente de 20 mA, con flecha de referencia hacia abajo; (c) una fuente de corriente dependiente, con flecha de referencia hacia abajo, marcada como 2 ix ; (d) una fuente de tensión independiente de 60 V, referencia + en la parte superior. 80 mA ■ FIGURA 3.71 100 fl 70 AAAr - • CAPÍTULO 3 LEYES DE TENSIÓN Y DE CORRIENTE 39. (a) Si el elemento X de la figura 3.72 es una fuente de corriente independiente, con la flecha dirigida hacia arriba, marcada como is. ¿Cuánto vale is si ninguno de los cuatro elementos de circuito absorbe potencia? (b) Sea el elemento X una fuente de tensión independiente, con la referencia + en la parte superior y marcada como vs. ¿Cuánto vale vs si la ñientc de tensión no absorbe potencia? 80 mA ■ F IG U R A 3 .7 2 40. (a) Aplicar las técnicas del análisis de un solo par de nodos en el nodo derecho superior de la figura 3.73 y determinar ix. (b) Trabajar ahora con el nodo izquierdo superior y proporcionar u». ((') ¿Qué cantidad de potencia genera la fuente de 5 A? 5A 41. Encontrar la potencia que absorbe la resistencia de 5 fi en la figura 3.74. 42. Calcular la potencia que suministra cada fuente indicada en la figura 375, y demostrar que su suma es igual a cero. 6A 43. Con referencia a la tabla 2.4, ¿cuántas millas de alambre de cobre sólido número 28 AWG se requieren para que con el segmento de alambre de la figura 3.76, se obtenga i i = 5 A? o.5 a 10 A 5F IG U R A 3 .7 6 - V + —V A — -A /A 3 tí 5ñ >2Ü I F IG U R A 3 .7 7 44. En el circuito de la figura 3.77, si v — 6 V, determinar is. C EJERCICIOS A /W * 3 .6 Fuentes in d e p e n d ie n te s c o n e c ta d as en s erie y en p a ra le lo 45. Mediante combinaciones de fuentes en serie, calcular i de los dos circuitos de la figura 3.78. 7A 1A 3.5 A. (a) I F IG U R A 3 .7 8 46. Calcular v de cada uno de los circuitos de la figura 3.78 combinando primero las fuentes. 47. Calcular la corriente denominada i de cada uno de los circuitos de la figura 3.79. 5Í1 VW I' 10 V lk íl 10V •— 0 ) — 6V 3V 12 Vl i» I F IG U R A 3 .7 9 48. Calcular la potencia absorbida por cada uno de los elementos del circuito que se muestra en la figura 3.80 y verificar que su suma sea igual a cero. 12Í2 49. En el circuito de la figura 3.81, calcular i si: (a) !>i = V2 = 10 V y i>3 = i>4 = 6 V. (b) Di = 1)3 = 3 V y V2 = i>4 = 2.5 V. (c) = - 3 V, v2 = 1.5 V, v3 = —0.5 V, y w4 = 0 V. 50. En el circuito de la figura 3.82, eligir vl para obtener una corriente ix de 2 A. ■ FIGURA 3.82 I F IG U R A 3.81 A /W ♦ CAPÍTULO 3 LEYES DE TENSIÓN Y DE CORRIENTE 51. Determinar la tensión i’ en el circuito de la figura 3.83. 52. El circuito de la figura 3.84 contiene varios ejemplos de fuentes de corriente y de tensión independientes conectadas en serie y en paralelo, a) Determinar la potencia que absorbe cada fuente, ti) ¿A qué valor debe cambiarse la fuente de 4 V para reducir la potencia que suministra la fuente de —5 A a cero? -5 A 3A ■ F IG U R A 3 .8 4 3 .7 R esistencias en serie y en p a ra le lo 53. Calcular la resistencia equivalente como se indica en la figura 3.85, si cada resistencia es de 1 kfi. 54. En el circuito de la figura 3.86, (a) Calcular la resistencia equivalente. (ti) Obtener la expresión de la resistencia equivalente si el circuito se extiende utilizando N ramas, y cada una de ellas tiene una resistencia más que la rama de su izquierda. 55. Dadas tres resistencias de 10 kfi, tres de 47 kfi y tres de 1 kfi proporcionar una combinación (no es necesario utilizar todas las resistencias) que produzca: (a) 5 kfi {ti) 57 333 fi (c) 29.5 kfi 56. Simplificar las redes de la figura 3.87 con combinaciones de resistencias y fuentes. ■ FIGURA 3.87 EJERCICIOS 57. Calcular la resistencia equivalente del circuito de la figura 3.88. 2 kO 58. Determinar R eq de cada una de las redes resistivas que se muestran en la figura 3.89. (a) Cb) 20 15 0 10 O 10O (c) ■ F IG U R A 3 .8 9 59. En la red que se presenta en la figura 3.90: (¿j) si R = 80 fl calcular R eq; 0b) determineR si R eq = 80 £2; (ó) proporcionar/? si R = Req. 10 íi R 40 O 60. Mostrar cómo combinar cuatro resistencias de 100 fl para obtener una resistencia equivalente de (a) 25 fl; (b ) 60 fl; (c) 40 fl. * -v w CAPÍTULO 3 LEYES DE TENSIÓN Y DE CORRIENTE 61. Determinar la potencia absorbida por cada una de las resistencias del circuito de la figura 3.91. 62. Utilizar las técnicas de combinación de fuentes y resistencias como una ayuda para obtener vx e ix en los circuitos de la figura 3.92. 2.5 fi 6 fi 20 f i 63. Determinar Gent de cada una de las redes de la figura 3.93. Todos los valores se dan en milisiemens. 50 (a) (b) I F IG U R A 3 .9 3 3 .8 D ivisión d e te n s ió n y d e c o rrie n te 64. Recurrir a las combinaciones de resistencias y de fuentes, así como a la división de corriente, en el circuito de la figura 3.94, para conocer la potencia que absorben las resistencias de 1 £2,10 fi y 13 fi. 1 fi EJERCICIOS 65. El puente de Wheatstone (figura 3.95) es uno de los circuitos eléctricos más famosos y es utilizado en la medición de resistencias. A menudo, a la resistencia con una flecha que cruza su símbolo (Ri) que es una resistencia variable, se le conoce como potenciómetro; su valor puede modificarse simplemente haciendo girar un botón. El amperímetro, simbolizado por un círculo con una flecha en diagonal en el centro, mide la corriente que circula a través del alambre central. Se supone que este amperímetro es ideal, así que tiene una resistencia interna nula. Su operación es sencilla. Los valores de R ¡ , R 2 y R 3 son conocidos y se desea conocer el valor de R . La resistencia R ¡ se ajusta hasta que i m = 0; en otras palabras, hasta que no fluya corriente a través del amperímetro. En este punto se dice que el puente se encuentra “balanceado”. R2 Utilizando la LCK y la LVK, demuestre que R = ■- R 3 . (Sugerencias: El valor de Vs es irrelevante; con i,„ = 0, i\ = ¿3 e ¡2 = ír \ y no existe caída de tensión en el amperímetro.) 66. El circuito de la figura 3.96 está formado por varias resistencias conectadas en serie. Utilizar el divisor de tensión para calcular qué cantidad de tensión decae en la resistencia más pequeña y en la más grande, respectivamente. io n 2.2 fl 47 fl lO fl A/W-----V W ----A/W-----VW---10V © ^ 5 ,S f l ■ F IG U R A 3 .9 6 67. Utilizar el divisor de tensión para calcular la tensión en la resistencia de 47 kQ de la figura 3.97. 2.2 kfl 68. Con referencia al circuito que se muestra en la figura 3.98, utilizar el divisor de corriente para calcular la corriente que fluye hacia abajo a través de (a) la resistencia de 33 Q y (b) la resistencia de 134 Q que se encuentra a la derecha. ■ FIGURA 3.98 A A /V • CAPÍTULO 3 LEYES DE TENSIÓN Y DE CORRIENTE 69. Aparentemente, a pesar del gran número de componentes del circuito de la figura 3.99, solamente es de interés la tensión en la resistencia de 15 £2. Utilizar el divisor de comente para calcular el valor correcto. -8 A 70. Elegir dentro de los siguientes valores de resistencia (pueden utilizarse más de una vez) para fijar vs, R\ y R 2 en la figura 3.100 y obtener vx = 5.5 V. [1 k£2, 3.3 k£2, 4.7 kfi, 10 kfi] AAAr I F IG U R A 3.T0T F IC U R A 3 .1 0 0 71. Elegir dentro de los siguientes valores de resistencia (se pueden utilizar más de una vez) para establecer is, R¡ y R2 en la figura 3.101 para obtener v = 5.5 V. [1 kfi, 3.3 m , 4.7 k£2, 10 k£2] 72. Determinar la potencia que disipa (o absorbe) la resistencia de 15 k£2 de la figura 3.102. 73. En el circuito en la figura 3.103, determinar ix y calcular la potencia disipada (absorbida) por la resistencia de 15 k£2. 15 m 10 kü r—W V v — 5V I Z) 10 m < : l ' ;' 9 FIGURA 3.103 <> 4 k f í < 47 kfi AA/V---- i EJERCICIOS 74. En el circuito de la figura 3.104, determinar por la resistencia de 3 fl. y la potencia disipada (absorbida) 75. ¿Cuál es la potencia disipada (absorbida) por la resistencia de 47 kfl de la figura 3.105? 2 kfl 47 kO 2 kfl 76. Explicar por qué no es posible utilizar la división de tensión para determinar v\ en la figura 3.106. «1 -A W + vx - •© 77. Utilizar las divisiones de corriente y de tensión del circuito de la figura 3.107 a fin de obtener la expresión de (a) v2i\b ) uj* (c) í4. 78. Con referencia a los circuitos indicados en la figura 3.108: (a) sea vs = 40 V, is = 0, determinar uij (b) sea vs = 0, is = 3 mA, calcular i2 e ¿3 . 6 000 n O —V W — '3 000 O ■ F IG U R A 3 .1 0 8 79. En la figura 3.109: (a) sea vx = 10 V y determinar I¡ ; (b) sea I5 = 50 Ay proporcionar vx; (c) calcular la proporción i.y//,. I F IG U R A 3 .1 0 7 h:3 -VW — 1 77 A A /V - • CAPÍTULO 3 LEYES DE TENSIÓN Y DE CORRIENTE 80. Determinar la cantidad de potencia que absorbe Rx en el circuito de la figura 3.110. 10 mA 3 kO IF IG U R A 3 .1 1 0 81. Utilizar las divisiones de corriente y de tensión como auxiliares para obtener una expresión correspondiente a en la figura 3.111. 82. Con referencia al circuito de la figura 3.112, determinar (a) Ix si I\ = 12 mA; (b)1\ si Ix = 12 mA; (c) lx si I 2 = 15 mA; (d) Ix si Is = 60 mA. 83. El de la figura 3.113 es un circuito equivalente que se usa a menudo para hacer un modelo del comportamiento en ca de un circuito amplificador MOSFET. Si gm = 4 m£5, calcular i>sai. 300 0 84. El circuito de la figura 3.114 es un circuito equivalente que se suele utilizar para modelar el comportamiento en ca de un circuito amplificador de transistor de unión bipolar. Si gm = 3 8 mí!, calcular v& ¡¿. 300 0 A 1 3 sen 1Oí V I ~ ) i ■ F IG U R A 3 .1 1 4 15 kO <> 3kO <^ V7T 1 i- 1 SmVTT T 1 < 1 Análisis nodal de malla básicos E7T INTRODUCCION Análisis nodal. Una vez que se conocen las leyes de Ohm y de Kirchhoff, el análi­ sis de un circuito lineal simple para obtener información útil acerca Técnica del supernodo. de la corriente, la tensión o la potencia asociadas con un elemento en particular comienza a parecer una misión muy directa. Al menos Análisis de malla. hasta ahora, cada circuito parece ser único y requiere (hasta cierto punto) un grado de creatividad en el momento de realizar el análi­ Técnica de la supermalla. sis. En este capítulo se explicarán dos técnicas básicas de análisis de circuitos — el análisis nodal y el análisis de m alla— las cuales permiten analizar una gran cantidad de circuitos de una manera Selección entre análisis nodal y de malla. metódica y coherente. El resultado que se obtiene es un análisis más directo, un nivel de complejidad más uniforme en las ecua­ ciones, un menor número de errores y, quizás, lo más importante, una menor ocurrencia de “/ Todavía no sé cómo empezar!” La mayor parte de los circuitos con los que se ha practicado son simples y (siendo honestos) de importancia práctica cuestionable; sin embargo, resultan útiles como ayuda para aprender a aplicar las técnicas fundamentales. Aunque los circuitos más complejos que aparecen en este capítulo pueden representar una gran variedad de sistemas eléctricos incluyendo circuitos de control, redes de comu­ nicaciones. motores o circuitos integrados, así como modelos de circuitos eléctricos de sistemas no eléctricos, es mejor no profun­ dizar en esos detalles específicos en esta etapa inicial. En lugar de lo anterior, es importante enfocarse en la metodología para re­ solver problemas que se desarrollará a lo largo de este libro. Análisis asistido por computadora incluyendo PSpice y MATLAB. ®0 ------ V\A/------------- • \ CAPÍTULO 4 ANÁLISIS NODAL Y DE MALLA BÁSICOS 4.1 ---------------------------------ANALISIS NODAL -------• El estudio de métodos generales para el análisis metódico de circuitos se inicia con un método poderoso basado en LKC, llamado análisis nodal. En el capítu­ lo anterior se presentó el análisis de un circuito simple que contenía sólo dos no­ dos. Así se descubrió que el principal paso del análisis se presentaba cuando se obtenía una ecuación simple en términos de una incógnita simple: la tensión en­ tre el par de nodos. Se dejará que aumente el número de nodos y se proporcionará de manera co­ rrespondiente una cantidad desconocida adicional y una ecuación extra para cada nodo agregado. De tal modo, un circuito de tres nodos tendrá dos tensiones des­ conocidas y dos ecuaciones; uno de 10 nodos constará de nueve tensiones desco­ nocidas y nueve ecuaciones; un circuito de N nodos se formará con (N — 1) ten­ siones y (N — 1) ecuaciones. Cada ecuación es una ecuación LCK simple. Para ilustrar la mecánica básica de esta técnica, considere el circuito de tres nodos que se muestra en la figura 4.1a, que se dibuja nuevamente en la figura 4.1 b para destacar el hecho de que sólo hay tres nodos, numerados de manera correspondiente. El objetivo será determinar la tensión en cada elemento y el paso siguiente del análisis es crítico. Se designa un nodo como nodo de referen­ cia, en este caso será la terminal negativa de las tensiones nodales N — 1 = 2 como se muestra en la figura 4. le. Se logra otra pequeña simplificación en las ecuaciones resultantes si el nodo conectado al mayor número de ramas se identifica como el nodo de referencia. Si hay un nodo de conexión a tierra, a menudo resulta más conveniente elegirlo como el nodo de referencia, aunque mucha gente prefiere seleccionar el nodo in­ ferior de un circuito como la referencia, especialmente si no se especifica una tierra explícita. L a tensión del nodo 1 en relación con el nodo de referencia se define como Di y i)2 se define como la tensión del nodo 2 con respecto al nodo de referencia. -1.4 A -1.4 A (a) 5 0, i -1.4 A (c) /J -1 .4 A 3.1 (d) I F IG U R A 4 .1 (o) Circuito simple de tres rodos. (b) Dibujo del circuito en donde se hace hincapié en los nodos, (c) Nodo de referencia elegido y tensiones asignadas, (d) Referencias de tensión abreviadas. Si se desea, un símbolo de conexión a tierra apropiado se podría sustituir por "Ref” SECCION 4.1 ANÁLISIS NODAL Ambas tensiones son suficientes, puesto que la tensión entre cualquier otro par de nodos puede determinarse en términos de ellos. Por ejemplo, la tensión del nodo 1 con respecto al nodo 2 es v¡ — t'2 - Las tensiones v¡ y V2 y sus signos de referencia se muestran en la figura 4.1c. Después de marcar el nodo de referencia es una práctica com ún om itir los signos de referencia para hacerlo más claro; el nodo marcado con la tensión se considera como la terminal positiva (fig. A .ld), lo cual se entiende como un tipo de notación de tensión abreviada. Ahora se aplicará la LCK a los nodos 1 y 2. Este paso se realiza igualando la corriente total que sale del nodo a través de varias resistencias con la corriente de fuente total que entra al nodo. De tal manera que Vl — V l l!l y H— ^ — = 3.1 [1] 0.1 v\ — 0.2 V2 = 3.1 [2] En el nodo 2 se obtiene V2 V2 - Vi - (-1 .4 ) 1 —0.2u! + 1.2u2 = 1-4 [3] [4] Las ecuaciones [2] y [4] son las dos deseadas con dos incógnitas, y además se pueden resolver con facilidad. Los resultados son v¡ = 5 V y i >2 = 2 V. A partir de este punto, se determina de manera directa la tensión en la re­ sistencia de 5 £2 resistor: v?c¿ = vi — V2 — 3 V. Las corrientes y las potencias absorbidas también se pueden calcular en un paso. En este punto se debe observar que existe más de una forma de escribir las ecuaciones LCK en el análisis nodal. Por ejemplo, el lector preferirá sumar to­ das las corrientes que ingresan a un determinado nodo y fijar esta cantidad a un valor cero. Por lo tanto, se pudo haber escrito para el nodo 1: Vi Vi —Ib - 3.1 - — - -- ------- = 0 2 5 — Di 3.1 H— + V2 ~ - Vl =0 las cuales son equivalentes a la ecuación [1], ¿Es una form a mejor que la otra? Cada profesor y cada estudiante tiene una preferencia personal y, al final de cuentas, lo más importante es ser congruente. Los autores prefieren construir ecuaciones LCK para el análisis nodal de una manera tal que al final tengan to­ dos los términos de fuentes de com ente de un lado y todos los términos de resis­ tencia por otro. Específicamente, £ de corrientes que ingresan al nodo de las fuentes de corriente = X de corrientes que abandonan el nodo a través de resistencias Este método tiene varias ventajas. Primero, no puede existir confusión al­ guna con respecto a que si un término deba ser “u i — u2” o “ib ~ v ¡ ”; la primera tensión de cada expresión de corriente de resistencia corresponde al nodo para el A /W El nodo de referencia en un diagrama esquemático se define de manera explícita como cero volts. Sin embargo, resulta importante recordar que cualquier terminal puede ser designada como terminal de referencia. En consecuencia, el nodo de referencia está a cero volts con respecto a las otras tensiones nodales definidas, y no necesariamente con respecto a la conexión a tierra. 0 yw v CAPITULO %ANÁLISIS NODAL Y DE MALLA BÁSICOS que se está escribiendo una expresión LCK, como se puede ver en las ecua­ ciones [1] y [3]. Segundo, permite verificar rápidamente que un término no se haya elim inado de m anera accidental. Simplemente se deben contar las fuentes de corriente conectadas a un nodo y después las resistencias; además, agruparlas en la form a en que se mencionó hace un poco más fácil la com­ paración. EJEMPLO 4.1 -------------- — -------- ------------------------- ------------------— — Determinar la corriente que fluye de izquierda a derecha a través de la resistencia de 15 S2 de la figura 4.2a. («) ■ FIG U R A 4 .2 (a) Circuito de cuatro nodos que contiene dos fuentes de corriente independientes. (b) Las dos resistencias en serie se reemplazan por una sola resistencia de 10 ñ para reducir a tres nodos el circuito. El análisis nodal arrojará valores numéricos para las tensiones nodales vi y «2 , y la corriente deseada está dada por i — (v¡ — i^ ) /1 5. Sin embargo, antes de comenzar el análisis nodal, se puede observar que no es de interés conocer los detalles respecto de las resistencias de 7 Q y de 3 £2. Por lo tanto, se pueden reemplazar sus combinaciones serie por una re­ sistencia de 10 Q como se muestra en la figura 4.2/?. El resultado es una reducción del número de ecuaciones que se deben resolver. Se escribe la ecuación LCK apropiada del nodo 1, 2 _ V]_ “ 10 vi ~ vi 15 [5] Ü2 ~ 5 l>2 ~ Vi 15 [6 ] y del nodo 2, Simplificando, se obtiene 5i>i —2ib = 60 —V\ 4ib = 60 Despejando, se encuentra que v¡ — 20 V y vj = 20 de tal forma que vi — u2 = 0. En otras palabras, ¡en este circuito fluye una corriente cero a través de la resistencia de 15 £2! SECCIÓN 4.1 ANÁLISIS NODAL PRÁCTICA A /W •" ___________________________________________________ 4.1 Determinar las tensiones nodales u; y v2 del circuito de la figura 4.3. Respuesta: v¡ = —145/8 V, v2 = 5/2 V. A continuación se aumentará el número de nodos de manera que se utilice esta técnica para resolver un problema un poco más difícil. E J E M P L O 4.2 Determinar las tensiones de nodo del circuito de la figura 4.4a. 3A Identificar el objetivo del problema. Hay cuatro nodos en este circuito. Si se elige el nodo inferior como referen­ cia, se deben marcar los otros tres como se indica en la figura 4.4b. El circuito también se volvió a dibujar parcialmente por conveniencia. Recopilar la información conocida. Hay tres tensiones desconocidas, v ¡ , ih y v j . Todas las fuentes de corriente y las resistencias tienen valores designados, las cuales se marcan sobre el esquema. Elaborar un plan. Este problema es bastante apropiado para la técnica del análisis nodal que se acaba de presentar, ya que es factible escribir tres ecuaciones LCK in­ dependientes en términos de las fuentes de corriente y de la corriente a través de cada resistencia. 4 0 Construir un conjunto apropiado de ecuaciones. Se empieza escribiendo una ecuación LCK para el nodo 1: v3 ib) 0.58331;] 0.3333^2 — 0.25 i >3 = - 1 1 [7] ! F IG U R A 4 .4 (o) Circuito de cuatro nodos. (b) Dibujo del circuito con el nodo de referencia elegido y las tensiones marcadas. En el nodo 2: -í-T » - 1 V l ~ V l _i_ Ü1 3 1 4 . Vl ~ Vi 7 (Continúa en la siguiente página) CAPÍTULO 4 ANÁLISIS NODAL Y DE MALLA BÁSICOS —0.3333t>i + \ M 6 2 v2 - 0.142% 3 = 3 [8 ] Y, en el nodo 3: _ , _ V3 5 V3 ~ Vl 7 V3 ~ Vl 4 o, de manera más simple, —().25t>i - 0. \429v2 + 0.5929t-3 = 25 [9] Determinar si se requiere de información adicional. Hay tres ecuaciones con tres incógnitas. Siempre y cuando éstas sean inde­ pendientes, lo anterior es suficiente para determinar las tres tensiones. Intentar obtener la solución. Las ecuaciones [7] a la [9] se resuelven mediante la eliminación sucesiva de variables, el método de matrices o por medio de la regla de Cramer y los determinantes. Si se emplea el último método, descrito en el apéndice 2, se tiene: - 1 1 -0 .3 3 3 3 -0 .2 5 0 0 3 1.4762 -0 .1 4 2 9 25 -0 .1 4 2 9 0.5929 0.5833 -0 .3 3 3 3 -0 .2 5 0 0 -0.3333 1.4762 -0 .1 4 2 9 -0.2500 -0 .1 4 2 9 0.5929 vi = 1.714 0.3167 = 5.412 V De manera similar, vi = V3 0.5833 -0.3333 -0.2500 0.5833 -0.3333 -0.2500 -11 3 25 0.3167 -0.2500 -0.1429 0.5929 -0 .3 3 3 3 1.4762 -0 .1 4 2 9 0.3167 2.450 0.3167 -1 1 3 25 14.67 0.3167 = 7.736 V = 46.32 V Verificar la solución. ¿Es razonable o es la que se esperaba? Una forma de verificar parte de la solución consiste en resolver las tres ecuaciones mediante otra técnica. Más allá de eso, ¿es posible determinar si las tensiones son valores “razonables” ? Existe una corriente máxima posible de 3 + 8 + 25 = 36 amperes en cualquier punto del circuito. La resistencia más grande es de 7 £2, de modo que no es posible esperar ninguna magnitud de tensión superior a 7 x 36 = 252 V. Desde luego, existen numerosos métodos disponibles para resolver sistemas de ecuaciones lineales, algunos de los cuales se describen detalladamente en el apéndice 2. Antes del advenimiento de la calculadora científica, la regla de Cra­ mer que se utilizó en el ejemplo 4.2 era muy común para analizar circuitos, aun­ que a veces era muy tediosa en su implementación. Sin embargo, es muy senci­ llo utilizarla en una calculadora de cuatro funciones, por lo que es muy valioso SECCIÓN 4.1 ANÁLISIS NODAL * A /w conocer esta técnica. Por otro lado MATLAB, aunque no es muy probable que se encuentre a la mano durante un examen, es un paquete de software muy po­ deroso que simplifica enormemente el proceso de solución; en el apéndice 6 se proporciona un breve tutorial para comenzar. Para el escenario que se menciona en el ejemplo 4.2, existen varias opciones disponibles con MATLAB. Como primer paso, se pueden representar las ecua­ ciones [7]-[9] en fo rm a matricial: 0 .5 8 3 3 - 0 .3 3 3 3 - 0 .3 3 3 3 1 .4 7 6 2 - 0 .1 4 2 9 - 0 .1 4 2 9 0 .5 9 2 9 0.5833 -0 .3 3 3 3 -0 .2 5 -0 .3 3 3 3 1.4762 -0 .1 4 2 9 - 0 .2 5 - 0 .2 5 11 vi V2 _ v3 _ 3 25 de modo que. Vl Vl v3 = -0 .2 5 -0 .1 4 2 9 0.5929 -i " - 1 1 3 25 En MATLAB se escribe » a = [0.5833 -0.3333 -0 .2 5 ; -0.3333 1.4762 -0.1429; -0 .2 5 -0.1429 0.5929]; » c = [-11; 3; 25]; >> b = a A- l * c b = 5.4124 7.7375 46.3127 >> donde espacios separan a los elementos a lo largo de las filas y un punto y coma separan las filas. La matriz denominada b, a la cual también se le conoce como vector puesto que tiene sólo una columna, es nuestra solución. Por ende, Di = 5.412 V, D2 = 7 738 V y D3 = 46.31 V (se ha incurrido en un error por re­ dondeo), Se pudo haber utilizado las ecuaciones LKC como se escribieron al principio si se emplea al procesador simbólico de MATLAB. » » >> » >> eqnl = 1- 8 - 3 = ( v l eqn2 = ' - ( - 3 ) = (v2 eqn3 ='-(-25)= v 3 / 5 a n s w e r = s o lv e ( e q n l, a n s w e r.v l ans = 720/133 » a n s w e r .v 2 ans = 1 4 7 /1 9 » a n s w e r .v 3 ans = 8 8 0 /1 9 >> v2)/ 3 + (vl - v3)/ 4 ’ ; v l) / 3 +v2/ 1 + (v2 - v 3 ) / 7 ' ; + (v3 - v 2 ) / 7 + (v3 - v l ) / 4 ' ; eqn2, eqn3, ' v l ' , ’v 2 1, ' v 3 ' ) ; as A /W CAPITULO 4 ANÁLISIS NODAL Y DE MALLA BÁSICOS lo que resulta en respuestas exactas, sin errores por redondeo. La rutina solve() se invoca con la lista de ecuaciones simbólicas que se nombran como eqnl, eqn2 y eqn3; sin embargo, deben especificarse también las variables u l , v2 y v3. Si a solve() se le llama con un menor número de variables que de ecuaciones, se ob­ tiene una solución algebraica. Vale la pena hacer un rápido comentario respecto de la forma de la solución; en el argot de programación, se refiere como algo que se conoce como una estructura; en este caso, a dicha estructura se le llama “res­ puesta”. Se accede a cada componente de la estructura de manera separada por nombre, como se muestra. P R Á C T IC A _____________________________________________________________ 4.2 Calcular la tensión en cada fuente de com ente del circuito de la figura 4.5. 2 íl ■ F IG U R A 4 .5 R e sp u e sta : i>3a = 5 .2 3 5 V ; i>7a = 1 1 .4 7 V . 2 Los ejemplos anteriores han demoslrado el método básico para realizar el análisis nodal, pero vale la pena considerar qué pasa si las fuentes dependientes también se encuentran presentes. E J E M P L O 4.3 Determinar la potencia proporcionada por la fuente dependiente de la figura 4.6a. ''i (a) (b) ■ F IG U R A 4 .6 (o) Circuito de cuatro nodos que contiene una fuente de corriente dependiente. (b) Circuito marcado para el análisis nodal. SECCIÓN 4.1 ANÁLISIS NODAL • ■wv Se selecciona el nodo inferior como referencia, ya que cuenta con el número más grande de conexiones ramales y se procede a marcar las ten­ siones nodales V] y v 2 como se muestra en la figura 4.6b. La cantidad mar­ cada vx es, en realidad, igual a v2. En el nodo 1 se escribe 15 = + V A [io] y en el nodo 2, V 2~V i , V2 i r1 „ ~T 1111 Desafortunadamente, sólo hay dos ecuaciones pero con tres incógnitas, lo cual es el resultado directo de la presencia de la fuente de corriente de­ pendiente, puesto que no está controlada por una tensión nodal. Por ende, es necesario desarrollar una ecuación adicional que relacione i\ con una o más tensiones nodales. En este caso se encuentra que i, = | [121 la cual sustituyéndola en la ecuación [11] obtenemos (con un poco de sim­ plificación) 3vi - 2v 2 = 30 8v2 = [1 3 ] y la ecuación [10] se simplifica en — 1 5 i> i + 0 [1 4 ] Despejando, se encuentra que vi = —40 V, v 2 = —75 V e i ] = 0.5i>i = —20 A. Por lo tanto, la potencia suministrada por la fuente dependiente es igual a (3i'i)(ü2) = (—60)(—75) = 4.5 kW. Se puede observar que la presencia de una fuente dependiente originará la necesidad de una ecuación adicional en el análisis si la cantidad controladora no es una tensión nodal. Ahora veamos el mismo circuito, pero con la variable con­ troladora de la fuente de corriente dependiente cambiada a otro valor: la tensión de la resistencia de 3 fi, la cual es de hecho una tensión nodal. Se encontrará que solamente se requieren dos ecuaciones para terminar el anáfisis. EJEMPLO 4.4 Determinar la potencia suministrada por la fuente dependiente de la figura 4.7a. Se selecciona el nodo inferior como nuestra referencia y se marcan las ten­ siones nodales como se muestra en la figura 4.1b Se ha marcado la tensión nodal vx explícitamente para efectos de claridad, pero no es necesaria esta redundancia. Obsérvese que la selección del nodo de referencia es impor­ tante en este caso; esto lleva a la cantidad vx la cual es una tensión nodal. La ecuación LCK del nodo 1 es, Ul — Vx Ul l5 = ± -¡-± + i r15] (Continúa en la siguiente página) A A /v CAPÍTULO 4 ANÁLISIS NODAL Y DE MALLA BÁSICOS («) (b) F IG U R A 4 .7 (o) Circuito de cuatro nodos que contiene una fuente de corriente dependiente. (b) Circuito marcado para el análisis nodal. y la del nodo x es 3vx Vx ~ vi 1 }>2 3 [16] Si se agrupan términos y se despeja, se encuentra que Di = y V y vx = - y V . Por lo tanto, la fuente dependiente de este circuito genera (3vx)(vx) = 55.1 W. P R A C T I C A _________________________________________________ I F IG U R A 4 .8 4.3 Determinar la tensión nodal del circuito de la figura 4.8 i>i si A es ( a ) 2 iú (b) 2 v\. Respuesta: (a) ? V; (b) -10 V. Resumen del procedimiento básico del análisis nodal 1. Contar el número de nodos (N). 2. Designar un nodo de referencia. El número de términos en sus ecua­ ciones nodales pueden minimizarse seleccionando el nodo con el mayor número de ramas conectadas a él. 3. Marcar las tensiones nodales (Existen N — 1 tensiones). 4. Escribir una ecuación de LCK de cada uno de los nodos excepto el de referencia. Sumar las corrientes que fluyen hacia un nodo desde las fuentes en un miembro de la ecuación. Del otro lado, sumar las corrientes que circulan hacia afuera del nodo a través de las resistencias. Poner particular atención a los signos 5. Expresar cualquier incógnita adicional como corrientes o ten­ siones excepto tensiones nodales en términos de tensiones nodales apropiadas. Esta situación puede presentarse si en el circuito hay fuentes de tensión o fuentes dependientes. 6. Organizar las ecuaciones. Agrupándolas de acuerdo con las tensiones nodales. 7. Resolver el sistema de ecuaciones para encontrar las tensiones nodales (Existen N — 1 tensiones). SECCIÓN 4.2 EL SUPERNODO Estos siete pasos básicos funcionarán bien en cualquier circuito que se en­ cuentre, aunque se requerirá de especial cuidado si se presentan fuentes de ten­ sión. En la sección 4.2 se analizan dichas situaciones. 4.2 «--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------EL SUPERNODO --------A continuación se considera cómo las fuentes de tensión afectan la estrategia del análisis nodal. Como un ejemplo común, considerar el circuito de la figura 4.9a. El circuito original de cuatro nodos de la figura 4.4 se cambió al sustituir la resistencia de 7 Í2 entre los nodos 2 y 3 por una fuente de tensión de 22 V. Seguir asignando el mismo nodo a las tensiones de referencia vu i>2 y i>3 . Antes, el siguiente paso era la aplicación de la LCK en cada uno de los nodos de no referencia. Si se trata de hacerlo otra vez, surgirán algunas dificultades en los nodos 2 y 3, ya que no se conoce cuál es la corriente en la rama con la fuente de tensión. No hay manera de que se pueda expresar la corriente como una función de la tensión, ya que la definición de una fuente de tensión señala precisamente que la tensión es inde­ pendiente de la corriente. Hay dos modos de salir de este dilema. El método más complicado consiste en asignar una corriente desconocida a la rama que contiene la fuente de tensión, proseguir para aplicar tres veces la LCK y luego aplicar una vez la LVK ( 1)3 — i>2 = 22) entre los nodos 2 y 3; el resultado consiste en cuatro ecuaciones con cuatro incógnitas para este ejemplo. El método más sencillo considera al nodo 2, al nodo 3 y a la fuente de ten­ sión en conjunto como una especie de supernodo y se aplica la LCK en ambos nodos al mismo tiempo; el supernodo se indica por medio de una región encerra­ da por la línea punteada de la figura 4.9a. Esto es en verdad posible, debido a que si la corriente total que sale del nodo 2 es cero y la corriente total que sale del no­ do 3 es nula, entonces la corriente total que sale de la combinación de los dos nodos es igual a cero. Este concepto se describe de manera gráfica en la vista ampliada de la figura 4.9b. t ... / / h (b) ■ F IG U R A 4 .9 (o) Circuito del ejemplo 4.2 con una fuente de 22 V en lugar de la resistencia de 7 Í2. ( b) Vista ampliada de la región definida como supernodo; la LCK requiere que todas las corrientes que fluyan hacia la región sumen cero, pues de otra forma los electrones se apilarían o desaparecerían. E J E M P L O 4.5 D eterm in ar el valor de ia tensión del nodo desconocido v\ del circuito de la figura 4.9a. La ecuación de la LCK del nodo 1 no presenta cambio respecto del ejemplo 4.2: V1 - V 2 Vi - v 3 —O — D — ---------- "f- ---------- 0 .5 8 3 3 u i - 0 .3 3 3 3 u 2 - 0 .2 5 0 0 u 3 = -1 1 [1 7 ] A continuación se considera el supernodo 2,3. Se encuentran conectadas dos fuentes de tensión y cuatro resistencias. Por lo tanto, Vl — Vi 113 — 1>1 V3 Vo 3 + 25 = —------ - + —------ - + — + — 3 4 5 1 —0.5833ui + 1 .3333U2 + 0.45i;3 = 28 [1 8 ] (Continúa en la siguiente página) AA/V CAPÍTULO 4 ANÁLISIS NODAL Y DE MALLA BÁSICOS Puesto que hay tres incógnitas, se necesita una ecuación adicional, y además debe aprovecharse el hecho de que hay una fuente de tensión de 22 V entre los nodos 2 y 3: v2 - v 3 = - 2 2 [19] Al resolver las ecuaciones de [17] a [19], la solución de P f r Á C TIC es 1.071 V. _____________________ 4.4 Calcular la tensión en cada fuente de corriente del circuito de la figura 4.10. Respuesta: 5.375 V, 375 mV. ■ F IG U R A 4 .1 0 De ese modo, la presencia de una fuente de tensión reduce en uno el número de nodos de no referencia en los que se debe aplicar la LCK, sin que importe si la fuen­ te de tensión se extiende entre dos nodos de no referencia o si está conectada entre un nodo y la referencia. También es necesario ser cuidadosos cuando se analizan circuitos como el del problema de práctica 4.4. Puesto que ambos extremos de la re­ sistencia son parte del supemodo, desde un punto de vista técnico debe haber dos términos de corriente correspondientes en la ecuación LCK, aunque se cancelan en­ tre sí. Se puede resumir el método del supemodo de la manera siguiente: Resumen del procedimiento de análisis del supernodo 1. Contar el número de nodos (N). 2. Designar un nodo de referencia. El número de términos en sus ecua­ ciones nodales pueden minimizarse seleccionando el nodo con el mayor número de ramas conectadas a él. 3. Marcar las tensiones nodales (habrá N — l tensiones). 4. Si el circuito cuenta con fuentes de tensión, construir un supernodo alrededor de cada una. Para hacer esta tarea debe encerrarse la fuente, sus dos terminales y cualquier otro elemento conectado entre las dos terminales dentro de un cuadro dibujado con línea punteada. 5. Escribir una ecuación LCK de cada nodo de no referencia y de cada supem odo que no contenga el nodo de referencia. Sumar las corrientes que circulen hacia un nodo/supernodo desde las fuentes de corriente en un miembro de la ecuación. En el otro miembro, sumar las corrientes que circulen hacia afuera del nodo/supernodo a través de las resistencias. Poner particular atención a los signos 6. Relacionar la tensión en cada fuente de tensión con las tensiones nodales. Esta tarea se lleva a cabo aplicando LVK; es necesaria una ecuación por cada supemodo definido. 7. Expresar cualquier incógnita adicional (es decir, corrientes o ten­ siones diferentes a las tensiones nodales) en términos de las tensiones nodales apropiadas. Esta situación puede presentarse si exis­ ten fuentes dependientes en nuestro circuito. 8. Organizar las ecuaciones. Agrupar términos de acuerdo con las ten­ siones nodales. 9. Resolver el sistema de ecuaciones para obtener las tensiones nodales (habrá N — í ecuaciones). A /V V SECCIÓN 4.2 EL SUPERNODO 91 Se puede observar que se han agregado dos pasos adicionales al procedi­ miento general de análisis nodal. Sin embargo, en realidad, la aplicación de la técnica del supemodo a un circuito que contenga fuentes de tensión no conecta­ das al nodo de referencia dará como resultado una reducción del número de ecuaciones LCK que sean necesarias. Tomando en cuenta lo anterior, consi­ dérese el circuito de la figura 4.11, que contiene los cuatro tipos de fuentes y cuenta con cinco nodos. E J E M P L O 4.6 Determinar las tensiones entre cada nodo y el de referencia en el circuito de la figura 4.11. v2 Después de establecer un supemodo en tomo a cada fuente de tensión es nece­ sario escribir ecuaciones de LCK sólo del nodo 2 y del supemodo que contiene a la fuente de tensión dependiente. Por inspección, está claro que V\ — —12 V. En el nodo 2, V\ V2 - , V2 —V3 0.5 [20 ] = 14 mientras en el supemodo 3-4, n0.5U* c = — v* ~-—Vl V4 L’4 Vi 2.5 [2 1 ] T+ A continuación se relacionan las tensiones de fuente con las tensiones de nodo: l>3 — V4 = 0.2 V„ [22] 0 . 2 v y — 0 .2 ( i > 4 — v i ) [2 3 ] y, I F IG U R A 4.11 Circuito con cinco nodos con cuatro tipos diferentes de fuentes. Por último, se expresa la fuente de corriente dependiente en términos de las variables asignadas: 0 .5 v* = 0 . 5 ( i >2 - v i) [2 4 ] Cinco nodos requieren cuatro ecuaciones LKC en el análisis nodal general, pero se ha reducido este requerimiento a sólo dos, ya que se for­ maron dos supemodos separados. Cada supemodo requiere una ecuación LVK (ecuación [ 2 2 ] y v\ = — 1 2 , esta última escrita por inspección). Ninguna de las fuentes dependientes estuvo controlada por una tensión nodal, por lo que se necesitaron dos ecuaciones adicionales como resultado. Una vez hecho lo anterior, se pueden eliminar vx y vy para obtener un con­ junto de cuatro ecuaciones con las cuatro tensiones de nodo: —2 v i + 2 .5 v i — 0 .5 v 3 = 14 O .lv i — + 0.5i>3 + 1 .4v4 = 0 V2 vi 0 .2 vi =-12 + V3— 1 . 2 v4 = 0 Despejando, se obtiene v i = —1 2 V, v 2 = —4 V. V 3 = 0 V y v 4 = — 2 V. P R Á C T IC A 4 .5 ____________________________________________________________ Determinar las tensiones nodales del circuito de la figura R e sp u e sta : V i = 3 V , V2 = 5 . 0 9 V , V3 = 1 . 2 8 V , V4 = 1 . 6 8 V. 4 .1 2 . ■ FIGURA 4.12 ® AA/V •• CAPÍTULO 4 ANÁLISIS NODAL Y DE MALLA BÁSICOS 4.5 t ANÁLISIS DE MALLA_________________________ La técnica del análisis nodal descrita en la sección anterior es muy general, por lo que siempre puede aplicarse a cualquier red eléctrica. Un método alternativo que en ocasiones resulta más fácil de aplicar en ciertos circuitos se conoce como análisis de malla. Si bien esta técnica no es aplicable a cualquier red, se puede utilizar en la mayor parte de las redes que se quieren analizar. El análisis de malla se aplica sólo en aquellas redes que son de forma plana, un término que es necesario definir. Si se puede dibujar el esquema de un circuito sobre una superficie plana de manera tal que ninguna rama pase sobre o por debajo de cualquier otra rama, se afirma que es un circuito plano o de form a plana. Por lo tanto, la figura 4.13a muestra una red de forma plana, la 4.13b presenta una red de forma no plana y la 4 .13c muestra también una red de forma plana, aunque se dibuja de modo que parece ser no plana a primera vista. ■ F IG U R A 4 .1 3 Ejemplos de redes de forma plana y no planas; los alambres que se cruzan sin que se señalen con un punto grueso no están en contacto físico entre sí. Es necesario mencionar que el análisis tipo malla se aplica a circuitos de forma no plana, pero como no es factible definir un conjunto completo de mallas únicas para este tipo de circuitos, no se pueden asignar corrientes de malla únicas. En la sección 3.1 se definieron los términos trayectoria, trayectoria cerrada y lazo. Antes de definir lo que es una malla, se debe considerar el conjunto de ra­ mas dibujadas con líneas gruesas de la figura 4.14. El primer conjunto de ramas no es una trayectoria, puesto que cuatro ramas están conectadas al nodo central, y, desde luego, tampoco constituyen un lazo. El segundo conjunto de ramas no representa una trayectoria, puesto que sólo se recorre pasando dos veces a través del nodo central. Las cuatro trayectorias restantes corresponden a lazos. El cir­ cuito contiene 11 ramas. La malla es una propiedad de un circuito de forma plana y no se define para un circuito de forma no plana, sino como un lazo que no contiene ningún otro lazo dentro de él. Así, los lazos indicados en la figura 4 .14c y d no son mallas, en tanto que de las partes e y / s í lo son. Una vez que se ha dibujado un circuito de manera clara en forma plana, a menudo tiene la apariencia de una ventana con hojas de vidrio múltiples; puede considerarse que la frontera de cada vidrio de la ventana es una malla. Si una red es de forma plana, el análisis de malla se utiliza para llevar a cabo su estudio. Esta técnica implica el concepto de corriente de malla, que presen­ tamos al considerar el análisis del circuito de dos mallas de la figura 4.15a. Del mismo modo que se procedió en el caso del circuito de un solo lazo, se definirá una corriente a través de una de las ramas. Vamos a denominar i\ a la corriente que circula hacia la derecha a través de la resistencia de 6 Í2. Se apli­ cará la LVK alrededor de cada una de las dos mallas, y las dos ecuaciones resul­ tantes son suficientes para determinar las dos corrientes desconocidas. Después SECCIÓN 4.3 ANÁLISIS DE MALLA AA/V » ® ■ F IG U R A 4 .1 4 (a) El conjunto de ramas especificadas por líneas gruesas no es ni una trayectoria ni un lazo. (6) En este caso, el conjunto de ramas no es una trayectoria, ya que pueden recorrerse sólo al pasar dos veces por el nodo central, (c) Esta trayectoria es un lazo pero no una malla, puesto que encierra otros lazos, (d) La trayectoria es también un lazo pero no una malla, (e, f ) Cada una de estas trayectorias es un lazo y una malla. se define una segunda com ente ¿2 , que fluye hacia la derecha en la resistencia de 4 Q. También se podría denominar como ¿3 a la corriente que fluye hacia abajo por la rama central, pero resulta evidente, a partir de la LCK, que ¿3 puede ex­ presarse en términos de las dos com entes supuestas antes como (¿1 — ¿2 ). Las corrientes supuestas se muestran en la figura 4.15¿>. Siguiendo el método de solución para el circuito de un lazo, .se aplica ahora la LVK a la malla del lado izquierdo, -----W \ r 6LS 42 V O 3 0 -W v — 40 - O 10 v (• —42 + 6z'i + 3(¿i — ¿2) — 0 [25] 9¿i — 3 ¿2 = 42 10 V 42 V Aplicando la LVK en la malla del lado derecho, —3(¿i — ¿2 ) + 4¿2 — 10 = 0 —3i’i + 7 ¿2 = 10 (* [26] Las ecuaciones [25] y [26] son independientes; no es posible deducir una a partir de la otra. Hay dos ecuaciones y dos incógnitas, y la solución se obtiene sin ninguna dificultad: il = 6 A i2 = 4 A (¿1 - h) = 2 A Si el circuito contiene M mallas, entonces se espera tener M com entes de malla y, por lo tanto, se requerirá escribir M ecuaciones independientes. A continuación se considerará este mismo problema de una manera un poco diferente, mediante el uso de com entes de malla. Se define una corriente de m a­ lla como aquella que fluye sólo alrededor del perímetro de una malla. Una de las grandes ventajas en el empleo de las com entes de malla es el hecho de que la ley de Kirchhoff de com ente se satisface de manera automática. Si una com ente de malla fluye hacia un nodo determinado, también fluye fuera de él. I F IG U R A 4 .1 5 (o, b) Circuito simple para el que se requieren las corrientes. W )— AAA/-------------------------------• 6Ü 4Í1 ■ F IG U R A 4 .1 6 El mismo circuito que el de la figura 4.156, pero visto de una manera un poco diferente. A menudo se identifica una corriente de malla como una corriente de rama, al igual que /'i e ¡2 se identifi­ caron en este ejemplo. Sin embargo, lo anterior no siempre es cierto, pues al considerar una red cuadrada de nueve mallas, la corriente de la malla central no puede identificarse como la corriente de alguna rama. CAPÍTU LO 4 ANÁLISIS NODAL Y DE MALLA BÁSICOS Si se marca como la malla 1 a la del lado izquierdo del problema, es factible establecer una corriente de malla i\ que circula en la misma dirección que las manecillas de reloj alrededor de dicha malla. U na corriente de malla se indica por una flecha curva que casi se cierra sobre sí misma y se dibuja dentro de la malla apropiada, como en la figura 4.16. La corriente de malla h se establece en la malla restante, otra vez en la dirección de las manecillas de reloj. Si bien las direcciones son arbitrarias, siempre se deben elegir las corrientes de malla en el sentido de las manecillas del reloj debido a que, en tal caso, en las ecuaciones se produce una cierta simetría de minimización de errores. Ya no se cuenta con una corriente o una flecha de corriente que se muestre de manera directa sobre cada rama del circuito. La corriente a través de cualquier rama debe determinarse al considerar las corrientes de malla que fluyen en cada malla en la que aparece dicha rama. Esto no es difícil, debido a que ninguna rama puede aparecer en más de dos mallas. Por ejemplo, la resistencia 3 £2 aparece en ambas mallas, y la corriente que fluye hacia abajo a través de él es i\ — i 2 ■La resistencia 6 Q sólo aparece en la malla 1, y la corriente que fluye ha­ cia la derecha en esa ram a es igual a la corriente de malla i i . Para la malla de la izquierda, —42 + 6¿i + 3 (/1 — ¿2 ) = 0 mientras que para la malla derecha, 3(i2 — h ) + 4¿2 — 10 = 0 así que estas dos ecuaciones son equivalentes a las ecuaciones [25] y [26]. E J E M P L O 4.7 Determinar la potencia suministrada por la fuente de 2 V de la figura 4.17a. 4Ü 4 ÍÍ ^W V — VW iv 5V 5v (a) (b) ■ F IG U R A 4 .1 7 (o) Circuito de dos mallas que contiene tres fuentes. (b) Circuito marcado para e! análisis de mallas. Primero definimos dos corrientes de malla en el sentido de las manecillas del reloj en la figura 4.17b. Comenzando en la parte inferior izquierda de la malla 1, se escribe la ecuación LVK siguiente a medida que se procede por las ramas en el sentido de las manecillas del reloj: —5 — f- 4i 1 2(¿i — ¡2 ) —2 = 0 Se hace lo mismo en la malla 2, por lo cual se puede escribir + 2 + 2(í2 —1h ) + 5/2 + 1 = 0 SECCIÓN 4.3 ANÁLISIS DE MALLA # A /W Simplificando y agrupando términos, 6;'i — 2¿2 = 7 y —2¿i + 7¿2 = —3 43 2 Despejando, se obtiene i\ = — = 1.132 A e ¡ 2 = —— = —0.1053 A. La corriente que circula hacia afuera de la terminal de referencia positiva de la fuente de 2 V es i¡ — ¿2 - Por lo tanto, la fuente de 2 V suministra (2) (1.237) = 2.474 W. P R Á C T I C A ______________________________________________________ 4.6 Determinar i¡ e ¿2 14 a en el circuito de la figura 4.18. 10 a Respuesta: i 1 = +184.2 mA; —157.9 mA. Examinar en seguida el circuito de cinco nodos, siete ramas y tres mallas que se presenta en la figura 4.19. Es un problema un poco más complicado debido a la malla adicional. E J E M P L O 4.8 Recurrir al análisis de malla para determinar las tres corrientes de malla en el circuito de la figura 4.19. Las tres corrientes de malla requeridas se asignan como se indica en la figura 4.19 y se aplica de manera metódica la LVK en tomo a cada malla —7 + l ( ¿ i — ¿2 ) + I fe — ¿ 1) + 2 (1 3 — h ) — 6 + 6 + 2 (¿ i — ¡3 ) = 0 2(2 + 3 ( i 2 — ¡3 ) = 0 3 (¿3 — ¿2 ) + 1*3 = 0 Simplificando, 3¿i - ¿2 - 2¿3 = 1 —i\ -|- 6í*2 — 3 / 3 = 0 — 2 ¿x y resolviendo, se obtiene ¿1 — 3(2 + 6(3 = 6 = 3 A, ¿2 = 2 A e ¡'3 = 3 A. ■ F IG U R A 4 .1 9 Circuito de cinco nodos, siete ramas y tres mallas. 96 ------ V W CAPÍTULO 4 ANÁLISIS NODAL Y DE MALLA BÁSICOS p r á c t ' c a . _______ _________ ____________________________ 4.7 Determinar /[ e ^ en el circuito de la figura 4.20. 5 fi Respuesta: 2.220 A, 470.0 mA. Los ejemplos anteriores trataron, exclusivamente, acerca de circuitos ali­ mentados por fuentes de tensión independientes. Si se incluyera en el circuito una fuente de corriente, podría simplificar o complicar el análisis, como se estu­ dió en la sección 4.4. Como se analizó en el estudio de la técnica de análisis no­ dal, en general las fuentes dependientes requieren de una ecuación adicional además de las M ecuaciones de malla, a menos que la variable controladora sea una corriente de malla (o la suma de las corrientes de malla). En el ejemplo si­ guiente se explica este caso. E J E M P L O 4.9 Si, Determinar la corriente ij del circuito de la figura 4.2 la. ■H La corriente i\ es, en realidad, una corriente de malla, así más que redefinirla, se marca la corriente de malla que está más a la derecha, i\ y define una corriente de malla en el sentido de las manecillas delreloj, ¿2 para la malla de la izquierda, como se muestra en la figura 4.21b. Si se aplica LVK a la malla izquierda se tiene - 5 - 4h + 4 (Z2 - i,) + 4¿2 = 0 se [27] y para la malla de la derecha se obtiene, 4(¿! - ¿2) + 2h + 3 = 0 [28] Agrupando términos, estas ecuaciones pueden escribirse de manera más compacta como —8¿i -I- 8¿2 = 5 y ■ F IG U R A 4 .2 1 (o) Circuito de dos mallas que contiene una fuente dependiente. (b) Circuito marcado para el análisis de mallas. 6*i —4*2 = - 3 Despejando, ¿2 = 375 mA, así que i i = —250 mA. Puesto que la fuente dependiente de la figura 4.21 está controlada por la co­ rriente de malla (í'J, sólo dos ecuaciones — la [27] y la [28]— se requirieron en el análisis del circuito de dos mallas. En el ejemplo siguiente, se explora la situación que se presenta si la variable controladora no es una corriente de malla. SECCIÓN 4.3 ANÁLISIS DE MALLA AA/V * EJEMPLO 4.1 Determinar la corriente i\ del circuito de la figura 4.22a. (a) (b) ■ F IG U R A 4 .2 2 (o) Circuito con una fuente dependiente controlada por tensión. (6) Circuito marcado para el análisis de mallas. Con la finalidad de hacer una comparación con el ejemplo 4.9, se utilizan las mismas definiciones de corriente de malla, como se muestra en la figura 4.22b. En la malla de la izquierda, al aplicar LVK se obtiene —5 — 2vx + 4(¿2 — ¡i) 4- 4¡2 = 0 [29] y en la malla de la derecha se encuentra lo mismo que antes, 4 (i\ — io) + 2¿i + 3 = 0 [30] Puesto que la fuente dependiente está controlada por una tensión descono­ cida vx, se presentan dos ecuaciones con tres incógnitas. La solución a este dilema es simplemente construir una ecuación con vx en términos de las corrientes de malla, tales como E = 4(¿2 - i l) [31] Este sistema de ecuaciones se simplifica si se sustituye la ecuación [31] en la ecuación [29], lo que resulta en 4¿i = 5 Simplificando, se encuentra que i ¡ = 1.25 A. En este ejemplo en particu­ lar, la ecuación [30] no es necesaria a menos que se desee obtener un valor para (V P R Á C T IC A # _____________________________________________ 4.8 Determinar i\ en el circuito de la figura 4.23 si la cantidad controladora A es igual a: (a) H 2 , (b) 2vx . Respuesta: (a) L.35 A; (b) 546 mA. El procedimiento del análisis de malla puede resumirse en los siete pasos básicos descritos a continuación, que son válidos en cualquier circuito plano aunque la presencia de fuentes de com ente requerirá que se tomen precauciones. Dicha situación se estudia en la sección 4.4. 2(1 3 a 6V 98;------ v w -• CAPÍTULO 4 ANÁLISIS NODAL Y DE MALLA BÁSICOS Resumen del procedimiento básico de análisis de malla 1. Determinar si el circuito es planar (forma plana). Si no, lleve a cabo el análisis nodal. 2. Contar el número de mallas (M). Volver a dibujar el circuito si es necesario. 3. Marcar cada una de las corrientes de malla M. En general, definir todas las corrientes de m alla que circulan en el sentido de las manecillas del reloj facilita el análisis. 4. Escribir la ecuación LKT en cada malla. Iniciar con un nodo conve­ niente y proceder en la dirección de la corriente de malla. Poner espe­ cial atención a los signos Si una fuente de corriente se localiza en la periferia de una malla, no es necesaria la ecuación LVK y la com ente de malla se determina por inspección. 5. Expresar cualquier incógnita adicional como tensiones o corrientes que sean diferentes a las corrientes de malla en términos de las corrientes de malla apropiadas. Esta situación puede presentarse si, en el circuito, aparecen fuentes de com ente o fuentes dependientes. 6. Organizar las ecuaciones. Agrupar términos de acuerdo con las comentes de malla. 7. Resolver el sistema de ecuaciones para encontrar las corrientes de malla (se encontrarán M comentes). 4.4 • --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------SUPERMALLA --------¿Cómo se debe modificar este procedimiento directo cuando en la red hay una fuente de com ente? Desde la perspectiva del análisis nodal, se requiere percibir que hay dos métodos posibles. Primero, se podría asignar una tensión descono­ cida a la fuente de com ente, aplicar la LVK alrededor de cada malla como antes, y relacionar luego la fuente de com ente con las com entes de malla asignadas. Por lo general, éste es el método más difícil. Una mejor técnica se asemeja bastante al método del supemodo del análisis nodal. En este caso se forma un supemodo al encerrar por completo la fuente de tensión dentro del supemodo y al reducir en 1 el número de nodos de no referen­ cia de cada fuente de tensión. Así se crea un tipo de “supermalla” a partir de dos mallas que tienen una fuente de com ente como un elemento común: la fuente de com ente está en el interior de la supermalla. De ese modo se reduce en 1 el nú­ mero de mallas de cada fuente de com ente presente. Si la fuente de com ente se ubica en el perímetro del circuito, entonces se pasa por alto la malla simple en la cual se encuentra. Por lo tanto, la ley de Kirchhoff de tensión se aplica sólo en aquellas mallas o supermallas de la red reinterpretada. EJEMPLO 4.11 Utilizar la técnica del análisis de malla para evaluar las tres corrientes de malla de la figura 4.24a . Aquí se observa que una fuente de com ente independiente de 7 A está en la frontera común de las dos mallas. Las com entes de malla i¡, ¿2 e ij ya se han asignado; además la fuente de corriente crea una supermalla cuyo SECCIÓN 4.4 SUPERMALLA A /W - • " 99 interior es el de las mallas 1 y 3, como se ilustra en la figura 4.24b. Apli­ cando la LVK alrededor de este lazo, —7 + 1 (i i — ¿2) + 3 (1 3 — ¿2) + 1*3 = 0 o —4¿2 + 4¿3 = 7 ¿1 [32] y alrededor de la malla 2, 1(¿2 — ¿1 ) + 2¿2 + 3 (¡2 — ¿3 ) = 0 o — ¿1 + 6*2 — 3*3 = 0 [33] Por último, la corriente de la fuente independiente se relaciona con las corrientes de malla supuestas, ¿1 *2 -*3=7 [34] Al resolver las ecuaciones de la [32] a la [34], se encuentra que i\ = 9 A, = 2.5 A e ¿3 = 2 A. PRÁCTICA , ________________________________________ 4.9 Determinar la corriente i\ del circuito de la figura 4.25. I FIGURA 4.24 (a) Circuito de tres mallas con una fuente de corriente independiente. (b) Supermalla definida mediante línea de colores. Respuesta: —1.93 A. La presencia de una o más fuentes dependientes requiere tan sólo que cada una de tales cantidades de fuente y la variable de la que dependen se expresan en términos de las corrientes de malla asignadas. En la figura 4.26, por ejemplo, se observa que ambas fuentes de corriente, dependiente e independiente, se in­ cluyen en la red. Se verá cómo afecta su presencia el análisis del circuito y que en realidad lo simplifica. 10 v (T ) / ■ FIGURA 4.25 EJEMPLO 4.12 Utilizar el análisis de malla para evaluar las tres corrientes desconoci­ das en el circuito de la figura 4.26. Las fuentes de corriente aparecen en las mallas 1 y 3. En razón de que la fuente de 15 A se localiza en el perímetro del circuito, se elimina la malla 1 de la consideración; resulta claro que *1 = 15 A. Es posible darse cuenta de que debido a que se conoce una de las dos corrientes de malla que son relevantes a la fuente de corriente independiente, no hay necesidad de escribir una ecuación de supermalla alrededor de las mallas 1 y 3. En lugar de hacer eso, simplemente se relacionan *1 e ¿3 con la corriente de la fuente dependiente mediante LCK: I FIGURA 4.26 Circuito de tres mallas con una vx - = . 13- . 1! = fuente de comente dependiente y una independiente. 3(Í3 - ¿2 ) — — (Continúa en la siguiente página) A /W CAPÍTULO 4 ANÁLISIS NODAL Y DE MALLA BÁSICOS la cual puede escribirse en forma más compacta como, !. 2. ~ ~ l l + j ' 2 + 2*3 — 0 O 1. 2. - ¡ 2 + -* 3 = 15 [35] Con una ecuación y dos incógnitas, todo lo que resta es escribir una ecuación LVK alrededor de la malla 2, 1 (¿2 — ¿i) + 6*2 *3 2*2 - + 3(Í2 — *3 ) — 0 3*3 = 15 [36] Resolviendo las ecuaciones [35] y [36], se encuentra que = 17 A; por inspección, se determina que i\ = 15 A. P R Á C T IC A *2 = 11 A e ______________ ___ _____________________________________ 4.10 Utilizar el análisis de malla para determinar figura 4.27. en el circuito de la Respuesta: 104.2 V. Ahora se puede resumir el método general para escribir ecuaciones de malla, ya sea que haya fuentes dependientes o no, fuentes de tensión y/o fuentes de corriente, siempre y cuando el circuito pueda dibujarse como un circuito de forma plana: Resumen del procedimiento de análisis de la supermalla 1. Determ inar si el circuito es un circuito de forma plana. Si no, llevar a cabo el análisis nodal. 2. Contar el número de mallas (M). Volver a dibujar el circuito si es necesario. 3. Marcar cada una de las corrientes de las M mallas. En general, la definición de todas las corrientes de malla que circulen en el sentido de las manecillas del reloj da como resultado un análisis más simple. 4. Si el circuito contiene fuentes de corriente que están compartidas por dos mallas, formar una supermalla que encierre a ambas mallas. Un cuadro remarcado es de ayuda al escribir las ecuaciones LVK. 5. Escribir una ecuación LVK alrededor de cada malla/supermalla. Ini­ ciar en un nodo adecuado y proceder en la dirección de la corriente de malla. Poner especial atención a los signos Si una fuente de corriente SECCIÓN 4.5 COMPARACIÓN ENTRE EL ANÁLISIS NODAL Y EL DE MALLA se localiza en la periferia de una malla, no es necesaria ninguna ecuación LVK y la corriente de malla se determina por inspección. 6. Relacionar la corriente que circula desde cada fuente de corriente con las corrientes de las mallas. Esta tarea se lleva a cabo mediante la LCK; se necesita una de tales ecuaciones para cada supermalla que se defina. 7. Expresar cualquier otra incógnita como corrientes y tensiones, aparte de las corrientes de malla en términos de las corrientes de malla apropiadas. Esta situación se puede presentar si existen fuentes dependientes en nuestro circuito. 8 . 9. 4.5 Organizar las ecuaciones. Agrupar los términos de acuerdo con las tensiones nodales. Resolver el sistema de ecuaciones para encontrar las tensiones nodales (se encontrarán M tensiones). COMPARACIÓN ENTRE EL ANÁLISIS NOPAL______ * Y EL DE MALLA Ahora que se han examinado dos métodos muy diferentes para analizar cir­ cuitos, parece lógico preguntar si se logra alguna ventaja si se utiliza uno u otro. Si el circuito es de forma no plana, entonces no hay elección: sólo se podrá aplicar el análisis nodal. Sin embargo, siempre que se considere el anáfisis de un circuito de forma plana habrá situaciones en las que una técnica tiene una pequeña ventaja sobre la otra. Si se planea utilizar el anáfisis nodal, entonces un circuito con N nodos proporcionará a lo más N — 1 ecuaciones de la LCK. Cada supernodo definido reducirá de manera adicional en uno este número. Si el mismo circuito tiene M mallas distintas, entonces se obtendrá a lo más M ecuaciones por medio de la LVK; cada supermalla reducirá en uno este número. Con base en estos hechos, se debe elegir el método que producirá el número más pequeño de ecuaciones simultáneas. Si una o más fuentes dependientes se incluyen en el circuito, cada cantidad controladora puede tener efecto en la elección entre el análisis nodal o de mallas. Por ejemplo, una fuente de tensión dependiente controlada por una tensión nodal no requiere una ecuación adicional cuando se lleva a cabo el análisis nodal. De forma similar, una fuente de corriente dependiente controlada por una corriente de malla no requiere de una ecuación adicional cuando se lleva a cabo el anáfisis de malla. ¿ Qué hay acerca de la situación donde una fuente de tensión dependiente es controlada por una corriente? O de otra forma, ¿dónde es controlada por una tensión una fuente de corriente dependiente? Siempre que una cantidad contro­ ladora puede relacionarse fácilmente con las corrientes de malla, se puede esperar que el anáfisis de malla sea la opción más conveniente. De manera similar, si la cantidad controladora puede fácilmente relacionarse con las tensiones en los no­ dos, puede ser preferible el análisis nodal. Un punto final a este respecto es tener en mente la ubicación de la fuente: las fuentes de corriente que se ubican en la periferia de una malla, ya sean dependientes o independientes, se manipulan de una manera más fácil con el análisis de malla; las fuentes de tensión conectadas a la terminal de referencia se manejan más fácilmente mediante el anáfisis nodal. Si con cualquiera de los métodos se obtiene en esencia el mismo número de ecuaciones, quizás valga la pena considerar también las cantidades que se están bus­ cando. El análisisLnodal origina el cálculo directo de tensiones nodales, en tanto que el anáfisis de malla proporciona corrientes. Si, por ejemplo;í'se pide determinar ♦ ^VW # 102 A /W - • CAPÍTULO 4 ANÁLISIS NODAL Y DE MALLA BÁSICOS 8A 5 íl I F IG U R A 4 .2 8 Circuito de forma plana con cinco nodos y cuatro mallas. comentes a través de un conjunto de resistencias, después de efectuar el análisis nodal se debe recurrir aún a la ley de Ohm en cada resistencia para determinar la corriente. Como ejemplo, considerar el circuito de la figura 4.28. Se desea determinar la com ente ix . Se elige el nodo inferior como el de referencia y se observa que hay cuatro no­ dos de no referencia. Si bien esto significa que es posible escribir cuatro ecuaciones distintas, no hay necesidad de marcar el nodo entre la fuente de 100 V y la resisten­ cia de 8 £2 ya que resulta obvio que la tensión de nodo mide 100 V. En consecuen­ cia, se marcan las siguientes tensiones de nodo v\, y como en la figura 4.29. 8A ■ F IG U R A 4 .2 9 El circuito de la figura 4.28 con tensiones de nodo marcadas. Observai que se eligió un sistema de tierra física para designar la terminal de referencia. Se tienen las siguientes tres ecuaciones: V\ — 100 8 «i v\ — vi = 0 H— -— h 4 2 V2 ~ V\ V2 Vs — V i Vs V 2 — V$ ------------ ------- ------------ — 8 = 0 2 3 10 ^ ü r + y + s =° o o 0.875t'i —0.5 v2 = 12.5 —0.5vj — 0.9333D2'—O.lu-j = —O.lib + 0.3^3 = —8 [37] [38] [39] Resolviendo, se encuentra que v\ = 25.89 V y v 2 = 20.31 V. Se determina la com ente ix mediante la aplicación de la ley de Ohm: ix = Vl _ V2 = 2.79 A [40] En seguida, se considera eí mismo circuito mediante el análisis de malla. En la figura 4.30 se tienen cuatro mallas distintas, aunque es evidente que i4 — —8 A; por lo tanto, es necesario escribir tres ecuaciones distintas. SECCIÓN 4.6 ANÁLISIS DE CIRCUITOS ASISTIDO POR COMPUTADORA 8A e AA/V— ■ ■ io n 100 v ■ F IG U R A 4 .3 0 El circuito de la figura 4.28 con las corrientes de malla marcadas. Escribiendo una ecuación LKT para las mallas 1, 2 y 3: - 1 0 0 + 8*i + 4(*i - ¿2) = 0 4(í*2 — ? i) -I- 2 *2 4 * 3 (¿3 ¿2 ) — 3(í2 — * 3 ) o = 100 100 12*! - 4*2 0 o — 4*i9 í 2 — “ 1“ 10(*3 + 8 ) -h 5 í*3 = 0 O —3*2 = 18*3 3*3= 0 “ — [41] [42] [43] Al resolver, se encuentra que *2 (= ix ) = 2.79 A. Para este problema particu­ lar, el análisis de malla mostró ser más simple. No obstante, puesto que cualquier método es válido, si se resuelve el mismo problema de las dos formas también servirá como un medio para verificar las respuestas. 4.6 ANÁLISIS DE CIRCUITOS ASISTIDO -------• ----------------------------------------------------------------- POR COMPUTADORA Hemos visto que no es necesario tomar muchos componentes para crear un circui­ to de complejidad respetable. A medida que se examinen circuitos incluso más com­ plejos, se evidenciará de inmediato que es fácil cometer errores durante el aná­ lisis, y que la verificación de las soluciones de manera manual consume mucho tiempo. Un poderoso programa de computadora, conocido como PSpice, se suele utilizar para analizar rápidamente los circuitos, así que las herramientas de captura de esquemas casi siempre se integran con una tablilla de circuito impreso o una he­ rramienta de visualización de circuito integrado. Creado originalmente a principios de los años de 1970 en la Universidad de California en Berkeley, SPICE (Simulation Pmgram with Iníegrated Circuit Emphasis) es en la actualidad un estándar in­ dustrial. M icroSim Corporation introdujo PSpice en 1984, el cual por medio de interfaces, traza gráficas correspondientes en tomo al programa SPICE principal. Según sea el tipo de aplicación de circuitos que se considere, hay en la actualidad varias compañías que ofrecen diferentes versiones del paquete SPICE básico. Si bien el análisis asistido por computadora es un medio relativamente rápi­ do para determinar tensiones y corrientes en un circuito, se debe ser cuidadoso de no permitir que los paquetes de simulación reemplacen por completo el aná­ lisis tradicional con “papel y lápiz”. Existen varias razones que sostienen lo an­ terior. Primero, para diseñar se debe ser capaz de analizar. La excesiva confian­ za en las herramientas de cómputo puede inhibir el desarrollo de las capacidades analíticas necesarias, tal como sucedió con la introducción muy temprana de las calculadoras en la escuela elemental. Segundo, es casi imposible utilizar un pro­ grama complicado durante un largo tiempo sin cometer algún tipo de error en la entrada de datos. Si no se cuenta con una intuición básica en cuanto al tipo de respuesta que se debe esperar de una simulación, no hay forma de determinar si es o no válida. Por consiguiente, el nombre genérico en realidad es una descrip­ ción bastante precisa: análisis asistido por computadora. Los cerebros humanos no son obsoletos. No todavía, como quiera que sea. * AA/V 104 -a a a ^- - • CAPÍTULO 4 ANÁLISIS NODAL Y DE MALLA BÁSICOS ■ Macro PSptce tecesssies QWans WmJow Hefc ¡scwE»«»nc»^.<_M 14J ______ f ;:;: t 3ÍBj»!^í v ; . 11 i Iwj |_________________ __________________ __________ '&aMed»pfcT»^t»Mpcri(qjewcnw>wr. ¡SCKEMAIICI-Figm 4_31 ' '_*] f a j s i ^ j ^ j -3nr .¿ I Ihi JÜídy :Scífc-200% X-4.00 Y-0.5C (c) ■ F IG U R A 4 .3 1 (o) Circuito de la figura 4,15o dibujado mediante el software de captura de esquemas Oread. ( b) Botones de despliegue de comente, tensión y potencia, (c) Circuito después de ejecutarse la simulación, con el despliegue de corriente habilitado. A manera de ejemplo, considere el circuito de la figura 4.15/a que incluye dos fuentes de tensión de cd y tres resistencias. Se desea simular este circuito mediante PSpice, de modo que sea posible determinar las corrientes i\ e ¿2 . La fi­ gura 4.31a muestra el circuito en la forma que se dibuja mediante un programa de captura de esquemas.1 Con la finalidad de determinar las corrientes de malla, sólo se necesita correr una simulación para encontrar el punto de polarización. Al estar en PSpice. (1) Consultar el apéndice 4 para obtener un breve tutorial sobre PSpice y la captura de diagramas esquemáticos. SECCIÓN 4.6 ANÁLISIS DE CIRCUITOS ASISTIDO POR COMPU lADORA seleccionar New Simulation Profile. Teclee Primer Ejemplo (o cualquier nombre de su preferencia) y hacer click en Create. En el m enú A nalvsis Tvpe selec­ cionar Bias Point. después hacer click en O K . Regresar a la ventana esque­ mática original y en PSpice seleccionar Run Jo utilizar alguno de los dos atajos: presionar la tecla F l l o hacer clic en el sím bolo azul “Play” ). Para ver las corrientes calculadas por PSpice, asegurarse de que el botón com ente esté selec­ cionado (figura 4 .3 1b). Los resultados de la simulación se muestran en la figura 4.31c. Se puede observar que las dos com entes i\ e ¡2 son 6 A y 4 A, respectiva­ mente, como se pudo ver con anterioridad. Como ejemplo adicional, considerar el circuito de la figura 4.32a. Contiene una fuente de tensión de cd, una fuente de com ente de cd y una fuente de co­ rriente controlada por tensión. El foco de atención se concentra en las tres ten­ siones nodales que, a partir del análisis nodal o de malla, se puede ver que son 82.91 V, 69.9 V y 59.9 V, respectivamente, a medida que la mirada se desplaza de izquierda a derecha en la parte superior del circuito. L a figura 4.32¿> muestra es­ te circuito, dibujado mediante una herramienta de captura de esquemas, después de haberse llevado a cabo la simulación. Las tres tensiones nodales se indican di­ rectamente en el esquema. Observar que al dibujar una fuente dependiente con la herramienta de captura de esquemas se deben enlazar de manera explícita dos terminales de la fuente con la tensión o la corriente de control. mI , ■ a»., T p w »A £ai vmw ntce cismont» Opwra ’ IndMs (b) ■ F IG U R A 4 .3 2 (o) Circuito con fuente de corriente dependiente, (b) Circuito dibujado con una herramienta de captura de esquemas, cuyos resultados de la simulación se presentan de manera directa sobre el esquema. ( APLICACIÓN PRÁCTICA ) Creación de diagramas PSpice con base en nodos El método más común para describir un circuito, en conjun­ ción con el análisis de circuitos asistido por computadora, es un tipo de programa gráfico para dibujo de esquemas, de cuya salida se muestra un ejemplo en la figura 4.32. Sin embargo, SPICE se escribió antes del advenimiento de es­ te tipo de programas, y como tal requiere que los circuitos se describan en un formato específico basado en texto. El formato tiene sus raíces en la sintaxis utilizada en las tape­ tas perforadas, lo cual le da una apariencia un poco distin­ ta. La base para describir circuitos es la definición de ele­ mentos, así que a cada terminal del mismo se le asigna un número de nodos. De esa manera, aunque se acaban de es­ tudiar dos métodos de análisis de circuitos generalizados diferentes — las técnicas nodal y de malla— resulta intere­ sante observar que SPICE y PSpice se elaboraron median­ te un método de análisis nodal muy bien definido. Aun cuando el análisis moderno de circuitos se hace en gran medida con un software interactivo orientado a gráficas, cuando se generan errores (casi siempre debi­ dos a equivocaciones en el dibujo del esquema o al ele­ gir una combinación de las opciones de análisis), la ca­ pacidad para leer la “plataforma de entrada” basada en textos generados por la herramienta de captura de esque­ mas resulta invaluable para el seguimiento del problema específico. La mejor forma de desarrollar una capacidad de este tipo consiste en aprender la manera de ejecutar PSPICE de manera directa, a partir de una plataforma de entrada escrita por el usuario. Considere, por ejemplo, la muestra de la plataforma de entrada siguiente (las líneas que empiezan con un as­ terisco son comentarios, y SPICE las pasa por alto). * E x a m p le i n p u t d e c k f o r a s im p le v o l t a g e d i v i d e r . .O P Se pide a SPICE que determine el punto de operación cd del circuito. R1 1 2 l k R2 2 0 l k V I 1 0 DC Se define R1 entre los nodos 1 y 2; tiene un valor de 1 kOhms. R2 se define entre los nodos 2 y 0; tiene un valor de 1 kOhms. VI se define entre los nodos 1 y 0; tiene un valor de 5 V cd. End o f in p u t d e c k . Se puede crear la plataforma de entrada con el pro­ grama Notepad de Windows o con su editor de textos fa­ vorito. Salvar el archivo bajo el nombre example.cir, in­ voca a PSpice A/D (vea el apéndice 4). En File, se selecciona Open, se ubica el directorio en el que se sal­ va el archivo example.cir y para Files of Type: se selec­ ciona Circuit Files (*.cir). Después de seleccionar el ar­ chivo y hacer clic en Open, aparece la ventana PSpice A/D con el archivo de circuito cargado (figura 4.33a). Una lista de red como ésta, que conticnc instrucciones de la simulación que se va a llevar a cabo, puede hacerse con el software de captura de esquemas o manualmente como en este ejemplo. Se ejecuta la simulación ya sea haciendo clic en el símbolo “play” en color azul en la parte superior derecha o seleccionando Run en Simulation. En la esquina infe­ rior izquierda de la ventana principal, una ventana de re­ sumen más pequeña informa que la simulación se ejecu­ tó con éxito (figura 4.33b). Para ver los resultados, se selecciona Output File del menú View en donde se verá: * * * * 0 2 / 1 8 / 0 4 0 9 : ? 3 : 5 7 * * * * * * * * * * * * * * P S p ic e L i t e (J a n 2 00 3 ) * * * * * * * ^ '( • k 'k 'k - k - k 'k 'k - k 'k - k * E x a m p le i n p u t d e c k f o r a s im p le v o l t a g e d i v i d e r . **** C IR C U IT D E S C R IP T IO N .O P R1 1 2 l k R2 2 0 l k V l 1 0 DC 5 * E nd o f in p u t d e c k . La plataforma de entrada se repite a la salida como referencia y para ayudarle en la verificación de errores. **** 02/18/04 09:53:57 ************** pspiee Lite (Jan 2003) ***************** * Example input deck for a simple voltage divider. TEMPERATURE = SMALL SIGNAL BIAS SOLUTION 27.00 0 DEG C * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * NODE NODE VOLTAGE 5.0000 VOLTAGE 2.5000 2) -2.500E-03 TOTAL POWER DISSIPATION 1.2 5E-02 ; example - PSpice A/D Oemo Re !£ * gdlt Vjew Sm Jaüon y # & VOLTAGE WATTS hay una visualización directa de la plataforma de entra­ da, más allá de lo que se escribe en papel. Sin embargo, la interpretación de la salida es bastante directa, así que vale la pena el esfuerzo de practicar la lectura de unos cuantos archivos de este tipo. Como se puede ver, el uso del método basado en tex­ tos para describir circuitos es un poco menos fácil para el usuario, en comparación con las herramientas de captura de esquemas. En particular, resulta muy fácil introducir errores simples (pero importantes) en una simulación si se numeran de manera equivocada los nodos, ya que no . NODE En el resumen de salida, se proporciona la tensión entre cada nodo y el nodo 0. La tensión de 5 V se encuentra conectada entre los no­ dos 1 y 0; asimismo, la resistencia R2, conectada entre los nodos 2 y 0, tiene una tensión de 2.5 V, como se esperaba. Observe también una rareza de SPICE: la comente proporcionada por la fuente se anota utilizando la convención de signos pasiva (es decir —2.5 mA). VOLTAGE SOURCE CURRENTS ÑAME CURRENT VI VOLTAGE NODE {example (active) ] Trace 0 o t Toote Window H d p g!g ■ ■ i—■ "1» Ex'ái^sle 'input deck* f o r ' ^ s i^ le 'v il c a g e " divi^tórT .OP R1 1 2 lk B2 2 0 lk VI 1 0 SC 5 * End of input deck:. (a) —............... Simulation Circuit File: exam ple ................. Simulation running... x Exam ple input de ck for a simple voltage divider. R e ading and checking circuit Circuit read in and c h ec k ed , no errors Calculating bias point Bias point calculated Simulation complete (b) ■ F IG U R A 4 .3 3 (o) Ventana A/D de PSpice con el archivo del circuito cargado. (b) Resumen de la actividad de simulación. A /W CAPÍTULO 4 ANÁLISIS NODAL Y DE MALLA BÁSICOS En este punto, el poder real del análisis asistido por computadora empieza a ser patente: una vez que se tiene el circuito dibujado en el programa de captura de esquemas, resulta fácil experimentar con sólo cambiar los valores de los compo­ nentes y observar el efecto sobre las corrientes y las tensiones. Para obtener un poco de experiencia a este respecto, tratar de simular cualquiera de los circuitos de los ejemplos previos y de los problemas de práctica. RESUMEN Y REPASO______________________________ □ Antes de iniciar un análisis, elaborar un diagrama de circuito claro y simple. Indicar todos los valores de los elementos y de las fuentes. □ Si el análisis nodal es el método elegido, □ Elegir uno de los nodos como el de referencia. Luego marcar las tensiones de nodo v¡, v 2 ........ v/v-u recordando que se entiende que cada uno se mide con respecto al nodo de referencia. □ Si el circuito contiene sólo fuentes de corriente, aplicar la LCK en cada nodo de referencia. □ Si el circuito consiste en fuentes de tensión, formar un supemodo alrededor de cada una y luego proceder a aplicar la LCK en todos los nodos de no referencia y los supemodos. □ Si se está pensando emplear el análisis de malla, cerciorarse primero de que la red es de forma plana. □ Asignar una corriente de malla en dirección de las manecillas del reloj en cada malla: i\, i2, ■■■, ím □ Si el circuito sólo contiene fuentes de tensión, aplicar la LVK alrededor de cada malla. □ Si contiene fuentes de com ente, crear una supermalla para cada una que sea común a dos mallas y aplicar después la LVK alrededor de cada malla y supermalla. □ Las fuentes dependientes sumarán una ecuación extra al análisis nodal si la variable de control es una corriente, pero no lo hará así si la variable de control es una tensión nodal. De manera contraria, una fuente dependiente agregará una ecuación extra al análisis de malla si la variable de control es una tensión, pero no lo hará así si la variable de control es una com ente de malla. □ Cuando deba decidir si se usa el análisis nodal o el de malla para un circuito plano, pensar que un circuito con menor número de nodos/supemodos dará lugar a menor número de ecuaciones mediante el análisis nodal. □ El análisis asistido por computadora resulta útil para verificar resultados y analizar circuitos con una gran cantidad de elementos. Sin embargo, debe recurrirse al sentido común para verificar los resultados de la simulación. LECTURAS ADICIONALES____________ ___________ ___ Un tratam iento detallado del análisis nodal y de malla puede encontrarse en: R.A. DeCarlo y P.M. Lin, Linear Circuit Analysis, 2a. edición. Nueva York: Oxford University Press, 2001. Una sólida guía para utilizar SPICE es P. Tuinenga, SPICE: A Guide to Circuit Simulation and Analysis Using PSPICE, 3a. ed. Upper Saddle River, N.J.: Prentice-Hall,1995. EJERCICIOS E JE R C IC IO S 4.1 A n álisis n o d a l I. (a) Determinar i>2 si 0.1 i>i —0.3i>2 —0.4i>3 = 0, —0.5i>i + 0.1i>2 : =4, y —0.2i>i —0.3u2 + 0.4u3 = 6. (b) Evaluar el determinante: 2 3 4 4 1 3 4 1 2 1 -2 3 1 2 3 0 2. (a) Encontrar vA, vn, y ve si vA + vfí + vc = 27, 2vB + 16 = vA - 3vc , y 4vc + 2va + 6 = 0. (b) Encontrar el determinante: 1 2 3 4 2 3 4 1 3. (a) Resolver el sistema de ecuaciones siguiente: 4 = vi/100 + (vi - u2)/20 + (t>! - V i)/50 10 - 4 - (-2 ) = (vx - HO/50+ (vx - v2)/40 - 2 = v2/25 + (u2 - vx)/40 + (i>2 - ui)/20 (b) Verifica tu solución usando MATLAB. 4. Determinar el valor de la tensión marcada como v¡ en la figura 4.34. 3A ■ F IG U R A 4 .3 4 5. Determinar el valor de la tensión marcada como v¡ en la figura 4.35. + i'\ ~ ■ F IG U R A 4 .3 5 6. En el circuito de la figura 4.36, determinar el valor de la tensión marcada como ui y la corriente marcada como i¡. mFIGURA 4.36 A /W wv CAPITULO 4 ANALISIS NODAL Y DE MALLA BÁSICOS 7. Recurrir al análisis nodal para determinar vp en el circuito de la figura 4.37. 10 A 20 ft 200 ft ■ F IG U R A 4 .3 7 8. Utilizar el análisis nodal para determinar vx en el circuito de la figura 4.38. 9. En el circuito de la figura 4.39, (a) utilizar el análisis nodal para determinar v¡ y v2. (b) Calcular la potencia absorbida por la resistencia de 6 £2. 10 A 60 V 10.Aplicar las técnicas del análisis nodal para obtener i>i e ¡2 en el circuito de la figura 4.40. 50 ft h 11.En el caso del circuito de la figura 4.41, utilizar el análisis nodal para determinar el valor de Vi que dará origen a vi = 0. 4A ■ FIGURA 4.41 6A EJERCICIOS 12. En el caso del circuito de la figura 4.42, utilizar el análisis nodal para determinar la corriente ¿5 . 13. Emplear el análisis nodal para obtener el valor relativo de vx como se indica en la figura 4.43. 5 mA ■ FIGURA 4.43 14. Determinar la tensión marcada como v en el circuito de la figura 4.44 utilizando técnicas del análisis nodal. 15. Determinar las tensiones nodales que se indican en el circuito de la figura 4.45. l>2 ■ FIGURA 4.45 V"¡ * WV AA/V CAPÍTULO 4 ANÁLISIS NODAL Y DE MALLA BÁSICOS 4 .2 S u p e rn o d o 16. Utilizar el análisis nodal para determinar v4 en el circuito que se muestra en la figura 4.46. 17. En el circuito de la figura 4.47, con la ayuda del análisis nodal, determinar (a) vA; (,b ) la potencia disipada por la resistencia de 2.5 £2. O-Sz'a 50 ü 18. Utilizar el análisis nodal para determinar v¡ y la potencia que suministra la fuente de corriente dependiente del circuito de la figura 4.48. 19. En la figura 4.49, utilizar el análisis nodal para determinar el valor de k que provocará que vy sea cero. ■ F IG U R A 4 .4 9 20. Considerar el circuito de la figura 4.50. Determinar la corriente marcada como i\. 21. Recurrir al concepto de supernodo para determinar la tensión marcada como t>2o en la figura 4.51. Los alambres cruzados que no se marcan mediante un punto grueso no están en contacto físico. 40 ü ■ FIGURA 4.51 EJERCICIOS • ------------------ W V --------- 113 22. Para el circuito de la figura 4.52, determinar las cuatro tensiones nodales. 10 a 1a I F IG U R A 4 .5 2 23. Calcular la potencia suministrada por la fuente de 2 A en el circuito de la figura 4.53. 24. Obtener la potencia suministrada por la fuente de 2 A en el circuito de la figura 4.54. ia 25. Determinar las tensiones nodales que caracterizan al circuito de la figura 4.55. 4 .3 A n álisis d e m a lla 26. Determinar las comentes de malla i\¡ é ¡2 que se muestran en el circuito de la figura 4.56. 400 a 200 a 27. Utilizar el análisis de malla en el circuito de la figura 4.57 para determinar (a) la corriente iy ; (b) la potencia suministrada por la fuente de 10 V. 28. Utilizar el análisis de malla para determinar la corriente que circula en el circuito de la figura 4.58 a través de (a) la resistencia de 2 £2 resistor; (b ) la resistencia de 5 £2. ■ F IG U R A 4 .5 3 114 -------- W V CAPITULO 4 ANÁLISIS NODAL Y DE MALLA BÁSICOS 29. Utilizar el análisis de malla en el circuito de la figura 4.59 para determinar (a) la corriente marcada como ix ; (b ) la potencia absorbida por la resistencia de 25 £2. 20 n 10Í1 10 n 30. Utilizar el análisis de malla para determinar la corriente marcada como i en el circuito de la figura 4.60. 31. Utilizar el análisis de malla para determinar ix en el circuito de la figura 4.61. 8A 32. Calcular la potencia que está disipando la resistencia de 2 £2 del circuito de la figura 4.62. 5n 33. Utilizar el análisis de malla en el circuito que se muestra en la figura 4.48 para determinar la potencia que suministra la fuente de tensión dependiente. 34. Aplicar el análisis de malla para determinar ix en el circuito de la figura 4.63. 20 n ■ FIGURA 4.63 25 ft ÜERC1CI0S 35. Determinar las corrientes de malla en la dirección de las manecillas del reloj para el circuito de la figura 4.64. 4.7 kft 36. Calcular cada corriente de malla en el circuito de la figura 4.65. 37. (a) Con referencia al circuito de la figura 4.66, determinar el valor deR si se sabe que la corriente de malla es i i = 1.5 mA. (b) ¿El valor de R es necesariamente único? Explique su respuesta. 38. Utilizar la técnica del análisis de malla en el circuito de la figura 4.67 para calcular la potencia que absorbe cada resistencia. 39. El circuito que se presenta en 1a. figura 4.68 es el equivalente de un amplificador transistorizado de unión bipolar de base común. La fuente de entrada se puso en ■ FIGURA 4.68 * AA/V 116 ;-- w CAPÍTULO 4 ANÁLISIS NODAL Y DE MALLA BÁSICOS r cortocircuito y una fuente de 1 V se sustituyó por el dispositivo de salida, (a) Utilizar el análisis de malla para determinar \x. (b) Verificar su solución correspondiente al inciso (a) mediante el análisis nodal, (c) ¿Cuál es el significado físico de la cantidad Vs/lxl 40. Eligir valores distintos de cero para las tres fuentes de tensión de la figura 4.69 de manera que ninguna corriente circule a través de ninguna resistencia del circuito. 4 .4 S u p e rm a lla 41. Utilizar el análisis de malla para determinar la potencia generada por cada una de las cinco fuentes de la figura 4.70. • F IG U R A 4 .6 9 1 ft 42. Determinar i a en el circuito de la figura 4.71. 43. Utilizar el concepto de supermalla para determinar la potencia suministrada por la fuente de 2.2 V de la figura 4.72. 3 ft 2 ft 3 ft 44. Calcular la tensión en la fuente de 2 mA de la figura 4.73, suponiendo que el nodo inferior está conectado a tierra. EJERCICIOS 45. Utilizar el análisis de malla para obtener la tensión en la resistencia de 2.5 £2 de la figura 4.74. 2.5 n 46. Calcular las corrientes de malla del circuito de la figura 4.75. 47. En el caso del circuito de la figura 4.76, determinar el valor del resistor X si ¿2 = 2.273 A. 2 fl X 48. Considerar el circuito de la figura 4.77. Calcular las tres corrientes de malla que se indican. 2 12 ■ FIGURA 4.77 300 m il * A /W 118 CAPÍTULO 4 ANÁLISIS NODAL Y DE MALLA BÁSICOS 4 .5 C o m p a ra ció n e n tre el a n ális is n o d a l y el d e m a lla 49. Determinar la tensión denominada vx en cada uno de los circuitos de la figura 4.78. 22 V 12 V (b) 100 V I F IG U R A 4 .7 8 50. Encontrar v3 del circuito de la figura 4.79 si el elemento A es (a) un cortocircuito; (b ) una fuente de tensión independiente de 9 V, con la referencia positiva a la izquierda; (c) una fuente de corriente dependiente, con la punta de la flecha hacia la izquierda y marcada como 5¡i. 51. Determinar las comentes i i e io del circuito de la figura 4.79 si el elemento A es una resistencia de 12 fi. Explicar la lógica que fundamenta su elección del análisis, ya sea nodal o de malla. 52. Obtener el valor de la corriente designada ¡io en el circuito de la figura 4.80. 2 kfi 53. Calcular las dos corrientes marcadas en el circuito de la figura 4.81. 54. En el caso del circuito de la figura 4.82, proporcionar la tensión del nodo central. 6.3 kfi 1.8 kfi i* FIGURA 4.81 1 FIGURA 4.82 1kfi EJERCICIOS A /V V 55. Determinar la comente a través de cada rama del circuito de la figura 4.83. 56. Calcular la tensión en la fuente de comente de 2 mA de la figura 4.1 3 kfl -A/W © Q 1 mA 4 k íl A V r I F IG U R A 4 .8 4 57. En el caso del circuito de la figura 4.85, sea A una fuente de tensión de 5 V con referencia positiva en la parte superior, B una fuente de corriente de 3 A con la flecha apuntando hacia la conexión a tierra, C una resistencia de 3 £2 a una fuente de corriente de D a una fuente de comente de 2 A con la flecha apuntando hacia la conexión a tierra, F una fuente de tensión de 1 V con referencia negativa a la derecha y E una resistencia de 4 £2. Calcular i¡. h ■ F IG U R A 4 .8 5 58. Elegir cualquier valor distinto de cero para ¡ L h y Vi de modo que la resistencia de 6 £2 en el circuito de la figura 4.86 disipe 6 W. 59. En el caso del circuito de la figura 4.84, sustituir la fuente de comente de 2 mApor una fuente de tensión de 2 V, y la fuente de 3 V por una fuente de corriente de 7 mA. Determinar las comentes de malla del nuevo circuito. 60. En el circuito de la figura 4.85, A es una fuente de corriente dependiente cuya flecha apunta hacia abajo y con valor de 5¡V Sean B y E resistencias de 2 £2 cada uno, C una fuente de corriente de 2 A cuya flecha apunta hacia la conexión a tierra, F una fuente de tensión de 2 V con la referencia negativa conectada a tierra, y D una fuente de corriente de 3 A con la flecha en la parte superior; calcular las tensiones nodales y las comentes de malla. 6 fl AA/V CAPÍTULO 4 ANÁLISIS NODAL Y DE MALLA BÁSICOS 4 .6 A nálisis d e circuitos a s is tid o p o r c o m p u ta d o ra 61. Utilizar PSpice para verificar la solución del ejercicio 52. Presentar la impresión de un diagrama marcado en forma apropiada. Incluir los cálculos manuales. H^J^—62. Utilizar PSpice para verificar la solución del ejercicio 54. Presentar la impresión de un esquema marcado en forma apropiada. Incluir los cálculos manuales. 63. Con PSpice verificar la solución del ejercicio 56. Presentar la impresión de un esquema marcado de manera apropiada. Incluir los cálculos manuales. ILyJj—64. Mediante PSpice comprobar la solución del ejercicio 58. Presentar la impresión de un esquema marcado de manera apropiada. Incluir los cálculos manuales. 65. Utilizar PSpice para obtener la solución del ejercicio 60. Presentar la impresión de un esquema marcado de manera apropiada. Incluir los cálculos manuales. 66. Construir un circuito compuesto por una fuente de 5 V en serie con una resistencia de 100 fi conectada a una red que incluye al menos una fuente de 3 A, tres resistencias diferentes y una fuente de corriente controlada por tensión que depende de la tensión en los extremos de la resistencia de 100 fi. (a) Determinar todas las tensiones de nodo y todas las corrientes de rama, (b) Utilizar PSpice para verificar sus resultados. 67. Construir un circuito mediante una batería de 10 V, una fuente de 3 A y tantas resistencias de 1 fi como sea necesario para obtener un potencial de 5 V en los extremos de una fuente de 3 A. Comprobar sus cálculos manuales con PSpice. Ilyifr—68. Elaborar una plataforma de entrada apropiada para SPICE a fin de determinar en el circuito de la figura 4.87. Presentar una impresión del archivo de salida, con la solución subrayada. jo £> O 11 n 69. Diseñar un circuito utilizando únicamente baterías de 9 V y resistencias que proporcionen tensiones nodales de 4 V, 3 V y 2 V. Escribir una plataforma de entrada apropiada para SPICE a fin de simular su solución y presentar una impresión del archivo de salida con las tensiones deseadas subrayadas. Dibujar un diagrama marcado sobre la impresión como referencia, con los números de nodo identificados. P ^ »-70. Una cadena muy larga de luces exteriores multicolores se instala sobre una casa. Después de aplicar la potencia, el propietario observa que se han quemado dos focos eléctricos, (a) ¿Las luces están conectadas en serie o en paralelo? (b) Elaborar una plataforma de entrada SPICE para simular las luces, suponiendo un alambre de calibre 20 AWG, 115 V ca del suministro de potencia y un valor nominal de los focos individuales de 1 W. Hay 400 luces en la cadena; por simplicidad simular un circuito eléctricamente equivalente con tan sólo 25 componentes. Presentar una impresión del archivo de salida, subrayando la potencia suministrada por la toma de corriente de pared, (c) Después de sustituir las focos fundidos, el propietario observa que las luces más cercanas a la toma de corriente son casi 10% más brillantes que las luces del otro extremo de la cadena. Dar una posible explicación, sin olvidar que ningún elemento de la cadena es de cero ohms. Técnicas útiles para el análisis de circuitos CONCEPTOS CLAVE INTRODUCCION Las técnicas de análisis nodal y de malla que se describieron en el capítulo 4 representan métodos muy confiables y extremadamente poderosos. Sin embargo, ambos requieren del desarrollo de un con­ junto completo de ecuaciones a fin de describir un circuito particu­ lar como regla general, aun cuando sólo sea de interés un valor de La superposición como un medio para determinarlas contribuciones individuales d r diferentes fuentes a cualquier corriente o tensión. ------------------------------------------- vestigación de las diferentes técnicas para aislar partes específicas La transformación de fuente como un medio para transformar circuitos. de un circuito a fin de simplificar el análisis. Después de examinar ------------------------------------------- corriente, de tensión o de potencia. En este capítulo se hace una in­ el uso de estas técnicas, el enfoque se concentrará en cómo selec­ El teorema de Thévenin. cionar un modelo sobre otro. ------------------------------------------ 5.1 ------------------------------------------- El teorema de Norton. LINEALIDAD Y SUPERPOSICION ------ • ---------------------------------------------------------------------------------Todos los circuitos que se planea analizar se pueden clasificar como circuitos lineales, así que es un buen momento para detallar más, al definir con exactitud lo que entendemos por eso. Luego de ello, se considera la consecuencia más importante de la linealidad, el prin­ cipio de superposición, el cual resulta fundamental y aparecerá de manera repetida en el estudio del análisis de circuitos lineales. En realidad, el hecho de no poder aplicar la superposición en los cir­ cuitos no lineales ¡es la principal razón de que sean tan difíciles de analizar! El principio de superposición establece que la respuesta (una corriente o tensión deseadas) en un circuito lineal que tiene más de una fuente independiente se obtiene mediante la suma de las respuestas oca­ sionadas por las fuentes independientes separadas que actúan solas. Redes equivalentes de Thévenin y de Norton. i--------------------- ----------Máxima transferencia de potencia. i-------------------------------Transformaciones A -o-Y en redes resistivas. i-------------------------------Selección de una combinación particular de técnicas de análisis. > -------------------------------Simulaciones de barrido de cd mediante PSpice. A A /v CAPÍTULO 5 TÉCNICAS UTILES PARA EL ANÁLISIS DE CIRCUITOS Elementos lineales y circuitos lineales Se definirá primero un elemento lineal como un elemento pasivo que tiene una relación lineal de tensión-corriente. Por “relación lineal de tensión-corriente” se entiende simplemente que al multiplicar la corriente que atraviesa el elemento por una constante K se tiene como resultado la multiplicación de la tensión en el elemento por la misma constante K. En este caso, sólo se ha definido un ele­ mento pasivo (la resistencia) y su relación de tensión-corriente v(t) = R i( t) es claramente lineal. En realidad, si v(t) se grafica como función de i (í), se ob­ tiene una recta. También se debe definir una fuente dependiente lineal como una fuente de corriente o tensión dependiente, cuya corriente o tensión de salida resulta propor­ cional sólo a la primera potencia de la variable de comente o tensión especificada en el circuito (o a la suma de tales cantidades). Por ejemplo, la fuente de tensión de­ pendiente vs = 0.6í i — \ 4-V2 es lineal, pero vs = 0 .6 i 2 y vs = 0 .6 i\v 2 no lo son. Ahora se podría definir un circuito lineal como el que está compuesto en forma completa por fuentes independientes, fuentes dependientes lineales y ele-l mentos lineales. A partir de esta definición, se dem uestra1 que “la respuesta es proporcional a la fuente”, o que la multiplicación de todas las tensiones y corrientes de fuente independiente por una constante K increm enta todas las respuestas de corriente y tensión por el mismo factor K (incluyendo las salidas de tensión y corriente de la fuente dependiente). 5 Í1 - ^ w v — El principio de superposición p 2 1 n : > í!< R c f. I F IG U R A 5.1 Circuito con dos fuentes de corriente independientes. < La consecuencia más importante de la linealidad es la superposición. Se desarro­ lla el principio de superposición considerando primero el circuito de la figura 5.1, que contiene dos fuentes independientes, los generadores de corriente que imponen las corrientes ia e i/, en el circuito. Por esta razón, las fuentes a menudo se denominan funciones forzadas y las tensiones nodales que producen se denom inanfunciones de respuesta o simplemente respuestas. Quizá tanto las funcio­ nes forzadas como las respuestas sean funciones del tiempo. Las dos ecuaciones nodales de este circuito son 0 .7 i> i — 0.2i>2 = í fl [1 ] —0 .2 v\ -f- 1 .2 t >2 = ib [2] Ahora se efectuará el experimento x. Se cambian las dos funciones forzadas a iax e ibx \ las dos tensiones desconocidas serán ahora diferentes, por lo que se denominarán vix y v2x • Por lo tanto, 0 . 2 v 2x = ¡ax [3 ] —0 . 2 vix + 1.2t>2X = ibx 0 .7 t> ix - [4] Enseguida se lleva a cabo el experimento y al cambiar las corrientes de fuente por iay e ifjy midiendo también las respuestas v ¡y y V2y : 0.7t> ij, —0 .2 t> i}, + 0 . 2 v 2y = iay [5 ] 1 . 2 t>2y [6 ] = iby (1) La demostración implicaría comprobar primero que el uso del análisis nodal en los circuitos lineales da como resultado sólo ecuaciones lineales de la forma a\ üi + Ü2V2 + • ■• + ó.nVn = b donde las a¡ son constantes (combinaciones de valores de resistencia o conductancia, constantes que aparecen en expresiones de fuentes dependientes, 0 o dbl), las v¡ son tensiones de nodos desconocidas (respuestas) y b es un valor de fuente independiente o una suma de valores de fuentes independientes. Dado un conjunto de este tipo de ecuaciones, si se multiplican todas las b por K, entonces resulta evidente que la solución de este nuevo con­ junto de ecuaciones serán las tensiones de nodo. K v \ , K v2, . . . , K v ^ . SECCIÓN 5.1 LINEALIDAD Y SUPERPOSICIÓN • ----------------------------- /V W --------------- { 123 Los tres conjuntos de ecuaciones describen el mismo circuito con tres con­ juntos diferentes de corrientes de fuente. Se van a sumar o “superponer” los dos últimos conjuntos de ecuaciones. Al sumar las ecuaciones [3] y [5]: (0.7 víx + 0.7vly) (0.2.V2x “1“ 0.2i'2v) — iax 0.21)9 0.7v¡ = [7] hjy ia [ 1] y al sumar las ecuaciones [4] y [6]: — ( Q . 2 v i x + 0 . 2 lJiy) + (í.2t>2x + —Q.2 vi + [8] l - 2 U2y ) = ibx + iby 1 .2i?2 —• ^b [ 2] donde la ecuación [1] se escribió de inmediato debajo de la ecuación [7], y la ecuación [2] debajo de la ecuación [8] para una fácil comparación. La linealidad de todas las ecuaciones permite comparar la ecuación [7] con la [1], y la ecuación [8] con la [2], además de extraer una conclusión interesante. Si elegimos iax e iay de m anera que su suma sea ia y elegimos i¡,x e i¡,y de modo que su suma corresponda a 4, entonces las respuestas deseadas y v2 se deter­ minan sumando v lx a v\y y V2X a V2y, respectivamente. En otras palabras, se tiene la posibilidad de efectuar el experimento x y observar las respuestas, hacer el experimento y y observar las respuestas, y finalmente sumar ambos conjuntos de respuestas. Esto conduce al concepto fundamental implicado en el principio de superposición: examinar cada fuente independiente (y la respuesta que genera), una a la vez, junto con las otras fuentes independientes “desactivadas” o “con salida cero”. Si se reduce una fuente de tensión a cero volts, se genera en verdad un corto­ circuito (fig. 5.2a). Si se reduce una fuente de comente a cero amper, se crea un cir­ cuito abierto (fig. 5.2b). De tal modo, el teorema de superposición expresa que: En cualquier red resistiva lineal, la tensión o la corriente a través de cualquier resis­ tencia o fuente se calcula mediante la suma algebraica de todas las tensiones o co­ rrientes individuales ocasionadas por fuentes independientes separadas que actúan solas, junto con todas las demás fuentes de tensión independientes sustituidas por cortocircuitos y todas las demás fuentes de corriente independientes, sustituidas por circuitos abiertos. Por lo tanto, si hay N fuentes independientes se deben efectuar N experi­ mentos, cada uno con sólo una de las fuentes independientes activas y las otras inactivas, desconectadas o con salida cero. Obsérvese que las fuentes depen­ dientes se encuentran en general activas en cada experimento. Sin embargo, el circuito que se utilizó como ejemplo indica que podría enun­ ciarse un teorema de mucho mayor alcance; pues un grupo de fuentes indepen­ dientes puede hacerse activo e inactivo de manera colectiva, si así se desea. Por ejemplo, supóngase que hay tres fuentes independientes. El teorema establece que se podría encontrar una respuesta dada al considerar que cada una de las tres fuentes actúa sola y después se suman los tres resultados. De manera alterna, se calcularía la respuesta debida a la primera y a la segunda fuente que operan con la tercera inactiva, y sumando luego a ésta la respuesta ocasionada por la tercera fuente actuando sola. Esto equivale a tratar varias fuentes de manera colectiva como una especie de “superfuente”. Tampoco hay razón para que una fuente independiente deba asumir sólo su valor dado o un valor cero en los diversos experimentos: sólo es necesario que la suma de los diversos valores sea igual al valor original. Sin embargo, una fuente inactiva casi siempre propicia que el circuito sea de lo más simple. OVÓ N inguna caída de tensión entre las terminales aunque puede fluir la com ente 4 ■fa) © 0 Al Ninguna com ente fluye, pero puede aparecer una tensión entre las terminales (b) l F IG U R A 5 .2 (o) Fuente de tensión igual a cero que actúa como un cortocircuito. (6) Fuente de corriente igual a cero que funciona como un circuito abierto. A A /V CAPÍTULO 5 TÉCNICAS ÚTILES PARA EL ANÁLISIS DE CIRCUITOS Se ilustrará la aplicación del principio de superposición mediante un ejemplo en el que están presentes ambos tipos de fuente independiente. EJEMPLO 5 .1 En el circuito de la tigura 5.3a, utilizar la superposición para escribir la expresión de la corriente de rama desconocida ix. 60 =2 A 60 ■ F IG U R A 5 .3 (o) Ejemplo de circuito con dos fuentes independientes para las cuales se desea la corriente de rama ¡¿ (b) el mismo circuito con la fuente de corriente en circuito abierto; (c) el circuito original con la fuente de tensión en cortocircuito. Primero se iguala a cero la fuente de corriente y se vuelve a dibujar el cir­ cuito, como se ilustra en la figura 5.3b. La parte de ix debida a la fuente de tensión se ha denominado i'x para evitar confusiones; además, se calcula sin ninguna dificultad su valor, que es de 0.2 A. A continuación se iguala a cero la fuente de tensión de la figura 5.3a y de nuevo se dibuja el circuito, como en la figura 5.3c. La aplicación rutinaria de la división de corriente permite determinar que i" (la parte de ix debida a la fuente de com ente de 2 A) es igual a 0.8 A. Ahora es factible calcular la com ente completa ix como la suma de las dos componentes individuales: ix = ix b v + ix b a = i'x + i'x 6+ 9 +2 (¿) 0 .2 + 0.8 = 1 .0A Otra manera de examinar este ejemplo es que la fuente de 3 V y la fuente de 2 A se encuentran cada una efectuando un trabajo sobre el circuito, lo cual origina una com ente total ix que fluye por la resistencia de 9 Í2. Sin embargo, la con­ tribución de la fuente de 3 V a ix no depende de la contribución de la fuente de 2 A, y viceversa. Por ejemplo, si se duplica la salida de la fuente de 2 A hasta 4 A, contribuirá ahora con 1.6 A a la com ente total ix que fluye por la resistencia de 9 Í2. Sin embargo, la fuente de 3 V seguirá contribuyendo con sólo 0.2 A a ix, para una nueva com ente total de 0.2 + 1.6 = 1.8 A. SECCIÓN 5.1 LINEALIDAD Y SUPERPOSICIÓN • ------------------------------ 'W V 0 P R A C T IC A 5.1 Aplicar el principio de superposición en el circuito de la figura 5.4 para calcular la corriente ix. 3.5 V 2A I F IG U R A 5 .4 Respuesta: 660 mA. Como se verá, por lo general, la superposición no reduce la carga de trabajo cuando se considera un circuito particular, puesto que implica el análisis de varios nuevos circuitos para obtener la respuesta deseada. Sin embargo, resulta muy útil para identificar la importancia de varias partes de un circuito más complejo. Tam­ bién constituye la base del análisis fasorial, el cual se presenta en el capítulo 10. E J E M P L O 5.2 Refiriéndose al circuito de la figura 5.5a, determinar la corrientep ositiva máxima a la cual la fuente /\ puede ajustarse, antes de que cualquier resistencia supere su valor nominal de potencia y se sobrecaliente. io o n AA/V— too ft 6V 64 ft ■ [ 164 fi (b) I F IG U R A 5 .5 (o) Circuito con dos resistencias con valor nominal de \ W rada uno. (6) Circuito con solamente la fuente de 6 V activa, (c) Circuito con la fuente /, activa. Identificar el objetivo del problema. Cada resistencia se especifica hasta un máximo de 250 mW. Si el circuito permite que se exceda este valor (al forzar demasiada corriente a través de cualquier resistencia), ocurrirá un calentamiento excesivo, lo que quizás provoque un accidente. L a fuente de 6 V no puede cambiarse, por lo que (Continúa en la siguiente página) I 1 2 6 ---------- WV CAPÍTULO t TÉCNICAS ÚTILES PARA EL ANÁLISIS DE CIRCUITOS se debe encontrar una ecuación que incluya a / , y a l a corriente máxima a través de cada resistencia. Recopilar la información conocida. Con base en su valor nominal de potencia de 250 mW, la com ente máxi­ ma que la resistencia de 100 ohms tolera es: y, de modo similar, la com ente que circula por el resistor de 64 £2 debe ser menor que 62.5 mA. Eligirla técnica disponible que mejor se ajuste al problema. Se aplica el análisis nodal o el de malla para la solución de este problema, aunque la superposición quizá dé una visión un poco diferente, puesto que se está interesado principalmente en el efecto de la fuente de comente. Construir un conjunto de ecuaciones apropiado. Mediante la superposición, se vuelve a dibujar el circuito como en la figura 5.5b y se puede ver que la fuente de 6 V aporta una com ente de: a la resistencia de 100 ohms y puesto que la resistencia de 64 ohms está en serie, i'Ma — 36.59 mA. Reconociendo al divisor de com ente de la figura 5.5c, se observa que (6 4 fi se o rnará a í 'Mq , pero /"00í2 tiene una dirección opuesta a z’J00í2. En consecuencia Ix 62.5 — 36.59 = 25.91 mA contribuye con seguridad hasta a la com ente de la resistencia de 64 Í2 y hasta 50 — (—36.59) = 86.59 mA a la com ente de la resistencia de 100 Í2. La resistencia de 100 Í2 impone la siguiente restricción sobre Ix : y la resistencia de 64 Í2 requiere que: Intentar resolver. Si se considera primero la resistencia de 100 Í2 se puede ver que Ix está limitada a Ix < 221.9 mA. La resistencia de 64 Í2 limita a Ix de manera que Ix < 42.49 mA. Verificar la solución. ¿Es razonable o esperada? Para satisfacer ambas restricciones Ix debe ser menor que 42.49 mA. Si se in­ crementa el valor, la resistencia de 64 Í2 se sobrecalentará mucho antes de que lo haga la resistencia de 100 Í2. Una manera en particular útil de evaluar la solución consiste en efectuar un anáfisis de barrido de cd en PSpice, como se describe en el ejemplo siguiente. Sin embargo, una cuestión interesante es si se habría esperado que la resistencia de 64 Í2 se sobrecalentara primero. Originalmente se encuentra que la resistencia de 100 Í2 tiene una corriente máxima más pequeña, por lo que podría ser razonable esperar que limitará a Ix. Sin embargo, debido a que Ix se opone a la comente enviada por la fuente de 6 V a través de la resistencia de 100 Í2, pero se suma a la contribución de la fuente de 6 V a la comente que circula por el resistor de 64 Í2 resulta que trabaja de otra forma: es la resistencia de 64 Í2 el que fija el límite sobre Ix. AA/V SECCIÓN 5.1 LINEALIDAD Y SUPERPOSICIÓN EJEMPLO 5.3 En el circuito de la figura 5.6a, aplicar el principio de la superposición para determinar el valor de ix. 1 fí 2.0 2 2 fí 1fí 2 fí — 10 v ( r ' 21* <y > ífí — V\Ar-T-^V\A/— 1 -r 1 + 1 J3 A ( t > - é (b ) (c) ■ F IG U R A 5 .6 (a) Ejemplo de un circuito con dos fuentes independientes y una dependiente, para la que se desea la corriente de rama ix. (6) Circuito con la fuente de 3 A en circuito abierto, (c) Circuito original con la fuente de 10 V en cortocircuito. Se pone primero en circuito abierto ia fuente de 3 A (fig. 5.6b). L a ecuación de una malla es - l 0 + 2 i'x + li'x + 2 i'x = 0 por lo que i'x = 2 A A continuación, se pone en cortocircuito la fuente de 10 V (fig. 5.6c) y se escribe la ecuación de un nodo: v v" - 2 i'¿ Y + i = 3 y se relaciona la cantidad controladora de la fuente dependiente para v": v" = 2 { - i ’’) Se encuentra: - 0 .6 A y, por lo tanto ix = i'x + i ’’ = 2 + ( - 0 .6 ) = 1.4 A Observar que al volver a dibujar cada subcircuito, siempre se ha tenido cuidado de usar algún tipo de notación para indicar que no se está traba­ jando con las variables originales. Esto evita la aparición de errores bastante desastrosos cuando se suman los resultados individuales. 15 fí ---------------- T— P R A C T IC A 5.2 Utilizar la superposición en el circuito de la figura 5.7 para obtener la tensión a través de cada fuente de corriente. ^ 2A ( Respuesta: U1I2A = 9.180 V, U2 I2A = —1.148 V, vila v = 1.967 V, U2 I3V = —0.246 V; «i = 11.147 V, i>2 = -1 .3 9 4 V. I FIGURA 5.7 W V — 7 fí T A /W CAPITULO 5 TÉCNICAS ÚTILES PARA EL ANÁLISIS DE CIRCUITOS Resumen del procedimiento básico de superposición 1. Seleccionar una de las fuentes independientes. Fijar el valor de las otras fuentes independientes a cero. Lo anterior significa que las fuentes de tensión se reemplazan con cortocircuitos y las fuentes de corriente con circuitos abiertos. Dejar intactas las fuentes dependientes. 2. Remarcar las tensiones y corrientes utilizando la notación ade­ cuada (es decir, v', i'f). Asegurarse de remarcar las variables de con­ trol de las fuentes dependientes para evitar confusión. 3. Analizar el circuito simplificado para encontrar las corrientes y/o las tensiones deseadas. 4. Repetir los pasos 1 a 3 hasta que cada fuente independiente haya sido considerada. 5. Agregar las corrientes y/o tensiones parciales obtenidas a partir del análisis por separado. Poner especial atención a los signos de las tensiones y direcciones de las corrientes cuando se sumen. 6. No agregar cantidades de potencia. Si se requieren cantidades que involucren potencias, calcular solamente después de que las tensiones parciales y/o corrientes hayan sido sumadas. Observar que el paso 1 puede modificarse en diferentes formas. Primero, las fuentes independientes pueden considerarse en grupos en lugar de hacerlo en forma individual si esto simplifica el análisis, siempre y cuando no se incluya ninguna fuente independiente en más de un subcircuito. Segundo, desde el punto de vista técnico no es necesario fijar las fuentes a un valor cero, aunque hacerlo casi siempre es la mejor opción. Por ejemplo, una fuente de 3 V puede aparecer en dos subcircuitos como una fuente de 1.5 V, puesto que 1.5 + 1.5 = 3 V de la misma forma que 0 + 3 = 3 V. Sin embargo, debido a que no es probable sim­ plificar el análisis, no tiene caso hacer ese ejercicio. ANÁLISIS ASIST IDO POR C O M P U T A D O R A Aunque PSpice es extremadamente útil para verificar que se analiza de manera correcta un circuito completo, también sirve de ayuda para determi­ nar la contribución de cada fuente a una respuesta particular. Para ello, se emplea lo que se conoce como un barrido de parámetros de cd. Considerar el circuito del ejemplo 5.2, cuando se le solicitó determinar la máxima corriente positiva que podría obtenerse de la fuente de corriente sin exceder el valor nominal de potencia de cualquier resistencia en el circuito. El circuito se presenta rediseñado en la figura 5.8, utilizando la herramienta de captura de esquemas de PSpice. Observar que no se asignó un valor a la fuente de corriente. Después de que se introdujo y se guardó el esquema, el siguiente paso es especificar los parámetros de barrido de cd. Esta opción permite especificar un intervalo de valores para una fuente de tensión o de corriente (en el caso presente, la fuente de corriente Ix), en lugar de un valor específico. Si se selecciona New Simulation Profile en PSpice, se proporciona un nombre para el perfil y se presenta la caja de diálogo que se muestra en la figura 5.9. SECCIÓN 5.1 LINEALIDAD Y SUPERPOSICIÓN j, Edt view Pita M#ac PSca Aeees»orw Ocrte» Wh&w Hep Jl^'B -» je!.. JSCHEM ATiñhgure5_8 T n >•jftj*». & V R1 DC=6V AC= TRAN= 0 5cste«-258% ' X=3>70 V FIG U R A 5 .8 Circuito dei ejemplo 5.2. Simulation Settings - Mgure 5_8 G e n ia l Ana^sia ¿Tfalysis type: ¡D C Sweep m jConfigutation Files j Opíions | Data Cdection ¡ Probé Wtndow j - Sweep variable----------»J Voltage source Ñame: ■>’ £urrent source Qptíons: | KJ Pnmary Sweep E JUSecondary Sweep □ M o n íe Cario/Wcrst Case □PararneMc Sweep pTe m pera ti.re |Sweep} í’JSave Bias Point . t i Load Bias Point Global parameter í"* Model pararoeíer r * Temperatura Sweep type Linear S ta t valué: End váiue: Logarithmie ] Incremenf: ^ ¡0.01 e-3 Valué li: I F IG U R A 5 .9 Ventana de diálogo del barrido cd que se muestra con la lx elegida como variable. En Analvsis Type, se accede a la opción DC Sweep y se especifica la “variable de barrido” como Current Source, y luego se teclea Ix en la caja de Ñame. Existen varias opciones bajo Sweep Type: Linear, Logarithmie y Valué List. La última opción permite especificar cada valor que se asig­ nará a Ix. Sin embargo, para generar una gráfica uniforme se elige efectuar un barrido Linear con un Start Valué de 0.01 mA, un End Valué de 50 m A y un Increment de 0.01 mA. Después de efectuar la simulación, el programa graficador de salida Probe se inicia de manera automática. Cuando aparece la ventana, se pre­ senta el eje horizontal (correspondiente a nuestra variable, Ix) pero debe es­ cogerse la variable del eje vertical. Al seleccionar Add Trace del menú Trace se hace clic en I(R1), luego se teclea un asterisco en la caja Trace (Continúa en la siguiente página) * ■WV --------- 129 CAPÍTULO 5 TÉCNICAS ÚTILES PARA EL ANÁLISIS DE CIRCUITOS ib) ■ F IG U R A 5 .1 0 (o) Salida de sondeo con leyendas que identifican la potencia absorbida en forma individual por las dos resistencias. También se incluyó una linea horizontal que indica 250 mW, así como leyenda para mejorar la claridad. (6) Ventana de diálogo Cursor. Expression se hace clic otra vez en I(R1) se inserta incluso otro asterisco, y por último se teclea 100. Esta rutina permite que Probe grafique la potencia que absorbe la resistencia de 100 Q. De manera similar, se repite el proceso para sumar la potencia absorbida por la resistencia de 64 Í2 lo que origina una gráfica similar a la ilustrada en la figura 5.10a. A la gráfica también se añadió una recta de referencia horizontal en 250 mW, tecleando 0.250 en la caja Trace Expression luego de elegir Add Trace del menú Trace por ter­ cera vez. Se puede ver en la gráfica que la resistencia de 64 Í2 supera su valor de po­ tencia nominal de 250 m W en la vecindad de Ix = 43 mA. Sin embargo, se observa que independientemente del valor de la fuente de corriente lx (siem­ pre y cuando se encuentre entre 0 y 50 mA), la resistencia de 100 £2 nunca disipará 250 mW; en realidad, la potencia absorbida disminuye con el au­ mento de corriente de la fuente de corriente. Si se desea una respuesta más precisa, sólo es necesario elegir la herramienta del cursor, la cual se invoca seleccionando Trace, Cursor y Display de la barra de menús. La figura 5 .10¿> muestra el resultado al arrastrar ambos cursores hacia 42.53 mA; la resistencia de 64 Q apenas ha superado su valor nominal en este nivel de corriente. Se obtiene una mayor precisión al reducir el valor de incremento empleado en el barrido de cd. Esta técnica resulta muy útil para analizar circuitos electrónicos, donde podría ser necesario determinar qué tensión de entrada se requiere para un circuito de amplificador complicado, a fin de obtener una tensión de salida cero. También se observa que hay varios tipos más de barridos de parámetros, incluyendo un barrido de tensión cd. La capacidad para variar la temperatura sólo es útil cuando se trabaja con modelos de componentes que tienen un parámetro de temperatura incorporado, como los diodos y los transistores. SECCIÓN 5.2 TRANSFORMACIONES DE FUENTE • ------------------------------ V W ----------------í 1 S I Desafortunadamente, resulta que casi siempre se ahorra poco tiempo, o nada, cuando se analiza un circuito que contiene una o más fuentes dependientes median­ te el uso del principio de superposición, ya que siempre debe haber al menos dos fuentes en operación: una fuente independiente y todas las fuentes dependientes. En todo momento se debe estar consciente de las limitantes de la superposi­ ción. Se aplica sólo para respuestas lineales, y en consecuencia la respuesta no lineal más común — la potencia— no está sujeta a la superposición. Por ejemplo, considerar dos haterías de 1 V en serie con una resistencia de 1 £2. La potencia que se entrega a la resistencia es evidentemente igual a 4 W, pero se trata de manera errónea de aplicar la superposición, se podría decir que cada batería provee 1 W, y por ello la potencia total sería 2 W. Lo anterior es incorrecto, pero es un error que se comete con una facilidad sorprendente. 5.2 • --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------TRANSFORMACIONES DE FUENTE — Fuentes de tensión prácticas Hasta ahora se ha trabajado sólo con fuentes ideales de tensión y de corriente; ahora es tiempo de acercarse más a la realidad y considerar fuentes prácticas, las cuales permitirán efectuar representaciones más exactas de los dispositivos físi­ cos. Una vez que se hayan definido las fuentes prácticas, se verá que las fuentes prácticas de corriente y tensión se podrían intercambiar sin afectar al resto del circuito. Tales fuentes se denominarán fuentes equivalentes. Los métodos resul­ tarán aplicables a las fuentes independientes y a las dependientes, si bien se en­ contrará que no son tan útiles con las fuentes dependientes. La fuente de tensión ideal se definió como un dispositivo cuya tensión termi­ nal es independiente de la corriente que circula por él. Una fuente de 1 V cd pro­ duce una corriente de 1A a través de una resistencia de l £2 así como una corriente de 1 000 000 A para una resistencia de 1 ¡i£2; ésta puede proporcionar una canti­ dad de potencia ilimitada. En la práctica, desde luego, no existe tal dispositivo, así que, como se acordó antes, una fuente de tensión física real podría represen­ tarse mediante una fuente de tensión ideal en la medida en que de ella se extra­ jeran corrientes, o potencias, relativamente pequeñas. Por ejemplo, se puede imitar una batería de automóvil mediante una fuente ideal de tensión de cd de 12 V si su com ente se limita a unos cuantos amperes (fig. 5.11a). Sin embargo, cualquiera que haya tratado de hacer arrancar un automóvil con las luces de los faros encendidas debe haber observado que se atenúan de manera perceptible cuando se requiere que la batería entregue la pesada corriente de arranque (100 A o más) además de la corriente de los faros. En estas condiciones, una fuente de tensión ideal no es en realidad una representación adecuada de la batería. Para reflejar mejor el comportamiento de un dispositivo real, la fuente de ten­ sión ideal debe modificarse para tomar en cuenta la reducción de su tensión de ter­ minal cuando se extraen de ella grandes corrientes. Suponer que se observa en forma experimental que la batería de automóvil tiene una tensión de terminal de 12 V cuando no fluye corriente a través de ella, y una tensión reducida de 11 V cuando circula una comente de 100 A. ¿Cómo se podría hacer un modelo de este comportamiento? Bien, un modelo más preciso podría ser una fuente de tensión ideal de 12 V en serie con una resistencia en cuyos extremos aparece 1 V cuando circulan 100 A a través de ella. Un cálculo rápido muestra que la resistencia debe ser de 1 V / 100 A = 0.01 £2, así que la fuente de tensión ideal y la resistencia en se­ rie constituyen una fu e n te de tensión práctica (fig. 5.11¿>). Por consiguiente, se está utilizando una combinación en serie de dos elementos de circuito ideales, una fuente de tensión independiente y una resistencia, para modelar un dispositivo real. 12 V (a) o.o i n 12 V ib) ■ F IG U R A 5 .1 1 (a) Fuente de tensión ideal de 12 V cd utilizada para hacer un modelo de una batería de automóvil. (b) Modelo más exacto que toma en cuenta la reducción observada en la tensión de terminal a corrientes elevadas. CAPITULO 5 TÉCNICAS ÚTILES PARA EL ANÁLISIS DE CIRCUITOS Desde luego que no se espera encontrar tal arreglo de elementos ideales den­ tro de la batería de automóvil. Cualquier dispositivo real se caracteriza por una cierta relación de corriente-tensión en sus terminales, de modo que el problema consiste en desarrollar alguna combinación de elementos ideales que pueda pro­ porcionar una característica de corriente-tensión similar, al menos en algún in­ tervalo útil de corriente, tensión o potencia. En la figura 5 .12a se exhibe el modelo práctico de dos piezas de la batería de automóvil conectada ahora a cierta resistencia de carga R L. La tensión de termi­ nal de la fuente práctica es la misma que la tensión en RL y se denomina2 VL. La figura 5.126 muestra una gráfica de la com ente de carga como una función de la tensión de carga para esta fuente práctica. La ecuación LVK para el circuito de la figura 5.12a se expresaría en términos de y como: 12 = 0.0J /,, + VL y por ello: VL = - 0 .0 1 I L + 12 Comente en la carga 1L (A) (b) ■ F IG U R A 5 .1 2 (a) Fuente práctica que se asemeja al comportamiento de cierta batería de automóvil de 12 V, se muestra conectada a determinada resistencia de carga Rl. (b) La relación entre k y Vl es lineal. (b) ■ F IG U R A 5 .1 3 (o) Fuente de tensión práctica general conectada a una resistencia de carga RL. (b) La tensión de terminal de una fuente de tensión práctica disminuye cuando k crece y Rl = vrfk disminuye. La tensión de terminal de una fuente de tensión ideal (también graficada) permanece igual para cualquier corriente suministrada a una carga. Es una ecuación lineal e n /¿ y V¿, así que la gráfica en la figura 5.126 es una línea recta. Cada punto sobre la línea corresponde a un valor diferente de RL. Por ejemplo, el punto medio de la línea recta se obtiene cuando la resistencia de carga es igual a la resistencia interna de la fuente práctica, o R l = 0.01 Í2. En este caso, la tensión de carga es exactamente la mitad de la tensión de la fuente ideal. Cuando R L — oo y la carga no jala ninguna com ente de ningún tipo, la fuente práctica se encuentra en circuito abierto y la tensión terminal, o la tensión en circuito abierto, es VLoc = 12 V. Si, por otra parte, R L = 0, con lo cual se pone en cortocircuito las terminales de carga, entonces circulará una com ente de carga o de cortocircuito /¿se = 1200 A. (En la práctica, un experimento de este tipo quizá ¡tendría como resultado la destrucción del cortocircuito, la batería y cualesquiera instrumentos de medición incorporados al circuito!) Puesto que la gráfica de V¿ en función de ¡i es una línea recta para tal fuente de tensión práctica, se observará que los valores de VLoc e ILsc se determinan sólo de la curva VL - I L completa. La línea punteada horizontal que muestra la figura 5.126 representa la gráfica V l — h de una fuente de tensión ideal, la tensión de terminal permanece constante para cualquier valor de la com ente de carga. En la fuente de tensión práctica, la tensión de terminal tiene un valor cercano al de la fuente ideal sólo cuando la com ente de carga es más o menos pequeña. Considerar nuevamente una fuente de tensión práctica general, como la de la figura 5.13a. La tensión de la fuente ideal es vs, y se pone en serie con ella una resistencia Rs, llamada resistencia interna o resistencia de salida. De nuevo, se debe notar que la resistencia no está en realidad presente como un componente separado, sino que sirve para tomar en cuenta una tensión de terminal que dis­ minuye cuando aumenta la com ente de carga. Su presencia permite hacer con mayor exactitud un modelo del comportamiento de una fuente de tensión física. La relación lineal entre e iL es vL = vs - RsiL [9] (2) De aquí en adelante se seguirá la convención estándar de referirse en forma estricta a las cantidades de cd me­ diante letras mayúsculas, en tanto que las letras minúsculas denotan una cantidad que se sabe que posee alguna componente variable en el tiempo. Sin embargo, al explicar teoremas generales que se aplican a cd o a ca, se con­ tinuará utilizando minúsculas para subrayar la naturaleza general del concepto. SECCIÓN 5,2 TRANSFORMACIONES DE FUENTE • ------------------------------ VA -— ( 133 y ésta se grafica en la figura 5.136. La tensión en circuito abierto (R l = oo, por lo que i i = 0 ) es VLoc = Vs [10] y la corriente en cortocircuito (R¿ = 0, por lo que v¿ = 0) es VL/ [11] ÍL s c = También en este caso, los valores son las ordenadas al origen de la recta en la figura 5.13& y sirven para definirla de forma completa. Fuentes de corriente prácticas Una fuente de corriente ideal tampoco existe en el mundo real; no hay disposi­ tivo físico que entregue una corriente constante, sin que importe la resistencia de carga a la que se conecta o la tensión entre sus terminales. Ciertos circuitos transistorizados entregarán una corriente constante a una amplia gama de resisten­ cias de carga, pero la resistencia de carga siempre se hace lo bastante grande para que la corriente que circula por ella se vuelva muy pequeña. La potencia in­ finita simplemente nunca está disponible (para mala fortuna). U na fuente de corriente práctica se define como una fuente de corriente ideal en paralelo con una resistencia interna Rp. Tal fuente se muestra en la figura 5.14a, donde se indican la corriente i¿ y la tensión 1 asociadas con una re­ sistencia de carga . La aplicación de la LCK produce: Vl íl = is -ir Rp k + 5 r p <l vl - («) k [12] que es otra vez una relación lineal. La tensión en circuito abierto y la corriente en cortocircuito están dadas por: VLoc ~ R ph [13] e (b) i m = z’í [14] La variación de la corriente de carga con la tensión de carga variable puede observarse al modificar el valor de RL como se ilustra en la figura 5.14/;. La recta recorre desde el extremo del cortocircuito, o “noroeste”, hasta la terminación en circuito abierto en el extremo “sureste”, al incrementar R l desde cero hasta un valor infinito de ohms. El punto medio ocurre en R L = Rp . Resulta evidente que la corriente de carga iL y la corriente de fuente ideal son casi iguales sólo para valores pequeños de la tensión de carga, los cualesse obtienen con los valores de R i que son pequeños en comparación con Rp. Fuentes prácticas equivalentes Una vez definidas ambas fuentes prácticas, se está listo para explicar su equiva­ lencia. Se dice que dos fuentes son equivalentes si producen valores idénticos de « ¿ e i ¿ cuando se conectan a valores idénticos de R L, sin que importe cuál sea el valor de RL. En vista de que R L = oo y R L -■- 0 son dos de esos valores, las fuentes equivalentes proporcionan la m isma tensión en circuito abierto y la misma corriente en cortocircuito. En otras palabras, si se dan dos fuentes equiva­ lentes, una fuente de tensión práctica y la otra de corriente práctica, cada una encerrada en una caja negra con sólo un par de terminales, entonces no hay ■ F IG U R A 5 .1 4 (fí¡ Fuente de corriente práctica general conectada a una resistencia de carga RL. (ib) La corriente de carga proporcionada por la fuente de corriente práctica se muestra como una función de la tensión de carga. 0 A A V ----------- • CAPÍTULO 5 TÉCNICAS ÚTILES PARA EL ANÁLISIS DE CIRCUITOS form a de saber cuál fuente está en cuál caja al medir la corriente o la tensión en una carga resistiva. Considerar la fuente de tensión práctica y la r e s i s t e n c i a d e la figura5.15a, así como el circuito compuesto por una fuente de corriente práctica y la resisten­ cia R l de la figura 5.15b. Un cálculo simple muestra que la tensión en la carga R l de la figura 5 .15a es igual a: vL = vs Rl [15] Rs + R l Un cálculo igual de simple señala que la tensión en la carga R l de la figura 5.15Z» corresponde a: vl = Rn Rp + R l ■R l Las dos fuentes prácticas son eléctricamente equivalentes, por lo que: I F IG U R A 5 .1 5 (o) Una fuente de tensión práctica conectada a una carga RL. (b) La fuente de corriente práctica equivalente conectada a la misma carga. F IG U R A 5 .1 6 (a) Una fuente de corriente práctica dada. (b) La fuente de tensión práctica equivalente. EJ EMP LO A Rs — Rp [16] vs — R„is — Rs^s [17] donde dejamos que ahora R s represente la resistencia interna de cualesquiera de las fuentes prácticas, lo cual es la notación convencional. Como ilustración del uso de estas ideas, considerar la fuente de corriente práctica que se exhibe en la figura 5.16a. Debido a que su resistencia interna es igual a 2 £2, la resistencia interna de la fuente de tensión práctica equivalente también es igual a 2 £2; la tensión de la fuente de tensión ideal contenida dentro de la fuente de tensión práctica es (2)(3) = 6 V. La fuente de tensión práctica equivalente se muestra en la figura 5 .16¿>. Para confirmar la equivalencia, considerar una resistencia de 4 £2 conectada a cada fuente. En ambos casos una corriente de 1 A, una tensión de 4 V y una po­ tencia de 4 W se asocian con la carga de 4 £2. Sin embargo, se debe observar con mucho cuidado que la fuente de corriente ideal entrega una potencia total de 12 W, mientras que la fuente de tensión ideal sólo suministra 6 W. Además, la re­ sistencia interna de la fuente de corriente práctica absorbe 8 W, en tanto que la resistencia interna de la fuente de tensión práctica absorbe sólo 2 W. En conse­ cuencia, se observa que las dos fuentes prácticas son equivalentes sólo con respecto a lo que sucede en las terminales de carga; ¡pero no son equivalentes in­ ternamente! 5.4 Calcular la corriente que circula por la resistencia de 4.7 k í l de la figura 5.17a después de transformar la fuente de 9 mA en una fuente de tensión equivalente. La fuente equivalente consiste en una fuente de tensión independiente de (9 mA) x (5 k£2) = 45 V en serie con una resistencia de 5 k£2 como se ve en la figura 5 M b . Una ecuación de la LVK simple alrededor del lazo da como resultado: - 45 + 5 0 0 0 / + 4 7 0 0 / + 3 0 0 0 / + 3 = 0 que puede resolverse con facilidad para encontrar la corriente / = 3.307 mA. SECCIÓN 5.2 TRANSFORMACIONES DE FUENTE 4.7 kíl 5 kíl 4.7 kíl 3 kíl 3 kÍ1 I F IG U R A 5 .1 7 (o) Circuito con fuente de tensión y con fuente de corriente. (b) Circuito después de que la fuente de 9 mA se transformó en una fuente de tensión equivalente. P R Á C T IC A _________________ ^: _________________________ 5.3 Calcular la com ente Ix que circula por la resistencia de 47 kí2 del circuito de la figura 5.18, luego de efectuar una transformación de fuente sobre la fuente de tensión. 5 kíl Respuesta: 192 ¡xA. EJEMPLO 5.5 Calcular la corriente que circula por la resistencia de 2 í l de la figura 5.19í3 mediante las transformaciones de fuente. Se comienza transformando cada fuente de corriente en una fuente de ten­ sión (fig. 5.196), donde la estrategia consiste en convertir el circuito en un lazo simple. Se debe tener cuidado de conservar la resistencia de 2 Q por dos razones: primero, la fuente dependiente que controla la variable aparece en sus ex­ tremos, y segundo, se desea que la com ente fluya a través de él. Sin embargo, se pueden combinar las resistencias de 17 Q y de 9 £2 puesto que aparecen en serie. También se observa que es posible combinar las resistencias de 3 y 4 Í2 para obtener una resistencia de 7 £2 la cual se emplea entonces para transfor­ mar la fuente de 15 V en una fuente de 15/7 A, como en la figura 5.19c. Como una simplificación final, observar que se pueden combinar las dos resistencias de 7 £2 en una resistencia de 3.5 £2 la cual tal vez se use para transformar la fuente de corriente de 15/7 A en una fuente de tensión de 7.5 V. El resultado da el circuito de lazo simple que se muestra en la figura 5.19c?. La com ente I se puede calcular ahora utilizando la LVK: - 7 .5 + 3 .5 / - 51V* + 2 8 / + 9 = 0 donde: Vx = 21 De tal modo: I = 2 1 .2 8 m A (Continua en la siguiente página) A A /v -• CAPÍTULO 5 TÉCNICAS ÚTILES PARA EL ANÁLISIS DE CIRCUITOS 17 ft 1A 9 V yv ■ F IG U R A 5 .1 9 (o) Circuito con dos fuentes de corriente independientes y una dependiente. (6) Circuito después de que cada fuente se transformó en una fuente de tensión, (c) Circuito después de combinaciones adicionales. (d) Circuito final. P R Á C T IC A ______________ ______________________________________ 5.4 En el circuito de la figura 5.20, determinar la tensión V en los extremos de la resistencia de 1 MÍ2 mediante transformaciones de fuente repetidas. 6 Mft 40 jj.K AA/W-0 75 *4 Mft I F IG U R A 5 .2 0 Respuesta: 2 7 .2 3 V . + v 3V 200 k f t SECCIÓN 5.2 TRANSFORMACIONES DE FUEN l'£ Unos cuantos comentarios finales El análisis sobre fuentes prácticas y transformaciones de fuentes concluye con unas cuantas observaciones específicas. Primero, cuando se transforma una fuente de tensión, es necesario asegurarse de que la fuente está, en realidad, en serie con la resistencia en consideración. Por ejemplo, en el circuito que se muestra en la figura 5.21, es perfectam ente válido realizar una transformación de fuente en la fuente de tensión, utilizando la resistencia de 10 £2 ya que están en serie. Sin embargo, sería incorrecto intentar una transformación de fuente utilizando la fuente de 60 V y la resistencia de 30 £2, lo cual es un tipo de error muy común. D e manera similar, cuando se transforma una combinación de fuente de corriente y resistencia, se debe asegurar que éstas se encuentran en paralelo. Con­ siderar la fuente de corriente que se muestra en la figura 5.22a. Se puede llevar a cabo una transformación de fuente que incluya a la resistencia de 3 £2 ya que se encuentran en paralelo, pero, después de la transformación, podría haber alguna ambigüedad en cuanto al lugar en dónde colocar la resistencia. En dichas cir­ cunstancias, es de mucha ayuda redibujar en primera instancia los componentes que se van a transformar, como se indica en la figura 5.22b. Después, la transfor­ mación en una fuente de tensión en serie con una resistencia se dibuja de manera correcta como se indica en la figura 5.22c; en realidad, la resistencia puede dibu­ jarse sobre o debajo de la fuente de tensión. Asimismo, vale la pena considerar el raro caso de mía fuente de corriente en serie con una resistencia y su dual, el caso de una fuente de tensión en paralelo ■ F IG U R A 5 .2 1 Ejemplo de circuito que ilustra cómo determinar si puede llevarse a cabo una transformación de fuente. 7 í) 71 5 7 n F IG U R A 5 .2 2 (a) Circuito con una fuente de corriente que se transformará en una fuente de tensión. (6) Circuito redibujado de tal forma que se evitan errores, (c) Combinación fuente/resistencia transformada. • " A /V V 137 CAPÍTULO 5 TÉCNICAS ÚTILES PARA EL ANÁLISIS DE CIRCUITOS con una resistencia. Se comienza con el circuito simple de la figura 5.23a, donde el interés es solamente en la tensión en la resistencia marcada como R 2- Se observa que sin considerar el valor de la resistencia R¡, Vr 2 = G R2. Aunque podríamos ser tentados a realizar una transformación fuente en forma inadecuada en dicho cir­ cuito, en realidad simplemente se puede eliminar la resistencia R\ (siempre y cuando no sea de interés). Una situación parecida surge con una fuente de tensión en paralelo con una resistencia, como se muestra en la figura 5.236. De nuevo, si so­ lamente se está interesado en alguna cantidad que involucre a la resistencia R2, es posible que se vea tentado a realizar algunas transformaciones extrañas (e incorrec­ tas) de fuente en la tensión de fuente y la resistencia R], En realidad, se puede eliminar la resistencia Ri del circuito en lo que respecta a la resistencia R 2 pues su presencia no altera la tensión, la com ente y la potencia disipada por la re­ sistencia R2. (a) (b) I F IG U R A 5 .2 3 (o) Circuito con una resistencia /?, en serie con una fuente de corriente. (b) Una tensión de fuente en paralelo con dos resistencias. Resumen de la transformación de fuente 1. Al usar las transformaciones de fuente, una meta común consiste en terminar con todas las fuentes de com ente o con todas las fuentes de tensión en el circuito final, siempre que sea posible. Esto es especial­ mente válido si con ello se hace más fácil el anáfisis nodal o de malla. 2. Las transformaciones de fuente repetidas se utilizan para simplificar un circuito permitiendo la combinación de resistencias y fuentes. 3. El valor de la resistencia no varía durante una transformación de fuente, pero no es la misma resistencia. Ello significa que las tensiones o comentes asociadas con la resistencia original se pierden sin poderse recuperar cuando se lleva a cabo una transformación de fuente. 4. Si la tensión o la corriente asociada con una resistencia particular se emplea como una variable de control para una fuente dependiente, o es la respuesta deseada de un circuito, la resistencia no debe in­ cluirse en las transformaciones de fuente. La resistencia original debe conservarse intacta en el circuito. 5. Si la tensión o la corriente asociada con un elemento en particular es de interés, ese elemento no debe incluirse en las transformaciones de fuente. El elemento original debe conservarse intacto en el circuito. 6. Al efectuar una transformación de fuente, debe recordarse que la punta de la flecha de la fuente de corriente corresponde a la terminal “+” de la fuente de tensión. 7. Una transformación de fuente en una fuente de corriente y una re­ sistencia requiere que los dos elementos estén en paralelo. 8. Una transformación de fuente en una fuente de tensión y una re­ sistencia requiere que los dos elementos estén en serie. SECCIÓN 5.3 CIRCUITOS EQUIVALENTES DE THÉVENIN Y NORTON * A /W 5.3 t CIRCUITOS EQUIVALENTES DE THÉVENIN Y NORTON Ahora que se han presentado las transformaciones de fuente y el principio de su­ perposición, se pueden explicar otras dos técnicas que simplificarán en gran m e­ dida el análisis de muchos circuitos lineales. El primero de estos teoremas recibe su nombre en honor a M. L. Thévenin, ingeniero francés quien trabajaba en telegrafía y que publicó el teorema en 1883; el segundo puede considerarse un corolario del primero y se acredita a E. L. Norton, científico de los Bell Telephone Laboratories. Suponga que se necesita efectuar sólo un análisis parcial de un circuito. Por ejemplo, quizá se requiera determinar la corriente, la tensión y la potencia que se entregan a una resistencia de “carga" por medio del resto del circuito, el cual quizá consiste en un número considerable de fuentes y resistencias (fig. 5.24a). O tal vez se desee determinar la respuesta para diferentes valores de la resisten­ cia de carga. El teorema de Thévenin dice que se puede sustituir todo, excepto la resistencia de carga, por una fuente de tensión independiente en serie con una re­ sistencia (fig. 5.24¿>); la respuesta m edida en la resistencia de carga per­ manecerá invariable. Mediante el teorema de Norton, se obtiene un equivalente compuesto por una fuente de corriente independiente en paralelo con una re­ sistencia (fig. 5.24c). (a) ( b) ( c) ■ F IG U R A 5 .2 4 (o) Red compleja que incluye una resistencia de carga Rl. (b) Red equivalente de Thévenin conectada a la resistencia de carga Rl. (c) Req equivalente de Norton conectada a la resistencia de carga Rl. En consecuencia, debe ser patente que una de las principales aplicaciones de los teoremas de Thévenin y de Norton es la sustitución de una gran parte de un circuito, a menudo una parte complicada y no interesante, por un equivalente muy simple. El nuevo circuito más simple permite efectuar cálculos rápidos de la tensión, la corriente y la potencia que el circuito original es capaz de entregar a una carga. También ayuda a elegir el mejor valor de esta resistencia de carga. En un amplificador de potencia de transistores, por ejemplo, el equivalente de Thévenin o Norton permite determinar la potencia máxima que se toma del am­ plificador y se entrega a los altavoces. EJEMPLO 5.6 C on sid erar el circuito de la fig u ra 5.25a. D eterm in ar el equivalente de Thévenin p a ra la red A y calcu lar la potencia en treg ad a a la resistencia de carga R l ■ Las regiones con líneas punteadas dividen el circuito en dos redes A y B: el principal interés está en la red B, la cual consta sólo de una resistencia de carga R l - Quizá se simplifique la red A mediante transformáciones de fuente repetidas. f Continúa en la siguiente página) CAPÍTULO 5 TÉCMICAS ÚTILES PARA EL ANÁLISIS DE CIRCUITOS (a) (b) -V A —7 Í1 Red A (c) (d) (e) H F IG U R A 5 .2 5 (o) Circuito dividido en dos redes. (b)-(d) Pasos intermedios para simplificar la red A (e) Circuito equivalente de Thévenin. Considerar primero la fuente de 12 V y la resistencia de 3 Q como una fuente de tensión práctica que se sustituye por una fuente de corriente prác­ tica compuesta por una fuente de 4 A en paralelo con 3 £2 (fig. 5.25b). Las resistencias en paralelo se combinan luego en 2 £2 (fig. 5.25c), y la fuente de corriente práctica que resulta se transforma de nuevo en una fuente de ten­ sión práctica (fig. 5.25d). El resultado final se presenta en la figura 5.25e. Vista desde la resistencia de carga R l , esta red A (el equivalente de Thévenin) es equivalente al circuito original; desde nuestro punto de vista, el circuito es mucho más simple, y ahora se calcula con facilidad la potencia que se entrega a la carga: k9 + R l Además, gracias al circuito equivalente, podemos ver que la tensión máxima que se obtiene en los extremos de R L es igual a 8 V y que corresponde a R l = oo. Una rápida transformación de la red A en una fuente de corriente práctica (el equivalente de Norton) indica que la comente máxima que se en­ trega a la carga es igual a 8/9 A, lo cual ocurre cuando R l — 0. Ninguno de estos hechos se aprecia con claridad y facilidad a partir del circuito original. P R Á C T IC A a ________________________ 5.5 Mediante transformaciones repetidas de fuente, determinar el equivalente de Norton de la red destacada en el circuito de la figura 5.26. Respuesta: 1 A, 5 Í2. SECCIÓN 5.3 CIRCUITOS EQUIVALENTES DE THÉVENIN Y NORTON • ------------------------------ W \r Teorema de Thévenin El empleo de la técnica de transformación de la fuente para encontrar una red equivalente de Thévenin y Norton dio buenos resultados en el ejemplo 5.6, pero puede ser poco práctica en situaciones donde se encuentren presentes fuentes dependientes o el circuito esté compuesto por un gran número de elementos. Una opción es emplear el teorema de Thevenin (o el teorema de Norton). Se enuncia el teorema como un procedimiento de alguna manera formal y, después, se procede a considerar diferentes formas para hacer que el método sea más práctico de acuerdo con la situación específica que se presente. Enunciado del Teorema de Thévenin3 1. Dado cualquier circuito lineal, arreglarlo nuevamente en la forma de dos redes A y B conectadas por dos alambres. A es la red que se simplificará; B se dejará intacta. 2. Desconectar la red B. Definir una tensión voc como la tensión que ahora aparece en las terminales de la red A. 3. Apagar o “asignar cero a” toda fuente independiente de la red A para formar una red inactiva. Dejar las fuentes dependientes intactas. 4. Conectar una fuente de tensión independiente con un valor de voc en serie con la red inactiva. N o terminar el circuito; dejar desconec­ tadas las dos terminales. 5. Conectar la red B a las terminales de la nueva red A. Todas las corrientes y tensiones de B permanecerán intactas. Observar que si cualquier red contiene una fuente dependiente, su variable de control debe estar en la misma red. Se verá si se puede aplicar con éxito el teorema de Thévenin al circuito que se considera en la figura 5.25. Ya se encontró el equivalente de Thévenin del circuito a la izquierda de R l en el ejemplo 5.6, pero se quiere ver si existe una manera más fácil de obtener el mismo resultado. ........... ........................ ...... ■■■ ---- ■— EJEMPLO Aplicar el teorem a de Thévenin a fin de d eterm inar el equivalente de Thévenin p a ra esa p arte del circuito de la figura 5.25a a la izquierda de RL. Para empezar, se debe desconectar R l , con lo cual se observa que no fluye corriente por la resistencia de 7 £2 en el circuito parcial resultante de la figura 5,27a. De tal modo, Voc aparece en los extremos de la resistencia de 6 Q (sin corriente a través de la resistencia de 7 Q no hay caída de tensión en él), y la división de la tensión permite determinar que: V^ I2 ( j h ) =S V (Continúa en la siguiente página) (3) Una prueba del teorema de Thévenin en la forma que se estableció es bastante larga, por lo tanto se incorporó en el apéndice 3, donde los interesados pueden examinarla a fondo. 5.7 A A yV CAPÍTULO 5 TÉCNICAS UTILES PARA EL ANÁLISIS DE CIRCUITOS 3 fi 7 O F IG U R A 5 .2 7 (o) Circuito de la figura 5.25o con la red B (la resisten­ cia Rí) desconectada y la tensión entre las terminales de conexión marcada como Vx . (b) La fuente independiente de la figura 5.25a se suprimió y se observan las terminales donde la red B se conectó para determinar la re­ sistencia efectiva de la red A Al suprimir la red A (es decir, al sustituir la fuente de 12 V por un corto­ circuito) se ve, al observar de nuevo la red muerta (desconectada), una re­ sistencia de 7 £2 conectada en serie con la combinación en paralelo de 6 y 3 £2 (fig. 5.27b). De tal modo, la red muerta puede representarse aquí mediante una re­ sistencia de 9 Q conocida como resistencia equivalente de Thévenin de la red A. Entonces, el equivalente de Thévenin es Voc en serie con una resisten­ cia de 9 £2 lo cual concuerda con el resultado anterior. 4 Í1 5 fi P R Á C T IC A ___________________________________________________________ 5.6 Aplicar el teorema de Thévenin para determinar la corriente que pasa por la resistencia de 2 £2 del circuito de la figura 5.28. (Sugerencia: designar a la resistencia de 2 £2 como B.) R e sp u e sta : Vj h = 2.571 V , R th = 7 .8 57 £2, h a = 2 60.8 m A . Unos cuantos puntos clave El circuito equivalente que se obtuvo resulta del todo independiente de la red B, debido a que se ha indicado eliminar primero la red B y luego medir la tensión en circuito abierto producida por la red A, una operación que en verdad no de­ pende de la red B de ninguna manera. La red B se menciona en el enunciado del teorema sólo para indicar que tal vez se obtenga un equivalente de A sin que im­ porte cuál sea el arreglo de elementos que esté conectado a la red A; la red B repre­ senta esta red general. Son varios los aspectos del teorema que merecen subrayarse. • La única restricción que debe imponerse sobre A o B es que todas las fuentes dependientes en A tengan sus variables de control en A, y de forma similar para B. • No se impusieron restricciones sobre la complejidad de A o B\ pueden con­ tener cualquier combinación de fuentes de tensión o corriente independientes, fuentes de tensión o corriente lineales dependientes, resistencias o cualesquiera otros elementos de circuito que sean lineales. • Se representa una red muerta (desconectada) A mediante una resistencia equivalente R t h , a la que se denominará resistencia equivalente de SECCIÓN 5.3 CIRCUITOS EQUIVALENTES DE THÉVENIN Y NORTON Thévenin. Lo anterior sigue siendo válido si existen o no fuentes dependientes en la red A, una idea que se analizará más adelante. • Un equivalente de Thévenin tiene dos componentes: una fuente de tensión en serie con una resistencia. Cualquiera puede ser cero, aunque no suele ser el caso. Teorema de Norton El teorema de Norton guarda una cercana semejanza con el teorema de Thákenin y se pudiera establecer como sigue: Enunciado del teorema de Norton 1. Dado cualquier circuito lineal, volver a ordenar en la forma de dos redes A y B conectadas por dos alambres. La red que se va a simpli­ ficar es A; B se dejará intacta. Como se hizo antes, si cualquiera de las redes contiene una fuente dependiente, su variable de control debe estar en la misma red. 2. Desconectar la red B, y poner en cortocircuito las terminales de A . Definir una corriente isc como la corriente que circula ahora a través de las terminales cortocircuitadas de la red A. 3. Apagar o “asignar cero a” todas las fuentes independientes de la red A para formar una red inactiva. Dejar las fuentes dependientes intactas. 4. Conectar una fuente de corriente independiente de valor isc en paralelo con la red inactiva. Dejar el circuito sin terminar; dejar desconectadas las dos terminales. 5. Conectar la red B a las terminales de la nueva red A. Todas las corrientes y tensiones en B permanecen intactas. El equivalente de Norton de una red lineal es la fuente de corriente de Nor­ ton /sc en paralelo con la resistencia de Thévenin R t i i - En consecuencia, se puede observar que, en realidad, se obtiene el equivalente de Norton de una red mediante una transformación de fuente sobre la equivalente de Thévenin. Lo an­ terior produce una relación dilecta entre voc, isc y R th Voc — R th Isc [18] En circuitos que contienen fuentes dependientes, a menudo se verá que es más conveniente determinar el equivalente de Thévenin o el de Norton al calcu­ lar la tensión en circuito abierto y la corriente en cortocircuito y al determinar luego el valor de R t i i como su cociente. Por lo tanto, resulta aconsejable vol­ verse adepto a determinar tanto tensiones en circuito abierto como corrientes en cortocircuito, incluso en los problemas simples que siguen. Si los equivalentes de Thévenin y de Norton se determinan de manera independiente, la ecuación [18] sirve como una comprobación útil. Considerar tres ejemplos diferentes para determinar el circuito equivalente de Thévenin o Norton. • A /Vv------ 144 --------- V W CAPÍTULO 5 TÉCNICAS ÚTILES PARA EL ANÁLISIS DE CIRCUITOS EJEMP LO 5.8 Encontrar los circuitos equivalentes de Thévenin y de Norton de la red que se encuentra frente a la resistencia de 1 k í i en la figura 5.29a. 2 kfl 3 kfl - A /W ------- o 3 k fl T2 •2 k ü r th (b) 1 k fl id) 2 k fl 3 kfl F IG U R A 5 .2 9 (a) Circuito en el que se identifica la resistencia de 1 kQ como la red B. (b) Red/1 con todas las fuentes independientes suprimidas, (c) Equivalente de Thévenin de la red A. (d) Equivalente de Norton de la red A (e) Circuito para determ¡nar/sc. De acuerdo con la forma en la que se plantea el enunciado del problema, se sabe que la red B es la resistencia de 1 kí2 y que la red A corresponde al resto del circuito. El circuito no contiene fuentes dependientes, así que la forma más sencilla de obtener el equivalente de Thévenin consiste en deter­ minar de manera directa R th para la red muerta (desconectada), a lo que seguirá un cálculo de o /sc. En primer lugar se debe determinar la tensión en circuito abierto; en este caso resulta fácil encontrarlo por superposición. Al funcionar sólo la fuente de 4 V, la tensión en circuito abierto es igual a 4 V; cuando sólo está acti­ vada la fuente de 2 mA, la tensión en circuito abierto es 2 mA x 2 k£2 = 4 V (no fluye corriente por la resistencia de 3 kQ si la resistencia de 1 kQ está desconectada). En el caso de que las dos fuentes independientes estén acti­ vadas, vemos que = 4 + 4 = 8 V. Enseguida se deben suprimir ambas fuentes independientes para determi­ nar el tipo de la red A muerta (inactiva). Con la fuente de 4 V en cortocir­ cuito y la de 2 mA en circuito abierto, como en la figura 5.29b, el resultado consiste en la combinación en serie de una resistencia de 2 kQ y una de 3 kQ o la resistencia equivalente de 5 kí2. Lo anterior determina el equivalente de Thévenin, que se muestra en la figura 5.29c, y a partir de él se obtiene con facilidad el equivalente de Nor­ ton de la figura 5.29d. Como comprobación, se debe determ inar / sc del SECCIÓN: 5.3 CIRCUITOS EQUIVALENTES DE THÉVENIN Y NORTON circuito dado (fig. 5.29e). En este caso se utiliza la superposición y una pe­ queña división de com ente: 4 /se = /se 14 V 4 ” ^sc I2 mA — 9 2 3 ( ^ ) ^ ^~ = 0 . 8 + 0.8 = 1.6 mA lo que completa la comprobación.4 PR >CTI<-' ■ ___________________ __________ 5.7 Determinar los equivalentes de Thévenin y de Norton del circuito de la figura 5.30. 2 k íl 1 k íl R e sp u e sta : - 7 . 8 5 7 V , - 3 . 2 3 5 m A , 2 .4 2 9 k Q . Cuando existen fuentes dependientes Técnicamente, no siempre debe haber una “red B” para que se pueda invocar el teorema de Thévenin o el de Norton; en lugar de eso, se puede pedir encontrar el equivalente de una red con dos terminales que no estén conectadas todavía con otra red. Sin embargot si existe una red B que no se quisiera que estuviera involucrada en este procedimiento de simplificación, se debe ser precavido si ésta contiene fuentes dependientes. En tales situaciones, la variable de control y el (los) elemento(s) asociados deben incluirse en la red B y ser excluidos de la red A. De otra forma, no habrá otra manera de analizar el circuito final ya que la cantidad controladora se perderá. Si la red A contiene una fuente dependiente, entonces de nuevo es necesario asegurarse de que la variable de control y su(s) elementos asociado(s) no pueden estar en la red B. Hasta el momento, sólo se han considerado circuitos con re­ sistencias y fuentes independientes. Aunque desde el punto de vista técnico es válido dejar intacta una fuente dependiente en la red “muerta” o “inactiva” cuando se realice un equivalente Thévenin o Norton, en la práctica esto no genera ningún tipo de simplificación. Lo que en realidad se desea es una fuente de ten­ sión independiente en serie con una sola resistencia o una fuente de com ente in­ dependiente en paralelo con una sola resistencia, en otras palabras, el equiva­ lente de dos componentes. En los ejemplos siguientes, se consideran varias formas para simplificar redes con fuentes dependientes y resistencias en una sola resistencia. (4) Nota: Si se utiliza una resistencia en kQ a 1q largo de la ecuación, y la tensión se expresa en volts, entonces la corriente estará siempre, de manera, automática en mA. 146 A /V V EJEMPLO 5.9 CAPITULO 5 TECNICAS UTILES PARA EL ANALISIS DE CIRCUITOS .. w ---D eterm in ar el equivalente de Thévenin del circuito de la figura 5.31a. A M r- (c) ■ F IG U R A 5 .31 (o) Red de la que se desea obtener el equivalente de Thévenin. (b) Una forma posible, aunque bastante inútil, del equivalente de Thévenin. (c) La mejor forma del equivalente de Thévenin de esta red resistiva lineal. Para obtener V0c se nota que vx — Voc y que la corriente de la fuente depen­ diente debe pasar por la resistencia de 2 kQ puesto que no fluye corriente por la resistencia de 3 kQ. Mediante la aplicación de la LVK alrededor del lazo exterior se tiene: - 4 + 2 x 103 ( - 4 ^ 0 ) + 3 x 103(0) + ux = 0 u, = 8 V = Voc Así, aplicando el teorema de Thévenin, el circuito equivalente podría for­ marse con la red A muerta (inactiva) en serie con la fuente de 8 V, como se ve en la figura 5.31¿>. Ello es correcto, pero no muy simple ni muy útil; en el caso de redes resistivas lineales, se debe mostrar en realidad un equivalente mucho más simple para la red A inactiva, a saber, R th ■ La presencia de la fuente dependiente evita determinar de manera directa R t h de la red inactiva, por medio de la combinación de resistencias; en conse­ cuencia se busca Isc. Luego de poner en cortocircuito las terminales de salida en la figura 5.31a, es claro que Vx = 0 y que la fuente de corriente dependiente está muerta (desconectada). Por consiguiente, / sc = 4 /(5 x 103) = 0.8 mA. De tal modo: D k th 100 v __ — _ 7SC — (0.8 x 10-3) = 10 ka y se obtiene el equivalente de Thévenin aceptable de la figura 5.31c. P R Á C T IC A ^ 0.01 [ FIGURA 5.32 5.8 Determinar el equivalente de Thévenin de la red de la figura 5.32. (Sugerencia: podría ser de ayuda efectuar una rápida transformación de fuente sobre la fuente dependiente.) Respuesta: —502.5 mV, —100.5 £2. SECCIÓN 5.3 CIRCUITOS EQUIVALENTES DE THÉVENIN Y NORTON # - A /W Como ejemplo final, se examinará una red que tenga uua fuente dependiente pero no una independiente. EJEMP LO 5.1 3 k D eterm inar el equivalente de Thévenin del circuito de la figura 5.33a. (Si) 0.6 O « (c) ■ F IG U R A 5 .3 3 (o) Red sin fuentes independientes. (b) Medición hipotética para obtener (c) Equivalente de Thévenin del circuito original. En razón de que las terminales ubicadas más a la derecha ya están en cir­ cuito abierto, entonces, i = 0. En consecuencia, la fuente dependiente está muerta, por lo que voc = 0. En seguida se determina el valor de R th representado por esta red de dos terminales. Sin embargo, no se puede obtener Dqc e ¿sc ni determinar su cociente, pues no hay fuente independiente en la red; así que tanto voc como ¿so valen cero. Por lo tanto, se debe recurrir a un pequeño truco. Se aplica de manera externa una fuente de l A, se mide la tensión tJprueba que resulta y se hace R th = Vueba/1 • Observando la figura 5.336, se ve que i = —1 A. Aplicando el análisis nodal: Aprueba ~ l-5( ~ 1) Aprueba _ ^ por lo que: Aprueba = 0 . 6 V así que: R t h = 0 . 6 £2 El equivalente de Thévenin se muestra en la figura 5.33c. Una recapitulación rápida de procedimientos Hasta ahora se han estudiado tres ejemplos en los que se determinó un circuito equivalente de Thévenin o de Norton. El primer ejemplo (fig. 5.29) sólo con­ tenía fuentes independientes y resistencias; además, se podían aplicar varios métodos diferentes. Uno implicaría calcular R Th de la red muerta y luego Voc de la red viva. También se podía haber calculado R th e / sc, o e Isc. 3 -f APLICACIÓN PRÁCTICA V El m u lt ím e t r o d ig ita l 1kü Uno de los aparatos más comunes que forma parte del equipo de prueba eléctrico es el multímetro digital, o MD (fig. 5.34), que se diseñó para medir valores de ten­ sión, corriente y resistencia. AA/V9v 1k fl. 4.500 VDC DMM V/O COM —o o I F IG U R A 5 .3 5 Multímetro digital conectado para medir tensión. conoce como terminal común— se designa típicamente por “COM”. La convención típica es utilizar el hilo en color rojo para la terminal de referencia positiva y el hilo en color negro para la terminal común. De acuerdo con el análisis de los equivalentes de Thévenin y de Norton, quizás ahora sea evidente para el lector que el multímetro digital tiene su propia resisten­ cia equivalente de Thévenin, la cual aparecerá en para­ lelo con nuestro circuito, así que su valor puede afectar la medición (fig. 5.36). El multímetro digital no suminis­ tra ninguna alimentación al circuito para medir la ten­ sión, por lo que su equivalente de Thévenin consiste sólo en una resistencia, que se llamará /? d m m - . F IG U R A 5 .3 4 Multímetro digital de mano. ■ F IG U R A 5 .3 6 Multímetro de la figura 5.35 que muestra Rom como su resistencia equivalente de Thévenin. Para medir tensiones, dos hilos de conducción del multímetro se conectan en los extremos del elemento de circuito apropiado (fig. 5.35). U na term inal de referencia positiva del multímetro suele marcarse “V/£2” y la terminal de referencia negativa — a menudo se le La resistencia de entrada de un buen multímetro dig­ ital es por lo común de 10 M£2 o más. La tensión m e­ dida V se localiza a nivel del equivalente de 1 k£2||10 M£2 = 999.9 £2. Mediante la división de tensión, sabemos En el segundo ejemplo (fig. 5.31) estaban presentes fuentes independientes y dependientes, y el método utilizado requirió determinar Voc e / sc. No se podía encontrar con facilidad R th para la red muerta (inactiva), debido a que no se podía hacer inactiva la fuente dependiente. El último ejemplo no contiene ninguna fuente independiente, y por lo tanto los equivalentes de Thévenin y de Norton no incluyen una fuente independiente. Se determina R th aplicando 1 A y encontrando vprueba = 1 x R jh - También se hubiese podido aplicar 1 V y determinar i = 1/ R t h - Estas dos técnicas rela­ cionadas se aplican a cualquier circuito con fuentes dependientes, siempre y cuando todas las fuentes independientes se igualen primero a cero. Existen otros dos métodos que tienen cierto encanto debido a que se emplean para cualquiera de los tres tipos de redes considerados. En el primero, se susti­ tuye simplemente la red B por una fuente de tensión vs, se define la corriente que sale de su terminal positiva como i, se analiza después la red A para obtener i y se expresa la ecuación en la forma vs = ai + b. Así, a = R Th y b = voc. que V = 4.4998 volts, que es un valor un poco menor que el esperado de 4.5 volts. En consecuencia, la resistencia de entrada finita del voltímetro introduce un pequeño error en el valor medido. Para medir corrientes, el multímetro digital debe po­ nerse en serie con un elemento de circuito, que por lo general requiere que se corte un alambre (fig. 5.37). Un hi­ lo de conexión del multímetro se conecta a la terminal a tierra del medidor y el otro se pone en un conector que ca­ si siempre se marca como “A” para indicar la medición de corriente. En este caso, también el multímetro digital no proporciona potencia al circuito para este tipo de medición. medida / vale 4.4998 mA, lo que es sólo un poco diferente del valor esperado de 4.5 mA. En función del número de dígitos que el medidor pueda exhibir, tal vez ni siquiera se advirtiera en la medición el efecto de una resistencia diferente de cero del multímetro digital. Es posible utilizar el mismo medidor para determinar la resistencia, siempre y cuando no haya fuentes inde­ pendientes activas durante la medición. De manera in­ terna, se hace pasar una corriente conocida a través de la resistencia que se mide, utilizándose la circuitería del voltímetro para medir la tensión resultante. Al sustituir el multímetro digital por su equivalente de Norton (que in­ cluye ahora una fuente de corriente independiente activa para generar la corriente predeterminada), se observa que 7?d m m aparece en paralelo con nuestra resistencia desconocida R (fig. 5.38). ■ F IG U R A 5 .3 7 Multímetro digital conectado para efectuar una medición 1 + > v <l rdmm ^ de corriente. Se puede observar a partir de esta figura que la re­ sistencia equivalente de Thévenin ( /? d m m ) del multímetro digital está en serie con el circuito, por lo que su valor afecta la medición. Al escribir una ecuación de la LVK simple alrededor del lazo: - 9 + 10 0 0 / + Rdm m I + 10 0 0 / = 0 Observar que como se ha reconfigurado el medidor para efectuar una medición de corriente, la resistencia equivalente de Thévenin no es la misma que en el caso en el cual el medidor se configura para m edir tensiones. En realidad, sería ideal que /?d m m fuera 0 fi idealmente en mediciones de corriente, e oo en mediciones de ten­ sión. Si Z?dmm corresponde a 0.1 fi, vemos que la corriente ■ F IG U R A 5 .3 8 MD en la configuración de medición de resistencia susti­ tuido por su equivalente de Norton, donde se muestra Rom en paralelo con la resistencia desconocida R que se va a medir. Como resultado, el multímetro digital mide en reali­ dad 7?|| Si /?DMM = 10 Mfi y R = 10 fi, /?medida = 9.99999 fi, la cual resulta bastante precisa para la mayoría de los fines. Sin embargo, si R = 10 M fi, /?med¡da = 5 M fi. La resistencia de entrada de un multímetro digital impone en consecuencia un límite superior práctico en los valores de resistencia que mide, así que se requiere utilizar técnicas especiales para medir resistencias más grandes. Se debe observar que si un multímetro digital se programa de tal forma que se conoce /?dmm> se pueden compensar y medir resistencias más grandes. También se podría aplicar una fuente de corriente is, designar a su tensión como v, y determinar entonces ¿s = cv — d , donde c = 1/ R th y d = isc (el signo menos se presenta al suponer que las flechas de ambas fuentes de corriente se diri­ gen hacia el mismo nodo). Los dos últimos procedimientos se aplican de manera universal, pero con frecuencia algún otro método resulta más fácil y más rápido. Si bien se está enfocando la atención casi por completo en el análisis de cir­ cuitos lineales, resulta bueno saber que los teoremas de Thévenin y de Norton son válidos aun si la red B es no lineal; solamente la red A debe ser lineal. P R Á C T IC A _____________________________________________________________ 5.9 Encontrar el equivalente de Thévenin de la red de la figura 5.39. (Sugerencia: inténtelo con una fuente de prueba de I V . ) ' ® F IG U R A 5 .3 9 Véase el problema de práctica 5.9. Respuesta: / pnleba = 5 0 raA p o r lo que R th = 20 Q. CAPITULO 5 TÉCNICAS ÚTILES PARA EL ANÁLISIS DE CIRCUITOS 5.4 TRANSFERENCIA DE POTENCIA M A XIM A ------ • -------------------------------------------------------------------------------------------------Un teorema de potencia muy útil puede formularse con referencia a una fuente de corriente o de tensión práctica. En el caso de la fuente de tensión práctica (fig. 5.40), la potencia que se entrega a la carga R L es pl ■ F IG U R A 5 .4 0 Una fuente de tensión práctica conectada a una resistencia de carga RL. = í- '2í ri .l, -= [i9] (Rs + R l )2 Para determinar el valor de R l que absorbe una potencia máxima de la fuente práctica dada, se diferencia con respecto a R l ' d p l d _ (R s + R l ) 2 v 2 - Rl v 2R l( 2 ) ( R s + R l) (R s + R l) 4 e igualando la derivada a cero, se obtiene: 2R l (R s + R l ) = (R s + R l )2 Rs = R l En razón de que los valores R l = 0 y R l = oo producen un mínimo ( pL = 0), y debido a que ya se desarrolló la equivalencia entre fuentes de ten­ sión y de corriente prácticas, se puede demostrar el siguiente teorema de transferencia de potencia máxima: Una fuente de tensión independiente en serie con una resistencia Rs, o una fuente de comente independiente en paralelo con una resistencia Rs, suministra una potencia máxima a esa resistencia de carga R l para la cual R l = RsTal vez el lector haya visto una form a alterna de considerar el teorem a de potencia m áxima en términos de la resistencia equivalente de Thévenin de una red: Una red suministra la potencia máxima a una resistencia de carga R l cuando R l es igual a la resistencia equivalente de Thévenin de la red. Así, el teorema de transferencia de potencia máxima indica que una resisten­ cia de 2 extrae la potencia más grande (4.5 W) de cualquier fuente práctica de la figura 5.16, en tanto que una resistencia de 0.01 recibe la potencia máxima (3.6 kW) en la figura 5.11. Existe una diferencia entre tomar la potencia máxima de una fuente y entre­ gar la potencia máxima a una carga. Si la carga se diseña de tal forma que la re­ sistencia de Thévenin sea igual a la resistencia de Thévenin de la red a la que está conectada, recibirá la potencia máxima de la red. Cualquier cambio de la resistencia de carga reducirá la potencia entregada a la carga. Sin embargo, considere el equivalente de Thévenin de la red en sí. Se toma la potencia máxima posible de la fuente de tensión tomando la corriente máxima posible, la cual se logra ¡poniendo en cortocircuito las terminales de la red! Sin embargo, en este ejemplo extremo se entrega cero potencia a la “carga” — un cortocircuito en este caso— ya que p = i 2 R , y se fija R — 0 haciendo un cortocircuito con las terminales de la red. Si se aplica un poco de álgebra a la ecuación [19] junto con el requisito de trans­ ferencia de potencia máxima que proporcionará la ecuación R L = R s = R th Pméx I entregado a la Caiga v;2 UT H 4R s 4R t h SECCIÓN 5.4 TRANSFERENCIA DE POTENCIA MÁXIMA W V 0 donde vTHy R t h recuerda que la fuente práctica de tensión de la figura 5.40 puede también verse como un equivalente de Thévenin de alguna fuente específica. Asimismo es muy común que el teorema de potencia máxima se malinterprete. Está diseñado para ayudar a seleccionar una carga óptima a fin de maximizar la absorción de potencia. Sin embargo, si la resistencia de carga ya se especificó, el teorema de potencia máxima no será de ninguna ayuda. Si por alguna razón se puede afectar el tamaño de la resistencia equivalente de Thévenin de la red co­ nectada a la carga, fijarla a un valor igual a la carga no garantizará la máxima transferencia de potencia a la carga predeterminada. Una consideración rápida de la potencia perdida en la resistencia de Thévenin aclarará este punto. E J E M P L O 5.11 El circuito que se m u estra en la figura 5.41 es u n m odelo del am plifi­ cad o r tran sisto rizad o de unión b ip o lar em isor com ún. Seleccionar una resistencia de carga de tal fo rm a que la potencia m áxim a se tran sfiera a él desde el am plificador y calcu lar la potencia real absorbida. 300 n ■ F IG U R A 5 .4 1 Modelo de pequeña señal del amplificador emisor común con la resistencia de carga no especificada. Puesto que se solicita determinar la resistencia de carga, es factible aplicar el teorema de máxima potencia. El prim er paso es encontrar el equivalente de Thévenin del resto del circuito. Primero se determina la resistencia equivalente de Thévenin, lo cual re­ quiere que se quite R l y que se ponga en cortocircuito la fuente independiente de la forma en que se muestra en la figura 5.42a. 3í >o n («) 300 íi ■ F IG U R A 5 .4 2 (a) Circuito con /?¿ quitada y fuente independiente puesta en cortocircuito. (6) Circuito para determinar V t h (Continúa en la siguiente página) AA/V ■# CAPÍTULO 5 TÉCNICAS ÚTILES PARA EL ANÁLISIS DE CIRCUITOS Debido a que vn — 0, la fuente de com ente dependiente es un circuito abierto, por lo que R TH = 1 kfi. Esto puede verificarse conectando una fuente de com ente independiente de 1 A a través de la resistencia de 1 kfi; v„ será igual a cero, por lo que la fuente dependiente permanece inactiva y de aquí que no contribuya en nada con R t h Con la finalidad de obtener la potencia máxima entregada a la carga, Rt debe fijarse a un valor R j h — 1 kfi. Para encontrar Vj h considerar el circuito que se muestra en la figura 5.426, que es la figura 5.41 con la resistencia R¡ removida. Se puede escribir Vqq = —0.031^(1000) = —30v„ donde la tensión vn puede encontrarse a partir de una simple división de tensión: / 3864 v„ = (2.5 x 10 sen440í) , 3 0 0 + 3 864, por lo que el equivalente de Thévenin es una tensión —69.6 sen 440f mV en serie con 1 kfi. La potencia máxima está dada por Pmáx ■ UTH AR th 1.211 sen2440í /zW P R A C T IC A 5.10 Considere el circuito de 20 V ■ la figura 5.43. 40 V F IG U R A 5 .4 3 (а) Si R sít\ — 3 kfi, encontrar la potencia entregada al circuito. (б) ¿Cuál es la potencia máxima que puede ser entregada a cualquier R sai? (c) ¿Qué par de valores diferentes de R síí\ entregai'án exactamente 20 m W a ellos? Respuesta: 230 mW; 306 mW; 59.2 kQ y 16.88 £2. 5.5 •-------------------------------------------------------------------------CONVERSIÓN DELTA-ESTRELLA — -----------------------------------------------------------Como ya se vio, la identificación de combinaciones en paralelo y en serie de re­ sistencias a menudo propicia una reducción importante de la complejidad de un circuito. En situaciones en las que no existen tales combinaciones, muchas veces se recurre a las transformaciones de fuente para posibilitar dichas simplifica­ ciones. Existe otra técnica útil, llamada conversión A -Y (delta-estrella) que surge de la teoría de redes. Considerar los circuitos de la figura 5.44. No hay combinaciones en serie o en paralelo que se puedan hacer para simplificar más alguno de los circuitos (note que 5.44a y 5.446 son idénticos, como lo son 5.44c y 5.44d), así que sin ninguna SECCIÓN 5.5 CONVERSIÓN DELTA-ESTRELLA • ------------------------------ VW --------- 153 —o b ■Od -o d 1 F IG U R A 5 . 4 4 (o) Red Fl con tres resistencias y tres conexiones únicas. red dibujada como una red Y. (b) Misma red dibujada como una red A. (c) Red T de tres resistencias. (d) Misma fuente presente, no se pueden realizar transformaciones de fuente. Sin embargo, es viable efectuar una conversión entre estos dos tipos de redes. Primero se definen dos tensiones uab y vcd, y tres corrientes /'i, ¿2 e i3 como se muestra en la figura 5.45. Si las dos redes son equivalentes, entonces las ten­ siones y las corrientes en las terminales deben ser iguales (no hay corriente ¿2 en la red conectada en T). Un conjunto de relaciones entre R.\, Rb, R c y ^ 1 . ^ 2 y R 3 puede ahora definirse simplemente realizando el análisis de malla. Por ejemplo, para la red de la figura 5.45a se puede escribir R.A i 1 — R a Í2 = vac —R aí 1 + ( R a + R b + R c ) h ~ R c h = —R c h + R ch RB (a) [20] [2 1 ] 0 ~ vhc [2 2 ] o---- v w - -V A — o y para la red de la figura 5.45¿ se tiene (i?l + i?3 ) í 1 —R3 Í3 —/?3 i 1 + (R 2 + R í ) h A continuación se quita ecuación [21]. lo que produce R a = Uac [23] = —i'bc [24] de las ecuaciones [20] y [22] utilizando la ¿2 R 2a Ra R c R a + R b + Re Ra + Rb + Re Ra R c Rl V Ra + Rb + R e marcada. [25] 13 = 13 — ^bc [26] Ra + Rb + R c y Comparando términos entre las ecuaciones [25] y [23], se puede observar que: r R 3 = R a a R + R b c + Rc De manera similar, se pueden encontrar expresiones de R \ y R 2 en términos de R a , R b y R c , así como expresiones de R Á , R b y R c *n términos de R \ , R j y i?3; se deja el resto de las deducciones como ejercicio para el lector. Por lo tanto, para convertir una red Y en una A, los nuevos valores de los resistencias se cal­ culan utilizando Ra = R \R z + R 2 R 3 + R 3 R 1 R2 R l R l + RlR? + Rb = r3 Rc = (b) I F IG U R A 5 .4 5 R] R 2 + R 2 R3 + R 3 R\ Ri (a) Red Fl marcada; (p) red T -A/VV CAPITULO 5 TECNICAS UTILES PARA EL ANALISIS DE CIRCUITOS y para convertir una red A a una red Y: Ri = Ra Rb Ra + Rb + Rc RbRc Ri = Ra + Rb + R C Ri = RcRa Ra + Rb + Rc La aplicación de las ecuaciones es directa, aunque la identificación de las re­ des reales en ocasiones requiere un poco de concentración. EJEMPLO 5.12 --------------------------------------------------------------------------------------- - _ ---------------------------j l t i l u a r la técnica de la conversión A-Y p a ra d e te rm in ar equivalente de Thévenin del circuito de la figura 5.46a. ------------ la resistencia Se puede observar que la red de la figura 5.46a está compuesta por dos redes conectadas en A que comparten la resistencia de 3 £2. Se debe tener cuidado en este punto y no ser demasiado ambiciosos al convertir ambas redes conectadas en A en dos redes conectadas en Y. La razón quizá sea más evidente después de que se convierta la red superior, consistente en las resistencias de 1, 4 y 3 £2 en una red conectada en Y (fig. 5.46¿>). Observar que al convertir la red superior en una red conectada en Y, se elimina la resistencia de 3 £2. En consecuencia, no hay manera de convertir la red original conectada en A compuesta por las resistencias de 2, 5 y 3 £2 en una red conectada en Y. Se procede a combinar las resistencias de | £2 y 2 £2 así como los de | £2 y 5 £2 (fig. 5.46c). Se tiene ahora una resistencia de y £2 en paralelo con uno de y £2; además de esta combinación en paralelo está en serie con la resistencia de j £2. De tal modo, se sustituye la red original de la figura 5.46a por una resistencia de £2 (fig. 5.46d). P R A C T IC A i ft 159 71 -íl. ft 5.11 Utilizar la técnica de conversión Y-A para determinar la resistencia equivalente de Thévenin del circuito de la figura 5.47. - ft T (c) id) I FIGURA 5.46 (a) Red resistiva dada cuya resistencia de entrada se desea. (b) La red A superior se sustituye por una red Y equivalente, (c, d ) Las combinaciones en serie y en paralelo producen un único valor de resistencia. i FIGURA 5.47 R e sp u e sta : 1 1 .43 £2. SECCIÓN 5.6 SELECCIÓN DE UN PROCEDIMIENTO: COMPARACIÓN DF DIVERSAS TÉCNICAS 5.6 SELECCIÓN DE UN PROCEDIMIENTO: * COMPARACIÓN DE DIVERSAS TÉCNICAS En el capítulo 3 se presentaron la ley de corriente de Kirchhoff (LCK) y la ley de voltaje (tensión) de Kirchhoff (LVK). Ambas se aplican a cualquier circuito con el que uno se encuentre, siempre que se tenga cuidado en considerar el sistema completo que los circuitos representan. La razón radica en que ambas leyes re­ fuerzan la conservación de la carga y de la energía, respectivamente, y ambas son principios muy importantes. Con base en la LCK se formuló el poderoso método del análisis nodal. Una técnica similar basada en la LVK (sólo aplicable desafortunadamente a circuitos planos) se conoce como análisis de malla y tam­ bién se usa como un método útil para analizar circuitos. Este texto, en su mayor parte, se interesa en el desarrollo de habilidades analíti­ cas que se puedan aplicar a circuitos lineales. Si se sabe que un circuito está cons­ truido sólo por componentes lineales (en otras palabras, todas las tensiones y corrientes se relacionan mediante funciones lineales), entonces a menudo se simpli­ fican los circuitos, antes de emplear el análisis de malla o el nodal. Quizás el resul­ tado más importante que surge al saber que se trabaja con un sistema por completo lineal es que se aplica el principio de superposición. Dado un determinado número de fuentes independientes que actúa en un circuito, se suma la contribución de ca­ da fuente, de manera independiente de las otras fuentes. La técnica está muy arrai­ gada en todo el campo de la ingeniería, así que se encuentra muy a menudo. En mu­ chas situaciones reales, se puede observar que aunque varias “fuentes” actúan de manera simultánea sobre el “sistema”, por lo común una de ellas domina la respues­ ta de éste. La superposición permite identificar con rapidez dicha fuente, siempre que se tenga un modelo lineal razonablemente preciso del sistema. Sin embargo, desde el punto de vista del análisis de circuitos, a menos que se de­ see encontrar la fuente independiente que contribuye más a una respuesta particular, se demostrará que arremangarse la camisa y proceder de inmediato al análisis nodal o de malla resulta muchas veces una táctica más directa. Esto se debe a que al apli­ car la superposición a un circuito con 12 fuentes independientes es necesario volver a dibujar el circuito original 12 veces y, de cualquier modo, con frecuencia se tendrá que aplicar el análisis nodal o de malla a cada uno de los circuitos. No obstante, la técnica de las transformaciones de fuente casi siempre es una herramienta muy útil para el análisis de circuitos. Efectuar las transformaciones de fuente permite consolidar resistencias o fuentes que no están en serie o en pa­ ralelo en el circuito original. Las transformaciones de fuente quizá también per­ mitan convertir todas o al menos la mayor parte de las fuentes del circuito origi­ nal al mismo tipo (que todas sean fuentes de tensión o todas fuentes de corriente), por lo que el análisis nodal o de malla es más directo. El teorema de Thévenin es extremadamente importante por varias razones. Al trabajar con circuitos electrónicos, siempre se conoce la resistencia equiva­ lente de Thévenin de diferentes partes del circuito, en especial la resistencia de entrada y de salida de las etapas del amplificador. L a razón consiste en que igua­ lar las resistencias con frecuencia resulta la mejor forma de optimizar el desem­ peño de un circuito determinado. U n pequeño anticipo de lo anterior se presen­ tó en el análisis de la transferencia de potencia máxima, donde debe elegirse la resistencia de carga para que iguale la resistencia equivalente de Thévenin de la red a la cual se conecta la carga. Sin embargo, en términos del análisis de cir­ cuitos cotidiano, se encontrará que la conversión de parte de un circuito en su equivalente de Thévenin o de Norton implica casi tanto trabajo como analizar el circuito completo. Por lo tanto, al igual que en el caso de la superposición, los #■ AA/V 0 A /W CAPÍTULO 5 TÉCNICAS ÚTILES PARA EL ANÁLISIS DE CIRCUITOS teoremas de Thévenin y Norton se aplican por lo común sólo cuando se necesi­ ta información especializada relativa a una parte del circuito. RESUMEN Y REPASO______________________________ □ El principio de superposición establece que la respuesta en un sistema lineal se obtiene sumando las respuestas individuales causadas por las fuentes independientes separadas que actúan solas. □ La superposición se emplea con mayor frecuencia cuando se necesita determinar la contribución individual de cada fuente a una respuesta particular. □ Un modelo práctico de una fuente de tensión real es una resistencia en serie con una fuente de tensión independiente. Un modelo práctico de una fuente de com ente real es una resistencia en paralelo con una fuente de com ente independiente. □ Las transformaciones de fuente convierten una fuente de tensión práctica en una fuente de corriente práctica y viceversa. □ Las transformaciones de fuente repetidas simplifican en gran medida el anáfisis de un circuito pues ofrecen los medios para combinar resistencias y fuentes. □ El equivalente de Thévenin de una red es una resistencia en serie con una fuente de tensión independiente. El equivalente de Norton es la misma resistencia en paralelo con una fuente de corriente independiente. □ Hay varias formas de obtener la resistencia equivalente de Thévenin, en función de que existan o no fuentes dependientes en la red. □ La transferencia de potencia máxima ocurre cuando la resistencia de carga iguala la resistencia equivalente de Thévenin de la red a la que se conecta. □ Cuando se analiza una red resistiva conectada en A su conversión en Y es un procedimiento directo. Esto puede ser de utilidad para simplificar la red antes de efectuar el análisis. De manera contraria, una red resistiva conectada en Y puede convertirse en una red conectada en A como ayuda de la simplificación de la red. LECTURAS ADICIONALES__________________________ Un libro que trata acerca de la tecnología de baterías, y que incluye las característi­ cas de la resistencia integrada es: D. Linden, Handbook o f Batteries, 2a ed. Nueva York: McGraw-Hill, 1995. Un excelente análisis de casos patológicos y teoremas sobre análisis de circuitos se puede encontrar en: R. A. DeCarlo y P. M. Lin, Linear Circuit Analysis, 2a ed. Nueva York: Oxford University Press, 200]. EJERCICIOS_____________________________________ 5.1 L in e a lid a d y su p e rp o sic ió n 1. El concepto de linealidad es muy importante, pues los sistemas lineales se analizan con mucha mayor facilidad que los no lineales. Desafortunadamente, la mayor parte de los sistemas prácticos que se encuentran son de naturaleza no lineal. Sin embargo, es posible crear un modelo lineal de un sistema no lineal, que es válido en un pequeño intervalo de la variable de control. Como un ejemplo de ello, considerar la simple fun- -^wv EJERCICIOS ción exponencial e x . La representación en serie de Taylor de esta función es: 2 x ex ^ l + x + — 2 3 x + — H----- 6 Construir un modelo lineal de esta función truncándola después del término lineal (x1). Evaluar su nueva función en x = 0.001, 0.005, 0.01, 0.05, 0.10, 0.5,1.0 y 5.0. ¿Para qué valores de x el modelo lineal ofrece una aproximación “razonable” a e x ? 2. En el circuito de la figura 5.48, ( a) determinar la contribución de la fuente de 4 V a la corriente marcada ¿i; i b) determinar la contribución de la fuente de 1 0 V ;']; y (c) determinar i \ . 4V I FIGURA 5.48 3. Con referencia al circuito de las dos fuentes que se muestra en la figura 5.49, deter­ minar la contribución de la fuente de 1 A a u i, y calcular la corriente total que circula a través de la resistencia de 7Í2. 4. Con la ayuda del principio de superposición, determinar la corriente marcada i y en el circuito de la figura 5.50 considerando cada fuente de forma individual. 4A ¡n 5. En el circuito que se muestra en la figura 5.48, modificar sólo el valor de las fuentes para obtener un incremento en un factor de 1 0 en la corriente i ¡; a m b o s valores de fuente deben modificarse y n i n g u n o debe ser igual a cero. 6 . Las fuentes i a y vb están activadas en el circuito de la figura 5.51; vc = 0, ix = 20 A; con i a y Ve están activadas y t>/¡ = 0 , ix = —5 A: además, finalmente, con las tres fuentes activadas, ix = 12 A. Dado lo anterior determinar ix si la única fuente que funciona es (a) i a', ib) vb\ ( c ) vc- id) Encontrar ix si ia y ve se duplican en ampli­ tud y v¡¡ se invierte. 7. Utilizar la superposición para calcular el valor de v x del circuito de la figura 5.52. io n 20 n 45 n 48 V 8 . Aplicar la superposición al circuito de la figura 5.53 para determinar ¿3 . 30 n B! FIGURA 5.53 30 n I I FIGURA 5.51 vc 158 A A /V - • CAPITULO 5 TÉCNICAS ÚTILES PARA EL ANÁLISIS DE CIRCUITOS 9. (a) Utilizar el teorema de superposición para obtener ¡ 2 en el circuito de la figura 5.54. (b) Calcular la potencia absorbida por cada uno de los cinco elementos del circuito. /'■> 100 V .5 A 1A ■ FIGURA 5.54 10. Aplicar la superposición en el circuito de la figura 5.55 para determinar la tensión v. Observar que hay una fuente dependiente. 11. En el circuito de la figura 5.56: (a) si i a = 10 A e ¡b = 0 , entonces v-¡ = 80 V; deter­ minar IÍ3 si i a = 25 A e íb = 0. (b) Si ia = 10 A e (g = 25 A, entonces 114 = 100 V, mientras que v¿, = —50 V si i a = 25 A e ¡g = 10 A; determinar V4 si i a = 20 A e í b = —10 A. 12. Utilizar la superposición para calcular la tensión en la fuente de corriente de la figura 5.57. 22 k fi 13. Recurrir a la superposición para encontrar la potencia que disipa la resistencia de 500 kQ en la figura 5.58. 500 kíl ■ FIGURA 5.58 EJERCICIOS 14. Aplicar la superposición para calcular la tensión en la resistencia de 17 kí2 de la figura 5.59. Si el valor nominal de potencia máxima de la resistencia es de 250 mW, ¿cuál es la tensión positiva máxima hasta la que puede incrementarse la fuente de 5 V, antes de que la resistencia se sobrecaliente? ■ FIGURA 5.59 15. ¿Cuál de las fuentes de la figura 5.60 contribuye más a la potencia disipada en la re­ sistencia de 2 Í2. ¿La que contribuye menos? ¿Cuál es la potencia que se disipa en la resistencia de 2 £2? 2Í1 ■ FIGURA 5.60 16. Aplicar la superposición para determinar iB en el circuito de la figura 5.61, que es un circuito modelo que suele utilizarse para un amplificador transistorizado de unión bipolar. ■ FIGURA 5.61 17. Para el circuito de la figura 5.62, (o) Utilizar la superposición para calcular Vv, (b) Verificar la contribución de cada fuente a Vx mediante un análisis PSpice de barrido de cd. Proponer un diagrama marcado, una salida de prueba importante y un breve resumen de los resultados. + VT ■ FIGURA 5.62 » A /v V AA/V -• CAPÍTULO 5 TÉCNICAS ÚTILES PARA EL ANÁLISIS DE CIRCUITOS 18. Para el circuito que se muestra en la figura 5.63, {a) Utilizar la superposición para calcular Vx. (b) Verificar la contribución de cada fuente a Vx con un análisis PSpice de barrido de cd. Proponer un esquema marcado, una salida de prueba importante y un re­ sumen breve de los resultados. t ) 6A 19. Considerar los tres circuitos de la figura 5.64. Analice cada uno y demuestre que Vx = V'x + V" (es decir, la superposición es más útil cuando las fuentes se igualan a cero, aunque el principio es, en realidad, mucho más general). [ kíl i kn 2 kíl 12 V 2 kíl — WV— '—AA/V— + A 3 kíl <> v ; ( + I -10 V -a m ,— r i i -15 V - 2 kíl lk í l — W V -5 V [ FIGURA 5.64 5.2 Tra n s fo rm acio n e s d e fu e n te 20. Con la ayuda del método de transformación de fuente, (a) convertir al circuito de la figura 5.65a en una sola fuente de tensión independiente en serie con una resistencia diseñada adecuadamente; y (b) convertir al circuito de la figura 5.656 en una sola fuente de comente independiente en paralelo con una resistencia diseñada de manera apropiada. Tanto en (a) como en ib), dejar las terminales del lado derecho en el cir­ cuito final. 3Í1 5Í1 22 A («) I FIGURA 5.65 21. (a) Utilizar el método de las transformaciones de fuente para simplificar el circuito de la figura 5.66 a una fuente de tensión práctica en serie con la resistencia de 10 fi. (b) Calcular v. (c) Explicar por qué la resistencia de 10 fi no debe incluirse en una transformación de fuente. EJERCICIOS 5A © 10 a . i A Ó 6.Q. ia •- A /W Q ) I FIGURA 5.66 22. Utilizar las transformaciones de fuente y las combinaciones de resistencia para sim­ plificar ambas redes de la figura 5.67, hasta que sólo queden dos elementos a la izquierda de las terminales a y b. 60 n io n 3.5 kft 6 k íl — W v — T— v w 120cos400íV (i* (a) ib) ! FIGURA 5.67 23. Mediante la transformación de fuente, determinar la potencia disipada por la re­ sistencia de 5.8 k£2 en la figura 5.68. 5.8 k í l 1 inA I FIGURA 5.68 24. Mediante la transformación de fuente, determinar la potencia disipada por la re­ sistencia de 5.8 k£2 de la figura 5.69. 9.7 kO 5.8 k a 25. Determinar la potencia que disipa la resistencia de 1 MÍ2 utilizando la transforma­ ción de fuente para simplificar primero el circuito que se ilustra en la figura 5.70. 1 M il 200 k í l Á/W —0 9 V 1 FIGURA 5.70 • CAPÍTULO 5 TÉCNICAS ÚTILES PARA EL ANÁLISIS DE CIRCUITOS 26. Determinar 1\ mediante la transformación de fuente para primero simplificar el cir­ cuito de la figura 5.71. 1 mA 20 mA I FIGURA 5.71 P ^ -27. (a) Encontrar Vi en el circuito de la figura 5.72 por medio de la transformación de fuente para obtener primero un circuito equivalente simplificado. (b) Verificar mediante un análisis PSpice el circuito de la figura 5.72. Elaborar un esquema donde Vi esté marcada con toda claridad. O — ° I FIGURA 5.72 1 2 ^ 2 8 . (a) Utilizar la transformación de fuente repetida para determinar la corriente Ix como se indica en la figura 5.73. (b) Verificar mediante un análisis PSpice el circuito de la figura 5.73. Elaborar un esquema donde ¡x esté indicado con claridad. 9 kfi 470 kíl 2 kfi 29. Utilizar la transformación de fuente repetida para determinar la corriente Ix en el circuito de la figura 5.74. 4 Mfi 3 Mfi 4.7 Mil 30. Convertir al circuito de la figura 5.75 en una fuente de corriente en paralelo con una sola resistencia. 6 fí 4 fí EJERCICIOS 31. Recurrir a la transformación de fuente para convertir el circuito de la figura 5.76 en una sola fuente de corriente en paralelo con una resistencia. 4H 4n 32. Determinar la potencia disipada por la resistencia de 1 MÍ2 en el circuito de la figura 5.77. 33. Las siguientes mediciones de la tabla 5.1 fueron efectadas a una batería alcalina de 1.5 V. Utilizar la información para construir un modelo simple de una fuente de ten­ sión práctica de dos componentes para la batería, que sea relativamente preciso para corrientes en el intervalo de 1 a 20 mA. Observar que además del error experimen­ tal evidente, la “resistencia interna” de la batería es muy diferente a lo largo del in­ tervalo de corriente que se midió en el experimento. TABLA 5.1 Características de corriente-tensión m edidas de una batería alcalina de 1.5 V conectada a una resistencia de carga variable. Salida de corriente (m A) 0.0000589 0.3183 1.4398 7.010 12.58 Tensión de term in al (V) 1.584 1.582 1.567 1.563 1.558 34. Utililizar los datos de la tabla 5.1 para construir un modelo simple de fuente de comente práctica de dos componentes para la batería, que sea relativamente preciso para comentes en el intervalo de 1 a 20 mA. Observe que además del error experi­ menta] evidente, la “resistencia interna” de la batería es muy diferente en el inter­ valo de corriente que se midió en el experimento. 35. Reducir el circuito de la figura 5.78 a una sola fuente de tensión en serie con una sola resistencia. 2MÍ1 36. Calcular la potencia absorbida por la resistencia de 5 Í2 en la figura 5.79. ■ FIGURA 5.79 1.8 V A /W -• 5 n CAPÍTULO 5 TÉCNICAS ÚTILES PARA EL ANÁLISIS DE CIRCUITOS 37. (a) Convertir el circuito de la figura 5.80 en una fuente práctica de corriente en paralelo con R l -.(P) Verificar su respuesta utilizando PSpice y un valor de 5 fi para R i. Elaborar esquemas debidamente marcados de cada circuito que identifiquen claramente la tensión en R l . 38. (a) Reducir lo más posible el circuito de la figura 5.81, transformar las dos fuentes de tensión en fuentes de corriente y después calcular la potencia disipada en la re­ sistencia de 5 fí ubicado en la parte superior, (b) Verificar la respuesta simulando ambos circuitos en PSpice. Elaborar un esquema debidamente marcado de cada cir­ cuito, que identifique claramente la potencia disipada en la resistencia de interés. (c) ¿Afecta la respuesta de alguna forma el valor de 1 fi o de 7 fi de la resistencia? Explicar su respuesta. 7 n A/W - 6V ■ íí FIGURA 5.81 39. En el circuito de la figura 5.82, convertir todas las fuentes (tanto dependientes como independientes) en fuentes de corriente, combinar las fuentes dependientes y calcu­ lar la tensión i>3 . 4 íí 30 2 íí 5 .3 C ircuitos e q u iv a le n te s d e T h é v e n in y N o rto n io n 40. (a) Determinar el equivalente de Thévenin de las terminales a y b de la red de la figura 5.83. ¿Cuánta potencia se suministraría a una resistencia conectada entre a y b si Rab es igual a: (b) 50 fi; (c) 12.5 fi? 41. (a) Utilizar el teorema de Thévenin para simplificar la red conectada a la resistencia de 5 fi de la figura 5.84. (b) Calcular la potencia absorbida por la resistencia de 5 fi utilizando su circuito simplificado, (c) Verificar la respuesta con PSpice. Elaborar un esquema debidamente marcado de cada circuito que indique claramente la cantidad de potencia solicitada. 10 íí 2 fí io n 5 !! 42. (a) Encontrar el equivalente de Thévenin de la red conectada a la resistencia de 7 fi de la figura 5.85. (b) Encontrar el equivalente de Norton de la red conectada a la re­ sistencia de 7 fi de la figura 5.85. (c) Calcular la tensión V] utilizando ambos cir­ cuitos equivalentes, (d) Sustituir la resistencia de 7 fi con uno de 1 fi y recalcular Vi utilizando cualquier circuito. EJERCICIOS 43. (a) Un foco con filamento de tungsteno está conectado a una tensión de prueba de 10 mV midiéndose una comente de 400 /xA. ¿Cuál es el equivalente de Thévenin del foco? (b) El foco se conecta a una fuente de 110 V midiéndose una comente de 363.3 mA. Determinar el equivalente de Thévenin con base en esta medición. (c) ¿Por qué el equivalente de Thévenin del foco depende aparentemente de las condiciones de la prueba y qué implicaciones tiene esto si se necesita analizar un circuito que contenga a este foco? L._ ►44. (a) Encontrar los equivalentes de Thévenin y de Norton de la red conectada a la re­ sistencia de 1 fl de la figura 5.86. (b) Calcular la potencia absorbida por la resisten­ cia de 1 fl utilizando ambos circuiros equivalentes, (c) Verificar utilizando PSpice. Presentar un esquema debidamente marcado de cada uno de los tres circuitos en los que se identifique debidamente la cantidad de potencia solicitada. 45. Para la red de la figura 5.87: (a) eliminar la terminal c y proporcionar el equivalente de Norton visto en las terminales a y b; (b) repetir para las terminales b y c si se elimina a. 46. Determinar el equivalente de Thévenin de la red de la figura 5.88, según se observa desde las terminales: (a) x y x'\ (b) y y y'. 20 n io n A/W — VW 88 V( '4on 5on © I * ■ FIGURA 5.88 47. (a) Obtener el equivalente de Thévenin de la red que se exhibe en la figura 5.89. (b) ¿Qué potencia se proporcionaría a una carga de 100 fl entre a y bl 40 fí 100 ü -AAAr- H /w 20 V Q ‘200Í1 l !' -O a <f>L 5/, -O b m FIGURA 5.89 48. Determinar el equivalente de Norton de la red de la figura 5.90. 50 a 0.11\ 49. Determinar el equivalente de Thévenin de la red de dos terminales que se muestra en la figura 5.91. ■ FIGURA 5.91 A /V V 1 65 3 o íí 5 n in 166 ---------A / W CAPÍTULO 5 TÉCNICAS ÚTILES PARA EL ANÁLISIS DE CIRCUITOS 50. Proporcionar el equivalente de Thévenin del circuito de la figura 5.92. 47 kO in 4n 51. Para la red de la figura 5.93, determinar: (a) el equivalente de Thévenin; (b) el equivalente de Norton. 52. Para el circuito de la figura 5.94a, encontrar el equivalente de Norton de la red conectada a R l . En el caso del circuito de la figura 5.94b, encontrar el equivalente de Thévenin de la red que se conecta a R l . » FIGURA 5.94 53. Obtener los equivalentes de Thévenin y de Norton de la red de la figura 5.95. 54. Determinar los equivalentes de Thévenin y de Norton de la red que se muestra en la figura 5.96. ■ FIGURA 5.96 55. Proporcionar los equivalentes de Thévenin y de Norton de la red que se presenta en la figura 5.97. 56. Determinar la resistencia equivalente de Thévenin vista desde la resistencia de 2 kfi en el circuito de la figura 5.98. Pasar por alto la línea punteada de la figura. 57. Con base en el circuito de la figura 5.98, determinar la resistencia equivalente de Thévenin del circuito que está a la derecha de la línea punteada. El circuito es un amplificador transistorizado de fuente común del que está calculando su resistencia de entrada. EJERCICIOS wv 58. En el circuito de la figura 5.99, obtener la resistencia equivalente de Thévenin del circuito que está a la derecha de la línea punteada; es un amplificador transistorizado de emisor común del cual está calculando la resistencia de entrada. 2 k fi 59. El circuito que se muestra en la figura 5.100 es un modelo razonablemente aproximado de un amplificador operacional. En casos donde R¡ y A son muy grandes y R„ ~ 0. una carga resistiva (como por ejemplo una bocina) conectada entre tierra y la terminal marcada vsa¡ verán una tensión —R f / i?i veces más grande que la señal de entrada vent. Determinar el equivalente de Thévenin del circuito, recordando marcar usai. 5 .4 Tra n s fe ren cia d e p o te n c ia m á x im a 60. Suponiendo que se puede determinar la resistencia equivalente de Thévenin del tomacorriente de pared, ¿por qué los fabricantes de tostadores, hornos de microon­ das y televisiones no igualan la resistencia equivalente de Thévenin de cada aparato con dicho valor? ¿Este no permitiría transferencia de potencia máxima desde la compañía eléctrica hasta los aparatos domésticos? 61. Si cualquier valor arbitrario puede elegirse para RL en el circuito de la figura 5.101, ¿cuál es la potencia máxima que podría disiparse en R¡ '1 12 n 5 fi 62. (a) Determinar el equivalente de Thévenin en las terminales a y b para la red que se presenta en la figura 5.102. ¿Qué cantidad de potencia se entregaría a una resisenciar conectada entre a y b si R ab es igual a: (b) 10 fi; (c) 75 fi? io n 167 CAPÍTULO 5 TÉCNICAS ÚTILES PARA EL ANÁLISIS DE CIRCUITOS 63. (a) Determinar el equivalente de Thévenin de la red que se muestra en la figura 5.103, y (b) encontrar la potencia máxima que puede extraerse de él. FIGURA 5.103 64. Con base en el circuito de la figura 5.104: (a) calcular el valor de R l para el cual puede entregarse una potencia máxima, y (b) obtener la tensión en R l en ese caso (con la referencia + en la parte superior). h 4o n 50 V £ FIGURA 5.104 65. Cierta fuente de tensión cd práctica proporciona una corriente de 2.5 A cuando se en­ cuentra (momentáneamente) en cortocircuito, y suministra una potencia de 80 W a una caiga de 20 fl. Calcular: (a) la tensión en circuito abierto; (b) la potencia máxima que podría entregar a una /?¿bien elegida; (c) ¿cuál es el valor de dicha R¡J 66. Una fuente de corriente práctica proporciona 10 W a una carga de 250 fl y 20 W a una carga de 80 fl. Una resistencia R l , con tensión e íl , se conecta a ella. Pro­ porcionar los valores de R l , v l &íl si (a) vlíl es un máximo; (b) vl es un máximo; (c) ¡l es un máximo. 67. El modelo de cierta batería podría ser precisamente una fuente independiente de 9 V en serie con una resistencia de 1.2 fl en el intervalo de corriente de interés. Ninguna corriente fluye si se conecta una carga de resistencia infinita a la batería. También se sabe que la potencia máxima se transferirá a una resistencia de 1.2 fl, y que se transferirá menos potencia a cualquiera de las resistencias de 1.1 fl o 1.3 fl. Sin em­ bargo, si sólo se ponen en corto las terminales de la batería en conjunto (¡no se re­ comienda!), se obtendrá mucha más corriente que en una carga resistiva de 1.2 fi. ¿Lo anterior no entra en conflicto con lo que se acaba de deducir sobre la transferen­ cia de potencia máxima? (después de todo, ¿no es la potencia proporcional a í'2)? Explicar su respuesta. 68. El circuito de la figura 5.105 forma parte de un amplificador de audio. Si se desea transferir una potencia máxima al altavoz de 8 fl ¿qué valor de R e se necesita? Verificar su solución con PSpice. - FIGURA 5.105 EJERCICIOS A /W » 69. El circuito de la figura 5.106 describe un circuito separado en dos etapas. Elegir R\ de manera que la potencia máxima se transfiera de la etapa 1 a la etapa 2. Etapa 1 Etapa 2 5.5Conversión delta-estrella 70. Convertir la red de la figura 5.107 en una red conectada en Y. 100 k n o.i n ■ FIGURA 5.107 71. Convertir la red de la figura 5.108 en una red conectada en A. 72. Determinar Rent de ]a red de la figura 5.109. 73. Utilizar transformaciones Y-A y A-Y para calcular la resistencia de entrada de la red que se muestra en la figura 5.110. o----- -----------* FIGURA 5.110 o.9 n o—v w — M FIGURA 5.108 1n 5ÍÍ 0.4 n o—v w — — w v —° 6Q 17® -A /W - • CAPÍTULO 5 TÉCNICAS ÚTILES PARA EL ANÁLISIS DE CIRCUITOS 74. Determinar Rsnt del circuito de la figura 5.111. 12 a 4a 75. Obtener el equivalente de Thévenin del circuito de la figura 5.112. 76. Proporcionar el equivalente de Norton del circuito de la figura 5.113. 77. Si todas las resistencias de la figura 5.114 son de 10 £2, determinar el equivalente de Thévenin del circuito. 78. (a) Sustituir la red de la figura 5.115 por una red equivalente en Y de tres resistencias. (b) Efectuar un análisis con PSpice para verificar que su respuesta es, en realidad, equivalente: (Sugerencia: tratar de agregar una resistencia de carga.) ' 4 k fi o— W v - ' 4 kfi 1 k fi 17 kfi -AAAr -A A A r 17 k íí ’ 4 k fi I FIGURA 5.115 o ■ FIGURA 5.116 79. (a) Sustituir la red de la figura 5.116 por una red equivalente en A de tres resistencias. (b) Efectuar un análisis con PSpice para verificar que su respuesta es, en realidad, equivalente: (Sugerencia: tratar de agregar una resistencia de carga.) EJERCICIOS A /W 5 .6 S e l e c c i ó n d e u n m é t o d o : r e s u m e n d e v a r i a s t é c n i c a s 80. El circuito que se presenta en la figura 5.117 es un modelo razonablemente exacto de un transistor de unión bipolar que funciona en lo que se conoce como región activa directa. Determinar la corriente de colector le ■Verificar su respuesta con PSpice. I B - 81. La resistencia de carga en la figura 5.118 disipa con seguridad hasta 1 W, antes de sobrecalentarse y explotar en llamas. Se puede considerar a la lámpara como una re­ sistencia de 10.6 ohms, si menos de I A circula por ella, y como una resistencia de 15 ohms si la corriente que fluye es mayor de 1 A. ¿Cuál es el valor permisible máx­ imo de I s l Verificar su respuesta con PSpice. 200 í i Resistencia de carga -V W Rl = ' 1 kfl ■ FIGURA 5.118 82. El oído humano detecta ondas sonoras en el intervalo de frecuencia de casi 20 Hz hasta 20 kHz. Si cada resistencia de la figura 5.119 es un altavoz de 8 fl ¿cuál de los generadores de señal (cuyos modelos son fuentes de tensión prácticas) produce el mayor sonido? (Considere el “volumen” como proporcional a la potencia entregada a un altavoz.) 300 0. 80 HW W W Y 3.5 eos lOOOOíV 7 sen 200/ V mm* 4 111 I FIGURA 5.119 83. Un multímetro digital se conecta a un circuito de resistencias, como se ve en la figura 5.120. Si la resistencia de entrada del multímetro es de 1 Mfi, ¿qué valor se indicará si el multímetro digital mide la resistencia? 33 íl 275 kíl ■n I V t t j --------------- V W ------------------------------- • CAPÍTULO 5 TÉCNICAS ÚTILES PARA EL ANÁLISIS DE CIRCUITOS 84. Una sustancia metálica se extrae de un meteorito descubierto en los campos de Indiana. Se descubre que la sustancia tiene una resistividad de 50 fi • cm y de dentro de él se extrae un cilindro simple. Éste se conecta al circuito de la figura 5.121 y se ob­ serva que muestra una dependencia de temperatura de T = 200P0 25 °C, donde P es la potencia que se proporciona al cilindro en watts. La resistividad de la sustancia no parece depender de la temperatura, lo cual resulta bastante interesante. Si R = 10 fi y absorbe una potencia máxima en el circuito exhibido, ¿cuál es la tem­ peratura del cilindro? ■ FIGURA 5.121 85. Como parte de un sistema de seguridad, un alambre muy delgado de 100 fi se ad­ hiere a una ventana mediante pegamento epóxico no conductor. Si se cuenta sólo con una caja de 12 baterías AAA de 1.5 V recargables, con mil resistencias de 1 fi y un piezo-zumbador de 2 900 Hz que requiere 15 mA, a 6 V, diseñar un circuito sin partes móviles que active el zumbador al romperse la ventana (y consecuentemente también se rompe el alambre delgado). Observar que para funcionar, el zumbador requiere una tensión de cd de al menos 6 V (28 V máximo). ÍT/V- |Q¡) 86. Tres focos eléctricos de 45 W alambrados originalmente en una configuración de red en Y con una fuente de 120 V ca conectada en cada puerto se vuelve a alambrar como una red en A. No se usa la conexión neutra, o central. Si la intensidad de cada luz es proporcional a la potencia que toma, diseñar un circuito de potencia de 120 V ca, de manera que las tres luces tengan la misma intensidad en la configuración en A que teman cuando estaban en una configuración en Y. Verificar su diseño con PSpice al comparar la potencia extraída por cada luz de su circuito (cuyo modelo es un valor de resistencia elegido de manera apropiada), con la potencia que cada uno extraería en el circuito original conectado en Y. 87. Cierto LED rojo tiene un valor nominal de comente máxima de 35 mA; si se ex­ cede este valor, se producirá un sobrecalentamiento y una falla catastrófica. La re­ sistencia del LED es una función no lineal de su comente, pero el fabricante garan­ tiza una resistencia mínima de 47 fi y una máxima de 117 fi. Sólo se cuenta con baterías de 9 V para activar al LED. Diseñar un circuito adecuado para suministrar la potencia máxima posible al LED sin dañarlo. Utilizar sólo combinaciones de los valores de resistencias estándar dados en la contratapa de la portada. El amplificador operacional CONCEPTOS CLAVE INTRODUCCIÓN Características ideales de los amp op. Ya se presentaron suficientes leyes básicas y técnicas analíticas que se pueden aplicar con buenos resultados en algunos circuitos prác­ '------------------------------- ticos interesantes. En este capítulo se analizará un dispositivo eléc­ Amplificadores inversores y trico muy útil que recibe el nombre de amplificador operacional, o no inversores. am p op para abreviar. •-------------------i Circuitos amplificadores sumadores y diferenciales. 6.1 ANTECEDENTES ------ • ----------------------------------------------------------------------------------Los orígenes del amplificador operacional se remontan a la cuarta década del siglo xx, cuando los circuitos básicos se construían uti­ lizando bulbos de vacío para efectuar operaciones matemáticas tales como la suma, la resta, la multiplicación, la división, la derivación y la integración. Este avance permitió la construcción de computado­ ras analógicas (en contraste con las digitales) para resolver ecua­ ciones diferenciales complejas. Se considera que el primer disposi­ tivo am plificador operacional comercialmente disponible fue el K2-W, fabricado por la compañía Philbrick Researches, Inc., de Boston desde 1952 hasta principios de los años de 1970 (figura 6.1a). Estos dispositivos de bulbo de vacío pesaban 3 onzas (85 g), medían l 33/ 6 4 " x 29/m" x 47/64" (3.8 cm x 5.4 cm x 10.4 cm), y costaban aproximadamente 22 dólares. En contraste, los modernos amplificadores operacionales en circuitos integrados (CI) como el Fairchild KA741 pesan menos de 500 mg, miden 5.7 mm x 4.9 mm x 1.8 mm, y se venden en aproximadamente 0.22 dólares. Comparados con los amplificadores operacionales basados en bulbos de vacío, los circuitos integrados modernos de amp op están fabricados con alrededor de 25 o más transistores en la misma “pastilla” de silicio, junto con las resistencias y capacitores necesarios para obtener las características deseadas de desempeño. Como re­ sultado, éstos trabajan a tensiones de alimentación de cd mucho menores (± 1 8 V, por ejemplo, en contraste con ± 3 0 0 V que utiliza­ ban los K2-W), son más confiables y considerablemente más pe­ queños (fig. 6. Ib, c). En algunos casos, un CI tal vez contenga varios amp op. Además de la patilla de salida y de las dos entradas, otras ------------------------------------------' Etapas de los amp op en cascada. i ------------------------------------------Utilización de amp op para construir fuentes de tensión i y de corriente. I------------------------------------------Características no-ideales de los amp op. -------------------------------------------Ganancia de tensión y retroalimentación. ------------------------------------------Circuitos básicos de comparación y de amplificador de instrumentación. 174 --------- V W -• CAPÍTULO 6 EL AMPLIFICADOR OPERACIONAL ix iii K 2 -W O p c rjíio n a t A m plifiei (a) (b) (c) ■ FIGURA 6.1 (a) El amp op K2-W de Philbrick se basa en un par acoplado de bulbos al vacío 12AX7A. (6). Amplificador operacional LMV321, utilizado en una gran variedad de aplicaciones de teléfono y juegos. (c) Amplificador operacional LMC6035, que alberga 114 transistores en un encapsulamiento tan pequeño que cabe en la cabeza de un alfiler. (Fotos cortesía de National Semiconductor Corporation.') Compensación V~ del cero I Entrada' >>-----° Salida Compensación v* del cero (a) ib) patillas permiten que se suministre potencia para operar los transistores y que haya ajustes externos a fin de balancear y compensar el amp op. El símbolo que más se usa para un amp op se muestra en la figura 6.2a. En este momento no interesa la circuitería interna del amp op o del CI, sino sólo las relaciones de ten­ sión y de corriente que existen entre las terminales de entrada y salida. En conse­ cuencia, por ahora se usará un símbolo eléctrico más simple, que se presenta en la figura 6.2b, en el que se exhiben dos terminales de entrada a la izquierda y una sola terminal de salida a la derecha. La terminal marcada “+ ” se conoce como la entrada no inversora, y la terminal marcada ” recibe el nombre de entrada inversora. I FIGURA 6.2 (a) Símbolo eléctrico del amp op. (6) Conexiones mínimas que se requieren en un amp op. 6.2 EL A M P OP IDEAL: UNA INTRODUCCION AMABLE — , -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Cuando se diseña un amp op, el ingeniero de circuitos integrados trabaja muy duro para conseguir que el dispositivo tenga características casi ideales. En la práctica, se encuentra que la mayoría de los amp op se desempeñan tan bien que, muchas veces, es posible suponer que se trabaja con un dispositivo “ideal”. Las características de un amp op ideal constituyen la base de dos reglas fundamen­ tales que quizás parezcan un poco inusuales: Reglas del am p op ideal 1. Nunca fluye corriente hacia ninguna terminal de entrada. 2. No existe diferencia de tensión entre las dos terminales de entrada. En un amp op real, una pequeña comente de fuga circulará hacia la entrada (al­ gunas veces tan baja como 40 femtoamperes). Es posible obtener una tensión muy pequeña entre las dos terminales de entrada; sin embargo, en comparación con las tensiones y corrientes de la mayoría de los circuitos, tales valores son tan pequeños que si se incluyeran en el anáfisis difícilmente afectarían los cálculos. Al analizar circuitos de amp op se debe tomar otro aspecto en cuenta. En oposición a los circuitos que se han estudiado hasta ahora, un circuito de amp op siempre tiene una salida que depende de algún tipo de entrada. Por lo tanto, se analizarán los circuitos de amp op con el objetivo de obtener la expresión de la salida en términos de las cantidades de entrada. Se podrá ver que suele ser una buena idea empezar el análisis de un circuito de amp op en la entrada, y pro­ ceder a partir de ahí. SECCIÓN 6.2 EL AMP OP IDEAL: UNA INTRODUCCIÓN AMABLE El circuito que se muestra en la figura 6.3 se conoce como amplificador in­ versor. Se opta por analizar este circuito mediante la LVK, empezando con la fuente de tensión de entrada. La corriente denominada i fluye sólo a través de las dos resistencias R ¡ y R f , la regla 1 del amp op ideal establece que no fluye ninguna corriente hacia la terminal de entrada inversora. En consecuencia, es posible escribir: — uent + R \i + R fi + Dsai = 0 que se ordena para obtener una ecuación que relaciona la salida con la entrada !'!sal ^ent (.Rl R f)^ [1] ■ FIGURA 6.3 Amp op utilizado para construir un circuito amplificador inversor, donde i/ent = 5 sen 31 mV, Ri = 4.7 k íl, y Rf= 47 k fl. Sin embargo, se presenta ahora en una situación en la que se tiene una ecuación con dos incógnitas, puesto que sólo se nos da uent = 5 sen 3r mV, R i = 4.7 k fi, y R f = 47 k fi. Por lo tanto, para calcular la tensión de salida, es nece­ sario contar con una ecuación adicional que exprese i sólo en términos de usai, Uent. R l , y / 0 R f. Es un buen momento para mencionar que aún no se ha recurrido a la regla 2 del amp op ideal. Puesto que la entrada no inversora está conectada a tierra, corres­ ponde a cero volts. Así, por la regla 2 del amp op ideal, la entrada inversora tam­ bién vale cero volts. Lo anterior no quiere decir que las dos entradas estén en conjunto puestas en cortocircuito, a sí que se debe tener mucho cuidado de no hacer una suposición de este tipo. Más bien, las dos tensiones de entrada sólo se siguen entre sí: si se tratara de cambiar la tensión en una patilla (terminal de sa­ lida), la otra flotará en tomo al mismo valor. Por lo tanto, se puede escribir una ecuación de la LVK adicional: El hecho de que la propia terminal de entrada inver­ sora se encuentre en cero volts en este tipo de confi­ guración de circuito propicia lo que a menudo se — u en t+ ^ l 1 + 0 = 0 conoce como una "tierra virtual". Ello no significa que O la patilla (terminal) esté en realidad conectada a tierra, por lo que algunas veces resulta una fuente de con­ fusión para los estudiantes. El amp op efectúa cua­ Al combinar la ecuación [2] con la [1], se obtiene una expresión de usai en términos de uent: lesquiera ajustes internos necesarios para evitar una diferencia de tensión entre las terminales de entrada, las cuales nunca están en corto al mismo tiempo. ^sal — D Uent Ri [3] Al sustituir Uent = 5sen3í mV, R\ = 4.7 k fi y R f = 47 k fi, Dsai = —50sen3í mV Puesto que se indica que R f > R i , el circuito amplifica la señal de tensión de entrada uent. Si se elige R¡ < R \, la señal más bien se atenuará. También se puede observar que la tensión de salida tiene el signo opuesto de la tensión de en­ trada,1 de donde surge el nombre de “amplificador inversor”. La salida se dibuja en la figura 6.4, junto con la forma de onda de entrada con fines comparativos. En este punto, vale la pena mencionar que el amp op ideal parece violar la LCK. De manera específica, en el circuito anterior no fluye corriente hacia fuera de cualquier terminal de entrada, sino que algo de corriente ¡puede fluir a través de la patilla de salida!, lo cual implicaría que el amp op es de alguna manera capaz de crear electrones de la nada o de almacenarlos de modo indefinido (según sea la dirección del flujo de corriente). Resulta obvio que esto no es posible. El con­ flicto surge debido a que se trata al amp op de la misma manera que se hace con (1) O, ‘7a salida está desfasada 1800con respecto a la entrada”, lo cual se oye más impresionante. ■ FIGURA 6.4 Formas de onda de entrada y de salida del circuito amplificador inversor. 176 )--------- V W CAPÍTULO Rf i FIG U RA 6.5 Circuito amplificador inversor con una entrada de 2.5 V. 6 EL AMPLIFICADOR OPERACIONAL elementos pasivos como la resistencia. Sin embargo, en realidad el amp op no puede funcionar a menos que se conecte a fuentes de potencia externas. A través de esas fuentes de potencia se dirige el flujo de corriente hacia la terminal de salida. A pesar de que se ha demostrado que el circuito amplificador no inversor de la figura 6.3 puede amplificar una señal de ca (una onda senoidal en este caso que tenga una frecuencia de 3 rad/s y una amplitud de 5 mV), también funciona adecuadamente con entradas de cd. Se consideran este tipo de situaciones en la figura 6.5, donde los valores de R\ y R f se seleccionarán a fin de obtener la tensión de salida de —10 V. Éste es el mismo circuito que se muestra en la figura 6.3, pero con una entrada de cd de 2.5 V. Debido a que no se ha efectuado ningún otro cambio, la expresión que se presenta en la ecuación [3] también es válida en este circuito. Para obtener la salida deseada, se trata de encontrar una relación de R ¡ a R ) de 10/2.5 o 4. Puesto que es la relación lo importante aquí, sólo es necesario escoger un valor adecuado para una resistencia, y se fijará el valor de la otra resistencia al mismo tiempo. Por ejemplo, se pudo haber seleccionado R] — 100 Í2 (por lo que R f = 400 Í2), o aun R f = 8 M fi (por lo que R \ = 2 MQ). En la práctica, otras restricciones (como la corriente de polarización) pueden limitar las alternativas. Por lo tanto, esta configuración del circuito trabaja como un tipo de amplificador de tensión (o atenuador, si la relación ácRf-dR\ es menor a l ) , pero tiene a veces el inconveniente de invertir el signo de la entrada. Sin embargo, existe una alternativa que se analiza tan fácil como la anterior, ésta es, la del amplificador no inversor que se muestra en la figura 6 .6 . En el ejemplo siguiente se analiza dicho circuito. Dibujar la forma de onda de salida del circuito amplificador no inver­ sor de la figura 6.6a. Utilizar i)ent = 5 sen 31 mV, R \ = 4.7 kQ, y R r = 47 kQ. Identificar el objetivo del problema. Se requiere una expresión para usai que sólo dependa de las cantidades conocidas vent, R \ y R f. Recopilarla información conocida. En razón de que se han especificado valores para las resistencias y la forma de onda de entrada, se comienza denominando la corriente i y las dos tensiones de entrada como en la figura 6 .6 b. Se supondrá que el amp op es ideal. Decidir la técnica disponible que se ajusta mejor al problema. Aunque el análisis de malla es la técnica favorita de los estudiantes, re­ sulta más práctico aplicar el análisis nodal en la mayoría de los circuitos de amp op, ya que no hay una forma directa para determinar la corriente que fluye por su salida. Construir un conjunto de ecuaciones apropiado. FIGURA 6.6 (o) Amp op que se emplea para construir un circuito amplificador no inversor. (b) Circuito con la corriente definida a través de /?, y R¡ asi como con ambas tensiones de entrada marcadas. Observar que se utiliza de manera implícita la regla 1 del amp op ideal al definir la misma corriente a través de ambas resistencias: ninguna corriente fluye hacia la terminal de entrada inversora. Cuando se emplea el análisis nodal para obtener la expresión de usai en términos de ucnt, se tiene que SECCIÓN 6.2 EL AMP OP IDEAL: UNA INTRODUCCIÓN AMABLE A /W #■ © En el nodo a: 0 = — + — ~J^üL Ri [4] Rf En el nodo b: Vb — ^ent [5] Determinar si se requiere información adicional. El objetivo consiste en obtener una sola expresión que relacione las tensio­ nes de entrada y salida, aunque ni la ecuación [4] ni la [5] parecen hacerlo. Sin embargo, aún no se ha empleado la regla 2 del amp op ideal, pero se verá que en casi todo circuito de amp op ambas reglas necesitan aprove­ charse para obtener una expresión como la que se busca. En consecuencia, se puede reconocer que va = v b = uent> con lo cual la ecuación [4] se convierte en: q ___ ^ent ^ ^ent “ ^sal R!, Rf Intentar encontrar la solución. Al reordenar la ecuación anterior, se obtiene una expresión de la tensión de salida en términos de la tensión de entrada uenI: = ( 1+ ) vm t= 11 ^ent= 55sen3í mV Verificar la solución. ¿Es razonable o es esperada? Para fines comparativos, la forma de onda de salida se dibuja en la figura 6.7, junto con la l'omia de onda de entrada. En contraste con la forma de onda de salida del circuito amplificador inversor, observar que la entrada y la salida están en fase en el caso del amplificador no inversor. Este resultado no debe ser del todo inesperado: está implícito en el nombre “amplificador no inversor”. P R Á C T IC A p FIGURA 6.7 Formas de onda de entrada y salida del circuito amplificador no inversor. ______________________________________________________ 6 .1 En el circuito de la figura 6 .8 , obtener la expresión de usai en términos de i.'ent. Respuesta: usai = vent. El circuito se conoce como un “seguidor de tensión", puesto que la tensión de salida rastrea o “sigue” a la tensión de entrada. De la misma m anera que el am plificador inversor, el no inversor tra­ baja con entradas de cd y de ca, pero tiene una ganancia de tensión de usai / ven[ = 1 + ( R f / R i ) . Por lo tanto, si se fija el valor de R f = 9 Q y R \ = 1 Q, se obtiene una salida vsal 10 veces mayor que la tensión de entrada En con­ traste con el amplificador inversor, la entrada y la salida del amplificador no inversor posee siempre el mismo signo y la tensión de salida no puede ser menor que la de entrada; la ganancia m ínima es 1. Amplificador que se seleccione dependerá de la aplicación que se esté considerando. En el caso especial del circuito seguidor de tensión que se muestra en la figura 6 .8 , el cual representa un amplificador no-inversor donde el valor de R \ es oo y el de R f es cero, la I FIGURA 6.8 CAPITULO 6 EL AMPLIFICADOR OPERACIONAL salida es idéntica a la entrada tanto en signo como en magnitud. Puede que ello parezca no tener sentido como un tipo general de circuito, pero hay que tener en mente que el seguidor de tensión no toma corriente de la entrada (en el caso ideal) por lo cual éste puede actuar como un dispositivo de almacenamiento en­ tre la tensión uent y alguna carga resistiva R/ conectada a la salida del amp op. Se mencionó con anterioridad que el nombre “amplificador operacional” se origina a partir de su uso en operaciones aritméticas en señales analógicas (es decir, no digitalizadas y en tiempo real). Como se puede ver en los dos circuitos siguientes, sus tareas incluyen tanto la suma como la resta de señales de tensión de entrada. O b ten er la expresión de i;sai en térm inos de vf¡ v2 y del circuito de am p op de la figura 6.9, conocido tam bién como “amplificador sumador Observar primero que el circuito es similar al circuito de amplificador inver­ sor de la figura 6.3. También aquí el objetivo es obtener una expresión para usai (que en este caso aparece a través de una resistencia de carga R l ) en tér­ minos de la entrada (en este caso i>i, i>2 y U3 ). En razón de que no puede circular ninguna corriente en la terminal de entrada inversora, se sabe que: i = ¿1 + ¿2 + i3 Por lo tanto, se expresa la siguiente ecuación en el nodo marcado w¡CJ. A Va ^sal °= — R ^ Va ^1 + — i r Va V2 + — i r Va V3 + — ¡ r L a ecuación contiene tanto a usai como a las tensiones de entrada, pero desafortunadamente también incluye la tensión nodal va. Para eliminar esta cantidad desconocida de nuestra expresión, es necesario escribir una ecuación adicional que relacione va con usai, las tensiones de entrada, R f , y/o R . En este punto, hay que recordar que no se ha utilizado aún la regla 2 del amp op ideal, y que casi siempre se requieren ambas reglas para analizar un circuito de amp op. Por lo tanto, puesto que va = vj, = 0, se escribe lo siguiente: SECCIÓN 6.2 EL AMP OP IDEAL: UNA INTRODUCCIÓN AMABLE Al reacomodar, se obtiene la siguiente expresión de i>saj. Rf , Vsal — ---- ¡ r í ^ l + ^2 i - f3) K [ 6] En el caso especial en el que V2 = i >3 = 0, se puede observar que el resul­ tado concuerda con la ecuación [3], que se dedujo prácticamente para el mismo circuito. Se pueden observar varios aspectos interesantes acerca del resultado. Primero, si se elige R f de tal forma que sea igual a R , entonces la salida es el (negativo) de la suma de vj, i>2 yV3 . Además, se puede seleccionar el cociente de R f y R para multiplicar esta suma por una constante determinada. Así que, por ejemplo, si las ires tensiones representaran señales de tres escalas diferentes cali­ bradas de tal form a que —1 V = 1 Ib, se podría fijar R f = R / 2.205 para obtener una señal de tensión que representara el peso combinado en kilogramos (con un porcentaje de exactitud de alrededor de 1 % debido al factor de conversión). Además, se puede observar que RL no aparece en la expresión final. Siempre y cuando su valor no sea muy bajo, la operación del circuito no se verá afectada; hasta el momento, no se ha considerado un modelo lo suficientemente detallado de amp op que pueda predecir dicho evento. Esta resistencia representa el equivalente de Thévenin o cualquier elemento que se use para supervisar la salida del amplificador. Si el dispositivo de salida es un voltímetro simple, R l representa la resistencia equivalente de Thévenin vista mirando hacia las terminales del voltímetro (por lo común 10 MÍ2 o más). O bien, el dispositivo de salida podría ser un altavoz (casi siempre de 8 £2 ), en cuyo caso se escucha la suma de las tres fuentes sonoras inde­ pendientes; V], i >2 y 1)3 podrían representar los micrófonos en este caso. Una advertencia: con frecuencia resulta tentador suponer que la corriente de­ nominada i en la figura 6.9 no sólo fluye por R f sino también a través de R l - ¡No es cierto! Es muy posible que la com ente circule también por la terminal de salida del amp op, por lo que las corrientes que circulan por las dos resistencias no son las mismas. Por esta razón casi siempre se evita escribir ecuaciones de la LKC en la patilla de salida de un amp op, lo que lleva a que resulte preferible el análisis nodal sobre el de malla cuando se trabaja con la mayoría de los circuitos de amp op. P R Á C T C, ___________ 6.2 Obtener la expresión de vsai en términos de v¡ y ib para el circuito que se muestra en la figura 6 . 1 0 , también conocido como amplificador de diferencia. R ■ FIGURA 6.10 Respuesta: usai = V2 — v¡. Sugerencia: em plee la división de tensión p ara obtener v/,. • ----------- ------- W V --------------- { 179 180 TABLA A A /V 6.1 CAPITULO 6 EL AMPLIFICADOR OPERACIONAL Resumen de los circuitos básicos de amp op Nom bre Esquem a del circuito Relación entrada-salida Amplificador inversor ^'sal — A m plificador no-ínverscr l-’sa! Seguidor de tensión (tam bién conocido como amplificador de ganancia unitaria) 1I+ ^ ) l-cnt ^sal — ^ent Amplificador sumador Amplificador de diferencia = D ^'enl «I ^sal R ' R-. (ti +V2+ f3) Vsal = V 2 ~ V i ■( APLICACIÓN PRÁCTICA S is te m a d e in te r c o m u n ic a c ió n d e f ib r a ó p tic a Un sistema de intercomunicación de punto a punto se construye mediante varias técnicas diferentes, según el entorno de aplicación. Los sistemas de radiofrecuencia (RF) de baja potencia funcionan bastante bien, pero están sujetos a la interferencia de otras señales RF y también a menudo están bajo el asedio de escuchas furtivos. El uso de un alambre simple para conectar un micrófono a un al­ tavoz (con circuitos de amplificador apropiados) elimina en gran parte la interferencia RF y también incrementa la privacidad. Sin embargo, los alambres sufren de corrosión y cortocircuitos cuando se desgasta el aislamiento plás­ tico, y su peso resulta una complicación cuando se los emplea en aeronaves y similares (figura 6.11). ■ F IG U R A 6 .1 3 Circuito que se utiliza para convertir la señal eléctrica del micrófono en una señal óptica. circuito de generación de señales, que incluye un micró­ fono, un diodo emisor de luz (LED) y un circuito de amp op no inversor para accionar al LED; no se muestran en la figura las conexiones para la alimentación que se necesita para el amp op. L a salida de luz del LED es casi propor­ cional a su comente, aunque es menor para valores de corriente muy pequeños y muy grandes. Se sabe que la ganancia del amplificador está dada por ^sal _ ^ent I F IG U R A 6 .1 1 El entorno donde se instalará la aplicación a menudo impone restricciones de diseño. ™ & © Boeing. Usado bajo licencia. I Una alternativa consiste en convertir la señal eléctrica del micrófono en una señal óptica, que se transmite a través de una fibra óptica delgada (~ 5 0 fim de diámetro). Luego se reconvierte en una señal eléctrica, la cual se amplifica y transfiere a un altavoz. En la figura 6.12 se presenta un esquema de un sistema de este tipo; se necesitan dos sistemas de éstos para realizar la comuni­ cación de dos vías. j ^ Rf R1 que es independiente de la resistencia equivalente del LED. Con la finalidad de seleccionar valores de R f y R i es necesario saber la tensión de entrada del micrófono y la tensión de salida necesaria para activar el LED. Una medición simple indica que la salida de tensión máxima del micrófono es igual a 40 mV cuando alguien habla nor­ malmente. El fabricante del LED recomienda operarlo a aproximadamente 1.6 V, por lo que se diseña para una ganancia de 1.6/0.04 = 40. Seleccionando de manera ar­ bitraria R i = 1 k£2 lleva a un valor de 39 kí2 para R f. El circuito de la figura 6.14 es la parte de recepción del sistema de intercomunicación de una vía. El con­ vierte la señal óptica proveniente de la fibra en una señal eléctrica, amplificándola de tal forma que un sonido au­ dible se emita por el altavoz. Fuente Micrófono luminosa © = □ = © Amplificador Fotodetector ^0=1 Fibra óptica Amplificador ■ F IG U R A 6 .1 2 Esquema con la mitad de un intercomunicador de fibra óptica simple. íl 1 Considerar la generación y la detección de la señal óp­ tica por separado, puesto que los circuitos son en realidad eléctricamente independientes. La figura 6.13 muestra el ' F IG U R A 6 . 1 4 Circuito detector que se emplea para convertir la señal óptica en señal de audio. (Continúa en la siguiente página) Después de acoplar la salida del LED con la fibra óp­ tica, se mide una señal de casi 10 mV máximos en el fotodetector. El altavoz se especifica para un máximo de 100 mW, y tiene una resistencia equivalente de 8 fi, lo que es igual a una tensión máxima de 894 mV, por lo que es necesario diseñar el amplificador de R 2 y R 3 para obtener una ganancia de 894/10 = 89.4. Si se selecciona R 2 b 10 k fi, se puede observar que un valor de 884 kfi completa el diseño. El circuito real funcionará en la práctica, aunque la salida sonará un poco distorsionada, puesto que el LED no es lineal. Los diseños mejorados son tema de textos más avanzados. 6.3 t ETAPAS EN CASCADA_________________________ Si bien el amp op es un dispositivo en extremo flexible, hay num erosas apli­ caciones en las que un amp op sencillo no basta. En tales casos, a menudo se cum ple con los requisitos de la aplicación colocando en cascada varios amp op individuales al mismo tiempo en el mismo circuito. Un ejemplo de lo an­ terior se m uestra en la figura 6.15, que consiste en el circuito am plificador sum ador de la figura 6.9 con sólo dos fuentes de entrada y la salida alim en­ tada en un am plificador inversor simple. El resultado es un circuito amp op de dos etapas. ■ F IG U R A 6 .1 5 Circuito amp op de dos etapas compuesto por ur, amplificador sumador en cascada con un circuito de amplificador inversor. Ya se analizó por separado cada uno de estos circuitos de amp op. Con base en la experiencia previa, si se desconectaran ambos circuitos amp op, se tendría: Rf vx = — - ( ü i + v2) K ^sal — [7] Ri R\ En realidad, puesto que los dos circuitos se encuentran conectados en un solo punto y la tensión vx no depende de la conexión, se pueden combinar las ecua­ ciones [7] y [8] y obtener, ^sal = K\ K (U1 + U2) [9] SECCIÓN 6.3 ETAPAS EN CASCADA la cual describe las características de entrada-salida del circuito que se muestra en la figura 6.15. Sin embargo, no siempre se podrá simplificar dicho circuito a etapas que sean familiares, por lo que vale la pena echar un vistazo a la forma en que el circuito de dos etapas de la figura 6.15 puede analizarse como un todo. Cuando se analizan los circuitos en cascada, algunas veces resulta útil em­ pezar con la última etapa y trabajar desde atrás hacia la etapa de entrada. Con referencia a la regla 1 del amp op ideal, la misma corriente fluye por R\ y R 2. La forma de la ecuación nodal apropiada en el nodo marcado vc es: R, S2 Al aplicar la regla 2 del amp op ideal, se puede establecer vc = 0 en la ecuación [10], lo que origina: 0 = — + — Ri Ri [11] Debido a que el objetivo es la expresión de vSB¡ en términos de v i y v2, se pro­ cede hacia el primer amp op para obtener una expresión relativa de vx en térmi­ nos de las dos cantidades de entrada. Al aplicar la regla 1 del amp op ideal en la entrada inversora del primer amp op, se tiene: Va —Vx V„ —Vi V„ —V2 0 = -2------i + —------ 1 + —------£ Rf R R 12 La regla 2 del amp op ideal permite sustituir va en la ecuación [12] por cero, ya que va = v¡, = 0. Por lo tanto, dicha ecuación se convierte en: VrVl D? 0 = — + — + — Rf R R [13] Se tiene ahora una ecuación para i;sai en términos de vx (ecuación [11]), y una ecuación para vx en términos de V] y v2 (ecuación [13]). Ambas ecuaciones son idénticas a las ecuaciones [7] y [8], respectivamente, lo que quiere decir que la puesta en cascada de dos circuitos independientes, como el de la figura 6.15, no afecta la relación entrada-salida de cualquier etapa. Al combinar las ecuaciones [11] y [13] se puede observar que la relación entrada-salida del circuito amp op en cascada es: Dsal = JK\ K + vl) [14] que es idéntica a la ecuación [9]. Por consiguiente, el circuito en cascada actúa como un amplificador sumador,pero sin una inversión de fase entre la entrada y la salida. Al elegir con cuidado los valores de la resistencia, se amplifica o atenúa la suma de las dos tensiones de entrada. Si se elige R 2 = R\ y R¡ = R, se obtiene también un cir­ cuito de amplificador donde Dsai = ui + v2, si se desea. » ■wv 0 184 A /W - CAPITULO 6 EL AMPLIFICADOR OPERACIONAL E J E M P L O 6.3 I U n sistem a de com bustible propelente gaseoso de m últiples tanques se instala en un pequeño vehículo orbital lunar. L a cantidad de com bustible de cualquiera de los tanques se supervisa a través de la medición de la presión en el tanque (en psia2). Los detalles técnicos sobre la capacidad del tanque así como de la presión y rango de tensión del sensor se p ro p o r­ cionan en la tab la 6.2. D iseñar un circuito que proporcione una señal de tensión de cd positiva que sea proporcional a la cantidad de com bustible que quede, de modo que 1 V = 100. TABLA 6.2 Información técnica del sistema de ______ _______ supervisión de la p resión de tanques Capacidad del tanque 1 Capacidad del tanque 2 Capacidad del tanque 3 Intervalo de presión del sensor Tensión de salida del sensor lü 000 psia 10 000 psia 2 000 psia 0 a 12 500 psia 0 a 5 Vdc A partir de la tabla 6.2 se puede observar que el sistema cuenta con tres tan­ ques de gas independientes que requieren tres sensores diferentes. Cada sensor está diseñado para 12 500 psia, con una salida correspondiente de 5 V. Por ende, cuando el tanque 1 esté lleno, su sensor proporcionará una señal de ten­ sión de5 X (10000/12500) = 4 V; lo mismo es válido para el sensor de su­ pervisión del tanque 2. Sin embargo, el sensor conectado al tanque 3 sólo pro­ porcionará una señal de tensión máxima de 5 X (2000/12500) = 800 mV. El circuito de la figura 6.16a muestra una posible solución, que emplea una etapa de amplificación de suma con i>i, v 2 y vj que representan las sali­ das de los sensores, seguida de un amplificador inversor para ajustar el signo y la magnitud de la tensión. En razón de que no se suministra la re­ sistencia de salida del sensor, se emplea un dispositivo de almacenamiento para cada uno de ellos en la forma que se muestra en la figura 6.16¿>; el re­ sultado es (en el caso ideal) que no existe flujo de corriente desde el sensor. Para m antener el diseño lo más simple posible, se comienza fijando el valor de las resistencias Ri, R2, R 3 y R 4 a 1 k£2; cualquier valor funcionará siempre y cuando las cuatro resistencias sean iguales. Por lo tanto, la salida de la etapa sumadora es Vx = - ( v i + v 2 + v 3) L a etapa final del circuito invierte esta tensión y la transforma de tal manera que la tensión de salida es de 1 V cuando los tres tanques se encuentren llenos. Esta condición se presenta cuando vx = —(4 + 4 + 0.8) = —8.8 V. Así, la etapa final necesita una relación de tensiones de R e /R 5 = 1/8.8. Si se selecciona de manera arbitraria Re — 1 k£2, se encuentra que un valor de 8.8 k£2 para R¡ satisface el diseño. (2) Libras por pulgada cuadrada, absoluta. Ésta es una medición de presión diferencial relativa a una referencia que es el vacío. SECCIÓN 6.3 ETAPAS EN CASCADA *4 Rl «6 (b) ■ FIGURA 6.16 (o) Circuito propuesto que ofrece una lectura dei combustible restante total. (6) Diseño de un dispositivo de almacenamiento a fin de evitar errores asociados con la resistencia interna del sensor y las limitantes de su capacidad para proporcionar corriente. Uno de estos dispositivos de almacenamiento se utilizan en cada sensor, ofreciendo las salidas vh i/2 y i/3 a la etapa amplificadora de suma. P R Á C T IC A __________ _____________ 6.3 Un puente con gran importancia histórica muestra signos de deterioro. Se ha decidido que, hasta que se pueda renovar, sólo podrán cruzarlo los ve­ hículos que pesen menos de 1600 kg. Para supervisar lo anterior, se diseña un sistema de pesado con cuatro capas de colchón. Hay cuatro señales de tensión independientes, una proveniente de cada colchón, dondel mV = 1 kg. Diseñar un circuito que proporcione una señal de tensión positiva que se desplegará en un MD (multímetro digital) y que represente el peso total del vehículo, de tal forma que 1 mV = 1 kg. Se puede suponer que no es nece­ sario almacenar las señales de tensión de los colchones. Respuesta: Vea la figura 6.17. cada una (aunque cualquier valor estará bien siempre y cuando sean iguales). Las tensiones de entrada i/,, v2, v-i y i/4 representan las señales de tensión de los sensores de los colchones de las cuatro ruedas y i/Hi es la señal de salida que se conectará a la terminal positiva de entrada del MD. Las cinco tensiones están referidas a tierra y la termina; común del MD deberá conectarse a tierra también. * AA/V 0 AAA/ -• CAPÍTULO 6 EL AMPLIFICADOR OPERACIONAL 6.4 , CIRCUITOS DE FUENTES DE TENSIÓN Y DE CORRIENTE En este capítulo y en capítulos anteriores se han utilizado a menudo fuentes de comente y de tensión ideales, las cuales se supone que proporcionan el mismo valor de corriente o de tensión, respectivamente, sin importar cómo se encuentren conectadas en un circuito. El supuesto de esta independencia tiene sus límites, por supuesto, como se mencionó en la sección 5.2 cuando se estudiaron las fuentes prácticas que incluían una resistencia inherente o “integrada”. El efecto de dicha resistencia era una reduc­ ción de la salida de tensión de una fuente de tensión a medida que se demandaba más corriente o una disminución de la corriente de salida a medida que se requería de más tensión de una fuente de corriente. Como se analizó en esta sección, es posible diseñar circuitos con características más confiables por medio del uso de amp op. Una fuente de tensión confiable Una de las formas más comunes para proporcionar una tensión de referencia estable y confiable es por medio del uso de un dispositivo no lineal conocido con el nombre i , Z e n e r t x a m p l e ( a c tiv e ) (a) (b) ¿ener txam ple (active; . H ||X i (c) ■ FIGURA 6.18 o) Esquema en PSpice de un circuito simple de tensión de referencia que se basa en el diodo Zener 1N750. b) Simulación del circuito que muestra la tensión del diodo Vref en función de la tensión de control VI. c) Simulación de la corriente de un diodo, donde se muestra que su valor máximo se excede cuando el valor de VI es más grande que 12.3 V. (Observar que el cálculo de este valor suponiendo un diodo Zener ideaI da 12.2 V.) SECCIÓN 6.4 CIRCUITOS DE FUENTES DE TENSIÓN Y DE CORRIENTE • AA/V 0 de diodo Zener. Su símbolo es un triángulo con una línea en forma de Z en la parte superior, como se muestra en el diodo 1N750 del circuito de la figura 6.18a. A pesar de ser un elemento de dos terminales, el diodo Zener se comporta de manera muy diferente que una resistencia simple (lineal). En particular, mientras que una resistencia es un dispositivo simétrico, un diodo no lo es. Sus dos termi­ nales están marcadas como ánodo (la parte plana del triángulo) y cátodo (el vertice del triángulo), y se logra un comportamiento muy diferente en función de la forma en que el diodo se inserta en el circuito. Un diodo Zener es un tipo especial de diodo que se diseñó para utilizarse con una tensión positiva en el cátodo con respecto al ánodo; cuando se conecta de esta forma, se dice que el diodo está po­ larizado en inversa. Con bajas tensiones, el diodo actúa como una resistencia con un pequeño incremento lineal en el flujo de corriente a medida que aumenta la tensión. Sin embargo, una vez que se alcanza una cierta tensión (V br ), — cono­ cida como tensión de ruptura inversa o tensión Zener del diodo— la tensión no aumenta en forma significativa, pero, en esencia, cualquier corriente puede circu­ lar hasta el valor máximo del diodo (75 mA en el caso del 1N750, cuya tensión Zener es de 4.7 V). Considerar el resultado de la simulación de la figura 6.18/?. el cual muestra la ten­ sión Vref en el diodo a medida que la fuente de tensión VI se barre desde 0 hasta 20 V. Siempre y cuando V I se mantenga arriba de 5 V, la tensión en el diodo será cons­ tante. Por ende, se podría sustituir VI por una batería de 9 V. sin que importen los cambios en la tensión de referencia ya que la de la batería comenzará a disminuir a medida que se descargue. La función de R l en este circuito es simplemente propor­ cionar la caída de tensión necesario entre la batería y el diodo; su valor debe selec­ cionarse para asegurar que el diodo se encuentra funcionando a su tensión Zener pero por debajo de su corriente máxima de diseño. Por ejemplo, la figura 6.18c muestra que el valor de 75 mA es excesivo en el circuito si la tensión VI de la fuente es mu­ cho mayor a 12 V. Por lo tanto, el valor de la resistencia R l debe diseñarse para que corresponda con la tensión de fuente disponible, como se analizará en el ejemplo 6.4. EJEM PLO 6.4 Diseñar un circuito con base en un diodo Zener 1N750 que funcione con una sola batería de 9 V y proporcionar una tensión de referencia de 4.7 V. El diodo 1N750 tiene un valor de corriente máxima de 75 mA y una tensión Zener de 4.7 V. La tensión de una batería de 9 V puede variar ligeramente en función de su estado de carga, valor que se despreciará en este diseño. Un circuito simple como el que se muestra en la figura 6.19a es apropiado para el propósito de este ejemplo; el único problema es determinar el valor adecuado de la resistor 7?ref. Si en el diodo se cae una tensión de 4.7 V, entonces 9 — 4.7 = 4.3 V de­ berán caerse en Rref. Por ende, R re f = 9 - Vref _ 4.3 l ref /ref Se determina el valor de R rc¡ especificando un valor de corriente. Se sabe que no se permite que el valor de / ref exceda de 75 inA en este diodo y que corrientes más grandes descargarán la batería más rápido. Sin embargo, como se puede observar en la figura 6.19b, no se puede seleccionar simple­ mente /ref de manera arbitraria; valores de corriente muy bajos no permitirán (Continúa en la siguiente página) a a / v-------------• ^ref -AAAr + 1N750 ' K V, 9V CAPÍTULO 6 EL AMPLIFICADOR OPERACIONAL que el diodo funcione en la región de ruptura del diodo Zener. En ausencia de una ecuación detallada que muestre la relación tensión-corriente del diodo (la cual es claramente no lineal), como regla general, se diseña para 50% de la corriente máxima. Por lo tanto, R Tef (a) Ri AAAr 115 DC - Q 37.10mA ov Q Se pueden obtener algunos “ajustes” llevando a cabo una simulación del circuito final con PSpice, aunque se puede observar en la figura 6.19c que en la primera corrida se logra un valor razonablemente cercano (dentro de 1%) al valor al que se intenta llegar. (b) 37.10mA 4.3 = --------- = 115 0.0375 4.733V El circuito básico para referencia de tensión con diodo Zener de la figura 6.18a funciona muy bien en muchas situaciones, pero limita de alguna manera el valor de la tensión dependiendo de qué diodos Zener se encuentren disponibles. Asimismo, a menudo se observa que el circuito que se muestra no es el más adecuado para apli­ caciones que requieren más de unos cuantos miliamperios de comente. En dichos casos, se puede utilizar el circuito de referencia Zener en conjunto con una simple etapa de amplificación, como se muestra en la figura 6.20. El resultado es una ten­ sión estable que puede controlarse ajustando el valor de R¡ o R f, sin tener que cam­ biar a un diodo Zener diferente. 37.10mA Í Z D! D1N750 “0 (C) I FIGURA 6.19 (o) Circuito de referencia de tensión basado en ei diodo Zener 1N750. (b) Relación /-1/ del diodo, (c) Simulación PSpice del diseño final. I FIG U RA 6.20 Fuente de tensión basada en amp op diseñada con una referencia de tensión Zener. P R A C T IC A 6.4 Diseñar un circuito que proporcione una tensión de referencia de 6 V utilizando un diodo Zener 1N750 y un amplificador no inversor. Respuesta: Utilizando la topología de circuito que se muestra en la figura 6.20, selec­ cionar Vbat = 9 V, i?ref = 115 Q, R\ = l kí2, y R f = 268 Q. Una fuente de corriente confiable Considerar el circuito que se muestra en la figura 6.21a, donde Vref lo propor­ ciona una fuente de tensión regulada como la que se muestra en la figura 6 .19a. El lector deberá reconocer este circuito como una simple configuración de am­ plificador inversor, suponiendo que se bloquea la pata de salida del amp op. Sin embargo, también es posible utilizar este circuito como fuente de comente, donde R l representa una carga resistiva. La tensión de salida Vref aparece en la resistencia de referencia R m f, puesto que la entrada no inversora del amp op está conectada a tierra. Como no circula SECCIÓN 6.4 CIRCUITOS DE FUENTES DE TENSIÓN Y DE CORRIENTE • -------------------- A /W (c) ■ FIGURA 6.21 (a) Fuente de corriente basada en amp op, controlada por la tensión de referencia V&. (b) Circuito redibujado para resaltar la carga, (c) Modelo del circuito. La resistencia Ri representa el equivalente de Norton de un circuito con una carga pasiva desconocida. Jung, Walter G.: IC OP-AMP COOKBOOK, 3a. edición, © 1986. Reimpreso con permiso de Pearson Education, Inc., Upper Saddle River, NJ. com ente a través de la entrada inversora, la corriente que circula a través de la resistencia de cargaR L es, simplemente, En otras palabras, la corriente suministrada a RL no depende de su resistencia, el atributo principal de una fuente ideal de comente. También vale la pena men­ cionar que no se bloquea la tensión de salida del amp op como una cantidad de in­ terés, sino que se puede ver a la resistencia de carga R¡ como el equivalente de Norton (o de Thévenin) de algún circuito con una carga pasiva desconocida, que recibe potencia del circuito amp op. Si se redibuja el circuito ligeramente como se muestra en la ñgura 6.21 b, se observa que tiene mucho en común con el circuito de la figura 6.21c. En otras palabras, se puede utilizar este circuito amp op como EJEMPLO 6.5 D iseñar una fuente de co rrien te que entregue resistiva a rb itra ria . 1 mA a una carga Con base en el diseño de los circuitos de las figuras 6.20 y 6.21a, se sabe que la com ente a través de la carga R¡_ está dada por donde deben seleccionarse los valores de Vrefy ^ref y también diseñarse un circuito que proporcione Vrcf. Si se utiliza el diodo Zener 1N750 en serie (Continúa en la siguiente página) 190 --------------- VW -------------------------------• «L B F IG U R A 6 .2 2 Posible diseño de la fuente de corriente que se desea. Observar el cambio en la dirección de la corriente en relación con la figura 6.216. CAPÍTULO 6 EL AMPLIFICADOR OPERACIONAL con una batería de 9 V y una resistencia dé 100 Q se sabe a partir de la figura 6.18¿> que habrá una tensión de 4.9 V en el diodo. Por ende, Vref = 4.9 V, dicta un valor de 4 .9 /1 0 -3 = 4.9 k£2 para Rrcf. En la figura 6.22 se muestra el circuito completo. Obsérvese que si se hubiera supuesto una tensión del diodo de 4.7 V, el error en la corriente del diseño pudo haber sido de sólo un pequeño por­ centaje, el cual bien podría haber estado dentro del intervalo de porcentaje de tolerancia típico de 5 a 10% de los valores de resistencia que se esperan. El único problema que queda es si 1 mA puede proporcionarse para cualquier valor de R¡ . Para el caso de R¡ — 0, la salida del amp op será de 4.9 V, el cual es razonable. Sin embargo, a medida que se incrementa la re­ sistencia de carga, la tensión de salida del amp op aumenta. Tarde o tem­ prano se alcanzará algún límite, como se estudia en la sección 6.5. P R Á C T IC A ' ___________________________________________________ 6.5 Diseñar una fuente de com ente capaz de proporcionar 500 fiA a una carga resistiva Respuesta: Vea Ja figura 6.23 donde se muestra una posible solución. Rl ■ FIGURA 6.23 Posible solución al problema de práctica 6.5 una fuente de corriente independiente con características esencialmente ideales, hasta alcanzar la comente de salida máxima del amp op que se seleccionó. 6.5 CONSIDERACIONES PRACTICAS ---------•-----------------------------------------------------------------------------------Un modelo más detallado del amp op *sal F IG U R A 6 .2 4 Modelo más detallado del amp op. Reducido a sus aspectos esenciales, el amp op se considera como una fuente de ^sal tensión dependiente controlada por tensión. La fuente de tensión dependiente pro­ porciona la salida del amp op y la tensión de la cual depende se aplica a las termi­ nales de entrada. Un esquema de un modelo razonable de un amp op práctico se muestra en la figura 6.24, en donde se incluye una fuente de tensión dependiente con ganancia de tensión A, una resistencia de salida Rs, y una resistencia de en­ trada Re. La tabla 6.3 proporciona valores usuales de tales parámetros respecto de varios tipos de amp op disponibles comercialmente. El parámetro A se conoce como la ganancia de tensión en lazo abierto del amp op, y por lo común se ubica en el intervalo de 105 a 106. Se puede observar que to­ dos los amp op que se presentan en la tabla 6.3 tienen una ganancia de tensión en lazo abierto muy alta, en especial si se la compara con la ganancia de tensión de 11 SECCIÓN 6.5 CONSIDERACIONES PRÁCTICAS TABLA 6.5 0 ■wv * Valores de parámetros característicos de varios amp op diferentes Núm ero de parte // A741 LM324 LF411 AD549K OPA690 Uso general 2 x 105 V/V Quad (cuatro dispositivos de baja potencia) 105 V/V Entrada JFET de bajo arrastre-,compensación baja 2i< 105 V/V Corriente de polarización de entrada ultrabaja 106 V/V amp op de frecuencia de video de banda ancha 2800V/V Descripción Ganancia en lazo abierto A Resistencia d e entrada Resistencia d e salida C orriente d e polarización de entrada 2 Mfi 75 fi 80 nA | Tensión de 1.0 mV com pensación de entrada Razón de rechazo 90 dB en m o d o com ún (C M R R ) Velocidad d e té rm in o 45 nA fi-fe TQ !h n 50 pA 10TQ ~ i5 a 75 fA / 2.0 mV 0.8 mV 0.150 mV ±1.0 mV 85 dB 100 dB 100 dB 65 dtí * 15 V7/.| 3 V/(Us 1800 V/jus * 0.5 V/¿¿s M o d e lo PSpice / ¡i / 190 k íl * 3nA / * No proporcionado por el fabricante'./ Indica que un modelo PSpice se incluye en £-w sión 10.0 de Oread Capture C I£; ■' que caracterizó al circuito amplificador no inversor del ejemplo 6.1. Resulta im­ portante recordar la distinción entre ganancia de tensión en lazo abierto del amp op mismo y la ganancia de tensión en lazo cerrado que caracteriza a un circuito de amp op particular. En este caso, el “lazo” se refiere a una trayectoria exte rn a entre la patilla (terminal) de salida y la patilla (terminal) de entrada inversora; puede ser un alambre, una resistencia u otro tipo de elemento, dependiendo de la aplicación. El ¡ ik lA l es un amp op muy común, producido originalmente por Fairchild Cor­ poration en 1968. Se caracteriza por una ganancia de tensión en lazo abierto de 200 000, una resistencia de entrada de 2 M fi y una de salida de 75 fi. Para evaluar en qué medida se aproxima el modelo del amp op ideal al comportamiento de este dis­ positivo particular, se volverá a revisar el circuito amplificador inversor de la figura 6.3. EJEMPLO 6.6 Utilizar los valores apropiados del amp op /í A741 del modelo de la figura 6.24 y analizar nuevamente el circuito amplificador inversor de la figura 6.3. Se comienza sustituyendo el símbolo del amp op ideal de la figura 6.3 por el modelo detallado, lo que da lugar al circuito de la figura 6.25. O b se rv a r q u e y a n o se p u e d e re c u rrir a las reg la s d e l a m p o p ideal, p u e s to q u e n o se e stá u tiliza n d o e l m o d e lo d e a m p op ideal. Por lo tanto, se pueden escribir dos ecuaciones nodales: 0= ~V d ~ Ver Ri 0 Rf V$a[ + V¿ Vsa ~ A v d Rí R„ + ~Vd Ri = Al efectuar operaciones algebraicas directas pero largas, se elimina Vj y se combinan las ecuaciones para obtener la siguiente expresión correspondiente (Continúa en la siguiente página) flEMUCII A /W -« CAPÍTULO 6 EL AMPLIFICADOR OPERACIONAL -o K z'sal o AAAr 3 F IG U R A 6 .2 5 Circuito de amplificador inversor dibujado con el modelo de amp op detallado, a iisai en términos de uent: R¡ Al sustituir i)em= 5 sen3?mV, R j = 4.7 kQ, R f = 47 kí2, R 0 = 2 MÍ2, y A = 2 x 105, se obtiene: Usa! = -9.999448ye„t= -4 9 .9 9 7 2 4 sen3f = 75 Q. mV Luego de comparar ésta con la expresión que se encontró suponiendo un amp op ideal (vsa¡ = — I- 10ucnt = — 50 sen 31 mV), se observa que éste re­ sulta en realidad un modelo razonablemente preciso. Además, el supuesto de un amp op ideal disminuye de manera considerable el nivel de álgebra requerido para efectuar el análisis de circuito. Observar que si se deja que A ->■ oo, R0 ->■ 0, y R ¡ oc, la ecuación [15] se reduce a Rf que es la ecuación que se obtuvo antes del amplificador inversor cuando se supuso un amp op ideal. 6.6 Suponiendo una ganancia finita (A), en lazo abierto, una resistencia de entrada finita (R ¡) y una resistencia de salida cero ( R 0) , obtenga una expresión de usai en términos de uent del circuito de amp op de la figura 6.3. Respuesta: iWifent = — AR, S¡/[(1 + A ) R t R, + R]Rj + RjR¡\. Deducción de las reglas del amp op ideal Se ha visto que el amp op ideal es un modelo muy exacto del comportamiento de dispositivos prácticos. Sin embargo, si se utiliza el modelo más detallado que in­ cluye una ganancia finita en lazo abierto, una resistencia de entrada finita y una resistencia de salida distinta de cero, en realidad se obtienen de manera directa las dos reglas de amp op ideal. Con referencia a la figura 6.24, se puede observar que la tensión de salida del circuito abierto de un amp op práctico se expresa como: «sal = A vd [16] SECCIÓN 6.5 CONSIDERACIONES PRÁCTICAS Al reordenar la ecuación, se puede ver que v¿, denominada algunas veces como tensión de entrada diferencial, se escribe como: Como se podría esperar, hay límites prácticos para la tensión de salida vsai que se obtiene de un amp op real. Según se describe en la sección siguiente, es necesario conectar el amp op a suministros de tensión cd externos para alimen­ tar potencia a la circuitería interna. Tales alimentaciones de tensión externas representan el valor máximo de usai y se ubican por lo común en el intervalo de 5 a 24 V. Si dividimos 24 V por la ganancia en lazo abierto del ¿u,A741 (2 x 105), se obtiene v¿ = 120 / i V. Aunque no es igual a cero volts, un valor tan pequeño comparado con la tensión de salida de 24 V es prácticamente cero. Un amp op ideal tendría ganancia infinita en lazo abierto, lo que originaría v¿ = 0 indepen­ dientemente de usai; lo anterior remite a la regla 2 del amp op ideal. La regla 1 del amp op ideal establece que “ninguna corriente fluye hacia cualquier terminal de entrada”. De acuerdo con la figura 6.23, la com ente de entrada de un amp op es simplemente: Se acaba de ver que v¿¡ suele ser una tensión muy pequeña. Como se observa en la tabla 6.3, la resistencia de entrada de un amp op característico es muy grande, ¡pues varía de los megaohms a los teraohms! M ediante el valor de Vd = 120 /iV anterior y R¡ = 2 M fi, se calcula una corriente de entrada de 60 pA es una com ente en extremo pequeña y para medirla se requeriría de un am­ perímetro especializado (conocido como picoamperímetro). En la tabla 6.3, la com ente de entrada característica (denominada con mayor precisión corriente de polarización de entrada) de un //A 74 I es sólo de 80 nA. Comparada con las otras com entes que fluyen en un circuito de amp op común, el valor es esencial­ mente cero. Los amp op más modernos (como el AD549) tienen incluso comentes de polarización de entrada inferiores. Por lo tanto, se concluye que la regla 1 del amp op ideal es un supuesto bastante razonable. Con esta explicación, queda claro que un amp op ideal tiene una ganancia de tensión en lazo abierto infinita y una resistencia de entrada infinita. Sin embargo, no se ha considerado aún la resistencia de salida del amp op y sus posibles efec­ tos en nuestro circuito. Con referencia a la figura 6.24, se ve que: ^sal R qÍ sal donde ¿Sai circula desde la pata de entrada del amp op. De tal modo, un valor de Ra distinto de cero actúa para reducir la tensión de salida, un efecto que se vuelve m ás pronunciado cuando aum enta la corriente de salida. Por esta razón, un amp op ideal tiene una resistencia de salida de cero ohms. El ¡jlA741 tiene una resistencia de salida m áxim a de 75 Q, y los dispositivos más modernos, como el AD549 y el AD515A, tienen incluso una resistencia de salida inferior. Rechazo en modo común El amp op a veces se conoce como amplificador diferencial, debido a que la salida es proporcional a la diferencia de tensión entre las dos terminales de entrada. Ello significa que si se aplican tensiones idénticas en ambas terminales de en- * A /W 0 1 9 4 )--------------- VW CAPÍTULO 6 EL AMPLIFICADOR OPERACIONAL ------------------------------ • R trada, se puede esperar que la tensión de salida sea cero. Esta capacidad de un amp op es lina de sus cualidades más atractivas y se conoce como rechazo en m odo com ún. El circuito de la figura 6.26 se conecta para proporcionar una tensión de salida »sal ■ FIGURA 6.26 Amp op conectado con un amplificador diferencial. v s¡¿ = v 2 ~ Vl y Si vi = 2 + 3sen3í volts y v¡ = 2 volts, se debe esperar que la salida fuera “ —3 sen 31 volts; la componente de 2 V común a vi y t>2 no se amplificaría ni aparecería en la salida. En amp op prácticos, se encuentra que, en realidad, una pequeña contribu­ ción a la salida es respuesta a las señales en modo común. Con el fin de comparar un tipo de amp op con otro, a menudo es útil expresar la capacidad de un amp op para rechazar señales en modo común a través de un parámetro conocido como razón de rechazo en modo común, o CM RR. Cuando se define uOCMcomo la salida que se obtiene cuando ambas entradas son iguales (v\ = i>2 = ^cm)> se puede determinar A c m , la ganancia en modo común del amp op, A cm y»CM VCM A continuación se define el CMRR en términos del cociente de la ganancia en modo diferencial A y la ganancia en modo común A cm. o CMRR = A [18] ^CM aunque a menudo se expresa en decibeles (dB), que es una escala logarítmica: CMRR(dB) = 20 log10 A dB [19] *CM En la tabla 6.3 se proporcionan valores típicos de algunos amp op; un valor de 100 dB corresponde a una relación absoluta de 105 de A y Acm - Retroalimentación negativa Se ha visto que la ganancia en lazo abierto de un amp op es muy grande e ideal­ mente infinita. Sin embargo, en situaciones prácticas su valor exacto varía respecto del valor que el fabricante especifica como característico. Es posible, por ejem­ plo, que la temperatura tenga varios efectos importantes en el desempeño de un amp op, de modo que el comportamiento de operación a —20°C quizá sea muy diferente del observado en un caluroso día soleado. Además, hay pequeñas variaciones características entre dispositivos fabricados en diferentes momen­ tos. Si se diseña un circuito en el que la tensión de salida sea la ganancia en lazo abierto multiplicada por la tensión en una de las terminales de entrada, la tensión de salida sería difícil de predecir con un razonable grado de precisión, por lo que podría esperarse que cambiara en función de la temperatura ambiente. Una solución a tales problemas potenciales consiste en emplear la técnica de retroalimentación negativa, que es el proceso de sustraer una pequeña fracción de la salida y añadirla a la entrada. Si algún suceso cambia las características del circuito de modo que la salida intente aumentar, simultáneamente la entrada se reduce. Una gran cantidad de retroalimentación negativa evitará toda amplifi­ cación útil, aunque una cantidad pequeña proporciona estabilidad. Un ejemplo de retroalimentación negativa es la desagradable sensación que se experimenta cuando se pone una mano cerca de una flama. Mientras más se la acerque, más SECCIÓN 6.5 CONSIDERACIONES PRÁCTICAS grande es la señal negativa que se envía desde la mano. Sin embargo, si se exagera la proporción de retroalimentación negativa, se ocasionaría el rechazo del calor y, a la larga, la muerte por congelamiento. La retroalimentación positiva es el proceso donde determinada fracción de la señal de salida se suma de nuevo a la entrada. Un ejemplo común es cuando un micrófono se dirige haciaun altoparlante: rápidamente, un sonido muy suave se amplifica cada vez más, hasta que el sistema “chilla”. Por lo general, la retroalimentación positiva conduce a un sistema inestable. Todos los circuitos que se estudian en este capítulo incorporan una retroali­ mentación negativa a través de la presencia de una resistencia entre la patilla (terminal) de salida y la entrada inversora. El lazo resultante entre la salida y la entrada reduce la dependencia de la tensión de salida respecto del valor real de la ganancia en lazo abierto (como en el ejemplo 6.6). Ello elimina la necesidad de medir la ganancia precisa en lazo abierto de cada amp op que se usa, pues pe­ queñas variaciones de A no afectarán de manera significativa la operación del circuito. Además, la retroalimentación negativa proporciona una mayor estabili­ dad en situaciones donde A es sensible en los alrededores de los amp op. Por ejemplo, sí A aumenta en forma repentina como respuesta a un cambio en la temperatura del ambiente, se agrega una tensión de retroalimentación mayor a la entrada inversora, lo cual reduce la tensión de entrada diferencial v,¡\ por lo tanto, el cambio en la tensión de salida A es más pequeño. Se debe notar que la ganancia de circuito en lazo cerrado siempre es menor que la ganancia del dis­ positivo en lazo abierto. Es el precio que se paga por la estabilidad y la reduc­ ción de la sensibilidad ante los cambios en los parámetros. Saturación Hasta ahora, se ha considerado el amp op como un dispositivo puramente lineal, bajo el supuesto de que sus características son independientes de la manera en la que se conecta en un circuito. En realidad, se requiere suministrar potencia a un amp op para accionar la circuitería interna, como se muestra en la figura 6.27. Un suministro positivo, por lo común en el intervalo de 5 a 24 V cd, se conecta a la terminal marcada como V+, a la vez que un suministro negativo de igual magni­ tud se conecta a la terminal señalada como V - . En un número limitado de apli­ caciones resulta aceptable un suministro de tensión sencillo, así como situaciones en las que las dos magnitudes de tensión tal vez sean desiguales. El fabricante de amp op casi siempre especificará una tensión del suministro máximo de potencia, más allá del cual ocurrirán daños en los transistores internos. Las tensiones del suministro de potencia son una elección crítica cuando se diseña un circuito de amp op, debido a que representan la tensión de salida máxima posible del mismo amp.3 Por ejemplo, considerar el circuito de amp op que se muestra en la figura 6.26, ahora conectado como un amplificador no in­ versor con una ganancia de tensión de 10. Como se muestra en la simulación con PSpice de la figura 6.28, se observa un comportamiento lineal en el amp op, pero sólo en el rango de ± 1 . 71V de la tensión de entrada. Fuera de este rango, la tensión de salida ya no es proporcional a la entrada, y alcanza su magnitud pico de 17.6 V. Este efecto no lineal se conoce con el nombre de saturación, el cual se refiere al hecho de que cualquier incremento adicional en la tensión de entrada no proporciona un cambio en la tensión de salida. Este fenómeno se re­ fiere al hecho de que la salida de un amp op real no puede exceder sus tensiones de suministro. Por ejemplo, si se opta por que el amp op funcione con un (3) En la práctica, se encuentra una tensión de salida máxima un poco menor que la tensión de suministro de un volt, más o menos. ■ FIGURA 6.27 Amp op con suministros conectados de tensión positiva y negativa. Se utilizan como ejemplo dos suministros de 18 V; observar la polaridad de cada fuente. A /W -• CAPITULO 6 EL AMPLIFICADOR OPERACIONAL ■ FIG U RA 6.28 Características de entrada-salida de un /¿A741 conectado como amplificador no inversor con una ganancia de 10 y alimentado por fuentes de ± 18 V. suministro de + 9 V y con uno de —5 V entonces la tensión de salida estará limi­ tada al intervalo de —5 a + 9 V. La salida de un amp op es una respuesta lineal limitada acotada por las regiones de saturación positiva y negativa, por lo que, como regla general, los circuitos de amp op se diseñan de manera que no entren en form a accidental en la región de saturación. Ello requiere elegir con cuidado la tensión de operación, con base en la ganancia en lazo cerrado y la tensión de entrada esperada máxima. Tensión de compensación de entrada I FIGURA 6.29 Circuiteria externa sugerida para obtener una tensión de salida cero. Los suministros de ± 10 V V se dan como un ejemplo; las tensiones de suministro reales utilizadas en el circuito final se deben elegir en la práctica. Según ha comenzado a descubrirse, hay varios aspectos prácticos que se debe con­ siderar cuando se trabaja con los amp op. Una situación no ideal particular que vale la pena mencionar es la tendencia de los amp op reales a tener una salida dis­ tinta de cero, incluso cuando las dos terminales de entrada se ponen simultánea­ mente en corto. El valor de la salida bajo tales condiciones se conoce como tensión de compensación, mientras que la tensión de entrada requerida para reducir la salida hasta cero recibe el nombre de tensión de compensación de entrada. En la tabla 6.3 se puede observar que los valores característicos de la tensión de compen­ sación de entrada son del orden de unos cuantos milivolts o menos. La mayoría de los amp op incluyen dos patillas marcadas como “compen­ sación del cero” o “balance”, las cuales se utilizan para ajustar la tensión de salida conectándolas a una resistencia variable, que es un dispositivo de tres terminales empleado con frecuencia en aplicaciones como los controles de volumen de las radios. El dispositivo incluye una perilla que se gira para seleccionar el valor real de resistencia y tiene tres terminales. Si la resistencia variable se conecta utilizando sólo las dos terminales de los extremos, su resistencia se fija sin que importe la posición de la perilla. El uso de la terminal m edia y de una de las term inales de los extremos lo convierten en una resistencia cuyo valor depende de la posición de la perilla. La figura 6.29 muestra el circuito carac­ terístico mediante el cual se ajusta la tensión de salida de un amp op; la hoja de datos del fabricante quizá sugiera una circuiteria alternativa para un disposi­ tivo particular. AA/V SECCIÓN 6.5 CONSIDERACIONES PRÁCTICAS 0 Velocidad de decaimiento Hasta el momento, se ha supuesto tácitamente que el amp op responderá de la misma form a a las señales de cualquier frecuencia, aunque quizás no sería sor­ presivo saber que en la práctica existe una limitación a este respecto. Puesto que se conoce que los circuitos con amp op funcionan bien en cd, lo cual es, en esen­ cia, una frecuencia igual a cero, lo que se debe considerar es el desempeño a medida que la frecuencia de la señal a u m e n ta . Una medida del desempeño en frecuencia de un amp op es su velocidad de decaimiento, la cual es la velocidad a la que la tensión de salida puede responder a los cambios de la entrada; a menudo se expresa como V//us. La especificación de la velocidad de decaimiento típico de algunos dispositivos disponibles en el mercado se proporciona en la tabla 6.3, la cual muestra los valores del orden de algunos volts por microsegundo. Una excepción importante es el OPA690, que está diseñado como un amp op de alta velocidad para aplicaciones de video que requieren operar a varios cientos de MHz. Com o puede observarse, una respetable velocidad de de­ caimiento de 1800 V//us no es nada raro en este dispositivo, aunque sus demás parámetros se ven afectados como consecuencia de esta característica, especial­ mente la corriente de polarización de entrada y el CMRR. Las simulaciones con PSpice que se muestran en la figura 6.30 ilustran la degradación del desempeño de una amp op debido a las limitaciones de la ve­ locidad de decaimiento. El circuito simulado es un LF411 configurado como am­ plificador no inversor con una ganancia de 2 y alimentado por fuentes de ± 1 5 V. □ U ( U in :+ ) (a) > U ( U 1 : 0U T ) (» □ U { U in :+ ) U ( U 1 : 0U T ) T in e (c) ■ FIGURA 6.30 Simulación del desempeño cié un amp op LF411 conectado como amplificador no inversor con una ganancia de 2, alimentación de ±15 V y forma de onda pulsada de entrada, (a) Tiempos de subida y bajada = 1fjs, ancho de pulso = 5 fjs; (b) tiempos de subida y bajada = 100 ns, ancho de pulso = 500 ns; (c) tiempos de subida y bajada = 50 ns, ancho de pulso = 250 ns. AA/V -• CAPÍTULO 6 EL AMPLIFICADOR OPERACIONAL La forma de onda de entrada, que se muestra en verde, tiene una tensión pico de 1 V; la tensión de salida se muestra con rojo. La simulación de la figura 6.30a corresponde a un tiempo de subida y de bajada de 1 /¿s, el cual a pesar de que es un tiempo muy corto para los seres humanos, es fácilmente alcanzable por el LF411. A medida que los tiempos de subida y bajada disminuyen por un factor de 10 a 100 ns (figura 6.30b), se comienza a ver que el LF411 experimenta algunas difi­ cultades para seguir la entrada. En el caso de un tiempo de subida y bajada de 50 ns (figura 6.30c), se puede observar que no sólo existe un retraso significativo entre la salida y la entrada, sino que la forma de onda se distorsiona de manera considerable, lo cual no es una buena característica en un amplificador. Este comportamiento ob­ servado es congruente con la típica velocidad de decaimiento de 15 V//xs que se es­ pecifica en la tabla 6.3, la cual muestra que es posible que se espere que la salida requiera de 130 ns aproximadamente para cambiar de 0 a 2 V (o 2 V a 0 V). Encapsulamiento Los amp op modernos se presentan en varios tipos diferentes de encapsulamientos. Algunos estilos son más apropiados para altas temperaturas, por lo que hay una variedad de formas diferentes para montar los CI en los tableros de circuito impreso. La figura 6.31 muestra varios tipos diferentes del LM741 fabricados por National Semiconductor. El término “NC” junto a una patilla significa “no connection”. Los es­ tilos de encapsulamiento exhibidos en la figura son configuraciones estándar que se utilizan en un gran número de circuitos integrados diferentes; en ocasiones hay más patillas (terminales) disponibles en un encapsulamiento de las que se requieren. encapsulam iento de envase metálico encapsulamiento doble en línea o S.O. empaque plano de cerám ica compensación del cero compensación del cero+ entrada inversora entrada entrada + a no inversora «•* V- ■compensación del a (a) (b) (c) I FIGURA 6.31 Varios estilos de encapsulamiento diferente del amp op LM741. (a) Envase metálico; (b) encapsulamiento doble en línea; (c) empaque plano cerámico. § 2000 National Semiconductor Corporation/www.national.com). A N Á LISIS A SIST ID O POR C O M PU T A D O RA Como se acaba de ver, PSpice puede ser de una enorme ayuda en la predicción de la salida de un circuito amp op, especialmente en el caso de entradas que varían con el tiempo. Sin embargo, se podrá observar que el modelo ideal de amp op concuerda bastante bien con las simulaciones con PSpice como regla general. Cuando se efectúa una simulación PSpice de un circuito de amp ops, debe tenerse el cuidado de recordar que los suministros cd positivo y negativo deben conectarse al dispositivo. Si bien el modelo muestra las patillas de compen­ sación utilizadas para poner en cero la tensión de salida, PSpice no hace ninguna compensación, por lo que las patillas (terminales) se dejan casi siem­ pre flotando (sin conectar). La tabla 6.3 presenta los diferentes números de serie de los amp op disponibles en la versión de evaluación de PSpice; otros modelos se ob­ tienen en la versión comercial del programa y de otros fabricantes. SECCION 6.5 CONSIDERACIONES PRÁCTICAS •- --- \A /V 0 EJEMPLO 6.7 Simular el circuito de la figura 6:3 mediante PSpice. Determinar el o los puntos en los que empieza la saturación sí se utilizan suministros de ± 1 5 V cd para alimentar el dispositivo. Comparar la ganancia calculada por PSpice con la que se pronosticó con el modelo de amp op ideal. Para empezar, es necesario dibujar el circuito de amplificador inversor de la figura 6.3 mediante la herramienta de captura de diagramas, que se muestra en la figura 6.32. Observar que se requieren dos suministros separados de 15 V de cd para accionar el amp op. fSt ffcce ¡htrt! áMfflAi : scHEMATict jn~ Í ílh jj h Mura 'U-dr» . . •:fl »_g: - * * i; “ _i_•' ... Xi—•.1;-Jffi:_;___ • ■ FIGURA 6.32 El amplificador inversor de la figura 6.3 se dibujó utilizando un amp op ¡j,A741. En el análisis previo, un modelo de amp op ideal predijo una ganancia de —10. Con una entrada de 5 sen 3í mV, lo cual provoca una tensión de salida de —50 sen 3í mV. Sin embargo, hubo un supuesto implícito en el análisis respecto de que cualquier entrada de tensión se amplificaría por un factor de —10. Con base en consideraciones prácticas, se espera que sea cierto para tensiones de entrada pequeñas aunque, a la larga, la salida se saturará hasta un valor comparable a la correspondiente tensión del suministro de potencia. Se llevó a cabo un barrido de cd de —2 a + 2 volts, como se muestra en la figura 6.33; éste es un rango ligeramente mayor que la tensión de ali­ mentación dividida entre la ganancia, por lo que se espera que los resultados incluyan las regiones de saturación positivas y negativas. Como se puede observar, si se utiliza el cursor en los resultados de la simu­ lación que se muestran en la figura 6.34a (ampliados en la figura 6.34b para mayor claridad), la característica de entrada-salida de un amplificador es en reali­ dad lineal a lo largo de un intervalo amplio de entrada, que corresponde aproxi­ madamente a —1.45 < Vs < + 1.45 V. Este intervalo es un poco menor que el que se define al dividir las tensiones positiva y negativa de suministro entre la ganancia. Fuera de dicho intervalo, la salida del amp op se satura, con sólo una ligera dependencia de la tensión de la entrada. De esta forma, en las dos regiones de saturación, el circuito no se comporta como un amplificador lineal. Al aumentar el número de dígitos del cursor (Tools, Options, Number of Cursor Digits) hasta 10, encontramos que la tensión de entrada es de (Continúa en la siguiente página) 200 i-------W V CAPITULO 6 EL AMPLIFICADOR OPERACIONAL Sim ulation Settings Genera! A n d á is Figure 6_31 j Configuratior! Fi!es j Optians Ananas type: | Data Coiection Sweep variable j DC Sweep ?• Voltage source Options: C Current source C Global parameter r¿Secondary Sweep □ M o n le Carlo/W orst Case LjParam etnc Sweep ¡□ Tem peratura (Sweep) □ S a v e Bias Point ÍD L o a d Bias Point j Probe Window ] — C' Model parameter C" Temperatura S w e e p ty p e -------- Start valué: <* Linear f Logarithmie End valué: jDe C Valué list j OK Cancel Help ■ F IG U R A 6 .3 3 Ventana de configuración del barrido de DC. M I K U I :O U T ) U_Us (a) Cursor A1 = - 1 . 4 5 , 112 = 1 .45 , riif= - 2 . 9 1 , Probé 1 4 .5 I -14.5 2 9.0 | ib) ■ F IG U R A 6 .3 4 (a) Tensión de salida del circuito amplificador no inversor, con el comienzo de la saturación señalado con el cursor. (b) Acercamiento de la ventana del cursor. Vs = l.OV, la tensión de salida es —9.99548340, ligeramente menor que el valor de —10 predicho a partir del modelo del amp op ideal, y un poco diferente del valor —9.999448 que se obtuvo en el ejemplo 6.6 mediante el modelo analítico. No obstante, los resultados predichos por el modelo ¿iA741 de PSpice están dentro de unos cuantos centésimos de porcentaje de cualquier modelo analítico, lo que demuestra que el modelo de amp op ideal SECCIÓN 6.6 LOS COMPARADORES Y EL AMPLIFICADOR DE INSTRUMENTACIÓN A /V V » es en realidad una aproximación muy precisa para los modernos circuitos integrados de amplificador operacional. P R Á C T I CA ____________ ____________________ _____________________ 6.7 Simular los restantes circuitos de amp op que se describieron en este capítulo y comparar los resultados con los predichos por el modelo ideal del amp op. 6.61 LOS COMPARADORES Y EL AMPLIFICADOR_______ * DE INSTRUMENTACIÓN El comparador Cada circuito amp op que se ha estudiado hasta ahora ha incluido una conexión eléctrica entre la pata de salida y la pata de entrada inversora, a la cual se le conoce como operación de lazo cerrado y se utiliza para proporcionar retroali­ mentación negativa como se mencionó con anterioridad. La operación de lazo cerrado es el método preferido para utilizar un amp op como amplificador, ya que sirve para aislar el desempeño del circuito de las variaciones en la ganancia de lazo abierto que surgen a partir de las variaciones de temperatura o de defec­ tos de fabricación. Sin embargo, existe un gran número de aplicaciones donde representa una ventaja la utilización del amp op con una configuración de lazo abierto. Los dispositivos diseñados para utilizarse en dichas aplicaciones a menudo se conocen como c o m p a ra d o re s , ya que están diseñados en forma ligera­ mente distinta de los amp op normales a fin de mejorar su velocidad cuando tra­ bajan en lazo abierto. La figura 6.35a muestra un simple circuito comparador donde una tensión de referencia de 2.5 V está conectada a la entrada no inversora y la tensión a comparar (uent) está conectada a la entrada inversora. En razón de que el amp op tiene una ganancia de lazo abierto A muy grande (típicamente 105 o mayor, como se puede observar en la tabla 6.3), no es necesario una diferencia de ten­ sión muy grande entre las terminales de entrada para llevarlo al punto de satu­ ración. En realidad, se requiere una tensión de entrada diferencial tan pequeña como la tensión de alimentación dividida entre A, esto es, aproximadamente 28U -I---- T---- ;---- ;---- T--------- T---- T-----;---- T---- -----7----T---- 7---- 7--------- 7---- 7---- -- —12 V Compensación í del cero I^ «J 1 .8 V 2 . BU 3 . BU 4 . §U 5 .0 U (V) (a) (b) ■ FIGURA 6.35 (a) Ejemplo de un circuito comparador con una tensión de referencia de 2.5 V. (b) Gráfica de la característica entrada-salida. 0 A A A a CAPÍTULO 6 EL AMPLIFICADOR OPERACIONAL ± 1 2 0 /xV en el caso del circuito de la figura 6.35a y A = 105. En la figura 6 3 5 b se muestra la salida distintiva del circuito comparador, donde la respuesta varía entre el valor positivo y negativo de la saturación, sin que haya en esen­ cia una región de “amplificación” no lineal. Por ende, una salida positiva de 12 V del comparador indica una tensión de entrada 12 V m enor que la tensión de referencia, mientras que una salida negativa de 12 V señala una tensión de en­ trada m ayor que la referencia. Se logra un comportamiento opuesto si se conecta la tensión de referencia a la entrada inversora. EJ EMP LO 6.8 Diseñar un circuito que proporcione una salida ‘1 lógico” de 5 V si cierta señal de tensión cae por debajo de 3 V¿y que sea igual a cero en cualquier otro caso. i ^señal F IG U R A 6 .3 6 Posible diseño del circuito requerido. i En razón de que se desea que la salida del comparador varíe entre 0 y 5 V, se utilizará un amp op con una única fuente de + 5 V conectada como se muestra en la figura 6.36. Se conecta una tensión de referencia de + 3 V a la entrada no inversora, la cual puede ser proporcionada por las dos baterías de 1.5 V en serie, o un circuito de referencia a base de un diodo Zener. La señal de tensión de salida (que se designa como i;scfla|), entonces se conecta a la entrada inver­ sora. En realidad, el rango de tensión de saturación de un circuito comparador será ligeramente menor que el de las tensiones de alimentación, por lo que será necesario realizar algunos ajustes en conjunto con la simulación y la prueba. P R A C T IC A ________ 6.8 Diseñar un circuito que proporcione una salida de 12 V si una cierta tensión (ferial) excede el valor de 0 V, y una salida de —2 V en cualquier otro caso. Respuesta: La posible solución se muestra en la figura 6.37. I F IG U R A 6 .3 7 Una posible solución al problema de práctica 6.8. Amplificador de instrumentación El circuito comparador básico actúa sobre la diferencia de tensión entre las dos terminales de entrada del dispositivo, aunque desde el punto de vista técnico no amplifica las señales ya que la salida no es proporcional a la entrada. El am­ plificador diferencial de la figura 6.10 también actúa sobre la diferencia de ten­ sión entre las entradas inversora y no-inversora y, siempre y cuando se evite la saturación, generará una salida directamente proporcional a esta diferencia. Sin embargo, cuando se esté trabajando con una tensión de entrada muy pe­ queña, una m ejor opción es un dispositivo conocido como am plificador de SECCIÓN 6.6 LOS COMPARADORES Y EL AMPLIFICADOR DE INSTRUMENTACIÓN instrum entación, el cual está formado en realidad por tres dispositivos amp op en un solo encapsulado. Un ejemplo común de la configuración del amplificador de instrumentación se muestra en al figura 6.38a y su símbolo se muestra en la figura 6.38b. Cada una de las entradas alimenta directamente a la etapa de seguidor de tensión y la salida de ambos seguidores alimenta a una etapa del amplificador diferencial. En particu­ lar, el amplificador de instrumentación se adecúa muy bien en aplicaciones donde la señal de tensión de entrada es muy pequeña (por ejemplo, del orden de milivolts), como las que generan los termoacopladores o medidores de esfuerzo y donde pueda presentarse una señal grande de ruido en modo común de varios volts. (b) l F IG U R A 6 .3 8 (o) Amplificador de instrumentación básico. (b) Símbolo que se utiliza comúnmente. Si todos los componentes del amplificador de instrumentación se fabricaran en la misma “pastilla” de silicio, sería posible obtener características del disposi­ tivo muy precisas y lograr cocientes exactos de los dos conjuntos de resistencias. Con la finalidad de maximizar el CMRR del amplificador de instrumentación, se espera que R 4/ R 3 = R 2 / R 1 , por lo que se obtiene una amplificación igual de componentes en modo común de las señales de entrada. Para analizar esta cuestión con más detalle, se identificará la tensión a la salida del seguidor de ten­ sión en la parte superior como “i>_” y la tensión a la salida del seguidor de tensión en la parte inferior como “u+”. Bajo el supuesto de que los tres amp op son ideales y eligiendo a la tensión en cualquiera de las entradas de la etapa diferencial, vx, se pueden escribir las ecuaciones nodales siguientes: vx - v - vx - vsaí _ 0 R1 [ 20] R2 vx — v+ —------ i r3 vx + — = 0 r4 [2 1 ] Despejando vx en la ecuación [21], se tiene que vx = v+ 1 + R 3/ R 4 [ 22] y sustituyendo este valor en la ecuación [20] se obtiene la expresión de usai en términos de la entrada: /?4 / 1 + R 2/ R 1 \ R2 usal = — -------------- I v+ ------- v_ R 3 \ l + R 4 / R 3) + R 1 [23] A partir de la ecuación [23] es evidente que el caso general permite la ampli­ ficación de los componentes en modo común de las dos entradas. Sin embargo, A /W CAPÍTULO 6 EL AMPLIFICADOR OPERACIONAL en el caso particular donde Rj./R} = R 2 / R 1 = K, la ecuación [23] se reduce a K (u+ — V - ) = K v¿, de tal forma que (suponiendo amplificadores operacionales ideales) se amplificará sólo la diferencia y la ganancia estará determinada por el cociente de las resistencias. En razón de que estas resistencias están en el interior del amplificador de instrumentación y el usuario no puede acceder a ellos, los dis­ positivos prácticos como el AD622 permiten que pueda fijarse la ganancia en cualquier punto dentro del intervalo de 1 a 1000 conectando una resistencia ex­ terna entre dos de sus patillas (se muestra en la figura 6.38b como Ra)- RESUMEN Y REPASO______________________________ □ Existen dos reglas fundamentales que deben aplicarse cuando se analizan los circuitos de amp op ideales: 1. No fluye com ente hacia ninguna terminal de entrada. 2. Nunca existe tensión entre las terminales de entrada. □ La tensión de salida de los circuitos de amp op suele analizarse en términos de alguna cantidad o cantidades de entrada. □ El análisis nodal suele ser la mejor elección para analizar los circuitos de amp op; además, resulta más conveniente empezar en la entrada y trabajar hacia la salida. □ No se puede suponer la corriente de salida de un amp op; debe calcularse después de que la tensión de salida se determinó de manera independiente. □ L a ganancia de un circuito de amp op inversor está dada por la ecuación Usal — Rf ^ent R1 □ La ganancia de un circuito de amp op no inversor se obtiene mediante la ecuación: Usal = ( l + ^nt □ Una resistencia casi siempre se conecta desde la patilla (terminal) de salida de un amp op hasta su patilla (terminal) de entrada inversora, lo cual incorpora una retroalimentación negativa en el circuito para incrementar la estabilidad. □ El modelo de amp op ideal se basa en la aproximación de la ganancia infinita en lazo abierto A, la resistencia de entrada infinita R¡ y la resistencia de salida cero Ra. □ En la práctica, el intervalo de la tensión de salida de un amp op está limitado por las tensiones de suministro utilizadas para activar el dispositivo. LECTURAS ADICIONALES__________________________ Dos libros muy amenos que tratan acerca de las aplicaciones de los am p op son: R. Mancini (ed.). OpAmpsAre ForEveryone, 2a. ed. Amsterdam: Newnes, 2003. También se encuentra disponible en el sitio web de Texas Instruments (www.ti.com). W. G. Jung, Op Amp Cookbook, 3a. ed. Upper Saddle River, N.J.: Prentice Hall, 1997. Las características del diodo Zener y otros tipos de diodos se estudian en el capítulo 1 de W. H. Hayt. Jr. and G. W. Neudeck, Electronic Circuit Analysis and Design, 2a. ed. Nueva York: Wiley, 1995. EJERCICIOS AAAr Uno de los primeros reportes sobre la implantación de un "amplificador operacional" se puede encontrar en J. R. Ragazzini, R. M. Randall y F. A. Russell, “Analysis of problems in dynamics by electronic circuits,” P roceedings o fth e IR E 35(5), 1947, pp. 444-452. Y una guía de aplicaciones de los amp op se puede encontrar en el sitio w eb de la compañía Analog Devices, Inc. (www.analog.com ): George A. Philbrick Researches, Inc, A p plications M a nu a l fo r C om puting A m plifiers fo r M odelling, M easuring, M a nipulating & M uch Else. Norwood, Mass.: Analog Devices, 1998. EJERCICIOS 6 .2 El a m p o p id e a l 1. En el circuito op amp de la figura 6.39, calcular si (a) V,ínt = 3 V, J?i = 10 Q y R 2 = 100 Q; (b) Vmí = 2.5 V, Ri = 1 MQ y R 2 = 1 MQ; (c) Ve„t = - 1 V, R x = 3.3 kQ y j?2 = 4.7 kQ. 2. En el circuito con amp op de la figura 6.40, calcular Vsai si («) Vmt = 1.5 V, R 3 = 10 Q, R i = 10 Q, y R 2 = 47 Q: (b ) Vent = - 9 V, R 3 = 1 kQ, R t = 1 MQ, y R 2 = 1 MQ; (c) Ve„t = 100 mV, Á>3 = 330 R, = 1 kQ, y R 2 = 6.8 kQ. 3. Dibujar la tensión de salida usai del circuito con amp op que se muestra en la figura 6.41 si (a) Dent = 2 sen 5í V; (b ) Dent = 1 + 0 . 5 sen 51 V. 10 kfl 1 kíí ■ FIGURA 6.41 0 0 4. Dibujar la tensión de salida usai del circuito con amp op que se muestra en la figura 6.42 si (a) i>ent = 10 eos At V; (b ) uent = 1 5 + 4 eos At V. 5. Diseñar un circuito que entregue —9 V a una carga de 47 kQ si sólo se cuenta con fuentes de ±5 V. (Para resolver de este problema no es necesario incluir las fuentes de alimentación que en realidad suministran energía al amp op, el cual no está restringido a ±5 V.) 6. Diseñar un circuito que entregue +20 V a una carga de 1 kQ si sólo se cuenta con fuentes de alimentación de ±5 V. (Para resolver este problema no es necesario in­ cluir las fuentes de alimentación que en realidad suministran energía al amp op, el cual no está restringido a ±5 V.) 205 • CAPITULO 6 EL AMPLIFICADOR OPERACIONAL 7. Diseñar un circuito que entregue +1.5 V a una carga no especificada, si sólo se cuenta con una fuente de +5 V. Para resolver este problema no es necesario incluir las fuentes de alimentación que en realidad suministran energía al amp op, el cual no está restringido a ± 5V. 8. Diseñar un circuito que entregue +3 V a una carga no especificada, si sólo se cuenta con una fuente de +9 V. Para resolver este problema no es necesario incluir las fuentes de alimentación que en realidad suministran energía al amp op, el cual no está restringido a ± 5V. 9. En el circuito amp op de la figura 6.43, calcular V5a| si (a) Vent = 300 mV, R 2 = 1 0 ft,y fl, = 47ft;(¿) Vent= 1.5V,flj = 1 Mft, y R 2 = 1 Mft; (c) Vent = - 1 v, Rl = 4.7 kn, y R 2 = 3.3 kft. 10.En el circuito con amp op de la figura 6.44, calcular Vsa¡ si (a) Vent = 200 mV, Rl = 10 kft, R i = 10 ft, y R 2 = 47 ft; (b) Vent = - 9 V, RL = 1 kft, Ri = 1 Mft, y R2 = 1 Mft; (c) Vent = 100 mV, RL = 330 ft, Ri = 1 kft, y R2 = 6.8 kft. FIGURA 6.43 ■ FIGURA 6.44 11. En el circuito con amp op de la figura 6.45, Ri = Rf = 1 kft. Dibujar la tensión de salida usai si (a) uent = 4 sen 10/ V; (b) iient = 1 + 0.25 sen lOí V. 2.2 kíl ■ FIGURA 6.45 12. En el circuito con amp op de la figura 6.45, R\ = 2 kft y Rf = \ kft. Dibujar la tensión de salida Dsai si (a) uent = 2cos 21V; (b)vent =4 + eos 21V. 13. De acuerdo con la figura 6.46, calcular la tensión usai. 14. En el circuito de la figura 6.47, ¿qué valor de R se requiere para que se suministren 150 mW a la resistencia de 10 kft? Ikíi m FIGURA 6.46 ■ FIGURA 6.47 EJERCICIOS 15. Cierto micrófono proporciona 0.5 V cuando alguien aplaude a una distancia de 20 pies. Un interruptor electrónico tiene una resistencia equivalente de Thévenin de 670 Q y requiere 100 mA para energizarse. Diseñar el circuito que conectará el mi­ crófono al interruptor electrónico, de manera que éste se active cuando alguien aplauda. 16. Para el circuito de la figura 6.48, obtener una expresión para i)sai en términos de vs. 17. Calcular la tensión Vi del circuito de la figura 6.49. * AA/V 22 kO 17 kfí 1 F IG U R A 6 .4 9 18. Calcular la tensión V2 del circuito de la figura 6.50. 330 fí !kü¡ ■ F IG U R A 6 .5 0 19. Deducir una expresión de i'sai del circuito de la figura 6.51 y evaluarlo en t = 3 segundos. 20. ¿Qué valor de Vent causará una tensión de salida de 18 V en el circuito de la figura 6.52? 700 k fí ■ FIGURA 6.52 208 A /W - • CAPITULO 6 EL AMPLIFICADOR OPERACIONAL 21. En la figura 6.53, elegir R\ y Rf para obtener i;sai = 23.7 eos 500f volts. 22. Obtener la expresión de usai relativa al circuito de la figura 6.54, sin utilizar transfor­ maciones de fuente. 23. De acuerdo con el circuito de la figura 6.55: (a) Si VA = 0 , V B = 1 V, Ra = Rb = 10 kQ, i?, = 70 kQ, R 2 = o o, y i;sal = 8V, ¿cuál de las terminales ( A o B) es la entrada no inversora? Explicar su respuesta. ib) Va = 10 V y Vb = 0 V. Si B es la entrada inversora, elegir RA, R B, R\ y R% para obtener una tensión de salida de 20 V. (c) VA = Vb = 1 V, R\ = 0, y R2 = 0 0 . Si V sa( es 1 V, ¿cuál de las terminales ( A o B) es la entrada inversora? Explicar su respuesta. 24. Calcular Dsai del circuito de amp op de la figura 6.56. 25. Si vs = 5 sen 3f mV en el circuito de la figura 6.57, calcular i;saI en t = 0.25 s. 10 k íl 100 k í l ■ F IG U R A 6 .5 6 26. En el circuito de la figura 6.58, utilizar las técnicas de análisis de circuitos apropiadas a fin de calcular usai. 33 k íl ■ FIGURA 6.58 27. En la figura 6.58, sustituya la fuente de 3 //A por una fuente de 27/¿A y calcular Dsai. EJERCICIOS 28. Calcular vx del circuito de amp op múltiple de la figura 6.59. too kn ioo n 29. Obtener la expresión del amplificador sumador general, en el que cada resistencia tenga un valor diferente. 30. Deducir la expresión del amplificador diferencial general, en el que cada resistencia pueda tener un valor distinto. 31. El sulfuro de cadmio (CdS) se suele utilizar para fabricar resistencias cuyo valor depende de la intensidad de la luz que incide sobre su superficie. En la figura 6.60, una “fotocelda” de CdS se emplea como resistencia de retroalimentación Rf. En la oscuridad total, tiene una resistencia de 100 kft, y con una intensidad de 6 candelas, su resistencia es igual a 10 kft. RL representa un circuito que se activa cuando se aplica en sus terminales una tensión de 1.5 V o menor. Elegir R\ y V, de nwnera que el circuito representado por RL se active mediante una luz de 2 candelas o más brillante. Üjp 32. En un estudio de grabación se utilizan dos micrófonos diferentes, uno para las voces y otro para los instrumentos. Diseñar un circuito que permita que ambas salidas de micrófono se combinen; considerar que las voces deben recibir el doble de amplifi­ cación que los instrumentos. 33. Una señal senoidal viaja sobre una señal compensada de cd de 2 V (en otras pala­ bras, el valor promedio de la señal total es de 2 V). Diseñar un circuito para elimi­ nar la compensación cd, y amplificar la señal senoidal (sin inversión de fase) por un factor de 100. 6 .3 Etapas e n cascad a m 34. Diseñar un circuito que proporcione una tensión de salida igual al promedio de las tres tensiones de entrada t>i, v2 y v¡. 35. Un sistema electrónico de inventario de almacén utiliza básculas ubicadas debajo de cada estante; la salida de las básculas están calibradas para proporcionar 1 mV por cada kg. Diseñar un circuito que proporcione una tensión de salida proporcional al peso total de un grupo de artículos similares (distribuidos en cuatro estantes) que queden en existencia. Restar el peso excedente de cada estante (el peso excedente se proporciona como tensión de referencia en cada estante). La salida de tensión debe calibrarse de tal manera que 1 mV equivalga a 1 kg. 9- A /W 0 ■ vw CAPÍTULO 0) 6 EL AMPLIFICADOR OPERACIONAL 36. Un fabricante de armas a base de radares para la medición de la velocidad vehicular proporciona una salida de tensión proporcional a la velocidad del objeto en cuestión, de tal foima que 10 mV = 1 mph. Si el velocímetro del vehículo de la policía es bloqueado a fin de proporcionar una señal proporcional a su velocidad tal que 10 mV = 1 mph, diseñar un circuito multietapa que (a) proporcione una señal de tensión igual a la diferencia en velocidades del auto y el vehículo de la policía (tal que +10 mV = velocidad del vehículo de la policía menos 1 mph) y (b) propor­ cione una señal de tensión para cada una de las tres cantidades en kph, tal que 10 mV = 1 kph. 37. Calcular i>sai para el circuito de la figura 6.61. 20 k íl 1 kíl 38. Obtener la expresión deVsai en términos de Vi y V2 del circuito de la figura 6.62. 39. Calcular la tensión de salida de cada etapa del circuito de amp op en cascada de la figura 6.63. ■ F IG U R A 6 .6 3 40. De acuerdo con el circuito de amp op de la figura 6.64, ¿qué valor de R se requiere para obtener Vsai = 10 Y? EJERCICIOS • " A /W 1.0n 41. Calcular usai del circuito de amp op de dos etapas de la figura 6.65. 6 .4 C ircuito s p a ra fu e n te s d e te n s ió n y d e c o m e n te 0 0 <D © 42. (a) El circuito de la figura 6.66 utiliza un diodo 1N750, que está caracterizado por una tensión Zener de 4.7 V. Determinar las tensiones marcadas como Vi, V2 y Vj. (b) Verificar el análisis con una simulación PSpice adecuada. Elaborar un esquema marcado adecuadamente y comentar sobre las posibles fuentes de cualquier diferen­ cia en ambos análisis. 43. Diseñar un circuito que genere una tensión de referencia de +5. ] V como la entrada a un seguidor de tensión si sólo se cuenta con baterías de 9 V. Utilizar un diodo 1N4733 con una tensión Zener de 5.1 V a una corriente de 76 mA. 44. Diseñar un circuito que genere una tensión de referencia de —2.5 V como la entrada a un seguidor de tensión si sólo se cuenta con baterías de 9 V. Utilizar un diodo 1N4740, el cual cuenta con una tensión Zener de 10 V a una comente de 25 mA. 45. Diseñar un circuito que genere una tensión de referencia de +12 V como la entrada a un seguidor de tensión si sólo se cuenta con baterías de 9 V. Utilizar un diodo 1N4747 con una tensión Zener de 20 V a una corriente de 12.5 mA. 46. (a) Diseñar un circuito que genere una tensión de referencia de —5 V como la en­ trada a un seguidor de tensión si sólo se cuenta con baterías de 9 V. Utilizar un diodo 1N4728 con una tensión Zener de 3.3 V a una corriente de 76 mA. (b) Modi­ ficar el diseño para proporcionar una tensión de referencia de +2.2 V. 47. Diseñar el circuito de fuente de tensión que proporcione 25 mA a una carga no es­ pecificada. Utilizar un diodo Zener 1N4740 con una tensión de ruptura de 10 V a una corriente de 25 mA. 1.1 kíl 2 1 2 ) ------------ ------------------ ------------ • 6 EL AMPLIFICADOR OPERACIONAL 48. Diseñar el circuito de fuente de tensión que proporcione 12.5 mA a una carga no es­ pecificada. Utilizar un diodo Zener 1N4747 con una tensión de ruptura de 20 V a una corriente de 12.5 mA. Diseñar el circuito de fuente de tensión que proporcione 75 mA a una carga no es­ & 49. pecificada. Utilizar un diodo Zener 1N4747 con una tensión de ruptura de 20 V a una corriente de 12.5 mA. Si el amplificador es alimentado con fuentes de ±15 V, ¿qué rango de cargas son factibles en este diseño? 50. Mediante el modelo detallado para el /iA741, determinar la potencia que se entrega la resistencia de 8 £2 de la figura 6.67 si (a) va — Vb = 1 nV; (b) va = 0, = 1 nV; (c) va = 2 pV, = 1 fV; (id) va = 50 ¿iV, Vb = —4 ¿iV. 51. Un circuito de amp op inversor se construye con un AD549. Si Ri = 270 kfi y Rf = 1 MÍ2, determinar cuál es la corriente de polarización de entrada que se es­ pera para: (a) = 1 mV; (b) Vs = -7 .5 mV; (c) Vs = 1 V. ^sal 52. Calcular usai del circuito de la figura 6.68 si: (a) A = 105, R¡ = 100 MS2, y R 0 = 0 (b) A = 106, R¡ = 1 TS2, y R„ = 0 53. En el circuito de la figura 6.69(a) obtener la expresión de u sai/uent si R, = oo, R0 = 0, y A es finita, (b) ¿Qué valor de la ganancia en lazo abierto A se requiere para que la ganancia en lazo cerrado esté dentro de 1% de su valor ideal? 54. Calcular la potencia disipada por la resistencia de 8 £2 si 8 = (a) 0 V; (b) 1 nV; (c) 2.5 /¿V del circuito de la figura 6.70. 1FIGURA 6.67 5 sen 2t fA CAPÍTULO 16 n ' ■ FIGURA 6.68 100 k íl I FIGURA 6.69 8 íl 55. Con los parámetros correspondientes a un AD549, calcular usai del circuito de la figura 6.71 si uent = — 16 mV. "O "sal 6 .5 C o n s id eracio n es p rácticas I FIGURA 6.71 4.7 k íl 1 k ft -AAAr + i -I 470 íl 12 V " FIGURA 6.72 í 1 56. Deducir la expresión de la tensión de salida de un seguidor de tensión en términos de la tensión de entrada uent para el caso de una ganancia de lazo abierto y resisten­ cia de entrada finitas y resistencia de salida diferente de cero. Verificar que la expre­ sión se simplifique a usai = uCnt en el caso de un amp op ideal. 57. (a) Construir un detallado modelo de amp op que incluya una contribución Acm de ganancia en modo común, a la tensión de salida. (b) Utilizar el modelo con los va­ lores de A = 105, R¡ = oo, Ra = 0, y Acm = 10 para analizar el circuito de la figura 6.25 con = 5 + 2sení V y u2 = 5. (c) Comparar su respuesta con la que ob­ tendría si ACm = 0 . 58. Determinar la velocidad de decaimiento y explicar su significado en la forma de onda de salida de un circuito con amp op. 59. El circuito de la figura 6.72 utiliza un diodo 1N750, que está caracterizado por una tensión Zener de 4.7 V. (a) Determinar las tensiones marcadas como Vi, V2 y V3 . (b) Verificar la respuesta mediante una simulación en PSpice, empleando un amp op A741 y fuentes de alimentación de ±18 V. Elaborar un diagrama marcado ade­ cuadamente con los resultados. Si la simulación no concuerda exactamente con los cálculos realizados a mano, intentar determinar el origen de dicha discrepancia. (c) ¿Cuál es el valor mínimo al que una fuente de 12 V puede reducirse antes de que el circuito Zener deje de llevar a cabo su función? EJERCICIOS • -------------------------------■ \ 60. Efectuar una simulación PSpice de un circuito de amp op inversor mediante un /xA741, con un suministro de ±15 V, R] = 10 kfi, y R f = 1 Mfi. Graficar las ca­ racterísticas de entrada-salida e indique las regiones lineal y de saturación positiva/ne­ gativa. ¿La ganancia predicha por la simulación concuerda con la que predice el mo­ delo del amp op ideal? 61. Si se sabe que las aplicaciones sólo requieren configuraciones de amp op inversor y que no importa tener capacidad para reducir la tensión de salida, ¿cuál es el número mínimo de patillas (terminales) que se requieren para el encapsulamiento de amp op? Escribir cada una mediante un nombre. (^3^-62. Utilizar PSpice para simular el circuito de la figura 6.73 utilizando (a) /xA741; (b) LM324; (c) LF411. Determinar la tensión de entrada diferencial Vs que se re­ quiere para saturar cada tipo de amp op, utilizando suministros de ±15 V. (rf) Com­ parar sus resultados con lo que esperaría, en base a la información de la tabla 6.3. t^IU- 63. Efectuar una simulación PSpice de un circuito de amp op no inversor con un /xA741, suministros de ±15 V, R\ = 4.7 kfi y R f = 1 Mfi. Graficar las caracterís­ ticas de entrada-salida e indique las regiones lineal y de saturación positiva/negati­ va. ¿La ganancia concuerda con lo predicho por el modelo de amp op ideal? ■64. Utilizar el concepto de circuito que se presenta en la figura 6.74 para determinar la resistencia de salida de un /xA741 y un LF411. Variar la tensión del suministro y de­ terminar si afecta los resultados de simulación. ¿Concuerdan las simulaciones con los valores de la tabla 6.3? 1 Mil iv 65. Simular el circuito de la figura 6.75 mediante un LF411. Determinar la corriente de polarización de entrada y la tensión de entrada diferencial. Comparar los resultados con los valores predichos por el modelo detallado y los valores que se presentan en la tabla 6.3. 66. Un sensor proporciona una tensión de señal de entre —30 mV y +75 mV. (á) Si se usa un amplificador inversor con una ganancia de tensión de | i>sai / i>ent | = 1 000 y suministros de ±15 V de ¿cuál es el intervalo esperado de la tensión de salida? (b) Si se emplea un amplificador no inversor con suministros de ±15 V cd, ¿cuál es la máxima razón de resistencias R f /R \ que se puede emplear sin que haya saturación del amp op? -67. (a) Simular el circuito de la figura 6.76 utilizando el /xA741 sobre el intervalo —10 V sV ent < + 10 V. Determinar las tensiones precisas en las que comienza la saturación mediante el cursor. Comparar sus resultados con los que se po­ drían predecir utilizando la tabla 6.3. (b) Un amp op /xA741 real provee hasta 35 mA de corriente bajo condiciones con­ tinuas de cortocircuito. Determinar la corriente de cortocircuito máxima posible con el modelo que se utiliza en PSpice. 68. Para mejorar la seguridad de la transmisión, una señal caótica variable en el tiempo se suma a una señal de audio antes de transmitirse. La misma señal caótica se trans­ mite también en una frecuencia separada. Suponiendo que cualquier antena de re­ cepción se modela como una fuente de tensión variable en el tiempo en serie con una resistencia de 300 diseñar un circuito para separar las dos señales, descartar la señal caótica, amplificar la señal de audio por un factor de 10 y entregar el resultado a un altavoz de 8 fi. 69. Diseñar un circuito de amp op que proporcione una tensión de salida igual al promedio de las tres tensiones de entrada. Se puede suponer que las tensiones de en­ trada estarán confinadas en el intervalo —10 V sVent < + 10 V. Verificar su diseño con PSpice y mediante un conjunto adecuado de tensiones de entrada. ----------------{ I FIGURA 6.76 213 214 A /W - • CAPITULO 6 EL AMPLIFICADOR OPERACIONAL 6 .6 C o m p a ra d o re s y el a m p lific a d o r d e in s tru m e n ta c ió n FIGURA 6.77 I FIGURA 6.78 I FIGURA 6.79 70. En el circuito que se muestra en la figura 6.77, dibujar la tensión de salida esperada usai en función de t>activa para —5 V < uactiva — + 5 V, si es igual a (a) —3 V; (b) +3 V. p ^ 71.En el circuito que se muestra en la figura 6.78, dibujar la tensión de salida esperada nsai en función de tactiva* si —2 V < t>actiVa s + 2V. Verificar la solución mediante un /j A741 (aunque es lento en comparación con los amp op diseñados específica­ mente para su uso como comparadores, su modelo en PSpice funciona bien, y puesto que ésta es una aplicación de cd, la velocidad no representa ningún proble­ ma). Elaborar un esquema marcado adecuadamente con los resultados. 72. En el circuito que se muestra en la figura 6.79, (a) dibujar la tensión de salida esperada nsai en función de vi para —5 V < Di < +5 V, si v2 = ± 2 V; ib) graficar la tensión de salida esperada i>sai en función de v2 para —5 V < v2 < +5 V, si t>i = + 2 V. 73. En aplicaciones de lógica digital, una señal de +5 V representa un estado lógico “1” y una señal de 0 V un estado lógico “0”. Con el fin de procesar información en tiempo real mediante una computadora digital, se requiere de algún tipo de interfase, la cual típicamente incluye un convertidor analógico-a-digital (A/D), esto es, un dispositivo que convierte las señales analógicas en digitales. Diseñar un circuito que actúe como un A/D de 1 bit, donde cualquier señal menor a 1.5 V represente un “0” lógico y cualquier señal mayor a 1.5 V un “1” lógico. 74. Suponer que, en el amplificador de instrumentación que se muestra en la figura 6.38a, los tres amp op son ideales y determinar el CMRR del circuito si (a) Ri = R 3 y R 2 = R4 ; (b) las cuatro resistencias tienen valores diferentes. 75. Una aplicación muy común de los amplificadores de instrumentación se realiza para medir tensiones en circuitos de medición de esfuerzo resistivo. Estos sensores de es­ fuerzo funcionan mediante la detección de los cambios en resistencia que resultan de las distorsiones geométricas, como se muestra en la ecuación [6] de capítulo 2. A menudo son parte de un circuito puente, como se muestra en la figura 6.80a, donde el medidor de esfuerzo se identifica como Rq. (a) Demostrar que Vsai = Vent g ^ g 2 ® Verificar que Vsai =0 cuando los valores de las tres resistencias R\, R2, y R 3 se seleccionan al mismo valor de la resistencia de medición /Ímedici6n- (c) En el caso de esta aplicación, el medidor que se seleccionó tiene una resistencia al esfuerzo de 5 kQ y se espera un aumento máximo de re­ sistencia de 50 mQ. Sólo se tienen disponibles fuentes de ±12 V. Utilizando el am­ plificador de instrumentación de la figura 6.80/;, diseñar un circuito que proporcione una señal de tensión de +1 V cuando el medidor de esfuerzo se encuentre en su carga máxima. Especificaciones del AD622 La ganancia G del amplificador puede variar de 2 a 1000 si se conecta una re­ sistencia entre las terminales 1 y 8 con un 50.5 valor determinado por R = kQ. G - 1 (a) ■ FIGURA 6.80 ib) © Analog Devices. Capacitores e inductores CONCEPTOS CLAVE IN T R O D U C C IÓ N En este capítulo se presentan dos nuevos elementos pasivos del cir­ Relación tensión-corriente de capacitor ideal. un cuito, el capacitor y el inductor, ambos son capaces de almacenar y ------------------------------------------- entregar cantidades/¿«/tas de energía. En este aspecto difieren de las fuentes ideales, puesto que no pueden proporcionar un flujo de poten­ Relación corriente-tensión de un inductor ideal. cia promedio finito durante un intervalo infinito. A pesar de que estos • -------------------------------- elementos están clasificados como lineales, las relaciones corriente- Cálculo de la energía almacenada en capacitores e inductores. tensión de estos dos nuevos elementos dependen del tiempo, lo que da origen a muchos circuitos interesantes. Como se verá a continua­ ción, el intervalo de los valores de capacitancia e inductancia que se »-------------------------------------------- tes. Dichos problemas siguen siendo relevantes en las aplicaciones Análisis de las respuestas del capacitor y del inductor a formas de onda variantes en el tiempo. modernas de circuitos, en particular, a medida que los sistemas de -------------------------------------------- puede encontrar es enorme, por lo que, a veces, éstos determinarán el comportamiento del circuito y, en otras ocasiones, serán insignifican­ comunicaciones y de computadoras demanden frecuencias de opera­ ción más elevadas y densidades de componentes mayores. Combinaciones en serie y en ; paralelo de capacitores. -------------------------------------------- 7.1 EL CAPACITOR ------• ----------------------------------------------------------------------------------Modelo de capacitor ideal Se denominó antes a las fuentes de tensión y de corriente independien­ tes y dependientes como elementos activos, y a la resistencia lineal co­ mo elemento pasivo, aunque las definiciones de activo y de pasivo aún siguen confundiéndose y es necesario distinguirlas con claridad. Aho­ ra se define un elemento activo como aquel que proporciona una po­ tencia promedio mayor que cero a cierto dispositivo externo, donde el promedio se toma en un intervalo infinito. Las fuentes ideales son ele­ mentos activos, así como el amplificador operacional. Por el contrario, un elemento pasivo se define como el que no puede suministrar una potencia promedio mayor que cero en un intervalo infinito. La resisten­ cia está en tal categoría; la energía que recibe casi siempre se transfor­ ma en calor, y nunca suministra energía. Combinaciones en serie y en paralelo de inductores. -------------------------------------------Circuitos de amp op que utilizan capacitores. ' ------------------------------------------Modelado de elementos de almacenamiento de energía con PSpice. 216 — ■* CAPITULO 7 CAPACITORES E INDUCTORES A continuación se presenta un nuevo elemento de circuito pasivo, el capaci­ tor. Se define la capacitancia C por medio de la relación de corriente-tensión [1] i C _ _ _ | f--------+ v ■ F IG U R A 7.1 Símbolo eléctrico y convenciones de corriente-tensión de un capacitor. donde v e i satisfacen las convenciones de un elemento pasivo, como se muestra en la figura 7.1. Se debe tener presente que v e i son funciones del tiempo; si es necesario, se subraya este hecho escribiendo en su lugar v(t) e i(t). Con base en la ecuación [1] se determina la unidad de capacitancia como un ampere-segundo por volt, o un coulomb por volt. Luego se define el fa ra d io 1 (F) como un coulomb por volt y se lo utiliza como la unidad de capacitancia. El capacitor ideal definido por la ecuación [1] sólo es el modelo matemático de un dispositivo real. Un capacitor se compone de dos superficies conductoras sobre las que puede almacenarse una carga, y están separadas por una delgada capa aislante que tiene una resistencia muy grande. Si se supone que la resisten­ cia es lo suficientemente grande como para que se pueda considerar infinita, en­ tonces nunca podrán recombinarse cargas iguales y opuestas situadas sobre las “placas” del capacitor, o a menos no se hará mediante ninguna trayectoria den­ tro del elemento. La construcción del dispositivo físico se sugiere por el símbolo de circuito que se presenta en la figura 7.1. Considerar algún dispositivo externo conectado a este capacitor y que provoca que una com ente positiva fluya hacia una placa del capacitor y salga de la otra placa. Com entes iguales entran y salen de las dos terminales del ele­ mento, lo cual no es más que lo que se espera de cualquier elemento de circuito. Examinar ahora el interior del capacitor. La com ente positiva que entra a una placa representa la carga positiva que se mueve hacia ella a través de su hilo de conexión terminal; la carga no puede pasar a través del interior del capacitor, por lo cual se acumula sobre la placa. En realidad, la com ente y la carga crecientes se relacionan mediante la ecuación ya familiar Considerar ahora esta placa como un nodo cargado en exceso y aplicar la ley de Kirchhoff de comente; aparentemente no se cumple. La comente se aproxima a la placa desde el circuito externo, pero no fluye fuera de la placa hacia el “circuito in­ terno”. Este dilema inquietó hace más de un siglo al famoso científico escocés Ja­ mes Clerk Maxwell. La teoría electromagnética unificada que después formuló plantea la hipótesis de una “comente de desplazamiento” está presente siempre que un campo eléctrico o una tensión varían con el tiempo. La comente de desplaza­ miento que fluye de manera interna entre las placas del capacitor es exactamente igual a la comente de conducción que fluye en los hilos de conexión del capacitor; de esta forma, la ley de Kirchhoff de comente se satisface, si se incluyen las co­ rrientes de conducción y de desplazamiento. Sin embaigo, el análisis de circuitos no se interesa en la comente de desplazamiento interna, y ya que por fortuna es igual a la comente de conducción, se podrá considerar que la hipótesis de Maxwell rela­ ciona la corriente de conducción con la tensión cambiante a través del capacitor. Un capacitor construido con dos placas de conducción paralelas de área A, separadas por una distancia d, tiene una capacitancia C = e A /d , donde e es la perm itívidad (una constante del material aislante entre las placas), lo cual (1) Recibe el nombre en honor a Michael Faraday. SECCIÓN 7.1 EL CAPACITOR 41 ‘ 5 | 6 W V • 0 7i (a) (b) (c) ■ F IG U R A 7.2 Ejemplos de los tipos de capacitores disponibles en el mercado, (a) De izquierda a derecha: cerámico de 270 pF, tantalio de 20 /¿F poliéster de 15 nF, poliéster de 150 nF. (b) Izquierda: electrolítico de 2 000 /zF a 40 VDC electrolítico de 25 000 //F 35 VDC. (c) En el sentido de las manecillas del reloj comenzando por el más pequeño: electrolítico de 100 /íF a 63 VDC electrolítico de 2200 /¿F a 50 VDC electrolítico de 55 F a 2.5 CD y electrolítico de 4800 /¿F a 50 VDC. Observar que, en general, a medida que aumenta la capacitancia, se requiere de un encapsulado mayor, con una evidente excepción. ¿Cuál fue el compromiso en este caso? supone que las dimensiones lineales de las placas de conducción son mucho mayores que d. En el aire o el vacío, s = e 0 = 8.854pF/m La mayoría de los ca­ pacitores emplean una delgada capa de dieléctrico con una permitividad mayor que el aire, a fin de minimizar el tamaño del dispositivo. En la figura 7.2 se pre­ sentan ejemplos de diversos tipos de capacitores disponibles comercialmente, aunque se debe recordar que dos superficies, cualesquiera conductoras que no estén en contacto directo entre sí se caracterizarían mediante una capacitancia diferente de cero (pero quizás pequeña). También se debe hacer observar que una capacitancia de varios cientos de microfaradios (jiF) se considera “grande” . Mediante la ecuación [1], ya definida, se descubrirán varias características importantes del nuevo modelo matemático. Una tensión constante en un capacitor produce una com ente cero que pasa a través de él; por ello un capacitor es un “circuito abierto para la cd". Este hecho se representa en forma gráfica mediante el símbolo del capacitor. También resulta patente que un salto de tensión repentino requiere una com ente infinita. En razón de que lo anterior es físicamente inalcan­ zable, es imposible que la tensión en el capacitor cambie en el tiempo cero. '****" * t EJEMPLO 7.1 Determinar la corriente i que fluye a través del capacitor de la figura 7.1 en las dos formas de onda de tensión de la figura 7.3 si C = 2 F. v(W) --10 -’ (V) l i l i 1 3 4 ■f ( s ) 5 (a) I FIG U RA 7.3 (a) Tensión de cd aplicada a las terminales del capacitor. (b) Forma de onda senoidal de tensión aplicada a las terminales de un capacitor. (Continúa en la siguiente página) 0 AA/V CAPÍTULO 7 CAPACITORES E INDUCTORES La com ente i está relacionada con la tensión v en el capacitor de la ecuación [1]: i = C dv dt En el caso de la forma de onda de tensión que se muestra en la figura 7.3a, d v / d t = 0, por lo que i = 0; el resultado se grafica en la figura 7.4a. En el caso de la forma de onda senoidal de la figura 1 3 b , se espera que circule una forma de onda senoidal de corriente como respuesta, que tenga la misma frecuencia y dos veces la magnitud (puesto que C = 2 F). La grá­ fica del resultado se muestra en la figura lA b . i (A) i (A) 2 1.5 1 0.5 0 -0 .5 J ___I___L _UJ_ .-1 0 1 2 3 4 5 -1 -1 .5 -2 (a) ■ F IG U R A 7 .4 (a) i = 0 ya que la tensión aplicada es de cd. cosenoidal en respuesta a la tensión senoidal. (b) La corriente es de forma P R Á C T IC A 7.1 Determinar la com ente que circula a través de un capacitor de 5 mF como respuesta a una tensión v = : (a) —20 V; (b) 2e~5t V. Respuesta: (a) 0 A; (b) —50e mA. Relaciones integrales de tensión-corriente La tensión del capacitor se expresaría en términos de la corriente que integra la ecuación [1]. Primero se obtiene: d v = — i(t) d t C e integrando2 entre los tiempos to y t y entre las tensiones correspondientes v(to) y v(t) se tiene: 1 v(t) = — ^ Jta i ( t') d t' + v(t0) [2] La ecuación [2] también puede escribirse como una integral indefinida, más una constante de integración: v (t) = ^ J i d t + k (2) Observar que se aplica el procedimiento matemático correcto para la definición de una variable simulada t' en situaciones donde la variable de integración t es también un límite. SECCIÓN 7.1 fcL CAPACITOR * V A - 0 Por último, en muchos problemas reales, se encontrará que no es posible dis­ tinguir v(to'), la tensión inicial, en el capacitor. En tales casos, desde el punto de vista matemático será conveniente establecer ío = —oo y v ( —oc) = 0 ,por loque: 1 C* v(t) = ~ I i d t' ^ J —OO Puesto que la integral de la com ente en cualquier intervalo es la carga acumu­ lada en ese periodo sobre la placa del capacitor hacia Ja cual fluye la comente, también se puede definir a la capacitancia como q (t) = C v(t) donde q (t) y v(t) representan los valores instantáneos de la carga sobre cualquiera de las placas y la tensión entre ellas, respectivamente. EJEMPLO 7.2 Determinar la tensión del capacitor que está asociado con la corriente que se indica en form a gráfica en la figura 7.5a. v ( t ) (V ) 20 1 -1 0 1 1 1 3 1 4 , ■ F IG U R A 7.5 (o) Forma de onda de la corriente aplicada a un capacitor de 5 ¿¿F. (b) Forma de onda de una tensión resultante que se obtuvo mediante integración gráfica. Al interpretar la ecuación [2] en forma gráfica, se sabe que la diferencia entre los valores de la tensión en t y ío es proporcional al área bajo la curva de corriente entre estos mismos dos valores del tiempo. La constante de pro­ porcionalidad es 1 /C . El área de la figura 7.5a se obtiene por inspección de los valores deseados de ío y t. Se selecciona nuestro punto inicial ío ante­ rior al tiempo cero. Por simplicidad, el primer intervalo de í se escoge entre —oo y 0, y puesto que nuestra forma de onda implica que no se aplicó com ente a este capacitor desde el inicio del tiempo, v (í0) = v ( —oo) = 0 Con referencia a la ecuación [2], la integral de la com ente entre ío = —oo y 0 es simplemente cero, puesto que i = 0 en ese intervalo. De tal modo: v(t) = 0 + v ( —oo) —oo < í < 0 o v(t) = 0 í < 0 (Continúa en la página siguiente) CAPITULO 7 CAPACITORES E INDUCTORES Si se considera ahora el intervalo que representa el pulso rectangular, se obtiene V« = 5c x \10~6 n 6 Jo í 20 x 10-3 dt> + ^ ° ) Puesto que u(0) = 0, u (í)= 4 0 0 0 í 0 < í <2m s En el intervalo semiinfinito que sigue al pulso, la integral i (í) es otra vez cero, de modo que v (t) = 8 t > 2 ms Los resultados se expresan con mayor simplicidad mediante un diagrama que a través de estas expresiones analíticas, como se indica en la figura 1.5b. P R Á C ' CA ___________________________________________________________ 7.2 Determinar la corriente a través de un capacitor de 100 pF si su tensión, como función del tiempo, está dada por la figura 7.6. Respuesta: 0 A, —oo < t < 1 ms; 200 nA. 1 ms < t < 2 ms; 0 A, t > 2 ms. Almacenamiento de energía La potencia entregada a un capacitor está dada por dv p = vi = C v — dt y la energía almacenada en su campo eléctrico es, entonces, f t f t / p d t' = C Jtn J íq ¿ y dt fV (t) v — d t' = C J v(to ) | v 'd v 1 = - C { [ v ( t) ] 2 - [ v ( t 0)]2} ¿ por lo que wc(t)- wc (to) = \c{[u(r)]2 - [u(í0)]2} [3] donde la energía almacenada vale w c(t0) en joules (J) y la tensión en í(l es v(t0). Si se elige una referencia de energía cero en to, queda implícito que la tensión del capacitor es también cero en ese instante, entonces: u>c(t) = \ C v2 [4] Considerar un ejemplo numérico simple. Como se muestra en la figura 7.7, una fuente de tensión senoidal se encuentra en paralelo con una resistencia de 1 M£2 y con un capacitor de 20 p,F. Se podría suponer que la resistencia en para­ lelo representa la resistencia finita del dieléctrico entre las placas del capacitor físico (un capacitor ideal tiene resistencia infinita). -A/W - SECCION 7.1 EL CAPACITOR 221 EJEMPLO ■w' Calcular la energía máxima almacenada en el capacitor de la figura 7.7 y la energía que disipa la resistencia en el intervalo 0 < t < 0,5 s. Identificar el objetivo del problema. + La energía almacenada en el capacitor varía con el tiempo; se pide el valor máximo en un intervalo específico, así como la cantidad total de energía disipada por la resistencia en este intervalo. En realidad son dos ecuaciones por completo diferentes. 1O O tséil 2 irt V \ Recopilar la información conocida. ■ F IG U R A 7.7 Una fuente de tensión senoidal se La única fuente de energía en el circuito es la fuente de tensión inde­ pendiente, que tiene un valor de 100 sen 2 n t V. Sólo es de interés el intervalo 0 < t < 0.5 s. El circuito está marcado de manera adecuada. >1 Mil T * - \ “ '■20 fíF aplica a una red RC en paralelo. La resistencia de I podría representar la resistencia finita de la capa dieléctrica "real" del capacitor. Decidir la técnica disponible que se ajusta mejor al problema. La energía en el capacitor se determina mediante la evaluación de la tensión. Para calcular la energía disipada por la resistencia durante el mismo intervalo, es necesario integrar la potencia disipada, P r = í 2r ■ R - Construir un conjunto de ecuaciones apropiado. La energía almacenada en el capacitor es simplemente: w c (t) = \ C v 2 = 0.1sen227Tí J Se obtiene la expresión de la potencia disipada por la resistencia, en términos de la corriente iR: ír = — = 10 R sen27Tí A por lo que w c (t) = 0 .1 sen 2 ttí (J) P r = i2R R = (10~4)(106)sen227rf de modo que la energía disipada por la resistencia entre 0 y 0.5 s sea W r = I Jo /» r 0.5 u -1-2, p R dt = I 102 sen227r t d t Jo J Determinar si se requiere información adicional. Se cuenta con la expresión de la energía almacenada en el capacitor; en la figura 7.8 se muestra un dibujo. La expresión que se obtuvo de la energía disipada por la resistencia no incluye ninguna cantidad desconocida, por lo cual puede evaluarse con facilidad. ■F IG U R A 7.8 Gráfica de la energía almacenada en el capacitor com o función del tiem po Buscar la solución. A partir del bosquejo de la expresión de la energía almacenada en el capacitor, se puede ver que aumenta desde cero a t = 0 hasta un máximo de 100 mJ en t = | s, y que luego disminuye hasta cero en otro \ s. Por lo tanto, wcmíx = 100 mJ. Al evaluar la expresión inte­ gral de la energía disipada por la resistencia, se puede ver que wr = 2.5 mJ. { Continúa en la siguiente página) 222 A A /V - • CAPÍTULO 7 CAPACITORES E INDUCTORES Verificar la solución. ¿Es razonable o esperada? No se espera calcular una energía almacenada negativa, que no aparece en el diagrama. Además, puesto que el valor máximo de sen 2 ttí es 1, la máxima energía esperada sería (1/2)(20 x 10_6)(100)2 = 100 mJ. La resistencia disipó 2.5 mJ en el periodo de 0 a 500 ms, aunque el ca­ pacitor almacenó una energía máxima de 100 mJ en un punto durante ese intervalo. ¿Qué pasó con los “otros” 97.5 mJ? Para responder a esta pre­ gunta, se calcula la corriente del capacitor: ¿c = 20 x 10 ¿dv — = 0.0047T eos 2 n t dt y la corriente is definida como circulando hacia la fuente de tensión is = —ic — ÍR los cuales están graficados en la figura 7.9. Se puede observar que la corriente que circula a través de ]a resistencia es una pequeña fracción de la corriente de la fuente, lo cual no es para sorprenderse ya que 1 MÍ2 es un valor de resistencia relativamente grande. A medida que la corriente fluye a partir de la fuente, se desvía una pequeña cantidad hacia la resistencia, mientras que la restante circula hacia el capacitor a medida que éste se carga. Después de t = 250 ms, se puede observar que la corriente de la fuente cambia de signo; la corriente ahora circula del capacitor hacia la fuente. L a mayor parte de la energía almacenada en el capacitor está re­ gresando a la fuente de tensión ideal, excepto por la pequeña fracción disi­ pada por la resistencia. 'E O ' F IG U R A 7 .9 Gráfica de las corrientes en la resistencia, en el capacitor y en la fuente durante el intervalo de 0 a 500 ms. P R Á C T IC A __________________________________________________ 7.3 Calcular la energía almacenada en un capacitor de 1000 ¡i¥ en t = 50 /¿s si la tensión en él es de 1.5 eos 105í volts. Respuesta: 90.52 ¡íí. APLICACIÓN PRACTICA U ltr a c a p a c ito r e s J Los teléfonos de sistem as digitales celulares y de satélite tienen tres modos de operación básicos: en es­ pera, recepción y transmisión. Por lo común, la recep­ ción de señales y espera no requiere de una gran cantidad de drenaje de corriente de las baterías, pero la trans­ misión sí (fig. 7.10). Sin embargo, el tiempo invertido en la transmisión es casi siempre una pequeña fracción del tiempo total que el dispositivo utiliza para extraer poten­ cia, como se indica en la figura. baterías ligeras y pequeñas. Una alternativa para el uso ex­ clusivo de baterías consiste en emplear un dispositivo híbrido compuesto por una batería estándar y un capaci­ tor diseñado de manera especial (conocido algunas veces como capacitor electroquímico o ultracapacitor). Un ejemplo de dicha configuración se esboza en la figura 7.12. ¡(A ) Recepción o espera P C Transmisión" ■ F IG U R A 7 .1 0 Ciclo de trabajo característico de un teléfono celular. Como se vio en el capítulo 5, las baterías mantienen una tensión constante sólo para pequeñas corrientes. Así, cuando aumenta la demanda de corriente, disminuye la tensión de la batería (fig. 7.11), lo cual provoca proble­ mas, puesto que la mayoría de los circuitos tienen una tensión mínima, o tensión de corte, por debajo de la cual ya no funcionan de manera apropiada. Tensión ■ F IG U R A 7 .1 1 Ejemplo de la relación tensión-corriente en una batería. Si la corriente pico que toma del circuito es tal que la tensión de la batería disminuye por debajo de la tensión de corte, se requiere de una batería mucho más grande. Sin embargo, lo anterior suele resultar inconveniente en las aplicaciones portátiles, donde por lo general convienen 5 2. v 4 f *1 ® ■ F IG U R A 7 .1 2 Ultracapacitor disponible en el mercado. Foto cortesía de Maxwell Technologies Inc. El principio detrás del dispositivo híbrido es que mientras la batería se mantiene con la corriente exigida por el circuito (por ejemplo, mientras el teléfono está en el modo de recepción), el capacitor almacena energía de la batería (¿C V 2). Si la demanda de corriente se incre­ menta de manera súbita (por ejemplo, cuando el teléfono está en operación), la tensión de la batería tratará de dis­ minuir. En ese momento, la corriente fluirá fuera del ca­ pacitor cargado como respuesta a la d v /d t resultante. Siempre que la resistencia equivalente de Thévenin sea mucho más pequeña que la resistencia interna de la batería, la corriente circulará a través del circuito del teléfono, en vez de hacerlo por la batería. La carga dejará muy rápido al capacitor, por lo que el “empuje” de comente tiene una corta duración. Sin embargo, si la operación de transmisión dura poco, el capacitor apoya de manera efi­ caz a la batería y evita que el circuito se interrumpa. En el capítulo 8 se estudiará cómo predecir en qué medida un capacitor ayuda a una batería, siempre que se conozca su resistencia de Thévenin y la del circuito. 0 AA/V CAPÍTULO 7 CAPACITORES E INDUCTORES Características importantes de un capacitor ideal 1. No hay com ente a través de un capacitor si la tensión en él no cambia con el tiempo. Por lo tanto, un capacitor es un circuito abierto en cd. 2. Se almacena una cantidad finita de energía en un capacitor incluso si la com ente que circula por él es cero, como sucede cuando la tensión entre las placas es constante. 3. Es imposible cambiar la tensión en un capacitor por una cantidad finita en el tiempo cero, ya que lo anterior requiere una com ente in­ finita a través del capacitor. Un capacitor se opone a un cambio abrupto de la tensión entre sus placas de una manera análoga a la forma en que un resorte se opone a un cambio abrupto en su desplazamiento. 4. Un capacitor nunca disipa energía, sólo la almacena. Si bien lo ante­ rior es cierto en el caso del modelo matemático, no lo es en el de un capacitor físico (real) debido a las resistencias finitas. 7.2 EL INDUCTOR — • -------------------------------------------------------------------------------- ---------------- Modelo del inductor ideal A pesar de que se definió de manera estricta a un inductor desde un punto de vista de circuitos (esto es, mediante una ecuación de tensión-corriente), se po­ dría comprender mejor la definición con unos cuantos comentarios acerca del desarrollo de la teoría de campo magnético. A principios de la década de 1800, el científico danés Oersted demostró que un conductor que lleva com ente pro­ duce un campo magnético (la aguja de una brújula resultaba afectada por un alambre cuando por éste circulaba comente). Un poco después, Ampere realizó algunas mediciones cuidadosas que demostraron que el campo magnético se relacionaba linealmente con la com ente que lo producía. El siguiente paso se dio cerca de veinte años después cuando el inglés Michael Faraday y el inventor es­ tadounidense Joseph Henry descubrieron casi de manera simultánea3 que un campo magnético variable podía inducir una tensión en un circuito cercano. Demostraron que la tensión era proporcional a la tasa de cambio en el tiempo de la com ente que producía el campo magnético. La constante de proporcionalidad es lo que ahora se llama inductancia, simbolizada como L, por lo que di v = L— dt L vMi,------o o---+ vL - ■ F IG U R A 7 .1 3 Símbolo eléctrico y convenciones de corriente-tensión de un inductor. [5] donde se debe reconocer que v y i son, en ambos casos, funciones del tiempo. Cuando se desee subrayar esto, utilizamos los símbolos v(t) e i(i). El símbolo de circuito del inductor se presenta en la figura 7.13, y debe ob­ servarse que se emplea la convención de signos pasiva, exactamente como se hizo con la resistencia y el capacitor. La unidad con la que se mide la inductan­ cia es el henry (H), y la ecuación de definición muestra que el henry es sólo una expresión más breve de un volt-segundo por ampere. (3) Ganó Faraday. SECCIÓN 7.2 EL INDUCTOR El inductor, cuya inductancia se define mediante la ecuación [5], es un modelo matemático; constituye un elemento ideal que se puede utilizar para imitar el comportamiento de un dispositivo real Se podría construir un inductor físico en­ rollando un alambre largo alrededor de un cilindro bobina. Este artefacto sirve para aumentar la corriente que provoca el campo magnético y en su caso incre­ m entar también el “número11 de circuitos vecinos en los cuales puede inducirse la tensión de Faraday. El resultado de este efecto doble es que la inductancia de una bobina es casi proporcional al cuadrado del número de vueltas completas que efectúa el conductor y de las cuales está formado. Por ejemplo, un inductor o “bobina” que tiene la forma de una hélice larga con un paso muy pequeño tiene una inductancia igual a /i N 2A / s , donde A es el área de la sección transversal, s es la longitud axial de la hélice, N es el número de vueltas completas del alam­ bre y fi (mu) es una constante del m aterial dentro de la hélice, llam ada per­ meabilidad. En el espacio libre (y de manera muy aproximada, en el aire), (i = ¿¿o = 4tt x 1(T7 H/m = 4 jt nH/cm. En la figura 7.14 se presentan varios ejemplos de inductores disponibles comercialmente. Analizar la ecuación [5] para determinar alguna de las características eléctri­ cas del modelo matemático. La ecuación muestra que la tensión en un inductor resulta proporcional a la tasa de cambio en el tiempo de la corriente que circula a través de él. En particular, probar que no hay tensión en un conductor que lleva una corriente constante, sin que importe la magnitud de esta corriente. En conse­ cuencia, es posible considerar a un inductor como un cortocircuito en cd. Otro hecho que se deriva de la ecuación [5] es que un cambio repentino o dis­ continuo en la corriente debe asociarse con una tensión infinita en el inductor. En otras palabras, si se desea producir un cambio abrupto en una corriente de in­ ductor, es necesario aplicar una tensión infinita. Aunque una función forzada de tensión infinita podría ser aceptable desde el punto de vista teórico, nunca puede ser parte del fenómeno exhibido por un dispositivo físico real. Como se verá en («) •-----------------WV , (b) ■ F IG U R A 7 .1 4 (o) Varios tipos de inductores comunes, a los cuales, en ocasiones, también se les conoce como "reactores". En el sentido de las manecillas del reloj, comenzando por la izquierda: inductor toroidal de núcleo de ferrita de 287 ¡j.H inductor cilindrico con núcleo de ferrita de 266 H inductor de núcleo de ferrita de 215 ¿iH diseñado para frecuencias de VHF, inductor toroidal de núc!eo de acero laminado de 8 5 1¿H inductor estilo bobina de 10 fj.H inductor de plomo axial de 100 fj.H e inductor de núcleo suelto de 7 ;iH que se utiliza para suprimir señales de RF. ( b) Inductor de 11 H cuyas medidas son 10 cm (altura) x 8 cm (ancho) x 8 cm (profundidad). @ CAPÍTULO 7 CAPACITORES E INDUCTORES breve, un cambio abrupto en la com ente del inductor requiere también una variación abrupta en la energía almacenada en este mismo, y dicho cambio re­ pentino en la energía requiere una potencia infinita en ese instante; también en este caso la potencia infinita no es parte del mundo físico real. Para evitar una tensión infinita y una potencia infinita, no debe permitirse que la corriente del in­ ductor salte de forma instantánea de un valor a otro. Si se intenta poner en circuito abierto un inductor físico a través del cual flu­ ye una com ente finita, quizás aparezca un arco en el interruptor. Esto es útil en el sistema de encendido de algunos automóviles, donde el distribuidor interrum­ pe la com ente que circula por la bobina y aparece el arco en la bujía. Aunque no ocurre de modo instantáneo, sucede en un intervalo muy corto, lo cual origina la creación de una gran tensión. La presencia de una gran tensión en una distancia pequeña corresponde a un campo eléctrico muy grande; la energía almacenada se disipa al ionizar el aire en la trayectoria del arco. La ecuación [5] también podría interpretarse (y resolverse, si es necesario) por métodos gráficos, como se observa en el ejemplo 7.4. Dada la forma de onda de la corriente en nn inductor de 3 H, como se muestra en la figura 7,15a, determinar la tensión del inductor y trafi­ caría. m (A) 0 (a) t (s) 1 (b) ■ F IG U R A 7 .1 5 id) Forma de onda de la corriente en un inductor de 3 H. (b) Forma de onda correspondiente a la tensión, v = 3 di/dt Siempre y cuando la tensión v y la corriente i se definan para cumplir con la convención de signos pasiva, se puede obtener v de la figura 7.15a mediante la ecuación [5]: di v = 3 T~ dt Puesto que la com ente es cero para t < —1 s, la tensión es cero en este intervalo. Entonces la com ente empieza a aumentar a una razón lineal de 1 A/s, y por ello se produce una tensión constante de L d i / d t = 3 V. Du­ rante el siguiente intervalo de 2 s la com ente es constante y la tensión es, por lo tanto, cero. La disminución final de la com ente origina d i / d t = —1 A/s, que produce v = —3 V. Para t > 3 s, i (t ) ) es una constante (cero), de modo que v(t) = 0 en ese intervalo. La forma de onda de tensión completa se bosqueja en la figura 7.15b. Se investigará ahora el efecto de un aumento y de un decaimiento más rápido de la com ente entre los valores cero y 1 A. A A /V SECCION 7.2 EL .NDUCIOR 227 E J E M P L O 7.5 Calcular la tensión del inductor que resulta al aplicar la forma de onda de corriente de la figura 7.16a en el inductor del ejemplo 7.4. m (V) i( 0 (A ) 301— í (s) -1 - 3 m (A) ■t (s) 2.1 0.1 i -3 0 (a) (b) ■ F IG U R A 7 .1 6 (o) El tiem po requerido para que la corriente de la figura 7.15o cambie desde 0 i -i 0 1 3 i 1 , ■t (s) , í (s) hasta 1, y desde 1 hasta O, se reduce en un factor de 10. (b) Forma de onda de una tensión resultante. Los anchos de los pulsos se exageran para mayor claridad. (a) Observar que los intervalos del aumento y el descenso se redujeron a 0.1 s. De tal modo, la magnitud de cada derivada será 10 veces más grande; esta condición se muestra en los dibujos de corriente y tensión de la figura 7.16a y b. En las formas de onda de tensión de la figura 7.15b y 1.16b, resulta in­ teresante notar que el área bajo cada pulso de tensión corresponde a 3 V-s. i<í) (V) (a oo). 1 -1 Por el momento, sólo por curiosidad se continuará en la m ism a línea. Una re­ ducción adicional de la longitud de ambos intervalos producirá una magnitud de tensión proporcionalmente mayor, pero sólo dentro del intervalo en el que la corriente crece o disminuye. Un cambio abrupto en la corriente provocará los “picos” de tensión infinita (si cada uno tiene un área de 3 V-s) como se ve en las formas de onda de la figura 7 .17a y b\ o, a partir de un punto de vista igualmente válido pero opuesto, tales picos de tensión infinita se requieren para producir cambios abruptos en la corriente. P R Á C T IC A __________ 7.4 En la figura 7.18 se presenta la corriente a través de un inductor de 200 mH. Suponer la convención de signos pasiva y determinar en t igual a: (a) 0; (b) 2 ms; (c) 6 ms. • (mA) ■ F IG U R A 7.18 Respuesta: 0.4 V; 0.2 V; -0 .2 6 7 V. 0 1 1 2 . 1 3 (a-co) ib) I F IG U R A 7 .17 (o) El tiempo requerido para que la corriente de la figura 7.16o cambie desde 0 hasta 1, y desde 1 hasta 0, se reduce hasta 0; el aumento y la caída son abruptos. (£>) La tensión resultante en un inductor de 3 H se compone de un pico infinito positivo y de uno negativo. AAAa CAPÍTULO 7 CAPACITORES E INDUCTORES Relaciones integrales de tensión-corriente La inductancia se definió por medio de una ecuación diferencial simple, di v = L ^~ dt y se extrajeron varias conclusiones acerca de las características de un inductor a partir de esta relación. Por ejemplo, se encontró que se podría considerar un in­ ductor como un cortocircuito para la com ente directa, por lo que se acordó que no se puede permitir que una corriente de inductor cambie de manera abrupta de un valor a otro, debido a que requeriría que se asociaran al inductor una tensión y una potencia infinitas. Sin embargo, la ecuación de definición simple de induc­ tancia contiene aún más información. Reexpresada en forma un poco diferente, di = — v d t L invita a la integración. Considerar primero los límites que se establecerán sobre las dos integrales. Se desea la corriente i en el tiempo 1, así que este par de can­ tidades proporciona los límites superiores de las integrales que aparecen en el lado izquierdo y en el derecho, respectivamente, de la ecuación; los límites infe­ riores también pueden expresarse en forma general con sólo suponer que la com ente es i (to) en el tiempo í0. Así, pi(t) 1 /-í / d i' = - / v(t') d t' Ji(h) ^ J í0 lo cual conduce a la ecuación i(t) - i (t0) i r vdt> 1L [6] La ecuación [5] expresa la tensión del inductor en términos de la comente, en tanto que la ecuación [6] ubica la com ente en términos de la tensión. También son posibles otras formas para la última ecuación. Se podría considerar la inte­ gral como indefinida que incluye una constante de integración k: i (t) — — í v d t + k [7] También se podría suponer que se está resolviendo un problema real en el que la selección de to como —oo asegura que no habrá corriente o energía en el inductor. Por lo tanto, si ¡(/o) = i ( —oo) = 0, entonces: Se investigará el uso de estas diversas integrales mediante un ejemplo sim­ ple en el que se especifica la tensión en un inductor. SECCIÓN 7.2 ■• -V-■ m ■' ' • . -• ■ EbJJMDUCTOR •>. . . ' . . Se sabe que la tensión en un inductor de 2 H corresponde a ó eos Si V. Determinar la corriente de inductor resultante si i(t — —n¡2) = 1 A. De la ecuación [6]: í(K) = - / 6$Jas5/' d t' + / (ío) ¿(o = ^ ( J ) sen5r - \ ( 0 sen5ro + m = 0.6sen5í — 0.6sen5ío + *(ío) El primer término indica que la corriente del inductor varia de modo senoidal; el segundo y tercer términos, en conjunto, representan sólo una constante que se determina cuando la corriente se especifica en forma numérica en algún instante. Con base en el hecho de que la corriente es 1 A en t = —ji /2 s, se identifica í0 como —ir/2 con /(ío) = 1, y resulta: i(t) = 0.6sen5í — 0.6sen(—2.5jt) + 1 i( t ) = 0.6sen5í + 1.6 Se obtendría el mismo resultado a partir de la ecuación [7], Se tiene: i(t) = 0.6sen5í + k y se establece el valor numérico de k forzando que la corriente sea 1 A en í = —n /2 : 1 = 0.6sen(—2.5jt) + k k = 1 + 0 . 6 = 1.6 y de ese modo, como antes, i(t) = 0.6sen5í + 1.6 La ecuación [8] provocará problemas con esta tensión particular. Se fun­ damenta la ecuación en el supuesto de que la corriente era cero cuando í = —oo. Para estar seguros, lo anterior debe ser cierto en el mundo físico real, pero se trabaja en el ámbito del modelo matemático; los elementos y funciones forzadas son ideales. La dificultad surge después de que se inte­ gra, con lo cual se obtiene i(t) v ' = 0.6 sen 5í^ l—OO y al tratar de evaluar la integral en el límite inferior: i (í) — 0.6 sen5í — 0.6 sen (—oo) El seno de ± o o es indeterminado, y por lo tanto no se puede evaluar la expresión. La ecuación [8] es útil sólo si se evalúan las funciones que se aproximan a cero cuando t —oo. * AA/V EJ EMPLO 7.6 230 }--------- VW CAPITULO 7 CAPACITORES E INDUCTORES PRÁCTICA 9 ______________ ^ ________ __________________________ 7.5 Un inductor dé 100 mH tiene una tensión de v¿ = 2e~3t V en sus terminales. Determinar la corriente resultante en el inductor si (—0.5) = 1 A. Respuesta: - y e " 3' + 30.9 A. Sin embargo, no se deben realizar juicios precipitados sobre la forma simple de las ecuaciones [6], [7] y [8] que se utilizarán por siempre, pues cada una tiene sus ventajas, según sea el problema y la aplicación. La ecuación [6] representa un método general y lento, pero que muestra con claridad que la constante de inte­ gración es una corriente. La ecuación [7] es una expresión un poco más concisa de la ecuación [6], aunque se suprime la naturaleza de la constante de integración. Por último, la ecuación [8] resulta una expresión excelente, ya que no se necesita ninguna constante; sin embargo, se aplica sólo cuando la corriente es cero en t = —oo y cuando la expresión analítica de la corriente no está indeterminada ahí. Almacenamiento de energía Poner atención a la potencia y la energía. La potencia absorbida está dada por el producto corriente-tensión di p = vi = Li — dt La energía w i aceptada por el inductor se almacena en el campo magnético alrededor de la bobina y se expresa por medio de la integral de la potencia sobre el intervalo deseado: f / pdt =L / J t0 J ta di Ci(t) i — d t' = L / i 'd i ' “ t J i( t 0) = ^ { [ ¿ ( í ) ] 2 - [ ¿ ( ío ) ] 2} De tal modo, u>L (t) ~ w L(t0) = \ L { [ ¡ ( í ) l2 - [¿ (ío )]2 } [9] donde se ha supuesto otra vez que la corriente es i (to) en el tiempo to. Al usar la expresión de la energía, suele considerarse que se elige un valor de í0 para el que la corriente es cero; se acostumbra suponer también que la energía es igual a cero para este tiempo. Entonces, simplemente se tiene: o.i n I F IG U R A 7 .19 Una corriente senoidal se aplica como una fundón forzada a un circuito RL en serie. La resistencia de 0.1 £2 representa la resistencia inherente del alambre con el que el inductor está fabricado. u >l (í ) \L i2 [ 10] donde se entiende ahora que la referencia de la energía cero es cualquier tiempo para el que la corriente del inductor sea nula. En cualquier tiempo subsecuente, en el que la corriente es cero, se encuentra además que no se almacena energía en la bobina. Siempre que la corriente no es nula, e independientemente de su di­ rección o signo, la energía se almacena en el inductor. Por lo tanto, se concluye que se suministrará potencia al inductor durante una parte del tiempo y se recu­ perará luego de él. Toda la energía almacenada puede recuperarse de un induc­ tor ideal; en el modelo matemático no hay cargos por almacenamiento ni comí- VA SECCIÓN 7.2 EL INDUCTOR 0 siones. U na bobina física, sin embargo, debe construirse a partir de un alambre real, por lo que tendrá siempre una resistencia asociada. No se puede almacenar ni recuperar la energía sin pérdida. Estas ideas se ilustran mediante un simple ejemplo. En la figura 7.19 se muestra un inductor de 3 H en serie con una resistencia de 0.1 fi y una fuente de corriente senoidal, is = 12 s e n ^ A. L a resistencia debe interpretarse como lare- sistencia del alambre que se necesita asociar con la bobina física. EJEMPLO 7.7 Determinar la máxima energía almacenada en el inductor de la figura 7.19 y la que se disipa en la resistencia durante el tiempo en que se almacena en el inductor y luego se recupera del mismo. La energía almacenada en el inductor es 1 'j JTt w L = - L i = 216 sen" — 2 6 J y esta energía aumenta desde cero en t = 0 hasta 216 J en t = 3 s. Así, la máxima energía almacenada en el inductor es igual a 216 J. Después de alcanzar su valor máximo en t = 3 s, toda la energía sale del inductor. Sin embargo, esta bobina debe pagar un precio por el privilegio de almacenar y quitar 216 J en 6 segundos. La potencia disipada por la re­ sistencia se calcula con facilidad como p R = i 2R = 14.4 sen2 — 6 W y la energía que se convierte en calor en la resistencia dentro de este inter­ valo de 6 s es, por lo tanto, wr = f Jo p Rdt = í Jo 14.4 sen2 —t dt 6 o wr = J 14.4 ^1 — eos d t = 43.2 J De tal modo, se consumieron 43.2 J en el proceso de almacenar y luego recuperar 216 J en un intervalo de 6 s. Lo anterior representa 20% de la máxima energía almacenada, así que representa un valor razonable de muchas bobinas que tienen esta gran inductancia. En bobinas cuya induc­ tancia es alrededor de 100 /¿H, se debe esperar una cifra cercana a 2 o 3%. P R Á C T IC A __________ ______________________________ ______ 7.6 Sea L = 2 5 mH en el inductor de la figura 7.20. (a) Calcular v en t = 12 ms si i = lO íe-100' A. (b) Determinar i en t = 0.1 s si v = 6e~í2‘ V e i (0) = 10 A. Si i = 8(1 —e~40t) mA, calcular: (c) la potencia que se suministra al inductor en t = 50 ms, y (d) la energía almacenada en el inductor en t = 40 ms. • *~___ryinp__ + Respuesta: -1 5 .0 6 mV; 24.0 A; 7.49 ¿iW; 0.510 ¿iJ. V • FIGURA 7.20 - AA/V -• c a p ítu lo ? c a p a c it o r e s e in d u c t o r e s A continuación se resumen las cuatro características clave de un inductor que se deducen de la ecuación de definición v = L d i / d t : Características importantes de un inductor ideal 1. No hay tensión en un inductor si la corriente que circula por él no cambia con el tiempo. Desde este punto de vista, un inductor es un cortocircuito en cd. 2. Se almacena una cantidad finita de energía en un inductor, incluso si su tensión es nula, como cuando la corriente que pasa por él es cons­ tante. 3. Es imposible cambiar la corriente que circula por un inductor por una cantidad finita en el tiempo cero, ya que se necesitaría una tensión in­ finita en el inductor. Un inductor se opone a un cambio abrupto en la corriente que pasa por él, de manera análoga a la forma en que una masa se opone a un cambio abrupto en su velocidad. 4. El inductor nunca disipa energía, sólo la almacena. Si bien ello es cierto en el caso del modelo matemático no lo es en el de un inductor físico debido a las resistencias en serie Resulta interesante adelantar la explicación de dualidad de la sección 7.6 al leer de nuevo los cuatro enunciados anteriores con ciertas palabras sustituidas por sus términos “duales”. Si se intercambian capacitor por inductor, capacitancia por inductancia, tensión por corriente, en por a través, circuito abierto por corto­ circuito, resorte por masa, y desplazamiento por velocidad (en cualquier direc­ ción), se obtienen los cuatro enunciados de los capacitores que se acaban de dar. 7.5 g CO M BINACIÓN DE INDUCTANCIA_______________ * Y CAPACITANCIA Ahora que se añadieron el inductor y el capacitor a la lista de elementos de cir­ cuitos pasivos, es necesario decidir si seguirán siendo o no válidos los métodos desarrollados para analizar circuitos resistivos. También será conveniente apren­ der cómo sustituir combinaciones en serie y en paralelo de cualquiera de estos elementos con equivalentes más simples, del mismo modo que se hizo en el capítulo 3 con resistencias. Se consideran primero las dos leyes de Kirchhoff, ya que ambas son axiomáti­ cas. Sin embargo, cuando se supusieron estas dos leyes, se hizo sin restricciones en cuanto a los tipos de elementos que constituían la red. Por lo tanto, ambas mantienen su validez. Inductores en serie Ahora se podrían ampliar los procedimientos obtenidos para reducir diversas combinaciones de resistencias en una resistencia equivalente a los casos análo­ gos de inductores y capacitores. Considerar primero una fuente de tensión ideal aplicada a una combinación en serie de N inductores, como en la figura 7.21a. Se desea un solo inductor equivalente, con inductancia L cq, el cual debe sustituir la combinación en serie, de modo que la corriente de la fuente i (t ) permanezca SECCIÓN 7.3 COMBINACIÓN DE INDUCTANCIA Y CAPACITANCIA + iji •-----------------WV IB Lj -^nñn+ Vn - + L N S Í VN (d) (b) ■ F IG U R A 7 .2 1 (o) Circuito que contiene N inductores en serie. (ó) Circuito equivalente deseado, en el que¿eq = L] + ¿2 + • ■• + Ln. invariable. El circuito equivalente se muestra en la figura 1.2\b. Aplicando la LVK al circuito original, vs =» # 1 — + v2 + VN ■ ■•+ di di di L 1 — + ¿ 2 “7- “I--------- L u ­ dí dt dt di = (L \ + L 2 + ■■■+ L n ) — dt o, de manera más concisa: N N V—v >■ >■ CÍl N Cll v —"\ vn = 2 ^ L n - r = — ¿ ^ L n E n=1 Sin embargo, en el caso del circuito equivalente se tiene di -- Ldan eqd t y en consecuencia la inductancia equivalente está dada por L eq = (L \ + L 2 + • • • + L n ) o N [ 11] ^eq — ^ ^ L n n=1 El inductor equivalente a varios inductores conectados en serie es aquel cuya inductancia equivalga a la suma de las inductancias del circuito original, que es exactamente el mismo resultado que se obtuvo en el caso de resistencias en serie. Inductores en paralelo La combinación de varios inductores en paralelo se logra escribiendo la ecuación nodal particular del circuito original, el cual se muestra en la figura 1.22a, N N r 1 c‘ = yT ]i „ín = T ^ /I v d t't ' + i„ (t0) hls = y* \ — + in i= í a, / N i \ r t N J 2 — ) í V d t' + Y ^ i (ío) \n=1 " / J ‘o n=1 y comparándola con el resultado del circuito equivalente de la figura 1.22b, se obtiene 1 — / v d t ' + is (ío) Leq J tQ (b) □ F IG U R A 7 .2 2 (a) Combinación en paralelo de N inductores. (b) Circuito equivalente, donde ¿eq = [V^-1 + yi-2 H---- + 1/^/v]- '- 3S4------ W V Ci H f+ V\ - CAPÍTULO 7 CAPACITORES E INDUCTORES En razón de que la ley de Kirchhoff de corriente exige que is (to) sea igual a la suma de las com entes de rama en ío, los dos términos integrales deben ser iguales; por consiguiente: C2 n e + V2 - + vn ^ C n 1 ■'eq 1/Li + l/Z/2 + ■••+ 1/Ljv [12] En el caso especial de dos inductores en paralelo se tiene: (<l) Z/eq — L iL2 L 1+ [13] Z-2 en donde se observa que los inductores en paralelo se combinan de la misma forma en que lo hacen las resistencias en paralelo. Capacitores en serie ib) I F IG U R A 7 .2 3 (a) Circuito que contiene N capacitores. (b) Circuito equivalente deseado, donde Ceq = D/Ci -f- l/C? + • • * -f- 1/CX/J—1. Para determinar un capacitor que es equivalente a N capacitores en serie, se usa el circuito de la figura 7.23a y su equivalente de la figura 7.23b para escribir ¿v ¿v r —1 /r i•dj t / + v n u, = n= 1 lN «=1 L N \ 1 = ( S tH \n = l w / / í á í / + £ v „ ( í 0) «''o „= i 1 Vs = — /■' / ^eq Jío (ío) * Sin embargo, la ley de tensión de Kirchhoff establece la igualdad de vs (to) y la suma de las tensiones de capacitores en to', de tal modo, 1 [14] por lo que los capacitores en serie se combinan como lo hacen las conductancias en serie, o las resistencias en paralelo. El caso especial de dos capacitores en se­ rie, desde luego, da como resultado C iC 2 C eq — lN Cx + C2 [15] Cn Capacitores en paralelo la) Por último, los circuitos de la figura 7.24 permiten establecer el valor de la ca­ pacitancia del capacitor equivalente a N capacitores en paralelo, como C eq = l F IG U R A 7 .2 4 (a) Combinación en paralelo de N capacitores (b) Circuito equivalente, donde Ceq = C, + C2 H---------1- Ca/. C\ + C2 + • • • + C¿V [16] así que no resulta sorprendente observar que los capacitores en paralelo se combinan de la misma manera en que lo hacen las resistencias en serie; esto es, simplemente se suman las capacitancias individuales. Bien vale la pena memorizar estas fórmulas. Las que se aplican a combina­ ciones de inductores en serie y en paralelo resultan idénticas a las de resisten­ cias, por lo que suelen parecer “obvias”. Sin embargo, hay que tener cuidado en el caso de las expresiones correspondientes a las combinaciones de capacitores en serie y en paralelo, ya que son opuestas a las de resistencias e inductores y con frecuencia provocan errores cuando los cálculos se hacen muy a la ligera. SECCIÓN 7.4 CONSECUENCIAS DE LA LINEALIDAD A/VV » 0 E J E M P L O 7.8 Simplificar la red de la figura 7.25a mediante combinaciones serie/ paralelo. Los capacitores de 6 y 3 /xF se combinan primero en un capacitor equiva­ lente de 2 /iF y éste luego se combina con un elemento de 1 fiF con el que está en paralelo para producir una capacitancia equivalente de 3 fiF. Además, los inductores de 3 y 2 H se sustituyen por un inductor equiva­ lente de 1.2 H, que se suma después al elemento de 0.8 H para formar una inductancia total equivalente de 2 H. La red equivalente mucho más simple (y quizás menos costosa) se muestra en la figura 7.25b. P R A C T IC A 0.8 H {a) 2H -O T P - ___________________________________________________________ 7.7 Determinar Ceq de la red de la figura 7.26. (b) I F IG U R A 7 .25 (o) Red LC dada. (6) Circuito equivalente más simple. : 5 /aF I F IG U R A 7.26 Respuesta: 3.18 /xF. La red de la figura 7.27 contiene tres inductores y tres capacitores, pero no pueden hacerse combinaciones en serie o paralelo de los inductores o los capaci­ tores. No se puede simplificar esta red mediante las técnicas que se presentan en este texto. >/aF I F IG U R A 7 J 7 Red LC en la que no es posible efectuar combinaciones en serie o en paralelo de inductores o de capacitores. 7.4 t CONSECUENCIAS DE LA LINEALIDAD ___________ A continuación se retom a al análisis nodal y de malla. En razón de que ya se sabe que se podrían aplicar con seguridad las leyes de Kirchhoff, habrá una pe­ queña dificultad al escribir un conjunto de ecuaciones que sean suficientes e in- 236 )--------------- VW -------------------------------• CAPÍTULO 7 CAPACITORES E INDUCTORES dependientes. Sin embargo, serán ecuaciones integrodiferenciales lineales con coeficientes constantes, que si son difíciles de pronunciar, son más difíciles de resolver. En consecuencia, se escribirán ahora para familiarizar al lector con el uso de las leyes de Kirchhoff en circuitos RL,C\ además, se explicará la solución de los casos más simples en los capítulos subsecuentes. E J E M P L O 7.9 E sc rib ir las ecuaciones nodales apro p iad as del circuito de la figura 7.28. Las tensiones de nodo se eligen como se indica y se suman las com entes que salen deJ nodo central: 1 f' / (i’i - vs) d t' L JtQ 7 donde iL (to) es el valor de la com ente del inductor en el tiempo en el que empieza la integración. En el nodo del lado derecho, I F IG U R A 7 .2 8 Circuito RLCde cuatro nodos con tensiones de nodo asignadas. d (y 2 - v s) V2 - V 1 . C \------ ---------1--------------- is = 0 R dt Al reexpresar estas ecuaciones, n id v i 1 R +C^ [‘ , v2 f 1 + l J l0V l d t - R = l { Vl^ . n dv2 r dVs ~ ~ R ~R ~ d f= ~df ■ * , V s d t - lL ( ío ) que son las ecuaciones integrodiferenciales prometidas, surgen varios asuntos interesantes en relación con ellas. Primero, ocurre que la fuente de tensión vs entra en las ecuaciones como una integral y como una derivada, no simplemente como v s . Puesto que ambas fuentes están especificadas para todo el tiempo, se podrá evaluar la derivada o la integral. Segundo, el valor inicial de la corriente del inductor, iL (to), actúa como una com ente de fuente (constante) en el nodo central. __________ P R lC T l€ A g 7.8 Si i'c(t) = 4 eos 105í V en el circuito de la figura 7.29, determinar if lí) . ! F IG U R A 7 .2 9 Respuesta: —2 .4 eos 105f V. No se intentará resolver la ecuación integrodiferencial en este momento. Sin embargo, vale la pena señalar que cuando las funciones forzadas de tensión son funciones senoidales del tiempo, se podrá definir una razón de tensión-corriente (denominada impedancia) o una razón de corriente-tensión (llamada adm itan­ cia) para cada uno de los tres elementos pasivos. Los factores que funcionan ba­ jo las dos tensiones de nodo de las ecuaciones precedentes, se convertirán enton­ ces en simples factores multiplicadores, por lo que las ecuaciones serán otra vez SECCIÓN 7.4 CONSECUENCIAS DE l A LINEALIDAD algebraicas lineales y se podrían resolver mediante determinantes o por una sim­ ple eliminación de variables, como antes. También se podría demostrar que los beneficios de la linealidad se aplican de igual modo a los circuitos RLC. D e acuerdo con la definición previa de un circuito lineal, tales circuitos son también lineales, debido a que las relaciones de tensión-corriente para el inductor y el capacitor son lineales. Para el induc­ tor, se tiene y la multiplicación de la corriente por alguna constante K tiene como resultado una tensión que es también más grande por un factor K. En la formulación integral, puede verse que, si cada término se incrementa por un factor de K, entonces el valor inicial de la corriente debe aumentarse por este mismo factor. El análisis correspondiente del capacitor muestra que también es lineal. Por consiguiente, un circuito compuesto por fuentes independientes, fuentes depen­ dientes lineales, y resistencias, inductores y capacitores lineales es un circuito lineal. En este circuito lineal la respuesta resulta otra vez proporcional a la función forzada. La prueba del enunciado se obtiene escribiendo primero un sistema general de ecuaciones integrodiferenciales. Se colocan todos los términos que tienen la form a R i, L d i / d t , y 1¡C f i d t en el miembro izquierdo de cada ecuación; además, se conservan las tensiones de fuente independiente en el miem­ bro derecho. Como simple ejemplo, una de las ecuaciones podría tener la forma Si cada fuente independiente se incrementa ahora por un factor K, el miem­ bro derecho de cada ecuación es multiplicado por ese mismo factor. En estas condiciones, cada térm ino del m iem bro izquierdo es un térm ino lineal que incluye alguna corriente de lazo, o una tensión de capacitor inicial. A fin de provocar que todas las respuestas (corrientes de lazo) se incrementen por un fac­ tor K, resulta patente que también se deben aumentar las tensiones de capacitor iniciales por un factor K. Es decir, se debe tratar a la tensión inicial del capaci­ tor como una tensión de fuente independiente e incrementarla del mismo modo por un factor K. De manera similar, las corrientes de inductor iniciales aparecen como corrientes de fuente independiente en el análisis nodal. Por lo tanto, el principio de proporcionalidad entre fuentes y respuesta se ex­ tiende al circuito RLC general, y se deduce que también se aplica el principio de superposición. Debe subrayarse que las corrientes iniciales del inductor y las tensiones iniciales del capacitor deben considerarse como fuentes indepen­ dientes al aplicar el principio de superposición; cada valor inicial se desactiva de acuerdo con su tumo. En el capítulo 5 se aprendió que el principio de super­ posición es una consecuencia natural de la naturaleza lineal de los circuitos re­ sistivos, los cuales son lineales debido a que la relación tensión-corriente de la resistencia es lineal, al igual que las leyes de Kirchhoff. Sin embargo, antes de aplicar el principio de superposición a circuitos RLC se deben establecer métodos para resolver las ecuaciones que describen a estos circuitos cuando sólo está presente una fuente independiente. Esta vez es impor- * A A A /-------- 238 --------- CAPÍTULO 7 CAPACITORES E INDUCTORES tante estar convencidos de que un circuito lineal poseerá una respuesta cuya am­ plitud es proporcional a la amplitud de la fuente. Se debe estar preparado para aplicar después la superposición, al considerar una corriente de inductor o una tensión de capacitor especificada en t = to como una fuente que debe eliminarse cuando le llega su tumo. Los teoremas de Thévenin y Norton se basan en la linealidad del circuito ini­ cial, en la aplicabilidad de las leyes de Kirchhoff y en el principio de superposi­ ción. El circuito RLC general satisface por completo estos requisitos, por lo cual se concluye que todos los circuitos lineales que contienen cualesquiera combi­ naciones de fuentes de tensión y de corriente independientes, fuentes de tensión y de corriente lineales dependientes, y resistencias, inductores y capacitores lineales se analizan con el uso de ambos teoremas, si se desea. No es necesario repetir los teoremas aquí, ya que se enunciaron antes, de una manera que se aplica por igual al circuito RLC general. 7.5 CIRCUITOS DE A M P OP SIMPLES CON CAPACITORES ------• --------------------------*------------------------------------------------------------------------En el capítulo anterior se presentaron varios tipos diferentes de circuitos de ampli­ ficador basados en el amp op ideal. En casi todos los casos se demostró que la salida se relacionaba con la tensión de entrada mediante alguna combinación de razones de resistencias. Si se sustituyen una o más de tales resistencias por un capacitor, se obtendrán algunos circuitos interesantes en los que la salida resulta proporcional a la derivada o la integral de la tensión de entrada. Dichos circuitos tienen amplias aplicaciones en la práctica. Por ejemplo, se conecta un sensor de velocidad a un cir­ cuito de amp op que da una señal proporcional a la aceleración, o se obtiene una señal de salida que representa la caiga total incidente sobre un electrodo metálico durante un tiempo específico al sólo integrar la corriente medida. Para crear un integrador mediante un amp op ideal, se conecta a tierra la en­ trada no invertida, se instala un capacitor ideal como un elemento de retroali­ mentación desde la salida de regreso a la entrada invertida y se conecta una fuente de señales vs a la entrada invertida a través de una resistencia ideal, como se muestra en la figura 7.30. Al efectuar el anáfisis nodal en la entrada invertida, Va — Vs 0= -r T * F IG U R A 7 .3 0 Amp op conectado como un . +‘ La corriente i se relaciona con la tensión en el capacitor, integrador. f r ----- d y Cf f d7t Lo cual da va — d v r, 0 = —------- + Cf Rx 7 dt Con base en la regla 2 del amp op, se sabe que va = —v s = 0, por lo que d v r, + C f~ d T Integrando y despejando vsai, se obtiene 1 f* Vcf = Va - Vsal = 0 - Vs¡ú = — — / Vs d t' + Vc (0) K-lCf Jo SECCIÓN7.5 CIRCUITOSDEAMPOPSIMPLESCONCAPACITORES y\ A A --------- 239 o 1 í* í^sai = - - ¿ - p r vs d t ' - v Cf( 0) R I L-j¡ J o [17] Por lo tanto, se combina una resistencia, un capacitor y un amp op para for­ mar un integrador. Observar que el primer término de la salida es 1/R C veces el negativo de la integral de la entrada desde t' = 0 hasta í, además, el segundo tér­ mino es el negativo del valor inicial de vcr El valor de (R C )~ l se iguala con la unidad si se desea elegir R = 1 MQ y C = 1 /¿F, por ejemplo; se podrían hacer otras elecciones que aumenten o disminuyan la tensión de salida. Antes de concluir con el circuito integrador, se podría anticipar una pregunta al lector crítico: ¿Se podría usar un inductor en lugar del capacitor y obtener un diferenciador! En realidad sí, pero los diseñadores de circuito suelen evi­ tar, siem pre que es posible, el uso de inductores debido a su tam año, peso y costo, así como a la resistencia y a la capacitancia asociadas. En vez de eso, se intercam bian las posiciones de la resistencia y el capacitor en la figura 7.30 y se obtiene un diferenciador. EJ EMPLO 7.10 Obtener la expresión de la tensión dé^salida del circuito de amp op que se muestra en la figura 7.31. Se comienza escribiendo una ecuación nodal en la patilla (terminal) de en­ trada invertida, con vc¡ = va — vs: n ~ ^ c , , Va - ~dT + vRf ~ Usal Wf De acuerdo con la regla 2 del amp op, va = v¡, = 0. De tal modo, „ d v Ci _ DSal l~dT ~ #7 Despejando para usai, dvc, l^sal — R f C 1 dt Puesto que u q = va ~ vs = —vs, l’sal = —R fC \ dvs dt Así, al intercambiar la resistencia y el capacitor entre sí en el circuito de la figura 7.30, se obtiene un diferenciador en lugar de un integrador. PRÁC I C A ___________________________________________ _____ ____ 7.9 Obtener la expresión de usa¡ en términos de vtBt en el circuito de la figura 7.32. Respuesta: usai = —L f / R i d v s/ d t. I F IG U R A 7 .3 1 Amp op ideal conectado como un diferenciador. 240 )---------/W V ------------------• CAPÍTULC7 CAPACITORESEINDUCTORES 7.6 ---------------------DUALIDAD ------• La idea de dualidad se aplica a muchos conceptos fundamentales de ingeniería. En esta sección se definirá la dualidad en términos de las ecuaciones de cir­ cuito Dos circuitos son “duales” si las ecuaciones de m alla que caracterizan a uno de ellos tienen la misma form a matemática que las ecuaciones nodales que caracterizan al otro. Se dice que son duales exactos si cada ecuación de malla de un circuito es numéricamente idéntica a la ecuación nodal correspondiente del otro; desde luego, las variables de corriente y de tensión por sí mismas no pueden ser idénticas. L a dualidad misma se refiere sólo a cualquiera de las propiedades exhibidas por los circuitos duales. Interpretar la definición y utilizarla para construir un circuito dual exacto es­ cribiendo las dos ecuaciones de malla para el circuito de la figura 7.33. Se asignan dos comentes de malla i\ e ¿ 2 y se obtienen las siguientes ecuaciones de malla: 2 eos 61 V' : F IG U R A 7 .3 3 Circuito dado para el que la definición de dualidad se aplica a fin de determinar el circuito dual. Observe que vv(0) = 10 V. 0 . , ,d i\ dÍ2 3 * 1 + 4 — - 4 — = 2 eos 6 1 dt dt di\ dt + 4 di 2 ¿2 d t -f- 5/2 [18] -10 [19] Se podría ahora construir las dos ecuaciones que describen el dual exacto del circuito. Se desea que sean ecuaciones nodales; por ello, se comienza por la sustitución de las corrientes de mallas i\ e ¡2 en las ecuaciones [18] y [19] por dos tensiones de nodo con referencia a Dj y 1^ . A sí se obtiene I F IG U R A 7 .3 4 Dual exacto del circuito de la figura 7.33. dv 1 dv2 3i>i + 4 --------- 4 — • = 2 eos 6 1 dt dt [ 20 ] - 4 - j ^ + 4 + l í v2d t' + 5 v 2 = - 1 0 dt dt o Jq [21] después de este resultado, se busca el circuito representado por ambas ecua­ ciones nodales. Dibuje primero una línea para representar el nodo de referencia y luego es­ tablezca dos nodos en los que se ubiquen las referencias positivas de v¡ y i>2 . La ecuación [20] indica que una fuente de corriente de 2 eos 6 1 A se conecta entre el nodo 1 y el nodo de referencia, orientado para proporcionar la corriente que en­ tra en el nodo 1. La ecuación muestra también que aparece una conductancia de 3 S entre el nodo 1 y el nodo de referencia. Regrese a la ecuación [21] y con­ sidere primero los términos no mutuos, es decir, aquellos que no aparecen en la ecuación [20]. Ellos indican que se conecta un inductor de 8 H y una conduc­ tancia de 5 S (en paralelo) entre el nodo 2 y el de referencia. Los dos términos semejantes de las ecuaciones [20] y [21] representan un capacitor de 4 F pre­ sente de manera mutua en los nodos 1 y 2; el circuito se completa conectando di­ cho capacitor entre los dos nodos. El término constante en el miembro derecho de la ecuación [21] es el valor de la corriente del inductor en t = 0; en otras palabras, iL (0) = 10 A. El circuito dual se presenta en la figura 7.34; puesto que los dos conjuntos son numéricamente idénticos, los circuitos son duales exactos. Los circuitos duales se pueden obtener con mayor rapidez por este método, ya que las ecuaciones no necesitan escribirse. Para construir el dual de un circui­ to dado, se debe considerar al circuito en términos de ecuaciones de malla. Con cada malla es necesario asociar un nodo de no referencia, y además, proporcio­ nar el nodo de referencia. Por lo tanto, en el esquema del circuito dado se pone SECCIÓN7.6 DUALIDAD * un nodo en el centro de cada malla y se indica el nodo de referencia como una línea cerca del esquema o un lazo que lo encierra. Cada elemento que aparece de manera colectiva en las dos mallas es un elemento mutuo y origina términos idénticos, excepto por el signo, en las dos ecuaciones de m alla correspondientes, por lo cual debe sustituirse por un elemento que proporcione el término dual en las dos ecuaciones nodales correspondientes. Por lo tanto, dicho elemento dual debe conectarse de manera directa entre los dos nodos de no referencia que es­ tán dentro de las mallas en las que aparecen los elementos mutuos dados. La naturaleza del elem ento dual se determina con facilidad; la forma matemática de las ecuaciones será la m ism a sólo si la inductancia se sustituye por la capacitancia, ésta por la inductancia, la conductancia por la resistencia, y la resistencia por la conductancia. De esta forma, el inductor de 4 H que es común a las mallas 1 y 2 del circuito de la figura 7.33 aparece como un capaci­ tor de 4 F conectado en forma directa entre los nodos 1 y 2 del circuito dual. Los elementos que aparecen sólo en una m alla deben tener duales que aparezcan entre el nodo correspondiente y el nodo de referencia. Al considerar otra vez la figura 7.33, la fuente de tensión 2 eos 6 1 V aparece sólo en la malla 1; su dual es una fuente de corriente 2 eos 6í A, que se conecta sólo al nodo 1 y al de referencia. En razón de que la fuente de tensión se dirige en el sentido de las manecillas del reloj, la de corriente debe estar dentro del nodo de no referencia dirigido. Por último, es necesario tomar provisiones respecto del dual de la ten­ sión inicial presente en el capacitor de 8 F del circuito dado. Las ecuaciones nos demostraron que el dual de la tensión inicial en el capacitor es una com ente ini­ cial a través del inductor del circuito dual; los valores numéricos son los mis­ mos, así que el signo correcto de la com ente inicial tal vez se determine con mayor facilidad si se consideran como fuentes la tensión inicial en el circuito dado y la com ente inicial en el circuito dual. En consecuencia, si vc en el cir­ cuito dado se ve como una fuente, aparecería como —vq en el miembro derecho de la ecuación de malla; en el circuito dual, si se piensa que la corriente iL fuese una fuente, produciría un término — en el miembro derecho de la ecuación nodal. Debido a que cada una tiene el mismo signo cuando se consideran como fuente, entonces si uc (0) = 10 V, i /, (0) debe ser 10 A. El circuito de la figura 7.33 se repite en la figura 7.35, y su dual exacto se construye en el propio diagrama de circuito al dibujar sólo el dual de cada ele­ mento dado entre los dos nodos que están dentro de las dos mallas comunes al elem ento en cuestión. Q uizá sea de utilidad un nodo de referencia que rodee al circuito dado. Después de que el circuito dual se vuelve a dibujar en una forma más normal, aparece como en la figura 7.34. Ref. ■ F IG U R A 7 .3 5 Dual del circuito de la figura 7.33 que se construye en forma directa del diagrama de circuito. A /W 0 A /W -• CAPITULO 7 CAPACITORESEINDUCTORES — v w — 0 (a) (b) ■ F IG U R A 7 .3 6 (o) Dual (en gris) de un circuito dado (en negro) construido sobre este último. (b) Circuito dual dibujado en forma más convencional a fin de compararlo con el original. Un ejemplo adicional de la construcción de un circuito dual se presenta en la figura 7.36a y b. Puesto que no se especifican valores de elementos particulares, ambos circuitos son duales, pero no necesariamente duales exactos. El circuito original lal vez se recupere del dual, al colocar un nodo en el centro de cada una de las cinco mallas de la figura 1 3 6 b y proceder como se hizo con anterioridad. El concepto de dualidad también se expresa con el lenguaje utilizado para describir el análisis o la operación de circuitos. Por ejemplo, si se tiene una fuente de tensión en serie con un capacitor, quizá se desee plantear un importante enun­ ciado: la fuente de tensión provoca que fluya una corriente por el capacitor, cuyo enunciado dual es: la fuente de corriente ocasiona que exista una tensión entre los extremos del inductor. El dual de un enunciado expresado de manera menos cuida­ dosa, como la corriente circula una y otra vez po r un circuito en serie quizá re­ quiera un poco menos de inventiva.4 Se puede practicar el uso del lenguaje dual leyendo el teorema de Thévenin en este sentido; de ello debe resultar el teorema de Norton. Se ha hablado de elementos, lenguaje y circuitos duales. ¿Qué sucede con una red dual? Considerar una resistencia i? y un inductor L en serie. El dual de dicha red de dos terminales existe y se obtiene con mayor facilidad al conectar alguna fuente ideal a esa red. El circuito dual se obtiene entonces como la fuente dual en paralelo con una conductancia G de misma magnitud que R, y una ca­ pacitancia C que tiene la misma magnitud que L. Se considera la red dual como la red de dos terminales que se conecta a una fuente dual; así pues, corresponde a un par de terminales entre las cuales G y C se conectan en paralelo. Antes de dejar la definición de dualidad, debe señalarse que se define con base en las ecuaciones de malla y nodales. En razón de que los circuitos no planares (forma no plana) se describen mediante un sistema de ecuaciones de malla, un circuito que no pueda dibujarse en forma planar no posee un dual. Sobre todo, se usa la dualidad a fin de reducir el trabajo que se debe efectuar para analizar los circuitos estándares simples. Luego de analizar el circuito RL en serie, el circuito RC en paralelo requiere menos atención, no porque sea m e­ nos importante, sino en virtud de que ya se conoce el análisis de la red dual. D e­ bido a que el análisis de algunos circuitos complicados no se presta a conocerse bien, a menudo la dualidad no proporcionará una solución rápida. (4) Alguien sugirió: “la tensión es la misma en los extremos del circuito en paralelo”. SECCIÓN 7.7 A A /V CONSTRUCCIÓNDEMODELOS DECAPACITORESEINDUCTORESCONPSPICE • “ P R A C T IC A 7.10 Escribir una ecuación nodal simple del circuilo de la figura 7.37a, y mostrar, mediante sustitución directa, que v = —80e_10 r mV es una solución. Con base en lo anterior, determinar (a) ; (b) ih y (c) i para el circuito de la figura 1.31b. He, 10‘<tmA (a) 8í_,°6ímV' + (b) I F IG U R A 7 .3 7 . A. R e sp u e sta : —Se '° 6í m V ; 16 e lo6f m V ; — 8 0 e,-106f I0“ ' m 7.7 a CONSTRUCCIÓN DE MODELOS DE CAPACITORES * E INDUCTORES CON PSPICE Cuando se usa PSpice para analizar circuitos que contienen inductores y ca­ pacitores, con frecuencia se necesita especificar la condición inicial de cada ele­ mento [es decir, vc (0) e /¿(O)]. Lo anterior se consigue haciendo doble clic so­ bre el símbolo del elemento, lo que despliega la ventana de diálogo que se muestra en la figura 7.38a. En el extremo derecho (no se muestra), puede verse el valor de la capacitancia, el cual es por omisión igual a 1 nF. Se especifica tam­ bién la condición inicial (IC), a 2 V en la figura 7.38a. Si se hace clic en el botón derecho del ratón y se selecciona Display, se presenta la ventana de diálogo que se muestra en la figura 1.38b, la cual permite que se despliegue la condición inicial en el diagrama. El procedimiento para configurar la condición inicial de un inductor es, esencialmente, el mismo. Asimismo, se puede observar que cuando el capacitor se pone primero en el esquema aparece en forma horizontal; la ter­ minal de referencia positiva de la tensión inicial es la terminal izquierda. <5 ( iip tu n ? Í.IS iifim o f r iitio n [P rp fw r ly . rtu n t j J |* ln l i i * i% |a | a|--: D is p la y P ro p e rtie s t- ln ] fx i ^ ¡ Rife cÁ t Yísw Cpbons vvndow - * I d ? • .............................. — - i™ J I y ; ■1 1! -i 1 1 lw | H C o io r Qaíauj k ! Fortf Aria! 7 Ñamé: tC 1 Valué: ¡2 |! Change... j Oesignaior IC | ID lropiementat>on[ —3 C „.trr “ " T f f ................ ...................................................... ......................................................................... - ...............1 1 Colcu Do No5 Display m ■v Ñame and Valué Roíalion ■« 0* r 90* Ñame Only 1 ______ j m - G E E S H Valué Ortlj» r 8oth3Va!ue ExisU .P a rts X Scftem atlcN ets Á f ir is A Titie Stocks .....- ...... UseDefautt! Display Fcsmat f*| NewCofúma.. J Apply ! Display...i. Qíiftte Property \ f r i t a - ¡ < Cmenl piopejbes > t "j| * m S C ^ S l A m P R S eTTB »*«* > \ r i8o* " 270* JÜ " 0K Cancel Help fk F IG U R A 7 .3 8 (o) Ventana de edición de las propiedades del capacitor. (A) Ventana de diálogo de las propiedades de despliegue. 243 ■ A /W -• CAPITULO 7 CAPACITORESEINDUCTORES EJEMPLO 7.11 Simular la forma de onda de la tensión de salida del circuito de la figura 7.39 sí vs = 1.5 sen tOOí V, A’, = 10 k ñ . Cf - 4.7 fiF y vc (0) = 2 V. vc Se empieza dibujando el circuito esquemático, cerciorándose de establecer la tensión inicial en el capacitor (fig. 7.40). Observar que fue necesario con­ vertir la frecuencia de 100 rad/s en 100/2;r = 15.92 Hz. D C =15 AC = TRAN = I F IG U R A 7.39 Circuito de un amp op integrador. ■ F IG U R A 7.40 Representación esquemática del circuito que se muestra en la figura 7.39 donde la tensión inicial del capacitor tiene un valor de 2 V. Para obtener tensiones y corrientes variables en el tiempo, es necesario efectuar lo que se conoce como análisis transitorio. En el menú PSpice se crea un New Simulation Profile con el nombre op amp integrator, el cual conduce al cuadro de diálogo que se muestra en la figura 7.41. Run to time Simulation Settirigs I Genera! Example 7,11 Alarysis 4 Configuraron File® j Options j D a ta CoÜection 1 Probé W indow | AFiaíysistype: j Tim e Domatn (Transient) 7J R u n to time: 0.5 S tart s aving d a ta after: seconds (T S T 0 P ) seconds - T ransient o ptions----- ---------------------------------------- --------------------------3 M onte Carta;'W orBt Case Máximum step.size: }0.5rr| jP a ra m e tfic S w eep IT e m p e ra tu re (S w eep) r seconds Skip th e initia! transient bias point c alcuiation (S K IP B P ) I S s v e Bias Point IL o a d Bias Point O u tp u tfiie O ptions.'. OK Canee! Appiy Help ■ F IG U R A 7.41 Ventana de diálogo para configurar un análisis transitorio. Se selecciona un tiempo final de 0.5 s para obtener varios periodos de la forma de onda de salida - 41/15.92 = 0.06 s). RESUMENYREPASO *- representa el momento en el que terminará la simulación; PSpice selec­ cionará sus tiempos discretos en los que hará los cálculos de las diferentes tensiones y corrientes. En ocasiones se obtiene un mensaje de error que anuncia que no pudo converger la solución transitoria o que la forma de onda de salida no está tan pareja como se esperaba. En dichas situaciones, es de utilidad configurar un valor en M áxim um step size. el cual se fijó en 0.5 en este ejemplo. Del análisis anterior y de la ecuación [17], se espera que la salida sea proporcional a la integral negativa de la forma de onda de entrada, es decir, uSai — 0.319 eos lOOí — 2.319 V, como se muestra en la figura 7.42. La condición inicial de 2 V en el capacitor se combina con un término constante a partir de la integración para dar como resultado un valor promedio diferente de cero a la salida, a diferencia de la entrada que tiene un valor promedio de cero. ■ F IG U R A 7 .4 2 Sa,ida de prueba dei circuito integrador simulado jum o con la forma ae onda de entrada para efectos de comparación. RESUMEN Y REPASO □ La corriente que circula por el capacitor está dada por ¿ = C d v /d t. □ La tensión en el capacitor se relaciona con su corriente por medio de: □ Un capacitor es un circuito abierto en cd. □ La tensión en un inductor está dada por v = L d i/d t. □ La corriente que circula por un inductor se relaciona con su tensión mediante: □ Un inductor es un cortocircuito en cd. AA/V------ CAPITULO 7 CAPACITORESEINDUCTORES □ La energía almacenada en el capacitor está dada por \ C v 2, mientras que la energía almacenada en el inductor está dada por \ U 7", ambas están referi­ das al momento en el que no se almacenó energía. □ Las combinaciones de inductores en serie y en paralelo se combinan mediante la aplicación de las mismas ecuaciones que las de resistencias. □ Las combinaciones de capacitores en serie y en paralelo funcionan de ma­ nera opuesta a la de las resistencias. □ Un capacitor como el elemento de retroalimentación de un amp op inversor origina una tensión de salida proporcional a la integral de la tensión de en­ trada. El intercambio de la resistencia de entrada y el capacitor de retroali­ mentación causa una tensión de salida proporcional a la derivada de la ten­ sión de entrada. □ En razón de que los capacitores y los inductores son elementos lineales, la LVK, la LCK, la superposición, los teoremas de Thévenin y Norton, así como los análisis nodal y de m alla se aplican también en sus circuitos. □ El concepto de dualidad proporciona otra perspectiva respecto de la relación entre circuitos con inductores y circuitos con capacitores. □ PSpice permite establecer la tensión inicial en un capacitor y la corriente inicial a través de un inductor. Un análisis transitorio proporciona detalles de la respuesta, en función del tiempo, de los circuitos que contienen estos tipos de elementos. LECTURAS ADICIONALES__________________________ En los libros que se m encionan a continuación se puede encontrar una guía de­ tallada de las características y selección de varios tipos de capacitores e inductores: H. B. Drexler, Passive Electronic Component Handbook, 2a. ed., C.A. Harper, ed. Nueva York: McGraw-Hill, 2003, pp. 69-203. C. J. Kaiser, The Inductor Handbook, 2 a ed. Olathe, Kans.: C. J. Publishing,1996. Dos buenos libros que describen los circuitos am p op basados en capacitores son: R. Mancini (ed), Op Amps Are For Everyone, 2a. ed. Amsterdam: Newnes, 2003. W. G. Jung, Op Amp Cookbook, 3a. ed. Upper Saddle River, N. J.: Prentice Hall, 1997. EJERCICIOS_____________________________________ 7.1 El c a p a c ito r 1. Calcular la comente que circula por un capacitor de 10 /xF si la tensión en las ter­ minales es: (a) 5 V; (b) 115V2 eos 120;rí V; fc) 4e~‘ mV. 2. Hacer un dibujo de la onda de comente que circula por un capacitor de 4.7 /¿F como respuesta a una forma de onda de tensión que se muestra en la figura 7.43. Suponer que la corriente y la tensión se definen de manera congruente con la con­ vención pasiva de signos. 3. Calcular la comente que circula a través de un capacitor de 1 mF como respuesta a una tensión v en sus terminales si u es igual a: (a) 30te~‘ V; (b) 4e~5' sen 100? V. 4. ¿Cuál es la cantidad máxima de energía que puede almacenarse en cada uno de los capacitores electrolíticos de la figura 1.2b y el Explicar la respuesta. 5. Un capacitor se fabrica a partir de dos delgados discos de aluminio de 1 cm de diámetro, separados por una distancia de 100 /xm (0.1 mm). (á) Calcular la capaci- EJERCICIOS tancia suponiendo que sólo hay aire entre las placas metálicas, (b) Determinar la tensión que debe aplicarse para almacenar en el capacitor 1 mJ de energía, (c) Si se necesita que el capacitor almacene 2.5 ¡ü de energía en una aplicación que suminis­ tra hasta J00 V, ¿qué valores de permisividad relativa s/eo se requerirían para la región entre las placas? 6. Un diodo de silicio de unión pn se caracteriza por una capacitancia de unión definida como „ C; “7 Kss0A w donde Ks = 11.8 del silicio, £o es la permisividad del vacío, A = el área de la sec­ ción transversal de la unión, y f f s e conoce como el ancho de agotamiento de la unión. W no sólo depende de la manera en que se fabrica el diodo, sino también de la tensión aplicada en sus dos terminales. Puede calcularse por medio de De tal forma, los diodos se emplean con frecuencia en circuitos electrónicos, puesto que se consideran como capacitores controlados por tensión. Suponiendo valores de parámetros de N = 1018 cm-3 . V¡>¡ = 0.57 V. y empleando q = 1.6 x 10-19 C, calcular la capacitancia de un diodo con área de sección transversal A = 1 //.m x 1 ¡jxa a tensiones aplicadas de Va = —1. —5 y —10 volts. 7. Diseñar un capacitor cuya capacitancia pueda variarse en forma manual entre 100 pF y 1 nF al girar una perilla. Incluir esquemas marcados de modo apropiado para ex­ plicar su diseño. 8. Una tensión de v(t) ^,/5 y | > o se aP^ca auu caPacitor de 300 ¡iF. (a) Calcular la energía almacenada en el capacitor en t = 2 ms. (b) ¿En qué tiempo la energía almacenada en el capacitor disminuyó 37% de su valor máximo? (Re­ dondee hasta el segundo más cercano.) (c) Determinar la corriente que circula por el capacitor en t = 1.2 s. (d) Calcular la potencia entregada por el capacitor al cir­ cuito externo en t = 2 s. 9. La corriente que pasa por un capacitor de 47 //.F se presenta en la figura 7.44. Calcular la tensión en el dispositivo luego de (a) t = 2 ms; (b) t = 4 ms; (c) t = 5 ms. 10. La corriente que circula por un capacitor está dada por i (t) = 7 sen n t mA. Si la energía almacenada en t = 200 ms es igual a 3 ¡ü, ¿cuál es el valor de la capacitancia? 11. (a) Si el capacitor de la figura 7.1 tiene una capacitancia de 0.2 fiF, y una tensión vc = 5 + 3 eos2 200/ V, determinar ¿c(0- (P) ¿Cuál es la máxima energía almace­ nada en el capacitor? (c) Si ic = 0 para t < 0 e ic = 8e~100' mApara t > 0, deter­ minar vc(t) para t > 0. (d) Si ¡c = 8e 100' mApara t > 0 y i>c(0) — 100 V, determinar vc(t) para t > 0. 12. La forma de onda de corriente que se muestra para t > 0 en la figura 7.45 se aplica a un capacitor de 2 mF. Dado que vc(0) = 250 V, y utilizando la convención de sig­ nos pasiva, ¿durante qué intervalo el valor de vc está entre 2 000 y 2 100 V? ic ■ FIGURA 7.45 2 A /W -• CAPÍTULO 7 CAPACITORES E INDUCTORES 13. Una resistencia i? se conecta en paralelo con un capacitor de 1 /¿F. Para cualquier t < 0, la energía almacenada en el capacitor vale 20e _10001mJ. (a) Determinar R. (b)Por integración, demostrar que la energía disipada en i? durante el intervalo 0 < t < oo es 0.02 J. 14. Para el circuito de la figura 7.46, (á) calcular la tensión en cada capacitor, (b) Veri­ ficar sus respuestas con PSpice. Proponer un esquema marcado adecuadamente con los resultados de la simulación. 4.7 k íl 5V 1 k íl > - in — vw - vc -------------- > ”, =j= 2/iF i n ^> + II — 1F 1 ÍÍ < ■ F IG U R A 7.46 7.2 El in d u c to r i (nA) 15. Calcular la tensión en un inductor de 10 nH si la corriente en la terminal de referen­ cia “+ ” es: (a) 5 mA; (b) 115\/2cos 120 n t A; (c) 4e~61 mA. 16. Bosquejar la tensión que aparece en un inductor de 1 pH como respuesta a la forma de onda de corriente que se muestra en la figura 7.47. Suponer que la corriente y la tensión se definen de forma congruente con la convención pasiva de signos. 17. Calcular la tensión que se desarrolla en un inductor de 5 /¿H como respuesta a una corriente i que circula hacia su terminal de referencia “+ ” si i es igual a: (a) 30te~’ nA; (b) 4e~5t sen 100/ mA. 18. ¿Cuál es la máxima cantidad de energía que puede almacenarse en un inductor de 5 mH si el alambre está diseñado para una corriente máxima de 1.5 A? Explicar su respuesta. 19. De acuerdo con la figura 7.48: (a) dibujar vL como una función del tiempo, 0 < t < 60 ms; (b) proporcionar el valor de] tiempo en el que el inductor absorbe una potencia máxima; (c) determinar el valor del tiempo en el cual el inductor suministra la potencia máxima y (d) calcular la energía almacenada en el inductor a t = 40 ms. ¿l (A) f (ms) io n 5H (<H (b) FIG U R A 7.49 20. En la figura 7.13, seaL = 50 mH, con iL = 0 para t < 0 y 80fe-100í mApara t > 0. Calcular los valores máximos de |i¿ | y [u|, así como el tiempo en el que ocurre cada máximo. 21. (a) Si is = 0.4í2 Apara t > 0 en el circuito de la figura 7.49a, determinar y graficar i>ent (t) para t > 0. (b) Si vs = 40? V para t > 0 e i¿ (0) = 5 A, determinar y graficar ¡cnt (f) para t > 0 en el circuito de la figura 1.49b. 22. La tensión 20 eos 1 OOOí V se aplica al inductor de 25 mH. Si la corriente en el in­ ductor es cero en t = 0, determinar y graficar (0 < t < 2tz ms): (a) la potencia que absorbe el inductor; (b) la energía almacenada en el inductor. 23. La tensión a 0.2 H en los extremos de un inductor de 0.2 H es de 100 V para 0 < t < 10 ms: decrece linealmente hasta cero en el intervalo 10 < t < 20 ms; es igual a 0 en 20 < t < 30 ms; su valor es de 100 V para 30 < t < 40 ms; y es cero de ahí en adelante. Utilizar la convención de signos pasiva para v¿ e i¿. EJERCICIOS (a) Calcular iL en / = 8 ms si iL (0) = - 2 A. (b) Determinar la energía almacenada en t = 22 ms si ¡¿(0) = 0.2 24. El circuito descrito en la figura 7.50 se conectó durante mucho tiempo. Determinar ix. ------ nnnp------ — V v v — 2H so n — W v —— n m n — 1H 2n <> 20 a > 1 6 fi | m F IG U R A 7.50 25. La tensión en un inductor de 5 H es = 10(e- ' —e~2‘) V. Si ¡¿(0) = 80 mA y v l y í l satisfacen la convención de signos pasiva, determinar (a) ij ¿ ( 1 s); (b) ¡ ¿ ( 1 s); y (c)iL(oo). 26. Mucho tiempo después de que todas las conexiones se efectuaron en el circuito de la figura 7.51. determinar vx si (a) un capacitor se presenta entre x y y y (b) está pre­ sente un inductor entre x y y. 10 mH 27. De acuerdo con el circuito de la figura 7.52, proporcionar: (a) wi; (b) wc\ (c) la tensión a través de cada elemento del circuito; (d) la corriente en cada elemento del circuito. 28. Sea vs = 4001 2 V para t > 0 e i¿,(0) = 0.5 A en el circuito de la figura 7.53. En t = 0.4 s, determinar los valores de la energía: (a) almacenada en el capacitor; (,b) almacenada en el inductor; y (c) disipada por la resistencia desde t = 0. lk p ■ FIGURA 7.53 i>ioon «H 10 H ^ 10 /jlF 0 AA/V io n CAPÍTULO 7 CAPACITORESEINDUCTORES P | fc-29. Para el circuito de la figura 7.54, (a) calcular la potencia disipada por las resisten­ cias de 7 y 10 Q, respectivamente, (b) Verificar las respuestas con PSpice. Elaborar un esquema marcado adecuadamente con los resultados de la simulación. (a) Determ inar el equivalente de Thévenin de la red conectada al inductor de la figura 7.55. (b) Calcular la corriente a través del inductor, (c) Verificar la respuesta con PSpice. Elaborar un diagrama marcado adecuadamente con los resultados de la simulación. 2H 80 7.3 C o m b in a c io n e s d e in d u c ta n c ia y c a p ac itan cia 31. D eterm inar la capacitancia equivalente de la red en la figura 7.56 si todos los ca­ pacitores son de 10 /iF. F IG U R A 7 .5 6 32. Determ inar la inductancia equivalente de la red en la figura 7.57 si todos los induc­ tores son de 77 pH. 33. Para el circuito de la figura 7.58, (a) reducir el circuito al número más pequeño posible de componentes mediante combinaciones serie/paralelo; (b) determinar vx si todas las resistencias son de 10 kQ. Todos los capacitores son de 50 /iF, y todos los inductores de 1 mH. 34. Para el circuito de la figura 7.59, (a) dibujar de nuevo el circuito utilizando el menor número posible de componentes con base en el empleo de reglas de combinación serie/paralelo; (b) determinar Vx si todas las resistencias son de 1 Q, todos los ca­ pacitores de 50 ¡iF, y todos los inductores de 10 nH. WV--------- i 251 EJERCICIOS 35. Reducir la red de la figura 7.60 a una sola capacitancia equivalente, según se ob­ serva desde las terminales a y b. 100 nF r c„ - i 2 ^F II 4 0 nF = 12 nF a z - 75 nF 100/¿F II II b = = 7 /tF = = 12 fiF ■ F IG U R A 7 .6 0 36. Reducir la red de la figura 7.61 a una sola inductancia equivalente, según como se observa desde las terminales a y b. 37. L a red de la figura 7.62 almacena 534.8 /iJ de energía cuando se conecta una ten­ sión de 2.5 V en las terminales a y b. ¿Cuál es el valor de CP. 38. L a red de la figura 7.63 consta de tres etapas en serie y cada una contiene un número correspondiente de inductores en paralelo, (a) Determinar la inductancia equivalente si todos los inductores son de 1.5 H. (b ) Obtener la expresión de una red general de este tipo que tenga N etapas. i— - c I F IG U R A 7 .6 3 I I F IG U R A 7 .6 4 39. En la red de la figura 7.63, L\ = 1 H, Li = ¿3 = 2H , L 4 = L¡ = L(¡ = 3 H. (a) Calcular la inductancia equivalente, (b) Obtener la expresión de una red general de este tipo que tenga N etapas, suponiendo que la etapa N está compuesta por N in­ ductores, cada uno con una inductancia de N henrys. 40. Extender el concepto de transformaciones A-Y para simplificar la red de la figura 7.64, si cada elemento es un capacitor de 2 pE 41. A m pliar el concepto de transformaciones A -Y para simplificar la red de la figura 7.64, si cada elemento es un inductor de I nH. 42. Dada una caja llena de inductores de 1 /¿H demostrar cómo (mediante el menor número posible de componentes) se obtendría una inductancia equivalente de (a) 2.25 jU,H; (b) 750 nH; (c) 450 nH. 43. Observar la red de la figura 7.65 y calcular: (a) R?q si cada elemento es una resisten­ cia de 10 f i; (b) Lgq si cada elemento es un inductor de 10 H: (c) Cm¡ si cada ele­ mento es un capacitor de 10 F. ■ FIGURA 7.65 r 252 A/VV- CAPÍTULO 7 CAPACITORESEINDUCTORES 44. En la figura 7.66, sean los elementos A, B, C y D: (a) inductores de 1 H, 2 H, 3 H y 4 H, respectivamente, y calcular la inductancia de entrada con x-x' primero en cir­ cuito abierto y luego en cortocircuito; (b) capacitores de 1 F, 2 F, 3 F y 4 F, respecti­ vamente, y determinar la capacitancia de entrada con x-x' primero en circuito abierto y luego en cortocircuito. 45. Dada una caja llena de capacitores de 1 nF y mediante el empleo del menor número de capacitores posible, mostrar cómo se puede obtener una capacitancia equivalente de (a) 2.25 nF; (b) 0.75 nF; (c) 0.45 nF. Entrada 7.4 Consecuencias de la linealidad 46. En el circuito de la figura 7.67, sea is = 60e~200t mA con i i (0) = 20 mA. (a) Pro­ porcionar v(t) para cualquier t. (b) Determinar i\ (t) para t > 0. (c) Encontrar ioit) para t > 0. 47. Sea vs = 100e-80f V y Di (0) = 20 V en el circuito de la figura 7.68. (a) Calcular i ( t ) para cualquier t. (b) Determinar v¡ (t) para t > 0. (c) Proporcionar D2 (í) para t > 0. 4H I F IG U R A 7.67 *20 SmH 48. (a) Escribir las ecuaciones nodales del circuito de la figura 7.69. (b) Escribir las ecuaciones de malla del mismo circuito. 49. Si se supone que todas las fuentes del circuito de la figura 7.70 se conectaron y operaron durante mucho tiempo, aplicar el principio de superposición para calcular vc(t) y vL(t). 20 mA I F IG U R A 7 .69 F -= _ 9 V (T ^ 4 0 c o s 103/m A 50. En el circuito de la figura 7.71, suponer que no hay energía almacenada en t = 0, y escribir un conjunto completo de ecuaciones nodales. 20e~ ■ FIGURA 7.71 EJERCICIOS * V W 0 7.5 C ircuitos d e a m p o p s im p le s con c a p ac ito res 51. Intercambiar la ubicación de R y C en el circuito de la figura 7.30, y suponga que R¡ = oo, R0 = 0, y A = oo para el amp op. (a) Determinar vsa¡(t) como función de vs(t). (b) Obtener una ecuación que relacione v0(t) y vs (/) si A no se supone in­ finita. 52. Un dosificador de iones es un dispositivo que se usa para inyectar átomos ionizados en silicio a fin de modificar sus características eléctricas para la subsecuente fabri­ cación de diodos y transistores. Los iones que inciden sobre el blanco de silicio pro­ ducen una corriente que se dirige a través de una resistencia de un valor conocido con precisión. La corriente es directamente proporcional a la intensidad de los iones (i = 1.602 x 10-19x número de iones incidentes por segundo). Si se utiliza una re­ sistencia de 1.000 MÍ2 para detectar la corriente, diseñar un circuito para propor­ cionar una salida directamente proporciona] al número total de iones que inciden en el silicio durante el proceso de dosificación (conocida como dosis). 53. En el circuito de la figura 7.30, sea R = 0.5 M íí, C = 2 fj.F, R¡ = oo, y R 0 = 0. Suponer que se desea que la salida sea vsai = eos 1Oí — 1 V. Obtener vs(t) si (a)A = 2 000 y (b) A es infinita. @ 54. Se coloca un sensor de velocidad en una rueda giratoria. Diseñar un circuito que proporcione una tensión positiva cuya magnitud sea igual a la aceleración (revolu­ ciones por minuto) de la rueda. Suponer que la salida del sensor de velocidad es 1 mV/rpm y que la rueda gira a menos de 3 500 rpm. 55. (a) En el circuito de la figura 7.72, intercambie la resistencia y el inductor, y obtener la expresión de vsai en términos de vs. (b) Explicar por qué un circuito de este tipo no se usaría por lo general en la práctica. (T) 56. Un medidor de exposiciones conectado a una cámara proporciona una salida que es directamente proporcional a la intensidad de luz incidente, de tal forma que 1 mV = 1 med (milicandela). Diseñar un circuito que proporcione una tensión de salida pro­ porcional a la intensidad integrada, de tal manera que 1 V = 1 med-s. (T)57. El proceso de fabricación de cierto tipo de vidrio requiere que la velocidad de enfriado no exceda 100uC/min. Se encuentra disponible una tensión proporcional a la temperatura actual de fundido del vidrio, de tal forma que lmV = 1°C en un in­ tervalo de 500 a 2 000°C. Diseñar un circuito cuya tensión de salida represente la velocidad de enfriamiento, de tal forma que 1 V = 100°C/min. 58. En un tanque de combustible se instala un sensor de nivel a fin de medir el com­ bustible que queda en él. El sensor se calibra de tal forma que 1 volt = 1 0 litros. Diseñar un circuito cuya salida de tensión proporcione una lectura de la velocidad del consumo de combustible en litros por segundo, de tal forma que 1 V = 1 1/s. áT} 59. Se van a efectuar pruebas a una batería con el fin de determinar la cantidad de energía que puede entregar a una carga de 1 íí. Se encuentran disponibles dos señales: una de tensión para el cuadrado de la tensión de la batería (1 mV = 1 V2) y otra de tensión que indica el cuadrado del flujo de corriente hacia afuera de la batería (1 mV = 1 A2). Diseñar un circuito cuya tensión de salida sea proporcional a la energía entregada total, de tal forma que 1 mV = 1 J de energía que se entrega a la carga. 60. Los ingenieros de prueba de una nave experimental desean supervisar la desaceleración durante el aterrizaje, ya que les preocupa que los sistemas de suspen­ sión de los neumáticos experimenten mucho esfuerzo. Si pudieran proporcionarle una señal de tensión de las llantas de la nariz de la nave que estuviera calibrada de tal forma que 1 mV = 1 mph. diseñar un circuito cuya tensión de salida sea proporcional a la velocidad de desaceleración (de tal forma que I V = 1 km/s2). G> 7.6 D u a lid a d 61. (a) Dibujar el dual exacto del circuito de la figura 7.69. Especificar las variables duales y las condiciones iniciales duales. (b) Escribir las ecuaciones nodales del cir­ cuito dual, (c) Determinar las ecuaciones de malla del circuito dual. 62. Dibujar el dual exacto del circuito que se ilustra en la figura 7.51. Dibujar el circuito en una forma limpia y clara con esquinas cuadradas, un nodo de referencia recono­ cible y con ningún cruce. 63. Dibujar el dual exacto del circuito de la figura 7.73. ¡Mantenerlo limpio! 8F I FIGURA 7.73 254 ) -------- V W CAPÍTULO 7 CAPACITORESEINDUCTORES 64. (a) Dibujar el dual exacto del circuito que se indica en el ejercicio 47, incluyendo las variables. (b) Escribir el dual del enunciado del problema del ejercicio 47. (c) Resolver el nuevo ejercicio 47. 65. Determinar el dual del circuito de la figura 7.74 y obtener la expresión de /saJ en tér­ minos de is. (Sugerencia: utilizar el modelo detallado para un amp op.) 7.7 C onstru cción d e m o d e lo s d e ca p a c ito re s e in d u c to re s co n PSpice P ^ -66. Calcular la energía almacenada en el inductor de la figura 7.75. Verificar la solución mediante el uso de PSpice: elaborar un esquema marcado adecuadamente con los resultados de la simulación. P ^ ~67. Calcular la energía almacenada en el inductor de la figura 7.76. Verificar la solución mediante el uso de PSpice; proponer un esquema marcado adecuadamente con los resultados de la simulación. 7H io n 4 íl 7n 68. Calcuar la energía almacenada en el capacitor de la figura 7.77. Verificar la solución mediante el uso de PSpice: elaborar un esquema marcado adecuadamente con los resultados de la simulación. 75 íl 100 í l —W r 4V 20 i ). -V W — 0.8/,. ■25 0 ^10m F ■ F IG U R A 7.77 jrP^-69. Calcular la energía almacenada en el capacitor de la figura 7.78. Verificar la solu­ ción mediante el uso de PSpice; proponer un esquema marcado adecuadamente con los resultados de la simulación. 6 kíl : 5 , u,f ■ F IG U R A 7.78 O -™ E K En al amp op diferencial de la figura 7.31, asignar los valores C\ = 5 nF y Rf = 100 MÍ2. (a) Predecir la salida si vs(t) = 3 sen 10? V. (b) Verificar la solución simulándola con PSpice. Proponer un esquem a marcado adecuadamente con los re­ sultados de la simulación. Utilizar PSpice para verificar que la energía almacenada en un capacitor de 33 ¡xF es 221 n J en t — 10-2 s cuando se conecta a una fuente de tensión v(t) = 5eos 75/ V. (Sugerencia: Utilizar la componente VSIN.) -72. Emplear PSpice para verificar que la energía alm acenada en un inductor de 100 pH es igual a 669 pJ en ? = 0.01 s cuando se conecta a una fuente de corriente i (?) = 5 eos 75? A. (Sugerencia: emplear la componente ISIN.) o -73. En el circuito de la figura 7.72, seleccionar R\ y L¡ de modo que la salida sea el doble de la derivada de la tensión de entrada, si i;s = A eos 2.t 103? V. Verificar el diseño mediante PSpice. 74. Resolver el ejercicio 7.71, pero esta vez con v (?) = 5 eos 75? — 7 V. .JV75. Resolver el ejercicio 7.72, pero esta vez con i (?) = 5 eos 75? — 7 A. Circuitos /?/. y /?C básicos CONCEPTOS CLA VE INTRODUCCION En el capítulo anterior se presentaron ecuaciones que gobiernan la respuesta de varios circuitos en inductancia y capacitancia, pero no Constantes de tiempo RL y RC. y-------------------------------Respuesta natural y forzada. se resolvió ninguna de ellas. En este momento se puede proceder a la solución de los circuitos más simples, restringiendo la atención a aquellos que contienen sólo resistores e inductores, o sólo resis­ tores y capacitores. Si bien los circuitos que se analizarán tienen una apariencia muy elemental, también son de importancia práctica. Las redes de esta forma se emplean en amplificadores electrónicos, sistemas de control automático, amplificadores operacionales, equipo de comu­ nicaciones y en otras muchas aplicaciones. La familiarización con estos circuitos simples permitirá predecir con qué exactitud puede la salida de un amplificador seguir una entrada que cambia con rapidez con el tiempo, o predecir cuán rápidamente cambiará la ve­ locidad de un motor como respuesta a un cambio en su corriente de campo. Nuestro conocimiento del desempeño de los circuitos RL y RC simples permitirá sugerir modificaciones para el amplificador o el motor a fin de obtener una respuesta más deseable. i---------------------------Determinación de la respuesta en función del tiempo de una excitación deCD. -------------------------------Cómo determinar las condiciones iniciales y su efecto en la respuesta del circuito. i-------------------------------Análisis de circuitos con fundones de entrada escalón y con interruptores. i-------------------------------Construcción de formas de onda pulsantes mediante fundones escalón unitario. 8.1 EL CIRCUITO RL SIN FUENTE ------ *---------------------------------------------------------------------------------El análisis de circuitos que contienen inductores y/o capacitores de­ pende de la formulación y solución de ecuaciones integrodiferenciales que caracterizan a los circuitos. Se llamará ecuación diferen­ cial lineal homogénea al tipo especial de ecuación que se obtiene, la cual es simplemente una ecuación diferencial en la que cada término es de primer grado en la variable dependiente o en una de sus de­ rivadas. Se obtiene una solución cuando se encuentra la expresión — ----------------------------------------------------------- Respuesta de circuitos conmutados secuencialmente. 255 256 --------- V W í(0 ■ F IG U R A 8.1 Circuito RL en serie para el que se va a determ inar/'© sujeto a la condición inicial /(O) = /0- ¡Quizá parezca bastante extraño analizar una corriente variable en el tiempo que fluye en un circuito sin fuentes! Tenga presente que sólo se conoce la corriente en el tiempo específico í = 0; no se le CAPÍTULO 8 CIRCUITOSRL YRC BÁSICOS de la variable dependiente que satisface la ecuación diferencial y también la distribución de energía preescrita en los inductores o capacitores en el instante preestablecido, por lo general t = 0. La solución de la ecuación diferencial representa una respuesta del circuito y se conoce con muchos nombres. Puesto que depende de la “naturaleza” general del circuito (los tipos de elementos, sus tamaños, la interconexión de los elemen­ tos), se denomina a menudo como respuesta natural. Sin embargo, todo circui­ to real que se construya no puede almacenar energía por siempre; necesariamente, las resistencias asociadas con los inductores y capacitores a la larga convertirán toda la energía almacenada en calor. La respuesta debe al final extinguirse (o sea desaparecer), razón por la cual con frecuencia se le conoce como respuesta tran­ sitoria. Por último, también es necesario familiarizarse con la aportación de los matemáticos a la nomenclatura: asignan el nombre defunción complementaria a la solución de una ecuación diferencial lineal homogénea. Cuando se analizan fuentes independientes que actúan sobre un circuito, parte de la respuesta recordará la naturaleza de la fuente particular (o función forzada) que se utiliza; dicha parte, denominada solución particular, respuesta de estado permanente o respuesta forzada, se “complementa” con la respuesta complemen­ taria producida en el circuito sin fuente. La respuesta completa del circuito estará dada entonces por la suma de la función complementaria y la solución particular. En otras palabras, la respuesta completa consiste en la suma de la respuesta natu­ ral y la respuesta forzada. La respuesta sin fuente podría llamarse respuesta na­ tural, respuesta transitoria, respuesta libre o función complementaria, pero debido a su naturaleza más descriptiva a menudo se denomina respuesta natural. Se examinarán varios métodos diferentes de solución de estas ecuaciones diferenciales. Sin embargo, la manipulación matemática no significa analizar los circuitos. El mayor interés se encuentra en las propias soluciones, en su sig­ nificado y su interpretación, así que se tratará de familiarizar lo suficiente al lector con la form a de la respuesta de modo que se puedan elaborar respuestas para los nuevos circuitos con sólo un simple razonamiento. Si bien se necesitan métodos analíticos complicados cuando fallan los enfoques más simples, una intuición bien desarrollada constituye un recurso invaluable en este tipo de situaciones. El estudio comenzará con el análisis transitorio considerando el simple cir­ cuito R L en serie que se presenta en la figura 8.1. Se va a designar la corriente variable en el tiempo como i(t)\ se representará el valor d e i(t) e n t = O co m o /o ; en otras palabras, i (0) = lo- Por lo tanto, se tiene conoce antes de ese tiempo. En ese sentido, tampoco di R i -f- Vl — R i -\- L<— dt se sabe cómo se veía el circuito antes de f = 0. Para que circule una corriente, sería necesaria la presencia = 0 de una fuente en algún punto, pero no se ha proporcionado información al respecto. Por fortuna, di R — + - i= 0 dt L ello no se requiere para analizar el circuito indicado. [1] L a m eta es una expresión de i(t) que satisfaga esta ecuación y también tenga el valor I q en t = 0. La solución se obtiene mediante varios métodos diferentes. Método directo Un método muy directo para resolver una ecuación diferencial consiste en ex­ presarla de manera que se separen las variables y luego se integre cada miembro A/W SECCION8.1 ELCIRCUITORL SINFUENTE de la ecuación. Las variables en la ecuación [1] son i y t, y resulta evidente que la ecuación se podría multiplicar por dt, dividirse entre i y arreglarse con base en las variables separadas: di R ^ [ T ~~L 2] En razón de que la corriente es 7o en t = 0 e i{t) en el tiempo t, se igualarían las dos integrales definidas que se obtienen al integrar cada miembro entre los límites correspondientes: L i' ~ L l Efectuando la integración indicada, R t ln í■/!', = -----1 i la cual tiene como resultado ln i - ln lo R = —— (t - 0) Después de un poco de manipulación, se puede ver que la corriente i(t) está dada por i(t) = I0e~ Rt/L [3] Se comprueba la solución si se demuestra primero que la sustitución de la ecuación [3] en la ecuación [1] produce la identidad 0 = 0, y después que la sustitución de t = 0 en la ecuación [3] tiene como resultado i (0) = lo- Ambos pasos son necesarios; la solución debe satisfacer la ecuación diferencial que caracteriza al circuito y también la condición inicial. --------------------------------------------------------- --------------- ■ ■- ■ Si el in d u cto r de la figura 8.2 tiene u n a co rriente iL H 2 A en t H 0, en­ co n tra r la expresión de ii(t) válida p a ra t > 0, y su valor en t H 200 „ s. EJEM PLO 8.1 50 m H i----------'mnp------- 1 Este tipo de circuito es idéntico al que se vio con anterioridad, por lo que se espera que la corriente que circula por el inductor sea de la forma 200 n i d t ) = loe R/L‘ donde R = 200 Q, L = 50 mH e lo es la corriente inicial que circula a través del inductor en t = 0 . Por ende, iL{t) = 2e ~4000t ■ F IG U R A 8 .2 Circuito /?! simple en el que la energía se almacena en el inductor en Sustituyendo t = 200 x 10-6 s, se puede ver que ii( t) = 898.7 mA, que es menor que la mitad del valor inicial. t = 0. 500 nH - ' T Í T 1- PRÁCTICA t ____________ ______________________________________________ 1KÍ1 8.1 Determinar la corriente ig que circula a través de la resistencia de la figura 8.3 en t = 1 ns si ír (0) = 6 A. Respuesta: 812 mA. ■ F IG U R A 8 .3 Circuito para el problema de práctica 8.1. A /W -• CAPÍTULO8 CIRCUITOSRL YRC BÁSICOS Método alterno La solución también se podría obtener por medio de una ligera variación del método anterior. Luego de separar variables, se tendría la integral indefinida de cada lado de la ecuación [2] si también se incluye una constante de integración. De tal modo, f di f R J T ~~ J Z +K y la integración origina R lnz = -----1 + K Z; [4] La constante K lio puede evaluarse mediante la sustitución de la ecuación [4] en la ecuación diferencial original [1]; resultará la identidad 0 = 0, pues la ecuación [4] es una solución de la ecuación [1] para cualquier valor de K (com­ pruébelo usted mismo). La constante de integración debe elegirse para satisfacer la condición inicial i (0) = I q. Así, en t = 0, la ecuación [4] se convierte en ln l0 = K y se emplea este valor de K en la ecuación [4] para obtener la respuesta deseada: R ln z = -----1 + ln I q L o i(t) = I0e~Rt' L como se hizo antes. Método general Cualquiera de estos métodos se utiliza cuando las variables son separables, aunque ésta no es siempre la situación. En los casos restantes se confiará en un método muy poderoso, cuyo éxito dependerá de nuestra intuición o experiencia. Sólo se adivinará o se supondrá una forma de solución y luego se probarán los supuestos, primero mediante la sustitución en la ecuación diferencial y luego a través de la aplicación de las condiciones iniciales dadas. Debido a que no se puede adivinar la expresión numérica exacta de la solución, se considerará una solución que contenga varias constantes desconocidas y se erigirán los valores para ellas con el fin de satisfacer la ecuación diferencial y las condiciones ini­ ciales. Muchas de las ecuaciones diferenciales que se encuentran en el análisis de circuitos tienen una solución que puede representarse mediante la función ex­ ponencial o la suma de varias funciones exponenciales. Se supondrá una solu­ ción de la ecuación [1] en forma exponencial, i (t) = A eSlt [5] donde A y Si son constantes que se deben determinar. Después de sustituir esta solución supuesta en la ecuación [1], se tiene: A s!eSlt + A - e Sít = 0 L SECCIÓN8.1 ELCIRCUITO RL SINFUENTE (**ñ A eSlt = O A/W 259 [6 ] Con el fin de satisfacer la ecuación para todos los valores del tiempo, se re­ quiere que A = 0, o ¿i = - o o , o s\ = —R / L . Pero si A = 0 o si ¿i = —oo, en­ tonces toda respuesta es nula; ninguna puede ser una solución para el problema en cuestión. Por lo tanto, se debe elegir: [7] S1 = ~ I Determinar el valor de una constante que no dé como resultado una solución trivial así que la solución supuesta tom a la forma ¿(í) = A e ~ Rt¡L JH La constante restante debe evaluarse aplicando la condición inicial i ÍO) = Iq. De tal modo, A = ¡o, y la forma final de la solución supuesta es (otra vez) m = k e - Rt,L En la figura 8.4 se muestra un resumen del método básico. En realidad, puede tomarse una ruta más directa. Para obtener la ecuación [7], se resuelve R „ sí + I = 0 [8 ] que se conoce com o ecuación característica. E sta últim a se obtiene directa­ mente de la ecuación diferencial, sin que sea necesaria la sustitución en la solución de prueba. C onsiderar la ecuación diferencial general de prim er orden “f + b f= 0 donde a y b son constantes. Se sustituye resultado -a en d f / d t y s° e n /, lo cual da como a - f + b f = (as + b ) f = 0 at A partir de aquí se puede obtener directamente la ecuación característica as + b = 0 la cual tiene una sola raíz s = —b /a . Entonces, la solución de la ecuación diferencial es / = A e~b,/a El procedimiento básico se puede extender fácilmente a ecuaciones diferen­ ciales de segundo orden, como se estudiará en el capítulo 9. Basarse en la(s) condición(es) inicial(es) para determinar los valores de la(s) constante(s) que qucda(n) GE) l F IG U R A 8 .4 Diagrama de flujo del método general para resolver ecuaciones diferenciales de primer orden donde se puede adivinar la forma de la solución con base en la experiencia. -AA/V 260 CAPITULO 8 CIRCUITOSRL YRC BASICOS En el circuito de la figura 8.5a, calcular la tensión marcada como v en t H 200 ms. io n W v— 4012 Identificar el objetivo del problema. 5H En realidad, el diagrama de la figura 8.5a representa dos circuitos diferentes: uno con el interruptor cerrado (figura 8.564 y otro con el interruptor abierto (figura 8.5c). Determinar v (0.2) en el circuito que se muestra en la figura 8.5c. Recopilar la información conocida. (a) - ' "Av. v io n ------W v----40 n > _ = — 24 V Elaborar un plan. 5H | -f El circuito de la figura 8.5c puede analizarse escribiendo una ecuación KVL. A fin de cuentas, se desea una ecuación diferencial con v y t sólo como variables; para realizar esta tarea, pueden ser necesarias ecuaciones adicionales y algunas sustituciones. A continuación se resolverá la ecuación diferencial para encontrar v(t). ;£0 O) Construir un conjunto de ecuaciones apropiado. io n — VW 40 n Primero se debe verificar que ambos circuitos se encuentren dibujados y marcados correctamente. A continuación se elabora el supuesto de que el circuito de la figura 8.5b se conectó por un largo periodo, para que todo transitorio se haya disipado. Se puede hacer dicho supuesto bajo estas cir­ cunstancias a menos que se ordene lo contrario. Con referencia a la figura 8.5c, se puede escribir di i - v + \0 iL + 5 - ± = 0 di :5h . Sustituyendo = —f/4 0 , se observa que 5_dv r> 0 40 d t (c) i F IG U R A 8 .5 (o) Circuito RL simple con un interruptor disparado en el tiem po t = 0. ( b) El circuito como se encuentra antes de t = 0. (c) El circuito después de que el interruptor es activado y se ha quitado la fuente de 24 V. V 10 , 4Ó + 1 o, más simplemente, dv ------1- 10f = 0 dt [9] Determinar si se requiere de información adicional. A partir de la experiencia previa, se sabe que una expresión completa de v requerirá el conocimiento de v en un momento específico, donde t = 0 es el más conveniente. Podría uno sentirse tentado a mirar la figura 8.5b y es­ cribir v(0) = 24 V, lo cual es válido sólo justo antes de que el interruptor abre. L a tensión en la resistencia puede cambiar a cualquier valor en el instante en el que se opera; únicamente permanecerá sin sufrir ningún cambio la corriente que circula por el inductor. En el circuito de la figura 8.5¿>, i¡, = 2 4 /10 = 2.4 A, puesto que el in­ ductor actúa como un corto circuito ante una corriente directa. Por lo tanto, i¡, (0) = 2.4 A en el circuito de la figura 8.5c, es también un punto clave en el análisis de este tipo de circuitos. Por lo tanto, en el circuito de la figura 8.5c, v(0) = (40)(—2.4) = —96 V. Intentar resolver. Puede tomarse en cuenta cualquiera de las tres técnicas básicas de solución. Con base en la experiencia, iniciar escribiendo la ecuación característica SECCIÓN8.1 ELCIRCUITORL SINFUENTE #■ A /W correspondiente a la ecuación [9]: s + 10 = 0 Resolviendo, se puede ver que s = —10, por lo que v(t) = A e ~ m [10] (la cual, una vez sustituida en el lado izquierdo de la ecuación [9], da como resultado - 1 0 A e ~ m + 10A e - Wt = 0 como se esperaba). Se encuentra el valor de A fijando el valor de t = 0 en la ecuación [10] y haciendo uso del hecho que v(0) = —96 Y. Por lo tanto, v (t) = —96e~l0t [ li] y v(0.2) = —12.99 V, de un máximo de —96 V. Verificar Ia solución. ¿Es razonable o esperada? También se pudo haber encontrado la corriente del inductor dándose cuenta de que el inductor “ve” una resistencia de 50 £2 en el circuito de la figura 8.5c, lo cual proporcionaría una constante de tiempo de r = 50/5 = 10 s. Asociado con el hecho de que se conoce ¿l (0) = 2.4 A, se puede escribir, 4 0 iL(t) = 2.4e~Wt A, t > 0 A partir de la ley de Ohm, v(t) = —40 íl (í) = —96e~l0t, que es idéntica a la ecuación [ 11 ]. N o es coincidencia que la corriente del inductor y la ten­ sión en la resistencia tengan la misma dependencia exponencial. 10 V _______I ___________ __ ! ■ F IG U R A 8 . 6 Circuito dei problema de práctica 8.2. PR A C TIC A t 8.2 Determinar la tensión v en el inductor del circuito de la figura 8.6 para t > 0. Respuesta: —25e_2íV. Determinación de la cantidad de energía Antes de enfocar la atención en la interpretación de la respuesta, se volverá a ob­ servar el circuito de la figura 8.1 y se verificarán las relaciones de potencia y de energía. La potencia que se está disipando en la resistencia es p R = i 2 R = I 2R e~2R,/L y se puede encontrar la energía total que se convierte en calor en la resistencia mediante la integración de la potencia instantánea desde un tiempo cero hasta el infinito: pO O /» Q O Wr — j Jo = P ñ d t = IqR I f-R ( 0 V 2R ) Jo e~2Rt/L d t e~2Rt¡ X = ~ L 10 2 o Este es el resultado que se espera, ya que la energía total .almacenada inicialmente en el inductor es \ L I 2, y no existe ninguna energía almacenada en el induc­ tor en el infinito, puesto que su corriente desciende hasta cero de un momento a otro. Por lo tanto, toda la energía inicial se consume en la resistencia por disipación. -AA/V -• CAPÍTULO 8 CIRCUITOS/?¿ Y/?CBÁSICOS 8.2 t PROPIEDADES DE LA RESPUESTA EXPONENCIAL Se considerará la naturaleza de la respuesta del circuito RL en serie. Se sabe que la corriente del inductor se representa por medio de i(t) = h e ~ RtlL En t = 0, la corriente tiene un valor/o, pero cuando el tiempo aumenta, la corriente disminuye y se aproxima a cero. L a forma de este decaimiento exponencial se observa en la gráfica de i (t )/ / 0 como función de t que se exhibe en la figura 8.7. Puesto que la función que se graficará es e~Rt¡L, la curva no cambiará si R /L se mantiene constante. En consecuencia, debe obtenerse la misma curva para cada circuito R L en serie que tenga la m isma razón R / L o L / R. Se verá cómo afecta esta razón la forma de la curva. Si se duplica la razón entre L y R, el exponente no cambiará si t se duplica tam­ bién. En otras palabras, la respuesta original ocurrirá en un tiempo posterior, así que la nueva curva se obtiene moviendo cada punto de la curva original dos veces más hacia la derecha. Con esta razón L / R más grande, la corriente tarda más en decaer hasta cualquier fracción dada de su valor original. Se podría decir que el “ancho” de la curva se duplica, o que el ancho es proporcional a L /R . Sin embargo, se dificulta definir el término ancho, debido a que cada curva se extiende ¡desde t — 0 hasta oo! En vez de eso, se debe considerar el tiempo que se requeriría para que la corriente decrezca hasta cero si continúa disminuyendo a su tasa inicial. La tasa inicial de decaimiento se calcula evaluando la derivada en el tiempo cero: d i d t I q f=0 R = - * e - R t 'L 1= 0 L Se designa el valor del tiempo que tarda i //o en disminuir desde la unidad hasta cero, suponiendo una tasa de decaimiento constante, mediante la letra griega x (tau). De tal modo, R\ I T= 1 [1 2 ] SECCIÓN8.2 PROPIEDADESDELARESPUESTAEXPONENCIAL La proporción L / R se mide en segundos, pues el exponente —R t¡ L debe ser adimensional. El valor del tiempo r se denomina constante de tiempo y se muestra de manera gráfica en la figura 8.8. Es posible encontrar en forma gráfica la constante de tiempo de un circuito RL en serie a partir de la curva de respuesta; sólo se requiere dibujar la tangente a la curva en t = 0 y determinar la intersec­ ción de dicha tangente con el eje de tiempo. A menudo, esta operación consti­ tuye una manera conveniente de aproximar la constante de tiempo a partir de la imagen exhibida en un osciloscopio. ■ F IG U R A 8 .8 La constante de tiempo r de un circuito RL en serie es L/R, la cual constituye el tiempo requerido para que la curva de respuesta disminuya hasta cero, si ésta aminora a una tasa constante igual a su tasa de decaimiento inicial. Una interpretación igual de importante de la constante de tiempo r se obtiene determinando el valor de i ( t) / I q at t = r . Se tiene ^ = e - 1 = 0.3679 o i( r ) = 0.3679/0 lo Así, en una constante de tiempo la respuesta disminuyó hasta 36.8% de su valor inicial; el valor de r también se determina en forma gráfica a partir de este hecho, como se indica en la figura 8.9. Resulta conveniente medir el de­ caimiento de la corriente en intervalos de una constante de tiempo; además, al recurrir a una calculadora manual o a una tabla de exponenciales negativas se indica que í ( í ) / I q es 0.3679 en t = r , 0.1353 en t — 2 r, 0.04979 en t = 3 r, 0.01832 en t = 4 r y 0.006738 en t = 5 r. En algunos puntos, entre tres a cinco constantes de tiempo después del tiempo cero, se coincidiría en que la corriente ■ F IG U R A 8 .9 La corriente en un circuito RL en serie se reduce hasta 37% de su valor inicial en f = t, 14% en t = 2 r y 5°/o en í = 3 t . A A /V -• CAPÍTULO 8 CIRCUITOS RL VRC BÁSICOS es una fracción ínfima de lo que era al principio. En consecuencia, si se pregun­ tara ¿cuánto tarda la corriente en decaer hasta cero?, la respuesta podría ser cerca de cinco constantes de tiempo. En este punto, ¡la corriente es m enor a 1% de su valor original! P R Á C T IC A g _____________________________ ________________________ 8.3 En un circuito RL en serie sin fuente, calcular el valor numérico de la razón: (a) í '( 2 t ) / ¡ ( t ) , (b) i ( 0 . 5 t ) / í (0), y (c) t / x si i { t ) / i ( 0) = 0.2; (d ) í / r si i (0) — i (?) = i (0) ln 2. Respuesta: 0.368; 0.607; 1.609; 1.181. A N Á LISIS A SIST ID O POR C O M PU T A D O RA La capacidad de realizar un análisis transitorio de PSpice resulta muy útil cuando se considera la respuesta de circuitos sin fuente. En este ejemplo, se usa una característica especial que permite variar un parámetro de compo­ nente, similar a la forma en que variamos la tensión de cd en otras simu­ laciones. Este objetivo se logra si se le agrega la componente PARAM al esquema, el cual puede colocarse en cualquier parte, pues no se alambra en el circuito. El circuito RL completo se muestra en la figura 8.10 e incluye una corriente de inductor inicial de l mA. Con la finalidad de relacionar el valor de la resistencia con el parámetro de barrido propuesto, se deben llevar a cabo tres tareas. Primero, se propor­ ciona un nombre al parámetro, al cual se decide llamar Resistencia para efectos de simplicidad. Lo anterior se logra mediante un doble clic en la eti­ queta PARAMETERS: anotado en el esquema. Luego, si se hace clic en los resultados de New Column aparece la ventana de diálogo que se mués- i B#t fue» Rara Maco PSpice Accesso^ttOjaons Vfticw Hefe ;->h ' i Wi oTTT.I'.r.rZT3>í5CHEM ATIC1-RLTianttatAñjr] fajg| ► r^i ffjttlj8¡F \ ;J ; ,Wj j' L1 R1 {Resistance} 10uH IC = 1m 0 P A R A M E TE R S : Resistance = 1k S«!e=*EW¡> X«5.30 Y l F IG U R A 8 .1 0 Circuito RL simple dibujado empleando la herramienta de captura de esquemas. SECCIÓN 8.2 AAAr PROPIEDADES DELARESPUESTAEXPONENCIAL • " 265 tra en la figura 8.1 la , en la cual se ingresa Resistance en Ñam e y un valor de 1 k en Valué. L a segunda tarea consiste en enlazar el valor de R l al parámetro de barrido, lo cual se logra haciendo doble clic en el valor por omisión de R l en el esquema, y aparece la ventana de diálogo de la figura 8.1 Ib. En Valué se ingresa simplemente {Resistance}. (Observar que es necesario escribirlo entre llaves.) Acfd New Cu!unii. f fis p i a y P f o p e r tie s Mame. Font ■ Aria! 7 {default} Ñame: Valué i Resistance : Valué: ¡{Resistance} Valué____ ’jiN Change. .. j í ‘ ~ ~..... '• Valué Onty OK i ■ Cancel (a) Rotation t i 0* Nam eOniy ' : ’’’’ ’ .■ fc]u5iÉÉ' IB S E Ü H Ñame and Vakie No pioperties wüt be edded to setected abiects urtü jiou ertfet a valué here ot ¡n the newlji cre ced ceSs m the piopeity editor tpteadsheet ■ Color D cN otD isptay E m « a ñame and cfck Apph.1os OK tu add a cofumtv'iow to (he ptoperty edito* and aptionalty the cunert NtH fbut not the cCurrent p!op»ítes> fifter). B d h ilV aíue Exists f General 90* 180° " 270“ E | OK |. Cancel j Ccnfigurstmn FU*® j Options > Dais Gotecíión ¡ Prébe'A A nsias type: r [. Help ■JTme Domwi (Transen!) V j Qpejn*: -1 | | 300ns Run fe Start saving data áfter; ¡0 seconds. (TSTOP) seconds Transient options..................- ................................................... ¡Monte CartO'VrW Case ¡«SParameBic Sweep nteracefature (Sweap; iSeve Bias Fo rt ¡Load Bss F o rt ib) Máximum stepsize: j seconds Skip the ¡riiáaí transient bias point calculatión (SKIPBPJ ■ F IG U R A 8 .1 1 (o) Ventana de diálogo Add New Column en el Property Editor de PARAM. (b) Ventana de diálogo para asignar valor a resistencias. La tercera tarea consiste en configurar la simulación, lo que incluye la con­ figuración de los parámetros para el anáfisis de transitorios, así como los valores que se desean para R l. En PSpice se selecciona New Simulation Profile (figura 8.12a), en la cual se selecciona Time Domain (Transient) de Analysis type, 300 ns de Run to time, y se marca la selección Parametríc Sweep box en Options. La última opción aparece en el cuadro de diálogo que se muestra en la figura 8.12b, en la que se selecciona Global parameter de Sweep variable y se ingresa Resistance en Parameter ñame. La última selección que se requiere es marcar Logarithmie en Sweep type, un Start valué de 10, un End valué de 1 000 y 1 Points/Decade; de forma alterna, se pudieron haber listado los valores deseados de resistencia utilizando Valué list. Después de correr la simulación, aparece la caja de notificación que se muestra en la figura 8.13, que presenta los grupos de datos disponibles de la I yx Profile: "S O H E M A T iC 1 -R L T ra n s ie n t An aiy¿i* '... Sfe pp a ra m Re sistan ce - ''Ó I ::K-.Profile: ’'S C H E M A T iC I- R L Tíansient Analysis11... Step parara Re sistan ce = 1 0 0 L '" Profile: "S G H E M A T 1 C 1 -R L Transien! A n a lu s is "...........................ram R e sistan ce = j ■ FIGURA 8.13 iweep variable Logarithmie ¡Decado Stait valué: ¡10 Éndvak»: {TcOO'” Points/Decade:- ¡í (b) A v a ila b le S e c tio n s All («) Nüne j OK 27,0 D e g 27.0 D e g 1 .ÚO00E+03 27.0 D e a C ancel Ventana de diálogo de lassecciones de datos disponibles. (Continúa en la siguiente página) I F IG U R A 8 .1 2 (o) Ventana de diálogo de simulación, (b) Ventana de diálogo de parámetros de barrido. 266 ----- V W CAPÍTULO 8 CIRCUITOS RL Y RC BÁSICOS gráfica (R esistance = 10, 100 y 1000 en este caso). Se selecciona un con­ junto de datos en particular realzándolo; se seleccionan los tres en este ejemplo, lo que resulta en la salida Probe de la figura 8.14. Simple RL Circuit Transíent Simulation (active} - l |d |¡ X ■ F IG U R A 8 .1 4 Salida de Probe de los tres valores de resistencias. ¿Por qué un valor más grande de la constante de tiempo L /R da origen a una curva de respuesta que decae con más suavidad? Se analizará el efecto de cada elemento. En términos de la constante de tiempo r, se escribiría simplemente la respuesta del circuito R L en serie como i(t) = h e ~ tjx Un aumento de L permite un mayor almacenamiento de energía de la misma corriente inicial, así que esta energía más grande requiere un tiempo más largo para que se disipe en la resistencia. De igual forma se aumentaría L / R al reducir R. En este caso, la potencia que fluye hacia la resistencia es menor para la misma corriente inicial; también en este caso se requiere un tiempo mayor para disipar la energía almacenada. Dicho efecto se observa con claridad en el resultado de simulación de la figura 8.14. 8.3 i ■ F IG U R A 8 .1 5 Circuito RC en paralelo para el que i/(í) se va a determinar, sujeto a la condición inicial i/(0) = lao­ CIRCUITO RC SIN FUENTE -------• -------------------------------------------------------------------------------------------------Los circuitos que se basan en combinaciones resistencia-capacitor son más co­ munes que sus análogos resistencia-inductor. Las principales razones consisten en las menores pérdidas que se generan en un capacitor físico, el menor costo y el hecho de que el modelo matemático simple concuerda mejor con el compor­ tamiento real del dispositivo, así como su tamaño y peso menores (que son dos aspectos muy importantes en las aplicaciones de circuitos integrados). Se verá en qué grado el análisis del circuito R C en paralelo (¿o está en serie?) que se muestra en la figura 8.15 corresponde al del circuito RL. En el capacitor seleccionado se supondrá una energía almacenada inicial de v(Q) = Vo SECCIÓN8.3 CIRCUITORC SINFbENTE #La com ente total que sale del nodo de la parte superior del esquema de cir­ cuito debe ser cero, por lo que se debería escribir dv v C— + - = dt R 0 La división entre C da como expresión dv — dt v + --= 0 RC [13] La ecuación [13] tiene una forma familiar; mientras que la comparación con la ecuación [1] di s R + í ‘ = ° 111 m uestra que la sustitución de i por v y L / R por RC da una ecuación idéntica a la que se consideró antes. A sí debe ser, pues el circuito R C que se analizará ahora resulta el dual del circuito RL considerado primero.D icha dualidad obliga a que v(t) en el circuito R C e i{t) en el circuito R L tengan expresiones idénticas, si la resistencia de un circuito es igual al recíproco de la resistencia del otro circuito y si L es numéricamente igual a C. En consecuencia, la respuesta del circuito R L , i(t) = i(0)<TRt/L = h e - R,/L permite escribir de inmediato v (t) = v(0)e~t/RC = V0e~3/RC [14] para el circuito RC. Suponiendo que se hubiese elegido la corriente i como la variable del cir­ cuito R C en vez de la tensión v. AI aplicar la ley de Kirchhoff de tensión, t I Í 'm c J , — vq(ío) + R i = 0 se obtiene una ecuación integral que se opone a la ecuación diferencial. Sin em­ bargo, al tomar la derivada del tiempo de ambos lados de esta ecuación, i di - + * - = 0 [15] y sustituyendo i por v /R , se obtiene de nuevo la ecuación [13]: v ------- + RC dv — dt =0 La ecuación [15] podría utilizarse como punto de partida, pero la aplicación de los principios de dualidad no habría sido tan natural. Se analizará la naturaleza física de la respuesta de tensión del circuito RC según se expresa por medio de la ecuación [14]. En t = 0 se obtiene la condición inicial correcta, y a medida que t se vuelve infinita, la tensión tiende a cero. Este último resultado concuerda con la idea de que si cualquier tensión se conserva en el capacitor, la energía continuaría fluyendo hacia la resistencia y se disi­ paría como calor. En consecuencia, se requiere una tensión fin a l nula. La constante de tiempo del circuito R C se determinaría mediante las relaciones de dualidad con respecto a la expresión de la constante de tiempo del circuito RL o AA/V 0 2 6 8 )------------- V A --------------------------- • CAPITULO 8 CIRCUITOS RL Y RC BÁSICOS sólo con observar el tiempo en el que la respuesta disminuyó hasta 37% de su valor inicial: r = 1 ~RC por lo que: r = RC [ 16] La familiaridad que se tiene con la exponencial negativa y la importancia de la constante de tiempo r permite bosquejar con rapidez la curva de respuesta (fig. 8.16). Valores más grandes de R o C proporcionan mayores constantes de tiempo y una disipación más lenta de la energía almacenada. Una resistencia mayor disipará una potencia más pequeña con una tensión determinada entre sus extremos, por lo que requiere mayor tiempo para convertir la energía almace­ nada en calor; una capacitancia más grande almacena mayor energía con una tensión determinada en ella, lo que también en este caso requiere un tiempo mayor para disipar su energía inicial. I F IG U R A 8 .1 6 La tensión v(t) en el capacitor del circuito RC en paralelo se grafica como una función del tiempo. El valor inicial de v(t) es V0. EJEMPLO 8.3 m «mitrar la tensión m arc ad a v en t H 200 „ s del circuito de la figura 8.17a. Para encontrar la tensión que se pide, será necesario dibujar y analizar dos circuitos separados: uno antes de que se dispare el interruptor (figura 8.17&), y otro después (figura 8.17c). El único propósito de analizar el circuito de la figura 8.17& es obtener una tensión inicial del capacitor; se supone que cualquier transitorio en ese circuito desapareció hace mucho tiempo y quedó un circuito de cd puro. Si no existe ninguna corriente que circule a través del capacitor o la resistencia de 4 £2, entonces, v(0) = 9 V [17] Enseguida se enfoca la atención en el circuito de la figura 8 .17c, recono­ ciendo que r = R C = (2 + 4)(10 x IO-6 ) = 60 x 10“ 6 s Por lo tanto, a partir de la ecuación [ 14], v(t) = v(0)e~t/RC = i>(0)e_f/60xl0_6 [181 SECCIÓN 8.4 UNA PERSPECTIVA MÁS GENERAL 4 fl 4 a -----------------------------J -----------------W > 20 .> ~7 ^ r ------------------ W - + r = 0 f + T ~ A /W » v — + + 2a 1 0 ¡j ,F Z- i — 9 V 10 ¿ iF ^ — V t <0 (a) 40 — V W 2 fl . io ¿iF: rfeO (c) I F IG U R A 8 .1 7 (o) Circuito /?C simple con un interruptor disparado en el tiempo í = 0. (6) El circuito antes de f = 0. (c) El circuito después de que se dispara el interruptor y se quita la fuente de 9 V. La tensión en el capacitor debe ser igual en ambos circuitos en t = 0; en ninguna otra tensión o corriente se pone dicha restricción. Sustituyendo la ecuación [17] en la [18], v(t) = 9 e - t / 60 x i o - 6y por lo que v (200 x 10~6) = 321.1 mV (menos de 4% de su máximo valor). 732 ü AAAr P R Á C T IC A ___________________________________________________________ 800 fl = - 50 V 8.4 Determinar uiO) y v(2 ms) del circuito de la figura 8.18. Respuesta: 50 V, 14.33 V. I F IG U R A 8 .1 8 8.4 UNA PERSPECTIVA MAS GENERAL -------•--------------------------------------------------------------------------------------------------Como se ha visto en los ejemplos 8.2 y 8.3, no resulta difícil trasladar los resul­ tados que se obtuvieron para el circuito RL en serie a un circuito que contenga cualquier número de resistencias y un inductor. De modo similar, se generalizan los resultados del circuito R C para un circuito con cualquier número de resisten­ cias y un capacitor. Incluso es posible considerar circuitos que contengan fuentes dependientes. L Circuitos RL generales AAAr -n rw - Como ejemplo, examinar el circuito que se ilustra en la figura 8.19. La resisten­ cia equivalente que el inductor enfrenta es Req — + ^1^2 Ri + R 2 I F IG U R A 8 .1 9 Circuito sin fuente que contiene un y por lo tanto la constante de tiempo vale x= L R ,eq inductor y varias resistencias que se analiza mediante la determinación de la constante de tiempo x = L/Req. [19] 0 V A -• También se puede enunciar esto como _ ^TH donde % es la resistencia equivalente de Thévenin "vista" por el inductor CAPÍTULO 8 CIRCUITOS RL YRC BÁSICOS También se puede observar que si varios inductores están presentes en un cir­ cuito y pueden combinarse mediante arreglos en serie y/o en paralelo, entonces la ecuación [19] puede generalizarse más como T= 4^ R,eq donde L eq representa la inductancia equivalente. [201 Pequeñas diferencias: distinción entre Oc y 0 ! Si se regresa al circuito de la figura 8.19 y se supone que alguna cantidad finita de energía se almacena en el inductor en t = 0, de tal forma que ¿¿(0) ^ 0. La corriente en el inductor está dada por íl = í l ( 0)e~,/T así que lo anterior representa lo que se podría llamar la solución básica del problema. Es muy probable que se necesite alguna otra corriente o tensión aparte de i¿ como la corriente ¿2 en R 2. Siempre se pueden aplicar las leyes de Kirchhoff y la ley de Ohm a la parte resistiva del circuito sin ninguna dificultad, pero la división de corriente proporciona la respuesta más rápida en este circuito: 12 = Ri Ri + Ri También se puede conocer el valor inicial de alguna corriente aparte de la del in­ ductor. En razón de que la corriente en una resistencia puede cambiar de manera instantánea, se indicará el instante posterior a cualquier cambio que podría ocurrir en t = 0 mediante el uso del símbolo 0+ ; en un lenguaje más matemático, i\ (0+) es el límite de la derecha de i\(t) a medida que t tiende a cero.1 Por lo tanto, si se proporciona el valor inicial de i 1 como i \ (0+), entonces el valor inicial de ¿2 es ¿ 2 (0 + ) = / l ( 0 + ) ^ A partir de tales valores, se obtiene el valor inicial necesario de /¿(O): Ri + R i . iL(0+) = - [ / i ( 0 +) + ¿2(0+)] = - — _ “ z ¿i(0+) Observe q u e /t (0+ ) es siempre iguai a /¿(O- ). Lo anterior no es necesariamente válido para la así que la expresión de h se convierte en tensión en ei inductor o para la tensión o corriente en la resistencia, ya que pueden cambiar en el tiempo cero. i2 = ii(0 +)* ¿ -e-‘^ Ri Se verá si se obtiene esta última expresión de modo más directo. En razón de que la corriente en el inductor decae de manera exponencial como e~‘/T, toda corriente que circula p o r el circuito debe seguir el mismo comportamiento fu n ­ cional. Lo anterior resulta claro al considerar la corriente en el inductor como una fuente de corriente que se aplica a una red resistiva. Cada corriente y tensión en la red resistiva debe tener la misma dependencia de tiempo. Por lo tanto, me­ diante estas ideas se puede expresar i2 como: i2 = Ae donde x L R eq ( 1) Observar que sólo es una conveniencia de notación. Cuando se contrapone con í = 0+ o su compañera / = 0“ en una ecuación, simplemente se emplea el valor cero. La notación permite diferenciar con claridad entre los tiempos anterior y posterior al acontecimiento, tal como la apertura o cierre del interruptor, o en un suministro de potencia que se activa o desactiva. SECCIÓN 8.4 UNAPERSPECTIVAMÁSGENERAL #■ A /W 0 y A debe determinarse a partir del conocimiento del valor inicial de i2. Puesto que se conoce ¿i(0+ ), la tensión a través de R] y de R 2 se determina como r 2í 2(0+) = R i¿i(0*3 lo que nos conduce a »2(0+) = » i( 0 +) | i *2 Por lo tanto, h it) = ¿i(0+)— í/r R2 Una secuencia similar de pasos proporcionará una solución rápida a un gran número de problemas. Se reconoce prim ero la dependencia del tiempo de la respuesta como un decaimiento exponencial, se determina la constante de tiempo apropiada combinando resistencias, se escribe la solución con una amplitud desconocida y luego se determina la amplitud a partir de una condición inicial. Esta misma técnica se aplica a cualquier circuito con un inductor y cualquier número de resistencias, así como a circuitos especiales que contengan dos o más inductores, y también dos o más resistencias que se puedan simplificar mediante la combinación de resistencias o inductancias en un inductor y en una resistencia. EJEMPLO 8.4 Determinar tanto ¿1 como i¡. del circuito de la figura 8.20a para t > 0. 1) F IG U R A 8 .2 0 (<£) Cjrcuito con resistencias e inductores múltiples. (b) Después de í = 0, el circuito se simplifica a una resistencia equivalente de 110 £2 en serie con íeq = 2.2 mH. Después de t = 0, cuando la fuente de tensión se desconecta como se mues­ tra en la figura 8.206, se calcula con facilidad una inductancia equivalente, 2x3 Leq = 2 "+ 3 + 1 = 2-2 m il una resistencia equivalente, en serie con la inductancia equivalente, 90(60 + 120) 9 0 + 180 + 5 0 = 110í2 ' (Continúa en la siguiente página) CAPÍTULO 8 CIRCUITOS RL YRC BÁSICOS y una constante de tiempo L eq 2.2 x 10 3 _ r = —— = ---------------= 20 u s R eq 110 De tal modo, la forma de la respuesta natural es K e ~ 50 ü00í, donde K es una constante desconocida. Si se considera al circuito justo antes de la apertura del interruptor ( í = 0 ~ ) , = 1 8 / 5 0 A. En razón de que i ' l ( 0 + ) = í l ( 0 ~ ) , se sabe que i¿ = 1 8 / 5 0 A o 3 6 0 mA en t = 0 + , por lo que • _ í 360 mA, lL ~ \ 360e~50 000ímA, t < 0 t> 0 No existe ninguna restricción sobre i\ para que cambie instantáneamente en t = 0, por lo que su valor en t = 0 “ (18/90 A o 200 mA) no es relevante para encontrar i¡ en t > 0 . En lugar de eso, se debe encontrar i¡ (0+ ) a través del conocimiento de z¿(0+). Mediante la división de corriente, se tiene 120 + 60 j1(0+) = —¿¿(0 ) —— ------------= —240 mA u 120 + 60 + 90 Por consiguiente, 200 mA, ly ~ | —240e-50 000' mA, t < 0 t > 0 Se puede verificar el análisis mediante PSpice y el modelo de interruptor Sw _tO pen, aunque se debe recordar que, en realidad, esta parte son solamente dos valores de resistencias: uno correspondiente a antes de que el interruptor se active en el tiempo especificado (el valor por omisión es de 10 mQ) y el otro es después de que el interruptor se active (el valor por omisión es de 1 MÍ2). Si la resistencia equivalente del resto del circuito es comparable con cualquiera de los valores, éstos deberán editarse mediante doble clic en el símbolo del interrup­ tor del diagrama del circuito. Observar que también hay un modelo de interruptor que cierra en un tiempo específico: Sw_tClose. P R Á C T IC A ___________________ r ' " ’: ~ ______________ 8.5 P a ra t = 0 . 1 5 s en el c irc u ito d e la fig u ra 8 .2 1 , e n c o n tra r el v a lo r de ( a ) íl , ( b ) i i; (c) ¿2. Respuesta: 0.756 A; 0; 1.244 A. Ahora se considerará la tarea de determinar la respuesta natural de cualquier circuito que pueda representarse mediante un inductor equivalente en serie con una resistencia equivalente. Un circuito que contenga varias resistencias e inductores no siempre posee una form a que permite que las resistencias o los in­ ductores se combinen en elementos equivalentes individuales. En tales casos, no hay un solo término exponencial negativo o una sola constante de tiempo asocia­ dos con el circuito, sino que habrá, en general, varios términos exponenciales negativos, cuyo número será igual al de inductores que quedan luego de haber SECCIÓN 8.4 UNA PERSPECTIVA MÁS GENERAL AA/V » 0 efectuado todas las combinaciones posibles de inductores. En el capítulo 9 se es­ tudia esta situación de manera más detallada. Circuitos RC generales Muchos de los circuitos RC para los que se desearía encontrar una respuesta na­ tural contienen más de una sola resistencia y un solo capacitor. Del mismo m o­ do en que se hizo con los circuitos RL, se analizan primero los casos en los que el circuito dado puede reducirse a un circuito equivalente consistente en sólo una resistencia y un capacitor. Suponga primero que se abordará un circuito que nada más contiene un ca­ pacitor, pero un número cualquiera de resistencias. Se puede sustituir la red re­ sistiva de dos terminales que se encuentra en las terminales del capacitor por una resistencia equivalente, y luego se podría escribir de inmediato la expresión de la tensión del capacitor. En dichas circunstancias, el circuito tiene una constante de tiempo efectiva dada por x — ReqC donde R eq es la resistencia equivalente de la red. Una perspectiva alterna es que R eq sea en realidad la resistencia equivalente de Thévenin “vista” por el capacitor. Si el circuito tiene más de un capacitor, pero puede reemplazarse de alguna forma mediante combinaciones en serie y/o en paralelo con una capacitancia Ceq, entonces el circuito tendrá una constante de tiempo efectiva dada por x = R C eq expresándose el caso general como, X = R e q C eq sswtsef!, Sin embargo, vale la pena mencionar que los capacitores en paralelo sustituidos por una capacitancia equivalente tendrían que contar con condiciones iniciales idénticas. i < EJEM PLO 8.5 Determinar v(0c ) e i‘i(Oc ) del circuito de la figura 8.22a si v (0 ' ) H Vo- (¿) I F IG U R A 8 .2 2 (a) Circuito que contiene un capacitor y varias resistencias. (6) Las resistencias se sustituyen por una sola resistencia equivalente; la constante de tiem po es ahora simplemente Primero se simplifica el circuito de la figura 8.22a como se muestra en la figura 8.22fo, lo que permite escribir v = V0e ~ t/RaiC (Continúa en la siguiente página) CAPITULO 8 CIRCUITOS RL Y RC BÁSICOS d o n de « (0 + ) = v(0~) = V0 Req = R2 + y K\ rf- A 3 T o d a c o m e n te y to d a te n s ió n en la p a rte re s is tiv a de la re d debe te n e r la fo rm a A e _í/SeqC, d o n d e A es e l v a lo r c o rre s p o n d ie n te a la s c o n d ic io n e s i n i ­ c ia le s de esa c o rrie n te o te n s ió n . A s í, la c o rrie n te en R\, p o r e je m p lo , se e x ­ p re s a ría c o m o : i\ = ¿ i( 0+ )é T '/ r donde V R 1 + R3 ! e ¿i (0 -1) q u e d a p o r d e te rm in arse a p a r tir de la c o n d ic ió n in ic ia l. C u a lq u ie r c o m e n te q u e flu y a en e l c irc u ito c u a n d o t = 0+ debe p ro v e n ir d e l c a p a c ito r. P o r lo ta n to , y a q u e v n o p u e d e c a m b ia r de fo r m a in sta n tá n e a , u ( 0+ ) - u ( 0 - ) = v 0 y i ?2 + R i R3/(R¡ + R 3) + R 3 PRÁCTICA g ______________________ 8.6 C a lc u la r lo s v a lo re s de vc y de v„ d e l c irc u ito de la fig u ra 8 .2 3 p a ra t ig u a l a: (a) 0 “ ; (b) 0 + ; (c ) 1.3 m s. 250 n 600 n 100 Q Respuesta: 100 V, 38.4 V: 100 V, 25.6 V; 59.5 V, 15.22 V. E l m é to d o p u e d e a p lic a rs e a c irc u ito s que c u e n te n c o n u n e le m e n to de a lm a ­ c e n a m ie n to de e n e rg ía y ta m b ié n c o n u n a o m á s fu e n te s d e p e n d ie n te s . E n d i­ cho s casos, se p u e d e e s c rib ir u n a e c u a c ió n K C L o K V L a p ro p ia d a ju n to c o n c u a lq u ie ra o tra e c u a c ió n de s o p o rte que sea n e ce sa ria , r e d u c ir to d o a u n a s o la e c u a c ió n d ife re n c ia l y e x tra e r la e c u a c ió n c a ra c te rís tic a p a ra e n c o n tra r la c o n s ­ ta n te de tie m p o . D e fo rm a a lte rn a tiv a , se p u e d e e m p e za r a b u s c a r la re s is te n c ia e q u iv a le n te de T h é v e n in de la re d c o n e c ta d a a l c a p a c ito r o in d u c to r y u tiliz a r la en e l c á lc u lo de la c o n s ta n te de tie m p o RLoRC a p ro p ia d a , a m e n o s que la fu e n ­ te d e p e n d ie n te esté c o n tro la d a p o r u n a te n s ió n o c o rrie n te a so c ia d a c o n e l e le ­ m e n to de a lm a c e n a m ie n to de e ne rg ía , en c u y o caso n o p o d rá u tiliz a rs e e l m é to ­ d o de T h é v e n in . E n e l e je m p lo s ig u ie n te se e s tu d ia esta c u e s tió n c o n m a y o r d e ta lle . SECCIÓN 8.4 UNAPERSPECTIVAMÁSGENERAL * W V © EJEMPLO 8.6 En el circuito de la figura 8.24a, encontrar la tensión marcada vc para 0 si vc(0! ) H 2 V. t > ion io n — V W : i fiF l F IG U R A 8 . 2 4 (fl) Circuito RC simple que contiene una fuente dependiente no controlada por una tensión o corriente de capacitor. (b) Circuito para encontrar el equivalente de Thévenin de la red conectada al capacitor. L a fu e n te d e p e n d ie n te n o está c o n tro la d a p o r u n a te n s ió n o c o rrie n te de ca ­ p a c ito r, p o r lo que se p u e d e c o m e n z a r p o r b u s c a r e l e q u iv a le n te de T h é v e n in de la re d a la iz q u ie rd a d e l ca p a c ito r. S i se c o n e c ta u n a fu e n te de re fe re n c ia d e 1 A , c o m o en la fig u ra 8 .2 4 b, Vx = (í + 1 .5 /0 ( 3 0 ) d o n de • h _ ( 1\ y = Yi 20 V 2 0 / 10 + 2 0 * 30 M e d ia n te u n p o c o d e á lg e b ra se p u e d e v e r que Vx = —6 0 V , p o r lo que la re d tie n e u n a re s is te n c ia e q u iv a le n te de T h é v e n in de —6 0 £2 (in u s u a l, p e ro n o im p o s ib le c u a n d o se tra b a ja c o n u n a fu e n te d e p e n d ie n te ). P o r lo ta n to , e l c irc u ito tie n e u n a c o n s ta n te d e tie m p o negativa x = —6 0 (1 x 10- 6 ) = —6 0 /¿s P o r lo ta n to , la te n s ió n en e l c a p a c ito r es, 1>c (t) = Ae,/60xW~6 V d o n d e A = i> c(0 + ) = vc(0~) = 2 V . P o r ende, vc it) = V \ 2l ] lo c u a l, so rp re n d e n te m e n te , es in e s ta b le : cre ce de m a n e ra e x p o n e n c ia l c o n e l tie m p o . E s to n o p u e d e c o n tin u a r de fo rm a in d e fin id a ; u n o o m ás e le m e n ­ tos d e l c irc u ito fa lla rá n e n u n m o m e n to u o tro . De manera alternativa, se p o d ría e s c rib ir una e c u a c ió n K C L s im p le p a ra e l n o d o s u p e rio r de la fig u ra 8 .2 4 a h vc= 3 0 (í.5 \ 10“ f i ^ at [22] donde vc ¡1 ~ [2 3 ] 30 (Continúa en la siguiente página) A / W ------------ • CAPÍTULO 8 CIRCUITOS RL Y RC BÁSICOS S u s titu y e n d o la e c u a c ió n [2 3 ] en la [2 2 ] y c o n u n p o c o de á lg e b ra , se o b ­ tie n e dvc dt 1 6 0 x 10-6 vc = 0 la c u a l tie n e c o m o e c u a c ió n c a ra c te rís tic a s— 1 = 60 x 10- 0 P o r lo ta n to , i 1 6 0 x ÍO -6 y, asi vc (t) = A í 'í/60xl(r6 V c o m o se c a lc u ló c o n a n te rio rid a d . L a s u s titu c ió n de A = i> c ( 0 + ) = 2 da c o m o re s u lta d o la e c u a c ió n [ 21], q u e es la e x p re s ió n d e l c á lc u lo de la te n s ió n d e l c a p a c ito r p ara t > 0 . ''i < > 2n : 2 mF . F IG U R A 8 .2 5 Circuito del problema de práctica 8.7. P R Á C T i C A B________________________________________________ 8.7 (a) C o n s id e ra n d o e l c irc u ito d e la fig u ra 8 .2 5 , d e te rm in a r la te n s ió n vc (t ) p a ra t > 0 si i > c ( 0 ~ ) = 11 V . (b) ¿Es “ e sta ble ” este c irc u ito ? Respuesta: (a) v c ( t ) = 1le-2*10''/3 V, / > 0. (b) Sí, decae (exponencialmente) en lugar de crecer conforme transcurre el tiempo. A lg u n o s c irc u ito s que c o n tie n e n v a rio s re s iste n c ia s y ca p a c ito re s se p o d ría n s u s titu ir p o r u n c irc u ito e q u iv a le n te q u e c o n te n g a s ó lo u n a re s is te n c ia y u n c a ­ p a c ito r; se re q u ie re q u e e l c irc u ito o rig in a l p u e d a d e s c o m p o n e rse e n dos parte s, u n a q u e in c lu y a todas la s re s iste n c ia s y la o tra to d o s lo s ca p a c ito re s , d e m o d o q u e am bas p arte s s ó lo se c o n e c te n m e d ia n te d os c o n d u c to re s ide a les. S in e m ­ b a rg o , éste p o r lo g e n e ra l n o es e l caso, así q u e c o n m u c h a p ro b a b ilid a d se re ­ q u e rirá n la s c o n s ta n te s d e tie m p o m ú ltip le s , a f in d e d e s c rib ir c irc u ito s c o n v a ria s re s iste n c ia s y c a p a c ito re s . C o m o c o m e n ta rio , se debe ser p re c a v id o a nte c ie rta s s itu a c io n e s q u e im ­ p liq u e n s ó lo e le m e n to s id e a le s q u e se c o n e c ta n e n c o n ju n to de m a n e ra re ­ p e n tin a . P o r e je m p lo , es p o s ib le im a g in a r q u e se c o n e c ta n d o s c a p a c ito re s id e a le s en s e rie que te n g a n te n sio n e s d e s ig u a le s p re v ia s a t = 0. L o a n te rio r p la n te a u n p ro b le m a a l u s a r m o d e lo m a te m á tic o de un c a p a c ito r id e a l; s in e m ­ b a rg o , lo s ca p a c ito re s re ale s tie n e n re s iste n c ia s asociadas, a tra vé s de la s cua les se d is ip a energía. 8.5 t LA FUNCIÓN ESCALÓN UNITARIO_____________________ Se h a estu dia do la repuesta de lo s c irc u ito s RL y RC c ua nd o n o se presentan fuentes o fu n c io n e s fo rza d a s; se d e n o m in a respuesta natural d e b id o a q ue su fo rm a depende s ó lo de la n a turale za d e l c irc u ito . L a ra zón de que se obten ga a l­ g una respuesta surge de la prese ncia d e a lm a ce n a m ie n to de energía in ic ia l d en tro SECCIÓN 8.5 LA FUNCIÓN ESCALÓN UNITARIO de los e le m e n to s in d u c tiv o s o c a p a c itiv o s en e l c irc u ito . E n a lg u n o s casos se pueden e n c o n tra r c irc u ito s que c o n tie n e n fue nte s e in te rru p to re s ; se in fo rm ó q ue cierta s ope ra cio ne s de c o n m u ta c ió n se e fe c tu a ro n en i — 0 c o n e l fin de e lim in a r todas las fue nte s d e l c irc u ito , a l tie m p o q ue se d ejan cantidades de e ne rg ía a lm a ­ cenadas a q u í y allá . E n otras palabras, se han re s u e lto p ro b le m a s en lo s que las fue nte s de e ne rg ía se e lim in a n e n fo rm a re p e n tin a d e l c irc u ito ; se debe c o n s id e ra r a h o ra e l tip o de re spu esta que se p ro d u c irá cu a n d o las fu e n te s de e n e rg ía se apliq u en de fo rm a s ú b ita a u n c irc u ito . E l e n fo q u e será en la re spu esta que aparece c u a n d o las fue nte s de e ne rg ía que se a p lic a n de re p e n te son fu e n te s de cd. P ue sto q u e a l p a re c e r to d o d is p o s itiv o e lé c tric o se e n e rg iz a a l m e no s u n a v e z y d e b id o a q ue la m a y o ría se a c tiv a y de­ s a c tiv a m u ch a s veces e n e l c u rso de su v id a ú til, e l e s tu d io se a p lic a a m u ch o s casos p rá c tic o s . A u n c u a n d o p o r e l m o m e n to se re s trin g e a fu e n te s de cd, se p re ­ sentan in n u m e ra b le s casos en lo s que d ic h o s e je m p lo s m ás s im p le s c o rre s p o n ­ d en a l fu n c io n a m ie n to de d is p o s itiv o s p rá c tic o s . P o r e je m p lo , e l p rim e r c irc u ito q u e se a n a liz a rá p o d ría re p re s e n ta r la fo rm a c ió n de la c o rrie n te c u a n d o se a rra n ca u n m o to r de cd. L a g e n e ra c ió n y e l uso de lo s p u ls o s de te n s ió n re c ta n g u la re s necesarios p a ra re p re s e n ta r u n n ú m e ro o u n c o m a n d o en u n m ic ro p ro c e s a d o r p ro p o rc io n a m u c h o s e je m p lo s en e l c a m p o de la c irc u ite ría e le c tró n ic a o tra n s isto riz a d a . Se p re se n ta n c irc u ito s s im ila re s e n lo s c irc u ito s de s in c ro n iz a c ió n y b a rrid o de lo s re c e p to re s de te le v is ió n , en siste m as de c o m u n ic a c ió n q u e u t i­ liz a n m o d u la c ió n p o r p u ls o s y e n lo s sistem as de ra d a r, p o r n o m b ra r unos c u a n ­ to s e je m p lo s . Se ha h a b la d o de la “ a p lic a c ió n re p e n tin a ” de u n a fu e n te de e nergía, y p o r es­ ta fra se se e n tie n d e q ue su a p lic a c ió n es en e l tie m p o c e ro .2 P o r lo ta n to , la o p e ­ ra c ió n de u n in te rru p to r en serie c o n u n a b a te ría es e q u iv a le n te a la fu n c ió n f o r ­ zada q u e es n u la hasta e l in s ta n te en q u e se c ie rra e l in te rru p to r, y es ig u a l de a h í en a de la n te a la te n s ió n de la b a te ría . L a fu n c ió n fo rz a d a tie n e u n ro m p im ie n to , o d is c o n tin u id a d , en e l in s ta n te e n e l q u e se c ie rra e l in te rru p to r. C ie rta s fu n c io ­ nes fo rza d a s esp ecia le s q u e s o n d is c o n tin u a s o tie n e n d e riv a d a s d is c o n tin u a s se d e n o m in a n funciones singulares, las m á s im p o rta n te s de las cua les son la fu n ­ ción escalón unitario y la función impulso unitario. Se d e fin e la fu n c ió n fo rz a d a de e sc a ló n u n ita r io c o m o u n a fu n c ió n d e l tie m p o q u e es n u la p a ra to d o s lo s v a lo re s d e su a rg u m e n to q u e s o n m e n o re s q u e c e ro y q u e es la u n id a d p ara to d o s lo s v a lo re s p o s itiv o s de su a rg u m e n to . Sea ( í — í0) e l a rg u m e n to y re pre se n te m o s la fu n c ió n de e s c a ló n u n ita r io p o r u, entonces u ( t — ío ) debe ser c e ro p a ra to d o s lo s v a lo re s de t m e n o re s q u e ío, y será la u n id a d p a ra to d o s lo s v a lo re s de í m a yo re s q u e tQ. E n í = ío, u ( t — fo) c a m b ia en fo rm a a b ru p ta desde 0 hasta 1. S u v a lo r e n í = ío n o está d e fin id o , p e ro se c o n o c e e n to d o s lo s in s ta n te s de tie m p o q u e están a rb itra ria m e n te c e rca de í = ío . A m e n u d o se in d ic a lo a n te rio r e s c rib ie n d o u ( l ^ ) = 0 y u ( t ¿ ) = 1. L a d e fin ic ió n m a te m á tic a c o n c is a de la fu n c ió n fo rz a d a de e s c a ló n u n ita rio es u (t — í0) 0 í < ío 1 í > ÍQ y la fu n c ió n se m u e s tra de m a n e ra g rá fic a en la fig u ra 8 .2 6. O b s e rv a r que u n a re c ta v e rtic a l de lo n g itu d u n ita ria se p re se n ta en í = ío- A p esar de q u e este “ au­ m e n to ” n o es, de m a n e ra e s tric ta , u n a p a rte de la d e fin ic ió n d e l e sc a ló n u n ita rio , suele m o stra rs e en cad a d ib u jo . í2) Desde luego, esto no es físicamente posible. Sin embargo, si es muy corta la escala de tiempo en la cual ocurre un suceso de este tipo comparada con las demás escalas de tiempo relevantes que describen la operación del cir­ cuito, el señalamiento aludido es más o menos cierto, así como matemáticamente conveniente. v w - • “ 277 u(t - í0) 0 I FIGURA 8.26 Función forzada de escalón unitario u{t —10). CAPÍTULO 8 CIRCUITOS RL Y RC BÁSICOS Se o b s e rv a ta m b ié n q u e e l e s c a ló n u n ita r io n o n e c e s ita ser u n a fu n c ió n d e l tie m p o . P o r e je m p lo , u (x — x 0) p o d ría usarse p a ra d e n o ta r u n a fu n c ió n de es­ c a ló n u n ita rio , d o n d e x p o d ría ser u n a d is ta n c ia en m e tro s , p o r e je m p lo , o una fre c u e n c ia . A m e n u d o en e l a n á lisis de c irc u ito s u n a d is c o n tin u id a d o u n a a c c ió n de c o n ­ m u ta c ió n o c u rre en u n in s ta n te , e l c u a l se d e fin e c o m o t = 0. E n ese caso, en í 0 = 0 , se re prese nta la fu n c ió n fo rz a d a de e sca ló n u n ita rio c o rre sp o n d ie n te m e ­ d ia n te u(t — 0 ), o en fo rm a m ás s im p le u(t). E s to se ilu s tra en la fig u ra 8.27. A s í, u{t) 1 - u{t) ■ F IG U R A 8 .2 7 La función fotzada de escalón unitario u(t) se muestra como una función de t. 0 t <0 1 í > 0 L a fu n c ió n fo rz a d a de e sc a ló n u n ita r io es en s í m is m a a d im e n s io n a l. S i se desea re p re s e n ta r u n a te n s ió n , se re q u ie re m u ltip lic a r u(t — to) p o r a lg u n a te n ­ s ió n co n sta n te , c o m o 5 V . D e ta l m o d o , v(t) = 5u(t — 0 .2 ) V c o n s titu y e u n a fu e n te de te n s ió n id e a l q u e es c e ro antes de t = 0 .2 s y u n a c o n s ta n te de 5 V después de t = 0 .2 s. L a fu n c ió n fo rz a d a se m u e s tra en la fig u ra 8 .2 8 a co n e c ta d a a u n a re d g e n e ra l. Fuentes físicas y la función de escalón unitario A h o ra es n e c e s a rio p re g u n ta rse de m o d o ló g ic o c u á l fu e n te fís ic a es la e q u iv a ­ le n te a esta fu n c ió n fo rz a d a d is c o n tin u a . P o r e q u iva le n te , se en tie n d e s im p le m e n te q u e la s c a ra c te rís tic a s de te n s ió n -c o rrie n te de la s dos re de s son id é n tic a s . E n la fu e n te de te n s ió n de e sc a ló n de la fig u ra 8 .2 8 a , la c a ra c te rís tic a de te n s ió n c o rrie n te es b a s ta n te s im p le : la te n s ió n es c e ro antes de í = 0 .2 s, de 5 V después de í = 0.2 s, y la c o rrie n te p ue de te n e r c u a lq u ie r v a lo r ( fin ito ) e n c u a lq u ie r in ­ te rv a lo de tie m p o . U n p rim e r p e n s a m ie n to p o d ría lle v a r a in te n ta r u n e q u iv a ­ le n te c o m o e l que se m u e s tra en la fig u ra 8 .2 8 b, u n a fu e n te de c d de 5 V en serie c o n u n in te rru p to r que se c ie rra en t = 0 .2 s. S in e m b a rg o , n o es e q u iv a le n te p a ra t < 0.2 s, d e b id o a que la te n s ió n e n tre la b a te ría y e l in te rru p to r n o está es­ p e c ific a d a p o r c o m p le to en d ic h o in te rv a lo . L a fu e n te “ e q u iv a le n te ” es u n c ir ­ c u ito a b ie rto y la te n s ió n en e lla q u iz á s sea c u a lq u ie ra . D espu és de / = 0 .2 s, las redes son e q u iv a le n te s y s i es e l ú n ic o in te rv a lo q u e in te re sa , y s i la s c o rrie n te s in ic ia le s que flu y e n de las dos redes son id é n tic a s en t = 0.2 s, e n to n ce s la fig u ra 8 .2 8 b se c o n v ie rte en u n e q u iv a le n te ú t il de la fig u ra 8 .2 8a . C o n e l fin de o b te n e r u n e q u iv a le n te e x a c to de la fu n c ió n fo rz a d a de e sca ló n u n ita rio , se p o d ría in s ta la r u n in te rru p to r de dos vías y u n p o lo . A n te s de t = 0 .2 s, e l in te rru p to r s irv e p a ra a se gu ra r la te n s ió n c e ro e n tre las te rm in a le s de e u tra d a de la re d g e n e ra l. D espu és de í = 0 .2 s, e l in te rru p to r se c ie rra p a ra p ro p o rc io n a r u n a te n s ió n de e n tra d a c o n s ta n te de 5 V . E n í = 0 .2 s, la te n s ió n es in d e te rm i­ nada (c o m o e n la fu n c ió n fo rz a d a de e sc a ló n ), y la b a te ría se e n c u e n tra p o r e l 5 m( í - 0 . 2 ) (a) (b) (c) I F IG U R A 8 .2 8 (a) Una función forzada de escalón de tensión se muestra como la fuente de una red general. (b) Un circuito simple que a pesar de que no es el equivalente del inciso (a) se podría utilizar en muchos casos como su equivalente, (c) Equivalente exacto del inciso (a). SECCIÓN 8.5 LA FUNCIÓN tSCALÓN UNITARIO m o m e n to en c o r to c irc u ito (¡ p o r suerte se está tra b a ja n d o c o n m o d e lo s m a te m á ti­ c o s !). E l e q u iv a le n te e x a c to de la fig u ra 8 .2 8 a se ilu s tra en la fig u ra 8 .2 8c. L a fig u ra 8 .2 9 a p re s e n ta u n a fu n c ió n fo rz a d a de c o rrie n te de e sc a ló n q u e ac­ tiv a a u n a re d g e n e ra l. S i se in te n ta s u s titu ir este c irc u ito p o r u n a fu e n te de c d en p a ra le lo c o n u n in te rr u p to r (q u e se a bre en t — to), se debe re c o n o c e r que lo s c ir ­ c u ito s son e q u iv a le n te s después de t = to, p e ro q ue las respuestas p o s te rio re s a ese in s ta n te son sem e jan tes s ó lo si las c o n d ic io n e s in ic ia le s re s u lta n ig u a le s . E l c irc u ito de la fig u ra 8 .2 9 b im p lic a que n o e x is te te n s ió n e n tre las te rm in a le s de la fu e n te de c o rrie n te d u ra n te t < tq. E ste n o es e l caso d e l c irc u ito de la fig u ra 8 .2 9a . S in e m b a rg o , a m e n u d o se p o d ría n u s a r lo s c irc u ito s de las fig u ra s 8 .2 9 a y b de m a n e ra in d is tin ta . E l e q u iv a le n te e x a c to de la fig u ra 8 .2 9 a es e l d u a l de la fig u ra 8 .2 8 c ; n o es p o s ib le c o n s tru ir e l e q u iv a le n te e x a c to de la fig u ra 8 .2 9 b s ó lo c o n las fu n c io n e s fo rz a d a s de e sc a ló n de c o rrie n te y de te n s ió n .3 M Ar • " ijtlf- (a) La función pulso rectangular ib) A lg u n a s fu n c io n e s fo rz a d a s m u y ú tile s se o b tie n e n m e d ia n te la m a n ip u la c ió n de la fu n c ió n fo rz a d a de e sc a ló n u n ita rio . Se d e fin irá u n p u ls o de te n s ió n re c ta n g u ­ la r m e d ia n te las s ig u ie n te s c o n d ic io n e s : v(t ~ to) = 0 t < ío Vq t0 < t < í i 0 t > t\ E l p u ls o se d ib u ja en la fig u ra 8 .3 0 . ¿Es fa c tib le re p re s e n ta rlo en té rm in o s de la fu n c ió n fo rz a d a de e s c a ló n u n ita r io ? Se a n a liz a rá la d ife re n c ia de lo s dos e s c a lo n e s u n it a r io s , u(t —to) —u(t —1\). L a d ife r e n c ia e n tre la s d o s f u n ­ c io n e s e s c a ló n que se m u e s tra n e n la fig u ra 8 .3 1 a es u n p u ls o re c ta n g u la r. L a fu e n te Vqu ( í — í 0) — Vou(t — ti) s u m in is tra la te n s ió n deseada q u e se in d ic a en la fig u ra 8 .3 Ib. u ( t - t 0) (a) 279 (b) ■ FIGURA 8.31 (a) Escalones unitarios u(t - f0) y —u(t - 1}). (b) Fuente que produce el pulso de tensión rectangular de la figura 8.30. S i se tie n e u n a fu e n te de ten sión se n o id a l Vmsen coi q ue se conecta de m anera re p e n tin a a u n a re d en í = ío, entonces u n a fu n c ió n fo rz a d a de te n s ió n a pro p ia d a sería v(t) = Vmu{t — to) sen a t. S i se desea representar u n e s ta llid o de energía del tra n s m is o r de Un a u to m ó v il c o n tro la d o p o r ra d io que o pe ra a 4 7 M H z (2 95 M ra d /s ), se p o d ría d e s a c tiva r la fu e n te se n o id a l de 7 0 ns después m e d ia n te u n a segunda fu n ­ c ió n fo rza d a de escalón u n ita rio .4 P o r lo ta n to , e l p u ls o de te n s ió n es v(t) = Vm[u(t — to) — u(t —to — 1 x 10_8)]s e n (2 9 5 x 10 6í ) E s ta fu n c ió n fo rz a d a se d ib u ja e n la fig u ra 8.32. (3) El equivalente puede dibujarse si se conoce la comente que circula por el interruptor antes de / = ío(4) Al parecer, uno es muy diestro en los controles de este automóvil. ¿Un tiempo de reacción de 0.1 ¿ts? I FIGURA 8.29 (a) Función forzada de escalón de corrientes que se aplica a una red general. (b) Circuito simple que, aunque no es el equivalente exacto del inciso (a), se podría emplear como su equivalente en muchos casos. * f) 0 -+~t I FIGURA 8.30 Función forzada que resulta útil (.pulso de tensión rectangular). AA/V ■# CAPÍTULO 8 CIRCUITOS RL Y RC BÁSICOS v(t) ■ F IG U R A 8 .3 2 Pulso de radiofrecuencia de 47 MHz, descrito por 1/(0 = Vm[u(t - to) x l( T 8)] sen(295 x 106Í). _____________________________________________ P R Á ¿ T'C - t 8.8 E v a lu a r lo s ig u ie n te en t = 0 .8 : (a) 3 u ( t ) (b) [ 4 u ( t) ] u { —t); — 2 u ( —t ) + 0.8m (1 — í-); (c ) 2 u ( t) s e n j r t. Respuesta: 3.8; 0;Í1'U76. 8.6 ACCIONAMIENTO DE CIRCUITOS RL ------•---------------------------------------------------------------------------------------- ¡(r) ■ F IG U R A 8 .3 3 (a) El circuito dado. (b) Circuito equivalente que posee la misma respuesta /(f) para cualquier tiempo. C o n e l n iv e l de c o n o c im ie n to a d q u irid o h asta a h o ra se p u e de s o m e te r u n a re d s im p le a la a p lic a c ió n re p e n tin a de u n a fu e n te de cd. E l c irc u ito está c o m p u e s to p o r u n a b a te ría c u y a te n s ió n es Vo e n serie c o n u n in te rru p to r, u n a re s is te n c ia R, y un in d u c to r L. E l in te rru p to r se c ie rra e n t = 0, c o m o se in d ic a en e l esq ue m a d e l c irc u ito de la fig u ra 8 .3 3 a. R e s u lta e v id e n te que la c o rrie n te i(t) es n u la antes de t = 0 , en co n s e c u e n c ia , se p u e d e s u s titu ir la b a te ría y e l in te rru p to r p o r u n a fu n c ió n fo rz a d a de e s c a ló n de te n s ió n Vou(t), q ue n o p ro d u c e ta m p o c o re spu esta antes de t = 0 . D espués de t = 0, lo s dos c irc u ito s son id é n tic o s. P o r c o n s ig u ie n te , se b u s c a la c o rrie n te i(t) e n e l c irc u ito de la fig u ra 8 .3 3 a o en e l c irc u ito e q u iv a ­ le n te de la fig u ra 8.33¿>. Se d e te rm in a rá i(t) en este tie m p o e sc rib ie n d o la e cu ació n de c irc u ito a pro p ia d a y re s o lv ié n d o la después p o r s e p a ra c ió n de v a ria b le s e in te g ra c ió n . L u e g o de que se o b te n g a la re sp u e sta y se in v e s tig u e n las dos p arte s de las q u e se c o m p o n e , se v e rá q u e h a y u n s ig n ific a d o fís ic o de cada u n o de a m bo s té rm in o s . C o n u n e n ­ te n d im ie n to m ás in tu itiv o de la fo rm a en que se o rig in a cad a té rm in o , se p o d rá n o b te n e r s o lu c io n e s m ás rá p id a s y de m a y o r s ig n ific a d o p a ra c a d a p ro b le m a q u e im p liq u e la a p lic a c ió n re p e n tin a de c u a lq u ie r fu e n te . Se p ro c e d e rá c o n e l m é to d o de s o lu c ió n m ás fo rm a l. A l a p lic a r la le y de K ir c h h o ff de te n s ió n a l c irc u ito de la fig u ra 8 .3 3 b, se tien e Ri + L — — V0u(t) dt P ue sto q u e la fu n c ió n fo rz a d a de e sc a ló n u n ita r io es d is c o n tin u a en t = 0, se c o n s id e ra rá p rim e ro la s o lu c ió n p ara t < 0 y lu e g o p a ra t > 0. L a a p lic a c ió n de te n s ió n c e ro o b lig a a u n a re spu esta c e ro , p u e sto q u e t = —o o , p o r lo que i(t) = 0 t < 0 E n e l tie m p o p o s itiv o , s in e m b a rg o , u(t) es u n ita r ia y se d eb e re s o lv e r la e cu a c ió n di Ri + L — = V,o dt t >0 SECCION 8.6 ACCIONAMIENTO DE CIRCUITOS /?¿ L a s v a ria b le s se separan m e d ia n te pasos a lg e b ra ic o s s im p le s , q u e d a n c o m o re s u lta d o L di Vo - Ri ■dt y cad a la d o p uede in te g ra rs e en fo rm a d ire c ta : -4 ln (V 0 - R i ) = t - t f í R P ara e v a lu a r k, debe re fe rirs e a u n a c o n d ic ió n in ic ia l. A n te s de t = 0 , i(t) es c e ro , y p o r e llo i (O- ) = 0. P u e s to que n o se p u e d e c a m b ia r la c o rrie n te en u n in ­ d u c to r p o r u n a c a n tid a d fin ita en e l tie m p o c e ro s in que se a so cie c o n u n a te n s ió n in fin ita , se debe te n e r i (0 + ) = 0 . D e ja n d o i = 0 en t = 0 , se o b tie n e -^ In V o = k K y , p o r lo ta n to : L K [ln (V o - Ri) - ln Vb] R e o rd e n a n d o , se tie n e Vo__ Ri_ _ e ~Rt/L Vo o sea i = — - ~ e~Rl/L R t > 0 [2 4 ] R A s í, u n a e x p re s ió n de la re spu esta v á lid a p a ra c u a lq u ie r t sería i= - ^ e~R,/L^ u(t) [2 5 ] Procedimiento directo E s ta es la s o lu c ió n deseada, p e ro n o se o b tu v o de la fo rm a m ás s im p le . P ara esta­ b le c e r u n p ro c e d im ie n to m ás d ire c to , se tra ta rá de in te rp re ta r lo s dos té rm in o s que aparecen en la e cu a c ió n [2 5 ]. E l té rm in o e x p o n e n c ia l tie n e la fo rm a fu n c io ­ n a l de la re spu esta n a tu ra l del c irc u ito R L \ es u n a e x p o n e n c ia l n e g a tiv a , tie n d e a c e ro cu a n d o a u m e n ta e l tie m p o y se c a ra c te riza p o r la co n sta n te de tie m p o L j R. D e esta m a ne ra , la fo rm a fu n c io n a l de esta p a rte de la respuesta re s u lta id é n tic a a la q u e se o b tu v o e n e l c irc u ito sin fu e n te . S in e m b a rg o , la a m p litu d d e l té rm in o e x p o n e n c ia l depende de la te n s ió n de la fu e n te Vo. Se p o d ría g e n e ra liz a r entonces que la re spu esta será la sum a de dos té rm in o s , d o n d e u n o de e llo s tie n e u n a fo r ­ m a fu n c io n a l id é n tic a a la de la respuesta s in fu e n te , p e ro c u e n ta c o n u n a a m p li­ tu d que depende de la fu n c ió n fo rza d a . P ero, ¿qué pasa c o n e l o tro té rm in o ? L a e c u a c ió n [2 5 ] in c lu y e ta m b ié n u n té rm in o co n s ta n te , V 0 / R . ¿ P or q u é se pre se n ta ? L a re sp u e sta es s im p le : la re s p u e s ta n a tu ra l tie n d e a c e ro c u a n d o la e n e rg ía se d is ip a de m a n e ra g ra d u a l, p e ro la re spu esta to ta l n 9 tie n d e a c e ro . A la la rg a , e l c irc u ito se c o m p o rta c o m o u n a re s is te n c ia y u n in d u c to r en s e rie c o n u n a bate ría . P ue sto q ue el in d u c to r fu n c io n a c o m o u n c o r to c irc u ito p a ra la cd , la ú n ic a c o rrie n te que c irc u la en este caso es V 0 / R . D ic h a c o rrie n te es u n a p a rte de ------- AA/V----------------(2 8 1 V A ------------- • CAPITULO 8 CIRCUITOS RL Y RC BÁSICOS la re spu esta q u e se a trib u y e d e m a n e ra d ire c ta a la fu n c ió n fo rz a d a y se c o n o c e rá c o n e l n o m b re de respuesta forzada. É s ta es la re sp u e sta q u e se p re s e n ta d u ra n te m u c h o tie m p o después d e que se c ie rra e l in te rru p to r. L a re spu esta c o m p le ta se c o m p o n e de dos p arte s: la respuesta natural y la forzada L a p rim e ra es u n a c a ra c te rís tic a d e l c irc u ito y n o de las fu e n te s. S u fo r m a se p o d ría e n c o n tra r c o n s id e ra n d o e l c ir c u ito s in fu e n te y tie n e u n a a m p li­ tu d q u e d e p e n d e d e la a m p litu d in ic ia l d e la fu e n te y d e l a lm a c e n a m ie n to de e n e rg ía in ic ia l. L a re s p u e s ta fo rz a d a tie n e las c a ra c te rís tic a s d e la fu n c ió n fo rz a d a ; se d e te rm in a a l c o n s id e ra r q u e to d o s lo s in te rru p to re s se c e rra ro n desde h ace m u c h o tie m p o . E n ra z ó n de q u e p o r a h o ra in te re s a n s ó lo lo s in te rru p to re s y las fu e n te s de c d , la respuesta fo rz a d a es m e ra m e n te la s o lu c ió n de u n p ro b le m a de c irc u ito d e cd. EJEMPLO 8.7 E n el c ir c u it o d e la f ig u r a 8.34, e n c o n tr a r i(t) p a ra t H 1 , 3 ' , 3 C >.j 100 „ s d e s p u é s d e q u e e l v a lo r d e la fu e n te h a y a c a m b ia d o . 50 mH D espu és de q u e h a tra n s c u rrid o u n tie m p o c o n s id e ra b le desde que lo s tra n s i­ to rio s d e s a p a re c ie ro n (t —►o o ), e l c irc u ito es u n s im p le c irc u ito de c d c o n tro la d o p o r u n a fu e n te d e te n s ió n d e 12 V . E l in d u c to r a pa re n ta ser u n c o rto c irc u ito , p o r lo q u e ¡< 00 ) = n s 6 = 1 2 m A I F IG U R A 8 .3 4 Circuito RL simple controlado por una función forzada de escalón de tensión. ¿ Q ué s ig n ific a i (3 - )? E s to es s im p le m e n te u n a c o n v e n ie n c ia de n o ta c ió n p a ra in d ic a r e l in s ta n te antes de q u e la fu e n te d e te n s ió n c a m b ie de v a lo r. P ara t < 3, u(t — 3 ) = 0 . P o r ende, ta m b ié n , i( 3 ~ ) = 0. E n t = 3 + , la fu n c ió n fo rz a d a 1 2 u (t — 3 ) = 12 V . S in e m b a rg o , d e b id o a q ue la c o rrie n te que c irc u la p o r e l in d u c to r n o p u e d e m o d ific a rs e e n u n tie m p o c e ro , i (3 + ) = ¿ (3 ~ ) = 0. E l m é to d o m ás d ire c to p a ra el a n á lis is d e l c irc u ito en t > 3 s es re e s c rib ir la e c u a c ió n [2 5 ] c o m o « O - ( £ - £ - « '- ) „ < « ') y o b s e rv a r q u e esta e c u a c ió n se a p liq u e a l c irc u ito ta m b ié n s i se c o rre el eje d e l tie m p o d e ta l fo rm a que ?' = t - 3 P o r end e, c o n Vq/ R = 12 m A y R / L = 2 0 0 0 0 s- 1 , i(t - 3 ) = (1 2 - 12«_20000(,- 3)) u(t - 3 ) m A [2 6 ] q u e p u e d e e s c rib irs e de u n a m a n e ra m ás s im p le c o m o i ( í ) = (1 2 - 12e -20 000(1-3 )) u(t - 3) m A [2 7 ] p u e sto q u e la fu n c ió n im p u ls o u n ita r io o b lig a a u n v a lo r de c e ro e n t < 3, c o m o se n ecesitab a. S u s titu y e n d o t = 3 .0 0 0 1 s en la e c u a c ió n [2 6 ] o [2 7 ], se p u e d e o b s e rv a r q u e i = 1 0.38 m A e n u n tie m p o ig u a l a 100 fis después de q u e h a y a c a m b ia d o e l v a lo r d e la fu e n te . SECCIÓN 8.7 PRÁCTICA RESPUESTASNATURALY FORZADA #■ _________________________________________________ 8.9 L a fu e n te de te n s ió n 6 0 — 4 0 u(t) V está en serie c o n u n a re s iste n c ia de 10 y u n in d u c to r de 5 0 m H . D e te rm in a r las m a g n itu d e s de la c o rrie n te y la te n s ió n e n e l in d u c to r en u n tie m p o t ig u a l a: (a ) 0 _ ; (b) 0 * ; (c ) o o ; (d) 3 m s. Respuesta: 6 A, 0 V; 6 A, 40 V; 2 A, 0 V; 4.20 A, 22.0 V. Desarrollo de un entendimiento intuitivo L a ra z ó n de las d os respuestas, fo rz a d a y n a tu ra l, q u iz á se v e a a p a rtir de a rgu ­ m e n to s fís ic o s . Se sabe que, a la la rg a , e l c irc u ito a d o p ta rá la re spu esta fo rz a d a . S in e m b a rg o , en e l in s ta n te e n q u e se c ie rre n lo s in te rru p to re s , las c o rrie n te s de in d u c to r in ic ia le s (o en c irc u ito s RC las te n sio n e s en lo s ca p a c ito re s ) te n d rá n v a ­ lo re s q u e d ep e n d e rá n s ó lo de la e n e rg ía a lm a ce n a d a en d ic h o s e le m e n to s. N o se p u e d e e sp e ra r q u e tale s c o rrie n te s o te n s io n e s sean las m is m a s q u e las d e m a n d a ­ das p o r la re spu esta fo rz a d a . P o r c o n s ig u ie n te , debe h a b e r u n p e rio d o tra n s ito rio d u ra n te e l c u a l las c o rrie n te s y la s te n s io n e s c a m b ie n de sus v a lo re s in ic ia le s d ad os a lo s v a lo re s fin a le s re q u e rid o s . L a p a rte de la re spu esta q u e p ro p o rc io n a u n a tra n s ic ió n desde lo s v a lo re s in ic ia le s h a s ta lo s fin a le s es la re spu esta n a tu ra l (lla m a d a a m e n u d o re spu esta transitoria c o m o y a se h iz o n o ta r). S i se d e s c rib e la re spu esta de u n c irc u ito RL s im p le s in fu e n te en estos té rm in o s , e n to n ce s se p o d rá a firm a r q u e la re sp u e sta fo rz a d a es n u la y q u e la re s p u e s ta n a tu ra l s irv e p a ra c o n e c ta r la re spu esta in ic ia l d ic ta d a p o r la e n e rg ía a lm a c e n a d a c o n e l v a lo r c e ro de la re spu esta fo rz a d a . L a d e s c rip c ió n s ó lo re s u lta a p ro p ia d a en e l caso d e c irc u ito s e n lo s q ue , a la la rg a , la re spu esta n a tu ra l se desvanece. L o a n te rio r o c u rre s ie m p re en c irc u ito s fís ic o s d o n d e se a so c ia c ie rta re s is te n c ia c o n cada e le m e n to , a u n q u e e x is te n v a ­ rio s c irc u ito s “ p a to ló g ic o s ” en lo s q u e la re spu esta n a tu ra l n o desaparece c u a n ­ d o e l tie m p o se v u e lv e in fin ito . P o r e je m p lo , lo s c irc u ito s en Jos cuales las c o ­ rrie n te s atrapadas c irc u la n p o r la z o s in d u c tiv o s , o las te n s io n e s e stán atrapadas en cadenas de ca p a c ito re s en serie. 8.7 t RESPUESTAS NATURAL Y FORZADA H a y u n a e xc e le n te ra z ó n m a te m á tic a p a ra c o n s id e ra r que la re spu esta c o m p le ta d eb a te n e r d os p arte s (la re spu esta fo rz a d a y la re spu esta n a tu ra l). L a ra z ó n se basa e n e l h e c h o de q u e la s o lu c ió n d e c u a lq u ie r e c u a c ió n d ife re n c ia l lin e a l p u e ­ d e e xp re sa rse c o m o la sum a de dos p a rte s: solución complementaria (respuesta n a tu ra l) y la solución particular (resp ue sta fo rz a d a ). S in e n tra r e n d e ta lle s sobre la te o ría g e n e ra l d e las e cu a cio n e s d ife re n c ia le s , se p ro c e d e rá a e x a m in a r u n a e cu a c ió n g e n e ra l d e l tip o q u e se e s tu d ió en la s e c c ió n a n te rio r: o di + Pi dt = Q dt [2 8 ] Se p o d ría id e n tific a r Q c o m o u n a fu n c ió n fo rz a d a y e x p re s a rla c o m o Q(t) p a ­ ra s u b ra y a r su d e p e n d e n c ia g e n e ra l d e l tie m p o . Se s im p lific a la e x p lic a c ió n si se A M ------ AA/V CAPÍTULO 8 CIRCUITOS RL Y RC BÁSICOS s up on e q u e P es u n a c o n s ta n te p o s itiv a . D espu és, se sup o n d rá que Q es c o n s ta n ­ te, re s trin g ie n d o de ese m o d o e l u so de fu n c io n e s fo rza d a s de cd. E n c u a lq u ie r te x to u su a l de e cu a cio n e s d ife re n c ia le s , se d e m u e s tra que si a m bo s la d o s de la e c u a c ió n [2 8 ] se m u ltip lic a n p o r u n fa c to r de in te g ra c ió n a p ro p ia d o , ca d a u n o se c o n v ie rte en u n a d ife re n c ia l e x a c ta que se in te g ra en fo r m a d ire c ta p a ra o b te n e r la s o lu c ió n . N o se están sep aran do ias v a ria b le s , s ó lo se o rd e n a rá n de m o d o q u e sea p o s ib le la in te g ra c ió n . E n la e c u a c ió n a n te rio r, e l fa c to r de in te g ra c ió n es e-> pdt o s im p le m e n te ePt, pues P es u n a co n sta n te . S i se m u ltip lic a cad a la d o de la e c u a c ió n p o r ta l fa c to r de in te g ra c ió n se o b tie n e ept di + i Pept dt = QePt dt [2 9 ] L a fo r m a d e l la d o iz q u ie rd o se s im p lific a a l re c o n o c e r que es u n a d ife re n c ia l e x a c ta de ie Pt: d(iePt) = ePt di + iP e Pt dt y, p o r e llo , la e c u a c ió n [2 9 ] se c o n v ie rte en d(iePt) = QePt dt A l in te g ra r cad a la d o , iept = J QePt dt + A d o n d e A es u n a co n s ta n te de in te g ra c ió n . L a m u ltip lic a c ió n p o r e~Pl p ro p o r­ c io n a la s o lu c ió n p a ra i ( í ) , i = e - pt j Qept dt + Ae~Pt [3 0 ] S i se c o n o c e la fu n c ió n fo rz a d a Q(t) se o b tie n e la fo rm a fu n c io n a l de i (t) al e v a lu a r la in te g ra l. S in e m b a rg o , n o se e v a lu a rá ta l in te g ra l en c a d a p ro b le m a , p ue s in te re s a m ás u tiliz a r la e c u a c ió n [3 0 ] p a ra d e d u c ir v a ria s c o n c lu s io n e s g enerales. La respuesta natural Se o b s e rv a p rim e ro que en u n c irc u ito s in fu e n te , Q debe ser c e ro y la s o lu c ió n c o n s is te en la re spu esta n a tu ra l in = Ae~pt [3 1 ] Se p uede v e r q ue la co n s ta n te P n u n c a es n e g a tiv a en u n c irc u ito s ó lo c o n re ­ siste n c ia s , in d u c to re s y c a p a c ito re s ; su v a lo r d ep e n d e n ad a m ás de lo s e le m e n ­ to s p a s iv o s d e l c ir c u it o 5 y de su in te rc o n e x ió n e n e l c ir c u ito . F o r lo ta n to , la respuesta natural se aproxima a cero cuando el tiempo aumenta sin límite. É ste debe ser e l caso d e l c irc u ito RL s im p le d e b id o a que la e n e rg ía in ic ia l se d is ip a de m o d o g ra d u a l en la re s is te n c ia , e n fo r m a de c a lo r. T a m b ié n h a y c irc u ito s id e ­ a liz a d o s en lo s q u e P es c e ro ; en ta le s c irc u ito s la re s p u e s ta n a tu ra l n o se desvanece. E n c o n s e c u e n c ia , se v e rá q u e u n o d e lo s d os té rm in o s q u e c o n fo rm a n la re sp u e sta c o m p le ta tie n e la fo rm a de la re spu esta n a tu ra l; in c lu y e u n a a m p litu d (5) Si el circuito incluye una fuente dependiente o una resistencia negativa, P podría ser negativa. SECCIÓN 8.7 RESPUESTASNATURALYFORZADA * A /W q ue d e p en de rá (a u n q u e a m e n u d o no será ig u a l) d e l v a lo r in ic ia l de la respuesta c o m p le ta , y p o r e llo ta m b ié n d e l v a lo r in ic ia l de la fu n c ió n fo rz a d a . La respuesta forzada A c o n tin u a c ió n se p u e de v e r que e l p rim e r té rm in o de la e c u a c ió n [3 0 ] depende de la fo rm a fu n c io n a l de < 2 (0 , la fu n c ió n fo rz a d a . S ie m p re q u e se tie n e u n c ir ­ c u ito en e l que la respuesta n a tu ra l se desvanece c o n fo rm e t se v u e lv e in fin ita , e l p rim e r té rm in o debe d e s c rib ir p o r c o m p le to la fo rm a de la re spu esta después de q u e d e sa p a re ció la re spu esta n a tu ra l. P o r lo g e n e ra l este té rm in o re c ib e e l n o m ­ b re de re spu esta fo rz a d a ; ta m b ié n se c o n o c e c o m o respuesta de estado perma­ nente, solución particular o integral particular. P o r aho ra , se d e c id e c o n s id e ra r s ó lo lo s p ro b le m a s que im p lic a n la a p li­ c a c ió n re p e n tin a de fu e n te s de cd, así q u e Q(t) será e nton ces u n a c o n s ta n te p ara tod os los va lo re s d e l tie m p o . S i se desea, se e va lú a a h o ra la in te g ra l en la e cu a c ió n [3 0 ] p a ra o b te n e r la re spu esta fo rz a d a [3 2 ] y la re spu esta c o m p le ta i(t) = — + Ae Pt P [3 3 ] E n e l caso d e l c irc u ito RL en serie, Q /P re p re se n ta la c o rrie n te co n sta n te Vo /R y 1 ¡P la c o n s ta n te de tie m p o r . Se o b s e rv a q ue la respuesta fo rz a d a p o ­ d ría haberse o b te n id o s in e v a lu a r la in te g ra l, d e b id o a q u e debe ser la respuesta c o m p le ta e n el tie m p o in fin ito ; c o rre sp o n d e s ó lo a la te n s ió n de la fu e n te d iv i­ d id a p o r la re s is te n c ia en serie. E llo q u ie re d e c ir q u e la re spu esta fo rz a d a se o b ­ tie n e p o r in s p e c c ió n d e l c irc u ito fin a l. Determinación de la respuesta completa m Se u tiliz a e l c ir c u ito s im p le RL en serie p a ra ilu s tra r la fo rm a de d e te rm in a r la respuesta c o m p le ta m e d ia n te la a d ic ió n de las respuestas n a tu ra l y fo rz a d a . E l c irc u ito de la fig u ra 8.35 y a se a n a lizó , p e ro p o r u n m é to d o m ás la rg o . L a respuesta deseada es la c o rrie n te i(t), a sí q u e se e xpresa p rim e ro esta c o rrie n te c o m o la s um a de la c o m e n te n a tu ra l y de la c o m e n te fo rza d a , esto es, m F IG U R A 8 .3 5 Circuito RL en serie que se L a fo rm a fu n c io n a l de la re spu esta n a tu ra l debe ser la m is m a que la que se o b ­ tu v o s in fu e n te a lg u n a . P o r lo ta n to , se s u s titu y e la fu e n te de te n s ió n de e sca ló n p o r u n c o rto c irc u ito y se re c o n o c e e l la z o en serie RL a n te rio r. D e ta l m o d o , donde la a m p litu d A aún debe determ ina rse ; adem ás, d e b id o a que la c o n d ic ió n in i­ c ia l se a p lic a a la respuesta completa, n o se puede sup on er sim p le m e n te A = i (0 ). A c o n tin u a c ió n se a n a liza la respuesta forzada. E n este p ro b le m a p a rtic u la r la respuesta fo rza d a debe ser constante, d e b id o a que la fue nte es una constante Vo pa­ ra todos lo s valo re s p o s itiv o s de tie m p o . P o r lo tan to, después de que la respuesta n atu ra l se desvanece, no h a y ten sión en e l in d u c to r; p o r c o n sig u ie n te , aparece una ten sión Vq en lo s e xtre m o s de R, de m o d o que la respuesta fo rza d a es sim ple m en te emplea para ilustrar el método mediante el cual la respuesta completa se obtiene como la suma de las respuestas natural y forzada. A A A / ------------------------------- • CAPÍTULO 8 CIRCUITOS RLYRC BÁSICOS O b s e rv a r q u e la re spu esta fo rz a d a está p o r c o m p le to d e te rm in a d a ; n o h a y u n a a m p litu d d e s c o n o c id a . A c o n tin u a c ió n se c o m b in a n las dos respuestas p a ra o b te n e r i = A e -R t/L + h y se a p lic a la c o n d ic ió n in ic ia l p a ra e v a lu a r A. L a c o m e n te es c e ro antes de t = 0 , adem ás, n o es p o s ib le q u e c a m b ie de v a lo r e n fo rm a in s ta n tá n e a , p ue sto q ue es la c o m e n te que flu y e p o r u n in d u c to r. E n c o n se cu e n cia , la c o m e n te es n u la in m e d ia ta m e n te después de t = 0 , y Vo 0= A+ R y p o r lo ta n to , [3 4 ] R V0/R 0.632 V0/R / ------------ ' - ........... ....................... / j —' _ >-+ / 0 t 2t 3t ■ F IG U R A 8 .3 6 Gráfica de la corriente que fluye por el inductor de la figura 8.35. Extendiendo la linea tangente al origen de los ejes se alcanza la respuesta forzada e n f = t. O b s e rv a r co n to d o c u id a d o que A n o es e l v a lo r in ic ia l de i, pues A = — Vo /R , en ta n to que i (0 ) = 0 . A l c o n s id e ra r lo s c irc u ito s s in fu e n te , se e n c u e n tra que A fu e e l v a lo r in ic ia l de la respuesta. S in e m b a rg o , cua nd o se p resentan fu n c io n e s forza d a s, se debe d e te rm in a r p rim e ro e l v a lo r in ic ia l de la respuesta y lu e g o susti­ tu ir lo en la e cu a c ió n de la respuesta c o m p le ta p a ra d e te rm in a r A. D ic h a re spu esta se g ra fic a en la fig u ra 8 .3 6 y se o b s e rv a c ó m o se fo rm a la c o m e n te a p a rtir de su v a lo r in ic ia l de cero, hasta su v a lo r fin a l de Vo/R. L a tra n ­ s ic ió n se lle v a a cab o de m a n e ra e fe c tiv a en u n tie m p o 3 r . S i n u e s tro c irc u ito re prese nta la b o b in a de c a m p o de u n g ra n m o to r de cd, re s u lta ría fa c tib le te n e r L = 10 H , R = 2 0 Q, lo c u a l d a c o m o re s u lta d o r = 0 .5 s. L a c o m e n te de cam p o se establece de ese m o d o en cerca de 1.5 s. E n e l caso de u n tie m p o corre sp o n d ie n te a u n a con sta nte de tie m p o , la c o rrie n te a lca n za 6 3 .2 % de su v a lo r fin a l. EJEMPLO 8.8 D e t e r m in a r i(t) p a r a to d o s lo s v a lo re s d e tie m p o en e l c ir c u it o d e la f ig u r a 8 .3 7. 50 u (t) V — 2q w v ¡Í2 50 V I i (0 3H- ■ F IG U R A 8 .3 7 Circuito del ejemolo 8.8. E l c irc u ito c o n tie n e u n a fu e n te de te n s ió n de c d a sí c o m o u n a fu e n te de te n ­ s ió n de e sca ló n . S ería p o s ib le que se o p te p o r s u s titu ir to d o lo q u e está a la iz q u ie rd a d e l in d u c to r p o r e l e q u iv a le n te de T h é v e n in , p e ro m e jo r s ó lo se v a a re c o n o c e r la fo rm a de ta l e q u iv a le n te c o m o u n a re s is te n c ia en s e rie c o n a lg u n a fu e n te de te n s ió n . E l c irc u ito c o n tie n e n a d a m ás u n e le m e n to de a l­ m a c e n a m ie n to de e ne rg ía : e l in d u c to r. Se p u e de v e r p rim e ro que L R eq = ----- = 2 S 1.5 SECCIÓN 8.7 RESPUESTAS NATURAL Y FORZADA #■ YA y s i se re c u e rd a que i = i f + i„ P o r lo tan to, la respuesta n a tu ra l es una e xp o n e n cia l n eg a tiva c o m o se v io antes: in = K e ~112 A t > 0 D e b id o a que la fu n c ió n fo rz a d a es u n a fu e n te de cd, la re spu esta fo rz a d a será u n a c o rrie n te c on sta nte . E l in d u c to r a ctúa c o m o u n c o rto c irc u ito en la c d , de m o d o que P o r lo ta n to , i = 5 0 + Ke~°'5t A í > 0 P ara e v a lu a r K, se debe e sta b le ce r e l v a lo r in ic ia l de la c o rrie n te d e l in ­ d u c to r. A n te s de t = 0, la c o rrie n te es ig u a l a 25 A y n o p u e d e c a m b ia r en fo rm a in s ta n tá n e a ; en con se cu e n cia , 25 = 5 0 + * : o K = -2 5 ? a respudalt for/aila P o r c o n s ig u ie n te , i = 5 0 - 25e~0 51 A t> 0 Se c o m p le ta la s o lu c ió n a l e sta b le ce r ta m b ié n i = 25 A t <0 o e s c rib ie n d o u n a e x p re s ió n s im p le v á lid a p a ra c u a lq u ie r t, i = 2 5 + 2 5 (1 - e - 0-5t)u(i) A L a re spu esta c o m p le ta se d ib u ja en la fig u ra 8 .3 8. O b s e rv a r c ó m o la re s ­ p u e sta n a tu ra l s irv e p a ra c o n e c ta r la re spu esta c o rre s p o n d ie n te a t < 0 c o n la re sp u e sta fo rz a d a con sta nte . P R Á C T I C A m________________________________________________ 8 .1 0 U n a fu e n te de te n s ió n vs = 2 0 u(t) V está en serie c o n u na re s iste n c ia d e 2 0 0 £2 y u n in d u c to r de 4 H . D e te rm in a r la m a g n itu d de la c o rrie n te d e l in d u c to r en t ig u a l a: (a) 0 _ ; ( b) 0 + ; (c ) 8 m s ; (d) 15 m s. R e sp u e sta : 0 ; 0 ; 3 3 .0 m A ; 5 2 .8 m A . C o m o e je m p lo fin a l de este m é to d o m e d ia n te e l c u a l se. c o n s id e ra casi p o r o b s e rv a c ió n la respuesta c o m p le ta de c u a lq u ie r c irc u ito s u je to a u n tra n s ito rio , e x a m in a r u n a v e z m ás e l c irc u ito RL en serie, p e ro en esta o c a s ió n s u je to a u n p u ls o de te n sió n . ■ F IG U R A 8 .3 8 La respuesta i(f) del circuito que se muestra en la figura 8.37 se dibuja para valores de tiempo menores y mayores que cero. ----- W 288 V -• CAPITULO 8 CIRCUITOS RL Y RC BÁSICOS EJEMPLO 8.9 Determinar la respuesta de corriente en un circuito RFi en serie simple cuando la función forzada se compone de un pulso de tensión rectangular de amplitud Fo y duración t0. v(t) t Voh 0 Se re p re se n ta la fu n c ió n fo rz a d a c o m o la sum a de dos fu e n te s de te n s ió n de e sc a ló n Vou(t) y —Vou(t — to), c o m o se in d ic a e n la fig u ra 8.3 9 a y b, a s im is m o , se p la n e a o b te n e r la re spu esta m e d ia n te e l p rin c ip io de s u p e rp o s i­ c ió n . C o n s id e ra r que rf ft) d e s ig n a la p a rte de i ( t) que se debe a la fu e n te s u p e rio r Vou(t) que a ctúa sola , y q u e i2(t) d e s ig n a la p a rte d e b id a a l desem ­ p e ñ o in d iv id u a l de —Vou(t — to). E n to n c e s: fo (a) i(t) = h{t) + i2(t) E l o b je tiv o c o n s is te en e s c rib ir a h o ra cada u n a de las respuestas p a rc ia le s i\ e ¿2 c o m o la sum a de la re spu esta n a tu ra l y de la fo rz a d a . L a re spu esta i\(t) re s u lta fa m ilia r, pues este p ro b le m a fu e re s u e lto e n la e c u a c ió n [3 4 ]: h(t) = ^ ( l - e ~ Rt/L), t> 0 K O b s e rv a r q ue d ic h a s o lu c ió n s ó lo es v á lid a p a ra t > 0 , c o m o se in d ic a f ■ i\ = 0 p ara t < 0 . ■ F IG U R A 8 . 3 9 (o) Pulso de tensión rectangular que se utilizará como la función forzada en un circuito RL en serie simple. (b) Circuito RL en serie que muestra la representación de la función forzada mediante la combinación en serie de dos fuentes independientes de tensión de escalón. Se desea obtener la corriente ¡(t). Se h ace n e c e s a rio a h o ra d ir ig ir la a te n c ió n h a c ia la o tra fu e n te y su re spu esta i2(t). S ó lo d ifie re n la p o la rid a d de la fu e n te y e l tie m p o de su a p li­ c a c ió n . P o r lo ta n to , n o h a y n e c e s id a d de d e te rm in a r la fo rm a de la re spu esta n a tu ra l y de la re spu esta fo rz a d a ; la s o lu c ió n de ¿ i(/) es h(.t) = ~ [ 1 - e - R«-*VLl, t > t0 K i(t) V o / R f ------------------------------------------- d o n d e e l in te rv a lo a p lic a b le de /, / > to, debe in d ic a rs e ta m b ié n e n este caso; e i2 = 0 p a ra t < t0. A h o ra se sum an las dos s o lu cio n e s, p e ro se debe h acer c o n c u id a d o , puesto que cada u n a es v á lid a p ara u n in te rv a lo de tie m p o d ife re n te . D e ta l m o d o : i (t) = 0 , / < 0 i(t) = ^ - ( l - e - Rt/L), K [3 5 ] 0 < t < t0 [3 6 ] y i(t) m Vo/R = ^ ( 1 - e - W ) - 5 ( 1 - e~R« - ^ L), K K t > to o, de m a n e ra m ás c o m p a c ta , i(t) = Y^e-Rt/L{eRt°IL - 1), / > t0 [3 7 ] R 0 2 í0 t0 3 tg Cb) ■ F IG U R A 8 .4 0 Dos curvas de respuestas posibles se presentan para el circuito de la figura 8.396. (o) x se selecciona como f0/2. (£>) x se elige como 2f0. A u n q u e las e cu acio ne s [3 5 ] a [3 7 ] d e s c rib e n to ta lm e n te la re spu esta d e l c ir ­ c u ito de la fig u ra 8.39/? a la fo rm a de o n d a d e l p u ls o de la fig u ra 8 .3 9 a , la fo rm a de o n d a de c o rrie n te en s í m is m a es s e n s ib le ta n to a la c o n s ta n te de tie m p o i d e l c irc u ito c o m o a la d u ra c ió n d e l p u ls o de te n s ió n t0. E n la fig u ra 8 .4 0 se m u e s tra n dos p o s ib le s curva s. SECCIÓN 8.8 ACCIONAMIENTO DE CIRCUIT OS /?C * L a c u rv a de la iz q u ie rd a se g ra fic a p a ra e l caso en e l que la co n s ta n te de tie m p o e q u iv a le n ad a m ás a la m ita d de la lo n g itu d de la p u ls a c ió n a p lic a d a ; p o r lo ta n to , la p o rc ió n ascendente de la e x p o n e n c ia l casi a lc a n z a a Vq/R antes de q u e c o m ie n c e e l d e c a im ie n to de la e x p o n e n c ia l. L a s itu a c ió n o p u e sta se m u e s tra a la d ere ch a ; ahí, la co n s ta n te de tie m p o es e l d o b le de to, así q u e la re spu esta n u n c a tie n e o p o rtu n id a d de lle g a r a a m p litu d e s m a yo re s . E l p ro c e d im ie n to q ue se u tiliz a p a ra d e te rm in a r la re sp u e sta de u n c irc u ito RL lu e g o de q u e se a c tiv a n o d e s a c tiv a n (d e n tro o fu e ra d e l c irc u ito ) fu e n te s de c d en a lg ú n in s ta n te de tie m p o se re s u m e c o m o s ig u e . S u p o n e r q u e e l c irc u ito se re d u c e hasta u n a re s is te n c ia e q u iv a le n te Req en serie c o n u n a in d u c ta n c ia e q u iv a le n te L eq c u a n d o to d a s la s fu e n te s in d e p e n d ie n te s se ig u a la n a c e ro . L a re spu esta q u e se b u s c a se re p re s e n ta m e d ia n te f( t) . 1. C o n todas las fu e n te s in d e p e n d ie n te s s u p rim id a s , s im p lific a r e l c ir ­ c u ito p a ra d e te rm in a r Req, L eq y la co n s ta n te de tie m p o r = L eq/ Req. ’L C o n s id e ra n d o a L eq c o m o u n c irc u ito c e rra d o , u tiliz a r m é to d o s de a n á fis is de c d p a ra c a lc u la r iL(O- ) , la c o rrie n te en e l in d u c to r ju s to antes de la d is c o n tin u id a d . 3. C o n s id e ra n d o a L eq u n a v e z m ás c o m o u n c irc u ito a b ie rto , a p lic a r lo s m é to d o s de a n á lis is de c d para d e te rm in a r la re spu esta fo rz a d a . E s te es e l v a lo r a p ro x im a d o de f ( t ) c u a n d o t —> o o ; se re p re s e n ta m e d ia n te /(o o ). 4. E s c r ib ir la re spu esta to ta l c o m o la sum a de las respuestas fo rz a d a y n a tu ra l: f ( t ) = / ( o o ) + Ae~llx. 5. D e te rm in a r / ( 0 + ) m e d ia n te la c o n d ic ió n de q u e i¿ ( 0 + ) = í 'l ( 0 _ ) . S i se desea, L eq se p o d ría re e m p la z a r p o r u n a fu e n te de c o rrie n te ¿ l( 0+ ) [u n c irc u ito a b ie rto s i i¿ ( 0 + ) = 0 ] p a ra este c á lc u lo . C o n e x c e p c ió n de la s c o m e n te s en e l in d u c to r (y las te n sio n e s en e l c a p a c ito r), o tras te n ­ sion es y c o rrie n te s en e l c irc u ito p u e d e n c a m b ia r de m a n e ra a bru p ta . 6. / ( 0 + ) - / ( o o ) + A a n d f ( t ) = / ( o o ) + [ / ( 0 + ) - / ( o o ) ] e " " 1, o re spu esta to ta l = v a lo r fin a l + (v a lo r in ic ia l — v a lo r fin a l) e~,/x. PRÁCTICA a ______ ____ ___ ____ 8.11 E l c irc u ito de la fig u ra 8.41 h a estado d u ra n te la rg o tie m p o en la fo rm a q u e se m u e s tra . E l in te rru p to r se abre en t = 0. C a lc u la r Í r en r ig u a l a: (a) O- ; (b) 0 (c ) o o ; ( d ) 1.5 m s. Respuesta: 0; 10 mA; 4 mA; 5.34 mA. ■ F IG U R A 8.41 8.8 . ACCIONAMIENTO DE CIRCUITOS RC_________________ L a re spu esta c o m p le ta de c u a lq u ie r c irc u ito RC ta m b ié n se o b tie n e c o m o la sum a de la s respuestas n a tu ra l y fo rz a d a . D e b id o a q u e e l p ro c e d im ie n to es casi id é n tic o a l q u e se e s tu d ió a d e ta lle en e l caso de lo s c irc u ito s RL, e l m e jo r m é to d o en esta e tapa se ilu s tra m e d ia n te u n e je m p lo c o m p le to q u e sea re le v a n te , d o n d e e l o b je tiv o n o sea s o la m e n te u n a c a n tid a d re la c io n a d a c o n e l c a p a c ito r, s in o ta m b ié n la c o rrie n te a so cia d a c o n u n a re s iste n c ia . 290 A A /V CAPÍTULO 8 CIRCUITOS RL Y RC BÁSICOS EJEMP LO 8.10 Determinar la tensión en el capacitor vc(t) y la corriente i(t) en la re­ sistencia de 200 * de la figura 8.42 para cualquier tiempo. í 0 (c) I F IG U R A 8 .4 2 (o) Circuito RC en el que se obtienen las respuestas com pletaste e i sumando una respuesta forzada y una natural, (b) Circuito para f < 0. (c) Circuito para t > 0. Se c o m ie n z a c o n s id e ra n d o e l estado d e l c irc u ito en t < 0, c o rre sp o n d ie n te al in te rru p to r en la p o s ic ió n c o m o se re prese nta en la fig u ra b. C o m o es usu al, se supone que n o h a y tra n s ito rio s presentes, p o r lo que s ó lo es re le v a n te para e n c o n tra r i^ c (0 _ ) u n a re spu esta fo rz a d a d e b id o a la fu e n te de 120 V . E n c o n ­ secuencia, la s im p le d iv is ió n de te n s ió n p ro d u c e la te n s ió n in ic ia l •,c '<0 ) = 5 Ó ^ ( 1 2 0 , = 1 0 0 V P uesto que la te n s ió n d e l c a p a c ito r n o p uede c a m b ia r en fo r m a insta ntán ea , esta te n s ió n ta m b ié n es v á lid a en t = Q~ y t = 0 + . E l in te rru p to r se m u e v e a h o ra h a c ia b , de m o d o que la re spu esta c o m ­ p le ta es Vc — VCf + l’cn SECCIÓN 8.8 ACCIONAMIENTO DE CIRCUITOS RC A A /V • “ E1 c irc u ito c o rre s p o n d ie n te se d ib u jó n u e va m e n te p o r c o n v e n ie n c ia e n la fig u ra 8 .4 2c. L a fo r m a de la re spu esta n a tu ra l se o b tie n e m e d ia n te la s u s titu ­ c ió n de la fu e n te de 5 0 V p o r u n c o r to c irc u ito lu e g o de e v a lu a r la re s is te n c ia e q u iv a le n te p a ra e n c o n tra r la c o n s ta n te de tie m p o (e n o tras p ala bra s, se tra ta de d e te rm in a r la re s is te n c ia e q u iv a le n te de T h é v e n in “ v is ta ” desde las te r­ m in a le s d e l c a p a c ito r): Req = 1 = 2 4 Í2 -50 1 +^ — 200 ^+ -60 D e m o d o que: ven = Ae ’lR«ic = Ae t¡1'2 Para e v a lu a r la re spu esta fo rz a d a c o n e l in te rr u p to r en b, se espera h asta que tod as las te n sio n e s y c o rrie n te s h a y a n d e ja d o de c a m b ia r; p o r lo ta n to , se c o n s id e ra a l c a p a c ito r c o m o u n c irc u ito a b ie rto y se a p lic a u n a v e z m ás la d iv is ió n de te n s ió n : vc, = 5 0 ^ 2 0 0 II 5 0 6 0 + 2 0 0 1| 5 0 ) (5 0 ) (2 0 0 )/2 5 0 = 20 V = 50 ^ ,6 0 + (5 0 )(2 0 0 )/2 5 0 ‘ ) P o r lo ta n to , vc = 2 0 + A e -í/1'2 V y de la c o n d ic ió n in ic ia l y a o b te n id a , 100 = 20 + A vc = 2 0 + 8 0 e -r/1,2 VC V, vc = 100 V , t > 0 t <0 L a respuesta se g ra fic a en la fig u ra 8 .4 3a ; ta m b ié n en este caso se v e que la respuesta n a tu ra l fo rm a u n a tra n s ic ió n desde la respuesta in ic ia l hasta la fin a l. A c o n tin u a c ió n se abo rd a i (?). L a respuesta n o necesita p erm an ecer constante d urante e l p e rio d o de c o n m u ta ció n . C o n e l c o n ta cto en a, re s u lta e v i­ dente que i = 5 0 /2 6 0 = 1 9 2 .3 m ilia m p e re s . C ua nd o e l in te rru p to r se m u e v e a la p o s ic ió n b, la respuesta fo rz a d a p ara esta c o rrie n te se c o n v ie rte en 50 (V) / m (A) 50\ lf = 6¿ 0n +— ( 5 0 ) ( 2 0 0 ) /(„ 5c n0 +, 2o 0n 0m) (\)5 =0 a+ i2 am peres 00, L a fo rm a de la re spu esta n a tu ra l es la m is m a a la que y a se d e te rm in ó p a ra la te n s ió n e n e l c a p a c ito r: i„ = A e -'l1-2 A l c o m b in a r las respuestas n a tu ra l y fo rz a d a , se o b tie n e i = 0.1 + Ae~^12 am peres f Continúa en la siguiente página) I F IG U R A 8 .4 3 Las respuestas (o) vc y (b) ¡ se grafican como funciones del tiem po para el circuito de la figura 8.42. A /W CAPITULO 8 CIRCUITOS RL Y RC BÁSICOS P ara e v a lu a r A , se n e c e s ita c o n o c e r i (0 + ) , la c u a l se c a lc u la fija n d o la a te n c ió n en e l e le m e n to de a lm a c e n a m ie n to de e n e rg ía (e l c a p a c ito r). E l h e c h o de q u e vc deba p e rm a n e c e r en 1 00 V d u ra n te e l in te rv a lo de c o n ­ m u ta c ió n es la c o n d ic ió n d ire c triz g o b e rn a n te que e sta ble ce las dem ás c o rrie n te s y te n sio n e s en t = 0 + . P ue sto que vc (0 + ) = 100 V , y c o m o e l ca­ p a c ito r está en p a ra le lo c o n la re s is te n c ia de 200 Í 2, se e n c u e n tra que i (0 + ) = 0 .5 a m pe re , A = 0 .4 a m pe re , p o r lo c u a l i(t) = 0 .1 9 2 3 a m p e re i ( t ) = 0 . 1 + QAe~t/12 t < 0 a m p e re í > 0 o i(t) = 0 .1 9 2 3 + ( —0 .0 9 2 3 + 0 .4 e ,^ '2)u(t) am peres d o n d e la ú ltim a e x p re s ió n es c o rre c ta p a ra c u a lq u ie r t. L a re spu esta c o m p le ta p a ra c u a lq u ie r t ta m b ié n se e sc rib e de m a n e ra c o n c is a u tiliz a n d o u(—t), c o rre s p o n d ie n d o así a la u n id a d p a ra t < 0 y 0 p ara t > 0. A s í, i(t) = 0 .1 9 2 3 u(—t) + (0 .1 + 0 .4 e~t/l'2)u(t) am peres E sta respuesta se p rese nta en la fig u ra 8.43¿>. O b s e rv a r que s ó lo se nece­ s ita n c u a tro n úm e ro s p a ra e s c rib ir la fo rm a fu n c io n a l de la respuesta de este c irc u ito de u n s o lo e le m e n to de a lm a c e n a m ie n to de energía, o p a ra h a c e r la g rá fic a : e l v a lo r co n sta n te antes de la c o n m u ta c ió n (0 .1 9 2 3 a m pe re ), e l v a lo r in s ta n tá n e o ju s to después de la c o n m u ta c ió n (0 .5 a m pe re ), la respuesta fo rz a d a co n sta n te (0.1 a m p e re ) y la con sta nte de tie m p o (1 .2 s). E n este caso, la fu n c ió n e x p o n e n c ia l n e g a tiv a a p ro p ia d a re s u lta fá c il de e s c rib ir o g ra fica r. PRÁtTlfcA 8 .1 2 E n e l caso d e l c irc u ito de la fig u ra 8 .4 4, d e te rm in a r vc (t ) en t ig u a l a: (a) 0 “ ; (b) 0 + ; (c ) o o ; (d) 0 .0 8 s. 25 kí2 20 k£2 ■ F IG U R A 8 .4 4 Respuesta: 20 V; 20 V; 28 V; 24.4 V. Se c o n c lu y e c o n la lis ta de lo s d ua les de lo s e n u n c ia d o s dados a l fin a l de la s e c c ió n 8.7. E l p ro c e d im ie n to que se u tiliz a p a ra e n c o n tra r la re sp u e sta de u n c irc u ito RC después de que la s fu e n te s de c d se a c tiv a n o d e s a c tiva n , in c o rp o rá n d o la s o e lim in á n d o la s d e l c irc u ito , en a lg ú n in s ta n te , p o r e je m p lo í = 0 , se re s u m e c o m o sigu e. Se hace e l su p ue sto de q u e e l c irc u ito se re d u c e a u n a s o la re s iste n ­ c ia e q u iv a le n te Req e n p a ra le lo c o n u n a s o la c a p a c ita n c ia e q u iv a le n te C eq c u a n d o tod as las fu e n te s in d e p e n d ie n te s se ig u a la n a cero. L a re spu esta que se b u s c a se re p re s e n ta p o r m e d io de / ( / ) . SECCIÓN 8.8 ACCIONAMIENTO DE CIRCUITOS RC 1. C o n tod as las fu e n te s in d e p e n d ie n te s s u p rim id a s , s im p lific a r e l c ir ­ c u ito p a ra d e te rm in a r Rtq, C eq y la co n s ta n te de tie m p o r = ReqCeq. 2. C o n s id e ra r a Ceq c o m o u n c irc u ito a b ie rto , y u tiliz a r m é to d o s de a n á lis is de c d p a ra c a lc u la r vc(0~), la te n s ió n d e l c a p a c ito r ju s to antes de la d is c o n tin u id a d . * A /W 0 3. C o n s id e ra r a C eq u n a v e z m ás c o m o un c irc u ito a b ie rto , y a p lic a r lo s m é to d o s de a n á lis is de c d p a ra d e te rm in a r la re spu esta fo rz a d a . É s te es e l v a lo r a p ro x im a d o de f( t ) c u a n d o t -*■ oo ; se re p re s e n ta rá m e d ia n te /(o o ). 4. E s c r ib ir la re spu esta to ta l c o m o la su m a de las respuestas fo rz a d a y n a tu ra l: / ( / ) = / ( o o ) + Ae~‘/Z. 5. D e te rm in a r / ( 0 + ) m e d ia n te la c o n d ic ió n de que i>c(0+ ) = v d O- ) . S i se desea, C eq se p o d ría re e m p la z a r p o r u n a fu e n te de te n s ió n u c ( 0 + ) [u n c o r to c irc u ito s i vc(O^) — 0 ] p a ra este c á lc u lo . C o n e x c e p c ió n de las te n sio n e s en e l c a p a c ito r (y las c o rrie n te s e n e l in d u c to r), ta l v e z o tras te n s io n e s y c o rrie n te s en el c irc u ito c a m b ie n de m a n e ra a bru p ta . 6 . / ( 0 + ) = / ( o o ) + A y f ( t ) = / ( o o ) + [ / ( 0 + ) - / ( o o ) ] * " '/ 1 , o re spu esta to ta l = v a lo r fin a l + (v a lo r in ic ia l — v a lo r fin a l) e _ íA C o m o se h a v is to , lo s m is m o s pasos b á sico s que se a p lic a n a l a n á lis is de lo s c irc u ito s RL p u e d e n ta m b ié n a p lic a rs e a lo s c irc u ito s RC. H a s ta e l m o m e n to , e l in te ré s se h a e n fo c a d o s ó lo en e l a n á lis is de c irc u ito s c o n fu n c io n e s de c d fo rza d a s , a p esar d e l h e c h o de que la e c u a c ió n [3 0 ] es v á lid a p a ra fu n c io n e s m ás g en erale s c o m o Q(t) = 9 c o s (5 í — 7 o) o Q(t) = 2e~5t. A n te s de c o n c lu ir esta se cció n , se e x p lo ra u n o de estos esce na rios. ---- --------------,—------------------------ , ------m----->n---- ----- -Tir------------- EJEMPLO 8.11 Determinar la expresión de v (t) en el circuito de la figura 8.45 que sea válida en t > 0. C o n base en la e x p e rie n c ia , se espera u n a re spu esta c o m p le ta de la fo rm a v(t) = vf + vn d o n d e es p ro b a b le que v¡ h a g a re c o rd a r la fu n c ió n fo rz a d a y vn te n d rá la fo r m a Ae~l!x. ¿Q ue es la c o n s ta n te r ? d e l c irc u ito ? Se s u s titu y e la fu e n te c o n u n c ir ­ c u ito a b ie rto y se e n c u e n tra la re s is te n c ia e q u iv a le n te de T h é v e n in e n p a ra ­ le lo c o n e l c a p a c ito r: io n —V A — 4.7 n . 22 : R eq = 4 . 7 + 1 0 = 14.7 £2 P o r lo ta n to , la c o n s ta n te de tie m p o es r = R&qC = 3 2 3 .4 fis, o lo que es lo m is m o , 1 / r = 3 .0 9 2 x 10 3 s A E x is te n v a ria s fo rm a s de p ro ce d e r, a p esar de que q u iz á s la m ás d ire c ta es lle v a r a c a b o u n a tra n s fo rm a c ió n de fu e n te , lo que g en era u n a fu e n te de te n s ió n de 23.5e~2m ,u(t) V e n serie c o n la re s is te n c ia de 14.7 £2 y e l ca­ p a c ito r de 22 (¿F. ( Observe que este fenómeno no modifica la constante de tiempo. ) (Continúa en la siguiente página) I F IG U R A 8 .4 5 Circuito RC simple controlado por una función forzada con decaimiento exponencial. 2 9 4 --------------- W v ------------------ ------------ • CAPÍTULO 8 CIRCUITOS RL Y RC BÁSICOS S i se e scrib e u n a s im p le e cu a c ió n L K T p a ra t > 0, se tie n e que 23.5e~2000t= (1 4 .7 )(2 2 x 10“ 6) ^ dt + v C o n un p o c o de s im p lific a c ió n se o b tie n e , dv - 2 OOOr + 3 .0 9 2 x 10 v = 7 2 .6 7 x 10 3 e dt lo c u a l, c u a n d o se c o m p a ra c o n las e cu acio ne s [2 8 ] y [3 0 ], p e rm ite q u e se e xp re se la re spu esta c o m p le ta c o m o v(t) = e~Pt J Qep'dt + Ae~Pt d on de , en este caso, P = 1 / r = 3 .0 9 2 x 10 3 and Q(t) = 7 2 .6 7 x 10 3e ~ 2llí)(l'. P o r lo ta n to , se p u e d e o b s e rv a r que i; ( r ) = e - 3092t j 7 2 .6 7 x 10 \ - 2m ,e3m2‘dt + A e ^ ' V L le v a n d o a c a b o la in te g ra c ió n q u e se in d ic a , v(t) = 6 6 .5 5 e _2000í + Ae~3092t V [3 8 ] L a ú n ic a fu e n te está c o n tro la d a p o r u n a fu n c ió n e sca ló n c o n u n v a lo r de ce ro p a ra t < 0, p o r lo q u e se sabe q u e v ( 0 - ) = 0. P ue sto q u e v es u n a te n ­ s ió n de ca p a c ito r, r ( 0+ ) = t>(0 - ), y p o r lo ta n to se e ncu e n tra de m a n e ra m u y s e n c illa la c o n d ic ió n in ic ia l u (0 ) = 0. S u s titu y e n d o esta e x p re s ió n en la e cu a c ió n [3 8 ], se e n c u e n tra q u e A = —6 6 .5 5 V , p o r lo que 10Í 1 v(t) = 6 6 .5 5 (e A M — 5 C.OS 3 1 u(í) A 22 fiF - 2000 ; —e -3 0 9 2 r )V , t >o PRACTICA v 8 .1 3 D e te rm in a r la te n s ió n v en el c a p a c ito r d e l c irc u ito de la fig u ra 8 .4 6 p ara t > 0. I F IG U R A 8 .4 6 Circuito RC simple controlado por una función forzada senoidal. Respuesta: 23.5eos3í + 22.8 x 10 3sen3/—23.5e 3092ry^ 8.9 t PREDICCIÓN DE LA RESPUESTA DE CIRCUITOS * CONMUTADOS SECUENCIALIVIENTE E n e l e je m p lo 8 .9 se e s tu d ia d e m a n e ra b re v e la re s p u e s ta de u n c ir c u ito RL a u n a fo rm a de o n d a de p u ls o s en la que u n a fu e n te se c o n m u tó h a c ia y después se c o n m u tó fu e ra d e l c irc u ito . E s te tip o d e s itu a c ió n es m u y c o m ú n en la p rá c tic a , y a q u e a lg u n o s c irc u ito s están d ise ña do s p a ra e ne rg iz a rs e s ó lo u n a vez (p o r e je m p lo , los c irc u ito s d is p a ra d o re s d e las b o ls a s c o n a ire p ara p ro te c c ió n de lo s p asaje ro s en lo s a u to m ó v ile s ). E n la p re d ic c ió n de la re spu esta de lo s c irc u ito s RL y RC s im p le s q ue están s u je to s a p u ls o s o a series de p u ls o s — a m e n u d o c o n o c id o s c o m o circuitos conmutados secuencialmente— la c la v e es el ta m a ñ o de la c o n s ta n te d e tie m p o d e l c irc u ito en re la c ió n c o n lo s d ife re n te s tie m p o s q u e d e fin e n la se cu e n cia d e l p u ls o . E l p rin c ip io fu n d a m e n ta l d etrá s del a n á lis is es si e l e le m e n to de a lm a c e n a m ie n to de e ne rg ía tie n e tie m p o p a ra carga rse p o r c o m ­ p le to antes de q u e te rm in e e l p u ls o y si c u e n ta c o n e l tie m p o p a ra d escargarse to ­ ta lm e n te antes de q u e c o m ie n c e el seg u n d o p u ls o . C o n s id e ra r el c irc u ito q u e se m u e s tra en la fig u ra 8 .4 7 a , e l c u a l está c o n e c ­ ta d o a u n a fu e n te d e te n s ió n p u ls a d a q u e p u e d e ser d e s c rita p o r siete p a rá m e tro s separados q u e se d e fin e n en la fig u ra 8.47¿>. L a fo rm a de o n d a está a co ta d a p o r dos v a lo re s , V I y V 2 . E l tie m p o tr q u e se re q u ie re p a ra c a m b ia r d e V I a V 2 se lla m a tiempo de elevación (TR), y e l tie m p o t¡ q u e se re q u ie re p a ra c a m b ia r de SECCIÓN 8.9 PREDICCIÓN DE LA RESPUESTA DE CIRCUITOS CONMUTADOS SECUENCIALMENTE (a) * (b) ■ F IG U R A 8 .4 7 (a) Esquema de un circuito RC simple conectado a una forma de onda de tensión pulsada. (6) Diagrama de las definiciones de los parámetros del V P U LS E de SPICE. V 2 a V I se lla m a tiempo de bajada (TF). L a d u ra c ió n Wp d e l p u ls o se c o n o c e c o m o ancho de pulso (PW), y e l periodo T de la fo rm a de o nd a (P E R ) es el tie m p o q u e le to m a a l p u ls o re p e tir. O b s e rv a r ta m b ié n que e l S P IC E p e rm ite un re tra so de tie m p o ( T D ) antes de q u e e l tre n de p u ls o s c o m ie n c e , lo c u a l puede ser de u tilid a d p a ra que las respuestas de lo s tra n s ito rio s in ic ia le s d e c a ig a n en alg u na s c o n fig u ra c io n e s c o n c irc u ito s . Para lo s p ro p ó sito s de este e stu dio , se establece un retraso de tie m p o cero, V I = 0 y V 2 = 9 V . L a constante de tie m p o del c irc u ito es t = RC = 1 m s, p o r lo que se establecen los tiem p os de subida y de bajada co m o 1 ns. A pesar de que S P IC E no aceptará que una ten sión cam b ie en u n tie m p o cero puesto que resuelve las ecuaciones d ife re nciale s u tiliz a n d o in te rv a lo s de tie m p o discretos, com parado con la constante d e l tie m p o de 1 ns d e l c irc u ito es una a p ro x im a c ió n a “ instantánea” . Se c o n s id e ra rá n lo s c u a tro casos b á sico s q u e se e n c u e n tra n re s u m id o s en la ta b la 8.1. E n lo s p rim e ro s dos casos, a l a n c h o d e l p u ls o Wp es m u c h o m a y o r que la co n s ta n te de tie m p o r d e l c irc u ito , p o r lo que se espera que lo s tra n s ito rio s que re s u lte n d e l c o m ie n z o d e l p u ls o se d e svan ezcan antes de que te rm in e e l p u ls o . E n lo s ú ltim o s dos casos, es v á lid o e l caso c o n tra rio : e l a ncho d e l p u ls o es tan c o rto que e l c a p a c ito r n o tie n e tie m p o de cargarse to ta lm e n te antes de que te r­ m in e el p u ls o . U n p ro b le m a s im ila r se prese nta cua nd o se c o n s id e ra la respuesta d e l c irc u ito c u a n d o e l tie m p o e n tre p u ls o s (T — Wp) es c o rto (caso I I ) o la rg o (caso ni) en c o m p a ra c ió n c o n la co n s ta n te de tie m p o d e l c irc u ito . TABLA 8.1 Cuatro casos distintos de ancho de pulso y de periodoen relación con la constante de tiempo del circuito de 1 ms Caso Ancho del pulso Wp Periodo T I 10 ms (r « Wp) 20 ms ( r « : T - Wp) II 10 ms (r <íC Wp) 10.1 ms (r » J — Wp) III 0.1 ms (r Wp ) 10.1 ms ( t « T - Wp) IV 0.1 ms ( t » Wp) 0.2 ms ( t » T - Wp) E n la fig u ra 8.48 se h a b o sq u e ja d o d e m a n e ra c u a lita tiy a la re s p u e s ta del c irc u ito p a ra c a d a u n o d e lo s c u a tro c a so s s e le c c io n a n d o d e fo r m a a rb itra ria la te n s ió n del c a p a c ito r c o m o u n a c a n tid a d d e in te ré s, y a q u e se e sp e ra q u e c u a lq u ie r te n s ió n o c o rrie n te te n g a la m is m a d e p e n d e n c ia c o n re s p e c to al AA/V 0 CAPÍTULO 8 CIRCUITOS RL Y RC BÁSICOS (c) ! F IG U R A 8 .4 8 Tensión del capacitor del circuito RC con un ancho de pulso y periodo descritos en (o) caso I; (6) caso II; (c) caso III, y (d ) caso IV. tie m p o . E n e l caso I , e l c a p a c ito r tie n e tie m p o p a ra carga rse y descarg a rse to ­ ta lm e n te (fig u ra 8 .4 8 a ), m ie n tra s q u e en e l caso I I (fig u ra 8.48¿>), c u a n d o se re ­ d uce e l tie m p o e n tre p u ls o s , se le te rm in a e l tie m p o p a ra descargarse to ta lm e n te . P o r e l c o n tra rio , e l c a p a c ito r n o tie n e tie m p o p a ra carga rse to ta lm e n te ta n to en e l caso I I I (fig u ra 8 .4 8 c ) c o m o en e l caso I V (fig u ra 8 .4 9 d). Caso I: Tiempo suficiente para cargarse y descargarse totalmente P o r sup ue sto , se p ue de n o b te n e r v a lo re s e xa cto s p a ra la re spu esta en cada caso m e d ia n te u n a serie de a n á lis is . P rim e ro se c o n s id e ra e l caso ¡L E n ra z ó n de que e l c a p a c ito r c u e n ta c o n e l tie m p o p a ra cargarse to ta lm e n te , la re spu esta fo rz a d a c o rre s p o n d e rá a la te n s ió n de c o n tro l de 9 V de cd. L a re spu esta c o m p le ta al p rim e r p u ls o es, p o r lo ta n to , vc (t) = 9 + A e '10001 V C o n i>c(0) = 0 , A = —9 V y, p o r ende, vc(t) = 9(1 — g-iooot-^ v [ 39] en e l in te rv a lo de 0 < t < 10 m s. E n t = 10 m s, la te n s ió n de la fu e n te decae de fo rm a re p e n tin a h asta 0 V , y e l c a p a c ito r c o m ie n z a a descargarse a tra vé s de la re s iste n c ia . E n este in te rv a lo de tie m p o se está tra ta n d o c o n u n c irc u ito RC s im ­ p le “ s in fu e n te s ” y se p ue de e s c rib ir la re spu esta c o m o vc (t) = B e -lo m -°m), 10 < t < 2 0 m s [4 0 ] d o n d e B = 8 .9 9 9 5 9 V h a lla d o a l s u s titu ir t = 10 m s en la e c u a c ió n [3 9 ]; c o n base en la p rá c tic a , se p u e de re d o n d e a r este re s u lta d o a 9 V si se o b s e rva que e l v a lo r c a lc u la d o es c o n g ru e n te c o n e l su p ue sto de que e l tra n s ito rio in ic ia l se desvanece antes de q u e te rm in e e l p u ls o . E n t = 2 0 m s, la fu e n te de te n s ió n salta de in m e d ia to de n u e vo a 9 V. L a te n ­ sió n en e l ca p a cito r, e xa cta m en te antes de este e ve nto , se o b tie n e m e d ia n te la susti­ tu c ió n d e í = 2 0 m s en a l e cu a c ió n [4 0 ], lo que lle v a a i>c (2 0 m s) = 4 0 8 .6 / i V , un v a lo r p rá c tic a m e n te ig u a l a cero co m p a ra d o c o n e l v a lo r p ic o de 9 V. SECCIÓN 8.9 PREDICCIÓNDELARESPUESTADECIRCUITOSCONMUTADOSSECUENCIALMENlE » S i se co n se rva la c o n v e n c ió n de re d o n d e a r a c u a tro d íg ito s s ig n ific a tiv o s , la te n s ió n en e l c a p a c ito r a l c o m ie n z o d e l segundo p u ls o es cero, que es la m is m a que en e l p u n to de c o m ie n z o . P o r ende, las ecuaciones [3 9 ] y [4 0 ] fo rm a n las bases de la respuesta de tod os lo s p ulsos subsecuentes, p o r lo c u a l se p ue de e s c rib ir 9 ( 1 _ e - i o ( » ) 0 < í < 10 m s 10 < t < 20 m s V ) o - 1000(í-° .01) v Vr(Ú ’ LK ’ 9= (1 _ e~1000(r—0.02)) y 20 < t < 30 ms 30 < t < 4 0 m s g e -l0 0 0 (t-0 .0 3 ) y y así suce siva m e n te . Caso II: Tiempo suficiente para cargarse totalmente pero sin descargarse por completo A c o n tin u a c ió n se e s tu d ia lo q u e sucede s i e l c a p a c ito r n o se a lc a n z a a descarg a r to ta lm e n te (caso I I ) . L a e c u a c ió n [3 9 ] aún d e s c rib e la s itu a c ió n e n e l in te rv a lo 0-<? t < 10 m s, y la e c u a c ió n [4 0 ] d e s c rib e la te n s ió n d e l c a p a c ito r en e l in te r­ v a lo e n tre p u ls o s , lo s cua les se h a n re d u c id o a 10 < t < 10.1 ms. E x a c ta m e n te antes de la a p a ric ió n d e l seg un do p u ls o en / = 10.1 m s, vc es a h o ra de 8 .1 4 4 V ; e l c a p a c ito r s ó lo h a b ía te n id o 0 .1 m s p a ra d e s c a rg a rs e y, p o r lo ta n to , a ú n re tie n e 8 2 % de su m á x im a e n e rg ía c u a n d o c o m ie n z a e l p u ls o s ig u ie n te . P o r lo ta n to , en e l in te rv a lo s ig u ie n te , vc (t) = 9 + c e “ 1000(í- iaix l°“3) V , 10.1 < t < 2 0 .1 m s d o n d e uc (1 0 .1 m s ) = 9 + C = 8 .1 4 4 V , p o r lo q u e C = —0 .8 5 6 V y vc (t) = 9 - O .856e-1000(' -1 0 l,* 1() 3) V , 10.1 <:t < 2 0 .1 m s e l c u a l a lc a n z a e l v a lo r p ic o de 9 V m u c h o m ás rá p id o q u e e l p u ls o a n te rio r. Caso III: Falta de tiempo para cargarse totalmente pero tiempo suficiente para descargarse por completo ¿ Q ué pasa s i n o está c la ro que e l tra n s ito rio se d is ip a rá antes de q u e te rm in e e l p u ls o de te n s ió n ? E n re a ü d a d , esta s itu a c ió n se p re s e n ta en e l caso IH . D e la m is m a fo rm a c o m o se e s c rib ió en e l caso I, . Uc( t) = 9 + A e -i m t V [4 1 ] se a p lic a a esta s itu a c ió n , p e ro a h o ra s ó lo en e l in te rv a lo 0 < t < 0 . 1 m s. L a c o n d ic ió n in ic ia l n o h a c a m b ia d o , p o r lo q u e A = —9 V c o m o era antes. S in e m ­ b a rg o aho ra , e xa c ta m e n te antes de que e l p rim e r p u ls o te rm in e en t = 0.1 m s , se p u e de v e r q u e vc = 0 .8 5 6 5 V . E s to se e n c u e n tra m u y le jo s d e l m á x im o p o s ib le de 9 V s i se le p ro p o rc io n a a l c a p a c ito r s u fic ie n te tie m p o p a ra carga rse to ta l­ m e n te y es u n re s u lta d o d ire c to s i la d u ra c ió n d e l p u ls o es de u n d é c im o de la co n s ta n te de tie m p o d e l c irc u ito . E l c a p a c ito r c o m ie n z a a h o ra a descargarse, de ta l fo r m a que vc (t) = Se ha V, d e te rm in a d o ya que 0.1 < t < 10.1 m s u c ( 0 .1 _ m s) = 0 .8 5 6 5 V , [4 2 ] por lo que vc ( 0 . 1+ m s ) = 0 .8 5 6 5 V y la s u s titu c ió n en la e c u a c ió n [4 2 ] da c o m o re s u lta d o B — 0 .8 5 6 5 V. Justo antes de que aparezca e l seg un do p u ls o en í = 10.1 m s, la te n s ió n d e l c a p a c ito r h a d is m in u id o a 0 V , p rá c tic a m e n te ; é sta es la c o n d i­ c ió n in ic ia l a l c o m ie n z o d e l se g u n d o p u ls o , p o r lo q u e la e c u a c ió n [4 1 ] p u e de re e s c rib irs e c o m o v c (t) = 9 - 9 e - i ° ° o ( f - i o .ix i ( r 3) V ) p a ra d e s c rib ir la re sp u e sta c o rre sp o n d ie n te . i a i < t < 1 0 2 jjjj. [43] VW A /W ■# CAPÍTULO 8 CIRCUITOS /?¿ Y/?C BÁSICOS Caso IV: Falta de tiempo para cargarse totalmente o aún para descargarse por completo E n e l ú ltim o caso, se c o n s id e ra la s itu a c ió n d o n d e e l a n c h o y e l p e rio d o d e l p u ls o son ta n p eq ue ño s q u e e l c a p a c ito r n o p u e d e n i carga rse n i descargarse to ta lm e n te en u n s o lo p e rio d o . C o n base en la e x p e rie n c ia , se p u e de e s c rib ir vc (t) = 9 - 9 e “ 1000t V , 0 < / < 0.1 m s vc (t) = 0 .8 5 6 5 e -1(XX)(,- lx lo “ 4) V , 0 .1 < t < 0 .2 m s [4 5 ] vc (t) = 9 + Ce~1(mt- 2><10~4) V , 0 .2 < t < 0 .3 m s [4 6 ] vc (t) = D e-m W r - 3xH)-4) v , 0.3 < t < 0.4 m s [ 47 ] [4 4 ] E x a c ta m e n te antes de q u e se p re se n te e l seg u n d o p u ls o en t = 0 . 2 m s, la te n ­ s ió n en e l c a p a c ito r h a d e c a íd o a Vq = 0 .7 7 5 0 V ; s in c o n ta r c o n e l tie m p o s u fi­ c ie n te p a ra d escargarse to ta lm e n te , re tie n e u n a g ra n fra c c ió n de la p o c a e ne rg ía q u e p u d o a lm a c e n a r in ic ia lm e n te . E n e l se g u n d o in te rv a lo de 0 .2 < t < 0 .3 m s, la s u s titu c ió n de v d 0 .2 + ) = t ’c ( 0 .2 - ) = 0 .7 7 5 0 V en la e c u a c ió n [4 6 ] d a c o m o re s u lta d o C = —8 .2 2 5 V . E n s e g u id a , se e v a lú a la e c u a c ió n [4 6 ] en t = 0 .3 m s y se c a lc u la Vc = 1 .5 58 V ju s to a ntes d e l f in a l d e l s e g u n d o p u ls o . A s í, D = 1 .5 58 V y e l c a p a c ito r se c a rg a le n ta m e n te p a ra in c re m e n ta r lo s n iv e le s de te n s ió n en v a rio s p u ls o s . A estas a ltu ra s, s ería de u tilid a d s i se g ra fic a ra n las (c ) (d) ■ F IG U R A 8 . 4 9 Resultados de la simulación en PSpice correspondientes a: (o) caso I; (6) caso II; (c) caso III; ( d) caso IV. SECCIÓN 8.9 PREDICCIÓN DE LA RESPUESTA DE CIRCUITOS CONMUTADOS SECUENCIALMENTE respuestas en d e ta lle , p o r lo q u e a h o ra se m u e s tra n en la fig u ra 8 .4 9 lo s re s u lta ­ dos de la s im u la c ió n en P S p ic e de lo s casos I a IV . O b s e rv a r en la fig u ra 8 .4 9 d, en p a rtic u la r, q u e la p eq ue ña respuesta tra n s ito ria de carg a /d e sca rg a s im ila r en fo rm a a la q u e se m u e s tra en las fig u ra s 8 .4 9 a -c está sob re pu esta a u n a re spu esta de tip o c a rg a de la fo rm a (1 — e~,/x). ¡P o r lo ta n to , e l c a p a c ito r debe e m p le a r a p ro x im a d a m e n te de 3 a 5 con sta nte s de tie m p o d e l c irc u ito p a ra carga rse a su m á x im o v a lo r en s itu a c io n e s d o n d e u n s o lo p e rio d o n o le a lc a n z a p a ra cargarse o d escargarse c o m p le ta m e n te ! L o q u e n o se ha h e c h o to d a v ía es p re d e c ir e l c o m p o rta m ie n to de la re spu esta en t » 5 r , a p esar de q u e se p o d ría e sta r in te re sa d o en h a c e rlo , e sp e c ia lm e n te si n o fu e ra n e c e s a rio c o n s id e ra r u n a se cu e n cia de p u ls o s m u y la rg a , u n o s o lo a la ve z . Se p u e d e o b s e rv a r que la re sp u e sta de la fig u ra 8 .4 9 d tie n e u n v a lo r prome­ dio de 4 .5 0 V a p a rtir de 4 m s en ade lan te . L o a n te rio r es e xa c ta m e n te la m ita d d e l v a lo r q u e se e sp e ra ría s i e l a ncho d e l p u ls o de la fu e n te de te n s ió n p e rm itie ra q u e e l c a p a c ito r se c a rg a ra p o r c o m p le to . E n re a lid a d , en e l la rg o p la z o este v a lo r p ro m e d io p u e d e c a lc u la rs e m u ltip lic a n d o la te n s ió n d e l c a p a c ito r en c d p o r el c o c ie n te e n tre a n c h o d e l p u ls o y e l p e rio d o . P R A C T I C A ______________________________ _ _ _ ___________ 8 .1 4 G r a fic a r iL(t) en e l ra n g o de 0 < t < 6 s p a ra (a) vs(t ) = 3 u ( t ) — 3u(t — 2 ) + 3u(t — 4 ) — 3u(t — 6) H------- ; ( b ) vs(t) = 3u(t) — 3u(t — 2 ) + 3u(t — 2 .1 ) — 3u(t — 4 .1 ) + • • •. Respuesta: (b) Vea la figura 8.50a; (c) vea la figura 8.50b. líl iL (A) k (A) (b) (c) ■ F IG U R A 8 .5 0 (o) Circuito del problema de práctica 8.14. (b) Solución a la parte (o), (c) Solución a la parte (b). - A /W • - \ (* APLICACIÓN PRÁCTICA > L ím ite s d e fr e c u e n c ia e n lo s c irc u ito s in te g r a d o s d ig ita le s L o s m o d e rn o s c irc u ito s in te g ra d o s d ig ita le s , tales c o m o la ló g ic a de a rre g lo p ro g ra m a b le (P A L ) y lo s m ic ro p ro c e s a ­ d ores (fig u ra 8 .5 1), se c o m p o n e n de c irc u ito s tra n s is to rizados in te rco n e cta d o s c o n o c id o s c o m o compuertas. 7 4 0 0 de lo s c irc u ito s in te g ra d o s ló g ic o s T T L , c u a lq u ie r te n s ió n e ntre 2 y 5 V se in te rp re ta rá c o m o u n “ 1” ló g ic o , y to d a te n s ió n e ntre 0 y 0 .8 V se enten de rá c o m o u n “ 0 ” ló ­ g ic o . L a s tensiones entre 0 .8 y 2 V n o co rre sp o n d e n a n in ­ g ú n estado ló g ic o , c o m o se m u e s tra en la fig u ra 8.52. Vvent (V) ii 6 - Lógico ‘1’ Lógico ‘0’ 0 ■ F IG U R A 8 .5 1 Circuito integrado Power de IBM. L a s señales d ig ita le s se re prese ntan de m a n e ra s im b ó ­ lic a m e d ia n te c o m b in a c io n e s de unos y ceros que son da­ tos o in s tru c c io n e s (c o m o “ sum a r” o “ re sta r” ). E lé c tric a ­ m e n te , se re p re s e n ta u n “ 1” ló g ic o p o r m e d io de u n a te n s ió n “ a lta ” , y u n “ 0 ” ló g ic o p o r u n a te n s ió n “ b a ja ” . E n la p rá c tic a , h a y u n in te rv a lo de ten sion es que c o rre sp o n ­ den a cada u n o de d ic h o s v a lo re s; p o r e je m p lo , en la serie 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 tiempo (s) ■ F IG U R A 8 .5 2 Características de carga/descarga de una capacitancia de trayectoria que identifica los rangos de tensión TTL para el "1" lógico y para el "0" lógico. U n p a rá m e tro c la v e de lo s c irc u ito s d ig ita le s es la v e ­ lo c id a d a la q u e es p o s ib le u s a rlo s de m a n e ra e fic a z. E n este s e n tid o , la “ v e lo c id a d ” se re fie re a cu á n rá p id o c a m ­ b ia u n a c o m p u e rta de u n e sta d o ló g ic o a o tr o (y a sea de “ 0 ” ló g ic o a “ 1” ló g ic o o v ic e v e rs a ), y e l re ta rd o re ­ q u e rid o p a ra tra n s m itir la s a lid a de u n a c o m p u e rta a la RESUMEN Y REPASO L a re spu esta de u n c irc u ito c o n fu e n te s q u e se a c tiv a n o d e s a c tiv a n en fo r m a re p e n tin a de u n c irc u ito en e l que h a y c a p a c ito re s e in d u c to re s s ie m p re esta rá c o m p u e s ta p o r d os p arte s: u n a re spu esta natural y u n a re spu esta fo rzada. L a fo rm a de la re spu esta n a tu ra l (d e n o m in a d a ta m b ié n c o m o respuesta transitoria) dep en de s ó lo de lo s v a lo re s de las c o m p o n e n te s y de la fo rm a en q u e se a la m b ra n e n tre e lla s. L a fo rm a de la re spu esta fo rz a d a re fle ja la de la fu n c ió n fo rz a d a . P o r lo ta n to , u n a fu n c ió n fo rz a d a de c d s ie m p re p ro v o c a u n a re spu esta fo rz a d a con sta nte . U n c irc u ito re d u c id o h asta u n a s o la in d u c ta n c ia e q u iv a le n te L y u n a s o la re s is te n c ia e q u iv a le n te R te n d rá u n a re spu esta n a tu ra l d a d a p o r i (i) = I0e~^T, d o n d e r = L /R re p re s e n ta la co n sta n te de tie m p o d e l c irc u ito . e n tra d a de la s ig u ie n te . A p esar de que lo s tra n s is to re s c o n tie n e n c a p a c ita n c ia s “ in c o rp o ra d a s ” que a fe c ta n su v e lo c id a d de c o n m u ta c ió n , son las trayectorias de inter­ conexión las que en v e rd a d lim ita n la v e lo c id a d de lo s c irc u ito s in te g ra d o s d ig ita le s m á s v e lo c e s . Se p u e d e h a c e r u n m o d e lo de la tra y e c to ria de in te rc o n e x ió n e ntre dos c o m p u e rta s ló g ic a s c o n u n c ir c u ito RC s im p le (s i b ie n lo s ta m a ñ o s c a ra c te rís tic o s c o n tin ú a n d e c re c ie n d o en lo s d ise ño s m o d e rn o s , se re q u ie re n m o d e lo s m ás d e ­ ta lla d o s p a ra p re d e c ir c o n e x a c titu d e l d es e m p e ñ o d e l c ir c u ito ) . P o r e je m p lo , c o n s id e ra r u n a tra y e c to ria de 2 0 0 0 / í m de la rg o y 2 ¡ira de ancho . Se p u e d e h a c e r e l m o d e lo de esta tra y e c to ria p o r m e d io de u n c irc u ito in te ­ g ra d o c o m ú n b asad o en s ilic io , en d o n d e la c a p a c ita n c ia sea de 0 .5 p F y la re s is te n c ia c o rre s p o n d a a 100 £2, c o m o se in d ic a en la fig u ra 8 .53. too a O— w v 0.5 pF 'Wi ■ F IG U R A 8 .5 3 Modelo de circuito de una trayectoria de circuito integrado. S u p o n e r q u e la te n s ió n usai re p re s e n ta la te n s ió n de s a lid a de u n a c o m p u e rta q u e c a m b ia de u n e sta do de “ 0 ” ló g ic o a u n e sta do de “ 1” ló g ic o . L a te n s ió n ucnt aparece en la e n tra d a in c lu s o de o tra c o m p u e rta ; adem ás, i n ­ te re s a e l tie m p o q u e ta rd a i>ent e n a lc a n z a r e l m is m o v a lo r q u e i;sai. S u p o n ie n d o que la c a p a c ita n c ia de 0 .5 p F que c a ra c ­ te riz a a la tra y e c to ria de in te rc o n e x ió n está descarg a da a l p r in c ip io [e s to es, ucnt( 0) = 0 ], a l c a lc u la rs e la co n sta n te de tie m p o RC de la tra y e c to ria c o m o r = RC = 5 0 ps, y d e fin ie n d o t = 0 c o m o c u a n d o c a m b ia usai se o b tie n e la e xp re s ió n Uent(0 = Ae~,/r + usai (0 ) D e ja n d o t>ent(0 ) = 0 , se o b s e rva que A = - i > sai (0 ) de m o d o que: Uent(0 = Usal(0) [ l - e~l/t] L u e g o de e x a m in a r esta e cu a c ió n , se p u e d e o b s e rv a r q ue i>ent a lc a n z a rá e l v a lo r i>sai( 0 ) después de ~ 5 r o 2 5 0 ps. S i la te n s ió n usaj c a m b ia o tra ve z antes de q ue fin a lic e este tie m p o tra n s ito rio , e l c a p a c ito r n o te n d rá tie m p o s u fic ie n te p a ra cargarse. E n tale s s itu a cio n e s , uent será m e n o r q u e usaj(0 ). S u p o n ie n d o p o r e je m p lo q ue usai(0 ) es ig u a l a la te n s ió n m ín im a de “ 1” ló g ic o , e sto s ig n ific a que Uent n o c o rre s p o n d e a u n “ 1” ló g ic o . S i usai c a m b ia de m o d o re p e n tin o a 0 V (“ 0 ” ló g ic o ), e l c a p a c ito r e m ­ p ie z a a descargarse de m a n e ra que vent se re d u c e m ás. P o r lo ta n to , a l c o n m u ta r d e m a sia d o rá p id o lo s estados ló g ic o s n o se p u e d e tra n s fe rir la in fo rm a c ió n de u n a c o m p u e rta a o tra. L a m a y o r v e lo c id a d a la que se c a m b ia n lo s estados ló g ic o s es e nton ces ( 5 r ) _1. L o a n te rio r se e xp re sa en té rm in o s de la fre c u e n c ia de o p e ra c ió n m á x im a c o m o fi náx — 1 2 (5 r) = 2 GHz d onde e l fa c to r 2 representa un p e rio d o de carga/descarga. S i se desea o pe ra r e l c irc u ito in te g ra d o a una fre cu e n c ia m ás alta, de m o d o que lo s cá lcu lo s se e fectúen m ás rá p id o , es necesa rio re d u c ir la ca p a cita n cia y /o la re siste ncia de in te rc o n e x ió n . □ U n c irc u ito re d u c id o hasta u n a s o la c a p a c ita n c ia e q u iv a le n te C y u n a sola re s is te n c ia e q u iv a le n te R te n d rá u n a re spu esta n a tu ra l d ad a p o r v(t) = Voe~'/r, d o n d e r = RC es la co n s ta n te de tie m p o d e l c irc u ito . ü L a fu n c ió n de e s c a ló n u n ita r io c o n s titu y e u n a m a n e ra ú til p a ra h a ce r e l m o d e lo d e l c ie rre o la a p e rtu ra de u n in te rru p to r, s ie m p re q ue se te n g a c u id a d o de v ig ila r las c o n d ic io n e s in ic ia le s . □ L a re sp u e sta completa de u n c irc u ito RL o RC e x c ita d o p o r u n a fu e n te de c d te n d rá la fo rm a / ( 0 + ) = / ( o o ) + A y / ( f ) = / ( o o ) + [ / ( 0 + ) — f (oc)\e~!/T, o re spu esta to ta l = v a lo r fin a l + (v a lo r in ic ia l — v a lo r fin a l) e ~ '/r . □ L a re spu esta c o m p le ta de u n c irc u ito RL o RC pue de d e te rm in a rs e ta m b ié n e s c rib ie n d o u n a s o la e c u a c ió n d ife re n c ia l de la c a n tid a d de in te ré s y re s o lv ié n d o la . 302 I--------- W V 9 CAPÍTULO □ 8 CIRCUITOS/?¿ Y/?CBÁSICOS C u a n d o se tra ta c o n c irc u ito s c o n m u ta d o s en se cu e n cia o c irc u ito s co n e cta d o s en fo rm a de o n d a p u ls a n te s , e l p ro b le m a p rim o r d ia l es c o n o c e r s i e l e le m e n to de a lm a c e n a m ie n to de e ne rg ía c u e n ta c o n s u fic ie n te tie m p o p a ra cargarse o descargarse to ta lm e n te , c o m o u n a m e d ic ió n re la c io n a d a c o n la c o n s ta n te de tie m p o d e l c irc u ito . LECTURAS ADICIONALES____________________________________ Una guía que trata sobre técnicas de solución de ecuaciones diferenciales puede encontrarse en: W . E. B oyce y R. C. D iP rim a , Elementary Dijferential Equations and Boundary Valué Problems, 7a. ed., W ile y , N u e va Y o rk , 2002. Una descripción a detalle de los transitorios en circuitos eléctricos puede encon­ trarse en: E . W eber, Linear Transient Analysis Volume 1, W ile y , N u e va Y o rk , 1954. (F uera de p u b lica ció n , sin em bargo, se puede encontrar en las b ib lio te ca s de m uchas universidades.) EJERCICIOS m 8.1 El circuito RL de fuente libre 1. Considerar el circuito R L sim ple que se muestra en la figura 8.54. S i R = 4.7 k f i, L = 1 f i H , e ¿(0) = 2 m A , calcular (a) i en t = 100 ps; (b) i en í = 212.8 ps; (c) vr en 75 ps; (d) v L en 75 ps. I F IG U R A 8 .5 4 2. E l circuito que se muestra en la figura 8.54 consta de una resistencia R = 1 f i y una inductancia L = 2 H . En t = 0, la inductancia almacena 100 mJ de energía. C alcular (a) i en t = 1 s; (b) i en t = 5 s; (c) i e n t = 10 s; ( d ) la energía restante en la inductancia en t = 2 s. 3. Para el circuito R L simple que se muestra en la figura 8.54, se sabe que R es de 100 fi. S i¡( 0 ) = 2 m A e ¿(50 /is) = 7 35.8/ i A , determinar el valor de la inductancia L. 4. En el circuito R L sim ple que se muestra en la figura 8.54, se sabe que L es de 3 m H . Si i (0) = 1.5 A e i (2 s) = 551.8 m A , determinar el valor de la resistencia R. f=0 5. La inductancia de 3 m H en el circuito de la figura 8.54 almacena 1 J de energía en t = 0 y 100 m J en t = 1 ms. C alcular R. 6. E l interruptor del circuito de la figura 8.55 ha estado cerrado desde que los dinosaurios deambulaban sobre la tierra. Si el interruptor se abre en t = 0, determ inar (a) í¿ en el instante después de que cambia el interruptor; (ti) v en el instante posterior al cam bio del interruptor. 7. E l interruptor del circuito de la figura 8.56 es de un solo polo con dos m ovim ientos que se dibujan para indicar que cierra un circuito antes de abrir el otro; a menudo, este tipo de interruptor se conoce como interruptor que “ establece contacto antes de interrum pirlo” . Suponiendo que ha estado en la posición dibujada en la figura du­ rante largo tiempo, determinar el valor de v e i¿ (a) en el instante justo antes de que cambie el interruptor; (ti) en el instante justo d e s p u é s de que cambie el interruptor. 2 £2 ■ FIGURA 8.56 A /W EJERCICIOS • . Después de perm anecer por horas en la configuración indicada, el interruptor del circuito de la figura 8.57 se cierra en t = 0. En / = 5 /zs, calcular: (a) (b ) ¿sw10 íl lk íl 50 íl 1 kíl — VW — t— V W — 1 1.2 H 9 V-— , ' 3a 4mH I !svv F IG U R A 8 .5 7 9. Luego de estar cerrado durante largo tiempo, el interruptor del circuito de la figura 8.58 se abre en t = 0. (a) Determ inar i¿(t) para r > 0. (b ) Evaluar iL. (c) Calcular fl s ü 'l O i ) = 0.5í'l(0). i n — A /W 10. En el caso del circuito que se m uestra en la figura 8.59, (a) escribir la ecuación diferencial que describe la tensión vg en el resistor para t > 0. ( b ) Resolver la ecuación característica. ( c) Calcular vr justo antes de que se abra el interruptor, exactamente después de que se abra el interruptor y en t = 1 s. 8.2 Propiedades de la respuesta exponencial 11. La figura 8.7 muestra una gráfica de i / / o como una función de t. (a) Determinar los valores de t / r para los cuales i //o es 0.1, 0.01 y 0 .0 0 1. (b ) Si se traza una tan­ gente a la curva en el punto donde t¡x = 1, ¿dónde intersecará al eje /? 12. Consultar la respuesta que se muestra en la figura 8.60 y determinar la constante de tiempo del circuito y la corriente inicial que circula por eJ inductor. I F IG U R A 8 .6 0 13. D ibujar la tensión de la resistencia en un circuito RL simple caracterizado por una energía inicial de 15 mJ alm acenada en el inductor de 10 mH, para R = 1 kí2, R = 10 k£2 y R = 100 kQ. Verificar su solución con una simulación PSpice sencilla. 14. Sean R = 1 MÍ2 y L — 3.3 /¿H en el circuito de la figura 8.1. (a) C alcular la constante de tiempo del circuito. (b ) Si el inductor tiene una energía inicial de 43 /iJ en r = 0, determinar i¿ en t = 5 ps. (c) Verificar su solución con una simu­ lación PSpice. 15. Se envía una señal digital a través de un alambre enrollado sin pérdidas que tiene una inductancia de 125.7 /iH . Determ inar el máximo valor perm itido de la re­ sistencia equivalente de Thévenin del equipo de recepción, si los transitorios deben durar menos de 100 ns. I F IG U R A 8 .5 9 304 }--------- W V CAPITULO S CIRCUITOS RL Y RC BÁSICOS 16. El interruptor de la figura 8.61 ha estado abierto por mucho tiempo antes de cerrarse en t = 0. Para el intervalo de tiempo —5 < t < 5 /xs, dibujar: (a) /;,(/); (b) ix (t). lk O i lk£2 8.3 El circuito RC de fuente libre [p f ► 17. En el circuito RC en paralelo de la figura 8.62, C = 1 ¡i¥ y R = 100 M Q repre­ sentan las pérdidas en el dieléctrico del capacitor. El capacitor almacena 1 mJ en t = 0. (a) Determ inar la constante de tiempo del circuito, (b) Calcular i en 20 s. (c) Verificar la solución con una simulación PSpice. M F IG U R A 8 .6 2 18. Suponer que, en el circuito de la figura 8.62, R = 1 Q, C = 2 F e ¿(0) = 10 V. Calcular v en (a) t = 1 s; ib) t = 2 s; (c) t = 5 s; (d ) t = 10 s. 19. Utilizar R = 1 k fi y C = 4 mF en el circuito de la figura 8.61. Si v(0) = 5 V, calcular (a) v en t = 1 ms; (b) i en t = 2 m i; (c) la energía que queda en el capaci­ tor en t = 4 ms. — 20. Se sabe que en el circuito RC que se m uestra en la figura 8.62, C es de 100 pF. (a) Si u(0) = 1.5 V y v(2 ns) = 100 mV, determinar el valor de la resistencia i?. (b ) Verificar la solución con una simulación PSpice. 21. Un receptor estéreo tiene un suministro de potencia que incluye dos grandes capaci­ tores de 50 mF conectados en paralelo. Cuando se interrumpe la alimentación de potencia del receptor, se observa que el LED ámbar que se usa como indicador de “potencia activada” se atenúa poco a poco durante unos cuantos segundos. Como no hay nada interesante en la televisión, decide efectuar un experimento utilizando una cámara de 35 mm con un obturador de velocidad variable y una película barata. Se utilizan cuatro velocidades de disparo: 150 ms, 1 s, 1.5 s y 2.0 s. A medida que aumenta la velocidad del disparador de 150 ms a 1.5 s, la imagen que aparece en la película revelada aumenta en brillo. No se nota ninguna diferencia significativa entre las imágenes tomadas a velocidades de disparador de 1.5 s y 2.0 s, mientras que a una velocidad de 150 ms se observa una imagen con 14% de la intensidad que se obtiene con las más bajas velocidades de cámara. Estimar la resistencia equiva­ lente de Thévenin del circuito conectado al suministro de potencia del receptor, 22. (a) D eterm inar vc(t) para el tiempo t en el circuito de la figura 8.63. (k) ¿En qué tiempo se tiene i'c = 0.1uc(0)? ■ 20 Q 24 Q 23. Una fuente de corriente de 4 A, una resistencia de 20 Q y un capacitor de 5 ¡i¥ están conectados en paralelo. La amplitud de la fuente de corriente disminuye de m anera repentina hasta cero (convirtiéndose en una fuente de corriente de 0 A) en t = 0. ¿En qué tiempo: (a) la tensión del capacitor disminuye hasta la mitad de su valor inicial, y (b) la energía almacenada en el capacitor se reduce hasta la mitad de su valor inicial? EJERCICIOS 24. D eterm inar i>c(t) e ic(t) para el circuito de la figura 8.64 y d ib u ja r ambas curvas sobre el m ism o eje de tiem po para —0.1 < t < 0.1 s. 25. E n el c irc u ito de la figura 8.65, calcular e l v a lo r de la corriente denom inada i y la tensión designada d en t = 0+ , t = 1.5 ms y t = 3.0 ms. 50 0 8.4 Una perspectiva más general 26. E l interruptor de la figura 8.66 se abre en t = 0 después de haber estado cerrado por un tiem po indefinido. Encontrar e ix en (a) t = 0 _ ; (b) t = 0 + ; (c) t = 300 /¿s. r=0 27. Un inductor de 0.2 H está en paralelo con una resistencia de 100 £2. L a corriente en el inductor es de 4 A en t = 0. (a) Determine ¿¿ (í) en t = 0.8 ms. (b) Si se conecta otra resistencia de 100 £2 en paralelo con el inductor en t = 1 ms, calcular i i en t = 2 ms. 28. Un inductor de 20 m H está conectado en paralelo con una resistencia de 1 k £ í. C onsiderar que el v a lo r de la corriente de lazo es de 40 m A en t = 0. (a) ¿En qué tiem po la corriente será de 10 m A ? (b) ¿Qué resistencia en serie debe conmutarse en el c irc u ito en t = 10 /xs, de m odo que la corriente sea de 10 m A en t = 15 /xs? 29. En la red de la figura 8.67, los valores iniciales son i\ (0) = 20 m A e j 2(0) = 15 m A . (a) D eterm inar v(0). ( b) C alcular u(15 ¡xs). (c) ¿En qué tiem po es v(t) = 0 . 1u ( 0)? 40 mH -'T ÍT P ----- 30 mH -O T P ----- 2 kíl 3 kíl -W \r -W \r ■ FIGURA 8.67 A /W - • CAPÍTULOS CIRCUITOS RL Y RC BÁSICOS 30. Elegir valores para Ri y R 2 en el circuito de la figura 8.68, de manera que Dfi(0+) = 10 V y u r(1 ms) = 5 V. 20 mH 31. El interruptor del circuito de la figura 8.69 ha estado abierto por mucho tiempo, antes de cerrarse en t = 0. (a) Determ inar i/,(í) para t > 0. (b) Dibujar vx (t ) para menos —4 < í < 4- 4 ms. + vx _ 32. Si íl (0) = 10 A en el circuito de la figura 8.70, encontrar i ¿ ( t ) para io n t> 0. 33. Observar el circuito de la figura 8.71 y determinar i\ en t = —0.1, 0.03 y 0.1 s. Elaborar un dibujo de i\ en función de t, —0.1 < t < 1 s. ■20 n 0.5 H t=0 1— — VW—I----- WV—T--------- 1 4n sn > 40 n i 8H < 48 n FIGURA 8.70 64 V 1= r 1 I FIGURA 8.71 34. Un circuito está compuesto por un inductor de 0.5 H, una resistencia de 10 fi y una resistencia de 40 fi en serie. La corriente en el inductor es de 4 A en t = 0 . (a) Calcular ¡'¿(15 ms). (b) L a resistencia de 40 fi está en cortocircuito en r = 15 ms. Calcular i¿ (30 ms). 35. El circuito de la figura 8.72 contiene dos inductores en paralelo, lo que permite que circule una corriente atrapada en tom o al lazo inductivo. Sean í\ (0_ ) = 10 A e ¿2(0 ) = 20 A. (a) C alcular ¿i(0+), ¿2(0+) y ¿(0+). (b) Determ inar la constante de tiempo r para i(t). (c) Proporcionar i(t), t > 0. ( d ) Obtener v (t). ( e) Determinar t"1(í) e ¿2(0 a partir de v(t) y los valores iniciales. ( / ) D em ostrar que la energía alm acenada en t = 0 es igual a la suma de la energía disipada en la red resistiva entre t = 0 y t = 00, más la energía almacenada en los inductores en t = 00. i — vw — 40 n > 200 n <> 60 n * mFIGURA 8.72 + t S0.1H v% J s EJERCICIOS 36. E l circuito de la figura 8.73 ha estado en la form a que se indica desde ayer al m ediodía. E l inte rrup to r se abre exactamente a las 10:00 a.m. D eterm inar i i y vc a las (a) 9:59 a.m.; ( b) 10:05 a.m. (c) C alcular z'i(f) en ? = 1 . 2 t . (d) V erifica r la solución con PSpice. 37. Luego de estar p or m ucho tiem po en la configuración que se señala, el interruptor de la figura 8.74 se abre en ? = 0. C alcular los valores para (a) is (0 “ ); (b) ix(0 _ ); (c) ix (0+ ); (d) ij( 0 + ); (e) *,(0 .4 s). 38. Luego de permanecer cerrado p or m ucho tiem po, el inte rrup to r de la figura 8.75 se abre en t = 0. (a) E ncontrar i¡c ( t) para t > 0. (b) C alcular ia (—100 ¡is) e i a (100 /zs). (c) V erificar su solución con PSpice. f=0 39. M uchas lunas después de que el circuito de la figura 8.76 se ensambló p or prim era vez, su inte rrup to r se cierra en t = 0. (a) Obtener ¡i (?) para ? < 0. (b) Encontrar /](? ) para? > 0. r=0 ■ FIGURA 8.76 #■ AA/V AAAa ■# CAPÍTULO 8 CIRCUITOSRL YRC BÁSICOS 40. Mucho tiempo después de que se ensambló el circuito de la figura 8.77, ambos in­ terruptores se abren de forma simultánea en t = 0, como se indica, (a) Obtener la expresión de usai correspondiente a t > 0. (b) Calcular los valores de usai en t = 0+, 1 /zs y 5 fis. & 41. (a) Suponer que el circuito de la figura 8.78 ha estado en la forma que aparece du­ rante bastante tiempo. Determ inar vc(t) para cualquier t luego de que se abre el in­ terruptor. (b) Calcular vc(t) en í = 3 /is. (c) Verificar su solución con PSpice. 42. Determ inar los valores de Rn y R] en el circuito de la figura 8.79, de modo que vc = 50 V en t = 0.5 ms y vc = 25 V en í = 2 ms. 43. Para el circuito de la figura 8.80 determinar vc 0) para (a) t < 0; (b) t > 0. lk íí ■ FIGURA 8.80 EJERCICIOS 44. Proporcionar el valor de i [ (?) para t < 0 y t > 0 en el circuito de la figura 8.81. 45. til interruptor de la figura 8.82 se mueve de A a B en t = 0 después de estar en A por m ucho tiempo. Esto coloca a los dos capacitores en serie, lo cual perm ite que en los capacitores queden atrapadas tensiones de cd iguales y opuestas, (a) Deter­ minar vi (O- ) i»2(O- ) y (b) Calcular v¡ (0+ ), i>2(0+ ) y i;«(0+ ). (c) O btener la constante de tiempo de vg(t). (d) Proporcionar v r (í ), t > 0. (e) Determ inar i(t). ( / ) Encontrar v¡ (/) y (?) ) a partir de i(t) y los valores ini­ ciales. (g) Demostrar que la energía almacenada en / = oo más la energía total disipada en la resistencia de 20 k fi es igual a la energía almacenada en los capaci­ tores en t = 0. 46. El valor de is en el circuito de la figura 8.83 es 1 m A para t < 0, y cero para t > 0. Determ inar vx (t) para (a) t < 0; (b) t > 0. ■ F IG U R A 8 .8 3 47. El valor de vs en el circuito de la figura 8.84 es 20 V para t < 0, y cero para t > 0. Calcular ix (t) para (a) t < 0; (b) t > 0. 48. El interruptor en la figura 8.85 ha estado cerrado por varias horas, quizá demasiadas. El fusible es un tipo especial de resistencia que se sobrecalienta y funde si la corriente que circula por ella excede 1 A por más de 100 ms (también existen otros tipos de fusibles). L a resistencia del fusible es de 3 m fi. Si se abre el interruptor en t = 0, ¿se fundirá? Verificar su respuesta con PSpice. ■ FIGURA 8.85 A /W 309 -A/VV -• CAPÍTULO 8 CIRCUITOS /?¿ Y /?CBÁSICOS 8.5La función escalón unitario 49. U tiliz a n d o las funciones escalón unitario, generar una expresión que describa la form a de onda que se muestra en la figu ra 8. 86. 50. M ediante las funciones escalón u nitario generar una expresión que describa la form a de onda que se muestra en la figu ra 8.87. ■t(s) I FIGURA 8.86 51. Dada la fun ción f{t) = 6u(—t) + 6u(t + 1) — 3 u(t + 2 ), evaluar f (t) en t = (a) - 1 ; (b) 0 “ ; (c) 0 + ; ( d ) 1.5; (e) 3. 52. Dada la fun ción g(t) = 9 u(t) —6u(t + 10) + 3u(t + 12), evaluar g(t) en r = ( a ) - l ; ( ¿ ) 0 + ; ( c ) 5 ; ( r f ) l l ; ( e ) 30. 53. Los valores de fuente del c irc u ito de la figura 8.88 son va = 300w(í — 1) V, vb = —120u(t + 1) V e ¡c = 3w (—t) A . D eterm inar;'! en t = —1.5, —0.5, 0.5, y 1.5 s. i(t) A 4 - 2 3 t (s) I F IG U R A 8 .8 7 54. Los valores de fuente de la figura 8.88 son vA = 600fw (í + 1) V, vb = 600 (t + 1)u(t) y t ic = 6 (í — 1)u(t —1) A . (a) P roporcionar ¿i en t = —1.5, —0.5, 0.5 y 1.5 s. (b) D ib u ja r i\ en fun ción de íp a ra —2.5 < t< 2.5 s. 55. En t = 2, obtener el valo r de (a) 2u(\ —í) —3u(t — 1) — 4 u(t + 1); (b) [5 - u(t)][2 + u(3 - f ) ] [ l - u( 1 - í ) ] ; (c) 4e_ “ (3_í)«(3 - t). 56. Obtener ix para t < 0 y f > 0 e n e l c irc u ito de la figura 8.89 si la ram a desconocida contiene: (a) un inte rrup to r norm almente abierto que se cierra en t = 0 , en serie con una batería de 60 V, referencia + en la parte superior; (b) una fuente de tensión, 60 u(t) V, referencia + en la parte superior. 20 a -------V W - II 100 V •30 a © 10 A í F IG U R A 8 .8 9 57. D eterm inar ix en el c ircu ito de la figura 8.90 en intervalos desde t = —0.5 s hasta t = 3.5 s. t =2 s ■ FIGURA 8.90 EJERCICIOS • - ---------- VW 58. El interruptor de la figura 8.91 está en la posición A para 0. En / = 0 se mueve hacia B, y luego hacia C en t = 4 s y hacia D en t = 6 s, donde permanece. Graficar v(t) como una función del tiempo y expresarla como una suma de fun­ ciones forzadas de escalón. 8V ■ F IG U R A 8 .9 1 t =0 59. U na forma de onda de tensión que aparece en un elemento desconocido tiene como expresión lu(t) — 0.2 u(t) + 8 u(t — 2) + 3 V. (a) Determinar la tensión en t = 1 s. Ob) Si la corriente correspondiente a través del elemento es 3.5u (t) — 0.1w(í) + 4 u (t — 2) + 1.5 A, ¿qué tipo de elemento es y cuál es su valor? 3H 8.6 - Accionamiento de circuitos RL 60. En el circuito de la figura 8.92, (a) encontrar una expresión para v g (t) válida para todo tiempo; (b) calcular vg en t = 2 ms; (c) verificar la respuesta de la parte ( b) utilizando PSpice. 61. Observar el circuito de la figura 8.93 y (a) determinar ¿ l(í); (b) utilizar la expre­ sión de iL (t) con el fin de calcular v¿(t). 5D 2u(t) mA ) -W v — + < * 3 kQ 2u{t) A 2H vi S 15 mH © 10 V I F IG U R A 8 .9 4 I F IG U R A 8 .9 3 62. Encontrar en el circuito de la figura 8.94 en t igual a (a) —0.5 s; ib) 0.5 s; (£) 1.5 s. 63. De acuerdo con el circuito que se presenta en la figura 8.95, obtener la expresión algebraica del mismo y también graficarla: (a) (í); (b) «i (f). 12 kfí 4 mH 50u(t) V ( _ ) 11 kfí < 100«(f) v i : I F IG U R A 8 .9 5 ■ F IG U R A 8 .9 6 64. Consultar el circuito de la figura 8.96 y (a) calcular la potencia absorbida por la resistencia de 2 k£2 en t = 1 ms; ( b ) determinar el valor de i (t) en 3 /xs; (c) pro­ porcionar la corriente máxima a través de la resistencia de 12 kQ. (d) Confirmar sus respuestas con PSpice. 30 mH 2 10 mH 3 tt --------------- -o4.5u(t) V — 4.5 V S F IG U R A 8 .9 7 VW -------------------------------• CAPÍTULO 8 CIRCUITOS RL Y RC BÁSICOS 8.7 Respuestas natural y forzada 5 íl -AAAr io n \i(r) . 30 /xh L- 65. En el circuito que se m uestra en la figura 8.97, (a) encontrar una expresión válida para i(t) en todo tiempo; ib) calcular i(t) en t = 1.5 /¿s; (c) verificar el resultado con una simulación PSpice. ! B - 66. En el circuito RL de la figura 8.98, (o) encontrar la expresión de vr U) válida para todo tiempo; (b ) calcular vR(t) en t = 2 ms; (c) verificar el resultado con una simulación PSpice. 67. Con referencia al circuito de la figura 8.99, calcular V] ( t ) en í = 27 /us. 5 mH -n rm ' F IG U R A 8 .9 8 •100 11 y i 12 V . I F IG U R A 8 .9 9 68. El interruptor de la figura 8.100 ha estado cerrado por largo tiempo, (a) Obtener íl para t < 0. (ti) Calcular íl (t) para cualquier t luego de que se abre el interruptor en t = 0. t= 0 1 íí -VNA/— I 4n - A /W — | k 30 V 10 V | 0.5 H K F IG U R A 8 .1 0 0 69. El interruptor de la figura 8.101 ha estado abierto durante largo tiempo. (o) Obtener íl para t < 0. (b) D e te r m in a r ( í) para cualquier t después de que se cierra el interruptor en t = 0. 70. Para el circuito que se muestra en la figura 8.102, obtener los valores de Íl y v¡ en t igual a (o) 0_ ; (b) 0+ ; (c) oo; (d) 0.2 ms. 2u(t) A © ■ FIGURA 8.102 50 mH •íoon ^íoon EJERCICIOS • -------------------------------W \ — { 313 71. L a ecuación [33] de la sección 8.7 representa la solución general del circuito R L accionado en serie, donde Q es una función de tiempo en general, y A y P son constantes. Sean R = 125 £2 y L = 5 H, encontrar i (t ) para t M 0 si la función de tensión forzada L Q { t ) es (a) 10 V; (b) 10u ( t ) V; (c) 10 + 10u ( t ) V; (d) 10u(t) eos 50 1 V. 72. El interruptor de la figura 8.103 permaneció cerrado durante u n tiempo prolongado, (a) Proporcionar iL para t < 0. (b) Justo después de abrir el interruptor, encontrar i L ( 0+ ). (c) Determ inar ¿r,(oc). (d) Obtener la expresión de /¿ (í) relativa a t > 0. 20 Q. 73. Calcular iL para cualquier t en el circuito de la figura 8.104. 74. Suponer que el interruptor de la figura 8.105 ha estado cerrado por mucho tiempo y que se abre después en / = 0. Proporcionar ix en l igual a (a) 0 _ ; (b) 0+ ; (c) 40 ms. 0.2 H 75. Suponer que el interruptor de la figura 8.105 permaneció abierto por mucho tiempo y que se cierra después en t = 0. Determ inar ix en t igual a (a) 0 “ ; (b) 0+ ; (c) 40 ms. 76. Obtener vx (t) para cualquier t en el circuito de la figura 8.106. 77. De acuerdo con el circuito que se presenta en la figura 8.107, calcular (a) Cb) ¿ || ) . ■ FIGURA 8.107 I F IG U R A 8 .1 0 6 AAA a- 314 - • CAPITULO 8 CIRCUITOS RL Y RC BASICOS 78. Encontrar la expresión de v(t ) en el circuito de la figura 8.108 que sea válida para todo tiempo. 300 mil A/W— 79. Encontrar la expresión de v(t) en el circuito de la figura 8.109 que sea válida para cualquier tiempo. 2e u(t) A 300 m il V A — F IG U R A 8 .1 0 8 2 eos 4 1uij) A ■ F IG U R A 8 .1 0 9 8.8 Accionamiento de circuitos RC - 80. (a) Proporcionar vc del circuito de la figura 8.110 en í = —2 fis y t = +2 ¡j,s. (b) Verificar su solución con PSpice. 3V — I 6u(t) mA F IG U R A 8 .1 1 0 100 í l 81. Con referencia al circuito RC de la figura 8.111, encontrar la expresión de vc(t) que sea válida para cualquier tiempo. 82. Después de perm anecer cerrado por largo tiempo, el interruptor de la figura 8.112 se abre en t = 0. Calcular iA para cualquier tiempo. 1 k íl 10 íl 83. Luego de estar abierto por mucho tiempo, el interruptor de la figura 8.112 se cierra en t = 0. Determ inar iA para cualquier tiempo. 0.1 F 84. El interruptor del circuito de la figura 8.113 ha estado abierto por mucho tiempo. Se cierra de form a repentina en t = 0. Encontrar ¿ent igual a: {a) —1.5 s; (b) 1.5 s. — W v --------1(— ío v . fl FIGURA 8.113 1 kíl ■1 0 Í1 í=0 85. Sea vs = —12u(—t) + 24 u(t) V en el circuito de la figura 8.114. Sobre el intervalo de tiempo —5 ms < t < 5 ms, encontrar la expresión algebraica de: (a) vc(t)', {b) ¿ent (0- Graficarlas. /em 10 k íl F -^ -W v —i + 1 I +J 20 kíl < E> FIGURA 8.114 ^ 300 nF - EJERCICIOS 86. C alcular vc para t > 0 en el c irc u ito de la figura 8.115. í=0 87. Obtener el valo r de vc(0 en í = 0.4 y 0.8 s para el circuito de la figura 8.116. ! = 0.5 s [, ^ 88. En e l c irc u ito de la figura 8.117: (a) determ inar vc (í) para todo tiem po, y (b) graficar i !c (t) para —1 < t < 2 s. V e rifica r su solución con PSpice. 10 k íl S9. En e l c irc u ito de la figura 8.118, determ inar vg(t) para (a) t < 0; (b) 1 > 0. Suponer luego que el inte rrup to r ha estado cerrado durante largo tiem po y que se abre en t = 0. C alcular vR(t) para (c) t < 0; (<¿) t > 0. 90. E l inte rrup to r de la figura 8.119 se ha m antenido en A durante largo tiem po. Se mueve hacia B en t = 0 y regresa hacia A en t = 1 ms. C alcular R\ y de m odo que u c ( l ms) = 8 V y i’c (2 ms) = 1 V. ■ FIGURA 8.119 * W V (g) 316 -A/W -• CAPITULO 8 CIRCUITOS RL Y RC BÁSICOS 91. E ncontrar el prim e r instante de tiem po luego de t = 0, para el cual vx = 0 en el c irc u ito de la figura 8. 120. ioo n 92. En el circu ito de la figura 8.121, un interruptor se abre en t = 0, en tanto que el o tro inte rrup to r se cierra en form a simultánea. G raficar la potencia absorbida por la resistencia de 1 kQ en el inte rvalo — 1 ms < t < 7 ms. E n t = 0, la fuente de 1 m A tam bién se desactiva. t= 1 7 mA I J 900 n > 3 / iF = = t= 0 i k a <> 0 1 m A ^ IF IG U R A 8 .1 2 1 93. Si el interruptor en la figura 8.122 ha estado cerrado p or varios días, (a) determ inar u en t —5.45 ms; (b) calcular la potencia disipada por la resistencia de 4.7 kQ en t = 1.7 m s; (c) obtener la energía tota l que a la larga la resistencia de 4.7 k Q con­ vertirá en calor, luego de que se abra e l interruptor. 94. Suponer que el amp op que se presenta en la figura 8.123 es ideal y calcular vz (t) para cualquier í. & 95. Suponga que el amp op que se muestra en la figura 8.124 es ideal y (a) encontrar v0(t) para todo t. (b) V e rifica r la solución con PSpice. Sugerencia: se pueden gralica r funciones con Probe ingresando la expresión en la caja J ’ra c c E xpression. ■ FIGURA 8.124 EJERCICIOS • - — W V 317 96. (a) Obtener ¡'¿(0) para el c irc u ito RL de la figura 8.125; (b) con PSpice y el valor in ic ia l que encontró en el inciso a, determ inar ¡¿ en t = 50 ms. 5 fí 01 0^97. 1 k fí (a) Suponer que el amp op que se muestra en la figura 8.126 es ideal y que uc (0) = 0. E ncontrar i >0(t) para cualquier t. ( b ) V erifica r su solución con PSpice. Sugerencia; se pueden graficar las funciones en Probe incorporando la expresión dentro de la caja T ra c e E xpression. ® © 98. D iseñar un circu ito que perm ita que la lu z de una habitación permanezca encen­ dida por 5 segundos después de que se desactivó el interruptor. Considerar un foco eléctrico de 40 W y un sum inistro de 115 V ca. »■ a«= 4e~20<mt u(t) V I F IG U R A 8 .1 2 6 U n detector de m ovim iento instalado com o parte de un sistema de seguridad parece ser m uy sensible a las fluctuaciones de potencia eléctrica. Se va a insertar un c ir­ cuito de retardo entre el sensor y el circuito de alarma, de m odo que se m inim icen los disparos falsos. B ajo el supuesto de que el equivalente de Thévenin del sensor de m ovim iento sea una resistencia de 2.37 k f i en serie con una fuente de 1.5 V y que la resistencia equivalente de Thévenin del circuito de alarma sea de 1 M f i, diseñar un circuito y que pueda insertarse entre el sensor y el circuito que requiera una señal del sensor que dure p or lo menos 1 segundo com pleto. E l m ovim iento del circuito sensor/alarma trabaja del modo siguiente; el sensor sum inistra de manera continua una corriente pequeña al circuito de alarma, a menos que se detecte m ovim iento, en cuyo caso se interrum pe la corriente. 8.9 Predicción de la respuesta de circuitos conmutados secuencialmente (a) C onstruir una form a de onda pulsada en PSpice para m odelar la form a de onda de tensión Vg del ejercicio 53 y graficarla u tilizan do Probe. ( Sugerencia : conectar la fuente a una resistencia para lleva ra cabo la simulación), (b) C onstruir la form a de onda pulsada en PSpice para m odelar la form a de onda de la corriente ic del ejercicio 53 y graficarla p or m edio de Probe. - 101. (a) B osquejar la tensión vg de la resistencia del circuito de la figura 8.127 com o respuesta a una form a de onda pulsada Vs(t). E l valo r m ínim o de vs(t) es 0 V, su m áxim o es de 3 V. el ancho del pulso es de 2 s y el periodo es de 5 s. L im ita r el bosquejo a 0 < t < 20 s. (b) V erifica r el bosquejo realizando la sim ulación apropiada con PSpice. 100. 0 0 - 102. (a) G raficar la corriente i del inductor del circuito de la figura 8.128 como respuesta a una form a pulsada Vs(t). E l valor m ínim o de v$(t) es 0 V, su m áxim o es 5 V, el ancho del pulso es de 5 s y el periodo es de 5.5 s. L im ita r el bosquejo a 0 < t < 20 s. (b) Verificar el bosquejo realizando la simulación apropiada con PSpice. 103. L a fuente de tensión vs de la figura 8.129 es una fuente pulsada que tiene un valor m ínim o de 2 V, un valor m áxim o de 10 V y un ancho de pulso de 4 RC. D ib u ja r la tensión del capacitor si el tiem po entre pulsos de vs es (a) 0.1 RC; (b) RC; (c) 10 RC. a FIGURA 8.129 1H A /W • CAPITULO 8 CIRCUITOS RL Y RC BÁSICOS 104. Con referencia al circuito de la figura 8.130, dibujar i¿ (í) en un periodo de 0 < t < t4 si i(t) es como se muestra en la figura 8.131. 4 ns ( b) t\ = 150 ns ; 2 = 160 ns t 2 = 300 ns f3 = 164 ns = 450 ns (a) ti = ?4 = 200 ns U = 500 ns 10 kíl m 10 mA h ■ F IG U R A 8 .1 3 1 h (c) = 150 ns ¡2 = Í3 = 200 ns 350 ns = 400 ns C LAV E INTRODUCCION E l a n á lisis de lo s c a p ítu lo s a n te rio re s se e n fo c ó e x c lu s iv a m e n te en c irc u ito s re s is tiv o s y a sea con ca p a cito re s o c o n in d u c to re s , p e ro n o c o n am bos. L a p re se n cia de in d u c ta n c ia y c a p a c ita n c ia en e l m is m o c irc u ito p ro d u c e a l m e no s u n sistema de segundo orden, que está c o n s titu id o p o r u n a e cu a c ió n d ife re n c ia l q u e in c lu y e u n a de­ riv a d a de segundo o rde n , o dos e cuaciones d ife re n c ia le s lin e a le s de p rim e r o rde n . E ste a u m e n to d e o rd e n h a c e n ecesa rio e v a lu a r dos constantes a rb itra ria s . A d e m á s , se re q u e rirá d e te rm in a r c o n d ic io n e s in ic ia le s de las d erivadas. Se v e rá que tales c irc u ito s , d e n o m in a d o s a m e n u d o c o m o c irc u ito s RLC n o s ó lo aparecen c o n m u ch a fre cu e n c ia en la p rá c tic a , s in o que ta m b ié n re s u lta n m o d e lo s bastante buenos p a ra o tro s tip o s de sistem as. P o r e je m p lo , se e m p le a u n c irc u ito RLC Frecuencia de resonancia y factor de amortiguamiento de circuitos RLCen serie y en paralelo. i----------------------------------------Respuesta sobreamortiguada. ----------------------------Respuesta críticamente amortiguada. i----------------------------------------Respuesta subamortiguada. i---------------------------Respuesta completa (natural + forzada) de circuitos RLC c o m o m o d e lo p ara e l sistem a de suspensión de u n a u to m ó v il, ---------------------------- e l c o m p o rta m ie n to de u n c o n tro la d o r d e te m p e ra tu ra u tiliz a d o en e l Representación de ecuaciones diferenciales mediante circuitos con amp ops. c re c im ie n to de cristale s s e m ico n d u cto re s e in c lu s o p ara la respuesta de u n a v ió n a lo s c o n tro le s d e l tim ó n de a ltitu d y e l ale ró n. 9.1 t CIRCUITO EN PARALELO SIN FUENTE L a p rim e ra tarea co n s is te en d e te rm in a r la re spu esta n a tu ra l, que ta m b ié n e n este caso se lle v a a cab o d e u n m o d o m ás c o n v e n ie n te al c o n s id e ra r e l c irc u ito s in fu e n te . L u e g o se p o d ría n in c lu ir fu e n te s de cd, in te rru p to re s o fu e n te s de e s c a ló n en e l c irc u ito q u e de n u e v o re p re s e n te n la re spu esta to ta l c o m o la su m a de la re spu esta n a tu ra l y la re spu esta fo rza d a . Se c o m e n z a rá c o n e l c á lc u lo d e la respuesta n a tu ra l de u n c ir ­ c u ito s im p le q u e se fo rm a a l conectará?, L y C en p a ra le lo . E s ta c o m ­ b in a c ió n p a rtic u la r de e le m e n to s id e a le s g e n e ra u n m o d e lo ade­ c ua do p a ra secciones d e m u ch a s redes de c o m u n ic a c ió n ; representa, p o r e je m p lo , u n a p a rte im p o rta n te de a lg u n o s a m p lific a d o re s e le c ­ tró n ic o s q u e se e n c u e n tra n e n c u a lq u ie r re c e p to r de ra d io , la c u a l 320 ;--------- W V -• V Reí. ■ F IG U R A 9 .1 Circuito RLCen paralelo sin fuente. CAPÍTULO 9 CIRCUITO RLC p e rm ite que lo s a m p lific a d o re s p ro d u z c a n u n a g ra n a m p lific a c ió n de te n s ió n so­ b re u n a b a n d a e stre cha de fre c u e n c ia s de señales c o n u n a a m p lific a c ió n c a s i n u la fu e ra de esta ban da . L a s e le c tiv id a d de fre c u e n c ia de este tip o p e rm ite escu ch ar la tra n s m is ió n de u n a esta ció n , al m is m o tie m p o que se re ch a za la tra n s m is ió n de c u a lq u ie r otra. O tra s a p lic a c io n e s in c lu y e n e l u so de c irc u ito s RLC en p a ra le lo en e l m u ltip le x a je y en lo s filtr o s de s u p re sió n de a rm ó n ica s. S in e m b a rg o , in c lu s o u n a n á lisis s im p le de estos p rin c ip io s re q u ie re u n a c o m p re n s ió n de té rm in o s c o m o resonancia, respuesta en frecuencia e impedancia, que aún n o se h a n e x p li­ cado. S in e m b a rg o , basta d e c ir que la c o m p re n s ió n d e l c o m p o rta m ie n to n a tu ra l de lo s c irc u ito s RLC en p a ra le lo re s u lta d e m a sia d o im p o rta n te p a ra e stu d io s fu ­ tu ro s de redes de c o m u n ic a c io n e s y p a ra d ise ño de filtro s , a sí c o m o p a ra m u ch as otras a p lic a c io n e s. C u a n d o u n c a p a c ito r físico se c o n e c ta en p a ra le lo c o n u n in d u c to r y e l cap a ­ c ito r tie n e a so c ia d a u n a re s is te n c ia fin ita , se d e m u e stra q u e la re d re s u lta n te tie ­ ne u n m o d e lo de c irc u ito e q u iv a le n te c o m o e l de la fig u ra 9 .1 . L a p re s e n c ia de esta re s is te n c ia se u sa p a ra s im u la r las p é rd id a s de e n e rg ía e n e l c a p a c ito r; ade­ m ás, to d o s lo s ca p a c ito re s reales se d e scarg a rán a la la rg a , in c lu s o s i se desco­ n e c ta n de u n c irc u ito . L a s p é rd id a s de e n e rg ía en e l in d u c to r fís ic o ta m b ié n se to m a n en c u e n ta m e d ia n te la a d ic ió n de u n a re s is te n c ia id e a l (e n serie con el in ­ d u c to r id e a l). S in e m b a rg o , p o r s im p lic id a d se re s trin g e e l a n á lis is a l caso de u n in d u c to r id e a l en p a ra le lo c o n u n c a p a c ito r “ c o n fu g a s ” . Deducción de la ecuación diferencial de un circuito RLC en paralelo E n e l s ig u ie n te a n á lis is se s u p o n d rá que, in ic ia lm e n te , se p o d ría a lm a c e n a r la e ne rg ía en e l in d u c to r y en e l c a p a c ito r; en o tras p ala bra s, se p re s e n ta ría n v a lo ­ res in ic ia le s d is tin to s de c e ro ta n to de la c o rrie n te d e l in d u c to r c o m o de la te n ­ s ió n d e l c a p a c ito r. C o n base en la fig u ra 9.1 c o m o re fe re n c ia , se e s c rib iría la e cu a c ió n n o d a l s im p le v 1 f . dv — + — I v d t — /(ío ) + C — = 0 R L L dt [1] Se p u e d e o b s e rv a r q u e e l s ig n o m e n o s es c o n s e c u e n c ia de la d ire c c ió n supuesta de i. Se debe re s o lv e r la e c u a c ió n [1 ] s u je ta a las c o n d ic io n e s in ic ia le s i ( 0+ ) = I q [ 2] v ( 0 + ) = Vo [3 ] y C uando ambos lados de la ecuación [1 ] se d ife re ncian una v e z c o n respecto a l tiem po, e l resultado consiste en u na ecuación d ife re n c ia l lin e a l hom ogénea de segundo orden „ d2v 1 dv 1 C — - H----------------------------------------------------------------- h —v = 0 [4 ] dt2 R d t L c u y a s o lu c ió n v(t) es la re spu esta n a tu ra l deseada. Solución de la ecuación diferencial H a y varias fo rm a s interesantes de re s o lv e r la e cuación [4 ], L a m a y o ría de tales m étodos se dejarán p ara u n curso de ecuaciones d ife re nciale s, así que se e lig e sólo e l m é to d o m ás rá p id o y s im p le p ara a p lic a rlo ahora. Se supondrá una s o lu ció n , c o n ­ fia n d o en la in tu ic ió n y m o de sta e xp e rie n cia p ara s o lu cio n a r u n a de las varias fo r­ m as p osible s que re su lta n adecuadas. L a e xp e rie n cia que se tie n e co n las ecuaciones SECCIÓN 9.1 CIRCUITO EN PARALELO SIN FUENTE de p rim e r o rd e n quizás sugiera que a l m enos se deba p ro b a r una v e z m ás la fo rm a e xp on en cial. A s í, se supondrá que i >= Aest [5 ] que es ia fo rm a más g eneral p o s ib le y que p e rm ite que Ay s sean núm eros com p lejo s, en caso de ser necesario. A l s u s titu ir la ecuación [5 ] en la e cuación [4 ] se obtien e CAs2est + — Asest + — Aest = 0 R L Aest ( C s 2 + i j + £ ) - 0 P ara que se s a tis fa g a esta e c u a c ió n to d o e l tie m p o , al m e no s u n o de lo s tres fa c to re s d eb e ser c e ro . S i c u a lq u ie ra de lo s p rim e ro s dos fa c to re s se ig u a la a c ero, e nton ces v(t ) = 0 . É s ta es u n a s o lu c ió n t r iv ia l de la e c u a c ió n d ife re n c ia l q u e n o p u e d e s a tis fa c e r las c o n d ic io n e s in ic ia le s dadas. P o r lo ta n to , se ig u a la a cero e l fa c to r re sta nte : Cs2 + —s + — = 0 K L [ 6] L o s m a te m á tic o s sue len d e n o m in a r a esta e xp re sió n ecuación auxiliar o ecuación característica, te m a que se e x p lic a en la se cció n 8.1. S i es p o s ib le s a tis fa c e rla , e n ­ tonces es c o rre c ta la s o lu c ió n supuesta. P uesto que la e cu a c ió n [ 6] es cu a d rá tica , h a y dos s o lu cio n e s id e n tific a d a s c o m o ,S'i y s2: Sl - ~ 2R C + V í l f i c ) _ Te [7 ] * = 181 S i cualquiera de estos dos v a lo re s se usa p a ra s en la s o lu c ió n supuesta, entonces la s o lu c ió n satisfa ce la e c u a c ió n d ife re n c ia l dada; de ta l m o d o ésta se c o n v ie rte en u n a s o lu c ió n v á lid a de la e c u a c ió n d ife re n c ia l. S u p o n g a q ue se s u s titu y e s p o r S\ en la e cu a c ió n [5 ], c o n lo c u a l se o b tie n e vi = A1eSl‘ y, de m a n e ra s im ila r, v2 = A2eS2t L a p rim e ra s a tis fa c e la e c u a c ió n d ife re n c ia l d2v i 1 dv i 1 C - dT t2 Y + R - B dt - r +L T vi = ° y la ú ltim a sa tisfa ce d2v2 dt2 c ~ rr + 1 dv2 R dt 1 + t v2 L = 0 S i se sum an estas dos ecuaciones d ife re n c ia le s y se c o m b in a n té rm in o s s e m e ja n te s ,. se o b tie n e d2( v i+ v 2) , ld { v i + v2) 1 . C --------— ---------- --------------- ------------ h - ( u i + u2) = 0 0 dt 2 R dt L * 0 CAPITULO 9 CIRCUITO RLC P re v a le ce la lin e a lid a d y se o b s e rva q u e la suma de am bas s o lu cio n e s ta m b ié n es u n a s o lu c ió n . D e este m o d o , la fo rm a g e n e ra l de la re spu esta n a tu ra l es v(t) = A¡eSít + h e Slt [9 ] d o n d e s i y S2 están dadas p o r las e cuaciones [7 ] y [ 8]; A ! y A 2 son dos constantes a rb itra ria s que se d eben s e le c c io n a r p a ra s a tis fa c e r las dos c o n d ic io n e s in ic ia le s especificadas. Definición de términos de frecuencia L a fo rm a de la re spu esta n a tu ra l, c o m o se d a e n la e c u a c ió n [9 ], o fre c e p o c a in ­ fo rm a c ió n acerca de la n a tu ra le z a de la c u rv a que se p o d ría o b te n e r s i v(t ) se g ra fic a ra c o m o u n a fu n c ió n d e l tie m p o . L a s a m p litu d e s re la tiv a s de A , y A 2, p o r e je m p lo , serán en v e rd a d im p o rta n te s p a ra d e te rm in a r la fo rm a de la c u rv a de respuesta. A d e m á s , las con sta nte s ¿i y S2 son n ú m e ro s re ale s o n ú m e ro s c o m p le ­ jo s c o n ju g a d o s , lo c u a l d epende de lo s v a lo re s de R, L y C e n la re d dada. E stos dos casos p ro d u c irá n fo rm a s de re spu esta fu n d a m e n ta lm e n te d ife re n te s . P o r lo ta n to , será ú til e fe c tu a r a lg u n a s s u s titu c io n e s s im p lific a to ria s en la e c u a c ió n [9 ]. E n razón de q u e lo s e xp o n e n te s S\t y sit d eb en ser a d im e n s io n a le s , re s u lta n e c e s a rio que s i y S2 te n g a n las u n id a d e s de a lg u n a c a n tid a d a d im e n s io n a l “ p o r se g u n d o ” . A s í, e n las e cu a cio n e s [7 ] y [ 8] se o b s e rva que las u n id a d e s de 1 /2RC y \¡«JLC d e b en ta m b ié n ser s -1 (es d e c ir, seg un do s- 1 ). L a s u n id a d e s de este tip o se lla m a n frecuencias. Se d e fin e u n n u e v o té rm in o , cúq(omega subíndice cero o sólo omega cero): c*‘ = 7 r i 1101 y se re se rva p a ra éste e l té rm in o frecuencia resonante. P o r o tro la d o , se c o n o c e rá c o m o 1 ¡IR C a la frecuencia de Neper o e l coeficiente de amortiguamiento ex­ ponencial, y se re prese ntará m e d ia n te e l s ím b o lo a (a lfa ): oí = — -— 2 RC [ 11] E s ta ú ltim a e x p re s ió n d e s c rip tiv a se u sa d e b id o a que a es u n a m e d id a de lo rá p id o q ue decae o se a m o rtig u a la re spu esta n a tu ra l h asta su v a lo r fin a l p e rm a ­ n e n te (a m e n u d o c e ro ). P o r ú ltim o , s, si y S2, q u e son c a n tid a d e s que fo rm a rá n las bases de n u e stro tra b a jo p o s te rio r, se d e n o m in a n frecuencias complejas. Se debe a d v e rtir q u e í 1, S2, f f y ® o s ó lo son s ím b o lo s u tiliz a d o s s ó lo p a ra s im ­ p lif ic a r e l a n á lis is de lo s c irc u ito s RLC n o son n uevas p ro p ie d a d e s m is te rio s a s de n in g ú n tip o . Es m ás fá c il, p o r e je m p lo , d e c ir “alfa” que “el recíproco de 2RC”. Se d eben p o n e r ju n to s estos re s u lta d o s, en c u y o caso la re spu esta n a tu ra l d e l c irc u ito RLC en p a ra le lo es v(t) = A ieSlt + A2eS2t don de : [9 ] SECCIÓN 9.1 CIRCUITO EN PARALELO SIN FUENTE 1 [ii] 2 RC Wq • “ A W Los ingenieros de sistemas de control conocen la proporción entre a y 1 [ V lc 10] 323 como razón de amor­ tiguamiento, y la designan mediante el símbolo ? (zeta). y A i y Ai d eb en d e te rm in a rs e a p lic a n d o las c o n d ic io n e s in ic ia le s dadas. Se p u e d e n o b s e rv a r dos e sce na rios b á sico s p o s ib le s en las e cu acio ne s [1 2 ] y [1 3 ] en fu n c ió n de lo s tam a ño s re la tiv o s de a y cúq ((lo s cuales e stán d e te rm in a ­ dos p o r los v a lo re s de R, L y Q . S i a > u>o, s i y s2 serán n ú m e ro s re ale s, lo que c o n d u c e a lo q u e se c o n o c e c o m o respuesta sobreamortiguada. E n el caso c o n ­ tra rio , d o n d e a < cúq, ta n to s i c o m o ¡ 2 te n d rá n c o m p o n e n te s im a g in a rio s d ife re n ­ tes d e cero, lo q u e c o n d u c e a lo que se c o n o c e c o m o respuesta subamortiguada. A m b a s s itu a cio n e s se c o n s id e ra n p o r separado en las secciones s ig u ie n te s , ju n to co n e l caso e sp e c ia l en e l q u e a = coo, que lle v a a lo q u e se c o n o c e c o m o res­ puesta críticamente amortiguada. Se debe o b s e rv a r ta m b ié n q u e la respuesta g e n e ra l c o m p re n d id a en las e cu a cio n e s [9 ] a [1 3 ] d e s c rib e n o s o la m e n te la te n ­ s ió n s in o ta m b ié n la s tre s c o rrie n te s en las ram as d e l c irc u ito RLC en p a ra le lo ; desde lu e g o , las constantes A\ y A 2 serán d ife re n te s e n tre sí. EJEMPLO 9.1 C o n s id e r a r u n c ir c u it o RLC e n p a r a le lo q u e tie n e u n a in d u c ta n c ia de 10 m H y u n a c a p a c ita n c ia d e 100 // F. D e t e r m in a r lo s v a lo re s d e r e ­ s is te n c ia q u e lle v a r í a n a q u e e l c ir c u it o t u v ie r a u n a re s p u e s ta sob r e a m o r tig u a d a y s u b a m o rtig u a d a . P rim e ro se c a lc u la la fre c u e n c ia de re s o n a n c ia d e l c irc u ito : 1 CÚQ (10 x 10-3)(100 x 10- 6) = 103 ra d/s Se te n d rá u n a re spu esta sobreamortiguada s i a > cúo; u n a subamortiguada si a < cúq . P o r lo ta n to , 1 2 RC > 10á p o r lo que R < 1 ( 2000)(100 x 10- 6) r <5a co n d u c e a u n a re spu esta s o b re a m o rtig u a d a ; R > 5 Q, c o n d u c e a u n a respuesta s u b a m o rtig u a d a . P R Á C T I C A a_______________________________________________ 9.1 U n c irc u ito RLC e n p a ra le lo c o n tie n e u n a re s is te n c ia de 100 £2 c o n va lo re s de p a rá m e tro s a = 10 0 0 s_ I y a>o = 8 0 0 ra d /s . D e te rm in a r: (a) C ; ( b) L\ (c ) s i; (d) s2. Respuestas: 5 /z F ; 312.5 mH; —400 s *; —1 6 0 0 s '. 3 1 4 )--------------- V W ------------------------------- • CAPÍTULO 9 CIRCUITO RLC 9.21CIRCUITO RLC EN PARALELO SOBREAMORTIGUAPO U n a c o m p a ra c ió n d e las e cu a cio n e s [101 y [1 1 ] m u e s tra q u e a será m a y o r q u e cüq s i LC > 4 R2C2. E n este caso, e l ra d ic a l u tiliz a d o en e l c á lc u lo de.?i y s 2 será re a l, así q u e í í y ,?2 ta m b ié n lo serán. A d e m á s , las s ig u ie n te s d esig u a ld a d e s Je ■2 Ü)n < Oí - ( - a - j a 2 -a > lj < ( - a + y 'a 2 - * ' 6 £2 < 1 ¿4 7H «] I F IG U R A 9 .2 Circuito RLCen paralelo utilizado como ejemplo numérico. El circuito está sobreamortiguado. <0 se a p lic a ría n a las e cu acio ne s [1 2 ] y [1 3 ] p a ra m o s tra r q u e ta n to í í c o m o s 2 son n ú m e ro s reales negativos. D e ta l m a n e ra , la respuesta v(t) se e xp re sa c o m o la sum a a lg e b ra ic a d e dos té rm in o s e x p o n e n c ia le s d e cre cie n te s q u e tie n d e n a c e ro c u a n d o a u m e n ta e l tie m p o . E n re a lid a d , p u e sto que e l v a lo r a b s o lu to de ,?2 es m a y o r q ue e l de s i, e l té rm in o que c o n tie n e a s 2 tie n e u n a tasa de re d u c c ió n m ás rá p id a , y p ara v a lo re s de tie m p o g ran d es la e x p re s ió n lím ite se e s c rib iría c o m o v(t) —> A \e s,r —y 0 c o m o í —v oo E l s ig u ie n te paso c o n s is te en d e te rm in a r las con sta nte s a rb itra ria s A i y A 2 s eg ún las c o n d ic io n e s in ic ia le s . S e e lig e u n c irc u ito RLC en p a ra le lo c o n /? = 6 £ 2 ,L = 7 H y , p a ra s im p lific a r e l c á lc u lo , C = ^ F. E l a lm a c e n a m ie n to de e ne rg ía in ic ia l se e sp e c ifica m e d ia n te u n a te n s ió n in ic ia l en e l c irc u ito u ( 0 ) = 0 y u n a co rrie n te de in d u c to r in ic ia l ¿(0) = 10 A , d o n d e v y i se d e fin e n e n la fig u ra 9.2. Se d e te rm in a ría n c o n fa c ilid a d lo s v a lo re s de v a rio s p a rá m e tro s a = 3 .5 5] = —1 coo — \/6 (to d o s *) S2 = —6 y de in m e d ia to se e s c rib iría la fo rm a g e n e ra l d e la re spu esta n a tu ra l: v(t) = A ¡e~' + A2e~6t [1 4 ] Cálculo de los valores de Ai y A 2 S ó lo resta la e v a lu a c ió n de las dos constantes A ¡ y A 2. S i se c o n o c ie ra la respuesta v(t) en dos v a lo re s d ife re n te s d e l tie m p o , tale s v a lo re s p o d ría n s u s titu irs e en la e c u a c ió n [1 4 ], d e m o d o q u e A i y A 2 se d e te rm in a ría n s in n in g ú n p ro b le m a . S in e m b a rg o , se c o n o c e s ó lo u n v a lo r in s ta n tá n e o d e v(t ), v(0) - 0 y, p o r lo ta n to , 0 = A i + A2 [1 5 ] Se p uede o b te n e r u n a segunda e c u a c ió n q u e re la c io n a A i y A 2 s i se to m a la d e riv a d a de v(t) c o n re s p e cto a l tie m p o en la e cu a c ió n [1 4 |, se d e te rm in a e l v a lo r in ic ia l de la d e riv a d a m e d ia n te el u so de la c o n d ic ió n in ic ia l re s ta n te í( 0 ) = 10 y se ig u a la n lo s re s u lta d o s. D e esta fo rm a , a l d e riv a r am bo s la d o s de la e cu a c ió n [1 4 ] se tie n e dv — dt = — A ¡e y a l e v a lu a r la d e riv a d a en t = 0 , , , — 6 A 2e SECCIÓN 9.2 CIRCUITORLC EN PARALELO SOBREAMORTIGUADO ------------------------------------- W V --- ( se o b tie n e u n a segunda e cu a c ió n . S i b ie n esta fo r m a parece ser ú til, n o se tie n e un v a lo r n u m é ric o d e l v a lo r in ic ia l de la d e riv a d a , p o r lo q u e n o se d is p o n e to ­ d a v ía de d os e cu acio ne s c o n dos in c ó g n ita s .. . ¿O sí? L a e x p re s ió n d v/d t s u g ie ­ re u n a c o rrie n te de c a p a c ito r, p u e sto que „dv lC = € d¡ L a le y de K ir c h h o ff de c o rrie n te debe c u m p lirs e en c u a lq u ie r in s ta n te de tie m p o , y a que se fu n d a m e n ta en la c o n s e rv a c ió n de e le c tro n e s. D e ta l m o d o , se p o d ría e s c rib ir —i'c(O ) + i (0 ) + ír (0 ) = 0 A l s u s titu ir n u e stra e x p re s ió n p ara la c o rrie n te d e l c a p a c ito r y a l d iv id ir e ntre C , se tie n e dv dt ic(0) ¡ ( 0 ) -H i//(O) para especificar totalmente la respuesta. Una de ellas m c 1=0 En las demás explicaciones relativas a los circuitos RLCsiempre se requerirán dos condiciones inicíales : 4 2 0 V /s casi siempre será muy fácil de aplicar, ya sea una ten­ sión o una corriente en t = 0. La segunda condición p ue sto q ue la te n s ió n in ic ia l c e ro e n la re s is te n c ia re q u ie re de u n a c o rrie n te in i­ c ia l c e ro a tra vé s de e lla . E n con secue ncia , se tie n e la seg un da e cu a c ió n , 4 2 0 = - A i - 6A 2 [1 6 ] y la s o lu c ió n s im u ltá n e a de las e cu acio ne s [1 5 ] y [1 6 ] p ro p o rc io n a dos a m p li­ tudes A i = 8 4 y A 2 = —84. P o r lo ta n to , la s o lu c ió n n u m é ric a fin a l de la res­ pue sta n a tu ra l de este c irc u ito es v(t) = 8 4 (é T ' - e~6t) V suele provocar un poco de problemas. Aunque a menudo se tendrá a disposición una corriente inicial, una de ellas se necesitará aplicar de manera indirecta a través de la derivada de la solución supuesta. [1 7 ] EJEMPL O 9.2 Encontrar una expresión válida de v d t ) para t > 0 en el circuito de la figura 9.3a. 300 fi (b) ■ FICURA 9.3 (o) Circuito RLCque se convierte en uno sin fuente en t = 0. (6) El circuito en t > 0, en el que la fuente de 150 V y la resistencia de 300 £2 se han cortocircuitado por medio del interrup­ tor, por lo que no son relevantes para vc. Identificar el objetivo del problema. Se s o lic ita e n c o n tra r la te n s ió n en el c a p a c ito r después de que se d is p a ra e l in te rru p to r. E s ta a c c ió n tra e c o m o c o n se cu e n cia que n in g u n a fu e n te p e r­ m a n e zc a co n e c ta d a a l in d u c to r o a l c a p a c ito r; p o r lo ta n to , se espera que e l v a lo r de i ¡c d e c a ig a c o n e l tie m p o . (Continúa en la siguiente página) 325 CAPÍTULO 9 CIRCUITO RLC Recopilar la información conocida. D espués de q u e se d is p a ra e l in te rru p to r, e l c a p a c ito r se d e ja en p a ra le lo c o n u n a re s is te n c ia de 2 0 0 f i y u n in d u c to r de 5 m H (fig u ra 9 .3 b). P o r ende, a = I ¡2RC = 1 2 5 0 0 0 s - 1 , « o = 1/ v T C = 100000 ra d /s , ^ = —a + J a ~ - 5 0 0 0 0 s - i y s2 == —a ■ Jx2 ■Cúl = - 200000 s - 1 . Elegir la técnica disponible que se ajusta más al problema. P uesto q u e a > coq, e l c irc u ito está s o b re a m o rtig u a d o , p o r lo que se espera u n a te n s ió n en e l c a p a c ito r de la fo rm a , vc (t) = + A 2eS2t Se co n o c e e l v a lo r de í í y s2', es n e c e s a rio o b te n e r y s o lic ita r dos c o n d i­ c io n e s in ic ia le s a fin de d e te rm in a r A\ y A2. P ara lle v a r a cab o esta tarea se a n a liz a rá e l c irc u ito en t = 0 “ (fig u ra 9 .4 a ) p a ra e n c o n tra r iL{0 _ ) y i> c (0 ~ ). Se a n a liz a rá e nton ces el c irc u ito en t = 0 + s u p o n ie n d o que n in g u n o de lo s v a lo re s se m o d ific a . Construir un conjunto de ecuaciones apropiado. A p a rtir de la e c u a c ió n 9 .4 a , en la q u e se s u s titu y ó e l in d u c to r c o n u n c o r­ to c irc u ito y e l c a p a c ito r c o n u n c irc u ito a b ie rto , se p u e d e o b s e rv a r que 150 íl (O " ) = 200 + 300 wc ( 0 - ) = 150 = —3 0 0 m A 200 200 + 300 = 60 V 300 fi ¿ t(0 + )=iL<sr) = 60 V = -0.3 A (b) F IG U R A 9 .4 (o) Circuito equivalente en t = CT. (6) Circuito equivalente en t = 0+ , que se dibujó utilizando fuentes ideales para representar la corriente ¡nidal en el inductor y la tensión inicial en el capacitor. SECCIÓN 9.2 CIRCUITO RLC EN PARALELO SOBREAMORTIGUADO E n la fig u ra 9Ab se d ib u ja e l c irc u ito en t = 0 + , q ue , p o r s im p lic id a d , re prese nta la c o rrie n te en e l in d u c to r y la te n s ió n en el c a p a c ito r c o n fue nte s id e a le s . P ue sto que n in g u n o puede c a m b ia r en u n tie m p o c e ro , se sabe que u c ( 0 + ) = 6 0 V. Determinar si se requiere información adicional. Se tie n e la e c u a c ió n de la te n s ió n d e l c a p a c ito r: vc(t ) = A¡e 500l|l|;TA2e 200°00'. Se sabe q u e vc (0) = 6 0 V , p e ro aún se re q u ie re u n a te rce ra e cu a c ió n . D e riv a n d o la e c u a c ió n que e xp re sa la te n s ió n en e l ca p a c ito r, dt = - 5 0 0 0 0 A ]e ~ 5000°f - 2 0 0 0 0 0 A 2í'~ 2000°0r q ue p u e d e re la c io n a rs e c o n la c o rrie n te en el c a p a c ito r c o m o ic = C{dvc /dt). R e g re sa n d o a la fig u ra 9.4-b, m e d ia n te L K C se sabe que ic {0 + ) = ~ íl (0 + ) - iR(0+) = 0 . 3 - {l> c (0 + ) / 2 0 0 } = 0. Intentar resolver. M e d ia n te la a p lic a c ió n de la p rim e ra c o n d ic ió n in ic ia l, se o b tie n e vc (0) = A i + A 2 = 6 0 y, p o r m e d io de la a p lic a c ió n de la segunda c o n d ic ió n in ic ia l se o b tie n e , ic{0 ) = - 2 0 X 10 9( 5 0 000,4, + 2 0 0 0 0 0 A 2) = 0 D e s p e ja n d o , A i = 8 0 V y A 2 = - 2 0 V, p o r lo q u e vc(t) = 8 0 e ~ 50 000r 20r 200000í V , í > 0 . Verificar la solución. ¿Es razonable o la esperada? A l m e n o s, es p o s ib le c h e c a r la s o lu c ió n en t = 0, v e rific a n d o que Vc(0 ) = 6 0 V. D e riv a n d o y m u ltip lic a n d o p o r 2 0 x 10 9, se p ue de ta m ­ b ié n c o n s ta ta r q u e ic (0) = 0 . P R Á C T I C A g______________________________________________________________ 9.2 D espués de estar a b ie rto dura n te m u c h o tie m p o , el in te rru p to r de la fig u ra 9 .5 se c ie rra en t = 0. D e te rm in a r (a) iL(0 “ ) ; (b) v d 0 _ ) ; ( c) ír (0 + ); (¿í) ic (0+ ) ; ( e ) uc ( 0 . 2). Respuestas: 1 A; 48 V; 2 A; - 3 A; -1 7 .5 4 V. » A A /V © AA/V ■« CAPITULO 9 CIRCUITORLC C o m o se o b s e rv ó antes, la fo rm a de la respuesta s o b re a m o rtig u a d a se a p lic a a c u a lq u ie r c a n tid a d de te n s ió n o c o rrie n te , c o m o se e stu d ia rá en e l e je m p lo sig u ie n te . EJEMPLO 9.3 E l c ir c u it o d e la f ig u r a 9.6a se p u e d e s im p lif ic a r a u n c ir c u it o RLC en p a r a le lo d e s p u é s de t = 0. D e t e r m in a r la e x p re s ió n de la c o r r ie n te iR de la re s is te n c ia q u e sea v á lid a p a r a c u a lq u ie r tie m p o . 2 k f2 12 mH 2 pF (a) 2 kí > 4V (b) « o+) = 3 .7 5 V = 125 /¿ A (c) I F IG U R A 9 . 6 (o) Circuito para el que se requiere de íg. (b) Circuito equivalente de f = O- , (c) Circuito equivalente de t = 0+ . S i e l c irc u ito después de t > 0 es s o b re a m o rtig u a d o , se espera u n a respuesta de la fo rm a iR(t) = Aies'‘ + A2eS2t, t> 0 [1 8 ] P ara t > 0, se tie n e u n c irc u ito RLC en p a ra le lo c o n R = 3 0 k f i , L = 12 m H y C = 2 pF. A s í, a = 8 .3 3 3 x 10 6 s " 1 y o;0 = 6 .4 5 5 x 10 6 rad/s. P o r lo ta n to , se espera u n a re spu esta s o b re a m o rtig u a d a c o n í | = —3 .0 6 3 x 10 6 s“ ! y í2 = - 1 3 . 6 0 x I O S " 1. P ara d e te rm in a r lo s v a lo re s n u m é ric o s de A \ y Ai, p rim e ro se a n a liz a e l c irc u ito en t = 0 _ , c o m o se p u e de v e r en la fig u ra 9 .6 b. Se o b s e rva que iL(0 ~ ) = iR(0 “ ) = 4 / 3 2 x 10 3 = 125 fiA, y vc (0~) = 4 x 3 0 /3 2 = 3 .7 5 V . A l d ib u ja r e l c irc u ito en t = 0 + (fig u ra 9 .6 c ), s ó lo se sabe que iLm = 125 fiA y u c ( 0 + ) = 3 .7 5 V . S in e m b a rg o , p o r m e d io de la le y de O h m se p u e de c a lc u la r ¿«(0+ ) = 3 .7 5 /3 0 x 10 3 = 125 fiA , la p rim e ra c o n d ic ió n in ic ia l. A s í, i R (0) = A i + A 2 = 1 2 5 x 1 0 - 6 [1 9 ] SECCIÓN 9.2 CIRCUITORLC ENPARALELOSOBREAMORTIGUADO * ■^VY ¿ C ó m o se o b tie n e una segunda c o n d ic ió n in ic ia l? S i se m u ltip lic a la e cu a c ió n [1 8 ] p o r 30 x 103, se o b tie n e una e x p re s ió n p a ra vc(t). S i se c a lc u la la d e riv a d a y se m u ltip lic a p o r 2 p F se o b tie n e la e x p re s ió n de ic(t): ic = C — = (2 dt 10-1 2 )( 3 0 x 10 3) ( A 1í 1eSlí + A2s2eSlt) x P o r m e d io de L K C , ¿ c ( 0 + ) = íl (0+) - ¿ * ( 0+ ) = 0 P o r lo ta n to . - ( 2 x 10 )( 3 0 x 10 )(3 .0 6 3 x 10bA i + 1 3 .6 0 x 10bA 2) = 0 [2 0 ] R e s o lv ie n d o las e cu a cio n e s [1 9 ] y [2 0 ], se tie n e q u e A ( = 1 6 1 .3 / ¿ A y A2 = —3 6 .3 4 ¡iA. P o r ende, IR 125 fiA, 1 6 1 .3 c -3.063 x l0 6r 3 6.34 e -13.6xl06; íiA, t < o t > o PRACTICA 4 pF 9.3 D e te rm in a r la c o rrie n te iR q u e c irc u la p o r la re s is te n c ia de la fig u ra 9.7 para í > 0 s i iL{0 _ ) = 6 A y v c ( 0 + ) = 0 V . N o se sabe c u á l e ra la c o n fig u ra c ió n d e l c irc u ito antes de t = 0 . R e sp u e sta : iR(t) = 6 . 0 0 8 ( í r 8•328xlol0, - e - 6'0 03xl°7f) A , t > 0. Representación gráfica de la respuesta sobreamortiguada Se regresa a h o ra a la e cu a c ió n [1 7 ] y se o b s e rv a la in fo rm a c ió n a d ic io n a l que se puede d e te rm in a r re s p e cto de este c irc u ito . Se p uede in te rp re ta r e l p rim e r té r­ m in o e x p o n e n c ia l c o m o s i tu v ie ra u na con sta nte de tie m p o de 1 s, y la o tra e x­ p o n e n c ia l, c o m o s i la tu v ie ra | de s. C ada u n o e m p ie z a c o n a m p litu d u n ita ria , aunque e l ú ltim o decae c o n m a y o r ra p id e z ; v(t ) n u n ca es n e g a tiv a . C u a n d o el tie m p o se v u e lv e in fin ito , cada té rm in o tie n d e a c e ro , y la re spu esta m is m a se desvanece, c o m o debe ser. P o r lo ta n to , se tie n e u n a c u rv a de respuesta que es c e ro en t = 0 , c e ro en t = oo, y n u n ca es n e g a tiv a ; p u e sto que n o es c e ro en to ­ dos lad o s, debe p o s e e r a l m e no s u n m á x im o , e l c u a l n o es u n p u n to d if í c il de d e te rm in a r c o n e x a c titu d . Se d e riv a la respuesta: dv dt — = 8 4 ( —e , + 6e c, ) se ig u a la la d e riv a d a a c e ro p a ra d e te rm in a r e l tie m p o tmcon e l c u a l la te n s ió n se v u e lv e m á x im a : 0 = -e~ 'm + 6e~óím s im p lific a n d o , e5tm = 6 y se o b tie n e tm = 0.358 s I F IG U R A 9 .7 Circuito del problema de práctica 9.3. CAPÍTULO9 CIRCUITORLC AA/V y v(tm) = 4 8 .9 V Se p uede e la b o ra r u n d ib u jo ra z o n a b le de la respuesta g ra fic a n d o lo s dos té rm in o s e xp on en ciale s 8 4 e - í y 84e “ 6f para después to m a r su d ife re n c ia . L a u tilid a d de esta té c n ica se in d ic a m e d ia n te las curva s de la fig u ra 9 .8 ; las dos e xp o n e n cia le s corre s­ p o n d e n a trazas delgadas, y su d ife re n c ia , la respuesta to ta l v(t), se d ib u ja c o m o u n a tra z a a c o lo r. L as c u rva s v e rific a n ta m b ié n q u e e l c o m p o rta m ie n to fu n c io n a l d e v(t) p a ra t es m u y g ra n d e , de 8 4 e - f , e l té rm in o e x p o n e n c ia l c o n tie n e la m a g ­ n itu d m ás peq ue ña de.v¡ y s2. iit) (V) i(0) = 10 A 80 t<0) = 0 a = 3.5 &)0 = Vó 60 Sobreamortiguado 40 20 ■ F IG U R A 9 .8 Respuesta v(t) = 84(e- í - *** * ' e~&) de la red que se muestra en la figura 9.2. U n a p re g u n ta q u e se p la n te a c o n fre c u e n c ia se re fie re a l tie m p o q u e tra n s c u ­ rre en re a lid a d p a ra q u e d esap arezca (o se “ amortigüe” ) la p a rte tra n s ito ria d e la re s p u e s ta . E n la p r á c tic a , m u c h a s v e c e s r e s u lta d e s e a b le c o n s e g u ir q u e e sta re spu esta tra n s ito ria tie n d a a c e ro ta n rá p id o c o m o sea p o s ib le ; e sto es, se debe m in im iz a r e l establecimiento del tiempo t¡¡. E n te o ría , desde lu e g o , ts es in fin ito d e b id o a q u e v(i) n u n ca se esta ble ce c o m o c e ro en un tie m p o fin ito . S in e m b a rg o , una respuesta d e s p re c ia b le se p re se n ta lu e g o de que se e s ta b le c ió la m a g n itu d de v(t) en v a lo re s que p e rm a n e ce n m e no re s a 1% de su v a lo r a b s o lu to m á x im o \vm\. Se d e fin e e l tie m p o q u e se re q u ie re p a ra que e sto o c u rra c o m o e l tie m p o d e e s ta b le c im ie n to . P u e sto q u e \vm\ = vm = 4 8 .9 V e n e l e je m p lo , e l tie m p o de e s ta b le c im ie n to es e l n e c e s a rio p a ra q ue la re spu esta d is m in u y a h asta 0 .4 8 9 V. A l s u s titu ir este v a lo r de v(t) en la e cu a c ió n [1 7 ] e ig n o ra r e l se­ g u n d o té rm in o e x p o n e n c ia l, q u e se sabe q u e es p o s ib le o m itir e n este caso, se e n c u e n tra q u e e l tie m p o d e e s ta b le c im ie n to c o rre s p o n d e a 5 .1 5 s. EJEMPLO 9.4 E n t > 0 . la c o r r ie n te q u e c ir c u la p o r u n c a p a c ito r d e u n c ie r to c ir c u it o RLC e n p a r a le lo s in fu e n te e stá d a d a p o r 'fvY/) = 2e~2' — 4e~‘ A . G r a f ic a r la c o r r ie n t e e n e l ra n g o 0 < t < 5^y d e t e r m in a r e l tie m p o d e e s ta b le c im ie n to . P rim e ro se g ra fic a n lo s dos té rm in o s , c o m o se m u e s tra e n la fig u ra 9 .9 , y lu e g o se re sta n p a ra e n c o n tra r idt). E s c la ro q u e e l v a lo r m á x im o es | —2| = 2 A . P o r lo ta n to , es n e c e s a rio e n c o n tra r e l tie m p o en e l q u e \ic I h a d is m in u id o a 2 0 m A , o 2e~2t' - 4e~'s = -0.02 [21] SECCIÓN 9.2 CIRCUITO RLC EN PARALELO SOBREAMORTIGUADO ic(i) (A ) 4 3 2 0 4 5 t (s) -1 -2r ■ F IG U R A 9 . 9 La respuesta de corriente ¡c(fí = 2e_2í - 4e _f A, dibujada junto con sus dos componentes. E sta e cu a c ió n p u e d e re s o lv e rs e p o r m e d io de u n a ru tin a ite ra tiv a de s o lu ­ c ió n en u n a c a lc u la d o ra c ie n tífic a , que p ro p o rc io n a la s o lu c ió n ts = 5 .2 9 6 s. S in e m b a rg o , s i d ic h a o p c ió n n o se e n c u e n tra d is p o n ib le , se p ue de a p ro x i­ m a r la e c u a c ió n [ 21 ] p a ra t > ts c o m o —4e~r' = -0.02 [22] R e s o lv ie n d o , [2 3 ] lo c u a l re prese nta u n re s u lta d o ra z o n a b le m e n te c e rca n o (m e jo r a 0 . 1% en e x a c titu d ) a la s o lu c ió n exacta. PRÁCTICA -----------------•-----------------------------------------------------------------------9 .4 (a) G ra fic a r la te n s ió n vr (i) = 2e ' — 4 e _3í V en e l in te rv a lo de 0 < t < 5 s. (b) E s tim a r e l tie m p o de e sta b le c im ie n to , (c ) C a lc u la r e l v a lo r m á x im o p o s itiv o y e l tie m p o en e l que éste se presenta. Respuesta: (á) Vea la figura 9.10; (b) 4.605 s; (c) 544 mV, 896 ms. 1.0 0.5 0 -0.5 - 1.0 1.5 #■ A /W AA/V 9 CAPÍTULO 9 CIRCUITO RLC 9.3 AMORTIGUAMIENTO CRITICO • ------------------------------------------------------------------------E l caso s o b re a m o rtig u a d o se c a ra c te riz a p o r a > a>o o LC > 4R2C2 "Imposible" es un térm ino bastante fuerte. Se afirma lo anterior debido a que en la práctica resulta inusual obtener componentes que estén más cerca de 1% de sus valores especificados. De tal manera, obtener Lprecisamente igual a 4R2C resulta en teoría posi­ ble, aunque no muy probable, incluso si se está dis­ puesto a medir una gaveta llena de componentes hasta que se encuentren los correctos. y da lu g a r a v a lo re s re ale s n e g a tiv o s p a ra ¿i y s2, adem ás de u n a respuesta e x ­ p resada c o m o la sum a a lg e b ra ic a de dos e x p o n e n c ia le s n e g a tiv a s . Se a ju stan a h o ra lo s v a lo re s de lo s e le m e n to s hasta q u e aya>o sean ig u a le s . E s un caso m u y e s p e c ia l q u e re c ib e e l n o m b re de amortiguamiento crítico. S i se tra ta ra de c o n s tru ir u n c irc u ito RLC e n p a ra le lo q u e e s tu v ie ra c rític a m e n te a m o r­ tig u a d o , se in te n ta ría u n a tarea en e se ncia im p o s ib le , pues n u n c a se p o d ría lo g ra r que a fu e ra e x a c ta m e n te ig u a l a coq. S in e m b a rg o , p a ra c o m p le ta r e l te m a se e x ­ p lic a rá e l c irc u ito c rític a m e n te a m o rtig u a d o , y a q u e m u e s tra u n a tra n s ic ió n in ­ teresan te e n tre el s o b re a m o rtig u a m ie n to y e l s u b a m o rtig u a m ie n to . E l a m o rtig u a m ie n to c rític o se o b tie n e c u a n d o a = coo LC = 4 R2C2 L = 4 R2C am ortiguam iento c ritico Se lo g ra u n a m o rtig u a m ie n to c rític o a l c a m b ia r e l v a lo r de c u a lq u ie ra de lo s tre s e le m e n to s d e l e je m p lo n u m é ric o q u e se e x p u s o a l p r in c ip io de la s e c c ió n 9 .1 . Se e le g irá R y se a u m e n ta rá su v a lo r h asta q u e se o b te n g a e l a m o r­ tig u a m ie n to c rític o , y lu e g o , se d e ja rá a coo in a lte ra d a . E l v a lo r n e c e s a rio de R es 7 V ó / 2 f i ; L s ig u e s ie n d o 7 H y C se m a n tie n e e n ^ F. A s í, se tie n e que a = a>o = V 6 s _1 Sj = S2 = — V ó S- 1 y re c u e rd e las c o n d ic io n e s in ic ia le s q u e se e s p e c ific a ro n , u ( 0 ) = 0 e ¿(0 ) = 10 A . Forma de una respuesta críticamente amortiguada Se procede a tra ta r de c o n s tru ir u n a respuesta c o m o la sum a de dos e xp o n e n cia le s, u ( í ) = A i e - ^ + A1e - Jh la c u a l se p o d ría e s c rib ir c o m o v(t) = A3e - ^ ‘ E n este p u n to , a lg u ie n se p o d ría s e n tir p e rd id o . Se tien e una respuesta que c o n ­ tie n e s ó lo u n a constante a rb itra ria , p e ro h a y dos co n d ic io n e s in ic ia le s , v(0) = 0 e ¿(0) = 1 0 am peres, y ambas deben ser satisfechas p o r esta constante. S i se e lig e A 3 = 0, entonces v(t) = 0, lo cua l re s u lta co n g ru e n te c o n la te n s ió n in ic ia l d e l ca­ p acitor. S in em ba rg o, aunque no h a y energía alm acenada en e l c a p a c ito r en í = 0 + , se tie n e 3 5 0 J de energía alm acenada in ic ia lm e n te en e l in d u c to r, la c u a l o rig in a rá u na co rrie n te tra n s ito ria que flu irá h a c ia fu e ra d e l in d u c to r y p ro p ic ia rá u n a te n s ió n d is tin ta de cero en los tres elem entos. L o a n te rio r parece estar en c o n flic to d ire c to c o n la s o lu ció n propuesta. SECCIÓN 9.3 AMORTIGUAMIENTO CRÍTICO Los cálculos matemáticos y planteamientos eléctricos fueron intachables; por lo tanto, si no ha sido un error lo que provocó las dificultades, se debió haber empezado con un supuesto incorrecto, y sólo se formuló uno. Se infiere al prin­ cipio que la ecuación diferencial podría resolverse suponiendo una solución ex­ ponencial, lo cual resultó incorrecto para este caso especial simple de amor­ tiguamiento crítico. Cuando a = cúq, la ecuación diferencial, ecuación [4], se convierte en: d 2v dv 2 -r-r + 2 a — + a v = 0 d t2 dt La solución de esta ecuación no es un proceso muy complejo, pero no se va a desarrollar aquí, ya que es de tipo normal y se encuentra en los textos comunes de ecuaciones diferenciales. La solución es: v = e - at(A 1í + A 2) [24] Debe observarse que la solución sigue expresándose como la suma de dos tér­ minos, donde uno es la familiar exponencial negativa y el otro es í veces una ex­ ponencial negativa. Se puede observar que la solución contiene las dos constantes arbitrarias esperadas. Cálculo de los valores de di yA 2 Se completará el ejemplo numérico. Luego de sustituir el valor conocido de a en la ecuación [24], se obtiene v = A i t e ^ + A2<? y se establecen los valores de Aj y A 2 al imponer primero las condiciones ini­ ciales sobre la propia v(t), d(0) = 0; de tal modo, A 2 = 0. Este simple resultado aparece debido a que se eligió como nulo el valor inicial de la respuesta v(t)\ el caso más general requerirá la solución simultánea de dos ecuaciones. La se­ gunda condición inicial debe aplicarse a la derivada d v /d t exactamente como en el caso sobreamortiguado. Por lo tanto, se deriva recordando que A2 = 0: dV — A■jí (—V • 6 )e dt + A ie se evalúa en t = 0: dv d t t=o = Al y se expresa la derivada en términos de la corriente inicial en el capacitor: dv dt ic (0) ,= 0 C Í r (0)¿(0) C C donde las direcciones de referencia de ic, ír e i son las definidas en la figura 9.2. En consecuencia, A i = 420 V La respuesta es. por lo tanto: v (t) = 420te~ 2A5t V [2 5 ] • ------------------------- V A -------------( 333 A A /V • CAPITULO 9 CIRCUITO /?¿C Representación gráfica de la respuesta críticamente amortiguada Antes de graficar en detalle esta respuesta, se tratará de anticipar otra vez su forma mediante un razonamiento cualitativo. El valor inicial especificado es cero, que coincide con la ecuación [25]. No se manifiesta de inmediato que la respuesta tienda también a cero cuando t se vuelve infinitamente grande, debido a que te~2A5t es una forma indeterminada. Sin embargo, este obstáculo se supera con facilidad mediante el empleo de la regla de L’Hópital, la cual establece que t . _ 1 . lím v(t) = 420 lím ,2.45 1 = 420 lím r— c er^oo 2.45e = 0 y una vez más se tiene una respuesta que empieza y termina en cero y que tiene valores positivos en todos los demás tiempos. U n valor máximo vm ocurre otra vez en el tiempo en nuestro ejemplo: tm = 0.408 s y i>m = 6 3 .1 V Este máximo es mayor que el que se obtuvo en el caso sobreamortiguado, y además es una consecuencia de las pérdidas más pequeñas que ocurren en una resistencia más grande; el tiempo de la respuesta máxima es un poco mayor que el correspondiente al sobreamortiguamiento. El tiempo de establecimiento tam­ bién se determinaría resolviendo Vm Toó = 420t.e - 2 .4 5 ts para ts (mediante métodos de ensayo y error, o con una rutina SOLVE de calcu­ ladora): ts = 3.12 s \ que es un valor mucho más pequeño que el que resulta en el caso sobreamor­ tiguado (5.15 s jl. En realidad, se demuestra que, para valores dados de L y C, la selección del valor de R que proporcione amortiguamiento crítico siempre dará un tiempo de establecimiento más breve que cualquier elección de R que pro­ duzca una respuesta sobreamortiguada. Sin embargo, se obtendría una ligera mejora (reducción) del tiempo de establecimiento mediante un pequeño au­ mento en la resistencia; una respuesta ligeramente sobreamortiguada tal que no alcanzaría al eje cero antes de desvanecerse provocará que el tiempo de estableci­ miento sea más breve. *í)(V) t ( s) ■ F IG U R A 9 .11 Respuesta i/(f) = 420fe_245í de la red que se presenta en la figura 9.2, con R m odificada para proporcionar am ortiguam iento crítico. SECCIÓN 9.3 AMORTIGUAMIENTO CRITICO * w v L a c u rv a de re spu esta d e l a m o rtig u a m ie n to c r ític o q ue se d ib u ja en la fig u ra 9.11 p u e d e c o m p a ra rs e c o n e l caso s o b re a m o rtig u a d o (y s u b a m o rtig u a d o ) de la fig u ra 9 .1 6 . EJEMPLO S e le c c io n a r e l v a lo r d e R\ t a l q u e e l c ir c u it o d e la f ig u r a 9 .1 2 e sté c a r a c ­ te r iz a d o p o r u n a re s p u e s ta c r ític a m e n te a m o r tig u a d a e n t > 0 , y u n v a lo r d e R i t a l q u e t ( 0 ) = 2 V . ■ FIGURA 9.12 Circuito que se simplifica a un circuito RLCen paralelo después de que se active el interruptor. Se p u e de o b s e rv a r q u e e n í = 0 “ la fu e n te de c o rrie n te está e n c e n d id a y e l in d u c to r p u e de tra ta rs e c o m o u n c o rto c irc u ito . P o r ende, la te n s ió n en R2 es u (0 ~ ) y está dada por, v(0~) = 5R2 y se debe s e le c c io n a r R%c o n u n v a lo r d e 4 0 0 m£2 p a ra o b te n e r i>(0) = 2 V. D espu és de q u e se a c c io n a e l in te rru p to r, se apaga p o r sí s o la la fu e n te de c o rrie n te y Ri se p o n e en c o rto c irc u ito . L o q u e q u e d a es u n c irc u ito RLC c o m p u e s to p o r R\, u n in d u c to r de 4 H y u n c a p a c ito r de 1 nF. Se p u e de a h o ra c a lc u la r (p a ra t > 0) 1 1 ~ 2 x 1 0 - 9/? i y Ü>0 - i ,------ ■Jl c 1 ~~ V 4 x 1 0 - 9 = 15 8 1 0 ra d/s P o r lo ta n to , p a ra e sta b le ce r u n a respuesta c rític a m e n te a m o rtig u a d a en e l c irc u ito p a ra t > 0, es n ecesa rio fija r Ri = 3 1.63 k £ l (N o ta : debido a que se ha redondeado a cuatro dígitos significativos, una persona exigente puede argumentar con todo el derecho que aún no es exactamente una respuesta amortiguada críticamente, la cual es una situación muy difícil de crear.) 9.5 A /W 9 CAPÍTULO CIRCUITO RLC PRj VC Tj CA _________________________________________________ (a) Elegir R\ en el circuito de la figura 9 . 1 3 , de manera que la respuesta después de t = 0 sea críticamente amortiguada. (b) Luego elegir R 2 para obtener u ( 0 ) = 1 0 0 V. (c) Determinar v(t) en t = 1 ms. 9.5 Respuestas: 1 k í2 ; 2 5 0 Í2 ; —2 1 2 V . 9.4 É CIRCUITO RLC EN PARALELO SUBAMORTIGUAPO Continuando con el proceso que se inició en la última sección se incrementará/? una vez más para obtener lo que se denominará una respuesta subamortiguada. De esta forma, el coeficiente de amortiguamiento u disminuye mientras a>oper­ manece constante, a 2 se hace más pequeña que o j 2 y el radicando que aparece en la expresión de si y S2 se vuelve negativo. Lo anterior provoca que la respuesta tome un carácter muy diferente, aunque por fortuna no es necesario regresar de nuevo a la ecuación diferencial básica. M ediante el uso de números complejos, la respuesta exponencial se convierte en una respuesta senoidal amortiguada que está compuesta en su totalidad por cantidades reales, de modo que las canti­ dades complejas sólo son necesarias en la deducción.1 Forma de la respuesta subamortiguada Se comienza con la forma exponencial v(t) = A \e Slt + A 2eS2‘ donde: « 1,2 = - a ± y « 2 - (Oq y en ese caso, sea Los ingenieros en electricidad utilizan "j" en lugar de "i" para representar el símbolo V - T y evitar confu­ siones con las corrientes. , / a 2 - tog = V = V o > 02 - « 2 = jy/<4 ~ “ 2 donde j = V - 1Se considera ahora el nuevo radical, que es real para el caso subamortiguado, pero se denominará a>d, la frecuencia resonante natural-. (úd = y o>0 - a2 La respuesta se escribiría ahora como v(t) = e~ai (A \e jo)dt + X S t jwJÍ 1 En el apéndice 5 se encuentra un repaso de los números complejos. [26] SECCIÓN 9.4 CIRCUITO /?¿C EN PARALELO SUBAMORTICUADO o, en forma más extensa pero equivalente, ■e í v (t) = e~ar (A ! + A 2) aimt _ _ |_ g - j a i d t + j ( A 1 — A2) ' 72 Al aplicar las identidades que se describen en el apéndice 5, el primer corchete de la ecuación anteriores exactamente igual a&>¿í, y el segundo, a cü¡¡t. Por con­ siguiente: v (t) = e~at [(Ai + A2)cos&>áf + j (Ai - A2)sen&>¿í] de esta form a se asignarían nuevos símbolos a los factores multiplicadores: v (t) = e~at (B\ eos a)¿t + B2 s e n ^ í ) [27] donde las ecuaciones [26] y [27] son idénticas. Tal vez parezca extraño que la expresión haya aparecido originalmente con un componente complejo, y ahora es sólo real. Sin embargo, se debe recordar que se permitió al principio que Ai y A2 fueran complejos, lo mismo qu esi y s2. En cualquier situación, si se está tratando con el caso subamortiguado, se deja ahora a un lado a los números complejos. Lo anterior debe ser cierto, pues a, co¿yt son cantidades reales, por lo que la propia v(t) debe ser una cantidad real (que podría presentarse mediante un osciloscopio, un voltímetro o una hoja de papel gráfico). La ecuación [27] es la forma funcional deseada de la respuesta subamortiguada y su validez se verifica mediante la sustitución dilecta en la ecuación diferencial original; este ejercicio se deja a los incrédulos. Las dos constantes reales B ¡ y B 2 se eligen de nuevo para que se ajusten a las condi­ ciones iniciales dadas. Ahora se regresará al circuito RLC simple en paralelo de la figura 9.2 con R = 6 Í2, C = 1/4 2 F y L = 7 H, pero se incrementará la resistencia a un valor de 10.5 Í2. Por lo tanto, a = — = 28^ IR C O)o = —tL = = V ó s-1 s/L C y cúd = tJ cüq — a 2 = V 2 rad/s Salvo por la evaluación de las constantes arbitrarias, en este caso se conoce la respuesta: v(t) = e~2t{Bi eos s / l t + B2sen*/2t) Cálculo de los valores de B Ty B 2 Para el cálculo de las dos constantes se procede como antes. Si se continúa suponiendo que v(0) = 0 e ¿(0) = 10, entonces B[ debe ser cero. De ahí que v(t) = B 2e~2t se n V 2 t La derivada es: — = • J lB 2e~lt eos a/2 í — 2B2e~2‘ sen V 2/ at • ---------- ----------- 'V W — (3 3 7 ÍS 8 -------------- W V CAPÍTULO 9 CIRCUITO RLC y en t = 0 se convierte en ■dv dt = V 2.B 2 = = 420 f= 0 donde ic se define en la figura 9.2. Por lo tanto, v(t) = 210\/2e~ 2ísen \/2 f Representación gráfica de ia respuesta subamortiguada Observar que, como antes, esta función de respuesta tiene un valor inicial de cero, debido a la condición de tensión inicial que se impuso, y un valor final de cero en virtud de que el término exponencial se anula para valores grandes de t. Cuando t aumenta a partir de cero, en pequeños valores positivos, v(t) aumenta como 2 1 0 \/2 s e n \/2 í, pues el término exponencial permanece en esencia igual a la unidad. Pero en cierto tiempo tm, la función exponencial empieza a disminuir más rápido a medida que la función sen \ í l t crece. De tal modo, v(t) alcanza un máximo vm y empieza a disminuir. Es necesario observar que tm no es el valor de t para el cual sen \ /2t es un máximo, sino que debe ocurrir un poco antes de que sen \ í l t alcance su máximo. Cuando t = r t/s /l, v(t) es cero. En consecuencia, en el intervalo tt/V 2 < t < V 2 n la respuesta es negativa, y se vuelve cero de nuevo en t = • J ín . Por consiguiente, v(t) es una función oscilatoria del tiempo y cruza el eje de tiempo un número infinito de veces en í = n rc /sfl, donde n es cualquier entero positivo. Sin embargo, en el ejemplo la respuesta sólo es un poco sub­ amortiguada. y el término exponencial provoca que la función se desvanezca tan rápido que la mayor parte de los cruces por cero no serán evidentes en el dibujo. La naturaleza oscilatoria de la respuesta se nota más cuando a disminuye. Si a es cero, lo cual corresponde a una resistencia infinitamente grande, entonces v(t) es una senoide subamortiguada que oscila con amplitud constante. Nunca hay un tiempo para el que v{t) se reduzca y permanezca por debajo de 1% de su valor máximo; en consecuencia, el tiempo de establecimiento es infinito, aunque no es el movimiento perpetuo. Se supuso tan sólo una energía inicial en el cir­ cuito y no se proporcionó ningún medio para disiparla, por lo que se transfiere desde su ubicación inicial en el inductor hasta el capacitor, para luego regresar al inductor, etc., por siempre. Función de la resistencia finita Una/? finita en el circuito RLC en paralelo actúa como un tipo de intermediario de transferencia eléctrica. Cada vez que la energía se transfiere de L a C o de C aL , el intermediario exige una comisión. En poco tiempo habrá tomado toda la energía, disipando de manera desenfrenada hasta el último joule. L a L y C se quedan sin un joule propio, sin tensión y sin comente. Los circuitos RLC en paralelo reales pueden construirse a fin de que tengan valores eficaces de R tan grandes que se conserve durante años una respuesta senoidal subamortiguada natural, sin suminis­ trar ninguna energía adicional. Regresando al problema numérico específico, la diferenciación localiza el primer máximo de v(t), vmi = 71.8 V en tmi — 0.435 s el mínimo siguiente, vmi = —0.845 V en tm2 = 2.66 s SECCIÓN 9.4 CIRCUITO RLC EN PARALELO SUBAMORTIGUADO y así en form a sucesiva. La curva de respuesta se muestra en la figura 9.14, y las curvas de respuesta adicionales de circuitos cada vez más subamortiguados, en la figura 9.15. m (V) ■ F IG U R A 9 . 1 4 La respuesta v(f) = 2 1 0 \/2 e - J í sen \ / 2f de la red que se muestra en la figura 9.2 con R incrementada para producir una respuesta subamortiguada. □ ® v U (C 1 : 1 ) Tiem po I F IG U R A 9 . 1 5 Respuesta a una tensión subamortiguada simulada de una red de tres valores diferentes de resistencia, que muestran un incremento del comportamiento osci'atorio a medida que y? aumenta. Es posible obtener el tiempo de establecimiento mediante una solución de ensayo y error, y para R = 10.5 Í2, resulta ser de 2.92 s, algo más pequeño que en el amortiguamiento crítico. Obsérvese que ts es mayor que tmi debido a que la magnitud de v„2 es m ayor que 1% de la magnitud de vmr Ello sugiere que una ligera reducción de R disminuiría la magnitud de la distancia al eje y permitiría que ís fuera menor que tmi. Las respuestas sobreamortiguada, críticamente amortiguada y subamortigua­ da de esta red, según las simula PSpice, se presentan en la misma gráfica de la • ------------------------------ /V\A/----------------i 339 CAPITULO 9 CIRCUITO RLC a <, v U ( C 1 : 1 ) Tiendo ■ F IG U R A 9 .1 6 Respuestas de tensión sobreamortiguada, críticamente amortiguada y subamortiguada simu­ ladas para la red del ejemplo, que se obtienen cuando se modifica el valor de la resistencia R en paralelo. figura 9.16. Una comparación de las tres curvas hace posibles las siguientes conclusiones generales: • Cuando el amortiguamiento cambia al incrementar el tamaño de la resisten­ cia en paralelo, la magnitud máxima de la respuesta resulta mayor y la can­ tidad de amortiguamiento menor. • La respuesta se vuelve oscilatoria cuando se presenta el subamortiguamiento, por lo que el tiempo de establecimiento mínimo se obtiene para un subamortiguaraiento ligero. D eterm in ar i¡ {t) en el circuito de la figura 9. l ia y graficar la fo rm a de onda. En t = 0 se quitan tanto la fuente de 3 A como la resistencia de 48 £2, con lo cual queda el circuito que se muestra en la figura 9 .17¿>. Por ende, a = 1.2 s-1 y (jOq = 4.899 rad/s. Puesto que a < ooo, el circuito es subamortiguado y, por lo tauto. se espera una respuesta de la forma iL (t) = e~a‘(B] e o s (ú,¡t + B 2 seawdt) [28] donde cod = -Jco^ — a 2 = 4.750 rad/s. El único paso que queda es encontrar B \ y B 2. La figura 9 .17c muestra el circuito como está en el tiempo t — 0 . Se pueden sustituir el inductor con un cortocircuito y el capacitor con un cir­ cuito abierto; el resultado es t>c(0_ ) = 97.30 V e /'¿(O- ) = 2.027 A. Puesto que ninguna cantidad puede modificarse en el tiempo cero, entonces se tiene vc (0+) = 97.30 V e í,.(0+) = 2.027 A. Sustituyendo ¿¿(0) = 2.027 en la ecuación [28] se obtiene B¡ = 2.027 A. Para determinar la otra constante, primero se deriva fa ecuación [28J: _ d iL — -= e ( — B ic o d sena>d t + Bocúd eos o)dt) 1 —ae~ at (B¡ coswdt + B2Sena>dt) [29] SECCIÓN 9.4 CIRCUITO RLC EN PARALFLO SUBAMORTIGUADO (/’A I F IG U R A 9 .1 7 (o) Circuito RLC en paralelo para el que se desea la corriente ¿(f). (b) El circuito en í > 0. (c) Circuito para determinar las condiciones iniciales. se puede observar que = L(di¡ j d i ) . Con referencia al circuito de la figura 9.17¿>, se puede observar que i’/ (()1) = i’c (0 '•j = 97.3 V. Por lo tanto, multiplicando la ecuación [29] por L = 10 H y fijando t = 0, se puede ver que y vL(0) = 10(Bjcoa) - lO afii = 97.3 Resolviendo, Bo — 2.561 A, de tal forma que iL = e - L2í(2.027 eos 4.75? + 2.561 sen4.75?) A la cual está graficada en la figura 9.18. iL(f)( A ) í(s) I F IG U R A 9 .1 8 Gráfica de ¡L(t), que muestra signos evidentes de ser una respuesta subamortiguada. #■ A /W 0 A /W CAPÍTULO 9 CIRCUITO RLC PRACTICA 9.6 El interruptor del circuito de la figura 9.19 se ha mantenido en la posición izquierda durante largo tiempo. Se mueve a la derecha en t = 0. Determinar (a) d v /d t en t = 0+ ; (b) v en t = 1 ms; (c) to, el primer valor de t mayor que cero, para el cual v = 0. 50 k£l 5»(-í) V í=0 — VW3 V- - 0 2H io o k n • ■5 0 0 a 10 I F IG U R A 9 .1 9 Respuestas: — 1400 V/s; 0.695 V; 1.609 ms. A N Á LISIS A SIST ID O POR C O M PU T AD O R A Una característica útil de Probe es su capacidad para efectuar operaciones matemáticas sobre las tensiones y corrientes que resultan de una simulación. En este ejemplo se empleará esa capacidad para mostrar la transferencia de energía en un circuito RLC en paralelo, de un capacitor que almacena ini­ cialmente una cantidad específica de energía (1.25 /¿J) a un inductor que al principio no contiene energía. Se selecciona un capacitor de 100 nF y un inductor de 7 /¿H, lo cual permite de inmediato calcular íüo = 1.195 x 106 s-1 . Para analizarlos casos so­ breamortiguado, críticamente amortiguado y subamortiguado, es necesario ele­ gir la resistencia en paralelo, de manera que se obtenga a > a>a (sobreamor­ tiguado), a = o>o (críticamente amortiguado) y a < a>o (subamortiguado). De las explicaciones anteriores se sabe que para un circuito RLC en paralelo a = {2 R C )~ ]. Se selecciona R = 4.1833 fi como una aproximación cercana al caso críticamente amortiguado; calcular a exactamente igual a coo es en realidad imposible. Si se aumenta la resistencia, la energía que se al­ macena en los otros dos elementos se disipa con mayor lentitud, lo que causa una respuesta subamortiguada. Se selecciona R = 100 fi de manera que se esté bien dentro de este régimen, y se utiliza R = 1 fi (una re­ sistencia muy pequeña) para obtener una respuesta sobreamortiguada. En consecuencia, se planea ejecutar tres simulaciones independientes, variando sólo la resistencia R entre ellas. La energía de 1.25 fiJ almacenada en un principio en el capacitor, corresponde a una tensión inicial de 5 V, y así se establece la condición inicial del capacitor. Luego de que se pone en ejecución Probe, se selecciona Add bajo el menú Trace. Se desea graficar la energía almacenada tanto en el inductor como en el capacitor en función del tiempo. Para el capacitor, w = \ C v 2, por lo que se hace clic en la ventana Trace Expression, se teclea “0.5* 100E-9*” (sin las comillas), se hace clic en V(C1:1), y regresando a la ventana Trace Expression, se indica se hace clic de nuevo en V(C1:1) y se selecciona después O k . Se repite la secuencia para obtener la energía que se almacena en el inductor, uti­ lizando 7E-6 en lugar de 100E-9, y se hace clic en I(L1:1) en lugar de V(C1:1). SECCIÓN 9.5 CIRCUITO RLC EN SERIE SIN FUENTE #■ En la figura 9.20 se proporcionan las gráficas de salida Probe de tres simu­ laciones independientes. En la figura 9.20a se observa que la energía que queda en el circuito se transfiere de manera continua, de ida y vuelta entre el capacitor y el inductor, hasta que (a la larga) se disipe por completo en la resistencia. La disminución de la resistencia hasta 4.1833 £2 produce un cir­ cuito críticamente amortiguado, lo que origina la gráfica de energía de la figura 9.20¿>. L a transferencia de energía oscilatoria entre al capacitor y el inductor se ha reducido en forma dramática. En su lugar se observa que la energía transferida al inductor tiene un máximo en aproximadamente 0.8 ¡is, y que luego disminuye hasta cero. L a respuesta sobreamortiguada se grafica en la figura 9.20c. Se observa que la energía se disipa con mucha mayor rapidez en el caso de la respuesta sobreamortiguada, y que muy poca energía se transfiere al inductor, pues la mayor parte se disipa ahora en la resistencia. n RLC Circuits {active) ib) (a) tnergy iransfer in KL<_ Cira; ic) ■ F IG U R A 9 .2 0 Transferencia de energía de un circuito RLCen paralelo con: (a) R = 100 £2 (subamortiguado); (b) R = 4.1833 £2 (críticamente amortiguado); (c) R = 1 Sí (sobreamortiguado). 9.51CIRCUITO RLC EN SERIE SIN FUENTE_____________ Se desea ahora determinar la respuesta natural de un modelo de circuito com­ puesto por una resistencia ideal, un inductor ideal y un capacitor ideal conectados en serie. La resistencia ideal tal vez represente una resistencia física conectada en un circuito LC o RLC en serie; quizás también represente las pérdidas óhmicas y las pérdidas en el núcleo ferromagnético del inductor, o tal vez se use para repre­ sentar todos los casos anteriores y otros dispositivos que absorben energía. A /W © 3 4 4 ) --------------- W - \ -------- • vc + CAPÍTULO 9 CIRCUITO /?¿C El circuito RLC en serie es el dual del circuito RLC en paralelo, así que este simple hecho resulta suficiente para hacer que su análisis sea un asunto trivial. L a figura 9.21a presenta al circuito en serie. La ecuación integrodiferencial fun­ damental es L —- + R i + — í id t' — vc (ií) = 0 dt C Jt0 y debe compararse con la ecuación análoga del circuito RLC en paralelo, redibujado en la figura 9.21 b, dv 1 1 f1 C —— h — v + — / v d t - i L (to) = 0 dt R L J, JtQ (b) ■ F IG U R A 9 .21 (o) Circuito RLCen serie que es el Las respectivas ecuaciones de segundo orden que se obtienen diferenciando es­ tas dos ecuaciones con respecto al tiempo también son duales: dual de (b) un circuito RLCen paralelo. Los valores de los elementos no son, desde luego, idénticos en ambos circuitos. d 2i d i 1 L dti + R dt + C i ~ (> „ d 2v 1 dv 1301 1 Cd ^ + Jd ¡ + l V= ° P1] El análisis completo del circuito RLC en paralelo se aplica de manera direc­ ta al circuito RLC en serie; las condiciones iniciales sobre la tensión en el capa­ citor y la corriente en el inductor son equivalentes a las condiciones iniciales en la com ente en el inductor y la tensión en el capacitor;la respuesta de tensión consiste enuna respuesta de corriente. Así, se pueden volver a leer las cuatro secciones anteriores utilizando el lenguaje dual, a fin de obtener una descripción completa del circuito RLC en serie. Sin embargo, este proceso resulta adecuado para inducir una neurosis ligera, luego de la lectura de los primeros párrafos, y en realidad no parece que sea necesario. Breve resumen de la respuesta del circuito en serie Resulta fácil presentar un breve resumen de la respuesta del circuito en serie. En términos del circuito que se presenta en la figura 9.21 a, la respuesta sobreamor­ tiguada es i(t) = A ie Slt + A 2eS2t donde: = —a ± J a 2 — co. y por ello R 01 ~ 2 L coo VLC La forma de la respuesta críticamente amortiguada es i(t) = e~a ,(A \t + A 2 ) y la respuesta subamortiguada se escribiría como i(t) = e~at(B\ e o scodt + B2sencodt) SECCIÓN 9.5 CIRCUITO RLC EN SERIE SIN FUENTE TABLA 9.1 A A /V •" 345 Resumen de las ecuaciones relevantes de los circuitos RLC sin fuente. Condición Tipo Respuesta (Oq Criterio 1 P ara le lo S o breamorti gu ado a > (ún Serie A \e sit + '^2eS1' . donde 2 RC R J lc =5,2 = —a ± \/a 2 ~zT 1 P a r a le lo =Críticamente amortiguado a —_wq§: Serie 2 RC e-°“ (■A lt + A 2) R_ ~TL 1 P aralelo Subamortiguado a < a>o Serie e at (S i co§uvdt + B 2 senCDjj.), 2 RC R IL *JLC donde u>d = JclÍq — a 2 donde: cod = iJ cúq—a 2 Es evidente que si se trabaja en términos de los parámetros a, cúq, y coj, las formas matemáticas de las respuestas para las situaciones duales son idénticas. Un aumento en a en el circuito en serie o en paralelo, siempre y cuando co0 se mantenga constante, tiende hacia una respuesta sobreamortiguada. La única pre­ caución que se debe tomar radica en el cálculo de a , que corresponde a 1 /2 RC en el caso del circuito en paralelo, y & R /2 L en el del circuito en serie; por con­ siguiente, a se incrementa al aumentar la resistencia en serie, o al disminuir la re­ sistencia en paralelo. Por conveniencia, las ecuaciones clave de los circuitos RLC en serie y paralelo se resumen en la tabla 9.1. EJEMPLO 9.7 Dado el circuito R L C en serie de la figura 9.22, en el que 1 = 1 H, R = 2 kfi, C = 1/401 ¡iF, i(0) = 2 m A, y dc(0) = 2 V, encontrar y dibu­ jar i(t), t > ft. - i’c + Se obtiene a = R /2 L = 1000 s 1 y two = 1!~JLC = 20025 rad/s, lo cual indica una respuesta subamortiguada. Por lo tanto, se calcula el valor de o>r¡ y se tienen 20000 rad/s. Excepto por la evaluación de las dos constantes ar­ bitrarias, se sabe ahora que la respuesta es ■ F IG U R A 9 .2 2 Circuito RLCsimple sin fuente Ut) = e ~ i m ,(B¡ eos 2 0 OOOí + B2 sen 20000?) Puesto que se sabe que ¡(0) = 2 mA, se sustituiría este valor en la ecuación de i (?) obteniendo así B x = 0.002 A por lo cual i( t ) = 10001 (0.002 eos 2 0 OOOí + B 2 sen 20 0 0 0 0 A (Continúa en la siguiente página) con energía almacenada en el inductor y en el capacitor en f = 0. CAPÍTULO 9 CIRCUITO RLC La condición inicial restante debe aplicarse a la derivada; en consecuencia, — = e ~ i 000' ( - 4 0 sen 20000/ + 20000B-, eos 20000/ dt —2 eos 20000/ — 1 0 0 0 / ? 2 sen 20000/ di dt 20 000fi2 - 2 = 1=0 »c(0) ~ R i(0) L 2 - 2000 (0 .002) ------------- 2------- - = - 2 A/s 1 por lo que B2 = 0 La respuesta deseada es, entonces, i(t) = l e ~ 1000f e o s 20 000 / mA Se lograría un buen dibujo al graficar primero las dos partes de la envol­ vente exponencial,2e~l °°0í y —2e~1000' mA, como se muestra mediante las líneas punteadas en la figura 9.23. La ubicación de los puntos de un cuarto de ciclo de la onda senoidal en 20000/ = 0 , 7r/2, ir, etc., o / = 0.07854/; ms, k = 0, 1, 2 , __ mediante líneas delgadas sobre el eje del tiempo, permite que la curva oscilatoria se dibuje con rapidez. i(t) (m A ) ■ F IG U R A 9 .2 3 Respuesta en corriente de un circuito RLCen serie sub­ amortiguado, para la cual a = 1000 s-1 , a>0 = 20000 s_1, /(O) = 2 mA y vc(0) = 2 V. La construcción gráfica se simplifica dibujando en el envolvente, la cual se muestra como el par de líneas punteadas. En este caso, el tiempo de establecimiento se determina con facilidad por medio de la parte superior de la envolvente. Esto es, se iguala 2 e~ l000's mA a 1% de su valor máximo, 2 mA. Por lo tanto, e ~ l 000‘s = 0.01, y /j = 4.61 ms es el valor aproximado que casi siempre se usa. SECCIÓN 9.5 CIRCUITO RLC EN SERIE SIN FUENTE P R Á C T IC A AA/V _________________________________________________________ 9.7 De acuerdo con el circuito de la figura 9.24, determinar (a) a ; (b) coq', (c) /(0 +); (d) d i / d t |t=o+; (e) /(12 ms). loo a — 0.5 H f » W v — 4 0 p.¥ - = c | 1' ■ F IG U R A 9 .2 4 R e sp u e sta s: lO O s '; 2 2 4 ra d /s ; 1 A ; 0 ; - 0 . 1 2 0 4 A . Como ejemplo final, se hará una pausa para considerar algunas situaciones donde el circuito incluya una fuente dependiente. Si no es de interés ninguna corriente o tensión de control asociada con la fuente, se puede simplemente en­ contrar el equivalente de Thévenin conectado al inductor y al capacitor. De otra forma, es muy probable que se tenga que enfrentar la situación de tener que escri­ bir una ecuación integrodiferencial apropiada, calcular las derivadas indicadas y resolver la ecuación diferencial resultante lo mejor que se pueda. ------------------------------------------- EJEMPLO 9.8 Encontrar la expresión de v d t ) en el circuito de la figura 9.25a, que sea válida en t > 0. ■ F IG U R A 9 .2 5 (a) Circuito RLCque contiene una fuente dependiente. (£>) Circuito para encontrar /?«,. Como el interés es solamente en v d t), es totalmente aceptable comenzar en­ contrando la resistencia de Thévenin equivalente conectada en serie con él ( Continúa en la siguiente página) A /W -• CAPÍTULO 9 CIRCUITO RLC inductor y el capacitor en t = O4 . Se lleva a cabo lo anterior conectando una fuente de 1 como se muestra en la figura 9.25b, a partir de lo cual se puede deducir que Utest = 11 i - 3i = 8i = 8(1) = 8 V. Por lo tanto, R tq = 8 £2, por lo que a = R /2 L = 0.8 s-1 y coo = 1/ V L C = 10 rad/s, lo que significa que se espera una respuesta subamortiguada con cod = 9.968 rad/s y la forma: i> c (t) = e °'8r(/<| eos 9.968í + Z? 2 sen 9.968í) [32] Al considerar el circuito en t = 0“ , se puede observar que ¿¿(0 ) = 0 debido a la presencia del capacitor. Por medio de la ley de Ohm, i (0“ ) = 5 A, por lo que i>c (0+ ) = i>c(0 ") = 1 0 - 3i = 10 - 15 = - 5 V Si esta última condición se sustituye en la ecuación [32] se obtiene B\ = —5 V. Si se calcula la derivada de la ecuación [32] y se evalúa en i = 0 se obtiene dvc dt f =0 [33] —O.8 . 8 1 + 9.968B2 = 4 + 9.96852 Se puede observar a partir de la ecuación 9.25a que „dvc dt 1 = -C —- Por lo tanto, con base en el hecho de que i (0+ ) = ¿z.(0~) = 0 en la ecuación [33] se obtiene B i = —0.4013 V, y se puede escribir 1 < c (t) = —e _0'8í(5cos9.9681 + 0.4013sen9.968í) V, t > 0 La figura 9.26 muestra la simulación en PSpice de este circuito que con­ firma el análisis. -5 . es 1 . os 2 .0 5 3 . Os 4 . OS S.ffS 6 . OS U (C 1 ;1 )- U (C 1:2) - -exp(-0.8*T¡empo) * (5*cos(9.968*T¡empo) + 0.4013*sen(9.968*Tiempo)) Tiempo I F IG U R A 9 .2 6 Simulación en PSpice del circuito que se muestra en la figura 9.25a. El resultado analítico se grafica mediante una linea roja punteada. SECCIÓN 9.6 RESPUESTA COMPLETA DEL CIRCUITO RLC P R Á C T IC A _________________________________ __ _______________________ 9.8 Encontrar la expresión de iL(t) en el circuito de la figura 9.27, que sea válida para t > 0, si i>c(0_) = 10 V y iL(0“ ) = 0. Observar que a pesar de que najes de utilidad aplicar Iqs. técnicas de Thévenin en este caso, la acción de los enlaces e ii de la fuente dependiente es tal que se obtiene como resultado una ecuación diferencial lineal de prim er orden. Respuesta^ í'l (í) = —30e 3001 A, t > 0. 9.6 RESPUESTA COMPLETA DEL CIRCUITO RLC ------------------------■ -------------------------------------------- ■ ---------------------Considerar ahora los circuitos RLC en los que las fuentes de cd se conmutan en la red y producen respuestas forzadas que no necesariamente se anulan cuando el tiempo se vuelve infinito. La solución general se obtiene mediante el mismo procedimiento que se siguió en los circuitos RL y RC Ya respuesta forzada se de­ termina por completo; la respuesta natural se obtiene como una forma funcional adecuada que condene el número apropiado de constantes arbitrarias; la respuesta completa se escribe como la suma de las respuestas forzada y natural; además, las condiciones iniciales se determinan y se aplican a la respuesta completa a fin de calcular los valores de las constantes. Con frecuencia, este último paso re­ sulta el más complicado para los estudiantes. En consecuencia, aunque la deter­ minación de las condiciones iniciales no difiere en lo básico en el caso de un cir­ cuito que contiene fuentes de cd, de la correspondiente a los circuitos sin fuente que ya se estudiaron con cierto detalle, este tem a recibirá un tratamiento desta­ cado en los ejemplos que siguen. L a mayor parte de la confusión al determinar y aplicar las condiciones inicia­ les surge por la simple razón de que no se cuenta con un conjunto de reglas rigu­ rosas dispuestas, que sea viable seguir. En cierto punto de cada análisis suele surgir una situación en la que se ve involucrada alguna idea que resulta más o menos única para ese problema particular, lo cual es casi siempre la fuente de la dificultad. La parte fácil La respuesta completa (supuesta de manera arbitraria como la respuesta de ten­ sión) de un sistema de segundo orden consiste en una respuesta natural: vf (t) = Vf que es una constante de la excitación de cd, y una respuesta natural: vn{t) = A eSl‘ + B eS2t WV------------ { 3 4 9 A A /v -• CAPÍTULO 9 CIRCUITO W/C En consecuencia: v(t) = Vf + A es¡‘ + B e52' Se supone que S|, ¿2 . y ^/Ya se determinaron en el circuito y en las funciones forzadas que se indican; queda por conocer A y fi. La última ecuación muestra la interdependencia funcional de A, B, v, y f, de modo que la sustitución del valor conocido de v en t = 0+ nos da entonces una sola ecuación que relaciona A y B, u(0+ ) = Vf + A + B. Esta es la parte fácil. La otra parte Desafortunadamente, se requiere otra relación entre A y fi la cual se obtiene casi siempre al tomar la derivada de la respuesta: ^ = 0 + s\A e Si’ + s2BeSlt dt \ y al sustituir el valor conocido de d v / d t en t = 0+ .Así, se tienen dos ecuaciones que relacionan a A y fi y que se resolverían de manera simultánea para evaluar las dos constantes. El único problema que resta es determinar los valores de v y d v / d t en t = 0+ . Suponga que v es una tensión en el capacitor, vc- Puesto que ¿c = C d v c /d t, se debe reconocer la relación entre el valor inicial de d v /d t y el valor inicial de alguna comente en el capacitor. Si se pudiera establecer un valor de dicha corriente inicial en el capacitor, entonces se establecería de manera automática el valor de d v /d t. Casi siempre los estudiantes pueden obtener con facilidad u(0+ ) pero suelen titubear un poco al determinar el valor inicial de d v /d t. Si se hubiera elegido una com ente en el inductor i¿ como nuestra respuesta, entonces el valor inicial de d¡L / d t estaría íntimamente relacionado con el valor inicial de cierta tensión en el inductor. Otras variables, aparte de las tensiones en el capacitor y de las comentes en el inductor, se determinan al expresar sus valores iniciales y los valores ini­ ciales de sus derivadas en términos de los valores correspondientes de vc y ílSe ilustra el procedimiento y se calculan todos estos valores mediante el análisis cuidadoso del circuito de la figura 9.28. Para simplificar el análisis, se usa de nuevo una gran capacitancia que es irreal. ■ F IG U R A 9 .2 8 (o) Circuito RLCque se emplea para ilustrar varios procedimientos mediante los que se pueden obtener las condiciones iniciales. La respuesta deseada se toma nominalmerrte como (¿>) t = O- , (c) t > 0. SECCIÓN 9.6 RESPUESTA COMPLETA DEl CIRCUITO RLC * A /W EJ EMPLO Hay tres elementos pasivos en el circuito de la figura 9.2-8a; además, la tensión y la corriente se definen en cada uno de ellos. Determinar los valores de estas seis cantidades tanto en t = 0“ como en t = 0~. El objetivo consiste en determinar el valor de cada corriente y de cada ten­ sión tanto en t = 0“ como en t = 0+ . Luego de conocer estas cantidades, se obtendrían con facilidad los valores iniciales de las derivadas. Se empleará primero un método lógico paso por paso. 1. En t = 0“ En t = 0_ , sólo la fuente de corriente de la derecha está acti­ va, como se señala en la figura 9.28b. Se supone que el circuito ha estado siempre en tal estado y que todas las com entes y tensiones son constantes. De tal manera, una corriente cd que atraviesa el inductor requiere una ten­ sión cero a través de él: vL(0 ) = 0 y que una tensión cd en el capacitor (—vR) requiere que circule por él una corriente cero: ¿c«n = o A continuación se aplica la ley de Kirchhoff de corriente en el nodo derecho para obtener ¿* (0 -) = - 5 A la cual también origina vR(0~) = - 1 5 0 V Se podría recurrir ahora a la ley de Kirchhoff de tensión alrededor de la malla izquierda con el objeto de encontrar wc (0 -) = 150 V mientras que la LKC permite determinar la corriente en el inductor, iL(0 ") = 5 A 2. t = 0+ Durante el intervalo de t = 0 ” a t = 0+ , la fuente de com ente del lado izquierdo se activa y muchos de los valores de tensión y corriente en t = 0“ cambiarán de modo abrupto. El circuito correspondiente se presenta en la figura 9.28c. Sin embargo, se debe empezar concentrando la atención en las cantidades que no pueden cambiar, a saber, la corriente en el inductor y la tensión en el capacitor. Ambas deben permanecer constantes durante el intervalo de conmutación. De tal modo, iL(0+) = 5 A y uc (0+) = 150 V Puesto que se conocen dos corrientes en el nodo izquierdo, a continuación se obtiene iR(0+) = - l A y vR(0+) = —30 V *c(0+) = 4 A y vL(0+) = 120 V por lo que y se tienen los seis valores iniciales en t = 0“ y seis más en t = 0+ . Entre los últimos seis valores, sólo la tensión en el capacitor y la com ente en el inductor se mantienen sin cambio desde los valores t = 0 ~ . 9.9 A /W -• CAPÍTULO 9 CIRCUITO RLC Se pudo haber recurrido a un método un poco diferente para evaluar estas corrientes y tensiones en t = 0“ y t = 0+ . Antes de la operación de conmutación, en el circuito sólo existen corrientes y tensiones, ambas directas. Por lo tanto, se podría reemplazar el inductor por un cortocircuito, su equivalente de cd, en tanto que el capacitor se sustituye por un circuito abierto. Al volverse a dibujar de esta manera, el circuito de la figura 9.28a aparece como en la figura 9.29a. Sólo la fuente de corriente de la derecha se encuentra activa y sus 5 A fluyen a través de la resistencia y el del inductor. En consecuencia, se tiene í r (0~) = —5 A y 1 ^ (0 -) = —150 V. ¿l(0 “ ) = 5 A y vr.QtT) = 0 , y i c (0~) = 0 y v c (0~) = 150V, como antes. ’R + vR A/W ■ F IG U R A 9 .2 9 (o) Circuito simple equivalente correspondiente al circuito de la figura 9.28o para f = O- . (b) Circuito equivalente con las tensiones y corrientes indicadas, válidas en el instante definido por f = 0+ . La atención se enfocará ahora en el problema de dibujar un circuito equiva­ lente que ayudará a determinar varias tensiones y com entes en t = 0+ . Cada tensión en el capacitor y cada corriente en el inductor deben permanecer constantes durante el intervalo de conmutación. Estas condiciones se aseguran susti­ tuyendo el inductor por una fuente de corriente y e) capacitor por una fuente de tensión; asimismo, cada fuente sirve para mantener una respuesta constante du­ rante la discontinuidad. Se produce el circuito equivalente de la figura 9.29b de modo que resulta necesario advertir que dicho circuito es válido sólo para el in­ tervalo entre 0“ y ()+ . Las tensiones y las corrientes en t = 0+ se obtienen al analizar este circuito de cd. La solución no es difícil, aunque el número más o menos grande de fuentes presentes en la red originen una vista un tanto extraña. Sin embargo, los problemas de este tipo se resolvieron en el capítulo 3, por lo que no hay nada nuevo implicado. Para resolver primero las corrientes, se empieza en el nodo izquierdo superior y se ve que ¡/j(0+) = 4 — 5 = —1 A . Al moverse hacia el nodo derecho superior, se encuentra que ¿c(0+) = —1 + 5 = 4 A, y, desde luego, ¡l (0+) = 5 A. A continuación se analizan las tensiones. Al utilizar la ley de Ohm se puede ob­ servar que i'/?(0+) = 30(—1) = —30 V. En el caso del inductor, la LKT da vjJ0 +) = —3 0 + 1 5 0 = 120 V. Por último, al incluir uc(0+) = 150 V, se tienen todos los valores en t = 0+ . SECCIÓN 9.6 RESPUESTA COMPLETA DEL CIRCUITO RLC * AA/V P R A C T IC A 9.9 Sea is = 10m(—t) — 20u (t) A en la figura 9.30. Determinar (a) iL{0 ); (b) uc (0+ ); (c) vR(0+): (d) iLÁOOy, (e) ¡¿ (0 .1 ms). Respuestas: 10 A; 200 V; 200 V; - 2 0 A; 2.07 A. EJ EMPLO Completar la determinación de las condiciones iniciales del circuito de la figura 9.28, que se repite en la figura 9.31. Para ello, encontrar los valores en í = 0+ correspondientes a las primeras derivadas de las tres variables de tensión y las tres de corriente definidas en el esquema del circuito. 4u(t) A 5A ■ F IG U R A 9 .3 1 Circuito de la figura 9.28, repetido para el ejemplo 9.10. Se empieza con los dos elementos de almacenamiento de energía. Para el inductor vL — L d iL dt y, de manera específica, vl (0+) = L ^ dt t=o+ En consecuencia: d iL i>l (0+) 120 d t t=o+ = 40 A/s en forma similar: dvc d t /=0+ k(0+) 1/27 = 108 V/s (Continúa en la siguiente página) 9.1 A /V Y ■# CAPÍTULO 9 CIRCUITO RLC Las otras cuatro derivadas se determinan al observar que a las LKC y LKT las satisfacen también las derivadas. Por ejemplo, en el nodo de la izquierda de la figura 9.31, 4 —Í l —Í r = 0, t > 0 y por ello, „ _ £ í¿ _ Í ! » = 0 , dt dt r> 0 por lo tanto, d iR = - 4 0 A/s d t t=o+ Se determina que los tres valores iniciales restantes de las derivadas co­ rresponden a dvR dt í=0+ dvL dt í= 0 + = - 1 200 V/s = - 1 092 V/s d ic = - 4 0 A/s d t t=o+ Antes de dejar este problema del cálculo de los valores iniciales necesarios, debe señalarse que al menos se ha omitido otro método poderoso para determi­ narlos: se pudieron haber escrito las ecuaciones generales de nodo, o de lazo, del circuito original. Luego, la sustitución de los valores cero conocidos de la tensión en el inductor y de la corriente en el capacitor, en t = 0“ descubriría varios valores de respuesta extra en t = 0~ y permitiría que el resto se calculara sin ninguna dificultad. En ese caso debe efectuarse un análisis similar en t = 0+ lo cual constituye un método importante que se hace necesario en circuitos más complicados, que no pueden analizarse por medio de los más simples procedi­ mientos paso a paso. A continuación se terminará en forma breve la determinación de la respuesta vc (t) en el caso del circuito original de la figura 9.31. Con am bas fuentes desconectadas, el circuito se presenta como uno de RLC en serie y se descubre con facilidad que .vi y S2 son, respectivamente, -1 y -9 . La respuesta forzada se calcula por inspección o, si es necesario, dibujando el equivalente de cd, que es similar a la figura 9.29a, con la adición de una fuente de corriente de 4 A. La respuesta forzada equivale a 150 V. Por lo tanto, vc {t) = 150 + A e~‘ + B e~ 9t y vc (0+ ) = 1 5 0 = 1 5 0 + A + B A + B = 0 Entonces, dvc = - A e ~ l - 9Be -91 dt SECCIÓN 9.6 RESPUESTA COMPLETA DEL CIRCUITO RLC y Por último, A = 13.5 B = —13.5 y vc (t) = 150 + 13.5(e_í - e~9t) V Resumen rápido del proceso de solución En síntesis, cada vez que se desee determinar el comportamiento transitorio de un circuito RLC simple de tres elementos, se debe decidir primero si se está re­ solviendo un circuito en serie o en paralelo, a fin de que se utilice la relación co­ rrecta para a. Las dos ecuaciones son: a = -----2RC a — —— (RLC en paralelo) (RLC en serie) L a segunda decisión se toma después de comparar a con coo, la cual se indica a partir de cualquier circuito por medio de 1 Wo " V l c Si a > &)o, el circuito está sobreamortiguado y la respuesta natural tiene la forma: f n(t) = A ves" + A 2eS2t donde For último, si a < coq, entonces se enfrenta uno a la respuesta subamortiguada'. /„ (r) = e °“(A i eos codt + A 2 sen wdt) donde La última decisión depende de las fuentes independientes. Si no hay alguna que actúe en el circuito después de que se term ina la conmutación o la discon­ tinuidad, entonces el circuito no tiene fuente y la respuesta natural equivale a la respuesta completa. Si aún están presentes fuentes independientes, el circuito está activado y debe determinarse una respuesta forzada. La,respuesta completa es, en ese caso, la suma /(O = f f ( t ) + f n( t ) + AA/V--------- ( APLICACIÓN PRÁCTICA _ } E la b o r a c ió n d e l m o d e lo p a r a s is te m a s d e s u s p e n s ió n d e a u t o m ó v ile s En el párrafo introductorio, se alude al hecho de que los conceptos investigados en este capítulo en realidad se ex­ tienden más allá del análisis de los circuitos eléctricos. En realidad, la forma general de las ecuaciones diferenciales con las que se trabaja aparecen en muchos campos; sólo es necesario aprender a “traducir” la nueva tecnología de pa­ rámetros. Por ejemplo, considerar una suspensión de auto­ móvil simple, como se dibuja (de manera un poco burda) en la figura 9.32. El émbolo no está unido al cilindro, pero sí al resorte y a la rueda. Por lo tanto, las partes móviles son el resorte, el émbolo y la rueda. Se hará el modelo de este sistema físico determinan­ do primero las fuerzas en juego. Al definir una función de la posición p (t) que describe el lugar donde se en­ cuentra el émbolo dentro del cilindro, se podría escribir Fs, la fuerza sobre el resorte, como Fs - K p ( t) donde K se conoce como la constante del resorte y tiene unidades lb/pie. La fuerza sobre la rueda F w es igual a la masa de la rueda multiplicada por su aceleración, o d 2p ( t ) Fw — in­ d i1 donde m se mide en Ib -s2/pie. L a última, pero no menos importante, fuerza es la de fricción F f que actúa sobre el émbolo Ff — p,f d p (t) dt ■ F IG U R A 9 .3 2 Sistema de suspensión de automóvil típico. © Transtock lnc./Alamy donde \ i f es el coeficiente de fricción, con unidades de Ib • s/pie. De acuerdo con los cursos básicos de física se sabe que todas las fuerzas que actúan en un sistema deben sumar cero, por lo que d 2p ( t ) d p (t) m^ ^ + w ^ r + ' í'’w = 0 1341 Es muy probable que la ecuación haya tenido el potencial de causar pesadillas en algún punto de alguna carrera aca­ démica, pero ya no. Si se compara la ecuación [32] con la [30] y la [31], se verá de inmediato una semejanza distin­ ta, al menos en la forma general. Al elegir la ecuación [30], la ecuación diferencial que describe la respuesta de un cir­ cuito RLC conectado en serie, se observan las siguientes correspondencias: Masa m - > inductancia L Coeficiente de fricción P f ~ > resistencia R K - > inverso de la Constante de C-1 capacitancia resorte i(t) Variable de la P(t) ~ > variable de la corriente posición Por lo tanto, si se está dispuesto a hablar de pies en lugar de amperes, de Ib • s2/pie en vez de H, de H, pie/lb en lugar de F, y de Ib • s/pie en lugar de £2, se pueden aplicar las ha­ bilidades que se acaba de descubrir al elaborar el modelo de los circuitos RLC para la tarea de evaluar los amortiguadores de automotores. Considerar una rueda de automóvil común de 70 Ib. La masa se determina dividiendo el peso entre la aceleración gravitacional terrestre (32.17 pies/s2), lo que origina m = 2.176 Ib • s2/pies. El peso muerto del automóvil es de 1985 Ib, y el desplazamiento estático del resorte corresponde a 4 pulgadas (sin pasajeros). La constante de resorte se obtiene a través de la división del peso de cada amortiguador entre el desplaza­ miento estático, de modo que resulta K = (i)(1985) (3 pies-1 ) = 1489 lb/pies. Se indicó también que el coefi­ ciente de fricción del arreglo émbolo/cilindro corresponde a 65 Ib • s/pies. Por lo tanto, se puede simular el amor­ tiguador como un modelo de un circuito RLC en serie que tiene R = 65 £2, L = 2.176 H, y C = K ~ l = 671.6 fiF. La frecuencia resonante del amortiguador es coq = (L C )-1/2 = 26.16 rad/s, y el coeficiente de amortigua­ miento es a a = R /2 L = 14.94 s_1. Puesto que a < coo, el amortiguador representa un sistema subamortiguado; lo anterior quiere decir que se espera un rebote o dos después de que se pasa sobre un bache. Un impacto más fuerte (un mayor coeficiente de fricción, o una resistencia más alta del modelo de circuito) por lo común resulta deseable cuando se toman las curvas a velocidades altas: en algún punto esto corresponde a una respuesta sobreamor­ tiguada. Sin embargo, si la mayor parte del recorrido es sobre caminos no pavimentados, se prefiere una respuesta un poco subamortiguada. SECCIÓN 9.7 CIRCUITOLC SIN PÉRDIDAS • ------------------------- VW------------- 357 Esto es aplicable a cualquier corriente o tensión en el circuito. El último paso es resolver las constantes desconocidas dadas las condiciones iniciales. P R Á C T IC A _______________________ " .................... .................. 9.10 Sean vs = 10 + 20u(t) V en el circuito de la figura 9.33. Determinar (a) iL(0); (b) uc (0); (c) iL¡f , (d) iL (0.1 s). I F IG U R A 9 .3 3 Respuesta: 0.2 A; 10 V; 0.6 A; 0.319 A. 9.71CIRCUITO LC SIN PERDIDAS Si el valor de la resistencia de un circuito RLC en paralelo se vuelve infinito, o cero en el caso de un circuito RLC en serie, se tiene un lazo LC simple en el que se pue­ de mantener para siempre una respuesta oscilatoria. Se considerará brevemente un ejemplo de un circuito de este tipo y luego se explicarán otros medios para obtener una respuesta idéntica, sin necesidad de suministrar ninguna inductancia. Pensar en el circuito sin fuente de la figura 9.34, para el que se usan los valo­ res grandes L = 4 H y C = ^ F d e manera que los cálculos serán simples. Sea i (0) = -g A y u (O ) = 0. Se encuentra que a — Oyco^ = 9 s~2, por lo que&>¿ = 3 rad/s. Si no hay amortiguamiento exponencial, la tensión v resulta sólo v = A eos 31 + B sen 31 Puesto que v (0) = 0, vemos que A = 0. A continuación: dv dt i( 0) = 3B = — ,= o 1 /3 6 Pero /(0) = —g amperes y, por lo tanto, d v / d t = 6 V/s en f = 0. Se debe tener B = 2 V así que v = 2 sen 31V que es una respuesta senoidal amortiguada; en otras palabras, la respuesta en tensión no disminuye. Se verá cómo se obtendría esta tensión, sin recurrir a un circuito LC. Las in­ tenciones son escribir la ecuación diferencial que satisfaga v y luego establecer una configuración de amp ops que proporcione la solución de la ecuación. Aunque se trabaja con un ejemplo específico, ésta es la técnica general que se usa para resolver cualquier ecuación diferencial homogénea lineal. En el caso del circuito LC de la figura 9.34, se elige v como la variable y se iguala a cero la suma de las corrientes en el inductor y en el capacitor: ] dv -1 ,T v____ d t - - 1 H---------- = 0 44 Jto 66 36 d t Derivando una vez, se tiene 1 1 d 2v 4 U+ Í 6 ^ = ° d 2v s ¿ = - 9v 4 H ■ F IG U R A 9 .3 4 Esie circuito no presenta pérdidas y proporciona la respuesta subamortiguada v = 2 sen %V, si i/(o) = o e /(O) = - 1 A. 358 ■ F IG U R A 9 . 3 5 El amplificador operacional inver­ sor proporciona una ganancia v0/v5 = -Rf/R\, si se supone un amp op ideal. CAPITULO 9 CIRCUITO RLC Para resolver esta ecuación sc planea utilizar el amplificador operacional como un integrador. Se supondrá que la derivada de orden superior que aparece aquí en la ecuación diferencial, d 2v / d t 2, está disponible en la configuración de amp op en un punto arbitrario A. Se recurre luego al integrador, con R C = 1, como se ex­ plicó en la sección 7.5. La entrada es d 2v / d t 2, y la salida debe ser —d v / d t , donde el cambio de signo proviene del uso de una configuración de amp op inversor como un integrador. El valor inicial de d v /d t es 6 V/s, como se mostró cuando se analizó primero el circuito, así que debe fijarse un valor inicial de —6 V en el integrador. El negativo de la primera derivada forma ahora la entrada para un segundo integrador, de manera que su salida es v(t), sin embargo, el valor ini­ cial corresponde t>(0) = 0. En estas condiciones sólo resta multiplicar v por —9 para obtener la segunda derivada que se supuso en el punto A. Esta es una am­ plificación por 9 con un cambio de signo, y se consigue con facilidad utilizando el amp op como un amplificador inversor. La figura 9.35 muestra el circuito de un amplificador inversor. Para un amp op ideal, tanto la corriente de entrada como la tensión de entrada son cero. Por con­ siguiente, la corriente que se va hacia el “este”, pasando a través de Ri es vs/R \, en tanto que la que circula hacia el oeste a través de /^equivale a v0/R¡-. Puesto que su suma es cero, se tiene: Vo_ _ _ R ¿ vs En consecuencia, se puede diseñar para una ganancia d e —9dejando/?/ = 90 kQ y R i = 1 0 kft, por ejemplo. Si R be 1 y C corresponde a 1 /i,Fen cada uno de los integradores, entonces v0 = - vs d t' + vo(0) Jo en cada caso. La salida del amplificador inversor forma ahora la entrada supuesta en el punto A, lo cual origina la configuración de los amp ops de la figura 9.36. Si se deja que el interruptor se cierre en t — 0 mientras se abren al mismo tiempo los dos interruptores de la condición inicial, la salida del segundo integrador será la onda senoidal subamortiguada v — 2 sen 3í V. ■ F IG U R A 9 .3 6 Dos integradores y un amplificador inversor se conectan para proporcionar la solución de la ecuación diferencial d2v/dt2 = - 9 v. RESUMEN Y REPASO Observar que el circuito LC de la figura 9.34 y el circuito de amp op de la fi­ gura 9.36 tienen la misma salida, aunque el circuito de amp op no contiene un so­ lo inductor, actúa simplemente como si incluyera uno, suministrando la tensión senoidal apropiada entre su terminal de salida y la conexión a tierra. Lo anterior resulta una considerable ventaja práctica o económica en el diseño de circuitos, pues los inductores casi siempre son voluminosos, más costosos que los capaci­ tores y presentan más pérdidas asociadas (y por tanto el modelo “ideal” no los re­ presenta bien). P R A C T IC A ^__________ ________________________________ ______________ _ 9 . 1 1 Asignar nuevos valores a R f a las dos tensiones iniciales del circuito de la figura 9.36, si la salida representa la tensión v (t) en el circuito de la figura 9.37. Respuesta: 250 k fi; 400 V; 10 V. RESUMEN Y REPASO__________ __ ________________ J Los circuitos con dos dispositivos de almacenamiento de energía que no pueden combinarse mediante técnicas de combinación serie/paralelo se describen mediante una ecuación diferencial de segundo orden. ü Los circuitos RLC serie y paralelo se clasifican en una de tres categorías, dependiendo de los valores relativos d e R, L y C: Sobreamortiguado Críticamente amortiguado Subamortiguado (a > too) (a = coo) (a < coq) □ En los circuitos R LC en serie, a = R / 2 L y &>0 = 1/ V LC. □ En los circuitos R LC en paralelo, a = l / l R C y w o = 1 /V LC. □ La forma usual de una respuesta sobreamortiguada es la suma de dos térmi­ nos exponenciales, uno de los cuales decae más rápido que el otro; por ejemplo, A \e ~ l + Á 2 e~6t. □ La forma típica de una respuesta críticamente amortiguada es e - “'( A ,í + A2). □ La forma característica de una respuesta subamortiguada es una senoidal amortiguada exponencialmente; e~at(B \ eos + 6 2 sen wjt). «- A /W CAPITULO 9 CIRCUITO RLC u Durante la respuesta transitoria de un circuito RLC, la energía se transfiere entre los elementos de almacenamiento de la misma hasta el grado permi­ tido por el componente resistivo del circuito, que actúa para disipar la energía almacenada al inicio. □ La respuesta completa es la suma de las respuestas natural y forzada. En este caso la respuesta total debe determinarse antes de encontrar' el valor de las constantes. LECTURAS ADICIONALES__________________________ Un excelente análisis del em pleo de PSpice en el m odelado de sistemas de sus­ pensión de automóviles se puede encontrar en R.W. Goody, MicroSim PSpice fo r Windows, vol. I, 2a. ed., Prentice-Hall, Englewood Cliffs, N.J., 1998. Un gran núm ero de descripciones detalladas de redes analógicas puede encon­ trarse en el capítulo 3 de E. Weber, Linear Transient Analysis Volume I, Wiley, Nueva York, 1954. (Este libro se encuentra agotado, pero puede encontrarse en las bibliotecas de muchas universidades.) EJERCICIOS_____________________________________ 9.1 C ircu ito en p a ra le lo sin fu e n te 1. Cierto circuito está construido con cuatro elementos en paralelo: una resistencia: de 4 £2 una resistencia de 10 £2 un capacitor de 1 /xF y un inductor de 2 mH. (a) Calcular a . (b) Calcular coo. (c) ¿Es el circuito subamortiguado, críticamente amortiguado o sobreamortiguado? Explique su respuesta. 2. Un circuito RLC en paralelo está constituido de un inductor de 2 H y un capacitor de 1 pF ¿Qué valor de resistencia debe agregarse en paralelo para asegurar (a) una respuesta subamortiguada; (b) una respuesta críticamente amortiguada? 3. Un circuito RLC sin fuente tiene una R = 1 £2, C = 1 nF, y L = 1 pH. (a) Calcular a y cao. íb) Calcular .vi y s2. (c) ¿Cuál es la forma de la respuesta de corriente del in­ ductor para t > 0? 4. Una capacitancia de 22 aF se conecta en paralelo con una inductancia de 1 fH. ¿Qué valor de resistencia conectado en paralelo producirá (a) una respuesta subamortigua­ da; (b) una respuesta críticamente amortiguada; (c) una respuesta sobreamortiguada? 5. Un circuito RLC en paralelo sin fuente contiene un inductor para el que el product ojqL es de 10 £2. Si = —6 s_I y s2 = —8 s-1, determinar R ,L y C . 6. La corriente en el capacitor del circuito de la figura 9.38 es igual a ic = 40e-100' —30e 200' mA. Si C = 1 mF y v (0) - —0.5 V, determinar (a) v(t)\ (h) í r ( í ) ; ( c ) i ( t ) . 7. Se descubre que un circuito RLC en paralelo tiene una frecuencia resonante natural de coq = 70.71 x 1012 rad/s. Si se sabe que la inductancia L = 2 pH. (a) calcular C: (b) determinar el valor de la resistencia R que originará un coeficiente de amor­ tiguamiento exponencial de 5 Gs-1 ; (c) determinar la frecuencia Neper del circuito; (d) calcular s\ y s% (e) Obtener la razón de amortiguamiento del circuito. 8. Demostrar que si L = 4R2C, la ecuación v(t ) = e~a‘(A it + A 2 ) es una solución de la ecuación [4], Si u(0) = 16 V y d v/d t\t=o = 4, determinar Ai y A2. 9. Cinco metros de alambre de cobre sólido calibre 18 AWG se sustituyen por la re­ sistencia del problema de práctica a 9.1. (a) Calcular la frecuencia resonante del nuevo circuito, (b) Calcular la nueva frecuencia Neper del circuito, (c) Obtener el cambio porcentual de la razón de amortiguamiento. A /W EJERCICIOS 9.2 C ircuito RLC en p a ra le lo s o b re a m o rtig u a d o 10. En el circuito de la figura 9.39, sea L = 5H , /? = 8 £2, C = 12.5 mF, y u(0+) = 40 V. Determinar (a) v (t) si i (0+) = 8 A; (b) i (t) si i'c (O4 ) = 8 A. 11. En el circuito de la figura 9.39, L = 1 mH y C = 100 /xF. (a) Seleccionar/? = 0.1Z?c> donde Rc es el valor que se requiere para alcanzar el amortiguamiento crítico, (b) Si/(O ) = 4 A y v(ü~) = 10 V, encontrar i(t) para t > 0. 5 ? - 12. El circuito que se muestra esquemáticamente en la figura 9.39 se construye uti­ lizando R = 20 m£2, C = 50 mF. y L = 2 mH. (o) Encontrar la expresión de ¡«(í) válida en t > 0 si u(0+) = 0 y i (0_ ) = 2 mA. ('b) Hacer una gráfica de la solución en un rango de 0 < t < 500 ms. (c) Simular el circuito mediante PSpice. Proponer un esquema marcado de numera apropiada con la gráfica. ¿Está de acuerdo la simu­ lación con el resultado analítico? 13. En el circuito de la figura 9.39, sea i (0) = 40 A y v(0) = 40 V . Si L = 12.5 mH, R = 0.1 £2, y C = 0.2 F: (a) determinar v(t), y (b) dibujar i para 0 < t < 0.3 s. 14. Los valores R = 15 /iíl, C — 50 /xF, y L = 2 /xH se utilizan en el circuito de la figura 9.39. (a) Encontrar la expresión de ¿c(t) válida para t > 0 si u(0+ ) = 2 y i (0_) = 0. (b) Graficar la respuesta en el intervalo de 0 < t < 5 ns. (c) Simular el circuito mediante PSpice. Proponer un esquema marcado apropiadamente con su gráfica. ¿Concuerda la simulación con el resultado analítico? 15. En el circuito de la figura 9.39, R = 1 Q, C = 4 F, y L = 20 H. Las condiciones ini­ ciales son ¿(0) = 8 A y u(0) = 0. (á) Encontrar la expresión de v(t), t> 0. (b) Determinar el valor pico y el tiempo en el que éste ocurre, (c) Verificar el análi­ sis mediante una simulación en PSpice. Asegurarse de proponer un esquema marca­ do apropiadamente con su gráfica. 16. Obtener la expresión de ii(t) en el circuito de la figura 9.40 que sea válido para todo t. 17. Determinar i¿ (t) para t > 0 en el circuito de la figura 9.41. I F IG U R A 9 .3 9 50 U F IG U R A 9 .4 0 18. El circuito de la figura 9.42 estuvo en la condición que se indica durante un largo tiempo. Luego de que el interruptor se cierra en r = 0, determinar (a) v(t): (b) i (f); (c) el tiempo de establecimiento de v(t). 10 H 0.5 A © ■ F IG U R A 9 .4 2 19. En el circuito de la figura 9.42, el valor de la inductancia es de 1250 mH. Calcular v(t) si se sabe que el capacitor almacena inicialmente 390 J de energía y que el in­ ductor es un principio no almacena energía. 20. Con respecto al circuito de la figura 9.43, (a) ¿qué valor de ¿proporcionará una respuesta transitoria de la forma v = Ae~4' + Be~6’ ? (b) Calcular A y B si iR(0+) = 10 A y ¿c(0+) = 15 A. FIGURA 9.43 -• CAPÍTULO 9 CIRCUITO RLC 21. El interruptor del circuito de la figura 9.44 ha estado abierto desde que Alaska se convirtió en estado de la Unión Americana. Determinar (a) uc (0+); (ti) ;'c (0+); (c) vc(t). (d) Dibujar vc(t). {e) Obtener t cuando vc(t) = 0. ( /) Especificar el tiempo de establecimiento. f=0 ■ F IG U R A 9 .4 4 22. El interruptor de la figura 9.45 fue cerrado por la última tripulación a bordo de la estación Mir antes de regresar a la Tierra (en t = 0). (a) Determinar iA(0“ ). (b) En­ contrar iA (0+). (c) Calcular i>c(0~). (d) Proporcionar la resistencia equivalente en paralelo con L y C para t > 0. (e) Obtener iA{t). ■ F IG U R A 9 .4 5 23. Dos monedas de diez centavos están separadas por una capa de hielo de 1 mm de espesor, a una temperatura de 80 K. Una bobina superconductora (y por lo tanto, con una resisten­ cia cero) de alambre de óxido de cobre de bario de itrio, que tiene una inductancia de 4 /¿H se acerca con cuidado a una mesa de trabajo de laboratorio próxima, situándose de modo que cada extremo entra en contacto con una moneda diferente. El hielo contiene impurezas iónicas que provocan que sea conductor. ¿Qué resistencia se necesita para que esta rara estructura se comporte como un circuito RLC sobreamortiguado en paralelo? 9 .3 A m o rtig u a m ie n to crítico 24. Un circuito RLC en paralelo está constituido de un inductor de 1 mH y un capacitor de 12 /¿F. (a) Seleccionar R de tal forma que la respuesta del circuito sea crítica­ mente amortiguada, {ti) Si i>c(0- ) = 12 V y ¿l(0- ) = 0, encontrar la expresión de vc(t) válida para t > 0. ■25. Un circuito RLC en paralelo está constituido de un inductor de 10 nH y un capacitor de 1 mF. (a) Seleccionar i? de tal forma que la respuesta del circuito sea crítica­ mente amortiguada, ib) Si i>c(0_) = 0 V y ¿l(0~) = 10 V, encontrar la expresión de ii(t) válida para t > 0. id) Graficar la solución y verificar con una simulación en PSpice. Incluir un esquema marcado apropiadamente con su gráfica. ¿Concuerdan las dos soluciones? 26. Explicar por qué, en la práctica, no es muy probable que se encuentre un circuito que presente una respuesta criticamente amortiguada. 27. Cambiar el valor de inductancia del circuito de la figura 9.41, hasta que esté crítica­ mente amortiguado, (a) ¿Cuál es la nueva inductancia? (ti) Determinar iL en t = 5 ms. (c) Calcular el tiempo de establecimiento. 28. (a) ¿Qué nuevo valor de resistencia debe usarse en el circuito de la figura 9.40 para lograr amortiguamiento crítico? {ti) Con este valor de resistencia, determinar vc (t) para t > 0. 29. En la situación descrita en el ejercicio 23, ¿qué valor de resistencia debe tener e] hielo para producir un circuito RLC criticamente amortiguado? 30. En el circuito de la figura 9.39, sean v(0) = —400 V e i (0) = 0.1 A. Si L = 5 mH, C = 10 nF, y el circuito está críticamente amortiguado, (a) determinar R, {ti) calcula r I i I máx; (c) obtener ¡máx. EJERCICIOS 31. Un circuito RLC en paralelo tiene a = I ms-1, R — 1 M£2, y se sabe que está críti­ camente amortiguado. Suponer que el valor del inductor se calcula mediante la ex­ presión L = /mN 2A [ s donde ¡x = An x 10-7 H/m, N = número de vueltas comple­ tas de la bobina, A = área de sección transversal de la bobina y s = longitud axial de la bobina completa. La sección transversal del inductor es 1 cm2, hay 50 vueltas de alambre por cm y la bobina se fabrica a partir de un elemento recién descubierto que se llama gluonio, que es superconductor hasta temperaturas de 100°F. ¿Cuál es la longitud de la bobina? 9 .4 C ircu ito RLC en p a ra le lo s u b a m o rtig u a d o 32. En el caso del circuito que se muestra en la figura 9.46, encontrar (a) ii( 0+); (b) uc (0+); (c) diL/d t\t=0+-,(d) dvc /d t\t=0-;(e) vc (t). ( /) Graficar vc (0, —0.1 < t < 2 s. 4u(-t) A ( f I F IG U R A 9 .4 6 33. Determinar i\;(t) para t > 0 del circuito de la figura 9.47. 2k ( - ■) > 50 a < J ‘c - 2.5 ¡iF 2 I F IG U R A 9 .4 7 34. Sea coj = 6 rad/s en el circuito de la figura 9.48. (a) Encontrar L. (b) Obtener la ex­ presión válida de cualquier t. (c) Graficar íl (í ), —0.1 < t < 0.6 s. 0.01 F I F IG U R A 9 .4 8 35. Después de estar abierto durante largo tiempo, el interruptor del circuito de la figura 9.49 se cierra en / = 0 . Para t > 0, determinar (a) Vc(0; (b) i'sw(01.6 H ■ FIGURA 9.49 #- A /W w v -• CAPÍTULO 9 CIRCUITO RLC 36. (a) Determinar v(t) para t > 0 correspondiente al circuito de la figura 9.50. (b) Realizar un dibujo rápido de v(t) sobre el intervalo de tiempo 0 < t < 0.1 ► ------------* 0 0 0 u(-t ) mA I ^ lkíí<> 25 ¡J.F Z “ + _ ) 10«(-f) V V i ■ F IG U R A 9 .5 0 37. Obtener í'i(f) para t > 0 en el circuito de la figura 9.51. 10M2 -v w 1 /tF 60ui-t) V I F IG U R A 9 .51 38. ¿Qué valor mínimo de resistencia debe sustituir a la resistencia de 25 fi en el cir­ cuito de la figura 9.44, si se desea una respuesta subamortiguada v(t)? Multiplicar su resistencia especificada por 1000 y graficar la respuesta. Utilizar PSpice para de­ terminar el tiempo de establecimiento e incluir un esquema marcado de manera adecuada con su propia gráfica. 39. Calcular el valor de R del circuito subamortiguado de la figura 9.14 [L = 7 H, C= F, i (0) = 10 A, v(0) = 0] con el que se obtendrá el valor mínimo del tiempo de establecimiento ts. ¿Cuál es el valor de tsl 40. (a) Sustituir la resistencia de 2 fi en la figura 9.46 por una resistencia de 5 fi Obtener la expresión de j'l(í) y resolver para í = 2.5 s. (b) Sustituir la resistencia de 2 fi de la figura 9.46 con una resistencia de 0.5 fi. Obtener la expresión d i¿(t) y re­ solver para t = 250 ms. (c) Simular los circuitos de los incisos (a) y (b), y graficar la corriente en el inductor de cada circuito sobre la misma gráfica. Poner a conside­ ración tanto la gráfica como un esquema marcado de manera adecuada. 41. (a) Elaborar el modelo del circuito de la figura 9.46 utilizando PSpice. En lugar de una fuente de corriente de 4u(—t) obtener un circuito equivalente usando I’robe, y compare la solución con la que obtuvo a mano, y también para determinar el tiempo. (b) Simular los circuitos de los incisos i l (t) con especificaciones aprobadas para las condiciones iniciales para el inductor y el capacitor. Poner a consideración un esquema marcado adecuadamente. + vl 9 .5 C irc u ito RLC en s erie sin fu e n te 42. Calcular vc, vr, y vl at t = 40 ms en el circuito que se muestra en la figura 9.52. 43. Determinar i¿ (f) para t > 0 en el circuito de la figura 9.53. 2Q 10u(-t) A ■ FIGURA 9.53 0.25 H EJERCICIOS A /W --------------{ » 565 44. En el circuito de la figura 9.21a, sean R = 300 Q y C = 1 /xF con el circuito críti­ camente amortiguado. S itie (0 ) = —10 V e ¿(0) = —150 mA, calcular: (a) vc(t); (b) |ucl max ; ( f ) vc ,max • 45. Escribir el dual del ejercicio 16, incluyendo el dual del circuito que se ilustra en la figura 9.40. Resolver el problema dual. 46. (a) Encontrar í¿ (í) para t > 0 en el circuito de la figura 9.54. (b ) Determinar \ k \ max e Í-L.max- 5u{-t) A ^ ^ ■ 1H F IG U R A 9 .5 4 47. En el circuito de la figura 9.55, t > 0, determinar: (a) ¿¿(í); (b) vc(t)- 500 ¡jlF 5H : f = 0 9H — nm p— * I F IG U R A 9 .5 5 1F = = 48. Determ inar la energía almacenada en el inductor de la figura 9.56 en t = 2 s. Veri­ ficar la respuesta con PSpice. I F IG U R A 9 .5 6 49. El interruptor de la figura 9.57 h a estado cerrado un tiempo muy largo. Obtener la magnitud máxima de la tensión que se establece en el inductor de 500 mH y confir­ m ar la respuesta con PSpice. t=0 500 mH 50. Un capacitor muy bien construido, luego de conectarse lo suficiente a uña batería de 12 V como para que se cargara por completo antes de colocarlo en un vehículo para viajar en la nieve, yace sobre el piso de una cabaña de radio en el norte de Canadá. Durante un terremoto moderado, un viejo cordón de teléfono de bobina cae de un anaquel hacia el piso y uno de sus extremos entra en contacto con una terminal del ca­ pacitor. El cordón del teléfono tiene una resistencia de 14 mQ y una inductancia de 5 /zH; el capacitor almacena inicialmente 144 mJ de energía, (a) ¿Cuál es la tensión del capacitor justo antes del terremoto? (b ) ¿Cuál es la tensión del capacitor 1 s después de que el cordón del teléfono toca al capacitor? (c) Un pesado oso polar irrumpe en la cabaña en busca de comida y de manera accidental pone una garra sobre el extremo desconectado del cordón telefónico y la otra sobre la terminal desconectada del capacitor. El cuerpo del oso polar se sacude durante 18 JK antes de que el animal gruña y salga corriendo de la cabaña. Si se requieren 100 m A para hacer que el oso se crispe de manera tan violenta, ¿cuál era la resistencia del pesado abrigo de piel? 51. Calcular la resistencia que debe sustituir a la resistencia de 2 Q en el circuito de la figura 9.56, de m anera que el circuito esté estrictamente amortiguado. Calcular la energía almacenada en el inductor en t = 100 ms. ^ >2Ü I i9V r V_; A/VV - • CAPITULO 9 CIRCUITO RLC 52. Encontrar la expresión de iL como se indica en la figura 9.58, válida para t > 0. 10 a 53. Encontrar la expresión de vc como se indica en la figura 9.58, válida para t > 0. 54. Con referencia al circuito que se muestra en la figura 9.59, obtener la expresión de ¡i válida para todo tiempo si C = 1 F. 55. Con referencia al circuito que se muestra en la figura 9.59, obtener la expresión de vc válida para todo tiempo si C = 1 mF. 0.1 H 100 Q -nmr>----- W v— 3[l-2u(f)] A 40 ¡jlF -------- 1(--------MI F IG U R A 9 .6 0 9 .6 R espuesta c o m p le ta d e l c irc u ito RLC 56. (a) Determinar para todo t en el circuito de la figura 9.60. (b) ¿En qué instante, después de t = 0 se tiene /¿(f) = 0? 57. La fuente del circuito de la figura 9.53 cambia en 10u (t) A. Calcular iL(tp. 58. Sustituir la fuente del circuito de la figura 9.55 con is = 0.5fl —2u (t)] A y calcular h (t)59. Sustituir la fuente del circuito de la figura 9.47 con is = 2[1 + u (t)\ A y determinar ¡c(t) para t > 0. 60. (a) Determinar i'c(t) para t > 0 en el circuito que se presenta en la figura 9.61. (b) Graficar v c ( t ) en función de t, —0.1 < t < 2 ms. ■ FIGURA 9.61 EJERCICIOS • ------------W V 61. El interruptor del circuito de la figura 9.62 ha estado cerrado durante mucho tiempo. Abre en t = 0. Calcular vc(t) para t > 0. 1Í2 —WV 12 V - = 0.5 íi F vc ■ Ul|OQ lk£2 F IG U R A 9 .6 2 62. D eterm inaT i n ( t ) p a r a t > 0 en el c irc u ito d e la fig u ra 9.63 si vs(t) es ig u a l (a) 10u ( - t) V; (b) 10k(í) V. 63. Obtener i¡ (t) para t > 0 en el circuito de la figura 9.64 si vs (í) es igual a (a) JOu ( - t) V; (b) 10u(t) V. a 500 ü 1 íi F g - 6 4 . Sustituir a la resistencia de 2 £2 en el circuito de la figura 9.65 por un inductor de 3 H. Determinar la energía almacenada en el capacitor en / = 200 ms si la fuente de corriente se incrementa de 15 A a 22 A en t = 0. Verificar la respuesta con una simulación en PSpice. i ' fw 65 La fuente de corriente del circuito de la figura 9.65 se incrementa en forma re­ pentina desde 15 A hasta 22 A en t = 0. Calcular la tensión vs en: (á) t = 0“ ; (b) t = 0+; (c) t = oo; (d) t = 3.4 s. Verificar la respuesta mediante las simula­ ciones apropiadas en PSpice. 66 La fuente de corriente del circuito de la figura 9.65 disminuye de manera repentina de 15 A a 0 A en t = 0, y luego se incrementa hasta 3 A en t = 1 s. Graficar la ten­ sión vs (t). Verificar la solución mediante PSpice. 67 Un inductor de 5 mH un capacitor de 25 ¡iP y una resistencia de 20 £2 están en serie con una fuente de tensión vx (t). La tensión de la fuente es cero antes de t = 0. En t = 0, la tensión brinca hasta 75 V, en / = 1 ms disminuye hasta cero, en í = 2 ms vuelve a brincar hasta 75 V, y continúa comportándose de este modo periódico de aquí en adelante. Determinar la corriente de la fuente en: (a) t = 0_ ; (b) t = 0+; (c) t = 1 ms; (d) t = 2 ms. 68 Diseñar un circuito que produzca un pulso senoidal amortiguado con una tensión má­ xima de 5 V, y al menos tres máximos adicionales con magnitudes de tensión mayores que 1 V. Verificar el diseño con PSpice. 69 Una batería de 12 V se coloca en una choza en una isla desierta de algún lugar del Pacífico. La terminal positiva de la batería se conecta a un extremo de un capacitor de 314.2 pF en serie con un inductor de 869.1 /¿H. Un terremoto en las islas Bonin, de Japón, genera un tsunami que irrumpe en la choza, derramando agua salada sobre un trapo que conecta el otro extremo de la combinación inductor/capacitor con la terminal negativa de la batería, de manera que se forma lin circuito RLC en serie. Un barco cercano detecta la oscilación resultante al monitorear una señal de radiofaro a 290.5 kHz (1.825 Mrad/s). ¿Cuál es la resistencia del trapo húmedo? . ■ F IG U R A 9 .6 3 A /W CAPÍTULO? CIRCUITO RLC [Lfl^-70. Calcular la tensión vc(t) en el capacitor de la figura 9.66 en t = 1 ms. Verificar la respuesta con una simulación en PSpice. 9 .7 C ircuito LC sin p é rd id a s JpL* 0 10 pH — omr>— + — V zz ffi 71. Diseñar un circuito de amp op para hacer el modelo para la respuesta en tensión del circuito LC que se muestra en la figura 9.67. Verificar el diseño simulando el cir­ cuito de la figura 9.67 y su circuito empleando un amp op LF 411, suponiendo u(0) = 0 e i (0) = 1 mA. 72. Observar la figura 9.68, y diseñar un circuito de amp op cuya salida será i (t) para t > 0. F IG U R A 9 .6 7 73. Un circuito RC sin fuente se construye con una resistencia de 1 kQ y un capacitor de 3.3 inF. La tensión inicial en el capacitor es de 1.2 V. (á) Escribir la ecuación diferencial de v (la tensión en el capacitor) para t > 0. (b) Diseñar un circuito de amp op que proporcione v(t) como salida. 74. Sustituir el capacitor del circuito de la figura 9.67 por un inductor de 20 H en para­ lelo con un capacitor de 5 ¡x¥. Diseñar un circuito de amp op cuya salida sea i (t) para t > 0. Verificar el diseño simulando el circuito de capacitor-inductor y su cir­ cuito de amp op. Utilizar un amp op LM111 en la simulación con PSpice. 75. Un circuito RL sin fuente contiene una resistencia de 20 Q y un inductor de 5 H Si el valor inicial de la corriente del inductor es de 2 A: (o) escribir la ecuación diferencial relativa a i para t 0, (b) diseñar un integrador de amp op para propor­ cionar i(t) como salida, utilizando /?i = 1 MQ y C¡ = 1 /la F . Análisis de estado senoidal permanente CONCEPTOS CLAVE INTRODUCCIÓN \ Características de las La respuesta completa de un circuito eléctrico lineal se compone ' fundones senoidales. de dos partes: la respuesta natural y la respuesta forzada La primera es la respuesta transitoria de corta vida de un circuito Representación fasorial de ante un cambio repentino en su condición y la segunda es la senoidales. respuesta de estado permanente a largo plazo de un circuito a cualquier fuente independiente presente. Hasta este punto, la única respuesta forzada considerada es la que se debe a las fuentes de cd. Conversión entre los dominios del tiempo y la frecuencia. Otra función forzada muy común es la forma de onda senoidal, que describe la tensión disponible en las tomas de corriente eléctrica Impedancia y admitancia. doméstica, así como la tensión de las líneas de potencia que se conectan a las áreas residenciales e industriales. Reactancia y susceptancia. En este capítulo se supone que la respuesta transitoria es de poco interés, así que se necesita la respuesta de estado permanente de un circuito (aparato de televisión, tostador o red de distribución de potencia) a una tensión o corriente senoidal. Se analizará este tipo Combinaciones en serie y en paralelo en el dominio de la frecuencia. de circuito con una técnica poderosa que transforma las ecuaciones integrodiferenciales en ecuaciones algebraicas. 10.1 CARACTERÍSTICAS DE LAS SENOIDALES --------- • ------------------------------------------------------- ------------------------Considerar la siguiente tensión variable senoidalmente: v(t) = Vm sencot cuya gráfica se muestra en la figura 10.1 a y b. La amplitud de la onda senoidal es Vm, y el argumento es cot. La frecuencia radián, o fre ­ cuencia angular, corresponde a co. En la figura 10.1a, Vmsencot se grafica como una función del argumento cot, de donde resulta evi­ dente la naturaleza periódica de la onda senoidal. La función se repite cada 2 n radianes y su periodo es en consecuencia 2tt radianes. En la figura 10.1¿>, Vm sen cot se grafica como una función de f y el p e­ riodo es ahora T. Una onda senoidal que tiene un periodo T debe Determinación de la respuesta forzada utilizando fasores. Aplicación de las técnicas del análisis de circuitos en el dominio de la frecuencia. 370 A/W CAPITULO 10 ANALISIS DE ESTADO SENOIDAL PERMANENTE v(t) v(t) ■r (s) (a) (b) ■ F IG U R A 10.1 Función senoidal i/(?) = Vmsen a>t graficada (o) en función de cot y (b) en función de t. completar 1¡ T periodos cada segundo; su frecuencia f es I / T hertz, abreviado Hz. De tal modo, f= j; y en vista de que CüT = 2 7T se obtiene la relación común entre la frecuencia y la frecuencia radián. co — 2 n f Retraso y adelanto Una forma más general de la senoide v(t) — Vmsen (cot + 9) Recordar que para convertir radianes en grados sim­ plemente se multiplica el ángulo por 180/ jt. [1] incluye un ángulo de fase 9 en su argumento. La ecuación [1] se grafica en la figura 10.2 como una función de cot, y el ángulo de fase aparece como el número de ra­ dianes mediante los cuales la onda senoidal original (que se indica en el dibujo me­ diante una línea punteada) se corre hacia la izquierda o al tiempo anterior. En razón de que los puntos correspondientes sobre la senoide Vmsenfojf + 9) ocurren 9 rad, o 9/co segundos antes, se dice que V,„ sen (cot + 9) adelanta a Vm sénior en 9 rad. Por lo tanto, es correcto describir a sen cot como retrasada respecto de sen (cot + 9 ) en 9 rad, adelantada de sen(cwí + 9) por —9 rad, o adelantada de sen(&>í — 9) en 9 rad. En cualquier caso, adelantada o retrasada, se dice que las senoides están fuera de fase. Si los ángulos de fase son iguales, se señala que las senoides están en fase. En ingeniería eléctrica se acostumbra indicar el ángulo de fase en grados, en vez de hacerlo en radianes; para evitar confusiones es necesario asegurarse de ■ FIGURA 10.2 La onda senoidal Vm sen (cot + d) adelanta a Vm sen cot por $ radianes. SECCIÓN 10.1 CARACTERISTICAS DF LAS SENOIDALES —------W V 371 usar siempre el símbolo de grados. Por lo tanto, en lugar de escribir v = 100sen^27rl OOOí — ^ se suele utilizar v = 100sen(27rl OOOí — 30°) Al evaluar esta expresión en un instante de tiempo específico, por ejemplo t = 10-4 s, 2 n 1000/ se convierte en 0.27T radianes, lo cual debe expresarse como 36° antes de que se le resten 30°. No confundir sus manzanas con sus naranjas. Dos ondas senoidales cuyas fa ses se van a comparar deben: 1. Escribirse como ondas seno o como ondas coseno. 2. Expresarse con amplitudes positivas. 3. Tener cada una la misma frecuencia angular o radián. Conversión de senos en cosenos En esencia, el seno y el coseno son la misma función, pero con una diferencia de fase de 90°. Por lo tanto, sen cot = eos (cot — 90°). Los múltiplos de 360° se su­ man o se restan del argumento de cualquier función senoidal sin que cambie el valor de esta última. En consecuencia, se podría afirmar que Observar que: -s e n td í =sen(£of ± 180°) -e o s ait = eos(®f ± 180°) V\ = Vm, cos(51 + 10°) = Vmisen(5í + 90° + 10°) q=sentdf = co s(trf ± 90°) ic o s cot =sen(cuf ± 9 0 ° ) = Vm sen(5í + 100c) conduce a i ’2 = Vmi sen(51 — 30°) en 130°. También es correcto señalar que vi retrasa a i >2 en 230°, puesto que i>i puede escribirse como v\ = Vm, sen(5í — 260°) Se supone que Vm, y Vm2 son cantidades positivas. En la figura 10.3 se ofrece una representación gráfica; observar que la frecuencia de ambas senoides (5 rad/s en este caso) debe ser la misma, o la comparación no tiene sentido. A menudo, la diferencia de fase entre dos senoides se expresa mediante el ángulo que sea menor o igual a 180° en magnitud. El concepto de una relación de adelanto o retraso entre dos senoides se usará en forma extensa, así que la relación debe ser reconocible tanto matemática como gráficamente. P R Á C T I C A _______________________________________ __________________ 10.1 Determinar el ángulo mediante el cual i\ está retrasada respecto a V\, si i>i = 120cos(1207rí —40°) V e i\ es igual a: (a) 2.5 cos(1207rí 4- 20°) A; (b) 1 .4 s e n (1 2 0 7 rí - 7 0 ü) A; (c) - 0 . 8 c o s ( 1 2 0 t t í - 1 1 0 °) A . 10.2 Calcular A, B, C, y0si4O cos(lO O / —40°) — 20sen(100í + 170°) = A eos lOOf + B senlOOí = C cos(100í + (¡>). Respuestas: 10.1: - 6 0 ° ; 120°; - 1 1 0 ° . 10.2: 27.2; 45.4; 52.9; -5 9 .1 ° . ■ F IG U R A 1 0 .3 Representación gráfica de dos senoides i/, y i/2. La magnitud de cada función seno se representa mediante la longitud de la flecha correspondiente y el ángulo de fase por la orientación con respecto al e je * positivo. En este diagrama, v, adelanta a i/2 100° + 30° = 130°, aunque podría argumentarse que i/2 adelanta a i/i en 230°. Sin embargo, suele expresarse la diferencia de fase por un ángulo menor o igual a 180° en magnitud. AAA/----------- • CAPÍTULO 10 ANÁLISIS DE ESTADO SENOIDAL PERMANENTE 10.2 a RESPUESTA FORZADA A FUNCIONES * SENOIDALES Una vez familiarizado con las características matemáticas de las senoides, se es­ tá listo para aplicar una función forzada senoidal a un circuito simple y obtener la respuesta forzada. Se escribe primero la ecuación diferencial que se aplica al cir­ cuito dado. La solución completa de esta ecuación está compuesta por dos partes: la solución complementaria (que se denomina respuesta natural) y la integral particular (o respuesta fo rza d a ). Los métodos que se planean desarrollar en este capítulo suponen que no interesa el transitorio de corta vida o la respuesta natural del circuito, sino sólo la respuesta de largo plazo o de “estado permanente”. Respuesta de estado permanente i R ■ F IG U R A 1 0 .4 Circuito RL en serie para el cual se desea la respuesta forzada. El término respuesta de estado permanente se usa como sinónimo de respuesta forzada, por lo que, en general, se dirá que los circuitos que se van a analizar es­ tarán en “estado permanente senoidal”. Desafortunadamente, la expresión esta­ do permanente lleva la connotación de “no cambiar con el tiempo” a las mentes de muchos estudiantes. Lo anterior es válido para las funciones forzadas, pero la respuesta senoidal de estado permanente en definitiva cambia con el tiempo. El estado permanente se refiere sólo a la condición que se alcanza después de que se anula la respuesta transitoria o natural. L a respuesta forzada tiene la forma matemática de Ja función forzada, más todas sus derivadas y su primera integral. Con este conocimiento, uno de los métodos mediante el que se calcula la respuesta forzada consiste en suponer una solución compuesta por una suma de tales funciones, donde cada una tiene que determ inar una amplitud desconocida mediante la sustitución directa en la ecuación diferencial. Como se podrá observar dentro de poco, éste puede ser un proceso muy lento, por lo que siempre se estará bastante motivado para buscar una alternativa más simple. Considerar el circuito RL en serie de la figura 10.4. La tensión de fuente senoidal v, = Vm eos cot se conmutó en el circuito en algún momento anterior y la respuesta natural se amortiguó por completo. Se busca la respuesta forzada (o “estado permanente”), que debe cumplir con la ecuación diferencial di L ----- I- R i = Vm eos cot dt obtenida al aplicar la KVL alrededor del lazo simple. En cualquier instante en el que la derivada es igual a cero, se observa que la corriente debe tener la forma i oc eos cot. De manera similar, en el instante en el que la corriente es igual a cero, la derivada debe ser proporcional a eos cot, lo que implica una corriente de la forma sen cot. Por lo tanto, se podría esperar que la respuesta forzada tenga la forma general i (?) = /[ eos cot + 12 sen cot donde I\ e I 2 son constantes reales cuyos valores dependen de Vm, R, L, y co. No puede estar presente una función constante o una exponencial. Al sustituir la forma supuesta de la solución en la ecuación diferencial, se obtiene L ( —I\cosencot+ I2C0 eos cot) + R í f cosfwí + ¡2 sen cot) — Vm co&cot Si se agrupan los términos coseno y seno, resulta (—L I\co + R I 2) senfwZ+ (L I 2 C0 + R Ii - V,„)coscot = 0 SECCIÓN 10.2 RESPUESTA FORZADA A FUNCIONES SENOIDALES • ------------------------- W V ------------- [ Í T Í Esta ecuación debe ser cierta para todos los valores de t, lo cual se logra sólo si los factores que multiplican a eos cot y a sen cot son cada uno cero. En consecuencia, —coL 7] + R I 2 = 0 y coL I 2 + R Ii — Vm = 0 y la solución simultánea de 7i e b conduce a RV m 0)LVm R + oj2L 2"' R 2 + cú2L 2 De tal modo, la respuesta forzada s£. obtiene mediante ., ' (,) = RVm CüLVm cos * " + v + o W s m M 121 Empleo de una forma más compacta y sencilla (más amigable) Esta expresión, sin embargo, es un poco complicada; además, se obtiene una imagen más clara de la respuesta si se expresa como una sinusoide o una cose­ no,! de simple con un ángulo de fase. Se elige expresar la respuesta como una fun­ ción coseno: i (í) = A cos (cot — 9) [3] Al menos se sugieren por sí solos dos métodos para obtener los valores de A y 9. Se podría sustituir la ecuación [3] en forma directa en la ecuación diferen­ cial original o simplemente igualar ambas soluciones: ecuaciones [2] y [3]. Al elegir el último método y desarrollar la función cos (cot — 9): R Vm coL Vm A cos 6 cos cot + A sen0 senwí = — ------ cos cot + — ------------ -— sen&>f R2+ a rL 2 R ¿ + cjúL Por consiguiente, agrupando los coeficientes de cos cot y sen cot, se puede ver que: , RVm A c o s0 = — ------ y R 2 + co2L 2 A sen0 = j coLVm R 2 + cd2L 2 Para determinar A y 9, se divide una ecuación entre la otra: A sen0 coL --------- = tan 9 = — A cos 9 R y también se elevan al cuadrado ambas ecuaciones y se suman los resultados: R 2V 2 m2 T 2V 2 A 2 eos2 9 + A2 sen29 = A2 = , / ^ ^ " L V"' (R 2 + co2L 2)2(R 2 + cü2L 1Y V2 R 2 + cú2L 2 En consecuencia, = tan 1 coL R Vm A = V f l 2 + cú2L 2 Por lo tanto, la form a alternativa de la respuesta forzada se convierte en i(t)= s /R 2 + co2L 2 cos (cot — tan-1 — ) \ R ) [4] En la parte interna de ¡a portada del libro se propor­ cionan varias identidades trigonométricas útiles. 374 AA/V CAPITULO 10 ANÁLISIS DE ESTADO SENOIDAL PERMANENTE \ ' La amplitud de la respuesta es proporcional a la amplitud de la función forzada; si no es así, se descartaría el concepto de linealidad. La amplitud de la respuesta disminuye también cuando se incrementan R , L, o co, aunque no en form a proporcional. Se observa que la com ente está retrasada respecto de la ten­ sión aplicada por tan-1 (w L /R ), un ángulo entre 0 y 90°. Cuando co = 0 o L = 0, la corriente debe estar en fase con la tensión; debido a que la primera situación corresponde a una com ente directa y la última da lugar a un circuito resistivo, los resultados concuerdan con la experiencia previa. Si R = 0, la com ente está retrasada de la tensión de 90°. En un inductor, entonces, si se satisface la convención de signos pasiva, la com ente está retrasada de la tensión de 90°. De una manera similar1 se demuestra que la com ente que circula a través de un capacitor adelanta a la tensión de 90°. La diferencia de fase entre la com ente y la tensión depende de la proporción entre las cantidades coL y R. Se denomina a coL como la reactancia inductiva del inductor, que se mide en ohms y es una medida de la oposición que ofrece el in­ ductor al paso de una com ente senoidal. Se verá cómo aplicar los resultados de este análisis general a un circuito es­ pecífico que no es sólo un lazo en serie simple. Observar que, de manera implí­ cita, se pasa por alto la respuesta transitoria; el supuesto es que sólo interesa la respuesta en estado estable o forzada del circuito, por lo que cualquiera y todos los transitorios se han eliminado. EJEMPLO 10.1 Determinar la corriente del circuito de la figura 10.5a. (a) 25 n ■ F IG U R A 1 0 .5 (a) Circuito del ejemplo 10.1, en el que se desea obtener la corriente k- (b) Se quiere calcular el equivalente de Thévenin en las terminales o y ó . (c) Circuito simplificado. 1En el pasado, el símbolo E (para fuerza electromotriz) se utilizó para designar tensiones. Por ello, los estudiantes de lengua inglesa aprendían la frase “ELI the ICE man” como una forma de recordar que la tensión adelanta a la co­ rriente en un circuito inductivo, en tanto que la corriente adelanta a la tensión en un circuito capacitivo. Ahora que se usa V en vez de la letra señalada, la situación ya no es la misma. SECCIÓN 10.2 RESPUESTA FORZADA A FUNCIONES SENOIDALES Aunque el circuito tiene una fuente senoidal y un único inductor', contiene dos resistencias y no es un lazo simple. Para aplicar los resultados del análisis precedente, se necesita encontrar el equivalente de Thévenin visto desde las terminales a y b de la figura 10.5/?. La tensión en circuito abierto voc es v , 100 , — (10 eos 1O í ) ------------ = 8 eos 10 f 100 + 25 V Puesto que no hay fuentes dependientes a la vista, se calcula R th mediante la supresión de la fuente independiente para luego obtener la resistencia de la red pasiva, por lo que R tu = (25 x 100)/(25 + 100) = 20 Í2. Ahora se tiene un circuito R L en serie, con L = 30 mH, R,h = 20 Q y una tensión de fuente de 8 eos 103í V, como se ilustra en la figura 10.5c. Así, al aplicar la ecuación [4], que se obtuvo de un circuito en serie RL ge­ neral, se tiene que il — 8 / , . .... ........... .............. eos I 10 f — tan V 202 + (103 x 30 x 1 0 -3)2 V 30\ — | 20/ = 222cos(103f — 56.3°) mA Las formas de onda de tensión y corriente se grafican en la figura 10.6. ■ F IG U R A 1 0 .6 Formas de onda de tensión y corriente en una gráfica de eje dual que se generó mediante el uso de MATLAB: EDU» t = linspace(0,8e-3,1000); EDU» v = 8*co5(1000*t); EDU» i = 0.222*cos(1000*t - 56.3*pi/180); EDU» plotyy(t,v,t,¡); EDU» xlabelftime (s)1); Observar que no existe ninguna diferencia de fase de 90° entre las for­ mas de onda de corriente y tensión de la gráfica. Lo anterior se debe a que no se está graficando la tensión en el inductor, la cual se deja como ejercicio para el lector. 0 VW CAPITULO 10 ANÁLISIS DE ESTADO SENOIDAL PERMANENTE !(>+ P R A C T IC • ________________ 10.3 Sea vs = 40 cos 8 OOOí V en el circuito de la figura 10.7. Aplicar al teorema de Thévenin en los casos en que éste sea más adecuado, y determi­ nar el valor en t = 0 para: (a) />,; (b) vL\ (c) iR\ (d) is. Respuestas: 18.71 mA; 15.97 V; 5.32 mA; 24.0 mA. 10.3 FUNCIÓN FORZADA COMPLEJA ---------• -----------------------------------------------------------------------------------------------El método con el que se determinó la respuesta senoidal de estado permanente del circuito RL en serie general no fue un problema trivial. Se podría pensar que las complicaciones analíticas surgen debido a la presencia del inductor; si ambos elementos pasivos hubieran sido resistencias, el análisis habría sido mucho muy sencillo, incluso con la función forzada senoidal presente. La razón de que el análisis hubiese sido tan fácil proviene de la relación tensión-corriente simple especificada por la ley de Ohm. Sin embargo, esta misma relación no es tan sim­ ple en el caso de un inductor, y en vez de resolver una ecuación algebraica uno se enfrenta con una ecuación diferencial no homogénea. Resultaría más bien bastante impráctico analizar cada circuito por el método que se describió en el ejemplo; por ello se planea formular un método para simplificar el análisis. El resultado será una relación algebraica entre la corriente senoidal y la tensión senoidal para inductores y capacitores, así como para resistencias; además, es factible obtener un conjunto de ecuaciones algebraicas para un circuito de cual­ quier complejidad. Las constantes y las variables en las ecuaciones serán núme­ ros complejos en vez de números reales, aunque el análisis de cualquier circuito en estado senoidal permanente se vuelve casi tan sencillo como el análisis de un circuito resistivo similar. Ahora se está listo para pensar en la aplicación de una función forzada com­ pleja (esto es, una que tiene una parte real y una imaginaria) a una red eléctrica. Esto quizá parezca una idea extraña, pero se descubrirá que el uso de cantidades complejas en el análisis senoidal de estado permanente origina dos métodos mu­ cho más simples que los que implican cantidades puramente reales. Se espera que una función forzada compleja propicie una respuesta compleja; la parte real de la función forzada originará la parte real de la respuesta, en tanto que la por­ ción imaginaria de la función forzada dará como resultado la parte imaginaria de la respuesta. Por fortuna, lo anterior parece razonable: resultaría difícil pensar en un ejemplo de una fuente de tensión real que dé lugar a una respuesta imagina­ ria, y por extensión, lo mismo es válido para la situación inversa. En la figura 10.8, una fuente senoidal descrita por Vm cos(<wí + 6) Vm eos (cot + 8) j/,„ cos (cor + <f>) ■ FIG U R A 10.8 La función forzada senoidal Vm cos (cot + ff) produce la respuesta senoidal de estado permanente lm cos(cot + <p). [5] SECCIÓN 10.3 FUNCIÓN FORZADACOMPLtJA • ------------------- V W “ 1377 se conecta a una red general, la cual se supondrá que contiene sólo elementos pa­ sivos (es decir, sin fuentes independientes) para no tener que apelar al principio de superposición. Se debe determinar una respuesta de corriente en alguna otra rama de la red, por lo que los parámetros que aparecen en la ecuación [5] son cantidades reales, sin excepción. Se muestra que podría representarse la respuesta mediante la función coseno general: g in Im eos(a>t + cp) [6] Una función forzada senoidal siempre da lugar a una respuesta forzada senoidal de la misma frecuencia en un circuito lineal. Se cambiará ahora la referencia de tiempo corriendo la fase de la función forzada de 90°, o cambiando el instante que se denomina t = 0. De tal forma, cuando se aplica la función forzada, Vm cos(&>f + 0 — 90°) = Vmsen{wt + 0) ' v -V [7] a la misma red, causará una respuesta correspondiente, esto es, Im cos(&>f + </> — 90°) = Im sen(&>í + </>) [8] A continuación se parte de la realidad física al aplicar una función forzada imagina­ ria, una que no se puede aplicar en el laboratorio, pero sí de manera matemática. Fuentes imaginarias conducen a ... respuestas imaginarias Se construye una fuente imaginaria de modo muy simple; sólo es necesario mul­ tiplicar la ecuación [7] por j, el operador imaginario. Se aplica entonces j V msen(cút + 0) [9] ¿Cuál es la respuesta? Si se hubiera duplicado la fuente, el principio de lineali­ dad requeriría que se duplicara la respuesta; la multiplicación de la función forzada por una constante k produciría la multiplicación de la respuesta por la m ism a constante k. El hecho de que la constante sea >/—í no cam bia esta relación. La respuesta a la fuente imaginaria de la ecuación [9] es, entonces, j ¡msen(ojt + <p) [10] La fuente imaginaria y la respuesta se indican en la figura 10.9. jV m se n (cvt + 8) N \jl„, se n (tot + tf> I F IG U R A 1 0 .9 la función forzada senoidal imaginaria jVm sen(oif + 0) produce la respuesta senoidal imaginaria jlm sen(a>f + <¡>)en la red de la figura 10.8. Aplicación de una función forzada compleja Se aplica u n afuente real y se obtiene una respuesta real; también se aplica una fuente imaginaria y se logra una respuesta imaginaria. En razón de que se tra­ baja con un circuito lineal se podría recurrir al teorema de la superposición para Los ingenieros eléctricos utilizan “j" en vez de “i" para representar corrientes. y evitar confundirlo con las A /W « CAPÍTULO 10.ANÁLISIS DEESTADOSENOIDALPERMANENTE encontrar la respuesta a una función forzada compleja, que es la suma de las fun­ ciones forzadas real e imaginaria. De tal modo, la suma de las funciones forzadas de las ecuaciones [5] y [9] es Vm cos (cot + 9) + j V msen(cot + 9) [11] por lo cual debe producir una respuesta que es la suma de las ecuaciones [6] y [10]: Im cos (cot +4>) + j Imsen(íüí + c¡>) El apéndice 5 define los números complejos y los tér­ minos relacionados, hace un repaso de la aritmética [12] La fuente y la respuesta complejas tal vez se representan de manera más simple apli­ cando la identidad de Euler, Ja cual establece que cos (cot + 9) + j sen(cot + 9) = ei(a>t+o) _p or j0 tant0j ja fuente de la ecuación [11] se convierte entonces en compleja y desarrolla la identidad de Euler, así como Vmei(a>,+e) la relación entre las formas exponencial y polar. [13] y la respuesta de la ecuación [12] es i JU o t+ 4 > ) Lmt' [14] La fuente y la respuesta complejas se ilustran en la figura 10.10. ■ F IG U R A 1 0 .1 0 La función forzada compleja Zmelioí' +e) produce la respuesta compleja / mey ('” í+ s) en la red de la figura 10.8. Una función forzada real, una imaginaria o una compleja tendrán como re­ sultado, respectivamente, una respuesta real, imaginaria o compleja. Además, mediante la identidad de Euler y el teorema de superposición, una función forzada compleja se considera como la suma de una fnnción forzada real y una imaginaria; la parte real de la respuesta compleja la produce la parte real de la función forzada compleja, en tanto que la parte imaginaria se debe a la parte imaginaria de dicha función. El plan es que en lugar de aplicar una función forzada real para obtener la respuesta real que se desea, se sustituya una función forzada compleja cuya par­ te real es la función forzada real dada; se espera obtener una respuesta compleja cuya parte real sea la respuesta real deseada. La ventaja de este procedimiento es que las ecuaciones integrodiferenciales que describen la respuesta de estado per­ manente de un circuito se conviertan ahora en simples ecuaciones algebraicas. Alternativa algebraica a las ecuaciones diferenciales Se ensaya esta idea en el circuito RL simple de la figura 10.11. Se aplica la fuente real Vm cos cot y se desea la respuesta real i (t). Puesto que cos cot = Re{e7“ '} v, - V mcos (ot (p la fuente compleja necesaria es Vme ^ I FIG U R A 10.11 Se va a analizar un circuito simple en estado senoidal permanente mediante la aplicación de una función forzada compleja. Se expresa la respuesta compleja que se produce en términos de una ampli­ tud desconocida lm y un ángulo de fase desconocido cp: i pj(o>t+<i>) SECCIÓN 10.3 FUNCIÓN FORZADA COMPLEJA Al escribir la ecuación diferencial de este circuito particular, t di a> + L — = vs dt se insertan las expresiones complejas de vs e i: R Ime](fút+^ + L dr (Jmej(0JíiJl,>) = Vmeja>‘ dt s e to m a l a d e r iv a d a in d ic a d a : R Imej{cot+<t>) + jcúL ImeKo>t+4,) = Vmeja>t y se obtiene una ecuación algebraica. Para determinar el valor de lmy <j>, se di­ vide todo entre el factor común eja>t: R Imej t'+ .jc o L ImeM = Vm Factorizando el lado izquierdo: Irn é ^ iR + jcoL) = Vm y reordenando: R + jcoL y se identifican Im y <j>expresando el lado derecho de la ecuación en forma ex­ ponencial o polar: Ime>* = Vm ^ (-ta n -W /* )) v R 2 + co2L 2 [15] Por k¡ tanto, Vm Im = ^ / W + co2L 2 , coL 4> - - ta n En notación polar, esta expresión se escribiría como Im j O Vm/ / r 2 + co2 L 2 / - t a n " 1 c o L / R L a respuesta compleja está dada por la ecuación [15]. En razón de que Im y 0 se identifican con facilidad, se escribe de inmediato la expresión de i(t). Sin em­ bargo, si se necesita recurrir a un método más riguroso, se obtendría la respuesta real i(t) reinsertando el factor e ’,M en ambos lados de la ecuación [15] y tomando la parte real. De cualquier manera, se encuentra que i(t) - Im eos {cot +<p) = w L \) - eos ((I cot — tan - i — *JR2 + co2L 2 V R) lo cual concuerda con la respuesta que se obtuvo en la ecuación [4] para el mismo circuito. 3 8 0 f - ------------------------------------ • CAPÍTULO 10 ANÁLISIS DEESTADOSENOIDAL PERMANENTE EJEMPLO 10.2 D eterm in ar la tensión com pleja en la com binación en serie de una re ­ sistencia de 500 fi y un inductor de 95 m H si fluye la corriente com pleja 8 eJ?>«««' mA p o r los dos elem entos en serie. L a tensión compleja desconocida tendrá una amplitud Vm y un ángulo de fase </>, los cuales deben determinarse. Sin embargo, es necesario que la ten­ sión tenga la misma frecuencia que la com ente (3 000 rad/s), por lo que se expresa esta tensión como v Vm C «3000t+<t>) Igualándola con la suma de las tensiones respectivas en la resistencia y en el inductor, Vme i(3000' +,w = (500)0.008e73000' + (0.095)d(0.00SeJ------) dt y aplicando la derivada indicada, se encuentra que VmejQooot^) _ 4 e/3000í + j 2 2Sei3000t Factorizando el término exponencial e 73 °00', uno se queda con: VmeJ+ = 4 + j2 .2 S Al expresar el lado derecho en forma polar, se tiene 4+ 7 2.28 = 4.60ej291° a partir de lo cual se puede observar que Vm = 4.60 V y 0 = 29.7°, por lo que la tensión deseada es 4.60e'(3000í+29-7°) V Si se pide determinar la respuesta real, sólo es necesario tomar la parte real de la respuesta compleja: Re{4.60eA3000í+29-7°)} = 4.60 cos(3000í + 29.7°) V En consecuencia, se puede determinar la respuesta forzada de un circuito que contiene un elemento de almacenamiento de energía ¡sin tener que re­ solverlas ecuaciones diferenciales! P R Á C T IC A (Si se tienen problemas al trabajar con este problema de práctica, consulte el apéndice 5) _______________________________________________________ 10.4 Evaluar y expresar los resultados en forma rectangular o cartesiana: (a) r(2/30°)(5/- 1 1 0 ° )](l + 7 2); (b) (5 / -2 0 0 ° ) + 4 /2 0 °. Evaluar y expresar el resultado en forma polar: (c) (2 — 7 7 ) /(3 — j ) \ (d) 8 — j 4 + r(5/80°)/(2/20°)l. 10.5 Si se especifica el uso de la convención de signos pasiva, determinar: (a) la tensión compleja que se produce cuando se aplica la com ente compleja 4e^m>l A a la combinación en serie de un capacitor de 1 mF y una resistencia de 2 £2 ; (b) la com ente compleja que se obtiene cuando se aplica la tensión compleja I00ej2(mt V en una combinación en paralelo de un inductor de 10 mH y una resistencia de 50. Respuestas: 10.4: 21.4 - ;6.38; -0 .9 4 0 + 73.08; 2.30/- 5 5 .6 0; 9.43/- 1 1 .2 2 ° . 10.5: 9.43eJ(800' “ 32'0 ) V ; 5 . 3 9 ^ 2 ooo<-68 .2 °) ^ SECCIÓN 10.4 ELMSOR • ------------------------- W V ------------- ( 381 10.4 a-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------EL FASOR -----------Una com ente o una tensión senoidal a una frecuencia determinada se caracteri­ za por sólo dos parámetros: amplitud y ángulo de fase. La representación comple­ ja de la tensión o la com ente se caracteriza también por ambos parámetros. Por ejemplo, suponga una respuesta de corriente senoidal dada por cos(&)í + 4>) donde la representación correspondiente de esta corriente en forma compleja es: i l mt' j( o tt+ < p ) U na vez que se especifican Im y 4> la corriente se define de manera exacta. A través de cualquier circuito lineal que opera en estado senoidal permanente a una sola frecuencia angular &>, se podría caracterizar en forma completa cada com ente o cada tensión conociendo su amplitud y su ángulo de fase. Además, la representación compleja de cada tensión y de cada com ente contendrá el mismo factor ejo>I. Puesto que es el mismo para cada cantidad, no contiene información útil. Desde luego, se reconocería el valor de la frecuencia si se revisa uno de es­ tos factores, aunque resulta mucho más simple escribir el valor de la frecuencia cerca del diagrama de circuito de una vez por todas y no ir cargando información redundante a lo largo de la solución. Por lo tanto, se podría simplificar la fuente de tensión y la respuesta de corriente del ejemplo 10.1 representándolas de ma­ nera concisa como e;0 = cosO + /se n O = 1 Vm o Vmej0° y I eJ<t> Estas cantidades complejas suelen escribirse en forma polar, en vez de exponen­ cial, para conseguir un pequeño ahorro de tiempo y esfuerzo adicionales. Entonces, la tensión de fuente Se debe recordar que ninguno de los circuitos que se consideran responderá a una frecuencia que no sea d(í) = Vm eos cot = Vm eos (cot + 0°) se representa ahora en forma compleja como vmZQ! y la respuesta de corriente i(t) = /,„ cos(&>í + 4>) se convierte en Im [± Esta representación compleja abreviada recibe el nombre de fa so r.2 Se revisarán los pasos mediante los cuales una tensión o com ente senoidal se transforma en un fasor, y luego se podrá definir un fasor con mayor sentido y asignar un símbolo para representarlo. 2 El lector no debe confundirse con el phaser, un interesante dispositivo que se presenta en una popular serie de televisión... la de ia fuente de excitación, lo que siempre se conoce por el valor de a>. w v CAPÍTULO 10 ANÁLISIS DE ESTADO SENOIDAL PERMANENTE U na corriente senoidal real i (t) = /,„ cos (a>t + c¡>) se expresa como la parte real de una cantidad compleja al recurrir a la identidad de Euler i{t) = R e { / ffl^ (tt,í+« } i(t) -- J m COS {(Ot + 4J-. En este caso se representa la corriente como una cantidad compleja mediante la eliminación de la instrucción Re{}, con lo cual se suma una componente imagi­ naria a la corriente sin afectar la componente real; además, se logra una simpli­ ficación adicional si se suprime el factor eJt,,t: I = Ime]+ y se escribe el resultado en forma polar: I — Im j c¡> fi - i nryiü El proceso mediante el cual se cambia i(t) a I recibe el nombre de transformación fasorial del dominio del tiempo al dominio de la frecuencia. Esta representación compleja abreviada es la representación fasorial; los fasores son cantidades complejas y por ello se escriben con negritas. Las letras ma­ yúsculas se usan para la representación fasorial de una cantidad eléctrica debido a que el fasor no es una función instantánea del tiempo: sólo contiene información de la amplitud y la fase. Se reconoce esta diferencia del punto de vista si se consi­ dera a i(t) como una representación en el dominio del tiempo y llamando al fasor I una representación en el dominio de la frecuencia. Se debe observar que la ex­ presión en el dominio de la frecuencia de una corriente o de una tensión no inclu­ ye de manera explícita la frecuencia. Sin embargo, se podría considerar que la fre­ cuencia es tan fundamental en el dominio de la frecuencia, que se destaca su omisión. EJEMPLO 10.3 Transformar la tensión en el dominio del tiempo v(t) — 100 cos(400/ — 30°) volts al dominio de la frecuenciaLa expresión en el dominio del tiempo ya está en la forma de una onda coseno con un ángulo de fase. Por lo tanto, al suprimir ca = 400 rad/s, se tiene V = 100/ —30^ volts Observar que se han omitido varios pasos al escribir de manera directa dicha representación. En ocasiones, este procedimiento confunde a los estudiantes, pues olvidan que la representación fasorial no es igual a la tensión en el dominio del tiempo v (t). En vez de eso, constituye una forma simplificada de una función compleja formada al sumar una componente imaginaria a la función real v(t). P R Á C T IC A Por conveniencia, se proporcionan varias identidades trigonométricas útiles en la parte interna de la portada. ___________________________________________ ________________ 10.6 Transformar cada una de las siguientes funciones del tiempo a la forma fasorial: (a) —5sen(580f — 110°); (b) 3cos600f — 5sen(600í + 110°) ^-, (c) 8cos(4í — 30°) + 4sen(4f — 100°). Sugerencia: convertir primero cada una en una función coseno simple con magnitud positiva. Respuesta: 5 / - 2 0 ° ; 2.41/ - 1 3 4 .8 ° ; 4 .46/ - 4 7 .9 ° . SECCIÓN 10.5 RELACIONES FASORIAlES O h R . L Y C 0 AA/V #■ El proceso de regresar al dominio del tiempo desde el dominio de la frecuencia es exactamente el inverso de la secuencia anterior. De tal manera, dada la ten­ sión fasorial V = 115/ —45° volts y conociendo que co = 500 rad/s, se puede escribir de manera directa el equiva­ lente en el dominio del tiempo: v ( t ) = 115 cos(500f — 45°) volts Si se desea como una onda senoidal, v ( t ) también podría escribirse como i,i(0 — 115sen(500f + 45°) volts P R A C T IC A m _____________________________________________ 10.7 Sea co = 2000 rad/s y t = 1 ms. Obtener el valor instantáneo de cada una de las corrientes indicadas en la forma fasorial: (a) j 10 A; (b) 20 + j 10 A; (c) 2 0 + 7(10/20°) A. Respuestas: —9.09 A; —17.42 A; —15.44 A. 10.5 — RELACIONES FASORIALES DE R, L--------------------------YC _ * ------------------------------ - --------------------------------------------------- ------------------- ! El poder real de la técnica de análisis basada en fasores radica en el hecho de que se pueden definir relaciones algebraicas entre la tensión y la corriente en induc­ tores y capacitores, del mismo modo que siempre se ha podido hacer en el caso de las resistencias. Ahora que se tiene la posibilidad de transformar dentro y fuera del dominio de la frecuencia, se procede a la simplificación del análisis del estado senoidal permanente estableciendo la relación entre la tensión fasorial y la corriente fasorial de cada uno de los tres elementos pasivos. i La resistencia i La resistencia es el caso más simple. En el dominio del tiempo, como se indica mediante la figura 10.12a, la ecuación de definición es v(t) = R i(t) Se aplicará ahora la tensión compleja v (t) = Vtllej(ait+e) = Vm eos {cot + 6) + j Vm sen(<wf + 0) (a ) [16] y se supone la respuesta de corriente compleja /(Oí = ImeK‘ot+<l’) = Im eos {cot + <p) + j l m seníwí + <p) por lo que VmeJ(a“+e) = R i{ t) = R Imej((ú,+(l,) Dividiendo entre e ,nA, se encuentra que Vmeje = R Ime-* o, enformapolar, Vmí6_ = R Im/c¡) [17] (b) ■ FIG U R A 10.12 Una resistencia y su tensión y corriente asociadas en: (a) el dominio del tiempo, v = Ri,y (A) el dominio de la frecuencia, V = R\. A /W ♦ CAPÍTULO 10 ANÁLISIS DE ESTADO SENOIDAL PERMANENTE Pero Vm[6_ e Im/(¡> representan sólo los fasores generales de tensión y de corriente V e I. Por lo tanto,. V = RI La ley de Ohm se cumple tanto en el dominio del [18] La relación tensión-corriente en forma fasorial de una resistencia tiene la misma forma que la relación entre la tensión y la corriente en el dominio del tiempo. La ecuación de definición en forma fasorial se ilustra en la figura 10.12b. Los ángulos 6 y 4> son iguales, por lo que la corriente y la tensión siempre están en fase. Como un ejemplo del uso de las relaciones tanto en el dominio del tiempo como en el de la frecuencia, se supone que existe una tensión de 8 cos(100í — 50°) V en una resistencia de 4 íl. Al trabajar en el dominio del tiempo, se descubre que la corriente debe ser tiempo como en el dominio de la frecuencia. En otras palabras, la tensión en la resistencia está dada siempre por la resistencia multiplicada por la corriente que fluye a través del elemento. i(t) = ~ = 2cos(100í - 50°) A La form a fasorial de la misma tensión es 8/ —50° V, por lo que I = - = 2 / —50° R L------< t A Si se transforma esta respuesta de nuevo en el dominio del tiempo, resulta evidente que se obtiene la misma expresión de la corriente. Se puede concluir que no hay ahorro de tiempo o esfuerzo cuando un circuito resistivo se analiza en el dominio de la frecuencia. El inductor Considerar ahora el inductor. La red en el dominio del tiempo se muestra en la figura 10.13a, y la ecuación de definición, una expresión en el dominio del tiempo, es di dt ’= L —r (a) \L V =jio L l d i (r) v(t) = L dt g L (b) I F IG U R A 1 0 .1 3 Un inductor y su tensión y comente asociadas en (o) el dominio del tiempo, ir = Ldi/dt; y ( b) en el dominio de la frecuencia, V =jwL\. [19] Después de sustituir la ecuación [16] de la tensión compleja y la ecuación [17] de la corriente compleja en la ecuación [19], se tiene que V J (f» t+ 6 ) _ / J U o t+ 4 ¡ ) dt Tomando la derivada indicada, Vmei(o,t+9) = jc,)LImeJ<a,t+4,) y dividiendo entre ejwt: Vme ie = jo )L lme ^ se obtiene la relación fasorial que se desea: V = jcúL I Í20] La ecuación diferencial [19] en el dominio del tiempo se ha convertido en la ecuación algebraica [20] en el dominio de la frecuencia. La relación fasorial se in­ dica en la figura 10.13b. Observar que el ángulo del factor ja iL es exactamente +90° y que I debe, por lo tanto, estar retrasada de V de 90° en un inductor. SECCIÓN 10.5 RELACIONES FASORIALES DE R, L YC AA/V * i 385 EJEMPLO 10.4 Aplicar la tensión 8/—50° V a una frecuencia 10 = 100 rad/s en un in­ ductor de 4 II y. determinar la corriente fasorial y la corriente en el do­ minio del tiempo. Se utiliza la expresión del inductor que se acaba de obtener: 1= y 8/ —50° jto L j 100(4) = —y'0.02/ —50° = (1/ —90°)(0.02/ —50°) I = 0.02/- 1 4 0 ° A Si se expresa esta corriente en el dominio del tiempo, se tiene i(t) = 0 .0 2 cos(lOOf - 140°) A = 20cos(100í - 140°) mA El capacitor El elemento final por considerar es el capacitor. La relación corriente-tensión en el dominio del tiempo es ,d v ( t) iit) = C - dt La expresión equivalente en el dominio de la frecuencia se obtiene una vez más dejando que v i t ) e i(t) sean las cantidades complejas de las ecuaciones [16] y [17]; si se toma la derivada indicada, se suprime e JI"1, y se reconocen los fasores Y e I, se obtiene I = jco C Y I =jw C V [21] De tal manera, I adelanta a V en 90° en un capacitor, lo cual, desde luego, no significa que ¡esté presente una respuesta de corriente un cuarto de periodo antes que la tensión que la provoca! Se está estudiando la respuesta de estado perma­ nente, y se encuentra que la corriente máxima se debe a la tensión creciente que ocurre 90° antes que la tensión máxima. Las representaciones en el dominio del tiempo y en el de la frecuencia se comparan en la figura 10.14a y b. Se han obtenido ahora las relaciones Y-I de los tres elementos pasivos. Los resultados se resumen en la tabla 10.1, donde las V (a) (b) I FIG U R A 1 0 . 1 4 Relaciones (a) en el d o m inio del tie m p o y (ó ) en el do m in io de la frecuencia, entre la corriente del capacitor y la tensión. TABLA 10.1 Comparación de las expresiones de tensión-corriente en el dominio _____________ del tiempo y en el dominio de la frecuencia._____________________ D om inio de la frecuencia D om inio del tiem po R V = ■AAAr L ■TiTP- di 'd t R Ri V = jcoL l —V W ií* v I jíol, P I C: dt V jo x C 1 v - l/jjgs — If— + -:.V ■V W 386 CAPITULO ANALISIS DE ESTADO SENOIDAL PERMANENTE expresiones v-i en el dominio del tiempo y las relaciones V -I en el dominio de la frecuencia de los tres elementos del circuito se muestran en columnas adyacentes. Todas las ecuaciones fasoriales son algebraicas, cada una es también lineal, y las ecuaciones que relacionan a la inductancia y la capacitancia guardan una gran si­ militud con la ley de Ohm. En realidad, se usarán, como se empleó la ley de Ohm. Leyes de Kirchhoff con fasores La ley de Kirchhoff de tensión en el dominio del tiempo establece que Ul(í) + V 2 ( t ) H----------- 1- V f f ( t ) = 0 Se utiliza ahora la identidad de Euler para sustituir cada tensión real v¡ por una tensión compleja que tenga la misma parte real, se suprime e'1"'1 en todos lados y se obtiene Vi + V 2 + - - - + V * = 0 I FIG U R A 10.15 Circuito RL en serie con una tensión fasorial aplicada. Por lo tanto, se verá que la ley de Kirchhoff de tensión se aplica a las tensiones fasoriales de la misma manera como ocurrió en el dominio del tiempo. Se prueba que la ley de corriente de Kirchhoff se cumple para las com entes fasoriales me­ diante un argumento similar. Considerar ahora brevemente el circuito R L en serie que se ha estudiado va­ rias veces; se m uestra en la figura 10.15 y se indican una corriente fasorial y varias tensiones fasoriales. Se obtendría la respuesta deseada, una com ente en el dominio del tiempo, mediante la determinación, en primer lugar, de la com ente fasorial. A partir de la ley de Kirchhoff de tensión, se tiene que Yr +Yl = Ys y utilizando las relaciones V -I de los elementos que acaban de obtenerse R I + jcaL I = Vs La comente fasorial se encuentra entonces en términos de la tensión de la fuente V s: R + jcoL Elegir una amplitud de la tensión de la fuente de Vm y un ángulo de fase de 0°. De tal modo, l v,n¿0: R + jcoL La com ente se transformaría al dominio de tiempo si se le escribe primero en la forma polar, esto es, iL . / ( - ta n -\w L /R )) j R 2 +«o2L 2 ‘ y después, siguiendo la familiar secuencia de pasos para obtener de una manera muy sencilla el mismo resultado que se obtuvo anteriormente en este capítulo mediante el “camino difícil”. i = -A A A r io a )V, 10 m H i ■ FIGURA 10.16 20 íl P R A C T IC A ___________________________________________________________ 10.8 En el circuito de la figura 10.16, sea co = 1200 rad/s, Ic = 1.2/28° A, e l i = 3 /53° A. Determinar (a) I,s; (b) V v; (c) Í r (J). Respuesta: 2.33/ - 3 1 . 0 0 A; 34.9/74.5^ V; 3.99cos(1200f + 17.42°) A. A /W SECCIÓN 10.6 IMPEDANCIA 10.6 , IMPEDANCIA Las relaciones de corriente-tensión de los tres elementos pasivos en el dominio de la frecuencia son (suponiendo que se satisface la convención de signos pasiva) V = RI y = jco L l Y = I jcvC Si las ecuaciones se escriben como proporciones de tensión fasorial/corriente fasorial V 7I V = R I 7 = T ]C ú L V 7 I 'i = jto C ~r ~ r se comprueba que las mismas son cantidades simples que dependen de los valores de los elementos (y de la frecuencia también, en el caso de la inductancia y la ca­ pacitancia). Estas proporciones se tratan de la misma manera que a las resistencias, con la excepción de que son cantidades complejas, por lo que todas las manipula­ ciones algebraicas deben ser las apropiadas para los números complejos. Definir la proporción entre la tensión fasorial y la corriente fasorial como la im pedancia, simbolizada por la letra Z. Es una cantidad compleja que tiene las dimensiones en ohms; no es un fasor y no puede transformarse al dominio del tiempo multiplicándola por eja>' y tomando la parte real. En vez de eso, se piensa en un inductor que se representara en el dominio del tiempo mediante su induc­ tancia L y en el dominio de la frecuencia por su impedancia jcoL. Un capacitor en el dominio del tiempo tiene una capacitancia C; en el de la frecuencia, cuenta con una impedancia 1/jcoC . La impedancia es una parte del dominio de la fre­ cuencia y no un concepto que sea parte del dominio del tiempo. Zr =R I l = jcoL Combinaciones de impedancia en serie La validez de las dos leyes de Kirchhoff en el dominio de la frecuencia conduce al hecho de que pueden combinar las impedancias en serie y en paralelo median­ te las mismas reglas ya establecidas para las resistencias. Por ejemplo, en oo = 10 x 103 rad/s, un inductor de 5 mH en serie con un capacitor de 100 ¡i¥ se puede sustituir por una sola impedancia, que es la suma de las impedancias in­ dividuales. La impedancia del inductor es ZL = j a L = j5 0 fi la impedancia del capacitor está dada por Por lo tanto, la impedancia de la combinación en serie corresponde a Observar que 4 = Zeq = Z ¿ + Z c = j5 0 — j 1 - j4 9 fi L a impedancia de inductores y de capacitores es una función de la frecuen­ cia, y esta impedancia equivalente corresponde a una sola pulsación a la cual se calculó, o) = 10000 rad/s. Si se cambia la frecuencia a co = 5000 rad/s, por ejemplo, Zeq = j 23 fi. Combinaciones de impedancias en paralelo La combinación en paralelo del inductor de 5 mH y el capacitor de 100 /xF a ft) = 10000 rad/s se calcula exactamente del mismo modo que se calcularon las resistencias en paralelo: A /W CAPITULO 10 ANÁLISIS DE ESTADO SENOIDAL PERMANENTE ( j 50) (—_/']) 50 eq = ^ S O ^ j T = 749 = ~ j l 02° Q Con ( o = 5 000 rad/s, el equivalente en paralelo es —j 2 .17 Í2. El número complejo o cantidad que representa la impedancia puede expre­ sarse en forma polar o en forma cartesiana. Por ejemplo, se dice que la impedan­ cia 50 — 7 8 6 . 6 Í2 tiene una resistencia de 50 Í2 y ana.reactancia de —8 6 . 6 £2. Por ello, la parte real de la impedancia se conoce con el nombre de resistencia, mien­ tras que la componente imaginaria (incluyendo el signo pero no la j) se conoce con el nombre de reactancia, la cual a menudo está simbolizada por la letra X. Ambas tienen unidades en ohms. En forma cartesiana, Z = R + j X , y en forma polar, Z = \Z\/6. Por lo tanto, una resistencia tiene una reactancia cero, mien­ tras que los capacitores e inductores (ideales) tienen una resistencia nula. Lo anterior también puede observarse directamente de la form a polar de la im pe­ dancia. Considerar de nuevo Z = 50 — y 8 6 . 6 Í2, que puede también escribirse como 100/ —60’' Q. Puesto que el ángulo de fase no es cero, se sabe que la im­ pedancia no es puramente resistiva a la frecuencia co. Puesto que no es de + 90° se sabe que no es puramente inductiva y, de manera similar, no es puramente ca­ pacitiva o el ángulo de fase sería de —90°. ¿Puede incluir una combinación en serie o en paralelo un capacitor y un inductor y tener una reactancia nula? Claro que sí. Considerar la situación donde co = 1 rad/s, L = 1 H, y C = 1F, todas en serie con R = 1 Í2. La impedancia equivalente de esta red es Z = 1 + / (1) (1) — y / ( l ) ( l ) = 1 Q. como si (a la frecuencia de 1 rad/s) solamente estuviera pre­ sente una resistencia. EJEMPLO 10.5 D eterm in ar la im pedancia equiv alente de la red de la figura 10.17a, la cual produce u n a pulsación de operación de 5 rad/s. 200 m F 2H -rm ^ (ü ) -i í i jio n (b) ■ FIG U RA 10.17 (a) Red que se va a sustituir por una sola impedancia equivalente. (b) Los elemenios se sustituyen por sus impedancias en co = 5 rad/s. SECCIÓN 10.6 IMPtDANCIA En prim er lugar se deben convertir las resistencias, capacitores y el induc­ tor en las impedancias correspondientes, como se muestra en la figura 10.17b. Luego de examinar la red resultante, se observa que la impedancia de 6 fi está en paralelo con —y’0.4 fi. Esta combinación equivale a (6) (—y 0.4) = _ 6 - y 0.4 que está en serie con las impedancias —7 fi y j 10 fi de modo que se tiene 0.0265 - y0.3982 - j + j 10 = 0.02655 + y 8.602 fi Esta nueva impedancia está en paralelo con 10 fi, por lo que la impedan­ cia equivalente de la red resulta ser 1 0 1| (0.02655 + /8.602) = 10(0.02655 + J8.602) J 10 + 0.02655 + y 8.602 = 4.255 + 74.929 fi Alternativamente, se expresa la impedancia en forma polar como 6.511/49.20c fi. P R A C T IC A __________ _______________________________________________ 10.9 De acuerdo con la red de la figura 10.18, determinar la impedancia de entrada Z ent tque se mediría entre las terminales: (a) a y g; (b) b y g; (c) a y b. 5 mH &>= 1000 rad/s FIG U RA 10.18 Respuestas: 2.81 + 74.49 Q; 1.798 - 7,1*124 Q; 0.1124 - 73.82 Q. Es importante notar que la componente resistiva de la impedancia no nece­ sariamente es igual a la resistencia que está presente en la red. Por ejemplo, una resistencia de 10 fi y un inductor de 5 H en serie con co = 4 rad/s tiene una impedancia equivalente Z = 10 + j 20 fi, o, en forma polar, 22.4/63.4° fi. En este caso, la componente resistiva de la impedancia resulta igual a la resistencia en serie debido a que se trata de una red simple en serie. Sin embargo, si los dos ele­ mentos se ponen en paralelo, la impedancia equivalente es 10(y'20)/(l0 + j2 0 ) fi, u 8 + j 4 fi. El componente resistivo de la impedancia es ahora 8 fi. 3 9 0 ------------ V W CAPITULO 10 ANÁLISIS DE ESTADO SENOIDAL PERMANENTE Determinar la corriente i(t\ en el circuito que se muestra en la figura 10.19 a . (o) I 1 k fl (b) ■ FIG U R A 10.19 (a) Circuito RLC para el que se desea la respuesta forzada senoidal/(f). (b) Equivalente en el dominio de la frecuencia del circuito dado en a>= 3 000 rad/s. Identificar el objetivo del problema. Es necesario determinar la corriente senoidal de estado permanente que fluye por la resistencia de 1.5 kí2 debido a la fuente de tensión de 3 000 rad/s de pulsación. Recopilar la información conocida. En primer lugar debe dibujar un circuito en el dominio de la frecuencia. La fuente se transforma en la representación del dominio de la frecuencia 40/ —90° V, la respuesta en el dominio de la frecuencia se representa como I, y las impedancias del inductor y el capacitor, determinadas a co = 3 000 rad/s, son j kí2 y —j 2 kí2, respectivamente. En la figura 10.19b se ilustra el circuito correspondiente en el dominio de la frecuencia. Decidir la técnica que mejor se ajusta al problema. Se analizará el circuito de la figura 10.19¿> para obtener I; mediante la combinación de las impedancias y con base en el uso de la ley de Ohm es un método factible. Después se utilizará el hecho de que se conoce co = 3 000 rad/s para convertir I en una expresión en el dominio del tiempo. Construir un conjunto apropiado de ecuaciones. = 2 + /1.5 = 2.5/36.87° kí2 En consecuencia, la corriente fasorial es simplemente: SECCIÓN 10.6 IMPEDANCIA A A /V ” #■ i' 3 9 1 Determinar si se requiere información adicional. Si se sustituyen los valores conocidos en la relación, se tendrá 4 0 /—90° 1 = ----------- mA 2.5 /36.87° lo cual, junto con el conocimiento de que co = 3 000 rad/s, resulta sufi­ ciente para resolver respecto de i(t). Buscar la solución. Esta expresión compleja se simplifica con facilidad a un número complejo en forma polar: 40 I = — / —90° - 36.87° mA 2 . 5 --------------------- = 1 6 .0 0/-126.9° mA ------------------ Luego de transformar la corriente en el dominio del tiempo, se obtiene la respuesta deseada: i(t) = 1 6 co s(3 0 0 0 f— 126.9(? j|mA Verificar la solución. ¿Es razonable o la esperada? La impedancia efectiva conectada a la fuente tiene un ángulo de +36.87°, lo que indica que presenta un carácter inductivo neto, o que la corriente es­ tará retrasada respecto de la tensión. Puesto que la fuente de tensión tiene un ángulo de fase de —90° (luego de convertirse en una fuente de cosenos), se observa que la respuesta es congruente. P R Á C T IC A _ _________ ______ ____ ------- j f p j :- T!!-" |||g |0 10.10 En el circuito de la figura 10.20, determinar en el dominio de la frecuencia: (a) l i ; (b) I 2 ; (c) I 3 . É> F IG U R A 1 0 .3 0 Respuestas: 28.3/45° A: 20/90° A; 20/0° A. Antes de empezar a escribir muchas ecuaciones en el dominio del tiempo o en el de la frecuencia, es muy importante que se evite la elaboración de ecua­ ciones que están parcialmente en el dominio del tiempo, parcialmente en el do­ minio de la frecuencia y son por completo incorrectas. Una pista que indica que se ha cometido un error es la aparición de un número complejo y de una t en la misma ecuación, salvo en el factor eJ0>' . Y, puesto que e ,0,t desempeña un papel mucho mayor en las derivaciones que en las aplicaciones, conviene señalar que los estudiantes que descubran que crearon una ecuación con j y t, o con ¡_ y t, han formulado tal monstruo que el mundo estaría mejor sin él. Por ejemplo, unas cuantas ecuaciones antes se vio que Vs 4 0 /—90° I = V = . J - 7 7 T = 1 6 /—126.9° mA Z eq 2.5/36.9° L-----------Por favor no intente nada como lo siguiente: .. . x / 40 sen 3 000? ,m X ~ T 5 0 ., * \ v 40 sen 3 000? ‘« X ^ T T T y - ”5 fí \j5ñ 392 j------------- W v --------------------------• CAPÍTL LO 10 ANÁLISIS DF. ESTADO SENOIDAL PERMANENTE En ocasiones, se puede ver que el recíproco de la impedancia es una cantidad más conveniente. Con este espíritu, se define la admitancia Y de un elemento de circuito como la razón de la corriente fasorial y de la tensión fasorial (suponiendo que se satisface la convención de signos pasiva): Y= — V y p o r e l lo Y* = R Y= Z R yí = y~^[ jíú L La parte real de la admitancia es la conductancia G, y la parte imaginaria de la admitancia es la susceptancia B. De tal manera. YC = ¡ coC Y = G + j B = - = ----- ----J Z R + jX ítEMUcióN) [22| La ecuación [22] debe revisarse con cuidado; ¡no establece que la parte real de la admitancia sea igual al recíproco de la parte real de la impedancia, o que la parte imaginaria de la admitancia resulta igual al recíproco de la parte imagi­ naria de la admitancia! La admitancia, la conductancia y la susceptancia se miden en siemens. Una impedancia Z = 1 - j 2 £2 que podría representarse, por ejemplo, mediante una resistencia de 1 £2 resistor en serie con un capacitor de 0.1 /¿F a co = 5 Mrad/s, posee una admitancia igual a Y = - = — Z 1 - ¡2 I - J2 1 - ¡2 = 0.2 + )'0.4 S La admitancia equivalente de una red con varias ramas en paralelo es la suma de las admitancias de las ramas individuales. En consecuencia, el valor numérico de la admitancia que acaba de indicarse se puede obtener a partir de una conductancia de 0.2 S en paralelo con una susceptancia positiva de 0.4 S. Lo primero podría representarse por medio de una resistencia de 5 £2 y lo úl­ timo por un capacitor de 0.08 ¿iF a a> = 5 Mrad/s, pues la admitancia de un ca­ pacitor es jcúC. Como una verificación del análisis, calcular la impedancia de esta últim a red, una resistencia de 5 £2 en paralelo con un capacitor de 0.08 /xF a o> = S Mrad/s. La impedancia equivalente se obtiene mediante z= 5 (! /jo>C) = 5 C-y-2 .5 ) = 5 + 1/jcúC 5 - j 2.5 como antes. Estas dos redes representan sólo a dos de un número infinito de re­ des diferentes que poseen esta misma impedancia y admitancia a esta frecuen­ cia. Sin embargo, representan las únicas redes de dos elementos, y por ello po­ drían considerarse como las redes más simples que tienen una impedancia de ] — ¡2 £2 y una admitancia de 0.2 + j 0.4 S a la frecuencia o) = 5 x I O6 rad/s. A veces se usa el término inm itancia, una combinación de las palabras im­ pedancia y admitancia, como una expresión general tanto de la impedancia SECCION 10.8 ANÁLISIS NODAL V DE MALLA •- A/W como de la admitancia. Por ejemplo, resulta evidente que conocer la tensión fa­ sorial en una inmitancia dada permite calcular la corriente que circula por ella. P R A C T IC A 10.11 Determinar la admitancia (en form a rectangular) de: (a) una impedancia Z = 1 000 H ,/'400 fi; (b) una red compuesta por la combinación en paralelo de una resistencia de 800 fi, un inductor de 1 mH y un capacitor de 2 nF si co = 1 Mrad/s; (c) una red constituida por la combinación en serie de una resistencia de 800 fi, un inductor de 1 mH y un capacitor de 2 nF, si co = 1 Mrad/s. Respuestas: 0.862 —j'0.345 mS; 1.25 + /1 mS; 0.899 —j 0.562 mS. T0.8 . ANÁLISIS NODAL Y DE MALLA________________ Anteriormente se hizo un gran trabajo con las técnicas de análisis nodal y de mal! a, por lo que resulta razonable preguntar si podría ser válido un procedimiento similar en términos de fasores e impedancias para el estado senoidal perma­ nente. Ya se sabe que ambas leyes de Kirchhoff resultan válidas en el caso de los fasores; además, se tiene una ley similar a la de Ohm para los elementos pasivos V = Z I. En otras palabras, las leyes sobre las que se sustenta el análisis nodal son verdaderas para ios fasores y, por lo tanto, se debería proceder a analizar cir­ cuitos mediante técnicas nodales en el estado senoidal permanente. Con argu­ mentos similares, se establece que los métodos del análisis de m alla también re­ sultan válidos (y a menudo útiles). EJEMP LO 10.7 Determinar las tensiones de nodo vt(t) y m(í) en el dominio del tiempo del circuito de la figura 10.21. -J5Ü ■ F IG U R A 1 0 .2 1 Circuito en el dominio de la frecuencia en el que se identifican las tensiones de nodo V, y V2- Se indican como fasores dos fuentes de corriente, así como las tensiones de nodo fasoriales Vi y V 2. En el nodo izquierdo se aplica la LKC, de lo que resulta que: Vi 5 + Vi - j 10 + Vi - V 2 ~ —J5 Vi - v2 = 1/01 = 1 + JO j 10 (Continúa en la siguiente página) 0 ■V W ■* CAPÍTULO 10 ANÁLISIS DE ESTADO SENOIDAL PERMANENTE En el nodo derecho: + J5 + 15 = —(0-5/ —9°°) = j 0.5 Combinando términos, se tiene (0.2 + y0.2)V! - y 0 .1 V 2 = 1 y -,/O .iY i + (0 . 1 - j 0 .i)V 2 = j 0 . 5 Estas ecuaciones se resuelven con facilidad en la mayoría de las calculado­ ras científicas, y el resultado será Vi = 1 — ¡2 V y V? = —2 + j 4 V. Las soluciones en el dominio del tiempo se obtienen expresando V[ y V 2 en la forma polar: Vi = 2.24/ —63.4° V2 = 4.47A 16.60 y pasando al dominio del tiempo: i>i (/) = 2.24cos(® í — 63.4°) V v¿(¡0 = 4.47cos(® r -+ 116.6°) V Observar que el valor de co tendría que conocerse para calcular los valores de impedancia dados en los diagramas de circuitos. También, ambas fuentes deben operar a la misma frecuencia. PRÁCTif.A _________ ___________________________ ___________________ __ 10.12 Aplicar el análisis nodal en el circuito de la figura 10.22 para determinar Vi y V2. 5 0 /-9ftfe,rrftfr - j 25 mS ■ FIGURA 10.22 Respuesta: 1.062/23.3° V: 1.593/-5 0 .0 0 <V. Considerar ahora un ejemplo del anáfisis de malla, teniendo presente de nuevo que todas las fuentes deben operar a la misma frecuencia. De otra forma, es imposible definir un valor numérico para cualquier reactancia en el circuito. Como se estudiará en la sección siguiente, la única manera de salvar un dilema de este tipo es mediante la superposición. SECCIÓN 10.8 ANÁLISIS NODAL Y DE MALLA » ^W EJEMPLO 10.8 O b ten er expresiones de las corrien tes en el dom inio del tiem po ¿i e el circuito de la figura 10.23a. en (a) 3 Ü - jZ S l 21 , ■ FIGURA 10.23 (o) Circuito en el dominio del tiem po que contiene una fuente dependiente, (ti) Circuito correspondiente en el dominio de la frecuencia. Al observar en la fuente izquierda del circuito de la figura 10.23b que co = 103 rad/s, se dibuja el circuito en el dominio de la frecuencia y se asignan las corrientes de m alla li e I2. Alrededor de la m alla 1, se tiene que 3I i + j 4( I1 - I 2) = 10Z0! o (3 + j'4 )I i - j4 I2 = 10 mientras la malla 2 tiene como resultado j 4 ( I 2 - I 1) - ) 2 I 2 + 2 I 1 = 0 o ( 2 - j 4 ) I 1+ j 2 I 2 = 0 Despejando, I, = 14 ^ j 8 = 1.24/29.7° A 13 20 + j3 0 = 2.77/56.3° A •2 = 13 Por consiguiente, h ( t) = 1.24cos(103í + 29.7°) A i2(t) = 2.77cos(103í + 56.3°) A PRACTICA 10.13 Aplicar el análisis de m alla en el circuito de la figura 10.24 a fin de determinar li e I2. R espuestas: 4 .8 7 / - 1 6 4 .6 ° A; 7 .1 7 / - 1 4 4 .9 ° A. -( APLICACIÓN PRÁCTICA^") Frecuencia d e corte d e u n a m p lific a d o r tr a n sisto riz a d o Los circuitos del amplificador basados en transistores constituyen una parte integral de muchos instrumentos electrónicos modernos. Una aplicación común se encuen­ tra en los teléfonos celulares (figura 10.25), donde las se­ ñales de audio se superponen sobre ondas portadoras de alta frecuencia. Desafortunadamente, los transistores in­ cluyen capacitancias integradas que implican limitacio­ nes en las frecuencias a las cuales pueden usarse, así que este hecho debe considerarse cuando se elige un transis­ tor para una aplicación específica. ■ F IG U R A 1 0 .2 5 Los amplificadores transistorizados se utilizan en muchos dispositivos, entre ellos los teléfonos celulares. A menudo, los modelos de circuitos lineales se utilizan para analizar su desempeño en función de la frecuencia. Cortesía de Nokia. La figura 10.26a muestra lo que se conoce común­ mente como un modelo híbrido n de alta frecuencia pa­ ra un transistor de unión bipolar. En la práctica, aunque los transistores son dispositivos no lineales, se encuentra que este circuito lineal simple efectúa un trabajo razona­ blemente preciso al hacer el modelo del comportamiento del dispositivo real. Los dos capacitores CjT y C/t se uti­ lizan para representar capacitancias internas que caracte­ rizan al transistor particular utilizado; además, se agregan capacitores adicionales, así com o resistencias, para aumentar la exactitud del modelo, según sea necesario. La figura 10.26b muestra el modelo de transistor inserta­ do en un circuito de amplificador conocido como ampli­ ficador de emisor común. Suponiendo una señal de estado senoidal permanente representada por su equivalente de Thévenin V.vy Rs, in­ teresa la razón entre la tensión de salida Vsai con respecto a la tensión de entrada V ent- La presencia de las capaci­ tancias de transistor internas provoca una reducción en la amplificación a medida que aumenta la frecuencia de V,s ; a la larga, este fenómeno limita las frecuencias a las cuales el circuito operará de manera apropiada. Al es­ cribir una ecuación nodal a la salida se obtiene SmVir — V sal - V e, (1 /jw C » ) + V sa l (R c II R l ) Colector Base ---+ II > < i> * 1 lA A ______ VV V =c„ Emisor (a) I F IG U R A 1 0 .2 6 (o) Modelo de transistor híbrido n de alta frecuencia, (b) Circuito amplificador de emisor común que utiliza el modelo de transistor híbrido ir. 10.9 . SUPERPOSICIÓN, TRANSFORMACIONES_________ * DE FUENTE Y TEOREMA DE THÉVENIN Después de que se presentaron los inductores y los capacitores en el capítulo 7, se puede ver que los circuitos que contienen tales elementos m antenían su li­ nealidad y que los beneficios de ésta estaban otra vez disponibles. Entre dichos beneficios se encuentran el principio de superposición, los teoremas de Théve­ nin y de Norton y las transformaciones de fuente. Al resolver para V sa¡ en términos de Vent, y observar au a \ jt — Vent, se tiene una expresión para la ganancia del amplificador: V sal _ —gm iR cW R Ú il/j& C ^) (R cW R Ú + V ent + (i? c ll^ ¿ ) a /ju C ,,) = - g m ( R c W R L) + j c o j R c W R ú C , , 1 + j ^ iR c W R ú C ^ Dados los valores típicosgm = 30 mS. R( = R l = 2 kfi, y = 5 pF, se grafica la magnitud de la ganancia como una función de la frecuencia (hay que recordar que co = 2ir f). La gráfica semilogarítmica se muestra en la figura 10.27a, y la serie de instrucciones de MATLAB uti­ lizadas para generar la figura se indica en la figura 10.27Z>. Resulta interesante, aunque quizá no totalmente sorpren­ dente, ver que una característica como la ganancia del amplificador depende de la frecuencia. En realidad, se po­ dría tener la intención de utilizar un circuito de este tipo como un medio para descartar las frecuencias que no in­ teresan. Sin embargo, al menos en el caso de frecuencias relativamente bajas, se ve que la ganancia es en esencia in­ dependiente de la frecuencia de nuestra fuente de entrada. Cuando se caracterizan los amplificadores, suele hacerse referencia a la frecuencia a la cual se reduce la ganancia hasta l / \ Í 2 veces su valor máximo. De acuerdo con la figura 10.27a, se observa que la magni­ tud de ganancia máxima es 30 y que se reduce hasta 3 0 / V 2 = 21 en el caso de una frecuencia de casi 30 MHz. A menudo, esta frecuencia recibe el nombre de frecuencia de corte (ruptura) o de esquina del ampli­ ficador. Si se requiere una operación a frecuencia más alta, deben reducirse las capacitancias internas (es de­ cir, debe usarse un transistor diferente) o rediseñarse el circuito de alguna manera. En este punto se observa que definir la ganancia rela­ tiva a Vent no presenta una imagen completa del compor­ tamiento dependiente de la frecuencia del amplificador. Esto quizá sea patente si se considera en forma breve la capacitancia Cn : conforme co —> oo,Zc„ —> 0, por lo que Vent—^ 0. Este efecto no se manifiesta por sí solo en la ecuación que se obtuvo. Un método más completo con­ siste en desarrollar una ecuación de Vsai en términos de Vv, en cuyo caso ambas capacitancias aparecerán en la expresión; lo anterior requiere un poco más de álgebra. Pda Edif: View Iitsert Toob W*idow Hdt> 35 30 - Ya no se amplifica de manera eñcaz t!)' EDU» frequency = íogspace(3,9,100); EDU» numerator = -30e-3*l 000 + i*frequency*l 000*5e-12; EDU» denominator = 1 + i*frequency*l 000*5e-12; EDU» for k = 1:100 gain(k) = abs(numerator(k)/denominator(k)); end EDU» semiíogx(frequency/2/pi,gain); EDU» xlabel('Frequency (Hz)'); EDU» yíabei('Gaín'); EDU» axis([100 1e8 0 35]); 10 F fáquancy (h k ) (a) I FIGURA 10.27 (o) Ganancia del amplificador como una función de la frecuencia. (6) MATLAB utilizada para crear la gráfica. Así, se sabe que se podrían utilizar estos métodos en los circuitos que se con­ sideran ahora; el hecho de que por casualidad se apliquen fuentes senoidales y que se busque sólo la respuesta forzada no tiene importancia. Igualmente ocu­ rre con el hecho de que se analicen los circuitos en términos de fasores, pues son circuitos que mantienen su linealidad. También se podría recordar que se recurrió a ésta y a la superposición cuando se combinaron fuentes reales e ima­ ginarias para obtener una fuente compleja. (*) 0 A/W ■# CAPÍTULO 10 ANÁLISIS DE ESTADO SENOIDAL PERMANENTE EJEM PLO 10.9 Aplicar la superposición para determinar V ( en el circuito de la figura 10.21, que, por conveniencia, aparece repetido en la figura 10.28a. -j5 n — V J 0.5 /-90° A Ref. (b) ■ FIGURA 10.28 (o) Circuito de la figura 10.21 para el que se desea V,. (b) V, puede encontrarse mediante la superposición de las respuestas fasoriales separadas. Primero se vuelve a dibujar el circuito como en la figura 10.28b, donde cada par de impedancias en paralelo se sustituye por una sola impedancia equiva­ lente. Esto es, 5 1[ —j 10 £2 es 4 — j 2 £2; j l 0 || —j 5 £2 es —j 10 £2; y 10 || j 5 es igual a 2 + j'4 £2. Para determinar Vi, se activa primero sólo la fuente izquierda y se obtiene la respuesta parcial, Vi¿. La fuente I /(T está en para­ lelo con una impedancia de (4 — j 2) || ( - j 10 + 2 + j4 ) por lo que = (4 — j'2) (—j 10 + 2 + j'4) ^ 4 — j 2 — ¿10 + 2 + ¿4 - 4 - j2 8 6 - j8 = 2 - ¿2 V Con sólo la fuente de la derecha activa, la división de corriente y la ley de Ohm permiten escribir la siguiente relación Vi* = t - 0 . 5 /- 9 0 ° ) 2 + j'4 4 — ¿2 — j 10 + 2 + j 4 (4 — j2 ) = —1 V Al sumar Vi - Vi, 2 - j 2 - 1 = 1 - J2 V lo cual concuerda con el resultado anterior del ejemplo 10.7. Como se verá, la superposición es también extremadamente útil cuando se trabaja con un circuito en el que no todas las fuentes operan a la misma frecuencia. SECCIÓN 10.9 SUPERPOSICIÓN, TRANSFORMACIONES DE FUENTE Y TEOREMA DE THÉVENIN *- A A /V P R Á C T IC A t __________________________________________________ 10.14 Si la superposición se aplica en el circuito de la figura 10.29, determinar Vi con: (a) sólo la fuente de 20/0°-mA en operación; (b) en operación sólo la fuente de 50/ —90°-mA. 50/-900mA Respuestas: 0.1951 - j 0 . 5 5 6 V; 0.780 + j0.976 V. EJEMPLO Determinar el equivalente de Thévenin visto por la impedancia —/t0 ft de la figura 10.30a, y utilizarlo para calcular Vi. Ref. fa ) ib) (c) V* (d) ■ F IG U R A 1 0 .3 0 (a) Circuito de la figura 10.286. Se desea el equivalente de Thévenin visto por la impedancia —y 10 Í2. (b) Se define V * ; (c) Se define Z * . (d) El circuito se vuelve a dibujar utilizando el equivalente de Thévenin. (Continúa en la siguiente página) 10.10 AA/V ♦ CAPÍTULO 10 ANÁLISIS DE ESTADO SENOIDAL PERMANENTE La tensión en circuito abierto que se define en la figura 10.30/.), es Voc = (1 /0 !)(4 - ¿2) - (—0.5/ —90°)(2 + ¡4) = 4-7 2 + 2-71 = 6 - j3V La impedancia del circuito inactivo de la figura 10.30c, como se observa desde las terminales de la carga, es simplemente la suma de las dos impe­ dancias restantes. En consecuencia, Z ¡i, = 6 + 7 2 £2 De este modo, cuando se reconecta el circuito como en la figura 10.30c/, la comente dirigida desde el nodo 1 hasta el nodo 2 , a través de la carga —7 1 0 £2 resulta I12 = 6 + 6 -/3 7 2 - = 0.6 + 7 O. 3 A 710 Se sabe ahora la corriente que fluye por la impedancia de —7 10 £2 de la figura 10.30a. Observar que no se puede calcular V 1 mediante el circuito de la figura 10.30d pues el nodo de referencia ya no existe. Volviendo al cir­ cuito original, pues, y restando la corriente 0.6 + j 0 3 A de la fuente de co­ rriente izquierda, se determina la corriente hacia abajo que pasa por la rama ( 4 - 7 2 ) £2 : h = 1 - 0.6 - 7 O. 3 = 0.4 - 7 O. 3 y, por ello, V i = ( 0 . 4 - 7 0 .3 ) ( 4 - j 2 ) = 1 - V como antes. Se pudo haber sido más astuto y haber utilizado el teorema de Norton en los tres elementos de la derecha de la figura 10.30a, suponiendo que el prin­ cipal interés está en Vi. También se utilizan en forma repetida las transfor­ maciones de fuente para simplificar el circuito. Por lo tanto, todos los atajos y trucos que surgieron en los capítulos 4 y 5 están disponibles para analizar circuitos en el dominio de la frecuencia. La ligera complejidad adicional, evidente ahora, surge por la necesidad de emplear números complejos, y no por alguna otra consideración teórica implicada. •ion 3/30° A ( T ) 7 2 Z -j 5 0. P R Á C T IC A ysn -o b ■ FIGURA 10.31 10.15 En el circuito de la figura 10.31, determinar: (a) la tensión en circuito abierto \ ah. (b) la corriente hacia abajo en un cortocircuito entre a y b: (c) la impedancia equivalente de Thévenin Z a¡, en paralelo con la fuente de corriente. Respuesta: 16.77/-33.4° V; 2.60 + ; 1.500 A; 2.5 - j 5 Si. \ Vale la pena un comentario final. Hasta este punto, el estudio se ha restringido a circuitos de una sola fuente o de fuentes múltiples en los que cada una de ellas opera exactamente en la misma frecuencia. Esto resulta necesario a fin de definir valores de impedancia específicos de elementos inductivos y capacitivos. Sin em bargo, el concepto del análisis fasorial se extiende con facilidad a circuitos con fuentes múltiples que operan a diferentes frecuencias. En tales SECCIÓN 10.9 SUPERPOSICIÓN, TRANSFORMACIONES DE FUENTE V TEOREMA DE THÉVENIN •- -------- /W \ ----------------i 401 casos, sólo se emplea la superposición para determinar las tensiones y las co­ rrientes debidas a cada fuente, y después se suman los resultados en el dominio del tiempo. Si varias fuentes operan a la misma frecuencia, la superposición tam­ bién permitirá considerar aquellas fuentes en el mismo tiempo, y agregar la res­ puesta resultante a la(s) respuesta(s) de otra(s) fuente(s) que operan a una fre­ cuencia diferente. EJEMPLO 10.11 Determinar la potencia disipada por la resistencia de 10 ft en el circuito de la figura 10.32a. 10 í l ----- V A ----1 = 0.2 F 5 eos 3í A ( r = = 0.5 F ^ I 2 eos 5í A 1 (a) 10 í l -AA/V ib) I" io n ■ F IG U R A 10 .3 2 (o) Circuito simple que tiene fuentes que operan a diferentes frecuencias. (b) Circuito con la fuente izquierda suprimida, (c) Circuito con la fuente derecha suprimida. Después de observar el circuito, se podría estar tentado a escribir de inme­ diato dos ecuaciones nodales, o quizás a efectuar dos conjuntos de transfor­ maciones de fuente y lanzarse de inmediato a determinar la tensión en la resistencia de 10 £2. Desafortunadamente, esos procedimientos son imposibles de implementar, pues se tienen dos fuentes que operan a frecuencias diferentes. En una situación de este tipo, no hay manera de calcular la impedancia de ningún capacitor o inductor en el circuito. En este caso, ¿cuál o j se usa? La única forma de salir de este dilema es mediante la superposición, agrupando todas las fuentes con la misma frecuencia en el mismo subeircuito, como se indica en la figura 10.32b y c. (Continúa en la siguiente página) En estudios futuros sobre el procesamiento de seña­ les, se presentará también ei método Jean-Bapiste Fojrier, matemático francés que desarrolló una téc­ nica para representar casi cualquier función arbitraria mediante una combinación de senoides. Cuando se trabaja con circuitos lineales, una vez que se sabe la respuesta de un circuito particular a una función for­ zada senoidal de tipo general, se puede predecir con facilidad la respuesta del circuito a una forma de on­ da arbitraria representada por una función de la serie de Fourier, simplemente mediante la superposición. 402 A /V V CAPITULO 10 ANALISIS DE ESTADO SENOIDAL PERMANENTE En el subcircuito de la figura 10.32/;, se calcula sin dificultad la corriente I' mediante la división de corriente: I ' = 2 /0 ! - j 0.4 1 0 - ; - 7 0 .4 J 79.23/ —82.03° mA por lo que i' = 79.23 cos(5f - 82.03°) mA De igual modo, se observa que I" = 5 /0 ! - j 1.667 _1 0 - , / 0 . 6 6 6 7 - 7 1.667 = 8 11.7/—76.86° mA por lo cual i" = 811.7 cos(3f - 76.86°) mA Debe observarse en este punto que, sin importar qué tan tentado se pudiera estar para sumar las dos corrientes fasoriales I' e I", en la figura 10.32b y c, esto sería incorrecto. El siguiente paso consiste en sumar las dos corrientes en el dominio del tiempo, elevar al cuadrado el resultado y multi­ plicar por 10 para obtener la potencia que absorbe la resistencia de 10 fi en la figura 10.32a: (i' + i" Y x 10 = 10[79.23 cos(51 - 82.03°) + 811.7 cos(3? - 76.86o)]2 ¿tW 7>io = P R Á C T IC A 9_____________________________________________ 10.16 Determinar la corriente i que pasa por la resistencia de 4 fi de la figura 10.33. Respuesta: i = 175.6 cos(2f —20.55°) + 547.1 cos(5í —43.16°) mA. A N Á LISIS A SIST ID O POR C O M PU T A D O R A Se tienen varias opciones en PSpice para analizar circuitos en el estado senoidal permanente. Tal vez el método más directo consista en utilizar las dos fuentes diseñadas de modo especial: VAC e IAC. La magnitud y fase de cualquier fuente se elige haciendo doble clic sobre la componente. Se simulará el circuito de la figura 10.19a que se ha dibujado nuevamente en la figura 10.34. La frecuencia de cualquier fuente no se elige en la ventana de diálogo Property Editor, sino a través de la ventana de diá